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LA TRANSFORMACION DE LAPLACE

1. INTRODUCCION

En esta publicación se presenta la transformación de Laplace y algunas de sus apli-

caciones, principalmente en la resolución de problemas de valores iniciales que incluyen

ecuaciones o sistemas de ecuaciones diferenciales o integrodiferenciales lineales. Como se

podrá apreciar, la transformación de Laplace proporciona un método eficaz en el trata-

miento de esos problemas, y por sus ventajas sobre los métodos convencionales es de uso

habitual en análisis y síntesis de circuitos, así como en el estudio de sistemas lineales y de

sistemas de control y servomecanismos.

La forma de presentación utilizará algunos conceptos simples del análisis lineal,

considerándose a la transformación de Laplace y a su inversa como operadores lineales.

El estudio de sus propiedades operacionales, que será efectuado con cierto detalle, abre el

camino para introducir otras transformaciones lineales integrales, tales como la transfor-

mación de Fourier y algunas de sus generalizaciones.

Debido a que las transformaciones lineales integrales de funciones f ( t ) definidas

en un intervalo ( a, b ) (no necesariamente acotado), son de gran utilidad en la resolución

de problemas cuyos modelos matemáticos utilicen ecuaciones diferenciales o integro-

diferenciales lineales, es conveniente efectuar una presentación general de las mismas.

Si K ( t, s ) es una función especificada de la variable t y de un parámetro s , una

transformación lineal integral de funciones f ( t ), respecto del núcleo K ( t, s ), es definida

mediante la ecuación

2 La Transformación de Laplace H. V. Masía

(1.1) ∫=

)( ),( )]([

b

a

tdtfstKtfT .

En esta igualdad T [ f ( t ) ] representa una función F ( s ) llamada imagen o trans-

formada de la función f ( t ) . En cada caso deberá especificarse el espacio de funciones en

el cual está definida la transformación, y además el rango de valores del parámetro s, los

que deberán ser tales que exista la integral del segundo miembro de (1.1).

Se mostrará que cuando la transformación (1.1) obtenida con determinados núcleos

K ( t, s ) es aplicada a formas diferenciales o integro-diferenciales en f ( t ) , cambia tales

formas en expresiones algebraicas en la transformada F ( s ) que involucran además valo-

res iniciales de la función f ( t ) . Por esta razón, ciertos problemas con ecuaciones diferen-

ciales o integro-diferenciales se transforman en problemas algebraicos en la imagen de la

función incógnita. Si existe una transformación inversa, la solución del problema original

puede hallarse por este camino simple. Algunos problemas de contorno con ecuaciones en

derivadas parciales también pueden simplificarse de modo análogo.

Cuando a = 0 , b = + ∞ , y K ( t, s ) = e – s t, la transformación definida por medio de

la fórmula (1.1) es llamada transformación de Laplace. Su aplicación ha reemplazado con

ventajas al método clásico y también al procedimiento simbólico introducido por el inge-

niero electricista inglés Oliver Heaviside (1850-1925). El desarrollo de la transformación

fue comenzado por Pierre Simon Laplace (1749-1827), y continuado por Augustin Louis

Cauchy (1789-1857), quien hizo importantes aportes sobre el tema.

H. V. Masía La transformación de Laplace 3

2. DEFINICION DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE

DEFINICION: Sea f una función definida en [ 0 , + ∞ ) , excepto a lo sumo en un conjun-

to discreto. Considérese la integral impropia

∫∞

−+

0 )(

tdtfe ts ,

donde s es una variable compleja. Si existe un conjunto (no vacío) de valores de la va-

riable s para los cuales la integral es convergente, definirá en ese conjunto una función

F de la variable compleja s. En tal caso se dice que f es transformable Laplace, y la

función F así definida es llamada transformada de Laplace de f , simbolizándosela in-

distintamente por L [ f ] , L [ f ] ( s ) , o L [ f ( t )]

.

Así, por definición, es

(2.1) L [ f ( t )] = ∫

∞−

+

0 )(

tdtfe ts ,

para cada valor s tal que la integral del segundo miembro converge.

Se examinan a continuación algunos casos simples, para luego estudiar condiciones

que aseguren la existencia de transformada para cierta clase de funciones.

EJEMPLO 1. Sea f ( t ) = 1 para todo t. Entonces

∫ −b

ts tde

0 1

= . 0 si , )1(

1

, 0 si ,

≠−

=

− ses

sb

bs

Se deduce de esto que si Re ( s ) ≤ 0 , la integral carece de límite para b → + ∞ ,

mientras que si Re ( s ) > 0 , la integral converge, y resulta


L [ 1 ] = s

1 , Re ( s ) > 0

.

EJEMPLO 2. Sea f ( t ) = e a t . Entonces

∫ −b

tats tdee

0

= . si , )1(

)(

1

, si ,

)(

aseas

asb

bas ≠−−

=

−−

Análogamente al caso anterior, si Re ( s ) ≤ a , la integral diverge, mientras que si

Re ( s ) > a , la integral converge, y resulta

L [ e a t ] =

1

as − , Re ( s ) > a .

EJEMPLO 3. Sea f ( t ) = cos w t . Entonces

∫ −b

ts tdwte

0 cos =

22

22

)cossen (

ws

swbswbw

ws

e bs

++−

+

− .

Obviamente, si Re ( s ) ≤ 0, la integral diverge, mientras que si Re ( s ) > 0 , existe

límite del segundo miembro para b → + ∞ , resultando

L [ cos w t ] =

22 ws

s

+ , Re ( s ) > 0

.


3. CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En muchos casos es posible calcular la transformada de Laplace de una función por

medio de la definición, como se hizo en los ejemplos anteriores. Sin embargo, es necesa-

rio estudiar condiciones que aseguren la existencia de la transformada de una función f

dada, pues resultará útil considerar a L como un operador lineal de un espacio vectorial

en otro.

Un análisis inicial de (2.1) indica que una condición que deberá ser cumplida por la

función f es que la integral

(3.1) ∫ −b

ts tdtfe

0 )(

exista para todo valor de b > 0

. Esta exigencia es verificada cuando f es seccionalmente

continua en [ 0, + ∞ ) , ya que en este caso el integrando de (3.1)

también lo es, y en con-

secuencia la integral existe. Obsérvese que esta condición es suficiente para la existencia

de la integral (3.1),

aunque no necesaria,

dado que existen funciones integrables que no

son seccionalmente continuas. No obstante ello, se trabajará habitualmente con el conjun-

to de las funciones seccionalmente continuas pues con eso se cubre la mayoría de los ca-

sos que habrán de considerarse.

En lo sucesivo, cada vez que se haga referencia a una propiedad válida para todo

t ≥ a , deberá entenderse como válida para todos los valores del intervalo [ a, + ∞ ) , en los

que la función esté definida. Conviene recordar que el conjunto de valores del intervalo

[ 0 , + ∞ ) en los cuales la función pueda no estar definida será, a lo sumo,

un conjunto

discreto.


Prosiguiendo con el análisis, nótese que la seccional continuidad de f no alcanza

para garantizar la existencia de L [ f ]

, ya que además la integral impropia deberá ser con-

vergente al menos para un conjunto (no vacío) de valores de la variable s. Una forma de

asegurar esto es exigir que el valor absoluto del integrando esté "mayorado" por alguna

función integrable y positiva cuya integral impropia sea convergente. Esta idea se estable-

ce con precisión en la definición siguiente.

DEFINICION: Se dice que una función f es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , si exis-

ten constantes reales C, a, con C > 0 , tales que

(3.2) f ( t ) ≤ C e a t ,

para todo valor de t ≥ 0 en que la función esté definida.

Por ejemplo, la función constante f ( t ) =

k es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) ,

pues cumple la condición (3.2) con C = k y a = 0

. También lo es f ( t )

= t

, ya que

satisface (3.2) con C = 1 y a = 1 . Es evidente que una función exponencial es de orden

exponencial, así como toda función acotada en el intervalo [ 0 , + ∞ ) . Es fácil probar que

la suma, combinación lineal, y producto de funciones de orden exponencial, son también

funciones de orden exponencial, y la demostración de estas propiedades se propone como

un ejercicio.

En base a estas consideraciones, se deduce fácilmente que funciones como

t n , e a t

, cos w t , sen w t , t n e a t

cos w t , t n e a t

sen w t ,

que aparecen habitualmente al tratar con ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes

constantes, son de orden exponencial.


En cambio, la función f ( t ) = e

t

2

, no es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , porque

lime

elim e

t

t

att

t t a

→+∞ →+∞

−= = + ∞

2

( ) ,

cualquiera sea el valor a, lo que muestra que no existen constantes C, a, que hagan ve-

rificar la desigualdad (3.2)

para tal función.

El teorema que sigue asegura la existencia de transformada de una clase de funcio-

nes suficientemente amplia para los usos corrientes de la transformación de Laplace.

TEOREMA 3.1 Si f es una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , existe un número real a tal que su integral de Laplace

∫∞

−+

0 )(

tdtfe ts

converge para todo valor s tal que Re ( s ) > a .

Demostración: Por hipótesis, f es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , por lo que

existen constantes reales C, a,

tales que

f ( t ) ≤ C e a t , para todo valor de t ≥ 0

.

Entonces

e –s t f

( t ) =

e – Re ( s ) t f

( t ) ≤ C e – Re ( s ) t e a t

= C e – ( Re ( s ) – a ) t

, para todo t ≥ 0 .

Además

∫∞

−− +

0

))(Re(

tdeC tas = ∫ −−+∞→

btas

btdeC

0

))(Re(

lim

= )1 ( )(Re

))(Re(

bas

be

as

Clim −−

+∞→−

−,


o sea

∫∞

−− +

0

))(Re(

tdeC tas = )(Re as

C

−, si Re ( s ) > a .

Usando ahora el teorema de comparación para integrales impropias, se deduce que

∫∞

−+

0 )(

tdtfe ts

converge para todo valor s tal que Re ( s ) > a .

OBSERVACIONES:

1. El Teorema 3.1 no sólo prueba que toda función seccionalmente continua y de orden

exponencial es transformable Laplace, sino además que el dominio de su función

transformada contiene un semiplano de la forma s : Re ( s ) > a .

2. Nótese que, por uso del teorema de comparación para integrales impropias, resulta no

sólo la convergencia de la integral de Laplace, sino también su convergencia absoluta

cuando Re ( s ) > a, verificándose además que

(3.3) )(Re

)( )(][

+

0

as

Ctdtfesf ts

−≤≤ ∫

∞−L

,

para cada s tal que Re ( s ) > a .

De las observaciones anteriores se deduce que si f es seccionalmente continua y de

orden exponencial, el conjunto de A

de números reales a tales que la integral de Lapla-

ce de f converge para todo valor s tal que Re ( s ) > a , es no vacío. Existen dos casos

posibles: ( i ) Que la integral sea convergente para todo valor de s ; o (

ii

) Que existan

valores de s para los cuales la integral diverge. En este caso, indicando con α al ínfimo


del conjunto A, no es difícil probar que la integral de Laplace de la función f diverge

para todo valor s tal que Re ( s ) < α . El teorema que sigue resume estas consideraciones,

y su demostración es propuesta como un ejercicio.

TEOREMA 3.2 Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) . Si la integral de Laplace de f diverge para algún valor de

s, existe un único

número real α

con la propiedad de que la integral de Laplace de f es absolutamente con-

vergente para todo valor s tal que Re ( s ) > α , y es divergente para todo valor s tal que

Re ( s ) < α .

OBSERVACIONES:

1. Nótese que, con la posible excepción de la recta de ecuación Re ( s ) = α , el dominio

de L [ f ] es el semiplano s : Re ( s ) > a . Por este motivo el número real α es lla-

mado abscisa de convergencia de L [ f ] . Para ciertas funciones, como por ejemplo,

f ( t ) = 0

, o f ( t )

= e

– t

2

, la región de convergencia resulta ser todo el plano comple-

jo. En tales casos, se dirá que la abscisa de convergencia de f es – ∞ .

2. Las conclusiones anteriores garantizan la existencia de transformada de toda función

seccionalmente continua y de orden exponencial. Debe tenerse en cuenta que estas

condiciones son suficientes, aunque no necesarias para la existencia de transformada,

ya que hay funciones transformables que no son continuas y/o no son de orden expo-

nencial. Por ejemplo, la función f ( t ) = t –1/

2 es transformable aún cuando no es sec-

cionalmente continua. En efecto, mediante el uso del teorema de comparación no hay

dificultad para probar la convergencia de su integral de Laplace para todo valor de s

tal que Re ( s ) > 0. Más aún, mediante el cambio de variable t = x2

/ s, resulta


L [t –1/ 2 ] =

+

0

1 ∫

∞− td

te ts = ∫

∞ − +

0 ²

2

xdes

x = s

π ,

para cada s tal que Re ( s ) > 0 .

La función f ( t ) = t –1/ 2 del ejemplo no es seccionalmente continua. Se propone como

ejercicio encontrar un ejemplo de una función transformable Laplace que sea seccio-

nalmente continua y no sea de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) .

Como consecuencia de todo lo expuesto, resulta que el conjunto E

de todas las fun-

ciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, es un subconjunto propio del

conjunto de todas las funciones transformables Laplace. No es sencillo determinar con

exactitud este conjunto, y no se abordará este problema, trabajándose habitualmente con

el conjunto E por ser lo suficientemente amplio para los usos corrientes.


4. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE COMO UNA TRANSFORMACION

LINEAL

El conjunto E de todas las funciones reales seccionalmente continuas y de orden

exponencial en [ 0 , + ∞ ) , con la suma y el producto por escalares definido de la manera

usual, es un espacio vectorial real. Llámese con S al conjunto de todas las funciones

complejas cuyo dominio es un semiplano de la forma s : Re ( s ) > a , siendo a un nú-

mero real cualquiera, o bien todo el plano complejo. El conjunto S también puede ser

considerado como un espacio vectorial real, pero para ello debe modificarse la definición

habitual de igualdad con el objeto de posibilitar la suma entre sus elementos, ya que no to-

das las funciones de S tienen el mismo dominio. Así, se dirá que dos funciones F, G,

pertenecientes al conjunto S son iguales si existe un número real a tal que F ( s ) = G ( s )

para todo valor s tal que Re ( s ) > a . (Obsérvese que esta definición de igualdad difiere

de la habitual, que exige que ambas funciones tengan el mismo dominio, y además que la

igualdad se verifique en todo punto del dominio común a ambas). De este modo, si F y

G pertenecen a S, su función suma F + G será la función cuyo dominio es la intersec-

ción de los dominios de F y de G, y además ( F + G ) ( s ) para cada s de esa intersec-

ción. Es muy fácil verificar que con estas definiciones, y el producto por escalares defini-

do en la forma usual, S es un espacio vectorial.

En base a las consecuencias del Teorema 3.2, puede afirmarse que L

define una

transformación de E

en

S. Es inmediato verificar que la transformación

L

es lineal, es

decir que

(4.1) L [ a f + b g ] = a L [ f ] + b L [ g ] ,

cualesquiera sean los números reales a, b, y las funciones f, g, en E.


NOTA: Si no se modificara la noción de igualdad en S

del modo indicado, surgirían

algunas dificultades. En efecto, con la definición de igualdad usual, no siempre L [ f + g ]

es la misma función que L [ f ] + L [ g

] . Esa diferencia puede apreciarse considerando,

por ejemplo, el caso en que g ( t ) = – f ( t ) , y siendo la abscisa de convergencia de la

función f un número real a. En tal caso L [ f + ( – f ) ] = L [ 0 ] = 0 para todo s, mien-

tras que L [ f ] + L [ – f ] = 0 para todo valor de s tal que Re ( s ) > a , pero no está defi-

nida si Re ( s ) ≤ a . Es decir que los dominios de L [ f + (– f ) ] y de L [ f ] + L [ – f ] son

distintos, y en consecuencia, con la definición usual de igualdad, tales funciones son dife-

rentes. Similar diferencia resulta en el caso de multiplicar una función f por el número 0.

Esas dificultades son obviadas con la definición de igualdad adoptada en S

, y de la linea-

lidad de las integrales impropias se concluye la validez de la igualdad (4.1) en todos los

casos.

Una vez probada la linealidad de la transformación L : E → S , es de sumo interés

determinar si L es biyectiva, con el objeto de intentar definir una transformación inversa.

Un planteo equivalente a éste es estudiar la existencia y la unicidad de soluciones de la

ecuación funcional

(4.2) L [ y ] = F ( s ) ,

donde F es una función dada de S , e y ( t ) es la función incógnita.

Primeramente cabe observar que en caso de existir solución para la ecuación (4.2),

ésta tendrá infinidad de soluciones, ya que si f y g son funciones de E que difieren en

sus valores en un conjunto discreto, entonces L [ f ] = L [ g

] . Sin embargo, aunque ta-

les funciones son distintas, en realidad son "muy parecidas", ya que únicamente difieren

en puntos aislados. Si ésta resultara ser la mayor diferencia que pudiera existir entre las


soluciones de la ecuación (4.2), podría considerarse que, para los fines prácticos, la trans-

formación L es inyectiva. El teorema siguiente, conocido como teorema de Lerch, y que

no será demostrado, asegura que ello es así, estableciendo una de las propiedades más im-

portantes de la transformación de Laplace. Una prueba de este teorema puede encontrarse

en CARSLAW, H.S. y JAEGGER, J.C. [1]; PARODI, M. [1]; o REY PASTOR, J., PI CALLE-

JA, P. y TREJO, C.A. [1].

TEOREMA 4.1 Sean f , g

, funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial

en [ 0 , + ∞ ) , tales que L [ f ] ( s ) = L [ g

] ( s ) para todo s que verifica Re ( s ) > a .

Entonces f ( t ) =

g ( t ) para todo t ≥ 0 , excepto a lo sumo en los puntos de discontinui-

dad de ambas funciones.

Como consecuencia del teorema de Lerch, puede decirse que en el caso en que la

ecuación (4.2) admita solución para y , tal solución habrá de ser "esencialmente" única.

Dando más precisión a esto, si se modifica la definición de igualdad en E estableciendo

que dos funciones f, g, de E son iguales si coinciden para todo t ≥ 0 , excepto a lo

sumo en sus puntos de discontinuidad, podrá decirse que tal solución de (4.2) es única

(Quien que posea conocimientos de estructuras algebraicas reconocerá que esta presenta-

ción responde a definir en E una relación de equivalencia, como antes se hizo de modo

análogo en S .). Esa solución de la ecuación (4.2) es llamada antitransformada de Laplace

o transformada inversa de Laplace de F , se simboliza con L–1

[ F ], y se caracteriza por

(4.3) L–1 [ F ] =

y ⇔ L [ y ] = F .


Otra consecuencia importante del teorema de Lerch es que si la ecuación (4.2) admi-

te una solución continua en [ 0 , + ∞ ) , entonces cualquier otra solución de la misma será

discontinua; más precisamente, tendrá únicamente discontinuidades evitables en el inter-

valo [ 0 , + ∞ ) . Esto equivale a afirmar que si f y g son funciones continuas y de orden

exponencial, entonces

L [ f ] = L [

g ] ⇔ f ( t )

=

g

( t ) para todo t ≥ 0

.

Resta ahora estudiar si la transformación L es sobreyectiva. Esto es equivalente a

determinar si toda función de S

es transformada de alguna función de

E, es decir si la

ecuación funcional (4.2) tiene solución en E

para cada

F dada de

S . La respuesta es

negativa, como consecuencia del teorema que sigue.


[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) = L [ f ] ( s ) . Entonces

(4.4) 0)(

)Re(=

+∞→sFlim

s.

Demostración: Lo propuesto se deduce inmediatamente de la desigualdad (3.3),

que se obtuvo como consecuencia del Teorema 3.1.

La propiedad establecida en este teorema permite asegurar que el operador L no es

sobreyectivo dado que existen funciones de S, como 1

, s

, cos s

, s

/ (s

+1)

, etc., que

no verifican la condición (4.4), y por lo tanto no pueden ser imágenes de ninguna función

de E .


No nos proponemos identificar exactamente el subconjunto de funciones de S que

admiten antitransformada, y no es posible describirlo de un modo sencillo. No obstante,

es fácil verificar que el operador antitransformada es lineal, es decir que si F y G son

dos funciones tales que existen L–1 [ F ] y L–1

[ G ]

, entonces

L–1 [ a F + b G

] = a L–1

[ F ] + b L–1

[ G ] ,

cualesquiera sean los números reales a, b .

Finalmente, cabe destacar que el cumplimiento de (4.4) es una condición necesaria,

pero no suficiente para que una función de S

sea transformada de alguna función de

E.

Esto resulta de observar que existen funciones de S

que aunque verifican la condición

(4.4), no satisfacen (3.2), como por ejemplo F ( s ) = s . En consecuencia, una función

de esta clase no puede ser imagen de ninguna función de E, o equivalentemente, en caso

de admitir antitransformada, ésta no será una función seccionalmente continua y de orden

exponencial en [ 0 , + ∞ ) .


5. TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

En el párrafo 2, luego de definir la transformación de Laplace, fueron calculadas

las transformadas de algunas funciones haciendo uso de la definición. En forma similar se

deducen las fórmulas elementales que siguen, cuyas demostraciones se proponen como

ejercicio.

(5.1) L [ t ] =

12s

, Re ( s ) > 0

.

(5.2) L [ sen w t ] =

22 ws

w

+ , Re ( s ) > 0

.

(5.3) L [ t n ] =

! 1 +ns

n , Re ( s ) > 0

, ( n ∈ N )

.

Haciendo uso de la linealidad del operador L , obtenemos

(5.4) L [ cosh a t ] = L [ ( e a t + e – a t

) / 2 ] = 2

1 ( L [ e a t

] + L [ e – a t ] )

=

)

1

1 (

2

1

asas ++

− =

22 as

s

− , Re ( s ) >

a .

Trabajando de modo análogo, resulta

(5.5) L [ senh a t ] = 22 as

a

− , Re ( s ) >

a .

Puede formarse así una primera tabla de transformadas de Laplace de funciones

elementales, que naturalmente puede usarse también de modo inverso, como una tabla

elemental de antitransformadas. En ella notamos con F ( s ) =

L [ f ( t )] , y recíproca-

mente será f ( t ) =

L–1 [ F ( s ) ] .


T A B L A 1

f ( t ) F s ( ) f ( t ) F s ( )

1 s

1 e – a t

1

as +

t

12s

cos w t

22 ws

s

+

t 2

3

2

s sen w t

22

ws

w

+

t n

! 1 +ns

n cosh a t

22 as

s

−

e a t

1

as − senh a t

22 as

a

−

La propiedad de linealidad de la transformación de Laplace permite extender el uso

de los resultados de la Tabla 1 para calcular la transformada de cualquier combinación li-

neal de funciones que se encuentren en la misma. También pueden calcularse por este

medio, antitransformadas de funciones en algunos casos simples.

EJEMPLO 1. Calcular la transformada de Laplace de f ( t )

=

5 t + 4 sen 3 t

.

L [ 5 t + 4 sen 3 t ] = 5 L [ t ] + 4 L [ sen 3 t ] =

3

34

5222 +

+ss

=

2

2

2

)9(

4517

++

ss

s .


EJEMPLO 2. Calcular la transformada inversa de F ( s ) =

5 / s 4.

L–1 [ 5 / s 4

] = ! 3

5L–1

[ 3 ! / s 4 ] =

6

5 t 3 .

EJEMPLO 3. Calcular la transformada inversa de F ( s ) =

23

118

2 +++ss

s.

Descomponiendo la expresión de F ( s ) en fracciones simples, es

]

23

118 [

2

1

+++−

ss

sL

=

] 2

5

1

3[

1

++

+−

ssL

= 3 e – t + 5 e – 2 t

.

EJERCICIOS

1. Demostrar la validez de las fórmulas (5.1), (5.2) y (5.3) .

2. Utilizando las fórmulas de la Tabla 1, calcular la transformada de Laplace de cada una

de las funciones siguientes, y determinar en cada caso la abscisa de convergencia.

a. f ( t )

= a + b t + c t 2 + d t 3

b. f ( t )

= e a t – 1

c. f ( t )

= 1 – e – a t

d. f ( t )

= e a t – a t – 1

e. f ( t )

=

ba

ee tbta

−−

, a ≠ b

f. f ( t )

=

ba

ebea tbta

−−

, a ≠ b

g. f ( t )

=

2

cos1

w

tw−


h. f ( t )

=

22

coscos

wa

tatw

−−

, a 2 ≠ w 2

i. f ( t )

=

)(

sensen

22

wawa

tawtwa

−−

, a 2 ≠ w 2

j. f ( t )

=

3

sen

w

wttw −

3. Calcular L–1 [ F ( s ) ] en cada uno de los siguientes casos.

a. F ( s ) =

s

12 b. F ( s )

= 2

7

s−

c. F ( s ) =

2

22

s d. F ( s )

= 5

9

−s

e. F ( s ) =

37

1

s− f. F ( s )

= 32

52

+s

s

g. F ( s ) =

6

62

s− h. F ( s )

= 16

32

s

s

−


6. CALCULO DE TRANSFORMADAS POR DERIVACION

La propiedad que establece el teorema siguiente permitirá calcular la transformada

de t n f ( t ) cuando es conocida L [ f

( t )] .


[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) =

L [ f ( t )]

. Entonces

(6.1) L [ t f ( t )] =

– F '( s ) .

Más generalmente

(6.2) L [ t n f ( t )] = ( –1 ) n F ( n )

( s ) .

Demostración: Nótese que por ser f ( t ) una función seccionalmente continua y de

orden exponencial, también lo es t n f ( t ). El resultado será obtenido derivando ambos

miembros de

F ( s ) = ∫∞

−+

0 )(

tdtfe ts .

Puede probarse que la función e – s t

f ( t ) y sus derivadas parciales respecto de

s, sa-

tisfacen condiciones suficientes para poder asegurar que F ( s ) es analítica en el semipla-

no s : Re ( s ) > a , siendo α la abscisa de convergencia de L [ f ] , y también que sus

derivadas sucesivas pueden obtenerse derivando bajo el signo integral en el segundo

miembro de la igualdad anterior (Se omite la demostración de lo afirmado). Entonces

F '( s ) = ∫∞

−+

0 )(

tdtfesd

d ts = ∫∞

−∂∂+

0 ))((

tdtfes

ts

= ∫∞

− −+

0 )( )(

tdtfte ts = – L [ t f ( t )] ,


lo que prueba la validez de (6.1). La fórmula (6.2) se obtiene fácilmente por aplicación

del principio de inducción matemática.

En términos de antitransformadas, las fórmulas (6.1) y (6.2) son equivalentes

respectivamente a

(6.3) L–1 [ F '( s ) ] =

– t L–1 [ F ( s ) ]

,

(6.4) L–1 [ F ( n )

( s ) ] = ( –1 ) n t n

L–1 [ F ( s ) ]

.


=

t sen w t

.

L [ t sen w t ] = ]sen[

twsd

dL− =

22

ws

w

sd

d

+− =

)(

22

22

ws

sw

+ .

Se obtiene, como consecuencia de esto que

])(

[

1 222

ws

s

+−L = twt

w sen

2

1

.

EJERCICIOS

1. Calcular por derivación de alguna función transformada conocida, la transformada de

Laplace de cada una de las funciones siguientes.

a. f ( t )

= t cos w t b. f ( t )

= t cosh a t

c. f ( t )

= t senh a t d. f ( t )

= t e a t

2. Utilizando resultados obtenidos anteriormente, calcular la transformada de f ( t )

en

cada uno de los casos siguientes.


a. f ( t )

= sen w t – w t cos w t b. f

( t )

= senh a t – a t cosh a t

c. f ( t )

= 1 – 4 a t e – a t d. f ( t )

= w sen w t

– a t sen w t

e. f ( t )

=

2

)(

) )(1(

ba

etbae tbta

−−+−


7. TRANSFORMADAS DE DERIVADAS E INTEGRALES

Hasta aquí se ha tratado casi exclusivamente el problema de encontrar transformadas

de algunas funciones elementales. Sin embargo, para cualquiera de sus aplicaciones, es

imprescindible estudiar propiedades de la transformada de Laplace. En este párrafo serán

deducidas dos de ellas, de fundamental importancia para las aplicaciones, que permiten

expresar las transformadas de la derivada y de la integral de una función f seccionalmente

continua y de orden exponencial, en términos de L [ f ] .

TEOREMA 7.1 Sea f una función continua en ( 0 , + ∞ ) , cuya función derivada f ' es

seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) . Entonces f es de orden

exponencial.

Demostración: Siendo f ' de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , existen números re-

ales positivos C, a, tales que

– C e a x ≤

f '( x ) ≤ C e a x ,

para todo x > 0 . Como consecuencia de las hipótesis, f será continua por derecha en 0,

o deberá existir su límite lateral por derecha. Por lo tanto, es integrable y puede utilizarse

el teorema de Barrow, resultando

∫−t

xa xdeC

0 ≤ ∫

t

xdxf

0 )(' ≤ ∫

txa xdeC

0 ,

y llamando con K =

C / a, es

– K ( e a t – 1 ) ≤ f ( t ) – f ( 0 + ) ≤ K ( e a t – 1 )

Es decir que

f ( t ) – f ( 0 + ) ≤ K ( e a t – 1 ) ≤ K e a t ,


para todo t ≥ 0 . Esto demuestra que f ( t ) –

f ( 0 + ) es de orden exponencial, por lo cual

también lo es f ( t )

.

COROLARIO. Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea g la función definida por

g ( t )

=

∫t

a

xdxf

)( ,

para cada t ≥ 0 , siendo a ≥ 0

. Entonces la función

g es continua y de orden exponen-

cial en [ 0 , + ∞ ) .

Demostración: Por ser f seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) ,

g es continua, y su derivada g ' = f , por lo que g ' es seccionalmente continua y de or-

den exponencial en [ 0 , + ∞ ) . Así entonces, g verifica las hipótesis del Teorema 7.1, y

por lo tanto es de orden exponencial.

Establecidos estos resultados, se está en condiciones de demostrar las importantes

propiedades que siguen.

TEOREMA 7.2 Sea f una función continua en ( 0 , + ∞ ) , cuya función derivada f ' es

seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) =

L [ f ] ( s ) .

Entonces

(7.1) L [ f ' ] ( s ) = s F ( s ) – f ( 0 + ) .


Demostración: Como f satisface las hipótesis del Teorema 7.1, puede asegurarse

que es de orden exponencial, y en consecuencia existe su transformada. Integrando por

partes, resulta

L [ f ' ] ( s ) = ∫∞

−+

0 )('

tdtfe ts = ∫∞

−+

0 )(

tfde ts

= ∞+

+−

0 ))((

tfe ts + s ∫∞

−+

0 )(

tdtfe ts

= ∞+

+−

0 ))((

tfe ts + s F ( s ) .

Siendo f de orden exponencial, se tendrá que si Re ( s ) es suficientemente grande,

e – s t f ( t ) → 0 cuando t → + ∞ . Así, para tales valores de s, es

∞+

+−

0 ))((

tfe ts = ))(( tfelim ts

t

−+∞→

– ))((

0tfelim ts

t

−+→

= –

f ( 0 + ) ,

Y sustituyendo esto en el último miembro de la desigualdad anterior, se obtiene lo

propuesto.

El resultado probado se extiende fácilmente a transformadas de derivadas de orden

superior, en el corolario que sigue.

COROLARIO. Si f , f ' , . . . , f ( n – 1 ) son continuas en ( 0 , + ∞ ) , y f

( n ) es sec-

cionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , entonces

(7.2) L [ f '' ] ( s ) = s 2 F ( s ) – s f ( 0 + )

– f '( 0 + )

.

. . .

(7.3) L [ f ( n )

] ( s ) = s n

F ( s ) –

s n – 1 f ( 0 + )

–

s

n – 2 f '( 0 + ) –

. . .

–

f

( n – 1 ) ( 0 + )

.


Demostración: Usando la fórmula (7.1) en forma reiterada, se obtiene

L [ f '' ] ( s ) = L [ ( f ' ) ' ] ( s )

= s L [ f ' ] ( s )

– f '( 0 + )

.

= s (

s F ( s )

– f ( 0 + ) )

– f '( 0 + )

.

= s 2 F ( s ) – s f ( 0 + )

– f '( 0 + )

.

Finalmente, la fórmula (7.3) se prueba fácilmente por aplicación del principio de

inducción matemática.


= sen w t , a partir de la trans-

formada de cos w t .

Usando la fórmula (7.1), se tiene que

L [ sen w t ] = –

1

wL [ D ( cos w t ) ] =

–

1

w ( s L [ cos w t ] –

cos 0 )

= ) 1 (

1

22

2

−+

−ws

s

w =

22 ws

w

+ , Re ( s ) > 0

.

EJEMPLO 2. Calcular la transformada de f ( t )

=

t

n, ( n

∈ N

) .

Como D n t n =

n !, se tiene que

L [ D n t n ] = L [ n ! ] =

n ! L [ 1 ] = s

n ! .

Además, de la fórmula (7.3) resulta

L [ D n t n ] = s n

L [ t n ] – s

n – 1 0 –

. . .

–

0 = s n

L [ t n ] .

En consecuencia s n L [ t n ] =

s

n ! para cada n

∈ N

,

y por lo tanto


L [ t n ] =

1

! +ns

n , Re ( s ) > 0

.

NOTA: La fórmula (7.1) no es válida en el caso en que la función f tiene discontinui-

dades en [ 0 , + ∞ ) , y sufre modificaciones que le agregan términos por cada salto finito

que tenga la función f (Ver Ejercicio 4 de este párrafo).

A continuación serán deducidas para transformadas de integrales, fórmulas análogas

a las vistas para transformadas de derivadas.


[ 0 , + ∞ ) , a ≥ 0 , y sea F ( s )

= L [ f ] ( s )

. Entonces

(7.3) ][

)( ∫t

a

xdxfL =

) )()((

1

0

∫−

a

xdxfsFs

.

Demostración: Por el corolario del Teorema 6, g ( t )

=

∫

)(

t

a

dxxf es continua y

de orden exponencial. Integrando por partes, se tiene

][

)( ∫t

a

xdxfL = ∫ ∫

∞−

+

0

) )( (

tdxdxfe

t

a

ts

=

∞+− ∫−

0

) )( (1

t

a

ts xdxfes

+ ∫∞

−+

0 )(

1

tdtfe

sts

.

Como ∫t

a

xdxf

)( es de orden exponencial, ∫−t

a

ts xdxfe

)( → 0 cuando t → + ∞

, si

Re ( s ) es suficientemente grande. En consecuencia,


][

)( ∫t

a

xdxfL = )(

1 sF

s )(

1

0

∫+

a

xdxfs

= ) )()((

1

0

∫−

a

xdxfsFs

.

En la mayor parte de las veces en que aparecen integraciones, el valor de a es 0, en

cuyo caso la fórmula (7.4) toma la forma particular más simple

(7.5) ][

0 )( ∫

t

xdxfL =

)(

1 sF

s

.

Aunque en el uso de transformadas de Laplace, en escasas oportunidades surge la

necesidad de usar integrales iteradas, las fórmulas (7.4) y (7.5) admiten equivalentes

para tales casos. En el corolario que sigue se formulan las mismas, y su demostración se

propone como un ejercicio.


[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) =

L [ f ] ( s ) . Entonces

(7.6) ][ )( . . .

∫ ∫∫t

a

t

a

t

a

tdtftdtdL = −− ∫

0

)(1

)(1

a

nntdtf

ssF

s

n veces

∫∫∫∫ ∫ −−− −

t

a

t

a

aa t

an

tdtftdtds

tdtftds

0

0

1

)( . . . 1

. . . )( 1

.

(n – 1) veces

(7.7) ][ )( . . .

0

0

0

∫ ∫∫t tt

tdtftdtdL = )(1

sFs n

n veces



=

t e a t , usando las fórmulas

de integración.

Siendo

∫t

xa xdex

0

=

22

1

1

1

ae

aet

atata +− ,

por aplicación de (7.5), resulta

][ 1

taetsL = ]

1

1

1[

22

a

ea

eta

tata +−L = ][ 1

taetaL

1

11

1

22 saasa

+−

− .

Y explicitando L [ t e a t ]

, se obtiene finalmente

L [ t e a t ] =

2 )(

1

as − .

Las fórmulas deducidas hasta ahora permitirían presentar algunos usos de la trans-

formación de Laplace. Sin embargo, los conocimientos son aún algo limitados como para

resolver problemas con cierto grado de agilidad. Por esta razón, en los dos párrafos si-

guientes se estudiarán otras propiedades antes de mostrar algunas aplicaciones.

EJERCICIOS

1. Hallar la transformada de Laplace de )( tf en cada uno de los siguientes casos .

a. f ( t )

= sen ( t + a ) b. f ( t )

= ( t + a ) n

c. f ( t )

= t sen w t d. f ( t )

= t 2

e a t

e. f ( t )

= t 2

cos w t f. f ( t )

= sen 2

w t

2. Utilizar la fórmula de transformada de derivadas para hallar la transformada de Laplace

de f ( t )

= e a t

sen w t .


3. Calcular la transformada de f ( t )

= cos 2

w t .

4. Supóngase que la función f en el Teorema 7 tiene una discontinuidad de tipo salto fi-

nito en a ( a > 0 ) . Demostrar que

L [ f ' ] ( s ) = s F ( s ) – f ( 0 + )

–

e a s

( f ( a + ) – f ( a – ) ) .

5. Demostrar la fórmula (7.6) para el caso n = 2 .


8. EL PRIMER TEOREMA DE TRASLACION

El uso de la transformación de Laplace para la resolución de problemas de valores

iniciales, requiere saber encontrar la transformada inversa de una función F ( s ) , que fre-

cuentemente es una función racional. En tales casos, un método práctico consiste en des-

componer la expresión de F ( s ) en fracciones simples, representándola como una suma

en la que se pueda reconocer la antitransformada de cada sumando mediante el uso de

ciertas fórmulas. Una de tales fórmulas es proporcionada por el llamado primer teorema

de traslación, que se refiere al efecto de una traslación de coordenadas en la función ima-

gen. El corolario de este teorema es de gran utilidad para el cálculo de antitransformadas.


[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) =

L [ f ] ( s ) . Entonces

(8.1) L [ e a t f ( t )] =

F ( s – a ) .

Demostración: Si f ( t ) es seccionalmente continua y de orden exponencial, puede

asegurarse que e a t f ( t ) también lo es. Entonces

L [ e a t f ( t )] = ∫

∞−

+

0 )(

tdtfee tats =

∫∞

−−+

0

)( )(

tdtfe tas

= F ( s – a )

.

Una consecuencia importante del primer teorema de traslación es la fórmula que se

obtiene del mismo al plantearla en términos de antitransformadas, y que se enuncia como

corolario.



[ 0 , + ∞ ) , y sea f ( t ) =

L–1 [ F ( s ) ]

. Entonces

(8.2) L–1 [ F ( s – a ) ] =

e a t f ( t ) .

EJEMPLO 1. Hallar la transformada de f ( t ) =

e a t cos w t

.

Como L [ cos w t ] =

22 ws

s

+ , usando la fórmula (8.1), resulta

L [ e a t cos w t ] =

22 )(

was

as

+−−

.

EJEMPLO 2. Hallar la antitransformada de F ( s ) =

134

92

2 +−−ss

s .

Nótese que el denominador tiene dos raíces complejas, por lo que no es factible

descomponer a F ( s ) como suma de fracciones simples cuyos denominadores sean reales

y lineales. En estos casos, con el objeto de utilizar la fórmula (8.2), conviene expresar

la fracción en términos de ( s – a ) , eligiendo un valor adecuado de a. Esto se consigue

completando un cuadrado en el denominador y modificando el numerador, como sigue.

134

92

2 +−−ss

s =

9)2 (

5)2 (2

2

+−−−

s

s =

3)2 (

2 2

22

+−

−s

s

3)2 (

3

3

5

22

+−

−s

Observemos que

] 3)2(

2 [

122

+

−−

−s

sL = e 2 t

] 3

[

122

+−

s

sL = e 2 t

cos 3 t ,

y ] 3)2(

3 [

122

+

−−s

L = e 2 t ]

3

3 [

122

+−

sL = e 2 t

sen 3 t .


En consecuencia

] 134

92 [

1

2

+−−−ss

sL = 2 e 2 t

cos 3 t – 3

5 e 2 t

sen 3 t .

EJERCICIOS

1. Usando la fórmula del primer teorema de traslación hallar la transformada de Laplace

de f ( t ) en cada uno de los siguientes casos y verificar el resultado obtenido mediante

otro procedimiento .

a. f ( t ) =

t e a t b. f ( t ) =

t 2 e a t

c. f ( t ) =

e a t sen w t d. f ( t )

= e a t

cos w t

e. f ( t ) =

e a t senh b t f. f ( t )

= e a t

cosh b t

g. f ( t ) =

t e a t sen w t h. f ( t )

= t e a t

cos w t

i. f ( t ) =

t e a t senh b t j. f ( t )

= t e a t

cosh b t

2. Mostrar que si L [ f ( t )] =

F ( s ) , entonces:

a. L [ f ( t ) cosh a t ] =

2

1( F ( s – a ) + F ( s + a ) )

b. L [ f ( t ) senh a t ] =

2

1( F ( s – a ) – F ( s + a ) )

c. L [ f ( t ) cos w t ] =

2

1( F ( s + i w ) + F ( s – i w ) )

d. L [ f ( t ) sen w t ] =

2

1( F ( s + i w ) – F ( s – i w ) )


9. EL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

El primer teorema de traslación establece que a una multiplicación de la función ob-

jeto por una función exponencial, le corresponde una traslación en el dominio de su trans-

formada. A continuación será efectuada deducción análoga para la multiplicación de la

transformada por una función exponencial, que según se verá, corresponde a una trasla-

ción en el dominio de la función objeto.

En lo que sigue se llamará función escalón unitario a la función H definida por

(9.1) H ( t ) =

0 , si t < 0

,

1 , si t ≥ 0

.

Si a es número no negativo, se indicará con H a ( t ) a la función escalón unitario

desplazada en a unidades hacia la derecha. Más precisamente,

(9.2) H a ( t ) =

0 , si t < a ,

1 , si t ≥ a .

Obsérvese que H a ( t ) =

H ( t – a ) , y que H 0 ( t )

= H ( t )

.

1 y = H ( t )

1 y = Ha ( t )

t a t

FIGURA 9-1

Conviene destacar que para casi todos los fines prácticos, carecen de importancia

los valores asumidos por una función en sus puntos de discontinuidad, y particularmente

para una función escalón, es irrelevante su valor en su único punto de discontinuidad.


Esto se debe a que en las aplicaciones, el efecto producido por una excitación en un sis-

tema físico no depende de un valor puntual. (Recuérdese que si dos funciones seccional-

mente continuas difieren únicamente en un conjunto discreto de puntos, sus integrales en

cualquier intervalo son iguales).

La función escalón es especialmente útil para dar expresiones compactas de ciertas

funciones que tienen una ley "sencilla" por tramos. Por ejemplo, sea

f ( t ) =

0 , si t < a

,

e – ( t – a ) , si t ≥ a .

1

a t

FIGURA 9-2

Entonces es

f ( t )

= H a ( t ) e – ( t – a ) = H ( t – a ) e – ( t – a )

Obsérvese que si 0 < a < b , resulta

H ( t – a ) – H ( t – b ) =

0 , si t < a o t ≥ b

,

1 , si a ≤ t < b

.

1

a b t

FIGURA 9-3


Este pulso rectangular de amplitud unitaria, que se expresa como la diferencia de

dos escalones desplazados, y cuya gráfica se indica en la Figura 9-3, puede usarse para dar

una ley sencilla de ciertas funciones que "cambian" su expresión simple por tramos. Por

ejemplo, sea f la función cuya gráfica es la que se ilustra en la Figura 9-4.

1

1 2 t

FIGURA 9-4

La función f es expresada analíticamente por

0 , si t < 0

,

(9.3) f ( t ) =

t , si 0 ≤ t < 1

,

2 – t , si 1 ≤ t < 2

,

t – 2 , si 2 ≥t .

Entonces puede escribirse

(9.4) f ( t ) = t (H ( t ) – H ( t – 1 )) –

( t – 2 ) (H ( t – 1 ))

–

H ( t – 2 ))

+ ( t – 2 ) H ( t – 2 )

= t H ( t ) –

2 ( t – 1 ) H ( t – 1 )

–

2 ( t – 2 ) H ( t – 2 )

Para ciertos cálculos, esta forma de expresión compacta de f ( t ) es más útil que la

expresión por tramos dada por (9.3).

Como observación general, la expresión

g ( t ) =

0 , si t < a ,

f ( t – a ) , si t ≥ a

,


define una función g cuya gráfica es obtenida mediante una traslación de la gráfica de f

en a unidades hacia la derecha, y a la cual se le asigna el valor 0 para todo valor de t

menor o igual que a. (Figura 9-5).

y = f ( t ) y = g ( t )

t a t

FIGURA 9-5

Es conveniente remarcar que funciones definidas de este modo son de particular im-

portancia en las aplicaciones, ya que su uso es imprescindible cada vez que se consideran

sistemas físicos (eléctricos, mecánicos, etc.) en los cuales ciertas excitaciones, como ten-

siones, corrientes, fuerzas, etc., se aplican o se quitan abruptamente a partir de cierto ins-

tante a > 0 . En tales casos, la interpretación que corresponde al valor a será la de un re-

tardo o retraso en el tiempo. El teorema que se mostrará a continuación, llamado segun-

do teorema de traslación, proporciona una fórmula para las transformadas de funciones de

esta clase.


[ 0 , + ∞ ) , y sea a > 0 . Entonces

(9.5) L [ H ( t – a ) f ( t – a ) ] = e – a s L [ f

( t )] .


Demostración:

L [ H ( t – a ) f ( t – a ) ] =

∫∞

− −−+

0 )()(

tdatfatHe ts =

∫∞

− −+

)(

a

ts tdatfe

Efectuando en esta última integral la sustitución x =

t – a , se obtiene

L [ H ( t – a ) f ( t – a ) ] =

∫∞

+−+

0

)( )(

xdxfe axs

= e – a s

∫∞

−+

0 )(

xdxfe xs = e – a s L [ f

( t )] .

Una consecuencia importante del segundo teorema de traslación es la fórmula que se

obtiene del mismo al plantearla en términos de antitransformadas, y que se enuncia como

corolario.


[ 0 , + ∞ ) , a > 0 , y sea f ( t )

= L–1

[ F ( s ) ] . Entonces

(9.6) L–1 [ e – a s F ( s ) ] =

H ( t – a ) f ( t – a ) .

EJEMPLO 1. Hallar la transformada de g ( t ) =

H ( t – a ) cos w t .

L [ H ( t – a ) cos w t ] =

L [ H ( t – a ) cos w ( t – a + a ) ]

= e – a s L [ H ( t – a ) cos w ( t – a )

]

= L [ H ( t – a ) ( cos w a cos w ( t – a ) – sen w a sen w ( t – a ) )

]

= e – a s L [ cos w a cos w t – sen w a sen w t ]

= e – a s ( cos w a L [ cos w t ] – sen w a L [ sen w t ] )

= e – a s

2

2

sen cos

ws

awwaws

+−


EJEMPLO 2. Sea f la función definida por la fórmula (9.3) . Calcular L [ f

( t )] .

Según se ha visto oportunamente, f ( t ) puede ser expresada haciendo uso de la

función escalón como en la fórmula (9.4), por lo que

L [ f ( t )] = L [ t H ( t )

–

2 ( t – 1 ) H ( t – 1 )

–

2 ( t – 2 ) H ( t – 2 ) ]

= L [ t ] – 2 e – s L [ t ] –

2 e – 2 s L [ t ]

= ) 2 21 (1

2

2

ss ees

−− −− .

EJEMPLO 3. Calcular

] 54

[

41

2

++

−−

ss

e sL .

Llamando con f ( t )

=

]

54

1 [

1

2

++−

ssL , y usando (9.6), se tiene

] 54

[

41

2

++

−−

ss

e sL =

H ( t – 4 ) f ( t – 4 )

.

Utilizando el primer teorema de traslación, resulta

] 54

1 [

1

2

++−

ssL =

]

1)2(

1 [

1

2

++

−s

L

= e – 2 t ]

1

1 [

1

2

+−

sL =

e – 2 t

sen t .

En consecuencia

] 54

[

41

2

++

−−

ss

e sL =

H ( t – 4 ) e – 2 ( t – 4 ) sen ( t – 4 )

.

EJEMPLO 4. Hallar la transformada del pulso de forma parabólica definido por

f ( t ) =

– t 2 + 6 t – 8

, si 2 ≤ t < 4

,

0 , si t < 2 ó t ≥ 4 .


Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, puede expresarse a f ( t ) en la

forma

f ( t ) = ( – t 2 + 6 t – 8 ) ( H ( t – 2 )

–

H ( t – 4 ) )

= ( – t 2 + 6 t – 8 )

H ( t – 2 )

+ ( – t 2

+ 6 t – 8 ) H ( t – 4 ) )

.

Con el objeto de utilizar el segundo teorema de traslación, el primer sumando del

segundo miembro deberá ser expresado en potencias de ( t – 2 ) , mientras que el segundo

sumando deberá expresarse en potencias de ( t – 4 ) , para tener de ese modo expresiones

de funciones cuyas transformadas son conocidas, pero desplazadas en el mismo valor que

el valor en el cual está desplazado el escalón. Así

f ( t ) = ( – ( t – 2 ) 2

+ 2 ( t – 2 ) ) H ( t – 2 ) +

( ( t – 4 ) 2

+ 2 ( t – 4 ) ) H ( t – 4 ) .

Ahora la fórmula (9.5) es aplicable a cada sumando, resultando

L [ f ( t )] = L [ ( – ( t – 2 )

2 + 2 ( t – 2 ) ) H ( t – 2 )

+ ( ( t – 4 )

2 + 2 ( t – 4 ) ) H ( t – 4 ) ]

= e – 2 s L [ – t 2 + 2 t ] + e – 4 s L [ t 2

+ 2 t ]

= e – 2 s )

22(

23

ss+− + e – 4 s

)22

(

23

ss

+− .

A continuación, y por aplicación del segundo teorema de traslación, será deducida

una fórmula que permite calcular transformadas de funciones periódicas mediante una

simple integral definida.


[ 0 , + ∞ ) . Si f es periódica, de período fundamental T ( T > 0 ) , entonces

(9.7) L [ f ( t )] = ∫ −

−−

T

tdtfee

tssT

0

)(

1

1

.


Demostración: Por definición, es

L [ f ( t )] = ∫

∞−

+

0 )(

tdtfe ts

= ∫ −T

tdtfe ts

0 )(

∫ −+T

T

ts tdtfe 2

)(

+ . . . ∫+

−+Tn

nT

ts tdtfe )1(

)(

+ . . .

Efectuando la sustitución t = x + n T en la n-ésima integral, para cada n ∈ N , y

debido a la periodicidad de la función f , se obtiene

∫+

−Tn

nT

ts tdtfe )1(

)(

= ∫ ++−T

xdTnxfe nTxs

0

)( )(

= ∫ −−T

xdxfee xssTn

0 )(

.

Por lo tanto,

L [ f ( t )] =

. . . )(. . . )()(

0

0

0

++++ ∫∫∫ −−−−−

TTT

xdxfeexdxfeexdxfe xssTnxssTxs

= ( 1 + e – T s + e – 2 T s + . . .

+ e – n T s + . . . ) ∫ −

T

xdxfe xs

0 )(

Si Re ( s ) > 0 , la serie geométrica

1 + e – T s + e – 2 T s + . . .

+ e – n T s + . . .

de razón e – T s

, resulta ser convergente y su suma es

1

1sTe−−

. Reemplazando esto en

la igualdad anterior, se obtiene finalmente la fórmula (9.7) .

EJEMPLO 5. Sea f la función cuya gráfica es la onda rectangular de la Figura 9-6.

Hallar su transformada de Laplace .


A

1 2 3 4 t

FIGURA 9-6

La función f es periódica de período 2, por lo que

L [ f ( t )] = ∫ −

−−

2

0

2

)(

1

1

tdtfee

tss

= ∫ −

−−

1

0 2

1

1

tdeAe

tss

= s

eA

e

s

s

)1(

1

1

2

−

−−

− =

)1(

ses

A−+

.

EJERCICIOS

1. Dibujar la gráfica de f y hallar su transformada en cada uno de los casos siguientes .

a. 0

, si t < 2

, b. 6 2 −t , si 3 ≤ t < 6

,

f ( t ) = 2 −t , si 2 ≤ t < 5

, f

( t ) = t 218 − , si 6 ≤ t < 9

,

3

, si t ≥ 5

. 0

, si t < 3 ó t ≥ 9

.

c. f ( t ) = 1 + [ t ] , siendo [ t ] la parte entera de t

.

( Sugerencia: Expresar [ t ] mediante una serie de funciones escalones ) .

d. f ( t ) =

sen t .

2. Encontrar la expresión analítica de una onda diente de sierra de valor máximo A, valor

mínimo 0, y período T , usando para ello una serie de escalones unitarios

. Hallar la

expresión de su transformada de Laplace .


3. Encontrar la expresión analítica de una onda triangular de valor máximo A, valor mí-

nimo 0,

y período fundamental 2 T

, usando para ello una serie de escalones unitarios

.

Hallar la expresión de su transformada de Laplace .

4. Calcular L–1 [ F ( s ) ] en cada uno de los siguientes casos.

a. F ( s ) =

45 2

++

−

ss

e s. b. F ( s )

= ) 21(1 2

ss ees

−− −− .

c. F ( s ) =

22

ws

e sa

+

−.


10. APLICACION A LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LI-

NEALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Muchos problemas en Ingeniería y en Física son representados mediante modelos

matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales o íntegrodiferenciales lineales, o sis-

temas de ecuaciones de tal clase. Después de haber definido y estudiado propiedades de la

transformación de Laplace y conocer métodos para calcular transformadas y transforma-

das inversas de un conjunto de funciones relativamente amplio, nos interesamos en mos-

trar aplicaciones de su uso para determinar la respuesta de sistemas lineales sometidos a la

influencia de diferentes tipos de excitación.

El análisis de sistemas lineales usando el método de la transformación de Laplace

consiste básicamente de cuatro pasos. Primero se debe encontrar la ecuación o ecuaciones

diferenciales o íntegro-diferenciales que describen el sistema bajo consideración, mediante

el uso de las leyes físicas a las cuales responde. Segundo, es aplicada la transformación de

Laplace a cada uno de los términos, incluyendo las funciones excitaciones, en la ecuación

o ecuaciones obtenidas. Tercero, se explicita la transformada de la función respuesta en la

ecuación o sistema de ecuaciones. Finalmente, la función o funciones res-puestas deben

ser obtenidas mediante uso de la transformación inversa.

Las técnicas para estos tres últimos pasos están basadas esencialmente en los resul-

tados referentes a transformadas de derivadas e integrales, y de los teoremas de desplaza-

miento, y sus respectivos corolarios.

A continuación se pasa a describir el uso de las propiedades y técnicas antes de-

sarrolladas para resolver algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales o ín-

tegro-diferenciales con coeficientes constantes.

Como un primer ejemplo físico simple, considérese un cuerpo de masa m que pue-

de moverse deslizándose horizontalmente, vinculado a un resorte y a un mecanismo amor-


tiguador. Por tratarse de un movimiento puramente traslatorio, la posición en cada instan-

te del cuerpo queda determinada por la de uno cualquiera de sus puntos, como puede ser

su centro de masa.

k m c F ( t )

0 x ( t ) t

FIGURA 10-1

La segunda ley de Newton establece que en cada instante deberá verificarse que

(10.1) m a = Σ F .

Supongamos que el resorte responde con una fuerza de acuerdo con la ley de Hooke,

o sea proporcional a su elongación, ya sea estiramiento o compresión, que el amortiguador

responde con una fuerza proporcional a la velocidad, que tanto el rozamiento como la re-

sistencia del medio viscoso pueden despreciarse, así como otros rozamientos en el resorte,

amortiguador, etc., suponiendo además que la masa de los vínculos es despreciable.

Siendo el movimiento rectilíneo, la igualdad vectorial (10.1) queda reducida, en

términos de componentes, a una igualdad escalar. Con referencia a la Fig. 10-1, se tiene:

m x ''

= F ( t ) – k

x – c

x ' ,

o bien

(10.2) m x '' + c

x ' + k

x = F ( t )

.

Otro ejemplo consiste en estudiar el comportamiento de un circuito eléctrico senci-

llo, compuesto por una fuente de voltaje, y elementos simples (resistores, inductores y ca-


pacitores). Las relaciones voltaje-corriente para cada uno de esos elementos están dadas

en la Tabla 10.1.

Consideremos el circuito simple R-L-C serie de la Figura 10-2.

S i ( t ) L R C

+ e ( t )

FIGURA 10-2

Se pretende estudiar el comportamiento del circuito, es decir encontrar la expresión

de i ( t ) luego de cerrar el interruptor S en el instante t 0 = 0

, suponiendo que el circuito

está inicialmente relajado, es decir que no hay energía almacenada en sus elementos reac-

tivos.

La segunda ley de Kirchhoff establece que suma de las caídas de tensión es igual a

la tensión aplicada, o sea:

uL ( t ) + uR

( t ) + uC ( t ) = e ( t ) .

Teniendo en cuenta las expresiones de cada una de las caídas de tensión, y el hecho

de que las condiciones iniciales dadas se traducen en que i ( 0 ) = 0 , q ( 0 ) = 0

, se ob-

tiene la ecuación íntegro-diferencial:

(10.3) L i ' + R

i +

1

C ∫t

di

0

)( ττ = e ( t ) .

Es decir que el comportamiento del circuito, o sea la relación que vincula la tensión

que lo excita con la respuesta i ( t ) está representado por una ecuación íntegro-diferencial

lineal con coeficientes constantes. En el caso en que la tensión aplicada, expresada como


e ( t ) sea una función derivable, derivando ambos miembros de la ecuación (10.3) se ob-

tendría la ecuación diferencial lineal

(10.4) L i '' + R

i ' +

C

1 i = e ' ( t )

,

que al igual que en el caso del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador es una ecua-

ción diferencial lineal con coeficientes constantes que son los parámetros propios del sis-

tema, y donde la función del segundo miembro representa la función excitación del siste-

ma, o su derivada.

La mayor parte de las veces, la tensión excitación e ( t ) es una función no derivable,

más aún, frecuentemente es discontinua, y en consecuencia no es posible efectuar esa úl-

tima transformación, por lo cual en la teoría de circuitos habitualmente se trabaja con

ecuaciones íntegro-diferenciales. Por esta razón, se hará referencia principalmente a las

ecuaciones íntegro-diferenciales, aunque el tratamiento para ecuaciones diferenciales es

completamente análogo.

El paso siguiente consiste en aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros

de la ecuación (10.3). Teniendo en cuenta la linealidad del operador L

y sus propieda-

des, transformando ambos miembros de (10.3), se tiene:

L L [ i ' ( t )] +

R L [ i ( t )] +

C

1 L [ ∫

t

di

0

)( ττ ( t )] = L [ e ( t )]

Llamando con: I ( s ) = L [ i ( t )] y E ( s ) = L [ e ( t )] , resulta:

L s I ( s ) +

R I ( s ) +

1

sC I ( s ) = E ( s

) ,

y explicitando I ( s ) se obtiene:

(10.5) I ( s ) =

11

sCRsL ++

E ( s )

o bien:


I ( s ) =

1

L

12

CLs

L

Rs

s

++ E ( s

)

Finalmente, la respuesta i ( t ) se obtendrá antitransformando la expresión resultante

en el segundo miembro de (10.6) .

Por ejemplo, si R = 10 kΩ , L = 0,1 H

, C = 0,1 µF

, y e ( t ) = 12 V (constante),

o sea la fuente de voltaje es una batería, se tendrá:

I ( s ) = 10852 1010 ++ ss

s

s

12 = 120

852 1010

1

++ ss .

Finalmente, antitransformando resulta:

i ( t ) = 0,0012247 ( tt ee 1010 97980 −− − ) .

Es conveniente efectuar varias observaciones importantes con respecto al uso del

método de la transformación de Laplace.

OBSERVACIONES

1. Nótese que cuando se tienen condiciones iniciales nulas, la transformada I ( s ) de la

respuesta se obtiene simplemente multiplicando la transformada E ( s ) de la excita-

ción por la función

Z ( s ) =

11

sCRsL ++

.

Esta función Z ( s ), cociente entre la corriente (operacional) y la tensión (operacional)

aplicada, es llamada impedancia del circuito.

2. En general, cuando en un sistema físico la respuesta (operacional) y la excitación (ope-

racional) están vinculadas mediante una multiplicación, la función H ( s ), cociente en-

tre la respuesta y la excitación, es llamada función transferencia. De ello es inmediato


que la respuesta del sistema se obtiene simplemente multiplicando la excitación por la

función transferencia (Siempre en términos de funciones operacionales).

3. La respuesta real, en términos de las funciones objeto, se obtiene antitransformando la

respuesta operacional. Obviamente, es imprescindible en todo este proceso tener un

hábil manejo de las propiedades que se mencionaron al comienzo (teoremas de trans-

formación de derivadas e integrales, teoremas de desplazamiento, etc.), además de una

adecuada destreza en la descomposición de funciones racionales en fracciones simples

para poder antitransformar con agilidad.

En relación con la aplicación del método para resolver una ecuación diferencial li-

neal con coeficientes constantes, es conveniente efectuar algunas comparaciones con el

método clásico. Aunque las mismas consideraciones son válidas para ecuaciones de orden

cualquiera, por razones de simplicidad nos referiremos a una ecuación de segundo orden.

Sea entonces la ecuación

x '' + a x ' + b

x = f ( t )

.

Como es sabido, la solución general de esta ecuación diferencial lineal no homogé-

nea, compuesta por todas sus soluciones particulares, consiste de una familia de funciones

que contiene dos constantes arbitrarias. En las aplicaciones, es frecuente conocer condi-

ciones iniciales que debe cumplir la solución de un problema, esto es, valores que debe al-

canzar la solución y su derivada para un mismo valor de la variable independiente. En tal

caso, no cualquiera de las funciones de la familia solución de la ecuación es solución del

problema. Por ejemplo, en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, la función que

da la posición en cada instante dependerá de la posición ocupada por el cuerpo en el mo-

mento en que comenzó el contado de tiempo (que puede considerarse t = 0 o instante ini-

cial), y también de su velocidad en dicho instante. Estas dos condiciones, que por tal ra-


zón son llamadas matemáticamente condiciones iniciales, determinarán cuál de las solu-

ciones particulares de la ecuación es la solución del problema.

Para el modelo matemático de un sistema mecánico consistente de un péndulo, o de

un péndulo de torsión, o el de un circuito eléctrico R-L-C serie o paralelo, o para sistemas

más complicados que dan lugar a sistemas de ecuaciones diferenciales o íntegro-diferen-

ciales, son válidas similares consideraciones.

Como es sabido, para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea por el

método clásico, debe hallarse primeramente la solución general de la ecuación homogénea

asociada, y luego encontrarse una solución particular de la ecuación no homogénea, que

deberá ser sumada a la solución general de la ecuación homogénea asociada. La solución

del problema se obtendrá finalmente determinando la solución particular teniendo en

cuenta las condiciones iniciales.

El uso del método clásico presenta en las aplicaciones ciertas dificultades de orden

práctico. En efecto, si la función f ( t ) no es continua, o bien es continua pero no de tipo

polinómica, exponencial, o sinusoidal, o suma de productos de funciones de esa clase, re-

sulta necesarios efectuar cálculos bastante engorrosos. A esto se agrega que en muchos

casos el modelo matemático de un sistema físico incluye ecuaciones o sistemas de ecua-

ciones íntegro-diferenciales lineales, planteándose el problema de dimensionar elementos

del sistema para optimizar su comportamiento. Esas situaciones exigen encontrar respues-

tas del sistema para diferentes excitaciones, o para una misma excitación pero con distin-

tas condiciones iniciales, en cuyo caso el método clásico resulta muy poco ágil.

En la última década del siglo XIX, el ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside

[He], en estudios sobre fenómenos transitorios en circuitos eléctricos, introdujo ciertos

métodos y mecanismos operatorios que aunque carecían de justificación matemática, ge-

neralmente llevan a soluciones correctas. Este método, que transforma la resolución de

problemas que involucran ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales o íntegro-


diferenciales en problemas algebraicos, fue considerado en principio simplemente como

un medio práctico que produce resultados coincidentes con los reales. Su practicidad y su

éxito provocó que varios matemáticos se ocuparan del mismo. Así, T. J. Bromwich [Br],

J. R. C. Carson [Ca], y posteriormente K. W. Wagner, lo justificaron analíticamente.

Sin embargo, fue G. Doestsch [Do] quien lo vinculó con la transformación de Laplace, y

desarrolló el método que lleva este nombre.

Como se estableció anteriormente, la base del método la constituyen los resultados

de la Sección 7, referentes a transformadas de derivadas e integrales, y el complemento

indispensable para la aplicación a resolución de problemas lo proporcionan los resultados

de los Teoremas 8.1, 9.1 y 9.2, y sus corolarios. De ellos se concluye que la aplicación

de la transformación de Laplace reduce las operaciones de derivaciones e integraciones en

la función objeto, a simples multiplicaciones o divisiones por potencias de la variable s

de la función imagen con el agregado de términos que incluyen las condiciones iniciales.

Esto permite transformar ecuaciones diferenciales o íntegro-diferenciales en simples ecua-

ciones algebraicas de primer grado en la transformada de la función incógnita, y en la

cual las condiciones iniciales quedan incorporadas al ser aplicada la transformación.

Como un ejemplo adicional, considérese la ecuación del mismo sistema mecánico

masa-resorte, sin amortiguador, ahora despreciando los efectos de rozamiento. La ecua-

ción será en este caso de la forma

(10.6) m x '' + w

2 x = b ( t )

,

donde b ( t ) = F ( t ) / m

. Supongamos conocidas la posición y la velocidad en el instante

t = 0, es decir tendremos como condiciones iniciales

x ( 0 ) = x 0 , x ' ( 0 ) = v 0

.

Transformando como antes ambos miembros de (10.6), y teniendo en cuenta la li-

nealidad del operador L, se tiene


L [ x '' ]

+ w

2 L [ x ] = L [ b ( t ) ] .

Llamando con X ( s ) = L [ x ( t ) ]

, y B ( s

) = L [ b ( t ) ]

, resulta

(10.7) s 2 X ( s

)

–

s x0

–

v0

+ w

2 X ( s )

= B ( s

) ,

de donde se obtiene

(10.8) X ( s )

=

2

22

202

20

1

1

wswsv

ws

sx

++

++

+B ( s

).

En esta última expresión se observa que el aporte de los dos primeros sumandos del

segundo miembro se debe únicamente a las condiciones iniciales, mientras que el tercer

sumando corresponde exclusivamente al efecto de b ( t ) , que es proporcional a la excita-

ción F ( t ). Finalmente, para determinar la respuesta

x ( t )

, deberá hallarse la transforma-

da inversa de X ( s ) .

En el caso en que b ( t ) = A sen a t , ( a ≠ w

) , la igualdad (10.7) toma la forma

(10.9) X ( s )

=

2

22

22

202

20

11

1

aswswsv

ws

sx A

+++

++

+ ,

y usando el resultado del Ejercicio 5.2 i., se obtiene

x ( t ) = ) sen sen (

)( sen cos

00

22

tawtwawaw

Atwvtwx −

−++ .

El método descrito puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales

de coeficientes constantes, pero no se podrá aplicar en general cuando los coeficientes

sean variables porque en tales casos debería transformarse un producto de funciones, y

excepto algunos casos muy particulares, no existen fórmulas para la transformada de un

producto. Es importante destacar que cuando la ecuación está asociada a un sistema físi-

co, sus coeficientes representan los parámetros propios del mismo (resistencias, coeficien-

tes de autoinducción y capacitancias en el caso de circuitos eléctricos; o masas, coeficien-


tes de amortiguación y de elasticidad en sistemas mecánicos, etc.). Generalmente tales pa-

rámetros pueden ser considerados constantes, es decir independientes del tiempo y de

cualquier otra variable, dentro de un razonable rango de valores de las variables. En tales

casos el método de la transformación de Laplace constituye una herramienta matemática

de suma utilidad.

EJEMPLO 1. Hallar la solución de la ecuación diferencial

x '' − 5 x ' + 4

x = 2

e − t

que verifica las condiciones iniciales x ( 0 ) = 0 , x ' ( 0 ) = 2 .

Transformando ambos miembros de la ecuación, introduciendo las condiciones ini-

ciales, y llamando con X ( s ) = L [ x ( t )] , se obtiene

s 2 X ( s ) −2 − 5

s

X ( s ) + 4

X ( s )

=

1

2

+s ,

o sea

( s 2 − 5

s + 4 )

X ( s )

=

1

2 2

++

s

s .

Explicitando X ( s ) , es

X ( s ) =

)45()1(

42

2

+−++

sss

s .

Descomponiendo en fracciones simples, resulta

X ( s ) =

1

1

5

1

+s 1

1

+−

s 4

1

5

4

−+

s .

En consecuencia, la solución del problema de valores iniciales es

x ( t ) = L −1 [ X ( s )] = ttt eee 4

5

4

5

1

+−− .

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