Capítulo 2. INTERPOLACION

8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION

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Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 38

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL


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2.1 INTRODUCCIÓN.

La aproximación de funciones es un tema de uso frecuente en el

Análisis Numérico, y consiste en aproximar una función f por otra que sea

más fácil de “manipular”. Entre las razones que justifican la aproximación

están:

i) Dificultades que se presentan al evaluar u operar con funciones: por

ejemplo se sabe que ( )2

xe x f = es integrable en [ ] ℜ⊂b,a , pero

∫b

a

x dxe2

no se puede calcular por los métodos analíticos ya conocidos.

ii) Frecuentemente sucede que la información respecto a una función f

se da mediante una tabla de valores y no se conoce la ley de

asignación que define a f , por lo que no se puede operar con f.

La técnica más frecuente empleada para encontrar la función

aproximante g es expresarla como una combinación lineal de funciones

pertenecientes a una clase de funciones elementales:

( ) ( ) ( ) ( ) xga... xga xga xg nn+++= 1100 ( )∑=

=n

iii xga

0

(2.1)

donde ia son constantes reales por determinar

( ){ }nii xg 0= es una familia de funciones.

Sí la familia de funciones ( ){ } xg i es:

i) { }nk

k x0=: entonces ( ) nn xa xa xa xg +++= ...

11

00 (Aproximación

polinomial )


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ii) ( ) ( ){ }nk kxcos ,kxsen , 01 = : entonces

( ) ( ) ( )( )∑=

++=n

k

k k kxcosbkxsenaa xg

1

01

iii) { }nk kxe 0= : entonces ( ) nxn x x ea...eaea.a xg ++++= 2210 1

iv) Aproximación Racional.

Existen criterios muy diversos para aproximar funciones:

a) Unas veces se exige que la función aproximante g coincida con la

función f en un determinado conjunto de puntos ( lo cual se conoce como

interpolación).

b) Otros métodos exigen que la diferencia entre ( ) xg y ( ) x f sea lo máspequeño posible. ( Mínimos cuadrados ).

2.2 INTERPOLACIÓN.

Sea f definida en un intervalo cerrado tal que:

i x 0 x 1 x . . . 1−n x n x

( )ii x f f = ( )0 x f ( )1 x f . . . ( )1−n x f ( )n x f

Se quiere hallar una función g tal que: ( ) ( ) ni x f xg ii ,...,1,0, =∀= :


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a la función g se le llama función interpolante, la cual satisface las

siguientes condiciones: ( ) ( ) ni xg x f ii ,...,1,0, == . Geométricamente esto

significa: se debe encontrar una función g que pase por los puntos

( ) n ,..., ,i , f , x ii 10= .

Una vez hallada la función interpolante ésta se usa para:

i) Aproximar los valores de f en algún punto no tabulado * x entre 0 x y n x .

(Interpolación directa o simplemente interpolación).

ii) Conociendo el valor de ( )* x f , hallar * x (interpolación inversa), es decir

resolver la ecuación ( ) a x f =* , para * x .

iii) Aproximar f fuera del intervalo de interpolación (extrapolar): no es

recomendable usar una función interpolante para extrapolar ya que no se

conoce el comportamiento de f fuera del intervalo de interpolación.

Las fórmulas de interpolación se pueden usar para extrapolar, pero hay

que tener cuidado ya que el error de truncamiento puede ser grande si nos

alejamos de los puntos tabulados. Así, si se usa interpolación para extrapolar

se puede garantizar solamente para valores de x muy próximos a los valores

tabulados. Existen métodos para extrapolar llamados extrapolación de

Richardson y extrapolación 2δ de Aitken.

Los datos obtenidos mediante medición pueden interpolarse, pero en

la mayoría de los casos no es recomendable una interpolación directa debido


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a los errores aleatorios implicados en la medición. En estos casos se

recomienda usar el método de los mínimos cuadrados.

2.3 APROXIMACIÓN POLINOMIAL.

La técnica más usada para interpolar son los polinomios, por su

facilidad de manejo y además porque aproximan uniformemente funciones

continuas. Este hecho lo garantiza el siguiente teorema:

Teorema 2.1 Teorema de Weirstrass.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado I y sea 0>ε , entonces

existe un polinomio P definido en I tal que ( ) ( ) ε


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para ni ...,3,2,1,0= . Esto representa un sistema de ( )1+n ecuaciones con

( )1+n incógnitas: niai ,...,2,1,0, = . La matriz asociada a este sistema es:

=

nnnn

n

n

x x x

x x x

x x x

A

...1

...............

...1

...1

2

1211

0200

Se debe probar que 0det ≠ A : el determinante de la matriz A es el tipo

Vandermonde y su valor es: ( )∏≤


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b) Los nodos no necesariamente están ordenados ni igualmente espaciados.

c) Los polinomios de Taylor no sirven para interpolar.

d) Los métodos mencionados anteriormente generan el mismo polinomio, solo

que están expresados en distintas formas.

2.4 POLINOMIOS DE LAGRANGE.

a) Interpolación lineal: el polinomio de grado 1 que pasa por los puntos

( )( )00 , x f x A , ( )( )11 , x f x B , pueden escribirse así:

( ) ( ) ( )1100 x xa x xa xP −+−= (2.5)

donde 10 ,aa son constantes por determinar. Para hallar el valor de las

constantes se evalúa P en 0 x x = y 1 x x = obteniéndose:

( )

01

10

x x

x f a

−= ,

( )

10

01

x x

x f a

−=

lo cual se sustituye en (5) obteniéndose:

( ) ( ) ( )101

00

10

1 x f x x

x x x f

x x

x x xP

−

−+

−

−=

Sean ( )10

10

x x

x x x L

−

−= , ( ) 100 = x L , ( ) 010 = x L

( )01

01

x x

x x x L

−

−= , ( ) 001 = x L , ( ) 111 = x L

Note que L0 (x) y L1(x) son polinomios de grado 1.

c) El polinomio de grado 2 que pasa por los puntos ( )( )00 , x f x , ( )( )11 , x f x ,

( )( )22 , x f x se puede expresar así:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2022111002 x x x xa x x x xa x x x xa xP −−+−−+−−= (2.6)


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donde ℜ∈210 ,, aaa . Para hallar 210 ,, aaa se evalúa P2 en 210 ,, x x x :

( ) ( )( ) ( )02010102 x f x x x xa xP =−−= , de donde( )

( ) ( )2010

01

x x x x

x f a

−−=

( ) ( )( ) ( )12101212 x f x x x xa xP =−−= de donde( )

( ) ( )2101

12

xxxx

xf a

−−=

( ) ( )( ) ( )21202022 x f x x x xa xP =−−= ;( )

( ) ( )1202

20

x x x x

x f a

−−=

Sustituyendo 210 ,, aaa en (2.6) y reordenando los términos se obtiene:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )2

1202

101

2101

200

2010

212 x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x xP

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−=

Sean :

( )

( )( )

( ) ( )2010

21

0 x x x x

x x x x

x L −−

−−

= : ( ) ( ) ( ) 0,0,1 201000 === x L x L x L

( ) ( )( )

( ) ( )2101

201

x x x x

x x x x x L

−−

−−= : ( ) ( ) 2,0,0,1 111 === i x L x L i

( ) ( )( )

( ) ( )1202

102

x x x x

x x x x x L

−−

−−= : ( ) ( ) 1,0,0,1 222 === i x L x L i

Luego: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211002

x f x L x f x L x f x L xP ++=

En general, el polinomio que interpola los puntos ( )( )ii x f x , ,

ni ,...,2,1,0= es de grado menor que n, viene dado por:

( ) ( ) ( )∑=

=n

k

k k n x f x L xP0

(2.7)

Donde:


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( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )nk k k k k k k

nk k k

x x... x x x x... x x x x

x x... x x. x x... x x x x x L

−−−−−

−−−−−=

+−

+−

1110

1110 (2.8)

( ) ∏≠=

=−

−=

n

k ii ik

ik nk

x x

x x x L

0

,...,1,0, (2.9)

Los ( ) x Lk se llaman polinomios de Lagrange, son de grado n y tienen la

propiedad: ( )

≠

==

k isí

k isí x L ik

0

1

Al polinomio ( ) xPn dado por (2.7) se le llama fórmula de interpolación de

Lagrange, y es de grado menor o igual que n (por ser la suma de polinomios

de grado n). Observe que ( ) xPn es una combinación lineal de los ( )i x f , y

( ) x Li para i=0,1,2,..,n.

Notas:

a) En el numerador de ( ) x Lk va el producto de n factores de la forma i x x − ,

n,...,,i 10= excepto el factor ( )k x x − , y en el denominador va dicho producto

evaluado en k x .

b) Los nodos pueden estar ordenados en cualquier forma.

Ejemplo 2.1 Halle el polinomio de Lagrange que interpola los puntos

(1,1) , (2,2) y (3,3).

Solución. Sea P este polinomio y es de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211002 x f x L x f x L x f x L xP ++=


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donde: ( ) ( )( )

( ) ( )3121

320

−−

−−=

x x x L ( )

( )( )

2

320

−−=

x x x L

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1

31

3212

3111

−

−−=

−−

−−=

x x x L

x x x L :

( ) ( )( )

( ) ( )2313

212

−−

−−=

x x x L : ( )

( )( )

2

212

−−=

x x x L

Sustituyendo se obtiene: P2(x)=x que es un polinomio de grado 1.

Ejemplo 2.2 Suponga que una relación funcional ( ) x y y = está dada por:

x 0 0.25 0.5 0.75 1.00

y 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

Encuentre los valores de x que satisfagan la relación

50607090 .,.,.,.y = respectivamente usando interpolación lineal.

Solución: Para encontrar x tal que 9.0= y se usara interpolación lineal con

los nodods: 00 = x y 25.01 = x , así el polinomio correspondiente es:

( ) ( )

( )

( )

( )8109.0

025.0

09162.0

25.00

25.01 ×

−

−+×

−

−=

x x xP

De allí: ( ) 91620421201 . x. xP +−= . Se quiere hallar x tal que ( ) 9.01 = xP , así

909162042120 .. x. =+− , de allí que: 0385.0= x

De igual manera para 4854070 . xobtienese ,. y ==

6743060 . x ,. y ==

8467.0,5.0 == x y

En este ejemplo se realizo una interpolación inversa y fue fácil resolver la

ecuación pues es de grado 1 . Si la ecuación es de grado mayor o igual que

3 se requiere usar métodos numéricos para resolver ecuaciones , sin embargo


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los métodos de interpolación se pueden adaptar adecuadamente para resolver

ecuaciones ( mas adelante se explica el método )

Ejemplo 2.3 Determinar el polinomio de Lagrange que ajusta los puntos:

i x 0 1 2 3

( )i x f 1 1 2 3

Solución: El polinomio es de grado 3: ( ) ( ) ( )∑=

=3

0

3

i

ii x f x L xP , donde:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )6116

6

11

302010

321 2300 −+−−=×

−−−

−−−= x x x

x x x x f x L

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) x x x x x x x f x L 65

2

11

013121

032 2311 +−=×

−−−

−−−=

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) x x x x x x

x f x L 342023212

0312322 +−−=×−−−

−−−=

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) x x x x x x x f x L 23

2

13

032313

021 2333 +−=×

−−−

−−−=

Luego: ( ) 16

5

6

1 233 +−+−= x x x xP

Se deja al lector que reordene los puntos en otra forma y halle ( ) xP3 , luego

compare con el resultado anterior anterior .

NOTA : Si los nodos están igualmente espaciados, la fórmula de

interpolación de Lagrange se simplifica. Veamos:

Sean n x x x


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( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )431

4

1

2112

4312 −−−=

−−

−−−= ssss

sssss L

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )421

6

1

1123

4213 −−−−=

−×××

−−−= ssss

sssss L

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )321

24

1

1234

3214 −−−=

−−−= ssss

sssss L

Como 642.1= x y 210 . x = entonces 21.2=s ,

luego se calculan los Li( s ).f( xi ) :

( ) ( ) 00272967890212120 .. f . L =⋅ , ( ) ( ) 03680354690412121 .. f . L =⋅

( ) ( ) 44432319610612122 .. f . L =⋅ , ( ) ( ) 704346027880812123 .. f . L =⋅

( ) ( ) 501281262890022124 .. f . L −=⋅ ,

Luego ( ) ( ) 44089697802126421 ..P. f =≈ y el valor exacto es :

( ) ( ) 495915011064216421 ..ln. f ==

Repetir el ejercicio usando la fórmula (2.8).

El error de truncamiento que se comete al usar el polinomio de Lagrange

viene dado por:

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )n

n

n x x x x x xn

f x R −−−

+=

+

...!1

10

1 ε (2.13)

donde ε esta entre 0 x y n x . Así: ( ) ( ) ( ) x R xP x f nn += , donde ( ) xPn es el

polinomio de Lagrange. Esta fórmula (13) permite hallar una cota superior

para el error:

( )( )( )

( ) ∏=

+

−+

≤n

i

i

n

n x xn

f x R

0

1

!1

ε


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Sí existe 0> M tal que ( )( ) M f n ≤+ ε 1 , para todo ε , entonces:

( )( ) ∏=

−+

≤n

i

in x xn

M x R

0!1 (2.14)

La desigualdad (2.14) permite hallar una cota para el error, solo si se

conoce f y si ( )1+n f existe y es continua en el intervalo de interpolación. En

caso contrario no se puede estimar el error.

Lo expuesto anteriormente se resume en los siguientes teoremas:

Teorema 2.3 Polinomios de Lagrange.

Sí n x x x ,...,, 10 son ( )1+n números distintos ( nodos ) y , f es una

función cuyos valores están dados en los nk xk ,...,1,0, = , entonces existe

un único polinomio P de grado menor o igual que n tal que ( ) ( )k k xP x f = para

todo k . Dicho polinomio está definido por:

( ) ( ) ( )∑=

=n

k

k k x L x f xP

0

donde: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )nk k k k k k k

nk k k

x x... x x x x... x x x x

x x.. x x x x... x x x x x L

−−−−−

−−−−−=

+−

+−

1110

1110

( ) ( )

( )∏≠=

=−

−=

n

k ii ik

ik n ,... , ,k

x x

x x x L

0

10 ,

además ( )

=

≠=

k isí

k isí x L ik

1

0


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El siguiente teorema nos da una cota para el error involucrado al utilizar

los polinomios de Lagrange:

Teorema 2.4 Sí n x x x ,...,, 10 son ( )1+n números distintos ( nodos) en el

intervalo cerrado [ ]ba , y si f tiene derivadas continuas hasta el orden ( )1+n

en [ ]ba , , entonces para cada [ ]ba x ,∈ existe xε en ( )ba , tal que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) xnnk f

!n

x x... x x... x x x x xP x f ε

+

−−−−=− +110

1

donde P es el polinomio interpolante de Lagrange.

NOTA: Sí los nodos son equidistantes entonces la fórmula (2.14) se

transforma en:

( )( )

M hn

x R n

n1

14

1 +

+≤ , de donde ( ) ( ) M x f n ≤+1 .

ERROR EN LA INTERPOLACIÓN LINEAL

Sea ( ) xP1 el polinomio de Lagrange de grado 1 que pasa por los puntos

( )( )00 , x f x y ( )( )11, x f x , el error asociado a esta aproximación viene dada por:

( )( ) ( )

( )( ) 1010

2

12

x y x , x , x x x x!

f x R entreε−−

ε=

Luego: ( )( ) ( )

( )( )10

2

12

x x x x!

f x R −−

ε=

Sea ( ) ( )( )10 x x x x xg −−= : su máximo ocurre en el vértice, así2

10 x x x +

= , y

como h x x += 01 , entonces2

2 0 h x x +

= , y ( )máximo22

2 20 hh xg =

+


16/56


Sí existe 0> M tal que ( ) ( ) M x f ≤2 para toda [ ]10 , x x x ∈ , entonces:

( )842

22

1

Mhh M x R ==

Observe que el máximo error ocurre en el punto medio del intervalo [ ]10 , x x ,

por lo que ´´ f puede aproximarse por ( ) M x f ´´ , donde2

01 x x x M +

= .

Ejemplo 2.5 Evaluar ( )´1820sen ° usando el polinomio de Lagrange de grado

1, sabiendo que: ( ) 34202.020sen =° , ( ) 335837.021sen =° . Halle una cota para

el error.

Solución. Recuerde que ( )°=° 3.20´1820 ,9

20 π =° ,

60

721

π =° .

El polinomio de Lagrange de grado 1 viene dado por:

( ) ( ) ( )°°−°

°−+°

°−°

°−= 21sen

2021

2020sen

2120

211

x x xP

Evaluando en ( )°= 3.20 x se obtiene: ( ) ( ) 346925.03.203.20sen 1 =°≈° P

El valor exacto es ( ) 34693565160320 ..sen =° .

La fórmula del error viene dada por:

( )( )( )

−

−=

60

7

9!2

2

2

π π ε x x

f x R ,

60

7

9

π π ε yentre

donde ( ) ( ) xsen x f )( −=2 luego se tiene que:

( ) ( ) ( ) 358368060

79

342020 2 .sen f sen. )( =π≤ε≤π=

De allí: ( ) 35836802 .ε f )( ≤ . Luego:


17/56


( )

−

−≤°

60

7

180

3.20

9180

3.20

!2

358368.03.202

π π π π R

( ) 52 10146.1180

7.0

180

3.0

!2

358368.03.20

−×=××≤° π π

R

52 101461

180

320 −×≤

.

. R

π ( cota superior del error)

EJERCICIOS RESUELTOS 2.1

1. Sea la tabla de valores

i 1 2 3 4 5

i x 0 0.25 0.5 0.75 1.0

( )i

x f 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

a) Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange ajustada a los datos 2, 3,

y 4 de la tabla anterior.

Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4433222 x f x L x f x L x f x L xP ++= donde

( ) ( )( )

( )( )

→

−−

−−=

4232

43

2

x x x x

x x x x x L ( ) ( )( )75.05.082 −−= x x x L

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )750250162

4323

42

3 . x. x x L x x x x

x x x x x L −−−=→

−−

−−=

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )75.025.084

3324

32

4 −−=→−−

−−= x x x L

x x x x

x x x x x L . Luego:


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( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5.025.04768.475.025.00896.1175.05.04872.62 −−+−−−−−= x x x x x x xP

b) Aproxime f (0.6) usando P2( x) : ( ) 6415840602 ..P =

c) Si la tercera derivada para el nodo 3 es ( ) 260503 .. f )( −= , estime el error

de interpolación que se obtiene al realizar la aproximación en la parte (b) :

( ) ( )

( )( )( )75.05.025.0!3

5.0´´´2 −−−= x x x

f x R , así ( ) 000230602 ..R ≈

2. Considere la tabla

i 0 1 2 3 4

i x 0 0.25 0.50 0.75 1.00

( )i x f 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

a) Aproxime ( )60.0 f mediante un polinomio de Lagrange de grado 2.

Solución. En este caso se deben elegir tres puntos, para ello se tienen las

siguientes opciones:

i) Elegir los nodos 4,3,2=i

ii) Elegir los nodos 3,2,1=i ( Ver ejercicio anterior )

iii) Elegir los nodos 2,1,0=i

Para la opción (i) se tiene:


19/56


( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( ) ( )001

75015001

750500

750

175050750

15050

1500750500

17502

. f ..

. x. x

. f

...

x. x. f

...

x. x xP

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )705002443150953681750544852 . x. x. x. x. x. x. xP −−+−−−−−=

De allí que: ( ) 64217206002 ..P =

No se puede estimar el error. Se deja al lector que realice los cálculos para la

opción (iii) . Compare los resultados.

b) Repita la parte (a) usando la fórmula (2.12): Sea

i x 0.50 0.75 1.00

( )i x f 0.6931 0.5596 0.4055

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( ) 4055.0122

1

5596.0211

2

6931.02010

212 −

−

+−

−

+−−

−−

=

ssssss

sP

( ) ( )( ) ( ) ( )1202750255960213465502 −+−−−−= ss.ss.ss.sP .

Se quiere aproximar f en x=0.6, así: 4.025.0

50.060.0=

−=s , luego:

( ) ( ) 64276604060 2 ..P. f =≈

2.5 DIFERENCIAS DIVIDIDAS.

Las diferencias divididas se usan para obtener los polinomios de

Newton . Sean ( )( )ii x f x , , ni ,...,2,1,0= (n+1) puntos distintos; las

diferencias divididas se definen así:


20/56


i) Las diferencias divididas de orden cero de f respecto a i x , se denotan

así: [ ]i x f , y se definen:

[ ] ( ) ni x f x f ii ,...,2,1,0, ==

ii) Las diferencias divididas de orden uno de f respecto a i x y 1+i x , se

denotan por [ ]1, +ii x x f y se definen así:

[ ] [ ] [ ]

12101

1

1

−=−

−=

+

+

+

n ,..., , ,i , x x

x f x f x , x f

ii

ii

ii

iii) Las diferencias divididas de orden 2 de f respecto a i x , 1+i x , 2+i x se

definen por:

[ ] [ ] [ ]

ii

iiiiiii

x x

x , x f x , x f x , x , x f

−

−=

+

+++++

2

12121

En general, las diferencias divididas de orden k respecto a los nodos i x ,

1+i x , 2+i x , ..., k i x + se definen por:

[ ] [ ] [ ]

ik i

k iik iik ik iii

x x

x x f x x f x x x x f

−

−=

+

−++++−++

1111

,...,...,,,...,,

El valor de las diferencias divididas es independiente del orden en que

se fijan los i x . Para calcular las diferencias divididas de orden k se necesitan

( )1+k nodos, y para cada una se requieren dos diferencias divididas de

orden ( )1−k .


21/56


Para calcular las diferencias divididas de f es mejor construir una tabla

llamada tabla de diferencias divididas: en la primera columna van los i x ,en la

segunda columna van las diferencias de orden cero, y así sucesivamente:

Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3

x0 F[x0]

x1 F[x1] F[x0,x1]

x2 F[x2] F[x1,x2] F[x0,x1 ,x2]

x3 F[x3] F[x2,x3] F[x2,x3 ,x4] F[x0,x1 ,x2 ,x3]

TABLA 1

Si se añade un nodo al final o al principio de la tabla se pueden usar las

diferencias calculadas anteriormente.

Ejemplo 2.5. Para la siguiente tabla de datos construya la tabla de

diferencias divididas:

x -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

F(x) 1.6081 1.4016 1.2001 1.0000 0.8001 0.6016 0.4081

Solución.

xi F [xi] Orden

1

Orden

2

Orden

3

Orden

4

Orden

5

Orden

6

-0.3 1.6081-0.2 1.4016 -2.065

-0.1 1.2001 -2.015 0.25

0.0 1.0000 -2.001 0.07 -0.6

0.1 0.8001 -1.999 0.01 -0.2 1.0

0.2 0.6016 -1.985 0.07 0.2 1.0 0

0.3 0.4081 -1.935 0.25 0.6 1.0 0 0


22/56


Note que las diferencias divididas de orden 4 tienen el mismo valor, y las

diferencias de orden superior a 4 son nulas, lo cual concuerda con que laderivada de orden 4 de un polinomio de cuarto grado es constante y su quinta

derivada es cero.

Si al construir una tabla de diferencias divididas en alguna columna k

todos los elementos tienen el mismo valor y en las siguientes columnas los

elementos son ceros, entonces la tabla corresponde a un polinomio de grado

k.

2.6 POLINOMIOS DE NEWTON

El polinomio interpolante ( ) xPn que pasa por los puntos

( )( ) ni x f x ii ,...,2,1,0,, = se puede escribir así.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 ...... −−−−++−−+−+= nnn x x x x x xa x x x xa x xaa xP (2.15)

Para constante adecuadas naa ,...,0 , las cuales se calculan evaluando (15)

en n,...,,i,xx i 21== :

( ) ( ) [ ]00000 x f a x f a xP =→==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

01

011101101

x x

x f x f a x f x xaa xP

−

−==−+= dondede así

[ ]101 x , x f a =

( ) ( ) ( )( ) ( )21202201102 x f x x x xa x xaa xP =−−+−+= , de allí que:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

22

10212

02

01

01

12

12

2 x x

x , x f x , x f a ,

x x

x x

x f x f

x x

x f x f

a−

−=

−

−

−−

−

−

= ,

[ ]2102 x,x,xf a =


23/56


En general [ ]k k x ,... , x , x f a 10= .

Sustituyendo naa ,...,0 en (2.15) se obtiene:

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( )

[ ]( )( ) ( )11010

102100100

−−−−+

+−−+−+=

nn

n

x x... x x x x x ,..., x , x f

... x x x x x , x , x f x x x , x f x f xP (2.16)

( ) [ ] [ ] ( )∑ ∏=

−

=

−+=n

k

k

i

ik n x x x x x f x f xP1

1

0

100 ,...,, (2.17)

Este polinomio se conoce con el nombre de aproximación Polinomial de

Newton o fórmula de diferencias divididas interpolante de Newton.

NOTA: Para construir el polinomio de Newton que interpola los nodos

(xi , f(xi)) , para i=0,..,n se construye la tabla de diferencias divididas : note que

las diferencias que se usan para construir este polinomio quedan en la

diagonal superior de la tabla.

2.7 ESTIMACIÓN DEL ERROR USANDO POLINOMIOS DE

NEWTON.

Si se conoce la ley de asignación que define a f , el error se puede

estimar usando la fórmula (2.13). Si no se conoce f, entonces el error se

estima así: el polinomio de Newton de grado n≤ que interpola los puntos.

i x 0 x ... n x

( )i x f 0 f ... n f

viene dado por la expresión (2.16), y supongamos que se le añade el punto

( )t f t , a la tabla, entonces el error ( ) x Rn es igual al término que se le añadiría

a ( ) xPn si fuéramos a construir un polinomio de grado ( )1+n , es decir:


24/56


( ) [ ]( ) ( )nnn x x x xt x x f x R −−= ...,,..., 00 (2.18)

Otra forma de deducir la fórmula (2.18):

Sea ( ) xPn el polinomio de Lagrange de grado n que interpola los puntos

( )( )ii x f x , , ni ,..,2,1,0= , entonces:

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )n

n

n x x x xn

f xP x f −−

++=

+

...!1

0

1 ε (2.19)

y ( ) xQn el polinomio de Newton correspondiente:

( ) ( ) [ ]( ) ( )nnn x x x x x x f xQ x f −−+= + ...,..., 010 (2.20)

Pero ( ) ( ) xP xQ nn = (ya que el polinomio interpolador es único), de allí que de

(2.19) y (2.20) se tiene que:

( ) ( )

( ) [ ] { }1010

1

1 ++

+

ε=+

εnn

n

x ,..., x , x ,... , x f !n

f entre (2.21)

La igualdad (2.21) nos da la relación entre las diferencias de orden

( )1+n y la derivada de orden ( )1+n . La fórmula (2.21) es equivalente a:

( ) ( ) [ ]k k

x ,..., x f !k f 0=ε

2.8 POLINOMIOS INTERPOLANTES DE NEWTON CON NODOS

IGUALMENTE ESPACIADOS.

2.8.1. Sí los nodos ni xi ,...,3,2,1,0, = se ordenan en forma creciente y están

igualmente espaciados, entonces la fórmula (2.16) se puede expresar de otra

forma: sea h el tamaño de paso entonces: los nodos se pueden expresar así

i.h x xi += 0 , y cualquier punto no tabulado x es igual a 0,.0 >+= ssh x x ;


25/56


por lo que: ( ) 1210 −=−=− n,...,,,i,is.hxx i lo cual se sustituye en (2.16) y

se obtiene:

( ) [ ] [ ] [ ] ( )

[ ] ( ) ( )11

1

10

2210100

+−−+

+−++=

ns...ssh x ,..., x , x f

...ssh x , x , x f sh x , x f x f sP

nn

n

( ) [ ] ( ) ( )∑=

+−−=n

k

k k n k s...ssh x ,..., x , x f sP

010 11 (2.22)

La cual se conoce como la fórmula de diferencias divididas progresivas de

Newton (también se conoce como fórmula hacia adelante) y el error viene

dado por:

[ ] ( ) ( )ns...ssh x ,..., x , x f )s( R nnn −−= +

+ 11

110

Nota:

a) El valor de [ ]k x x x f ,...,, 10 se calcula usando la tabla de diferencia dividida.

b) Como 00 >+= s ,s.h x x , entonces

h

x xs 0

−= , donde x punto a

evaluar, 0 x el primer nodo.

c) La fórmula (2.22) se puede expresar de otra forma usando el siguiente

proceso: recuerde que: ( )( )

( )( ) ( )

( ) !k s!k

!k s...sss

!k s!k

!ssk

−

−−−=

−=

21 lo cual

equivale a ( ) ( )( ) ( )!k

k s...ssssk

121 +−−−= , esto se sustituye en (2.22) y se

obtiene :

( ) [ ] ( )∑=

=n

k

k sk k n h!k x ,..., x , x f sP

010 , [ ]

110

+= nsnnn h!n x ,..., x , x f )s( R (2.23)

d) La fórmula (2.22) también se puede expresar usando la notación de las

diferencias progresivas ∆ :


26/56


[ ] [ ] [ ] ( )

h

x f

x x

x f x f x x f 0

01

0110 ,

∆=

−

−=

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )( )

2

0

2

01

02

1021210

22 h

x f

h

x f x f

x x

x , x f x , x f x , x , x f

∆∆=

∆−∆=

−

−=

[ ] ( )02

2210 2

1 x f

h x , x , x f ∆=

En general: [ ] ( )01011

x f h!k

x ,... , x , x f k

k k ∆= , lo cual se sustituye en (2.23)

obteniéndose lo que se conoce con el nombre de Diferencias Progresivas de

Newton :

( ) ( ) ( )∑=

∆=n

k

k sk n x f sP

0

0 (2.24)

2.8.2. Si los nodos se ordena así 01 ,...,, x x x nn − (en forma decreciente), el

polinomio de Newton es igual a:

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( )

[ ]( )( ) ( )110

1211

x x... x x x x x ,... , x f

... x x x x x , x , x f x x x , x f x f xP

nnn

nnnnnnnnnn

−−−+

+−−+−+=

−

−−−− (2.25)

Sí los nodos son equidistantes con el tamaño de paso h entonces :

ih x xi ×+= 0 , hn x xn += 0 , sh x x n ×+= , ( ) niinsh x x i ,...,2,1,0, =−+=−

los cuales se sustituyen en (2.25) obteniéndose:

( ) [ ] [ ] [ ] ( )

[ ] ( ) ( )11

1

0

2211

−+++

++++= −−−

ns...ssh x ,... , x f

...ssh x , x , x f hs x , x f x f sP

nn

nnnnnnn (2.26)

[ ] ( ) ( )ns...ssh x ,..., x f )s( R nnn ++= +

+ 11

01 ( Error asociado )


27/56


que se conoce como la fórmula de diferencias divididas regresivas ( o hacia

atrás ) de Newton.

NOTAS:

a) las diferencias que aparecen en la fórmula (2.26 ) quedan en la diagonal

inferior de la tabla de diferencias divididas.

b) Si ya has construido la tabla de diferencia dividida hacia delante no es

necesario construir la tabla de diferencia dividida hacia atrás. Se trabaja con la

primera y se toman los elementos de la diagonal inferior (trazadas de abajo

hacia arriba).

ALGORITMO : Fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton.

ENTRADA: - El valor de cada nodo: ni xi ,...,2,1,0, = .

- El valor donde se requiere evaluar el polinomio: a.

- El valor de cada ( ) ni x f i ,...,2,1,0, = . (El valor de estas

imágenes se almacenan en la primera columna de una

matriz Q de orden ( )1+n : ( ) ni x f Q ii ,...,2,1,00, ==

SALIDA: - Los números niQ ii ,...,2,1,0, = ( elementos de la

diagonal ) representan las diferencias divididas del

polinomio interpolante en los ( )1+n nodos.

- El valor del polinomio interpolante ena x =

.

Paso 1: Para ni ,...,2,1= hacer:

Paso 2: Para i j ,...,2,1= calcule: jii

ji ji

ji x x

QQQ

−

−−−

−

−=

1,11,

,

Paso 3: Escribir niQ ii ,...,2,1,0,, =

Paso 4: Evaluación del polinomio interpolante en a x = :


28/56


( ) 001

,

n

i

ii,i QP.QaP +

= ∑

=

donde: ( )∏−

=

−=1

0

i

j

ji xaP

Paso 5: Escribir el valor de ( )aP

FIN

Detalles del paso 4: Para realizar el programa.

0,00 Qs = , 10 =P , 10 = Z

Para n j ,...,2,1= calcule: )i ji j j xaPP −− −= , j j P Z =

Escribir n j Z j ,...,2,1,0, =

Para nk ,...,2,1= calcule: k k ,k k k ZQss += −1

Escribir “ El valor del polinomio interpolante de Newton en = x ”; “es”; ns

FIN.

Veamos una prueba del algoritmo:

0,00 Qs = , 1

0 =P , 1

0 = Z

1= j : ( ) ( ) 1101001 ,1 P Z xaP xaPP =−=→−=

2= j ( ) ( )( ) 22102112 , P Z xa xaP xaPP =−−=→−=

En general:

n j = : ( )( ) ( ) nnnn PZ,xa...xaxaP =−−−= −110

1=k : ( )01,10,0111,101 xaQQS Z QS S −+=→+=

2=k : ( ) ( )( )102,201,10,0222,212 x x xaQ xaQQS Z QS S −−+−+=→+=

3=k : 33,323 Z QS S +=

( ) ( )( ) ( )( )( )2103,3102,201,10,03 xa xa xaQ x x xaQ xaQQS −−−+−−+−+=

En general: nk = : ( ) ( )( ) ( )110,01,10,0 ...... −−−−++−+= nnnn x x x x xaQ xaQQS


29/56


Ejemplo 2.6 Considere la siguiente tabla.

i 0 1 2 3 4

i x 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

( )i x f 0.5103757 0.5207843 0.5104143 0.4813306 0.4359160

a) Construya la tabla de diferencias divididas:

xi f( xi )

0 2.0 0.5103757

1 2.2 0.5207843 0.0520432 2.4 0.5104143 -0.051850 -0.2597325

3 2.6 0.4813306 -0.145419 -0.2339225 0.0430167

4 2.8 0.4359160 -0.227073 -0.2041350 0.0496458 0.00828637

b) Halle el polinomio de Newton que ajuste los nodos de la tabla; luego úselo

para aproximar ( )5.2 f :

( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )62422220082863704222204301670

2222597325020520430510375704

. x. x. x x.. x. x x.

. x x. x.. xP

−−−−+−−−

+−−−−+=

Luego: f ( 2.5) ≈ ( ) 49800114140524 ..P =

c) Repita usando la fórmula de diferencias divididas progresivas con 2.0=h

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )32110325826121104413363

10103891300104086051037570

54

4

−−−×+−−×+

−−+=

−− S S S S .S S S .

S S .S ..S P

Como 52. x = y 20.h = entonces20

252

.

.S

−= , de allí que 52.S = , luego

( ) 49807020524 ..P =

d) Repita usando fórmula regresiva : 20.h =


30/56


( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) 43

24

3210082863702104964580

120413500227073043591600

hS S S S .hS S S .

hS S .hS ..S P

+++++++

+−−=

Como =−

=⇒−

=⇒+=20

8252

.

..S

h

x xS Sh x x

nn 51.− , luego:

( ) ( )5249805870514 . f ..P ≈=−

EJERCICIOS RESUELTOS 2.2

1. La siguiente tabla se obtuvo de ( ) ( ) x x f ln= :

x 1 4/3 5/3 2

( ) x f 0 0.28768 0.51083 0.96315

a) Aproxime ( )5.1 f usando un polinomio de Newton de grado 3. Se deja al

lector que construya la tabla de diferencias divididas y luego compruebe que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )353411066600341290390186304003 / x / x x. / x x. x. xP −−−+−−−−+=

( ) ( )

( ) ( )

43 107429193405465105151

514058394051−×=

==

≈=.relativo Error

..ln. f

. f ..P

Estimación del error de truncamiento:

Como se conoce f se usa la fórmula:

( )( )( )

( ) ( ) ( ) nn

n

n x y xentre x x x xn

f x R 00

1

...!1

ε ε

−−+

=+


31/56


Así: 3=n , 5.1= x , ( )( )4

4 6

x x f −= , luego:

( ) ( )( )( )( )25.13 / 55.13 / 45.115.1!4

65.1

4 −−−−−=

ε n R

( ) 21107361111

514

3

y.

. Rn entreεε

×=

−

Como 21 ≤≤ε entonces 11

16

14

≤≤ε

Por lo que: ( ) 310736111.15.1 −×≤n R

2. Sea la tabla de datos:

i 0 1 2 3 4 5 6

i x 0.1 0.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.3

( )i x f 0.99750 0.99002 0.96040 0.88120 0.76520 0.67113 0.62009

a) Construya la tabla de diferencias divididas:

0 0.1 0.99750

1 0.2 0.99002 -0.07480

2 0.4 0.96040 -0.14810 -0.24433

3 0.7 0.88120 -0.26400 -0.23180 0.02088

4 1.0 0.76520 -0.38667 -0.20445 0.03418 0.01478

5 1.2 0.67113 -0.47035 -0.16736 0.04636 0.01218 -0.00236

6 1.3 0.62009 -0.51040 -0.13350 0.05643 0.01119 -0.00090 0.00122


32/56


b) Halle el polinomio interpolante de Newton que pasa por los nodos 0=i

hasta 5=i . Estime el error.

Este polinomio es de grado 5 y los coeficientes del mismo son los que

aparecen subrayados en la tabla:

( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )0170402010002360

70402010014780402010020880

2010244330100748009975005

. x. x. x. x. x.

. x. x. x. x.. x. x. x.

. x. x.. x.. xP

−−−−−−

−−−−+−−−+

−−−−−=

El término error es:

( ) ( )( )( )( )( )( )2.117.04.02.01.000122.05 −−−−−−= x x x x x x x R

El término 00122.0 es la diferencia de orden 6 (última columna de la tabla)

c) Aproxime ( )3.0 f usando ( ) xP5 , y estime el error : se sustituye 3.0= x en 5P

y en 5 R obteniéndose: ( ) ( ) 97762.03.03.0 5 =≈ P f y ( )7

5 101488.63.0 −×= R

d) Halle el polinomio de Newton que ajuste los nodos i = 2, 3 , 4 : este

polinomio es de orden 2:

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( )3243223222 ,,, x x x x x x x f x x x x f x f xP −−+−+=

Las diferencias [ ] [ ] [ ]432322 ,,,,, x x x f x x f x f aparecen en negrillas en la

tabla de diferencias divididas :

( ) ( ) ( )( )7040204450402640009604002 . x. x.. x.. xP −−−−−= (A)

Para el error de puede usar el nodo 5=i o el 1=i . Sí se usa el nodo

5=i se tiene: ( ) [ ]( )( )( )43254322 x x x x x x x , x , x , x f x R −−−= , luego


33/56


( ) ( )( )( )170400463602 −−−= x. x. x. x R donde 04636.0 es el número

que aparece en la tabla , encerrado en el circulo.

e) Aproxime ( )3.0 f : ( ) ( ) 97862203030 2 ..P. f =≈ , ( )3

2 1029808130 −×−= .. R

Si se usa el nodo 1=i para estimar el error se tiene que:

( ) ( )( )( )170400341802 −−−= x. x. x. x R (C)

f) Ordene los nodos 4321 ,,, x x x x en forma decreciente y construya la tabla de

diferencias: observe que construir la tabla de esta manera equivale a leer la

tabla (2) de abajo hacia arriba. Luego P2(x ) es :

( ) ( ) ( )( )70120445013866707652002 . x x. x.. xP −−−−−= (B)

( ) ( )( )( )407010341802 . x. x x. x R −−−= Igual al (C)

( Desarrolle los polinomios (A) y (B) y compare ).

3. Dada la tabla:

i 0 1 2 3 4

i x 1.00 1.35 1.70 1.90 3.00

( )i x f 0.00000 0.30010 0.53063 0.64185 1.09861

a) Construya la tabla de diferencia dividida : Se deja al lector

b) Aproxime ( )5.1 f mediante el polinomio de Newton de segundo grado.

Solución ( b ) . Se pueden escoger los nodos así::

i) 2,1,0=i : ( ) ( ) ( )35.1128396.0185743.002 −−−−+= x x x xP

( ) 40742.05.12 =P

ii) 3,2,1=i : ( ) ( ) ( )( )70.135.118647.035.165866.030010.02 −−−−+= x x x xP

( ) ( ) 40449.05.15.1 2 =≈ P f


34/56


c) Estime el error en ambos casos :

i) ( ) ( )( )( )70.15.135.15.115.110832.05.12 −−−= R o ( ) 32 106248151 −×−= ..R

ii) ( ) ( )( )( )90.170.135.104735.02 −−−−= x x x x R o ( )3

2 10682.55.1 −×−= R

d) Agregar el punto ( )73451.1,2.3 y complete la tabla.

4. Sea la tabla:

i 0 1 2 3 4

i x 0 0.25 0.50 0.75 1.00

i f 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

a) Construya la tabla de diferencias divididas hacia adelante:

i i x [ ]i x f Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4

0 0 0.9162

1 0.25 0.8109 -0.4212-0.4712

-0.5340

-0.6164

-0.1

-0.1256 -0.0341

-0.1648 -0.0523 -0.0182

2 0.50 0.6931

3

4

0.75

1.00

0.5596

0.4055

b) Escriba el polinomio de Newton que ajusta los datos 3,2,1=i :

( ) ( ) ( ) ( )50.025.01256.025.04712.08109.02 −−−−−= x x x xP y

( ) 641584.06.02 =P . El error :

( ) ( )( )( )75.06.050.06.025.06.00523.06.02 −−−−= R 410745752 −×= .

c) Halle el polinomio de Newton usando diferencia progresiva: con los nodos

321 , ,i = se tiene que : ( ) ( )1125604712081090 22 −−−= S S h.S h..S P .


35/56


Para evaluar 2P en 6.0= x se toma 41250

25060.

.

..S =

−= , luego

( ) 6415840412 ..P = y ( ) ( )( )2105230413

2 −−−= S S S h.. R ,

( ) 42 107457241 −×= .. R

d) Aproxime f en 6.0= x usando diferencia regresiva con 432 ,,i =

i i x [ ]i x f

4 1.00 0.4055 -0.6164

-0.5340

-0.4712

-0.4212

-0.1648 -0.0523 -0.0182

3 0.75 0.5596 -0.1256

-0.1000

-0.0341

2 0.50 0.6931

1 0.25 0.8109

0 0 0.9162

( ) ( )11648.06164.04055.0 2 +−−= S S hS hS P , 61250

160 ..

.S −=−= ,

P(-1.6)=0.642172

5. La siguiente tabla proporciona las presiones P de vapor en 2lg / plb a

diferentes temperaturas para el 31− Butadieno.

I 0 1 2 3 4 5

T (°F)50 60 70 80 90 100

P 24.94 30.11 36.05 42.84 50.57 59.30

Se pide

a) Construir la tabla de diferencia dividida:


36/56


i T Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4 Orden 5

0 50 24.94

0.517

0.594

0.679

0.773

0.873

1 60 30.11

3.85x10-3

4.25x10-3

4.75x10-3

1.33x10-5

1.50x10-5

2 70 36.05

4.25x10-8

3 80 42.84

4 90 50.57

5 100 59.30 5.00x10- 1.00x10- -1.25x10- -1.675x10-

b) Usando el polinomio de Newton de grado 1 aproxime la presión a latemperatura de 64°F.

i) Usando los puntos i=0 y i=1:

( ) ( ) ( ) 17832645051709424 11 .PT..TP =⇒−+= ( Extrapolación )

ii) Usando los puntos i=1 y i=2 :

( ) ( ) ( ) 486.326460594.011.30 11 =⇒−+= PT T P

c) Usando el polinomio de Newton de segundo grado aproxime la presión a la

temperatura 64°F.

i) Usando los puntos i=0, 1, 2:

( ) ( ) ( )( )60501085.350517.094.24 32 −−×+−+= − T T T T P .

Así ( ) 3936.32642 =P

ii) Repita el ejercicio, pero con los puntos i = 1, 2, 3. ¿Cuál de los dos

resultados es mejor? ¿Por qué?

d) Estime el error en la aproximación realizada en (c-i):

( ) ( )( )( )7064606450641033.164 52 −−−×= − R , ( ) 32 104688.464

−×−= R


37/56


e) Aproxime ( )64P usando un polinomio de Newton de grado 5:

( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )( )90807060501067518070

60501025470605010331

6050108535051709424

7

85

35

−−−−−×−−−

−−×+−−−×+

−−×+−+=

−

−−

−

T T T T T .T T

T T .T T T .

T T .T ..T P

Luego: ( ) 39103232645 .P =

6. Repita el ejercicio (5) usando diferencia progresiva.

i) La tabla construida en el ejercicio (5) es la que se utiliza aquí.

ii) Usando el polinomio de Newton de grado 1 con diferencia hacia

delante, aproxime la presión a la temperatura de 64°F.

a) Usando los puntos i=0 y i=1:

( ) hS ..S P 51709424 += , 4110

506464 0 .S h

T S =⇒

−=

−= .

Luego: ( ) 1783241 ..P =

b) Usando los puntos i=1 y i=2:

( ) hS ..S P 59401130 += , 4010

606464 1 .S h

T S =⇒

−=

−= .

Luego: ( ) 4863240 ..P =

c) Estime el error en (a): ( ) ( ) ( ) =⇒−×= − 4.111085.34.1 23 RS S h R 0.0924

iii) Aproxime la presión cuando T=64°F mediante un polinomio de

Newton de grado 2 con diferencia hacia delante. Estime el error:

( ) [ ] [ ] [ ] ( )1,,, 2210100 −++= S S h x x x f hS x x f x f S Pn

( ) ( )11085.3517.094.24 232 −×++= − S S hS hS P

Pero 4.110

5064=

−=S , luego ( ) 385.324.12 =P .


38/56


Estimación del error: ( ) ( )( )211033141 35 −−×= − S S S h.. R ,

( ) 3104688441 −×−= .. R

7. Interpole el valor de la presión a una temperatura de 98°F utilizando la

tabla de presiones del ejemplo (5), y polinomio de Newton con diferencia

regresiva.

i) Usando un polinomio de grado 1 con los puntos 4 y 5 se obtuvo :

( ) 20

10

1009887303059 .S ,S h..S P −=

−=+= , ( ) 555720 ..P =−

ii) Usando un polinomio de grado 2 se obtuvo :

( ) ( ) 2010

10098110587303059 23 .S ,S S hS h..S P −=

−=+×++= −

( ) 6745720 ..P =−

8. Determine la calidad (si es saturado ) o la temperatura (si es

sobrecalentado) de la siguiente sustancia con las condiciones dadas :

a) Agua: P: 6.8 MPa. b) Agua: P: 8 MPa.

V: 0.025 m3/Kg. V: 0.040 m3/Kg.

donde P es la presión , V volumen , MPa significa Mega Pascal.

Solución. En del desarrollo de este problema se usan las siguientes

variables:

V : Volumen específico.

Vf : Volumen específico del líquido saturado.

Vfg : Incremento del volumen específico cuando el estado cambia de líquido

saturado a vapor saturado.

Vg : Volumen especifico del vapor saturado.


39/56


Se debe hacer uso de las tablas de vapor de agua, herramienta importante

para la resolución de problemas termodinámicos. Igualmente se cumplen lassiguientes reglas:

A) Sí V > Vg : la sustancia se encuentra como vapor sobre calentado, por

tanto se debe obtener el valor de temperatura, para las condiciones dadas en

el enunciado del problema.

B) Sí V < Vg : la sustancia se encuentra en la zona de saturación o de

mezcla, por lo que se debe hallar la calidad X con la fórmula siguiente:

Vfg

Vf V X

−=

PARTE a: Agua: P: 6.8 MPa. V: 0.025 m3/Kg.

Se debe usar la tabla de vapor de agua 2 : buscar a la presión P= 6.8 MPa

el Vg, cuyo valor es 28.27 x 10-3 m3 /Kg. ; luego se compara con el volumen

V dado, y se busca temperatura o calidad según el caso. Como V < Vg sehalla calidad, para ello se necesitan los valores de las Vf y Vfg ( las cuales se

obtienen con la presión dada en la misma tabla ):

Vf = 0.0013448 m3 /Kg. Vfg = 0.0269252 m3 /Kg.

Con estos valores se calcula la calidad:

kgm

kgmkgm X

/ 0269252.0

/ 0013448.0 / 025.03

33 −= =0.878552434151

Así la calidad de la sustancia es X = 0.87858434151 es decir la calidad es

87.85%.

PARTE b: Agua: P: 8 MPa. V: 0.840 m3/Kg.

Ir a la tabla de vapor de agua y buscar a la presión dada P=8 MPa el

valor de Vg el cual es Vg = 23.52 x 10-3 m3 /Kg. Como V > Vg debemos hallar


40/56


la temperatura. Vamos a la tabla de vapor de agua, como vapor

sobrecalentado y se busca al volumen dado el valor de la temperatura. En latabla se observa lo siguiente:

T V

450 0.03817

? 0.040

500 0.04175

Para hallar T usaremos interpolación lineal de Lagrange:

041750450500

450038170

500450

500. x

T . x

T V

−

−+

−

−=

Se sustituye V=0.040 despejamos el valor de T: T = 475.5 °C

( Este ejercicio fue proporcionado por los Bres. Zahyra Balza y Murua

Lautaro, estudiantes de Ingeniería Electrónica, UNEXPO-Puerto Ordaz )

9. Determinar la presión de saturación y volumen específico para una mezcla

de agua y vapor en estado saturado a una temperatura de 381°F y una

calidad de 67%.

Solución. Es necesario interpolar ya que la tabla de vapor no muestra la

presión a 381 °F sino a 380 °F y a 382 °F. Hay que hacer conversión de

unidades : usando las siguientes relaciones :

1 Lb = 0.4535927 Kg

1 psi = 14.22 Kg/cm3

1 m3 = 35.31466672 ft3

Se obtiene que :

211 / 752041.136.195380 cmKgf psiPF T ==→°=


41/56


222 / 084593.1433.200382 cmKgf psiPF T ==→°=

lbm ft V f / 018363.03

1= KgmV f / 001146.0 31 =

lbm ft V g / 339.23

1= lbm ft V g / 286.2

3

2=

lbm ft V f / 018389.03

2= KgmV f / 001148.0

3

2=

KgmV g / 146019.03

1= KgmV g / 14271.0

3

2=

Lo anterior se resume en la siguiente tabla:

T(ºF) P(Kgf/cm2) Vg ( m3kg) Vf ( m3kg)

380 13.752041 0.146019 0.001146

382 14.084593 0.14271 0.001148

Se quiere hallar P para °= 381T , para ello usaremos interpolación

lineal de Lagrange con los datos

T(ºF) P(Kgf/cm2)

380 13.752041

382 14.084593

Obteniéndose 29183213 cm / Kgf .P = ( Presión de saturación, es

decir, presión a la temperatura de saturación 381°F ).

Para hallar el volumen específico: ( ) f g V X XV v −+= 1 a

T=381ºF es necesario calcular gV ( volumen específico a vapor saturado) y

f V ( volumen específico a líquido saturado ). Recuerde que X representa la

calidad.


42/56


Para calcular gV y f V se usa interpolación lineal de Lagrange con

los datos:

T(ºF) Vg ( m kg) Vf ( m kg)

380 0.146019 0.001146

382 0.14271 0.001148

Obteniéndose :

KgmV g / 144364.0 3= , KgmV f / 001147.0 3=

Luego ( ) KgmKgmv / 001147.067.01 / 144364.067.0 33 ×−+×= de donde

Kgmv / 097102.0 3=

10. Determinar la presión de saturación y volumen especifico para una

mezcla de agua y vapor en estado saturado, a una temperatura de 211 °F y

una calidad de 72%.

Solución: C F T °=°= 44.99211

KgmV KgmV C T g f / 982.1; / 001040.09533

1 ==→°=

KgmV KgmV C T g f / 6729.1; / 001044.010033

2 ==→°= ,

kPaP C 55.8495 =°

kPa MPaP C 35.10110135.0100 ==°

Interpolando para obtener C P °44.99

( ) 959544.9995100

9510044.99 PT T

T T

PPP C +−

−

−=°


43/56


( ) kPaC C C C

KPakPaP C 55.849544.99

95100

55.8435.10144.99 +°−°

°−°

−=° ,

kPaP C 4684.9944.99 =°

Interpolando para obtener f V

( ) KgmoC C C C

KgmKgmV f / 00104.09544.99

95100

/ 001040.0 / 001044.0 333

+°−°°−°

−=

KgmV f / 001043.03=

Interpolando para obtener gV

( ) KgmC C C C

KgmKgmV g / 982.19544.99

95100

/ 982.1 / 6729.1 333

+°−°°−°

−= ,

KgmV g / 7075.13=

Ahora

( ) KgmKgmv / 001043.072.01 / 7075.172.0 33 −+×= ,

Kgmv / 2297.13=

EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1

1) a) Escriba la interpolación de Lagrange que pasa por los puntos

dados:

X 0 0.4 0.8 1.2

f(x) 1.0 1.491 2.225 3.320


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Luego aproxime f en x = 0.2 , 0.6, 1.0.

Conociendo que 8221604 .).( f )( = estime el error en x= 0.2, 0.6, 1.0.

b) Dado el hecho de que la tabla de datos se obtuvo de f (x) = xe , evalúe

el error de la fórmula de interpolación en x = 0.2, 0.6, 1.0 mediante

E(x) = e x - g (x) , donde g (x) es el polinomio de Lagrange.

2. Aproxime2321

1

x x

x y

++

+= para x∈[0,5] mediante la interpolación de

Lagrange de orden 4, luego evalúe el error según E(x) = y – g(x), donde g (x)

es el polinomio de Lagrange. Aproxime y(2) y compare con el valor exacto.

3. Se mide la caída de voltaje V a través de una resistencia para cierto

número de valores de la corriente i. Los resultados obtenidos son:

i 0.25 0.75 1.25 1.50 2.00

V -0.23 -0.33 0.70 1.88 6.00

Estime la caída de voltaje para i= 0.9 y i= 2.1 usando:

a) El polinomio de Lagrange de grado 4

b) El polinomio de Newton de grado 4

c) Compare ambos resultados.

4. Sean los siguientes datos:

Xi 0.0 0.1 0.3 0.6 1.0

f(Xi) -7.00000 -5.89483 -5.65014 -5.17788 -4.28172


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a) Eligiendo adecuadamente los nodos, estime el valor de f(0.7) usando

polinomios de Lagrange y polinomios de Newton de grado 1, 2, 3.

b) Compare los resultados obtenidos con ambos polinomios.

5. Encuentre el polinomio de Lagrange y el polinomio de Newton que se

ajustan a los puntos 2, 3, 4 y 5 de la siguiente tabla:

K 1 2 3 4 5

XK

0 0.25 0.50 0.75 1.00

f(X K ) 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

6. Escriba una fórmula de interpolación lineal que aproxime f(x)= sen (x),

con Xε

4,0 π

utilizando los valores en x = 0 y x =4

π . Grafique f(x) y el

polinomio interpolante, halle el error máximo de interpolación y en que x se

produce .

7. Use los polinomios interpolantes de Lagrange de grados 1, 2, 3 , 4 para

aproximar:

a) f(2.5) sabiendo que:

Xi 2 2.2 2.4 2.6 2.8

f(Xi) 0.5103757 0.5207843 0.5104147 0.4813306 0.4359160

b) f(0) sabiendo que:


46/56


Xi -0.3 -0.1 0.1 0.3

f(Xi) -0.20431 -0.08993 0.11007 0.39569

8. Las densidades del sodio para tres temperaturas están dadas por:

I Ti iϕ (densidad) Kg/m 3

0 94ºc 929

1 205ºc 902

2 371ºc 860

Escriba una fórmula de interpolación de Lagrange que se ajuste a los

tres datos dados. Después halle ϕ si T = 251ºc.

9. La siguiente tabla muestra la población de los Estados Unidos de América

desde 1930 hasta 1980.

Año 1930 1940 1950 1960 1970 1980

Pobl. En

Milla.

123,203 131,669 150,697 179,323 203,212 226,505

Encuentre el polinomio de Lagrange de grado 5 que ajusta estos datos,

y use este polinomio para estimar la población en los años 1920, 1965 y 2000.

10. Dados los datos:

Xi 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

f(Xi) 1 2.119 2.910 3.945 5.720 8.695


47/56


a) Calcule f(1.6) usando polinomios interpolantes de Newton de grado 1, 2 y

3. Escoja la secuencia de puntos adecuadas para lograr exactitud. Calcule elerror en cada caso.

b) Repita la parte (a) usando la fórmula de diferencia dividida progresiva de

Newton.

11. Sea x

) x(F 1

= y sean }{ n x ,...., x , x 10 ( n + 1 ) puntos distintos.

Calcule:

i) Las diferencias de orden cero, es decir : [ ]i xF para i = 0,…,n

ii) Las diferencias de orden uno, es decir : [ ]1+ii x , xF para i = 0,1,…, n-1

iii) Las diferencias de orden dos, es decir: [ ]21 ++ iii x , x , xF para i = 0,1,…, n-2

iv) En general : halle una fórmula para la diferencia : [ ]n

x ,..., x , xF 10

2.9 INTERPOLACIÓN ITERADA DE NEVILLE.

Una desventaja de los polinomios de Lagrange es que no son muy

cómodos de usar, y si se añade un punto más a la tabla, después de haber

calculado un polinomio de Lagrange hay que rehacer los cálculos. Este

inconveniente se subsana usando el método de Neville: que es un proceso

iterativo de mucha utilidad para evaluar polinomios de Lagrange ( ) xP en un

valor a x = .

Sea la tabla de valores:


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i 0 1 2 3 L n-2 n-1 n

i x 0 x 1 x 2 x 3 x L

2−n x 1−n x n x

( )i x f ( )0 x f ( )1 x f ( )2 x f ( )3 x f L ( )2−n x f ( )1−n x f ( )n x f

Se quiere evaluar en a x = el polinomio de Lagrange de grado n que

interpola los datos de la tabla, usando el método de Neville. Para ello se

construye la tabla siguiente:

i i x a x i −−−− (((( ))))ii x f P ==== 1, ++++ii P 2,1, ++++++++ iii P

00 x a x −0 ( )00 x f P =

1,0P

2,1P

3,2P

M

1n,2nP

−−

n,1nP

−

2,1,0P

3,2,1P

M

nnnP ,1,2 −−

11 x a x −1 ( )11 x f P =

22 x a x −2 ( )22 x f P =

33 x a x −3 ( )33 x f P = … nP ,,2,1,0 L =P(a)

M M M M

n-2 2−n x a xn −−2 ( )22 −− = nn x f P

n-11−n x a xn −−1 ( )11 −− = nn x f P

nn x a xn − ( )nn x f P =

Esquema 1

donde los polinomios evaluados en x=a se calculan así:

a) Polinomios de grado 1: 1+i ,iP (usan los nodos 132101 −=+ n , , , ,i , x , x ii L )

( ) ( )

ii

iiii

ii

ii

ii

i ,i x x

a xPa xP

x x

a xP

a xP

P−

−−−=

−

−

−

=+

++

+

+++

1

11

1

111

b) Polinomios de grado 2:


49/56


2,1, ++ iiiP (usan los nodos 2321021 −=++ n , , , ,i , x , x , x iii L )

ii

ii ,i

ii ,i

i ,i ,i x x

a xP

a xP

P−

−

−

=+

+++

+

++2

221

1

21 donde ,1i,iP + se obtiene como se indica en (a).

c) Polinomios de grado 3:

321 +++ i ,i ,i ,iP (usan los nodos 33210321 −=+++ n , , , ,i , x , x , x , x iiii L )

ii

ii.i ,i

ii ,i

i.i ,i ,i x x

a xP

a xP

P−

−

−

=+

++++

++

+++3

3321

21

321

Finalmente: ( ) )a( f aP x x

a xP

a xP

Pn

nn , , ,

n , , ,

n ,nn , , , ≈=−

−

−

=

−

−0

21

0110

110L

L

L

La forma más cómoda de trabajar es construyendo una tabla. Se ilustra el

proceso con 4 nodos:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

13

132321321

23

233232

3333

22

12

122121

2222

11

02

021210210

01

011010

1111

0000

1 21

x x

a xPa xPP

x x

a xPa xPP

f Pa x x

f P

x x

a xPa xPP

f Pa x x

f P

x x

a xPa xPP

x x

a xPa xPP

f Pa x x

f Pa x x

i ,i ,PP x f Pa x x

, , , , ,

,

, , , , ,

ii ,iiiii

−

−−−=

−

−−−=

=−

=

−

−−−=

=−

=

−

−−−=

−

−−−=

=−

=−

++=− +


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Finalmente:( ) ( )

( )a f

x x

a xPa xPP

, , , , , , , =

−

−−−=

03

032132103210

El polinomio de orden K se calcula usando dos polinomios de orden (k-1).

Ejemplo 2.7. Considere la siguiente tabla de valores:

i x 2 2.2 2.4 2.6 2.8

( )i x f 0.5103757 0.5207843 0.5104147 0.4813306 0.4359160

Aproxime ( )5.2 f usando el método de Neville.

Solución: Construir la tabla:

i x 52. xi − ( )i x f

2.0 -0.5 0.5103757

0.5363972

0.5052299

0.49587265

0.5040379

0.497438075

0.4982119625

0.4979139625

2.2 -0.3 0.5207843

2.4 -0.1 0.5104147

0.498068298312.6 0.1 0.4813306

2.8 0.3 0.4359160 0.4980629625 0.4980704685

De allí que ( ) 498070468052 .. f ≈

Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 2.6

Ejemplo 2.9 Aplique el método de Neville para aproximar 3 con la función

( ) x x f 3= considerando los nodos que a continuación se dan :

21012 43210 ===−=−= x , x , x , x , x .


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Solución: Se quiere aproximar 3 usando ( ) x x f 3= , es decir, hay que

aproximar ( )5.0 f . A continuación se presentan las aproximaciones obtenidas

usando el esquema 1.

i x 5.2−i x ( )i x f

-2 -2.5 0.111111

0.666666

1.333333

20

1.500000

1.8333331.500000

-1 -1.5 0.333333

0 -0.5 1

1.7777771 0.5 32 1.5 9 1.666666 1.708338

Así, el valor aproximado de 3 es 1.7083338, mientras que el valor

“exacto” de 3 es: 1.732050808.

Ejemplo 2.10. Use el método de Neville para aproximar ( )78.0 f donde la

función f se define mediante ( ) ( ) xe x x f x cos2= , tomando los nodos siguientes:

607080901 43210 . x ,. x ,. x ,. x , x −=−=−=−=−= .

Solución: Aplicando el esquema 1:

ix xi -0.78 ( ) iPi x f =

-1 -1.78 0.19876611

0.3045580945

0.1315092325

-0.0247300786

-0.1543333051

-1.2355765

-1.1809009

1.053335 1.06745112

-0.9

-0.8

-1.68

-1.58

0.2047094

0.20035232

-0.7 -1.48 0.18610660 -.911168224

-.466534663-0.6 -1.38 0-16306336


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De allí que: ( ) 06745112.178.0 = f . El valor que arroja la calculadora es:

0.9435299404.

ALGORITMO DE INTERPOLACIÓN ITERADA DE NEVILLE.

Para evaluar en el punto x el polinomio interpolante P en los ( )1+n nodos

n x x ,,0 L .

ENTRADA: Nodosn x x ,,0 L ; los valores ( ) ( ) ( )n x f x f x f ,,, 10 L ( se

almacenan como la primera columna 0,0,10,0 ,,, nQQQ L de una

matriz Q.

SALIDA: La tabla Q con ( ) nnQ xP ,= ( valor buscado )

Paso 1: Para ni ,,2,1 L=

Para i j ,,2,1 L= calcular( )

jii

jii ji ji

ji x x

Q x xQ x xQ

−

−−−−

−

−−−=

1,11,

,

Paso 2: SALIDA (Q)

FIN

Este algoritmo se puede modificar de la siguiente manera : introducir

el criterio de paro ε


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. a) Use el método de Neville para aproximar ( )03.1 f con 2,1,0P para la

función ( ) x x e xe x f 23 −= usando 07.105.1,1 210 === x y x x .

b) Suponga que la aproximación de (a) no es lo suficientemente exacta y

calcule 3,2,1,0P donde 04.14 = x .

2. Repita el ejercicio anterior usando aritmética de cuatro dígitos. Compare.

3. Considere los siguientes datos:

i 0 1 2 3 4

Xi 0 0.25 0.50 0.75 1.0

F(Xi) .9162 0.8109 0.6931 .5596 .4055

Aproxime F(0.38) usando Interpolación iterada de Neville.

2.10 INTERPOLACIÓN INVERSA.

Considere la tabla de valores:

i x 0 x 1 x L

n x

( )i x f ( )0 x f ( )1 x f L ( )n x f

Se quiere hallar x tal que ( ) a x f = , con a dado: para ello se puede hallar el

polinomio ( ) xPn que interpola los datos de la tabla, y luego se resuelve la

ecuación ( ) a xPn = . Pero este trabajo resulta un poco complicado ya que

algunas veces se requieren de métodos numéricos para resolver la ecuación

resultante. Afortunadamente, el método de Neville se puede adaptar para

realizar interpolación iterada inversa, para ello se requiere que 1− f exista,

`, f f existan, ( ) 0´ ≠ x f en el intervalo de interpolación. Para aplicar el


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método de Neville se intercambian los papeles de losi x y los ( )i x f , el

esquema 1 se transforma en:

i y y yi − ( )i y f

0 y y y −0 ( )0 y f

1,0P

2,1P

M

nnP ,1−

nP ...012 ( valor de x)

1 y y y −1 ( )1 y f

2 y y y −2 ( )2 y f

M M M

1−n y y y

n

−−1

( )1−n

y f

n y y yn − ( )n y f

Esquema 2

Ejemplo 2.11 Use interpolación inversa para encontrar una aproximación a la

solución de 0=− − xe x , usando:

x 0.3 0.4 0.5 0.6

xe

− 0.740818 0.670320 0.606531 0.548812

Solución: Sea ( ) 0=−== − xe x x f y .

se quiere hallar x tal que ( ) 0= x f , para ello se aplica el método de Neville con

el esquema 2:

ix ( )ii x f y = iyy − ( )ii y f x1−

= 0.3 -0.440818 0.440818 0.3

0.5585473143

0.5650416048

0.56754481

0.4 -0.27032 0.27032 0.4

0.5671112170.5 -0.106531 0.106231 0.5

0.6 0.051188 0.051188 0.6 0.567146269 0.567142622

EL valor 0.567142622 es la solución de la ecuación 0=− − xe x .


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Ejemplo 2.12 Considere la tabla:

x 0 1 2 3 4 5

( ) x f 0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538

La cual se obtuvo de ( )2

2

1 x

x x f

+= . Resuelva la ecuación ( ) 93.0= x f , en

forma:

a) Exacta. b) Usando interpolación inversa.

Solución:

a) Para calcular el valor exacto se resuelve la ecuación 93.01 2

2

=+ x

x de allí

que 6449573.3±= x . (Se toma el valor positivo)

b) Usando interpolación iterada inversa:

xi yi=f ( xi) y – yi f-1( yi)


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Capítulo 2. INTERPOLACION

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