Manual de Practicas

Unidad: Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos.

Edición No. 3

Fecha de Edición:01/09/14

Departamento: Ingeniería Eléctrica.

Materia: Cálculo Diferencial

MANUAL DE PRÁCTICAS BASADO EN COMPETENCIAS

MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL

CARRERA:INGENIERIA ELÉCTRICA

CLAVE DE LA SIGNATURA: ACF-0901SATCA: 3 - 2 - 5

PRIMER SEMESTRE

ELABORADO POR:

I. EO. ELIO AHALÁN ALVAREZ ANTONIO

Revisión Autorización

Academia deIngeniería Eléctrica

Jefe de División deIngeniería Eléctrica

INDICE DE PRÁCTICAS

0


Edición No. 3




No. de Práctica

Nombre de la práctica Página

1 Intervalos y desigualdades3

2 Funciones y sus gráficas7

3 Límites y sus propiedades10

4 Derivación simple y superior, de funciones.14

1


Edición No. 3




INTRODUCCIÓN

En éste manual de prácticas de Cálculo Diferencial, se realizó el compendio de las practicas necesarias para poder llevar a cabo con éxito la resolución de lo que ésta materia comprende.

En ésta materia se observan desde los números reales, sus propiedades y clasificación; hasta las derivadas y sus aplicaciones. Todo esto para poder comprender de la mejor manera posible los problemas específicos del área de la ingeniería donde nos encontremos.

Por ende, para poder desarrollar éstas prácticas es necesario tener los conocimientos básicos acerca del contenido de ésta materia.

Cabe mencionar que, además de lo mencionado, también abordaremos los temas de funcione y su Graficación y límites para la solución de problemas. Debido a que tienen aplicaciones en sus materias posteriores y el área de ingeniería propiamente.

Cualquier problema con el desarrollo de la resolución de alguno de los ejercicios propuestos deberá ser consultado con el asesor en turno.

Intervalos y desigualdades Práctica Número: 01

2


Edición No. 3




Objetivo de la práctica:

El estudiante recordará todo lo relacionado con los intervalos y sus formas

de representación tales como, las desigualdades y la forma gráfica.

Aprenderá a reconocer los diferentes tipos de desigualdades y la

metodología para su resolución.

Introducción:

Desde el principio de la humanidad, hemos tenido la necesidad de

establecer un sistema de comunicación y medida de todo lo que está a nuestro

alrededor. Por ello, el hombre tuvo que inventar la numeración para poder cumplir

con éste objetivo.

Los números naturales, enteros, racionales, positivos y negativos, son solo

algunos de los tipos de números reales que, hoy en día, el hombre ha aprendido a

utilizar para poder comprender mejor la naturaleza de las cosas; así como para

poder realizar cualquier tipo de operación matemática para satisfacer sus

necesidades.

Por otra parte, las desigualdades son expresiones que nos demuestran la

relación que existe entre dos números. Donde uno de estos es mayor que el otro.

3


Edición No. 3




De igual manera que en las igualdades, en las desigualdades, tenemos dos

miembros en nuestras expresiones, separados por un signo de desigualdad (>, <,

≥, ≤). Pueden ser representadas, como forma equivalente, en forma gráfica y de

intervalos. Los cuales nos describen también, el contenido de un conjunto de

números reales.

Material y equipo necesario:

Desarrollo:1.- Completa la siguiente tabla, llenando los espacios vacíos con la notación

indicada, en la parte superior.

INTERVALO DESIGÛALDAD GRAFICA

[−3, 5 ) = -3≤X<5 =

[-5,∞) = x≤−5 =

[3,8] = 3≤x≤8 =

(−5, 4 ) = -5<X<4 =

(-∞,12] = x≥1

2 =

2.- De acuerdo a lo visto en el salón de clases, resolver los siguientes

ejercicios y representar en su forma de intervalo, gráfica y de desigualdad; cada

uno de ellos.

4

Apuntes y ejercicios de la unidad 01.

Hojas blancas

Calculadora


Edición No. 3




a ) 2+x<9 x+6

b ) 3 x+5≤8−7 x

c ) 7≤3 x−2≤13

d ) −3≤− x+42

<16

e ) 2 x+1≤4 x−3≤ x+6f ) (x+5 ) ( x−1 ) ( x−2 )≥0

3.- Resuelve el siguiente problema de aplicación.

La temperatura en la escala Fahrenheit y Celsius están relacionadas por la

fórmula C=( 5

9 ) (F−32 ). ¿A qué temperatura Fahrenheit corresponderá una

temperatura en escala centígrada que se encuentra en el intervalo 40≤C≤50 ?

4.- El estudiante formara equipos de trabajo y discusión para resolverlas de

manera analítica y si existe duda alguna, las aclarará con el docente encargado.

5.- El estudiante elaborará su reporte de prácticas de acuerdo al plan de

estudio, el cual será revisado por el docente asignándole el valor de calificación

considerado en su instrumentación didáctica.

2.- De acuerdo a lo visto en el salón de clases, resolver los siguientes

ejercicios y representar en su forma de intervalo, gráfica y de desigualdad; cada

uno de ellos.

5


Edición No. 3




X-9x<6-2

8x<4 (-∞,12)

X<48

x<12

(-∞, 310)

3x+7x≤8-5

10x≤3

x≤310

a

b

-3x≤-2-7 3x≤13+2

-3x≤-9 3x≤15 [3,5]

x≤ −9−3 x≤15

3

x≤3 x≤5

x≥3

a

6


Edición No. 3




b

-3≤-x+4(2) <16 -x<16+8 (-24, ∞)

-3≤-x-8<16 -x<24

X≤-8+3 x<24/-1

X≤-5 x<-24

X≥-5

a

b

2x-4x≤-3 4x-x≤6+3 (-∞,2/3] [3, ∞)-2x≤-3 3x≤9

x≤ −3−2 x≤ 9

3

x≤23 x≤3

x≥23

x+10≥0 (-∞,-10)x≥-10

Cuestionario:

7


Edición No. 3




a) ¿Cuál es la utilidad de los números reales? Nos ayudan a representar, resolver y

comprender una amplia parte de problemas en la física, estadística y matemáticas.

los números reales se representan utilizando la recta numérica. y en u plano

corresponden a los puntos del eje horizontal. pudiendo graficar problemas para su

mejor comprensión.

b) ¿Cuáles son las diferencias entre una igualdad y una desigualdad? las igualdades

sería como sinónimos, equivalencias, a diferencia d las desigualdades.

c) ¿En qué casos debemos cambiar el sentido de una desigualdad? cuando se pasa

un numero negativo para el otro lado, ya sea multiplicando o dividiendo si es

sumando o restando.

d) ¿Cuál es la diferencia entre una desigualdad condicional y una absoluta? Explica

mediante ejemplos.

Desigualdad absoluta: es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella.

Ejemplo: a²+3>a Desigualdad condicional: es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales.

Ejemplo: 2x-8>0, que solamente satisface para x>4. Aquí se dice que 4 es el límite de x.

e) ¿Cuáles son las propiedades de las desigualdades más utilizadas en

cualquier ejercicio?

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

2 + x − 2 > 16 − 2

x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

8


Edición No. 3




a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • ca > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)a • c > b • c

f) ¿Cuál es la razón por la cual, en una representación gráfica, el infinito se debe

representar con una punta de flecha? Por qué quiere decir que siguen habiendo

valores de x en la recta en la recta numérica.

Bibliografía:

1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.

2. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford

University Press, 2009.

3. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.

9


Edición No. 3




Funciones y sus gráficas Práctica Número: 02


El estudiante recordará todo lo relacionado con las funciones, sus

características y propiedades. Así como los intervalos involucrados y su forma de

representación gráfica.

Además, aplicará los conceptos vistos en clase sobre el dominio y rango de

una función.

Introducción:

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue utilizado por

primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar

una potencia xn de la variable x.

El dominio y el rango son dos características muy importantes dentro del

tema de las funciones. Con ellas se puede hallar los valores que nuestra función

acepta para poder calcularse dentro del plano real y, al mismo tiempo, pueden

hallarse los valores para los cuales nuestra función se vuelve una indeterminación.

En ésta práctica se resolverán algunos ejercicios referentes a las funciones

y algunas de sus características. Se abordarán los primeros criterios que debemos

10


Edición No. 3




conocer respecto a ellas, donde se comprenden al dominio, al rango, las variables

dependientes e independientes así como la graficación de las mismas.


Desarrollo:

1.- Para las siguientes funciones, encuentra el Dominio, el rango y sus

gráficas correspondientes:

a ) y=x2−5 b ) y=(x+2 ) (x2+x−2 )

2x+4c ) y=√24−x

2.- Sean las funciones

f ( x )= 12 x+3

; g ( x )= x3−3 x+2x−2

; h (x )=4 x+2,

Realizar las siguientes operaciones:

h ) (f +h ) ( x )i ) ( f⋅g ) ( x )

j) h ((g ( x ) ) )

k ) f (−32 )

1.- Para las siguientes funciones, encuentra el Dominio, el rango y sus gráficas correspondientes:

11


Hojas blancas

Calculadora


Edición No. 3




Y= (1)2-5= -4

Y= (1.5)2-5=-2.7

Y= (2)2-5=-1

Y= (3)2-5=4

Y= (3.5)2-5=7.2

Dom= (-2, ∞)

Rango=(-4,∞)

Y= (1+2) (1+1-2) =

06

=0

2+4

12

X Y

1 -4

1.5 -2.7

2 -1

3 4

3.5 7.2

X Y

-2 0

-3 2

-4 5

0 -1

1 0

2 2

3 5


Edición No. 3




13


Edición No. 3




Dom=R

14

X Y

-15 6.2

-12 6

-10 5.8

-8 5.6

-6 5.4

-4 5.2

-2 5

0 4.8

2 4.6

4 4.4

6 4.2

8 4


Edición No. 3




Rango=(4,∞)






Cuestionario:

¿Qué es el dominio y rango de una función? Dominio son todos los valores de x y

el rango son los valores de Y.

¿Cómo podemos hallar los puntos de discontinuidad en una función? Sustituyendo

los valores posibles en la formula dada.

¿Cuál es la forma de representar los puntos de discontinuidad en la gráfica de una

función? Se tiene que tener en cuenta que se define una discontinuidad sobre

puntos del dominio de una función. Si la función no estuviese definida en un punto,

15


Edición No. 3




aunque tenga comportamiento parecido al de una discontinuidad, no tendría

ninguna, ya no se podría aplicar la definición de discontinuidad.

¿Cuál es la razón de utilizar un intervalo dentro del dominio para la graficación?

Para poder observar hasta donde podemos graficar

Suponiendo que una función tiene un punto de discontinuidad, ¿qué debo realizar

para poder obtener la coordenada equivalente a ese punto? Factorizar la ecuación

dada.

Bibliografía:1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.




Límites y sus propiedades Práctica Número: 03


El estudiante aplicará los conocimientos adquiridos en el salón de clases

para la resolución de ejercicios de cálculo de límites de funciones. Recordará y

utilizará los métodos de solución.

Introducción:

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis

matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se

va aproximando hacia un punto llamado “límite”.

16


Edición No. 3




La definición significa que eventualmente todos los elementos de la

sucesión se aproximan tanto como queramos al valor del límite. La condición que

impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los

elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

El límite de f(x) cuando x tiende a “ a ” es “ L ”, y se denota por

limx→a

f (x )=L


Desarrollo:

1.- Traza la gráfica de tendencia correspondiente a cada una de las

siguientes expresiones y describe su comportamiento:

a ) limx→6+ ( 1

x−6 )=M b )lim

x→ 12

− (√1−2x )=L

17


Hojas blancas

Calculadora


Edición No. 3




2.- Calcula los siguientes límites de funciones, por sustitución simple:

c ) limx→1(1√5−x ) d )

lim

x→12

(3+2x5−x )

e ) limx→12(√ x3+23 x

5−√2 x )

3.- Calcula los siguientes límites de funciones, por el método de

factorización:

f ) limx→ 4(√x−2

x−4 ) g )lim

z→910

(z4−2 z3−4 z−4z2−2 z−2 )

h)lim

x→242

(√ x6−9 x3−367 (x3+3 ) )

4.- Calcula los siguientes límites de funciones, por el método de

racionalización:

18


Edición No. 3




i) limx→81(√ x−9

x−81 ) j) limx→4( 2√ x−4

x−4 ) k ) limx→5(√ x+4−3

x−5 )






Cuestionario:

j) ¿Cuál es la razón de utilizar el método de factorización para el cálculo de

límites de funciones?

k) Explica con tus propias palabras la definición del límite de funciones, con

sus tendencias tanto por izquierda como por derecha.

Bibliografía:

1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.




19


Edición No. 3




20


Edición No. 3




Derivación simple y superior, de funciones Práctica Número: 04


El alumno reforzará los conocimientos adquiridos en clases. Elaborará algunos ejercicios que involucran los conceptos de derivación más utilizados, dentro de ésta asignatura y asignaturas posteriores.

Introducción:

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.


Desarrollo:

21

Apuntes y ejercicios de la unidad 04. Hojas blancas

Calculadora

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial

http://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_recta

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


Edición No. 3




1.- Obtener la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición de la derivada mediante incrementos.

a ) y=23x3+ x2−1 b ) y=2 x2+5

3x+6c ) y=√2 x+1

2.- Obtener la derivada de las siguientes funciones utilizando las formulas compactas de derivación.

d ) d ( x )=x3−3 x2+5x−2

e ) e ( x )=18x8−x4

f ) f ( x )=3x2 +5

x4

g ) g ( x )=( 2x4−1 ) (5 x3+6 x )

h ) h ( x )=x2+2 x+1x2−2 x+1

i) i (x )=5x1+2x3

j ) j ( x )=(2 x+13 x−1 )

4

k ) k ( x )= (3u2+5 )3 (3u−1 )2

l) l ( x )=x3

(3 x2−1 )13

m) m ( x )=(x2−5 )12 (x2+3 )

13

n ) n ( x )=(x3+5 x )e4 x2+1 o ) o ( x )= (x3+5 x )

−13e4 x2

3.- Obtener la segunda derivada de las siguientes funciones:

22


Edición No. 3




p) y=3 x4−2x2+x−5 q ) y=√2−3 x2

r ) y=x√ x−1

4.- El estudiante formará equipos de trabajo y elaborará su reporte de prácticas de acuerdo al plan de estudio, el cual será revisado por el docente asignándole el valor de calificación considerado en su instrumentación didáctica.

Cuestionario:

a) ¿Cómo podemos definir la derivada de una función?b) ¿Cómo podemos identificar la fórmula correcta para derivar mediante la forma

compacta?

Bibliografía:

1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.2. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford University Press, 2009.3. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.

23

Manual de Practicas

Documents

Transcript of Manual de Practicas