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H¨ ohere Mathematik I SS 2003 Wie Abbildung 36 zeigt, kann es dabei bei betragsm¨ aßig stark variieren- den Funktionswerten zu Problemen kommen: Wie man die Konstante auch w¨ ahlt, mit der alle Vektoren multipliziert werden, hat man immer entweder einige extrem lange Vektoren oder aber Vektoren, die so kurz sind, daß man nichts mehr erkennen kann: Ab einer gewissen Entfer- nung vom Zentrum sind die Richtungen des Felds praktisch nicht mehr wahrnehmbar. Eine leichte Verbesserung ergibt sich, wenn man wie in Abbildung 37 die Vektoren ” fl¨ achig“ zeichnet, wobei die L¨ ange des Vek- tors proportional zur Fl ¨ ache des eingezeichneten Pfeils ist, aber auch das hilft nicht sehr viel. -4 -2 0 2 4 y -4 -2 0 2 4 x Abb. 38: Das Richtungfeld zum obigen Feld Da gerade die Richtung sehr wesentlich f¨ ur die Konstruktion von Feld- linien ist, begn¨ ugt man sich oft damit, nur die Richtungen darzustellen, ansonsten aber s¨ amtlichen Vektoren dieselbe L¨ ange zu geben; siehe dazu etwa Abbildung 38. Dadurch geht zwar ein Teil der Information verloren, aber das entsprechende Bild kann trotzdem oft mehr aussagen, als eines, bei dem fast alle Pfeile visuell zu Punkten degeneriert sind. Auch bei der Darstellung als Richtungsfeld m ¨ ussen allerdings nat ¨ urlich alle Punkte ,f¨ ur die ( ) = (0 0) ist, durch Punkte oder ¨ uberhaupt nicht dargestellt werden, denn dort gibt es keine Richtung. Kap. 2: Mehrdimensionale Analysis a) Der Begriff des Vektorfelds Nicht nur zur Veranschaulichung kann es n¨ utzlich sein, die Werte einer Funktion als Vektoren zu betrachten: Die f¨ ur uns wichtigsten Beispiele von Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher, deren Wert nicht in sondern in einem liegt, sind die aus der Physik bekannten Felder wie etwa ein Kraftfeld, ein elektrisches Feld oder ein Magnetfeld. Da solche Felder typischerweise als Vektoren geschrieben werden, schreiben wir deshalb in diesem Paragraphen die Funktionswerte vektoriell, wohingegen die Argumente weiterhin Punkte sind, die als Tupel geschrieben werden. Wir betrachten somit Funktionen : ; ( )= 1 ( ) . . . ( ) , wobei die Komponentenfunktionen : genau die im vorigen Paragraphen betrachteten skalarwertigen Funktionen mehrerers Ver¨ an- derlicher sind. Der mathematische Begriff, der physikalische Felder beschreibt, ist der des Vektorfelds: Definition: Ein Vektorfeld auf der Teilmenge ist eine Funktion : . (Da die typischen elektromagnetischen Felder wie oder auch das Kraftfeld ¨ ublicherweise durch Großbuchstaben bezeichnet werden, verwenden wir auch f¨ ur Vektorfelder meist Großbuchstaben wie oder .) b) Die Jacobi-Matrix Wir werden uns in diesem Paragraphen zwar haupts¨ achlich mit Vektor- feldern im besch¨ aftigen, und uns selbst da teilweise auf den Fall = 3 beschr¨ anken; zumindest die grundlegenden Definitionen sollen aber f¨ ur beliebige Funktionen auf einer Teilmenge von mit Werten in irgendeinem betrachtet werden. Fast von selbst versteht sich die
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