Kenneth Stephenson- The Approximation of Conformal Structures via Circle Packing

8/3/2019 Kenneth Stephenson- The Approximation of Conformal Structures via Circle Packing

1/31

0 K e n n e t h S t e p h e n s o n

T h e A p p r o x i m a t i o n o f C o n f o r m a l S t r u c t u r e s

v i a C i r c l e P a c k i n g

K e n n e t h S t e p h e n s o n

A b s t r a c t . T h i s i s a p i c t o r i a l t o u r a n d s u r v e y o f c i r c l e p a c k i n g t e c h -

n i q u e s i n t h e a p p r o x i m a t i o n o f c l a s s i c a l c o n f o r m a l o b j e c t s . I t b e g i n s

w i t h n u m e r i c a l c o n f o r m a l m a p p i n g a n d t h e c o n j e c t u r e o f T h u r s t o n

w h i c h l a u n c h e d t h i s t o p i c , m o v e s t o a p p r o x i m a t i o n o f m o r e g e n e r a l

a n a l y t i c f u n c t i o n s , a n d e n d s w i t h r e c e n t w o r k o n t h e a p p r o x i m a t i o n o f

c o n f o r m a l t i l i n g s a n d c o n f o r m a l s t r u c t u r e s .

x 1 I n t r o d u c t i o n

A c i r c l e p a c k i n g i s a c o n g u r a t i o n o f c i r c l e s w i t h a s p e c i e d p a t t e r n o f

t a n g e n c i e s . T h e r e g u l a r h e x a g o n a l o r \ p e n n y " p a c k i n g i n t h e p l a n e |

e v e r y c i r c l e t a n g e n t t o s i x o t h e r s | i s c e r t a i n l y f a m i l i a r t o e v e r y o n e ,

a n d t h e l i t e r a t u r e c o n t a i n s a s m a t t e r i n g o f o t h e r e x a m p l e s s t r e t c h i n g

b a c k t o t h e a n c i e n t G r e e k s . B u t I o e r t h i s a s a r s t i l l u s t r a t i o n o f t h e

t y p e o f p a c k i n g s w e w i l l d i s c u s s .

S2


2/31

C i r c l e P a c k i n g 1

C i r c l e p a c k i n g h a s i t s b e g i n n i n g a s a d i s t i n c t t o p i c w i t h a p p l i -

c a t i o n s t o 3 - m a n i f o l d s i n T h u r s t o n ' s N o t e s 2 0 ] . I t s c o n n e c t i o n s t o

a n a l y t i c f u n c t i o n s , t h e s u b j e c t o f t h i s s u r v e y , c a n b e t r a c e d p r e c i s e l y

t o a c o n j e c t u r e o f T h u r s t o n a t t h e 1 9 8 5 B i e b e r b a c h c o n f e r e n c e c o n -

c e r n i n g t h e u s e o f c i r c l e p a c k i n g s t o a p p r o x i m a t e c o n f o r m a l m a p p i n g s

a n d t o i t s s u b s e q u e n t p r o o f b y R o d i n a n d S u l l i v a n 1 6 ] .

I m u s t s t r o n g l y e m p h a s i s r i g h t a t t h e b e g i n n i n g t h a t o u r t o p i c

h a s a l m o s t n o c o n t a c t w i t h t h e m o r e f a m i l i a r \ s p h e r e p a c k i n g " s t u d -

i e s , w h i c h a d d r e s s d e n s i t y a n d c o v e r a g e i s s u e s | h o w m a n y p i n g p o n g

b a l l s t i n a b o x c a r . L o o k t o o u r r s t g u r e : i t i s t h e p a t t e r n o f t a n -

g e n c i e s a n d t h e t r i a n g u l a r i n t e r s t i c e s w h i c h a r e c e n t r a l . T h e s e c i r c l e s

h a v e h a d t o a s s u m e w i d e l y v a r i e d s i z e s i n o r d e r t o t t o g e t h e r i n a

p r e s c r i b e d p a t t e r n | t h i s p a c k i n g a n d t h e s o u r c e o f i t s c o m b i n a t o r i c s

w i l l c o m e u p l a t e r .

W h e n I o u t l i n e t h e b a s i c n o t i o n s o f c i r c l e p a c k i n g i n a m o m e n t ,

y o u w i l l n d t h a t t h e s e o b j e c t s p r e s e n t a n i n t r i g u i n g b l e n d o f l o c a l

g e o m e t r i c r i g i d i t y a n d g l o b a l g e o m e t r i c e x i b i l i t y . M a p p i n g s b e t w e e n

o n e c o n g u r a t i o n o f c i r c l e s r e a l i z i n g a c e r t a i n t a n g e n c y p a t t e r n a n d

a n o t h e r c o n g u r a t i o n r e a l i z i n g t h e s a m e p a t t e r n t u r n o u t t o b e h a v e

i n f u n d a m e n t a l w a y s l i k e a n a l y t i c m a p p i n g s a n d h a v e b e c o m e c e n t r a l

t o t h e t h e o r y . T w o l i n e s o f d e v e l o p m e n t h a v e e m e r g e d r e g a r d i n g t h e s e

m a p s . T h e r s t , f o l l o w i n g t h e l i n e s o f T h u r s t o n ' s 1 9 8 5 c o n j e c t u r e ,

c o n c e r n s t h e i r u s e i n t h e a p p r o x i m a t i o n o f a n a l y t i c f u n c t i o n s | t h a t

i s t h e s u b j e c t o f t h i s s u r v e y . H o w e v e r , t h e s e c o n d , w h i c h a d d r e s s e s t h e

m a n y a n a l o g i e s b e t w e e n t h e s e m a p s a n d a n a l y t i c f u n c t i o n s , a l s o p l a y s

a r o l e h e r e s i n c e d i s c o v e r i e s i n t h a t t h e o r y p r e s e n t u s w i t h s e v e r a l n e w

t a r g e t s f o r a p p r o x i m a t i o n .

T h i s w i l l b e a d e c i d e d l y p i c t o r a l s u r v e y , a n d I w i l l r e l y h e a v i l y

o n t h e r e a d e r ' s g e o m e t r i c f e e l i n g f o r a n a l y t i c f u n c t i o n s . W e s t a r t w i t h

t r a d i t i o n a l \ c o n f o r m a l m a p p i n g " , w h e r e c i r c l e p a c k i n g h a s l i t t l e t o

r e c o m m e n d i t , i n a n u m e r i c a l s e n s e , o v e r c l a s s i c a l m e t h o d s . H o w e v e r ,

w e m o v e o n t o m o r e g e n e r a l a n a l y t i c f u n c t i o n s , w h e r e i t b e g i n s t o

s h o w s o m e a d v a n t a g e s , a n d n a l l y r e a c h q u i t e n e w , u n b r o k e n g r o u n d

i n t h e a p p r o x i m a t i o n o f c o n f o r m a l s t r u c t u r e s . I n r e c e n t a p p l i c a t i o n s

t o R i e m a n n s u r f a c e s a n d c o n f o r m a l t i l i n g w h i c h I s u r v e y h e r e , c i r c l e

p a c k i n g m a y s t a n d a s t h e o n l y t e c h n i q u e a v a i l a b l e .

M y t h a n k s t o t h e o r g a n i z e r s o f C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s i n F u n c -

t i o n T h e o r y ' 9 7 a n d t o t h e U n i v e r s i t y o f C y p r u s f o r t h e i r h o s p i t a l i t y .

A t t h e e n d o f t h e p a p e r I p o i n t t h e r e a d e r t o s o u r c e s f o r a c i r c l e p a c k -

i n g b i b l i o g r a p h y a n d f o r t h e s o f t w a r e p a c k a g e C i r c l e P a c k u s e d f o r t h e

n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s i l l u s t r a t e d h e r e .


3/31


1 . 1 C l a s s i c a l C o n f o r m a l G e o m e t r y

O u r v i e w o f a n a l y t i c f u n c t i o n s w i l l b e a l m o s t e x c l u s i v e l y g e o m e t r i c |

y o u w i l l s e e n o p o w e r s e r i e s o r i n t e g r a l f o r m u l a e h e r e , f o r g e t c o m p l e x

a r i t h m e t i c . T h i n k i n t e r m s o f c o n f o r m a l i t y ( a n g l e p r e s e r v i n g ) , c u r v a -

t u r e a n d m e t r i c s , s u r f a c e s a n d c o v e r i n g s , b r a n c h i n g a n d p r o j e c t i o n s ,

` m a p p i n g s ' n o t ` f u n c t i o n s ' | t h e r u b b e r - s h e e t i m a g e r y s u g g e s t e d b y

F i g u r e 1 .

f

g

h

D

F i g u r e 1 . G e o m e t r y o f c l a s s i c a l a n a l y t i c f u n c t i o n s o n t h e d i s c

I n a s k i n g y o u t o r e l y o n g e o m e t r i c t h e m e s a n d i n t u i t i o n , i t m i g h t

h e l p t o r e c a l l a s a y i n g w h i c h g o e s t o t h e h e a r t o f c o n f o r m a l g e o m e t r y :

n a m e l y , a n a l y t i c f u n c t i o n s f m a p i n n i t e s i m a l c i r c l e s t o i n n i t e s i m a l

c i r c l e s . M o r e o v e r , j f

0

j i s t h e s t r e t c h i n g o f t h e s e i n n i t e s i m a l c i r c l e s .

T a k i n g t h i s i m a g e s e r i o u s l y a n d \ z o o m i n g " i n o n p o i n t s z a n d f ( z ) ,

o n e c a n i m a g i n e f m a p p i n g a p a t t e r n o f i n n i t e s i m a l c i r c l e s i n t h e

d o m a i n t o t h e p a t t e r n o f i n n i t e s i m a l i m a g e c i r c l e s i n t h e r a n g e . I f

y o u c a n g e t y o u r m i n d a r o u n d t h i s i m a g e , y o u w i l l n o t b e f a r f r o m t h e

t r u t h . I n t h e d i s c r e t e t h e o r y , w e s i m p l y c h o o s e t o w o r k w i t h a c t u a l

c i r c l e s !


4/31


1 . 2 C i r c l e P a c k i n g B a s i c s

T h e t h e o r y b e g a n o n t h e s p h e r e w i t h t h i s t h e o r e m , p r o v e n s u c c e s s i v e l y

b y K o e b e , A n d r e e v , a n d T h u r s t o n : L e t K b e a n a b s t r a c t t r i a n g u l a t i o n

o f a t o p o l o g i c a l s p h e r e . T h e r e e x i s t s a c i r c l e p a c k i n g P o n t h e R i e m a n n

s p h e r e S

2

h a v i n g t h e c o m b i n a t o r i c s o f K a n d P i s u n i q u e u p t o M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n s a n d i n v e r s i o n s o f S

2

T h e c o n d i t i o n s o n P a r e t h a t

e a c h v e r t e x o f v 2 K i s r e p r e s e n t e d b y a c i r c l e c

v

2 P a n d t h a t i f

v e r t i c e s v a n d w a r e c o n n e c t e d b y a n e d g e i n K , t h e n c

v

a n d c

w

a r e

t a n g e n t .

T h e r i c h n e s s o f c i r c l e p a c k i n g s m a y b e t r a c e d t o t h e i r d u a l n a -

t u r e s : c o m b i n a t o r i c i n t h e p a t t e r n o f p r e s c r i b e d t a n g e n c i e s a n d g e o -

m e t r i c i n t h e r e a l i z a t i o n b y a c t u a l c i r c l e s . U n t i l x 2 . 4 , o u r c i r c l e p a c k -

i n g s w i l l l i e i n t h e s p h e r e S

2

, t h e p l a n e C , o r t h e h y p e r b o l i c p l a n e ,

r e p r e s e n t e d h e r e a s D w i t h t h e P o i n c a r e m e t r i c . W o r k i n g w i t h t h e m

r e q u i r e s a r a t h e r m o d e s t s y s t e m o f b o o k k e e p i n g :

C o m p l e x : K d e n o t e s a n a b s t r a c t s i m p l i c i a l 2 - c o m p l e x t r i a n g u l a t i n g

a t o p o l o g i c a l s u r f a c e D

L a b e l : R i s a c o l l e c t i o n f R ( v ) g o f p o s i t i v e n u m b e r s a s s o c i a t e d w i t h

v e r t i c e s v o f K . I f w e a r e w o r k i n g i n a m e t r i c s p a c e D , t h e s e r e p r e s e n t

p u t a t i v e r a d i i . W e r e s t r i c t a t t e n t i o n t o s e t t i n g s w i t h R i e m a n n i a n m e t -

r i c s o f c o n s t a n t c u r v a t u r e 0 ; 1 , o r ? 1 , d e s c r i b e d a s e u c l i d e a n , s p h e r i c a l ,

o r h y p e r b o l i c , r e s p e c t i v e l y .

A n g l e S u m s : A l a b e l R d e t e r m i n e s a n a n g l e s u m

R

( v ) a t e a c h

v e r t e x o f K . I n p a r t i c u l a r , f o r e a c h f a c e h v ; u ; w i 2 K , l e t

R

( v ; u ; w )

d e n o t e t h e a n g l e a t c

v

i n a t r i a n g l e f o r m e d b y t h e c e n t e r s o f a m u t u a l l y

t a n g e n t t r i p l e h c

v

; c

u

; c

w

i o f c i r c l e s o f r a d i i h R ( v ) ; R ( u ) ; R ( w ) i ; t h e l a w

o f c o s i n e s a p p r o p r i a t e t o t h e g e o m e t r y o f R l e t s u s c o m p u t e . T h e n

R

( v ) =

P

h v ; u ; w i

R

( v ; u ; w ) ; w h e r e t h e s u m i s o v e r a l l f a c e s h v ; u ; w i 2

K c o n t a i n i n g v

P a c k i n g : P i s a c o n g u r a t i o n o f c i r c l e s i n t h e m e t r i c s p a c e D s a t i s -

f y i n g t h e t a n g e n c y p a t t e r n o f K . I f t h e r a d i i a r e l i s t e d i n t h e l a b e l R ,

w e w o u l d w r i t e P $ K ( R )

C a r r i e r : c a r r ( P ) d e n o t e s t h e c o n c r e t e g e o m e t r i c c o m p l e x i n D f o r m e d

b y c o n n e c t i n g t h e c e n t e r s o f t a n g e n t c i r c l e s o f P w i t h g e o d e s i c s e g -

m e n t s ; t h i s i s s i m p l i c i a l l y e q u i v a l e n t t o t h e a b s t r a c t c o m p l e x K

F i g u r e 2 i l l u s t r a t e s t h e s e b a s i c s w i t h a s i m p l e n i t e c o m p l e x

l a b e l e d K ; ( b ) i s a r a t h e r g e n e r i c h y p e r b o l i c p a c k i n g f o r K i n D , ( c )

a m o r e d e l i b e r a t e e u c l i d e a n p a c k i n g w i t h r e c t a n g u l a r c a r r i e r , ( d ) i s

t h e m a x i m a l p a c k i n g ( i n D ) t o b e d i s c u s s e d s h o r t l y . T h e c a r r i e r s a r e


5/31


s h o w n f o r r e f e r e n c e . N o t e t h a t t h e r a d i i a n d e v e n t h e g e o m e t r y c h a n g e

| i t i s t h e c o m b i n a t o r i c s w h i c h t h e s e p a c k i n g s s h a r e .

(a) (b)

(c) (d)

D

D

K

F i g u r e 2 . C i r c l e p a c k i n g s f o r a s i m p l e c o m p l e x K

T h e s u r p r i s e , o f c o u r s e , i s t h a t f o r a g i v e n c o m p l e x K t h e r e

e x i s t a n y p a c k i n g s w h a t s o e v e r , m u c h l e s s a p o t e n t i a l l y h u g e v a r i e t y o f

p a c k i n g s . C o m p u t a t i o n a l l y , t h e l a b e l s a r e t h e k e y .

D e n i t i o n 1 . A l a b e l R i s a p a c k i n g l a b e l f o r K i f t h e a n g l e s u m

R

( v ) i s a n i n t e g r a l m u l t i p l e o f 2 f o r e v e r y i n t e r i o r v e r t e x v

T h i s i s c l e a r l y a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r R t o r e p r e s e n t t h e r a d i i o f a

p a c k i n g P , s i n c e

R

( v ) = 2 n ; n 1 ; s i m p l y r e e c t s t h e f a c t t h a t t h e

c i r c l e s c

v

i

f o r t h e n e i g h b o r s o f v m u s t r e a c h p r e c i s e l y n t i m e s a r o u n d c

v

I t i s a l s o a s u c i e n t c o n d i t i o n i f t h e r e a r e n o t o p o l o g i c a l o b s t r u c t i o n s :


6/31


L e m m a 1 . I f K t r i a n g u l a t e s a s i m p l y c o n n e c t e d s u r f a c e , t h e n a l a b e l

R f o r K r e p r e s e n t s t h e r a d i i f o r a c i r c l e p a c k i n g o f K i f a n d o n l y i f R

i s a p a c k i n g l a b e l .

W e s a y l i t t l e a b o u t c i r c l e c e n t e r s b e c a u s e t h e y p l a y a s e c o n d a r y

r o l e : o n c e a p a c k i n g l a b e l R i s f o u n d , t h e c i r c l e s a r e l a i d o u t i n D

( S

2

; C , o r D , a s a p p r o p r i a t e ) u s i n g a p r o c e s s a k i n t o a n a l y t i c c o n t i n -

u a t i o n . T h e r e s u l t i n g c i r c l e p a c k i n g P $ K ( R ) i s e s s e n t i a l l y u n i q u e

| t h a t i s , i t i s u n i q u e u p t o a c o n f o r m a l a u t o m o r p h i s m o f D

A b i t o f t e r m i n o l o g y : A p a c k i n g i s u n i v a l e n t i f i t s c i r c l e s h a v e

m u t u a l l y d i s j o i n t i n t e r i o r s . U n i v a l e n c e f a i l s l o c a l l y a t a b r a n c h c i r c l e

( o r v e r t e x ) , t h a t i s , a t a n i n t e r i o r c i r c l e w h o s e n e i g h b o r s w r a p t w o o r

m o r e t i m e s a r o u n d i t ( a n g l e s u m 4 ; 6 ; ) . F i g u r e 3 i l l u s t r a t e s a

b r a n c h c i r c l e ; t h e s a m e n i n e c i r c l e s w h i c h w r a p o n c e a b o u t t h e c e n t r a l

c i r c l e i n F i g u r e 3 ( a ) w r a p e x a c t l y t w i c e a r o u n d t h e s m a l l e r c e n t r a l

c i r c l e o f F i g u r e 3 ( b ) . T h e b r a n c h s e t f o r a p a c k i n g P , d e n o t e d b r ( P ) ,

(a) (b)

F i g u r e 3 . L o c a l u n i v a l e n c e v e r s u s b r a n c h i n g

i s t h e s e t o f b r a n c h c i r c l e s , r e p e a t e d a c c o r d i n g t o m u l t i p l i c i t i e s . I f a l l

i n t e r i o r a n g l e s u m s a r e 2 , t h e n b r ( P ) = ; a n d t h e p a c k i n g i s c a l l e d

l o c a l l y u n i v a l e n t . U n i v a l e n c e c a n f a i l , e v e n w i t h o u t b r a n c h c i r c l e s ,

w h e n c i r c l e s f r o m o n e p a r t o f a p a c k i n g o v e r l a p t h o s e f r o m a n o t h e r .

P a c k i n g V a r i e t y : G i v e n a c o m p l e x K , t h e r e a r e n u m e r o u s

r e s u l t s o n t h e e x i s t e n c e a n d v a r i e t y o f p a c k i n g s f o r K ; w e n e e d t w o

m a i n t y p e s . L e t ' s b e g i n w i t h t h e e x t r e m e r i g i d i t y d i s p l a y e d b y m a x -

i m a l p a c k i n g s , p r o v e n b y K o e b e i n t h e n i t e c a s e 1 4 ] , B e a r d o n a n d


7/31


S t e p h e n s o n i n t h e b o u n d e d d e g r e e c a s e 2 ] , a n d H e a n d S c h r a m m i n

g e n e r a l 1 1 ] :

T h e o r e m 1 . L e t K t r i a n g u l a t e a s i m p l y c o n n e c t e d s u r f a c e . T h e n f o r

D e q u a l t o p r e c i s e l y o n e o f t h e s p a c e s S

2

; C ; o r D , t h e r e e x i s t s a c i r c l e

p a c k i n g P

K

f o r K i n D w i t h t h e p r o p e r t y t h a t P

K

i s u n i v a l e n t a n d

h a s a c a r r i e r l l i n g D . F u r t h e r m o r e , P

K

i s e s s e n t i a l l y u n i q u e .

T h i s c i r c l e p a c k i n g P

K

i s c a l l e d a m a x i m a l p a c k i n g a n d K i s s a i d

t o b e s p h e r i c a l , p a r a b o l i c , o r h y p e r b o l i c a s P

K

l i e s i n S

2

; C ; o r D ,

r e s p e c t i v e l y .

(a) (b)

(c) (d)

S2

D D

F i g u r e 4 . M a x i m a l P a c k i n g s

F i g u r e 4 i l l u s t r a t e s t h e f o u r b a s i c s i t u a t i o n s . A c o m p l e x K i s

s p h e r i c a l i i t t r i a n g u l a t e s a t o p o l o g i c a l s p h e r e ; i n ( a ) w e s e e t h e r e g u -

l a r p e n t a g o n a l p a c k i n g ( e v e r y c i r c l e w i t h v e n e i g h b o r s ) . T h e f a m i l i a r


8/31


r e g u l a r h e x a g o n a l o r \ p e n n y " p a c k i n g ( b ) i s p a r a b o l i c , t h e r e g u l a r \ s e p -

t a g o n a l " p a c k i n g ( c ) i s h y p e r b o l i c . C o m p u t a t i o n a l l y , p a c k i n g s s u c h a s

t h a t o f F i g u r e 4 ( d ) a r e t h e m o s t i m p o r t a n t . H e r e K t r i a n g u l a t e s a

c l o s e d t o p o l o g i c a l d i s c ( i n f a c t , t h i s i s t h e m a x i m a l p a c k i n g f o r t h e

c o m p l e x o f F i g u r e 2 ) . N o t e t h a t c a r r ( P

K

) \ l l s " D i n t h e s e n s e t h a t

i t s b o u n d a r y c i r c l e s a r e h o r o c y c l e s ( e u c l i d e a n c i r c l e s i n t e r n a l l y t a n -

g e n t t o @ D ) a n d t h e b o u n d a r y v e r t i c e s h a v e b e e n p u s h e d t o t h e i d e a l

b o u n d a r y . S p h e r i c a l p a c k i n g s a r e c o m p u t e d b y p u n c t u r i n g a t a v e r t e x ,

p a c k i n g t h e r e s t o f t h e c o m p l e x i n D , t h e n p r o j e c t i n g b a c k t o S

2

. I n -

n i t e p a c k i n g s a r e h a n d l e d a s a p p r o p r i a t e l y r e s c a l e d l i m i t s o f p a c k i n g s

i n D f o r n i t e s u b c o m p l e x e s .

I n c o n t r a s t t o t h e r i g i d i t y o f m a x i m a l p a c k i n g s , l e t ' s m o v e t o

t h e v a r i e t y a v a i l a b l e w h e n w e c o n s t r u c t p a c k i n g s m e e t i n g p r e s c r i b e d

b o u n d a r y v a l u e a n d b r a n c h i n g c o n d i t i o n s .

L e t K t r i a n g u l a t e a c l o s e d t o p o l o g i c a l d i s c . L e t = f b

1

; ; b

k

g

b e a l e g a l b r a n c h s e t f o r K ; t h i s i s a ( p e r h a p s e m p t y ) l i s t o f i n t e r i o r

v e r t i c e s o f K , w i t h p o s s i b l e r e p e t i t i o n s . ( N e c e s s a r y / s u c i e n t c o m b i -

n a t o r i a l c o n d i t i o n s o n h a v e b e e n p r o v e n b y D u b e j k o 9 ] a n d B o w e r s

4 ] . ) @ K d e n o t e s t h e b o u n d a r y v e r t i c e s o f K

T h e o r e m 2 . L e t K , , a n d t h e b o u n d a r y l a b e l g : @ K ? ! ( 0 ; 1 )

b e g i v e n . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e e u c l i d e a n p a c k i n g l a b e l R f o r K

w i t h b r a n c h s e t a n d s a t i s f y i n g R ( w ) = g ( w ) ; w 2 @ K . T h e s a m e

r e s u l t h o l d s i n h y p e r b o l i c g e o m e t r y , w h e r e g i s a l s o a l l o w e d t o a s s u m e

t h e v a l u e + 1

I n o t h e r w o r d s , t h e r e e x i s t s a n e s s e n t i a l l y u n i q u e c i r c l e p a c k i n g

h a v i n g a p r e s c r i b e d b r a n c h s e t a n d p r e s c r i b e d b o u n d a r y r a d i i . I n h y -

p e r b o l i c g e o m e t r y , i n n i t e r a d i i c o r r e s p o n d t o h o r o c y c l e s . T h u s t h e

m a x i m a l p a c k i n g f o r K i s t h e p a c k i n g i n D h a v i n g p r e s c r i b i n g b r a n c h

s e t = ; a n d p r e s c r i b e d b o u n d a r y r a d i i g ( w ) = 1 ; w 2 @ K

D o n ' t l e t t h i s g l o b a l m a l l e a b i l i t y o f c i r c l e p a c k i n g s o b s c u r e t h e

l o c a l r i g i d i t y i m p l i e d b y t h e p a c k i n g c o n d i t i o n a t e a c h v e r t e x . T h e

l o c a l - t o - g l o b a l l i n k a g e i s m o d e r a t e d b y t h e c o m b i n a t o r i c s o f K

D i s c r e t e A n a l y t i c F u n c t i o n s : W e c a n a t t e m p t t o i m p o s e

s o m e o r d e r o n t h e n u m e r o u s p a c k i n g s f o r a g i v e n c o m p l e x K b y u s -

i n g a f u n c t i o n t h e o r y p a r a d i g m . D e n e d i s c r e t e a n a l y t i c f u n c t i o n s a s

m a p s b e t w e e n c i r c l e p a c k i n g s w h i c h p r e s e r v e t a n g e n c y a n d o r i e n t a t i o n .

V a r i o u s p a c k i n g s o f K m a y n o w b e a s s o c i a t e d w i t h d i s c r e t e a n a l y t i c

f u n c t i o n s f : P

K

? ! P . C o m p a r e t h e u n i v a l e n t , l o c a l l y u n i v a l e n t ,

a n d b r a n c h e d d i s c r e t e a n a l y t i c f u n c t i o n s o f F i g u r e 5 t o t h e i r c l a s s i c a l

m o d e l s i n F i g u r e 1 .

A s c l a s s i c a l a n a l y t i c f u n c t i o n s m a p i n n i t e s i m a l c i r c l e s t o i n -

n i t e s i m a l c i r c l e s , s o o u r d i s c r e t e v e r s i o n s o p e r a t e w i t h r e a l c i r c l e s .


9/31


D

f

g

h

PK

P1

P2

P3

F i g u r e 5 . D i s c r e t e a n a l y t i c f u n c t i o n s o n t h e d i s c

F u n d a m e n t a l b e h a v i o r i s s u r p r i s i n g l y s i m i l a r . T h e r e i s a r a t i o f u n c t i o n

f

#

d e n e d o n v e r t i c e s o f K b y f

#

( v ) = r a d i u s ( f ( c

v

) ) = r a d i u s ( c

v

) ; t h i s

r e e c t s t h e a m o u n t t h a t f s t r e t c h e s o r s h r i n k s c

v

a n d i s t h e a n a l o g

o f j f

0

j . H i d d e n i n P

3

i s a b r a n c h c i r c l e l i k e t h a t o f F i g u r e 3 ( b ) ; t h e

t o p o l o g i c a l b e h a v i o r o f t h e m a p p i n g i s p r e c i s e l y t h a t a t a b r a n c h p o i n t

o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n .

C o m p u t a t i o n : F i n a l l y , l e t m e p o i n t o u t t h a t t h e c o m p u -

t a t i o n a l p r o b l e m c e n t e r s o n n d i n g p a c k i n g l a b e l s . T h u r s t o n s u g -

g e s t e d a n i t e r a t i v e a l g o r i t h m w h i c h w o r k s b e a u t i f u l l y i n h y p e r b o l i c a n d

e u c l i d e a n g e o m e t r y t o s o l v e t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s d e s c r i b e d

a b o v e . I n t h i s s u r v e y , w e w i l l t a k e t h e a l g o r i t h m f o r g r a n t e d ; s e e 8 ]

f o r a d e s c r i p t i o n a n d a n e c i e n t i m p l e m e n t a t i o n .


10/31


x 2 A p p r o x i m a t i o n

L e t ' s p r o c e e d n o w t o t h e p r i n c i p a l a p p r o x i m a t i o n i s s u e s . I w i l l b r e a k

m y s u r v e y i n t o f o u r t o p i c s : t h e o r i g i n a l c o n f o r m a l m a p p i n g s e t t i n g

o f T h u r s t o n ' s C o n j e c t u r e , g e n e r a l i z a t i o n s t o o t h e r a n a l y t i c f u n c t i o n s ,

t h e n o n t o n e w u s e s i n c o n f o r m a l t i l i n g a n d c o n f o r m a l s t r u c t u r e s o n

s u r f a c e s .

2 . 1 C o n f o r m a l M a p p i n g

F i g u r e 6 i l l u s t r a t e s T h u r s t o n ' s 1 9 8 5 c o n j e c t u r e . G i v e n t h e J o r d a n d o -

m a i n , c u t o u t a n i t e p i e c e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p a c k i n g o f c i r c l e s

h a v i n g r a d i i 1 = n . W r i t e P

n

f o r t h i s n i t e c i r c l e p a c k i n g a n d l e t K

n

e n c o d e i t s c o m b i n a t o r i c s . I f P

K

n

i s t h e m a x i m a l p a c k i n g f o r K

n

, t h e n

f

n

: P

K

n

? ! P

n

r e p r e s e n t s f o r u s a d i s c r e t e c o n f o r m a l m a p p i n g f r o m

D t o . T h e i l l u s t r a t i o n c a p t u r e s d o m a i n s a n d r a n g e s f o r t h r e e s u c h

m a p p i n g s ( a p p r o p r i a t e n o r m a l i z a t i o n s a r e a s s u m e d ) .

T h u r s t o n c o n j e c t u r e d a n d R o d i n a n d S u l l i v a n p r o v e d t h a t t h e

d i s c r e t e c o n f o r m a l m a p s f

n

c o n v e r g e u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s

o f D t o t h e c l a s s i c a l c o n f o r m a l m a p p i n g F : D ? ! a s n ! 1

F r o m t h a t c o n v e r g e n c e o n e c a n a l s o s h o w t h a t t h e r a t i o f u n c t i o n s f

#

n

c o n v e r g e u n i f o r m l y o n c o m p a c t s e t s t o j F

0

j

I w i l l n o t g o i n t o t h e p r o o f o f T h u r s t o n ' s c o n j e c t u r e , b u t I w o u l d

l i k e t o h i g h l i g h t t h e t w o k e y i n g r e d i e n t s , w h i c h r e a p p e a r i n o n e g u i s e o r

a n o t h e r i n e v e r y s e t t i n g w e c o n s i d e r : n a m e l y , r e n e m e n t a n d d i s t o r t i o n

c o n t r o l . \ R e n e m e n t " r e f e r s t o t h e p r o c e s s o f c o n v e n i e n t l y g e n e r a t i n g

s e q u e n c e s o f s u c c e s s i v e l y n e r c i r c l e p a c k i n g s ( t h a t i s , m o r e n u m e r o u s

a n d s m a l l e r c i r c l e s ) a p p r o p r i a t e t o a s e t t i n g | h e x a g o n a l p a c k i n g s w i t h

s u c c e s s i v e l y s m a l l e r r a d i i s e r v e t h a t p u r p o s e i n F i g u r e 6 . \ D i s t o r t i o n "

c o n c e r n s t h e c o m p a r i s o n o f a f a c e i n ( t h e c a r r i e r o f ) o n e p a c k i n g w i t h

t h e c o r r e s p o n d i n g f a c e i n a n o t h e r p a c k i n g o f t h e s a m e c o m p l e x , n o r -

m a l l y q u a n t i e d i n t e r m s o f q u a s i c o n f o r m a l d i s t o r t i o n . L e s s d i s t o r t i o n

o f c a r r i e r f a c e s c o n v e r t s t o \ m o r e c o n f o r m a l " m a p p i n g b e h a v i o r . I n

F i g u r e 7 , o b s e r v e t h e d i s t o r t i o n o f v a r i o u s t r i a n g l e s o n t h e r i g h t c o m -

p a r e d t o t h e c o r r e s p o n d i n g e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s o n t h e l e f t . D i s t o r t i o n

n e a r t h e c e n t e r i s s m a l l e r .

T h e i m p o r t a n t H e x a g o n a l P a c k i n g L e m m a o f R o d i n a n d S u l l i -

v a n a n d i t s d e s c e n d a n t s i m p l y , r o u g h l y s p e a k i n g , t h a t i n c o m p a r i n g

t w o u n i v a l e n t p a c k i n g s t h e a m o u n t o f d i s t o r t i o n t h a t a g i v e n f a c e c a n

m a n i f e s t d e c r e a s e s a s i t s c o m b i n a t o r i a l d i s t a n c e f r o m t h e b o u n d a r y i n -

c r e a s e s . T h e R o d i n / S u l l i v a n T h e o r e m h a s b e e n c o n s i d e r a b l y e x t e n d e d

t o a c c o m m o d a t e m o r e g e n e r a l c o m b i n a t o r i c s a n d t o q u a n t i f y t h e c o n -

v e r g e n c e . T h e d e e p e s t a n d m o s t g e n e r a l r e s u l t s a r e d u e t o Z - X . H e

a n d O d e d S c h r a m m 1 2 , 1 3 ] ; s e e a l s o 1 9 , 1 8 ] .


11/31

1 0 K e n n e t h S t e p h e n s o n

fn

fn+1

fn+2

D

D

D

F i g u r e 6 . I l l u s t r a t i n g T h u r s t o n ' s C o n j e c t u r e


12/31

C i r c l e P a c k i n g 1 1

(a) (b)

F i g u r e 7 . T h e H e x a g o n a l P a c k i n g L e m m a

N u m e r i c a l M e t h o d s : O n t h e m o r e p r a c t i c a l s i d e , f o r t h o s e

i n v o l v e d i n n u m e r i c a l c o n f o r m a l m a p p i n g c i r c l e p a c k i n g m a y a p p e a r t o

b e a d i s a p p o i n t m e n t : t h e \ p a c k i n g " p r o c e s s i t s e l f | e . g . , c o m p u t i n g

t h e r a d i i f o r P

K

n

| t u r n s o u t t o b e r a t h e r s l o w , d a t a s e t s a r e b u l k y , a n d

t h e p r o c e s s o f l a y i n g o u t t h e p a c k i n g i t s e l f i n t r o d u c e s a d d i t i o n a l e r r o r .

C i r c l e p a c k i n g c e r t a i n l y c a n n o t c o m p e t e w i t h t h e c l a s s i c a l n u m e r i c a l

m e t h o d s f o r s p e e d a n d a c c u r a c y .

C i r c l e p a c k i n g d o e s h a v e s o m e s t r e n g t h s . F o r i n s t a n c e , i t q u i t e

e a s i l y h a n d l e s m u l t i p l y c o n n e c t e d r e g i o n s . F i g u r e 8 ( b ) i l l u s t r a t e s a

g e n e r i c 4 - c o n n e c t e d r e g i o n a n d t h e p a c k i n g P i t c u t s f r o m a r e g u l a r

h e x p a c k i n g . A u g m e n t t h e c o m p l e x u n d e r l y i n g P w i t h a n \ i d e a l " v e r -

f

D

(a) (b)

P

F i g u r e 8 . A m u l t i p l y c o n n e c t e d e x a m p l e


13/31


t e x f o r e a c h h o l e ; t h a t i s , a c o m m o n n e i g h b o r f o r t h e c i r c l e s b o u n d i n g

t h a t h o l e . T h e a u g m e n t e d c o m p l e x i s s i m p l y c o n n e c t e d , a n d d i s p l a y i n g

i t s m a x i m a l p a c k i n g w i t h t h e c i r c l e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e i d e a l v e r t i c e s

r e m o v e d l e a v e s t h e \ c i r c l e d o m a i n " o n t h e l e f t i n F i g u r e 8 . T h i s t h e n i s

( d i s c r e t e l y ) c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o t h e o r i g i n a l d o m a i n . ( Z - X . H e

a n d o d e d S c h r a m m i n 1 1 ] a p p l i e d c i r c l e p a c k i n g t e c h n i q u e s i n a m a j o r

a d v a n c e o n K o e b e ' s C o n j e c t u r e r e g a r d i n g i n n i t e l y c o n n e c t e d c i r c l e

d o m a i n s ; t h e i r w o r k i s f a r d e e p e r t h a n o u r s i m p l e n u m e r i c a l e x a m p l e

h e r e . )

P r o t o t y p i n g : I n t h e s e t t i n g s o f t r a d i t i o n a l c o n f o r m a l m a p -

p i n g , c i r c l e p a c k i n g m a y b e h e l p f u l a t w h a t I w i l l c a l l p r o t o t y p i n g

S u p p o s e o n e p l a n s t o a p p l y S c h w a r z - C h r i s t o e l t o a p p r o x i m a t e a c o n -

f o r m a l m a p o f D t o t h e p o l y g o n R o f F i g u r e 9 ( b ) . O n e m i g h t s t a r t

(a) (b)

f

a

b

c

d

a

b

c

d

F i g u r e 9 . P r o t o t y p i n g a S c h w a r z - C h r i s t o e l M a p

w i t h a d i s c r e t e c o n f o r m a l m a p f i n v o l v i n g a m o d e s t n u m b e r o f c i r -

c l e s ( j u s t o v e r 5 0 0 0 i n t h i s i n s t a n c e ) . I ' v e m a r k e d o n l y t h e f o u r m o s t

v i s i b l e c i r c l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e i n d i c a t e d c o r n e r s o f t h e p o l y g o n ;

t h e s e a n d t h e o t h e r c o r n e r p r e i m a g e s c a n s e r v e a s t h e i n i t i a l g u e s s e s

f o r t h e S c h w a r z - C h r i s t o e l p a r a m e t e r s . P r o t o t y p i n g c o u l d b e v a l u -

a b l e i n o t h e r s i t u a t i o n s a s w e l l , s u c h a s t h e m u l t i p l y c o n n e c t e d s e t t i n g

d i s c u s s e d e a r l i e r .

2 . 2 A n a l y t i c F u n c t i o n s

C l a s s i c a l a n a l y t i c f u n c t i o n t h e o r y i n v o l v e s m o r e t h a n j u s t c o n f o r m a l

m a p s . S o i t i s , t o o , w i t h t h e d i s c r e t e t h e o r y . T h e n u m e r o u s p a r a l -

l e l s a r e n o t t h e a i m i n t h i s s u r v e y , b u t i n p a s s i n g n o t e t h a t t h e d i s -

c r e t e t h e o r y i n v o l v e s f a i r l y g e n e r a l f u n c t i o n s o n D , p o l y n o m i a l s a n d a


14/31


s m a t t e r i n g o f e n t i r e a n d m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s o n t h e p l a n e , r a t i o n a l

f u n c t i o n s o n t h e s p h e r e , a n d d i s c r e t e m a p s o n R i e m a n n s u r f a c e s . T h e

t h e o r y h a s i t s o w n S c h w a r z - P i c k , U n i f o r m i z a t i o n , L i o u v i l l e a n d P i c a r d

t h e o r e m s , a n d i t s o w n n o t i o n s o f c o v e r i n g t h e o r y , e x t r e m a l l e n g t h ,

h a r m o n i c m e a s u r e , a n d B r o w n i a n m o t i o n ( r a n d o m w a l k s ) . I t i s a p -

p r o a c h i n g s o m e t h i n g l i k e a \ f u l l s e r v i c e " f u n c t i o n t h e o r y , t h o u g h t h e r e

r e m a i n m a n y g a p s .

I h a v e c h o s e n t w o e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e t h e c o m p u t a t i o n a l a n d

a p p r o x i m a t i o n s i d e o f t h i s m o r e g e n e r a l d i s c r e t e t h e o r y : o n e i n v o l v e s

a f u n c t i o n i n t h e d i s c a l g e b r a , t h e o t h e r a n i t e B l a s c h k e p r o d u c t .

A D i s c A l g e b r a E x a m p l e : C o n s i d e r t h e c l o s e d c u r v e o f

F i g u r e 1 0 , w i t h a n i t e n u m b e r o f t r a n s v e r s e s e l f - i n t e r s e c t i o n s . U s i n g

w i n d i n g n u m b e r s a l o n e , o n e c a n v e r i f y t h a t i s t h e i m a g e o f t h e u n i t

c i r c l e u n d e r a d i s c a l g e b r a f u n c t i o n ( c o n t i n u o u s o n D a n d a n a l y t i c o n

D ) ; o n e c a n a l s o d e t e r m i n e t h e d i s t r i b u t i o n o f b r a n c h v a l u e s ( i m a g e s

o f b r a n c h p o i n t s ) a m o n g t h e c o m p o n e n t s o f C ? . ( S e e 1 5 ] . )

f

F

F i g u r e 1 0 . A p p r o x i m a t i n g a d i s c a l g e b r a f u n c t i o n


15/31


A c t u a l c o n s t r u c t i o n o f a d i s c a l g e b r a s o l u t i o n i s a n o t h e r m a t t e r ;

S c h w a r z - C h r i s t o e l m e t h o d s a p p l y , b u t I ' m n o t a w a r e o f i m p l e m e n t a -

t i o n s . W e c a n c o n s t r u c t t h e a n a l o g o u s d i s c r e t e s o l u t i o n s b y i n t r o d u c i n g

b r a n c h p o i n t s t o o u r e a r l i e r u n i v a l e n t m e t h o d s .

O u r a i m i s c o n s t r u c t i o n o f a m u l t i - s h e e t e d i m a g e p a c k i n g ; w e

u s e a \ b a l l b e a r i n g " r a t h e r t h a n a h e x a g o n a l p a t t e r n a s o u r s t a r t i n g

m a t e r i a l a n d o v e r l a y t h e r e g i o n d e n e d b y a s i n t h e u n i v a l e n t c a s e .

H o w e v e r , s e v e r a l \ s h e e t s " ( u p t o t h r e e d e e p i n s i d e t h e s m a l l e s t l o o p )

m a y b e i n f e r r e d f r o m a n d t h e b r a n c h s t r u c t u r e , s o a p p r o p r i a t e p i e c e s

a r e c u t o u t a n d a t t a c h e d a s i n t h e u p p e r r i g h t o f F i g u r e 1 0 . T h e

r e s u l t i n g p a c k i n g P h a s a c o m p l e x K w h i c h i s s i m p l y c o n n e c t e d . O u r

d i s c r e t e d i s c a l g e b r a f u n c t i o n F r e s u l t s f r o m m a p p i n g P

K

t o P w i t h f

a n d p r o j e c t i n g w i t h t o a p a c k i n g i n C . T h e p a s t i n g r e s u l t e d i n t w o

b r a n c h p o i n t s , o n e s i m p l e a n d o n e o f o r d e r 2 . T h e s e a r e t h e s h a d e d

c i r c l e s i n P

K

; t h e f o r m e r h a s 8 n e i g h b o r s w h i c h m a p 2 - t o - 1 o n t o t h e

4 n e i g h b o r s o f i t s p r o j e c t e d i m a g e c i r c l e , t h e l a t t e r h a s 1 2 n e i g h b o r s

m a p p e d 3 - t o - 1 o n t o t h e 4 n e i g h b o r s o f i t s p r o j e c t e d i m a g e c i r c l e .

A s i n t h e c o n f o r m a l s e t t i n g , a s e q u e n c e o f r e n e d p a c k i n g s c o n -

s t r u c t e d i n t h i s m a n n e r w i l l ( w i t h s u i t a b l e n o r m a l i z a t i o n ) c o n v e r g e

u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f t h e d i s c t o t h e c l a s s i c a l d i s c a l g e b r a

s o l u t i o n . W e c a n r o u t i n e l y g e n e r a t e t h e n e c e s s a r y r e n e m e n t s f r o m

t h i s i n i t i a l c o a r s e c o n s t r u c t i o n , a s w e w i l l s e e l a t e r , s o t h i s i s i n f a c t a

f a i r l y p r a c t i c a l p r o c e d u r e .

F i n i t e B l a s c h k e P r o d u c t s : C l a s s i c a l n i t e B l a s c h k e p r o d -

u c t s a r i s e n o t o n l y i n f u n c t i o n t h e o r y o n t h e d i s c a n d i t s a p p l i c a t i o n s ,

b u t a l s o i n s t u d i e s o f r a t i o n a l f u n c t i o n s , i t e r a t i o n t h e o r y , a n d t o p o -

l o g i c a l c o v e r i n g t h e o r y . A n n - f o l d B l a s c h k e p r o d u c t i s t y p i c a l l y r e p r e -

s e n t e d a s a p r o d u c t o f n M o b i u s f a c t o r s , o n e f o r e a c h z e r o , m u l t i p l i e d

b y a u n i m o d u l a r c o n s t a n t . I t a s s u m e s e a c h v a l u e i n t h e d i s c n t i m e s ,

c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s , a n d m a p s t h e u n i t c i r c l e n t i m e s a r o u n d i t s e l f .

L a c k i n g a r i t h m e t i c , w e n e e d a m o r e g e o m e t r i c d e s c r i p t i o n f o r t h e

d i s c r e t e c o n s t r u c t i o n . T h e n i t e B l a s c h k e p r o d u c t s a r e p r e c i s e l y t h e

\ p r o p e r " a n a l y t i c m a p s o f t h e d i s c t o i t s e l f , a n d t h e a r g u m e n t p r i n c i p l e

i n t u r n i m p l i e s t h a t a n n - f o l d B l a s c h k e p r o d u c t h a s n ? 1 b r a n c h p o i n t s ,

c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s . T h e s e g e o m e t r i c f e a t u r e s a r e e n o u g h f o r o u r

c o n s t r u c t i o n , a s I i l l u s t r a t e w i t h a 4 - f o l d e x a m p l e .

T a k e a s t h e d o m a i n a m a x i m a l p a c k i n g P

K

i n t h e u n i t d i s c ,

s h o w n o n t h e l e f t i n F i g u r e 1 1 . I h a v e i d e n t i e d t h r e e s h a d e d i n t e r i o r

c i r c l e s f o r b r a n c h i n g . W e r e p a c k t h e c o m p l e x i n h y p e r b o l i c g e o m e t r y ,

s p e c i f y i n g t h a t : ( 1 ) b o u n d a r y c i r c l e s g e t i n n i t e h y p e r b o l i c r a d i i ; ( 2 )

d e s i g n a t e d b r a n c h c i r c l e s g e t a n g l e s u m 4 r a t h e r t h a n t h e u s u a l 2

T h e r e s u l t i n g p a c k i n g l a b e l a l l o w s u s t o l a y o u t t h e r a n g e p a c k i n g .

D i s p l a y i n g a l l i t s c i r c l e s o n t h e r i g h t w o u l d l e a d t o v i s u a l m e l t d o w n

s i n c e p o i n t s a r e c o v e r e d f o u r t i m e s , s o I h a v e d r a w n o n l y t h e c h a i n o f

b o u n d a r y h o r o c y c l e s a n d t h e 3 b r a n c h c i r c l e s ( t h e y a p p e a r a s e x t r e m e l y


16/31


b

F i g u r e 1 1 . B o u n d a r y c i r c l e s f o r 4 - f o l d d i s c r e t e B l a s c h k e p r o d u c t

s m a l l d o t s t o w a r d s t h e m i d d l e ) i n t h e i m a g e p a c k i n g . A c a r e f u l s u r v e y

w o u l d c o n r m t h a t t h o s e b o u n d a r y c i r c l e s w r a p 4 t i m e s a r o u n d t h e

u n i t c i r c l e . T h e c o n s t r u c t i o n i s c o m p l e t e , a s i d e f r o m a p p l y i n g a M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n o f D f o r t h e s a k e o f n o r m a l i z a t i o n .

T o a p p r o x i m a t e a p a r t i c u l a r c l a s s i c a l 4 - f o l d B l a s c h k e p r o d u c t

B , w e w o u l d r s t n e e d t o k n o w i t s b r a n c h p o i n t s . T h e n w e w o u l d r u n

t h i s c o n s t r u c t i o n w i t h s u c c e s s i v e l y n e r c o m p l e x e s K

n

, w i t h b r a n c h

c i r c l e s a p p r o x i m a t i n g t h e d e s i r e d b r a n c h p o i n t s , a n d w i t h a p p r o p r i a t e

n o r m a l i z a t i o n s . T h e s e q u e n c e f b

n

g o f d i s c r e t e n i t e B l a s c h k e p r o d u c t s

w o u l d c o n v e r g e u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f D t o B

T h e s i m p l i c i t y o f t h e d i s c r e t e c o n s t r u c t i o n i s q u i t e i m p r e s s i v e ;

t h e r e p a c k i n g p r o c e s s c o n v e r t s t h e l o c a l g e o m e t r i c c o n d i t i o n s o n b o u n d -

a r y r a d i i a n d b r a n c h p o i n t s t o t h e i n e v i t a b l e g l o b a l b e h a v i o r . C l a s s i c a l

m e t h o d s w o u l d h a v e d i c u l t y c o p i n g w i t h p r e s c r i b e d b r a n c h p o i n t s .

O n t h e o t h e r h a n d , c o n s t r u c t i n g a d i s c r e t e n i t e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h

s p e c i e d z e r o s i s t o u g h .

2 . 3 C o n f o r m a l T i l i n g s

C o n f o r m a l t i l i n g s , i n t r o d u c e d b y P h i l B o w e r s a n d m e i n 7 ] , i n v o l v e

t i l e s w i t h s p e c i e d \ c o n f o r m a l " r a t h e r t h a n e u c l i d e a n s h a p e s . T h o u g h

c l a s s i c a l o b j e c t s , t h e y w e r e i n s p i r e d b y e x p e r i m e n t s w i t h c i r c l e p a c k i n g s

a n d c i r c l e p a c k i n g s r e m a i n t h e o n l y a v e n u e f o r a p p r o x i m a t i n g t h e i r t r u e

c o n f o r m a l s h a p e s .

I ' l l i l l u s t r a t e w i t h a n i t e e x a m p l e b a s e d o n t h e s i m p l e s c h e m a t i c

p a t t e r n o f F i g u r e 1 2 ( a ) . P a s t i n g t o g e t h e r s e v e n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s

i n t h e p r e s c r i b e d p a t t e r n , a s s u g g e s t e d i n F i g u r e 1 2 ( b ) , y i e l d s a t o p o -

l o g i c a l d i s c w i t h a p i e c e w i s e a n e s t r u c t u r e ; t h e r e a r e t h r e e \ c o n e "

p o i n t s , e a c h o f a n g l e 4 = 3 . T h e r e i s a s t a n d a r d ( a n d v e r y c l a s s i c a l )


17/31


(a) (b) (c)

F i g u r e 1 2 . C o m b i n a t o r i a l , a n e , a n d c o n f o r m a l s t u c t u r e s

p r o c e d u r e f o r d e n i n g a c o n f o r m a l s t r u c t u r e c o m p a t i b l e w i t h s u c h a n

a n e s t r u c t u r e ; i t s a t l a s i n v o l v e s a p p r o p r i a t e p o w e r m a p s z 7! z

3 = 2

a t

t h e c o n e p o i n t s ( s e e , e . g . , B e a r d o n 1 ] ) . W e a r r i v e , t h e n , a t a R i e m a n n

s u r f a c e , a n d i f w e m a p i t c o n f o r m a l l y o n t o a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e , c a r -

r y i n g a l o n g t h e m a r k i n g s o f t h e o r i g i n a l s e v e n t r i a n g l e s , w e a r r i v e a t

t h e t r i a n g l e T o f F i g u r e 1 2 ( c ) .

T h e c u r v e s m a r k e d o n T a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y t h e o r i g i n a l

c o m b i n a t o r i c s a n d b y w h a t B o w e r s a n d I c a l l a r e e c t i v e s t r u c t u r e |

n a m e l y , a n y t w o o f t h e s e v e n t r i a n g u l a r p i e c e s h a v i n g a c o m m o n e d g e

a r e a n t i c o n f o r m a l r e e c t i o n s o f o n e a n o t h e r a c r o s s t h a t e d g e . H o w

c a n o n e a p p r o x i m a t e t h e s e c u r v e s i n T I a m n o t a w a r e o f a n y c l a s s i -

c a l n u m e r i c a l m e t h o d s w h i c h a p p l y . H o w e v e r , c i r c l e p a c k i n g p r o v i d e s

d i s c r e t e c u r v e s w h i c h d o t h e t r i c k .

(a)

(b)

F i g u r e 1 3 . T h e d i s c r e t e c o n s t r u c t i o n


18/31


T h e d i s c r e t e c o n s t r u c t i o n m i m i c s t h e o r i g i n a l . C o n c e p t u a l l y , w e

t a k e s e v e n c o p i e s o f t h e p a c k i n g o f F i g u r e 1 3 ( a ) a n d a t t a c h t h e m t o

o n e a n o t h e r b y i d e n t i f y i n g c i r c l e s a l o n g a p p r o p r i a t e e d g e s , j u s t a s i n

F i g u r e 1 2 ( b ) . ( I n f a c t , o n l y t h e r e s u l t i n g c o m b i n a t o r i c s a r e i m p o r -

t a n t . ) W h e n t h e r e s u l t s a r e r e p a c k e d t o f o r m a n e q u i l a t e r a l c a r r i e r ,

t h e r e p a c k i n g p r o c e s s f o r c e s t h e c i r c l e s i z e s t o a d j u s t t o a t t e n o u t t h e

c o n e p o i n t s , a s i n F i g u r e 1 3 ( b ) .

F i g u r e 1 4 s h o w s t h e s a m e p r o c e s s c a r r i e d o u t w i t h t w o s u c c e s -

s i v e l y m o r e r e n e d p a c k i n g s ; o n e c a n s e e t h e m a r k e d c u r v e s a p p r o a c h -

i n g l i m i t s h a p e s .

stage-2 refinement stage-4 refinement

F i g u r e 1 4 . C i r c l e p a c k i n g s a t t w o a d d i t i o n a l r e n e m e n t l e v e l s

I w a n t t o t a k e a m o m e n t t o c o m m e n t o n t h e r e n e m e n t p r o -

c e s s u s e d h e r e . I t i s c a l l e d \ h e x r e n e m e n t " a n d o p e r a t e s a s s h o w n

i n F i g u r e 1 5 . H e x r e n e m e n t c a n b e a p p l i e d t o a n y t r i a n g u l a t i o n a n d

original stage-1 stage-2 stage-3

F i g u r e 1 5 . H e x r e n e m e n t p r o c e s s


19/31


h a s s e v e r a l v a l u a b l e f e a t u r e s : N e w c o m b i n a t o r i c d a t a i s v e r y e a s y t o

g e n e r a t e . T h e o r i g i n a l v e r t i c e s o f a t r i a n g u l a t i o n r e m a i n , w i t h t h e i r

d e g r e e s u n c h a n g e d . N e w ( i n t e r i o r ) v e r t i c e s a r e d e g r e e s i x . T h i s

m e a n s t h a t u n d e r s u c c e s s i v e h e x r e n e m e n t , o n e i s i n g o o d p o s i t i o n t o

d e p l o y t h e H e x P a c k i n g L e m m a . \ R e n e m e n t " i s a c t u a l l y a c o m b i -

n a t o r i a l p r o c e s s | o n e m u s t a l w a y s c o m p u t e n e w r a d i i f o r t h e r e n e d

c o m p l e x . T h e s e l f - s c a l i n g n a t u r e o f h e x r e n e m e n t s m a y p r o v i d e a

p r i o r i e s t i m a t e s w h i c h w i l l s a v e e o r t i n t h e r e p a c k i n g c o m p u t a t i o n .

I n n i t e T i l i n g s : T h e p r o c e s s e s i n v o l v e d i n o u r s i m p l e e x a m -

p l e , b o t h t h e c l a s s i c a l c o n s t r u c t i o n a n d i t s d i s c r e t e a n a l o g u e , w o r k w i t h

o n l y m i n o r a d j u s t m e n t i n m u c h m o r e g e n e r a l c i r c u m s t a n c e s . W e w i l l

l o o k a t s o m e i n n i t e p a t t e r n s h e r e a n d m o v e t o p a t t e r n s o n c o m p a c t

s u r f a c e s i n t h e n e x t s e c t i o n .

F i g u r e 1 6 . F o u r e x a m p l e s o f i n n i t e c o n f o r m a l t i l i n g s o f t h e p l a n e


20/31


F i g u r e 1 6 i l l u s t r a t e s f o u r i n n i t e c o n f o r m a l l y r e g u l a r t i l i n g s o f C

E a c h t i l e c a n b e m a p p e d c o n f o r m a l l y o n t o a r e g u l a r e u c l i d e a n n - g o n ,

c o r n e r s g o i n g t o c o r n e r s ( a n d t h e r e a r e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s w h i c h

w e w o n ' t g o i n t o ) . T h e s e p a r t i c u l a r p a t t e r n s a r e q u i t e s p e c i a l ; t h e y

a r i s e f r o m \ s u b d i v i s i o n r u l e s " b e i n g a p p l i e d b y J i m C a n n o n , W i l l i a m

F l o y d , a n d W a l t e r P a r r y t o t h e s t u d y o f T h u r s t o n ' s G e o m e t r i z a t i o n

C o n j e c t u r e . ( S e e 7 ] a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n . ) M y t h a n k s t o B i l l F l o y d

f o r t h e d a t a n e e d e d t o g e n e r a t e t h e s e t i l i n g s .

W h a t i s o u r i n t e r e s t i n t i l i n g s A l l o f t h e s e p i c t u r e s w e r e g e n e r -

a t e d v i a c i r c l e p a c k i n g | t h e c i r c l e s t h e m s e l v e s a r e n ' t s h o w n , b u t o n l y

c e r t a i n e d g e s o f t h e i r c a r r i e r s . P a c k i n g s b r i n g a n e x p e r i m e n t a l c o m -

p o n e n t t o t h i s r e s e a r c h a n d t h e y p r o v i d e a p p r o x i m a t i o n s ( l i k e t h e s e

p i c t u r e s ) o f t h e t r u e c o n f o r m a l s h a p e s o f t h e t i l e s | c a p a b i l i t i e s n o t

o t h e r w i s e a v a i l a b l e .

I h a v e s p a c e t o i n v e s t i g a t e o n l y o n e e x a m p l e , s o l e t ' s l o o k a t

t h e \ t w i s t e d p e n t a g o n a l " t i l i n g i n t h e u p p e r r i g h t o f F i g u r e 1 6 . I n

F i g u r e 1 7 ( a ) , d e n o t e t h e t h r e e d a r k c u r v e s a s

0

;

1

;

2

, f r o m i n n e r

t o o u t e r . T h e s e m a r k c e n t r a l \ a g g r e g a t e t i l e s " a s s o c i a t e d w i t h t h e

r s t t h r e e s t a g e s o f t h e s u b d i v i s i o n r u l e w h i c h g e n e r a t e d t h i s p a t t e r n .

S t a r e a t t h e p i c t u r e h a r d e n o u g h a n d y o u m i g h t g u e s s a t s o m e s c a l i n g

r e l a t i o n s h i p a m o n g t h e

i

' s . I n f a c t , u s i n g 0 5 5 e

? 0 2 3

, I h a v e

(a) (b)

F i g u r e 1 7 . A g g r e g a t e s i n t h e t w i s t e d p e n t a g o n a l t i l i n g

o v e r l a i d

2

2

,

1

, a n d

0

i n F i g u r e 1 7 ( b ) . O u r h u n c h w a s r i g h t ,

t h e v e r t i c e s

i

c o i n c i d e a l m o s t p e r f e c t l y w i t h v e r t i c e s o f

i ? 1

. Y o u

c a n p r o b a b l y a n t i c i p a t e w h a t t h e c u r v e s

3

;

4

; l o o k l i k e ; i t a p p e a r s

t h a t l i m

n ! 1

(

n

n

) c o n v e r g e s t o s o m e f r a c t a l c u r v e ? , t h a t i s , t h e

a g g r e g a t e t i l e s c o n v e r g e t o a f r a c t a l t i l e . T h e s a m e h o l d s f o r o t h e r t i l e s


21/31


i n t h e p a t t e r n ( n o t m a r k e d ) , l e a d i n g t o a f r a c t a l p e n t a g o n a l t i l i n g o f t h e

p l a n e . M o t i v a t e d b y t h e s e v e r y e x p e r i m e n t s , W a l t e r P a r r y h a s u s e d

c l a s s i c a l m e t h o d s t o p r o v e t h i s s c a l i n g p r o p e r t y , t h o u g h t h e p r e c i s e

v a l u e o f i s n o t k n o w n .

C e n t r a l i s s u e s i n c o n f o r m a l t i l i n g i n c l u d e t h e \ t y p e " p r o b l e m

| d o e s a p a t t e r n t i l e t h e p l a n e o r t h e h y p e r b o l i c p l a n e | q u e s t i o n s

a b o u t t i l e s h a p e s , s i z e s , d i s t o r t i o n s , a n d q u e s t i o n s a b o u t s y m m e t r i e s

a n d s e l f - s i m i l a r i t i e s w i t h i n t h e o v e r a l l p a t t e r n . B u t t h i s i s a n e w t o p i c ,

a n d n e w p h e n o m e n a a p p e a r i n n e a r l y e v e r y e x p e r i m e n t . N u m e r i c a l

c o m p u t a t i o n a n d d i s p l a y a r e c u r r e n t l y t h e p i v o t a l t o o l s .

2 . 4 G r o t h e n d i e c k D e s s i n s

L e t m e b e g i n t h i s s e c t i o n b y i n t r o d u c i n g a c e r t a i n t y p e o f R i e m a n n s u r -

f a c e c o n s t r u c t i o n . S u p p o s e S d e n o t e s a c o m p a c t , o r i e n t a b l e t o p o l o g i c a l

s u r f a c e a n d K i s a t r i a n g u l a t i o n o f S . O n e c a n p a s t e e u c l i d e a n e q u i l a t -

e r a l t r i a n g l e s t o g e t h e r i n t h e p a t t e r n o f K t o i m p o s e a p i e c e w i s e a n e

s t r u c t u r e o n S . P r e c i s e l y a s d e s c r i b e d i n t h e s e v e n - t r i a n g l e e x a m p l e o f

F i g u r e 1 3 , t h a t a n e s t r u c t u r e d e t e r m i n e s a c o n f o r m a l s t r u c t u r e o n S ,

m a k i n g i t i n t o a R i e m a n n s u r f a c e . S u r f a c e s c o n s t r u c t e d t h i s w a y w i l l

b e c a l l e d e q u i l a t e r a l s u r f a c e s .

W e q u o t e t h i s s u r p r i s i n g r e s u l t o f G . B e l y 3 ] , f o r w h i c h w e n e e d

o n e o t h e r b i t o f t e r m i n o l o g y . A n o n c o n s t a n t m e r o m o r p h i c f u n c t i o n o n

a c o m p a c t R i e m a n n s u r f a c e w h i c h b r a n c h e s o n l y o v e r p o i n t s f 0 ; 1 ; 1 g

i s t e r m e d a B e l y m a p

T h e o r e m 3 . F o r a R i e m a n n s u r f a c e R o f p o s i t i v e g e n u s , t h e f o l l o w i n g

s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t :

( a ) R i s e q u i l a t e r a l .

( b ) R s u p p o r t s a B e l y m a p .

( c ) T h e r e e x i s t s a d e n i n g e q u a t i o n f o r R w h o s e c o e c i e n t s l i e

i n a n a l g e b r a i c n u m b e r e l d F o v e r t h e r a t i o n a l s .

I n o t h e r w o r d s , i n t h e T e i c h m u l l e r s p a c e T e i c h ( S ) f o r s u r f a c e s

o f g e n u s g > 0 t h e r e i s a s e t o f p o i n t s w h i c h s i m u l t a n e o u s l y e n j o y s

c o m b i n a t o r i a l , f u n c t i o n t h e o r e t i c , a n d a l g e b r a i c c h a r a c t e r i z a t i o n s . B y

( a ) t h i s s e t i s c o u n t a b l e , a n d b y ( c ) i t i s d e n s e i n T e i c h ( S )

L e t ' s t u r n n o w t o t h e d i s c r e t e p a r a l l e l s . W e n d t h a t S a n d K

d e t e r m i n e a p o i n t i n T e i c h m u l l e r s p a c e i n a s e c o n d w a y b y t h i s r e s u l t

( s e e 2 0 , 2 ] ) .

T h e o r e m 4 . L e t K b e a t r i a n g u l a t i o n o f a c o m p a c t o r i e n t e d t o p o l o g -

i c a l s u r f a c e S . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e R i e m a n n s u r f a c e R h o m e -

o m o r p h i c t o S t h a t s u p p o r t s a u n i v a l e n t c i r c l e p a c k i n g P

K

w i t h t h e

c o m b i n a t o r i c s o f K


22/31


I n o t h e r w o r d s , t h e c o m b i n a t o r i c s p r e s c i b e d f o r a c i r c l e p a c k i n g

w i l l d e t e r m i n e t h e g e o m e t r y o f t h e s p a c e i n w h i c h t h e p a c k i n g c a n b e

r e a l i z e d . ( T h e m e t r i c f o r t h i s p a c k i n g P

K

i s t h e i n t r i n s i c m e t r i c o n R ;

t h a t i s , t h e m e t r i c o f c o n s t a n t c u r v a t u r e 0 o r 1 w h i c h R i n h e r i t s f r o m

i t s u n i v e r s a l c o v e r i n g s u r f a c e . ) W h e n S h a s p o s i t i v e g e n u s , t h e s u r f a c e

F i g u r e 1 8 . \ E q u i l a t e r a l " v e r s u s \ p a c k a b l e " 2 - t o r i

R w h i c h s u p p o r t s t h e p a c k i n g f o r K i s c a l l e d a p a c k a b l e s u r f a c e o f

T e i c h ( S ) . T h e p a c k a b l e s u r f a c e s a r e c l e a r l y c o u n t a b l e , a n d b y a r e s u l t

o f B o w e r s a n d m e 6 ] , a l s o d e n s e . W i t h a c e r t a i n t e c h n i c a l c o n d i t i o n

t h a t w e m a y a s s u m e f o r K , o n e c a n a l s o d e n e a d i s c r e t e m e r o m o r p h i c

m a p f r o m P

K

t o a p a c k i n g i n S

2

w h i c h b r a n c h e s o n l y o v e r f 0 ; 1 ; 1 g ;

a d i s c r e t e B e l y m a p . I n o t h e r w o r d s , w e h a v e d i s c r e t e p a r a l l e l s f o r t h e

c l a s s i c a l o b j e c t s d e s c r i b e d e a r l i e r .

D e s s i n s : E q u i l a t e r a l s u r f a c e s a r e a t t h e c o r e o f a p r o g r a m i n i -

t i a t e d b y G r o t h e n d i e c k t o s t u d y t h e a b s o l u t e G a l o i s g r o u p G a l ( Q = Q )

a n d t o a d d r e s s w h a t i s k n o w n a s t h e I n v e r s e G a l o i s P r o b l e m . T h i s

a m a z i n g t h e o r y b e g i n s w i t h a \ c h i l d ' s d r a w i n g " D o n S a n d e n d s w i t h

a n a l g e b r a i c n u m b e r e l d . B r i e y , t h e d r a w i n g l e a d s t o a t r i a n g u l a t i o n

o f S , t h e t r i a n g u l a t i o n l e a d s t o a n e q u i l a t e r a l R i e m a n n s u r f a c e S

D

a n d

a B e l y m a p B

D

o n S

D

, g i v i n g t h e s o - c a l l e d \ B e l y p a i r " ( S

D

; B

D

)

S c h e m a t i c a l l y ,

D ? ! K ? ! ( S

D

; B

D

)


23/31


O f c o u r s e t h i s i s a l l q u i t e a b s t r a c t a n d i n o n l y l i m i t e d s p e c i a l c i r c u m -

s t a n c e s a r e a n y c o n c r e t e d e t a i l s a b o u t t h e s u r f a c e a n d t h e B e l y m a p

k n o w n . ( S e e 1 7 ] . )

O n t h e o t h e r h a n d , t h e p a r a l l e l d i s c r e t e d e v e l o p m e n t c a n b e

c a r r i e d o u t a t v a r i o u s r e n e m e n t s t a g e s a n d h a s t h e a d v a n t a g e o f b e i n g

c o m p u t a b l e . T h e i d e a i s t o a p p l y n - s t a g e s o f h e x r e n e m e n t t o K ,

g i v i n g a c o m p l e x K

( n )

, t h e n t o c o n s t r u c t t h e a s s o c i a t e d d i s c r e t e B e l y

p a i r ( s

( n )

D

; b

( n )

D

) c o n s i s t i n g o f s

( n )

D

2 T e i c h ( S ) a n d d i s c r e t e B e l y m a p

b

( n )

D

: P

K

( n )

? ! S

2

. S c h e m a t i c a l l y ,

D ? ! K ? ! K

( n )

? ! ( s

( n )

D

; b

( n )

D

)

P h i l B o w e r s a n d I h a v e p r o v e n t h e f o l l o w i n g r e s u l t 5 ] :

T h e o r e m 5 . L e t D b e a d r a w i n g o n a c o m p a c t o r i e n t a b l e s u r f a c e S

T h e n t h e d i s c r e t e B e l y p a i r s ( s

( n )

D

; b

( n )

D

) c o n v e r g e t o t h e c l a s s i c a l B e l y

p a i r ( S

D

; B

D

) a s n ! 1 . I n o t h e r w o r d s , s

( n )

D

c o n v e r g e s t o S

D

i n

t h e T e i c h m m u l l e r m e t r i c o f T e i c h ( S ) a n d t h e f u n c t i o n s b

( n )

D

c o n v e r g e

u n i f o r m l y t o B

D

o n S

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1A B

C

D

CD

A

B

F i g u r e 1 9 . S a m p l e d e s s i n s o f g e n u s 0 a n d g e n u s 2

A s e x a m p l e s , l e t m e d i s c u s s t h e t w o d e s s i n s o f F i g u r e 1 9 . T h e

r s t , a v e r y s i m p l e g e n u s 0 d r a w i n g D o n t h e s p h e r e , i s s h o w n i n

F i g u r e 1 9 ( a ) a l o n g w i t h i t s c a n o n i c a l t r i a n g u l a t i o n , f o u r s h a d e d a n d

f o u r u n s h a d e d f a c e s . H e r e s

( n )

D

= S

D

f o r a l l n s i n c e t h e r e i s o n l y o n e

c o n f o r m a l s t r u c t u r e o n S

2

. N e v e r t h e l e s s , t h e c o n v e r g e n c e o f b

( n )

D

t o

B

D

a l l o w s u s t o a p p r o x i m a t e t h e c o n f o r m a l s h a p e s o f t h e f a c e s o f K

T h e s t a g e n = 3 c o n s t r u c t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 2 0 ; t h e p a c k i n g i s t h e


24/31


o n e s h o w n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e p a p e r , b u t t h e f a c e s o f K a r e m a r k e d

i n i t s c a r r i e r a s t h e s h a d e d a n d u n s h a d e d r e g i o n s , a n d t h e d r a w i n g D

i t s e l f i s s h o w n a s t h e h e a v y c u r v e . T h e d i s c r e t e B e l y m a p b

( 3 )

D

m a p s

t h i s p a c k i n g t o t h e s p h e r i c a l p a c k i n g o n t h e r i g h t w i t h m u l t i p l i c i t y

4 - t o - 1 , t h e s h a d e d f a c e s m a p p i n g t o t h e s h a d e d h e m i s p h e r e .

S2

(a) (b)

bD(3)

F i g u r e 2 0 . A g e n u s 0 d i s c r e t e B e l y m a p

O u r s e c o n d e x a m p l e i s t h e d e s s i n D o f F i g u r e 1 9 ( b ) ; t h e i n d i -

c a t e d s i d e - p a i r i n g s s h o w t h i s t o b e a g e n u s 2 c a s e . I h a v e p a c k e d t h i s a t

t h e o r i g i n a l \ c o a r s e " s t a g e a n d a t a s t a g e - 3 h e x r e n e m e n t a n d d i s p l a y

t h e r e s u l t s i n F i g u r e 2 1 . T h e p a c k i n g s a r e l a i d o u t i n D a s f u n d a m e n -

t a l d o m a i n s f o r t h e u n i v e r s a l c o v e r i n g m a p s f r o m D o n t o s

( 0 )

D

a n d s

( 3 )

D

,

r e s p e c t i v e l y . T h e h e a v y c u r v e i n e a c h c a s e i s D a n d t h e f a c e s o f K a r e

a l t e r n a t e l y s h a d e d a n d u n s h a d e d .

T h e p a c k i n g c o m p u t a t i o n s a r e c a r r i e d o u t d i r e c t l y i n h y p e r b o l i c

g e o m e t r y w i t h t h e c o m b i n a t o r i c s o f t h e 2 - t o r u s i n t a c t . T h e r e s u l t s a r e

t h e n l a i d o u t a s a f u n d a m e n t a l d o m a i n w h e r e n u m e r i c a l i n f o r m a t i o n ,

s u c h a s s i d e - p a i r i n g m a p s , c a n b e r e a d o . ( N o t e t h e s i d e - p a i r i n g s

d e s i g n a t e d o n t h e u p p e r p a c k i n g . ) T h e f u n d a m e n t a l d o m a i n s c o n v e r g e

a s n ! 1 t o t h e f u n d a m e n t a l d o m a i n o f t h e u n i v e r s a l c o v e r i n g o f S

D

O n e t h i n g t o n o t e i s t h e s u r p r i s i n g a c c u r a c y o f e v e n t h e c o a r s e p a c k i n g

| i t s e i g h t b o u n d a r y c u s p s d i e r b y l e s s t h a n 1 = 5 0 0 f r o m t h o s e o f t h e

s t a g e - 3 r e n e m e n t .

B y t h e w a y , h a v e o u r d i s c r e t e o b j e c t s l o s t t h e i r c o n n e c t i o n t o

n u m b e r e l d s I n t h e o r i g i n a l s e n s e , y e s ; b u t i n f a c t , n u m b e r e l d s

r e e n t e r i n a n e w a n d i n t r i g u i n g w a y a s e n t r i e s i n t h e a s s o c i a t e d c o v e r i n g

m a p s .


25/31


(a)

(b)

D

D

A

B

A B

C

D

C

F i g u r e 2 1 . F u n d a m e n t a l d o m a i n s f o r g e n u s 2 d e s s i n s


26/31


C l a s s i c a l S u r f a c e s : L e t ' s w r a p u p o u r l o o k a t s u r f a c e s w i t h

t w o c l a s s i c a l e x a m p l e s w h i c h ( i n h i n d s i g h t ) a r e a s s o c i a t e d w i t h d e s s i n s .

T h e q u i t e f a m o u s i m a g e i n F i g u r e 2 2 i s K l e i n ' s s u r f a c e . H e w a s a b l e

t o p u b l i s h t h e o r i g i n a l i m a g e m o r e t h a n a c e n t u r y a g o b e c a u s e o f t h e

s u r f a c e ' s u b i q u i t o u s s y m m e t r i e s ( a n o r d e r 1 6 8 s y m m e t r y g r o u p ) | t h e

t r i a n g l e s a r e a l l g e o d e s i c . T h e i m a g e h e r e , o n t h e o t h e r , g e n e r a t e d v i a

c i r c l e p a c k i n g , t o o k a p p r o x i m a t e l y t w o s e c o n d s f o r t e n d i g i t a c c u r a c y

s t a r t i n g f r o m p u r e l y c o m b i n a t o r i a l d a t a .

F i g u r e 2 2 . K l e i n ' s s u r f a c e

A n o t h e r f a m o u s c l a s s i c a l e x a m p l e i s P i c a r d ' s c u r v e y

3

= x

4

? 1 , a

g e n u s t h r e e s u r f a c e . I t i s a c t u a l l y a s s o c i a t e d w i t h t w o d i s t i n c t d e s s i n s .

O n e i s s h o w n i n F i g u r e 2 3 ( a ) ; t h i s i s a f u n d a m e n t a l d o m a i n f o r a

r s t s t a g e c o a r s e a p p r o x i m a t i o n a n d t h e c i r c l e s h a v e b e e n l e f t i n f o r

r e f e r e n c e . T h i s c l a s s i c a l s u r f a c e a l s o h a s m a n y s y m m e t r i e s , b u t t h e

e d g e s o f i t s f a c e s a r e n o t a l l g e o d e s i c . A s f a r a s I k n o w , a s i d e f r o m

c i r c l e p a c k i n g m e t h o d s , t h e r e w o u l d b e n o w a y t o a p p r o x i m a t e t h e

s u r f a c e o r t o c r e a t e t h e s e i m a g e s .


27/31


F i g u r e 2 3 . P i c a r d ' s s u r f a c e

x 3 C o n c l u d i n g R e m a r k s

T h e s u r v e y e x a m p l e s s u g g e s t a g e n e r a l p a r a d i g m : g i v e n a c l a s s i c a l

o b j e c t o f i n t e r e s t | a f u n c t i o n , a R i e m a n n s u r f a c e , o r a c o n f o r m a l

s h a p e | p r o c e e d a s f o l l o w s :

C o n s t r u c t a c o m b i n a t o r i a l a b s t r a c t i o n | t h a t i s , a t r i a n g u l a t i o n a n d

( p o s s i b l y ) a b r a n c h s t r u c t u r e .

E n d o w t h e t r i a n g u l a t i o n w i t h a n a p p r o p r i a t e a n e s t r u c t u r e . C u r -

r e n t l y w e n e e d a n \ e q u i l a t e r a l " m o d e l , b u t c e r t a i n r e c e n t d e v e l o p m e n t s

a r e e x p e c t e d t o a l l o w m o r e g e n e r a l d e c o m p o s i t i o n s .

C i r c l e p a c k t h e r e s u l t . T h i s i s t h e l o c a l - t o - g l o b a l s t e p ; n a t u r e e n d o w s

t h e a b s t r a c t i o n w i t h a g l o b a l d i s c r e t e c o n f o r m a l g e o m e t r y c o m p a t i b l e

w i t h t h e l o c a l p a c k i n g c o n d i t i o n s .

A p p l y a p r o c e s s o f r e p e a t e d r e n e m e n t a n d r e p a c k i n g t o c o n s t r u c t

a s e q u e n c e o f d i s c r e t e c o n f o r m a l o b j e c t s .


28/31


I f t h e l o c a l g e o m e t r y i s f a i t h f u l l y e n c o d e d , t h e n f a i t h f u l g l o b a l c o n s e -

q u e n c e s a p p e a r t o b e i n e v i t a b l e a n d t h e d i s c r e t e c o n f o r m a l o b j e c t s

c o n v e r g e t o t h e i r c l a s s i c a l c o u n t e r p a r t . T h e m e t h o d s c l e a r l y h a v e

b r o a d a p p l i c a b i l i t y , a n d t h e e q u i l a t e r a l m o d e l s , h e x r e n e m e n t , a n d

t h e h e x a g o n a l p a c k i n g l e m m a t s o w e l l t o g e t h e r t h a t o n e c a n c o n t e m -

p l a t e a r a t h e r c o m p r e h e n s i v e a n d f a i r l y a u t o m a t e d \ a n a l y t i c e n g i n e "

( t o s t e a l a p h r a s e ) f o r a p p r o x i m a t i n g c l a s s i c a l s u r f a c e s a n d f u n c t i o n s

i n a v a r i e t y o f s i t u a t i o n s .

T h e m e t h o d s a r e a l s o g e o m e t r i c a l l y h o n e s t : t h e d i s c r e t e o b j e c t s

a r e g e n e r a l l y v e r y f a i t h f u l t o t h e i r c l a s s i c a l m o d e l s , s o o n e ' s i n t u i t i o n

r e m a i n s i n t a c t ; t h e c o m p u t a t i o n s t a k e p l a c e w i t h i n t h e i n t r i n s i c g e -

o m e t r y ; a n d t h e p a c k i n g s p r o v i d e a n a t u r a l m e a n s o f v i s u a l i z a t i o n .

3 . 1 N u m e r i c a l I s s u e s

O f c o u r s e , t h e d e v i l i s i n t h e d e t a i l s . S t a n d a r d i s s u e s o f a c c u r a c y

a n d r a t e s o f c o n v e r g e n c e r e m a i n a l m o s t t o t a l l y o p e n f o r c i r c l e p a c k i n g

m e t h o d s . T h e s e m a y b e q u i t e d i c u l t ; t h e o r i g i n a l d i s c r e t e m o d e l , t h e

c o m p u t e d p a c k i n g l a b e l s , a n d t h e l a y i n g - o u t p r o c e s s , a l l i n t r o d u c e e r -

r o r s . A b e g i n n i n g h a s b e e n m a d e w i t h e s t i m a t e s o f t h e q u a s i c o n f o r m a l

d i s t o r t i o n a s s o c i a t e d w i t h d i s c r e t e a n a l y t i c f u n c t i o n s , p r i m a r i l y i n t h e

h e x a g o n a l s e t t i n g ; f o r t h e d e e p e s t r e s u l t s , s e e t h e w o r k o f Z . X . H e a n d

O d e d S c h r a m m 1 3 ] . T h e p a c k i n g a l g o r i t h m h a s s o m e b e a u t i f u l g e o m -

e t r y a n d c a n b e m o d e l e d p r o b a b i l i s t i c a l l y , s o t h e r e i s h o p e o f e v e n t u a l

c o n v e r g e n c e e s t i m a t e s 1 8 ] .

N o n e t h e l e s s , w e s e e m t o b e s t u c k w i t h t h e h e u r i s t i c a p p r o a c h

f o r n o w | e x p e r i m e n t s , c h e c k s f o r i n t e r n a l c o n s i s t e n c y , a n d , w h e n

p o s s i b l e , c o m p a r i s o n s t o c l a s s i c a l e x a m p l e s . I n s i t u a t i o n s w h e r e c i r c l e

p a c k i n g i s t h e o n l y a v a i l a b l e t o o l , w e m a y b e f o r g i v e n f o r u s i n g i t i n

e x p e r i m e n t s w i t h o u t r s t s e t t l i n g t h e v a r i o u s d e t a i l s o f c o n v e r g e n c e .

3 . 2 T e c h n i c a l I s s u e s

V i s i t m y h o m e p a g e a t w w w . m a t h . u t k . e d u / s k e n s f o r a c i r c l e p a c k i n g

b i b l i o g r a p h y , f u r t h e r p a c k i n g e x a m p l e s , a n d d i r e c t i o n s f o r a c q u i r i n g

t h e s o f t w a r e p a c k a g e C i r c l e P a c k , w h i c h r u n s u n d e r X - W i n d o w s .

I h a v e b a s e d m y c i r c l e p a c k i n g a l g o r i t h m s o n a n i t e r a t i v e s c h e m e

s u g g e s t e d b y T h u r s t o n ; r e c e n t i m p r o v e m e n t s a r e d e t a i l e d i n 8 ] . M o d -

e r a t e p a c k i n g s , s a y 5 , 0 0 0 { 1 0 , 0 0 0 c i r c l e s , t y p i c a l l y r e q u i r e l e s s t h a n a

m i n u t e ; p a c k i n g s o f 1 0 0 , 0 0 0 + c i r c l e s a r e r o u t i n e , t h o u g h d a t a s e t s b e -

c o m e b u l k y . H e x r e n e m e n t a n d \ m u l t i - g r i d " m e t h o d s o p e n t h e w a y

f o r p a r a l l e l i z a t i o n a n d p o t e n t i a l l y s i g n i c a n t e c i e n c y i m p r o v e m e n t s .

S e e 1 0 ] f o r d i s c r i p t i o n s o f s e v e r a l e x p e r i m e n t s a n d 5 ] f o r s a m p l e t i m -

i n g s .


29/31


F i g u r e 2 4 . P a c k i n g o p t i o n s : t a n g e n c y , i n v e r s i v e d i s t a n c e s , o v e r l a p s

3 . 3 C o n c l u s i o n

C i r c l e p a c k i n g i s a n e w a n d , I t h i n k , v e r y e x c i t i n g t o p i c . I t c o m e s w i t h

s u b s t a n t i a l a n d i n t e r e s t i n g p r o b l e m s , n e w c a p a b i l i t i e s , s o m e a v a i l a b l e

f o r t h e r s t t i m e , a n e x p e r i m e n t a l a n d v i s u a l e n v i r o n m e n t , a n d m a n y

d i r e c t i o n s f o r f u r t h e r d e v e l o p m e n t . A s m e r e l y o n e e x a m p l e , F i g u r e 2 4

i l l u s t r a t e s i n v e r s i v e d i s t a n c e a n d o v e r l a p p a c k i n g s ; t h e s e g e n e r a l i z a -

t i o n s o f \ t a n g e n c y " b o d e e v e n g r e a t e r e x i b i l i t y f o r d i s c r e t e c o n f o r m a l

m e t h o d s i n t h e f u t u r e . M o r e o v e r , I h a v e l e f t o u t e m e r g i n g u s e s o f t h i s

g e o m e t r y i n s p i r e d b y c i r c l e p a c k i n g i n a r e a s s u c h a s g r a p h e m b e d d i n g

a n d m o d e l i n g o f v a r i o u s p h y s i c a l p h e n o m e n a .

T h e t r a d i t i o n a l a p p l i c a t i o n s o f c o n f o r m a l m a p p i n g | a r e a s w h i c h

h a v e m o t i v a t e d s o m e t r u l y b e a u t i f u l m a t h e m a t i c s o v e r t h e y e a r s | a r e

i n c r e a s i n g l y f a l l i n g t o n u m e r i c a l P D E a n d o t h e r m e t h o d s . A t t h e s a m e

t i m e , c o n f o r m a l g e o m e t r y i n t h e b r o a d e r s e n s e s e e m s t o b e g r o w i n g i n

i m p o r t a n c e , b o t h i n t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s . W e a r e c o n f r o n t e d w i t h

s u b s t a n t i a l o p p o r t u n i t i e s f o r n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n , b u t w i t h e x -

i b i l i t y , c o n v e n i e n c e , v i s u a l i z a t i o n , a n d t h e i n t u i t i o n g a i n e d f r o m r e a l -

t i m e e x p e r i m e n t s t a k i n g p r e c e d e n c e o v e r t r a d i t i o n a l s p e e d a n d p r e c i -

s i o n . I n c o n g r u o u s a s i t m a y s e e m , \ c i r c l e p a c k i n g " m i g h t p r o v i d e j u s t

t h e t h i n g i n t h i s n e w a p p r o x i m a t i o n e n v i r o n m e n t .

F i n a l l y , I a d m i t t o l o v i n g t h e s e p i c t u r e s , s o I w a n t t o l e a v e w i t h

t h i s l a s t o n e : a \ d o d e c a h e d r a l " t i l i n g f r o m a d i v i s i o n r u l e o f J i m C a n -

n o n , d a t a f r o m B i l l F l o y d . N o n e o f t h e c i r c l e s a c t u a l l y u s e d i n t h e

c o n s t r u c t i o n a r e s h o w n , b u t a n i n t r i c a t e p a t t e r n o f \ c i r c l e s " s e e m s t o

b e e m e r g i n g f r o m t h e e d g e p a t t e r n i t s e l f !


30/31


F i g u r e 2 5 . C a n n o n ' s d o d e c a h e d r a l p a t t e r n

A c k n o w l e d g e m e n t . T h e a u t h o r g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e s s u p p o r t o f

t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n a n d t h e T e n n e s s e e S c i e n c e A l l i a n c e .

R e f e r e n c e s

1 ] A . F . B e a r d o n , A p r i m e r o n R i e m a n n s u r f a c e s , L o n d o n M a t h . S o c .

L e c t u r e N o t e S e r i e s , v o l . 7 8 , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m -

b r i d g e , 1 9 8 4 .

2 ] A l a n F . B e a r d o n a n d K e n n e t h S t e p h e n s o n , T h e u n i f o r m i z a t i o n t h e -

o r e m f o r c i r c l e p a c k i n g s , I n d i a n a U n i v . M a t h . J . 3 9 ( 1 9 9 0 ) , 1 3 8 3 {

1 4 2 5 .

3 ] G . B e l y , O n G a l o i s e x t e n s i o n s o f a m a x i m a l c y c l o t o m i c e l d , M a t h .

U S S R I z v . 1 4 ( 1 9 7 9 ) , 2 4 7 { 2 5 6 ( E n g l i s h ) .

4 ] P h i l i p L . B o w e r s , T h e u p p e r P e r r o n m e t h o d f o r l a b e l l e d c o m p l e x e s

w i t h a p p l i c a t i o n s t o c i r c l e p a c k i n g s , P r o c . C a m b . P h i l . S o c . 1 1 4

( 1 9 9 3 ) , 3 2 1 { 3 4 5 .

5 ] P h i l i p L . B o w e r s a n d K e n n e t h S t e p h e n s o n , U n i f o r m i z i n g d e s s i n s

a n d B e l y m a p s v i a c i r c l e p a c k i n g , s u b m i t t e d .

6 ] , C i r c l e p a c k i n g s i n s u r f a c e s o f n i t e t y p e : A n i n s i t u a p -

p r o a c h w i t h a p p l i c a t i o n s t o m o d u l i , T o p o l o g y 3 2 ( 1 9 9 3 ) , 1 5 7 { 1 8 3 .

7 ] , A \ r e g u l a r " p e n t a g o n a l t i l i n g o f t h e p l a n e , C o n f o r m a l G e -

o m e t r y a n d D y n a m i c s 1 ( 1 9 9 7 ) , 5 8 { 8 6 .


31/31


8 ] C h u c k C o l l i n s a n d K e n n e t h S t e p h e n s o n , A c i r c l e p a c k i n g a l g o r i t h m ,

p r e p r i n t .

9 ] T o m a s z D u b e j k o , B r a n c h e d c i r c l e p a c k i n g s a n d d i s c r e t e B l a s c h k e

p r o d u c t s , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 3 4 7 ( 1 9 9 5 ) , n o . 1 0 , 4 0 7 3 { 4 1 0 3 .

1 0 ] T o m a s z D u b e j k o a n d K e n n e t h S t e p h e n s o n , C i r c l e p a c k i n g : E x p e r -

i m e n t s i n d i s c r e t e a n a l y t i c f u n c t i o n t h e o r y , E x p e r i m e n t a l M a t h e -

m a t i c s 4 ( 1 9 9 5 ) , n o . 4 , 3 0 7 { 3 4 8 .

1 1 ] Z h e n g - X u H e a n d O d e d S c h r a m m , F i x e d p o i n t s , K o e b e u n i -

f o r m i z a t i o n a n d c i r c l e p a c k i n g s , A n n . o f M a t h . 1 3 7 ( 1 9 9 3 ) , 3 6 9 {

4 0 6 .

1 2 ] , O n t h e c o n v e r g e n c e o f c i r c l e p a c k i n g s t o t h e R i e m a n n

m a p , I n v e n t . M a t h . 1 2 5 ( 1 9 9 6 ) , 2 8 5 { 3 0 5 .

1 3 ] , T h e C

1

- c o n v e r g e n c e o f h e x a g o n a l d i s k p a c k i n g s t o t h e

R i e m a n n m a p , A c t a M a t h e m a t i c a , t o a p p e a r .

1 4 ] P . K o e b e , K o n t a k t p r o b l e m e d e r K o n f o r m e n A b b i l d u n g , B e r . S a c h s .

A k a d . W i s s . L e i p z i g , M a t h . - P h y s . K l . 8 8 ( 1 9 3 6 ) , 1 4 1 { 1 6 4 .

1 5 ] M o r r i s L . M a r x , E x t e n s i o n s o f n o r m a l i m m e r s i o n s o f s

1

i n t o r

2

,

T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 1 8 7 ( 1 9 7 4 ) , 3 0 9 { 3 2 6 .

1 6 ] B u r t R o d i n a n d D e n n i s S u l l i v a n , T h e c o n v e r g e n c e o f c i r c l e p a c k -

i n g s t o t h e R i e m a n n m a p p i n g , J . D i e r e n t i a l G e o m e t r y 2 6 ( 1 9 8 7 ) ,

3 4 9 { 3 6 0 .

1 7 ] L . S c h n e p s ( e d . ) , T h e G r o t h e n d i e c k t h e o r y o f d e s s i n s d ' e n f a n t s ,

L o n d o n M a t h . S o c . L e c t u r e N o t e S e r i e s , v o l . 2 0 0 , C a m b r i d g e U n i v .

P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 4 .

1 8 ] K e n n e t h S t e p h e n s o n , A p r o b a b i l i s t i c p r o o f o f T h u r s t o n ' s c o n j e c -

t u r e o n c i r c l e p a c k i n g s , R e n d i c o n t i d e l S e m i n a r i o M a t e . e F i s i c o d i

M i l a n o , t o a p p e a r .

1 9 ] , C i r c l e p a c k i n g s i n t h e a p p r o x i m a t i o n o f c o n f o r m a l m a p -

p i n g s , B u l l e t i n , A m e r . M a t h . S o c . ( R e s e a r c h A n n o u n c e m e n t s ) 2 3 ,

n o . 2 ( 1 9 9 0 ) , 4 0 7 { 4 1 5 .

2 0 ] W i l l i a m T h u r s t o n , T h e g e o m e t r y a n d t o p o l o g y o f 3 - m a n i f o l d s ,

P r i n c e t o n U n i v e r s i t y N o t e s , p r e p r i n t .

K e n n e t h S t e p h e n s o n

D e p t . o f M a t h .

U n i v e r s i t y o f T e n n e s s e e

K n o x v i l l e , T N 3 7 9 9 6

U . S . A .

k e n s @ m a t h . u t k . e d u

Kenneth Stephenson- The Approximation of Conformal Structures via Circle Packing

Documents

Transcript of Kenneth Stephenson- The Approximation of Conformal Structures via Circle Packing