Interpolacion

INTERPOLACIN

C. Guerra

PUCP

Dado el conjunto de puntos: , una funcin interpolante es una funcin que pasa por todos los puntos
Funcin Interpolante

Las funciones ms usadas para interpolar son las polinomiales. Estos

fciles de evaluar diferenciar e integrar.

Su utilidad principal es la de estimar para

Interpolacin

Extrapolacin

Generalmente no se tiene control de los valores xi dados.

Se debe utilizar pocos puntos para realizar la interpolacin, para evitar las oscilaciones polinmicas.

El nmero de puntos dados menos uno nos da el mayor orden que puede tener el polinomio.

Observaciones

Interpolacin Polinomial

Dado el conjunto de puntos: se busca un polinomio cuya grfica pase por todos los puntos

Teorema

Para un conjunto cualquiera de N puntos dados en el espacio, existe un nico polinomio interpolante P(x) de grado menor que N

Existen diversos algoritmos para determinar P(x)

Algoritmo de Vandermonde

Algoritmo de Newton

Algoritmo de Lagrange

Algoritmo de Neville


Sea el polinomio de grado N-1

Esta funcin pasa por los N puntos, luego los coeficientes quedan

determinados de:

Este sistema de ecuaciones lineal se puede escribir en la forma matricial:

Este mtodo de resolver para los coeficientes indeterminados no es el

ms eficiente desde el punto de vista algortmico.



Formalmente:

Lagrange generaliz esta formulacin:

Ecuacin de la recta:

Interpolacin lineal de Lagrange:

En efecto, el problema se puede generalizar definiendo los polinomios

de Lagrange, piezas bsicas para el construir el interpolante:

El polinomio de interpolacin est dado por:

Usando el algoritmo de Lagrange no es necesario resolver un sistema lineal de ecuaciones.


*

El contorno de una pieza mecnica tiene la forma que se muestra en la

figura. Usando los datos medidos de esta pieza (ver tabla), determinar

el polinomio interpolante respectivo.

Ejemplo: Polinomio de orden 6
Sheet1Puntox(cm)y(cm)12.2021.280.8830.661.14401.25-0.61.046-1.040.67-1.20Sheet10000000xyCam Profile0000000Sheet22.21.280.660-0.6-1.04-1.2xyCam Profile00.881.141.21.040.60Sheet3Chart12.21.280.660-0.6-1.04-1.2xyContorno00.881.141.21.040.60Sheet1Pointxy12.2021.280.8830.661.14401.25-0.61.046-1.040.67-1.20Sheet10000000xyCam Profile0000000Sheet22.21.280.660-0.6-1.04-1.2xyCam Profile00.881.141.21.040.60Sheet3

Chart42.21.280.660-0.6-1.04-1.2xyContorno00.881.141.21.040.60Sheet1Pointxy12.2021.280.8830.661.14401.25-0.61.046-1.040.67-1.20Sheet10000000xyCam Profile0000000Sheet20000000xyCam Profile0000000Sheet3


Sean los puntos , el polinomio de interpolacin de orden

N-1 puede ser determinado a partir de la relacin recursiva

donde las cantidades con m = {1, N-1} subscripts son

polinomios de x de orden m-1 y dependen de Ps de menos ndices

El punto de partida de la relacin de recurrencia es:

Con el propsito de mejorar el algoritmo definimos las diferencias

hacia abajo (C) y hacia arriba (D)

con las relaciones de partida:

Usando estas definiciones y la frmula general de Neville se tiene:


Algoritmo Optimizado de Neville:

Determinar el valor de ms cercano a x.

Si x>ix comenzamos por Pi y alternamos D y C para correcciones de mayor orden.

Cuando se usa un decremento D, decrecer el valor del ndice i en una unidad. El otro ndice siempre aumenta.

Si x

Notas sobre Extrapolacin

Se puede usar los algoritmos para interpolacin con unos

pequeos ajustes.

El punto a extrapolar no debe estar alejado ms que la distancia

tpica entre datos tabulados.

3. Para extrapolar al infinito, encontrar fi vs 1/xi y extrapolar hacia

el cero.

Interpolacin por Segmentos

Buscamos una polinomio interpolante P(x) para f(x)

que nos de una buena estimacin de f(x)

Oscilaciones polinmicas

Aumentar el grado del polinomio no es una buena idea

No siempre es el caso

Para la funcin error, polinomios de

alto grado, tienen error pequeo:

Una solucin al problema de oscilaciones es interpolar por segmentos:

Interpolacin por Segmentos

Interpolacin por Segmentos Cbicos

Consideremos el intervalo [xj , xj+1). Una interpolacin lineal nos da

donde

Construccin de un polinomio interpolante de tercer grado

Continua en las fronteras en su primera derivada.

La segunda derivada varia linealmente en cada intervalo.


Para determinar los coeficientes funcionales C y D usamos la segunda

condicin de la construccin del P.I.

que implica que se deben cumplir

estas condiciones se satisfacen si escogemos:

C y D son de primer orden!

Integrando las ecuaciones anteriores y usando las siguientes relaciones

para calcular las constantes de integracin

obtenemos los coeficientes


C(x) y D(x) no aportan en los extremos!

Esto nos da n-2 ecuaciones para las n segundas derivadas

desconocidas.

Las segundas derivadas de los datos primero y ltimo

quedan como parmetros.

Para calcular las segundas derivadas usamos la primera condicin

de la construccin del P.I.

donde

Luego tenemos:


donde

Las ecuaciones resultantes pueden escribirse matricialmente como


Esta ecuacin matricial puede resolverse usando el mtodo

tridiagonal.

Una vez calculadas las segundas derivadas se pueden usar estos resultados para realizar la interpolacin.


Interpolacin Cbica de Hermite

Informacin distante de una funcin no es de gran ayuda para aproximarla en una regn localizada, tal como lo muestran las oscilaciones polinmicas

Esto debe mejorar si se incluye mayor informacin, por ejemplo

si incluimos derivadas

Si tenemos dos puntos y sus derivadas, podemos usar un polino-

mio de orden 3:

Y determinar los coeficientes, requiriendo

Interpolacin Cbica de Hermite

El polinomio resultante y su derivada sern continuos, tenemos:

Si en vez de conocer la fucin y su derivada en 2 puntos, cono-

cemos estos datos en n puntos, podemos construir un polinomio

de orden 2n-1, continuo y con primera derivada continua.

Interpolacin General de Hermite

La solucin general se puede escibir usando dos polinomios que

los nombramos hn,j(x) y gn.j(x):

que a su vez se pueden escribir en terminos de los polinomios de

Lagrange y su primera derivada:

Interpolacin cbica de Hermite por segmentos

Si tenemos n puntos dados y no conocemos sus derivadas, usamos

la interpolacin de Hermite por segmentos.

Entre tres puntos consecutivos, usamos dos polinomios cbicos de

Hermite, y determinamos la derivada en el punto comn de la sgte.

manera:

Definamos el paso y la pendiente entre dos puntos como:


Si k y k+1 tienen signos opuestos definimos:

Si k y k+1 tienen el mismo signo y los intervalos tienen la misma

longitud, definimos:

Si k y k+1 tienen el mismo signo y los intervalos no tienen la misma

longitud, definimos


Las derivadas en los extremos se calculan usando frmulas

de tres puntos para las derivadas

FIG. Pendientes en la interseccin de dos puntos

(,()) /{1,}

iiii

PxyfxiN

==

i

P

11

(,)

xy

22

(,)

xy

33

(,)

xy

22

(,)

NN

xy

--

11

(,)

NN

xy

--

(,)

NN

xy

L

X

Y

()

fx

1

*{,,}

N

xxx

L

(*)

fx

*

i

xx

1

*{,,}

N

xxx

L

(,()) /{1,}

iiii

PxyfxiN

==

111

12

1

()

--

=

==+++

L

N

kN

kN

k

Pxaxaaxax

11

11211

11

21222

11

12

()

-

-

-

=+++

=+++

=

=+++

L

L

MM

L

N

N

N

N

ii

N

NNNN

yaaxax

yaaxax

yPx

yaaxax

21

11

111

21

22

222

21

33

333

21

1

1

1

1

-

-

-

-

=

L

L

L

MM

MMMOM

L

N

N

N

N

NN

NNN

ay

xxx

ay

xxx

ay

xxx

ay

xxx

1,

1

()()

-

=

=

N

NkNk

k

PxyLx

1,,

()

d

-

=

Nkiik

Lx

1

121

21

21

12

1221

()

xx

yyyy

xx

xxxx

yyy

xxxx

-

=+-

-

--

=+

--

2

1,1

2

12

1,11,121,2

1

1

1,2

21

()

()()()()

()

=

-

=

-

==+

-

=

-

kk

k

xx

Lx

xx

PxyLxyLxyLx

xx

Lx

xx

1,11,11,

1

()()()()

---

=

==++

L

N

NkNkNNNN

k

PxyLxyLxyLx

1

111

1,

111

1

()

()()()()

()

()()()()

()

=

-+

-

-+

=

-

----

==

----

-

LLL

LLL

N

j

j

jk

kkN

Nk

N

kkkkkkN

j

kj

jk

xx

xxxxxxxx

Lx

xxxxxxxx

xx

Puntox(cm)y(cm)

1

2.20

2

1.280.88

3

0.661.14

4

01.2

5

-0.61.04

6

-1.040.6

7

-1.20

Contorno

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-2-10123

x

3567

24

1

121314151617

3567

14

2

212324252627

1

31

()

----

--

=

------

----

--

+

------

-

+

-

xxxxxxxx

xxxx

yxy

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

y

xxxxxxxxxxxx

xx

xx

567

24

3

3234353637

3567

12

4

414243454647

12

515

---

--

-----

----

--

+

------

--

+

--

xxxxxx

xxxx

y

xxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

y

xxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxx

367

4

5

253545657

357

124

6

616263646567

3

12

61626

---

-

----

---

---

+

------

-

--

+

---

xxxxxx

xx

y

xxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

y

xxxxxxxxxxxx

xx

xxxx

xxxxx

56

4

7

3646566

--

-

---

xxxx

xx

y

xxxxxxx

23

456

()1.20.251110.272560.56764

0.072010.452400.17103,1.202.20

yxxxx

xxxx

=+--

++--

Contorno

-1.2-0.20.81.8

x

y

11

12

22123

231234

33234

34

44

yP

P

yPP

PP

yPP

P

yP

=

=

=

=

/{1,}

i

xiN

=

,(1),,()

iiim

P

++

K

(1)(1)(1)(i2)()

(1)()

()()

+++-+++

++

+

-+-

=

-

LL

L

imiiimiiim

iiim

iim

xxPxxP

P

xx

()

ii

Pfx

=

1,1,

iiii

CyDy

==

,()(1)

,()(1)()

miiimiim

miiimiim

CPP

DPP

++-

+++

=-

=-

LL

LL

ix

xi

1,1,

1,

1

,1,

1,

1

()()

()()

immimi

mi

iim

imimi

mi

iim

xxCD

D

xx

xxCD

C

xx

+++

+

++

+

+

++

--

=

-

--

=

-

2

251

1

)(

x

xf

Table

: Six equidistantly spaced points in [

-

1, 1]

Figure

:

5

th

order polynomial vs. exact function

x

2

25

1

1

x

y

+

=

-

1.0

0.038461

-

0.6

0.1

-

0.2

0.5

0.2

0.5

0.6

0.1

1.0

0.038461

Original

Function

17

th

Order

Polynomial

9

th

Order

Polynomial

5

th

Order

Polynomial

2

0

2

()

x

t

erfxedt

p

-

=

1

()() [,){1,,1}

+

==-

K

iii

Pxqxxxxin

1

()

qx

2

()

qx

1

()

N

qx

-

2

()

N

qx

-

1

()()

jj

yAxyBxy

+

=+

1

11

() ()1

jj

jjjj

xxxx

AxBxA

xxxx

+

++

--

==-=

--

11

()()()()()

jjjj

yxAxyBxyCxyDxy

++

=+++

2

1

2

()

()()

jj

dyx

CxyDxy

dx

+

=+

1

1

()1()0

()0()1

jj

jj

CxCx

DxDx

+

+

==

==

()()()()

CxAxDxBx

==

32

1

1

6

32

1

1

6

()()

()()

jj

j

CAAxx

DBBxx

+

+

=--

=--

1

1

()0()0

()0()0

jj

jj

CxCx

DxDx

+

+

==

==

11

[,][,]

()()

jjjj

jj

xxxx

yxyx

-+

=

22

1

111

1

3131

()()

66

jj

jjjjjj

jj

yy

dyAB

xxyxxy

dxxx

+

+++

+

-

--

=--+-

-

2222

33333

44444

22222

1111

000

00

00

00

000

nnnnn

nnnn

bcyd

abcyd

abcyd

abcyd

abyd

-----

----

=

K

K

K

MMMOMMMM

K

K

1

0 2

3,,1

i

ii

i

a

xxin

-

=

=

-=-

K

1

2,,2

0 1

ii

i

xxin

c

in

+

-=-

=

=-

K

11

2()

iii

bxx

+-

=-

32

21

211

3221

11

11

112

1

112

6() 2

6 3,,2

6()

iiii

i

iiii

nnnn

nnn

nnnn

yy

yy

xxyi

xxxx

yyyy

din

xxxx

yyyy

xxyi

xxxx

+-

+-

---

-

---

-

-

---=

--

--

=-=-

--

--

---

--

K

1

n

=-

32

()

pxaxbxcxd

=+++

1122

1122

()()

()()

pxypxy

pxypxy

==

==

22

1221

12

22

1212

22

1221

12

22

1212

(12())()(12())()

()

()()

()()()()

()()

xxxxxxxx

pxyy

xxxx

xxxxxxxx

yy

xxxx

------

=+

--

----

++

--

,,

11

()()()

nn

njjnjj

jj

pxhxygxy

==

=+

2

,,,

()[12()()]()

njjnjjnj

hxxxLxLx

=--

2

,,

()()()

njjnj

gxxxLx

=-

1

1

kkk

kk

k

k

hxx

yy

h

d

+

+

=-

-

=

1

0

k

y

+

=

11

1111

()

2

kkk

y

dd

++

=+

11

1212

21

11

2

2

kk

kk

kkk

whh

wwww

whh

y

dd

+

+

++

=+

+

=+

=+

Interpolacion

Documents

Transcript of Interpolacion