8 .6Th=[ Kettehvegetf:

Srif :D → IRM

differenzievbav in x°e Duudsei f: U → NP

( UEIRM )

differentievbau inf(x°

) ⇒

g of istdiffereuzievbav

in ×°uud ( gofltxoltgffcxo))f4x°j

Beweis : Esgilt

a)

fcxl

-

fCx9=fIx9H×°l

tklxixo )nut

xbjyohfxj.TT,

to

( f diffevehzievbavin x° )

(2)

gqkglflxolltgttaillly-

f 'x9l+k(Y 't '×9l mit

gk→mµ× .

,Yf9÷YxYh=0

mit Y=f(× )

glflxll=

glflxolltgllflxl ) ( fkl-

fk9)tvz( fcxhflxol )

=

gfflxolltgilflxll ( f 'Cx9( ×-

x°l +41×1×91 + Vzlflxliftxol )

=

glflxolltgyflxol )ftx9H- x° ) +

g'Hlx9)

vnlxniltrzlfcxhf

zuzeiyeu

ist

×.biz#H,xY=o(

*)

"' "

"

°

'

Seiitlhxntrnjxknlr

118

'ft'

"

Dll.lk' "

.tl#t,o ,

→° forx→x°

.

Opevotounovm

and www.t 7 So >o so doss f x nut oclx-

xolcSo

1g'lfH9lH×k91

(3)to

< E

wegen(2)

existiwtm {any

soso doss fiiv x

mt

Halfhill<

1

(4) /k(fixliflxl) /

<{ Ifkl

-

f(x9/

wegeuhl7 fi EIO

,

do) su dossfiiv all ×

mil oak-

x°l< Sn

gilt

Hkltcxgl←

Hf'gx9H

.

lx- ''

9 + It-

x°l =Hf'cull +1 ) 1×-81

Operatornorm

Sri 82<81 and82 '

,y÷xg+F

Daun

gilt fiivall × nut 1×+01<52

ouchlflxl

-

flxoll<

Mand svwit

wegeu( 41

KAM,

fkol )

,

s,

{Iflxltlxoy

a

{ 14.14×911+111×+9

lnsgesautgilt fir x mit l×t9<8

,class

lrY××÷YlFE

+ Eat 'lx9HH

Da dies

gilt fiivalbC >o

, esfulgt C * ) a.

8.771 :[ Pvoduktvegel] : Seen fig :D→R diffevenzivbav in x°

=) Das Product ist different 'eobavinx° and (fgl '(x9=gk9f4x° ) + fcxolg 'H° )

Beweis : { s gilt :

rnlx .x9

a) FCH = fcxol +fYx9 G- x9 the ( x , xol nut flux .¥1

= °

(2) gc×l=g(x9tgYx9ex9+h Hint mit tango TIKI, =o

Dawit euhaltuwiv :

f ( ngcx ) = ( flxoltf 'lx9H-x° ) tklxixo )) ( gcxoltg 'cx9H . Nl + vzlx ,xo )) =

= f C x9glx° ) + ( fH9g4t9tgH°)f4x9 ) ( × - x° )

+ flxolrzlx ,x° ) + f 'Cx9K - x9g'k°)Hx° ) + fkx9Hx9ru×K9

+ vnlxixol get ) thlxiolgkxojcx . xo ) + vacxigvzcx ,xo )

¥3" " )

muugeu ist hasBK "

x→xo FF=0

Dies fegtabuaus be,y .

4¥57 = o und being,o TIT =o and an .

lfyxollx-x9g'k9Hx91 § HEKMAN 'M'

= 144×911.11 gyxglltx - x9→o-

HxolIx - xol fir x→x°

Trove