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TESIS CARRERA DE DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA “Influence Method” Un método para la determinación absoluta de radiación Ignacio J. Rios Dr. Roberto E. Mayer Dr. José H. González Director Co-Director 2018 Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo Comisión Nacional de Energía Atómica Argentina
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TESIS CARRERA DE DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
“Influence Method” Un método para la determinación absoluta de radiación
Ignacio J. Rios
Dr. Roberto E. Mayer Dr. José H. González
Director Co-Director
2018
Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo
Comisión Nacional de Energía Atómica Argentina
2
Índice
Resumen ............................................................................................................................................... 5
Abstract ............................................................................................................................................... 6
Capítulo 1. Introducción .......................................................................................................................... 7
Capítulo 2. “Influence Method” .............................................................................................................. 9
2.1 Introducción al método ................................................................................................................... 9
2.1.1 Introducción y revisión histórica ............................................................................................. 9
2.1.2 Descripción general del método .............................................................................................10
2.1.3 Método para detectores de igual eficiencia .............................................................................11
2.1.4 Método para detectores de distinta eficiencia .........................................................................14
2.1.5 Consideración de scattering y pérdida de cuentas ...................................................................16
2.2 Análisis matemático del método para número de partículas constante ............................................17
2.2.1 Distribución de probabilidad conjunta ....................................................................................18
2.2.2 Valor esperado de los estimadores .........................................................................................21
2.2.3 Varianza de los estimadores ...................................................................................................22
2.2.4 Función de probabilidad de los estimadores ...........................................................................23
2.2.5 Aproximación continua ..........................................................................................................26
2.2.6 Análisis de incertezas para detectores de igual eficiencia ........................................................31
2.2.7 Método con distintas eficiencias.............................................................................................34
2.2.8 Análisis de incertezas con distintas eficiencias .......................................................................37
2.3 Análisis del método para partículas con distribución Poisson .........................................................39
2.3.1 Distribución de probabilidad de las variables .........................................................................39
2.3.2 Valores esperados de los estimadores con variables Poisson ...................................................43
2.3.3 Varianzas de los estimadores .................................................................................................44
2.3.4 Función de probabilidad de los estimadores ...........................................................................45
2.3.5 Análisis de incertezas para variables Poisson .........................................................................46
2.4 Análisis de error cometido por suponer detectores idénticos ...........................................................49
2.5 Referencias....................................................................................................................................50
Capítulo 3. Implementación experimental del Influence Method .........................................................52
3.1 Métodos para la determinación absoluta de fuentes ........................................................................52
3.2 Arreglo experimental .....................................................................................................................55
3.3 Comparación entre las distribuciones teóricas y las medidas ..........................................................58
3.4 Propagación del Background en la incerteza de los estimadores .....................................................61
3.5 Estimación del número de neutrones y la eficiencia con mínima incerteza ......................................63
3.6 Dependencia de la eficiencia con la energía ...................................................................................65
3
3.7 Definición de valores efectivos ......................................................................................................70
3.8 Referencias....................................................................................................................................72
Capítulo 4. Influence Method con múltiples detectores .........................................................................74
4.1 Definición de los estimadores con múltiples detectores ..................................................................74
4.1.1 Definición del estimador de cantidad de partículas ..............................................................74
4.1.2 Definición del estimador de eficiencia .................................................................................76
4.2 Análisis para el caso de número de partículas constante (aplicación a pulsos).................................76
4.2.1 Distribución y parámetros de las variables..............................................................................76
4.2.2 Covarianza entre las variables ................................................................................................77
4.2.3 Valor esperado del estimador de partículas .........................................................................82
4.2.4 Condición de aplicación .........................................................................................................83
4.2.5 Varianza del estimador de partículas ......................................................................................84
4.2.6 Incerteza relativa ...................................................................................................................87
4.2.7 Simulación ............................................................................................................................87
4.3 Análisis para el caso de partículas con distribución Poisson (aplicación a fuentes isotópicas) .........90
4.3.1 Valor esperado del estimador ..............................................................................................90
4.3.2 Varianza del estimador de partículas ......................................................................................92
4.3.3 Incerteza relativa y comparación con el caso de variables Binomiales ....................................94
4.3.4 Simulación con variables Poisson ..........................................................................................95
4.4 Estimador de eficiencia .................................................................................................................96
4.4.1 Varianza para variables Binomiales .......................................................................................96
4.4.2 Varianza para variables Poisson ........................................................................................... 101
4.4.3 Incerteza relativa del estimador de eficiencia ....................................................................... 107
4.5 Referencias.................................................................................................................................. 107
Capítulo 5. Influence Method aplicado a pulsos de neutrones “burst” ............................................... 108
5.1 Técnicas para la medición de pulsos de neutrones ........................................................................ 109
5.2 Efecto de carga espacial en contadores proporcionales ................................................................. 111
5.2.1 Distribución de altura de pulsos (PHA) en contador proporcional de 3He .............................. 111
5.2.2 Multiplicación gaseosa y su relación con la tensión del detector ........................................... 114
5.2.3 Modificación de la multiplicación por carga espacial............................................................ 116
5.2.4 Arreglo experimental ........................................................................................................... 125
5.2.5 Mediciones .......................................................................................................................... 125
5.2.6 Comparación del PHA ......................................................................................................... 129
5.2.7 Neutrones contados en función de los incidentes .................................................................. 131
5.3 Aplicación del Influence Method a “bursts” con contadores proporcionales ................................. 133
5.3.1 Mediciones de burst con contadores proporcionales ............................................................. 133
4
5.3.2 Estimación con tres detectores ............................................................................................. 136
5.3.3 Simulación para tres detectores ............................................................................................ 141
5.3.4 Estimación con dos detectores.............................................................................................. 145
5.3.5 Simulación para el caso de dos detectores ............................................................................ 150
5.4 Referencias.................................................................................................................................. 151
Capítulo 6. Plasma Focus utilizados para medir burst ........................................................................ 154
6.1 Descripción del plasma focus ...................................................................................................... 154
6.2 Circuito eléctrico de los Plasma Focus ......................................................................................... 155
6.3 Dinámica del plasma ................................................................................................................... 157
6.4 Producción de neutrones en Plasma Focus ................................................................................... 160
6.5 Espectro de neutrones por reacciones termonucleares .................................................................. 166
6.6 Espectro de neutrones por fenómeno “beam target” ..................................................................... 168
6.7 Plasma focus utilizados en las mediciones ................................................................................... 169
6.8 Referencias.................................................................................................................................. 171
Agradecimientos ...................................................................................................................................... 173
5
Resumen:
El “Influence Method” es un método para determinar de manera absoluta la radiación sin conocer la eficiencia
de los detectores. Fue bautizado con este nombre en su publicación original dado que hace uso de la influencia
que ejerce un detector colocado frente a otro para poder definir estimadores de la cantidad de partículas y la
eficiencia de los mismos. Esquemáticamente se resume como:
A la fecha ya existe otro método para resolver este problema, el “Coincidence Method”. Sin embargo este
último requiere de eventos simultáneos, propios del proceso o inducidos por reacciones secundarias, para
poder ser aplicado. En este sentido el Influence Method es más general puesto que no requiere eventos
simultáneos.
La motivación para la creación de este método surgió de la problemática que existe al tratar de medir los
neutrones de un equipo plasma Focus de baja. Sin embargo luego de surgir la idea del Influence Method y la
aceptación para su publicación, rápidamente se vio el potencial del mismo para su aplicación en otros
problemas. Tal es el caso de su aplicación en la medición de neutrones de una fuente isotópica como se
desarrolla en el capítulo 3.
La filosofía del método es que si se tiene un problema con k parámetros desconocidos, en los casos que sea
posible, utilizar k detectores que provoquen influencia en sus mediciones de tal manera que se obtengan las
ecuaciones que permitan despejar dichos parámetros.
Una aplicación en este sentido se dio para el caso de medición de pulsos intensos de neutrones (burst) con
contadores proporcionales. Este problema incluye tres parámetros desconocidos, la eficiencia, el número de
neutrones y un parámetro relativo a la carga espacial de los contadores (space charge effect). Luego, con tres
detectores es posible aplicar el Influence Method para determinarlos como se desarrolla en el capítulo 5.
Detector X
n
μout=(1-ε)n
Detector Y
μx=nε
μy=n(1-ε)ε
6
Abstract:
The “Influence Method” allows to determine the magnitude of a radiation in an absolute manner without
knowledge of detector efficiency. It was named in this way in the original publication due to the fact that it
employs the influence exerted by one detector placed in front of another, in order to define statistical
estimators of the number of incident particles and of the efficiency itself. Schematically, it can be depicted
like this:
To this date, there exists another method to solve this problem, the “Coincidence Method”. Its limitation is
that it requires simultaneous events in the original process or in related secondary reactions, in order to be
applicable. The Influence Method is more general as it does not require any coincidences of simultaneous
events.
The motivation for the creation of this method arouse from the need to measure neutron production from a
low energy plasma-focus device. Nevertheless, after the conception of the idea of the method and its
acceptance for publication, the potential for its application to other problems was seen. Such is the case of its
application to the measurement of the neutron production of an isotopic source, as detailed in chapter 3.
The philosophy underlying the method consists in that if there is a problem with k unknowns, wherever
possible, the utilization of a number k of detectors provoking the necessary influence among them, may solve
the problem through a set of equations that allow to yield the k unknown parameters.
One application in this sense was the measurement of intense bursts of neutrons with proportional counters.
This problem includes three unknown parameters, the efficiency, the number of neutrons and a parameter
characterizing the positive space charge accumulated in the detectors which diminish the number of electrons
gathered from the counters. Then, with three detectors it is possible to apply the Influence Method to
determine them as shown in chapter 5.
Detector X
n
μout=(1-ε)n
Detector Y
μx=nε
μy=n(1-ε)ε
7
Capítulo 1. Introducción
El “Influence Method” surgió como respuesta al problema encontrado al medir los neutrones
producidos por un plasma focus y fue nombrado de esta manera en su publicación en la revista Nuclear
Instruments and Methods [1]. El desarrollo de equipos plasma focus, tras su invención simultánea por
Filippov y por Mather fue fomentado por diferentes intereses, entre ellos el estudio de sistemas de fusión
nuclear, la implantación iónica y también su empleo como fuentes pulsadas de neutrones. Esto último condujo
a la creación del Programa Interinstitucional de Plasmas Densos y la Creación del Laboratorio de Plasmas
Densos Magnetizados (PLADEMA) con participación de la CNEA, mediante la Resolución de Directorio
Nro. 22/96.
El problema radica en que los detectores usados para medir los neutrones provenientes de tales fuentes
pulsadas se calibran con fuentes de fisión cuyo espectro es diferente al espectro fusión de los neutrones
generados por los plasma focus. Este problema indujo a buscar una alternativa de autocalibración. En primer
lugar surge la necesidad de calibrar un sistema de detección de avalanchas de neutrones recibidos en tiempos
tan breves que no pueden ser resueltos, y hacerlo con una fuente isotópica de emisión continua. La solución de
este problema fue propuesta anteriormente por R.E.Mayer dejando sentado que existirían desviaciones no
lineales en función de la cantidad de neutrones captada [2]. Posteriormente y dado que el plan original del
presente trabajo estaba orientado al desarrollo de plasma focus de baja energía, se desarrolló la teoría y su
validación experimental (empleando un plasma focus), del método para la corrección de tales previstas
desviaciones no lineales de la estimación de una cantidad de neutrones detectada mediante contadores
proporcionales [3]. El interés que despertó esta publicación fue tal que apenas conocida comenzó a ser
aplicada en importantes laboratorios extranjeros. Aún subyacía el problema de la diferencia de espectro entre
las fuentes isotópicas de neutrones y los plasma focus cargados con deuterio o con mezcla deuterio-tritio.
En medio de todas estas investigaciones en paralelo, la evolución del trabajo condujo a asignar cada
vez mayor importancia al logro de un método absoluto de detección de aplicación general. Tal estudio puso de
manifiesto que los resultados que se iban recogiendo en tal sentido superaban la trascendencia del plan
originalmente concebido y, consecuentemente, se tramitó una modificación de dicho plan, orientando el foco
principal del trabajo teórico y experimental a la invención de un método absoluto de amplia aplicabilidad.
Así surgió la idea del Influence Method que con la utilización de dos detectores y haciendo uso de la
influencia que ejerce uno sobre el otro cuando se colocan enfrente, permite obtener estimadores tanto de la
cantidad de partículas que incidieron como la eficiencia de los detectores.
Al ser un método que con dos detectores obtiene en un mismo experimento la cantidad de partículas y
la eficiencia, lo hace directamente comparable al “Coincidence method”. La diferencia fundamental es que el
Influence Method no requiere eventos coincidentes o simultáneos para su aplicación. Puesto que la aplicación
8
del Coincidence Method se ha difundido ampliamente en el campo de las mediciones nucleares, también es
esperable que el Influence Method sea aplicable a diversos problemas en este campo.
En el capítulo 2 se hace un desarrollo matemático del método incluyendo el análisis para variables con
distribución Binomial (caso cuando se aplica a eventos pulsados) y para variables con distribución Poisson
(caso cuando se aplica a fuentes de emisión continua). Para ese primer análisis, se estudia el caso de eficiencia
constante, lo que hace ese desarrollo aplicable a fuentes monoenergéticas o casos en que los detectores
presenten la misma eficiencia para todas las partículas que inciden en el detector.
En el capítulo 3 se analiza la extensión del método cuando la eficiencia no es la misma para todas las
partículas que inciden sobre el detector. Este es el caso típico de los detectores de neutrones cuya eficiencia
depende de la energía de los neutrones y se los aplica a la medición de fuentes que generalmente presentan
espectros dispersos de energía. En el mismo capítulo se desarrolla la implementación práctica del método,
aplicándolo a la determinación de la cantidad de neutrones emitidos por una fuente de 241
AmBe.
En el capítulo 4 se analiza el caso de utilizar más de dos detectores para aplicar el método. En este
caso se demuestra cómo se reduce la incerteza de los estimadores en función de la cantidad de detectores
utilizados.
En el capítulo 5 se analiza el problema de aplicar el Influence Method a pulsos intensos de neutrones
como es el caso de plasma focus o aceleradores. Se analiza el problema que surge de aplicar estos pulsos
intensos en los detectores proporcionales de neutrones y como tenerlo en cuenta.
En el capítulo 6 se muestran los plasma focus utilizados y se desarrolla la teoría que permitió la
construcción de un equipo.
Referencias:
[1] I.J. Rios and R.E. Mayer, “Absolute particle flux determination in absence of known detector efficiency.
The Influence Method”, Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A, 775 (2015) 99-104.
[2] Ariel Tarifeño-Saldivia, Roberto E. Mayer, Cristian Pavez, Leopoldo Soto, “Calibration methodology for
proportional counters applied to yield measurements of a neutron burst.”, Review of Scientific Instruments
85(1), (2014) 013502
[3] I.J. Rios, J. González, R.E. Mayer, “Total fluence influence on the detected magnitude of neutron burst
using proportional detectors”, Radiation Measurements 53, 31-37, (2013)
9
Capítulo 2. “Influence Method”
En este capítulo se presenta el “Influence Method” como un método para la determinación absoluta de
radiación sin conocer la eficiencia de los detectores utilizados y sin necesidad de eventos simultáneos. Se
analiza teóricamente cómo tratar casos en los que los detectores no tengan la misma eficiencia, así como
también los casos en que haya pérdida de cuentas por dispersión u otros procesos. La presentación original de
este método fue publicada en Nuclear Instruments and Methods A [1].
Asimismo se presenta el desarrollo matemático detallado del método para calcular la distribución de
probabilidad de los estimadores propuestos y sus parámetros característicos. Este tratamiento matemático
detallado se publicó en Nuclear Instruments and Methods A [2].
2.1 Introducción al método
2.1.1 Introducción y revisión histórica
A principio del siglo XX, posterior a al descubrimiento de la radioactividad por Becquerel y el trabajo pionero
del matrimonio Curie, existía la necesidad de cuantificar la radiación de manera absoluta. El problema
radicaba en que no se conocía ni el valor de actividad de las fuentes radioactivas, ni la eficiencia de los
detectores que se comenzaban a utilizar. En 1908 [3] Regener desarrolla el método de centelleo para detectar
partículas alpha usando sulfuro de zinc y un microscopio. Luego, en 1909 [4] Regener utiliza su método de
centelleo para determinar la desintegración alfa del 210
Po (RaC). Al mismo tiempo 1908 [5] Rutherford y
Geiger realizan el primer contador proporcional para determinar la actividad del 214
Bi (RaC) y lo comparan
con el método de centelleo de Regener obteniendo acuerdo en los resultados.
En 1924 Geiger y Werner [6] publican el método de coincidencias usando el método de centelleo y enfocando
dos microscopios sobre una pantalla de ZnS para poder observar simultáneamente y determinar de manera
absoluta la cantidad de partículas alfa que incidían por unidad de tiempo. Cuando estas partículas alfa
interactúan con el ZnS, emiten simultáneamente múltiples fotones que pueden ser observados
independientemente por dos observadores colocados en dos microscopios. Cada observador anotaba una
marca en una cinta móvil cuando veía un centelleo. Si las partículas alfa incidentes fueron n con ε1 y ε2 las
eficiencias del observador 1 y del observador 2 respectivamente, el observador 1 habrá registrado,
estadísticamente, n1= ε1n y el observador 2, n2= ε2n luego de un determinado tiempo. Los centelleos que son
vistos tanto por el observador 1 como por el observador 2 (las cuentas coincidentes) son C= ε1 ε2n por ser
independiente lo que observa cada uno. Luego se puede determinar de manera absoluta n como n= n1 n2 /C.
10
Este desarrollo matemático de las coincidencias es idéntico al que hoy se conoce y utiliza ampliamente como
“Coincidence Method”.
En 1924 Bothe y Geiger [7,8] aplican el método de coincidencias para determinar la dispersión Compton. Este
experimento confirmó la cuantificación de la radiación y estableció la validez de la conservación de energía e
impulso en los procesos elementales. En 1929 Bothe y Kolhorster [9, 10, 11] aplicaron el método de
coincidencias junto con los contadores Geiger-Muller para estudiar los rayos cósmicos.
El Coincidence Method fue refinado posteriormente por Bruno Rossi [12 a 15] quien desarrolló múltiples
tubos de vacio capaces de registrar la ocurrencia simultánea de múltiples pulsos eléctricos para varios
detectores, mejorando significativamente la resolución temporal. Esto conllevó al desarrollo de lo que se
conoce como “Rossi coincidence circuit” y que durante la década de 1930 y 1940 convergió en el desarrollo
de aplicaciones de coincidencias, anticoincidencias y coincidencias retardadas (delayed coincidence) que
jugaron un rol preponderante en los experimentos de decaimiento del muon que inauguraron la era de la física
de partículas.
En la actualidad se siguen desarrollando técnicas (double-coincidence, triple-to double-coincidence ratio
method (TDCR) [16,17]) para mejorar la precisión de la estimación utilizando el método de coincidencias.
También aparecieron técnicas para determinar las coincidencias a través del análisis espectral [18]. Por otra
parte en casos en que los detectores no son totalmente independientes, deben hacerse extrapolaciones y
correcciones para poder aplicar el método como en algunos casos 4πβ-γ [19].
Esta reseña histórica pretende mostrar la evolución e impacto que tuvo un método para determinar la radiación
cuando no se conocía la eficiencia del detector. En el caso del Coincidence Method, requiriendo la ocurrencia
directa o indirecta de eventos simultáneos.
El método que se presenta a continuación, el “Influence Method”, ataca el problema de no conocer el valor n a
medir y tampoco conocer la eficiencia del detector ε, pero en casos en los que no se cuenta con eventos
simultáneos para aplicar el método de coincidencias.
2.1.2 Descripción general del método
El “Influence Method” utiliza la influencia que en las cuentas de un detector, provoca la presencia de otro
detector interpuesto frente a él. Esta influencia se expresa como una modificación en la probabilidad de
detección que permite obtener un estimador estadístico del valor absoluto de eventos (n) independiente de la
eficiencia de los detectores. Con el método de influencias se presenta otro estimador que permite calcular la
eficiencia de los detectores en la misma experiencia.
La importancia del método de influencias reside en que al no requerir coincidencias, no requiere que los
eventos a detectar se produzcan de a pares sino que es aplicable a cualquier fuente.
11
2.1.3 Método para detectores de igual eficiencia
Si se disponen dos detectores de igual eficiencia (ε) a una determinada distancia de una fuente
monocromática, colocados muy próximos uno detrás del otro como se muestra en la figura 2.1, las partículas
que llegan al detector X se pueden escribir como:
(2.1)
Donde εg es la eficiencia geométrica.
Fig. 2.1: Esquema propuesto para aplicar el Influence Method
El proceso de detección es lo que en estadística se conoce como proceso Bernoulli puesto que para cada
evento (una partícula que incide en el detector) existen dos alternativas: es detectada (con una probabilidad p)
o no es detectada (con probabilidad q=1-p). La probabilidad de detectar una partícula es la eficiencia
intrínseca del detector ( ) y la probabilidad de no ser detectada queda definida como . Luego, la
cantidad de partículas que detecta el detector X es una variable aleatoria (X) cuya distribución de probabilidad
es binomial con parámetro n y ε ( ) que se escribe como [20,21],
(2.2)
El valor esperado de X es:
(2.3)
no
Detector X
n
μout=(1-ε)n
Detector Y
μX=nε
μY=n(1-ε)ε
12
Las partículas no detectadas ( ) inciden en el detector Y. Puesto que la variable es lo que
no detectó X, la probabilidad de que contenga i partículas se calcula haciendo el cambio de variable
en la ecuación 2.2 y se obtiene,
(2.4)
Cuyo valor esperado es:
(2.5)
La variable Y, por tratarse de un proceso Bernoulli tendrá una distribución binomial con parámetros y ε,
esto es . La probabilidad de que la variable Y tome el valor y es lo que se llama función
marginal de probabilidad y se puede hallar como la sumatoria de la probabilidad conjunta para todos los
posibles valores que pueda tomar la variable [20], esto es:
(2.6)
Que se puede escribir como:
(2.7)
Descartando los términos que valen cero
(2.8)
Llamando, :
13
(2.9)
El producto de las combinatorias se puede escribir como,
(2.10)
Multiplicando el numerador y denominador por se obtiene,
(2.11)
Reemplazando (2.11) en (2.7)
(2.12)
La sumatoria es la descomposición o expansión de un binomio [21]:
(2.13)
Por lo tanto, reemplazando esta última en la ecuación 2.12 se obtiene:
(2.14)
14
Quedando demostrado que la variable Y tiene distribución binomial con parámetro n y .
Luego, el valor esperado para Y es:
(2.15)
Con la ecuación 2.3 y la 2.15 se tienen dos ecuaciones con que vinculan los valores esperados de las variables
medidas (X,Y) con los parámetros que se desean determinar (n,ε) y luego es posible definir un estimador para
n que resulta independiente de la eficiencia, como:
(2.16)
Como puede verse, puede determinarse de manera absoluta el valor de la fuente (n) sin conocer la eficiencia
de los detectores.
Por otra parte, también se puede definir un estimador para la eficiencia como:
(2.17)
Con el que se puede determinar se de manera absoluta el valor de la eficiencia sin conocer n.
Hasta aquí la suposición que se hizo fue que la eficiencia de los dos detectores sea la misma, lo que implica en
la práctica que sean idénticos. En la sección 2.4, se analizará el error cometido si se supone que ambos
detectores tienen la misma eficiencia (que sean idénticos) y se aplican los estimadores 2.16 y 2.17, cuando
presentan una pequeña diferencia.
2.1.4 Método para detectores de distinta eficiencia
Si se tiene dos detectores con distinta eficiencia, se requiere medir simplemente la relación entre ambas
eficiencias y luego hacer un cambio de variables como se muestra a continuación.
Primero se debe realizar un experimento de calibración donde se coloque un detector junto al otro, abarcando
el mismo ángulo sólido y por lo tanto cada uno estará afectado por n1 partículas incidiendo sobre ellos como
se muestra en la figura 2.2,a.
15
Dado que en esta disposición las variables aleatorias (X , Y) son independientes, tienen distribución binomial
( ), ( ), sus valores esperados serán:
(2.18)
(2.19)
Luego se define,
(2.20)
Donde K es la constante de proporcionalidad y cuyo estimador es otra variable aleatoria definida por:
(2.21)
Puesto que y , resulta .
Aquí es importante resaltar que para determinar K, no es necesario conocer el valor de la fuente utilizada (n1)
ni el ángulo solido, simplemente hay que garantizar que sea el mismo para ambos detectores.
La incerteza en la estimación de la constante de proporcionalidad disminuye con , y por ende puede
elegirse un n1 grande de tal manera que el error en k sea muy pequeño (por ejemplo contando durante mucho
tiempo).
Luego se realiza el experimento de interés donde se disponen estos detectores uno detrás del otro como se
muestra en la figura 2.2,b.
Figura 2.2: (a, izquierda) Esquema experimental para el experimento de comparación.
(b, derecha): Esquema experimental para la aplicación del Influence Method con distintas eficiencias.
Como de explicó en el inciso anterior se puede tener nuevamente un estimador para la cantidad total de
partículas.
En esta disposición la variable X tiene una distribución binomial de parámetro n y εx (X~Bi(n, εx)), mientras
que la variable Y tiene distribución Y~Bi(n, (1-εx)εy). El valor esperado del detector X y el detector Y serán:
(2.22)
(2.23)
Detector X
n
μout=(1-εx)n
Detector Y
μx=nεx
μy=n(1-εx)εy
Detector X
n1
Detector Y
μx=n1εx μy=n1εy
16
Luego se puede definir un nuevo estimador para n como:
(2.24)
De igual manera se puede definir un estimador para la eficiencia del detector X (el Y se deduce de la ec.2.20):
(2.25)
2.1.5 Consideración de scattering y pérdida de cuentas
Un caso a considerarse es que el detector presente mecanismos de remoción de partículas del haz sin producir
cuentas útiles. Ello puede ser por absorción o dispersión de las mismas en la estructura o en la sustancia activa
del detector sin generar pulsos útiles, p.ej. por generar pulsos eléctricos que no superan el nivel de
discriminación. Estos casos los podremos englobar bajo la identificación de dispersión o “scattering”. Esta
dispersión se puede suponer proporcional al número de partículas incidentes y por tanto se puede escribir
como (sxn). Estas partículas que desaparecieron del haz sin ser contadas, que fueron absorbidas o dispersadas
en otro ángulo, no seguirán su camino hacia el detector Y. Por lo tanto el detector Y recibirá las partículas
iniciales (n) menos las detectadas por el X (εxn) menos las desviadas (sxn).
Esto mismo ocurre si por algún otro mecanismo no descripto aquí, el detector X no cuenta una partícula, pero
tampoco le permite continuar hacia el detector Y, o bien la divergencia del haz produce ese efecto. Como
ejemplos, este puede ser el caso con centelladores donde la partícula logró reaccionar con el centellador, pero
el fototubo no logró “ver” fotones producidos, o el caso de un contador de 3He donde los pulsos generados
presentan efecto pared y si la amplitud del pulso cae debajo del “Lower Level” no se contará.
Por esto la constante sx representa la proporción de partículas no contadas por el detector X, pero que no
continúan hacia el detector Y. Este parámetro dependerá de cada caso particular de aplicación.
Si se supone que ambos detectores tienen eficiencias distintas y que pierden cuentas por scattering u otro
proceso, el esquema general de medición es el que se muestra en la figura 2.3.
17
Figura 2.3: Esquema para aplicación del IM para detectores con distinta eficiencia y scattering.
En este caso se define el estimador para n como:
(2.26)
Y el estimador para la eficiencia:
(2.27)
El estimador representa la proporcionalidad entre las eficiencias de los dos detectores y se define por la
ecuación 2.20 y se calcula como se explicó en la sección 2.1.4 con una experiencia de comparación (que no
se verá afectada por el scattering o pérdida de cuentas).
2.2 Análisis matemático del método para número de partículas constante
En esta sección se trata el caso en que el número de las partículas que inciden sobre los detectores es una
constante. Este es el caso de un único pulso de un evento de fusión (Z-Pinch, Plasma Focus, experimentos de
fusión por laser como el NIF (National Ignition Facilities), etc ). En esta Sección se analiza detalladamente
este problema, hallando las distribuciones de probabilidad de los estimadores y sus parámetros característicos.
Detector X n
μout=(1-εx-sx)n
Detector Y
μx=nεx
μy=n(1-εx–sx)εy
sxn
syn(1-εx-sx)
18
2.2.1 Distribución de probabilidad conjunta
Cuando dos detectores de igual eficiencia están dispuestos como en la figura 2.1, las distribuciones de las
variables que se miden son , que también se puede escribir como
como se demostró en la sección 2.1.3. La probabilidad conjunta es:
(2.28)
Para y ≤ (n-x), cero para el resto. Un análisis general en términos de la probabilidad conjunta del problema se
encuentra en Biswas y Hwang [22] y para el caso particular cuando y X es una variable aleatoria
de distintas distribuciones se encuentra en Wiuf et al [23].
En la figura 2.4, se muestra la ecuación 2.28 para n=30 y ε=0.6.
Fig. 2.4: Distribución de probabilidad conjunta para n=30, ε=0.6.
La distribución de probabilidad de las variables X,Y, se pueden obtener como [21,24]:
(2.29)
0
10
20
30
0
5
10
15
20
25
30
0
0.01
0.02
0.03
x
n = 30 , p = 0.6
y 0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
x
y
n = 30 , = 0.6
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
19
Estas distribuciones se corresponden con la ecuación (2.2) y (2.14) y se muestran en la figura2.5.
Figura 2.5: Distribución de probabilidad Px y Py para n=30, ε=0.6.
Para comparar el comportamiento de la distribución para distintas eficiencias de detectores, en la figura 2.6 se
muestra la superposición de la probabilidad conjunta para ε=0.2, ε =0.4, ε =0.6 y ε =0.8, donde se
normalizaron los ejes a x/n , y/n para darle mayor generalidad.
2.6: Distribución de probabilidad conjunta normalizada a x/n, y/n para mayor generalidad. La curva roja representa la
trayectoria del punto (x=μx , y=μy) en el plano XY.
El valor esperado de la variable es,
(2.30)
Y su varianza
(2.31)
Como se demostró en la sección 2.1.3, en el esquema propuesto, la distribución de la variable Y se puede
escribir como (ec. 2.14) y por lo tanto su valor esperado es,
(2.32)
Su varianza será,
(2.33)
La covarianza entre las variables X, Y se calcula como [24]:
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
x
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
y
Px Py
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
x/n
y/n
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
y/n
x/n
20
(2.34)
Donde,
(2.35)
Usando la ecuación (2.28),
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
(2.36)
Usando el valor esperado de X2 que se conoce como momento inicial de segundo orden [25]:
(2.37)
Reemplazando en la 2.36 se tiene,
(2.38)
Luego, usando la ecuación 2.20 y 2.32, se obtiene el producto de los valores esperados como:
(2.39)
Reemplazando 2.38 y 2.39 en 2.34, resulta que la correlación entre las variables es,
(2.40)
Y el coeficiente de correlación es,
(2.41)
Observando la expresión del coeficiente de correlación se ve que si la probabilidad de detección es baja (ε→0)
ρ→0 y por tanto las variables (X,Y) son prácticamente independientes, mientras que cuando es alta (ε→1)
ρ→-1 y están fuertemente correlacionadas. El signo menos indica que cuando X aumenta, Y disminuye.
El valor más probable de la distribución conjunta se encuentra en la posición (x=μx , y=μy) en el plano XY.
Pero puede verse (usando ec.2.30 y 2.32) que y por tanto representa la
21
trayectoria del valor más probable de la distribución conjunta en el plano XY que se muestra con la curva roja
en la figura 2.6.
2.2.2 Valor esperado de los estimadores
Dado que el estimador definido por la ecuación (2.16) es una función nolineal de las variables (X,Y), su
valor esperado puede obtenerse truncando el desarrollo en serie de Taylor del estimador alrededor de los
valores esperados de las variables [25, 26]. De esta manera, el valor esperado de una función G=g(x,y) se
puede aproximar por:
(2.42)
Con las derivadas evaluadas en los valores esperados de las variables.
Las derivadas correspondientes al estimador de (ec. 2.16) son:
(2.43)
Evaluando las derivadas en los valores esperados y reemplazando en la ecuación (2.43), se tiene que el valor
esperado del estimador es,
(2.44)
Reemplazando con las ecuaciones 2.30 a 2.32 y 2.40, se obtiene,
(2.45)
Y puesto que , si se cumple la condición:
(2.46)
el segundo termino de la ecuación (2.45) es despreciable frente al primero y el valor esperado del estimador es
precisamente el del parámetro a estimar ( ).
Para el estimador de eficiencia (ec.2.17), las derivadas son:
22
(2.47)
Luego, evaluando estas derivadas en los valores esperados y reemplazando en la ecuación 2.42 se tiene el
valor esperado del estimador como,
(2.48)
Reemplazando con las ecuaciones 2.30 a 2.32 y 2.40, se obtiene,
(2.49)
El segundo término siempre es despreciable en la práctica puesto que el primer detector cuenta mucho más
que 1 y por ende . Por otra parte, esta última condición es menos restrictiva que la del otro
estimador (ec. 2.46), por ende si se cumple la ecuación (2.46) ambos estimadores tienen por valor esperado los
parámetros que desean estimar.
2.2.3 Varianza de los estimadores
Como se mencionó en la sección anterior, dado que el estimador definido por la ecuación (2.16) es una
función nolineal de las variables (X,Y), su varianza se puede obtener truncando el desarrollo en serie de Taylor
del estimador alrededor de los valores esperados de las variables [25, 26]. De esta manera, la varianza de la
función G=g(x,y) se puede aproximar por:
(2.50)
Para el estimador , reemplazando en ecuación anterior las derivadas de la ec. (2.43) evaluadas en los valores
medios se tiene:
23
(2.51)
Reemplazando con las ecuaciones 2.30 a 2.32 y 2.40, se obtiene,
(2.52)
Para el estimador de la eficiencia, usando las derivadas de la ec. (2.47) y reemplazándolas en (2.50) se tiene,
(2.53)
Reemplazando con las ecuaciones 2.30 a 2.32 y 2.40, se obtiene,
(2.54)
2.2.4 Función de probabilidad de los estimadores
Función de probabilidad del estimador :
Dado que la variable X sólo puede tomar valores naturales X=[0,1,2, … , n], y para cada valor de X la variable
Y puede tomar los valores Y=[0,1,2, … , n-X], el estimador sólo puede tomar valores discretos racionales
(N) calculados mediante la ecuación (2.16).
Como ejemplo, si n=5, solo puede tomar valores N=[-4, -1, -0.5, -0.33, 0, 1, 2, 3, 4, 4.5, 5, 5.33, 9]. Cuanto
mayor es n, los valores posibles de N aumentan y si n es muy grande N se puede considerar continua.
Para calcular la probabilidad de que el estimador tome el valor N, hay que hacer el cambio de variable
(para todos los valores en los cuales esta ecuación arroja un numero natural) en la ecuación
(2.28), resultando,
ε ε
ε ε
(2.55)
Donde,
(2.56)
24
Int representa la parte entera de la cuenta.
En la figura 2.7, se muestran algunos ejemplos de esta distribución de probabilidad, donde se observa el
carácter discreto de la variable N.
Para completar todos los casos posibles, existen valores singulares que puede tomar N (producidos cuando
x=y=m). La probabilidad de que ocurran estos valores es:
ε ε
(2.57)
Puesto que x+y ≤ n, x = y solo debe computarse hasta la parte entera de n/2, simbolizada por Int(n/2).
En la práctica esta ecuación arroja un valor muy pequeño, implicando que es poco probable que ambos
detectores cuenten lo mismo. Por ende, .
Figura 2.7: Ejemplos de distribución del estimador para: n=50, ε=0.6 (arriba, izquierda), n=50, ε=0.8 (arriba, derecha)
n=150, ε=0.7 (abajo).
40 45 50 55 60 65 70 750
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
distribucon para n = 50 , = 0.6
Pro
babili
dad
N
40 45 50 55 60 65 70 750
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
distribucon para n = 50 , = 0.8
Pro
babili
dad
N
120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 2200
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10-3 distribucon para n = 150 , = 0.7
Pro
babili
dad
N
25
Función de probabilidad del estimador :
Dado el estimador definido en la ecuación (2.17) y puesto que las variables X, Y solo pueden tomar valores
naturales, X = [0,1,2, … , n] y para cada valor de X, la variable Y puede tomar los valores Y=[0,1,2, … , n-X],
solo puede tomar valores discretos racionales e = [(2-n)…1]. Luego, se hace el cambio de variable
(para todos los valores en los cuales esta ecuación arroja un numero natural) para hallar la
función de probabilidad,
(2.58)
En este caso, también debe computarse la probabilidad de que el estimador tome algún valor singular (que se
producen cuando x=0) como:
(2.59)
Si la eficiencia no es muy chica (condición pretendida para que las variables estén fuertemente
correlacionadas), esta ecuación arroja valores despreciables, lo que en la practica implica que es muy poco
probable que el detector X no cuente nada. Por ende, .
Se puede hacer notar que esta probabilidad (calculada por la ecuación 2.59) no es la misma que la
probabilidad de que el estimador tome el valor N = 0 (ec. 2.55), puesto que las posibilidades de que N = 0
ocurre siempre que X = 0, para todos los posibles valores de Y exceptuando y = 0 (que arroja un valor
singular de la variable N). Es una pequeña diferencia, pero se aclara por completitud matemática.
26
Figura 2.8: Ejemplos de distribución del estimador para: n = 50, ε = 0.6 (arriba, izquierda), n = 100, ε = 0.6(arriba,
derecha) n = 150, ε = 0.7(abajo).
2.2.5 Aproximación continua
Cuando n se vuelve un número grande, las funciones de probabilidad (ec.2.55 y 2.58) se vuelven difíciles de
computar. Sin embargo, si se cumple que n es muy grande, y [26], las distribuciones de
las variables (ec.2.2, 2.14, 2.29) se pueden aproximar por distribuciones normales y las variables (x, y) se
pueden considerar continuas como:
(2.60)
Cuyas funciones densidad de probabilidad son
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
distribucon del estimador de eficiencia para n = 50 , = 0.6
e
Pro
babili
dad
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0
2
4
6
8
10
x 10-3 distribucon del estimador de eficiencia para n = 100 , = 0.6
e
Pro
babili
dad
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10-3 distribucon del estimador de eficiencia para n = 150 , = 0.7
e
Pro
babili
dad
27
(2.61)
La primera condición ( ) es menos restrictiva que la condición expresada por la ecuación 2.46
para que el valor esperado del estimador se aproxime mucho al parámetro a estimar ( ), por lo
tanto alcanza con pedir esta ultima para hacer la aproximación de variable continua.
Cuando la eficiencia de los detectores ε es grande, la segunda condición ( ) es la dominante.
Esta última condición, se puede expresar en términos de la medición como que el detector Y cuente más de
cinco cuentas ( ).
Como la condición de aplicación es cuando la eficiencia es baja y ( ) cuando la
eficiencia es alta, se puede tomar como condición general para la aplicación del método a la suma de ambas:
(2.62)
En la figura 2.9 se muestran las distintas condiciones en función de la eficiencia y la propuesta como
condición general.
Figura 2.9: Gráfico de las condiciones sobre n necesario para que el método funcione correctamente y pueda hacerse la
aproximación continua. (Azul): condición para que ( ) , (Roja): condición para que las binomiales
se parezcan a normales ( ) , (Verde): condición que el detector B detecte más de 5 partículas (
) , (Negra): condición general ( ) .
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
0
101
102
103
104
105
eficiencia ()
n
necesario
cond. 2/3
cond. 5/(1-)
cond. 5/((1-))
cond. general
28
Luego si la condición de aplicabilidad del método (ec. 2.62) se satisface y n es grande se puede aproximar la
distribución de probabilidad conjunta por una normal bivariada [21,25] cuya función densidad de probabilidad
queda definida por:
(2.63)
Donde,
Luego, puesto que (x, y) se consideran continuas, el estimador definido en la ecuación 2.16 puede asumir
cualquier valor resultando N una variable continua.
Distribución del estimador :
Para hallar la densidad de probabilidad del estimador , se definen dos nuevas variables
(2.64)
Quedando definida sus inversas como
(2.65)
El Jacobiano de la transformación vale:
(2.66)
De esta manera se halla la función densidad de probabilidad conjunta de las nuevas variables como,
(2.67)
Luego la distribución del estimador se debe escribir como:
(2.68)
Como en la definición de las nuevas variables, se adoptó , se puede reemplazar w por x resultando:
29
(2.69)
Para hallar los limites de integración, hay que hacer notar que la variable y puede tonar valores entre
y = [0 …. n-x], siendo el máximo valor que puede tomar y de . En consecuencia, usando la
ecuación que vincula y con N ( ), se puede encontrar el límite para x como solución de:
(2.70)
Cuya solución es
(2.71)
Que debe escribirse de acuerdo a los valores que tome N como,
(2.72)
Luego, utilizando las ec. 2.63 y. 2.63 en 2.69, se llega a:
(2.73)
En la figura 2.10 se muestra la distribución de h(N) expresada por la ecuación 2.73 para n=100 con distintas
eficiencias y para una eficiencia ε = 0.7 con distintos números de partículas.
Figura 2.10: Ejemplos de aproximación continua de distribución del estimador h(N) ec.2.73.
(a: izquierda): para: n = 100, ε = 0.6, ε = 0.7, ε = 0.8. (b: derecha) para: ε = 0.7, n = 50, n = 150, n = 1500.
80 100 120 1400
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
N
dens
idad
de p
roba
bilida
d h(
N)
= 0.6
= 0.7
= 0.8
0.8 0.9 1 1.1 1.20
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
N / n
dens
idad
de p
roba
bilida
d h(
N)
n= 50
n= 150
n= 1500
30
En la figura 2.10.a, se observa que, para un dado numero de partículas (n), cuando la eficiencia se vuelve más
grande, se va asemejando a una distribución normal y cada vez menos sesgada. Lo mismo ocurre si para una
eficiencia fija se aumenta el n, como se muestra en la figura 2.10.b. La figura 2.10.b, esta graficada en
función de N/n para poder comprar los distintos casos.
Distribución del estimador :
Para hallar la distribución del estimador de eficiencia, , si se cumple la condición 2.62, la variable e se
puede considerar continua menor que uno.
Para este caso el procedimiento es equivalente al anterior y el cambio de variables que se elige es,
(2.74)
Quedando definida sus inversas como
(2.75)
El Jacobiano de la transformación vale:
(2.76)
De esta manera se halla la función densidad de probabilidad conjunta de las nuevas variables como,
(2.77)
Luego la distribución del estimador se debe escribir como:
(2.78)
Como, igual que antes, en la definición de las nuevas variables se adoptó w , se puede reemplazar w por x
para facilitar la notación, resultando:
(2.79)
En este caso se encuentra el límite de integración usando la ecuación que vincula y con e ( )
considerando que también debe cumplirse que , por lo tanto:
(2.80)
31
Cuya solución es
(2.81)
Finalmente, reemplazando 2.76 y 2.63 en 2.79, la distribución función densidad de probabilidad para el
estimador de eficiencia vale:
(2.82)
En la figura 2.11 se muestra la distribución g(e) para ε = 0.7 con n = 100, n = 300 and n = 1000.
Figura 2.11: Ejemplos de aproximación continua de distribución del estimador g(e) ec.2.82.
(a: izquierda): para: n = 100, ε = 0.6, ε = 0.7, ε = 0.8. (b: derecha) para: ε = 0.7, n = 50, n = 150, n = 1500.
En la figura 2.11.a, se observa que, para un dado numero de partículas (n), cuando la eficiencia se vuelve más
grande, se va asemejando a una distribución normal y cada vez menos sesgada, está graficada en función de
e/ε para poder comparar los distintos casos propuestos. Lo mismo ocurre si para una eficiencia fija se aumenta
el n, como se muestra en la figura 2.11.b.
2.2.6 Análisis de incertezas para detectores de igual eficiencia
Utilizando la ecuación 2.52. se puede calcular el error relativo del estimador como:
(2.84)
0.5 1 1.50
1
2
3
4
5
6
7
8
e/
densid
ad d
e p
robabili
dad g
(e)
= 0.6
= 0.7
= 0.8
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10
15
20
25
e
densid
ad d
e p
robabili
dad g
(e)
n= 50
n= 150
n= 1500
32
Para analizar el comportamiento, en la figura 2.12 se grafica error relativo del estimador para n=100,
n=10000 y n=100000,
Figura 2.12: Error relativo en el estimador ec.2.84 en función de la eficiencia para n=102, n=104, n=105
El error relativo en el estimador de la eficiencia, se calcula a partir de la ecuación 2.54,
(2.85)
En la figura 2.13 se grafica error relativo del estimador para n=100, n=1000 y n=25000,
Figura 2.13: Error relativo en el estimador ec.2.85 en función de la eficiencia para n=102, n=104, n=105
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-3
10-2
10-1
100
efficiencia []
err
or
rela
tivo d
el estim
ador
de n
n=100
n=10000
n=100000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia []
err
or
rela
tivo p
ara
el estim
ador
de
n=100
n=10000
n=100000
33
Como puede verse, el error disminuye rápidamente cuando la eficiencia es alta.
Si bien es útil conocer los valores de incerteza en función de los parámetros del experimento para poder
diseñarlo adecuadamente, también es de gran valor el estimar la incerteza a través de los valores medidos sin
conocer previamente los parámetros experimentales (n,ε).
Véase entonces que para un determinado juego de medidas (x,y) de un experimento, se puede reemplazar n y ε
de la ecuación 2.84 por sus valores estimados por ec. 2.16 y 2.17, luego se puede estimar el error relativo
como:
(2.86)
Y el error absoluto por:
(2.87)
Finalmente, queda definido el estimador de n con su incerteza (al 68% de confianza es decir un sigma) como:
(2.88)
Para la eficiencia estimada, el error absoluto será,
(2.89)
Resultando para el estimador de la eficiencia con su incerteza (al 68% de confianza) como:
(2.90)
34
2.2.7 Método con distintas eficiencias
En la presentación del “Influence Method” en la sección 2.1.4 se incluyeron los estimadores cuando las
eficiencias de los detectores eran distintas. En este caso la cantidad de partículas se estima como:
(2.91)
Y la eficiencia del detector X (el más próximo a la muestra) como:
(2.92)
De igual manera se puede definir un estimador para la eficiencia del detector Y utilizando la ec. 2.20 (
).
Donde k es una constante de calibración definida como (ec.2.21), que se puede obtener mediante
una experiencia de comparación previa (fig. 2.2).
En este caso, las distribuciones de las variables aleatorias son , y la
probabilidad conjunta queda definida como:
(2.93)
Para todo y ≤ (n-x) y cero para el resto.
De igual forma que en la sección 2.1.3, (ec. 2.14), se obtiene que la distribución de Y en este esquema es
ε ε . Los valores esperados son,
ε
ε ε (2.94)
Y sus varianzas,
ε ε (2.95)
(2.96)
La covarianza entre X e Y se calcula con el mismo procedimiento que en la sección 2.2.1 y resulta,
(2.97)
El coeficiente de correlación es,
35
(2.98)
Las derivadas del estimador definido en la ec 2.24 son:
(2.99)
Evaluando las derivadas en los valores medios y reemplazando en la ecuación 2.42, se tiene que el valor
esperado del estimador de la ec. 2.24 como,
(2.100)
Reemplazando con las ecuaciones 2.94-2.97 se obtiene,
(2.101)
Y puesto que ,
Luego la condición es en el caso de que las eficiencias sean distintas debe ser,
(2.102)
Para el estimador de eficiencia (eq.2.25), las derivadas son:
(2.103)
36
Luego, evaluando estas derivadas en los valores medios y reemplazando en la ecuación 2.42 y usando las
ecuaciones 2.92-2.95, se tiene el valor esperado del estimador como,
(2.104)
Como se explicó anteriormente, en cualquier caso practico y por lo tanto el segundo
termino es despreciable. Por otro lado, esta condición es menos restrictiva que la de la ecuación 2.102, así que
si se cumple ec.2.100 ambos estimadores aproximan muy bien a los parámetros deseados.
La otra condición de forma similar con la que se halló la ecuación 2.62 es que el segundo detector cuente más
que cinco cuentas, que para este caso se reescribe como:
(2.105)
Utilizando el mismo análisis que en la sección 2.2.5 se puede concluir que la condición de aplicabilidad para
el Influence Method con detectores distintos es:
(2.106)
Si estas condiciones se cumplen, la distribución de probabilidad conjunta se puede aproximar con la ecuación
2.63, utilizando los valores esperados, sigmas y coeficiente de correlación desarrollados en las ecuaciones
2.94 a 2.97.
Como se hizo en la sección 2.2.5, en este caso debe hacerse el cambio de variable y se
obtiene la función de densidad de probabilidad como:
(2.107)
donde:
(2.108)
Para el estimador de eficiencia debe utilizarse el cambio de variable , y resulta para la
función densidad probabilidad,
(2.109)
37
2.2.8 Análisis de incertezas con distintas eficiencias
Utilizando la ecuación para la varianza 2.51, las derivadas 2.99 y las ecuaciones 2.94 a 2.97, se obtiene para el
error relativo en este caso:
(2.110)
De igual manera, para a varianza de la eficiencia, con ec. 2.53, las derivadas 2.103 y las ecuaciones 2.94 a
2.97, se obtiene para el error relativo del estimador de la eficiencia:
(2.111)
En la figura 2.14 se grafica el error relativo de (izquierda) para distintas eficiencias y el de (derecha).
Figura 2.14: (izquierda) Error relativo en el estimador ec.2.108 en función de la eficiencia del detector x para εy = 0.2,
εy = 0.4, εy = 0.8. (derecha) Error relativo en el estimador ec.2.109 para εy = 0.2, εy = 0.4, εy = 0.8.
Como se ve en la figura, la ec. 2.110 es más fuertemente dependiente de la eficiencia del detector X que del Y.
Por esto resulta conveniente disponer frente a la fuente el detector más eficiente para minimizar el error (de la
experiencia de comparación se sabe cuál es el más eficiente). Véase por ejemplo que si como detector X
utilizo uno de 0.1 de eficiencia y uno Y de 0.9 de eficiencia, el error relativo en el estimador será 100%,
mientras que si se elije como X el de 0.9 y Y el de 0.1, el error relativo que se comete será 4x10-2
.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
x
err
or
rela
tivo d
el estim
ador
de n
y = 0.2
y = 0.4
y = 0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
x
err
or
rela
tivo d
el estim
ador
de
x
y = 0.2
y = 0.4
y = 0.8
38
En los casos prácticos en que la experiencia de comparación tenga un error importante sobre K ( ),
puesto que K es independiente respecto a las variables del experimento, debe propagarse el error relativo de K
al de los estimadores dados (ecuaciones 2.24 y 2.25), como se opera habitualmente con la propagación de
errores de variables independientes [27].
Dados un juego (x,y) de valores medidos en estas condiciones, se pueden reemplazar los valores por sus
estimados en 2.24 y 2.25 obteniendo así los errores absolutos en cada medición.
Finalmente, queda definido el estimador de n su incerteza (al 68% de confianza) como:
(2.112)
Resultando para el estimador de la eficiencia con su incerteza (al 68% de confianza) como:
(2.113)
39
2.3 Análisis del método para partículas con distribución Poisson
Para la presentación del “Influence Method” [1,2] secciones 2.1 y 2.2, se consideraron los detectores de
eficiencia constante, expuestos a un flujo de n partículas, también constante.
Este caso es el de los experimentos pulsados como ser por ejemplo un Plasma Focus, un experimento de
ignición, etc, donde un pulso emite n partículas y se intenta determinar precisamente las n partículas de ese
evento en particular.
Existe sin embargo otro caso de mucho interés que es el de una fuente radioactiva, que emite partículas con
una distribución Poisson. En este caso, el Influence Method también es aplicable con los mismos estimadores,
pero se modifican las distribuciones y también cambian las incertezas. A continuación se desarrolla el análisis
para este caso.
2.3.1 Distribución de probabilidad de las variables
Se analiza ahora el caso de una fuente radiactiva que emite partículas con una distribución de Poisson.
En este caso la partículas que inciden sobre el primer detector (detector X), son una variable aleatoria (Z) con
distribución de Poisson de parámetro λ=n ( ). Donde n es la cantidad de partículas que inciden sobre
el detector y por lo tanto se calcula como el parámetro de la fuente (no) por la eficiencia geometría (εg) o sea
( ). La probabilidad de que la variable Z tome el valor z, se escribe entonces como:
(2.114)
Para este caso, la probabilidad conjunta de que la variable X tome el valor x, la variable Y tome el valor y
mientras que la variable Z tomó el valor z se escribe como:
(2.115)
Donde es la probabilidad condicional de que la variable Y tome el valor y cuando X
tomó el valor x y la variable Z tomó el valor z. Mientras que es la probabilidad condicional de
que la variable X tome el valor x cuando Z tomó el valor z.
40
Luego, el detector X tiene una distribución binomial con parámetros Z y ε ( ).
En estas condiciones, la probabilidad de que la variable X tome el valor x, se escribe como:
(2.116)
Puesto que,
(2.117)
Eliminando los términos que son cero (x≤z) se obtiene:
(2.118)
Nombrando :
(2.119)
Resultando:
(2.120)
De esta manera queda demostrado que un detector, que por su naturaleza estadística de detección tiene
distribución Binomial, cuando detecta partículas con distribución Poisson, termina por tener una distribución
de detección Poisson. Esta demostración fue publicada en [28]
Para hallar la distribución de las partículas no detectadas por X ( ) hay que hacer un cambio de variables.
Puesto que , se puede hacer el cambio de variable y hallar la probabilidad de que
la variable tome el valor como:
(2.121)
Puesto que:
41
(2.122)
Resulta:
(2.123)
Resultando:
(2.124)
Para la variable Y, debe considerarse que el detector Y recibe lo no detectado por X ( ). En consecuencia
su distribución es y puede escribirse como:
(2.125)
Descartando los términos que se hacen cero (sea y ≤ i ) ,
(2.126)
Renombrando :
(2.127)
Lo que resulta en,
(2.128)
De esta manera quedó demostrado que todas las variables tienen distribución Poisson.
El valor esperado de la variable X es:
(2.129)
Y su varianza (por tratarse de una Poisson):
(2.130)
El valor esperado de la variable Y:
(2.131)
Y su varianza:
42
(2.132)
En esta condición, los valores esperados son los mismos que en el caso que n era constante (2.3, 2.15), sin
embargo las varianzas son diferentes.
Como los valores esperados de las variables son los mismos que antes, las estimadores para los parámetros
también los son.
La covarianza entre la variable X e Y se calcula como:
(2.133)
Donde
(2.134)
Luego:
(2.135)
El valor esperado de X2 dado z es el momento inicial de Segundo orden [25] y se calcula como:
(2.136)
Reemplazando en 2.135, se obtiene:
43
(2.137)
Puesto que , su momento inicial de segundo orden es [28];
(2.138)
Finalmente,
(2.139)
Luego usando las ecuaciones ec. 2.129 y 2.131, el producto de los valores esperados es:
(2.140)
Esto resulta en:
(2.141)
Y el coeficiente de correlación:
(2.142)
Hay que resaltar que esto no implica que las variables sean independientes y este caso es distinto al caso de
número de partículas constante.
2.3.2 Valores esperados de los estimadores con variables Poisson
Como se mencionó anteriormente, puesto que en este caso los valores esperados de las variables (X ,Y) son los
mismos cuando tienen distribución Poisson que cuando tienen distribución Binomial, los estimadores del
numero de partículas y la eficiencia son los definidos 2.16 y 2.17.
Para hallar el valor esperado de los estimadores se utiliza la ec 2.44.
(2.143)
Que remplazando 2.129 a 2.132 y 2.141 en la anterior se tiene,
44
(2.144)
Que es la misma expresión que se obtuvo para el caso de variables con distribución Binomial (ec.2.45).
Para el estimador de eficiencia, se usa la ecuación (2.48):
(2.145)
Reemplazando con las ecuaciones 2.129 a 2.132 y 2.141, se obtiene:
(2.146)
Que también es el mismo que en el caso de variables con distribución binomial expresado en ec. 2.49.
2.3.3 Varianzas de los estimadores
Para la varianza del estimador , se puede utilizar la ecuación 2.51:
(2.147)
Reemplazando con las ecuaciones 2.129 a 2.132 y 2.141, se obtiene:
45
(2.148)
Aquí hay que destacar una diferencia importante con el caso cuando n es contante (ec.2.52). Para el caso de
variables Poisson, cuando la eficiencia de los detectores tiende a 1, la incerteza en el estimador ( ) tiende a
. Mientras que en el análisis que se hizo con variables Binomiales, si , (ec. 2.52 ).
Esto es razonable puesto que, en el caso Poisson, a lo sumo el estimador puede alcanzar la dispersión de la
fuente original ( ).
Para el estimador de la eficiencia, usando la ecuación. 2.53:
(2.149)
Reemplazando con las ecuaciones 2.127 a 2.130 y 2.139, se obtiene:
(2.150)
Esta es exactamente la misma expresión que para el caso que n era constante (ec. 2.54). Esto indica lo robusto
del estimador de eficiencia cuya dispersión no depende de la característica intrínseca de la fuente.
Esto es muy importante, porque el experimento de comparación mencionado en las secciones 2.1.4 puede
realizarse con una fuente isotópica pese a que luego se utilicen los detectores en un experimento pulsado o
viceversa.
2.3.4 Función de probabilidad de los estimadores
Aquí existe una diferencia con el problema tratado en la sección 2.2.4. En este caso la variable Z, en principio
puede tomar cualquier valor natural. Si bien físicamente debe estar limitado por tratarse de la emisión de
alguna fuente, el plantear que su emisión sigue la distribución de Poisson, hace que Z, no tenga limite y pueda
tomar cualquier valor natural en sentido estrictamente matemático. Por lo tanto las variables (X,Y) también
46
pueden tomar cualquier valor natural. Luego el estimador definido en la ecuación 2.16 solo puede tomar
valores discretos racionales (N) calculados mediante la ecuación 2.16.
Igual que como se procedió en la sección 2.2.5, cuando n es grande y se cumple la condición general de
aplicación del método (ec.2.62) es posible considerar las variables continuas y las distribuciones se aproximan
por normales. Puesto que los valores esperados de los estimadores son los mismos para distribución Poisson
que para distribución Binomial, se llega a la misma condición de aplicabilidad del método como se analizó en
la sección 2.2.5:
(2.151)
En dicha condición, la distribución para las variables (X,Y) es una distribución normal bivariada (utilizando
ec.2.63 con ):
(2.152)
Donde .
De esta manera, haciendo el mismo cambio de variables de la sección 2.2.5 ( ec.2.65), se
obtiene la función densidad de probabilidad para el estimador de partículas .
(2.153)
Donde,
De igual manera, para el estimador de eficiencia, su distribución vale:
(2.154)
2.3.5 Análisis de incertezas para variables Poisson
Utilizando la ecuación 2.148 se puede calcular el error relativo del estimador cuando las variables tienen
distribución Poisson como:
47
(2.155)
En la figura 2.15 se grafica error relativo del estimador para n = 102, n = 10
4 y n = 10
5 para variables con
distribución Poisson y se los compara con las variables Binomiales (Fig. 2.12).
Figura 2.15: Error relativo en el estimador en función de la eficiencia para n = 102, n = 104, n = 105:
(líneas solidas) variables Poisson (ec.2.153). (líneas punteadas) variables Binomiales (ec.2.84).
Puede verse cómo cuando la eficiencia de los detectores tiende a uno, la incerteza tiende a que es
precisamente la incerteza de la variable original (Z).
El error relativo en el estimador de la eficiencia, se calcula a partir de la ecuación 2.149:
(2.156)
Como ya se mencionó, el estimador de eficiencia es independiente de si se trata de variables Binomiales o con
distribución Poisson. Se puede ver su comportamiento en la figura 2.13 de la sección 2.2.6.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia []
err
or
rela
tivo d
el estim
ador
de n
Poiss n=102
Poiss n=104
Poiss n=105
Binom n=102
Binom n=104
Binom n=105
48
Al igual que en la sección 2.2.6, es útil tener una expresión para la incerteza con los valores medidos. Por esto,
para un juego de medidas (x,y) de un experimento, se puede reemplazar n y ε de la ecuación 2.155 por sus
valores estimados por ec.2.16 y 2.17, luego se puede estimar el error relativo como:
(2.157)
Y el error absoluto por:
(2.158)
Finalmente, queda definido el estimador de n con su incerteza (al 68% de confianza, un sigma) para el caso de
variables Poisson como:
(2.159)
Para la eficiencia estimada, como la incerteza es independiente de la distribución de las variables, resulta igual
que la ec. 2.90. Luego el estimador de la eficiencia con su incerteza (al 68% de confianza) es:
(2.160)
Con estas dos últimas expresiones, para un único par (x,y) medido, es posible determinar los parámetros de
interés con su incerteza asociada en el caso de variables con distribución Poisson.
49
2.4 Análisis de error cometido por suponer detectores idénticos
En el desarrollo de las secciones anteriores se analizó el caso con dos detectores con la misma eficiencia. Esto
implicaría que ambos detectores sean idénticos. Puesto que en la práctica siempre tendrán alguna diferencia,
aquí se analiza cual es el error cometido por hacer la suposición de que presentan la misma eficiencia cuando
no es así.
Si el detector X tiene una eficiencia ε y el detector Y tiene una eficiencia ε , los valores esperados son:
ε
ε ε
(2.161)
donde K es la proporción entre las eficiencias como se desarrolló en la sección 2.1.4. Para este análisis, se
propone que ambas eficiencias difieren en poco y se puede escribir,
(2.162)
Donde representa la diferencia proporcional entre las eficiencias para el caso analizado .
Si se aplica el método como si fueran idénticos, el valor esperado para el estimador de partículas sería:
ε
ε
ε
ε
(2.163)
Si ,
(2.164)
Para la eficiencia:
(2.165)
En conclusión, se sobreestima en la cantidad de partículas y se subestima en la misma proporción la
eficiencia.
Esto puede ser importante si se quiere aplicar el método para determinaciones de muy baja incerteza.
Igualmente con una experiencia de comparación previa (Fig.2.2, ec. 2.25), es fácil determinar en cuánto
difieren los dos detectores.
50
2.5 Referencias
[1] I.J. Rios and R.E. Mayer, “Absolute particle flux determination in absence of known detector efficiency. The
influence Method”, Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A, 775 (2015) 99-104.
[2] I.J. Rios and R.E. Mayer, “Influence Method. Detailed mathematical description”, Nuclear Instruments & Methods in
Physics Research A, 788 (2015) 35-42.
[3] E. Regener (1908), “UberZahlung der a-Teilchendurch die Scintillation und die Grosse des elektrischen
Elementarquantums.” Deutsche Physikalische Gesellschaft,Verhandlungen, 3 (1908), 78-83.
[4] E. Regener, Ber. Preuss.Akad.d. Miss. 38, 948 (1909).
[5] E. Rutherford and H. Geiger, 1908,”An Electrical Method of Counting the Number of alpha-Particles from Rdio-
active Sbstances”, Proc. Roy.Soc. A81,141-162
[6] H. Geiger, A. Werner, Zeitschriftfür Physik 21 (1924) 187.
[7] W. Bothe, H. Geiger 1924, Zeitschrift für Physik, “EinWegzurexperimentellenNachprüfung der Theorie von Bohr,
Kramers und Slater”, Volume 26, Issue 1, p 44.
[8] W. Bothe, H. Geiger 1925, ZeitschriftfürPhysik, “Über das Wesen des Comptoneffekts;
einexperimentellerBeitragzurTheorie der Strahlung”, Volume 32, Issue 1, p 639-663.
[9] W. Bothe, W. Kolhörster, 1929, Zeitschrift für Physik , “Das Wesen der Höhenstrahlung”, Volume 56, Issue 11-12,
pp 751-777 .
[10]W. Bothe, W. Kolhörster,1929, Nature , “The Nature of the Penetrating Radiation”, Volume 123, p638.
[11] W. Bothe, Science 122 (1955) 861.
[12] B. Rossi,”Method of registering multiple simultaneous impulses of several Geiger counters",
Nature 125 (3156), 636 (1930).
[13] B. Rossi, “Magnetic experiments on the cosmic rays”, Nature 128 (3225), 300 (1931).
[14] B. Rossi, “Measurements on the absorption of the penetrating corpuscular rays coming from
inclined directions”, Nature 128 (3227), 408{408 (1931).
[15] B. Rossi, “On the magnetic detection of cosmic rays", Phys. Rev. 36, 606 (1930).
51
[16] Broda, R., Pochwalski K., Nucl. Instr. and Meth A, 312 (1992) 85.
[17] Paulo A.L. da Cruz et al., Applied Radiation and Isotopes, 87 (2014), 175-178.
[18] Istvan B. et al., Nucl. Instr. and Meth. A, 603 ( 2009), 333.
[19] B.R.S. Simpsonand W. M. Morris, Applied Radiation and Isotopes,60, 475 (2004)
[20] G. Canavos “Probabilidad y Estadistica”, McGraw Hill, 1988
[21] D.C. Montgomery, G.C. Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers, 3th Edition, John Wiley & Sons,
USA, 2003.
[22] Biswas, A., Hwang, J., “A new bivariate binomial distribution”, Statistics & Probability letters, 2002, 60, 231-240.
[23] Wiuf, C., Stumpf, M.P.H., “Binomial subsampling”, Proceedings of the royal society A, 462, 1181-1195 (2006)
[24] Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K., Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 8 th edition.
Pearson Prentice Hall, London, 2007.
[25] G. Casella and R. Berger, “Statistical Inference”, second edition, Duxbury, USA, 2002.
[26] J. Rice, Mathematical Statistics and Data Analysis, 3th Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, USA, 2007.
[27] P.R. Bevington, D.K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, 2nd Edition,
McGraw-Hill, USA, 1992.
[28] A. Mood, Introduction to the theory of statistic, McGraw-Hill, USA, 1974.
52
Capítulo 3. Implementación experimental del Influence
Method
En este capítulo se pone a prueba experimentalmente el Influence Method aplicado a un flujo moderado de
neutrones de una fuente de Americio Berilio (AmBe). Para medir los neutrones, se utilizan contadores
proporcionales de 3He. Puesto que estos detectores son sensibles a neutrones térmicos, se moderaron los
neutrones provenientes de una fuente de AmBe con agua. Los resultados presentados en esta sección fueron
publicados en [1].
En esta implementación, aparece un problema adicional al del tratamiento simple de la sección 2.3. Esta nueva
complejidad reside en que la eficiencia no es un parámetro constante, sino que estos detectores tienen una
característica en la eficiencia “1/v” que hay que tener en cuenta. Puesto que el flujo moderado tiene una
distribución no homogénea en energía, hay que hacer una extensión del método para aplicarlo en estos casos.
Pese a que el problema se vuelve más complejo, se muestra como deben definirse y calcularse los estimadores
y alcanza con conocer la característica espectral de la fuente y la forma característica de la eficiencia de los
detectores, para poder estimar el número de partículas totales.
3.1 Métodos para la determinación absoluta de fuentes
En el análisis y desarrollo que se hizo en el capitulo anterior se aborda el problema de una cantidad fija o
constante de partículas emitidas por su emisor (n) y detectadas por dos detectores ubicados uno detrás del
otro, los cuales presentan la misma eficiencia (ε) para todas las partículas que inciden.
En el caso de las fuentes de neutrones, el número de partículas emitidas no es una constante sino que tienen
una naturaleza aleatoria (por tratarse de un fenómeno de decaimiento radiactivo) que se puede representar con
una variable aleatoria (Z) cuya distribución de probabilidad es tipo Poisson como se demostrara a
continuación. Para este caso, la aplicación del IM sigue siendo la de la sección 2.1 y su esquema se presenta
en la figura 3.1.
Fig 3.1: Esquema para la aplicación del Influence Method con una fuente de neutrones.
Detector X
μout=(1-ε)n
Detector Y
μX=nε
μY=n(1-ε)ε
no μZ=n
Z
53
Sobre la estadística de decaimiento:
El fenómeno de decaimiento radiactivo de un átomo inestable es un proceso Bernoulli en el cual existen dos
posibilidades: el átomo decae con una probabilidad p de hacerlo o el átomo no decae con una probabilidad
q=1-p. Luego, la probabilidad de que x átomos decaigan se describe con una distribución binomial como:
(3.1)
Por tratarse de una distribución Binomial, el número esperado de decaimientos es .
En el caso de cualquier fuente de tamaño macroscópico, el número de átomos es muy grande y por lo tanto se
analiza la distribución cuando . Asimismo, es conveniente escribir su distribución en función del
número esperado de eventos como,
(3.2)
Para calcular el límite conviene definir
(3.3)
Y aplicar logaritmo de ambos lados:
(3.4)
Se puede aplicar la regla de L’Hopital, resultando
54
(3.6)
Por lo tanto
(3.7)
Reemplazando en 3.2
(3.8)
Luego, la distribución de la variable que describe la cantidad de decaimientos de una fuente radiactiva es una
Poisson, cuyo parámetro característico es , su valor esperado es y su desvío standard es .
Como ejemplo: 1 nanogramo (10-9
gr) de 241
Am contiene n=2.4979x1012
átomos, y la probabilidad de
decaimiento de un átomo en un segundo es: p=4.6955x10-11
[2] (muy chica), en consecuencia el parámetro
decaimientos por segundo. En la Figura 3.2, se compra la distribución Binomial (ec 3.1) con la
distribución Poisson (ec.3.8) donde puede verse que son prácticamente iguales para estos parámetros.
Fig 3.2: Comparación de distribución Binomial con distribución Poisson para una fuente de 1 nanogramo de 241Am.
80 90 100 110 120 130 140 1500
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
decaimientos por segundo de 1 nanogramo de 241Am
Pro
babili
dad
Poisson
Binomial
55
Luego, como se muestra en la figura 3.1, la fuente tiene una distribución Poisson ( ) y por lo tanto
los neutrones que inciden sobre el detector X, se pueden describir como una variable aleatoria Z con
distribución Poisson ( ) siendo ( eficiencia geométrica). Como se demostró en la
sección 2.3, en este caso las distribuciones del resto de las variables también es Poisson (
).
3.2 Arreglo experimental
Para poder aplicar el Influence Method con contadores proporcionales, es necesario conocer el espectro de
neutrones que se va a medir. Para los trabajos de calibración, lo más habitual es la utilización de fuentes de
252Cf moderadas en una esfera de agua pesada [3-5], sin embargo, en este trabajo se utilizó una fuente de 1 Ci
alpha de 241
AmBe insertada en un contenedor esférico de agua liviana de 30cm de diámetro como se muestra
en la figura 3.3. El contenedor está hecho de hierro de 1mm de espesor con un tubo en su interior que permite
colocar la fuente y posteriormente se inserta un tubo más pequeño relleno de agua para que la fuente quede
completamente rodeada por agua liviana.
Figura 3.3: Esquema de esfera de agua que rodea la fuente para moderar los neutrones.
H2O
241AmBe
30cm
56
Este arreglo experimental es el mismo que simula y mide Ghodke et al. [6], cuya distribución espectral de los
neutrones que salen de este moderador se presenta en la figura 3.4.
Fig.3.4: espectro de la fuente de 241
AmBe (multiplicada por 0.002) y espectro de los neutrones que salen de la
esfera (moderador multiplicado por 20000) reportada en la referencia [6].
La configuración para la medición consiste en dos contadores proporcionales de 3He idénticos (Texlium 9325)
de 2.54cm de diámetro, 15cm de largo activo y 10atm de presión. Cada contador está conectado a un
preamplificador (Tennelec 2402), un amplificador (Canberra 2026) y un discriminador (Single Channel
Analizer 2037). Las dos señales son tomadas por dos contadores de pulsos controlados por computadora que
permiten tomar simultáneamente las cuentas de cada contador en un tiempo Δt preestablecido.
Los dos detectores se colocan en un blindaje de neutrones (para no contar los neutrones provenientes de otras
direcciones) que sirve como colimador de 40cm de largo como se muestra en la figura 3.5. Este blindaje es de
polietileno borado (unos 5cm de espesor en todas las direcciones) y una lamina de 1mm de espesor de
Cadmio.
57
Fig. 3.5: Vistas de los detectores y el colimador. También se muestra el tapón “Stopper” que se utiliza para tapar la
entrada y evaluar el background.
En la figura 3.5, también se observa el “stopper” que se emplea para poner delante del colimador y evaluar el
Background (o fondo neutrónico) que atraviesa el blindaje.
El stopper está construido con un bloque de polietileno borado de 10cm x 5cm x 20cm recubierto por una
lamina de Cadmio de 1mm de espesor.
El laboratorio donde se hicieron las mediciones es de 10 m x 10 m x 2.5 m de altura.
Fig. 3.6: Foto del arreglo experimental.
Detector Y
Detector X
Cd
Polietileno
Borado
Stopper
VISTA LATERAL
Detector Y
VISTA SUPERIOR
Stopper
Polietileno
Borado
Cd
Detector X
58
3.3 Comparación entre las distribuciones teóricas y las medidas
Como una primera instancia a los desarrollos teóricos presentados en el capítulo 2, se realiza la comparación
entre los histogramas obtenidos experimentalmente y las distribuciones teóricas. Los histogramas son la
cantidad de veces que un resultado se repite (frecuencia de ocurrencia).
Para esto se tomaron mediciones de a pares (x,y)en todos los casos cada Δt = 200 segundos a estos intervalos
de tiempo se los llama bin y se repitieron 2000 veces para poder graficar las distribuciones.
En primer lugar, se midió el background ambiente sin la fuente con los detectores en su blindaje (como se
muestra en la figura 3.5) resultando de 4.82 ± 2.44 neutrones/bin (1 neutrón cada 42 segundos), sin embargo
este aporte no es el preponderante en el esquema de medición.
El aporte más importante al background de la medición son los neutrones rápidos que escapan del moderador
y producen “inscattering” en las paredes, el piso y el aire de la habitación. Para medirlo, se tapa la apertura del
blindaje con el tapón “stopper” de Cd y polietileno borado (figura 3.5) dejando la fuente en el mismo lugar,
permitiendo de esta forma que el blindaje se vea sometido a todos los neutrones termalizados por el ambiente
circundante y siendo afectado por los neutrones epitérmicos que salen del moderador. Este procedimiento de
bloquear los neutrones directos utiliza el mismo criterio utilizado en el conocido método de “shadowcone”
[7,8], con la diferencia que este “stopper” está exclusivamente diseñado para eliminar del “direct view” los
neutrones térmicos y epitérmicos (puesto que son los únicos que afectan estos detectores), sin considerar los
neutrones rápidos. Esta diferencia hace que el “stopper” resulte mucho más pequeño que los llamados
“shadowcone”[7] utilizados en otras aplicaciones. La norma ISO 8529-2 Part2 recomienda que el
“shadowcone” sea de las características descriptas en [7,8].
En esta condición, se tomaron 500 muestras de Δt =200 segundos cada bin, resultando el background total de
B = 30.18 ± 5.5 para cada detector.
Posteriormente, se quitó el “stopper” y se tomaron 1250 muestras con la fuente en la misma posición,
contando una vez más simultáneamente los dos detectores.
Cada conjunto de medidas se muestran en la figura 3.7 donde cada punto representa las cuentas en cada bin
temporal Δt.
59
Fig.3.7: a) valores medidos por el detector X y el detector Y.
b) cálculo de los estimadores (azul) y (verde) para cada par de valores medidos
Con cada par de valores (x,y) se calculan los estimadores (ec 2.16 y 2.17)
(3.9)
(3.10)
0 200 400 600 800 1000 12000
200
400
600
800
# bin
cuenta
s
cuentas del detector X
cuentas del detector Y
0 200 400 600 800 1000 12000
200
400
600
800
1000
# bin
nest
500 x est
4x104 8x104 1.2x105 1.6x105 2x105 2.4x105
2.4x1052x1051.6x1051.2x1058x1048x104
tiempo [seg]
tiempo [seg]
60
y se muestran los resultados en la figura 3.7.
Con todos estos valores medidos, en la figura 3.8, se muestra la frecuencia de ocurrencia (histogramas) con
que el detector X cuenta x cuentas y el detector Y cuenta y cuentas. En la misma figura se superpone las
funciones teóricas expresadas por las ecuaciones 2.151 y 2.152.
Fig. 3.8: Histogramas de los valores medidos por el detector X y el detector Y. Superpuesto en negro las curvas teóricas
(ec. 2.118 y ec.2.126)
Para comparar con el desarrollo teórico presentado en el capítulo 2, en la figura 3.9 se grafican los
histogramas obtenidos para los estimadores (ec. 2.16 y 2.17) con las variables medidas en cada caso.
Fig. 3.9: Histogramas de los valores calculados para el estimador de partículas y el estimador de eficiencia calculado
con cada par de puntos medidos (x,y). (rojo)curvas teóricas para la distribución de los estimadores (ec. 2.151 y ec. 2.152)
Utilizando estos valores medidos, se calculan los valores medios estadísticos medidos como ,
y con estos valores se pueden calcular los parámetros de las distribuciones (ec. 2.127a 2.130)
620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 8200
20
40
60
80
100
120
140
160
x [cuentas por bin]
Fre
cu
en
cia
de
ocu
rre
ncia
medicion
Teorica
110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 2100
20
40
60
80
100
120
140
160
180
y [cuentas por bin]
Fre
cu
en
cia
de
ocu
rre
ncia
medicion
Teorica
820 840 860 880 900 920 940 960 980 1000 10200
20
40
60
80
100
120
140
nest
Fre
cu
en
cia
de
ocu
rre
ncia
medicion
Teorica
0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.840
20
40
60
80
100
120
140
160
est
Fre
cu
en
cia
de
ocu
rre
ncia
medicion
Teorica
61
Con estos parámetros es posible obtener las distribuciones teóricas de los estimadores dadas por las
ecuaciones 2.151 y 2.152 (superpuestas en rojo en la fig.3.9). Los valores estadísticos experimentales de
desvío estándar para los estimadores calculados resultaron: y , mientras que los
calculados (ecs. 2.146 y 2.147) son y .
Como puede verse, existe una gran concordancia entre los valores medidos y los calculados, así como con la
forma de las distribuciones teóricas y las medidas.
Hasta aquí no se restó el background para cada medida con el objetivo de comparar las distribuciones medidas
con las teóricas calculadas.
3.4 Propagación del Background en la incerteza de los estimadores
Para alcanzar el valor de neutrones de la fuente, como el background producido por backscattering
(retrodispersión) no es despreciable, es necesario restárselo a las variables medidas.
Cuando el background (B) se resta a las variables medidas (x,y), el estimador para el numero de partículas se
reescribe como:
(3.11)
Aquí se está suponiendo que el background es el mismo para los dos detectores (cosa que se verificó en la
práctica).
Puesto que el background es independiente de las variables X,Y (de hecho su medición se hace en una
experiencia previa) , la incerteza en el estimador de la ec 3.9 se obtiene con el desarrollo en serie de Taylor
como se mostró en la sección 2.2 [9].
(3.12)
Con las derivadas evaluadas en los valores esperados .
Las derivadas del estimador 3.9 son:
62
(3.13)
Reemplazando estas derivadas en 3.12, y puesto que la correlación para el caso de distribuciones
Poisson (ec. 2.139) se obtiene:
(3.14)
Reemplazando los valores esperados y sigmas (ec. 2.127 a 2.130) se tiene:
(3.15)
Donde ( ) es la varianza del estimador de n con las variables medidas, sin restar el background.
Cuando B es chico respecto a lo que se midió (B<<x,y), la ecuación (3.14) se reduce a :
(3.16)
El primer termino representa la varianza del estimador de n con las variables medidas ( ) sin restar el
background. Por lo tanto se puede escribir como:
(3.17)
En la solución exacta, (ec. 3.15), se puede ver que si n es grande y la eficiencia también (q es pequeña), los
únicos términos importantes son el primero y el último, resultando también la ec. 3.17.
Para el estimador de eficiencia (ec.3.10), cuando se resta el background B, se tiene
(3.18)
Las derivadas son:
63
(3.19)
Y reemplazando en (3.12) se tiene:
(3.20)
Si B es chico comparado con los valores medidos, se puede aproximar por:
(3.21)
El primer término representa la varianza del estimador de eficiencia con las variables medidas sin restar el
background ( ). Luego se puede escribir como:
(3.22)
En esta ecuación puede verse que el estimador de eficiencia (puesto que n habitualmente es grande) se ve muy
poco afectado por el background, lo que hace del estimador de eficiencia un estimador muy robusto.
La solución exacta de la ecuación 3.21, es:
(3.23)
Una vez más, en los casos de eficiencia alta (q pequeño) y n grande, los dos términos del medio pueden
despreciarse y por ende esta ecuación se convierte en la ecuación 3.22.
3.5 Estimación del número de neutrones y la eficiencia con mínima incerteza
En la sección 3.3 se tomaron múltiples bin de Δt = 200seg cada uno para mostrar las distribuciones. En esta
sección interesa calcular el número de neutrones (n) con la mínima incerteza posible.
Puesto que la incerteza se reduce con el número de partículas según (ec.2.153), es conveniente sumar
todas las cuentas tomadas por los detectores durante todo el tiempo de medición transcurrido t.
64
En este caso, las cuentas totales registradas fueron x = 898865, y = 200468, en un tiempo total de t = 250000
segundos (69.44hs, casi 3 días). Para el background total registrado con el “stopper” en el mismo tiempo B =
37730 (cuya incerteza es ).
Luego, para un par de mediciones (x,y), utilizando las ecuaciones 2.156 y 3.17 se obtiene la expresión para el
estimador y su incerteza (al 68% de confianza) con los valores medidos como,
(3.24)
Luego, para el tiempo total transcurrido, se estima que el número total de neutrones fue:
O, si se expresa como el ritmo de partículas por segundo incidiendo en el primer detector:
Esta incerteza representa un 0.12 % en el valor estimado. Dicha incerteza es muy baja y muestra la
potencialidad del método, puesto que permite obtener incertezas muy bajas simplemente aumentando el
tiempo de contaje.
Para la eficiencia, si se utiliza 2.158 y 3.22 y se obtiene la expresión del estimador con su incerteza en función
de los valores medidos como:
(3.25)
Reemplazando los valores medidos, se tiene (reproduciendo más cifras en la incerteza que las habituales):
Lo que representa una incerteza de 0.07 %.
Una vez más, se muestra la potencialidad del método de conseguir muy bajas incertezas cuando el tiempo de
medición es grande como en este caso.
Hasta aquí, para obtener el ritmo de contaje (rate) y la eficiencia, se supuso que la eficiencia del detector es
constante para todos los neutrones. Como se mencionó antes, esto no es así, sino que la fuente tiene una
65
distribución espectral (Fig. 3.4) y la eficiencia de los detectores depende de la energía de los neutrones con la
característica “1/v” [10]. En la siguiente sección se analiza este problema.
3.6 Dependencia de la eficiencia con la energía
Para que las ecuaciones de los estimadores 3.9 y 3.10 se apliquen correctamente, la eficiencia debe ser la
misma para todas las partículas n incidentes. Desafortunadamente, esto no es así para los contadores
proporcionales de 3He, puesto que la eficiencia depende de la energía del neutrón (En) dada su característica
“1/v”[10]. En consecuencia si la fuente no es monoenergética, esto no resulta directamente aplicable.
Para analizar este problema, se considera que el espectro de energía de interés de los neutrones (partículas) se
puede escribir como:
(3.26)
Donde f(E) es la distribución espectral de la fuente cuya integral vale uno en el rango de interés (energía
mínima Em a energía máxima EM) .Por lo tanto N es la cantidad total de neutrones emitidos en cierto tiempo.
Suponiendo que en este rango de interés, la eficiencia del detector se puede escribir como:
(3.27)
Donde es una función de la energía cuyo parámetro característico es .
Con estas definiciones, el detector X contará:
(3.28)
En el esquema propuesto por el Influence Method (Fig 3.1), el detector Y cuenta:
(3.29)
66
Luego, es posible definir el estimador para la cantidad total de partículas como:
(3.30)
Y para la eficiencia, queda definido como:
(3.31)
Donde R es una constante de corrección que depende del espectro de la fuente y la dependencia del detector
con la energía, definida por:
(3.32)
En dos casos R vale 1: Si la eficiencia es constante para las energías de interés, , los estimadores
arrojan: y . Si la fuente es idealmente monoenergética, o sea que todos los neutrones tienen
energía En, y por ende su función distribución espectral es una delta de dirac y por lo tanto los
estimadores devuelven: y .
Hay que remarcar que en el esquema propuesto por el Influence Method, se siguen teniendo dos ecuaciones
(ec. 3.30 y 3.31) con dos incógnitas (N y ).
Aplicación a las mediciones realizadas:
La eficiencia de un contador plano de espesor L se puede define como [10],
(3.33)
Donde es la sección eficaz macroscópica de absorción del 3He (que disminuye como ). Para conocer
es necesario conocer la presión del gas de llenado del detector.
Luego, se puede definir como:
(3.34)
67
Donde es la sección eficaz macroscópica a la energía Eo (que por conveniencia se toma como la energía
térmica 25meV).
Luego, como:
(3.35)
Donde queda definido como la eficiencia a la energía Eo, se puede despejar:
(3.36)
Que reemplazando en 3.34, resulta:
(3.37)
Donde, como se mencionó, se toma Eo=25x10-3
eV que es la energía de los neutrones térmicos y así queda
definido como la eficiencia del detector para neutrones cuya velocidad es 2200m/s (térmicos). Esta expresión
permite calcular la eficiencia para cualquier energía sin conocer la presión del detector, siempre que se mida
la eficiencia del mismo para neutrones térmicos.
Se supone que el espectro de energía de los neutrones (partículas) es conocido o medido. Luego el problema
se resuelve iterativamente mediante computadora, partiendo de algún y algún N (semillas), se calcula
cuáles serian los valores de X y Y (calculadas con las eqs. 3.28 y 3.29), luego se comparan con los valores
medidos de Xm y Ym y se corrige los valores de partida de y N hasta que los valores converjan.
En la figura 3.9 se muestra el espectro utilizado ( f(E) ) (simulado para las mismas condiciones experimentales
que nuestro caso en [6] y muy similar al espectro obtenido de las simulaciones reportadas por [11] para una
fuente de 241
AmBe moderada por un slab de H2O destilada). En la misma figura se muestra la eficiencia
propuesta (eq. 3.37).
68
Fig.3.9: (azul) Espectro de los neutrones emitido por la esfera (moderador) y
(rojo) Función propuesta de eficiencia ec.3.37.
Con estas dos funciones y tomando los valores presentados en la sección 3.4 (B = 37730, Xm = 898865-B, Ym
= 200468-B, en t = 250000sec) se realizó la solución iterativa, resultando los valores de convergencia
y . Con estos valores de N y se calculan X e Y con las ecuaciones 3.28 y
3.29 y dan X = 861135, Y = 162738 que son exactamente los valores medidos. La convergencia exacta indica
que (por lo menos) la forma del espectro utilizada y función de la eficiencia propuestas (eq. 3.37), no son
contradictorias con las mediciones realizadas.
El próximo paso es calcular el número de neutrones que emite la fuente utilizada (no) para lo cual es necesario
conocer la eficiencia geométrica ( ), la transmisión de neutrones por la esfera (T) y corregir por el
“outscattering” del aire (Fa que se define como la reciproca de la transmisión del aire[6]).
(3.38)
La transmisión de neutrones de la esfera (T) está medida y simulada en [6] y se reporta como la relación entre
los neutrones emitidos con la fuente en el moderador respecto a la fuente de 241
AmBe desnuda. Este valor para
69
el arreglo experimental utilizado es T = 0.573. Lo que indica que cuando la fuente se coloca en el moderador
(Fig 3.2), solo salen del mismo el 57.3% de los neutrones que emite la fuente.
En la misma referencia, se calcula el factor de corrección por out-scattering del aire ( ).
Este factor se calcula considerando los neutrones que se pierden, calculado a partir de la sección eficaz del
oxigeno y el nitrógeno (ENDF VII, Evaluated Nuclear Data File - IAEA Nuclear Data Services) para
temperatura ambiente de 21ºC, donde es la sección eficaz total para el nitrógeno y el oxigeno pesada por
la distribución espectral de los neutrones que salen de este moderador H2O. Esta sección eficaz total vale
2179.65 x 10-7
cm-1
[6].
Puesto que la distancia para realizar las medidas presentadas es de 400cm, el emisor de los neutrones, se
puede considerar puntual y dada la isotropía del moderador utilizado (H2O), el factor de anisotropía es uno
[6].
Como consecuencia, la eficiencia geométrica para nuestro experimento es
(3.39)
Luego, neutrones o bien, por unidad de tiempo es el ritmo:
Esto muestra la concordancia entre el valor obtenido y el valor conocido de la fuente ( ).
Si bien se conoce la incerteza de la eficiencia geométrica (0.5%), y también la incerteza del (0.1%)
(ec.3.24), no es posible estimar una incerteza para la constante de corrección R (eq. 24) por no haber medido
el espectro insitu, sino haber utilizado el reportado por [6].
Aquí se debe resaltar que si se mide el espectro de la fuente de interés, se puede obtener una calibración
absoluta de una fuente con mucha precisión utilizando el “Influence Method” con las consideraciones aquí
presentadas. Los métodos actuales para calibrar fuentes de neutrones como ser el baño de MnSO4 [12,13] o
las múltiples coincidencias [14], logran incertezas del orden de 1%.
La demostración de la aplicación del Influence Method presentado hasta acá sugiere que si se utilizan
detectores para neutrones rápidos sin utilizar moderadores y se mide el espectro de la fuente que se desea
calibrar, es factible alcanzar mejor precisión en la calibración de fuentes aplicando este método. En este caso
deberá tenerse en cuenta que tales detectores deben remover del haz todo neutrón que haya sido contado, lo
cual no es el caso de los detectores por retroceso de protones, para los cuales habría que implementar un
método de anticoincidencia de modo que dos detectores sucesivos no cuenten el mismo neutrón. En lo
concerniente a la medición del espectro neutrónico, los métodos de “unfolding” han tenido un avance que
torna este objetivo no tan lejano como en el pasado [15].
70
3.7 Definición de valores efectivos
El procedimiento usual para calibrar un detector es utilizar una fuente de radiación de actividad conocida (N
patrón), en cuyo caso el detector X contará,
(3.40)
Luego, dividiendo este contaje por N se tiene una eficiencia efectiva tradicional pesada por el espectro de
neutrones utilizado:
(3.41)
Sin embargo por lo desarrollado en la sección 3.6, y usando la ecuación 3.31, es conveniente definir la
eficiencia efectiva como,
(3.42)
Con esta definición, aparece una ventaja intrínseca que consiste en que la calibración se puede realizar sin
necesidad de una fuente de actividad conocida. Empleando dos detectores tan similares como sea posible, es
posible medir la eficiencia efectiva aplicando el IM como:
(3.43)
Para nuestro experimento esta resulta (ec.3.25).
Deben mencionarse dos características: en primer lugar, este estimador de eficiencia efectiva resulta ser poco
sensible a la dispersión estadística de la fuente (ecuación 2.148) y, en segundo lugar, resulta muy robusto en
relación con el fondo (ec 3.22).
La importancia de la herramienta aquí propuesta, hace que un laboratorio pueda medir esta nueva definición
de eficiencia efectiva para su par de detectores, con total independencia de una fuente de calibración.
Una vez definida la eficiencia efectiva, también resulta útil definir:
71
(3.44)
Puesto que (ec. 3.40) es la suma de variables aleatorias binomiales cada una con parámetro su
distribución debe ser binomial. Un parámetro tiene que ser mientras que el otro puede escribirse como
. Partiendo de este supuesto, es fácil encontrar puesto que se puede escribir como:
(3.45)
En consecuencia, aplicando el operador esperanza E[] a la ecuación anterior y por haber propuesto una
distribución binomial ( ), queda definido como:
(3.46)
De esta manera quedan definidas las distribuciones:
(3.47)
Así todo el desarrollo y los cálculos vistos previamente de varianzas, correlación, valores esperados, etc son
igualmente aplicables considerando distribuciones de energía simplemente tomando los valores efectivos.
Por ejemplo si se quisiera calcular la varianza de X, sería:
(3.48)
La varianza de Y:
(3.49)
72
Utilizando la ecuación 3.28 y 3.29, se puede estimar el número efectivo de neutrones como:
(3.50)
También es posible restar el background y estimar la incerteza para un único par (X,Y) medido. Por lo tanto el
resultado mostrado en 3.24 es precisamente el número de neutrones efectivos y vale:
(3.60)
Y utilizando la ecuación 3.30, se puede hallar el número de neutrones totales como:
(3.61)
Para este ejemplo R = 5.161729, por ende:
Lo que implica el error de estimación de 0.12% como se menciono anteriormente.
3.8 Referencias
[1] I.J. Rios and R.E. Mayer, “Influence Method”, applied to measure a moderated neutron flux, Nuclear Instruments &
Methods in Physics Research A, 806 (2016) 231-239.
[2] Strain J.E., Leddicotte G.W. , "The Preparation, Properties and Uses of Americium-241, Alpha, Gamma and Neutron
Sources",Oak Ridge National Laboratory.(1962)
[3] Akihiko Masudaa, Hideki Haranoa, TetsuroMatsumotoa, Jun Nishiyamab and KatsuhisaKudoa, “Development of a
neutron standard field using a heavy-water moderated 252Cf source at NMIJ-AIST”,Progress in Nuclear Science and
Technology, Volume 4 (2014) pp. 400-403
[4] R.B. Schwartz, C.M. Eisenhauer, “The Design and Construction of a D2O-moderated 252Cf source for calibrating
neutron personnel dosimeters used at nuclear power reactors”, NUREG/CR-1204, (1980)
73
[5] “Compendium of neutron spectra and detector responses for radiation protection purposes”, supplement to technical
reports series No.318, IAEA, (2001)
[6] Shobha Ghodke, Sujatha Kumari, Yashoda Singh, V. Sathian, A. K. Mahant and D. N. Sharma, “Standardisation Of
Water-Moderated 241Am–Be Neutron Source Using de Pangher Neutron Long Counter: Experimental And Monte Carlo
Modelling”, Radiation Protection Dosimetry, Vol. 148 No. 3 (2012) 358–365.
[7] ISO 8529-2, Part 2, “Reference neutron radiations”, Geneva, 2000.
[8] N. Mirzajani , R. Ciolini, G. Curzio, Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A 722 (2013) 24–28.
[9] J. Rice, Mathematical Statistics and Data Analysis, 3rd edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, USA, 2007.
[10] A. A. Bergman and F. L. Shapiro , “Deviations of the cross sections for slow neutron reactions on light nuclei from
the 1/v law”, Soviet Physics JETP, Vol 13, 5 (1961)
[11] N. Sujatha Kumari et al, Radiation Protection Dosimetry, Vol. 150 No. 1 (2012) 96–100
[12] H. Park, K-O. Choi, J-M. Lee, K.B. Lee and M.S. Hahn, Journal of the Korean Physical Society 47 (2005) 603-609.
[13] N.J. Roberts et al., Metrologia Tech. Suppl. 48 (2011) 06018
[14] S. Croft and D. Henzlova, Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A 714 (2013) 5–12.
[15] Technical Meeting on Modern Neutron Detection (F1-TM-55243). United Nations Internat. Atomic Energy Agency
(IAEA). 4-8 September 2017, Vienna, Austria. Proceedings in press.
74
Capítulo 4. Influence Method con múltiples detectores
En este capítulo se desarrolla la posibilidad de utilizar múltiples detectores para bajar la incerteza de los
estimadores. Esto podría interesar cuando los detectores fuesen considerablemente transparentes a la radiación
a ser detectada. No obstante ello, se verá que en caso que la eficiencia sea menor que 10%, no se obtiene una
ventaja, que sí es visible en otros rangos de eficiencia. Como consecuencia de este desarrollo, se definen los
nuevos estimadores para este caso y se muestran los resultados de los desarrollos analíticos comparándolos
con simulaciones por Monte-Carlo. Este desarrollo fue publicado en Journal of Applied Radiation and
Isotopes [1].
4.1 Definición de los estimadores con múltiples detectores
4.1.1 Definición del estimador de cantidad de partículas
Para reducir la incerteza, en lugar de sólo dos detectores como se hizo en los capítulos precedentes, se
disponen múltiples (k) detectores de igual eficiencia a una determinada distancia de la fuente uno detrás del
otro como se muestra en la Figura 4.1.
X1
n
E(X1)=nε
Xout1
X2
E(Xout1)=nq
E(X2)=nεq
X3
Xout2
E(X3)=nεq2
E(Xout2)=nq2
X4
Y = Xk E(Xk )=nεq(k-1)
Xout3 E(Xout3)=nq3
E(X4)=nεq3
Xout (k-1) E(Xout( k-1) ) = n q(k-1)
X = Xk-1 E(Xk-1 )=nεq(k-2)
Xo = Xout (k-2) E(Xout( k-2) ) = n q(k-2)
Fig 4.1: Esquema para la aplicación del Influence Method con múltiples detectores uno detrás del otro.
75
Como puede verse en la figura 4.1, es lo que no detectó el detector j. Por ende, para cualquier j, el
número de partículas incidentes (n) se puede escribir como:
(4.1)
Por esto, se puede estimar n cuando se tiene k detectores uno detrás del otro como la suma de todos menos los
dos últimos (el k-1 y el k) y con los dos últimos estimar lo que no detectó el detector (k-2) con el Influence
Method:
(4.2)
Notar que en el arreglo mencionado, lo que no detectó el detector (k-2) ( ), es precisamente lo que
incide en el detector (k-1).
Luego, si se tienen k detectores uno detrás del otro, el estimador de la cantidad de partículas se define como:
(4.3)
Donde la variable aleatoria S es la suma de lo que detectaron todos los detectores salvo los últimos dos,
(4.4)
Estrictamente para k>2 y S=0 para k=2.
Utilizando el Influence Method, se estima lo que no detectó el detector (k-2) como:
(4.5)
Para reducir la notación, se renombra: , , , de esta manera:
(4.6)
76
4.1.2 Definición del estimador de eficiencia
Par estimar la eficiencia, como el estimador definido en (4.3) tiene menor incerteza que el que se define con
dos detectores (2.16), se puede definir con este el estimador de la eficiencia como:
(4.7)
Como se trata de dos variables aleatorias correlacionadas, hay que proceder igual que en la sección 2.2 para
los cálculos de su incerteza.
4.2 Análisis para el caso de número de partículas constante (aplicación a pulsos)
4.2.1 Distribución y parámetros de las variables
Cuando el numero de partículas que incide en el primer detector es una constante (como se trató en la sección
2.1) la distribución de , , según se demostró en la sección 2.1.3 .
Utilizando el mismo procedimiento de demostración, es fácil demostrar la distribución del resto de las
variables, que se muestran en la tabla 4.1. En la tabla 4.1, también figuran los valores esperados y varianzas de
cada variable.
variable distribución E[] = μ VAR[] = σ2
n (part. inc.) n=ctte n 0
X1 Bi(n, ε) n ε n ε q
Xout1 Bi(n, q) n q n q(1- q)
X2 Bi(n, ε q) n ε q n ε q(1- ε q)
Xout2 Bi(n, q2) n q
2 n q
2(1- q
2)
X3 Bi(n, ε q2) n ε q
2 n εq
2(1- εq
2)
:
:
:
:
:
:
:
:
Xout (j-1) Bi(n, q(j-1)
) n q(j-1)
n q(j-1)
(1- q(j-1)
)
Xj Bi(n, εq(j-1)
) n ε q(j-1)
n ε q(j-1)
(1- ε q(j-1)
)
:
:
:
:
:
:
:
:
Xo = Xout (k-2) Bi(n,q(k-2)
) n q(k-2)
n q(k-2)
(1- q(k-2)
)
X = Xk-1 Bi(n, ε qk-2
) n ε qk-2
n ε qk-2
(1- ε qk-2
)
Xout (k-1) Bi(n, q(k-1)
) n q(k-1)
n q(k-1)
(1- q(k-1)
)
Y = Xk Bi(n, ε q(k-1)
) n ε q(k-1)
n εq(k-1)
(1- εq(k-1)
)
Tabla 4.1: Distribución de las variables, valores esperados y varianzas en la disposición de la fig.4.1.
77
4.2.2 Covarianza entre las variables
Recordando que se definió como Y al último detector (Y = Xk) y X el anteúltimo (X = Xk-1). La covarianza
entre X e Y se calcula como:
(4.8)
El valor esperado del producto se calcula como:
(4.9)
Donde la probabilidad conjunta de X e Y es:
(4.10)
Siendo definida en la ecuación 4.4.
Puesto que:
(4.11)
Recordando que el detector X va a recibir (n-s) partículas y el Y va a recibir (n-s-x), utilizando (4.11 y 4.10)
en (4.9) se tiene:
(4.12)
Para reducir notación, se define la probabilidad de que la variable S tome el valor s,
(4.13)
Probabilidad de X tome el valor “x” dado la variable S tomo el valor “s” (probabilidad condicional)
(4.14)
La probabilidad de Y tome el valor “y” dado que X tomo el valor “x” y la variable S tomo el valor “s”
(probabilidad condicional),
(4.15)
Luego, se reescribe (4.12) como:
78
(4.16)
La última sumatoria es el valor esperado condicional de Y dado S y dado X que vale:
(4.17)
Reemplazando en la anterior:
(4.18)
Donde el primer termino (A) es:
(4.19)
Donde es el valor esperado de la variable .
El segundo término (B) es:
(4.20)
El valor esperado del producto ( ) se calcula usando (4.14) como:
(4.21)
79
Reemplazando esta en (4.20), se tiene:
(4.22)
El tercer término de (4.18) (C) se calcula como:
(4.23)
La segunda sumatoria es el valor esperado de X2 dado S.
El valor esperado de X2 dado S se calcula como:
(4.24)
Eliminando el término cero,
(4.25)
Llamando j=k-1:
(4.26)
Llamando r=j-1:
80
(4.27)
Por lo tanto,
(4.28)
Reemplazando esta última en 4.23 se tiene:
(4.29)
Finalmente, reemplazando las ecuaciones (4.29), (4.22) y (4.19) en (4.18), se obtiene:
(4.30)
Puesto que el valor esperado de la variable S es (ver ec. 4.42):
Llamando R = (k-2) para reducir la notación:
(4.31)
Por otra parte, como por definición, , se puede calcular:
=
(4.32)
Puesto que es una binomial de parámetros n, qR ( ver tabla 4.1) el valor esperado de dicha
variable al cuadrado es el momento inicial de segundo orden y se calcula como [2,4]:
(4.33)
Luego, reemplazando 4.33 en 4.32, se tiene:
(4.34)
81
Utilizando los valores esperados de las variables X e Y (ver tabla 4.1):
(4.35)
Reemplazando las ecuaciones (4.34) y (4.31) en (4.30) y (4.35) en (4.8) se tiene:
(4.36)
Por lo tanto,
(4.37)
Esta última ecuación es válida para cualquier número de detectores ( ). Puede verse que también es
válida cuando k = 2 (IM clásico de dos detectores). En ese caso S = 0 y por lo tanto la ecuación (4.30) resulta:
(4.38)
Y como en este caso (k = 2) R=0, la ecuación (4.35) se transforma en y por lo
tanto usando (4.18), , que es lo que se obtuvo en (ec 2.40) que es
precisamente .
82
4.2.3 Valor esperado del estimador de partículas
Para hallar el valor esperado del estimador, hay que aplicar el operador esperanza matemática a la ecuación
4.3 y haciendo uso de sus propiedades [2,3,5] se tiene:
(4.39)
Puesto que la serie converge a:
(4.40)
Se tiene,
(4.41)
En esta se identifica el valor esperado de la variable S puesto que por la ecuación 4.3,
y por lo tanto:
(4.42)
Que, reduciendo notación como se hizo en ec.4.6 ( ),
(4.43)
Luego, utilizando la ecuación 2.44 (sección 2.2.2), puesto que la forma funcional del estimador es la misma, el
procedimiento para encontrar el valor esperado del estimador es el mismo y vale:
(4.44)
Donde, , (Fig. 4.1).
83
Utilizando la expresión de la covarianza (4.37),
Y como las variables son binomiales, se puede describir su distribución como , sus valores
esperados como y sus varianzas como . Luego, siempre se puede
escribir la varianza como:
(4.45)
Resulta para el paréntesis de la ec. 4.44:
(4.46)
Utilizando los valores de la tabla 4.1 y reemplazando en 4.44,
(4.45)
Que reemplazándola en 4.43, se obtiene:
(4.47)
En la mayoría de los casos de aplicación la eficiencia es grande y por lo tanto el paréntesis será despreciable
frente a n, sin embargo en la siguiente sección se analiza estrictamente cuanto debe valer n para la correcta
aplicación del método.
4.2.4 Condición de aplicación
La condición para aplicar el método en este caso será la condición que haga que el valor esperado de este
último estimador sea el valor esperado de la variable aleatoria .
Utilizando (4.45),
Como la condición necesaria para una buena estimación es que,
84
(4.48)
Luego, debe pedirse:
(4.49)
Resultando que si se cumple esta condición (4.49),
(4.50)
En consecuencia, como se pidió en la sección 2.2.5, la condición para la aplicación del método con múltiples
detectores es la ecuación 4.49 y además que el último detector detecte al menos cinco. Por lo tanto la
condición de aplicación queda definida como:
(4.51)
4.2.5 Varianza del estimador de partículas
Utilizando las propiedades del operador varianza [2-6], la varianza del nuevo estimador de la población (ec.
4.3) se calcula como:
(4.52)
Utilizando la ecuación 4.1, para el caso de k detectores, la variable S se puede escribir como ( ) y
por lo tanto:
(4.53)
Notar que es la variable aleatoria, mientras que es su estimador que utiliza las dos variables siguientes y
se calcula con (ec. 4.6).
Luego, utilizando las propiedades de la covarianza [2,3]:
(4.54)
Por lo tanto, reemplazando 4.53 y 4.54 en 4.52, se tiene
(4.55)
85
La varianza de este estimador se calcula con el desarrollo en serie del estimador como se desarrolló en la
sección 2.2.3 (ec.2.51) y vale:
(4.56)
Donde , , .
Puesto que se sabe que la covarianza entre dos variables sucesivas es (4.37), ésta ultima
ecuación se puede reescribir como:
(4.57)
Pero el valor esperado del estimador (si se cumple la condición (4.51)), es precisamente el valor esperado de
la variable aleatoria , y utilizando la propiedad de las variables binomiales de que
(ec.4.45), se tiene:
(4.58)
Por otro lado, la covarianza entre la variable y su estimador se calcula como:
(4.59)
Si se cumplen la condición (4.51), y por ende:
(4.60)
Luego,
86
(4.61)
Donde es la probabilidad de que el estimador tome el valor j sabiendo que la
variable tomo el valor .
(4.62)
La segunda sumatoria es el valor esperado del estimador cundo la variable tomó el valor que
naturalmente vale:
(4.63)
Luego,
(4.64)
La sumatoria es el momento de orden dos y como la variable tiene distribución binomial, vale:
(4.65)
Por lo tanto, reemplazando 4.65 y 4.60 en 4.59, se tiene
(4.66)
Luego, reemplazando 4.66 y 4.58 en 4.55, se obtienen,
(4.67)
Luego, usando los valores de la tabla 4.1 ( ) y ( ), se tiene:
(4.68)
87
4.2.6 Incerteza relativa
Utilizando la varianza del estimador definida por la ecuación (4.68), se puede calcular la incerteza relativa del
estimador como:
(4.69)
Donde se ve claramente que la incerteza disminuye con el número de detectores k (puesto que q<1).
En la figura 4.2, se muestra la incerteza relativa en el estimador para distinta cantidad de detectores k.
Fig.4.2: Incerteza relativa en para 2,3,4 y 5 detectores para n=10000.
4.2.7 Simulación
Para verificar las formulas obtenidas y mostrar el comportamiento de los estimadores, se realizo una
simulación por Mote-Carlo considerando el Influence Method con cinco detectores 5. En la figura 4.3 se
muestra la superposición de los histogramas de los cinco detectores para un caso de n=10000 y ε=0.4 y en la
tabla 4.2 de comparan los valores calculados con los simulados.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-4
10-3
10-2
10-1
100
eficiencia de los detectores ()
incert
eza r
ela
tiva e
n e
stim
ador
de p
art
icula
s
2 det.
3 det.
4 det.
5 det.
88
Fig.4.3: Histogramas de las variables X1 a X5 para la simulación
de cinco detectores con los parámetros de la tabla 4.2.
Los valores esperados de cada variable, así como sus desvíos estándar se calcularon con las ecuaciones
presentadas en la tabla 4.1.
μ = E()
Simulado
μ = E [ ]
Calculado
Simulado
Calculado
n (partículas
incidentes) 10000 10000 0 0
X1 3998.46 4000 48.04 48.98
X2 2401.23 2400 42.50 42.71
X3 1438.75 1440 35.41 35.11
X4 865.38 864 27.42 28.10
X5 517.91 518.4 21.87 22.17
(2 det.) 10024.6 10000 302.5 300
(ec. 4.68)
(5 det.) 10008.6 10000 144.1 139.4
(ec. 4.68)
(2 det.) 0.39931 0.4 0.01541 0.0155
(ec. 4.117)
ec.2.85 ) (5 det.) 0.39996 0.4 0.00738
0.00742
(ec. 4.116 )
Tabla 4.2: Comparación entre valores simulados y calculados con las formulas analíticas.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000
50
100
150
numero de cuentas
frecu
enci
a de
ocu
rrenc
ia
X1
X2
X3
X4
X5
89
El cálculo de la varianza del estimador de eficiencia se desarrolla en la sección 4.3.
En la figura 4.4 (izquierda) se muestra el histograma del estimador de la cantidad de partículas utilizando los
dos primeros detectores (IM clásico capitulo 1 y 2) y utilizando 5 detectores. En la figura 4.4 (derecha) se
compara con el histograma que produce el estimador de eficiencia con dos y con cinco detectores.
Fig.4.4: (izquierda) histograma del estimador para 2 y 5 detectores.
(derecha) histograma del estimador para 2 y 5 detectores
Puede verse como cuando se pasa de dos detectores a cinco detectores, las distribuciones reducen su
dispersión de acuerdo a lo reportado en la tabla 4.2.
0.9 0.95 1 1.05 1.1
x 104
0
20
40
60
80
100
120
140
nest
2 detectors
5 detectors
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.460
20
40
60
80
100
120
140
est
2 detectors
5 detectors
90
4.3 Análisis para el caso de partículas con distribución Poisson (aplicación a
fuentes isotópicas)
4.3.1 Valor esperado del estimador
En este caso se analiza el problema cuando las partículas que inciden sobre el primer detector se representan
mediante una variable aleatoria Z que tiene distribución Poisson de parámetro n ( ). Este análisis
fue desarrollado para el caso de dos detectores en la sección 2.3.
En la tabla 4.3 se muestran las distribuciones de las variables y sus parámetros característicos en este caso.
variable distribución E[] = μ VAR[] = σ2
Z (part. inc.) Poi(n) n n
X1 Poi(n ε) n ε n ε
Xout1 Poi(n q) n q n q
X2 Poi(n ε q) n ε q n ε q
Xout2 Poi(n q2) n q
2 n q
2
X3 Poi(n ε q2) n ε q
2 n ε q
2
:
:
:
:
:
:
:
:
Xout (j-1) Poi(n q(j-1)
) n q(j-1)
n q(j-1)
Xj Poi(n εq(j-1)
) n ε q(j-1)
n ε q(j-1)
:
:
:
:
:
:
:
:
Xo = Xout (k-2) Poi(n q(k-2)
) n q(k-2)
n q(k-2)
X = Xk-1 Poi(n ε qk-2
) n ε qk-2
n ε qk-2
Xout (k-1) Poi(n q(k-1)
) n q(k-1)
n q(k-1)
Y = Xk Poi(n ε q(k-1)
) n ε q(k-1)
n εq(k-1)
Tabla 4.3: Distribución de las variables, valores esperados y varianzas en la disposición de la fig.4.1
para partículas con distribución Poisson.
Si se comparan estos valores con los de la tabla 4.1, se ve que los valores esperados de las variables son los
mismos, pero las varianzas no, dado que el anterior caso trataba variables binomiales y el presente trata
variables que provienen de la aplicación de la distribución binomial a una Poisson, lo cual ha sido visto que
devuelve una Poisson.
La diferencia es que la ecuación antes planteada como 4.1 ahora cobra otro significado:
91
Z (4.70)
Donde ahora Z es una variable aleatoria con distribución Poisson y parámetro n ( ).
La cantidad de partículas se puede estimar igual que antes como:
(4.71)
Sin embargo, en el mejor caso, este estimador podrá alcanzar la dispersión de la fuente (Z).
Luego el estimado de la cantidad de partículas es el mismo que antes (ec.4.3) y lo escribimos como:
(4.72)
Para hallar el valor esperado de este estimador, hay que aplicar el operador esperanza matemática y haciendo
uso de sus propiedades [2,3] al igual que en la sección 4.2.3 se tiene:
(4.73)
Luego, utilizando la ecuación 2.44 (sección 2.2.2), puesto que la forma funcional del estimador es la misma, el
procedimiento para encontrar el valor esperado del estimador es el mismo y vale:
(4.74)
Donde, , (Fig. 4.1). Puesto que la covarianza con las variables Poisson es cero ( )
(demostrado en la sección 2.3.1, ecuación 2.139) y las varianzas coinciden con los valores esperados (
, ver tabla 4.2), resulta para el paréntesis de la ec. 4.74:
(4.75)
Que es el mismo que la ecuación 4.46. Utilizando los valores de la tabla 4.2,
92
(4.76)
Que reemplazándola en 4.73, se obtiene:
(4.77)
Que es el mismo resultado que para las variables Binomiales.
4.3.2 Varianza del estimador de partículas
La varianza del estimador de la población (ec.4.72) será:
(4.78)
En este caso utilizando puesto que , se tiene que:
(4.79)
Luego, utilizando las propiedades de la covarianza [2,4]:
(4.80)
Por lo tanto, reemplazando 4.79 y 4.80 en 4.78, se tiene:
(4.81)
La varianza de este estimador ( ) se calcula con el desarrollo en serie del estimador como se hizo en la ec.
4.56 :
(4.82)
Donde , , . Sin embargo, la covarianza entre estas dos variables en esta disposición cuando
tienen distribución Poisson es cero ( ) (demostrado en la sección 2.3.1, ecuación 2.139). Los valores
esperados son:
93
(4.83)
Reemplazando 4.83 en 4.82, se tiene:
(4.84)
Para el cálculo de la covarianza entre la variable ( ) y el estimador ( ) el procedimiento y el resultado es el
mismo que los desarrollados en las ecuaciones 4.59 a 4.66. En el desarrollo mencionado siempre se expresó la
probabilidad como P() sin mencionar de qué distribución se trataba, por ende da igual para distribución
Binomial o Poisson y arroja el mismo resultado,
(4.85)
Reemplazando 4.84 y 4.85 en la ec.4,.81, se tiene:
(4.86)
Puesto que para variables Poisson:
(4.87)
resultando,
(4.83)
En esta ecuación se puede ver que cuando la eficiencia tiende a uno, ( ), la varianza tiende a
que es la varianza de de la fuente (Z).
94
4.3.3 Incerteza relativa y comparación con el caso de variables Binomiales
Utilizando la ecuación 4.83, se puede calcular la incerteza relativa como:
(4.84)
Donde se ve claramente que el error disminuye con el número de detectores y tiende rápidamente a la
dispersión de la fuente. También se observa que para el caso de dos detectores (k=2), la fórmula 4.84 coincide
con la presentada en el tratamiento de dicho caso en la sección 2.3.3 (ec. 2.146).
Fig.4.5: Incerteza relativa en para 2 a 5 detectores comparando las variables Poisson (ec.4.84)
con el caso de variables Binomiales (ec.4.69), n=10000.
En la figura 4.5, se observa que para el caso presentado (n=10000), cuando se trata de variables Poisson, la
incerteza relativa del estimador tiende a la incerteza de la fuente ( ) conforme la eficiencia de los
detectores es mas grande.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia de los detectores ()
incert
eza r
ela
tiva e
n ^
n
2 det. Poiss
3 det. Poiss
4 det. Poiss
5 det. Poiss
2 det. Bin
3 det. Bin
4 det. Bin
5 det. Bin
95
4.3.4 Simulación con variables Poisson
Para verificar las fórmulas obtenidas para el caso de variables con distribución Poisson se realizó una
simulación por Mote-Carlo considerando el Influence Method con cinco detectores. Los valores esperados de
cada variable, así como sus desvíos estándar se calcularon con las ecuaciones presentadas en la tabla 4.4.
μ = E()
Simulado
μ = E ()
calculado
Simulado
Calculado
Z (inc.par.) 9998.6 10000 98.91 100
X1 3998.36 4000 63.31 63.24
X2 2400.53 2400 47.49 48.99
X3 1439.79 1440 37.50 37.94
X4 864.29 864 29.84 29.39
X5 518.18 518.4 22.45 22.76
(2 det.) 10020.7 10000 315 316.23
(ec. 2.146)
(5 det.) 10012.2 10000 176.1 171.58
(ec. 4.84)
(2 det.) 0.39946 0.4 0.01558
0.0155
(ec. 4.143
ec. 2.85)
(5 det.) 0.39943 0.4 0.00757 0.00742
(4.142)
Tabla 4.4: Comparación entre valores simulados y calculados con las formulas analíticas
para el caso de variables Poisson.
En la Tabla 4.4 se muestra cómo los valores simulados ajustan muy bien a los predichos analíticamente por el
desarrollo realizado.
Si se comparan estos valores con los de las variables Binomiales de la tabla 4.3, puede verse que la incerteza
en el estimador resulta muy similar. Mientras que como se demostrará en la sección siguiente, el estimador
de eficiencia es insensible a la distribución de las variables.
96
4.4 Estimador de eficiencia
4.4.1 Varianza para variables Binomiales
Para estimar la eficiencia, con el estimador definido en (ec. 4.73), se puede definir como el estimador para
la eficiencia:
(4.85)
Como se trata de dos variables aleatorias correlacionadas, su varianza se calcula como [3]:
(4.86)
Por lo tanto, si se quiere calcular el cuadrado del error relativo:
(4.87)
Luego, utilizando los valores de la tabla 4.1:
(4.88)
Y usando la ecuación 4.68:
(4.89)
La covarianza entre la variable y su estimador se calcula como:
(4.90)
Puesto que y , se tiene
97
(4.91)
Luego:
(4.92)
Donde es la probabilidad de que el estimador tome el valor j sabiendo que la variable
tomo el valor .
(4.93)
La segunda sumatoria es el valor esperado para el estimador cuando la variable tomó el valor
( ).
Para calcular dicho valor esperado es conveniente separarlo en tres casos, k>3, k=3 y k=2.
Para más de tres detectores k>3:
Puesto que,
y
Se tiene,
(4.94)
Pero la sumatoria vale,
(4.95)
98
Por otra parte, teniendo en cuenta que,
(4.96)
Por ende,
(4.97)
Aquí se pone el símbolo de aproximadamente igual porque aparecería un segundo término, pero como se
demostró en la sección 4.2.4, si se cumple la condición (ec. 4.49) es despreciable.
Reemplazando 4.95 y 4.97 en 4.94,
(4.98)
Reemplazando 4.98 en 4.93,
(4.99)
Reemplazando 4.99 y 4.91 en 4.90 se concluye:
(4.100)
Para el caso de tres detectores k=3:
Se tiene que,
(4.101)
Luego,
(4.102)
Hay que tener en cuenta que:
99
(4.103)
Por ende,
(4.104)
Luego, reemplazando en 4.102,
(4.105)
Y por lo tanto,
(4.106)
Finalmente, de para k=3, reemplazando 4.106 y 4.91 en 4.90, también se tiene,
(4.107)
Para dos detectores k=2, por completitud:
El estimador es:
(4.108)
En este caso se tiene:
(4.109)
Por lo tanto, reemplazando 4.109 en 4.93, se tiene para este caso:
(4.110)
Para resolver esta sumatoria se puede aproximar la función por su desarrollo en serie de Taylor
alrededor de su valor medio:
100
(4.111)
La derivada evaluada en el valor medio vale:
(4.112)
Y por lo tanto,
(4.113)
Reemplazando 4.113 en 4.110 se tiene,
(4.114)
Reemplazando en esta ultima en 4.90 y usando 4.91, se tiene para dos detectores (k=2),
(4.115)
Finalmente, es posible encontrar el error relativo en el estimador de la eficiencia reemplazando 4.88, 4.89 y
4.100 (que resultó igual que 4.107) en 4.87, se tiene:
(4.116)
101
Para completar el desarrollo para cualquier caso, si se tienen dos detectores k = 2, reemplazando 4.88, 4.89 y
4.115 en 4.87, se tiene:
(4.117)
Que es la formula obtenida en el desarrollo del IM original de dos detectores tratado en la sección 2.2.6 (ec.
2.85).
4.4.2 Varianza para variables Poisson
Para el caso de que las variables tienen distribución Poisson también hay que usar la ecuación 2.87 para
estimar el cuadrado del error relativo del estimador,
(4.118)
En este caso, usando los valores de la tabla 4.2:
(4.119)
Y usando la ecuación 4.84:
(4.120)
Para calcular la covarianza entre la variable y su estimador se calcula con la ecuación 4.90:
Puesto que las distribuciones Poisson tienen el mismo valor esperado que las Binomiales y
, se tiene igual que en ese caso la ecuación 4.91:
102
La diferencia con el desarrollo de la sección 4.3.1, es que aquí aparece la variable , luego:
(4.121)
Donde es la probabilidad de que el estimador tome el valor j sabiendo que la
variable tomo el valor y que la variable Z tomo el valor z.
(4.122)
La tercera sumatoria es el valor esperado para el estimador cuando la variable tomo el valor y la
variable Z tomo el valor z ( ).
Para calcular dicho valor esperado es conveniente separarlo en tres casos, k>3,k=3 y k=2.
Para más de tres detectores k>3:
Puesto que,
y
Se tiene
(4.123)
Luego, puesto que:
(4.124)
103
Aquí se pone el símbolo de aproximadamente igual porque aparecería un segundo término, pero como se
demostró en la sección 4.2.4, si se cumple la condición (ec. 4.49) es despreciable.
Reemplazando 4.124 y utilizando el resultado de la ecuación 4.95 en 4.123,
(4.125)
Reemplazando 4.125 en 4.122:
(4.126)
Acá, la segunda sumatoria es el valor esperado de X1, dado z ( ), luego:
(4.127)
Donde M2 es el momento inicial de segundo orden de la variable Z y vale:
(4.128)
Reemplazando 4.128 en 4.127,
(4.129)
Finalmente, reemplazando 4.126 y 4.91 en 4.90 se concluye:
(4.130)
Para el caso de tres detectores k = 3:
La única diferencia es que el segundo término de la ecuación 4.123 (la sumatoria señalada ) vale cero, por lo
tanto,
(4.131)
y se obtiene la misma solución para la covarianza:
104
(4.132)
Para el caso de dos detectores k = 2:
El estimador es:
En este caso se tiene:
(4.133)
Por lo tanto, reemplazando 4.133 en 4.122, se tiene para este caso:
(4.134)
Donde la función es una función de la variable X1, cuando la variable Z tomó el valor z.
Para resolver esta sumatoria se puede aproximar la función por su desarrollo en serie de Taylor
alrededor de su valor medio:
(4.135)
La derivada evaluada en el valor medio vale:
(4.136)
Y por lo tanto,
(4.137)
Reemplazando 4.137 en 4.134:
105
(4.138)
Puesto que y ,
(4.139)
Reemplazando 4.139 y 4.91 en 4.90, se tiene para dos detectores (k = 2),
(4.140)
Finalmente, más de dos detectores k>2, reemplazando 4.119, 4.120 y 4.130 (que resultó igual que 4.132) en
4.118, se tiene,
(1.141)
106
Luego el error relativo es,
(4.142)
Que es exactamente la ecuación que se encontró cuando se trataba de variables Binomiales (ecuación 4.116).
Por consiguiente, el estimador de eficiencia presenta el mismo error relativo independientemente de cuál es la
distribución de las variables. Esto lo convierte en un estimador muy robusto.
Por completitud, para el caso de dos detectores k = 2, como verificación, usando 4.140,
(1.143)
Resultando:
(1.143)
Que coincide con la formula presentada en el desarrollo de la sección 2.2.6 (ec.2.85).
107
4.4.3 Incerteza relativa del estimador de eficiencia
En la figura se muestra el error relativo en el estimador de eficiencia en función del número de detectores
utilizados para n=10000. Como se demostró en las secciones anteriores, el error relativo de este estimador
resulta independiente de la distribución que tengan las variables.
Fig. 4.6. Error relativo en el estimador de eficiencia para 2 a 5 detectores (n=10000).
4.5 Referencias
[1] I.J. Rios and R.E. Mayer, “Multiple detectors Influence Method”, Journal of Applied Radiation and Isotopes, 111
(2016),92-103.
[2] Casella G., Berger R, Statistical Inference, 2nd edition, Duxbury, USA, 2002.
[3] Rice J., Mathematical Statistics and Data Analysis, 3rd edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, USA, 2007.
[4] Christian Walck, "Hand-book on statistical distributions for experimentalists", Particle Physics Group,Fysikum,
University of Stockholm, 1996.
[5] A. Mood, Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill,1950.
[6] G. R . GRIMMETT and D. R. STIRZAKER , Probability and Random Processes, 3th edition, University of
Oxford,2001
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia ()
err
or
rela
tivo e
n ^
2 det.
3 det.
4 det.
5 det.
108
Capítulo 5. Influence Method aplicado a pulsos de
neutrones “burst”
Muchas aplicaciones requieren medir pulsos intensos de neutrones. Estos pulsos pueden ser generados por
aceleradores, equipos Z-pinch, experimentos de fusión o equipos Plasma Focus.
Si bien existen múltiples métodos para la medición de estos pulsos (tratados en la sección 5.1), la utilización
de contadores proporcionales en modo integrador de carga resulta la más directa y permite además medir
pulsos de neutrones de baja intensidad lo que los hace especialmente atractivos para su aplicación en Plasma
Focus de baja energía. Cuando se utilizan contadores proporcionales, existe el problema de que la carga que se
genera en el detector durante el pulso de neutrones (burst) es tan grande que provoca un fenómeno de
apantallamiento (“space charge effect”) con la consecuente disminución de contaje. Este problema se trata en
la sección 5.2 y su análisis convergió en un modelo que cuenta con una ecuación para la multiplicación
gaseosa que predice como afecta este efecto en contadores proporcionales sometidos a intensos burst. Este
trabajo fue publicado en Radiation Measurements [1] y su alcance permitió mejorar la determinación de las
dosis de radiación en instalaciones pulsadas como HiRadMat facility de CERN [2], el ciclotron de Helmholtz
Zentrum Berlin für Materialien und Energie GmbH (HZB) [3] y el ‘Elettra Sincrotrone Trieste’ (ELETTRA),
Italia [3]. También fue utilizado por Cassell et al. [3] para mejorar su detector (el LUPIN-II) que funcionaba
bien hasta 100 nSv/burst y con este modelo pudo alcanzar la linealidad hasta 5 μSv/burst. Asimismo este
modelo fue utilizado y quedó plasmado en una tesis doctoral de la universidad de Liverpool “Development of
advanced radiation monitors for pulsed neutron fields” [4].
Una vez finalizada la descripción del fenómeno de apilamiento en la sección 5.2, se describe en la sección 5.3
como aplicar el Influence Method en estos casos. Se analiza cómo aplicarlo, no solo para determinar de forma
absoluta los neutrones incidentes, sino que también se propone como estimar el efecto de carga espacial
acumulada (space charge effect) que reduce el contaje aparente de los contadores proporcionales en estas
condiciones. La forma novedosa en que se propone estimar el fenómeno de “space charge effect” presenta una
oportunidad hacia el futuro para que otros investigadores puedan estudiar este problema.
Este último desarrollo fue publicado en Nuclear Instruments & Methods in Physics Research A [5].
109
5.1 Técnicas para la medición de pulsos de neutrones
Una técnica muy utilizada para medir pulsos de neutrones “burst” producidos por equipos pulsados de fusión
como plasma focus o equipos z-pinch es la activación de plata, registrando su decaimiento mediante un
contador Geiger Müller. Para esto, los neutrones de fusión, con una energía de 2.45 MeV o 14MeV (sección
6.5) deben ser moderados de manera que su energía disminuya hasta niveles térmicos mediante un bloque de
parafina o polietileno recubierto en cadmio (para disminuir el background de neutrones térmicos). Los
contadores recubiertos con una lámina de plata (típicamente unos 300μm) se colocan en el interior del bloque.
Este tipo de detector fue desarrollado inicialmente por Lanter y Bannerman en 1968 [6]. Existen alternativas
detectando los beta del decaimiento de la plata con centelladores [7,8], pero el principio de funcionamiento es
el mismo. Este método tiene un límite de detección que es del orden de 106 neutrones por pulso [9].
La plata natural contiene 51.82% 107
Ag y 48.18% 109
Ag y las dos reacciones de mayor sección eficaz para
neutrones térmicos son:
109Ag + n →
110Ag
m →
110Cd + β
-+ γ (Qβ=2.8922MeV,)
107Ag + n →
108Ag
m →
108Cd + β
- + γ (Qβ=1.649MeV)
El 98.56% de la 110
Agm pasa a
110Cd, el 1.44% pasa a
110Ag. El tiempo de vida de la
110Ag es de T1/2 = 24.56
seg, mientras que el del 108
Ag es T1/2 = 142 seg. La sección eficaz de la primera reacción es de σ109 = 113 ± 13
barns, mientras que la de la segunda reacción es de σ107 = 45 ± 4 barns para neutrones térmicos (25meV).
Usualmente se calibra estos detectores con una fuente isotópica de AmBe [10].
El mismo método puede aplicarse si se utiliza Indio en lugar de plata [11] haciendo uso de las siguientes
reacciones:
115In + n →
116In→
116Sn + β
-+γ (Eβ = 3.29 MeV)
115In + n →
116In
m→
116Sn + β
− +γ (Eβ = 1; 0.87; 0.60 MeV )
El tiempo de vida del 116
In es de T1/2 = 13 seg, mientras que el del 116
Inm es T1/2 = 3252 seg. La sección eficaz
de la primera reacción es de σ = 52 barns, mientras que la de la segunda reacción es de σ = 155 barns para
neutrones térmicos (25meV).
Otros elementos de activación con mayor tiempo de vida media como el oro o el cobre no se pueden utilizar
puesto que los plasma focus tienen muy poca producción neta de neutrones por unidad de tiempo.
En los PF muy grandes (como el PF1000[12]) se utilizó la activación de Indio sin moderador, que tiene una
sección eficaz de 0.3 barns para neutrones de 2.45 MeV [12]. Esta técnica presenta el problema de que
requiere gran producción por pulso (por su baja sección eficaz) y que debe conocerse el espectro de energía de
emisión de los neutrones producidos en el PF para pesarlo con la sección eficaz (puesto que la sección eficaz
del Indio varía mucho en este rango de energías [12]).
110
Otro material que se utiliza para la detección de los neutrones de fusión sin moderador es el itrio (Yttrium)
que presenta una sección eficaz del orden de 0.3 barns para neutrones de 2.45MeV pero al igual que el Indio
presenta una gran variación para este rango de energías [13]. El Yttrium activado decae emitiendo un único
gamma de 909 keV que se puede detectar fácilmente con un centellador [13].
Otra opción es medir directamente los neutrones rápidos utilizando Berilio mediante la reacción 9Be(n,α)
6He.
Esta reacción tiene un umbral de 670keV y una sección eficaz del orden de σ ≈ 0.1 barns para neutrones de
aproximadamente 3 MeV. Esta reacción produce un β de 3.5 MeV que escapa del material y puede ser
detectado fácilmente [14].
Los plasma focus de banco de capacitores con energías del orden de 100J o menos emiten entre 104 y 10
5
neutrones por pulso con duraciones del pulso neutrónico de aproximadamente 10 ns y por lo tanto las técnicas
de activación no son efectivas. En estos casos, es más conveniente utilizar contadores proporcionales de 3He
rodeados de algún moderador para termalizar los neutrones de fusión y también para distribuirlos en el tiempo
de manera de producir una expansión temporal del pulso original (con el tiempo característico del moderador
“die-away time”) y lograr con esto un menor apilamiento. La señal obtenida presenta igualmente un
apilamiento inicial y deben utilizarse los detectores en “modo integrador” como se explica en la siguiente
seccion (método propuesto por el Dr. Mayer y utilizado ampliamente [15,16,17]).
En las secciones siguientes se analiza la técnica de medición con contadores proporcionales y se estudia en
detalle el fenómeno de apilamiento que presentan. Este fenómeno provoca una acumulación espacial de carga
en el detector que hace que la multiplicación gaseosa de los contadores disminuya y en consecuencia su
contaje.
Habitualmente, se hace una calibración con una fuente de 252
Cf o 241
AmBe y se asume que el detector
responde al pulso del Plasma Focus con igual eficiencia que las fuentes de calibración.
111
5.2 Efecto de carga espacial en contadores proporcionales
5.2.1 Distribución de altura de pulsos (PHA) en contador proporcional de 3He
Un contador proporcional de 3He consiste en un tubo metálico lleno con alta presión del gas en el cual se
inserta un alambre central muy fino sometido a alta tensión (HV) para generar un campo eléctrico grande
como se muestra en al figura 5.1. La polarización de este detector se hace mediante una fuente de alta tensión
(HV) y una resistencia de polarización grande (R). Esta configuración se puede interpretar como un capacitor
cilíndrico, en el cual aparece una diferencia de potencial (pulso de tensión) cuando algún evento produce
cargas en su interior. Este pulso de tensión que aparece es muy pequeño y está superpuesto a la tensión de
polarización (HV) que es grande (del orden del kV). Para discriminarlo de la tensión de polarización se
utiliza un capacitor de desacople (C). Esta configuración presenta muy alta impedancia, con lo que en ese
punto no es posible alimentar la entrada de un amplificador. Luego se coloca un preamplificador sensible a
carga con el que se logra un pulso de amplitud Vp y su salida presenta baja impedancia con lo que es posible
alimentar un amplificador.
Fig. 5.1 esquema de conexión de contador proporcional en “modo contador”.
Cuando se utiliza en modo “contador”, se coloca un amplificador que aumenta el pulso de amplitud Vp para
mejorar la relación señal ruido y conformar el pulso. Posteriormente se coloca un discriminador con el cual se
selecciona el mínimo nivel de tensión que corresponde a un neutrón que incidió en el detector.
Finalmente, si la amplitud del pulso es mayor que la del mínimo nivel seleccionado, el discriminador genera
un pulso TTL (5V) que puede ser contado por un contador. De esta manera, el contador cuenta pulsos TTL
que corresponden cada uno a un neutrón que interactuó con el detector.
La distribución estadística (histograma) de altura de pulsos (Pulse Height Analysis en ingles) en los
contadores de 3He irradiados con neutrones térmicos presenta un máximo correspondiente al total de la
energía depositada en el gas (full energy peak) por la reacción:
3He + n →p + T + 764keV (5.1)
La absorción de un neutrón térmico por la reacción 3He(n,p)T origina un protón y un tritio con energías
cinéticas de 573 keV and 191 keV respectivamente (de acuerdo a sus masas) que se emiten en direcciones
HV
R
C Preamp Amp
HV
0 Vp
Disc Cont
5V
Contador proporcional
112
opuestas para conservar el momento lineal. Estas partículas avanzan en el gas neutro ionizándolo y dejando en
cada interacción un par ion-electrón y perdiendo en consecuencia una energía media W que va de 40 a 46
eV/par [18,19] para Helio ultra puro y que se reduce a W ≈ 30eV/par para Helio con pequeñas
impurezas[19,20]. Para nuestro detector se midió que W≈39.9±1eV/par (mediante la ecuación 5.4).
Cuando cualquiera de las partículas producidas en la reacción 5.1 (protón o Tritio) se encuentra con la pared,
no deja el total de su energía en el gas y por ende produce un pulso de menor amplitud, esto es lo que se
conoce como efecto pared (wall effect) [21] y se manifiesta como una meseta en el PHA (Pulse Height
Analizer) a la izquierda del pulso de máxima energía como se muestra en la figura 5.1. Un desarrollo
mediante ecuaciones analíticas del “Wall effect” fue desarrollado por Yamane para detectores de BF3 [22].
Figura 5.2: Distribución de altura de pulsos (registrado con un PHA) de un contador de 3He
recubierto en parafina medido a 1400V con una fuente de 252
Cf.
La tensión pico de los pulsos cuya distribución de alturas se muestra en la figura 5.2, es función de la cantidad
de cargas que genere un neutrón en el detector. La carga total que puede dejar un neutrón se puede expresar
como:
(5.2)
Donde:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
wall
effect
full peak
energy
113
no: es el numero de par ion-electrón generados por ionización primaria producidos por la energía depositada
por las partículas originadas en la reacción 3He(n,p)T (573 keV el protón más 191 keV del Tritio)
e: carga del electrón.
M: factor multiplicación gaseosa de la segunda ionización.
La cantidad de pares ion-electrón se puede determinar como:
(5.3)
Donde E es la energía de las partículas liberadas en la reacción (ec. 33) en eV (764000eV para el full-peak) y
W es la energía necesaria para ionizar el gas (39.9±1eV eV/ion-electrón en nuestro caso).
Si se tiene un amplificador sensible a carga como el utilizado en nuestro arreglo experimental, la amplitud del
pulso (Vp) que se obtiene es directamente proporcional a la carga producida en el detector:
(5.4)
Donde G es la ganancia del amplificador utilizado en [V/Coulomb]. Por lo tanto, si se utiliza un
preamplificador de ganancia conocida, es posible obtener M simplemente midiendo la amplitud del pulso de
tensión que genera un neutrón (Vp).
La utilización de los contadores proporcionales en “modo contador” es apropiada siempre que los neutrones
incidan en el detector a una taza tal que los pulsos no se superpongan. Este no es el caso de las aplicaciones en
las que se requiere medir “burst” intensos puesto que en estos casos llega una cantidad importante de
neutrones al detector en un tiempo que puede ser muy corto y por ende, las cargas generadas por cada neutrón
se acumulan en el detector.
Por esto, para medir burst, hay que utilizar el contador en “modo integrador”. En este caso, las señales que se
obtienen luego del preamplificador presentan un fuerte apilamiento como se muestra en la figura 5.3.
Fig. 5.3 esquema de conexión de contador proporcional en “modo integrador”.
Vn HV
R
C Preamp
0
ADC +
Integrador
HV
Vn Vn
114
Como la señal de tensión se origina en el detector que es un capacitor coaxial, la integral de dicha señal es
proporcional a la carga que se generó en el detector. Si inciden neutrones en el detector, la integral (área)
de la señal vale . La integral de un neutrón típico vale donde es la amplitud
más probable (máximo del PHA) de un pulso generado por un único neutrón (dada la forma de la distribución
del PHA, el valor más probable es muy similar a su valor medio). Luego la cantidad de neutrones que
incidieron en el detector se obtiene dividiendo el área de la señal respecto al área de un neutrón típico
.
En la sección 5.2.7 se verá que por la carga acumulada en el detector durante el burst, el numero contado
como relación de las áreas es menor que el número de neutrones que interactuó .
5.2.2 Multiplicación gaseosa y su relación con la tensión del detector
La multiplicación gaseosa se produce cuando un electrón puede ganar suficiente energía cinética por el campo
eléctrico para ionizar el gas neutro. La fracción en que se incrementa el número de electrones en el gas (dne)
por unidad de longitud (dr) se puede escribir con la ecuación de Towsend:
(5.5)
Donde es el coeficiente de primer ionización de Towsend que es función de la relación entre el campo
eléctrico y la presión ( ). E es el campo eléctrico y p la presión del gas.
El coeficiente de multiplicación gaseosa representa en cuánto se incrementó el número de pares en el gas
(M=n/no) y en consecuencia se puede hallar de la solución de la ecuación 5.5 como [23]:
(5.6)
Donde a es el radio del ánodo y rc es el radio donde el campo eléctrico cae por debajo del valor donde no hay
multiplicación.
Como los detectores son cilindros coaxiales, el campo eléctrico se escribe en función del radio como,
(5.7)
en consecuencia para hallar la multiplicación hay que integrar la ecuación anterior,
115
(5.8)
Que utilizando la ecuación 5.7 se puede escribir como
(5.9)
Asumiendo linealidad del coeficiente de Towsend con la relación entre campo eléctrico y la presión
, Diethron [24,25] llega a la expresión ampliamente utilizada:
(5.10)
Donde V es la tensión aplicada en el detector y ΔV y K son dos parámetros empíricos de ajuste. El parámetro
ΔV representa la diferencia de potencial que ve un electrón mientras se mueve entre dos sucesos de ionización
y K es el umbral por debajo del cual no hay multiplicación (M = 1).
Par obtener las constantes K y ΔV del detector de 3He utilizado, se midió la multiplicación (mediante la
ecuación 5.4) en función de la tensión aplicada en el detector utilizando un amplificador Canberra ACHP96 de
ganancia G = 40 V/pC. Para cada tensión de polarización, utilizando una fuente isotópica de 252
Cf, se sacó el
PHA (como el de la figura 5.2) y se obtuvo la amplitud de pulso más probable (Vp), que utilizando la ecuación
5.4, permite obtener la multiplicación gaseosa en cada caso (M).
Los valores obtenidos se ajustan con la ecuación de Diethron (ec.5.10) como se muestra en la figura 5.4,
resultando K = 1.04x106
[V/m atm-1
] y ΔV = 17.98 [V]. Estos valores son comparables a los obtenidos para
detectores de similares características por Ravazzania et al. [26].
116
Fig. 5.4. Multiplicación gaseosa en función de la tensión de polarización. Puntos azules medidos y
aproximación de Diedron, curva verde ec.5.10.
5.2.3 Modificación de la multiplicación por carga espacial
Cuando se generan los pares ion-electrón en el detector, los electrones migran mucho más rápido que los iones
y en consecuencia dejan una zona con carga espacial neta. Esta carga apantalla el ánodo reduciendo en
consecuencia el campo eléctrico y de igual manera la multiplicación gaseosa y la amplitud de los pulsos de
salida del detector.
Para evaluar este efecto, como primera instancia hay que tener en cuenta que la velocidad de difusión de los
iones se puede calcular como:
(5.11)
Donde μ es la movilidad y p la presión. Integrando la ecuación anterior:
(5.12)
1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tension del detector [V]
M
117
Utilizando la ecuación 5.7 y 5.11,
válido para r(t)≤b
(5.13)
Luego, es posible despejar el tiempo que tarda un ion en alcanzar un radio r como:
(5.14)
El tiempo máximo de recolección es el tiempo que tarda un ion en llegar desde el ánodo al cátodo (r = b) y se
calcula como [23,27]:
(5.15)
Para el detector utilizado Tr 1.6 ms. En este punto hay que mencionar que este tiempo no es el risetime del
pulso. La forma del pulso en un detector cilíndrico cuando la constante de integración del circuito de
alimentación es grande (RC >> Tr) es descripta por Kowalski [28] y Knoll [23]. Para hallar la conformación
del pulso de tensión, hay que tener en cuenta que la energía (E+) absorbida por una carga Q de iones que se
mueve por un potencial es:
(5.16)
Que se puede escribir en término del campo eléctrico ( ) utilizando la ec.5.7 como:
(5.17)
Luego, la energía perdida es:
118
(5.18)
Reemplazando la ecuación 5.13 en la anterior, se tiene:
(5.19)
Como la ecuación 5.13 es válida para , la ecuación 5.19 es válida hasta el tiempo en que ,
esto es el tiempo de recolección definido por la ecuación 5.15 ( ).
Como la energía perdida está relacionada con la tensión del pulso a través de [23]:
(5.20)
Siendo C la capacitancia del detector.
Finalmente es posible hallar la forma del pulso:
(5.21)
Utilizando la ecuación 5.13:
(5.22)
Para calcular el risetime T1/2 donde el pulso alcanza la mitad de amplitud ( ) se calcula a partir
de la ecuación 5.22 y resulta:
119
(5.23)
Para el detector utilizado como se ve en la figura 5.5 (comparables con lo reportado
en [29]). Esto es una consecuencia de que el tiempo de difusión depende del radio y por lo tanto los iones
generados cerca del ánodo (que son los mayoritarios por haber más multiplicación) migran muy rápidamente
(porque en esa zona el campo es muy alto), mientras que los que se generan lejos tardan más tiempo en llegar
pero aportan mucho menos a la amplitud total.
Figura 5.5: Ejemplo de conformación del pulso (ec. 5.22) para Q = 3.06x10-14
[Coulomb], C= 1.284 [pF], Vmax=23.9 [mV]
Luego, como el tiempo en que pueden aparecer las cargas (producidas por un burst de neutrones) es mucho
menor que el tiempo en que estos iones se desplazan, hay que tener en cuenta el efecto de apantallamiento que
pueden provocar.
Hendricks [30,31] hace el cálculo para una irradiación a tasa constante R considerando que los iones migran
con un tiempo característico de difusión que depende del radio (ecuación 5.14). En estas condiciones estima la
cantidad de carga neta media como:
(5.24)
Donde,
ρ: densidad de carga media [cargas/m3]
E: energía de la reacción.
W: energía necesaria para crear un par ion-electrón.
0 500 1000 15000
5
10
15
20
V(t
) [m
V]
tiempo [seg]
0 0.5 1 1.5 20
2
4
6
8
10
12
14Zoom
V(t
) [m
V]
tiempo [seg]
120
µ: movilidad de los iones [m2s
-1V
-1Torr]
L: largo del detector
M: multiplicación gaseosa
A diferencia de Hendriks [30], aquí se analiza el caso de un pulso de neutrones “burst” que deposita las cargas
en el detector en un tiempo menor que el tiempo de recolección Tr. En este caso, la densidad de cargas neta es:
(5.25)
Donde, Ni es el número de neutrones incidentes en el burst y Vol el volumen donde se depositan las cargas.
Luego se debe resolver la ecuación de Poisson;
(5.26)
Sujeto a las condiciones de contorno
(5.27)
La solución para todo el largo L es [30]*:
(5.28)
*No se incluye π junto al como figura en la ecuación 8 de Hendrick porque es un error que fue resaltado
por Pawlowski y Cudny [32] ,Sipila [33] y Mathieson [34].
El primer término es el potencial en el detector en ausencia de carga. Cuando la multiplicación es alta (M>10)
se asume que todos los iones positivos se generan cerca del alambre, en consecuencia el campo en dicha
región (r << b) se puede escribir como:
(5.29)
Luego queda manifiesto que el efecto de la carga es reducir el campo eléctrico cerca del alambre,
(5.30)
El cambio efectivo en el potencial es:
121
(5.31)
Luego utilizando la ecuación (5.10) hay que reescribir la multiplicación como:
(5.32)
Para escribir M’ en función de los neutrones incidentes en el pulso hay que considerar que el segundo neutrón
ve disminuida su multiplicación por la carga que dejó el primero, en consecuencia tiene menos multiplicación
y deja menos carga. El tercero ve la carga que dejó el primero y el segundo y en consecuencia su
multiplicación es aún menor. Este análisis es válido puesto que los electrones abandonan la zona de interés
(cerca del ánodo) en un tiempo Telec ≈ Tion/1000 = Trx10-6 1.6 ns y los pulsos de neutrones duran 10-50 ns y
además se dispersan en el tiempo por el moderador. En consecuencia, había que re-escribir la caída de tensión
por las cargas (ec.5.31) como:
(5.33)
Definiendo,
(5.34a)
(5.34b)
(5.34c)
(5.34d)
Se puede escribir la ecuación 5.32 como:
(5.35)
Como es función de (ec.5.33), se puede hacer el desarrollo en serie de Taylor para resolver la ecuación
5.35 como:
(5.36)
122
Donde:
(5.37)
y,
(5.38)
Luego
(5.39)
Como, (5.34.d):
(5.40)
Para comparar el comportamiento de la función aproximada de la multiplicación gaseosa (ec. 5.40), se realizó
una simulación iterativa. En dicha simulación, primero se calcula la multiplicación gaseosa inicial (cuando
aun no hay cargas) dada por la ecuación 5.10 (Mo). Con dicha multiplicación gaseosa se calcula el cambio en
el potencial que produce el primer neutrón que llega con la ecuación 5.33
, luego se
123
calcula cuál es la multiplicación gaseosa para el segundo neutrón con la ecuación 5.35 (y las constantes según
ec. 5.34)
. Con dicha multiplicación gaseosa se calcula el cambio en el
potencial que produce el siguiente neutrón que llega con la ecuación 5.33
, luego se
vuelve a calcular cuál es la multiplicación gaseosa para el siguiente neutrón con la ecuación 5.35
. Así, iterativamente se puede ir encontrando cuánto vale la multiplicación gaseosa en
función de los neutrones incidentes. En la figura 5.6 se compara la solución del problema iterativo con la
aproximación analítica expresada por la ecuación 5.40.
Figura 5.6: reducción de la multiplicación gaseosa calculada iterativamente comparada con la aproximación
analítica (ec. 5.40).
Utilizando la ec. 5.10, 5.34 y 5.40:
(5.41)
Como la amplitud del pulso es directamente proporcional a M’ (ec. 5.4) se puede escribir la disminución
relativa de la amplitud de los pulsos del detector en función de los neutrones incidentes como:
0 50 100 150 200 250 3000
5
10
15
20
25
30
35
neutrones incidentes en el burst
M
Iterativo
aprox. ec.5.40
124
(5.42)
En la figura 5.7 se representa este comportamiento y puede verse por ejemplo que si el apilamiento inicial se
corresponde con 100 neutrones, los que lleguen posteriormente (por el die-away time del moderador) tendrán
una amplitud del 45% aproximadamente.
Figura 5.7: disminución relativa de amplitud de los pulsos del contador utilizado con 1400V
según los neutrones incidentes.
Aunque este fenómeno es difícil de observar para la señal de un único pulso, puede manifestarse en el PHA de
múltiples pulsos de neutrones como se mostrará en la sección 5.2.5.
Hay que hacer notar que este desarrollo matemático presentado hasta aquí y fundamentalmente las ecuaciones
5.33-5.42 fue publicado en Radiation Measurements [1] y representa en cuánto se estima por defecto la
radiación cuando el detector se somete a un fuerte burst. Este resultado sirvió para mejorar la determinación
de las dosis de radiación en instalaciones pulsadas como HiRadMat facility de CERN [2], y se utilizó en el
ciclotrón de Helmholtz Zentrum Berlin für Materialien und Energie GmbH (HZB) [3] y el ‘Elettra Sincrotrone
Trieste’ (ELETTRA), Italia [3]. Asimismo Cassell et al. [3] reportaron que su detector (el LUPIN-II) que
funcionaba bien hasta 100 nSv/burst y luego subestimaba la dosis por el efecto aquí estudiado, logró con la
aplicación de este modelo alcanzar la linealidad hasta 5000 nSv/burst.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ni: neutrones incidentes
Vp`/
Vp
125
Asimismo este modelo aquí desarrollado fue utilizado y quedó plasmado en una tesis doctoral de la
universidad de Liverpool “Development of advanced radiation monitors for pulsed neutron fields” [4].
5.2.4 Arreglo experimental
Para comparar las distribuciones de altura de pulsos del PF con una fuente isotópica, tanto el PF como la
fuente de 252
Cf se utilizaron en la misma posición presentando el mismo ángulo solido para los detectores. Los
PF utilizados son los descriptos en el capítulo 6. Se utilizaron 6 contadores proporcionales 3He TEXLIUM
modelo: 9325 de 25 mm de diámetro x 200 mm de largo (b = 12.5 mm a = 12.5x10-3
mm) con 10 atm de 3He,
con moderador de polietileno de 200 mm x 300 mm x 20 mm situado a 50 cm de la fuente como se muestra en
la figura 5.8.
Fig.5.8: Set up experimental
Se utilizó un preamplificador sensible a carga, marca AmpTek modelo A111 muy rápido (risetime = 25ns, fall
time = 220ns) que permite una óptima resolución de los pulsos del arreglo de detectores.
Para los pulsos de este sistema de detección se midió un risetime=1.6 µs (consecuente con la ecuación 5.23) y
un falltime=12 µs (RC del circuito de alimentación) como pueden verse en figura 5.9.
5.2.5 Mediciones
La técnica actual con este tipo de detectores para medir pulsos de neutrones como en los plasma focus,
implica utilizarlos en “modo integrador” y estimar la cantidad de neutrones incidentes basados en el PHA
(Pulse Height Amplitude) de una fuente de calibración y el área de la curva registrada por el 3He durante el
126
burst como se muestra en la figura 5.3. El área registrada en el burst, se divide por el área más probable de un
único neutrón (sacada del “full energy peak” del PHA de la fuente de calibración) y de esta manera se obtiene
el número de neutrones detectados.
Un estudio detallado de este método donde se presenta inclusive la función de densidad de probabilidad que
tienen las áreas de los pulsos generados por el PHA de una fuente de calibración en función del número de
neutrones apilados que aparezcan se presenta en [16,35].
Los pulsos característicos a la salida del preamplificador cuando se utiliza una fuente isotópica (252
Cf) se
muestran en la figura 5.9.
Figura 5.9: Tres pulsos generados por neutrones individuales vistos a la salida del preamplificador obtenidos
con la fuente isotópica de 252
Cf.
La señal que presentan los 3He ante un burst de neutrones es un fuerte pulso inicial seguido de la aparición de
múltiples señales de neutrones montadas en la original (forma de serrucho) como se muestra en la figura 5.10.
50 100 150 200 250 300
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
tiempo [seg]
Tensio
n [
mV
]
50 60 70 80 90 100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
tiempo [seg]
Tensio
n [
mV
]
127
Fig. 5.10: Señal de seis burst obtenidos con el Plasma Focus.
Fig. 5.11: Señal de un burst obtenido con el Plasma Focus.
Se puede observar un pico inicial muy breve correspondiente al ruido electromagnético de la descarga del PF,
luego un fuerte apilamiento y posteriormente los neutrones que siguen escapando del moderador utilizado con
su tiempo característico (die-away time).
0 50 100 150 200 250 3000
200
400
600
800
[seg]
[mV
]
0 50 100 150 200 250 3000
200
400
600
800
[seg]
[mV
]
0 50 100 150 200 250 3000
200
400
600
800
[seg]
[mV
]
0 50 100 150 200 250 3000
200
400
600
800
[seg]
[mV
]
0 50 100 150 200 250 3000
200
400
600
800
[seg]
[mV
]
0 50 100 150 200 250 3000
200
400
600
800
[seg][m
V]
0 50 100 150 200 250 3000
100
200
300
400
500
600
[seg]
[mV
]
128
Determinación del tiempo de moderación:
Para registrar la distribución temporal de los neutrones moderados que salen del polietileno y que interactúan
con el detector luego del burst de neutrones rápidos, se utilizó un CANBERRA Multiport MultiChannel
Scaler (MCS) con una ventana de tiempo de 30 μseg por canal.
Luego, se puede estimar el tiempo característico del moderador (die-away time) teniendo en cuenta que una
aproximación para la solución de la difusión de los neutrones se puede escribir como [36]:
El tiempo característico medido con el Multi Channel Scaling (MCS) (Fig. 5.12) resultó de 80µseg.
Fig. 5.12: MCS[window 30µseg.]
Determinación del PHA:
El espectro de PHA típico de estos detectores representado en la Fig. 5.3 se obtuvo de la manera habitual a
través de un analizador multicanal en el modo de PHA. Este método no es aplicable al caso donde el detector
es sometido a un burst donde las alturas de pulsos (pertenecientes a cada neutrón) están montadas en una gran
señal de apilamiento como se mostró en la figura 5.11 y en consecuencia deben medirse uno por uno
registrando cada burst en un osciloscopio. En consecuencia, para comparar los resultados de PHA producido
por burst (del PF) y los resultados para la fuente de neutrones constante sin apilamientos (252
Cf) , ambas
mediciones deben tomarse de igual manera. Eso es midiendo (para ambos tipos de irradiación) directamente la
altura de cada pulso correspondiente a un neutrón registradas en la pantalla del osciloscopio.
y = e-0.0128x R² = 0.6691
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 50 100 150 200 250 300
N/N
i
Tiempo [useg]
129
En la figura.5.13 se muestran los PHA tomados de esta manera. En la parte inferior se muestra el PHA
obtenido mediante este método con la fuente de 252
Cf, que es consistente con el de la figura 5.2. En la parte
superior de la Fig. 5.13 se muestra el PHA obtenido para el caso de los burst del PF. En este último, se
evidencia una mayor proporción de pulsos con alturas mayor que la del “full energy peak” (FEP) lo cual es
consecuencia la gran probabilidad de doble y triple apilamiento que existe en este tipo de irradiación. Sin
embargo, lo más importante de destacar es que se observa una mayor proporción de las señales más chicas que
es FEP (que aparecen a la izquierda del FEP) debido al fenómeno descripto en las secciones anteriores de la
disminución de la multiplicación gaseosa como consecuencia de la fuerte acumulación de carga espacial que
produce apantallamiento durante el burst de neutrones.
Fig. 5.13: PHA obtenido con el mismo método para burst del PF, comparado con el inferior para una fuente
de emisión continua de 252
Cf
5.2.6 Comparación del PHA
Cuando se releva el PHA para un detector de 3He sometido a una irradiación con neutrones se observa una
variación estadística de las amplitudes de pulsos generados. Para una fuente pulsada (como un PF) el efecto de
atenuación de los pulsos representado como Vp’/Vp (ec. 5.42) debido al apantallamiento eléctrico (Fig. 5.7),
se manifiesta como un incremento en el PHA a la izquierda del pico de energía completa (FEP). Esta zona en
5 10 15 20 250
20
40
60
80
100
Tension del preamplificador [mV]
cuenta
s p
or
bin
PHA con PF
5 10 15 20 250
50
100
150
Tension del preamplificador [mV]
cuenta
s p
or
bin
PHA con 252Cf
130
el detector sometido a una fuente de radiación convencional (continua) es la zona del llamado “efecto pared”
[21] (Fig.5.3).
La forma de medir el conocido efecto pared es determinar la relación entre el área a la izquierda del FEP
respecto del área total. ). Por esto, para compararlas, se normaliza a 100% el máximo del FEP para los dos
casos y se los grafica superpuestos en la figura 5.14. La relación de aéreas mencionada es igual a la
probabilidad de que las partículas cargadas originadas en la reacción 3He(n,p)T no dejen toda su energía
cinética en el gas, sino que se chocan antes con la pared. Esta probabilidad se calcula también como la
relación entre el rango de las partículas cargadas respecto al diámetro del detector R/D [29], donde R = Rp+RT
representa la suma del rango del protón y el tritio generados en la reacción.
Fig. 5.14: Comparación de los PHA donde queda explícitamente mostrado como aumenta la zona donde se
produce apantallamiento (Vp’ <Vp).
Luego se obtiene para la relación de área a la izquierda (L) respecto al total (L+R) que equivale al R/D:
Para la fuente de 252
Cf: R/D = 0. 357 ± 0.002 (en [29] reportan para un detector como el que se utilizó aquí
R/D medido: 0.327)
Para el Plasma Focus R/D =0.508 ± 0.021
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
20
40
60
80
100
Tension del preamplificador [mV]
cuenta
s n
orm
aliz
adas
PHA of PF
PHA of 252Cf
RL
Zona de
apantallamiento
Vp' < Vp
efecto
pared
Doble
apilamiento
en el PF
131
Por ende, se incrementaron los pulsos de menor tensión que los del FEP en más de 42% cuando los contadores
de 3He son sometidos a pulsos rápidos con un Plasma Focus. Con esto se muestra el efecto de la disminución
en la multiplicación gaseosa por causa del apantallamiento en el campo eléctrico debido a las cargas
generadas en el detector. Estas cargas son consecuencia de la incidencia de neutrones generados por el pulso
del PF en un tiempo menor que el tiempo de recolección de las cargas en el detector (Tr).
5.2.7 Neutrones contados en función de los incidentes
Puesto que los neutrones contados se calculan como el área total de la señal del burst ( )
dividida el área de un neutrón típico ( ), (siendo a la constante de integración a=RC), se puede
escribir como y utilizando la ecuación 5.42 resulta,
(5.43)
Luego, se puede graficar los neutrones contados en función de los que incidieron como se muestra en la figura
5.15. Según la ecuación 5.43 se observa que el efecto de apantallamiento depende de las dimensiones
geométricas, de la presión del gas y de la tensión aplicada al detector (V). A mayor tensión aplicada la
multiplicación es mayor y por ende los pulsos tienen mayor amplitud y resulta más fácil discriminarlos, pero
el efecto de apantallamiento también se ve magnificado.
Figura 5.15: (izquierda) neutrones incidentes respecto a los contados por el detector para el detector descripto
en 5.2.1 con una tensión aplicada de 1400V y 1300V. (Derecha) neutrones contados por el detector respecto a
los incidentes. En negro figura los valores si no se considera el efecto de apantallamiento.
0 10 20 30 40 50 60 7010
0
101
102
neutrones contados por el detector
neutr
ones incid
ente
s
con ap. (1400V)
con ap. (1300V)
sin apantallamiento
0 50 100 150 200 250 300 350 40010
0
101
102
neutr
ones c
onta
dos p
or
el dete
cto
r
neutrones incidentes
con ap. (1400V)
con ap. (1300V)
sin apantallamiento
132
Según la ecuación 5.43, y utilizando las definiciones de los parámetros (ec 5.34), si se conocen todos los
valores geométricos del detector , su presión de llenado y la tensión de polarización, es posible determinar
exactamente cuántos neutrones incidieron en función de los contados. En muchos casos no se conocen todos
estos parámetros, o la incerteza sobre los mismos es demasiado grande, lo cual limita el uso de esos
contadores en medidas que requieran buena precisión.
En la siguiente sección se plantea como utilizar el Influence Method en estos casos, aún desconociendo todos
los parámetros del detector (geométricos, de presión y tensión).
133
5.3 Aplicación del Influence Method a “bursts” con contadores proporcionales
5.3.1 Mediciones de burst con contadores proporcionales
Como se estudió en la sección anterior, cuando se utilizan contadores proporcionales para medir pulsos
intensos de neutrones (burst), la gran cantidad de neutrones que interactúa con el detector genera una
importante carga espacial que reduce la multiplicación gaseosa del detector (space charge effect). Por lo tanto,
en estas condiciones se subestima la medición. Si se conocen las características geométricas, la presión del gas
y la tensión del detector, es posible aplicar el método analítico que se desarrolló en la sección 5.2 para corregir
la medición y determinar los neutrones incidentes en función de los contados a través de la ecuación 5.43.
Este fenómeno es muy estudiado por su aplicación en la medición de dosis en grandes instalaciones como
HiRadMat facility de CERN [3] el ciclotrón de Helmholtz Zentrum Berlin für Materialien und Energie GmbH
(HZB) [4] y el ‘Elettra Sincrotrone Trieste’ (ELETTRA) [5].
Una idea intrínsecamente asociada al Influence Method presentado en los capítulos 1,2 y 3 es que como el
problema original tiene dos incógnitas (n , ε), con el recurso de colocar dos detectores uno detrás del otro, se
logran dos ecuaciones de dichos parámetros de las cuales es posible despejar los estimadores para los mismos.
Esta idea puede extenderse para aplicarse al problema del apilamiento en los detectores. Si se desconoce el
número de partículas (n), la eficiencia de los detectores (ε) y la constante de apilamiento que representa la
disminución de la llamada “multiplicación gaseosa” (luego se demostrará que se puede modelar por un único
parámetro A), si se colocan tres detectores uno detrás del otro, es posible definir los estimadores para los
parámetros mencionados.
Si se considera que se utilizan contadores proporcionales para la medición de pulsos intensos de neutrones, el
número de neutrones deducidos a través de integrar la carga eléctrica total recogida después del burst, será
subestimado debido a la disminución de la multiplicación gaseosa dentro de cada tubo detector, causada por la
acumulación de carga espacial positiva en el volumen activo. La disminución de la multiplicación gaseosa
después de las interacciones de Ni neutrones incidentes con el detector se trató en la sección 5.2 y se puede
modelar por,
(5.44)
Donde V es la alta tensión aplicada al detector, mientras que las constantes se calculan como,
(5.45a)
134
(5.45b)
(5.45c)
Donde:
a: radio del ánodo
b: radio del cátodo
ΔV y K son dos constantes que ajustan a la expresión de Diethorn [24].
p: presión de llenado
E: energía de la reacción de detección (764 keV para 3He)
W: energía necesaria para crear un par ion-electrón en el gas
Vol: Volumen donde se deposita la carga
La ecuación 5.44 puede interpretarse como el factor en que disminuye el contaje por apantallamiento y es fácil
ver que se puede reescribir como:
(5.46)
Donde Ni son los neutrones que inciden e interactúan con el gas del detector, A es una constante que depende
de la tensión, presión, dimensiones y puede deducirse su expresión analítica mediante la ecuación 5.44 como,
(5.47)
El parámetro A así definido representa el número de neutrones que deben interactuar con el detector para
reducir su contaje a la mitad. Uno de los parámetros más difícil de determinar en la ecuación 5.47, como en
todo el modelo desarrollado en la sección 5.2, es el volumen donde se encuentra distribuida la carga (Vol). En
este sentido, es que el método desarrollado en este capítulo puede dar aportes para futuras investigaciones al
respecto.
En la figura 5.16 se muestra el valor de A para los detectores utilizados en la sección 5.2.
135
Fig 5.16. Valor de A (ec. 5.47) vs. Tensión del detector para los detectores utilizados
Recordando que A representa los neutrones que hacen que el detector cuente la mitad, como puede verse en la
figura 5.16, si los detectores se utilizan con 1400 Volts por ejemplo, 90 neutrones incidentes hacen que el
detector marque 45. Este puede parecer un numero bajo de neutrones, pero hay que recordar que para que este
fenómeno de apantallamiento ocurra, esos 90 neutrones deben ingresar en un tiempo del orden de los
microsegundos por lo tratado en la sección 5.2, lo que corresponde a flujos muy intensos.
Por lo tanto si X son los neutrones que interactúan con el detector, por el efecto de apantallamiento en realidad
se mide:
(5.48)
Donde X es una variable aleatoria (X) cuya distribución es una binomial de parámetros n, ε ( ). En
las mediciones de pulsos, el valor n para un pulso es constante y por lo tanto solo aplica n = constante y las
variables Binomiales como se trató en la sección 2.2.
Dado que el apantallamiento modelado a través de la ecuación 5.48 sólo depende de las características del
detector, el parámetro A es el mismo para todos los detectores (si los detectores son iguales) y afecta con la
misma forma funcional las variables aleatorias que representan los contajes medidos de los distintos
detectores.
1000 1100 1200 1300 1400 150010
1
102
103
104
Tension del detector [V]
valo
r de A
136
5.3.2 Estimación con tres detectores
Luego, utilizando la idea del Influence Method, como hay tres parámetros desconocidos (n, ε, A), hay que
medir con tres detectores uno detrás del otro como se muestra en la figura 5.17 para poder estimarlos.
Fig.5.17. Esquema de medición para aplicación del Influence Method
con contadores proporcionales en modo integración de carga.
En esta configuración, las expresiones para las tres variables medidas son:
(5.49)
Los valores esperados se pueden calcular a través del desarrollo de Taylor (como se hizo en la sección 2.2.2
ec.2.42), que a primer orden valen:
(5.50)
Las varianzas de las variables expresadas en 5.49 también se pueden hallar con el desarrollo de Taylor
(sección 2.2.3 ec. 2.50) como,
X
n
μX=nε
Xout1
Y
μout1=nq
μY=nεq
Z
Xout2
μZ=nεq2
μout2=nq2
ADC +
Integrator
XM
YM
ZM
137
(5.51)
En la Tabla 5.1 se encuentran las variables que se miden en el esquema de la figura 5.17, sus valores
esperados y varianzas correspondientes.
Variable E() = μ VAR() = σ2
X
Y
Z
Covarianza Covarianza
COV(X,Y)
COV(X,Z)
COV(Y,Z)
Tabla 5.1.Valores esperados, varianzas y covarianzas para el esquema de la figura 5.17.
Con las ecuaciones de los valores esperados expresadas en ec. 5.50, se pueden despejar los estimadores de los
parámetros desconocidos como,
(5.52)
(5.53)
138
(5.54)
Para calcular las varianzas de los estimadores es conveniente escribir los mismos en función de las variables
X,Y,Z para utilizar las covarianzas entre estas variables que resulta más fácil de calcular.
De esta manera utilizando las ecuaciones 5.49, es posible escribir la ecuación para el estimador de partículas
como:
(5.55)
Luego las derivadas para el estimador de partículas son:
(5.56)
Para el estimador de eficiencia:
(5.57)
Luego las derivadas para el estimador de eficiencia son:
(5.58)
139
Para el estimador del parámetro de apantallamiento A,
(5.59)
Las derivadas son:
(5.60)
De esta manera, con el desarrollo en serie de Taylor (como se hizo en la sección 2.2.3) se calcula la varianza
como [7]:
(5.61)
Donde G es la funcion de las variables X,Y,Z y representa los estimadores.
Cuando se evaluan las derivadas en los valores esperados de la la tabla 5.1 y reemplazando en la ecuación
5.61, se hallan las varianzas de los estimadores como:
(5.62)
(5.63)
(5.64)
Luego, la incerteza relativa en el estimado de partículas y de eficiencia valen,
140
(5.65)
(5.66)
Viendo estas ecuaciones hay que remarcar que las incertezas relativas en el estimador de eficiencia y en el
estimador de partículas, no dependen del apantallamiento (A). En la figura 5.18 se grafican estas incertezas
relativas para distinto número de partículas incidentes.
Fig 5.18. (izquierda) Incerteza relativa en el estimador (ec. 5.65) para distinta cantidad de neutrones incidentes.
(derecha) incerteza relativa en el estimador de eficiencia (ec. 5.66).
Para la estimacion del factor de apantallamiento (A), el error relativo vale,
(5.67)
En este caso se ve que el error relativo en el estimador de apilamiento es directamente proporcional al
parámetro de apilamiento (A) y disminuye con el número de partículas como . En la figura 5.19 se
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia ()
incert
eza r
ela
tiva e
n ^
n
n=102
n=103
n=104
n=105
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia ()
incert
eza r
ela
tiva e
n ^
n=102
n=103
n=104
n=105
141
muestra el comportamiento del error relativo en este estimador para distintos valores de apantallamiento y de
partículas incidentes.
Fig 5.19. (izquierda) error relativo en el estimador para distintos valores de A, para n=1000.
(derecha) error relativo en el estimador para distintos valores de A , para n=10000.
Resulta evidente que es conveniente aumentar,cuanto se pueda, el número de particulas incidentes para poner
de manifiesto el efecto de apantallamiento y de esta manera cometer el menor error posible en la estimacion
de este parámetro.
5.3.3 Simulación para tres detectores
Para poner a prueba las expresiones analíticas de la sección anterior, se hicieron diversas simulaciones por
Monte Carlo. En la Figura 5.20 se muestran las distribuciones de las variables para el caso elegido de n =
10000, ε = 0.8 y A = 10000 (ejemplo con apilamiento intermedio).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia ()
incert
eza r
ela
tiva e
n ^
A
A=102
A=103
A=104
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
eficiencia ()
incert
eza r
ela
tiva e
n ^
A
A=102
A=103
A=104
n=1000 n=10000
142
Fig 5.20. Simulación con los parámetros n = 10000, ε = 0.8 and A = 10000.
(arriba) histograma de cuentas que los detectores registrarían en ausencia de apantallamiento (variables X,Y,Z);
(abajo) registros de los detectores debido al apantallamiento (variables XM,YM,ZM).
En la figura 5.20 se observa cómo la distribución de las cuentas medidas en el detector X (XM) resultan mucho
menor que los neutrones que realmente interactuaron con este detector (X) por culpa del apantallamiento. Sin
embargo en el detector Y este efecto es menos notorio puesto que con este actúan muchos menos neutrones y
por ende la carga que se genera en el detector es menor y menor será el efecto de apantallamiento. Por último,
el detector Z, prácticamente no se ve afectado por el apantallamiento dado que a este último le llegan muy
pocos neutrones.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000
50
100
150
200
frec.
de o
curr
encia
cuentas
X
Y
Z
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000
50
100
150
200
cuentas
frec.
de o
curr
encia
XM
YM
ZM
143
Fig 5.21. Distribución de los estimadores. (Azul) estimador (ec. 5.52). (Verde) distribución del estimador (ec. 5.53).
(Marrón) distribución del estimador (ec.5.54) para n = 10000, ε = 0.8, A = 10000.
En la figura 5.21 se muestran las distribuciones de los estimadores calculados con los valores simulados. Los
parámetros obtenidos en esta simulación, se comparan con los calculados a través del modelo teórico
desarrollado en la sección anterior en la Tabla 5.2.
μ = E[ ]
Simulado
μ = E [ ]
Teórico
Simulado
Teórico
X 8000.77 8000 39.81 40.00
Y 1599.29 1600 36.54 36.66
Z 319.84 320 17.73 17.60
XM 4444.65 4444.44 12.29 12.35
YM 1378.91 1379.31 27.15 27.24
ZM 309.91 310.07 16.65 16.52
10055.5 10000 964.96 976.76
0.7996 0.8 0.01596 0.01587
10365.75 10000 1802.24 1481.03
Covarianzas Monte Carlo Teórico
COV(X,Y) -1293.95 -1280
COV(X,Z) -257.36 -256
COV(Y,Z) -50.58 -51.2
Tabla 5.2. Resultados de la simulación con los parámetros n=10000, ε=0.8 and A=10000, para el caso de tres detectores.
0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 104
0
20
40
60
80
100
120
nest
0.75 0.8 0.850
20
40
60
80
100
120
140
est
0.5 1 1.5 2
x 104
0
50
100
150
200
Aest
144
Ejemplo de muy alto apantallamiento:
Para comparar, se propone el caso con A diez veces más chico que el ejemplo anterior (mucho más efecto de
apilamiento). En este caso, se elige n = 10000, ε = 0.8 y A = 1000 (muy alto apantallamiento). El apilamiento
muy alto se pude dar, por ejemplo, si se utiliza mucha tensión en los detectores como se muestra en la figura
5.16.
Fig 5.22. simulación con los parámetros n = 10000, ε = 0.8 y A = 1000.
(arriba) histograma de cuentas que los detectores registrarían en ausencia de apantallamiento (variables X,Y,Z);
(abajo) registros de los detectores debido al apantallamiento (variables XM,YM,ZM).
Fig 5.23. Distribución de los estimadores. (Azul) estimador (ec. 5.52). (Verde) distribución del estimador (ec. 5.53).
(Marrón) distribución del estimador (ec.5.54) para n = 10000, ε = 0.8, A = 1000.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000
50
100
150
200
cuentas
frec.
de o
curr
encia
X
Y
Z
200 300 400 500 600 700 800 9000
50
100
150
cuentas
frec.
de o
curr
encia
XM
YM
ZM
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
x 104
0
20
40
60
80
100
120
140
nest
0.7 0.75 0.8 0.85 0.90
20
40
60
80
100
120
140
est
900 950 1000 1050 11000
20
40
60
80
100
120
140
Aest
145
μ = E[ ]
Simulado
μ = E [ ]
Teórico
Simulado
Teórico
X 8001.94 8000 40.39 40.00
Y 1598.85 1600 37.23 36.66
Z 319.58 320 18.13 17.60
XM 888.91 888.88 0.48 0.49
YM 615.13 615.38 5.22 5.42
ZM 242.04 242.42 10.4 10.1
10024.7 10000 968.02 976.76
0.7996 0.8 0.0165 0.01587
1001.2 1000 14.86 14.81
Covariances Monte Carlo Teórico
COV(X,Y) -1305.41 -1280
COV(X,Z) -256.7 -256
COV(Y,Z) -48.2 -51.2
Tabla 5.3. Resultados de la simulación con los parámetros
N = 10000, ε = 0.8 and A = 1000, para el caso de tres detectores.
En la tabla 5.3 se puede comprobar que la incerteza relativa en es del 10%, en el estimador de eficiencia
es del 2% y para es del 1.5%. Estos valores son compatibles si se entra en las figuras 5.18 y 5.19 con los
parámetros de simulación n = 10000, ε = 0.8 y A = 1000.
5.3.4 Estimación con dos detectores
Una alternativa al método presentado en las secciones anteriores puede implementarse si se mide la eficiencia
de los detectores previamente en un experimento de calibración basado en el método desarrollado en el
presente trabajo, donde el número de partículas no sea suficiente como para producir apilamiento. En este
caso la eficiencia pasa a ser un parámetro conocido y por ende, con sólo dos detectores se podría estimar los
otros dos parámetros desconocidos en condición de funcionamiento (n, A).
146
En el experimento de calibración la eficiencia de los detectores se estima como se mostró en la sección 3.7
con los dos detectores como:
(5.68)
Como se demostró en el capítulo 3, la eficiencia de esta manera definida se puede obtener con una incerteza
muy pequeña si el tiempo de contaje es grande.
Luego se debe colocar un detector detrás del otro como se muestra en la figura 5.15 sin necesidad de utilizar
el detector Z.
Fig. 5.24. Esquema con dos detectores.
En estas condiciones, como se hizo en la sección anterior, los valores esperados de la variable (XM, YM) son,
(5.69)
Por lo tanto, se pueden despejar los estimadores de los parámetros como,
(5.70)
(5.71)
Luego, igual que en la sección anterior, es posible calcular las varianzas de los estimadores escribiéndolos en
función de las variables X,Y puesto que las covarianzas entre éstas es más fácil de calcular que las
X
n
μX=nε
Xout1
Y
μout1=nq
μY=nεq
ADC +
Integrator
XM
YM
147
covarianzas entre las variables medidas. De esta manera, con el desarrollo en serie de Taylor [7] se calcula la
varianza como,
(5.72)
Utilizando las expresiones de las variables (5.96) y reemplazándolas en la ec. 5.70, se tiene,
(5.73)
Luego, las derivadas de este estimador son,
(5.74)
Para el estimador del parámetro de apantallamiento,
(5.75)
cuyas derivadas son,
(5.76)
Reemplazando 5.74 en 5.72 y los valores esperados de la tabla 5.1, se tiene
(5.77)
148
Y reemplazando 5.76 en 5.72 y los valores esperados de la tabla 5.1, se tiene:
(5.78)
Luego, la incerteza relativa en el estimado de partículas y de apantallamiento valen,
(5.79)
(5.80)
En la figura 5.25 se muestran estas incertezas relativas para distintos números de partículas.
Fig.5.25: error (izquierda) error relativo en el estimador (ec. 5.79) para distinta cantidad de neutrones incidentes.
(derecha) error relativo en el estimador de apantallamiento (ec. 5.80) para A = 104.
Si se comparan los valores de incerteza graficados en la figura 5.25 con los de la figura 5.18 y 5.19, se puede
ver que para el mismo número de partículas incidentes, el error relativo es menor con dos detectores que con
tres detectores. Esto se debe a que en el caso analizado en esta sección (dos detectores), hay un parámetro
desconocido menos (determinado en una experiencia previa de calibración) que en el caso precedente.
Para comparar los dos casos, se puede dividir la ecuación 5.65 por la 5.79 obteniendo la relación entre el error
relativo que se comete en el estimador de partículas si se usan tres detectores comparado con utilizar dos
detectores. De igual manera si se divide la ecuación 5.666 por la 5.80 para el estimador de apantallamiento.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
eficiecia
incert
eza r
ela
tiva d
e ^
n
n=102
n=103
n=104
n=105
0 0.2 0.4 0.6 0.8 110
-3
10-2
10-1
100
eficiecia
incert
eza r
ela
tiva d
e ^
A
n=102
n=103
n=104
n=105
149
En la figura 5.26 se grafica esta relación entre usar tres detectores respecto al método con dos detectores para
mostrar que siempre el error relativo en el método con tres detectores es mayor (más de tres veces) que
utilizando sólo dos. También se puede ver que esta diferencia se hace aun mayor cuanto más grande es la
eficiencia de los detectores utilizados.
Fig 5.26. Incerteza relativa con tres detectores respecto a utilizar el método con dos detectores.
Para un único par de valores medidos (XM ,YM), n y A pueden ser reemplazados en las ecuaciones 5.79 y 5.80
por sus estimadores (ec. 5.73 y 5.75) para encontrar la expresión de los estimadores con su incerteza (al 68% )
( , ), para un único pulso de radiación como,
(5.81)
(5.82)
Cabe recordar que no se ha introducido la incerteza en la eficiencia ( ε) dentro de los cálculos anteriores,
debido a que se había establecido que se la podía obtener con una incerteza tan chica cuanto se necesitara,
mediante el contaje durante un tiempo suficiente en el trascurso del experimento de calibración.
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
eficiencia de los detectores
incert
eza c
on t
res r
especto
a d
os d
et.
estimador n^
estimador A^
150
5.3.5 Simulación para el caso de dos detectores
Para poner a prueba las expresiones analíticas de la sección anterior, se hicieron diversas simulaciones por
Monte Carlo. En la Tabla 5.4 se muestran los resultados para el caso elegido de n = 10000, ε = 0.8 and A =
10000 (ejemplo con apilamiento intermedio).
μ = E()
Monte Carlo
μ = E ()
Teórico
Monte Carlo
Teórico
X 8001.31 8000 40.32 40
Y 1599.06 1600 36.43 36.66
XM 4444.82 4444.44 12.44 12.34
YM 1378.53 1379.31 27.078 27.24
9994.57 10000 295.65 297.38
10038.07 10000 434.35 427.91
Covarianza Monte Carlo Teórico
COV(X,Y) -1285.35 -1280
Tabla 5.4. Resultados obtenidos de la simulación por Monte Carlo comparados con los valores del modelo analítico para
n = 10000, ε = 0.8 , A = 10000, con dos detectores.
Si se comparan los valores de la tabla 5.4 con los de la tabla 5.2 (caso de tres detectores) se puede comprobar
que la incerteza en los estimadores es mucho menor y concuerda con los cálculos teóricos del modelo
analítico. De hecho el error en pasó de 976.76 (para el caso de tres detectores) a 297.38 para el caso de dos
detectores. Esto implica que se redujo 3.28 veces, lo que concuerda con lo mostrado en la figura 5.26.
151
Fig 5.27. Distribución de los estimadores. (Azul) estimador (ec. 5.79).
(Marrón) distribución del estimador (ec.5.80) para n = 10000, ε = 0.8, A = 10000.
En la figura 5.27 se muestran las distribuciones de los estimadores para esta simulación donde también puede
compararse con el caso de tres detectores (Fig.5.23) para ver como se redujo la dispersión de las mismas.
5.4 Referencias
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proportional detectors”, Radiation Measurements 53, 31-37, (2013)
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0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
x 104
0
20
40
60
80
100
120
nest
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
x 104
0
20
40
60
80
100
120
Aest
152
[9] L. Soto, J. Moreno, P. Silva, C. Pavez, M. Cárdenas, and L. Altamirano, “Development of portable neutron generators
based on pinch and plasma focus discharges”, Report to Second Research Coordination Meeting of AIEA Coordinated
Research Project on Neutron Based Techniques for the Detection of Illicit Materials and Explosives, Mumbai, India
(2007)
[10] Etaati G.R., Amrollahi R., Doust-Mohammadi V., Ghal-Eh N., Habibi M., “Calibration Constant of a Silver Activated Geiger Counter Used for Neutron Efficiency Measurements in Plasma Focus Devices: Theoretical vs.
Experimental Studies”, Journal of Fusion Energy, 29, 381-386 (2010)
[11] O.N. Krokhin, V.Ya. Nikulin, E.N. Peregudova, and I.V. Volobuev, “Compact activation detectors for measuring of
neutron emission on plasma focus installations”, Problems of Atomic Science and Technology.nro1 Series: Plasma
Physics (10). P. 101-103 (2005)
[12] A. Gentilini, J.P. Rager, K. Steinmetz, M. Tacchi, D. Antonini, B. Arcipiani, P. Moioli, E. Pedretti and R. Scafe,
“Comparison of four calibration techniques of a silver activated Geiger counter for the determination of the neutron yield
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[13] M. V. Roshan, S. V. Springham, R. S. Rawat, P. Lee, and M. Krishnan, “Absolute measurements of fast neutrons using Yttrium”, Review of Scientific Instruments, 81, 083506 (2010)
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P. Lee, “Novel fast-neutron activation counter for high repetition rate measurements”, Review of Scientific Instruments
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Resolution on Plasma Focus PACO.”. Internatnl. Symp. Plasma’99, July 1999, Warsaw, Poland. Journal of Technical
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D–D fusion reactions based upon a 3He proportional counter”, Meas. Sci. Technol.19,(2008)
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[19] T.E. Bortner, G.S. Hurst “Ionization of pure gases and mixtures of gases by 5-Mev alpha particles”, Phys. Rev. 93,
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[20] W.P. Jesse, J.Sadauskis, “Alpha-particle ionization in mixtures of the noble gases”, Phys. Rev. 88, 417.(1952)
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153
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in proportional counters”, Nuclear Instruments and Methods, 176, 381-387 (1980)
[34] E. Mathieson, “Dependence of gain on count rate, due to space charge, in coaxial and multiwire proportional
chambers”, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A249, 413-420 (1986)
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to yield measurements of a neutron burs, Review of Scientific Instruments 85, 013502 (2014).
[36] Beckurts K.H. and Wirtz K., “Neutron Physics”, Springer-Verlag, p.173. (1964)
154
Capítulo 6. Plasma Focus utilizados para medir burst
Para las mediciones que se realizaron en la sección 5.2 se utilizaron dos Plasma Focus de baja energía.
Uno es un plasma Focus de origen Ruso perteneciente a la universidad de Tandil que forma parte de la red
PLADEMA. El otro se construyo en la división neutrones y reactores del centro atómico Bariloche.
En este capítulo de desarrollan los fundamentos que describen el funcionamiento de los Plasma Focus y se
muestran las características del pasma focus construido.
6.1 Descripción del plasma focus
Un dispositivo Plasma Focus (PF) consiste en un par de electrodos cilíndricos coaxiales, separados
por un aislante (Fig.6.1), colocados en una cámara con gas a baja presión entre los cuales se descarga la
energía eléctrica almacenada en un banco de capacitores. Por ende, el parámetro característico de los PFs es la
energía eléctrica almacenada en dicho banco.
Al producirse la descarga eléctrica se forma una lámina de plasma sobre el aislante, la cual se va acelerando
por el campo magnético azimutal generado por la misma corriente. Al llegar al extremo de los electrodos, la
lámina se cierra radialmente hacia al eje colapsando en una columna de plasma muy densa. La resultante auto
compresión de la columna de plasma estrangula la corriente y la hace circular por una región muy pequeña
provocando en esta zona una elevada densidad (~1019
cm-3
) y elevada temperatura (~1 keV) por un corto
tiempo (~50 ns), esto se conoce desde los comienzos de la década del 50 como efecto pinch [1]. Bajo estas
condiciones los PFs emiten iones, electrones y rayos X. Si se utiliza como gas para la descarga Deuterio o
mezcla Deuterio–Tritio, las condiciones mencionadas en el pinch pueden activar las reacciones de fusión
termonuclear de los elementos mencionados emitiendo neutrones.
Existen dos configuraciones características que se han desarrollado desde el surgimiento de los plasma focus.
Una es la configuración de Filippov (Figura 6.1) desarrollada en Rusia en 1962 [2] que surgió como evolución
de un equipo Z-pinch para mejorar el nivel de producción neutrónica. En estos equipos la longitud de los
electrodos es menor o comparable a su radio. Como consecuencia el recorrido radial de la lámina de corriente
es mayor que el recorrido axial.
La otra configuración fue presentada por Mather [3,4,5] (Figura 6.1) en USA en 1964 quien registró el
fenómeno de focalización en un acelerador coaxial (coaxial gun). Esta configuración se destaca por tener
como longitud característica el largo de los electrodos (mucho mayor que su radio), lo cual permite una mayor
aceleración axial de la lámina. También se han desarrollado alternativas como electrodos coaxiales
enfrentados [6] o el hibrido que combina las dos configuraciones [7]. Sin embargo en la actualidad el tipo
Mather es el más utilizado con electrodos con longitudes típicas de decenas de centímetros y radios del orden
de los centímetros.
155
Figura 6.1 – Configuraciones de Plasma Focus. Izquierda: tipo Filipov. Derecha: tipo Mather
Desde sus inicios, se desarrollaron equipos con energías muy por encima del kilo Joule con bancos de
condensadores de entre 1 y 1000 F y tensiones de carga en el rango de 2 a 100 kV. Los valores típicos de la
corriente de descarga van desde 100 kA en equipos de pequeña energía (1 kJ), hasta algo más de 1 MA para
los de mayor energía (1000 kJ) como es el caso del PF1000 de Frascati [8]. A partir del año 2000 surgió el
interés por lograr PF de menor energía, impulsado por la red PLADEMA (Plasmas densos Magnetizados),
logrando equipos de 400J [9], 50J [10] y hasta 0.1 Joule [11,12]. La cantidad de neutrones emitidos por
descarga van desde 104 para los más pequeños hasta 10
13 para el PF1000. Se puede encontrar mucha
información de los PFs así como programas de simulación en: www.plasmafocus.net
6.2 Circuito eléctrico de los Plasma Focus
Desde el punto de vista eléctrico, la descarga de un PF es equivalente a la de un circuito RLC serie (Fig. 6.2),
con la particularidad de que la inductancia total es la suma de un término constante (inductancia externa Lo),
más un término variable correspondiente a la inductancia del sistema lámina-electrodos, que como evoluciona
espacialmente, no es constante en el tiempo (L(t)) [13]. El capacitor (Co) se carga a una tensión constante
(Vo) y luego se descarga a través de una llave gaseosa (Spark Gap SG) sobre la cámara del PF. Asimismo
debe considerarse que la resistencia de la lamina (r(t)) también varia en el tiempo aunque se suele ignorar para
simplificar el problema.
156
Figura 6.2: Circuito eléctrico equivalente del PF.
La ecuación del circuito (despreciando r(t)) es:
(6.1)
Por lo tanto, la dinámica de la lamina de plasma queda directamente vinculada al comportamiento circuital a
través de L(t).
Un modelo orientado al punto de acceso de las mediciones, toma en cuenta que la tensión siempre se mide en
la base del PF como se señala en la Figura 6.3.
Figura 6.3: Circuito eléctrico desde el punto de medición de V(t)
En este caso SGp representa el comportamiento de formación inicial de la lámina de corriente y Lo representa
la inductancia total del circuito implementado. El parámetro Lo’ corresponde a la inductancia entre el punto
de medición de tensión y la lámina de corriente inicial [13], y se mide en un primer experimento haciendo un
cortocircuito en la base del PF.
Luego la tensión medida es:
(6.2)
Co
SG Lo-Lo’
L(t)
Vo Cámara PF
I(t)
Lo’ SGp
V(t)
Co
SG Lo ro L(t)
r(t)
Vo Cámara PF
I(t)
157
Con lo que se puede obtener fácilmente la inductancia de la lámina de plasma con las señales medidas como:
(6.3)
La señal de tensión se mide con un divisor resistivo o un divisor capacitivo [14,15] y la corriente se mide
usualmente con una bobina de Rogowski, aunque también existen sensores magneto-ópticos [16]
6.3 Dinámica del plasma
La dinámica del plasma involucra las ecuaciones de movimiento de la lámina de corriente mediante las
ecuaciones MHD (Magneto Hidro Dinámicas) y las vincula con las ecuaciones del circuito que se discutió en
el punto anterior.
El primer paso en este análisis es la formación de la lámina de plasma. Una vez que el banco de capacitores se
carga con una energía Eo aplicándoles una tensión Vo, la descarga se inicia cuando se cierra la llave gaseosa de
cierre rápido (spark-gap) que vincula los capacitores con los electrodos del PF (Figura 6.2). Las cargas
superficiales en el aislante hacen que la descarga se inicie (Breakdown) sobre éste como una delgada lámina
de corriente si la condición de presión y tensión son las adecuadas (Flashover). Los mecanismos
fundamentales involucrados como ser la ionización primaria, ionización secundaria, avalancha y difusión de
las cargas están ampliamente desarrollados en los libros de física de plasmas [17,18,19]. Respecto a la
formación superficial de la lámina de plasma, existen estudios fotográficos que permitieron aproximar
analíticamente el contorno de la forma de la descarga en este primer estadio [18-19]. Asimismo, Donges et al.
[20] estudiaron la influencia de distintos materiales de aislante como Pyrex, Al2O3, PTFE y PVC en el tiempo
de arranque de la descarga (delay time of breakdown) y la resistencia de la lámina en este estadίo (plasma
resistance during flashover).
Una vez formada la lamina, el modelo más simple utilizado divide la evolución de la lámina en dos etapas
[21], una axial y otra radial como se muestra en la figura 6.4.
Figura 6.4: etapa axial y etapa radial de la evolución de la lamina de plasma.
axial
radial
Electrodo externo
Electrodo interno
158
Un modelo más detallado utilizado actualmente divide la etapa radial en tres fases para tener en cuenta la
reflexión de la onda de choque. Este modelo se conoce como el de 5 fases de Lee [22] y se describen a
continuación. Para simular estas etapas es posible encontrar los programas en [23].
a) Etapa axial: (snowplow model)
La lamina formada sobre el aislante inicia su movimiento por la fuerza de Lorentz creada (J r x Bθ)
desplazándose supersónicamente (104 a 10
5 m/s) hacía el extremo del electrodo interno. Como el campo
magnético no es uniforme (decrece en la dirección de la coordenada radial), diferentes porciones radiales de la
lámina avanzan a distintas velocidades en dirección axial. Conforme avanza, la lámina va ionizando por
choque y por campo eléctrico los átomos del gas neutro que encuentra a su paso, incorporando masa a su
estructura como si fuera una barredora (este modelo se conoce como snowplow).
Esta etapa ha sido objeto de muchas investigaciones y se dispone de gran cantidad de datos experimentales en
diferentes condiciones. La dinámica de la lámina de corriente ha sido estudiada por medio de sondas
magnéticas y fotografía ultrarrápida, así como métodos interferométricos para la zona de desborde. Por medio
de las sondas se mide la variación temporal del campo magnético de la descarga y puede determinarse la
velocidad axial de la lámina, su curvatura y la distribución interna de corriente. La curvatura puede
determinarse también por medio de fotografías laterales ultrarrápidas (~100 ns de tiempo de exposición)
cuando se produce el desborde. Todas estas diagnósticas han mostrado que durante el movimiento entre los
electrodos, la lámina de corriente se mueve con velocidad aproximadamente constante y sin sufrir
deformaciones apreciables.
Esta etapa finaliza cuando la lámina alcanza el extremo del electrodo interno.
b) Etapa radial con onda de choque en propagación ( Radial Inward Shock Phase):
La lámina que ha alcanzado el extremo del electrodo en la dirección longitudinal, comienza a acelerarse y
deformarse radialmente, dirigiéndose hacia el colapso en el eje de los electrodos. La velocidad radial media
durante esta etapa supera a la correspondiente velocidad axial de la etapa anterior al menos por un factor
cinco, y la aceleración toma valores del orden de 1011
a 1013
cm/s2.
Convencionalmente se dice que la etapa de convergencia finaliza cuando el frente de choque alcanza el eje de
los electrodos. Habitualmente esta etapa tiene una duración típica comprendida entre los 100 y 500 ns.
Durante esta etapa, la lámina de corriente adquiere un movimiento que es fuertemente acelerado debido al
incremento de la fuerza magnética de barrido que varia con la inversa del radio del pistón magnético radial
que evoluciona hacia el centro del electrodo. Esta etapa es de vital importancia, ya que es aquí donde la
lámina adquiere la mayor aceleración antes de que se produzca el colapso en el eje. Durante esta etapa suelen
surgir inestabilidades magnetohidro-dinámicas que crecen con el tiempo, y el comportamiento del plasma
dependerá fuertemente de cómo se desarrollen las mismas.
159
Esta fase se describe por cuatro ecuaciones acopladas. La primera ecuación calcula la velocidad de choque
radial hacia el centro provocada por la presión magnética de conducción. La segunda ecuación calcula la
velocidad de alargamiento axial de la columna. La tercera ecuación calcula la velocidad axial de la lámina
actual, (pistón magnético), permitiendo que la lámina de corriente se separe del frente de choque mediante la
aplicación de una aproximación adiabática. La cuarta es la ecuación del circuito eléctrico. Efectos
termodinámicos debido a la ionización y excitación son incorporados en estas ecuaciones puesto que son
particularmente importantes para los gases distintos del hidrógeno o deuterio.
Los parámetros del modelo son el factor de incorporación de masa (fmr) y factor de corriente (fcr) y se
utilizan en las tres fases radiales. El factor de incorporación de masa (fmr) tiene en cuenta todos los
mecanismos que tienden a aumentar o reducir la cantidad de masa en la lamina en movimiento, durante la fase
radial. El factor de corriente (fcr) representa la fracción de corriente que fluye efectivamente en el pistón que
se mueve formando la parte posterior de la lámina. Esto define efectivamente la fracción de corriente que
circula por la porción radial.
c) Etapa Radial, fase de onda de choque reflejada:
Cuando el frente de la onda de choque golpea el eje imaginario del PF, se desarrolla una onda que se mueve
radialmente hacia el exterior, mientras que la lámina de corriente continúa moviéndose hacia el interior.
Cuatro ecuaciones acopladas también se utilizan para describir esta fase. Una para la onda reflejada en
movimiento radialmente hacia el exterior, otra para la lámina de corriente moviéndose radialmente hacia el
interior, otra para el alargamiento de la columna anular y una última ecuación del circuito eléctrico. El mismo
modelo y parámetros fmr y fcr se utilizan como en la fase radial anterior
d) Etapa de Compresión (Pinch Phase):
Cuando la onda reflejada golpea la lamina de corriente en movimiento, la compresión entra en una fase de
radiación. Cuando se utiliza por ejemplo neón como gas, la emisión de radiación puede realmente mejorar la
compresión y hay que incluir términos energéticos para pérdida o ganancia por calentamiento Joule y pérdidas
por radiación en la ecuación de movimiento de la lámina.
Tres ecuaciones acopladas describen esta fase; siendo éstas la ecuación de movimiento radial de la lámina, la
ecuación de la elongación columna (pinch) y la ecuación de circuito eléctrico. La duración de esta fase de
compresión lenta se establece como el tiempo duración del pinch.
En el pinch se pueden lograr una densidad muy altas (1018
a 1019
[1/cm3]) y temperaturas máximas del orden
del keV. Durante la compresión hay dos fuerzas radiales opuestas: por un lado la presión del plasma dentro
del pinch (relacionada con su energía interna) y por otro lado la presión magnética generada por la fuerza de
Lorentz. Por esto, el pinch experimenta una fase estable solo durante algunos nanosegundos (10-50 ns).
Luego, el cilindro de plasma se desarma súbitamente debido a la aparición de inestabilidades de Rayleigh-
Taylor llamadas “de m = 0” [20].
160
Todo este panorama muestra que el foco es un plasma de compleja estructura interna, que evoluciona muy
rápidamente en el tiempo. Los datos experimentales permiten tener una idea de los procesos que allí ocurren.
e. Etapa de expansión:
En esta última fase se utiliza el modelo de barredora (snow plow) y dos ecuaciones acopladas como en la fase
axial. Esta fase no se considera importante, ya que se produce después de la focalización.
Existen otros modelos que son más refinados y explican con mayor detalle la etapa del pinch [24,25,26] y con
esto tratan de mejorar la descripción de la dinámica para explicar mejor la producción de neutrones.
6.4 Producción de neutrones en Plasma Focus
Como se comentó anteriormente, una consecuencia de la compresión del foco de plasma es la producción de
diversos tipos de radiación. Entre ellos puede mencionarse a partículas cargadas (protones, iones y electrones)
y rayos X blandos provenientes del mismo foco de plasma. También los electrones libres provenientes del
foco que son acelerados por campo eléctrico hacia la base del ánodo, producen rayos X duros por radiación de
frenado (bremsstrahlung) por interacción con el material del electrodo.
En el caso de usarse Deuterio o Tritio como gas de llenado, se activan reacciones de fusión, con la
consecuente producción de neutrones y protones. En el fenómeno de fusión dos núcleos livianos se unen para
formar uno más pesado con liberación de energía al medio. La fusión de dos nucleídos livianos en uno más
pesado de mayor energía de ligadura posee menor energía interna que el estado inicial. Esta diferencia de
energía interna aparece como energía cinética ganada por los productos de fusión. Los nucleídos más livianos
que el hierro (Fe) pueden tener esta fusión exotérmica.
La fusión de dos nucleídos requiere que éstos se aproximen con la suficiente energía cinética para vencer la
repulsión coulombiana. Estas energías son del orden de las decenas de keV y equivalen a temperaturas
cercanas al millón de grados. Mientras más pesados son los nucleídos, más difícil es alcanzar las condiciones
de temperatura adecuadas, por lo cual las reacciones entre los isótopos del Hidrógeno son las más fáciles de
lograr.
Si se utiliza solo Deuterio, las reacciones posibles son,
D(d,n)3He :
D(d,p)T :
(6.4)
Cuando se utilizan mezclas Deuterio y Tritio también son posibles las reacciones,
T(d,n)4He:
161
T(t,2n)4He:
T(p,n)3He:
(6.5)
Sin embargo la última es endotérmica.
Las reacciones de fusión activadas dependerán de la energía cinética promedio de los nucleídos, así como
también de la sección eficaz de dicha reacción en cada caso. El comportamiento de las secciones eficaces de
las reacciones de fusión D-D y D-T puede verse en la Figura 6.5.
Figura 6.5: Secciones eficaces de fusión: (izquierda) comparación de distintas reacciones, (derecha) Comparación de los
distintos modelos para la reacción D-T.
Estas secciones eficaces presentan un máximo, que en el caso de la reacción D-D se encuentra a mayor
temperatura que la D-T. La reacción D-T es la más atractiva para producir fusión con plasmas, porque a
temperatura menor que 100keV, la sección eficaz es mayor que la D-D por más de dos órdenes de magnitud.
El comportamiento de la sección eficaz se explica teniendo en cuenta los procesos en la interacción de
nucleídos cargados. Por un lado interviene la barrera de potencial coulombiano,
(6.6)
162
Donde Za y Zb son los números atómicos de las especies, e la carga del electrón y r la distancia entre ellos.
La probabilidad de penetrar esta barrera de potencial por tunneling, dependerá de la energía del proyectil (E)
como [27]:
(6.7)
Donde se define la energía de Gamow como,
(6.8)
Siendo,
(6.9)
la masa reducida.
Y la constante de Gamow [27] se define como:
(6.10)
Por otro lado, también hay que tener en cuenta los mecanismos cuánticos (donde la dominante es la fuerza
nuclear débil). En este contexto, la probabilidad de que se produzca la fusión es proporcional al factor
geométrico donde λ es la longitud de onda de de Broglie [28]. En consecuencia, la sección eficaz se
puede aproximar por [28] :
(6.11)
La función S(E) se conoce como función astrofísica o parámetro astrofísico (astrophysical S-function). En la
función S se condensa el comportamiento nuclear intrínseco que pueda tener la reacción, por ejemplo
resonancias (cuando las haya), pero su variación con la energía es considerablemente menor que los otros dos
términos [28].
Un desarrollo que aproxima bien la función astrofísica a bajas energías es el de 9 parámetros desarrollado
por Bosch y Hale [28], donde S(E) se define como:
(6.12)
Cuyos parámetros son:
163
T(d,n)4He D(d,p)T D(d,n)3He
BG [keV-1/2] 34.3827 31.3970 31.3970
A1 6.927x104 5.5576x104 5.3701x104
A2 7.454x108 2.1054x102 3.3027x102
A3 2.050x106 -3.2638x10-2 -1.2706x10-1
A4 5.2002x104 1.4987x10-6 2.9327x10-5
A5 0 1.8181x10-10 -2.5151x10-9
B1 6.38x101 0.0 0.0
B2 -9.95x10-1 0.0 0.0
B3 6.981x10-5 0.0 0.0
B4 1.728x10-4 0.0 0.0
En la Figura 6.5, se muestra la comparación de todos los modelos para la sección eficaz.
Una mejor aproximación para energías más altas es la aproximación de Mott [28], que define la sección eficaz
como:
(6.13)
Sin embargo, el modelo más utilizado en la actualidad que incluye el modelado del parámetro astrofísico S(E)
es el modelo de 5 parámetros desarrollado por Duane [29] que se presenta en NRL [30] definiendo la sección
eficaz como,
(6.14)
En este caso, los parámetros son,
T(d,n)4He D(d,p)T D(d,n)3He
A1 45.95 46.097 47.88
A2 50200 372 482
A3 1.368x10-2 4.36x10-4 3.08x10-4
A4 1.076 1.220 1.177
A5 409 0 0
164
En modelo más actual y simplificado para bajas energías es el de Xing [31] que toma solo 3 parámetros para
la definición,
(6.15)
siendo
(6.16)
Los tres parámetros en este caso son:
T(d,n)4He D-D (ambas)
C1 -0.5405 -60.2641
C2 0.005546 0.05066
C3 -0.3909 -54.9932
Los tres modelos son comparados en la figura 6.5.
La frecuencia de reacción por unidad de volumen (reaction rate), si hay dos especies de iones na nb, se calcula
como
(6.17)
Donde es el promedio de la sección eficaz por la velocidad y es la función delta de Kronecker (1 si
a=b , 0 si a≠b).
En la mayoría de los casos la distribución de velocidades de los iones se puede aproximar por una
Maxwelliana, entonces la cantidad de iones por unidad de energía es:
(6.18)
Donde E es la energía relativa y θ=kT.
Por lo tanto,
(6.19)
en [m3s
-1], donde [barns], θ [keV] y m en masa relativa [a.m.u].
Esta ecuación puede integrarse numéricamente utilizando la expresión de la sección eficaz (ec.5.95 , 5.96 o
5.97). En la figura 6.6, se muestra el valor en función de la temperatura equivalente de los iones.
165
Figura 6.6: función sección eficaz por velocidad.
Para bajas energías (T<25keV), la solución de la ecuación 5.101 se puede aproximar por [32]:
(6.20)
Resultando para las dos reacciones más utilizadas:
(6.21)
En [m3s
-1], con T en [keV].
Finalmente la producción neutrónica por fusión termonuclear en el pinch se calcula como:
(6.22)
Si se utiliza D-D serίa,
(6.23)
Las integrales deben ser evaluadas en el volumen del pinch y la duración del mismo.
El volumen del pinch se puede hallar con las ecuaciones de la dinámica del plasma conjuntamente con las del
circuito como se describió en la sección 1.1.3. El tiempo de duración del pinch es más complejo de determinar
pero se puede ajustar con modelos semiempiricos.
166
6.5 Espectro de neutrones por reacciones termonucleares
Si el plasma contiene dos tipos de iones (a y b, ej. D y T) a una misma temperatura T, la energía media por
colisión es:
(6.24)
La energía cinética relativa al centro de masa será,
(6.25)
Donde vcm es la velocidad del centro de masa y v es la velocidad relativa de los iones respecto al centro de
masa.
El valor medio de la velocidad relativa de los iones se obtiene pesándolos con . En [28] Brysk mostró que
se puede encontrar la siguiente expresión:
(6.26)
Donde θ=kT. Luego, usando la ecuación 5.102, se tiene,
(6.27)
La energía media de los neutrones que se emitan por las reacciones de fusión está vinculada con la energía
cinética media de los iones que colisionan a través de:
(6.28)
Donde n representan al neutrón, α al segundo producto de la reacción de fusión, y Q es la energía resultante de
la reacción.
En la mayoría de los plasmas, y por lo tanto la energía media de los neutrones emitidos es,
(6.29)
167
Donde y son las energías de las reacciones respectivas.
El corrimiento respecto con la temperatura suele ser muy pequeño. Luego la distribución de energía de
los neutrones se puede aproximar por una gausiana de la forma:
(6.30)
Donde
(6.31)
El ancho de altura media de la distribución (FWHM) es . El ancho de esta distribución
resulta medible en la práctica y provee una técnica de diagnostico para determinar la temperatura del plasma
θ, siempre que pueda suponerse maxwelliano.
Para temperaturas de iones bajas (T<25keV), la relación entre y θ es,
para neutrones de reacción D(d,n)3He
para neutrones de reacción T(d,n)4He
(6.32)
con y θ en [keV] [33].
En la figura 6.7 se muestra el espectro de energía de neutrones para reacciones DD y DT en un plasma con
temperatura de 10keV.
Figura 6.7: espectros teóricos calculados con la ecuación 6.31 para reacciones termonucleares DD y DT
en un plasma de 10keV de temperatura.
1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
-3
En [MeV]
f(E
n)
reaccion DD
13 13.5 14 14.5 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
-3
En [MeV]
f(E
n)
reaccion DT
168
6.6 Espectro de neutrones por fenómeno “beam target”
En el caso de los plasma focus además de las reacciones termonucleares existe otro mecanismo capaz de
lograr reacciones de fusión que es conocido como efecto beam-target. Este efecto implica que existen iones en
la zona del pinch con suficiente velocidad para impactar otro ion y lograr una reacción de fusión. Este
fenómeno no tiene que ver con la temperatura media del plasma sino con la velocidad causada en los iones
como consecuencia de la evolución de la lámina de plasma explicada anteriormente. Los fenómenos de beam-
target y el de fusión termonuclear se dan simultáneamente. En algunos experimentos [34, 35, 36] se muestra
una clara anisotropía en la emisión de neutrones de los PF lo cual puede explicarse por la coexistencia de los
dos fenómenos. El espectro de emisión se verá modificado por el efecto beam-target como se muestra en [37,
38], pero dependerá de qué proporción de neutrones provienen de este efecto y cuántos por emisión
termonuclear. Este fenómeno es difícil de estudiar dado la variabilidad que existe entre pulso y pulso en un
PF. Como ejemplo se muestra el espectro neutrónico de tres pulsos diferentes extraídos de [37] en la figura
6.8.
Fig 6.8: Espectros neutrónicos de tres pulsos de un PF de 1MJ [37]
Si se compara estos espectros con los correspondientes a termofusión (figura 6.7) se ve claramente el aporte
por el fenómeno de beam-target. Si bien este fenómeno puede ser importante, se ve que el espectro continua
alrededor de su energía media de la reacción (ec. 6.29) con una dispersión equivalente que no supera 1MeV.
169
6.7 Plasma focus utilizados en las mediciones
Para realizar las mediciones de neutrones que se analizan en el capítulo 5 se utilizaron dos Plasma Focus de
baja energía.
Plasma Focus comercial de baja energía:
Se trata de un Plasma Focus de origen ruso con una cámara sellada de Deuterio. Las características del mismo son:
Tensión (V) 12 – 15 kV
Capacidad (C) 2.5 μF
Energía (E) 200 - 300 Joule
Producción de neutrones (Y) 106 neutrones /pulso
Figura 6.9: Fotos del plasma focus y el arreglo para medición de neutrones.
Figura 6.10: esquema y neurografía de la cámara disponible.
En las fotos se muestra el Plasma Focus utilizado, la jaula de Faraday utilizada para reducir el ruido
electromagnético que produce la descarga y el arreglo experimental utilizado para la medición de neutrones.
170
Plasma Focus construido de baja energía:
Se construyó un Plasma Focus de baja energía en la división neutrones y reactores del centro atómico
Bariloche con una cámara que tenía la posibilidad de ser llenada con Hidrogeno o Deuterio. Las características
del mismo son:
Tensión (V) 10 – 15 kV
Capacidad (C) 1.4 μF
Energía (E) 100 - 150 Joule
Producción de neutrones (Y) 105 neutrones /pulso
Figura 6.11: Plasma Focus de baja energía construido.
171
6.8 Referencias
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conducting walls." In the Sun. Plasma physics and controlled thermonuclear reactions. Ed. Academy of Sciences of the
USSR, 1958, т. 4, с. 170-181.
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Plasma Focus as a powerful radiation source”. IEEE Trans. on Plasma Sci., 26(4), pp. 1119–1126,(1998)
[8] Gribkov V.A., Banaszak A., Bienkowska B., Dubrovsky A.V., Ivanova-Stanik I., Jakubowski L., Karpinski L.,
Miklaszewski R.A., Paduch M., Sadowski M.J., Scholz M., Szydlowski A. and Tomaszewski K, “Plasma dynamics in
the PF-1000 device under full-scale energy storage: II. Fast electron and ion characteristics versus neutron emission
parameters and gun optimization perspectives”, J. Phys. D: Appl. Phys. 40 3592–3607, (2007).
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Joules”, Applied Physics Letters, 83, 3269-3271, (2003)
[10] Soto L., Silva P., Moreno J., Zambra M., Kies W., Mayer R.E., Clausse A., Altamirano L., Pavez C. and Huerta L.,
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172
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Agradecimientos
Quiero agradecer al Dr. Roberto E. Mayer por haber dirigido esta tesis y por compartir su tiempo y
dedicación para que el método presentado en esta tesis se transforme en una realidad. En particular me
gustaría aprovechar este apartado para resaltar que el problema del apantallamiento en los contadores
proporcionales que se trata en la sección 5.2 fue su idea, a la cual simplemente contribuí con algo del
modelado matemático. Sin dudas que ese trabajo que se publicó en Radiation Measurements junto con mi co-
director, el Dr. José González, tuvo un gran impacto. El mismo permitió estimar mejor la dosis en grandes
aceleradores.
También agradecer al Dr. José González por haber co-dirigido esta tesis y haber brindado parte de su tiempo y
dedicación a este trabajo.
Al Dr. Alejandro Clausse por haber facilitado un plasma focus para la parte inicial de esta tesis.
Al Dr. Pablo Florido por haber aceptado dirigir originalmente mi trabajo de tesis y por aceptar dejar ese lugar
cuando hubo un cambio de tema.
A los miembros de la división Neutrones y Reactores del CAB por brindarme el lugar donde hacer este
trabajo.
A todos ellos, Muchas Gracias.
