Le MEDAF

Le Modèle d’Equilibre des actifs financiers

Plan Introduction Section I : Les deux composantes du risque Section II : La théorie du portefeuille

Insuffisance du critère Espérance Fonction d’utilité Espérance et variance d’un portefeuille Frontière d’efficience Choix d’un portefeuille optimal pour l’investisseur

Section III : le MEDAF

Introduction

Sharpe (1966)

Théorie du choix du portefeuille Markowitz (59)

Modélisation du taux de rendement d’un titre

Prime ?

La prime moyenne du marché France USA

primerisquesanstauxattendurendementdetaux

I : Les deux composantes du risque

La diversification le risque

Risque concerné ici = la météo ou risque spécifique

Si crise économique => Tous les secteurs sont touchés de façon plus ou moins forte

=> risque systématique

Produits vendus Huile solaire Parapluie

Capitaux investis

50% - 50%

Beau temps 30% 4% ?

Temps Voilé 17% 17% ?

Pluie 4% 30% ?

I : Les deux composantes du risque

Peut-on éliminer le risque ?

Comment varie le risque d’un pf en fonction de N ?

Si N augmente = > diminue

Mais une limite : si

Conclusions : seul le risque spécifique peut être éliminé par

diversification Le risque systématique existe toujours =>

rémunération

cteN 30

I : Les deux composantes du risque

Fonction de l’entreprise

ifMfi rErrE )()(

uesystématiqrisquedeprimerrE fi )(

Chaque entreprise a son

II : La théorie du pf

Objectif ?

Insuffisance du critère Espérance

Paradoxe de Saint-Petersbourg

Il faut tenir compte de l’aversion de l’agent pour le risque

Fonction d’utilité 1 gain un utilon Utilon = mesure de la satisfaction de l’agent Critère de choix = ?

II : La théorie du pf

Propriétés :si ri suit une loi normale

est une bonne mesure du risque

Tout pf est caractérisé par le couple : E(Rpf), (Rpf)

Lieu des pf ayant même utilité

II : La théorie du pf

Espérance, Variance d’un portefeuille

Le rendement du titre i

Le rendement d’un pf

Le rendement espéré du pf

La variance d’un pf

t

tti P

DPPr

1

i

n

ip rxR 1

11

n

ixavec

)()(1

i

n

ip rExRE

ji

jijii

n

ip rrxxxR ),cov(2)( 2

1

22

II : La théorie du pf Frontière d’efficience

La région Ep, p est pleine

Elimination de certains pf

Tous les pf ayant même variance mais une espérance de rdt

< sont éliminés

Tous les pf ayant même espérance mais une variance >

sont éliminés

=> seul un ensemble de titres restent= la frontière

d’efficience La frontière d’efficience est concave

II : La théorie du pf Choix d’un pf optimal pour l’agent

L’agent choisit son pf : il est sur la frontière d’efficience il lui procure l’utilité la plus forte

²

Ep

II : La théorie du pf Choix d’un pf optimal pour l’agent

Le pf optimal est propre à chaque agent Dépend de sa fonction d’utilité

²

Ep

II : La théorie du pf Frontière d’efficience et taux sans risque

L’actif sans risque E(rf)= rf

(rf) = 0

Cov(rf,ri)=0

Soit Q un pf Composition du pf Q

Une partie Xp est investie dans un pf P risqué Le solde dans l’actif ss risque

Où se trouve le pf Q ?

II : La théorie du pf

QP

fPfQ

rErE

)(Q

=? = ?

rf

+P

p

Ep

QE

Frontière d’efficience et taux sans risque

rf

+P

p

Ep

XM

II : La théorie du pf

Frontière d’efficience et taux sans risque

Propriétés La frontière d’efficience est une droite On l’appelle CML (Capital Market Line) Son équation :

Le portefeuille M = ?

QM

fMfQ

rErE

)(

III : Le MEDAF

Lieu des portefeuilles efficients

Hypothèse : La CML est commune à tous les agents M est le portefeuille de marché

Propriétés Pour tout pf efficient, est proportionnelle à Les pf efficients sont des pf parfaitement diversifiés Les pf non efficients sont situés sous la frontière

d’efficience

QE Q

III : Le MEDAF

Droite caractéristique d’un titre

Régression de Ri sur Rm

RM,t est le rendement du marché dans son ensemble à la date t

Ri,t est le rendement du titre i observé à la date t i est la constante à l’origine de la droite de régression i est le coefficient directeur de la droite de régression,

est appelé bêta du titre

titMiiti RR ,,,

2

),cov(

M

Mii

RR

III : Le MEDAF

iX

X

X

X

X

Ri

iRM

ti ,

III : Le MEDAF

Droite caractéristique du titre et risque

Le risque du titre est mesuré par son

2 sources expliquent la variabilité de Ri

Le lien entre Ri et Rm

Les caractéristiques propres du titre

Equation de la droite caractéristique :

iMiii RR ~~~

avec iMi RR ~,~,~

des variables aléatoires

III : Le MEDAF

risque

)~()~(²)

~( iMii VarRVarRVar

Risque Total du titre

Risque dûAu marché

Risque dû aux Caractéristiques du titre

Risque spécifiqueRisque systématique

III : Le MEDAF

Le MEDAF

fMMMp RXEXE )1(

Pf efficient

XM dans M

1-XM dans rf

Inv. dans le pf de marché

Inv. dans l’actif ss risque

?PPfMfp RERE )(

Equation du MEDAF

III : Le MEDAF

P

Ep

Rf

M

1

EM

A

B

Tous les pf sont situés sur la droite Rf M, appelée SML

III : Le MEDAF Propriétés de la SML

Dans le plan (Ei,i), la SML passe par le point Rf et le point M

Elle est applicable à tout titre ou pf efficient ou non efficient

Elle ne prend en compte que le risque non diversifiable mesuré par le i du titre i

La CML est un cas particulier de la SML