La Transformation de Laplace

LA TRANSFORMATION DE LAPLACE : un exemple d’utilisation.................2Fonctions causales................................................................................................. 3Définition de la Transformée de Laplace d’une fonction causale.........................4Transformée de Laplace de l’échelon unité (calcul effectif).................................5Original d’une fonction......................................................................................... 6 Exercices rapides.................................................................................................. 7Réponses des exercices rapides............................................................................. 8Propriété 1 de la transformation de Laplace..........................................................9Propriété 2 de la Transformation de Laplace...................................................... 10Propriété 3 de la Transformation de Laplace...................................................... 11Propriété 4 de la Transformation de Laplace...................................................... 12 Fonction retardée (explications rapides)............................................................ 13Equations différentielles. Sujets.......................................................................... 15Equations différentielles. Sujets traités............................................................... 16TRAVAIL A FAIRE........................................................................................... 26Réponses en vrac................................................................................................. 27

1

Lecture facultativeLA TRANSFORMATION DE LAPLACE : un exemple d’utilisation

UN EXEMPLE :On veut résoudre l’équation )t(ux'x =+ x’+ x =u (t).Où u est l’échelon unité défini par :

≥=<=

0tsi1)t(u0tsi0)t(u

On veut connaître la solution .0)0(xet0tsi0)t(xquetelle)t(xt:x =<=→ Voilà comment cela se passe :

La Transformée de Laplace de l’équation s’écrit :

p1)p(X)1p( =+

.1p

1p1)p(X;

)1p(p1)p(X

+−=

+=

La fonction x (t) est l’original de X (p) qui est )t(ute1 ×

−− .

C’est la solution de l’équation.

Pour comprendre cela il faut connaître la définition et les propriétés de laTransformation de Laplace.

Début

2

0

1

t

u(t)

1

0

Fonctions causalesUne fonction causale est une fonction s : t→s (t) telle que si t< 0 alors s (t)=0.Exemple 1 L’échelon unité u défini par :

≥=<=

0tsi1)t(u0tsi0)t(u

Exemple 2 Si f : t→f (t) est une fonction quelconque, on définit une fonction causale :

)t(u)t(f)t(st:s ×=→

Fonctions causales souvent utilisées

t)t)sin((utt)t)cos((ut

positif)entier un est (n )t(untt

unité)(échelon )t(ut

ω→ω→

→

→

Début

3

t

u(t)

1

0

Définition de la Transformée de Laplace d’une fonction causale

Soit s : t→s (t) une fonction causale.La transformée de Laplace de s est la nouvelle fonction S de la nouvelle variable p définie par :

∫∫ −∞

∞→=−=→b

0dtpte)t(s

0blimdtpte)t(s)p(Sp:S

Attention S est définie sur l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles cette limite existe.Autre notationLa Transformée de Laplace de la fonction causale s s’écrit d’une manière plus précise : L[s (t)].

La Transformée de Laplace de la fonction causale s : t→s (t) est la fonction :

L[s (t)] : p→ L[s (t)] (p).

[ ] [ ] ∫∫ −∞

∞→=−=→b

0dtpte)t(s

0blimdtpte)t(s)p()t(sLp:)t(sL

On utilise cette notation lorsque cela est vraiment nécessaire.Début

4

Transformée de Laplace de l’échelon unité (calcul effectif)

L’échelon unité u est défini par :

≥=<=

0tsi1)t(u0tsi0)t(u

La Transformée de Laplace de l’échelon unité est définie pour p> 0 par

p1)p)](t(u[L =

Démonstration

.0ppour p1)p)](t(u[L:Donc

0.b puisque0pbeblim:0psi

.1tsi1)t(upuisque)pbep1

p1(blim

b

0

ptep1

blim

)1tsi1)t(upuisque(

b

0

b

0dtpteblimdtpte)t(u

0blimdtpte)t(u)p)](t(u[L

>=

>=−∞→>

≥=−−∞→=

−−∞→=

≥=

−∞→=−

∞∞→=−= ∫ ∫∫

Exercice rapide 1

Donner sans calcul la valeur numérique de ∫∞

−

0

t2 .dte

Résultat : 0.5.

On a exprimé L [u (t)] (2).Début

5

t

u(t)

1

0

Original d’une fonction

DéfinitionSoit F : p→F (p) une fonction.Lorsque [ ] )p()t(fL)p(F = pour une fonction causale f, on dit que f est l’original de F .

Exemple L’échelon unité u : t→u (t) est l’original de la fonction

0ppour définie p1)p(Fp:F >=→

On trouve à l’aide du calcul intégral les éléments du tableau suivant appelé souvent « Tableau des originaux » :On se réfère alors au tableau sans plus effectuer de calculs d’intégrales. Expression de la fonction causale f

Original de la fonction F

Transformée de Laplace de la fonction f :

F (p)=L [f (t)] (p) p>0)t(u

p1)p(F =

)t(ut ×2p

1)p(F =

)t(unt ×1np

!n)p(F +=

)tsin()t(u ω× 22p)p(F

ω+

ω=

)tcos()t(u ω× 22p

p)p(Fω+

=

Début

6

Exercices rapidesExercice rapide 1Donner sans calcul la valeur numérique de

∫∞

−

0

t2 .dte

Exercice rapide 2 Donner sans calcul les valeurs numériques des intégrales suivantes :

∫∫∫∞

−∞

−∞

−

0tdt3coste

0)3tdt2sint2e

0)2dtt2e3t)1

DébutExercice rapide 3Trouver les originaux des fonctions définies pour p>0 par :

92p

p)312p

1)25p

24)1++

Exercice rapide 4 Remplir le tableau suivant : Expression de la fonction causale f

Original de la fonction FTransformée de Laplace de la fonction f :

F (p) pour p>0

p1

2p

1

4p

6

1np

!n+

)t5sin()t(u u (t) sin5t

)t2cos()t(u u (t) cos2πt

22p

2

+

92p

p

+

7

Réponses des exercices rapidesExercice rapide 1 Donner sans calcul la valeur numérique de

∫∞

−

0

t2 .dte Résultat : déjà vu.

Exercice rapide 2 Donner sans calcul les valeurs numériques de

[ ]

[ ] 1.031

1)1()t3cos()t(uL)3

25.0422

2)2()t2sin()t(uL)2166

42

!3)2()t(u3t1)L Réponses

0tdt3coste

0)3tdt2sint2e

0)2dtt2e3t)1

22 =+

=

=+

===

∞−

∞−

∞− ∫∫∫

Exercice rapide 3 Trouver les originaux des fonctions définies pour p>0 par :

.t3cos)t(u,tsin)t(u,)t(u4t Réponses

92p

p)312p

1)25p

24)1++

Exercice rapide 4 Remplir le tableau suivant :Fonction f. Original de la fonction F Transformée de f : 0ppour)p(F >

)t(up1

)t(ut ×2p

1

)t(u3t ×4p

6

)t(unt ×1np

!n+

)t5sin()t(u

252p

5

+)t2cos()t(u

42p

p

+)t2sin()t(u

22p

2

+Début

8

Propriété 1 de la transformation de LaplacePropriété 1

La transformation de Laplace est « linéaire » :[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] )p()t(saL)p()t(asL

)p()t(kL)p()t(sL)p()t(k)t(sL

=

+=+

Pour toutes fonctions causales s et k et tout réel a.

Cette formule se résume en:

[ ] [ ] [ ] )p()t(kbL)p()t(saL)p()t(bk)t(asL +=+Pour toutes fonctions causales s et k et tous réels a et b.

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] )p()t(u)t(gbL)p()t(u)t(faL)p()t(u))t(bg)t(af(L

)p()t(u)t(faL)p()t(u)t(afL

)p()t(u)t(gL)p()t(u)t(fL)p()t(u))t(g)t(f(L

+=+

=

+=+

Exercice rapide 41) Ecrire la transformée de Laplace de la fonction causale

t3sint3cos2)(t(ut:s +→ .2) Ecrire la transformée de Laplace du signal

)t(u)4t32t2()t(st:s ++=→ . 3) Trouver l’original de la fonction F définie pour p>0 par

3p

12p

1p1)p(F ++= .

Réponses ).t(u1t2t21,3p

8p32p4,92p

3p2

++++

+

+

Début

9

Propriété 2 de la Transformation de Laplace

Propriété 2Transformation de Laplace et dérivation

« La Transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction n’est pas la dérivée de la Transformée de Laplace de cette fonction »

[ ] [ ] )0(f)p()t(u)t(fpL)p()t(u)t('fL +−=

[ ] [ ] )0('f)0(pf)p()t(u)t(fL2p)p()t(u)t(''fL +−+−=

)t('f0t,0tlim)0('f);t(f0t,0tlim)0(f >→=+>→=+

Souvent la fonction f est telle que f (0+)=f (0) (si elle est continue en 0) Exercice rapide 8

)t2cos()t(u)t(g),t2sin()t(u)t(f == .Exprimer les Transformées de Laplace [ ] [ ] ).p()t('gLet)p()t('fLSolution

)p](t2sin)t(u2[L)p](t2sin)t(u[L242p

4142p

pp1)p)](t(g[pL)p)](t('g[L42p

p)p)](t(g[L

)p](t2cos)t(u2[L)p](t2cos)t(u[L242p

p242p

2p)p)](t(f[pL)p)](t('f[L42p

2)p)](t(f[L

.1)0(g,0)0(ft2cos)t(u)t(g;t2sin)t(u)t(f

−=−+

−=−

+=−=

+=

==

+=

+==

+=

=+=+==

10

f(t+)

0

f(t)

)t(f0t,0tlim)0(f >→=+

Propriété 3 de la Transformation de LaplacePropriété 3 de la transformation de Laplace

Transformation de Laplace d’une fonction « amortie »[ ] )ap()t(sL)p()t(sateL +=

−

(Ici s est une fonction causale).Ou bien :

[ ] )ap()t(u)t(fL)p()t(u)t(fateL +=

−

Exercice rapide 61) Trouver les Transformées de Laplace des signaux suivants :

)t2cost2)(sint(ute)b)t(ute)a +π−− .2) Trouver les originaux des fonctions :

.12)2p(

1)p(G

0ppour ]1p

1p1

)1p(p1:égalitél' vérifier[

)1p(p1)p(F

++=

>+

−=++

=

Réponses

.tsin)t(ut2e:est G(p) de originalL'

);t(u)te1(:est F(p) de originall' )1p(p

1)1p(pp1p

1p1

p1)2

;42)p(

2p)b1p

1)a)1

×−

−−+

=+−+=

+−

+π+

+π++

Début

11

Propriété 4 de la Transformation de Laplace

Propriété 4 de la transformation de Laplace

Le Théorème Du Retard.Pour tour réel τ (appelé retard)

[ ] [ ] pe)p()t(u)t(fL)p()t(u)t(fL τ−×=τ−τ−

Remarque)t(u)t(u)t(u τ−×τ−=τ−

En effet :

)t(u0 si 00 si1

)t(u)t(u donc0 si 00 si1

)t(u τττ

ττττ

τ −=

≤≥

=−×−

≤≥

=−

Cas particulier[ ] [ ] pe)p()t(uL)p()t(uL τ−=τ−

pep1)p)](t(u[L ττ −=−

Exercice rapide 7Trouver dans chaque cas l'original de la fonction F définie pour p>0 par :

1p

p3e)p(F)41p

1)p(F)3p

p3e)2p1)1

+

−=

+=

−

Réponses

)3t(u)3t(e)4)t(ute)3)3t(u)2)t(u)1 −−−−−Début

12

Fonction retardée (explications rapides)

Le retard est τ (supposé positif)

On a : h (t)=f (t−τ) u (t−τ)

≤≥−

=τττ

tsi 0 tsi)t(f

)t(h

En particulier : h (τ )=f (0), h (t+τ)=f (t) si t≥0.

)t(f )t(u)t(f

)t(u)t(f τ−τ−

τ

13

Propriété 5 de la Transformation de LaplacePropriété 2

pour tout réel a>0 :

)ap)](t(s[L

a1)p)](at(s[L =

(Ici s est une fonction causale) ou bien :

=

ap)]t(u)t(f[L

a1)p)](t(u)at(f[L

La fonction u étant l’échelon unité.

Exercice rapide 51) Exprimer les transformées de Laplace des signaux suivants

)t2cost2)(sint(u)t(g),t2cost2)(sint(u)t(f π+π=+=2Vérifier la propriété 2 à partir des fonctions f et g.3) Vérifier que pour l’échelon unité en appliquant la propriété 2 on trouve :

)p)](t(u[L)p)](at(u[L = .Réponses

)p(G242p

2p

2

242p

2p2

1

2

242p

2p1

42

2p

2p1pF1

pF1p)]t(u)t(f[L1)p)](t(u)t(f[L)p(G:vérifions)t(f)t(g)2

.242p

2p)p(G;42p

2p)p(F)1

=π+

π+=

π

π+

π+

π=

π

π+π

π+

π=

+π

+π

π=

ππ

ππ=

ππ=π=π=

π+

π+=+

+=

Ce qu’il fallait vérifier.

p1

ap1

a1

ap)]t(u[L

a1)p)](at(u[L)3 =

=

=

Pour a>0Début

14

Il reste 5 autres propriétés qui seront présentée ultérieurement.Nous pouvons maintenant apprendre à utiliser la Transformation de Laplace pour résoudre des équations différentielles.

Equations différentielles. Sujets.

Exemple 1 (traité en détails)

obtenue; x(t)fonction t laEtudier 0. tsi 0x(t):que ellefonction t uneest x(t)t:où x

t2 si 0e(t) , 2t1 si 1e(t) 1, tsi 0e(t) avec e(t)x' x Résoudre

→≤=→

≤=<≤=<==+

Exemple 2(rédigé comme à l’examen)

8. Page 0. tsi 0v(t):que ellefonction t uneest x(t)t:.vt 0 si Ee(t)et 0 tsi 0e(t) avec e(t)v' RCv Résoudre

≤=→≤=<==+

Exemple 3 (rédigé comme à l’examen)

9. .Page0)(0' x,1)x(00, tsi 0x(t):que est telle x(t)t: x t.0 si 1u(t) 0, tsi 0u(t) avec )u(t)cos(3tx4'' x desolution latrouver

=+=+<=→≤=<==+

Exemple 4 (rédigé comme à l’examen)Résoudre le système différentiel suivant en utilisant la Transformation de Laplace :

+−=−=

y6x4'yyx3'x

Avec les conditions initiales : x (0+)=1, y (0+)=2 ; x (t)=0 et y (t)=0 si t<0.Page 10.

15

Equations différentielles. Sujets traités.

Exemple 1 (traité en détails)

obtenue. x(t)fonction t laEtudier 0. tsi 0x(t):que ellefonction t uneest x(t)t:où x

t2 si 0e(t) , 2t1 si 1e(t) 1, tsi 0e(t) avec e(t)x' x Résoudre

→≤=→

≤=<≤=<==+

SolutionLa fonction inconnue que l’on cherche est notée )t(xt:x → .

La fonction .connuefonctionuneest)t(et:e →

I) Posons[ ] [ ] )p(e(t)LE(p)et )p(x(t)LX(p) ==

II) Transformons l’équation

0.) x(0Puisque).p(E)p(X)p(pX

)p(E)p(X)0(x)p(pX

=+=+

=++−

III) Isolons X (p)

( )

)p(E1p

1)p(X

)p(E)p(X1p

+=

=+

1p1H(p)+

=

La fonction 1p1)p(Hp:H+

=→ est souvent désignée par les physiciens sous le

nom de fonction de transfert )p(E)p(H)p(X ×= .

Début du chapitre

16

IV) Exprimons la transformée de Laplace E (p) du signal e (t)

≤<≤

<=

t2 si 02t1 si 1

1 tsi0)t(e

Le signal e (t) s’exprime à partir de l’échelon unité u :

)t(e)2t(u)1t(u =−−−

Preuve

==−−−=−=−−≤−≤≤

==−−−=−=−<−−≤<≤

==−−−=−=−<−<−<

)t(e0)2u(t)1u(t: 1)2u(t , 1)1u(t donc 2t0et 1t0 alorst 2 Si

)t(e1)2u(t)1u(t: 0)2u(t , 1)1u(t donc 02et t 1t0 alors 2 t1 Si

)t(e0)2u(t)1u(t: 0)2u(t , 0)1u(t donc 02et t 01 talors 1 tSi

On retrouve bien l’expression du signal e (t).

En utilisant la propriété 4 de la Transformation de Laplace (Théorème du retard) on obtient :

[ ] pep1)p()1t(uL −=− , [ ] p2e

p1)p()2t(uL −=−

[ ] [ ] [ ] [ ] )p()2t(uL)p()1t(uL)p()2t(u)1t(uL)p()t(eL)p(E −−−=−−−==

On obtient :p2e

p1pe

p1)p(E −−−= .

Début du chapitre

17

0 1 2

1

t

)t(e (t)

V) Expression de X (p)

)p(E1p

1)p(X+

=

p2ep)1p(

1pep)1p(

1)p(X −+

−−+

=

Il reste maintenant à trouver l’original de X (p) : c’est la solution x (t) de l’équation différentielle VOICI:Nous connaissons les originaux suivants :Original f (t) Fonction F (p)

u (t) p1

te)t(u −1p

1+

)1t(e)1t(u −−− pep1 −

)2t(e)2t(u −−− p2e1p

1 −+

Faisons apparaître ces données en décomposant en éléments simples la fraction

1A,1B,0BAp)1p(

Bp)BA(p)1p(

)1p(BApp)1p(

1:pB

1pA

p)1p(1

que tellesBet A réels des valeursles rouvonst

:p)1p(

1

−===++

++=+

++=+

++

=+

+

p1

1p1

p)1p(1 +

+−=

+

Début du chapitre

18

( ) )t(ue1)t(u)t(uet

:est p1

1p1

p)1p(1p de originalL'

tt −− −=+−→

++

−=+

→

En utilisant le théorème du retard:[ ] [ ] pe)p()t(u)t(fL)p()t(u)t(fL τ−×=τ−τ−

( )( )[ ] [ ]

.2et1 avec

ep)1p(

1e)p()t(u)t(fL)p()t(ue1L

:)t(ue1)t(u)t(f:avec

pp)t(

t

=τ=τ+

=×=τ−−

−=

τ−τ−τ−−

−

( ) ( ) )2t(ue1)1t(ue1x(t)t:x

:est

ep)1p(

1ep)1p(

1)p(Xp :X de originalL'

)2t()1t(

p2p

−−−−−=→

+−

+=→

−−−−

−−

( ) ( ) )2t(ue1)1t(ue1x(t)t: x

:fonction laest 0 tsi 0 x(t)que lelle e(t)x'x équation l' desolution La

)2t()1t( −−−−−=→

≤==+

−−−−

19

Etude de la fonction x obtenue( ) ( ) )2t(ue1)1t(ue1x(t)t:x )2t()1t( −−−−−=→ −−−−

Expression de la fonction x sur les intervalles ] [ [ [ [ [.,2,2,1,1, ∞+∞−

] [ ] [

[ [

[ [

−−−−−=∞+∈

−−−=∈

∞−∈=∞−∈

)1t(e)2t(e)t(x:,2tsi

)1t(e1)t(x:2,1tsi

1,tsi0)t(x:1,tsi

Début du chapitre

20

Etude de la continuité pour les valeurs t=1 et t=2 de la variableContinuité en t = 1

1.en continueest fonction la : )1(x)1(x

0)1t(e11t,1tLim)1(x)t(x1t,1tLim

0)1(x)t(x1t,1tLim

+=−

=

−−−→>=+=→>

=−=→<

Continuité en t = 2

2.en continueest fonction la : )2(x)2(x

1e1)1t(e)2t(e2t2tLim)0(x)t(x2t,2tLim

1e1)1t(e12t,1tLim)1(x)t(x2t,2tLim

+=−

−−=

−−−−−→>=+=→>

−−=

−−−→<=−=→<

Etude de la dérivabilité pour les valeurs 1 et 2 de la variable

] [ ] [

] [

] [

−−−−−=−−−−−=∞+∈

−−=−−−=∈

∞−∈==∞−∈

)2t(e)1t(e)t('x donc )1t(e)2t(e)t(x :,2tsi

)1t(e)t('x donc)1t(e1)t(x:2,1tsi

1,tsi0)t('x :donc0)t(x:1,tsi

Etude de la dérivabilité pour la valeur 1 de la variable

:)t('x1t,1tLim)t('x1t,1tLim

1)1t(e1t,1tLim)t('x1t,1tLim

0)t('x1t,1tLim

→>≠→<

=

−−→>=→>

=→<

La fonction n'est pas dérivable en 1.

Début du chapitre

21

Etude de la dérivabilité pour la valeur 1 de la variable

:)t('x2t,1tLim)t('x2t,2tLim

11e)2t(e)1t(e2t,2tLim)t('x2t,2tLim

1e)1t(e2t,2tLim)t('x2t,2tLim

→>≠→<

−−=

−−−−−→>=→>

−=

−−→<=→<

La fonction n'est pas dérivable en 2.

Représentation graphique de la solution] [ ] [

[ [

[ [

−−−−−=∞+∈

−−−=∈

∞−∈=∞−∈

)1t(e)2t(e)t(x:,2tsi

)1t(e1)t(x:2,1tsi

1,tsi0)t(x:1,tsi

Points particulierst 1 2x (t) 0 1e1 −−Coefficient directeur de la tangente à gauche

0 1e−

Coefficient directeur de la tangente à droite 1 11e −− Limite à l'infini

0)1t(e)2t(etlim)t(xtlim =

−−−−−∞→=∞→

22

Début du chapitre

Exemple 2(rédigé comme à l’examen)

. 0. tsi 0v(t):que ellefonction t uneest x(t)t:v.t 0 si Ee(t)et 0 tsi 0e(t) avec e(t)v' RCv Résoudre

≤=→≤=<==+

SolutionPosons :

[ ] [ ] )p(E)p()t(eLet )p(V)p()t(vL == .

Appliquons la transformation de Laplace à l’équation :

t

x(t)

0 1 2

23

.0) v(0puisque)p(E)p(V)p(RCpV

=+=+

Isolons V (p) :

+

×=

×+

==

+=

RC1pp

1RCE)p(V

:écrits' qui pE

RCp11)p(V:donc

pE)p(E

)p(ERCp11)p(V

Décomposons en éléments simples :

RC1P

BPA

RC1pp

1

++=

+ .

En réduisant au même dénominateur on obtient par identification des numérateurs : A=RC, B= −RC, d’où :

+−=

RC1p

1p1E)p(V

L’original de V (p) est v (t):

)t(u).RCt

e1(E)t(v−

−= .

L’équation est résolue. Début du chapitre

Exemple 3 (rédigé comme à l’examen)

.0)(0' x,1)x(00, tsi 0x(t):que est telle x(t)t: x t.0 si 1u(t) 0, tsi 0u(t) avec )u(t)cos(3tx4'' x desolution latrouver

=+=+<=→≤=<==+

SolutionPosons :

[ ] )p(X)p()t(xL = .

Appliquons la transformation de Laplace à l’équation :

24

0(0)et x 1) x(0puisque92p

p)p(X4p)p(X2p

==++

=+−

Isolons X (p) :

)42p)(92p(

p

42p

p)p(X++

++

=

Décomposons en éléments simples :

42p

DCp

92p

BAp

)42p)(92p(

p

+

+++

+=++

On obtient après réduction au même dénominateur et identification des numérateurs :

92p

p51

42p

p56)p(X

42p

p51

92p

p51

42p

p

)42p)(92p(

p

42p

p)p(X

42p

p51

92p

p51

)42p)(92p(

p :donc 0D,0B,51C,

51A

+×−

+×=

+×+

+×−

+=

+++

+=

+×+

+×−=

++===−=

L’original de X (p) est x (t):

)t(u)t3cos51t2cos

56()t(x ×−=

L’équation est résolue. Début du chapitre

Exemple 4 (rédigé comme à l’examen)Résoudre le système différentiel suivant en utilisant la Transformation de Laplace :

+−=−=

y6x4'yyx3'x

Avec les conditions initiales : x (0+)=1, y (0+)=2 ; x (t)=0 et y (t)=0 si t<0.

Solution

25

Notons X (p) et Y (p) les transformées de Laplace des fonctions x (t) et y (t).

Appliquons la transformation de Laplace au système d’équation l’équation :

.2)y(0et 1) x(0puisque)p(Y6)p(X42)p(pY

)p(Y)p(X31)p(pX

=+=+

+−=−−=−

Isolons X(p) et Y(p) en résolvant le système :

=−+=+−

2)p(Y)6p()p(X41)p(Y)p(X)3p(

:écrits' systàme Le

La solution de ce système s’écrit :

)7p)2p(10p2)p(Y

)7p)(2p(8p

14p92p

8p)p(X

−−−=

−−−=

+−

−=

Décomposons en éléments simples :

−+

−=

−

−−

=

7p4

2p6

51)p(Y

7p1

2p6

51)p(X

Les originaux de X (p) et Y(p) sont x (t) et y(t):

.t7e4t2e651)t(y , t7et2e6

51)t(x

+=

−=

L’équation est résolue : la solution est le couple de fonctions

+=

−= t7e4t2e6

51)t(y , t7et2e6

51)t(x

Début du chapitre

TRAVAIL A FAIRE

ARésoudre i’’ (t) +i (t)=e (t) avec i (t)=0 si t<0 i (0)=i’ (0)=0.Le signal e est graphiquement par :

26

0 π 2π

e(t)

π

t

Indication

On peut calculer directement ∫∞ −

0dte)t(e pt mais le calcul est long ;

On peut vérifier (cette indication est donnée en général dans le sujet) :e(t)=tu(t)−2 (t−π)u(t−π)+(t−2π)u(t−2π)

BRésoudre

−=−−=yx'y

yx'x

Avec : x (0+)=1, y (0+)=0, x (t)=0 et y (t)=0 si t<0.

C

Résoudre

+=+=

y4x'yy5x'x

On suppose: x (0+)=−1, y (0+)=0, x (t)=0, y (t)=0 si t<0.

Début du chapitre

Réponses en vrac

27

∞<≤π−π<≤π−π+−

π<≤−<

=

t2:tsin42t:tsin32t

t0:tsint0t:0

)t(i

)t(u)tsine()t(y

)t(u)tcose()t(xt

t

−

−

=

=

? ?

Début du chapitre

28