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Tecnológico de Monterrey

Dra. Ileana Castillo

Tema de Inventarios

Introducción ........................................................................................................................ 1 The role of Cycle inventory in a supply chain .................................................................... 4 Economies of scale to exploit fixed costs ........................................................................... 5 Problemas ............................................................................................................................ 7

Ordenar múltiples productos ............................................................................................... 7 Problemas ............................................................................................................................ 9 Descuentos por volumen en una cadena de suministro .................................................... 10

Ejercicio ............................................................................................................................ 11 Inventory Model with Planned Shortage .......................................................................... 11 Continuous Review Policy (Q*, ROP) ............................................................................. 11 Problema ........................................................................................................................... 14

The Reorder Point Method with Demand and Lead Time Uncertainty ........................ 14 A Periodic Review Model with Uncertain Demand ......................................................... 14

Total Investment Limit ..................................................................................................... 15 References ......................................................................................................................... 16

Introducción

¿Qué es inventario?

Es cualquier cantidad de producto, más allá de lo que es actualmente necesitado.

¿Necesitan las firmas realmente almacenar y manejar materiales?

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• Si la demanda fuera conocida con certeza y los productos pudieran suplirse

instantáneamente, teóricamente, almacenamiento no sería necesario ya que no se

mantendrían inventarios.

• Adicionalmente, para aproximar una coordinación perfecta entre oferta y

demanda, la producción tendría que responder instantáneamente, y el transporte

tendría que ser 100% confiable y con tiempo de distribución cero.

Razones para almacenar

Reducir costos de transporte-

producción.

Coordinar la oferta y la demanda

Asistir en los procesos de

producción y de mercadotecnia

Tipos de Inventarios

• Materia Prima

• Work-in-process (WIP)

• Producto Final

• “Material de Apoyo” o recursos tales como material de empaque y contenedores

• Inventario Cíclico

• En-Tránsito (pipeline)

• Safety Stock o inventario de seguridad

Características de los Sistemas de Inventarios

Demanda

Tiempo de surtido o de remisión

Tiempo de revisión para las políticas de revisión periódica

Demanda en exceso o faltantes

Inventarios cambiantes (productos perecederos)

Costos Relevantes

Vamos a considerar tres clases generales de costos: costos de ordenar (pedir),

costos de mantener inventario, costos por artículo agotado. Estos costos están

en conflicto uno con otro.

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Para determinar la cantidad que se necesita ordenar de un artículo en

inventario, estos costos relevantes se relacionan como en la siguiente figura:

Costos de Ordenar

Estos son los costos asociados con la adquisición de bienes para llenar

inventarios. Son a menudo una fuerza económica importante para determinar

las cantidades de reorden

Cuando se hace un pedido se incurre en una serie de gastos que están

relacionados con el procesamiento, preparación, transmisión, manejo y

compra de la orden

Costos de obtención pueden incluir el precio, o costo de manufactura, del

producto, dependiendo del tamaño de la orden; el costo de preparación del

proceso de producción; el costo de procesamiento de una orden en los

departamentos de contabilidad y compras; el costo de transmisión de la orden

al proveedor (usualmente por correo o medios electrónicos); el costo de

transportar la orden cuando este costo no está incluido en el precio del

producto que se compra; y el costo de cualquier manejo de materiales o

procesamiento de los bienes al momento de recibirlos

Algunos de estos costos de obtención son fijos, es decir, no dependen del

tamaño de la orden.

Costos de Mantener Inventario

Los costos de mantener inventario resultan de almacenar o tener bienes por un

periodo de tiempo y son casi proporcionales a la cantidad promedio que se

tiene en mano:

Costos de Espacio

Costos de Capital

Costos de Servicio de Inventarios

Costos por el Riesgo de Inventarios

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Costos por Producto Agotado

Estos costos ocurren cuando una orden es hecha, pero esta no puede llenarse

con el inventario al cual es normalmente asignada

Hay dos tipos de estos costos: por pérdida de venta y por acumulación

Cada uno presupone ciertas acciones departe del cliente y debido a su

naturaleza intangible, son difíciles de medir con precisión:

Pérdida de Venta El costo es la ganancia que se habría obtenido con la venta,

y puede también incluir un costo adicional por el efecto negativo que esto

podría tener en ventas futuras

Acumulación El costo ocurre cuando un cliente está dispuesto a esperar por la

orden, en cuyo caso la orden no se pierde, sólo se retrasa

Acumulaciones pueden crear costo adicional al tener que procesarse la orden

fuera de los canales usuales, y transporte adicional y costos de manejo cuando

tales órdenes no se llenan por medio de los canales normales de distribución.

Definiciones y Notación

• D= Demanda anual, en unidades por año

• d= demanda diaria, en unidades por día

• S= Costo por hacer pedidos o preparar un lote, en dólares por lote

• c = Costo variable por unidad de producción o compra

• H = costo de mantener una unidad en inventario durante un año, usualmente

expresado como un porcentaje del valor: H = Ic, donde I es la tasa anual de llevar

inventario

• R=ROP= Punto de reorden (dτ), donde d y τ están en la misma unidad de tiempo

• L= 𝛕 = Order Lead Time o tiempo de entrega de la orden

The role of Cycle inventory in a supply chain

Cycle inventory is the average inventory that builds up in the supply chain because a

stage of the supply chain either produces or purchases in lots that are larger than those

demanded by the customer.

In the analysis it is assumed that the demand is stable, i.e. the impact of demand

variability is marginal on lot size and cycle inventory.

Example:

Levi’s

Distributor Department

store d=100 pairs of jeans per day

Q=1000 units

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If the store manager purchases in lots of 1000 units, it takes 10 days for a lot to be sold,

or in other words, for the inventory level to reach zero. The inventory profile depicting

the level of inventory looks as follows:

When demand is steady, cycle inventory and lot size are related as follows:

Average .2

inventory cycleQ

A lower level of cycle inventory is always desirable. Why?

The average flow time resulting from cycle inventory is:

.2demand

inventory Cycled

Q

Economies of scale to exploit fixed costs

The total annual cost (TAC) for the cycle inventory model is:

C= )2

()(Q

HQ

DScDTAC .

Its plot is the top curve in the following figure. The straight line represents the holding

cost, and the decreasing function is the order cost.

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The optimal lot size is referred to as the economic order quantity (EOQ). It is denoted by

Q* and is given by the following equation:

H

DSQ

2* .

The optimal ordering frequency is given by

S

DH

Q

Dn

2** .

Cost

Lot size

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Problemas

Nota:

13.1 es h=iC;

13.2 es que el costo de mantener es h (Q/2); y

13.3 es que el costo de ordenar anual es A (D/Q).

Ordenar múltiples productos

Ordenar de manera independiente cada producto.

Aplicar la fórmula EOQ independientemente para cada producto.

Ordenar conjuntamente todos los productos cada vez que se ordena.

Determine n, el número (óptimo) de pedidos en un año que debe hacer una compañía

que ordena en cada pedido una cantidad Qj de m productos distintos, j = 1,…,m. Cada

producto tiene una demanda anual Dj y un costo unitario anual de mantener inventario Hj.

8

El costo fijo de ordenar está dado por S*=S+

m

j

js1

, donde S es el costo de ordenar

independientemente de los productos que se incluyan en la orden y sj es el costo adicional

de ordenar si el producto j se incluye en la orden.

Heurístico para ordenar conjuntamente todos los productos, pero no necesariamente

todos en cada orden.

S es el costo fijo común de ordenar.

si es el costo fijo de ordenar del producto i.

Ti es el tiempo (flow time) entre órdenes para el producto i.

n=1/T

Hi es el costo unitario de mantener el producto i un año en inventario

Di es la demanda anual del producto i.

Paso 1. Identificar el producto que debe ordenarse más frecuentemente. Para cada

producto calcular:

)(2 i

ii

isS

DHn

.

Sea ii nn max .

Paso 2. Calcular la frecuencia de ordenar cada uno de los productos, a excepción del

más determinado en el paso 1. Para cada producto calcular:

i

iii

s

DHn

2 .

Entonces la frecuencia a la que debe ordenarse cada producto es ./ ii nnm

Como esta expresión generalmente es fraccionaria: ordenar con la frecuencia

ii mm .

Paso 3. Recalcular la frecuencia de ordenar el producto que se ordena más

frecuentemente (encontrado en el paso 1):

)/(2

ii

ii

msS

DHn .

Paso 4. Para cada producto calcular su frecuencia de ordenar como sigue: ni=n/mi.

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Problemas

4. Diga en qué casos usaría una política de ordenar m productos

independientemente. ¿En qué caso los ordenaría todos cada vez que ordena y en

qué caso ordenaría sólo algunos de ellos en cada orden? Explique bien, dando

ejemplos de las situaciones en las que usaría una u otra política.

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Descuentos por volumen en una cadena de suministro

Ver Excel con solución de problemas 20, 21 y 22.

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Ejercicio 5. La Librería Universitaria de una gran institución estatal compra lapiceros

mecánicos a un mayorista. Este le ofrece descuentos cuando los pedidos son

grandes, de acuerdo con el siguiente plan de precios:

Cantidad del

pedido

Precio por

unidad

0-100 $4.00

101-300 $3.50

301 o más $2.00

Determine cuál es la cantidad óptima que debe ordenarse si la demanda es de 250 anual,

el costo por pedido es de $15 y la tasa anual de mantener inventario es 20%.

Inventory Model with Planned Shortage

In this model we plan to have a shortage of F units.

k is the cost of maintaining a unit not supplied during a year.

After some analysis performed over the TAC function below, the following formulas are

obtained:

C=

Q

Fk

Q

DS

Q

FQHTAC

22

22

.

.**

,2

*

kH

HQF

k

kH

H

DSQ

Continuous Review Policy (Q*, ROP)

When inventory is depleted to the point where its level is equal to or less than a specified

quantity called the reorder point, an economic order quantity of Q* is placed on the

supplying source to replenish the inventory.

Between the time that the replenishment order is placed at the ROP and when it arrives in

stock, there is a risk that demand will exceed the remaining amount of inventory. We

control the probability of this occurring by raising or lowering the ROP, and by adjusting

Q*.

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© 2007 Pearson Education

Time

On

-ha

nd

in

ve

nto

ry

TBO1 TBO2 TBO3

L1 L2 L3

R

Order

received

Q

Order

placed

Order

placed

Order

received

IPIP

Q

Order

placed

Q

Order

received

Order

received

OH

Continuous ReviewQ system when demand is uncertain.

The demand during the lead time (DDLT) is normal with mean X’ and standard deviation

s’d. A good value for the ROP is obtained with:

R=ROP = dL + z (s’d).

© 2007 Pearson Education

Finding Safety Stock With a normal Probability Distribution

for an 85% Cycle-Service Level

Average

demand

during

lead time

Average

demand

during

lead time

Cycle-service level = 85%

Probability of stockout

(1.0 – 0.85 = 0.15)

zL

R

This is, after computing Q* with the EOQ formula.

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The term z is the number of standard deviations from the mean of the DDLT distribution

to give us the desired probability of being in stock during the lead time period. For this

reason is also known as a safety factor.

Note. When ROP > Q* the result of this procedure is that a second order will be placed

before the first arrives in stock. Also, when this happens, deciding when to trigger the

next order must take into account the inventory on-hand plus the stock on order.

Exercise. What is the average inventory level in this model?

Example 1: Suppose weekly demand for an item is normally distributed with a mean

d=100 units and a standard deviation of sd=10 units. Lead time is 3 weeks. Find the

mean and standard deviation of the DDLT.

Solution:

Therefore, the mean of the DDLT is X’= (3)(100) and the variance is the sum of the

variances during one week s’2

d=(3)( s2

d) = (3)(100). Hence, s’d = 10 3 .

Example 2:

The monthly demand of certain product in a warehouse the year before was:

TABLE 1

i JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL AUG SEP OCT NOV DEC

Di 1100 1100 700 400 1200 1000 500 1100 900 1800 800 100

Marketing believes that variations in demand are random, and that they are not caused by

seasonality or other reasons.

Marketing also predicts that the total demand for the coming year will be similar to the

previous one.

Order lead time to replenish the warehouse is approximately a month. The unit value of

the product is $1,000, and the annual inventory carrying cost is 30%. If the demand is

normally distributed, what are the inventory costs due to safety stock if one wants to

reach the fill rates (service levels) in Table 2?

TABLE 2

Fill Rate 80% 90% 95% 99% 99.7%

Safety Factor 0.85 1.28 1.65 2.33 3.00

Solution:

1) Average monthly demand D:

D = 892

2) Standard deviation s’d:

s’d2 = [1/11] Σi=1

12 (Di-D)

2 = 193 560.76 → s’d = 439.96.

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TABLE 3

Fill Rate 80% 90% 95% 99% 99.7%

z 0.85 1.28 1.65 2.33 3.00

z(s’d) 373.97 563.15 725.93 1,025.11 1,319.88

Cost 112,191 168,945 217,779 307,533 395,964

Problema 6. Metepec Craft Shop (MCS) vende una variedad de artesanías de calidad

fabricadas a mano para los turistas. MCS vende anualmente 300 árboles de la

vida pequeños, pero el patrón de demanda durante el año es incierto. Los árboles

se venden en 20 dólares cada uno, y MCS usa una tasa del costo de mantener

inventario anual del 15%. Los costos de ordenar son $5 por pedido, y la demanda

durante el tiempo de entrega sigue una distribución normal: N(15,36).

(a) ¿Cuál es la cantidad a ordenar recomendada?

(b) Si MCS está dispuesta a aceptar faltantes más o menos dos veces al año, ¿cuál

punto de reorden recomendaría? ¿Cuál es la probabilidad de que MCS tendrá faltantes

en cualquier ciclo de pedido?

(c) ¿Cuáles son el inventario de seguridad y los costos del inventario de seguridad

anuales para este producto?

The Reorder Point Method with Demand and Lead Time Uncertainty

To make the ROP model more realistic, we consider variability in the lead time as well as

in the demand. In this case, the standard deviation of the DDLT is:

222

' sdss dd , where s is the standard deviation of the lead time.

A Periodic Review Model with Uncertain Demand

In this model, the inventory level for an item is audited at predetermined intervals (P).

The quantity to be placed on order is the difference between a maximum inventory (T)

and the inventory on hand at the review time. Thus, inventory is controlled by setting T*

and P*.

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© 2007 Pearson Education

Periodic Review (P) System

P PTime

On

-ha

nd

in

ve

nto

ry

T

Q1

Order

placed

L

Order

placed

Order

receivedOrder

received

Order

placed

Q2

Q3

Order

received

OH

L L

Protection interval

IP1

IP3

IP2

IP IPIP

OH

First, take D

QP

** . Then construct the distribution for demand over the order interval

plus the lead time: DD(P*+L).

At the point where the probability of a stockout during the protection period is equal to

the area under the normal distribution curve is the point of the maximum level (T*). This

point may be calculated as:

T*=d(P*+L)+z(sd’).

In this case .*' LPss dd And the average inventory level is:

.'2

*dsz

dP

Total Investment Limit

Una empresa que hace reparaciones eléctricas tiene en inventario tres tipos de motores

pequeños. La tasa anual de mantener inventario es I. La administración ha decidido que

en ningún momento la inversión en inventarios puede exceder los $X dólares. Formule

un problema de programación matemática que le permita a la firma encontrar la política

óptima de inventario.

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Motor

1 2 3

Demanda/año D1 D2 D3

Costo/motor $C1 $C2 $C3

Costo de ordenar $S1 $S2 $S3

Dé fórmulas que le permitan sustituir valores numéricos y obtener la solución para

cualquier problema de este tipo.

7. Se dispone de los datos siguientes con respecto a dos artículos que se tienen en

inventario:

Artículo Demanda

anual (λ)

Costo por

unidad (C)

1 10 000 5

2 100 5

El presupuesto de inversión en inventario es de $200. Encuentre las cantidades

óptimas que deben ordenarse si la tasa anual de mantener inventario es del 20% y el

costo fijo de ordenar es de $25.

8. HiEnd, una pequeña compañía de computadoras, compra 2 tipos de lectoras de

discos. Debido al bajo volumen que maneja la compañía, el gerente limita la

inversión en inventario a un máximo de 5000 dólares. El precio de estas dos

lectoras es de 50 dólares y 80 dólares, respectivamente, y su demanda anual es de

250 y 484 unidades, respectivamente. La compañía tiene un gasto de $50 para

procesar la orden de cualquiera de estas lectoras, y el gerente usa un 20 % anual

para las evaluaciones financieras.

Formule un problema de optimización que le permita a HiEnd determinar las

cantidades óptimas a ordenar.

References

1. Anderson, D.R., D. J. Sweeney & T. A. Williams, Métodos Cuantitativos para los

Negocios, 9a. Edición, International Thomson Editores, 2004.

2. Ballou, R. H. Business Logistics Management, Prentice Hall, New Jersey, 1999.

3. Chopra, S., & P. Meindl. Supply Chain Management. Strategy, Planning, and

Operations, Third Edition, Upper Saddle River NJ: Pearson/Prentice Hall. 2007.

4. Krajewski, L.J., Ritzman, L.P. & Malhotra, M.K. (2007). Operations

Management. Prentice Hall.