LIBRO FINAL ad Entre Ver6

5/13/2018 LIBRO FINAL ad Entre Ver6 - slidepdf.com

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29 de junio de 2009

i



Índice general

OBJETIVOS V

0.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

0.2. Especí…cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

RESUMEN VI

INTRODUCCIÓN VII

1. PRELIMINARES 1

1.1. Preliminares Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Preliminares De Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Preliminares De Robotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV 9

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Estabilidad En El Sentido De Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Método Directo De Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. CÁLCULO DEL MODELO DINÁMICO DE UN BRAZO MANIP-

ULADOR. 163.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Modelos Dinámicos De Un Brazo Manipulador De 2 y 3 Grados DeLibertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Propiedades Del Modelo Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ii



4. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV 30

4.1. El Problema De Control De Manipuladores . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Análisis De Estabilidad Utilizando El Segundo Método De Lyapuanov . 32

5. DIAGRAMAS EN SIMULINK 42

5.1. ¿Que Es Simulink? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. RELACIÓN DEL TRABAJO CON LOS ESTANDARES DE LA ED-

UCACIÓN 51

7. CONCLUSIONES 55

BIBLIOGRAFIA 57

iii



Índice de …guras

1.1. Manipulador de 3 g.d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1. Alexander M. Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Estabilidad Asintotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Inestabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Brazo manipulador de 3 grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Interpretación geométrica del método de Lyapunov. . . . . . . . . . . . 39

5.1. Libreria de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Generador de ondas seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3. Diagrama de bloques para un manipulador de 1g.d.l. . . . . . . . . . 455.4. Error de posición de un manipulador de 1g.d.l. . . . . . . . . . . . . . 45

5.5. Velocidad de un manipulador de 1g.d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6. Diagrama de Bloques de un manipulador de 2g.d.l. . . . . . . . . . . 48

5.7. Subsistema de un manipulador de 2g.d.l. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.8. MATLAB Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.9. Error de posición eslabón 1 (amarillo) y eslabón 2 (violeta). . . . . . . 50

5.10. Velocidad eslabón 1 (amarillo), velocidad eslabón 2 (violeta). . . . . . . 50

iv



OBJETIVOS

0.1. General

Utilizar el segundo método de Lyapunov para determinar la estabilidad del modelo

dinámico de un brazo manipulador de 3 grados de libertad con condiciones establecidas.

0.2. Especí…cos

Reconocer los principales conceptos matemáticos y leyes físicas que son utilizadas

en la construcción del modelo dinámico de un brazo manipulador.

Estudiar la teoría de estabilidad de Lyapunov.

Reconstruir el modelo dinámico de un brazo manipulador de 3 grados de libertad

descrito por ecuaciones diferenciales y las leyes de la mecánica Lagrangiana

Aplicar el segundo método de Lyapunov al sistema de ecuaciones diferenciales

obtenidas en el modelo dinámico para determinar su estabilidad.

Utilizar y sugerir herramientas computacionales para resolver y analizar la es-

tabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales obtenidas en el modelo

dinámico.

Realizar una recolección de los temas tratados en el trabajo para relacionarlos

con los estándares de la educación media.

Redactar un texto donde compile la teoría estudiada y los resultados.

v



RESUMEN

En este documento se encontrara una aplicación de la teoría de estabilidad de Lya-

punov más especí…camente el segundo método o método directo, el motivo que noslleva a utilizar el segundo método es el hecho que este no requiere la solución del

sistema, este procedimiento solo requiere el conocimiento algunas características del

modelo dinámico en el caso de un robot manipulador solo requiere el conocimiento de

su energía cinética y potencial.En el primer capitulo encontraremos un recolección de conceptos preliminares que con-

sidero son los mas indicados para poder entender el resto del documento, intente ser lo

mas claro y concretó en la de…nición de los conceptos, se encontraran conceptos básicos

de algebra lineal, ecuaciones diferenciales, física y robótica.En el segundo capitulo se presentan las de…niciones de la teoría de estabilidad y teore-

mas relevantes del método directo de Lyapunov y algunas demostraciones.

El tercer capitulo es un trabajo netamente de cálculo y en el se crea el modelo al cual sele estudiara la estabilidad, sus posibles equilibrios si los llegase a tener. Además se pre-senta el estudio en forma detallada y didáctica para su fácil entendimiento, requiriendo

conceptos previos de cálculo in…nitesimal, ecuaciones diferenciales y física (mecánica).

En el cuarto capitulo se combinara el modelo dinámico con el método directo de Lya-

punov para demostrar la estabilidad de sus equilibrios, por comodidad se demostrarala estabilidad para un modelo dinámico de n-grados de libertad. Se hará una pequeña

introducción de control de robots manipuladores para lograr entender el problema al

cual se le intentara dar solución.

En el quinto capitulo se presentará herramientas computacionales (Simulink) para re-solver sistemas de ecuaciones y análisis de la estabilidad.

En el sexto capitulo se presentaran posibles aplicaciones en algunos estándares de la

educación media y será un material de referencia en los niveles de educación media, y

en asignaturas de pregrado como álgebra lineal, cálculo diferencial e integral, mecánicay ecuaciones diferenciales ordinarias.

vi



INTRODUCCIÓN

Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana,

es de uso común decir: el franco suizo es estable, el peso Colombiano es inestable, elestado de salud de fulano es estable, etc. Incluso, en muchas áreas del conocimiento, se

maneja dicho concepto de manera intuitiva, es común oír a un ingeniero decir que una

estructura es estable o no lo es, un químico dice que una reacción se ha estabilizado,

un economista suele decir que el precio de determinado producto es estable, un físicodiría que el movimiento de una partícula es estable, etc. Pero un concepto que aparece

frecuentemente en todas las ciencias, merece ser de…nido en términos precisos.

No fue sino hasta 1892 cuando Lyapunov formuló de manera precisa el concepto de

estabilidad. Y ese ha sido el punto de partida para establecer otras variantes de tanimportante concepto. De hecho, no hay concepto en la Matemática que admita tantas

acepciones distintas como el de estabilidad y por este motivo, cuando se habla de es-

tabilidad, se debe aclarar a cual de ellas se re…ere, para evitar ambigüedades.En general siempre vamos a desear que los sistemas no se aparten demasiado de supunto de operación (equilibrio), puesto que podemos llegar a saturaciones, quemar

equipos, hacer saltar fusibles o en el caso de un brazo manipulador que no se logre

tener el control deseado para que realice una actividad determinada con precisión, etc.

Por lo general se desea que el sistema siga funcionando por todo el tiempo de la vidaútil (y no repararlo o reemplazarlo a cada momento). Es importante entonces antes

de poner en funcionamiento un sistema, hacer un análisis para predecir si el sistema

tendrá variables que diverjan o no (que no diverja es un indicio de que el sistema es

“estable”) en los brazos manipuladores es conveniente conocer su estabilidad ya queesto hace que se ahorre dinero en la construcción de prototipos defectuosos.

Con los antecedentes citados, éste trabajo contiene un estudio monográ…co que es-

tablece relación entre la teoría formal matemática y una aplicación tecnológica. Se

analizara el concepto de estabilidad relacionándolo con conceptos matemáticos adquiri-dos en el trascurso de la licenciatura en Matemáticas con aplicación al estudio y análisis

de estabilidad del modelo dinámico de un brazo manipulador con condiciones estable-

vii



cidas.

El documento es un ejemplo que muestra la aplicación de la teoría matemática a la

solución de un problema de ingeniería robótica.

viii



Capítulo 1

PRELIMINARES

1.1. Preliminares Matemáticos1.1.1. Algebra Lineal

Se denotará por Rmn al conjunto de matrices A de dimensión m n:

De…nición 1.1 Una matriz A 2 Rmn es un ordenamiento rectangular de números

o funciones:

A =266664

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n... ... ...

am1 am2 amn

377775 ;

si la matriz A tiene m renglones y n columnas, su tamaño es de m por n (se escribe

m n). SI n = m la matriz de n n se llama matriz cuadrada de orden n. En una

matriz A 2 Rmn el término aij representa el elemento i-ésimo renglón y la j-ésima

columna de una matriz A de m n; con ello, una matriz A de m n se escribe de la

forma A=( aij)mn o simplemente A=( aij). Una matriz de 1 1 es sólo una constante

o una función.

De…nición 1.2 Igualdad de matrices: dos matrices A 2 Rmn y B 2 R

mn son

iguales sii aij = bij para toda i y j:

De…nición 1.3 Una matriz columna X 2 Rn es cualquier matriz con n-renglones

1



y una columna:

X =

266664

b11

b21...

bn1

377775 = (bi1)n1;

una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector.

De…nición 1.4 Múltiplos de matrices: un múltiplo de una matriz A 2 Rmn se

de…ne:

kA =

2

66664ka11 ka12 ka1n

ka21 ka22 ka2n

..

.

..

.

..

.kam1 kam2 kamn

3

77775 = (kaij)mn:

De…nición 1.5 Suma de matrices: la suma de dos matrices A 2 Rmn y B 2 Rmn

se de…ne como la matriz

A + B = (aij + bij)mn;

en otras palabras para sumar matrices se suman los elementos correspondientes.

De…nición 1.6 Multiplicación de matrices: sea A

2R

mn

, y B

2R

n p

. El pro-ducto AB se de…ne:

AB =

266664

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n...

.... . .

...

am1 am2 amn

377775

266664

b11 b12 b1 p

b21 b22 b2 p...

.... . .

...

bn1 bn2 bnp

377775

=

266664

a11b11 + a12b21 + + a1nbn1 a11b1 p + a12b2 p + + a1nbnp

a21b11 + a22b21 + + a2nbn1 a21b1 p + a22b2 p + + a2nbnp

... . . . ...am1b11 + am2b21 + + amnbn1 am1b1 p + am2b2 p + + amnbnp

377775

=

nX

k=1

aikbkj

!m p

:

2



De…nición 1.7 Matriz identidad aditiva ( matriz cero): para un entero positivo n,

la matriz de n m

0 =266664

0 0 0

0 0 0......

. . ....

0 0 0

377775 ;

es la matriz identidad aditiva y cumple la propiedad que para toda matriz A 2Rmn

de n m

0+A = A+ 0 = A

De…nición 1.8 Matriz identidad multiplicativa: para un entero positivo n, la ma-

triz de n n:

I =

2666641 0 0

0 1 0...

......

0 0 1

377775es la matriz identidad multiplicativa y cumple la propiedad que para toda matriz

A 2 Rnn

IA = AI = A:

Además si X 2 Rn es un vector columna se cumple que IX = X:

De…nición 1.9 Propiedad asociativa: la multiplicación matricial es asociativa. Si

A 2 Rm p, B 2 R

pr y C 2 Rrn.entonces

(AB)C = A(BC);

entonces es una matriz m n.

De…nición 1.10 Propiedad distributiva: si todos los productos están de…nidos la

multiplicación es distributiva respecto a la suma:

(A+B)C = AC+BC y C(A+B) = CA+CB:

De…nición 1.11 Determinante n n: Sea A2 Rnn una matriz de n n: Entonces

el determinante de A, denotado por det A o jAj ; está dado por

det A = jAj = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n

=nX

k=1

a1kA1k:

3



La expresión en el lado derecho se llama expansión por cofactores.

De…nición 1.12 Inversa multiplicativa de una matriz: Sea A2 Rnn una matriz

de n n. Si existe una matriz B2 Rnn de n n tal que

AB = BA = I;

en donde I es la identidad multiplicativa, B2 Rnn es la inversa multiplicativa de A2

Rnn y se representa con B = A1

De…nición 1.13 Matriz singular: Una matriz cuadrada A2 Rnn es singular si su

determinante es nulo, es decir si det[A] = 0, en caso contrario es no singular. Una

característica de una matriz singular es que ésta no tiene inversa.

De…nición 1.14 Formula de la inversa de una matriz: Sea A2 Rnn una matriz

no singular de n n, y sea C ij = (1)i+ jM ij ; donde M ij es el determinante de la

matriz de (n 1)(n 1) obtenida al eliminar el iésimo renglón y la j columna de

A. Entonces

A1 =1

det A(C ij)T :

De…nición 1.15 Matriz simetrica: una matriz A2 Rnn es simétrica si esta es

igual a su transpuesta es decir A=AT

De…nición 1.16 Matriz de…nida positiva: una matriz cuadrada A2R

nn

;sin ser necesariamente simétrica, es de…nida positiva si y sólo si:

det[a11] > 0; det

"a11 a12

a21 a22

#> 0; ; det[A] > 0:

Es importante subrayar que A > 0 signi…ca que la matriz A2 Rnn es de…nida positiva

y no debe interpretarse como " A2 Rnn mayor que 0", siendo esto último carente de

sentido.

De…nición 1.17 Matriz de…nida positiva: una matriz A2R

nn

; sin ser necesari-amente simétrica, es de…nida positiva si:

xT Ax > 0; 8x2Rn:con x 6= 0 2 Rn;

y semide…nida positiva si:

xT Ax 0; 8x2Rn:

4



1.1.2. Ecuaciones Diferenciales

De…nición 1.18 Sistema autónomo: Un sistema de ecuaciones lineales de primer

orden que tiene la siguiente forma

dx1

dt= g1(x1; x2;:::;xn)

dx2

dt= g2(x1; x2;:::;xn)

...dxn

dt= gn(x1; x2;:::;xn);

se llama autónomo cuando cada una de las funciones de entrada g1; g2;:::;gn no de-

penden de la variable independiente t:

De…nición 1.19 Sistema dinámico: Cuando la variable independiente t de un sis-

tema autónomo se interpreta como tiempo, el sistema respectivo se denomina sistema

dinámico.

De…nición 1.20 Estado del sistema o respuesta al sistema: Una solución X (t)

de un sistema dinámico se llama estado del sistema o respuesta del sistema en el

momento t, o en el tiempo t.

De…nición 1.21 Camino o trayectoria: Una solución de un sistema autónomo se denomina camino o trayectoria, en el caso que n = 2 o 3, ya que las soluciones x =

x1(t); y = x2(t); z = x3(t) se pueden interpretar como las ecuaciones paramétricas de

una curva.

De…nición 1.22 Sistema autónomo plano: Un sistema es autónomo plano cuando

tiene la forma:

dx

dt= P (x; y)

dy

dt = Q(x; y):

De…nición 1.23 Plano fase: el propio plano donde,

dy

dtdxdt

=dy

dx;

se conoce como plano fase y el conjunto de trayectorias se conoce como retrato fase.

5



1.2. Preliminares De Física

De…nición 1.24 Energía cinética: es la energía asociada con el movimiento de un

cuerpo. El producto de la mitad de la masa por el cuadrado de la rapidez de…ne la energía cinética de una partícula, es decir para una partícula de masa m y rapidez v

se de…ne la energía cinética K como

K =1

2mv2: (1.1)

De…nición 1.25 Energía cinética de un objeto en rotación: es igual a la suma

de las energías cinéticas de las partículas individuales que lo constituyen. La energía

cinética de un elemento de masa mi es

K rotacion =

1

2m

iv2

i;

sumando todos los elementos y teniendo en cuenta que vi = ri!1 resulta:

K rotacion =nX

i=1

1

2miv

2i =

nXi=1

1

2(ri!)2 =

1

2

nX

i=1

miri

!!2:

El sumatorio comprendido entre paréntesis del segundo miembro de la expresión ante-

rior es el momento de Inercia I respecto al eje de rotacion, por tanto la energía

cinética de rotación es :

K rotacion =1

2

I!2; (1.2)

la ecuación (1.2) es la analoga para la rotación de la ecuación (1.1) del movimiento

lineal.

De…nición 1.26 Momento de inercia : es una medición de la resistencia al cambio

en el movimiento de rotación. Considérese una partícula de masa m cuya distancia al

pivote es r metros entonces el momento de inercia se de…ne como

I = mr2

el momento de inercia de un sistema de n-partículas se de…ne como la suma de los

momentos de inercia de cada partícula

I =nX

i=1

mir2i

1ri es la longitud del objeto en rotación,! es la velocidad angular del objeto.

6



al extender este concepto a una distribución continua de masa en un plano, tal como

el de un brazo manipulador se tiene la siguiente de…nición :suponga que se tiene un

eslabón que ocupa una región R en el plano xy tal que la densidad super…cial en el punto (x; y) tiene la medida (x; y); donde es continua en R: Entonces, la medida del

momento de inercia del eslabón está determinado por,

I x = lmkk!0

nXi=1

v2i (ui; vi)iA =

ZZ R

y2(x; y)dA;

de manera similar con respecto al eje y

I y = lmkk!0

n

Xi=1

u2i (ui; vi)iA = ZZ

R

x2(x; y)dA:

De…nición 1.27 Energía potencial: es la capacidad que tiene un cuerpo para re-

alizar un trabajo, es decir la energía almacenada en un sistema. Cuando las fuerzas

que intervienen son conservativas como la fuerza de gravedad, se puede de…nir una

función de energía potencial gravitacional U como

U = mgh:

De…nición 1.28 Centro de masa: se puede describir la posición del centro de masa

de un sistema como la posición promedio de la masa del sistema. Para un sistema de

muchas partículas en tres dimensiones, se de…ne la coordenada x del centro de masa

de n partículas como

xc =m1x1 + m2x2 + + mnxn

m1 + m2 + + mn

=mixi

mi

;

donde xi es la coordenada de la ienésima particula y m1 es la masa total del sistema.

De…nición 1.29 Torque o par de fuerzas: se llama par al conjunto de 2 fuerzas de

igual magnitud pero dirección opuesta que actúan en un mismo punto, por lo general

el centro de masa.

1.3. Preliminares De Robotica

De…nición 1.30 Brazo manipulador : un brazo manipulador es un sistema mecánico

articulado, formado por eslabones conectados entre si a través de uniones o articula-

ciones (ver …gura 1.1).

7



Figura 1.1: Manipulador de 3 g.d.l.

De…nición 1.31 Grados de libertad (g.d.l.): los grados de libertad dependen del

número de eslabones que contiene el brazo manipulador. (3 g.d.l.= 3 eslabones contiene

la …gura 1.1).

De…nición 1.32 Modelo dinámico de un brazo manipulador : el modelo dinámi-

co de un brazo manipulador es el que tiene por objeto conocer la relación entre el

movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo.

8



Capítulo 2

ESTABILIDAD SEGÚN

LYAPUNOV

2.1. Introducción

Este capitulo presenta el método directo de Lyapunov para determinar la estabil-

idad o estabilidad asintótica de un estado de equilibrio de un sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias autónomo. La teoría de la estabilidad es un tema extenso de

gran actualidad e importancia, a pesar de haber transcurrido casi un siglo en que fuerapresentada en términos precisos por el matemático ruso Lyapunov (1857-1918) en su

famosa tesis doctoral publicada por primera vez en 1892, la cual no recibió la debidaatención alrededor de 25 años (Ver …gura 2.1).

Figura 2.1: Alexander M. Lyapunov

9



2.2. Estabilidad En El Sentido De Lyapunov

La teoría de estabilidad de Lyapunov1 tiene como principal objetivo estudiar el

comportamiento de sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales de la for-ma:_(t) =

d

dt= f (t; (t)) (0) 2 Rn 8 t 0; (2.1)

donde el vector (t) 2 Rn se re…ere al sistema dinámico representado por (2.1) y (0) 2

Rn se denomina la condición inicial o estado inicial. La función f : R+ R

n ! Rn, es

una función continua en t y (t). Se utilizará en el trabajo la notación de Newton para

expresar la derivada de una función, _(t) = ddt

:

Se supone que la ecuación (2.1) tiene solución única en [0; 1) con la condición inicial(0) (ver [2]):

2.2.1. Conceptos Basicos

De…nición 2.1 Equilibrio (o punto critico): un vector constante c 2 Rn, es un

equilibrio o estado de equilibrio del sistema (2.1) si

f (t; c) = 0 8 t 0:

Como consecuencia inmediata de la de…nición de equilibrio se tiene que si la condición

inicial (0) 2 Rn es justamente un equilibrio ( (0) = c 2 Rn), entonces se satisface:

1 (t) = c 8t 0

2 _(0) = 0 8t 0:

De…nición 2.2 Estabilidad ( Ver …gura 2.2 ): El origen = 0 2 Rn es un equilibrio

estable de la ecuación (2.1), si para cada número > 0 se puede encontrar un número

> 0, tal que:

k(0)k < =) k(t)k < 8 t 0:

1 Alexander M. Lyapunov (1857-1918), estudiante de Chebyshev en San Petersburgo (Rusia), enseñóen la universidad de Kharkov desde 1885 hasta 1901, cuando se hizo académico en matemáticasaplicadas en la academia de ciencias de San Petersburgo. En 1917 se mudó a Odessa debido a ladedicada salud de su esposa. Sus investigaciones sobre estabilidad abarcan tanto análisis teóricos comoaplicaciones a varios problemas físicos. Su segundo método formó parte de su trabajo más importante,General Problem of stability of Motion, publicado en 1892

10



Figura 2.2: Estabilidad.

De…nición 2.3 Estabilidad asintótica ( ver …gura 2.3 ): el origen = 0 2 Rn es un

equilibrio asintóticamente estable de (2.1) si:

1 El origen es estable

2 El origen es atractivo, es decir existe un número ~ > 0 tal que:

k(0)k < ~ =) k(t)k ! 0 cuando t ! 1;

Figura 2.3: Estabilidad Asintotica.

De…nición 2.4 Inestabilidad ( ver …gura 2.4): el origen = 0 2 Rn es un equilibrioinestable de la ecuación (2.1) si éste no es estable es decir: existe al menos un número

> 0 para el cual no es posible encontrar un número > 0 tal que:

k(0)k < =) k(t)k < 8 t 0;

11



Figura 2.4: Inestabilidad.

De…nición 2.5 Función de…nida positiva localmente: una función continua W :

Rn ! R+ es una función de…nida positiva localmente si:

1 W (0) = 0 es decir pasa por el origen.

2 W () > 0 8 6= 0 pero con kk pequeño.

De…nición 2.6 Función de…nida positiva: una función continua W : Rn ! R es

una función de…nida positiva si:

1 W (0) = 0 es decir pasa por el origen.

2 W () > 0 8 6= 0:

De…nición 2.7 Función radialmente desacotada: una función continua W : Rn !

R es una función radialmente desacotada si:

W () ! 1 cuando kk ! 1:

De…nición 2.8 función menguante: una función continua V : R+Rn ! R es una

función menguante (globalmente), si existe una función de…nida positiva W : Rn ! R+

tal que

V (t; ) W () 8t 0 y 8 2 Rn:

De…nición 2.9 Función candidata de Lyapunov: una función V : R+ Rn ! R+

es una función candidata de Lyapunov para el equilibrio = 0 2 Rn de la ecuación

(2.1) si:

1 V (t:) es una función de…nida positiva localmente.

12



2@V (t; )

@tes una función continua con respecto a t y .

3@V (t; )

@

es una función continua con respecto a t y .

De…nición 2.10 Derivada de una función candidata de Lyapunov: sea V (t; )

una función candidata de Lyapunov, para la ecuación (2.1). La derivada de V (t; ) a

lo largo de las trayectorias de (2.1) denotada por _V (t; ) estará dada por:

_V (t; ) =d

dtV (t; ) =

@V (t; )

@t+

@V (t; )T

@f (t; ): (2.2)

Obsérvese de la de…nición anterior, que si V (t) no depende explícitamente del tiempo

y la ecuación (2.2) es autónoma, entonces:

_V () =@V ()T

@f ():

De…nición 2.11 Función de Lyapunov: Una función candidata de Lyapunov V (t; )

para la ecuación (2.1) es una función de Lyapunov para (2.1) si su derivada a lo largo

de las trayectorias de (2.1) satisface:.

_V (t; ) 0 8 t 0 al menos para kk pequeña.

2.2.2. Método Directo De Lyapunov

Con las de…niciones previas ahora se presenta la teoría de estabilidad de Lyapunov

Teorema 2.12 Estabilidad: el origen = 0 2 Rn es un estado de equilibrio estable

de la ecuación (2.1), si existe una función candidata de Lyapunov V (t; ) tal que su

derivada temporal satisfaga:

_V (t; ) 0; 8 t 0 al menos para kk pequeña.

Prueba.

Sea C1 una bola de radio > 0 centrada en = 0 2 Rn de tal manera que C1 sehalla dentro del dominio de de…nición de la función V (t; ): Como V (t; ) es continua

y de…nida positiva por ser función candidata de Lyapunov, tiene un máximo M en

C1; además V (t; ) es continua en el origen y se anula en el ya que V (0; 0) = 0, luegopodemos hallar un numero positivo < tal que

0 V (t; ) < M;

13



si (t; ) está dentro de la bola C2 de radio :

Sea C=(t) cualquier trayectoria que este dentro de C2 para todo t = t0 = 0 entonces

V (t; (0) < M y como _V (t; ) es de…nida negativa, entonces _V (t; ) 0 lo cual implicaque V (t) V (t; (0)) < M para todo t > t0; luego la trayectoria C nunca puede

alcanzar la bola C1 en un t > t0 lo cual implica estabilidad.

Teorema 2.13 Estabilidad y acotamiento de las soluciones: el origen = 0

2 Rn es un equilibrio estable, y las soluciones (t) están acotadas para toda condición

inicial (0) 2 Rn , si existe una función candidata de Lyapunov que sea de…nida positiva

(globalmente), radialmente desacotada, V (t; ); tal que su derivada temporal satisface:

_V (

t; ) 0

;8

t 0 8

2R

n;

Prueba.

En vista de que V (t; ) es una función candidata de Lyapunov por lo tanto _V (t; ) 0

y por el teorema 12 se concluye la estabilidad del origen. Por otro lado, como V (t; )

es una función de…nida positiva y _V (t; ) 0 entonces:

0 V (t; (t)) V (t; (0)) 8t 0;

es decir, V (t; ) es una función acotada para todo t > 0: Usando el hecho que V (t; )

es una función radialmente desacotada, se concluye que está acotada.

Teorema 2.14 Estabilidad asintótica global: el origen = 0 2 Rn es un estado

de equilibrio asintóticamente estable en forma global de (2.1), si existe una función

candidata de Lyapunov V (t; ) de…nida positiva (globalmente), radialmente desacotada,

y menguante tal que su derivada satisfaga:

1 _V (t;0) = 0 8 t 0:

2 _V (t; ) < 0; 8 t 0; 8 6= 0 2 Rn:

Prueba.

1. como la función es V (t; ) es de…nida positiva globalmente esto es trivial.2. Probaremos bajo la hipótesis adicional que( _V (t; ) < 0) V (t; ) ! 0; por que al ser al

ser V (t; ) de…nida positiva implica que C al punto critico = 0 2 Rn:como _V (t; ) < 0

entonces V (t; ) es decreciente y como V (t; ) esta acotada inferiormente por 0, entoncesV (t; ) converge por lo tanto posee un limite L 0 cuando t ! 1:Supongamos que

14



L > 0: Sea ~ < tal que V (t; ) < L para (t; ) dentro de una bola C3 de radio ~: Como

la función _V (t; ) es continua y de…nida negativa tiene un máximo negativo K en

el anillo limitado por las bolas C1 y C3 este anillo contiene a toda trayectoria C para

t > t0 luego de la ecuación

V (t) = V (t0) +

tZ t0

dV

dtdt y

dV

dt K ;

se obtiene la desigualdad V (t) V (t0) K (t t0) para todo t t0: Pero el miembro

de la derecha tiende a -1 cuando t ! 1 es decir lmt!1 V (t) = 1 pero comoV (t; ) 0 (!absurdo¡) por lo tanto L = 0:

Teorema 2.15 considérese la ecuación diferencial autónoma:

_(t) = f ((t)); (0 ) 2 Rn; 8 t > 0;

La existencia de un único punto de equilibrio es una condición necesaria para que éste

sea asintóticamente estable en forma global.

Prueba.

Ver [6].

Teorema 2.16 Lyapunov la Salle: Considerese la ecuación diferencial autónoma

_ = f ();

cuyo origen = 0 2 Rn es un equilibrio. Supóngase que existe una función candidata

de Lyapunov V () de…nida positiva (globalmente) y radialmente desacotada tal que:

_V () 0 8 2 Rn:

Defínase el conjunto como:

=n

2 Rn : _V () = 0o

:

Si (0) = 0 es la única condición inicial en para la cual (t) 2 para todo t 0,

entonces el origen = 0 2 Rn es un equilibrio asintóticamente estable en forma global.

Prueba.

Ver [6].

15



Capítulo 3

CÁLCULO DEL MODELO

DINÁMICO DE UN BRAZO

MANIPULADOR.

3.1. Introducción

En el siguiente capitulo se reconstruirá el modelo dinámico de un brazo manipuladory se llevara acabo en los siguientes pasos:

Paso 1 Cálculo de la energía cinética (K (; _)):

K (; _) =1

2m(

d

dt)2 =

1

2m _

2;

donde m = masa del eslabón y = indica la posición articular.

Paso 2 Cálculo de la energía potencial (U (()):

como un brazo manipulador es un sistema mecánico entonces la energía potencial

es gravitacional y se obtiene como:

U () = mgh:

donde m = masa, g = gravedad, h = altura.

Paso 3 Cálculo del lagrangiano (L(; _)):

El Lagrangiano se obtiene como la diferencia entre la energía cinética y la energía

potencial:L(; _) = K (; _) U ():

16



Paso 4 Desarrollo de las ecuaciones de Lagrange:

d

dt @L

@ _ @L

@ = ;

o de forma equivalente

d

dt

@L

@ _i

@L

@ i

= i; donde i = 1;:::;n:

Donde i indica el par de fuerzas aplicado en cada articulación y el n depende

del numero de eslabones.

Paso 5 Escribimos la ecuación de movimiento en forma compacta:

M ()• + C (; _)_ + g() = :

3.2. Modelos Dinámicos De Un Brazo Manipulador

De 2 y 3 Grados De Libertad

El brazo manipulador ver (3.1) esta formado por 3 eslabones rígidos de longitudesl1; l2 y l3 y masas m1; m2 y m3 respectivamente. Las uniones 1; 2 y 3 son rotacionales.los desplazamientos del robot se llevarán a cabo en el plano vertical x y. La distancia

entre los ejes de giro y los centros de masas se denota por lc1; lc2 y lc3 respectivamente.I 1, I 2 e I 3 expresan los momentos de inercia de los eslabones con respecto al eje que

pasa a través de sus centros de masas y que es perpendicular al plano x y.Los g.d.l. están asociados a los ángulos 1 que se mide desde la posición vertical hacia

abajo, 2 que se mide a partir de la extensión del eslabón 1 hasta el eslabón 2 y 3 que

se mide a partir de la extensión del eslabón 2 hasta el eslabón 3, siendo positivos en

sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.Construcción del Modelo dinámico de un robot manipulador de 2g.d.l.

Para este …n utilizaremos los mismos datos de la …gura (3.1) pero restringiendo los

datos solo para un manipulador de 2g.d.l.

Paso 1 Cálculo de la energía cinética:

K (; _) = K 1(; _) + K 2(; _):

Eslabón 1

primero calculemos K 1(; _) que es la energía cinética para el eslabón l1 y masa

17



Figura 3.1: Brazo manipulador de 3 grados de libertad

m1, Las coordenadas del centro de masa del eslabón 1 expresada en el plano xy:

Ver fugura (3.1)

x1 = lc1 sin(1);

y1 = lc1 cos(1):

El vector velocidad V 1 del centro de masa es:

V 1 =

"_x1

_y1

#=

"lc1 cos(1) _1

lc1 sin(1)_1

#;

la rapidez instantánea del centro de masa al cuadrado es:

V 21 = V T 1 V 1 = [ _x1 _y1]

"_x1

_y1

#= l2c1

_2

1;

por lo tanto la energía cinética es

K 1(; _) =1

2m1V 21 +

1

2I 1 _

2

=1

2m1l2c1

_2

1 +1

2I 1( _1)21:

18



Eslabón 2

Ahora calculemos K 2(; _) que es la energía cinética para el eslabón l2 y masa m2,

Las coordenadas del centro de masa del eslabón 2 expresada en el plano x y:Ver

…gura (3.1)

x2 = l1 sin(1) + lc2 sin(1 + 2);

y2 = l1 cos(1) lc2 cos(1 + 2):


V 2 =

"_x2

_y2

#=

"l1 cos(1) _1 + lc2 cos(1 + 2)(_1 + _2)

l1 sin(1) _1 + lc2 sin(1 + 2)( _1 + _2)

#;


V 22 = V T 2 V 2 = [ _x2 _y2]

"_x2

_y2

#;

Realizando los cálculos pertinentes y usando identidades trigonométricas

cos2 + sin2 = 1;

sin(1)sin(1 + 2) + cos(1)cos(1 + 2) = cos(2);

se obtiene:

V 22 = V T 2 V 2 = l21_2

1 + l2c2

h_2

1 + 2 _1 _2 + _2

2

i+ 2l1lc2

h_2

1 + _1 _2i

cos(2);

por lo tanto la energía cinética es:

K 2(; _) =1

2m2V 22 +

1

2I 2

h_1 + _2

i2=

m2

2l21

_2

1 +m2

2l2c2

h_2

1 + 2 _1 _2 + _2

2

i+

m2l1lc2 h _2

1 + _1 _2i cos(2) +1

2

I 2 h _1 + _2i2

:

Paso 2 Cálculo de la energía potencial:

DondeU () = U 1() + U 2():

19



Eslabón 1

U 1() = m1gh1 = m1glc1 cos(1):

Eslabón 2

U 2() = m2gh2 = m2gl1 cos(1) m2glc2 cos(1 + 2):


L(; _) = K (; _) U ();

L(; _) = K 1(; _) + K 2(; _) U 1() U 2():

Por lo tanto

´L(; _) = 1

2m1V 21 + 1

2I 1 _2 = 1

2m1l2c1 _21 + 1

2I 1( _1)2 + m2

2l21 _21 + m2

2l2c2h

_21 + 2 _1 _2 + _22i

+

m2l1lc2

h_2

1 + _1 _2

icos(2) +

1

2I 2

h_1 + _2

i2+ m1glc1 cos(1) + m2gl1 cos(1) +

m2glc2 cos(1 + 2):

Paso 4 Desarrollo de las ecuaciones de Lagrange:Eslabón 1:

d

dt

@L

@ _1

@L

@1

= 1;

@L

@ _1= m1l2c1

_1+m2l21_1+m2l2c2

_1+m2l2c2_2+2m2l1lc2 cos(2) _1+m2l1lc2 cos(2)_2+

I 1( _1) + I 2

h_1 + _2

id

dt

@L

@ _1

= [m1l2c1+m2l21+m2l2c2+2m2l1lc2 cos(2)]•1+[m2l2c2+m2l1lc2 cos(2)]•2

2m2l1lc2 cos(2) _1 _2 m2l1lc2 cos(2) _2

2 + I 1(•1) + I 2

h•1 + •2

i@L

@1=.[m1lc1 + m2l1]g sin 1 m2glc2 sin(1 + 2):

d

dt @L

@ _1 @L

@1 = [m1l2c1 + m2l21 + m2l2c2 + 2m2l1lc2 cos(2)]•1 + [m2l2c2

+m2l1lc2 cos(2)]•22m2l1lc2 cos(2) _1 _2m2l1lc2 cos(2) _2

2+I 1(•1)+I 2

h•1 + •2

i

[m1lc1 + m2l1]g sin 1 m2glc2 sin(1 + 2):

1 = [m1l2c1 + m2l21 + m2l2c2 + 2m2l1lc2 cos(2)]•1 + [m2l2c2 + m2l1lc2 cos(2)]•2

2m2l1lc2

cos(2)_1 _2 m2l1lc2 cos(2) _2

2 + I 1(•1) + I 2

h•1 + •2

i [m1lc1 + m2l1]g sin 1

m2glc2 sin(1 + 2):.

20



Eslabón 2:

d

dt @L

@ _2 @L

@2 = 2;

@L

@ _2= m2l2c2

_1 + m2l2c2_2 + m2l1lc2 cos(2)_1 + I 2

h_1 + _2

i:

d

dt

@L

@ _2

= m2l2c2

•1+m2l2c2•2+m2l1lc2 cos(2)•1m2l1lc2 sin(2) _1 _2+I 2

h•1 + •2

i:

@L

@2= m2l1lc2 sin(2)

h_1 _2 + _

2

1

i m2glc2 sin(1 + 2):

d

dt

@L

@ _2

@L

@2

= m2l2c2

•1 + m2l2c2•2 + m2l1lc2 cos(2)•1 m2l1lc2 sin(2) _1 _2 +

I 2 h•1 + •2i + m2l1lc2 sin(2) h

_1 _2 + _2

1i+ m2glc2 sin(1 + 2)::

2 = m2l2c2•1 + m2l2c2•2 + m2l1lc2 cos(2)•1 m2l1lc2 sin(2)_1 _2 + I 2h

•1 + •2i

+

m2l1lc2 sin(2)h

_1 _2 + _2

1

i+ m2glc2 sin(1 + 2):

Escribimos la ecuación de movimiento en forma compacta:

M ()• + C (; _) _ + g() = ;

Donde M () =

"M 11 M 12

M 21 M 22

#; :C (; _) =

"C 11 C 12

C 21 C 22

#, g() =

"g1

g2

#y =

2

64 1

2

3

3

75Además, los elementos de las matrices M ; C; g y ; son:M 11 = m1l2c1 + m2 [l21 + l2c2 + 2l1lc2 cos(2)] + I 1 + I 2;

M 12 = m2 [l2c2 + l1lc2 cos(2)] + I 2;

M 21 = m2 [l2c2 + l1lc2 cos(2)] + I 2;

M 22 = m2l2c2 + I 2;

C 11 = m2l1lc2 sin(2) _2;

C 12 = m2l1lc2 sin(2)h

_1 + _2

i;

C 21 = m2l1lc2 sin(2) _1;

C 22 = 0;g1 = [m1lc1 + m2l1] g sin(1) + m2lc2g sin(1 + 2);

g2 = m2lc2g sin(1 + 2):

Construcción del Modelo dinámico de un robot manipulador de 3g.d.l.

Las condiciones del manipulador son las enunciadas al comienzo de la sección.

21



Paso 1 Cálculo de la energía cinética:

K (; _) = K 1(; _) + K 2(; _) + K 3(; _):

Eslabón 1primero calculemos K 1(; _) que es la energía cinética para el eslabón l1 y masam1, Las coordenadas del centro de masa del eslabón 1 expresada en el plano xy:

Ver fugura (3.1)

x1 = lc1 sin(1)

y1 = lc1 cos(1):


V 1 =

"_x1

_y1

#=

"lc1 cos(1) _1

lc1 sin(1)_1

#;


V 21 = V T 1 V 1 = [ _x1 _y1]

"_x1

_y1

#= l2c1

_2

1;

por lo tanto la energía cinética es

K 1(; _) =1

2

m1V 21 +1

2

I 1 _2

=1

2

m1l2c1_2

1 +1

2

I 1(_1)2:

Eslabón 2

Ahora calculemos K 2(; _) que es la energía cinética para el eslabón l2 y masa m2,Las coordenadas del centro de masa del eslabón 2 expresada en el plano x y:Ver

…gura (3.1)

x2 = l1 sin(1) + lc2 sin(1 + 2);

y2 = l1 cos(1) lc2 cos(1 + 2):

El vector velocidadV 2

del centro de masa es:

V 2 =

"_x2

_y2

#=

"l1 cos(1) _1 + lc2 cos(1 + 2)(_1 + _2)

l1 sin(1) _1 + lc2 sin(1 + 2)( _1 + _2)

#;


V 22 = V T 2 V 2 = [ _x2 _y2]

"_x2

_y2

#;

22



Realizando los cálculos pertinentes y usando identidades trigonométricas se ob-

tiene:

V 22 = V T 2 V 2 = l21_2

1 + l2c2 h _2

1 + 2 _1 _2 + _2

2i+ 2l1lc2 h _2

1 + _1 _2i cos(2);


K 2(; _) =1

2m2V 22 +

1

2I 2

h_1 + _2

i2=

m2

2l21

_2

1 +m2

2l2c2

h_2

1 + 2 _1 _2 + _2

2

i+

m2l1lc2

h_2

1 + _1 _2

icos(2) +

1

2I 2

h_1 + _2

i2:

Eslabón 3

Ahora calculemos K 3(;_) que es la energía cinética para el eslabón l3 y masa m3,Las coordenadas del centro de masa del eslabón 3 expresada en el plano x y:Ver

…gura (3.1):

x3 = l1 sin(1) + l2 sin(1 + 2) + lc3 sin(1 + 2 + 3);

y3 = l1 cos(1) l2 cos(1 + 2) lc3 cos(1 + 2 + 3):


V 3 = "_x3

_y3 #=

"l1 cos(1)(_1) + l2 cos(1 + 2)( _1 + _2) + lc3 cos(1 + 2 + 3)(_1 + _2 + _3)

l1 sin(1)( _1) + l2 sin(1 + 2)(_1 + _2) + lc3 sin(1 + 2 + 3)( _1 + _2 + _3)

#


V 23 = V T 3 V 3 = [ _x3 _y3]

"_x3

_y3

#;

Realizando los cálculos pertinentes y usando identidades trigonométricas se ob-

tiene:V 23 = l21( _1)2+l22( _1+ _2)2+lc3( _1+ _2+ _3) 2+2l1l2(_1) ( _1+ _2)cos(2) +2l1lc3( _1)

( _1 + _2 + _3)cos(2 + 3) + 2l2lc3( _1 + _2) ( _1 + _2 + _3)cos(3):


K 3(; _) =1

2m3[l21( _1)2+l22( _1+ _2)2+l2c3( _1+ _2+ _3)2+2l1l2( _1)(_1+ _2)cos(2)+

2l1lc3( _1)( _1 + _2 + _3) cos(2 + 3) + 2l2lc3( _1 + _2)(_1 + _2 + _3)cos(3)]

+ 1

2I 3

h_1 + _2 + _3

i2:

23



Paso 2 Cálculo de la energía potencial:Eslabón 1

U 1() = m1gh1 = m1glc1 cos(1):

Eslabón 2

U 2() = m2gh2 = m2gl1 cos(1) m2glc2 cos(1 + 2):

Eslabón 3

U 3() = m3gh3 = m3gl1 cos(1) m3gl2 cos(1 + 2) m3glc3 cos(1 + 2 + 3):


L(; _) = K (; _) U ():

L(; _) = K 1(; _) + K 2(; _) + K 3(; _) U 1() U 2() U 3():

L(; _) = 1

2m1l2c1

_2

1 + 1

2I 1( _1)2 +

m2

2l21

_2

1 +m2

2l2c2

h_2

1 + 2 _1 _2 + _2

2

i+ m2l1lc2[ _

2

1 +

_1 _2] cos(2) +1

2I 2

h_1 + _2

i2+

1

2m3[l21( _1)2 + l22( _1 + _2)2 + l2c3( _1 + _2 + _3)2 +

2l1l2( _1)( _1+ _2)cos(2)+2l1lc3( _1)(_1+ _2+ _3)cos(2+3)+2l2lc3(_1+ _2)(_1+ _2+

_3)cos(3)]+ 12I 3

h_1 + _2 + _3

i2+ m1glc1 cos(1) +m2gl1 cos(1) + m2glc2 cos(1+

2) + m3gl1 cos(1) + m3gl2 cos(1 + 2) + m3glc3 cos(1 + 2 + 3):

Paso 4 Desarrollo de las ecuaciones de Lagrange:Eslabón 1:

d

dt

@L

@ _1

@L

@1

= 1;

@L

@ _1= m1l2c1

_1 + I 1( _1) + m2l21_1 + m2l2c2 h

_1 + _2i + m2l1lc2 h2_1 + _2i cos(2) +

I 2h

_1 + _2i

+ m3[l21 _1 + l22( _1 + _2) + l2c3( _1 + _2 + _3) + l1l2(2_1 + _2)cos(2) +

l1lc3(2_1 + _2 + _3)cos(2 + 3) + l2lc3(2_1 + 2_2 + _3)cos(3)] + I 3

h_1 + _2 + _3

i:

d

dt

@L

@ _1

= m1l2c1

•1+I 1(•1)+m2l21•1+m2l2c2

h•1 + •2

i+m2l1lc2

h2•1 + •2

icos(2)

m2l1lc2

h2_1 + _2

isin(2) _2+I 2

h•1 + •2

i+m3[l21•1+l22(•1+•2)+l2c3(•1+•2+•3)+

l1l2(2•1 + •2)cos(2) l1l2(2_1 + _2) sin(2)_2 + l1lc3(2•1 + •2 + •3)cos(2 + 3)

24



l1lc3(2_1 + _2 + _3) sin(2 + 3)(_2 + _3) + l2lc3(2•1 + 2•2 + •3)cos(3) l2lc3(2_1 +

2 _2 + _3) sin(3)_3] + I 3

h•1 + •2 + •3

i:

@L

@1= m1glc1 sin(1) m2gl1 sin(1) m2glc2 sin(1 + 2) m3gl1 sin(1)

m3gl2 sin(1 + 2) m3glc3 sin(1 + 2 + 3).d

dt

@L

@ _1

@L

@1

= m1l2c1

•1 + I 1(•1) + m2l21•1 + m2l2c2

h•1 + •2

i+ m2l1lc2[2•1 +

•2]cos(2) m2l1lc2

h2_1 + _2

isin(2) _2 + I 2

h•1 + •2

i+ m3[l21•1 + l22(•1 + •2) +

l2c3(•1 + •2 + •3) + l1l2(2•1 + •2)cos(2) l1l2(2_1 + _2)sin(2) _2 + l1lc3(2•1 + •2 +•3)cos(2+3)l1lc3(2_1+ _2+ _3)sin(2+3)( _2+ _3)+l2lc3(2•1+2•2+•3) cos(3)

l2lc3(2_1 + 2 _2 + _3)sin(3) _3] + I 3

h•1 + •2 + •3

i+ m1glc1 sin(1) + m2gl1 sin(1) +

m2glc2 sin(1 + 2) + m3gl1 sin(1) + m3gl2 sin(1 + 2) + m3glc3 sin(1 + 2 + 3).

1 = [m1l2c1 + m2l21 + m2l2c2 + 2m2l1lc2 cos(2) + m3l21 + m3l22 + m3lc3 + 2m3l1l2 cos(2) +

2m3l1lc3 cos(2 + 3) + 2m3l2lc3 cos(3) + I 1 + I 2 + I 3]•1 + [m2l1lc2 cos(2) + m3l22 +

m3l2c3+m3l1l2 cos(2)+m3l1lc3 cos(2+3)+2m3l2lc3 cos(3)+I 2+I 3]•2+[m3l2c3+

m3l1lc3 cos(2+3)+m3l2lc3 cos(3)+I 3]•32m2l1lc2 sin(2) _1 _22m3l1l2 sin(2) _1 _2

2m3l1lc3 sin(2 + 3) _1( _2 + _3) 2m3l2lc3 sin(3) _3 _1 m2l1lc2 sin(2)_2

2

m3l1l2 sin(2) _2

2m3l1lc3 sin(2+3) _2( _2+ _3)2m3l2lc3 sin(3) _2 _3m3l1lc3 sin(2+

3)_3(_2 + _3) m3l2lc3 _2

3 sin(3) + m1glc1 sin(1) + m2gl1 sin(1) + m2glc2 sin(1 +

2) + m3gl1 sin(1) + m3gl2 sin(1 + 2) + m3glc3 sin(1 + 2 + 3):

Eslabón 2:

d

dt

@L

@ _2

@L

@2

= 2;

@L

@ _2= m2l2c2

h_1 + _2

i+ m2l1lc2 _1 cos(2) + I 2

h_1 + _2

i+ m3[l22( _1 + _2) + lc3( _1 +

_2 + _3) + l1l2( _1)cos(2) + l1lc3 _1 cos(2 + 3) + l2lc3(2_1 + 2 _2 + _3)cos(3)] +

I 3

h_1 + _2 + _3

i:

d

dt @L

@ _2 = m2l2c2 h•1 + •2i+m2l1lc2•1 cos(2)m2l1lc2 _1 sin(2) _2+I 2 h•1 + •2i+

m3[l22(•1+•2)+l2c3(•1+•2+•3)+l1l2(•1)cos(2)l1l2(_1)sin(2) _2+l1lc3•1 cos(2+

3) l1lc3 _1 sin(2 + 3)(_2 + _3) + l2lc3(2•1 + 2•2 + •3)cos(3) l2lc3(2_1 + 2_2 +_3)sin(3) _3] + I 3

h•1 + •2 + •3

i:

@L

@2= m2l1lc2

h_2

1 + _1 _2i

sin(2)+1

2m3[2l1l2( _1)( _1+_2) sin(2)2l1lc3( _1)(_1+

_2+ _3) sin(2+3)]m2glc2 sin(1+2)m3gl2 sin(1+2)m3glc3 sin(1+2+3):

25



d

dt

@L

@ _2

@L

@2

= m2l2c2

h•1 + •2

i+ m2l1lc2•1 cos(2) m2l1lc2 _1 sin(2) _2 +

I 2 h•1 + •2i+m3[l22(•1+•2)+ l2c3(•1+•2+•3)+l1l2(•1)cos(2)l1l2( _1)sin(2) _2+

l1lc3•1 cos(2 + 3) l1lc3 _1 sin(2 + 3)(_2 + _3) + l2lc3(2•1 + 2•2 + •3)cos(3) l2lc3(2_1 + 2 _2 + _3)sin(3) _3] + I 3

h•1 + •2 + •3

i+ m2l1lc2

h_2

1 + _1 _2

isin(2) +

m3[l1l2(_1)(_1 + _2) sin(2) + l1lc3( _1)( _1 + _2 + _3) sin(2 + 3)] + m2glc2 sin(1 +

2) + m3gl2 sin(1 + 2) + m3glc3 sin(1 + 2 + 3). 2 = [m2l2c2 + m2l1lc2 cos(2) + m3l22 + m3lc3 + m3l1l2 cos(2) + m3l1lc3 cos(2 +

3) + 2m3l2lc3(cos(3) + I 2 + I 3]•1 + [m2l2c2 + m3l22 + m3lc3 + 2m3l2lc3 cos(3) + I 2 +

I 3]•2 + [m3l2c3 + m3l2lc3 cos(3) + I 3]•3 + [m2l1lc2 sin(2) _2 m3l1l2 sin(2) _2

m3l1lc3 sin(2 + 3)(_2 + _3)

2m3l2lc3 sin(3) _3+m2l1lc2 h _1 + _2i sin(2)+m3l1l2( _1+ _2)sin(2)+m3l1lc3( _1+

_2+_3)sin(2+3)] _1+[2m3l2lc3 sin(3) _3] _2+[m3l2lc3 sin(3) _3] _3+[m2glc2 sin(

2) + m3gl2 sin(1 + 2) + m3glc3 sin(1 + 2 + 3)]:

Eslabón 3:

d

dt

@L

@ _3

@L

@3

= 3;

@L

@ _3= m3[l2c3( _1+ _2+ _3)+l1lc3 _1 cos(2+3)+l2lc3( _1+ _2)cos(3)]+I 3

h_1 + _2 + _3

i:

ddt

@L@ _3

= m3[l2c3(•1 + •2 + •3) + l1lc3•1 cos(2 + 3) l1lc3 _1 sin(2 + 3)(_2 +

_3) + l2lc3(•1 + •2)cos(3) l2lc3( _1 + _2)sin(3) _3] + I 3

h•1 + •2 + •3

i:

@L

@3= m3l1lc3(_1)(_1+ _2+ _3)sin(2+3)m3l2lc3( _1+ _2)(_1+ _2+ _3)sin(3)

m3glc3 sin(1 + 2 + 3):d

dt

@L

@ _3

@L

@3

= m3[l2c3(•1 + •2 + •3) + l1lc3•1 cos(2 + 3) l1lc3 _1 sin(2 +

3)(_2 + _3) + l2lc3(•1 + •2)cos(3) l2lc3( _1 + _2) sin(3) _3] + I 3

h•1 + •2 + •3

i+

m3l1lc3(_1)(_1 + _2 + _3)sin(2 + 3) + m3l2l

c3( _1 + _2)( _1 + _2 + _3)sin(3) +

m3glc3 sin(1 + 2 + 3). 3 = [m3l2c3+m3l1lc3 cos(2+3)+m3l2lc3 cos(3)+I 3]•1+[m3l2c3+m3l2lc3 cos(3)+

I 3]•2+[m3l2c3+I 3]•3+[m3l1lc3 sin(2+3)(_2+ _3)m3l2lc3 sin(3) _3+m3l1lc3( _1+_2+ _3)sin(2+3)+m3l2lc3( _1+ _2)sin(3)] _1+[m3l2lc3 sin(3) _3+m3l2lc3(_1+_2)sin(3)] _2 + [m3l2lc3( _1 + _2)sin(3)] _3 + [m3glc3 sin(1 + 2 + 3)]:

26



Paso 5 Escribimos la ecuación de movimiento en forma compacta:

M ()• + C (; _)_ + g() = :

Donde

M () =

264 M 11() M 12() M 13()

M 21() M 22() M 23()

M 31() M 32() M 33()

375 ;

Conocida como la matriz de inercia.

C (; _) =

264

C 11(; _) C 12(; _) C 13(; _)

C 21(; _) C 22(; _) C 23(; _)

C 31(; _) C 32(; _) C 33(; _)

375

;

Recibe el nombre de matriz centrífuga y de coriolis.

g() =

264 g1()

g2()

g3()

375 ;

Recibe el nombre de vector de gravedad.

=

264

1

2

3

375 :

Vector de fuerzas y pares de fuerzas ejercidas.

Además, los elementos de las matrices M ; C; g y ; son:M 11() = m1l2c1+m2l21+m2l2c2+2m2l1lc2 cos(2)+m3l21+m3l22+m3lc3+2m3l1l2 cos(2)

2m3l1lc3 cos(2 + 3) + 2m3l2lc3 cos(3) + I 1 + I 2 + I 3:

M 12() = m2l2c2 + m2l1lc2 cos(2) + m3l22 + m3l2c3 + m3l1l2 cos(2) + m3l1lc3 cos(2 +

3) + 2m3l2lc3 cos(3) + I 2 + I 3:

M 13() = m3l2c3 + m3l1lc3 cos(2 + 3) + m3l2lc3 cos(3) + I 3:

M 21() = m2l2c2 + m2l1lc2 cos(2) + m3l

22 + m3l

2c3 + m3l1l2 cos(2) + m3l1lc3 cos(2 +

3) + 2m3l2lc3 cos(3) + I 2 + I 3:

M 22() = m2l2c2 + m3l22 + m3lc3 + 2m3l2lc3 cos(3) + I 2 + I 3:

M 23() = m3l2c3 + m3l2lc3 cos(3) + I 3:

M 31() = m3l2c3 + m3l1lc3 cos(2 + 3) + m3l2lc3 cos(3) + I 3:

M 32() = m3l2c3 + m3l2lc3 cos(3) + I 3:

M 33() = m3l2c3 + I 3:

27



C 11(; _) = 2m2l1lc2 sin(2)_22m3l1l2 sin(2) _22m3l1lc3 sin(2+3)(_2+ _3)

2m3l2lc3 sin(3) _3:

C 12(; _) = m2l1lc2[2 _1 + _2]sin(2) m3l1l2(2_1 + _2)sin(2) m3l1lc3(2_1 +

_2 + 2 _3) sin(2 + 3) 2m3l2lc3 sin(3) _3:C 13(; _) = m3l1lc3(2_1 + 2_2 + _3)sin(2 + 3) m3l2lc3(2_1 + 2_2 + _3)sin(3):

C 21(; _) = m2l1lc2 sin(2) _2 m3l1l2 sin(2)_2 m3l1lc3 sin(2 + 3)( _2 + _3)

2m3l2lc3

sin(3) _3 + m2l1lc2

h_1 + _2

isin(2) + m3l1l2( _1 + _2)sin(2) + m3l1lc3( _1 + _2 +

_3)sin(2 + 3) + m3l1l2 sin(2) + m3l1lc3 _1 sin(2 + 3):

C 22(; _) = m2l1lc2 _1 sin(2) m3l1l2( _1)sin(2) m3l1lc3 _1 sin(2 + 3)

2m3l2lc3 sin(3) _3 + m2l1lc2 _1 sin(2) + m3l1l2( _1)sin(2) + m3l1lc3(_1)sin(2 + 3):

C 23(; _) = m3l1lc3 _1 sin(2+3)m3l2lc3(2_1+2_2+_3)sin(3)+m3l1lc3( _1)sin(2

3):

C 31(; _) = m3l1lc3 sin(2 + 3)(_2 + _3) m3l2lc3 sin(3) _3 + m3l1lc3(_1 + _2 +_3)sin(2 + 3) + m3l2lc3( _1 + 2 _2 + _3) sin(3):

C 32(; _) = m3l1lc3 _1 sin(2 + 3) m3l2lc3 sin(3) _3 + m3l1lc3( _1)sin(2 + 3) +

m3l2lc3(2_1 + _2 + _3)sin(3):

C 33(; _) = m3l1lc3 _1 sin(2 + 3) m3l2lc3( _1 + _2)sin(3) + m3l1lc3( _1) sin(2 +

3) + m3l2lc3( _1 + _2)sin(3):

g1() = m1glc1 sin(1) + m2gl1 sin(1) + m2glc2 sin(1 + 2) + m3gl1 sin(1) +

m3gl2 sin(1 + 2) + m3glc3 sin(1 + 2 + 3):

g2() = m2glc2 sin(1 + 2) + m3gl2 sin(1 + 2) + m3glc3 sin(1 + 2 + 3):

g3() = m3glc3 sin(1 + 2 + 3):

3.3. Propiedades Del Modelo Dinámico

La matriz de inercia M () juega un papel importante tanto en el modelo dinámico2

como en el diseño de controladores para robots. En el primer caso, la matriz de iner-

cia se encuentra íntimamente relacionada con la energía cinética K (; _) =1

2 _T

M () _;mientras que en el segundo, se emplean algunas de sus propiedades para el estudio de

estabilidad de sistemas de control de robots

* La matriz de inercia M () es una matriz simétrica de…nida positiva n n cuyos

2 para las demostraciones ver [6]

28



elementos son funciones solamente de :

* Como M () es una matriz simétrica de…nida positiva entonces _T

M () _ > 0 8 2 Rn

con 6= 0 2 Rn:

La matriz centrífuga y de coriolis C (; _) se hace necesaria en el estudio de estabil-

idad de los sistemas de control de robots.

* La matriz centrífuga y de coriolis C (; _) es una matriz de n n cuyos elementos

son funciones de y _:

* La matriz C (; _) esta relacionada con la matriz inercia M () por la expresión:

_

T 1

2_

M () C (;_) _

= 0 8;_ 2

Rn

:

29



Capítulo 4

APLICACIÓN DE LA TEORIA

DE ESTABILIDAD DE

LYAPUNOV

Considérese el modelo dinámico de un robot manipulador de n g.d.l. con eslabonesrígidos y sin fricción

M ()• + C (; _) _ + g() = ; (4.1)

o en términos de un sistema de ecuaciones diferenciales plano

hT _

T

iT

d

dt

"

_

#=

"_

M ()1h

(t) C (; _) _ g()i # ; (4.2)

donde M () 2 Rnn es la matriz de inercia, C (; _) _ 2 R

n es el vector de fuerzascentrífugas y de Coriolis, g() 2 Rn es el vector de pares gravitacionales y 2 Rn es un

vector de fuerzas y pares aplicados en las uniones. Los vectores ; _, • 2 Rn denotan

la posición, velocidad y aceleración articular, respectivamente.

4.1. El Problema De Control De ManipuladoresEl problema de control de posición de robots manipuladores puede formularse en los

siguiente términos. Considérese la ecuación dinámica de un robot de n g.d.l (4.1). Dada

una posición articular deseada d 2 Rn; que se supone constante, se trata de determinar

una función vectorial ; de tal forma que las posiciones asociadas a las coordenadasarticulares del robot lleguen asintóticamente a d en el menor tiempo posible:

30



En términos más formales, el objetivo de control de posición pura, o simplemente

control de posición, consiste en determinar de tal forma que:

lmt!1 (t) = d; (4.3)donde d 2 Rn es un vector constante.El cálculo del vector involucra generalmente a una función vectorial no lineal de; _,y •: Esta función se denomina "ley de control"o simplemente controlador, el

controlador puede expresarse como:

= (; _; •; d; M (); C (; _); g()): (4.4)

En este capitulo se realizara el estudio y el análisis de estabilidad del controlador con

compensación de gravedad 1 para el control de posición pura.La metodología del análisis de estabilidad se resumirá en los siguientes pasos:

Paso 1 Obtención de la ecuación dinámica de malla cerrada. Dicha ecuación se obtiene

reemplazando la acción de control (ecuación 4.4) en el modelo dinámico del

manipulador (ecuación 4.1). En general, la ecuación de malla cerrada resulta seruna ecuación diferencial ordinaria no lineal pero autónoma.

Paso 2 Representación de la ecuación de malla cerrada en la forma:

ddt

"d

_

#="

_f (; _; d; M (); C (; _); g()):

#:

La ecuación de malla cerrada anterior puede ser visto como un sistema dinámicocuya entrada es d; siendo sus salidas el estado ~ = (d ) 2 R

n y _ 2 Rn:

Aquí ~ denota el error de la posición articular, d es la posición deseada y es la

posición real.

Paso 3 Estudio de la existencia y posible unicidad de equilibrios de la ecuación en

malla cerrada.

Paso 4 Propuesta de una función candidata de Lyapunov para el estudio de estabilidad

de algún equilibrio de interés de la ecuación de malla cerrada, haciendo uso de lateoría presentada en el capitulo 2.

1 Se realiza el estudio del controlador con compensación de gravedad, ya que el modelo dinámicoque se obtuvo en el capitulo 3 posee compensación de gravedad es decir g() 6= 0:

31



4.2. Análisis De Estabilidad Utilizando El Segundo

Método De Lyapuanov

Se estudiara el control PD con compensación de gravedad, que es capaz de satisfacerel objetivo de control de posición pura en forma global para robots de ng.d.l. En laley de control se requiere el conocimiento previo de una parte del modelo dinámico del

robot a ser controlado, puesto que se usa el vector de pares gravitacionales g():

La ley de control PD con compensación de gravedad está representada por:

= K p~ + K vd~

dt+ g(); (4.5)

donde K p; K v 2 Rnn son matrices simétricas de…nidas positivas seleccionadas por el

diseñador y denominadas ganancia de posición y de velocidad (o derivativa), respecti-vamente el vector d 2 Rn es la posición articular deseada, y el vector ~ = d 2 Rn

se denomina error de posición.

El controlador (4.5) hace uso explícito del conocimiento parcial del modelo del manip-

ulador especí…camente de g(); también la ley de control (4.5) requiere información

sobre la posición deseada d(t) y la velocidad deseada _d(t); así como la medición dela posición y la velocidad a cada instante.

Paso 1 Obtención de la ecuación dinámica de malla cerrada:

La ecuación de malla cerrada se obtiene combinando modelo dinámico (4.1) y elcontrolador (4.5):

M ()• + C (; _) _ + g() = K p~ + K vd~

dt+ g(): (4.6)

Paso 2 Representar la ecuación (4.6) como un sistema de ecuaciones diferenciales:

Una consideración importante que haremos es que la posición articular deseada d

sea un vector constante, y asi el controlador (4.5) veri…ca el objetivo de posición

pura, es decir,lmt!1

(t) = d;

donde d 2 Rn es un vector constante cualquiera.

La ecuación (4.6) puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferencialesasí:

Como ~ = d y d es constante entonces su derivada esd~

dt= _ Además como

32



~ = d entonces = d ~: Utilizando esta ultima igualdad la reemplazamos

en la ecuación (4.6) y obtenemos:

M (d ~)

• + C (d

~;

_)

_ + g(d

~) = K p

~ K v

_ + g(d

~);

por consiguiente lo escribimos en términos del vector estado así:

d

dt

"~

d~dt

#=

d

dt

"~_

#=

" _

M (d ~)1h

K p~ K v _ C (d ~; _) _i # :

(4.7)

Paso 3 Estudio de la existencia y posible unicidad de equilibrios de la ecuación en

malla cerrada (4.7):

Igualando d~

dt= 0, obtenemos que _ = 0:

Ahora igualando • = 0 obtenemos que M (d~)1h

K p~ K v _ C (d ~; _) _i

=

0, y sabiendo que _ = 0; lo reemplazamos en esta ultima ecuación y obtenemos

queK p~ = 0;

por lo tanto el origen es el único equilibrio.

Debido a que d es constante, representa una ecuación diferencial autónoma (in-variante en el tiempo).

Paso 4 Aplicación de la teoría de estabilidad de Lyapunov.

Para estudiar la estabilidad del origen, se empleara el método directo de Lyapunov

que ha sido presentado en el capítulo 2.

Considérese la función candidata de Lyapunov

V (~; _) = K (; _) +1

2~T

K p~;

Donde K (; _) denota la energía cinética del robot. Sabemos que K (; _) =1

2

_

T

M ()_ y M () es simétrica y de…nida positiva entonces

1

2

_

T

M ()_ es de…nidapositiva y por el mismo argumento 1

2~T

K p~ es de…nida positiva entonces V (~; _)

es de…nida positiva en forma global y radialmente desacotada.

Ahora reemplazando la energía cinética por la matriz de inercia la función candi-

data de Lyapunov comienza a depender de 3 variables (~; _ y ) 2 Rn quedandoasí:

V (~; _; ) =1

2_T

M () _ +1

2~T

K p~: (4.8)

33



Es conveniente hacer notar que la di…cultad de la aplicación de la Teoría de

estabilidad de Lyapunov es que no existe una técnica e…caz para el cálculo de

esta función de Lyapunov, si se supone que existe. En los casos en los el sistema es

autónomo y representa un sistema físico como en el caso de un brazo manipuladores conveniente considerar primero la función real de energía total del sistema o

considerar su energía cinética y sumarle algo mas, como la función candidata

de Lyapunov para este ejemplo se tiene su energía cinética y la adición de unafunción de…nida positiva.

en consecuencia su derivada con respecto al tiempo se obtiene utilizando la regla

de la cadena así _V (~; _; ) =

dV

d~

d~

dt+

dV

d _

d _

dt+

dV

d

d

dt:

Realicemos la primera derivada es decir dV d~

d~dt

:

Entonces tomemos de la ecuación (4.8) los elementos que dependen de ~ es decir

V (~) =1

2~T

K p~;

descomponiéndola obtenemos

V (~) =1

2h~1 ~2 ~

niT 266664

c11 0 0

0 c22 0

... ... . . . ...0 0 cnn

377775

266664

~1~2

...~n

377775 ;

V (~) =1

2

hc11~1 c22~2 cnn~n

iT 266664

~1~2...

~n

377775 ;

V (~) =1

2 hc11~2

1 + c22~2

2 + + cnn~2

ni ;

por lo tanto

dV

d~=

1

2

dV

d~1

dV

d~2

dV

d~n

;

dV

d~=

hc11~1 c22~2 cnn~n

i;

34



la cual la puedo escribir como

dV d~

=h

~1 ~2 ~niT 266664

c11 0 0

0 c22 0... ... . . . ...

0 0 cnn

377775 ;

dV

d~= ~

T K p:

Por lo tantodV

d~

d~

dt= ~

T K p

d~

dt: (4.9)

Para la segunda derivadadV

d _

d _

dt; de la ecuación (4.8) tomo los elementos que

dependen solamente de _ es decir

V (_) =1

2_T

M () _;

descomponiéndola matricialmente obtenemos que

V ( _) =1

2 h_1 _2 _n

iT

266664

M ()11 M ()12 M ()1n

M ()21 M ()22 M ()2n...

.... . .

...

M ()n1 M ()n2 M ()nn

377775

266664

_1_2...

_n

377775

;

V ( _) =1

2

266664

M ()11 _1 + M ()21 _2 + M ()n1 _n

M ()12 _1 + M ()22 _2 + M ()n2 _n

...M ()1n _1 + M ()2n _2 + M ()nn _n

377775

T 266664

_1_2...

_n

377775 ;

V (_) =1

2[M 11 _

2

1 + M 21 _1 _2 + + M n1 _1 _n + M 12 _1 _2 + M 22 _2

2 + M n2 _2 _n

M 1n _1 _n + M 2n _2 _n + M nn _2n];

recordemos que la matriz M () es simétrica entonces los componentes M ()mn yM ()nm son iguales para cualquier n y m: entonces

V ( _) =1

2

"M 11 _

2

1 + 2M 21 _1 _2 + + 2M n1 _1 _n + 2M 22 _2

2 + 2M 32 _2 _3 +

+ 2M n2 _2 _n + + M nn _2

n

#;

35



por lo tanto la derivada queda

dV

d _=

1

2 dV

d _1

dV

d _2

dV

d _n ;

dV

d _=

"M 11 _1 + M 21 _2 + + M n1 _n M 12 _1 + M 22 _2 + + M n2 _n +

+M 1n _1 + M 2n _2 + + M nn _n

#;

la cual puedo escribir como

dV

d _=h

_1 _2 _n

iT 266664

M ()11 M ()12 M ()1n

M ()21 M ()22 M ()2n...

.... . .

...M ()n1 M ()n2 M ()nn

377775

;

es decir escrita en forma compacta tenemos

dV

d _= _

T M ();

y comod _

dt= •; entonces

dV

d _

d _

dt= _

T M ()•: (4.10)

Para la tercera derivada

dV

d

d

dt ; de la ecuación (4.8) tomo los elementos quedependen solamente de es decir

V (_) =1

2_T

M () _;

descomponiéndola matricialmente obtenemos que

V () =1

2 h_1 _2 _n

iT

266664

M ()11 M ()12 M ()1n

M ()21 M ()22 M ()2n...

.... . .

...

M ()n1 M ()n2 M ()nn

377775

266664

_1_2...

_n

377775

;

V () =1

2

266664

M ()11 _1 + M ()21 _2 + M ()n1 _n

M ()12 _1 + M ()22 _2 + M ()n2 _n

...M ()1n _1 + M ()2n _2 + M ()nn _n

377775

T 266664

_1_2...

_n

377775 ;

36



1

2

"M ()11 _

2

1 + M ()21 _1 _2 + + M ()n1 _1 _n + M ()12 _1 _2 + M ()22 _2

2+

+ + M ()n2 _2 _n + M ()1n _1 _n + M ()2n _2 _n + + M ()nn _2

n

#;

y la derivada quedadV d

=

dV d1

dV d2

dV dn

;

procedemos de forma similar a los casos anteriores y obtenemos que

dV

d=

1

2

h_1 _2 _n

iT 266664

_M ()11 _M ()12 _M ()1n_M ()21 _M ()22 _M ()2n

......

. . ....

_M ()n1 _M ()n2 _M ()nn

377775 ;

o escrito en forma compacta

dV

d=

1

2_T _M ();

y comod _

dt= _; entonces

dV

d

d

dt=

1

2_T _M () _: (4.11)

Ahora sumando las ecuaciones (4.9,4.10 y 4.11) obtenemos la derivada con re-

specto al tiempo

_V (~; _) = _T

M ()• +1

2_T _M () _ + ~

T K p

d~

dt; (4.12)

usando el hecho que M ()• =h

K p~ K v _ C (d ~; _) _i

de la ecuación (4.7)

y el hecho que = d ~ obtenemos

M ()• =h

K p~ K v _ C (; _) _i

; (4.13)

reemplazando la ecuación (4.13) en la ecuación (4.12) y el hecho qued~

dt= _

también de la ecuación (4.7) obtenemos que

_V (~; _) = _T h

K p~ K v _ C (; _) _i

+1

2_T _M ()_ ~

T K p _;

distribuyendo _T

obtenemos

_V (~; _) = _T

K p~ _T

K v _ _T

C (; _)_ +1

2_T _M () _ ~

T K p _;

37



reorganizando

_V (~; _) = _T

K p~ _T

K v _ + _T

[1

2_M () C (; _)] _ ~

T K p _;

y usando el hecho que _T

[12

_M () C (; _)] _ = 0

_V (~; _) = _T

K p~ _T

K v _ ~T

K p _;

además como _T

K p~ = ~T

K p _ obtenemos

_V (~; _) = _T

K v _;

como K v es una matriz simétrica de…nida positiva entonces _T

K v _ es de…nida

positiva y en consecuencia _

T

K v _ es semide…nida negativa es decir_V (~; _) = _

T K v _ 0: (4.14)

En consecuencia la función V (~; ) es una función de Lyapunov y en vista de que_V (~; ) 0 usamos el teorema 2.13 y determinamos la estabilidad del origen y el

acotamiento de las soluciones ~(t) y _(t):

Una breve demostración seria. Sea c 0 una constante y considérese la curva en el

plano xy dado por V (~; _) = c Ver …gura (4.1) el cual corresponde a una curvade nivel. Para el caso de c = 0; la curva se reduce a un simple punto ~ = 0;

_ = 0. Sin embargo, para c > 0 su…cientemente pequeña, demostraremos que

al aplicar la continuidad de V (~; _); la curva es cerrada y contiene al origen.Supondremos que si 0 < c1 < c2; la curva V (~; _) = c1 ésta dentro de la curva

Figura 4.1: Curvas de nivel

38



V (~; _) = c2:Por tanto dado un circulo de radio > 0 alrededor del origen y

al tomar c su…cientemente pequeña se puede asegurar que toda trayectoria que

se inicie adentro de la curva cerrada _V (~; _) = c permanece dentro del círculo

de radio > 0; de hecho, permanece en el interior de la propia curva cerradaV (~; _) = c: Por tanto el origen es un punto crítico estable.Para demostrar esto,

recuérdese por lo visto en cálculo que el vector

rV (~; _) = V ~(~; _)i + V _(~; _) j;

conocido como el gradiente de V , es normal a la curva V (~; _) = c y apuntaen la dirección de V (~; _) creciente como las circunferencias crece hacia afuera

entonces el gradiente apunta hacia afuera del origen, como se indica en la …gura

ver (4.2).Considérese a continuación una trayectoria ~ = (t); _ = (t) del

sistema 4.7 y recuérdese que el vector T(t) =d(t)

dti+

d(t)

dtj, es tangente a la

trayectoria en cada punto; ver la …gura (4.2). Sea ~1 = (t1); _1 = (t1) un punto

de intersección de la trayectoria y una curva cerrada V (~; _) = c:En este punto,d(t)

dt=

d~(~1; _1)

dty

d(t)

dt=

d _(~1; _1)

dty derivando parcialmente la ecuación de

Lyapunov es decir

V (~; _)

dt= V ~(~; _)

d~(~1; _1)

dt+ V (~; _)

d _(~1; _1)

dt;

Figura 4.2: Interpretación geométrica del método de Lyapunov.

39



y luego reemplazando las igualdades anteriores obtenemos

_V (~; _) = V ~(~1; _1)d(t)

dt+ V (~1; _1)

d(t)

dt;

= [V ~(~1; _1)i + V (~1; _1) j]

d(t)dt

+ d(t)dt

;

= rV (~1; _1) T(t1):

Por tanto _V (~1; _1) es el producto escalar del vector rV (~1; _1) y el vector T(t1):

Dado que _V (~1; _1) 0; se concluye que el el coseno del ángulo entre rV (~1; _1)

y T(t1):es menor que cero de donde, el propio ángulo se encuentra en el intervalo

2;

3

2

: Por tanto, la dirección del movimiento sobre la trayectoria es hacia

adentro con respecto a V (~; _) = c o, en el peor de los casos, tangente a esta cur-

va. Por lo tanto las trayectorias que se inician en el interior de una curva cerradaV (~; _) = c (no importa cuan pequeña sea c) no puede escapar, de modo que el

origen es un punto estable.

Por otro lado como el sistema (4.7) es un sistema autónomo, cuyo origen es el

único equilibrio, además existe una función candidata de Lyapunov V (~; _) de…ni-da positiva globalmente y radialmente desacotada que su derivada _V (~; _) 0

ecuación (4.14) entonces podemos utilizar el teorema Lyapunov la Salle (teorema

2.16 ) para analizar la estabilidad asintótica global del origen.

Defínase el conjunto como:

=n

x 2 R2n : _V (x) = 0o

;

=

(x =

"~

#2 R2n : _V (~; _) = 0

);

=n

~ 2 Rn; _ = 0 2 Rno

:

Obsérvese que _V (~; _) = 0 si solo si _ = 0: Para que una solución x(t) pertenezca

a para todo t 0, es necesario y su…ciente que _(t) = 0 para todo t 0: Por

lo tanto, también debe satisfacer que •(t) = 0 para todo t 0: Tomando esto en

consideración, de la ecuación de malla cerrada o ecuación (4.7) lo cual se concluyeque si x(t) 2 para todo t 0; entonces

0 = M ()1K p~(t);

0 = K p~(t);

lo que signi…ca que ~(t) = 0 para todo t 0: [~(0)T _(0)T ] = 0 2 R2n es la

condición inicial en para la cual x(t) 2 para todo t 0: Luego, de acuerdo con

40



el teorema Lyapunov la Salle Teorema 2.15, esto basta para garantizar estabilidad

asintótica global del origen [~ _] = 0 2 R2n:

Como resultado, se a…rma que

lmt!1

~(t) = 0;

lmt!1

_(t) = 0:

Es decir, que se veri…ca el objetivo de control de posición pura.

Una demostración seria si _V (~1; _1) < 0, entonces las trayectorias que pasan por

los puntos de la curva en realidad apunta hacia adentro. Como esto se cumplepara cualquier c, entonces para c tan cercanos al origen las trayectorias deben

tender al origen. Cumpliendo el objetivo de estabilidad asintótica

41



Capítulo 5

DIAGRAMAS EN SIMULINK

5.1. ¿Que Es Simulink?Simulink es una herramienta para el modelaje, análisis y simulación de una amplia

variedad de sistemas físicos y matemáticos, inclusive aquellos con elementos no lineales

y aquellos que hacen uso de tiempos continuos y discretos. Como una extensión deMatLab, Simulink adiciona muchas características especí…cas a los sistemas dinámicos,

mientras conserva toda la funcionalidad de propósito general de MatLab. Así Simulink

no es completamente un programa separado de MatLab, sino un anexo a él. El ambiente

de MatLab está siempre disponible mientras se ejecuta una simulación en Simulink.

Simulink tiene dos fases de uso: la de…nición del modelo y el análisis del modelo. Lade…nición del modelo signi…ca construir el modelo a partir de elementos básicos con-

struidos previamente, tal como, integradores, bloques de ganancia o servomotores. El

análisis del modelo signi…ca realizar la simulación, linealización y determinar el puntode equilibrio de un modelo previamente de…nido.

Para simpli…car la de…nición del modelo Simulink usa diferentes clases de ventanas

llamadas ventanas de diagramas de bloques. En estas ventanas se puede crear y editar

un modelo grá…camente usando el mouse. Simulink usa un ambiente grá…co lo que hacesencillo la creación de los modelos de sistemas.

Después de de…nir un modelo este puede ser analizado seleccionando una opción desdelos menús de Simulink o entrando comandos desde la línea de comandos de MatLab.

Simulink puede simular cualquier sistema que pueda ser de…nido por ecuaciones diferen-ciales continuas y ecuaciones diferenciales discretas. Esto signi…ca que se puede modelar

sistemas continuos en el tiempo, discretos en el tiempo o sistemas híbridos.

Simulink usa diagramas de bloques para representar sistemas dinámicos. Mediante una

42



interface grá…ca con el usuario se pueden arrastrar los componentes desde una librería

de bloques existentes y luego interconectarlos mediante conectores y alambre. La ven-

tana principal de Simulink se activa escribiendo simulink en la línea de comandos de

MatLab, y se muestra a continuación:Haciendo doble click en cualquiera de las librerías

Figura 5.1: Libreria de bloques.

presentes en esta ventana se abrirá otra ventana conteniendo una cantidad de bloquesrelativos a dicha librería.

Para realizar un sistema debe abrirse una nueva ventana de diagrama de bloques se-

leccionando la opción …le del menú principal del Simulink y allí la opción new. En esta

nueva ventana se colocarán todos los bloques interconectados que formarán el sistemadeseado.

Como ejemplo se ha tomado un generador de ondas seno de la librería de fuentes

"sources 2un osciloscopio de la librería "sinks", ambos se unieron mediante un conec-

tor usando el mouse. Este sistema se almacena como un archivo-m.Haciendo doble

Figura 5.2: Generador de ondas seno

click sobre cada elemento del sistema se pueden ver y modi…car sus características.

Por ejemplo, al generador seno se le puede modi…car su amplitud, frecuencia y fase. Al

osciloscopio se le de…nen las escalas horizontal y vertical.

43



Para ejecutar el programa se usa la opción simulation en el menú de la ventana del

archivo-m creado. En este submenú está la opción start que permite ejecutar el pro-

grama. También está la opción parameters que activa el panel de control de Simulink

en donde se de…nen los métodos y parámetros usados para la simulación.

5.2. Simulación

manipulador de 1:g.d.l,.

Para este caso las matrices de inercia, Coriolis y gravedad están dados respectivamentepor, M () = ml2; C ( _; ) = 0; y g() = mgl sin(): Para la simulación se tomaron los

siguientes valores:

ml2 = 1, mgl = 1

K p = 2; K v = 3

(0) = 0; _(0) = 0

d =

2:

La ecuación (4.7) con los datos para el manipulador de un grado de libertad se trans-

forma en el siguiente sistema,

d

dt" ~

_#

=" _

2~ 3 _# :

El diagrama de bloques en simulink, para resolver el sistema en un un tiempo de

simulación 0 t 10 es el mostrado en la …gura (5.3) y los resultados de la simulaciónson los presentados en las …guras (5.4) y (5.5). La …gura (5.4) representa el error de

posición ~ = jd j ; para el tiempo t = 0; ~ =

2, y lm

t!1

~(t) = 0; comprobando la

teoría de estabilidad de Lyapunov que el lmt!1

(t) = d(t); La …gura (5.5), representa

la velocidad articular, _; se observa en esta grá…ca que la velocidad parte de cero y

tiene un punto máximo en 0.8ms

y luego tiende asintóticamente a cero después de 7

segundos, con…rmando que lmt!1

_(t) = 0manipulador de 2g.d.l.

El modelo dinámico1 viene dado por:

1 Las diferentes ecuaciones del modelo dinámico las encontramos en la construcción hecha en elcapitulo 3 referente al modelo de un manipulador de 2g.d.l.

44



Figura 5.3: Diagrama de bloques para un manipulador de 1g.d.l.

Figura 5.4: Error de posición de un manipulador de 1g.d.l.

45



Figura 5.5: Velocidad de un manipulador de 1g.d.l.

Entonces la ecuación (4.7), expresada en forma vectorial es:

d

dt

26664

~1~2

_1_1

37775 =

2664

_1

_2

M ()1h

K p~ K v _ C (d ~; _)_i3775 ;

donde M =

"M 11 M 12

M 21 M 22

#; K p =

"120 0

0 81

#; K v =

"35 0

0 15

#y C =

"C 11 C 12

C 21 C 22

#:

Las condiciones iniciales y deseadas son:

1(0) = 0; _1(0) = 0;

2(0) = 0; _2(0) = 0;

d1 =

4 ; _d2 =

20

Con los siguientes datos numericos:

46



Descripición Notación Valor unidades

Longitud eslabón 1 l1 0.45 m

Longitud eslabón 2 l2 0.45 m

Distancia al centro de masa (eslabón 1) lc1 0.091 mDistancia al centro de masa (eslabón 2) lc2 0.048 m

Masa eslabón 1 m1 23.902 Kg

Masa eslabón 2 m2 3.880 Kg

Inercia eslabón 1 respecto al centro de masa I 1 1.266 Kgm2

Inercia eslabón 2 respecto al centro de masa I 2 0.093 Kgm2

Aceleración de la gravedad g 9.81ms2

.

El diagrama de bloques en simulink, para resolver el sistema en un un tiempo de

simulación 0 t 2 es el mostrado en la …gura (5.6) el cual tiene asociado un sub-sistema …gura(5.7) y los resultados de la simulación son los presentados en las …guras(5.9) y (5.10). La …gura (5.9) representa los errores de posición ~1 = jd1 1j ; y~2 = jd2 2j para el tiempo t = 0; ~1 =

4; ~1 =

20, y lm

t!1

~(t) = 0; comprobando

la teoría de estabilidad de Lyapunov lmt!1

1(t) = d1(t) y lmt!1

2(t) = d2(t); La …gura

(5.5), representa la velocidad articular, _1 y _2; se observa en esta grá…ca que la ve-

locidad parte de cero y tiene un punto máximo en 2ms

y 0.5ms

respectivamente, luegotiende asintóticamente a cero después de 7 segundos, con…rmando que lm

t!1

_1(t) = 0 y

lmt!1

_2(t) = 0:

Su diagrama de bloques en simulink es:

El cual tiene asociado un subsistema:La …gura (??) posee el Bloque MATLABFunction ver(5.8) que tiene como trabajo converir datos de Dimensión 2 en datos de

Dimensión 1 .Sus respectivos resultados son:

47



Figura 5.6: Diagrama de Bloques de un manipulador de 2g.d.l.

48



Figura 5.7: Subsistema de un manipulador de 2g.d.l.

Figura 5.8: MATLAB Function.

49



Figura 5.9: Error de posición eslabón 1 (amarillo) y eslabón 2 (violeta).

Figura 5.10: Velocidad eslabón 1 (amarillo), velocidad eslabón 2 (violeta).

50



Capítulo 6

RELACIÓN DEL TRABAJO CON

LOS ESTANDARES DE LA

EDUCACIÓN

Este capitulo tiene como objetivo mostrar que conceptos básicos que se aprenden enla educación media son muy importantes, ya que forman la base de cualquier trabajo

de matemática aplicada sin importar el nivel de complejidad que este posea. Es decir

una buena enseñanza en un entorno educativo de colegio es el primer paso para crecer

en el desarrollo de la ciencia y por lo tanto en el desarrollo del país.

En grado decimo:Matemáticas:

* En la construcción del modelo dinámico se hace pertinente utilizar funciones trigonomé

cas para relacionar en ángulo y las diferentes articulaciones tanto en el cálculo

de la energía cinética como en la energía potencial.

* Para la reducción del Lagrangiano es preciso conocer identidades trigonométricas

como lo sonsin2(x) + cos2(x) = 1

sin(x)sin(x + y) + cos(x)cos(x + y) = cos(y):

como se ve, se relacionan implícitamente suma y resta de ángulos dobles

* En la propuesta de una función candidata de Lyapunov para un sistema de ecuaciones

diferenciales,la primera opción es considerar una parábola que pasa por el origen

51



o de la formay = 4 px2

* En la demostración de la ecuación (4.14) se hace necesario conocer la circunferenciacentrada en el origen y sus propiedades

* En el trabajo se utilizaron conceptos in…nidad de veces como lo son Matriz, vectores,

operaciones con matrices y vectores, determinante además era necesario conocerla interpretación geométrica de estos conceptos.

Física:

Ejemplo 6.1

* Se hace uso en la simulación del sistema internacional de medidas (SI), entonces es

preciso conocerlo.

* En la demostración de los teoremas de Lyapunov es necesario conocer los conceptos

de vector y saber cuando un vector es normal.

* El lagrangiano es una generalización de la segunda Ley de Newton, la magnitud de

la fuerza es directamente proporcional a la masa por su aceleración.

F = ma

Conocer las leyes de Newton para la construcción de las ecuaciones de movimiento

es importante en cualquier aplicación de física matemática.

* Manejar conceptos como posición, velocidad, aceleración,fuerza, energía cinética,

energía potencial es importante para la construcción del modelo dinámico es

decir la construcción de las ecuaciones del movimiento.

* La teoría de estabilidad de Lyapunov se basa en la ley de la conservación de la energía

y la de que un punto es estable si su energía potencial es un mínimo local.* Manejar los conceptos de cinemática y dinamica es importante a lo largo del trabajo.

En grado undécimo:

Matemáticas:

52



* De…nitivamente uno de los conceptos mas fuertes e importantes en la matemática

y que se utiliza en cualquier contexto es el concepto de función por lo tanto es

primordial conocerlo y manejarlo.

* En la construcción de funciones de…nidas positivas se deben tener claros conceptos

como dominio y rango de la función además de conceptos como función creciente

o función monótona es decir conocer las propiedades de las funciones.

* En la propuesta de una función candidata de Lyapunov esta tiene que cumplir que

sus derivadas parciales existan y ademas sean continuas entonces se manejan

conceptos y de…niciones de continuidad y derivadas se maneja implícitamente elteorema si es derivable entonces es continua.

* El objetivo de control eslmt!1

~(t) = 0;

es decir se deben conocer conceptos de limite in…nitos.

Se le dan aplicaciones físicas al concepto de la derivada ya que velocidad es laderivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración es la derivada de la

velocidad o lo que es equivalente la segunda derivada de la posición así.

velocidad = v =dx

dt

aceleracion = a =dv

dt=

d2x

dt2:

Física:

* Como el brazo manipulador se encuentra en rotación entonces hay que hablar del

momento de inercia.

* Es conveniente manejar conceptos como los son centro de masa y torque.

Relación con materias de la licenciatura en matemáticas:* En algebra lineal, en el capitulo 4 se trabaja con matrices y vectores utilizando las

diferentes propiedades y operaciones.

* En ecuaciones diferenciales, para poder realizar un trabajo de este tipo es necesario

manejar con …rmeza los conceptos de este curso, ya que la teoria de Lyapunov se

basa en conceptos de las ecuaciones diferenciales.

53



* En análisis numerico, al usar el programa Simulink se esta utilizando implicitamente

metodos numericos como los son el metodo de runke Kuta, el metodo de Newton

entre otros.

* Explorando más el tema de estabilidad se utilizan varios conceptos del análisis fun-cional como el teorema del punto …jo de Banach, espacios de funciones, normas,

distancias entre otros.

* En la construcción del modelo dinámico es necesario tener conceptos claros de física

que se aprenden en cursos de física

54



Capítulo 7

CONCLUSIONES

1 La enseñanza de las ecuaciones diferenciales no puede estar restringida solamente aejercicios planteados en los libros de texto que poco tienen que ver con modelos

reales, esta se puede enseñar y desarrollar a través ejemplos de la ciencia e in-geniería en la cual se hacen presentes aplicaciones muy didácticas e interesante,

permitiendo el desarrollo de conceptos en una forma tangible y no de naturaleza

estrictamente abstracta.

2 Las ecuaciones diferenciales, el algebra lineal, la física y los métodos numéricos con-stituyen una útil e indispensable herramienta en el diseño, análisis, simpli…cación

y elaboración de sistemas robóticos, los cuales son la base de la estabilidad y

construcción de sistemas macánicos en ingeniería robótica

3 La teoría de estabilidad de Lyapunov es una fuerte herramienta en la construcción

de sistemas estables no solamente en ingeniería si no en otras ciencias, esta teoríatiene cantidad de aplicaciones y es un tema de mucha actualidad.

4 El conocer la estabilidad de un sistema es primordial en ingeniería ya que esta,

permite no gastar dinero en prototipos defectuosos es decir prototipos inestables.

5 La teoría del caos y la teoría de bifurcaciones están muy relacionadas con la teoría de

estabilidad ya que caos es antónimo de estabilidad y bifurcaciones es ver cuandoun sistema cambia de estable a inestable.

6 Los Sistemas dinámicos de importancia y evolución en los últimos años son una

excelente forma de estudiar ecuaciones que rigen cualquier sistema no para tratar

de solucionar las ecuaciones sino para mirar cual será su comportamiento en el

transcurso del tiempo sis e estabilizara o no.

55



6 El software simulink permite conocer la evolución de la ecuación del control de

movimiento para observar su estabilidad en el transcurso del tiempo y analizar

como evoluciona su error y velocidad.

7 Los trabajos de matemática aplicada aterrizan conceptos que en la carrera de licen-ciatura en matemáticas se ven muy super…cialmente.

8 El texto constituye una relación entre la teoría formal matemática y diferentes ramasde la ingeniería, como la electrónica y la robótica, además forma parte de una

etapa de investigación formativa, ya que reúne diferentes tópicos; permitiendo un

estudio básico e inductivo a estas áreas, así mismo permite llevar conceptos ab-

stractos de una forma tangible a las aulas de clase, permitiendo un acercamientode los jóvenes hacia las matemáticas y la tecnología.

56



Bibliografía

[1] Borrelli-Coleman,Ecuaciones diferenciales una perspectiva de modelación, ed., Ox-

ford 1998

[2] Boyce-DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a

ed, Limusa, 2001

[3] campos romero, Prolegómenos a los sistemas dinámicos, ed, universidad nacional.

[4] David Lonen-David Lovelock, Ecuaciones diferenciales a través de grá…cas, modelos

y datos, 1a ed, 2000.

[5] Stanley I. Grossman, Álgerbra lineal, Mc Graw Hill, 5a ed, 1996.

[6] R. Kelly, V. Santibáñez, Control de movimiento de robots manipuladores, Pearson,

2003.

[7] Krasnov, Funciones de variable compleja cálculo operacional y teoría de la estabil-

idad, reverte, 1976..

57

LIBRO FINAL ad Entre Ver6

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