The bad company problem. Edición especial editada por Øystein Linnebo, Synthese,

Volumen 28, Número 3 (Octubre 2009). ISSN: 0039-7857

Øystein Linnebo. Introduction. Pp. 321-329

Gabriel Uzquiano. Bad company generalized. Pp. 331-347

Roy Cook. Hume’s big brother. Pp. 349-369

Øystein Linnebo. Bad company tamed. Pp. 371-391

Matti Eklund. Bad company and neo-Fregean philosophy. Pp. 393-414

Philip Ebert & Stewart Shapiro. The good, the bad and the ugly. Pp. 415-441

JohnMacFarlane. Double vision: two questions about the neo-Fregean program. Pp. 443-

456

BobHale& CrispinWright. Focus restored: Comments on John MacFarlane. Pp. 457-482

Este volumen de la revista Synthese, editado por Øystein Linnebo, reúne 8 artículos,

incluyendo una excelente introducción a cargo del editor, dedicados al problema de la mala

compañía. Este problema afecta de manera directa al proyecto neofregeano, iniciado por

Crispin Wright en Wright (1983) y defendido con fuerza en los artículos reunidos en Hale

& Wright (2001).1

Hale y Wright han sugerido que la aritmética y otras ramas de la matemática pueden

fundarse usando principios de abstracción. Un principio de abstracción (que abreviaré

AP) es un enunciado de la forma:

§(α) = §(β)↔ R(α, β) 2

En el caso de la aritmética, el AP que importa es el Principio de Hume, que establece

que el número de las Fs es idéntico al número de las Gs si y sólo si hay tantas Fs como

Gs. Este principio puede formalizarse (en segundo orden) del siguiente modo:

(HP) ∀F∀G(Nx : Fx = Nx : Gx↔ F ≈ G) 3

El resultado técnico que da sustento al neofregeanismo es lo que hoy se conoce como

Teorema de Frege 4. Este teorema establece que es posible derivar los axiomas de Peano

(o ciertos enunciados definicionalmente equivalentes a ellos) en un sistema lógico de

segundo orden al que se le ha añadido (HP).

1Sugiero que el lector se familiarice con la posición de Hale y Wright antes de embarcarse en la

lectura del volumen. Asimismo, para comprender pormenorizadamente algunos de los resultados

técnicos (y sus pruebas) incluidos en las contribuciones de Uzquiano, Cook y Linnebo, es indis-

pensable tener ciertos conocimientos de teoría de conjuntos y especialmente de la aritmética de los

números cardinales2Donde ‘α’ y ‘β’ son variables que deben sustituirse por entidades de cierto tipo, ‘§’ es una

función unaria que mapea estas entidades sobre objetos, y ‘R’ es una relación de equivalencia (i.e.

una relación reflexiva, transitiva y simétrica) para estas entidades.3‘≈’ es la relación de equinumerosidad (una relación de equivalencia), ‘Nx’ es una función

que toma un concepto/conjunto/propiedad como argumento y entrega un objeto (en realidad, un

numero) como valor, y ‘F’ y ‘G’ son variables de segundo orden4Una prueba del teorema de Frege puede encontrarse en Wright (1983, Capt. 4).

1

2

La tesis filosófica central del neofregeanismo es que (HP), al ser una definición implí-

cita del operador ‘N’, fija adecuadamente su significado y, al hacerlo, pone a cualquier

hablante que comprenda (HP) en condiciones de conocer lo que este principio expresa

de manera a priori. Se da lugar de este modo a una concepción epistemológica apriorista

del conocimiento aritmético.

Ahora bien, para que la fijación del significado de ‘N’ se produzca exitosamente,

el neofregeano debe encontrar una solución al problema de la mala compañía. Este

problema surge porque no todo AP, ni toda definición implícita (que abreviaré DI), es

aceptable. El neofregeano quiere separar principios legítimos, como (HP), de principios

inaceptables (malos acompañantes) como la Ley Básica V:

(Ley V) ∀F∀G(Ext(F) = Ext(G)↔ ∀x(Fx↔ Gx)) 5

Este principio, aún teniendo la misma forma que (HP), es inconsistente. De modo que

no puede ser la mera forma de (HP) lo que le confiere presuntas propiedades semánticas

y epistémicas deseables. Tiene que haber algo más en juego.

Se sigue de esto que una de las condiciones que un AP debe cumplir para ser adecuado

es la consistencia. ¿Pero es la consistencia una condición suficiente para la adecuación de

un AP? Lamentablemente, no. Consideremos el siguiente principio:

(Par) La paridad de F = la paridad de G si y sólo si F y G difieren en un número par de

instancias.

Puede mostrarse que mientras (HP) es satisfacible solamente en dominios infinitos,

(Par) es satisfacible sólo en dominios finitos 6. Luego, a pesar de que tanto (HP) como

(Par) son consistentes, son también incompatibles entre sí.

Para resolver este problema es indispensable considerar otra condición: la conserva-

tividad 7. La conservatividad puede usarse para dejar de lado malos acompañantes no

conservativos como (Par) sin descartar buenos principios como (HP). Sin embargo, al

igual que la consistencia, la conservatividad es sólo una condición necesaria para la ade-

cuación de un AP, no una condición suficiente. Es posible construir pares de principios

conservativos que imponen exigencias distintas e incompatibles a la cardinalidad del

dominio. Considérese el siguiente AP:

∀F∀G(Ext(F) = Ext(G)↔ (φ ∨ ∀x(Fx↔ Gx)))

Puede probarse que si este principio es verdadero, también es verdadera la fórmula

φ. Si suponemos que φ es una afirmación sobre la cardinalidad del universo, es posible

construir dos AP incompatibles. Por ejemplo, podemos estipular en el primero que φ

expresa que el universo es del tamaño de un cardinal sucesor y en el segundo que φ

5‘Ext’ es una función de conceptos a extensiones (i.e. conjuntos).6Para una prueba de lo primero ver Boolos (1990); para una prueba de lo segundo ver Wright

(1999).7Cabe aclarar que H&W dan una definición un tanto anómala de conservatividad. Ver Wright

(1997).

3

expresa que el universo es del tamaño de un cardinal limite (ambas afirmaciones son

expresables por medio de fórmulas puras de segundo orden). Esto quiere decir que hay

pares de principios conservativos que no pueden ser simultáneamente satisfacibles 8.

Una propuesta obvia para remediar este inconveniente es exigir que los APs aceptables

sean irénicos, donde un AP es irénico si y sólo si es conservativo y es simultáneamente

satisfacible con todos los principios conservativos. Otra propuesta relacionada apela a la

idea de estabilidad. Un AP es estable si y solo si hay un cardinal κ tal que el principio es

satisfacible en todos los dominios de cardinalidad γ > κ. En Weir (2003) se prueba que

un AP es estable si y sólo si es irénico. Por lo tanto, podemos concentrarnos solamente

en la estabilidad 9.

Ahora bien, ¿es la estabilidad una condición necesaria y suficiente para la aceptabilidad

de un AP? Pese a que la estabilidad es la solución más popular actualmente, algunas de

las contribuciones de este volumen (especialmente las de Uzquiano y Cook) tienen por

objetivo ofrecer algunos argumentos que ponen esto en duda.

En su artículo “Bad company generalized” Gabriel Uzquiano considera que el proble-

ma de la mala compañía es una dificultad general que afecta no sólo al neofregeanismo

sino a una familia de posiciones en la filosofía de la matemática. En especial, posicio-

nes de corte estructuralista que pretenden explicar cómo la práctica matemática fija las

estructuras que son el objeto de estudio de las teorías matemáticas.

Uzquiano se pregunta si la explicación estructuralista puede darse con éxito en el

caso de la teoría de conjuntos. La idea del estructuralista es que el matemático debería

estar en condiciones de caracterizar de alguna forma la estructura del universo conjun-

tista adecuadamente. Uzquiano parte de un interesante resultado de Van McGee. McGee

ha mostrado que, si admitimos el recurso de la absoluta generalidad, ciertas axiomati-

zaciones de segundo orden impuras (i.e. con urelementos) de la teoría de conjuntos (en

particular, la teoría ZFCSU2 10) pueden usarse para caracterizar la estructura del universo

puro (i.e. sin urelementos) de conjuntos. Ahora bien, el problema que advierte Uzquiano

es que tenemos más de una teoría de conjuntos y no tenemos criterios apropiados para

evaluar cuál es más adecuada. Un ejemplo de esto surge si comparamos ZFCSU2 con

MKSU2 11. ZFCSU2 requiere que el dominio sea del tamaño de un cardinal fuertemente

inaccesible; MKSU2, en cambio, requiere que el dominio sea del tamaño de la potencia

de un cardinal fuertemente inaccesible. Luego, aún cuando ambas teorías sean presun-

tamente consistentes, sabemos no son conjuntamente satisfacibles si tenemos absoluta

8Ver Heck (1992).9En el volumen no se consideran (al menos no con profundidad) otras condiciones disponibles

en el mercado: la “modestia”, Wright (1999), y la “no-inflación”, Fine (2002).10Zermelo-Fraenkel formulada en segundo orden con el axioma de elección, el axioma de urele-

mentos, y un axioma que dice que los urelementos forman un conjunto.11La teoría de clases Morsey-Kelley con urelementos y el axioma de que los urelementos forman

un conjunto.

4

generalidad. Se presenta, entonces, una versión generalizada del problema de la mala

compañía: hay distintas axiomatizaciones conjuntistas en segundo orden que, cuando

dejamos que las variables tomen sus valores de un dominio absolutamente general, nos

comprometen dominios de cardinalidades distintas. Es importante ver, por otra parte,

que la estabilidad es inservible aquí: ni ZFCSU2 ni MKSU2 son estables.

Respecto de la adecuación de la estabilidad como solución al problema local de la

mala compañía (es decir, el problema restringido al neofregeanismo), está claro que, por

el resultado anterior, ningún AP que dé lugar a una teoría tan fuerte como ZFCSU2 es

estable. Uzquiano, en realidad, prueba algo aún más fuerte. Prueba que ningún AP que dé

lugar una teoría tan fuerte como ZFcCU2 12 (que es más débil que ZFCSU2) es estable. Con

todo, Uzquiano observa que la teoría ZCU2 13 es estable. Y esta teoría es relativamente

fuerte. El neologicista puede reconstruir una buena porción de la matemática en ella si

encuentra un AP a partir del cual derivarla.

Sin embargo, aún concediendo esto último, los resultados anteriores, en particular,

que ZFCSU2 y la aún más débil ZFcCU2 no son estables, constituyen un golpe severo

a la idea de que la estabilidad puede funcionar como solución al problema de la mala

compañía generalizado.

Pasemos ahora al trabajo de Roy Cook, “Hume’s big brother: counting concepts and

the bad company objection”. Cook asegura que así como tenemos en el lenguaje natural

enunciados del tipo ‘El numero de gatos es 8’, que formalizamos habitualmente con

Nx : Gx = 8, tenemos también enunciados de la forma ‘el numero de conceptos que

se aplican solamente a a, b, y c es 8’, que normalizaríamos del siguiente modo: NX :

∀y(X(y) → (y = a ∨ y = b ∨ y = c)) = 8. Se ha introducido aquí un nuevo operador

numérico: ‘NX : φ(X)‘. Este operador toma como argumentos conceptos de nivel 2 y

arroja como valores conceptos de nivel 1.

La existencia de este operador implica que además de (HP), es posible construir un

hermano mayor de Hume (HP2). Si (HP) explicaba como es posible contar objetos,

mapeando los conceptos con sus respectivos numeros, (HP2) articula el modo en que

contamos conceptos:

(HP2) ∀F2∀G2(NX : F2(X) = NX : G2(X)↔ F2

≈ G2) 14

Y la cosa no tiene por que terminar ahí. Si podemos contar conceptos de nivel 2, también

podemos contar conceptos de nivel tres, y si podemos contar conceptos de nivel n,

también podemos contar conceptos de nivel n+1. Por ende, es posible construir una

jerarquía (una familia) de Humes. La idea es tener, para cada nivel i, un HPi (expresado

en un lenguaje de nivel i+1):

12Zermelo con urelementos, elección, y el axioma de reemplazo contable.13Zermelo con urelementos y elección, sin el axioma de reemplazo.14Nótese que aquí las variables son de tercer orden (i.e. sus posibles valores son conceptos de

nivel 2).

5

(HPi) ∀Fi∀Gi(NX : Fi(X) = NX : Gi(X)↔ FiGi)

La conjunción de todas las instancias de (HPi) es la familia de Humes (HF): HPi : i ∈ ω 15.

La pregunta central del artículo se plantea recién ahora: ¿son estos principios satis-

facibles y/o conservativos y/o irénicos y/o estables? Cook observa que hay una relación

interesante entre los miembros de (HF) para i>1 y la hipótesis del continuo generalizada

(GCH). Si (HP2) es satisfacible en un cardinal κ, entonces no pueden existir más de κ

cardinales entre κ y 2κ. Es decir, (HP2) es satisfacible en un cardinal κ si y sólo si GCH

no falla “demasiado” en ese cardinal. Si bien Cook muestra que ZFC+GCH implica que

HPi es irénico, para i≥1, el problema es que GCH es independiente de ZFC.

Ahora bien, ¿puede probarse que alguna instancia de (HF) (además de (HP)) es sa-

tisfacible sin apelar a principios dudosos como la hipótesis del continuo generalizada?

En respuesta a esto, Cook presenta dos resultados relevantes y negativos para el neofre-

geano:

Resultado 1: Para todo i >2, ‘HPi es conservativa’ y ‘HPi es satisfacible’, son afirmaciones

independientes de ZFC.

Resultado 2: Para todo i >1, ‘HPi es irénico’ es independiente de ZFC.

Estos resultados nos entregan una nueva versión del problema de la mala compañía

(aunque nótese que sólo el segundo resultado se aplica a (HP2)). El inconveniente no

es ya cuáles son los criterios de aceptabilidad para APs, sino, dados esos criterios, si es

posible saber si un determinado AP los satisface. El resultado de Cook muestra que no.

Una objeción obvia que el neofregeano puede hacer es que ZFC no debe ser la meta-

teoría desde la cual evaluar la adecuación de un AP. Cook se anticipa a esta respuesta

notando (i) que las teorías de conjuntos abstraccionistas de las que disponemos actual-

mente no son suficientemente poderosas y (ii) que al intentar evaluar los APs de estas

teorías desde ellas mismas se cae en un círculo vicioso.

La conclusión de Cook, entonces, es similar a la de Uzquiano: hay buenas razones para

dudar de que la estabilidad sea una condición necesaria y suficiente de la aceptabilidad

de un AP.

El cuatro artículo del volumen es “Bad company tamed” de Øystein Linnebo. En su

contribución —sin dudas la más compleja del volumen— Linnebo adopta un enfoque

teórico muy distinto al de los demás. La idea ya no es encontrar alguna condición

(como la estabilidad) que separe los APs aceptables de los inaceptables, sino evitar la

inconsistencia y demás problemas restringiendo el tipo de conceptos que se admiten

en la lógica subyacente. Es decir, en este enfoque se considera que todos los APs son

aceptables pero se debilita la lógica (por eso Linnebo llama al tipo de teorías que surgen

de su enfoque “abstraction-friendly theories”).

15Cook añade que no hay ninguna motivación filosófica para continuar la jerarquía en niveles

transfinitos.

6

Ahora bien, esta idea no es sencilla de implementar. Si bien se busca debilitar la lógica,

esto debe hacerse sin comprometer las pretensiones fundacionistas del proyecto. La

propuesta de Linnebo está basada en la idea de que la ontología de objetos y conceptos

debe introducirse por medio de un proceso de individuación que consta de etapas y en

el cual se respetan ciertas condiciones (siendo la más importante la “buena fundación”,

esto es, la idea de que al dar las condiciones de identidad de una entidad sólo podemos

presuponer las entidades que ya han sido individuadas en el proceso).

Sería imposible entrar en los detalles técnicos de la propuesta aquí, pero la idea general

es adoptar una lógica modal de tercer orden con axiomas que establezcan los requisitos

que una condición φ(x) debe cumplir para definir un concepto. Linnebo presenta un

complicado conjunto de restricciones sintácticas con el objetivo de identificar aquellas

condiciones a las que podemos asociar conceptos de manera segura. Al hacerlo, no

construye una teoría abstraction-friendly en particular sino que se limita a mencionar

algunas de las características de este tipo de teorías y a mostrar que son compatibles

con la teoría de conjuntos estándar. Para establecer esto último lo que hace es indicar

cómo construir modelos conjuntistas que interpreten este tipo de teorías. El aparato

modelístico se da en términos de lo que Linnebo llama “reportes de individuación”. El

primer teorema que se ofrece prueba que es posible construir una secuencia de reportes

de individuación que tiene asociada un modelo de Kripke. A su vez, este modelo de

Kripke valida los axiomas del tipo de teoría que Linnebo esta construyendo.

Es más, Linnebo muestra que estos modelos validan una gran variedad de axiomas de

comprensión. Esto implica que en el marco abstraction-friendly también es posible cons-

truir teorías suficientemente fuertes como para satisfacer las aspiraciones fundacionistas

del neofregeano (de hecho, el artículo finaliza mostrando cómo es posible construir una

teoría de este tipo para números cardinales).

Con la propuesta de Linnebo finaliza la primera parte —la más técnica— del volumen.

En los restantes artículos (entre los cuales encontramos uno de Hale & Wright, autores

fundacionales de posición neofregeana) se discuten diversas cuestiones filosóficas vin-

culadas al proyecto neologicista y/o al abstraccionismo en general.

Quizás el más relacionado con las propuestas anteriores (al menos con las de Uzquiano

y Cook) sea el de Matti Eklund, “Bad company and neo-Fregean philosophy”. Eklund

considera si ciertas ideas (algunas externas al neofregeanismo) pueden funcionar como

evidencia a favor de dicha posición y, en particular, si son de utilidad para solucionar el

problema de la mala compañía.

Entre las cosas que considera encontramos varias nociones de justificación a priori;

el concepto de prioridad (esto es, la tesis de que la referencia es posterior a la verdad);

y el relativismo (la idea de que la verdad es relativa a un marco conceptual). Eklund

se muestra pesimista. Algunas de las ideas son inútiles para lidiar con el problema de

la mala compañía (las distintas nociones de justificación a priori, la idea de prioridad)

7

mientras que otras son útiles pero suponen un alejamiento sustantivo del neofregeanismo

(el relativismo).

Por último, Eklund se pregunta si algunas de estas ideas pueden ser útiles para

solucionar el problema de la mala compañía bajo la suposición de que tenemos un

conjunto adecuado de criterios “ultraconservativos” (p.e. estabilidad) para identificar los APs

aceptables. Aquí, nuevamente, Eklund es pesimista: ofrece diversas razones para pensar

que ninguna de las ideas consideradas encaja bien con los criterios ultraconservativos.

En su contribución, “The good, the bad and the ugly”, Philip Ebert y Stewart Shapiro

(E&S) encaran el problema de la mala compañía desde una perspectiva epistemológica.

Su pregunta central es la siguiente: suponiendo que las condiciones de adecuación de los

APs (o DIs)16 están dadas (llamemos Cond al conjunto de condiciones), ¿qué tiene que

saber un hablante acerca de estas condiciones para adquirir conocimiento matemático

sobre la base de un AP (o una DI)?

La respuesta dependerá del tipo de posición que se adopte acerca del conocimiento

matemático. E&S consideran varias. En primer lugar, presentan una posición de talante

internista, donde para tener conocimiento de lo expresado por un AP (o una DI) un

hablante debe ser capaz de mostrar que el principio satisface las condiciones que están

en Cond. En segundo lugar, consideran una posición de corte externista, en la cual para

que un hablante tenga conocimiento de lo expresado por un AP, se pide que el principio

satisfaga las condiciones de Cond (sin que importe si el hablante está en condiciones

mostrar que las satisface). En tercer lugar, pasan a una concepción de la justificación por

defecto; aquí la idea es que el hablante tiene conocimiento si no hay razones para pensar

que las condiciones no se satisfacen. En cuarto lugar, evalúan una propuesta reciente de

Wright basada en la noción de autorización (entitlement).

E&S sostienen que ni la posición internista (por conducir al escepticismo), ni la exter-

nista (por trivializar el conocimiento matemático), ni la noción de justificación por defecto

(por basarse en la idea ambigua de “no hay razones para pensar”), ni la propuesta de

Wright (por ser sólo una variante de la anterior) son explicaciones adecuadas del tipo de

conocimiento que el neologicista quiere explicar. (Sugiero que el lector le preste especial

atención a la interesante la objeción de E&S a la posición externista (especialmente en el

truco basado en una técnica de Heck que hace posible adaptar la objeción a APs)17).

Luego de descartar estas propuestas, E&S buscan apartarse del neofregeanismo defen-

diendo una concepción holista del conocimiento matemático en la cual la aceptabilidad

de un AP (o una DI) queda determinada por su capacidad de encajar fluidamente con la

práctica matemática existente. Sostienen, además, que la noción de satisfacibilidad es una

buena candidata para capturar la idea intuitiva de “encajar con la práctica matemática”.

16Aquí se ve que, al igual que Uzquiano, E&S consideran que el problema de la mala compañía

afecta a cualquier tipo de DI, no sólo a APs.17Ver el apéndice del trabajo de Hale y Wright para una respuesta a esta objeción.

8

Por eso, dado que hoy en día la teoría de conjuntos hace las veces de fundamento de

toda la práctica matemática, para determinar si una teoría dada es aceptable, lo que hay

que hacer es construir un modelo conjuntista que la haga verdadera.

Los últimos dos artículos del volumen deben leerse conjuntamente. En el primero

“Doble vision: two questions about the neo-Fregean program”, John MacFarlane hace dos

preguntas vinculadas al proyecto neofregeano de Hale y Wright (H&W); en el segundo,

“Focus restored: Comments on John MacFarlane”, estos autores intentan ofrecer las

correspondientes respuestas (en realidad, hacen bastante más que eso).

La primera pregunta de MacFarlane es si se perdería algo del espíritu fregeano del

proyecto si en lugar de considerar las descripciones definidas numéricas como términos

singulares, las entendiéramos como expresiones cuantificacionales à la Russell. En efecto,

MacFarlane sugiere que, por su estructura sintáctica, en un gran número de contextos las

descripciones definidas se asemejan más a cuantificadores que a términos singulares18.

En relación a esta primera pregunta H&W dicen poco (porque, aclaran, esta objeción

es la menos importante de las dos). Por un lado, señalan que las evidencias ofrecidas

por MacFarlane de la semejanza de las descripciones con los cuantificadores son poco

convincentes. Por otro, aclaran que la cuestión crucial para el neofregeano no es si las

descripciones tal como son empleadas por los hablantes corrientes son mejor consideradas

como cuantificadores o términos singulares. Lo que el neofregeano quiere establecer es

que es posible introducir una clase de expresiones numéricas que puedan servir como

medios canónicos de referencia singular.

Pasemos entonces a la segunda pregunta, vinculada al problema de la mala (en reali-

dad, buena) compañía19. El núcleo de la pregunta (yo diría queja) es que las mismas

razones que nos autorizan a estipular (HP) parecen autorizarnos a estipular también

PA2. Esto es un problema porque el neologicista pretende que el conjunto de condicio-

nes propuesto para separar buenos de malos APs (y/o DIs) no sólo legitime (HP) sino

también descarte, entre otros, a PA2.20

Si bien H&W consideran varias condiciones (consistencia, conservatividad, etc.), acla-

ran explícitamente que le dan un peso especial a lo que llaman “no arrogancia”. La idea es

que una estipulación es arrogante si “no puede ser justificadamente afirmada sin trabajo

colateral a posteriori” (p. 297). La diferencia crucial entre PA2 y (HP) es que, qua defini-

ciones implícitas, PA2 es arrogante porque estipula de manera directa ciertas verdades

sobre números, mientras (HP) evita la arrogancia en virtud de su carácter condicional

(recuérdese que (HP) es un AP y, por ende, es un enunciado bicondicional).

18MacFarlane también observa que las ideas de H&W acerca de los términos singulares los

compromete con el abandono de la lógica clásica y la adopción de una lógica libre. Lamentablemente,

no hay espacio para discutir el punto aquí.19MacFarlane toma como referencia las ideas de Hale & Wright (2000).20Quizás es discutible plantear la discusión en estos términos ya que, por momentos, H&W ni

siquiera consideran la posibilidad de que PA se entienda como una DI.

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H&W presentan varias consideraciones para sustanciar esta afirmación. Aquí solo

mencionaré el que, en mi opinión, es su mejor argumento. La idea es que de la equivalen-

cia entre PA2 y (HP) no se sigue que ambas estipulaciones sean igualmente inocentes.

Para ver esto, supongamos que nos restringimos a una concepción “aristotélica” de las

propiedades (o conceptos), es decir, una concepción donde las propiedades sin instancias

no existen. Esto supone que la lógica que ha de adoptarse es una en la cual los valores

de las variables predicativas no pueden ser propiedades no instanciadas (e.g., x,x no

denota ninguna propiedad). Esta pequeña modificación en la lógica subyacente provoca

que la prueba de infinitud de los números no pueda realizarse en (HP). En cambio, PA2

no se ve afectada. H&W concluyen que lo menos que uno debe inferir de esta disparidad

es que (HP) es una estipulación más inocente que PA2. La estipulación de PA2 es una

estipulación directa de la infinitud de los números naturales, no así (HP).

A propósito de la concepción aristotélica, algunos autores han notado que cualquier

teoría que vaya más allá de una concepción como ésta no puede ser ontológicamente

inocente. Y la teoría defendida por H&W (que se propone como ontológicamente inocen-

te) tiene que ir más allá si se pretende que siga valiendo el Teorema de Frege. Por eso,

H&W defienden, hacia al final del trabajo, una concepción “abundantista” de las propie-

dades, donde se permiten incluso propiedades no instanciadas. El argumento aquí es que

todo lo que se está pidiendo es que la ontología pueda igualar los recursos expresivos

del lenguaje. Esto vendría a mostrar que, a pesar de las apariencias, al pedir abundancia

de propiedades el neofregeano no está permitiendo una estipulación arrogante ni está

perdiendo la reclamada inocencia ontológica. H&W prometen retomar este tema (y otros)

en futuros trabajos.

Quisiera terminar señalando algunas cuestiones importantes que emergen de las dis-

tintas contribuciones y algunos puntos que considero poco claros (no pretendo exhaus-

tividad):

i) El problema de la mala compañía afecta no sólo a la posición neofregeana sino

también a otras posiciones como el formalismo y el estructuralismo.

ii) Se han dado convincentes argumentos para dudar de que la estabilidad sea una

condición suficiente para la aceptabilidad de un AP

iii) No hay buenas perspectivas en lo que respecta a la construcción de una teoría

de conjuntos abstraccionista pues, ¿desde dónde juzgar la adecuación del AP de

la teoría? La respuesta no puede ser “desde ZFC” porque el neologicista tiene

pretensiones fundacionistas y quiere construir toda la matemática partiendo de

AP.

iv) No está claro cuáles son los requisitos que el neofregeano exige para que un hablante

tenga conocimiento de lo expresado por un AP. Las concepciones tradicionales del

conocimiento (internista, externista, conocimiento por defecto) no parecen encajar

bien con en neofregeanismo.

10

v) No está claro cómo es que las condiciones que H&W ofrecen para diferenciar buenos

APs de malos APs (incluso la no arrogancia) son útiles para descartar no sólo

principios defectuosos como (Ley V) sino también DIs rivales de (HP) como PA2.

Estas observaciones parecen sugerir que el problema de la mala compañía sigue ple-

namente vigente.

Bibliografía. .

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Lucas Rosenblatt

Instituto de Filosofía, Facultad de Filosofía y Letras, Universidad de Buenos Aires,

C1406GRS, Buenos Aires, Argentina — G[af]. l_rosenblatt@hotmail.com.

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Ø. Linnebo (editor), The bad company problem. Reseñado por Lucas Rosenblatt . . . xxx