Manual de Aritmetica

7/28/2019 Manual de Aritmetica

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PRIMERA SEPARATA DE ARITMTICA

CICLO: REPASO UNI 2006

RAZONES Y PROPORCIONES

Razn:

Es la comparacin de 2 cantidades mediante una

sustraccin o una divisin.

Si la comparacin es mediante una sustraccin

se llama Razn Aritmtica y si la comparacin

es mediante una divisin se llama Razn

Geomtrica.

Luego:

Dadas las cantidades a y b.

Razn

Aritmti

ca

Razn

Geomtric

a

ba =k

b

a=

Donde:

a es el antecedente

b es el consecuente

r es el valor de la razn

aritmtica

k es el valor de la razn

geomtrica

Ejemplo:

En un aula A hay 60 alumnos y en otra B

hay 20 alumnos y se observa que:

a. El nmero de alumnos del aula A excede a la de

B en 40, porque:

260

es la razn aritmtica de 60 y 20.

b. El nmero de alumnos del aula A es 3 veces el

de B, porque:

2

6

es la razn geomtrica de 60 y 20.

Nota: Siendo la razn geomtrica de mayor uso

se le conoce tambin como razn o relacin.

Del ejemplo anterior:

Si tomamos como referencia a un grupo de 20

alumnos, se tiene que:

60 = 3 x 20

20 = 1 x 20.

Entonces se puede afirmar que:

60 es como 3 y

20 es como 1

Tambin que:

60 y 20 estn en la misma relacin que 3 y 1

60 y 20 son entre si como 3 es a 1

Humanizando al hombre con la educacin


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Cel: 054-9561777 2Aritmtica Repaso - UNI 2006

Aplicaciones

1. Si la razn aritmtica de los cuadrados de 2

nmeros enteros es 15. Calcule la razn

geomtrica de dichos nmeros si no son

consecutivos.

2. En una fiesta hay 60 hombres y 40 mujeres.

Cuntas parejas deben retirarse para que haya 9

hombres por cada 5 mujeres?

3. En un recipiente hay una mezcla de 45 litros de

vino y 30 litros de agua. Si se extraen 20 litros y

se reemplazan con agua. En que relacin seencontrarn las cantidades de vino y agua?

4. Las edades de 2 personas estn en la relacin de

3 a 1 Hace 8 aos estaban en la relacin de 4 a 1.

Calcule la razn aritmtica de sus edades.

Proporcin.-

Es la igualdad de 2 razones de la misma clase yvalor, puede ser:

A) Proporcin Aritmtica .- Si las razones son

aritmticas

Ejemplos:

Las razones aritmticas:

12 7 = 5 y

8 3 = 5

forman la proporcin aritmtica

712

Donde: 12, 7 , 8 y 3 (en ese orden)

son los trminos 1, 2, 3, 4, de la proporcin

Adems:

12 y 3 son los extremos

7 y 8 son los medios

Cumplindose que:

312+

Suma de Suma deExtremos medios

B) Proporcin Geomtrica .- Si las razones songeomtricas.

Ejemplo:

Las razones geomtricas: 34

12= y

3

7

21=

forman la proporcin geomtrica:

4

12

Donde: 12, 4, 21 y 7 (en ese orden)

son los trminos 1, 2, 3, y 4 de la proporcin

Adems: 12 y 7 son los extremos

4 y 21 son los medios

Cumplindose que:

7x12

Producto de Producto deExtremos medios

Nota: Un Proporcin es discreta si sus trminos medios

son diferentes.

Una proporcin es contina si sus trminosmedios son iguales.

As tenemos:

Proporcin Aritmtica Proporcin Geomtrica

Discreta(Medios

Diferentes)dcba =

qp

nm =

q es la cuarta



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d es la cuarta

diferencial de

a, b y c

proporcin de m, n y p

Continua(MediosIguales)

tssr =

s es la mediadiferencial de r y t

t es la terceradiferencial de r y s

z

y

y

x=

y es la mediaproporcional de x y z.

z es terceraproporcional de x e y

Aplicaciones

5. Si se sabe que:* La cuarta proporcional de 20, 5 y 24 es a

* La tercera diferencial de 30 y 24 es b.

* La media proporcional de 9 y 25 es c

Calcule la 4ta diferencial de b, a y c.

6. En una proporcin geomtrica continua, la sumade extremos es 34 y su diferencia es 16. Calcule

la media proporcional.

7. En una proporcin geomtrica discreta la sumade los cuadrados de sus trminos es 65. Calcule

la suma de dichos trminos, si los trminos y la

constante son enteros positivos.

8. En una proporcin geomtrica cuya razn es

equivalente a5

3; los antecedentes estn en la

relacin de 1 a 2. Si el mayor de los trminos es

30. Calcule la suma de todos los trminos.

SERIE DE RAZONES GEOMTRICASEQUIVALENTES

Es un grupo de razones geomtricas que tienen

el mismo valor llamado constante de

proporcionalidad.

Ejemplo:

* 34

12= , * 3

7

21= , *

36

18=

Forman la serie de 3 razones geomtricas

equivalentes:

36

18

7

21

4

12=== constante de

proporcionalidad

y se lee:

Los antecedentes 12, 21 y 18 son proporcionales

(en la misma relacin) a los consecuentes 4, 7 y

6.

Observndose que:

I) * 317

51

674

182112==

++

++

* 311

33

74

2112==

+

+

* 313

39

67

1821==

+

+*

310

30

64

1812==

+

+

* 33

9

47

1221==

*

32

6

46

1218==

II) *33

6x7x4

18x21x12=

*23

7x4

21x12=



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En General:

Dado la S.R.G.E:

cc

ba =

Se cumple que:

b

a

f

e

d

c

b

a===

d.b

.c.a

Tambin:

d

dc

b

ba=

=

e

c

dc

a

ba=

=

e

e

dc

dc

ba

ba

=

+

=

+



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Aplicaciones

9. Sabiendo que.

f

e

d

c

b

a==

Adems: 64eca =++ y

102fdb =++

Calcule:f.bd.b

e.ac.a

++

10. Si:

pnm

cba

12

b

4a

c

a

36

b

27

++

++==

==

Calcule m + n + p

11. Dado:14

d

c

15

70

b

a

27===

Adems: b d = 24

Calcula a + b + c + d

12. Si:f

e

d

c

b

a==

Adems: b a = 20

d c = 18

f e = 8Calcule a + c + e sabiendo que d x f = 900

PROBLEMAS

1. Dos ciudades A y B distan P km. Dos

vehculos salen simultneamente uno al

encuentro del otro de ambas ciudades con

velocidades de 40km/h y 50km/h de A y B

respectivamente, encontrndose en C. A partir de

dicho punto el que sali de A se demora 9 horas

ms que el que sali de B en llegar a su destino.

Calcule P.

Rpta.: ...................................................................

2. Las edades actuales de Henry y Amelia son entre

s como 7 es a 4. hace K aos estaban en la

relacin de 5 a 2 y dentro de aos la relacin

ser de 5 a 3, tiempo en el cual sus edades

sumaran 48 aos. Qu edad tendr Amelia

dentro de K + aos.

Rpta.: ...................................................................

3. Para dibujar una pequea habitacin rectangular

Oscar emplea la escala 1/25. la diferencia del

largo y ancho en el dibujo es 8cm, adems el

permetro de la habitacin es 20 metros. En qu

relacin se encuentran el largo y ancho?

Rpta.: ...................................................................

4. En una proporcin aritmtica discreta los

trminos extremos estn en la relacin de 5 a 3 y

los trminos medios estn en la relacin de 4 a 3.

si la suma de todos los trminos es 224. calcule

la diferencia de los medios.

Rpta.: ...................................................................

5. En una proporcin geomtrica continua; los

trminos extremos estn en la relacin de 9 a 25;

adems el menor de los trminos es la cuarta

diferencial de 80, 70 y 75.Calcule la suma de los trminos de la proporcin

geomtrica.



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y ( ) ( )cpcp1ba 22 +=++ .

Calcule: p 1

Rpta.: ...................................................................

14. En la clausura del ao escolar de un colegio

asisten 400 persona. En un determinado

momento se retiran un grupo de personas

observndose que:

De los adultos varones: por cada 6

asistentes se quedan 5.

De la mujeres adultas: por cada 5 que se

retiran, 7 se quedan.

Cada adulto varn que se retira se lleva 2

nios y cada mujer adulta se lleva 1 nio.

Si no queda ningn nio. cuntos nios haban?

Rpta.: ...................................................................

15. En una fabrica de botellas se tienen 3 mquinas

A, B y C. Por cada 5 botellas que produce la

maquina A, las restantes producen juntas 4

botellas; por cada 4 botellas que produce la

maquina B, las restantes producen juntas 11

botellas. Si un da la maquina B produjo 200

botellas ms que C. Cuntas botellas produjo la

maquina B ese da?

Rpta.: ...................................................................

16. Si:

d

9

9b

18a

5

cb

15b

a=

+

=

=

Calcule: (a + c) (b + d)

Rpta.: ...................................................................

17. De las cantidades de tizas blancas, rojas y azules

que contienen una caja se observa que la primera

es dos veces la segunda y esta dos veces ms que

la tercera. Luego se extrae tanto como la mitad

de lo que no se extrae y de esta ltima qued 2

tizas blancas ms por cada 5 rojas. Halle la

relacin entre la cantidad de tizas blancas y rojas

que fueron extradas si de las otras se sac un

tercio de lo que haba.

Rpta.: ...................................................................

18. Halle la razn aritmtica entre la cantidad de

manzanas y naranjas que se compraron si luego

de vender una docena de manzanas por cada dos

decenas de naranjas qued tres manzanas ms

por cada cuatro naranjas, adems al final qued

385 frutas y al inicio haba 9 manzanas ms por

cada 4 decenas de naranjas.

Rpta.: ...................................................................

19. Si:a81

c9

b3

a9

b

d

c

a===

Adems: b + d = 36

Calcule la razn aritmtica entre la suma de

consecuentes y la suma de antecedentes.

Rpta.: ...................................................................

20. Si:

tr180

r180

i30

i30

c15

c15=

+

=+

=+

Adems: c + i + r + 1 = t2

Calcule el producto de la cifras de t.

Rpta.: ...................................................................



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21. La suma; diferencia y producto de 2 nmeros

estn en la relacin de 10; 8 y 27. Calcule el

mayor de los nmeros

Rpta.: ...................................................................

22. Se tiene una mezcla de vino, gaseosa y agua en

cantidades proporcionales a 4, 3 y 5

respectivamente. Al extraer la mitad de dicha

mezcla; se observa que hay 10 ms de agua que

de gaseosa. cul sera la relacin entre las

cantidades de vino y agua si luego extraemos 8

de cada uno?

Rpta.: ...................................................................

MAGNITUDES PROPORCIONALES

MagnitudEs todo aquello susceptible (capaz de modificar)

al aumento o disminucin, es decir est sujeto a

cambios.

Cantidad

Es el valor que toma cualquier magnitud en

un momento dado. Se le representa mediante un

nmero y una unidad caracterstica referente a

la magnitud.

Ejemplo:

M

ag

nit

ud

Ca

nti

da

d

Relacin entre Dos Magnitudes

Dos magnitudes son proporcionales

cuando al variar una de ellas, entonces la otra

tambin vara en la misma proporcin. Se

pueden relacionar de dos maneras.

I. Magnitudes Directamente Proporcionales(D.P).- Dos magnitudes son D.P si al aumentar odisminuir el valor de una de ellas; el valor de la

otra magnitud tambin aumenta disminuye, en

la misma proporcin respectivamente;

cumplindose que el cociente de sus valores

correspondientes permanecen constantes.

Ejemplo Inductivo:

Frank sale a pasear en su auto y se desplaza conM.R.U, a una rapidez de 80km/h. Analizamos

como varia el valor de la distancia que recorre

cuando el valor del tiempo vare:

Distancia

(km)

8 4 2 7 144

0

Tiempo

(h)1 6 3 9 18

(distancia) D.P (tiempo)

Se observa:

( )( )

ctetiempo

ciatandis=====

Debemos tener en cuenta que el relacionar

dos magnitudes, las dems no deben variar. Del

ejemplo anterior la rapidez no vara; permanece

constante.

En general:

Para dos magnitudes A y B se cumple:

((valval

B.P.D.A

* Del ejemplo inductivo, representando sus

valores grficamente:



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Se observa que:

i) La grfica de dos magnitudes D.P. son

puntos que pertenece a una recta que pasa por el

origen de coordenadas.

ii) En cualquier punto de la grfica (excepto el

origen de coordenadas) el cociente de cada par devalores correspondientes resulta una constante.

Aplicaciones:

1. Las magnitudes A y B2 son D.P. Calcule El valor deA cuando B = 12; si cuando A = 32 entonces B =

576.

2. El sueldo de un obrero es D.P al cuadrado de laedad que tiene. Si actualmente tiene 18 aos; dentro

de cuantos aos cuadruplicar su sueldo.

II. Magnitudes inversamente proporcionales(IP).- Dos magnitudes son I.P. si al aumentar odisminuir el valor de una de ellos; el valor de la

otra magnitud tambin disminuye aumenta; en

la misma proporcin respectivamente;

cumplindose que el producto de sus valores

correspondientes permanecen constantes.

Ejemplo Inductivo:

Cuatro automviles con MRU y rapideces de

100km/h; 200km/h; 600 km/h y 300km/h

recorren una misma distancia de 1200km.

Analicemos como varia el valor de la rapidez y

el valor del tiempo respectivamente.

Rapidez(k

m/h)

1

0

0

2

0

0

3 4

tiempo

(h)

1

26 2 4

(rapidez) IP (tiempo)

Se observa:

= = = = ..............

...... = (velocidad) (tiempo) = cte

Debemos tener en cuenta que al relacionar

dos magnitudes, las dems no deben variar; del

ejemplo anterior la distancia no vara, permanece

constante.

En general:

Para dos magnitudes A y B se cumple:

v)(Adevalor(BIPA

Del ejemplo inductivo; representando sus

valores grficamente:

Se observa que:

i) La grfica de dos magnitudes I.P; son puntos

que pertenecen a una rama de una hiprbole

equiltera.

ii) El cualquier punto de la grfica; el producto

de cada par de valores correspondientes

resulta una constante.

Aplicaciones:

3. Si las magnitudes A y 3 B son I.P. Calcule el

valor de B cuando A = 12; si cuando A = 33

entonces B = 64

4. Un grupo de obreros pueden terminar una obra en

15 das, pero debido a que 3 obreros abandonan eltrabajo, lo terminan en 24 das. Cuntos obreros

trabajaron.

* Propiedades1.- Para 2 magnitudes A y B se cumple:

A D.P. B A I.P.B

1

A I.P. B A D.P.B

1



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2.- Si consideramos 3 magnitudes A, B y C

donde:

A D.P. B (C es constante)

A D.P. C (B es constante)

A D.P. (B

x C)

3.- Sean las magnitudes A; B; C; D y E:

Valor(

)(AdeValor(

E.P.IA

D.P.DA

C.P.IA

B.P.DA

Observacin: Cuando relacionamos los valores

de dos magnitudes, entonces los valores de las

otras magnitudes permanecen constantes.

Aplicaciones:

5. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: A IP B (C es constante)

A DP C2 (B es constante)Si A aumenta en su tercera parte

disminuye en su mitad, que ocurre con la

magnitud B

6. El precio de un auto varia en forma D.P. a su

peso en toneladas e I.P. al nmero de aos de

uso. Si un auto que tiene 5 aos de uso pesa 3

toneladas y cuesta S/.15000. Cunto costar un

auto que pesa 5000kg y que tiene el doble de

aos de uso y que tiene el doble de aos de uso

que el anterior.

7. Halle la relacin de proporcionalidad para cada

conjunto de magnitudes.

A) Nmero de obreros; nmero de das,

trabajados, nmero de horas diarias de

trabajo, eficiencia de los obreros, cantidad

de obra realizada y dificultad de la obra.

B) Capital impuesto, tiempo de imposicin del

mismo y sus ganancia.

PROBLEMAS

1. Si un pintor cobra S/.40 por pintar una

pared de 2m. de alto y 5m. de largo. Cuanto

cobrar por pintar una pared de 1m. de alto y 1m

de largo.

2. Con 36 obreros de puede hacer una obra en

40 das. Con 20 obreros 4 veces ms rpidos que

los anteriores, En cuntos das hace la misma

obra?

3. Se tiene el siguiente cuadro de valores delas magnitudes A y B

A 3

3

7

5

1

9

2

n6

B 1 m 4 3 6

Determine la relacin entre A y B; adems

calcule m +n.

4. Luego de culminar la construccin de una obra;

el dueo desea repartir una bonificacin de

S/.1885 entre tres obreros y para ello considera

los siguientes datos:

N

o

m

b

r

e

N de

ladrillos

colocados

N de

ladrillos

rotos

O

s

c

a

r

1200 18

M

a

rt

n

1440 9

I

v

1050 12



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a

n

Determine cunto recibe de ms Martn

con respecto de Ivan?

5. Se sabe que 2 magnitudes A y B son D.P.

para valores de B menores o iguales a 12;

adems A IP B para valores de B mayores o

iguales a 12 pero menores o iguales a 24.

Cuando B toma valores mayores o iguales a 24,

resulta que A DP B2. Calcule el valor de A.

Cuando B = 36; si cuando A = 12 entonces B =

4.

6. Se contrata una cuadrilla de 15 obreros

para realizar una obra en 30 das trabajando

10h/d. Despus de 8 das de trabajo se informa

que la obra debe ser entregada 12 das antes del

plazo fijado. Cuntos obreros ms se debe

contratar en ese momento para cumplir con lo

ltimo; si se increment en 1 hora ms el trabajo

diario?

7. 15 obreros pueden acabar un trabajo en 20

das trabajando 7h/d. Despus de trabajar 8 das,

7 obreros son dados de baja y no son

reemplazados sino al cabo de 5 das y a partir de

entonces trabajan 2 horas menos por da. Calcule

cuntos obreros se contrataron para acabar la

obra en el plazo fijado.

8. Una guarnicin de 600 soldados tienen

vveres para 50 das. Pasadas 6 das se retiran

cierto nmero de ellos. Luego de 15 das ms los

que se fueron reemplazados. Si los vveres

alcanzaron para 2 das ms. Cuntos soldados se

fueron.

9. Oscar dispuso que el da que falleciera se

entregar a 3 sobrinos suyos cierta cantidad de

dinero para repartirlo proporcionalmente a las

edades de cada uno de ellos. El da que falleci,las edades eran 24, 20 y 16 aos. El menor de

ellos renunci a su parte; siendo la diferencia de

lo recibido por los otros dos S/.75. Calcule la

cantidad de dinero que rechaz el menor.

10. Una rueda A de 30 dientes esta unida

mediante un eje con la rueda B y este a su vez

engendra con otra rueda C. Sabiendo que B

y C tienen respectivamente 28 y 42 dientes. Si

A da 360 vueltas en 1 minuto. Cuanto tiempo

empleara la rueda C en dar 8160 vueltas?

11. Se reparte 2500 proporcionalmente a tres

nmeros impares A, B y C que suman 25. Si lo

que teca a C menos lo de B es 3 veces la

diferencia entre lo de B y A. Calcule cuantole corresponde a B.

12. Tres socios, cuando ha sido disuelto su

sociedad han retirado su capital y su ganancia. El

primero S/. 39400, el segundo S/. 32320 y el

tercero S/. 13640. Sabiendo que la ganancia

ha sido S/. 10670. Calcule el capital que

no es mayor ni menor.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Se ha repartido la cantidad de 119700 D.P.

a 21 nmeros consecutivos, si la diferencia entre

la mayor y la menor parte es S/. 5700. Calcule

la parte central.

Rpta: 20

2. El salario de un obrero de D.P a sus aos

de servicio e I.P. al cuadrado de su coeficiente

intelectual. Si Juan que trabaja hace 8 aos y

tiene un coeficiente intelectual de 100 gana

S/.400. Cual es el coeficiente intelectual de

Carlos que trabaja hace 20 aos y gana S/.640?

Rpta: 125



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3. Tres amigos compraron un billete de lotera

de S/. 100, a un canillita. El primero contribuy

con S/. 34; el segundo con S/. 50 y el tercero con

el resto. El billete sali premiado con S/.

500000 y dieron al canillita los 3/25 del premio.

Cuando le corresponde al primero de los amigos.

Rpta: 149600

4. Dos personas forman una empresa

aportando el primero S/. 3000 y el segundo

S/.1800. Despus de 3 meses aceptan a un tercer

socio que aporta un capital de S/.4000, 5 meses

despus se retira la primera persona. Cunto

gan el primer socio, si la utilidad total es de

S/.3400 y la empresa dur 1 ao?

Rpta: S/ 1000

5. Se reparte una cantidad proporcionalmente

a : 1, 2 y 3 pero luego se decide hacerlo

proporcionalmente a 2; 3 y 4.

Rpta: S/.1360

6. Un buey atado a un poste mediante una

cuerda de 6 metros de largo puede comer el

pasto que le rodea en 9 das, si la cuerda fuera 2

metros ms de largo. En cuantos das comer el

pasto que le rodea?

Rpta: 16 das

7. 10 peones se demoran 15 das de 7h/d de

trabajo en sembrar 50m2. Cuntos das de 8h/d

de trabajo se demorarn en sembrar 80m2; 15

peones doblemente giles?

Rpta: 7 das

8. Una familia de 8 miembros tienen vveres

para 30 das; luego de n recibieron la visita de

una familia de 4 miembros, terminando as los

vveres 8 das antes de lo establecido. Halle n.

Rpta: 6

Es parte de la Aritmtica que se encarga del estudio delos nmero y de su correcta formacin y

representacin.

NUMERACIN

NUMERO

Es un ente matemtico que nos da la idea de cantidad

NUMERAL

Es la representacin mediante smbolos figuras del

nmero.

Ejemplo: , V, , 5

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIN



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Es el conjunto de reglas y principios que nos permite

formar y representar correctamente a los nmeros;usando convencionalmente para ellos smbolos

denominados cifras o dgitos.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

I. DEL ORDEN

Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa

un orden y lugar determinado.

Ejemplo.

Dado el numeral 56798

4 3 2 1 0 Ordenes

5 6 7 9 8

Lugares 1 2 3 4 5

Aplicaciones

1. Cuntas cifras tiene un nmero si la cifrade tercer orden ocupa el quinto lugar?

2. Cuntas cifras tiene como mnimo unnumeral si la cifra de orden 3n ocupa ellugar n/3 y la cifra de orden 5k ocupa

el lugar 5k?. Si se sabe adems que: n

k = 8

II. DE LA BASE

La base de un sistema de numeracin es un

nmero entero mayor que la unidad; el cualindica la cantidad de unidades de un orden

cualquiera necesarios para formar una unidad delorden inmediato superior.

Ejemplo:

Representar diecisis unidades en los sistemasde base 10, 12, 8 y 4

Conclusiones:

1. Las cifras que forman parte de un numeral

son nmeros enteros no negativos menoresque la base; por lo que si un numeral est

expresado en base n; las cifras que seforman pueden ser:

)1n(.......;;3;2;1;0

cifras"n"

Luego, se puede afirmar que:

en el sistema de base n con n cifras

distintas se pueden representar a todos losnmeros

Nota:Las cifras significativas son aquellas

mayores que cero.

2. En una igualdad de numerales:

El mayor numeral aparente est

representado en la menor base y el menornumeral aparente est representado en la

mayor base.

Ejemplo:

)y()x( 138243 =

Como: 243 > 139

Entonces: x < y

.

Aplicaciones

3. Corregir los siguientes numerales:

A) )3(541

B) )7(9)1(23 C) )4(42)2(6

4. Si:

6n 103124 =

Calcule: n

5. Calcule el mnimo valor de n en:

n(AEARITMETICELCIRCULOD

Si cada letra diferente representa cifra

diferente

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIN

Base Nombre elsistema

Cifras que se

utilizan

2 Binario 0,1

3 Ternario 0,1,2



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4 Cuaternario 0,1,2,3

5 Quinario 0,1,2,3,4

6 Senario 0,1,2,3,4,5

7 Heptanario 0,1,2,3,4,5,68 Octanario 0,1,2,3,4,5,6,7

9 Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,8

10 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

11 Undecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10)

12 Duodecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(10), (11)

Observacin:

Si la base es mayor que 10:

Cifra 10 < > (10) < > A < >

Cifra 11 < > (11) < > B < >

Cifra 12 < > (12) < > C < >

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ejemplo:

* )13()13( 4)12(22124 *

1()13()13( 424C24)12(2 ==

III. DEL VALOR DE LA CIFRA

Toda cifra que forma parte de un numeral tiene

dos clases de valores:

A) Valor Absoluto(V.A.).- Es el valor de lacifra segn la figura o smbolo que

representa.

B) Valor relativo(V.R). Es el valor de la cifrasegn el orden que ocupa en el numeral.

Ejemplo:

Dado N = 3215

VA(3) = 3

VA(2) = 2

VA(1) = 1

VA(5) = 5

N = 3 2 1 5

VR(5) = 5

VR(1) = 1x 101

VR(2) = 2x102

VR(3) = 3x103

Observacin

N = 3215 = VR(3) + VR(2) + VR(1) + 5

Representacin Literal de un nmero

Cuando no se conoce el valor de las cifras de unnumeral, dichas cifras se representan mediante

letras minsculas considerando que:

1. Letras diferentes no necesariamente

representan cifras diferentes; excepto si lo

indican.

2. Toda expresin entre parntesis

representan una cifra.

3. La primera cifra es diferente de cero

4. Si por lo menos una cifra es desconocida

en el numeral; se debe colocar una raya

encima del numeral.

Ejemplos.

Un numeral de 2 cifras en base 10:

ab {10; 11; 12; .....; 98; 99}


{7777

6......;;12;11;10ab


......;101;101;100{mnp5555

Aplicacin

6. Si el siguiente numeral est correctamenteescrito Cules son los valores que pueden

asumir a, b y c?

c)3c(3

b)3a()a2(

+

NUMERALES CAPICAS



15/31


Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son

iguales.

Ejemplos:

* }99.....;;33;22;11{aa

*

}999....;;121;111;101{ana

*

....;;1221;1111;1001{abba

Aplicacin

7. Si:

a)(3b)(1c)(2b)(3a( ++, es un numeral capica. Calcule: a + b + c

DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UNNUMERAL

Descomponer polinmicamente un numeral es

expresarlo como la suma de los valores relativos desus cifras.

Ejemplos:*

VR)b(VR)a(VRabcd)n(

++=

* Si: dcnbnaabcd23

)n(+++=

* 56.36.22352

)6(++=

* 6n4n.220400635

)n(++=

Aplicacin:

8. Calcule: a + m + n + p

Si

mn)1a)(3a(1p )a(2

=

9. Expresar:.98.38.12N 3 +=

En base 8 y dar como respuesta la suma de

sus cifras.

DESCOMPOSICIN POR BLOQUES

Ejemplos:

*

3710.373737003737 2 +=+=

*

10.134134134000134134 3=+=

*

2)7()7()7()7( 7.434343004343 +=+=

*

)6()6()6()6( 6.132132132000132132 =+=

* )n(2

)n()n( den.abcabcde +=

* )n(3

)n()n( cden.ababcde +=

Aplicacin

10. Si: 407abab )n( =

Calcule: a + b + n

CAMBIOS DE BASE

I. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10

Se aplica Descomposicin Polinmica.

Ejercicio: exprese

* 81347 en base 10

* 12)10(34 en base 10

II. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10Se aplica divisiones sucesivas.

Ejercicio: exprese

* 183 en base 5

* 3942 en base 11

Aplicaciones:

11. Calcule: a + b + n

Si: )n()7( b105an5 =



16/31


12. Calcule: a + m + n + p + q

Si:

)8( mnpq)1a(a)6a( =

CASOS ESPECIALES

1) Numeral de cifras mximas

* 1109 1= *

176 17 =

* 11099 2 = *

1766 27 =* 110999 3 =

* 17666 37 =

Luego:

n(....)1n()1n()1n(

cifras"k"

2) * dnd1 n +=*

cdnc1nd1

++=

*bcdn

nd1

c1b1 ++=

*bcdn

nd1

c1b1

a1 ++=

Luego: ......an

nx1...d1

c1b1

a1

Tambin:a.kn

na1...a1

a1a1

=

CUATRO OPERACIONES

En el conjunto de los nmeros naturales

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .....}

ADICIN

Dados dos nmeros naturales cuales quiera llamados

sumandos, se obtiene un tercer nmero llamado suma

o suma total.

a + b = S

Donde:

a y b Sumandos

S Suma total

Ejemplo:

Halle la suma de 8475 y 8245 .

2 1 0 Orden4 7 58 +

2 4 58

7 4 28

* En el orden 0 * En el orden 1

8121055 ==+ 7 + 4 + 1

= 12 = 148

* En el orden 2

4 + 2 + 1 =7

Aplicaciones

13. Halle: a + b +c

Si:

.........m3mm2mm1m +++

14. Si se sabe que: x + y + z = 8

Calcule:

555 zxyyzxxyzM ++=

SUSTRACCIN

Operacin inversa a la adicin que dados dos nmerosnaturales llamados minuendo y sustraendo, se obtiene

un tercer nmero llamado diferencia, de modo que alsumar el sustraendo y la diferencia se obtiene el

minuendo.

M S = DS + D = M

Donde:


k veces


17/31


18/31


Pa.....aaan.a

veces"n"

=+++=

Donde:

aMultiplicando

n Multiplicador

p Producto o Producto Total

Observacin:

a y b se llaman tambin factores

Ejemplo: Halle el producto de multiplicar 726 y 36.

2 1 0 OrdenMultiplicando 7 2 6 xMultiplicador 3 5ProductosParciales

3 6 3 0

2 1 7 8

Producto Total 2 5 4 1 0

Aplicaciones

20. Si: 4987.....53xabcd =Calcule: a + b + c + d

21. Al multiplica mnp por 243, se tieneque la suma de productos parciales es

6705. Calcule: m . n . p

DIVISIN

Es la operacin matemtica inversa a lamultiplicacin.

D d Donde:

r q D Dividendo

d Divisor

q cociente

r Residuo

Adems: D = dq + r

CLASES DE DIVISIN

1) Divisin Exacta (residuo = 0)

Ejemplo:

24 8 D d

0 3 0 q

24 = 8(3) D = dq

2) Divisin Inexacta (residuo 0)

2.1. Por defecto

Ejemplo:

77 12 D d

5 6 rd q

77 = 12(6) + 5 D = dq + rd

2.2. Por exceso

Ejemplo:

77 12 D d

7 7 re (q+1)

77 = 12(7) 7 D = d(q+1) re

Propiedades de la Divisin Inexacta

1) 0 < r < d

2) rmn = 1

rmx = d 1

3) rd + re = d

Aplicaciones

22. Si: N x 41 = 5555

Calcule la suma de cifras de N; si es

lo menor posible

23. Halle un nmero que al dividirse entre62 genera un cociente igual al residuo

por defecto; siendo ste igual al residuopor exceso

24.



19/31


PREGUNTAS

1. Si: )c()5( babdabcd =

Adems todas las cifras son significativas y aletra diferente le corresponde cifra diferente.

Calcule:

a.b + c.d

Rpta.: ...................................................................

.

2. Si:)9(

)n(a1c)1a(72ab =

Calcule: a + b + c; si c es una cifra

significativa menor que 4.

Rpta.: ...................................................................

.

3. Al expresar el menor numeral de 4 cifras de labase n-1 en la base n+1; resulta un numeral

cuya suma de cifras es n+19. Calcule n.

Rpta.: ...................................................................

.

4. Se desea repartir S/.25324 entre cierto nmerode personas de tal modo que les correspondan:

S/.1; S/.5; S/.25; S/.125; ..........

Y que no ms de 4 personas reciban la misma

suma. Determine cuantos fueron los

beneficiados.

Rpta.: ...................................................................

.

5. En cuantos sistemas de numeracin se escribecon cifras mximas el mayor numeral de 8

cifras de la base 8.

Rpta.: ....................................................................

6. Si:4xy

n16...13

1211

aa

Adems n es mnimo. Calcule: a + n + x + y

Rpta.: ...................................................................

.

7. Si:

)n()2a(a

)1a(aaa

a)1a(a

+

+

+

Calcule: a.x.y

Rpta.: ...................................................................

.

8. Halle el C.A. de la suma de los C.A. de losnmeros capicas de 3 cifras cuya cifra de lugar

par es 7.

Rpta.: ...................................................................

.

9. Un billete de lotera consta de 6 cifras y escapica. Si a la primera cifra se le multiplica por

11; se le aade la segunda cifra; luego todo se

multiplica por 11 y finalmente aadimos la

tercer cifra; obtenindose 985. Calcule la suma

de cifras del nmero del billete de lotera.

Rpta.: ...................................................................

.

10. Sabiendo que:

1656p649n583m =++ .

Calcule en cuantos sistemas de numeracin

mnp se representa con cuatro cifras.



20/31


Rpta.: ...................................................................

.

11. Si el C.A. de y7x es igual al producto de suscifras de mayor y menor orden.

Calcule: CA )yxxy( +

Rpta.: ...................................................................

.

12. Al realizar una sustraccin el minuendo es

b2a y la diferencia result 411. Si hubo un

error y el verdadero minuendo era a2b y la

verdadera diferencia 213. Calcule el sustraendo

si el minuendo tiene como suma de cifras 14.

Rpta.: ...................................................................

.

13. Si:

* 6)2b(72aN28 +=

* 6b72)2a(N43 +=

Adems: mnpqN=

Calcule:

mqmp

mnmmE

=

Rpta.: ...................................................................

.

14. Calcule: qpnm +++

Si:

74531131

7666x

)7(mnpq

=

Rpta.: ...................................................................

.

15. Cuntos numerales de 4 cifras que comienzany terminan en 5 existen tales que al dividirlos

entre 17 se obtiene residuo mximo?

Rpta.: ...................................................................

.


1. Si:

)8(0a

2

a

2

a

)n3(bc)a2(a

=

Calcule: a + b + c + n

Rpta. 10

2. Un numeral de 3 cifras iguales en el sistemanonario se expresa en base cinco; observndose

que la cifra que ocupa el menor orden no es

significativa. Halle la suma de cifras del

numeral de la base 5.

Rpta.: 7

3. Como se expresa en base 3n el mayornumeral de 2 cifras en base 4n que es igual al

mayor numeral de 3 cifras en base 2n

Rpta.: 143

4. Si

1n(1n)4n)(1n)(1n)(1n( =

Calcule: n


49 veces


21/31


Rpta.: 4

5. Cuantos valores puede tomar el dividendo enuna divisin inexacta; si el divisor es 18 y el

residuo por defecto es 2 veces ms el valor del

cociente por exceso

Rpta.: 4

TEORA DE LA DIVISIBILIDAD

Es parte de la teora de los nmeros que se encargadel Estudio de las condiciones que debe cumplir unnmero para ser dividido exactamente por otro entero

positivo llamado mdulo, y de las aplicaciones que segeneran.

DIVISIBILIDAD:Un nmero entero es divisible por otro entero

positivo (mdulo) si al dividir el primero entre elsegundo, la divisin entera es exacta.

Ejemplo1:57 19 entonces

0 3

57 es divisible por 1919 es divisor de 57

Ejemplo2:-51 17 entonces

0 -3

-51 es divisible por 1717 es divisor de 51

En general: Sean los nmeros: A , B +yK si:

A B0 K

Entonces:A es divisible por BB es divisor de A

MULTIPLICIDAD:Un nmero entero es mltiplo de otro entero positivo(mdulo) si podemos obtener dicho entero almultiplicar el mdulo por cualquier otro entero.Ejemplo:

57 es mltiplo de 19, pues 57 = 19 x 3-38 es mltiplo de 19, pues 38 = 19 x (

2)0 es mltiplo de 19, pues 0 = 19 x 0

En general: Sean los nmeros enteros A y B (enteropositivo).

Si: A = BK A es mltiplo de B

Se denota: A = oB ; A = mB;

Se lee: A es mltiplo de B; B es factor de AObservaciones:* Al dividir todo entero entre la unidad la divisin

resulta exacta, la unidad es divisor de todo entero.

* Se considera al cero como el mltiplo universalpor ser mltiplo de cualquier mdulo, es decir:

Si N+ 0 = N x 0

* El conjunto de los mltiplos de un mdulo esinfinito.

Ejemplo:A = {Los mltiplos de 5}A = {5K/K} = {... (3)5; -2(5); -5; o; 5; 2x5;

}

* Todo nmero entero positivo es mltiplo y divisorde s mismo. Sea N+

N N N = N x 10 1

* Desde que:35 7 35 = 7 (5)0 5

35 es divisible entre 7 35 es mltiplo de 7.Los trminos de divisibilidad y multiplicidad sonequivalentes.

Aplicacin 1: (Examen UNMSM 1992 Preg. 54)cuntos nmeros mltiplos de 5 existen de modo quesus cudruplos sean mayores que 80 y menores que180?

Aplicacin 2: Cuantos nmeros de 3 cifras son:i) mltiplos de 3ii) mltiplos de 7iii) mltiplos de 3 pero no de 7

iv) mltiplos de 3 o 7 pero no de ambos

ESTUDIO DE LOS NO MLTIPLOSSi al dividir un nmero entre otro entero positivo. Ladivisin entera no resulta exacta dicho nmero podrexpresarse segn :Ejemplo: POR DEFECTO POR EXCESO

37 5 37 52 7 3 8

37 = 5 . 7 + 2 37 = 5 . 8 3

37 =o5 + 2 37 =

o5 - 3

Donde: 2 + 3 = 5

Luego si:A B A B



22/31


rd q re qe

A =oB + rd A =

oB

+ re

donde, rd + re = BEjemplos:

2757Aoo=+=

+==oo11311abc 8

4

ooab19719mnp =+=

a + b = .......

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

I. De las operaciones entre mdulos

* Si un nmero divide a un conjunto denmeros, divide tambin a su suma.

Ejemplos:

o

11

11x4

44

+

Luego:oooonSSn..........nn ==++

* Si un nmero divide a otros 2; divide a sudiferencia.

o7

7x5

53

Luego:ooonDDnn ==

* Ejemplo:

39(5) = 195 = 3(65)

o3

o3

* Ejemplo:

123= 12 x 12 x 12 =o6

3

o

6

=

o6

Luego: Dado n, K+ si A=on AK =

on

Nota: Dado: A =on

B = on

B

A: no siempre resulta en

on

II. Si un nmero A es mltiplo de otro nmeroentero positivo B; A ser mltiplo de tododivisor de B.

Ejemplo:o

1A = A = 18 x 1 = 9 x 2 = 6 x 3 = 3 x 6 = 2x9



23/31


A =oooooo18,9,9,6,3;2

Aplicacin: Que divisores tendr el numeral :abca independientemente de los valores

de a, b y c.

III. Si un entero es mltiplo de comn de variosnmeros, entonces ser mltiplo del menorentero que contiene a dichos mdulos:

Aplicacin: (Ex UNMSM 96) Un nmero queal ser dividido por 5, 6 y 7 da por residuos losnmeros 3, 4 y 0, respectivamente, encuentredicho nmero sabiendo que el doble de la sumade sus cocientes es igual al nmero disminuidoen 2.

Aplicacin: En una reunin deportiva, en ciertoinstante el nmero de personas se encontrabaentre 1500 y 2000. Se sabe que 2/7 de elloshabra llevado polo blanco, 3/8 utilizaban lentes,5/9 eran mujeres, Cuntos varones eran en eseinstante?

Nota: Se cumple.

r)c,b,a(MCMN

rc

rb

ra

N o

o

o

o

=

=

Aplicacin: Un judo cuenta sus monedasagrupndolos de 7 en 7 pero le sobra 6, de 8 en8 y sobran 7; de 9 en 9 y sobran 8. Cuntas

tena el Judo si dicha cantidad oscila entre 5200y 600?

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Si A x B =on y A no posee factores comunes con n

salvo la unidad entonces:

B =on

Ejemplos:

5A =o

3 A =

o

3As mismo se puede aplicar en:

4B =o7 + 1

6C =o9 + 3

3N + 7 = o1

APLICACION AL BINOMIO DE NEWTON DELA TEORA DE LA DIVISIBILIDAD

Ejemplo: 2o

2o

25)25( +=+

2o

2o

35)35( +=

3o

3o

25)25( +=+

3o

3o

35)35( +=

Luego: Dado: {n, a, K } +

1er Caso:

Ko

Ko

an)an( +=+

2do Caso:

paresKsi,an Ko

+

Ko

an

imparesKsi,an Ko

Aplicacin: calcular el resto de dividir:200CIRCULO62 entre 9

Observaciones:

1. abcncnbnanoooo+=

+

+

+

Ejemplo: * 673727oo

+=

+

+

*

811111411211oooo

+=

+



24/31


2.

( )

( ) ( )

n

o

3.n

3

n

o

2.nn

o

.n

bcdnbcdna

cdncdnababcd

dndnabc

+=+

+=+

+=+

2

Ejemplo:

*

5

o

5

o

5

o

321251

212524321A

15

+

+=

+

Aplicacin: En que cifra termina 3728 al expresarloen base 7

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Sea el numeral N = abcdef

Mdulo Criterio

2 N =o2 + f

22 N =o4 + ef

23 def8No+=

5 f5No

+=

52 ,25,00(:ef25No+=

53 def125No+=

9 edcba9No

+++++=

3 edcba3No

+++++=

7 d2e3f17No

+++=

13 d4e3f113No

+=

11 cdef11No

++=

Observacin:Como:

( ) 13x11x7xabc1001abcabcabc ==

=o

o

o

13

11

7

abcabc

EJERCICIOcalcule..............356356N

ifrasc452

=

El resto de dividirlo entre 13.

PROBLEMAS

1. En el sistema de base 5 las 2 ltimas cifras de

657143 son ab. Calcule el resto de dividir a

dicho nmero entre a x b.

Rpta.: ...................................................................

.

2. Al convertir N al sistema de base 8. Cul es lacifra de las unidades sabiendo que:

N = 52n + 94n + 136n + .............. 24131206n n+

Rpta.: ...................................................................

.

3. Calcule el resto de dividir:1x16 + 2x162+3x163 + ........... 100x16100 entre 7

Rpta.: ....................................................................

4. Si al dividir 03ab5a entre 7, la divisin es

exacta y c3aca es un mltiplo de 11.Calcule a+b

Rpta.: ...................................................................

.



25/31


5. Si 129abab y 12bbba9 se divide

entre 11 y 13 respectivamente se obtienen los

residuos mnimo y mximo respectivamente.Calcule el residuo de dividir

)ab2()ba(ba)ba( + entre 9.

Rpta.: ....................................................................

6. Si al dividir c1b1a entre 7 se obtuvo 3 de

residuo. Calcular el residuo obtenido al dividir

62c5b3a entre 7.

Rpta.: ....................................................................

7. Sabiendo que.o13mcdu=

)2mc(3du +=

Calcular los valores que puede tener N =

mcd

Rpta.: ...................................................................

.

8. Cuntos nmeros de la siguiente secuencia:72x40; 72x41; 72x42 ...... 72 x 300

Dan como resto 5 al ser divididos entre 13

Rpta.: ...................................................................

.

9. Si el numeral c726b53a es divisiblepor 8, adems al ser dividirlo entre 11 y 9 los

residuos obtenidos por exceso son 1 y 7

respectivamente. Calcular a + b + c

Rpta.: ...................................................................

.

10. Calcule la suma de cifras de un numeralcomprendido entre 70000 y 80000 que sea igual

a 45 veces el producto de sus cifras.

Rpta.: ...................................................................

.

11. Si se cumple que el numeral

( ) 174....444o

ab

cifras61

+=

Calcular cuantos valores puede tomarab.

Rpta.: ...................................................................

.

12. Una persona en cierta empresa trabaja 8 dasseguidos y descansa el noveno. Si en un

determinado ao el 1er de Enero fue domingo y

la persona empieza a trabajar el lunes 2 deenero, se desea saber cuantos das descans el

domingo durante ese ao.

Rpta.: ...................................................................

.

13. Un vendedor compra la misma cantidad dejuguetes cada semana, la compra por docenas y

recibe 1 de regalo por cada docena, los vende

por medias docenas obsequiando 1 por cadaventa. Cierta semana el vendedor empaqueta los

juguetes para la venta de 8 en 8, sobrando 3.

De cuntas maneras pudo comprar

semanalmente los juguetes, si la cantidad de

juguetes que recibe semanalmente est

comprendida entre 1500 y 7300?

Rpta.: ...................................................................

.

RADICACIN - POTENCIACIN

1. a. Cuntos nmeros de 3 cifras cumplen que

al sumarle su quinceaba parte se obtiene

un cuadrado perfecto?

Rpta:..........................................................



26/31


b. Cuntos divisores tiene a + b si

6abb11 tiene 9 divisores?

Rpta:..........................................................

c. Se sabe que el numeral de la forma

( )( )( ) ( )a2a1a21a2a2 esun cuadrado perfecto. Halle la raz

cuadrada.

Rpta:..........................................................

2. Sabiendo que el nmero 2abcde es uncuadrado perfecto divisible por 42. Cuntos

nmeros de esa forma existen?

Rpta:..........................................................

3. Cuntos nmeros que terminan en 7

comprendidos entre 360 y 45370 cumplen que

al extraer su raz cuadrada se obtienen residuos

mximos?

Rpta:..........................................................

4. Un nmero de 4 cifras en la base 7, al extraerle

la raz cuadrada y cbica se obtienen residuos

mximos. Hallar dicho nmero en la base 3.

Rpta:..........................................................

5. Determinar un nmero par de 4 cifras, cuyaasuma de cifras es 25. Indicar la cantidad de

divisores de dicho nmero sabiendo que es

impar.

Rpta:..........................................................

6. Se desea formar parcelar cuadradas de 50m delado en un terreno cuadrado. Si el terreno

tuviera 150 metros menos por cada lado se

utilizaran 231 parcelas menos. Determinar elrea del terreno.

Rpta:..........................................................

7. Al extraer la raz cuadrada de un nmero, seobtuvo 30 de residuo, pero si se le suma 294

unidades su raz aumenta en 4 y su residuo sehace mximo. Calcular la raz del nmero.

Rpta:..........................................................

8. Calcule a + b, si aab es un cuadrado

perfecto.

Rpta:..........................................................

9. Al extraer la raz cbica a 2ab405 se

obtuvo como residuo ( )b1aa + , calcular a+ b

Rpta:..........................................................

10. Calcular cuntos trminos de la siguiente

sucesin:

12.15, 12.16, 12.17, .... 12.1500son cuadrados perfectos.

Rpta:..........................................................

11. Al extraer la raz cuadrada de un nmero, seobtuvo 77 de residuo, pero si se le suma 162

unidades su raz aumenta en 7 y su residuo se

hace mximo. Calcular la raz del nmero.

Rpta:..........................................................

12. Al extraer la raz cbica de ab se obtieneK de raz y 37 de residuo. Al extraer la raz

cbica de cb . Se obtiene (K + 1) de raz y45 de residuo. Hallar a + b + c.

Rpta:..........................................................

13. Si: 62mnpabc =+ , ab ymn tienen una cantidad impar de divisores.

Hallar : 0mnpabc >

Rpta:..........................................................



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14. Si el numeral de la forma a0ab esmltiplo de un nmero primo absoluto

comprendido entre 30 y 50, tal que la suma de

sus cifras es 7. Calcular el valor del residuo pordefecto al extraer la raz cuadrada de aba ,si a es par.

Rpta:..........................................................

15. Cuntos numerales de 4 cifras cuadradas

perfectos son 27o+ ?

Rpta:..........................................................

16. Diga si es V o F las siguientes afirmaciones:- Un nmero que tiene 2n divisores puede ser

cuadrado perfecto (n 0; n N)- La raz cuadrada del producto de dos

nmeros que difieren en 2 unidades, es el

menor de ellas.

- La suma de los residuos por exceso y por

defecto de una raz cuadrada es igual a la raz

por defecto.- Un cubo perfecto no puede terminar en 75.

- El M.C.M. de tres nmeros consecutivos

puede ser igual al producto de dichos

nmeros.

Rpta:..........................................................

17. En una raz cuadrada inexacta, al residuo porexceso le falta 19 unidades para ser igual al

residuo por defecto y a ste le falta 20 unidadespara ser mximo. Hallar el radicando.

Rpta:..........................................................

18. Al extraer la raz cuadrada a un nmero seobtuvo un residuo menor en 34 unidades al

mximo posible. Si se le resta 78 unidades a

dicho nmero se tendra como raz cuadrada 2

unidades menos que la anterior y un residuo

mximo.

Rpta:..........................................................

19. Hallar el menor nmero sabiendo que la sumade los residuos que se obtiene al extraer la raz

cbica es igual a 397.

Rpta:..........................................................

20. Hallar la suma de las cifras del residuo de la razcuadrada de 5ab4 , sabiendo que esmximo dicho residuo. (a y b son cifras

significativas)

Rpta:..........................................................

21. Cul es el menor nmero que al sumarle su

quinta parte, su tercera parte y su cincosptimos del resto, se obtiene un cuadrado

perfecto par de 4 cifras?

Rpta:..........................................................

22. Calcule el menor nmero impar que deje comoresiduo al menor mltiplo de 7 que tiene 8

divisores tanto al extraer su raz cuadrada como

cbica. De cmo respuesta la cifra de menor

orden.

Rpta:..........................................................

23. Dado un nmero de 4 cifras, significativasconsecutivas y crecientes. Halle la suma de sus

cifras, si despus de permutar las dos primeras

cifras resulta un cuadrado perfecto.

Rpta:

MCM Y MCD

1. Halle la cantidad de divisores que posee

MCM [ ])1b(a,)1a(b + , si:MCD

[ ] a)6b2(b,)3b2(b,)b2(b =++

Rpta: ...............................................................



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2. Si MCM(N,B) = MCM(N,11B), halle

MCM (N,N+59) , si es el menor3 .

Rpta: ...............................................................

3. Si A y B son P.E.SI y:

MCD[2(A2B2),2A]=3

14

adems: MCM [A, (A-B)] =6.

Calcule AxB.

Rpta: ...............................................................

4. Si MCD 32

5n,

3

2n5 =

+

;

calcule cuntos nmeros existen tal que su

MCM es n+1, sabiendo que n es el menor

entero positivo.

Rpta: ...............................................................

5. Si:

( ) 135mnmn,4aboabMCD = ,y

( ) 4)5mnmn,4aboabMCMCalcule: a + b + m + n

Rpta: ...............................................................

6. Calcule la suma de cifras de N, tal que

al dividir 3999;5585 y 6378 entre N dejan el

mismo residuo r.

Rpta: ...............................................................

7. El:

MCM(A,B,C)=1182, el MCD(A,B)=197,

MCD(B,C)=591 y el MCD(A,C)=394. Calcule

A+B+C.

Rpta: ...............................................................

8. Calcule el menor entero que es el MCM

de un total de 4O nmeros no pares, entre loscuales hay mltiplos de 125 pero no de 625.

Rpta: ...............................................................

9. El MCD de 3600 y un nmero es 144 si el

MCM de ellos est comprendido entre 50000 y

60000, calcule la suma de todos los valores que

puede tomar el nmero desconocido.

Rpta: ...............................................................

10. La suma de dos nmeros enteros positivos

es 5760 y tienen 21 divisores comunes.

Cuntas parejas de nmeros cumplen dicha

condicin?

Rpta: ...............................................................

11. El MCD de dos nmeros es 5 y la suma desus cuadrados es 90325, si su diferencia es

menor que 5, halle su MCM.

Rpta: ...............................................................

12. Halle en que cifra termina el MCM de los

nmeros 7862-1 y 7293-1.

Rpta: ...............................................................

13. Si el MCM de

)3c)(2b)(1a(yabc +++ es

1148, calcule el valor de a+b+c.

Rpta: ...............................................................

14. El MCD de un nmero de 2 cifras y el que

resulta de invertir el orden de sus cifras es la

suma de las cifras. Cuntos nmeros cumplen

con esa condicin?.

Rpta: ...............................................................

15. Dos nmeros A y B tienen 16 mltiplos

comunes menores que 10000. si el MCM de A

y B tiene 18 divisores y es divisible entre 34.

Calcule A+B, si se sabe que A y B tienen 9

divisores comunes.

Rpta: ...............................................................



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16. Tres ciclistas A, B y C parten de un

mismo punto de una pista circular de 360m de

circunferencia con velocidades de 60,45 y

40m/s, terminan cuando los tres llegan al mismo

tiempo al punto de partida cuntas veces A

alcanz a C en el transcurso de la carrera?.

Rpta: ...............................................................

17. Al calcular el MCD de cbayabc

(a>c) si obtuvo como cocientes sucesivos b, c y

)C2(b . Calcule a+b+c, si la suma de los

residuos sucesivos es )1C2(bx3 + .

Rpta: ...............................................................

18. Para que un objeto que pesa ms de 2Kg

complete los 10Kg se puede utilizar un nmero

exacto de pesitas de 40 , 50, 60 y

70 gramos. Cul es el peso exacto del objeto?

Rpta: ...............................................................

19. La distancia entre 2 lneas de una vereda

es 1,2m. Si se empieza a caminar pisando una

raya con una velocidad de 3m/s y 0,75m de

longitud de cada paso, cunto tiempo estuvo

caminando.

Rpta: ...............................................................

20. Un comerciante desea distribuir 120 litros

de aceite Capri, 150 de Primor y 180 litros de

Sao entre sus clientes. Cul es el nmero de

litros que le corresponde a cada cliente para que

no sobre aceite y cul es el nmero de clientes?

Rpta: ...............................................................

21. Un terreno en forma rectangular de 952m

de largo y 544 de ancho se le quiere cercar con

un alambre sujeto a postes equidistantes de

modo que disten entre 30 y 40m. Adems debe

haber un poste en cada vrtice y otros en los

puntos medios de los lados del rectngulo.

Cuntos postes se necesitaran?.

Rpta: ...............................................................

22. Determine el menor nmero entero que es

de MCM de 27 nmeros enteros diferentes, que

no sean mltiplos de tres y tengan raz cuadrada

exacta.

Rpta: ...............................................................

FRACCIONES

1. Determine una fraccin equivalente a11/18 sabiendo que si el trmino menor le

sumamos 66; para que el valor de la fraccin nose altere, entonces el otro trmino debe

triplicarse.

2. Cuntas fracciones irreductibles existen dela siguiente forma:

132ab

abf+

=

3. Cuntas fracciones equivalentes a1510

cumplen que la suma de sus trminos es menor

que 500 y el producto de sus trminos es

divisible por 49 y la diferencia de los mismos es

divisible por 5.

4. Calcule: a+b+c+d



30/31


Si:)1a(60a

dbacf+

= ; es equivalente a:

4339

5. Halle las fracciones irreductibles

dcy

ba

cuya suma es 6 y la suma de sus

numeradores es el menor nmero5 que tiene

8 divisores. D cmo respuesta la suma devalores de c, sabiendo que la fraccin

"b

c" es propia.

6. Olga tiene m soles y jugando en eltragamonedas pierde los 3/5 de lo que no pierde,

si luego juega en el bingo y pierde la mitad de

lo que le quedaba; despus juega en el Royal

y recupera la quinta parte de lo que le quedaba;

observando que si gana S/. 40 ms recuperar

todo lo perdido. Halle el valor de m.

7. Un estanque se puede llenar por los caosA, B y C. El cao A puede llenarlo en 4

horas, B en 6 horas y C en 8 horas. Si

estando vaco se abre el primer cao y luego de

120 minutos se abren tambin los otros dos

durante 1 hora, se observa que se rebalsan 7

litros. Halle la capacidad del estanque.

8. Halle las 3 ltimas cifras del perodo que

genera la fraccin734

; d como respuesta la

suma de sus cifras.

9. Cuantas fracciones propias irreductiblescon denominador menor que 60, originan un

decimal peridico mixto con 1 cifra en la parte

no peridica y 2 cifras en la parte peridica.

10. Los dos trminos de una fraccin propiairreductible, tiene por diferencia 10878.

Determine esta fraccin, sabiendo que reducida

a decimal da una peridica mixta que tiene 3

cifras en la parte no peridica y 6 cifras en la

parte peridica. D la suma de cifras del

numerador.

11. Halle (a+b+c+d) si:

cifrasabcdcifrasabcd

7bcd...bb,0aa...aaaa

13 =

12. Si se cumple:

2a)b3(,cbaab=

Halle (a+b+c)

13. Calcule la suma de cifras del numeral que

dividido entre 74 origine el decimal.

)2/1m)(m2)(1m2(,)2/1m( +++

14. Si la fraccin irreductible:

)1n(1)1q(),1p(pqmn +=

Adems: pqy 15 son pesi

Calcule m+n+p+q

15. En qu sistema de numeracin el nmero

0,555...(7) se escribe como 0,919191...


1. Si n Z+ tal que2n

n16n7 2

+

es un

Z+. Calcule la suma de todos los valores de n

si es impar.

Rpta: 17



31/31


2. Cuntos valores puede tomar n si:

n18

es menor que 7/3 y adems es una

fraccin impropia y reductible.

Rpta: 3

3. Si la suma de las fracciones propias

n20;...;

n12;

n11;

n10

es un

nmero entero. Calcule n para obtener la

mayor suma posible.

Rpta: 33

4. Carlos y Renato hacen una bora en 7 das;

Carlos y Alex hacen la misma obra en 5 das y

Renato y Alex hacen la misma obra en 4 das.

En qu tiempo hace la obra Alex solo.

Rpta: da62243

5. De un recipiente lleno de vino se extrae

31

y luego se completa con agua, a

continuacin se extrae sus 7

4y se completa

nuevamente con agua, finalmente de la nueva

mezcla se extrae sus8867

, quedando al final

slo 41 litros de agua. Calcule la capacidad del

recipiente.

Rpta: 44H

6. Si:

422

1...437

1

285

1

165

1

77

1f ++++=

Halle la suma de los trminos de f si es una

fraccin irreductible.

Rpta: 484

7. Al dividir un nmero entre 27; 81 y 2 seobtiene un entero, un decimal peridico puro y

un decimal exacto respectivamente. Despus de

dividir dicho nmero entre 972. Qu decimal

se obtiene si el numero es menor que 972?

Rpta: Un decimal de la forma cab,0

8. Determine el valor de n si:

cba;caab,0275

n+==

Rpta: 207

9. Si la fraccin generatrizab1 genera el

decimal 0,0(a-1)b. Cul es el valor de a+b?

Rpta: 10

10. Calcule: a + b + c

Si: 89177,011

c

7

b

3

a=++

Rpta: 6

Manual de Aritmetica

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