KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi...
Transcript of KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi...
![Page 1: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/1.jpg)
KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEARBEBAS LINEARBEBAS LINEAR
BERGANTUNG LINEARBERGANTUNG LINEAR
Prof.Dr. Budi MurtiyasaProf.Dr. Budi MurtiyasaMuhammadiyah University of SurakartaMuhammadiyah University of SurakartaMuhammadiyah University of SurakartaMuhammadiyah University of Surakarta
![Page 2: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/2.jpg)
Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination))Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination))
Andaikan ruang vektor V melalui field F,Andaikan ruang vektor V melalui field F,dengan vektor-vektor u1, u2, …, un ∈ V.Sembarang vektor di dalam V (misal v ∈ V)Sembarang vektor di dalam V (misal v ∈ V)yang dapat dinyatakan dlm bentuk :v = a1 u1 + a2 u2 + … + an un; dng ai ∈ Fdinamakan kombinasi linear dari vektor-dinamakan kombinasi linear dari vektorvektor u1, u2, …, un.
![Page 3: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/3.jpg)
Contoh :A d ik V dAndaikan s, u, v, w ∈ V; dengan
dan s⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
11
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−
01
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
12
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−
31
u = , v = , w = , dan s = .
Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝
−21
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 10
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝−11
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝
−63
Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u, s, dan w !
Diperoleh persamaan:Solusi :v = xu + ys + zw
Diperoleh persamaan:x – y + 2z = -1-x – 3y + z = 0y
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−1
⎟⎞
⎜⎛ 1
⎟⎞
⎜⎛−1
⎟⎞
⎜⎛ 2
x 3y z 02x + 6y – z = 1Diperoleh nilai nilai
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
−63= x + y + z
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
−21
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ 10
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝−11 Diperoleh nilai-nilai
x = -2, y = 1, dan z = 1
Jadi v kombinasi linear dri u, s, dan w dengan v = -2u + s + w
![Page 4: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/4.jpg)
Sistem PembentukSistem PembentukSistem Pembentuk Sistem Pembentuk
Himpunan vektor { uHimpunan vektor { u11, u, u22, …, u, …, umm} } disebut sistem pembentuk dari ruangdisebut sistem pembentuk dari ruangdisebut sistem pembentuk dari ruang disebut sistem pembentuk dari ruang vektor V; ditulis V = L{uvektor V; ditulis V = L{u11, u, u22, …, u, …, umm} } jikjik ktkt V d tV d tjika jika semua vektorsemua vektor v v ∈∈ V dapat V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dinyatakan sebagai kombinasi linear d yata a sebaga o b as ead yata a sebaga o b as eadari {udari {u11, u, u22, …, u, …, umm}.}.
![Page 5: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh :
Andaikan V = R2, dengan u1 = , u2 = , u3 = ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−32
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛10
, g 1 , 2 , 3
Dapat ditunjukkan bahwa u u dan u tersebut
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝0
⎟⎠
⎜⎝ 3 ⎟
⎠⎜⎝−1
Dapat ditunjukkan bahwa u1, u2, dan u3 tersebut adalah sistem pembentuk bagi R2; sebab semua v ∈∈ VVdapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari udapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u11, u, u22 dan dan uu33..
⎞⎛33
Misalnya v = v = 2u1 – u2 – 3u3⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛04
Misalnya v v 3u + u + 2u ; dsb
⎠⎝0
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−5
Misalnya v = v = -3u1 + u2 + 2u3 ; dsb.⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1
![Page 6: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh :
Andaikan V = R3, dengan u1 = , u2 = , u3 = ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛01
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−11
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛−−
11
, g 1 , 2 , 3
Dapat ditunjukkan bahwa u u dan u tersebut
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝0 ⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 0 ⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 1Dapat ditunjukkan bahwa u1, u2, dan u3 tersebut adalah sistem pembentuk bagi R3; sebab semua v ∈∈ VVdapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari udapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u11, u, u22 dan dan uu33..
⎟⎞
⎜⎛−233
Misalnya v = v = u1 – u2 + 2u3⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−212
⎟⎠
⎜⎝ 2
Misalnya v v 3u + 2u + u ; dsb⎟⎞
⎜⎛ 4
Misalnya v = v = 3u1 + 2u2 + u3 ; dsb.⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝
−13
![Page 7: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/7.jpg)
Ruang Baris & Ruang KolomRuang Baris & Ruang KolomRuang Baris & Ruang Kolom Ruang Baris & Ruang Kolom ⎟⎞
⎜⎛ naaa ... 11211
A =A = ⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
n
n
aaa ... 22221
11211
A A ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ mnmm aaa ...............
21
⎞⎛ ⎞⎛
Ruang Baris = Rn = { , , …, }⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛aa
12
11
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛aa
22
21
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
m
m
aa
2
1
g { , , , }⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ na1
...⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ na2
...⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ mna...
⎞⎛ ⎞⎛
Ruang Kolom = Rm = { , , …, }⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
21
11
aa
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
22
12
aa
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
n
n
aa
2
1
Ruang Kolom R { , , …, }⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ 1
...
ma ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ 2
...
ma ⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝ mna...
![Page 8: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/8.jpg)
LatihanLatihanLatihanLatihan
![Page 9: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/9.jpg)
Bergantung Linear (linearly dependence) Bergantung Linear (linearly dependence) dddan dan
Bebas Linear (Linearly Independence).Bebas Linear (Linearly Independence).ebas ea ( ea y depe de ce)ebas ea ( ea y depe de ce)
Andaikan ruang vektor V melalui field FAndaikan ruang vektor V melalui field FAndaikan ruang vektor V melalui field F. Andaikan ruang vektor V melalui field F. VektorVektor--vektor uvektor u11, u, u22, u, u33, …, u, …, unn ∈∈ V disebut V disebut b t lib t li tt d dd d jik djik dbergantung linearbergantung linear atau atau dependendependen jika ada jika ada skalar askalar a11, a, a22, a, a33, …, a, …, ann ∈∈ F yang F yang tidaktidak11 22 33 nnsemuanyasemuanya nolnol sedemikian hingga berlaku :sedemikian hingga berlaku :aa uu + a+ a uu + + a+ + a uu = 0= 0aa11 uu11 + a+ a22 uu22 + … + a+ … + ann uunn = 0= 0
![Page 10: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/10.jpg)
Dari hubunganDari hubunganaa11 uu11 + a+ a22 uu22 + … + a+ … + ann uunn = 0= 0jika hanya berlaku untuk semua skalarjika hanya berlaku untuk semua skalarjika hanya berlaku untuk semua skalar jika hanya berlaku untuk semua skalar aaii = 0 (a= 0 (a11 = a= a22 = … = a= … = ann = 0), maka vektor= 0), maka vektor--ii (( 11 22 nn ),),vektor uvektor u11, u, u22, u, u33, …, u, …, unn ∈∈ V disebut V disebut bebas bebas linearlinear atau inatau independen.dependen.
![Page 11: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/11.jpg)
Vektor u, v, w Vektor u, v, w ∈∈ RR33, dng :, dng :
u = , v = , dan w = . u = , v = , dan w = . ⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛−
21
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛−23
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛−65
Selidiki vektorSelidiki vektor--vektor tsb dependen atau vektor tsb dependen atau ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟
⎠⎜⎝ 1
⎟⎠
⎜⎝ −1
independen ?.independen ?.Di l h il iSolusi :Solusi :
0
Diperoleh nilai :x = -2, y = 1, dan z = -1J dix u + y v + z w = 0 Jadi :- 2u + v – w = 0
-x + 3y + 5z = 02x 2y 6z = 0
Karena ada skalar yang tidak nol, maka vektor-vektor u, v,2x – 2y – 6z = 0
x + y – z = 0dan w adalah dependen ataubergantung linear.
![Page 12: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/12.jpg)
Solusi : (dng menggunakan matriks)Solusi : (dng menggunakan matriks)
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ u
= ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −
123121 Telah menjadi matriks eselon,
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝wv =
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ −−−
165123 Baris terakhir dapat dibaca :
(w + 5u) – (v + 3u) = 0
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+ uvu3 = ⎟
⎟⎞
⎜⎜⎛ −
440121
(w 5u) (v 3u) 0atau :2 + 0⎟
⎟
⎠⎜⎜
⎝ + uw 5 ⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 4402u – v + w = 0Karena ada skalar yang tidak
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
+3uvu
=⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛−
440121 nol, maka vektor-vektor u, v,
dan w adalah dependen atau⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ +−+ )3()5( uvuw ⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ 000dan w adalah dependen ataubergantung linear.
Amati bahwa matriks eselon punya baris nol.
![Page 13: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/13.jpg)
Vektor u, v, w Vektor u, v, w ∈∈ RR33, dng :, dng :
u = , v = , dan w = . u = , v = , dan w = . ⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛−21
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
22
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛−
11
Selidiki vektorSelidiki vektor--vektor tsb dependen atau vektor tsb dependen atau ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟
⎠⎜⎝−1
⎟⎠
⎜⎝−1
independen ?.independen ?.H di l h il iSolusi :Solusi :
0
Hanya diperoleh nilai :x = 0, y = 0, dan z = 0J dix u + y v + z w = 0 Jadi :0u + 0v + 0w = 0
x + 2y – z = 02x + 2y + z = 0
Karena hanya ada skalar nol, maka vektor-vektor u, v,-2x + 2y + z = 0
x – y – z = 0dan w adalah independen ataubebas linear.
![Page 14: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/14.jpg)
Solusi : (dng menggunakan matriks)Solusi : (dng menggunakan matriks)
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ u
= ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ −
122121 Telah menjadi matriks eselon,
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝wv =
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ −−−
111122 Tetapi tidak mempunyai baris
nol. Karenanya vektor-vektor
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛− uvu2 = ⎟
⎟⎞
⎜⎜⎛
−−
360121
nol. Karenanya vektor vektor u, v, dan w adalah i d d t b b⎟
⎟
⎠⎜⎜
⎝ +uw ⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝ − 010
⎞⎛ ⎞⎛
independen atau bebas linear.
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
−2uvu
= ⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
−−
360121
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝−++ )2(
61)( uvuw ⎟
⎟
⎠⎜⎜
⎝−
2100
A ti b h t ik lAmati bahwa matriks eselon tidak punya baris nol.
![Page 15: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/15.jpg)
TeoremaTeoremaTeorema Teorema
BarisBaris--baris yg tidak nol dari matriks baris yg tidak nol dari matriks eselon adalah bebas lineareselon adalah bebas lineareselon adalah bebas linear eselon adalah bebas linear (Independen)(Independen)
![Page 16: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/16.jpg)
TeoremaTeoremaTeorema Teorema
VektorVektor--vektor uvektor u11, u, u22, u, u33, …, u, …, unn ∈∈ V V disebut bergantung linear (dependen)disebut bergantung linear (dependen)disebut bergantung linear (dependen) disebut bergantung linear (dependen) jika salah satu vektorjika salah satu vektor--vektor tersebut vektor tersebut d t di t k b k bi id t di t k b k bi idapat dinyatakan sbg kombinasi dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari vektorlinear dari vektor--vektor yang lainnya.vektor yang lainnya.ea da e toea da e to e to ya g a yae to ya g a ya
![Page 17: KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR · Kombinasi Linear (Kombinasi Linear (linear combinationlinear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022021723/5c7fa8d509d3f26a7f8bb4a4/html5/thumbnails/17.jpg)
Catatan :Catatan :Catatan : Catatan : jika u = 0, maka u pasti dependen.jika u = 0, maka u pasti dependen.JikJik 0 k ti i d d0 k ti i d dJika u Jika u ≠≠ 0, maka u pasti independen.0, maka u pasti independen.Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti d dd ddependen.dependen.Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang
t d kt b k li t tit d kt b k li t tisama atau dua vektor yang berkelipatan, pasti sama atau dua vektor yang berkelipatan, pasti dependen.dependen.A d ik UA d ik U V jik U d d k V jV jik U d d k V jAndaikan U Andaikan U ⊂⊂ V. jika U dependen, maka V juga V. jika U dependen, maka V juga dependen.dependen.A d ik WA d ik W V Jik V i d d k W jV Jik V i d d k W jAndaikan W Andaikan W ⊂⊂ V. Jika V independen, maka W juga V. Jika V independen, maka W juga independen. independen. S t i d kt d d t l t kS t i d kt d d t l t kSecara geometris, dua vektor yg dependen terletak Secara geometris, dua vektor yg dependen terletak pd garis (bidang) yang sama. pd garis (bidang) yang sama.