Introduction à la dynamique des sols

Introduction a la dynamique des sols

Fernando Lopez-Caballero

Laboratoire MSS-MatEcole Centrale Paris

[email protected]

18 novembre 2010

Plan general

Problematique

Reponse sismique d’une couche de solPropagation d’ondes dans un milieu elastique

Comportement des solsComportement elastique des solsVariation des modules de rigiditeCoefficient d’amortissement dans les sols

Evaluation des effets de siteComportement non lineaire des solsMethodes numeriques

Liquefaction des solsDefinitionsConsequences de la liquefactionEssais au laboratoireEvaluation du risque de liquefaction d’un siteMethode simplifiee de Seed and Idriss, 1971Methodes non lineaires

Problematique

Degats associes aux seismes et aux effets de site

Problematique

Cas de la ville de Mexico

Problematique


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

7

Period [s]

PS

A [m

/s2 ]

UNAM siteSCT site

Problematique


Plan general

Problematique





Reponse sismique d’une couche de sol

Schema pour l’analyse de la reponse sismique

(Kramer 1996)

Propagation d’ondes dans un milieu elastique

Equation de propagation d’onde

div σ = ρ u

σ = λ (trace ǫ) I + 2 µ ǫ

(λ + µ)∇ (div u) + µ∆u = ρ u

Propagation d’ondes dans un milieu elastique

Equation de propagation d’onde

div σ = ρ u

σ = λ (trace ǫ) I + 2 µ ǫ

(λ + µ)∇ (div u) + µ∆u = ρ u

Vp =

√

λ + 2 µ

ρ

Vs =

√

µ

ρ

Propagation d’ondes planes

Propagation unidimensionnelle d’ondes SH

◮ Couche de sol sur rocher rigide :

uz

A e i (ω t+k z)

B e i (ω t−k z)

H

u(z, t) = Ae i (ω t+k z) + B e i (ω t−k z)

k =ω

Vs

surface libre :

τ(0, t) = G γ(0, t) = G∂u(0, t)

∂z= 0



◮ Couche de sol sur rocher rigide :

uz

A e i (ω t+k z)

B e i (ω t−k z)

H

u(z, t) = Ae i (ω t+k z) + B e i (ω t−k z)

k =ω

Vs

surface libre :

τ(0, t) = G γ(0, t) = G∂u(0, t)

∂z= 0

u(z, t) = 2 Ae i k z + e−i k z

2e i k z

u(z, t) = 2 A cos(k z) e i ω t



◮ Couche de sol sur rocher rigide :◮ fonction de transfert (sol non-amorti)

F (ω) =umax(0, t)

umax(H , t)

=2 Ae i ω t

2 A cos(k H) e i ω t

F (ω) =1

cos(ω H/Vs)



◮ Couche de sol sur rocher rigide :◮ fonction de transfert (sol non-amorti)

2 4 6 8 10 12 140

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

frequency [Hz]

|F(ω

)| [.

]

Vs/(4H) 3V

s/(4H) 5V

s/(4H)



◮ Couche de sol sur rocher rigide :◮ fonction de transfert (sol amorti)

ρ∂2u

∂2t= G

∂2u

∂2z+ η

∂3u

∂2z∂t

u(z, t) = Ae i (ω t+k∗ z) + B e i (ω t−k∗ z)

V ∗s = Vs (1 + i ξ)




ρ∂2u

∂2t= G

∂2u

∂2z+ η

∂3u

∂2z∂t

u(z, t) = Ae i (ω t+k∗ z) + B e i (ω t−k∗ z)

V ∗s = Vs (1 + i ξ)

F (ω) ≈1

√

cos2(k H) + (ξ k H)2




2 4 6 8 10 12 140

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

frequency [Hz]

|F(ω

)| [.

]

Vs/(4H) 3V

s/(4H) 5V

s/(4H)



◮ Couche de sol sur rocher elastique :

u

zs

As

Bs

H Sol

Rocher

Ar Br

us(zs , t) = As e i (ω t+k∗

s zs) + Bs e i (ω t−k∗

s zs)

ur (zr , t) = Ar e i (ω t+k∗

r zr ) + Br e i (ω t−k∗

r zr )

rapport d’impedance :

α∗ =Gs k∗

s

Gr k∗r

=ρs V ∗

ss

ρr V ∗sr



◮ Couche de sol sur rocher elastique :

u

zs

As

Bs

H Sol

Rocher

Ar Br

us(zs , t) = As e i (ω t+k∗

s zs) + Bs e i (ω t−k∗

s zs)

ur (zr , t) = Ar e i (ω t+k∗

r zr ) + Br e i (ω t−k∗

r zr )

rapport d’impedance :

α∗ =Gs k∗

s

Gr k∗r

=ρs V ∗

ss

ρr V ∗sr

F (ω) =1

cos(ω HV∗

ss) + i α∗ sin(ω H

V∗

ss)

F (ω, ξ = 0) =1

√

cos2(ks H) + α2 sin2(ks H)

Plan general

Problematique





Comportement elastique des sols

◮ Le comportement dit“elastique”des sols est limite seulement auxtres petites deformations (i.e ε1 ou γ < 10−5),


◮ Le comportement dit“elastique”des sols est limite seulement auxtres petites deformations (i.e ε1 ou γ < 10−5),

◮ Ce domaine est obtenu en laboratoire a l’aide des appareils tels que :◮ le triaxial de precision,◮ la colonne resonante,◮ l’essai de torsion cyclique,◮ des mesures de vitesse de propagation d’ondes (bender elements),◮ . . . ,


Essais au Laboratoire

Essai triaxial de precision -(MSSMat-ECP)

Essai triaxial de precision -(MSSMat-ECP)


Essais au Laboratoire

Colonne resonante - IST (Portugal) Bender Elements - (GeoDelft)


Definition des Modules

(Bardet 1997)


Resultats experimentaux - Sables

Emax ∝ σ′no pour les sables et graviers

(Kohata et al. 1997, Tatsuoka 2000)


Resultats experimentaux - Argiles

102

103

104

102

103

104

Sm

all−

Str

ain

She

ar M

odul

us, G

max

[ksf

]

Effective Isotropic Confining Pressure, σ’o [ksf]

Silty Sand (SM)Sandy Lean Clay (CL)Fat Clay (CH)

Gmax ∝ σ′no pour les argiles

(Stokoe et al. 1999)


◮ Modules elastiques (Emax , Gmax , Kmax) :

Gmax = A · F (e) · p(1−n)ref · p′n

Gmax = A · F (e) · pref ·

(

p′

pref

)n

* A : parametre qui depend de la nature du sol,* F (e) : fonction de compacite qui depend de l’indice

des vides e,* pref : contrainte de reference arbitraire,* p′ : contrainte moyenne isotrope appliquee,* n : parametre adimensionnel.

Variation des modules de rigidite

Effet de la deformation

Argile (Lanzo et al. 1997) Sable de Nevada (Arulmoli et al.1982)


Evolution de G en fonction de la deformation

Sable (Seed et Idriss, 1970), Argiles (Vucetic et Dobry, 1991)


Evolution de G en fonction de la deformation

Sable de Toyoura (Kokusho, 1980)

Coefficient d’amortissement dans les sols

Definition


Variation du coefficient d’amortissement D en fonction de ladistorsion γ

(Kokusho, 1980)


Coefficient d’amortissement pour les sables

(Kokusho, 1980)


Variation de D en fonction du rapport G/Gmax

(Tatsuoka et al., 1978)


Coefficient d’amortissement pour les argiles

(Vucetic et Dobry, 1991)

Comportement cyclique des sols

Resume

Parametre Gmax G/Gmax D

Increment de . . .Pression de Augmentation Augmentation Diminutionconfinement σ′

0 pour de Ip faibles pour de Ip faiblesIndice des vides e Diminution Augmentation DiminutionRapport de Augmentation Pas d’effet Pas d’effetsurconsolidation OCRIndice de plasticite Ip Diminution pour des Augmentation Diminution

argiles NormalementConsolidees OCR = 1

Distortion γ Diminution AugmentationCimentation Augmentation Peut augmenter -Pourcentage Peu de variation Pas de variation Pas de variationde fines FC

Plan general

Problematique





Comportement non lineaire des sols

Effets de site - amplification/desamplification

Methodes employees pour evaluer les effets de site

◮ Methode Differences Finies◮ Discretisation de la zone d’etude,◮ Dispersion et anisotropie liees a la grille,◮ Difficultes avec les geometries complexes (interfaces courbes,. . . ),◮ Difficultes dans la prise en compte de la surface libre.

◮ Methode Elements Finis◮ Discretisation de la zone d’etude,◮ Dispersion et anisotropie liees a la grille,

◮ Methodes de frontiere◮ Methodes directes, indirectes, nombre d’ondes discret,◮ Systeme lineaire dense, comportement lineaire, etc.

◮ Methodes Spectrales et Pseudo-spectrales


Approche lineaire-equivalent (Schnabel et al. 1972)

1. Courbes G/Gmax − γ et D − γ,

2. Calculer la transforme de Fourier du mouvement d’entree,

3. G∗ = Gk · (1 + 2 i Ds) ; V ∗s =

√

G∗

ρ

4. Calculer les fonctions de transfert pour le cas elastique,

5. Convoluer le mouvement d’entree avec les fonctions de transfert,

6. Calculer γ(f ) au milieu de chaque couche,

7. Calculer γ(t) par la transforme de Fourier inverse,

8. Calculer γmax = max(γ(t)),

9. Calculer Gk+1 et Dk+1 pour γmax ,

10. Aller au 3 si |Gk+1−Gk |Gk

> θ.


Approche lineaire-equivalent (2)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

γ [%]

G/G

max

[.]

bGk

γmax


Approche lineaire-equivalent (2)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

γ [%]

G/G

max

[.]

bGk

γmax

Gk+1


Approche lineaire-equivalent - Exemple

H = 30m

Sol

Vs = 207m/s

ρs = 2000kg/m3

Rocher

Vr = 2000m/s

ρr = 2000kg/m3



0 2 4 6 8 10 12 14 16−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time [s]

Acc

eler

atio

n [m

/s2 ]

Input motion



10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

0

0.5

1

γ [%]

G/G

max

[.]

10−4

10−3

10−2

10−1

100

1010

20

40

D [%

]



0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

frequency [Hz]

|F| [

.]Elastic behaviourEquivalent linear approximation



0 2 4 6 8 10 12 14 16−6

−4

−2

0

2

4

6

Time [s]

Acc

eler

atio

n [m

/s2 ]

Elastic behaviourEquivalent linear approximation



−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

γ [%]

τ [k

Pa]

Elastic behaviourEquivalent linear approximation


Approche Non lineaire - Exemple

Cas de Treasure Island, 1989 Loma-Prieta earthquake

Plan general

Problematique





Definitions

Qu’est-ce que la liquefaction ?

http ://www.ce.washington.edu/ liquefaction/html/main.html

Etat initial

◮ Grains de sol dans un depot.Colonne bleue a droite : niveaude pression interstitielle dansle sol ;

Definitions



Etat initial

◮ Grains de sol dans un depot.Colonne bleue a droite : niveaude pression interstitielle dansle sol ;

◮ La pression est faible : les forcesde contact sont importantes(fleches blanches).

Definitions



Lors du chargement sismique

◮ La pression augmente : lesforces de contact diminuent,voire disparaissent ;

◮ Perte de resistance aucisaillement du sol :comportement proche de celuid’un fluide.

Consequences de la liquefaction

Volcans de sable


Perte de portance du sol (rupture) sous une fondation


Glissements horizontaux le long de surfaces peu inclinees ou nonconfinees (ecoulement ou“lateral spread”)


Tassements post-sismiques et/ou Fissures en surface

Essais au laboratoire

Essai de liquefaction

Dispositif experimental - Lab. Cermes (ENPC)



Sable de Fontainebleau - Lab. Cermes (ENPC)



Sable de Guadeloupe (France) - Lab. Cermes (ENPC)

Evaluation du risque de liquefaction d’un site

Questions essentielles auxquelles il faut repondre :

◮ Le sol est-il susceptible de se liquefier ?

◮ Si oui, la liquefaction peut-elle s’initier ?

◮ Si oui, des dommages peuvent-ils survenir ?


◮ Determination de la contrainte appliquee par le seisme,

◮ Generalement limitee au cas du champ libre,

◮ Probleme a traiter generalement unidimensionnel,


◮ Determination de la contrainte appliquee par le seisme,

◮ Generalement limitee au cas du champ libre,

◮ Probleme a traiter generalement unidimensionnel,

◮ Application de la methode simplifiee proposee par Seed and Idriss,1971, mise a jour : Liquefaction Resistance of Soils : SummaryReport from the 1996 NCEER and 1998 NCEER/NSF Workshops onEvaluation of Liquefaction Resistance of Soils (Youd et al. 2001).


Methode simplifiee de Seed and Idriss, 1971

Profil de sol Seisme




Resistance du sol

a la liquefaction

CRR

Essais in-situ

Essais de laboratoire




Resistance du sol

a la liquefaction

CRR

Essais in-situ


Demande sismique

dans le profil

CSR

Acceleration

Contrainte de cisaillement




Resistance du sol

a la liquefaction

CRR

Essais in-situ


Demande sismique

dans le profil

CSR

Acceleration

Contrainte de cisaillement

FS = CRRCSR


Demande sismique dans le profil (CSR)

CSR =τav

σ′vo

= 0.65σvo

σ′vo

amax

g

rd(z)

MSF

Seed and Idriss (1971)

rd (z) = 1.0 − 0.00765 · z z ≤ 9.15m

rd (z) = 1.174 − 0.0267 · z 9.15m < z ≤ 23m

(Liao and Whitman, 1986)

MSF = 102.24

M2.56w


Demande sismique dans le profil (CSR)

◮ Determination de l’acceleration maximale de surface amax :◮ Relations empiriques avec la magnitude du seisme,◮ Estimation a partir des analyses locales du site (e.g. Methode lineaire

equivalent),◮ Estimation a partir des rapports d’amplification,◮ . . .


Resistance du sol a la liquefaction (CRR)

A partir du profil de vitesse de propagation d’ondes de cisaillement(Andrus and Stokoe, 2000)

CRR = a

(

Vs1

100

)2

+ b

(

1

V ∗s1 − Vs1

−1

V ∗s1

)

Vs1 = Vs

(

Pa

σ′vo

)0.25

V ∗s1 = 215m/s

a = 0.022

b = 2.8


Exemple

Sable - Vs = 200m/s

Sable - Vs = 168m/s

Sable - Vs = 150m/s

Sable - Vs = 205m/s

Sable - Vs = 210m/s

Sable - Vs = 210m/s

2m

3m

3m

3m

3m

3m


Exemple

Epaisseur [m] z[m] Vs [m/s] ρ[kg/m3]Couche 1 2 1 200 1868Couche 2 3 3.5 168 1868Couche 3 3 6.5 150 1868Couche 4 3 9.5 205 1868Couche 5 3 12.5 210 1868Couche 6 3 15.5 210 1868

amax = 1.5m/s2

Mw = 6.5

Exemple de cas d’etude

Cas de reference :

0 20 40 60

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

SPT − N60

Dep

th [m

]

0 200 400 600

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Vs [m/s]

Dep

th [m

]

Mesures de Vs et SPT.

Alea sismique

Spectre de reponse des signaux d’entree (outcropping) :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

PS

Aou

t [g]

T [s]

ξ = 5%

Data − PE = 2.5 and 97.5%MeanMean ± σEC8 − Class A

Seismes synthetiques

Reponse du profil de sol

Profil de liquefaction :

0 20 40 60 80 100 120−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

Dep

th [m

]

∆ pw [kPa]

← σ’v0

Ramdon Earthq.

DataMeanMean ± σ

∆pw − z - Simulations de Monte-Carlo

Reponse du profil de sol

Profil de liquefaction :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

Dep

th [m

]

Prob [ru ≥ 0.8] [.]

Ramdon Earthq.

Prob [ru ≥ 0.8] - (ru = ∆pw/σ′vo)

Analyse de la liquefaction

Reponse en surface :

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

amax out

[g]

PG

A [g

]

Simulations − Random Earthq.Average deterministic simulations

PGA − amax out - Simulations de Monte-Carlo


Spectre de reponse au champ libre :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7P

SA

FF [g

]

T [s]

ξ = 5%

Ramdon Earthq.

Data − PE = 2.5 and 97.5%MeanMean ± σ



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5N

orm

aliz

ed P

SA

[.]

T [s]

Ramdon Earthq.

ξ = 5%

Mean − OutcroppingMean − FF



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5N

orm

aliz

ed P

SA

[.]

T [s]

ξ = 5%

Ramdon Earthq.

Mean − OutcroppingMean − FFEC8 − Class AEC8 − Class B



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T [s]

Nor

mal

ized

PS

A [.

]

ξ = 5%

Superstition earthq.

OutcroppingFF − a

max out=0.05g



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T [s]

Nor

mal

ized

PS

A [.

]

ξ = 5%

Superstition earthq.

OutcroppingFF − a

max out=0.05g

FF − amax out

=0.25g


Reponse au champ libre :

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time [s]

Ru a

t 4.0

m

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15A

ccsu

rf [g

]

Introduction à la dynamique des sols

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