ANALYSIS 3 FER PHYSIKER

lnhalti

I. Riemann -

Integration in R

"

II. Integrals take der Vektoranalysis

# ' Funkkonentheorie

) ^ s .su .

Iv. Map - und Integrations theories Anfang 20.3ha .

I.

Fourier . AnalysisVI. Hilbertrinume & Opvatoren Antony 20.3ha

.

@

I. Riemann . Integration in IR"

Def . :. Q e R

"

heipt Quader,

wenu a. be R"

existiven,

so class

Q - [ an ,b , ] x.. .

× [ an ,bn ]

.

• Das Volumen cines Quadvs ist vol ( Q ) := Myla ; - b

; /.

° Sci Z := t Q, ,

...

,Qm } eine Zerlegungvou Q= §

,

Qx in kleinere Quader Qa,

fir die gilt atp ⇒ Int ( Q.

) nInt ( Qp )= ¢ .

For f : Q → R definieren

wir die Ober - / Uutersumme

§ ( f ) :-. §,

vol ( Qd ) suptflx .) | x. e Qx }

I ( f ) : = §

,

not ( Q× ) inffflxx )|

××eQ÷"

frnndflaiche × tlohe"

° 1st Q ein Quader und f : Q → R beschrankt,

dam heipt f auf Q

Riemann - integrierbar weun inf I5zlf ) . I ( f ) / Z wie oben ] = 0.

Das Riemann Integral ist dann /.

flx ) dx := inf 5TH )

Ben .

: . 1st f :Q→R Riemann - integrierbw ,

dann ist f field : sup § ( t ) und das

Integral Kann als"

Volumen"

uuter dem Grapheu interpreter werden.

Def .: Me R

"

hift Menge von Lcbesgue - Map Null in R"

weun es zu jedem e > 0

dbzoihlbar viele Quader ( Qae R"

]×eµ gibt , so class

M c- U Qx n [ vol ( Qx ) < E.

X.CN XEN

Ben . : a Durch Skalieren sieht man,

class die Q× 'sgeuanso often gewaihlt werden kinnen

.

• Oft spricht man einfach von " Nukmengc"

oder, , Menge von Map Null

"

.

• E in Predikat A : R"

?S → { waw, falsch } hcipt

" fast inberakwaw"

in S,

weuu

{ xes / race ) } Nullmeuye ist and ein Quadw QES existivt unit vol ( Q ) > 0.

�2�

Lemma : Sind M.se R"

, jew Meagen von Lebesgue - Map Nnk in R"

,damn gilt dies

and fair flats .

Beweis : Fir jedes e > 0 gibt es Quader Qsx E R"

, so class

Ms

E ¥ ,µQjx ^ In vol ( Qja ) < EZ 's'

.

Damit gilt

⇐ roll Qsx ) ' E. a

Korollw : Q" e R

"

ist Menge vom Lebesgue-

Map Null in 112"

.

Beweis : Q"

istabzahlbar and the Q" ist { x } ER

"

Nukmeuge .

Die Aussage folgt damit ans dem uorhergehenden Lemma.

D

korollar : 1st QER"

ein Quader and f : Q 's R beschroinht and

Riemann - integrivbar ,

dann ist der Graph G : . f ( x. fix , )eR"+ '

/ XEQ }eine Menge von Lebesgue . Map Nwk in R

" '

.

Beweis : Fur jedes e > 0 existiut line Zvlegung Z it Qa } von Q,

so class

oI2azu°llQ& ) [ sxypa.tk' - if.to

,.tk ' ] ' E

.

DieQuader

ntl

da :-. Qax [ int fix , sup fks ] E R erfilleudamitI E Q ,

× E Q&

Ge yea ^ Zauollctx ) e e. I

�3�

Satz : ( Lebesguelsches lntegrabilitatskritoium )

Eine beschrinnkte Funktion f : Q → R auf einem Quader

QER"

istgeuan daun

Riemann . iutegrierbar ,weunsie fast uiberakstetigist .

Beweis : ( nur

"

⇐" ) M :-. {

xc.cl/fuustekgbeix)istuachAunahmeNulLmenge

. D. h . He > 0

gibt es Quader { R ;] ,µhit Me

YR; und § vol ( Rs ) e E

.

Zn jedem xe QIM gibt es dagegen einen Quader Sx unit xe SI und

K i. x"

E

SINQ: Iflx ' ) - flx " ) I < E

.

Aus kompaktheit non Q folyt ,

classes Zu seder offenen ltberdeckungQe U R ;° u U SI eine endlich liberdeckuug

.se/N XEQVY

0 0

QE U R; u U S× gibt .

JEA×EB

Woihle nun eine Zvleguugtqa } von Q,

so class for jedes x gilt :

( FJEA : Qae Rs ) v ( FXEB : Q&eS× ).

Dann ist I roll Q . ) [ qq.pa.tk ) -

into.tk ) ]

= I... + [

. . .

"

x. e A"

"

XEB"

uustekger + stetiger Te :L

± ( 2 " THE.ro?..rYll0" ' ) -

"E. "

endian

E 2 Hfll.

E + Errol LQ ) = E ( 211 fH• + rol ( Q ) ).

It