Determinación de la Incertidumbre de Medición por el Método de ...
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Evaluation of Measurement Data Evaluation of Measurement Data Supplement 1 to the Supplement 1 to the “ “ Guide to the Expression of Uncertainty Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement in Measurement ” ” – – GUM GUM Propagation of Distributions using Propagation of Distributions using a Monte Carlo Method a Monte Carlo Method
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Evaluation of Measurement DataEvaluation of Measurement Data
Supplement 1 to theSupplement 1 to the
““Guide to the Expression of UncertaintyGuide to the Expression of Uncertainty
in Measurementin Measurement”” –– GUMGUM
Propagation of Distributions usingPropagation of Distributions using
a Monte Carlo Methoda Monte Carlo Method
ALGUNOS DATOSALGUNOS DATOS
•• 19771977--79 79 CuestionarioCuestionario del BIPM del BIPM sobresobre incertidumbresincertidumbres
•• 1980 1980 RecomendaciRecomendacióónn INCINC--11
•• 1981 1981 EstablecimientoEstablecimiento del WG3 del WG3 sobresobre incertidumbresincertidumbres
bajobajo el ISO TAG4: BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, el ISO TAG4: BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP,
OIMLOIML
•• 1993 Guide to the expression of uncertainty in 1993 Guide to the expression of uncertainty in
measurement measurement -- GUMGUM
•• 1995 1995 ReimpresiReimpresióónn de la GUM con de la GUM con correccionescorrecciones mmíínimasnimas
••1997 1997 EstablecimientoEstablecimiento del Joint Committee for Guides del Joint Committee for Guides
in Metrology JCGM in Metrology JCGM –– ReuniReunióónn de ILAC en 1998de ILAC en 1998
DocumenDocumentostos en preparacien preparacióónn
— Una introducción a la “Guide to the
expression of uncertainty in measurement”
y documentos relacionados
Conceptos y principios básicos.
— Suplemento 1 a la GUM “Propagation of
distributions using a Monte Carlo Method” .
— Suplemento 2 a la GUM “Models with any
number of output quantities”
Documentos en preparaciDocumentos en preparacióónn
— Suplemento 3 a la GUM
“Modelling”.
— The role of measurement
uncertainty in deciding conformance
to specified requirements.
— Applications of the least-squares
method.
Supplement 1 to the GUM Supplement 1 to the GUM Supplement 1 to the GUM Supplement 1 to the GUM
Propagation of distributions using Propagation of distributions using Propagation of distributions using Propagation of distributions using
a Monte Carlo Methoda Monte Carlo Methoda Monte Carlo Methoda Monte Carlo Method
OBJETIVO : Superar algunas limitaciones de
la GUM , por ejemplo cuando :
*La linearidad no es aplicable
• El Teorema del Límite Central no es
aplicable .
• La fórmula de Welch-Satterthwaite no es
aplicable
•El modelo matemático es complejo
•Cuando se necesita un intervalo de confianza
con probabilidad estipulada
CAPITULO 3 : TCAPITULO 3 : Téérminos y Definicionesrminos y Definiciones
3.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Funcion que da la probabilidad de que una
variable aleatoria tome algun valor dado o
pertenezca a un conunto dado de valores.
Nota.- La probabilidad sobre todo el conjunto
de valores es igual a 1 .
Pueden tomar la forma de una Funcion de
Distribución (DF) o de una Función de
Densidad de Probabilidad (PDF)
3.2 Funci3.2 Funcióón de Distribucin de Distribucióónn
Función que da para cada valor ε la
probabilidad de que la variable aleatoria X sea
menor o igual que ε .
3.3 Funci3.3 Funcióón de Densidad de Probabilidad PDFn de Densidad de Probabilidad PDF
Derivada, cuando existe, de la Función de
Distribución.
3.4 Distribuci3.4 Distribucióón Normaln Normal
Distribución de probabilidad de una variable
aleatoria continua X que tiene la función de
densidad de probabilidad:
3.5 Distribuci3.5 Distribucióón tn t
Distribución de probabilidad de una variable
aleatoria continua X que tiene la función de
densidad de probabilidad:
3.6 Expectaci3.6 Expectacióónn
Propiedad de una variable aleatoria que para
una variable aleatoria continua X
caracterizada por una PDF
es dada por :
3.7 Varianza3.7 Varianza
Propiedad de una variable aleatoria que
para una variable aleatoria continua X
caracterizada por una PDF
es dada por :
3.8 Desviaci3.8 Desviacióón Estn Estáándarndar
Raiz cuadrada positiva de la varianza :
3.10 Covarianza3.10 Covarianza
Propiedad de un par de variables aleatorias,
que para dos variables aleatorias continuas X1
y X2 caracterizadas por una PDF conjunta
Donde
Es dada por
3.11Matriz de Incertidumbre3.11Matriz de Incertidumbre
Matriz de dimension N x N conteniendo en su Matriz de dimension N x N conteniendo en su
diagonal los cuadrados de las incertidumbres diagonal los cuadrados de las incertidumbres
estestáándar asociados con los estiamdos de las ndar asociados con los estiamdos de las
componentes de una magnitud vectorial Ncomponentes de una magnitud vectorial N--
dimensional , y en las posiciones fuera de la dimensional , y en las posiciones fuera de la
diagonal van las covarianzas asociadas con diagonal van las covarianzas asociadas con
los pares de estimados.los pares de estimados.
3.11Matriz de Incertidumbre3.11Matriz de Incertidumbre
3.12 Intervalo de Cobertura3.12 Intervalo de Cobertura
Intervalo conteniendo el valor de una Intervalo conteniendo el valor de una
magnitud con una probabildad establecida, magnitud con una probabildad establecida,
basada en la informacibasada en la informacióón disponible.n disponible.
3.13 Probabilidad de Cobertura3.13 Probabilidad de Cobertura
Probabilidad de que el valor de una magnitud Probabilidad de que el valor de una magnitud
estestéé contenida dentro de un intervalo de contenida dentro de un intervalo de
cobertura especificado.cobertura especificado.
3.14 Longitud de un intervalo de cobertura3.14 Longitud de un intervalo de cobertura
El mayor valor menos el menor valor de un El mayor valor menos el menor valor de un
intervalo de cobertura.intervalo de cobertura.
3.15 Intervalo de Cobertura 3.15 Intervalo de Cobertura
probabilisticamente simetrico probabilisticamente simetrico
Intervalo de cobertura para una magnitud tal Intervalo de cobertura para una magnitud tal
que la probabilidad de que la magnitud sea que la probabilidad de que la magnitud sea
menor que el mas pequemenor que el mas pequeñño valor del intervalo o valor del intervalo
es igual a la probabilidad de que la magnitud es igual a la probabilidad de que la magnitud
sea mayor que el mas grande valor del sea mayor que el mas grande valor del
intervalo intervalo
3.16 Intervalo de Cobertura m3.16 Intervalo de Cobertura máás peques pequeñño o
Intervalo de Cobertura para una magnitud con Intervalo de Cobertura para una magnitud con
la mas pequela mas pequeñña longitud de todos los a longitud de todos los
intervalos de Cobertura para dicha magnitud intervalos de Cobertura para dicha magnitud
teniendo la misma probabilidad de Cobertura .teniendo la misma probabilidad de Cobertura .
3.17 Propagaci3.17 Propagacióón de Distribucionesn de Distribuciones
Metodo usado para determinar la distribuciMetodo usado para determinar la distribucióón n
de probabilidad para una magnitud de salida a de probabilidad para una magnitud de salida a
partir de las distribuciones de probabilidad partir de las distribuciones de probabilidad
asignadas a las magnitudes de entrada de las asignadas a las magnitudes de entrada de las
cuales depende la magnitud de salida .cuales depende la magnitud de salida .
3.18 Marco de Incertidumbre de la GUM=GUMF3.18 Marco de Incertidumbre de la GUM=GUMF
AplicaciAplicacióón de la ley de propagacin de la ley de propagacióón de la n de la
incertidumbre y la caracterizaciincertidumbre y la caracterizacióón de la n de la
magnitud de salida por una distribucimagnitud de salida por una distribucióón n
gauseana o por una distribucion t desplazada gauseana o por una distribucion t desplazada
y a escala a fin de obtener un intervalo de y a escala a fin de obtener un intervalo de
cobertura.cobertura.
3.19 M3.19 Méétodo de Monte Carlotodo de Monte Carlo
MMéétodo para la propagacitodo para la propagacióón de distribuciones n de distribuciones
efectuando un muestreo aleatorio en las efectuando un muestreo aleatorio en las
distribuciones de probabilidad.distribuciones de probabilidad.
3.20 Tolerancia Numerica3.20 Tolerancia Numerica
Semiancho del intervalo mas corto Semiancho del intervalo mas corto
conteniendo todos los numeros que pueden conteniendo todos los numeros que pueden
expresarse correctamente con un numero expresarse correctamente con un numero
especificado de digitos decimales especificado de digitos decimales
significativos.significativos.
4. CONVENCIONES Y NOTACIONES4. CONVENCIONES Y NOTACIONES
4.1 Un modelo matem4.1 Un modelo matemáático de medicion de tico de medicion de
una magnitud escalar puede expresarse como una magnitud escalar puede expresarse como
una relacion funcional f :una relacion funcional f :
Donde Y es una magnitud de salida y X Donde Y es una magnitud de salida y X
representa las N magnitudes de entrada representa las N magnitudes de entrada
Cada XCada Xi i se considera como una variable se considera como una variable
aleatoria con posibles valores aleatoria con posibles valores εε y expectacion y expectacion
xxii ..
Y es una variable aleatoria con posibles Y es una variable aleatoria con posibles
valores y expectacion y .valores y expectacion y .
4.2 En lugar de los simbolos f ; F para denotar 4.2 En lugar de los simbolos f ; F para denotar
una PDF y una DF respectivamente, se usan una PDF y una DF respectivamente, se usan
los simbolos g ; G . Se los indizara los simbolos g ; G . Se los indizara
apropiadamnente para denotar la magnitud apropiadamnente para denotar la magnitud
involucrada.involucrada.
El simbolo f es reservado para el modelo El simbolo f es reservado para el modelo
matemmatemáático.tico.
4.4 La PDF para X se denota como 4.4 La PDF para X se denota como
Donde Donde ε ε es una variable que describe los es una variable que describe los
posibles valores de X . posibles valores de X .
X es considerada como una variable aleatoria X es considerada como una variable aleatoria
con expectacicon expectacióón E(X) y varianza V(X)n E(X) y varianza V(X)
4.4 En el caso vectorial la PDF para X se 4.4 En el caso vectorial la PDF para X se
denota como denota como
Donde Donde es un vector variable que es un vector variable que
describe los posibles valores de la magnitud describe los posibles valores de la magnitud
vectorial X . vectorial X .
X es considerada como un vector variable con X es considerada como un vector variable con
expectaciexpectacióón vectorial y matriz de n vectorial y matriz de
covarianza covarianza
4.9 El t4.9 El téérmino rmino ““Ley de propagacion de Ley de propagacion de
la Incertidumbrela Incertidumbre””
Se aplica al uso de una serie de Taylor con Se aplica al uso de una serie de Taylor con
aproximaciaproximacióón de primer orden al modelo. Si se n de primer orden al modelo. Si se
usa ordenes mayores se cualifica usa ordenes mayores se cualifica
apropiadamemte el tapropiadamemte el téérmino.rmino.
4.13 Los n4.13 Los núúmeros se expresan de modo que meros se expresan de modo que
indican la cantidad de digitos significativos .indican la cantidad de digitos significativos .
4.15 Abreviaturas usadas4.15 Abreviaturas usadas
..
A)A) FORMULACIONFORMULACION
1) Definir la magnitud de salida Y (el 1) Definir la magnitud de salida Y (el
mensurando)mensurando)
2) Determinar las magnitudes de entrada2) Determinar las magnitudes de entrada
de las cuales depende Y .de las cuales depende Y .
3) Desarrollar un modelo que relacione Y con X .3) Desarrollar un modelo que relacione Y con X .
4) Sobre la base del conocimiento disponible 4) Sobre la base del conocimiento disponible
asignar PDFs a las Xasignar PDFs a las Xi i . Si es necesario . Si es necesario
asignar PDFs conjuntas a aquellas Xasignar PDFs conjuntas a aquellas Xi i que no que no
son independientesson independientes
5. PRINCIPIOS BASICOS5. PRINCIPIOS BASICOS
5.1 ETAPAS PRINCIPALES DE LA 5.1 ETAPAS PRINCIPALES DE LA
EVALUACION DE INCERTIDUMBREEVALUACION DE INCERTIDUMBRE
b) PROPAGACIONb) PROPAGACION
Propagar las PDF de las XPropagar las PDF de las Xi i a traves del modelo a traves del modelo
para obtener la PDF para Y . para obtener la PDF para Y .
c) RESUMENc) RESUMEN
Usando la PDF obtener:Usando la PDF obtener:
1)1)La expectaciLa expectacióón de Y, tomada como un n de Y, tomada como un
estimado y del mensurando .estimado y del mensurando .
2)2)La desviaciLa desviacióón estn estáándar de Y, tomada como la ndar de Y, tomada como la
incertidumbre estincertidumbre estáándar u(y) asociada a y ndar u(y) asociada a y
3)3)Un intervalo de cobertura que contenga a Y Un intervalo de cobertura que contenga a Y
con una especificada probabilidad (probabilidad con una especificada probabilidad (probabilidad
de cobertura) .de cobertura) .
5.1.3 Los pasos en la etapa de Formulacion 5.1.3 Los pasos en la etapa de Formulacion
son hechas por el metrologo posiblemente son hechas por el metrologo posiblemente
con el soporte tecnico necesario.con el soporte tecnico necesario.
En este Suplemento se dan las orientaciones En este Suplemento se dan las orientaciones
detalladas para las etapas de Propagacion y detalladas para las etapas de Propagacion y
Resumen .Resumen .
En este Suplemento se presenta una En este Suplemento se presenta una
aproximaciaproximacióón considerada generalmente n considerada generalmente
eficiente para determinar numericamente eficiente para determinar numericamente
(aproximacion num(aproximacion numéérica) la funcirica) la funcióón de n de
distribucidistribucióón G para Y:n G para Y:
Se basa en la aplicaciSe basa en la aplicacióón del mn del méétodo de Monte todo de Monte
Carlo (MCM) como una implementacion de la Carlo (MCM) como una implementacion de la
propagacipropagacióón de distribuciones.n de distribuciones.
5.2 PROPAGACION DE DISTRIBUCIONES5.2 PROPAGACION DE DISTRIBUCIONES
5.2 OBTENIENDO LA INFORMACION DEL 5.2 OBTENIENDO LA INFORMACION DEL
RESUMENRESUMEN
5.3.2 El intervalo de cobertura para Y puede 5.3.2 El intervalo de cobertura para Y puede
determinarse a partir de determinarse a partir de
Sea Sea α α cualquier valor numerico entre 0 y (1cualquier valor numerico entre 0 y (1--p)p)
Donde p es la probabilidad de cobertura Donde p es la probabilidad de cobertura
requerida. Los puntos extremos del intervalo requerida. Los puntos extremos del intervalo
de cobertura 100p% para Y son de cobertura 100p% para Y son
5.3.3 Al elegir se logra que el 5.3.3 Al elegir se logra que el
intervalo de cobertura definido por los intervalo de cobertura definido por los
quantiles quantiles
sea un intervalo de cobertura al 100p% sea un intervalo de cobertura al 100p%
probabilisticamente simetrico .probabilisticamente simetrico .
5.3.4 Un valor numerico de 5.3.4 Un valor numerico de αα diferente dediferente de
puede ser mas apropiado si la PDF es puede ser mas apropiado si la PDF es
asimetrica.asimetrica.
El intervalo de cobertura al 100p% mas corto El intervalo de cobertura al 100p% mas corto
podria usarse en este caso. Este tiene la podria usarse en este caso. Este tiene la
propiedad de que para una PDF unimodal (de propiedad de que para una PDF unimodal (de
un solo pico) este intervalo contiene a la un solo pico) este intervalo contiene a la
moda, el valor mas probable de Y. moda, el valor mas probable de Y.
Se obtiene por el valor numerico de Se obtiene por el valor numerico de αα que que
satisface ,si satisface ,si
es unimodal y en general por el valor numerico es unimodal y en general por el valor numerico
de de αα tal que tal que
5.3.5 El intervalo de cobertura al 100p% 5.3.5 El intervalo de cobertura al 100p%
probabilisticamente simetrico y el mas corto probabilisticamente simetrico y el mas corto
intervalo de cobertura al 100p% son identicos intervalo de cobertura al 100p% son identicos
si la PDF es simetrica , tal como lo es para las si la PDF es simetrica , tal como lo es para las
PDFs gauseanas y tipo t corridas y a escala PDFs gauseanas y tipo t corridas y a escala
usadas en el GUMF . Asi cualquiera de estos usadas en el GUMF . Asi cualquiera de estos
intervalos puede usarse.intervalos puede usarse.
5.3. 6 La figura 1 muestra la funcion de 5.3. 6 La figura 1 muestra la funcion de
Distribucion correspondiente a una PDF Distribucion correspondiente a una PDF
asimetrica. Las lineas verticales punteadas asimetrica. Las lineas verticales punteadas
marcan los puntos extremos del intervalo de marcan los puntos extremos del intervalo de
cobertura probabilisticamente simetrico al cobertura probabilisticamente simetrico al
100p% y las lineas horizontales punteadas 100p% y las lineas horizontales punteadas
marcan los correspondientes puntos de marcan los correspondientes puntos de
probabilidad 0,025 y 0,0975 . probabilidad 0,025 y 0,0975 .
Las lineas continuas marcan los puntos Las lineas continuas marcan los puntos
extremos del intervalo de cobertura mas corto extremos del intervalo de cobertura mas corto
al 95% y los correspondientes puntos de al 95% y los correspondientes puntos de
probabilidad, que son 0,006 y 0,956.probabilidad, que son 0,006 y 0,956.
Ls longitudes de estos intervalos son 1,76 Ls longitudes de estos intervalos son 1,76
unidades y 1,69 unidades respectivamente.unidades y 1,69 unidades respectivamente.
..
5.4 IMPLEMENTACION DE LA PROPAGACION 5.4 IMPLEMENTACION DE LA PROPAGACION
DE LAS DISTRIBUCIONESDE LAS DISTRIBUCIONES
Puede hacerse de varias maneras:Puede hacerse de varias maneras:
MCM tal como se presenta aquMCM tal como se presenta aquíí se considera se considera
una herramienta poderosa para obtener una herramienta poderosa para obtener
representaciones numericas de la distribucion representaciones numericas de la distribucion
de la magnitud de salida (mensurando) mas de la magnitud de salida (mensurando) mas
que una simulacique una simulacióón en sn en síí misma. En el misma. En el
contexto de la etapa de propagacicontexto de la etapa de propagacióón de la n de la
incertidumbre , el probelma a resolver es incertidumbre , el probelma a resolver es
deterministico, no habiendo proceso fisicos deterministico, no habiendo proceso fisicos
aleatorios a ser simulados.aleatorios a ser simulados.
5.4.2 y 5.4.3 5.4.2 y 5.4.3
Para modelos lineales o linearizados y Para modelos lineales o linearizados y
magnitudes de entrada con PDFs gauseanas magnitudes de entrada con PDFs gauseanas
esta aproxiamcion produce resultados esta aproxiamcion produce resultados
consistentes con el GUMF. consistentes con el GUMF.
Sin embargo en casos donde la condiciones Sin embargo en casos donde la condiciones
del GUMF no son aplicables o se duda de su del GUMF no son aplicables o se duda de su
aplicabilidad , la aproximaciaplicabilidad , la aproximacióón de este n de este
Suplemento puede generalmente esperarse Suplemento puede generalmente esperarse
que produzca un valido enunciado de que produzca un valido enunciado de
incertidumbre . incertidumbre .
Una de sus bondades es que no hace Una de sus bondades es que no hace
suposiciones para lograr cada vez mejores suposiciones para lograr cada vez mejores
aproximaciones.aproximaciones.
5.4.4 En la figura 2 se ilustra el caso de la 5.4.4 En la figura 2 se ilustra el caso de la
propagacion de PDFs para las tres magnitudes propagacion de PDFs para las tres magnitudes
independientes de entrada Xindependientes de entrada Xi i a traves del a traves del
modelo para producir la PDF de la magnitud modelo para producir la PDF de la magnitud
de salidade salida
Esta figura puede compararse con la figura 3 Esta figura puede compararse con la figura 3
para la Ley de propagacion de la para la Ley de propagacion de la
Incertidumbre.Incertidumbre.
Las entradas son gauseana, triangular y Las entradas son gauseana, triangular y
gauseana respectivamente .gauseana respectivamente .
La salida es asimetrica como generalmente La salida es asimetrica como generalmente
surge para modelo no lineales o asimetricos.surge para modelo no lineales o asimetricos.
..
5.4.5 En la pr5.4.5 En la prááctica solo para los casos ctica solo para los casos
simples puede implementarse la propagacisimples puede implementarse la propagacióón n
de las distribuciones sin hacer de las distribuciones sin hacer
aproximaciones . aproximaciones .
El GUMF implementa un metodo aproximado y El GUMF implementa un metodo aproximado y
el MCM otro. el MCM otro.
Para un pequePara un pequeñño pero importante grupo de o pero importante grupo de
problemas el GUMF es exacto. problemas el GUMF es exacto.
El MCM nunca es exacto pero es mas valido El MCM nunca es exacto pero es mas valido
que el GUMF para una gran cantidad de que el GUMF para una gran cantidad de
problemasproblemas
5.5 REPORTANDO LOS RESULTADOS5.5 REPORTANDO LOS RESULTADOS
5.5.1 Tipicamente los siguientes resultados 5.5.1 Tipicamente los siguientes resultados
deberian reportarse al usar la propagacion de deberian reportarse al usar la propagacion de
distribuciones:distribuciones:
5.5.2 y ; u(y) y los puntos extremos del 5.5.2 y ; u(y) y los puntos extremos del
intervalo de coberura al 100p% para Y intervalo de coberura al 100p% para Y
deberian ser reportados con una cantidad de deberian ser reportados con una cantidad de
digitos deciamles tal que el digito decimal digitos deciamles tal que el digito decimal
menos significativo este en la mismo posicion menos significativo este en la mismo posicion
con respecto al decimal de u(y) (igual que en con respecto al decimal de u(y) (igual que en
la GUM)la GUM)-- Usualmente uno o dos digitos son Usualmente uno o dos digitos son
adecuados para representar u(y) .adecuados para representar u(y) .
Si los resultados van a usarse en calculos Si los resultados van a usarse en calculos
adicionales debe considerarse si es que hay adicionales debe considerarse si es que hay
que retener digitos adicionales.que retener digitos adicionales.
5.7 CONDICIONES PARA LA APLICACION 5.7 CONDICIONES PARA LA APLICACION
VALIDA DEL GUMF PARA MODELOS LINEALESVALIDA DEL GUMF PARA MODELOS LINEALES
�� El nEl núúmero total de grados de libertad asociado a mero total de grados de libertad asociado a uucc(y(y) se calcula con la ecuaci) se calcula con la ecuacióón de n de WelchWelch--SatterthwaiteSatterthwaite G.2b de la pG.2b de la páág. 127 de la GUM :g. 127 de la GUM :
∑=
=N
i i
i
ceff
yu
yu
1
4
4
)(
)(
ν
ν
5.7.2 Se puede determinar un intervalo de 5.7.2 Se puede determinar un intervalo de
cobertura en terminos de la informacion del cobertura en terminos de la informacion del
GUMF bajo las sgtes condiciones: GUMF bajo las sgtes condiciones:
5.7.3 Cuando las condiciones de 5.7.2 son 5.7.3 Cuando las condiciones de 5.7.2 son
validas los resultados de la aplicacivalidas los resultados de la aplicacióón del n del
GUMF se espera que sean validos para los GUMF se espera que sean validos para los
modelos lineales .modelos lineales .
Estas condiciones se aplican en muchas Estas condiciones se aplican en muchas
circunstancias.circunstancias.
5.9 APROXIMACION DE MONTE CARLO A LA 5.9 APROXIMACION DE MONTE CARLO A LA
PROPAGACION Y RESUMEN DE SUS ETAPASPROPAGACION Y RESUMEN DE SUS ETAPAS
5.9.1 El MCM es una herramienta poderosa 5.9.1 El MCM es una herramienta poderosa
para aproximar numericamente la para aproximar numericamente la
representacion de G, la funcion de representacion de G, la funcion de
distribucion de Y . distribucion de Y .
La idea central consiste en muestrear La idea central consiste en muestrear
repetidamente en las PDFs de las X repetidamente en las PDFs de las X i i
y evaluar el modelo matematico f en cada y evaluar el modelo matematico f en cada
caso.caso.
5.9.2 Puesto que G tiene toda la informacion 5.9.2 Puesto que G tiene toda la informacion
conocida de Y , cualquier propiedad de Y tal conocida de Y , cualquier propiedad de Y tal
como la expectacion, la varianza, y los como la expectacion, la varianza, y los
intervalos de cobertura pueden obtenerse intervalos de cobertura pueden obtenerse
usando G .usando G .
La calidad de estos calculos puede mejorarse La calidad de estos calculos puede mejorarse
aumentando el numero de veces que se aumentando el numero de veces que se
muestrea las PDFs .muestrea las PDFs .
5.9.4 Si los diversos y5.9.4 Si los diversos yr r con r= 1,2,..... M con r= 1,2,..... M
representan M valores obtenidos al muestrear representan M valores obtenidos al muestrear
independientemente las PDF para Y, entonces independientemente las PDF para Y, entonces
la expectacion E(Y) y la varianza V(Y) pueden la expectacion E(Y) y la varianza V(Y) pueden
aproximarse usando los valores yaproximarse usando los valores yr r
Sea MSea MyDyD el numero de yel numero de yr r que son no mayores que son no mayores
que yque yDD el cual es un nel cual es un núúmero prescrito mero prescrito
cualquiera.cualquiera.
La probabilidad Pr(Y<= yLa probabilidad Pr(Y<= yDD) se aproxima por) se aproxima por
MMyDyD / M. / M.
Asi los yAsi los yrr proveen una funcion de proveen una funcion de
aproximacion paso a paso (como un aproximacion paso a paso (como un
histograma) a la funcion de distribucion histograma) a la funcion de distribucion
5.9.5 Cada y5.9.5 Cada yr r se obtiene muestreando se obtiene muestreando
aleatoriamente en cada PDF para los Xaleatoriamente en cada PDF para los Xii y y
evaluando el modelo en los valores evaluando el modelo en los valores
muestreados para obtener G.muestreados para obtener G.
La salida primaria del MCM son los yLa salida primaria del MCM son los yr r arreglados en orden esctrictamente arreglados en orden esctrictamente
creciente.creciente.
5.9.6 Pasos del Metodo de Monte Carlo 5.9.6 Pasos del Metodo de Monte Carlo
Si M=10 Si M=10 4 4 la aproximacion para E(Y) seria del la aproximacion para E(Y) seria del
orden del 1% y si M= 10 orden del 1% y si M= 10 6 6 seria del orden del seria del orden del
0,1 % para E(Y) .0,1 % para E(Y) .
5.9. 7 La efectividad del MCM depende de que 5.9. 7 La efectividad del MCM depende de que
se use un valor suficientemente grande para se use un valor suficientemente grande para
M . M .
5.10 Condiciones para la aplicacion valida del 5.10 Condiciones para la aplicacion valida del
MCMMCM
6. FUNCIONES DE DENSIDAD DE 6. FUNCIONES DE DENSIDAD DE
PROBABILIDAD PARA LAS MAGNITUDES DE PROBABILIDAD PARA LAS MAGNITUDES DE
ENTRADAENTRADA
6.1.5 Informacion relevante para la asignacion 6.1.5 Informacion relevante para la asignacion
de PDFs a los Xde PDFs a los Xi i se encuentra en la GUM.se encuentra en la GUM.
6.1.6 Una guia detallada para la asignacion de 6.1.6 Una guia detallada para la asignacion de
los PDFs individuales o conjuntos esta mas los PDFs individuales o conjuntos esta mas
alla del alcance de este Suplemento.alla del alcance de este Suplemento.
Pude usarse tambien el Teorema de Bayes y el Pude usarse tambien el Teorema de Bayes y el
Principio de Maxima Entropia. Principio de Maxima Entropia.
6.4.2 Distribucion Rectangular6.4.2 Distribucion Rectangular
6.4.4 Distribucion Trapezoidal6.4.4 Distribucion Trapezoidal
6.4.5 Distribucion Triangular6.4.5 Distribucion Triangular
6.4.7 Distribucion Gauseana6.4.7 Distribucion Gauseana
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
6.4.9 Distribuciones t6.4.9 Distribuciones t
7 . IMPLEMENTACION DEL METODO DE7 . IMPLEMENTACION DEL METODO DE
MONTE CARLOMONTE CARLO
7.2 Numero de corridas M7.2 Numero de corridas M
7.2.2 Se debe elegir un valor de M que sea 7.2.2 Se debe elegir un valor de M que sea
suficientemente grande comparado con 1/(1suficientemente grande comparado con 1/(1--p). p).
M debe ser al menos 10M debe ser al menos 104 4 veces mayor que dicho veces mayor que dicho
valor .valor .
Se espera que G provea una representacion Se espera que G provea una representacion
razonablemente discreta de en las razonablemente discreta de en las
regiones cercanas a los extremos del intervalo regiones cercanas a los extremos del intervalo
de cobertura al 100p% para Y .de cobertura al 100p% para Y .
7.2.3 Como no hay garantia que un n7.2.3 Como no hay garantia que un núúmero mero
especifico preasignado sea suficiente, puede especifico preasignado sea suficiente, puede
usarse un proceso que seleccione M usarse un proceso que seleccione M
adaptativamente, es decir, conforme las adaptativamente, es decir, conforme las
corridas progresan. corridas progresan.
7.2.3 MUESTREO DE LAS DISTRIBUCIONES DE 7.2.3 MUESTREO DE LAS DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADPROBABILIDAD
Al implementar el MCM se obtienen M vectoresAl implementar el MCM se obtienen M vectores
de las PDFs de las PDFs
Para las N magnitudes de entrada XPara las N magnitudes de entrada Xi i . Si es . Si es
apropiado debe usarse las PDFs conjuntas apropiado debe usarse las PDFs conjuntas
El anexo C da las recomendaciones para El anexo C da las recomendaciones para
realizar este muestreo para las distribuciones realizar este muestreo para las distribuciones
mas comunes. Ver tambien 6.4 mas comunes. Ver tambien 6.4
7.4 EVALUACION DEL MODELO7.4 EVALUACION DEL MODELO
7.4.1 Al evaluar el modelo para cada uno de los 7.4.1 Al evaluar el modelo para cada uno de los
M vectoresM vectores
donde el rdonde el r--esimo vector contiene esimo vector contiene
con obtenido de la PDF para Xcon obtenido de la PDF para Xi , i , se calcula se calcula
ios respectivos valores para Y:ios respectivos valores para Y:
7.5 REPRESENTACION DISCRETA DE LA 7.5 REPRESENTACION DISCRETA DE LA
FUNCION DE DISTRIBUCION PARA LA MGNITUD FUNCION DE DISTRIBUCION PARA LA MGNITUD
DE SALIDADE SALIDA
7.5.1 Se sigue el sgte. proceso:7.5.1 Se sigue el sgte. proceso:
7.5.2 Al usar los y7.5.2 Al usar los yr r para formar un histograma para formar un histograma
se forma una distribucion de frecuencia que al se forma una distribucion de frecuencia que al
ser normalizada para tener area 1 provee una ser normalizada para tener area 1 provee una
buena aproximacion a la forma de la PDF buena aproximacion a la forma de la PDF
buscada buscada
7.6 ESTIMACION DE LA MAGNITUD DE SALIDA 7.6 ESTIMACION DE LA MAGNITUD DE SALIDA
Y SU INCERTIDUMBRE ESTANDAR ASOCIADAY SU INCERTIDUMBRE ESTANDAR ASOCIADA
El estimado de y es el promedio de los yEl estimado de y es el promedio de los yr r ::
La incertidumbre estandar es estimada como la La incertidumbre estandar es estimada como la
desviacidesviacióón estandar de la distribucin estandar de la distribucióón:n:
7.7 INTERVALO DE COBERTURA PARA LA 7.7 INTERVALO DE COBERTURA PARA LA
MAGNITUD DE SALIDAMAGNITUD DE SALIDA
7.7.1 Se puede determinar un intervalo de 7.7.1 Se puede determinar un intervalo de
cobertura pra Y a partir de la representacion cobertura pra Y a partir de la representacion
discreta de G en una manera analoga a lo discreta de G en una manera analoga a lo
explicado en 5.3.2 .explicado en 5.3.2 .
7.7.2 Sea q=pM un entero. De otro modo tomar 7.7.2 Sea q=pM un entero. De otro modo tomar
q como la parte entera de pM+1/2 . Entoncesq como la parte entera de pM+1/2 . Entonces
es un intervalo de cobertura al es un intervalo de cobertura al
100p% para Y donde para cualquier r= 1,2,...M100p% para Y donde para cualquier r= 1,2,...M--qq
y y
El intervalo de cobertura probabilisticamente El intervalo de cobertura probabilisticamente
simetrico al 100p% se obtiene tomando:simetrico al 100p% se obtiene tomando:
r= (Mr= (M--q)/2 si (Mq)/2 si (M--q)/2 es un entero q)/2 es un entero
O la parte entera de (MO la parte entera de (M--q)/2 +1/2.q)/2 +1/2.
El mas corto intervalo de cobertura al 100p% se El mas corto intervalo de cobertura al 100p% se
obtiene determinando r* tal que :obtiene determinando r* tal que :
EJEMPLOEJEMPLO
7.8.3 Si el modelo es simple y las magnitudes 7.8.3 Si el modelo es simple y las magnitudes
de entrada son independientes el tiempo total de entrada son independientes el tiempo total
de computacide computacióón es tipicamente de unos pocos n es tipicamente de unos pocos
egundos para M=10egundos para M=106 6 usando una PC a varios usando una PC a varios
GHz .GHz .
7.9 PROCEDIMIENTO ADAPTATIVO DE MONTE 7.9 PROCEDIMIENTO ADAPTATIVO DE MONTE
CARLOCARLO
Las corridas deberian hacerse hasta que los Las corridas deberian hacerse hasta que los
varios resultados de interes se hayan varios resultados de interes se hayan
estabilizado en un sentido estadistico.estabilizado en un sentido estadistico.
Esto se considera logrando que el doble de la Esto se considera logrando que el doble de la
desviacidesviacióón estandar asociada sea menor que la n estandar asociada sea menor que la
tolerancia numerica (ver 7.9.2) asociada con la tolerancia numerica (ver 7.9.2) asociada con la
incertidumbre estandar u(y) . incertidumbre estandar u(y) .
7.9.2 Tolerancia Numerica asociada con un 7.9.2 Tolerancia Numerica asociada con un
Dato Numerico.Dato Numerico.
Sea nSea ndigdig el numero de digitos decimales el numero de digitos decimales
significativos considerados con pleno sentido significativos considerados con pleno sentido
en un valor nuemrico z . en un valor nuemrico z .
La tolerancia numerica La tolerancia numerica δδ asociada con z se da asociada con z se da
como sigue:como sigue:
7.9.3 OBJETIVO DEL PROCEDIMIENTO 7.9.3 OBJETIVO DEL PROCEDIMIENTO
ADAPTATIVOADAPTATIVO
El objetivo es suminstrar:El objetivo es suminstrar:
a)a)Un estimado y de Y Un estimado y de Y
b)b)Una incertidumbre estandar asociada u(y)Una incertidumbre estandar asociada u(y)
c)c)Los puntos extremos yLos puntos extremos ylowlow yyhighhigh de un intervalo de un intervalo
de cobertura para Y correspondiente a una de cobertura para Y correspondiente a una
probabilidad de cobertura estipulada tal que probabilidad de cobertura estipulada tal que
cada uno de estos 4 valores pueda esperarse cada uno de estos 4 valores pueda esperarse
que cumpla con la tolerancia numerica que cumpla con la tolerancia numerica
requerida.requerida.
7.9.4 PROCEDIMIENTO ADAPTATIVO7.9.4 PROCEDIMIENTO ADAPTATIVO
9.9.-- EJEMPLOSEJEMPLOS
9.2 MODELO ADITIVO9.2 MODELO ADITIVO
Este ejemplo considera el modelo aditivoEste ejemplo considera el modelo aditivo
como un caso especial del modelo lineal como un caso especial del modelo lineal
generico considerado en la GUM, para 3 generico considerado en la GUM, para 3
diferentes conjuntos de PDFs diferentes conjuntos de PDFs
asignados a las Xasignados a las Xi i consideradas consideradas
independientes. independientes.
Las XLas Xii y por consiguiente Y tienen dimension 1 .y por consiguiente Y tienen dimension 1 .
Para el primer grupo cada es una PDF Para el primer grupo cada es una PDF
gauseana (con Xgauseana (con Xi i teniendo expectacion cero teniendo expectacion cero
y desviacion estandar 1 ).y desviacion estandar 1 ).
Para el segundo grupo cada es una PDF Para el segundo grupo cada es una PDF
rectangular (con Xrectangular (con Xi i teniendo expectacion teniendo expectacion
cero y desviacion estandar 1 ).cero y desviacion estandar 1 ).
El tercer grupo es igual al segundo excepto que El tercer grupo es igual al segundo excepto que
la PDF para tiene una desviacila PDF para tiene una desviacióón n
estandar de 10 .estandar de 10 .
9.2.2 X9.2.2 Xii Normalmente DistribuidasNormalmente Distribuidas
9.2.2.1 Asigne una PDF gauseana a cada X9.2.2.1 Asigne una PDF gauseana a cada Xi i . .
Los mejores estimados de los XLos mejores estimados de los Xi i son xson xi i = 0 para = 0 para
i= 1,2,3,4 con incertidumbres asociadas u(xi= 1,2,3,4 con incertidumbres asociadas u(xii)=1)=1
9.2.2.2 Los resultados obtenidos se resumen en 9.2.2.2 Los resultados obtenidos se resumen en
las primeras cinco columnas de la Tabla 2 con las primeras cinco columnas de la Tabla 2 con
los resultados reportados con 3 dlos resultados reportados con 3 díígitos gitos
significativos para facilitar su comparacisignificativos para facilitar su comparacióón.n.
9.2.2.3 La ley de propagacion de la 9.2.2.3 La ley de propagacion de la
Incertidumbre GUM da el estimado y=0,0 de Y , Incertidumbre GUM da el estimado y=0,0 de Y ,
con una incertidumbre asociada u(y)= 2,0 con una incertidumbre asociada u(y)= 2,0
usando una tolerancia numerica de dos digitos usando una tolerancia numerica de dos digitos
decimales significativos para u(y) (decimales significativos para u(y) (δδ=0,05) .=0,05) .
El intervalo de cobertura probabilisticamente El intervalo de cobertura probabilisticamente
simetrico para Y ,basado en un factor de simetrico para Y ,basado en un factor de
cobertura de 1,96 es cobertura de 1,96 es
9.2.2.4 La aplicacion del MCM con M=105 9.2.2.4 La aplicacion del MCM con M=105
coridas da y=0,0 con u(y)= 2,0 y con un coridas da y=0,0 con u(y)= 2,0 y con un
intervalo de cobertura al 95% intervalo de cobertura al 95%
probabilisticamente simetrico para Y de probabilisticamente simetrico para Y de
Se hicieron dos aplicacione adicionales del Se hicieron dos aplicacione adicionales del
MCM con M= 10MCM con M= 106 6 corridas las cuales corridas las cuales
concordaron con estos resultados dentro de la concordaron con estos resultados dentro de la
tolerancia numerica usada.tolerancia numerica usada.
Estas dos aplicaciones adicionales (con Estas dos aplicaciones adicionales (con
diferentes muestreos aleatorios en las PDFs) se diferentes muestreos aleatorios en las PDFs) se
hicieron para demostar la variacion en los hicieron para demostar la variacion en los
resultados obtenidos. resultados obtenidos.
El cuarto y el quinto valor de M (1,23 x 10El cuarto y el quinto valor de M (1,23 x 106 6 y y
1,02 x 101,02 x 106 )6 )son los numeros de las corridas para son los numeros de las corridas para
las dos aplicaciones adaptativas del MCM con las dos aplicaciones adaptativas del MCM con
el uso de una tolerancia numerica el uso de una tolerancia numerica δδ /5 ./5 .
La fig. 6 muestra la PDF gauseana para Y La fig. 6 muestra la PDF gauseana para Y
resultante de la GUMF. Muestra tambien una de las resultante de la GUMF. Muestra tambien una de las
aproximaciones (histograma) de M=10aproximaciones (histograma) de M=106 6 valores del valores del
modelo para Y constituyendo la representacion modelo para Y constituyendo la representacion
discreta de G. discreta de G.
Los puntos extremos del intervalo de cobertura al Los puntos extremos del intervalo de cobertura al
95% probabilisticamente simetrico suministrados 95% probabilisticamente simetrico suministrados
por ambos metodos se muestran en lineas por ambos metodos se muestran en lineas
verticales.verticales.
La PDF y la aproximacion son visualmente La PDF y la aproximacion son visualmente
indistinguibles asi como los respectivos intervalos indistinguibles asi como los respectivos intervalos
de cobertura.de cobertura.
Esto se esperaba para un numero suficientemente Esto se esperaba para un numero suficientemente
grande de M ya que todas las condiciones para la grande de M ya que todas las condiciones para la
aplicacion del GUMF se cumplen.aplicacion del GUMF se cumplen.
Como se espera para una PDF simetrica el intervalo toma Como se espera para una PDF simetrica el intervalo toma
su longitud mas corta cuando se localiza simetricamente su longitud mas corta cuando se localiza simetricamente
con respceto a su expectacion. con respceto a su expectacion.
9.2.3 X9.2.3 Xii Rectangularmente DistribuidasRectangularmente Distribuidas
9.2.3.1 Asigne una PDF rectangular a cada X9.2.3.1 Asigne una PDF rectangular a cada Xi i de de
modo que cada Xmodo que cada Xi i tenga una expectacion de cero tenga una expectacion de cero
y una desviacion estandar de 1. y una desviacion estandar de 1.
9.2.3.2 Los resultados obtenidos se resumen en 9.2.3.2 Los resultados obtenidos se resumen en
las primeras cinco columnas de la Tabla 3.las primeras cinco columnas de la Tabla 3.
La solucion analitica para los extremos del La solucion analitica para los extremos del
intervalo de cobertura al 95% probabilisticamente intervalo de cobertura al 95% probabilisticamente
simetrico se obtienen como se describe en el simetrico se obtienen como se describe en el
anexo E : anexo E :
La fig. 8 muestra la contraparte de la figura 6 .La fig. 8 muestra la contraparte de la figura 6 .
Puede verse algunas modesta diferencias entre las Puede verse algunas modesta diferencias entre las
aproximaciones para las PDFs .aproximaciones para las PDFs .
El GUMF provee exactamente la misma PDF para Y El GUMF provee exactamente la misma PDF para Y
cuando las Xcuando las Xi i son gauseanas o rectangulares , ya son gauseanas o rectangulares , ya
que las expectaciones de estas magnitudes son que las expectaciones de estas magnitudes son
identicas asi como sus desviaciones estandar .identicas asi como sus desviaciones estandar .
La PDF del MCM toma valores menores que los del La PDF del MCM toma valores menores que los del
GUMF en la vecindad de la expectaciGUMF en la vecindad de la expectacióón y en menor n y en menor
intensidad hacia las colas .intensidad hacia las colas .
Toma valores ligeramente mayores en los flancos. Toma valores ligeramente mayores en los flancos.
Los extremos de los intervalos de cobertura Los extremos de los intervalos de cobertura
suministrados son otra vez visualmente suministrados son otra vez visualmente
indistinguiblesindistinguibles
9.2.3.4 El intervalo de cobertura al 95% 9.2.3.4 El intervalo de cobertura al 95%
probabilisticamente simetrico determinado en el probabilisticamente simetrico determinado en el
GUMF es en este caso ligeramente mas GUMF es en este caso ligeramente mas
conservador que el obtenido analiticamente. conservador que el obtenido analiticamente.
9.2.4 X9.2.4 Xii Rectangularmente Distribuidas con Rectangularmente Distribuidas con
diferentes anchosdiferentes anchos
9.2.4.1 Considere el ejemplo de 9.2.3 excepto que 9.2.4.1 Considere el ejemplo de 9.2.3 excepto que
XX44 tiene una desviacion estandar de 10 en vez de 1.tiene una desviacion estandar de 10 en vez de 1.
La tabla 4 contiene los resultados obtenidos .La tabla 4 contiene los resultados obtenidos .
Los numeros M tomados segun el metodo Los numeros M tomados segun el metodo
adaptativo son mucho mas pequeadaptativo son mucho mas pequeññosos
que los que fueron para los dos casos previos de que los que fueron para los dos casos previos de
este ejemplo. este ejemplo.
La principal razon es que ahora La principal razon es que ahora δδ=0,5 la tolerancia =0,5 la tolerancia
numerica requerida ,como antes, dos digitos numerica requerida ,como antes, dos digitos
decimales significativos para u(y) es diez veces el decimales significativos para u(y) es diez veces el
valor previo. valor previo.
Si los valores previos fueran usados M deberia Si los valores previos fueran usados M deberia
estar en el orden de 100 veces mayor.estar en el orden de 100 veces mayor.
9.2.4.3 La fig. 9 muestra los extremos del intervalo 9.2.4.3 La fig. 9 muestra los extremos del intervalo
de cobertura al 95% probabilisticamente simetrico de cobertura al 95% probabilisticamente simetrico
para Y obtenido de estas aproximaciones.para Y obtenido de estas aproximaciones.
Las lineas verticales internas indican los extremos Las lineas verticales internas indican los extremos
de dicho intervalo determinado por el MCM.de dicho intervalo determinado por el MCM.
Las lineas verticales externas indican los Las lineas verticales externas indican los
extremos de dicho intervalo determinado por el extremos de dicho intervalo determinado por el
GUMF con un factor de cobertura k=1,96 .GUMF con un factor de cobertura k=1,96 .
9.2.4.5 El intervalo de cobertura al 95% 9.2.4.5 El intervalo de cobertura al 95%
probabilisticamente simetrico determinado en el probabilisticamente simetrico determinado en el
GUMF es en este caso mas conservador que el GUMF es en este caso mas conservador que el
obtenido usando el MCM.obtenido usando el MCM.
ANEXO CANEXO C
MUESTREO DE DISTRIBUCIONES DE MUESTREO DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADPROBABILIDAD
Se puede obtener un resultado aleatorio de Se puede obtener un resultado aleatorio de
cualquier funcicualquier funcióón de distribucin de distribucióón continua, n continua,
estrictamente creciente, univariadaestrictamente creciente, univariada
a partir de un resultado aleatorio de una a partir de un resultado aleatorio de una
distribucion rectangular :distribucion rectangular :
La tabla C1 define aspectos relevantes para el La tabla C1 define aspectos relevantes para el
funcionamiento de un pseudo generador de funcionamiento de un pseudo generador de
numeros aleatorios a partir de la distribucon numeros aleatorios a partir de la distribucon
rectangular R(0,1) especificando los parametros rectangular R(0,1) especificando los parametros
de netarda , entard de netarda , entard ––salida y salida con su salida y salida con su
determinacideterminacióónn
Un pseudo numero aleatorio x obtenido a partir de Un pseudo numero aleatorio x obtenido a partir de
R(0,1) es dado por :R(0,1) es dado por :
x= a+ (bx= a+ (b--a) z a) z
donde z es el pseudo numero aleatorio obtenido de donde z es el pseudo numero aleatorio obtenido de
R(0,1)R(0,1)
C.3.2 TEST DE ALEATORIEDAD C.3.2 TEST DE ALEATORIEDAD
Cualquier pseudo generador de numeros aleatorios Cualquier pseudo generador de numeros aleatorios
debe:debe:
C.3.3 Procedimiento para generar pseudonumeros C.3.3 Procedimiento para generar pseudonumeros
aleatorios a partir de una distribucion rectangularaleatorios a partir de una distribucion rectangular
C.3.3.1 El generador WichmannC.3.3.1 El generador Wichmann--Hill ampliado es Hill ampliado es
una combinacion de generadores congruenciales. una combinacion de generadores congruenciales.
Este nuevo generador combina 4 de estos Este nuevo generador combina 4 de estos
generadores y tiene un periodo de 2 generadores y tiene un periodo de 2 121121 que es que es
aceptable para cualquier aplicacion concebible .aceptable para cualquier aplicacion concebible .
La Tabla C.2 define este generador WichmannLa Tabla C.2 define este generador Wichmann--Hill Hill
ampliado a partir de una distribucion R(0,1).ampliado a partir de una distribucion R(0,1).
En la hoja Excel adjunta se muestra un ejemplo de En la hoja Excel adjunta se muestra un ejemplo de
la aplicacion del uso de este Generador Wichmannla aplicacion del uso de este Generador Wichmann--
Hill ampliado .Hill ampliado .
GRACIAS POR SU ATENCIONGRACIAS POR SU ATENCION !!
