JEAN-MARC GINOUX JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO BRUNO ROSSETTO ginoux@univ-tln.frginoux@univ-tln.fr rossetto@univ-tln.frrossetto@univ-tln.fr

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Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Université du Sud, Université du Sud,

B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, FranceB.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France

SSÉÉRIESRIES

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 22

A.A. Séries NumériquesSéries Numériques1.1. Définitions Définitions2.2. Condition nécessaire de convergence Condition nécessaire de convergence3.3. Série géométrique Série géométrique

B.B. Séries à termes positifsSéries à termes positifs1.1. Théorèmes de comparaison Théorèmes de comparaison2.2. Règle de Cauchy Règle de Cauchy3.3. Règle de d'Alembert Règle de d'Alembert4.4. Comparaison avec une intégrale Comparaison avec une intégrale5.5. Série de Riemann Série de Riemann

PLANPLAN

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 33

C.C. Séries à termes de signes quelconquesSéries à termes de signes quelconques

1.1. Convergence absolue Convergence absolue 2.2. Semi-convergence Semi-convergence3.3. Séries alternées Séries alternées

D.D. Séries de fonctionsSéries de fonctions

1.1. Convergence simple et uniforme Convergence simple et uniforme 2.2. Propriétés Propriétés

PLANPLAN

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 44

A.A. Séries NumériquesSéries Numériques

1.1. DéfinitionDéfinition

Soit la suite (USoit la suite (Unn). On appelle série de terme ). On appelle série de terme

général Ugénéral Unn la suite des sommes partielles S la suite des sommes partielles Snn : :

Si (SSi (Snn) admet une limite finie S, ) admet une limite finie S,

on dit que la série est convergente et a pour somme :on dit que la série est convergente et a pour somme :

Si (SSi (Snn) n'admet pas de limite ou une limite infinie, ) n'admet pas de limite ou une limite infinie,

on dit que la série est divergenteon dit que la série est divergente

A.A. Séries Numériques - ConvergenceSéries Numériques - Convergence

0

n

n kk

S U

0

lim n nn

n

S S U

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 55

2.2. Condition nécessaire de convergenceCondition nécessaire de convergence

Pour qu'une série converge il faut que son terme Pour qu'une série converge il faut que son terme

général Ugénéral Unn tende vers 0 quand tende vers 0 quand

En effet, si la série converge et admettent une En effet, si la série converge et admettent une limite lorsquelimite lorsque

Cette condition n'est pas suffisante !Cette condition n'est pas suffisante ! Sa réciproque est fausse ! Sa réciproque est fausse !

La contraposée de cette condition permet de démontrerLa contraposée de cette condition permet de démontrerla divergence d'une série.la divergence d'une série.

A.A. Séries Numériques - ConvergenceSéries Numériques - Convergence

1nS

n

nS

1 0n n nU S S n

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 66

Ex 1Ex 1 :: Soit la série de terme général appelée Soit la série de terme général appelée série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 lorsque Supposons la quantité : lorsque Supposons la quantité :

Soit, Soit,

Or si la série convergeait tendrait vers une limite SOr si la série convergeait tendrait vers une limite Slorsque et il en serait de même pour etlorsque et il en serait de même pour etalors ce qui est en contradictionalors ce qui est en contradiction

avec donc la série diverge !avec donc la série diverge !

A.A. Séries Numériques - ConvergenceSéries Numériques - Convergence

1nU n

nS

2

1 1 1...

1 2 2 2n n n

nU S S

n n n n

n *n

2 1 2n n nU S S

2nSn 2lim 0n n

nS S

2 1 2n n nU S S

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 77

3.3. Série géométriqueSérie géométrique

Soit la série de terme généralSoit la série de terme général

si si

On vérifie que :On vérifie que :

la série converge la série converge

la série divergela série diverge

A.A. Séries Numériques - ConvergenceSéries Numériques - Convergence

lim1n

n

aS S

q

1 1

1

n

n

qS a

q

1q

nnU aq

1q

1q

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 88

B.B. Séries à termes positifsSéries à termes positifs

1.1. Théorèmes de comparaisonThéorèmes de comparaison

Théorème 1Théorème 1 : :

Soit et deux séries à termes positifs tels que Soit et deux séries à termes positifs tels que

à partir d'un certain rang.à partir d'un certain rang.

Si converge alors convergeSi converge alors converge

Si diverge alors divergeSi diverge alors diverge

B. Séries à termes positifs – ConvergenceB. Séries à termes positifs – Convergence

nU nV0 n nU V

nVnU

nUnV

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 99

Théorème 2Théorème 2 : :

Soit et deux séries à termes positifs telles que Soit et deux séries à termes positifs telles que

i.e., lorsque i.e., lorsque

Alors les séries et sont de même nature, i.e., Alors les séries et sont de même nature, i.e.,

toutes deux convergentes ou toutes deux divergentestoutes deux convergentes ou toutes deux divergentes

B. Séries à termes positifs – ConvergenceB. Séries à termes positifs – Convergence

nU nVlim 0n

nn

Uk

V

nU nV

n nU kV n

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1010

2.2. Règle de CauchyRègle de Cauchy

Soit une série à terme positifs et soit Soit une série à terme positifs et soit

Si à partir d'un certain rang L< 1Si à partir d'un certain rang L< 1

Alors la série est convergenteAlors la série est convergente

Si à partir d'un certain rang L> 1Si à partir d'un certain rang L> 1

Alors la série est divergenteAlors la série est divergente

Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de CauchySi L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de Cauchy

B. Séries à termes positifs – ConvergenceB. Séries à termes positifs – Convergence

nU lim nn

nU L

nU

nU

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1111

3.3. Règle de d'AlembertRègle de d'Alembert

Soit une série à terme positifs et soit Soit une série à terme positifs et soit

Si à partir d'un certain rang L< 1Si à partir d'un certain rang L< 1

Alors la série est convergenteAlors la série est convergente

Si à partir d'un certain rang L> 1Si à partir d'un certain rang L> 1

Alors la série est divergenteAlors la série est divergente

Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de d'AlembertSi L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert

B. Séries à termes positifs – ConvergenceB. Séries à termes positifs – Convergence

nU 1lim n

nn

UL

U

nU

nU

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1212

4. 4. Comparaison avec une intégraleComparaison avec une intégrale

Soit une fonction positive sur ,Soit une fonction positive sur ,

décroissante à partir d'une certaine valeur dedécroissante à partir d'une certaine valeur de

Alors l'intégrale et Alors l'intégrale et

la série de terme général sont de même naturela série de terme général sont de même nature

B. Séries à termes positifs – ConvergenceB. Séries à termes positifs – Convergence

f x ,I a

a

f x dx

nU f n

0a

x

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1313

5.5. Série de RiemannSérie de Riemann

La série de Riemann de terme général avecLa série de Riemann de terme général avec

définie par : estdéfinie par : est

convergente siconvergente si

divergente sidivergente si

B. Séries à termes positifs – ConvergenceB. Séries à termes positifs – Convergence

1nU n

1

1

n n

1

*n

1

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1414

C.C. Séries à termes de signes quelconquesSéries à termes de signes quelconques

1.1. Convergence absolue – Semi-convergenceConvergence absolue – Semi-convergence

La série est absolument convergente La série est absolument convergente

si la série est convergente.si la série est convergente.

Si la série est absolument convergente Si la série est absolument convergente

alors la série est convergente.alors la série est convergente.

La réciproque est fausse !La réciproque est fausse !

C. Séries à termes de signes quelconquesC. Séries à termes de signes quelconques

nUnU

nUnU

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1515

2.2. Semi-convergenceSemi-convergence

Si la série diverge et si la série est Si la série diverge et si la série est

néanmoins convergente, alors on dit que la sérienéanmoins convergente, alors on dit que la série

est semi-convergente. est semi-convergente.

nUnUnU

C. Séries à termes de signes quelconquesC. Séries à termes de signes quelconques

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1616

3.3. Séries alternéesSéries alternées

La série est dite alternée si son terme généralLa série est dite alternée si son terme général

est alternativement positif et négatif à partir d'un certainest alternativement positif et négatif à partir d'un certain

rang, i.e., telle que , rang, i.e., telle que ,

Théorème 3Théorème 3 : Pour qu'une série alternée converge, : Pour qu'une série alternée converge, il suffit que la valeur absolue de son terme général il suffit que la valeur absolue de son terme général tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que :tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que :

soit décroissantesoit décroissante

nU

C. Séries à termes de signes quelconquesC. Séries à termes de signes quelconques

n 1 n

n nU V

nU

lim 0nnU

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1717

D.D. Séries de fonctionsSéries de fonctions

1.1. Convergence simple et uniformeConvergence simple et uniforme

La série de fonctions converge simplement surLa série de fonctions converge simplement sur

un intervalle I si la suite converge un intervalle I si la suite converge

simplement sur I.simplement sur I.

La série de fonctions converge uniformément surLa série de fonctions converge uniformément sur

un intervalle I si la suite converge un intervalle I si la suite converge

uniformément sur I.uniformément sur I.

D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions

nf

0

n

n kk

S x f x

0

n

n kk

S x f x

nf

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1818

2.2. PropriétésPropriétés

P1P1 : :

Si la série de fonctions continues sur I converge Si la série de fonctions continues sur I converge

uniformément sur I, alors la fonction définie par : uniformément sur I, alors la fonction définie par :

est continue sur Iest continue sur I

D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions

nf

0

: kk

S x f x

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1919

2.2. PropriétésPropriétés

P2P2 : Intégration terme à terme : Intégration terme à terme

Si la série de fonctions continues sur Si la série de fonctions continues sur

converge uniformément sur alors converge uniformément sur alors

D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions

nf

0 0

b b

k kk ka a

f x dx f x dx

,a b ,a b

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 2020

2.2. PropriétésPropriétés

P3P3 : Dérivation terme à terme : Dérivation terme à terme

Si la série de fonctions dérivables sur I Si la série de fonctions dérivables sur I

converge simplement sur I alors la fonction converge simplement sur I alors la fonction

est dérivable sur I et sa dérivéeest dérivable sur I et sa dérivée

est la fonction :est la fonction :

D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions

nf

0

: kk

S x f x

'

0

: kk

S x f x

G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 2121

Chaotic Snail ShellChaotic Snail Shell