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164. Tokuzo Shiga und Akinobu Shimizu. Infinite-dimensional stochastic differential equa-tions and their applications. J. Math. Kyoto Univ., 20(3):395–416, 1980.

165. Albert N. Shiryaev. Probability, Band 95 aus Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2. Auflage, 1996. Ubersetzung der ersten russischen Ausgabe von1980.

Literatur 681

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173. J. J. Sylvester. Mathematical questions with their solutions. Educ. Times, 41:171–178,1884.

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176. Karoly Tandori. Bemerkung uber die paarweise unabhangigen zufalligen Großen. ActaMath. Hungar., 48(3–4):357–359, 1986.

177. S. R. S. Varadhan. Asymptotic probabilities and differential equations. Comm. PureAppl. Math., 19:261–286, 1966.

178. Peter Walters. An introduction to ergodic theory, Band 79 aus Graduate Texts in Ma-thematics. Springer-Verlag, New York, 1982.

179. G. N. Watson. Three triple integrals. Quart. J. Math., Oxford Ser., 10:266–276, 1939.180. Dirk Werner. Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Heidelberg, 7. Auflage, 2011.181. David Williams. Probability with martingales. Cambridge Mathematical Textbooks.

Cambridge University Press, Cambridge, 1991.182. David Bruce Wilson und James Gary Propp. How to get an exact sample from a generic

Markov chain and sample a random spanning tree from a directed graph, both within thecover time. In Proceedings of the Seventh Annual ACM-SIAM Symposium on DiscreteAlgorithms (Atlanta, GA, 1996), Seiten 448–457, ACM, New York, 1996.

183. Sewall Wright. Evolution in Mendelian populations. Genetics, 16:97–159, 1931.184. A. M. Yaglom. Certain limit theorems of the theory of branching random processes.

Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.), 56:795–798, 1947.185. Toshio Yamada und Shinzo Watanabe. On the uniqueness of solutions of stochastic

differential equations. J. Math. Kyoto Univ., 11:155–167, 1971.186. Kosaku Yosida. Functional analysis. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin,

1995. Nachdruck der sechsten Auflage von 1980.187. Ofer Zeitouni. Random walks in random environment. In Lectures on probability theory

and statistics, Band 1837 aus Lecture Notes in Mathematics, Seiten 189–312. Springer,Berlin, 2004.

Notation

1A Indikatorfunktion der Menge A

2Ω Potenzmenge, 1

#A Kardinalitat der Menge A

Ac Komplement Ω \A der Menge A ⊂ Ω, 1

A ∩B Schnittmenge

A ∪B Vereinigungsmenge

A ⊎B disjunkte Vereinigungsmenge (eigentlich ist hierin eineAussage enthalten)

A ⊂ B A ist (nicht notwendigerweise echte) Teilmenge von B

A \B Differenzmenge

AB symmetrische Differenz zweier Mengen, 31

A×B kartesisches Produkt von A und B

A Teilmenge von 2Ω , typischerweise eine σ-Algebra, 1

A∣∣B

Spur-Mengensystem auf B, 11

A⊗A′ Produkt der σ-Algebren A und A′, 302

B(E) Borel’sche σ-Algebra von E, 9

Berp Bernoulliverteilung, 46

βr,s Beta-Verteilung mit Parametern r und s, 49

bn,p Binomialverteilung, 47, 337

b−r,p negative Binomialverteilung, 48, 337

C(E), Cb(E), Cc(E) Raum der stetigen (beschrankten) Funktionen, bzw. mitkompakten Trager, 272

CqV Funktionen mit stetiger quadratischer Variation, 551

C Menge der komplexen Zahlen, 88

Caua Cauchy Verteilung, 337

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684 Notation

Cov[X,Y ] Kovarianz der Zufallsvariablen X und Y , 114

CPoiν zusammengesetzte Poisson-Verteilung, 369

δx Dirac-Verteilung, 13

E[X ] Erwartungswert der Zufallsvariablen X , 113

E[X ; A] =E[X 1A], 191

E[X |F ] bedingter Erwartungswert, 193

expθ Exponentialverteilung, 49, 337

F = (Ft)t∈I Filtration, 213

f.s, f.u. fast sicher und fast uberall, 33

G(x, y) Greenfunktion einer Markovkette, 409

Γθ,r Gammaverteilung mit Großenparameter θ > 0 undFormparameter r > 0, 49, 337

γp = b−1,p geometrische Verteilung mit Parameter p, 47

ggT(M) großter gemeinsamer Teiler aller m ∈ M ⊂ N, 432

H ·X diskretes stochastisches Integral von H bezuglichX , 221

I Menge der invarianten Verteilungen einer Markovkette,419

i.i.d. independent and identically distributed, 61

Im(z) Imaginarteil von z ∈ C, 327

λ, λn Lebesgue-Maß, n-dimensionales, 27

Lip(E) Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf E, 273

Lp, Lp Lebesgue’sche Raume p-fach integrierbarer Funktionen,102, 163, 164

L(X) Verteilung der Zufallsvariablen X

M(E), Mf (E),M≤1, M1(E)

Menge der (endlichen bzw. (Sub-)W-) Maße auf E, 18,272

Mloc,c Raum der stetigen lokalen Martingale, 554

µ⊗ ν Produkt der Maße µ und ν, 29, 306

µ ∗ ν Faltung der Maße µ und ν, 67, 309

µ⊗n n-faches Produktmaß, 306

µ∗n n-fache Faltungspotenz, 67

µ ≪ ν µ ist absolutstetig bezuglich ν, 176

Notation 685

µ ⊥ ν µ ist singular bezuglich ν, 176

µ ≈ ν µ und ν sind aquivalent, 176

µ ≤st ν µ ist stochastisch kleiner oder gleich ν, 427

N, N0 N = 1, 2, 3, . . ., N0 = N ∪ 0Nµ,σ2 Normalverteilung, 48, 337

dµ/dν Radon-Nikodym-Ableitung, 177

Ω Raum der Elementarereignisse, auf dem P definiert ist

P generisches Wahrscheinlichkeitsmaß

P[A|B],P[A|F ] bedingte Wahrscheinlichkeiten, 190, 193

PX = P X−1 Verteilung der Zufallsvariablen X , 46

Poiλ Poissonverteilung mit Parameter λ ≥ 0, 48, 337

pn(x, y) = p(n)(x, y) n-Schritt-Ubergangswahrscheinlichkeiten einer Markov-kette, 397

PnS,T , Pn

T siehe Seite 551

ϕX charakteristische Funktion der Zufallsvariablen X , 335

ψX Erzeugendenfunktion der Zufallsvariablen X , 85

Q Menge der rationalen Zahlen

R Menge der reellen Zahlen

R = R ∪ −∞,+∞ Zweipunktkompaktifizierung der reellen Zahlen

Re(z) Realteil von z ∈ C, 327

sign(x) = 1(0,∞)(x) − 1(−∞,0)(x), Vorzeichen von x ∈ R, 40

σ( · ) von · erzeugte σ-Algebra oder Filtration, 6, 37, 213

τkx Zeit des k-ten Besuches einer Markovkette in x, 408

T ( · ) terminale σ-Algebra, 69

UA uniforme Verteilung auf A, 13, 35, 337

u.i.v. unabhangig und identisch verteilt, 61

V 1(G), V 2(G) Variation und quadratische Variation von G, 549, 551

Var[X ] Varianz der Zufallsvariablen X , 113

v-lim vager Limes, 278

w-lim schwacher Limes, 278

Xτ in τ gestoppter Prozess, 232

686 Notation

〈X〉 quadratischer Variationsprozess von X , 228, 551, 555,558

f(t) ∼ g(t), t → a : ⇐⇒ limt→a f(t)/g(t) = 1

X ∼ µ Die Zufallsvariable X hat Verteilung µ, 46

x ∨ y, x ∧ y, x+, x− Maximum, Minimum, Positivteil, Negativteil reeller Zah-len, 40

⌊x⌋, ⌈x⌉ Abgerundetes und Aufgerundetes von x, 39

z komplex konjugierte Zahl zu z ∈ C, 327

Z Menge der ganzen Zahlen

D= Gleichheit in Verteilung, 46

D−→n→∞

,n→∞=⇒ Konvergenz der Verteilungen, 281

n→∞=⇒fdd

,n→∞−→fdd

Konvergenz der endlichdimensionalen Verteilungen, 536

stoch−→,f.s.−→,

f.u.−→ stochastische Konvergenz, fast sichere, und fast uberall,148

Glossar englischer Ausdrucke

a.a. = almost all fast allea.e. = almost everywhere fast uberalla.s. = almost surely fast sicherarray (of random variables) Schema von Zufallsvariablenbackward martingale Ruckwartsmartingalbond, edge Kante (eines Graphen)Brownian motion Brown’sche Bewegungcentral limit theorem zentraler Grenzwertsatzcompletion Vervollstandigungcompound Poisson zusammengesetzt Poissonconductivity Leitfahigkeitcontinuous stetigconvolution Faltungdecomposition Zerlegungdensity Dichtederivative Ableitungdistribution Verteilungdominated convergence majorisierte Konvergenzdynamical system Dynamisches Systemexpectation (conditional) Erwartungswert (bedingter)ergodic theorem Ergodensatzevent Ereignisexchangeable austauschbarextension theorem Fortsetzungssatz, Erweiterungssatzflow (electric) Fluss (elektrischer)iff = if and only if dann und nur dann, wenni.i.d. = independent and identicallydistributed

unabhangig und identisch verteilt

increment Zuwachsindistinguishable ununterscheidbarinteger (number) ganze Zahljoint distribution gemeinsame Verteilunglarge deviation große Abweichung

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688 Glossar englischer Ausdrucke

law Verteilunglevel set NiveaumengeMarkov chain Markovkette(strong) Markov property (starke) Markoveigenschaftmap Abbildungmarginal (distribution) Randverteilungmean Mittelwertmeasurable space Messraummeasure Maßmeasure preserving maßerhaltendmixing mischendmodulus (of a number) Absolutbetrag (einer Zahl)modulus of continuity Stetigkeitsmodulnull array asymptotisch vernachlassigbares Sche-

mapartition function Zustandssummep.d.f. = probability distribution function Verteilungsfunktionp.g.f. = probability generating function Erzeugendenfunktionphase transition Phasenubergangpredictable, previsible previsibel, vorhersagbarprobability Wahrscheinlichkeitrandom walk Irrfahrtrandom variable Zufallsvariablerepresentation Darstellungsemigroup Halbgruppeσ-field σ-Algebrasize-biased (sampling) großenverzerrtes Ziehen einer Stichpro-

betight strafftrace Spurtransition kernel Ubergangskernuniform distribution Gleichverteilunguniformly integrable gleichgradig integrierbarurn model Urnenmodell(probability) weight (Wahrscheinlichkeits-)gewichtvertex Punkt/Knoten eines Graphenw.p. = with probability

Namensregister

Banach, Stefan, 1892 (Krakau) – 1945(Lemberg, Ukraine), 171

Bayes, Thomas, 1702 (London) – 1761(Tunbridge Wells, England), 190

Bernoulli, Jakob, 1654 (Basel) – 1705(Basel), 19

Bienayme, Irenee-Jules, 1796 (Paris) – 1878(Paris), 116

Blackwell, David, 1919 (Centralia, Illinois)– 2010 (Berkeley, Kalifornien), 119

Bochner, Salomon, 1899 (Krakau) – 1982(Houston, Texas), 347

Boltzmann, Ludwig, 1844 (Wien) – 1906(Duino bei Triest), 442

Borel, Emile, 1871 (Saint-Affrique,Frankreich) – 1956 (Paris), 9

Brown, Robert, 1773 (Montrose, Scotland)– 1858 (London), 514

Cantelli, Francesco Paolo, 1875 (Palermo) –1966 (Rom), 57

Caratheodory, Constantin, 1873 (Berlin) –1950 (Munchen), 20

Cauchy, Augustin Louis, 1789 (Paris) –1857 (bei Paris), 117

Cesaro, Ernesto, 1859 (Neapel) – 1906(Torre Annunziata, Italien), 70

Chebyshev, Pafnutij Lvovich (Qebyxev,Pafnuti Lьoviq), 1821 (Okata-vo, Russland) – 1894 (Sankt Petersburg),121

Cramer, Harald, 1893 (Stockholm) – 1985(Stockholm), 364

Curie, Pierre, 1859 (Paris) – 1906 (Paris),594

Dieudonne, Jean Alexandre 1906 (Lille,Frankreich) – 1992 (Paris), 328

Dirac, Paul Adrien Maurice, 1902 (Bristol)– 1984 (Tallahassee, Florida), 13

Dirichlet, Lejeune, 1805 (Duren) – 1859(Gottingen), 457

Doob, Joseph Leo, 1910 (Cincinnati, Ohio)– 2004 (Urbana, Illinois), 227

Dynkin, Eugene, 1924 (Petrograd, heuteSankt Petersburg) – 2014 (Ithaca, NewYork), 4

Egorov, Dmitrij Fedorovich(Egorov, Dmitri Fedoroviq),1869 (Moskau) – 1931 (Kasan), 152

Esseen, Carl-Gustav, 1918 (Linkoping,Schweden) – 2001 (Uppsala ?), 361

Euler, Leonard, 1707 (Basel) – 1783 (SanktPetersburg), 56

Fatou, Pierre, 1878 (Lorient, Frankreich) –1929 (Pornichet, Frankreich), 104

Feller, William, 1906 (Zagreb) – 1970 (NewYork), 356

Fischer, Ernst, 1875 (Wien) – 1954 (Koln),171

Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768(Auxerre, Frankreich) – 1830 (Paris),333

Frechet, Maurice Rene, 1878 (Maligny,Frankreich) – 1973 (Paris), 171

Fubini, Guido, 1879 (Venedig) – 1943 (NewYork), 307

Galton, Francis, 1822 (bei Birmingham) –1911 (Grayshott House, England), 91

Gauß, Carl-Friedrich, 1777 (Braunschweig)– 1855 (Gottingen), 48

Gibbs, Josiah Willard, 1839 (New Haven,Connecticut) – 1903 (New Haven,Connecticut), 446

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690 Namensregister

Green, George, 1793 (Nottingham) – 1841(Nottingham), 409

Holder, Otto Ludwig, 1859 (Stuttgart) –1937 (Leipzig), 170

Hahn, Hans, 1879 (Wien) – 1934 (Wien),181

Helly, Eduard, 1884 (Wien) – 1943(Chicago), 290

Hesse, Ludwig Otto, 1814 (Konigsberg,heute Kaliningrad, Russland) – 1874(Munchen), 168

Hewitt, Edwin, 1920 (Everett, Washington)– 1999, 263

Hilbert, David, 1862 (Konigsberg, heute Ka-liningrad, Russland) – 1943 (Gottingen),171

Hopf, Eberhard, 1902 (Salzburg) – 1983,491

Ionescu-Tulcea, Cassius, 1923 (Bukarest,Rumanien), 316

Ising, Ernst, 1900 (Koln) – 1988 (Peoria,Illinois), 442

Ito, Kiyosi, 1915 (Hokusei-cho, Japan) –2008 (Kyoto, Japan), 531

Jensen, Johan Ludwig, 1859 (Nakskov,Danemark) – 1925 (Kopenhagen), 168

Jordan, Camille, 1838 (bei Lyon) – 1922(Paris), 183

Kesten, Harry, 1931 (Duisburg) – 2019(Ithaca, New York), 79

Khinchin, Aleksandr Jakovlevich(Hinqin, Aleksandr kovle-viq) 1894 (Kondrovo, Russland) – 1959(Moskau), 373

Kirchhoff, Gustav Robert, 1824 (Ko-nigsberg) – 1887 (Berlin), 461

Kolmogorov, Andrej Nikolaevich(Kolmogorov, Andre Niko-laeviq), 1903 (Tambow, Russland) –1987 (Moskau), 71

Laplace, Pierre-Simon, 1749 (Beaumont-en-Auge, Normandie) – 1827 (Paris),161

Lebesgue, Henri Leon, 1875 (Beauvais,Oise, Frankreich) – 1941 (Paris), 19

Legendre, Adrien-Marie, 1752 (Paris) –1833 (Paris), 576

Levi, Beppo, 1875 (Turin, Italien) – 1961(Rosario, Santa Fe, Argentinien), 103

Levy, Paul Pierre, 1886 (Paris) – 1971(Paris), 344, 564

Lindeberg, Jarl Waldemar, 1876 – 1932,356

Lipschitz, Rudolph, 1832 (Konigsberg,heute Kaliningrad, Russland) – 1903(Bonn), 273

Lusin, Nikolai Nikolaevich(Lusin, Nikola Nikolaeviq),1883 (Irkutsk, Russland) – 1950(Moskau), 275

Lyapunov, Aleksandr Mikhajlovich(Lpunov Aleksandr Mi-haloviq), 1857 (Jaroslavl, Russland)– 1918 (Odessa), 356

Markov, Andrej Andreevich (Markov,Andre Andreeviq), 1856 (Rya-zan, Russland) – 1922 (Petrograd, heuteSankt Petersburg), 121

Menshov, Dmitrij Evgen’evich(Menxov, Dmitri Ev-genьeviq), 1892 (Moskau) – 1988(Moskau), 137

Minkowski, Hermann, 1864 (Alexotas, heu-te: Kaunas, Litauen) – 1909 (Gottingen),170

Neumann, John von, 1903 (Budapest) –1957 (Washington, D.C.), 177

Nikodym, Otton Marcin, 1889 (Zablotow,Galizien, Ukraine) – 1974 (Utica, NewYork), 177

Ohm, Georg Simon, 1789 (Erlangen) – 1854(Munchen), 461

Ornstein, Leonard Salomon, 1880(Nijmegen) – 1941 (Utrecht), 649

Paley, Raymond E. A. C., 1907 (Bourne-mouth, England) – 1933 (Banff, Alberta),517

Parseval, Marc-Antoine,1755 (Rosieres-aux-Salines, Frankreich)– 1836 (Paris), 526

Namensregister 691

Pascal, Blaise, 1623 (Clermont-Ferrand,Frankreich) – 1662 (Paris), 48

Plancherel, Michel, 1885 (Bussy (Fribourg),Schweiz) – 1967 (Zurich), 334

Poisson, Simeon Denis, 1781 (Pithiviers,Frankreich) – 1840 (bei Paris), 48

Polya, George, 1887 (Budapest) – 1985(Palo Alto), 346

Prohorov, Yurij Vasil’evich (Prohorov,ri Vasilьeviq), 1929, 287

Rademacher, Hans, 1892 (Hamburg-Wandsbek) – 1969 (Haverford,Pennsylvania), 137

Radon, Johann, 1887 (Tetschen, Bohmen) –1956 (Wien), 177

Riemann, Georg Friedrich Bernhard, 1826(Breselenz, Kreis Luchow-Dannenberg)– 1866 (Selasca, Italien), 56

Riesz, Frigyes, 1880 (Gyor, Ungarn) – 1956(Budapest), 171

Saks, Stanislav (Saks, Stanislav),1897 (Kalish, Russland (heute Polen))– 1942 (Warschau, von der Gestapoermordet), 253

Savage, Jimmie Leonard, 1917 (Detroit,Michigan) – 1971 (New Haven,Connecticut), 263

Schwarz, Hermann Amandus, 1843(Hermsdorf, Schlesien) – 1921 (Berlin),117

Skorohod, Anatolii Volodymyrovych(Skorohod, Anatol Volodi-miroviq), 1930 (Nikopo, Ukraine) –2011 (Lansing, Michigan), 427

Slutzky, Evgenij Evgen’evich (Slucki,Evgeni Evgenьeviq), 1880 (No-voe, Gouvernement Jaroslavl, Russland)– 1948 (Moskau), 281

Stieltjes, Thomas Jan, 1856 (Zwolle,Overijssel) – 1894 (Toulouse), 27

Stone, Marshall Harvey, 1903 (New York) –1989 (Madras, Indien), 328

Thomson, William (Lord Kelvin), 1824(Belfast) – 1907 (Largs, Ayrshire,Schottland), 465

Uhlenbeck, George Eugene, 1900 (Batavia,heutiges Jakarta) – 1988 (Boulder,Colorado), 649

Varadhan, S.R. Srinivasa, 1940 (Madras,Indien), 588

Watson, George Neville, 1886 (WestwardHo, England) – 1965 (Leamington Spa,England), 416

Watson, Henry William, 1827 (bei London)– 1903 (bei Coventry), 91

Weierstraß, Karl, 1815 (Ostenfelde,Westfalen) – 1897 (Berlin), 328

Weiss, Pierre-Ernest, 1865 (Mulhouse,Frankreich) – 1940 (Lyon), 591

Wiener, Norbert, 1894 (Columbia, Missouri)– 1964 (Stockholm), 535

Wintner, Aurel Friedrich, 1903 (Budapest) –1958 (Baltimore), 570

Wright, Sewall, 1889 (Melrose, Massa-chusetts) – 1988 (Madison, Wisconsin),399

Yule, George Udny, 1871 (Morham, Schott-land) – 1951 (Cambridge, England),404

Zygmund, Antoni, 1900 (Warschau) – 1992(Chicago), 517

Sachregister

0-1 Gesetze– Blumenthal 517– fur invariante Ereignisse 501– Hewitt-Savage 263– Kolmogorov 71∅-stetig 16

abgeschlossen 8Abschluss 270absolutstetig 176absorbierend 409adaptiert 213additiv 12Algebra 3, 328Anziehungsbereich einer Verteilung 385aperiodisch 432Approximationssatz fur Maße 31aquivalente Maße 176aquivalentes Martingalmaß 225Arbitrage 225Arkussinus-Gesetz 522asymptotisch vernachlassigbar 356Aufkreuzung 242außeres Maß 23austauschbar 255austauschbare σ-Algebra 258Auswertungsabbildung 534Azuma’sche Ungleichung 220

Banachraum 171Bayes’sche Formel 190, 199bedingte– Erwartung 193– Unabhangigkeit 264– Verteilung 202– Wahrscheinlichkeit 190, 193Benford’sches Gesetz 495Bernoulli-Maß 31

Bernoulli-Verteilung 46Bernstein-Chernov Abschatzung 124Bernstein-Polynom 123Berry-Esseen, Satz von 361beschrankt in Lp 155Bessel-Prozess 658Beta-Verteilung 49, 267, 352, 610– Momente 120Bienayme-Gleichung 116Bildmaß 43binar aufspaltender stochastischer Prozess

223binares Modell 223Binomialverteilung 47Black-Scholes Formel 226Black-Scholes Modell 650Blackwell-Girshick 119Blumenthal’sches 0-1 Gesetz 517Bochner 347Boltzmann-Verteilung 442, 591Borel-Cantelli Lemma 57– bedingte Version 251Borel-Maß 271Borel’scher Raum 206Borel’sche σ-Algebra 9Borel’sches Paradoxon 208Box-Muller Methode 68Brownian sheet 516Brown’sche Bewegung 323, 514– Existenzsatz 514– kanonische 535– Karhunen-Loeve Darstellung 531– Levy Charakterisierung 635– Paley-Wiener Darstellung 531– Reflexionsprinzip 521– Skalierungseigenschaft 516– starke Markoveigenschaft 520

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694 Sachregister

Brown’sche Brucke 516, 532, 533, 542,656

Brown’sches Blatt 516, 533

cadlag 523Call 224Caratheodory 20Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung 117– bedingte 200Cauchy-Verteilung 49, 337, 642Cesaro-Limes 70CFW 367Chapman-Kolmogorov’sche Gleichung

321, 397charakteristische Funktion 331, 597– Inversionsformel 333Chebyshev Polynom 452Chebyshev’sche Ungleichung 121Chernov Abschatzung siehe Bernstein-

Chernov AbschatzungChina-Restaurant Prozess 615Cholesky-Faktorisierung 365Chung-Fuchs, Satz von 416, 497Claim 224Continuous Mapping Theorem 283Cox-Ingersoll-Ross Modell 654Cox-Ross-Rubinstein’sches Modell 226Cramer-Lundberg’sche Ungleichung 236Cramer-Transformierte 577Cramer-Wold Device 364Curie-Temperatur 443, 594Curie-Weiss’sches Gesetz 594

detaillierte Balance 459Diagonalfolgenargument 290dicht 270Dichte 14, 28, 49, 63, 101, 175Dichtetransformationsformel– mehrdimensional 44Differentiationslemma 160Diffusionsprozess 630Dirac-Maß 13Dirichlet-Problem 640– diskretes 457Dirichlet’sches Prinzip 465Dirichlet-Verteilung 610domain of attraction 385Donsker, Satz von 540Doob’sche Regularisierung 523

Doob’sche Ungleichung 240Doob-Zerlegung 227doppelpunktfrei 599Dreireihensatz 360Drift 630Dualitat 664Dualraum 186dynamisches System 488Dynkin-System 4

einfache Irrfahrt 460Einheitsmasse 13Einschluss- Ausschlussformel 16Einschrankung 11Eintrittszeit 408elektrischer Fluss 461Elementarfunktion 42empirische Verteilung 266empirische Verteilungsfunktion 129Entropie 130, 131, 584– eines dynamischen Systems 503, 505– Kolmogorov-Sinai 505– relative 584Ereignis 18, 45– invariantes 80Ergodensatz– Individueller (Birkhoff) 492– Statistischer (von Neumann) 493ergodisch 488Erwartungswert 113Erzeugendenfunktion 85Erzeuger 6erzeugte σ-Algebra 6, 36Etemadi– Ungleichung von 138Euler’sche Primzahlformel 56Explosion 403Exponentialverteilung 49

f.a. siehe fast alleFaktorisierungslemma 42Falle 456Faltung– Dichten 309– diskrete Verteilungen 66– Maße auf Rn 67, 309Faltungshalbgruppe 324Farbungssatz 608fast alle 33

Sachregister 695

fast sicher 33fast uberall 33Fatou, Lemma von 104Feinheit 551Feller-Eigenschaft 524– starke 662Feller-Prozess 525Feller’sche Halbgruppe 524Feller’sche Verzweigungsdiffusion 546,

654, 667Filtration 213– rechtsstetige 523– ubliche Bedingungen 523de Finetti, Satz von 264, 297Fischer-Riesz, Satz von 171Fluchtwahrscheinlichkeit 468Fluss 461Fortsetzungssatz fur Maße 20, 25Fourier-Inversionsformel 333Fourier-Reihen 175Frechet-Shohat, Satz von 353freie Energie 591Frobenius Problem 433f.s. siehe fast sicherf.u. siehe fast uberallFubini, Satz von 307– fur Ito-Integrale 640– fur Ubergangskerne 313funktionaler zentraler Grenzwertsatz 539

Galton-Watson-Prozess 92– Reskalierung 543Gambler’s Ruin 234, 450Gamma-Verteilung 49– Levy-Maß 374– Subordinator 611Gedachtnislosigkeit der Exponentialvertei-

lung 192GEM-Verteilung 613, 615gemeinsame Dichte 63gemeinsame Verteilung 63gemeinsame Verteilungsfunktion 63Generator 401geometrische Brown’sche Bewegung 650geometrische Verteilung 47Gesetz der großen Zahl– Konvergenzraten 134– schwaches 121– starkes 121, 126, 262

gestoppter Prozess 232Gewichtsfunktion 13Gibbs-Sampler 446gitterverteilt 343gleichgradig gleichmaßig stetig 343gleichgradig integrierbar 153Gleichverteilung 13, 35gleitendes Mittel 213, 488großenverzerrte Verteilung 296Graph 73Greenfunktion 409, 457– Tabelle 417Gronwall Lemma 651große Abweichungen 575

Haar-Funktionen 528Hahn’scher Zerlegungssatz 181Halbring 3halbstetig von unten 579haploid 399harmonische Funktion 419, 456harmonisches Maß 641Hartman-Wintner, Satz von 570Hauptsatz der Differential- und Integral-

rechnung 276heat bath algorithm 446Hedge 225Helly, Satz von 290Helmholtz-Potential 591Hilbertraum 172Hilbert-Schmidt Norm 650Hilbert-Schmidt Operator 315Holder’sche Ungleichung 170Holder-stetig 508Hopf 491Hoppe Urne 615hypergeometrische Verteilung 48

identisch verteilt 46i.i.d. siehe u.i.v.Indikatorfunktion 5Inhalt 12Inneres 270integrierbar 98Integral 95, 96, 98, 99– Lebesgue 101, 107– Riemann 107– stochastisches 531, 532integrierbar 113

696 Sachregister

– quadrat 113– stochastischer Prozess 212Intensitatsmaß 596invariantes Ereignis 488Invarianzprinzip von Donsker 540inverse Temperatur 591Inversionsformel 333Irrfahrt 390– auf einem Graphen 460– Greenfunktion (Tabelle) 417– in zufalliger Umgebung 484– Range 496– Rekurrenz 412– Satz von Chung-Fuchs 497– Satz von Polya 412– symmetrische 212Ising-Modell 442, 446Iterierter Logarithmus– Brown’sche Bewegung 561– Hartman-Wintner 570Ito-Formel 633– diskrete 230– mehrdimensionale 639– pfadweise 633Ito-Integral 623– Produktregel 638– Satz von Fubini 640Ito-Prozess 630

Jensen’sche Ungleichung 168, 198Jordan, Satz von 183

kanonische Brown’sche Bewegung 535kanonischer Prozess 303kanonisches Maß 373, 375, 606Kantenperkolation 73, 455Karhunen-Loeve Darstellung der

Brown’schen Bewegung 531Kaufoption 224Kelvin siehe ThomsonKesten-Stigum, Satz von 253Khinchin’sches Gesetz vom iterierten

Logarithmus 570Kirchhoff’sches Gesetz 461Kolmogorov-Chentsov, Satz von 510Kolmogorov-Sinai Entropie 505Kolmogorov-Sinai, Satz von 505Kolmogorov’sche Ungleichung 135Kolmogorov’scher Dreireihensatz 360

Kolmogorov’scher Erweiterungssatz 319Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 71Kolmogorov’sches Kriterium fur schwache

Relativkompaktheit 538Kolmogorov-Smirnov Test 542komplementstabil 1konkave Funktion 166Kontraktionsprinzip 587Konvergenz– dem Maße nach 148– fast sichere 148– fast uberall 148– im Mittel 150– im p-ten Mittel 164– in Verteilung 281– majorisierte 158– schnelle 150– schwache 89, 277– stochastische 148– vage 277– von Verteilungsfunktionen 282konvexe Funktion 166konvexe Menge 165Koordinatenabbildung 302Kopplung 76, 426Kopplung aus der Vergangenheit 448korreliert 114Kovarianz 114Kovarianzfunktion 515Kullback-Leibler Information 584

Ladungsverteilung 181λ-System siehe Dynkin-Systemlangsam variierend 386Laplace-Operator 637Laplace-Raum 13Laplace-Transformierte 161, 331, 544,

597– Stetigkeitssatz 348Large Deviations siehe Prinzip großer

AbweichungenLDP siehe Prinzip großer AbweichungenLebesgue-Borel-Maß siehe Lebesgue-

MaßLebesgue-Integral 101Lebesgue-Maß 27, 34Lebesgue’scher Konvergenzsatz 158Lebesgue’scher Zerlegungssatz 177Lebesgue-Stieltjes Integral 550

Sachregister 697

Lebesgue-Stieltjes-Maß 28Legendre-Transformierte 576Leistung (elektrisches Netzwerk) 465Leitfahigkeit 461Levy-Abstand 285Levy-Khinchin Formel 373, 376– fur zufallige Maße 606Levy-Konstruktion der Brown’schen

Bewegung 528Levy-Maß 373, 376– allgemeine stabile Verteilung 382– Cauchy-Verteilung 380– Gamma-Verteilung 374– symmetrische stabile Verteilung 381Levy’scher Stetigkeitsmodul 564Levy’scher Stetigkeitssatz 345Limes inferior 5Lindeberg-Bedingung 356Lindvall, Satz von 548Lipschitz-stetig 273logarithmische momentenerzeugende

Funktion 576Log-Normalverteilung 330lokal beschrankt 221lokal endlich 271lokales Martingal 553lokalisierende Folge 554lokalkompakt 270Lokalzeit 229Lp-beschrankt 155Lusin 275Lusin, Satz von 45LV 181Lyapunov-Bedingung 356

Markoveigenschaft– elementare 389– schwache 390– starke 394Markovkern 201Markovkette 390– aperiodische 432– diskrete 396– invariante Verteilung 419– invariantes Maß 419– irreduzibel 411– Konvergenzgeschwindigkeit 448– Konvergenzsatz 439– Kopplung 435

– Monte Carlo Methode 441– nullrekurrent 409– Periode eines Punktes 432– positiv rekurrent 409– rekurrent 409– reversible 459– schwach irreduzibel 411– transient 409– unabhangiges Verschmelzen 435Markovprozess 390Markov’sche Halbgruppe 320Markov’sche Ungleichung 121– bedingte 200Martingal 217– Konvergenzsatz (L1) 244– Konvergenzsatz (Lp) 245– Konvergenzsatz (f.s.) 243– Konvergenzsatz (ruckwarts) 261– Konvergenzsatze (RCLL) 525– lokales 553– quadratische Variation 228– Ruckwarts- 260Martingaldarstellungssatz 636Martingalproblem 659– diskretes 400– gut gestelltes 661Martingaltransformierte 221Maß 12– außeres 23– Bernoulli 31– Borel 271– doppelpunktfrei 599– Einschrankung 34– harmonisches 641– invariantes 419– Lebesgue 27– lokal endliches 271– Produkt- 31, 319– Radon 272– regulares 271– σ-endliches 13– signiertes 181– stationares 419– Wahrscheinlichkeits- 13Maßraum 18maßtreue Abbildung 488Maximal-Ergodenlemma 491MCMC 441

698 Sachregister

mean field 591mehrstufiges Binomialmodell 226Mellin-Transformierte 334messbar– Abbildung 36– Borel 9– Lebesgue 34– µ– 24– Menge 18Messraum 18– Isomorphie 205Metrik– auf C([0,∞)) 534– Levy 285– Prohorov 278– stochastische Konvergenz 149– vollstandige 270– Wasserstein 426metrisierbar 270Metropolis-Algorithmus 442Minkowski’sche Ungleichung 170mischend 500Modifikation 507Momente 113– absolute 113Momentenproblem 350monoton 12Monotonieprinzip von Rayleigh 465Monte Carlo Simulation 128Moran-Gamma-Subordinator 611Moran-Modell 400de Morgan’sche Regeln 2moving average 488Multinomialkoeffizient 68Multinomialverteilung 68

negative Binomialverteilung 48, 87– stochastische Ordnung 610Niveaumenge 579Normalverteilung 48– mehrdimensionale 49, 363Nullmenge 33nullrekurrent 409

offen 8Ohm’sches Gesetz 461Optional Sampling Theorem 231, 236– stetige Zeit 513Optional Stopping Theorem 233

– stetige Zeit 513Ornstein-Uhlenbeck Prozess 649orthogonale Polynome 453orthogonales Komplement 172

Paley Wiener Darstellung der Brown’schenBewegung 531

Paley-Zygmund Ungleichung 120Parseval’sche Gleichung 526partiell stetig 344Partitionsfunktion 442, 591Pascal-Verteilung 48perfekte Simulation 447Periode 432Perkolation 73, 455Petersburger Spiel 104, 214, 222Pfad 509pfadweise eindeutig 659Phasenubergang 443, 593π-System siehe schnittstabilPlancherel’sche Gleichung 334Poisson-Approximation 90Poisson-Dirichlet-Verteilung 612, 615Poissonprozess 140, 391Poisson’sche Summationsformel 523Poisson’scher Punktprozess 597Poisson-Verteilung 48– zusammengesetzte 369polare Menge 645Polarisationsformel 552polnischer Raum 206, 271Polya, Satz von 346, 412Polya’sches Urnenmodell 267, 319, 610– verallgemeinertes 405, 407Portemanteau-Theorem 280positiv rekurrent 409positiv semidefinit 347Prafixcode 130Pramaß 12previsibel 213, 622Prinzip großer Abweichungen 579Produktmaß 29, 31, 306, 317, 319produktmessbar 622Produktraum 302Produkt-σ-Algebra 302Produkttopologie 302progressiv messbar 622Prohorov 287Prohorov-Metrik 278, 440

Sachregister 699

projektive Familie 317projektiver Limes 319Propp-Wilson Algorithmus 447Punkte trennend 328Punktperkolation 73

Q-Q-Plot 361Q-Matrix 401Quader 10quadratintegrierbar 113quadratische Variation 551quadratischer Kovariationsprozess 558quadratischer Variationsprozess 228, 555Quellenkodierungssatz 132

Radon-Maß 272Radon-Nikodym-Ableitung 177Rand 270random walk in random environment 484Ratenfunktion 574, 579Rayleigh’sches Monotonieprinzip 465RCLL 523Rechteckzylinder 304Reflexionsprinzip 395– Brown’sche Bewegung 521regulare Version der bedingten Verteilung

202Regularitat von Maßen 33, 271, 272Rejection Sampling 208rekurrent 409relativ kompakt 270replizierbar 225reversibel 441, 459Riemann-Integral 107Riemann’sche Zetafunktion 56Ring 3risikoneutral 225Ruckwartsmartingal 260

Satz– Approximation von Maßen 31– Arzela-Ascoli 537– Beppo Levi 103– Berry-Esseen 361– Bochner 347– Borel-Cantelli Lemma 57– – bedingte Version 251– Caratheodory 20, 25– Choquet-Deny 438

– Chung-Fuchs 416, 497– Continuous Mapping Theorem 283– Cramer 575, 582– Donsker 540– Dreireihen 360– Egorov 152– Etemadi 126– Fatou’sches Lemma 104– de Finetti 264, 297– Fischer-Riesz 171– Fortsetzung zu Maßen 20, 25– Frechet-Shohat 353– Fubini 307– Fubini fur Ito-Integrale 640– Fubini fur Ubergangskerne 313– Glivenko-Cantelli 129– große Abweichungen 575– Hahn’scher Zerlegungssatz 181– Hartman-Wintner 570– Hauptsatz der Differential- und

Integralrechnung 276– Helly 290– Hewitt-Savage 263– Ionescu-Tulcea 316– iterierter Logarithmus 562, 570– Jordan’scher Zerlegungssatz 183– Kantorovich-Rubinstein 426– Kesten-Stigum 253– Kolmogorov-Chentsov 510– Kolmogorov-Sinai 505– Kolmogorov’sche Ungleichung 135– Kolmogorov’scher Dreireihensatz 360– Kolmogorov’scher Erweiterungssatz

319– Kolmogorov’sches Kriterium fur

schwache Relativkompaktheit 538– Lebesgue’scher Zerlegungssatz 177– Levy-Khinchin 373, 376– Levy’scher Stetigkeitssatz 345– Lindeberg-Feller 357– Lindvall 548– Lusin 45, 275– majorisierte Konvergenz 158– Martingalsdarstellung 636– monotone Konvergenz 103– Optional Sampling 231, 236– Optional Sampling, stetige Zeit 513– Optional Stopping 233

700 Sachregister

– Optional Stopping, stetige Zeit 513– Paley-Wiener-Zygmund 517– π–λ 7– Poisson-Approximation 90– Polya 346, 412– Portemanteau 280– Prohorov 287– Quellenkodierungssatz 132– Rademacher–Menshov 137– Radon-Nikodym 177, 249– Rayleigh’sches Monotonieprinzip 465– regulare bedingte Verteilungen 202,

206– Renyi 600– Sanov 585– Shannon 130– Skorohod Kopplung 427– Skorohod’sche Einbettung 564– Slutzky 281– Solomon 484– Stetigkeitssatz fur Laplace-Transformierte

348– Stetigkeitssatz von Levy 345– Stone-Weierstraß 328– Strassen 427– Stroock-Varadhan 662– Thomson’sches Prinzip 465– Varadhan’sches Lemma 588– Yamada-Watanabe 654– zentraler Grenzwertsatz 355Schauderfunktionen 528Schema von Zufallsvariablen 355schnittstabil 1schwache Konvergenz 278schwache Losung 656schwache Topologie 278SDGL siehe stochastische Differential-

gleichungSemiring 3separabel 270Shannon 130Shift 490σ-additiv 12σ-Algebra 1– austauschbare 258– der τ -Vergangenheit 215– invariante 488– Produkt- 302

– terminale 69, 258σ-kompakt 270σ-Ring 3σ-subadditiv 12signiertes Maß 181singular 176Skalarprodukt 171Skorohod Kopplung 427Skorohod’scher Einbettungssatz 564Slutzky, Satz von 281Spannung 461Spektrallucke 449Spiegelungsprinzip 395Spielstrategie 221Spin 442Spur 11stabile Verteilung 346, 381, 382– im weiteren Sinne 381Standardabweichung 113starke Losung 648starke Markoveigenschaft 394stationar 487stetig von oben/ unten 16Stetigkeitslemma 160Stetigkeitsmodul, Levy’scher 564Stetigkeitssatz, Levy’scher 345Stetigkeitssatz, Laplace-Transformierte

348Stirling’sche Formel 350, 575stochastisch großer 427Stochastische Differentialgleichung– pfadweise Eindeutigkeit 659– schwache Losung 656– starke Losung unter Lipschitz-

Bedingungen 651– starke Losung 648stochastische Differentialgleichung 647stochastische Kerne– Produkt 311stochastische Matrix 397stochastische Ordnung 427– negative Binomialverteilung 610– unbegrenzt teilbare Verteilungen 604stochastischer Kern 201– Halbgruppe 320– konsistente Familie 320– Verkettung 312stochastischer Prozess 211

Sachregister 701

– adaptiert 213– binar aufspaltender 223– Dualitat 664– Explosion 403– Galton-Watson 92, 252– Gauß’scher 212, 515– gestoppter 232– integrierbarer 212– Markoveigenschaft 389– Modifikation 507– Pfad 509– Poisson 391– previsibler 213, 622– produktmessbarer 622– progressiv messbarer 622– starke Markoveigenschaft 394– stationarer 212– stationare Zuwachse 212– unabhangige Zuwachse 212– ununterscheidbar 507– Version 507– vorhersagbarer 213, 622stochastisches Integral 531, 532– diskretes 221Stone-Weierstraß, Satz von 328Stoppzeit 214straff 287Strassen, Satz von 427Stratonovich-Integral 640Streuung 113Stromstarke 461Student’sche t-Verteilung 368Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße 272subadditiv 12– Folge 506subharmonisch 419Submartingal 217Subordinator 605Supermartingal 217symmetrische Differenz 31symmetrische einfache Irrfahrt 212

tail σ-field siehe terminale σ-Algebraterminale σ-Algebra 69, 258Thomson’sches Prinzip 465Topologie 8– schwache 278– vage 279topologischer Raum 8

total beschrankt 271totale Wahrscheinlichkeit 190totalstetig 179Totalvariationsnorm 183Transformationsformel 44transient 409translationsinvariant 398trennende Familie 274Treppenfunktion 106Tschebyscheff siehe ChebyshevTurmeigenschaft 194t-Verteilung 368

Ubergangskern 201Ubergangsmatrix 396Ubergangswahrscheinlichkeiten 390ubliche Bedingungen 523u.i.v. 61unabhangige Inkremente siehe un-

abhangige Zuwachseunabhangige Kopie 426unabhangige Zuwachse 597Unabhangigkeit– bedingte 264– von Ereignissen 55– von Mengensystemen 59– von Zufallsvariablen 61unbegrenzt teilbar 367– zufalliges Maß 605unbegrenzt teilbare Verteilung– stochastische Ordnung 604Ungleichung– Azuma 220– Bernstein-Chernov 124– Cauchy-Schwarz 117– Chebyshev 121– Chernov siehe Bernstein-Chernov– Doob 240– Etemadi 138– Holder 170– Jensen 168– Kolmogorov 135– Markov siehe Chebyshev– Minkowski 170– Young 170uniforme Verteilung 35unkorreliert 114Unstetigkeitsstellen 11ununterscheidbar 507

702 Sachregister

vage Konvergenz 278vage Topologie 279Varadhan’sches Lemma 588Varianz 113Variation 549– p - 551– quadratische 551Verkettung von Kernen 312Version 507Verteilung 46– Anziehungsbereich 385– Bernoulli 46– Beta 49, 267, 352, 610– binomial 47– Boltzmann 442– Cauchy 49, 337, 642– compound Poisson 369– Exponential- 49– Gamma 49, 352– GEM 613, 615– geometrische 47– hypergeometrische 48– negativ binomial 48, 87– Normal 48– Pascal 48, 87– Poisson 48– Poisson-Dirichlet 610, 612, 615– stabile 381, 382– t- 368– uniforme 13, 35– zusammengesetzt Poisson 369– zweiseitig exponential 337Verteilungsfunktion 22, 28– einer Zufallsvariablen 46– empirische 129Vervollstandigung 34Verwerfungsmethode 208Verzweigungsprozess 92, 252

Vitali-Menge 9vollstandig 34, 270vorhersagbar 213, 622voter model siehe Wahlermodell

Wahlermodell 247Wahrscheinlichkeitsmaß 13Wahrscheinlichkeitsraum 18Wahrscheinlichkeitsvektor 13Wald’sche Identitat 115Wasserstein Metrik 426Watson Integral 416Weierstraß’scher Approximationssatz 123weißes Rauschen 531Weiss’scher Ferromagnet 591Widerstand 461Wiener-Prozess 535W-Maß siehe WahrscheinlichkeitsmaßWright’sches Evolutionsmodell 399Wright-Fisher Diffusion 665– wechselwirkende 668

Young’sche Ungleichung 170Yule-Prozess 404

Zahlmaß 14zentraler Grenzwertsatz 355– Berry-Esseen 361– Lindeberg-Feller 357– mehrdimensional 364zentriert 113Zerlegungsfolge, zulassige 551zufalliges Maß 596Zufallsvariable 45zulassige Zerlegungsfolge 551zusammengesetzte Poissonverteilung 369Zustandssumme 442, 591Zweistufenexperiment 301Zylindermenge 19, 304

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