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La théorie du portefeuille
Philippe Bernard
Master Ingénierie EconomiqueDépartement d’Economie Appliquée
Université Paris Dauphine
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Historiquement L’optimisation moyenne / variance
développée par le prix Nobel Harry Nobel Laureate Harry Markowitz in 1952
« Portfolio Selection », Journal of Finance vol.7, pp. 77-91
Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investments, 1959
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Description une technique opérationnelle pour
obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement
moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille)
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Les inputs : les rendements espérés des titres leurs volatilités les covariances L’estimation : souvent sur données historiques
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Présentation formelle Cadre et notations: J actifs indicés j=1,…,J résumés
par le rendement espéré la volatilité (= écart-type) la matrice de covariance
jrj
ij σ
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Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent
part du titre j portefeuille :
jx
J
j
x
x
x
x..
...1
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portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio)
1.1 xT
sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire
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Le programme d’optimisation
1.1
ˆ
: s.c. min 2
21
x
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p
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Les conditions marginales Pour tout titre j
j
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Avec :
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J
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1... rx
:est optimal leportefeuil le doncet
1... 11
rx
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Conséquences La frontière des portefeuilles
quelques exemples
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Conséquences (suite) Le théorème des deux fonds à la
Fischer Black (1972) Une base de deux portefeuilles (au
sens stricte) Portefeuille de variance minimale Portefeuille maximisant le ratio de
Sharpe
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Le portefeuille de variance minimale
1.11
1 11
min
T
x
Le portefeuille maximisant le ratio de Sharpe
rr
xT
SR
1
1.
11
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Er
Porte f d e va ria nc e m inim a le
Porte f m a xim isa nt le ra tio d e Sha rp e
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min11 ).1.1.()..1.( xxrx SR
Le portefeuille optimal comme combinaison des deuxportefeuilles de la base :
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Remarque : Les deux portefeuilles proposés
définissent une des bases possibles donnant les portefeuilles efficients.
De même qu’en mathématiques, il existe une infinité de base vectorielles « équivalentes », dans la théorie il existe une infinité de couples de portefeuilles permettant d’obtenir l’ensemble des portefeuilles efficients.
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Les limites de la théorie du portefeuille Les restrictions sur les préférences l’importance des moments
supérieures à 2 pour certains secteurs (hedge funds)
Le problème de l’extension à la dynamique
le modèle de Merton (1973)
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Les limites de la théorie du portefeuille (suite) Le problème essentiel pour les
praticiens : la sensibilité du choix optimal aux
inputs la concentration des portefeuilles
obtenus par une estimation sur données historiques
solutions : Black & Litterman, Michaud et le boostrap, etc.
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Extensions de la théorie du portefeuille Les portefeuilles caractéristiques de
Grinold & Kahn
Grinold & Kahn (2000) « Active portfolio management », 2nd édition, 2000, McGraw Hill
Grinold et Kahn ont été longtemps membres de l’équipe de recherche de BARRA, le leader mondial des modèles de risque