Trabajo  de  Óptica  Física  

Curso:  2014  –  2015  Autores:                

Eduardo  Alberto  Mantero  Castañeda  Jose  Carlos  Oramas  Rodríguez    

   

   1. Breve  Resumen  (Pág.  3)  

 2. Fundamentos  Físicos  (Pág.  3  -­‐  6)  

 2.1 Reflectancia    2.2 Transmitancia  

                   2.3          Multicapa        

3. Aplicaciones  (Pág.  7  -­‐  9)    3.1.  Películas  Antirreflectantes    3.2.  División  de  los  haces  de  luz  por  reflexiones  múltiples  3.3.  Filtros  Interferenciales    

4. Desarrollo  Histórico  (Pág.  9)            5.  Referencias  (Pág.  10)                                    

   

   1.  Resumen      En  este  trabajo  hablaremos  sobre  los  fundamentos  físicos  que  rigen  el  campo  de  la  interferencias  por  reflexiones  múltiples  y  sus  posibles  aplicaciones  a  la  vida  cotidiana.  Comenzaremos  explicando  la  reflectancia  para  múltiples  reflexiones  y  analizaremos  como  podemos  conseguir  que  sea  mínima  y  luego  analizaremos  la  transmitancia,  hablaremos  también  de  las  aplicaciones  como  antirreflectantes  y  la  importancia  de  las  multicapas  y  un  poco  de  el  desarrollo  histórico  de  las  reflexiones  múltiples.    2.  Fundamentos  Físicos         2.1  Reflectancia    Normalmente  en  el  estudio  de  las  interferencias  se  suelen  centrar  en  el  estudio  de  las  dos  primeras  reflexiones,  esta  aproximación  sirve  para  estudiar  la  fenomenología  de  las  reflexiones  y  se  aproxima  a  muchos  casos  de  interés.  Sin  embargo,  para  la  realización  de  este  trabajo  nos  centraremos  en  las  múltiples  reflexiones  que  existen  cada  vez  de  amplitud  mas  pequeñas  que  permiten  eliminar  por  completo  la  luz  reflejada  para  una  cierta  longitud  de  onda.      Para  estudiar  este  fenómeno  vamos  a  centrarnos  en  el  dibujo  de  la  figura  1.  Donde  consideramos  que  N  >  n.  Denominaremos  r1,  r’1  y  r2  a  los  coeficiente  de  reflexión  aire-­‐capa,  capa-­‐aire,  y  capa-­‐substrato  respectivamente  y  t1,  t’1  y  t2  a  los  coeficientes  de  transmisión  respectivos.  Así,  por  ejemplo,  para  incidencia  normal  se  tendrá:    

         De  la  figura  se  obtiene  que  el  campo  total  reflejado  será  la  suma  de  las  infinitas  ondas  que  emergen  después  de  sucesivas  reflexiones  en  la  capa:  

 

𝐸 = 𝑟!𝐸!𝑒!"# + 𝑡!𝑡′!𝑟!𝐸!𝑒!(!"!!!) + 𝑡!𝑡′!𝑟′!𝑟!!𝐸!𝑒!(!"!!!!) +⋯        

Esquema  del  suceso  

   

   donde  δg  es  el  desfase  entre  dos  rayos  consecutivos  producido  por  la  diferencia  de  camino  óptico  exclusivamente:  

𝛿! = 2𝑘  𝑛  𝑒 cos 𝜃!! =2𝜋𝜆!𝛥𝐿  

 La  suma  anterior  la  podemos  escribir  como:      

𝐸 = 𝑟!𝐸!𝑒!"# + 𝑡!𝑡′!𝑟!𝐸!𝑒!!! 1+ 𝑟′!𝑟!𝑒!!! + 𝑟′!𝑟! !𝑒!!!! +⋯ 𝑒!"#    Que  si  nos  fijamos  es  una  progresión  geométrica  de  razón    𝑟′!𝑟!𝑒!!!  con  lo  que  lo  podemos  escribir  como:  

𝐸 = 𝑟! +𝑡!𝑡′!𝑟!𝑒!!!

1− 𝑟′!𝑟!𝑒!!!𝐸!𝑒!"#  

Como  sabemos  que:  

 Despejando  podemos  obtener  las  siguiente  relación:    

1− 𝑟!! 1− 𝑟!!! = (𝑡!𝑡′!)!  

 Sustituimos  en  las  expresión  para  el  campo  y  sabiendo  que    𝑟! = −𝑟!!  nos  queda:  

𝐸 =𝑟! + 𝑟!𝑒!!!

1+ 𝑟!𝑟!𝑒!!!𝐸!𝑒!"#  

 Con  lo  que  como  puede  verse  para  que  la  reflectancia  se  anule  tendrá  que  verificarse:    

𝑟! + 𝑟!𝑒!!! = 0     =>    𝑟! + 𝑟!𝑐𝑜𝑠  𝛿! + 𝑖𝑟!𝑠𝑒𝑛𝛿! = 0    Es  decir,  necesitamos  que:  

𝑟! = 𝑟!                y            𝛿! = (2𝑚 + 1)𝜋    De  aquí  podemos  obtener  las  condiciones  para  tener  reflectancia  nula  y  poder  fabricar  por  ejemplo,  una  lamina  antirreflejante:    

𝑟! = 𝑟! =>1− 𝑛1+ 𝑛 =

𝑛 − 𝑁𝑛 + 𝑁 => 𝑛 = 𝑁  

 

𝛿! = 2𝑚 + 1 𝜋 => 𝑑 =2𝑚 − 14

𝜆!𝑛  

 Aunque  resulta  imposible  evitar  completamente  la  reflexión  añadiendo  únicamente  una  película  dieléctrica  delgada    

   

     

2.2  Transmitancia    Al  igual  que  hicimos  en  el  caso  anterior  podemos  hacer  el  mismo  tratamiento  para  las  ondas  transmitida.  El  campo  total  será  entonces:    

𝐸! = 𝑡!𝑡!!𝐸!𝑒!"# + 𝑡!𝑡!𝑟!!𝐸!𝑒!(!"!!!) + 𝑡!𝑡!𝑟!!𝐸!𝑒!(!"!!!!) +⋯  

Si  sumamos  todos  los  términos  llegamos  a  la  siguiente  expresión:    

𝐸! = 𝑡!𝑡!𝐸!𝑒!"# 1+ 𝑟!!𝑒!!! + 𝑟!!𝑒!!!! +⋯ =𝑡!𝑡!𝐸!𝑒!"#

1− 𝑟!!𝑒!!!  

 Y  de  aquí  obtenemos  la  transmitancia:    

𝑇 =𝐸! !

𝐸! ! =𝑡!𝑡!

1− 2𝑟!!𝑐𝑜𝑠2𝛿!+𝑟!!  

 Y  teniendo  en  cuenta  que    𝑡!𝑡! = 1− 𝑟!!  tenemos  que:    

𝑇 =1

1+ 𝐹𝑠𝑒𝑛!𝛿!2

 

 Donde  tenemos  que  F  se  denomina  coeficiente  de  finura  del  interferómetro    

𝐹 =4𝑅

(1− 𝑅)!  

 Si  se  ilumina  con  una  fuente  extensa,  todos  los  rayos  que  emerjan  paralelos  entre  si  ,  convergerán  en  el  mismo  punto  por  lo  que  el  interferograma  será  muy  contrastado.    La  transmitancia  frente  al  desfase,  se  representa  en  la  figura.  Aparecen  máximos  cada  vez  que:  

𝛿 = 2𝜔𝑐 𝑛𝑒 = 2𝑚𝜋   ⇒  𝜔 = 𝑚𝜋

𝑐𝑛𝑒  

Por  otra  parte,  y  esto  es  lo  importante  en  el   interferómetro   de   Fabry-­‐Perot,   si   la  reflectancia   es   alta   (y   por   lo   tanto,   el  coeficiente   de   fineza   es   también   muy  alto),   los   máximos   son   muy   estrechos,  espectralmente  hablando.  

 

   

Fig  2.  Transmitancia  frente  al  desfase  

   

2.3  Multicapa    Se  suele  hablar  de  multicapa  cuando  en  diversos  procesos  de  construcción  de  lentes  se  apilan  varias  películas  delgadas,  esto  aumenta   la  complejidad  del   fenómeno  pero  también  aumenta  las  posibilidades  del  dispositivo.    Para   el   estudio   de   las   multicapas   se   suelen   utilizar   una   notación   matricial.  Supongamos  que  tenemos  nN  índices  en  distintas  capas:    

𝑛 𝑥 =𝑛! 𝑥 < 𝑥!𝑛! 𝑥! < 𝑥 < 𝑥!𝑛! 𝑥!!! < 𝑥 < 𝑥!

 

 Los  espesores  de  las  distintas  capas  vendrán  dados  por:    

ℎ! = 𝑥! − 𝑥!  ;  ℎ! = 𝑥! − 𝑥!  ;… ;  ℎ! = 𝑥! − 𝑥!!!    Con  esto  podemos  escribir  la  siguiente  cadena  de  relaciones  matriciales:    

𝐴!𝐵!

= 𝐷!!!  𝐷!𝐴′!𝐵′!

= 𝐷!!!  𝐷!𝑃!𝐴!𝐵!

 

 𝐴!𝐵!

= 𝐷!!!  𝐷!!!𝑃!!!𝐴!!!𝐵!!!

,              𝑗 = 0,1,2,… ,𝑁 − 1  

 𝐴!𝐵!

= 𝐷!!!  𝐷!𝐴′!𝐵′!

 

 Donde  las  matrices  Dj    y  Pj    son  las  matrices  dinámica  y  de  propagación  del  medio.  En  esta  ultima  matriz  el  incremento  de  fase  debido  al  medio  j  vendrá  dado  por:      

ϕj  =  kjxhj    Por   tanto   la   relación   entre   los   campos   a   la   entrada   y   a   la   salida   del   apilamiento  multicapa  vienen  dados  por:    𝐴!𝐵!

= 𝑀!! 𝑀!"𝑀!" 𝑀!!

𝐴′!𝐵′!

        siendo      𝑀 = 𝑀!! 𝑀!"𝑀!" 𝑀!!

= 𝐷!!! 𝐷!𝑃!!!!! 𝐷!!! 𝐷!  la  

matriz  característica  de  la  multicapa.    Una   vez   obtenida   dicha   matriz   resulta   fácil   determinar   los   factores   de   reflexión   y  transmisión  de  la  misma.  Si  la  luz  incide  desde  el  medio  0,  estos  factores  son:    

𝑟 =𝐵!𝐴! !!!!!

   ,              𝑡 =𝐴′!𝐴! !!!!!

 

Se  puede  llegar  por  tanto  a  que:  

𝑟 =𝑀!"

𝑀!!                ,              𝑡 =

1𝑀!!

 

   

3.  Aplicaciones      

3.1  Películas  Antirreflectantes    Una  de  las  aplicaciones  más  importantes  de  las  reflexiones  múltiples  son  las  películas  antirreflectantes,  como  nos  interesa  eliminar  la  reflexión,  ya  que  puede  hacer  que  se  pierda   mucha   energía   o   por   que   únicamente   resulta   molesta,   lo   que   se   hace   es  depositar   una   película   dieléctrica   sobre   la   superficie   para   intentar   conseguir  reflectancia  cero.  Como  vimos  antes  las  condiciones  a  cumplir  son:    

𝑟! = 𝑟! =>1− 𝑛1+ 𝑛 =

𝑛 − 𝑁𝑛 + 𝑁 => 𝑛 = 𝑁  

 

𝛿! = 2𝑚 + 1 𝜋 => 𝑑 =2𝑚 − 14

𝜆!𝑛 => 𝑑 =

𝜆!4𝑛  

 La  segunda  de  las  condiciones  nos  determinan  el  espesor  del  material  a  depositar  y  la  primera   el   índice   que   hace   falta.   Pero   conseguir   evitar   la   reflectancia   con   una   sola  película  es  imposible  por  eso  se  recurre  a  las  multicapas.    Supongamos   que   tenemos   un   sustrato   con   índice   n4   sobre   el   que   depositamos   una  película  de  índice  n3  y  espesor  h3  y  sobre  esta  otra  película  de  espesor  h2  y  índice  n2  

donde   n1   será   el   índice   del  medio,   al   iluminarlas   en  incidencia  normal  en  un  caso  de  espesor  d  =   λ/4   la   condición  de  reflectancia  nula  sería:    

𝑟!" = 𝑟!" =>  𝑛!𝑛!

!=𝑛!𝑛!  

 Para   este   caso   si   se   pueden  fabricar  capas  con  los  materiales  que  conocemos  en  la  actualidad.  

Con   dos   capas   sólo   se   cumple   para   los   valores   que   expusimos   anteriormente,   si   lo  queremos  anular  en  un  intervalo  mayor  se  necesitan  una  mayor  cantidad  de  capas  de  distintos  índices  y  grosores.    Muchos   recubrimientos   antirreflectantes   de   las   lentes   consisten   en   estructuras   de  película  delgada  transparente  con  capas  alternas  de  distinto  índice  de  refracción.  Los  espesores  de  las  capas  se  eligen  para  producir  interferencia  destructiva  de  los  rayos  reflejados   por   las   interfaces,   y   la   interferencia   constructiva   de   las   vigas   de  transmisión  correspondientes.    

Mediante   el   uso   de   capas   alternas   de   un   material   de   bajo   índice   como   sílice   y   un  material   de  mayor   índice   de   que   es   posible   obtener   reflectividades   tan   bajas   como  0,1%  a  una  sola  longitud  de  onda.    

Estos   recubrimientos   se   utilizan   mucho   en   la   vida   cotidiana   en   forma   de   cristales  antirreflectantes  de  las  gafas  por  ejemplo.  

Fig.  3  Esquema  del  ejemplo  de  multicapas  

   

  3.2  División  de  los  haces  de  luz  por  reflexiones    múltiples    Se emplean prismas dicroicos para dividir la luz blanca en los colores primarios en cámaras de vídeo de gama profesional estos rayos se envían hacia sensores específicos para cada color, dos prismas dicroicos separan el rojo y azul respectivamente, al conjunto se le denomina prisma tricroico. Estos filtros, al no absorber apenas radiación, se calientan mucho menos que los equivalentes filtros de absorción, lo que los hace más estables para óptica de precisión y adecuados para trabajar con luz intensa o láser potentes. Sin embargo, al reflejar parte de la luz pueden interferir de forma indeseada con ciertos dispositivos ópticos, para los que son preferibles los filtros de absorción.

3.3  Filtros  Interferenciales    La  aplicación  de   espejos  de   alta   reflectancia   encuentra   aplicaciones   en  el  diseño  de  cavidades  resonantes  para  láseres  o  filtros  interferenciales  especiales.  Por  ejemplo,  si  se  está  interesado  en  construir  un  filtro  que  transmita  un  estrecho  intervalo  espectral  del  haz  incidente,  basta  con  situar  una  película  muy  delgada,  del  orden  de  la  longitud  de   onda   que   se   quiere   transmitir,   entre   dos   superficies   de   alta   reflectancia,  preferiblemente  hechas  a  base  de  multicapas  dieléctricas.  

3.4  Interferómetro  de  Fabry-­‐Perot  

 Una   de   las   aplicaciones  más   importantes   de   las   interferencias   de   haces  múltiple   se  refiere  a  la  posibilidad  de  realizar  medidas  muy  precisas  de  los  espectros  de  emisión  de  fuentes  de  luz.  El  interferómetro  que  se  utiliza  para  ello  se  basa  en  las  propiedades  derivadas  de  las   interferencias  de  ondas  múltiples  y  se  denomina  interferómetro  de  Fabry-­‐Perot.   Está   formado  por   dos   espejos   de   alta   reflectancia,   paralelos   entre   si   y  

separados   una   cierta   distancia   e.   Se  puede   analizar   como   una   lámina  plano-­‐paralela  rodeada  de  aire.  

Si   sobre  el   interferómetro   incide  dos  radiaciones  de  longitud  de  onda  muy  próximas,   los   máximos   respectivos  estarán   ligeramente   separados.   Para  cada   radiación   se   cumplirá   en   el  máximo  que:  

4πλ 𝑛𝑒 = 2𝑚π    ;    

4πλ− Δλ𝑛𝑒 = 2𝑚π+ ε  

siendo   ε   una   cierta   cantidad   que   nos   indica   lo   que   se   desplaza   la   fase   al   variar   la  longitud  de  onda.  Como  es  obvio,  si  las  longitudes  de  onda  están  muy  próximas  puede  que  no  se  resuelvan.  Un  criterio  cómodo  consiste  en  asumir  que  el  mínimo  intervalo  espectral   resoluble  ocurre  cuando   la   separación  entre  ellos   coincide  con   la  anchura  

   

media,  es  decir,  ε  =  Δδ1/2  .  En  este  caso,  a  partir  de  las  expresiones  de  arriba  se  tiene  que:  

4πλ− Δλ𝑛𝑒 = 2𝑚π+  

2𝐹=>

4π

λ(1− Δλλ )σ𝑛𝑒 ≈

4πλ 𝑛𝑒 1+

Δλλ   = 2𝑚π+  

2𝐹  

Como   el   máximo   ocurre,   para   incidencia   normal,   cuando   2ne   =   mλ   se   sigue  inmediatamente  que:  

Δλ!"# =!

!! != !!

!"!" !  

Obsérvese   que   el   mínimo   intervalo  espectral   resoluble   disminuye   mucho   al  aumentar   F,   esto   es   cuanto   más   se  aproxime   la   reflectancia   de   los   espejos   de  interferómetro  a  1,  ya  que  así,  los  máximos  son   más   estrechos.   En   la   figura   se  muestran   curvas   de   transmitancia   para  diferentes  valores  de   la   reflectancia  de   las  caras  del  Fabry-­‐Perot.  

Todo   ello,   permite   entender   las   posibilidades   de   este   interferómetro   para  medir   el  espectro   de   emisión   de   una   fuente   de   luz.   En   efecto,   supongamos   que   sobre   el  interferómetro  dirigimos  la  radiación  policromática  de  una  cierta  fuente  tal  como  se  indica  en  la  figura.  La  luz  emergente  de  concentra  sobre  el  detector.  Para  una  cierta  separación  entre  las  superficies  habrá  una  cierta  longitud  de  onda  que  presentará  un  máximo   de   transmitancia.   Si   variamos   lentamente   la   separación   d,   cambiaremos   la  condición  de  resonancia,  esto  es,  serán  otras  las  frecuencias  o  longitudes  de  onda  que  presentarán  alta  transmitancia.  De  esta  forma,  obtendremos  el  espectro  del  la  fuente  de  radiación  con  mucha  resolución  dado  que  los  máximos  son  muy  estrechos.  

4.  Desarrollo  Histórico    El   desarrollo   teórico   de   las   reflexiones   múltiples   corre   a   cargo   de   diversos   físicos  como  Charles  Fabry    que  en  colaboración  con  Henri  Buisson  y  Alfred  Perot,  participa  en  la  puesta  a  punto  del  interferómetro  de  Fabry-­‐Perot,  que  se  sirve  del  principio  de  interferencias  múltiples.   Dicho   interferómetro   sirvió   principalmente,   en   1913,   para  demostrar   la   existencia   de   la   capa   de   ozono,   hasta   el   momento   solo   sospechada.  También  determinaba  la  proporción  en  función  de  las  capas  atmosféricas.    Los  recubrimientos  para  las  lentes  multicapa  fueron  descubiertos  por  Lord  Rayleigh  en   1886   y   mas   tarde,   Harold   Dennis   Taylor   de   la   empresa   Cooke   desarrolló   un  método   químico   para   la   producción   de   tales   revestimientos   en   1904   además   los  revestimientos   a   base   de   interferencias   se   inventaron   en   1935   por   Alexander  Smakula,  que  trabajaba  para  la  empresa  Carl  Zeiss  óptica.      Los  Revestimientos   antirreflejos   eran  un   secreto  militar   alemán  hasta   los   primeros  tiempos  de  la  Segunda  Guerra  Mundial.  

   

5.  Referencias    La  información  necesaria  para  la  realización  de  este  trabajo  la  hemos  extraído  de  libros  como:    

-­‐ Óptica electromagnética vol.II: Materiales y aplicaciones (Addison Wesley) -­‐ Justiniano  Casas  Óptica  -­‐ Interferometry / W.H. Steel (1983)

Y de paginas web como:

-­‐ http://centrodeartigo.com/articulos-utiles/article_108179.html -­‐ http://www.heurema.com/PDF40.htm  -­‐ http://www.fisica.uh.cu/biblioteca/revcubfi/1985/Vol.%205,%20No.%201/

Vol5No1,61.pdf