Id en Ti Fit Ion

8/7/2019 Id en Ti Fit Ion

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Identification des systmes

Version 2009/2010

Gonzalo [email protected]

3me

anneOption Energie, Transport et

EnvironnementETE8

cole Nationale Suprieure de

Mcanique et des Microtechniques

26, chemin de lpitaphe

25030 Besanon cedex FRANCE

http://intranet-tice.ens2m.fr


2/91


3/91

3

" J e d i s t i n g u e d e u x m o y e n s d e c u l t i v e r l e s s c i e n c e s : l ' u n

d ' a u g m e n t e r l a m a s s e d e s c o n n a i s s a n c e s p a r d e s d c o u v e r t e s ;

e t c ' e s t a i n s i q u ' o n m r i t e l e n o m d ' i n v e n t e u r ; l ' a u t r e d e

r a p p r o c h e r l e s d c o u v e r t e s e t d e l e s o r d o n n e r e n t r e e l l e s , a n

q u e p l u s d ' h o m m e s s o i e n t c l a i r s , e t q u e c h a c u n p a r t i c i p e ,

s e l o n s a p o r t e , l a l u m i r e d e s o n s i c l e . . . "

D i d e r o t


4/91

4


5/91

T a b l e d e s m a t i r e s

I I d e n t i c a t i o n d e s s y s t m e s 9

1 M o d l e s d e c o n n a i s s a n c e 1 1

1 . 1 M o d l e s s i m p l e s l i n a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 1 . 1 E x e m p l e : l e m o t e u r c o u r a n t c o n t i n u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 2 M t h o d e s s y s t m a t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 2 . 1 U n e x e m p l e s i m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 3 D t e r m i n a t i o n d e s c o n s t a n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

1 . 4 L i n a r i s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

1 . 5 C o n c l u s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 I d e n t i c a t i o n d e m o d l e s n o n p a r a m t r i q u e s 1 5

2 . 1 Q u e l l e e n t r e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 1 . 1 A n a l y s e h a r m o n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 1 . 2 R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 1 . 3 R p o n s e i n d i c i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 2 E t u d e d e s r p o n s e s i n d i c i e l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 2 . 1 S y s t m e s d u p r e m i e r o r d r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 2 . 2 S y s t m e s d u s e c o n d o r d r e r s o n n a n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 2 . 3 S y s t m e s d u p r e m i e r o r d r e r e t a r d s o u d u s e c o n d o r d r e n o n r s o n n a n t . . . . . 1 6

2 . 2 . 4 S y s t m e s d ' o r d r e s u p r i e u r 2 n o n r s o n n a n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 2 . 5 S y s t m e a v e c i n t g r a t e u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 3 M t h o d e d e Z i e g l e r - N i c h o l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 4 A u t r e s m o d l e s ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

3 A l g o r i t h m e g n r a l d ' i d e n t i c a t i o n 2 1

3 . 1 C h o i x d u s i g n a l d ' e x c i t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

3 . 2 L e s s q u e n c e s b i n a i r e s p s e u d o a l a t o i r e s ( S B P A ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

3 . 2 . 1 C h o i x d e s p a r a m t r e d ' u n e S B P A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 3 I d e n t i c a t i o n b a s e s u r l ' e r r e u r d e s o r t i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 . 4 I d e n t i c a t i o n b a s e s u r l ' e r r e u r d e p r d i c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

3 . 4 . 1 M t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s s i m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

3 . 4 . 2 C a l c u l d u b i a i s d e l ' e s t i m a t e u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

3 . 4 . 3 M t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s g n r a l i s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 4 . 4 M t h o d e d e l a M a t r i c e I n s t r u m e n t a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . 5 I d e n t i c a t i o n e n b o u c l e f e r m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . 6 E t M a t l a b

d a n s t o u t a ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

4 E s t i m a t i o n s r c u r s i v e s 3 5

4 . 1 M o i n d r e s c a r r s r c u r s i f s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 . 2 V a r i a b l e i n s t r u m e n t a l e r c u r s i v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

5


6/91

6 T A B L E D E S M A T I R E S

5 A l g o r i t h m e s d ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e . 3 9

5 . 1 P r s e n t a t i o n g n r a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

5 . 2 E x e m p l e i n t r o d u c t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

5 . 3 P r o b l m e p o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

5 . 4 R e v u e b i b l i o g r a p h i q u e s u c c i n c t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

5 . 5 E l m e n t s d e c o m p a r a i s o n d e s d i r e n t e s m t h o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

5 . 5 . 1 C r i t r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

5 . 5 . 2 C o m p a r a i s o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

5 . 5 . 3 R c a p i t u l a t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

5 . 5 . 4 S y n t h s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

6 D e s c r i p t i o n d e s a l g o r i t h m e s u t i l i s s . 4 5

6 . 1 G r a d i e n t e t q u a s i - N e w t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

6 . 1 . 1 M t h o d e d u g r a d i e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

6 . 1 . 2 M t h o d e d e N e w t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

6 . 1 . 3 M t h o d e d e N e w t o n - R a p h s o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

6 . 1 . 4 M t h o d e d e L e v e n b e r g - M a r k a r d t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

6 . 1 . 5 l ' a l g o r i t h m e B F G S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

6 . 2 S i m p l e x d e N e l d e r & M e a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

6 . 2 . 1 E x t e n s i o n s - A m l i o r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

6 . 3 A l g o r i t h m e s g n t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

6 . 3 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

6 . 3 . 2 P r i n c i p e d e s a l g o r i t h m e s g n t i q u e s b i n a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2


6 . 3 . 4 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

6 . 4 A l g o r i t h m e s g n t i q u e s c o d s r e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

6 . 4 . 1 P r i n c i p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

6 . 4 . 2 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

6 . 5 M t h o d e d u R e c u i t s i m u l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

6 . 5 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

6 . 5 . 2 P r i n c i p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5


6 . 5 . 4 M i s e e n u v r e d u r e c u i t s i m u l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

B i b l i o g r a p h i e 5 6

7 T r a v a u x d i r i g s 5 9

7 . 1 S t r e c j - B r o i d a - P r o g r a m m a t i o n n o n l i n a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

7 . 1 . 1 S t r e c j - B r o i d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

7 . 1 . 2 P r o g r a m m a t i o n n o n l i n a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

7 . 1 . 3 L i m i t e s d e l a P r o g r a m m a t i o n n o n l i n a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

7 . 2 I d e n t i c a t i o n d e s s y s t m e s i n s t a b l e s o u i n t g r a t e u r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

7 . 3 C h o i x d e l a s o u r c e d ' e x c i t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

7 . 4 L e s m o d l e s p a r a m t r i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

7 . 5 C a s p r a t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

I I A n n e x e s 6 3

E x a m e n n a l j a n v i e r 2 0 0 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

C o r r e c t i o n e x a m e n n a l j a n v i e r 2 0 0 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8





7/91

T A B L E D E S M A T I R E S 7





8/91

8 T A B L E D E S M A T I R E S


9/91

P r e m i r e p a r t i e

I d e n t i c a t i o n d e s s y s t m e s

9


10/91


11/91

C h a p i t r e 1

M o d l e s d e c o n n a i s s a n c e

1 . 1 M o d l e s s i m p l e s l i n a i r e s

C e s o n t l e s m o d l e s i s s u s d e l a p h y s i q u e . L o r s q u e l e s y s t m e e s t p e u c o m p l e x e i l e s t p o s s i b l e d ' c r i r e

l e s r e l a t i o n s e n t r e l e s d i r e n t e s g r a n d e u r s p h y s i q u e s d c r i v a n t l e s d i r e n t s s o u s - s y s t m e s .

1 . 1 . 1 E x e m p l e : l e m o t e u r c o u r a n t c o n t i n u

&%

'$Ei

J, fT

u

R

L

F i g .

1 . 1 S c h m a b l o c d e l ' a s s e r v i s s e m e n t d e l a p o s i t i o n d u m o t e u r

a v e c :

u=

E+ Ri + Ldi/dtC

=ki

E=

k

Jddt = C f

D e l ' e n s e m b l e d e s q u a t i o n s o n p e u t t i r e r d i r e n t s g r a p h e s :

S c h m a b l o c

G r a p h e d e u e n c e ( v o i r p o l y c o p i d e c o u r s d e B e r n a r d L a n g )

G r a p h e s L i e n s o u B o n d g r a p h ( v o i r g u r e 1 . 2 ) ( H o r s d u c a d r e d e c e c o u r s : c f T e c h n i q u e s d e

l ' i n g n i e u r e t a u t r e s b o n s b o u q u i n s s u r l a q u e s t i o n )

D e c e s g r a p h e s , p a r r d u c t i o n , o n o b t i e n t l a f o n c t i o n d e t r a n s f e r t , p r l i m i n a i r e l a m a j o r i t d e s

m t h o d e s d ' a n a l y s e e t d e s y n t h s e d e c o r r e c t e u r s q u e v o u s c o n n a i s s e z .

L a g u r e 1 . 3 r a p p e l l e l e s a n a l o g i e s e n t r e l e s d i r e n t s d o m a i n e s d e l a p h y s i q u e .

1 1


12/91

1 2 C H A P I T R E 1 . M O D L E S D E C O N N A I S S A N C E

F i g .

1 . 2 S y s t m e e t s o n m o d l e e n B o n d G r a p h . ( t i r d e : h t t p : / / w w w . u n i v -

l i l l e 1 . f r / l 2 e p / c o m m a n d e / e e / p r e s e n t a t i o n s / p - c s . h t m )

F i g .

1 . 3 A n a l o g i e d e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s l i n a i r e s .

1 . 2 M t h o d e s s y s t m a t i q u e s

L o r s q u e l e s y s t m e s ' a v r e p l u s c o m p l e x e , i l e s t s o u v e n t u t i l e d e m e t t r e e n u v r e u n e m t h o d e s y s -

t m a t i q u e . L e s q u a t i o n s d e L a g r a n g e s o n t l ' u n e d e s e s m t h o d e s , p a r t i c u l i r e m e n t a d a p t e d a n s l e

c a d r e d e l a r o b o t i q u e m a i s p r e s q u e t o u s l e s s y s t m e s s o n t m o d l i s a b l e s p a r c e t t e m t h o d e .

L e s q u a t i o n s d e L a g r a n g e s ' c r i v e n t s o u s l a f o r m e :

d

dt

T

qi

T

qi+

D

qi+

V

qi= Qi

a v e c : T

=

n e r g i e s c i n t i q u e s

D=

12 p e r t e s d p e n d a n t e s d e l a v i t e s s e

V=

n e r g i e s p o t e n t i e l l e s

Q= F o r c e s e x t r i e u r e s

1 . 2 . 1 U n e x e m p l e s i m p l e

O n s u p p o s e L(x) = L0x


13/91

1 . 2 . M T H O D E S S Y S T M A T I Q U E S 1 3

Ei(t)

cF = M g

cx(t)

RL(x) = L0x(t)Te(t)

F i g .

1 . 4 S u s t e n t a t i o n m a g n t i q u e .

M c a n i q u e E l e c t r i q u e

C o o r d o n n e s q2 = x(t) q1 = q(t)

V i t e s s e q2 = x(t) q1 = q(t) = i(t)

T r a v a i l d e s f o r c e s e x t r i e u r e s 2 = M gx(t) 1 = e(t).q(t) = e.q1

F o r c e s e x t r i e u r e s Q2 =

2q2

= M g Q1 =1q1

= e

E n e r g i e c i n t i q u e T2 =

12Mq

22 T1 =

12L(x)q

21 =

12L0q2

q21E n e r g i e p o t e n t i e l l e

V2 = 0 V1 = 0 ( p a s d e c a p a c i t ) F o n c t i o n d e d i s s i p a t i o n

D2 = 0 D1 =12Rq

21

T = T2 + T1 =12Mq

22 +

12L0q2

q21V = V2 + V1 = 0

D = D2 + D1 = 12Rq21

Tqi

Mq2L0q2

q1ddt(

Tqi

) Mq2 L0

q1q2q1q2

q22

Dq2

0 Rq1Vqi

0 0Tqi

L02 (

q21q22

) 0

Q iM g e

d ' o o n e n d d u i t l e s f o r m u l e s s u i v a n t e s :

Mq2 +L0

2

q21q22

= M g

L0

q1q2 q1q2

q22

+ Rq1 = e

q2 = g

L02M

q21q22

q1 =

q2

L0 e Rq1 +L0q1q2

q22 L ' u t i l i s a t i o n d e l o g i c i e l s d e c a l c u l a n a l y t i q u e ( M a p l e , M a t h e m a t i c a , . . . ) p e r m e t t e n t u n e m o d l i s a t i o n

r a p i d e e t s a n s e r r e u r s .


14/91

1 4 C H A P I T R E 1 . M O D L E S D E C O N N A I S S A N C E

1 . 3 D t e r m i n a t i o n d e s c o n s t a n t e s

E v i d e m m e n t , a v a n t d e p o u v o i r s i m u l e r l e s y s t m e , i l f a u t d t e r m i n e r l a v a l e u r n u m r i q u e d e s d i r e n t s

p a r a m t r e s e n t r a n t e n j e u . L a b o n n e m t h o d e c o n s i s t e a l o r s s o u m e t t r e l e s y s t m e u n e s r i e d e

m e s u r e s p e r m e t t a n t d ' " i s o l e r " l e p a r a m t r e q u e l ' o n d s i r e m e s u r e r . L a l i t t r a t u r e r e g o r g e d e m t h o d e s

p e r m e t t a n t d e s m e s u r e s a b l e s .

A T T E N T I O N : l ' u t i l i s a t i o n d e m t h o d e s d e t y p e " i d e n t i c a t i o n p a r a m t r i q u e " ( v o i r c h a p i t r e 3 ) n e

p e r m e t e n a u c u n c a s d e m e s u r e r c e s p a r a m t r e s !

1 . 4 L i n a r i s a t i o n

C e s y s t m e t a n t n o n l i n a i r e e t n o t r e b u t t a n t d ' e n d t e r m i n e r u n m o d l e l i n a i r e ( f o n c t i o n d e

t r a n s f e r t , r e p r s e n t a t i o n d ' t a t ) , l a p r e m i r e t a p e c o n s i s t e d o n c l e l i n a r i s e r . I l e x i s t e d ' i n n o m b r a b l e s

m t h o d e s d e l i n a r i s a t i o n , l a l i t t r a t u r e v o u s f o u r n i r a u n e m t h o d e a p p r o p r i e v o t r e p r o b l m e . J e

n ' e n p r s e n t e r a i i c i q u ' u n e :

l a l i n a r i s a t i o n a u t o u r d ' u n p o i n t d e f o n c t i o n n e m e n t .

C e l a c o n s i s t e e n u n d v e l o p p e m e n t l i m i t a u p r e m i e r o r d r e ( a = a0 + a ) a u t o u r d ' u n p o i n t .

E n r e p r e n a n t l ' e x e m p l e d u p a r a g r a p h e 1 . 2 . 1

q1 = F1(q1, q2, q1, q2, e)

L a l i n a r i s a t i o n a u t o u r d u p o i n t E

e s t d o n n e p a r :

q1 =F1q1

E

q1 +F1q2

E

q2 +F1q1

E

q1 +F1q2

E

q2 +F1e

E

e

N o t e z b i e n q u e c e t t e t a p e d e l i n a r i s a t i o n n ' e s t n c e s s a i r e q u e s i v o u s c o m p t e z u t i l i s e r u n e m t h o d e

d e s y n t h s e f o n d e s u r u n e r e p r s e n t a t i o n l i n a i r e !

C o n c e r n a n t l a s i m u l a t i o n : i m p l a n t e z l e s d e u x m o d l e s ( l i n a r i s e t n o n - l i n a r i s ) , l e p r e m i e r v o u s

p e r m e t t r a d e v r i e r v o t r e s y n t h s e d e c o r r e c t e u r , l e s e c o n d ( u n p e u p l u s p r o c h e d e l a r a l i t ) v o u s

p e r m e t t r a d e s i m u l e r l a r o b u s t e s s e d e v o t r e c o r r e c t e u r v i s - - v i s d e s n o n - l i n a r i t s d u s y s t m e .

1 . 5 C o n c l u s i o n s

I l f a u t t o u j o u r s a v o i r u n m o d l e d e c o n n a i s s a n c e s , s i m a u v a i s s o i t - i l p o u r p o u v o i r " s e n t i r " l e p r o c d e t

i n t e r p r t e r v o s r s u l t a t s . C e m o d l e d e c o n n a i s s a n c e s e s t l e p r a l a b l e t o u t e i d e n t i c a t i o n d e s y s t m e

q u e l l e q u e s o i t l a m t h o d e e m p l o y e .


15/91

C h a p i t r e 2

I d e n t i c a t i o n d e m o d l e s n o n

p a r a m t r i q u e s

S i l e m o d l e c o n n a i s s a n c e s ' a v r e t r o p p e u p r c i s o u i m p o s s i b l e o b t e n i r , o n p e u t a l o r s s e s u r u n

m o d l e d e c o m p o r t e m e n t e n t r e - s o r t i e . O n p a r l e a l o r s d ' i d e n t i c a t i o n d u s y s t m e . L ' o b j e c t i f e s t

d ' o b t e n i r u n m o d l e q u i " s e c o m p o r t e c o m m e " l e s y s t m e . L a p l u p a r t d u t e m p s , l e s p a r a m t r e s d e c e

m o d l e s n ' o n t q u ' u n r a p p o r t l o i n t a i n a v e c l e s p a r a m t r e s d ' u n m o d l e d e c o n n a i s s a n c e s .

E n p r e m i e r l i e u , i l f a u t d o n c r p o n d r e a u x d e u x q u e s t i o n s s u i v a n t e s :

Q u e l l e e n t r e ?

C o m m e n t t r a i t e r l a s o r t i e ?

2 . 1 Q u e l l e e n t r e ?

2 . 1 . 1 A n a l y s e h a r m o n i q u e

E n t r e s i n u s o d a l e d e t y p e u = A sin(t)

,

b a l a y e l ' e s p a c e d e s p u l s a t i o n s s u s c e p t i b l e s d e c o n t e n i r

u n e p u l s a t i o n d e c o u p u r e d u s y s t m e . E n n o t a n t l ' a m p l i t u d e e t l e d p h a s a g e d e l a s o r t i e v i s - - v i s d e

l ' e n t r e o n t r a c e u n d i a g r a m m e d e B o d e . D e l ' a n a l y s e d e c e d i a g r a m m e o n d t e r m i n e l e m o d l e

L e s r s u l t a t s s o n t d i c i l e s e x p l o i t e r s i l e s c o n s t a n t e s d e t e m p s s o n t p r o c h e s . B o n n e e x c i t a t i o n s u r

t o u t l e s p e c t r e d e f r q u e n c e s . C e n ' e s t p a s u n e c o m m a n d e i n d u s t r i e l l e c l a s s i q u e e t p a r c o n s q u e n t e l l e

e s t d i c i l e m e t t r e e n o e u v r e .

2 . 1 . 2 R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e

I d a l e m e n t l a m e i l l e u r e m t h o d e c a r l e s p e c t r e e s t c o n s t a n t . M a i s i l e s t i m p o s s i b l e d e r a l i s e r u n D i r a c

c o r r e c t , s a u f p e u t - t r e e n l e c t r o n i q u e . . .

2 . 1 . 3 R p o n s e i n d i c i e l l e

L e s p e c t r e e s t c o r r e c t , l a c o m m a n d e e s t f a c i l e i m p l a n t e r c a r c ' e s t u n e c o m m a n d e c l a s s i q u e . C ' e s t l a

m t h o d e l a p l u s u t i l i s e .

2 . 2 E t u d e d e s r p o n s e s i n d i c i e l l e s

2 . 2 . 1 S y s t m e s d u p r e m i e r o r d r e

P a s d e r e t a r d p u r , d m a r r a g e f r a n c ( c o m p a r e r a u x s y s t m e s d ' o r d r e 2 o u s u p r i e u r ) .

E n c a s d e b r u i t , l a m t h o d e d e m e s u r e d e

v i a l ' i n t e r s e c t i o n d e l a p e n t e d e l a t a n g e n t e a u d m a r r a g e

a v e c l a v a l e u r n a l e e s t m e i l l e u r e q u e l e r e l e v d u t e m p s 6 3 % d e l a v a l e u r n a l e .

1 5


16/91

1 6 C H A P I T R E 2 . I D E N T I F I C A T I O N D E M O D L E S N O N P A R A M T R I Q U E S

T a b .

2 . 1 R p o n s e d ' u n s y s t m e d u p r e m i e r o r d r e u n c h e l o n .

E

T

t

sfinal

6 3 %sfinal

s(t)

H(p) = A1+p

2 . 2 . 2 S y s t m e s d u s e c o n d o r d r e r s o n n a n t

T a b .

2 . 2 R p o n s e d ' u n s y s t m e d u d e u x i m e o r d r e u n c h e l o n .

E

T

E'

t

Tpseudoperiode

sfinal

D%

tpic

H(p) = A1+

2mw0p+

p2

w02

L e f a c t e u r d ' a m o r t i s s e m e n t m

s e d t e r m i n e l ' a i d e d e l a m e s u r e d u d p a s s e m e n t :

D% = 100em

1m2

L a p u l s a t i o n p r o p r e w0 s ' o b t i e n t v i a l ' u n e d e s d e u x f o r m u l e s :

tpic =

w0

1 m2o u

Tp s e u d o - p r i o d e

=2

w0

1 m2

2 . 2 . 3 S y s t m e s d u p r e m i e r o r d r e r e t a r d s o u d u s e c o n d o r d r e n o n r s o n n a n t

L a m t h o d e d e B r o d a c o n s i s t e " f a i r e c o l l e r " u n m o d l e d e l a f o r m e

H(p) = AeTp

1+p s u r l a r p o n s e

d u s y s t m e .

L e s v a l e u r s d e T

e t d e

s o n t c a l c u l e s p a r t i r d e s r e l a t i o n s s u i v a n t e s :


17/91

2 . 2 . E T U D E D E S R P O N S E S I N D I C I E L L E S 1 7

T a b .

2 . 3 R p o n s e d ' u n s y s t m e d u d e u x i m e o r d r e n o n r s o n n a n t u n c h e l o n .

T

sfinal

s(t)

4 0 %sfinal

2 8 %sfinal

t2t1E

t

H(p) = AeTp

1+p

a v e c :

=5, 5 (t2 t1)

T=

2, 8 t1 1, 8 t2E n p r a t i q u e , l a p r i s e e n c o m p t e d u r e t a r d p u r e s t d i c i l e d a n s u n e s y n t h s e d e c o r r e c t e u r . O n u t i l i s e

d o n c l ' a p p r o x i m a t i o n s u i v a n t e :

H(p) =AeTp

1 + p A(1 T p)

1 + p A

(1 + p)(1 + T p)

C e t t e a p p r o x i m a t i o n r e s t e v a l a b l e j u s q u ' l a p u l s a t i o n = 1/T

2 . 2 . 4 S y s t m e s d ' o r d r e s u p r i e u r 2 n o n r s o n n a n t s

L a m t h o d e l a p l u s c o n n u e e s t l a m t h o d e d e S t r e j c . L e m o d l e e s t :

H(p) =AeTp

(1 + p)n

1 . M e s u r e r

TuTa .

2 . D a n s l a c o l o n n e

TuTa d u t a b l e a u 2 . 4 t r o u v e r l a v a l e u r i m m d i a t e m e n t i n f r i e u r e c e r a t i o .

3 . S u r l a l i g n e d e c e r a t i o d t e r m i n e r n

.

4 . T o u j o u r s l ' a i d e d e s v a l e u r s n u m r i q u e s d e c e t t e l i g n e , c a l c u l e r

a v e c

Ta

.

5 . C a l c u l e r l a n o u v e l l e v a l e u r d e T u

a v e c

Tu .

6 . E n d d u i r e T

a v e c T = T u T u

.

N o t e :

L e t a b l e a u 2 . 4 v i e n t d u c a l c u l d e l a r p o n s e i n d i c i e l l e d e s f o n c t i o n s d e t r a n s f e r t d e l a f o r m e

s(t) = L1

AeTp

p(1 + p)n

P o u r n = 4

s(t) =

L1

1

p(1 + p)4 = 1 e

t

te

t

1

2

t2et

2

1

6

t3et

3

l a d r i v e s e c o n d e s ' c r i t :

d2s(t)

dt2= 1

2

t2et

4 1

6

t3et

5


18/91


T a b .

2 . 4 M t h o d e d e S t r e j c : R p o n s e i n d i c i e l l e .

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

TaTu

n T u / T a T u /

T a /

1 0 0 1

2 0 . 1 0 4 0 . 2 8 2 2 . 7 1 8

3 0 . 2 1 8 0 . 8 0 5 3 . 6 9 5

4 0 . 3 1 9 1 . 4 2 5 4 . 4 6 5

5 0 . 4 1 0 2 . 1 0 0 5 . 1 1 9

6 0 . 4 9 3 2 . 8 1 1 5 . 6 9 9

7 0 . 5 7 0 3 . 5 4 9 6 . 2 2 6

8 0 . 6 4 2 4 . 3 0 7 6 . 7 1 1

9 0 . 7 0 9 5 . 0 8 1 7 . 1 6 4

1 0 0 . 7 7 3 5 . 8 6 9 7 . 5 9 0

q u i s ' a n n u l e p o u r t = 3

.

l a t a n g e n t e d e p l u s g r a n d e p e n t e e s t d o n c l a t a n g e n t e l a c o u r b e e n t = 3

. L e c a l c u l d e l a d r o i t e

t a n g e n t e d o n n e :

= 9/2e3

t 53

2e3 + 1

C e t t e d r o i t e

i n t e r c e p t e l a d r o i t e d ' q u a t i o n s = 1

e nt = 539 e t l ' a x e d e s a b s c i s s e s e n t =

1/9

(53 e3

2)

e3d o n c

T a =53

9 1/9(53 e3

2)

e3e t

Tu/Ta = .3193573120N o t e : s i

T u/T a < 0.1, d o n c

n = 1, O n a p p l i q u e p l u t t l a m t h o d e d e B r o d a .

2 . 2 . 5 S y s t m e a v e c i n t g r a t e u r

T a b .

2 . 5 M t h o d e d e S t r e j c ( s y s t m e a v e c i n t g r a t e u r )

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tu

X

Y

t

y

n x / y

1 0 . 3 6 8

2 0 . 2 7 1

3 0 . 2 2 4

4 0 . 1 9 5

5 0 . 1 7 5


19/91

2 . 3 . M T H O D E D E Z I E G L E R - N I C H O L S 1 9

I d e n t i s o u s l a f o r m e

H(p) =kup

1(1 + p)n

1 . A v e c x/y

: d t e r m i n e r n

2 . C a l c u l d e

a v e c = Tun

3 . C a l c u l d e ku =

yu 1t

E n p r a t i q u e i l e s t a s s e z r a r e d ' i d e n t i e r u n s y s t m e i n t g r a t e u r e n b o u c l e o u v e r t e c a r l e s y s t m e d r i v e

r a p i d e m e n t e n d e h o r s d e s o n d o m a i n e d e l i n a r i t ( s a t u r a t i o n , . . . ) . E n p r a t i q u e , o n p r o c d e u n e

i d e n t i c a t i o n e n b o u c l e f e r m e .

2 . 3 M t h o d e d e Z i e g l e r - N i c h o l s

T o u s c o m p t e s f a i t , l e b u t p r i n c i p a l d e l ' i d e n t i c a t i o n e n a u t o m a t i q u e e s t l a m i s e e n p l a c e d ' u n c o r r e c -

t e u r o u d ' u n r g u l a t e u r a n d ' a m l i o r e r l e s p e r f o r m a n c e s d u s y s t m e e n b o u c l e f e r m e . A u s s i l ' o n e s t

e n d r o i t d e s e d e m a n d e r s i c e t t e t a p e d ' i d e n t i c a t i o n e s t b i e n n c e s s a i r e . . .

C ' e s t e x a c t e m e n t l e p r i n c i p e d e l a m t h o d e d e Z i e g l e r - N i c h o l s , q u i n ' e s t p a s u n e m t h o d e d ' i d e n t i c a -

t i o n p r o p r e m e n t p a r l e r m a i s u n e m t h o d e d e r g l a g e f o n d e s u r d e s m e s u r e s e e c t u e s d i r e c t e m e n t

s u r l e s y s t m e . L e t a b l e a u 2 . 6 r s u m e l a m t h o d e .

2 . 4 A u t r e s m o d l e s ?

L e s m t h o d e s p r c d e n t e s s o n t t r s p e r f o r m a n t e s s i t o u t e f o i s l e c o m p o r t e m e n t d u s y s t m e e s t p r o c h e

d e s r p o n s e s i n d i c i e l l e s a t t e n d u e s .

Q u ' e n e s t - i l p o u r l e s s y s t m e s d c r i t s p a r l e s f o n c t i o n s d e t r a n s f e r t s u i v a n t e s :

H1(p) =AeTp

1 + 2zw0p +p2

w02

e tH2(p) =

1 T p(1 + 1p)(1 + 2p)(1 + 2p)

D a n s l a p l u p a r t d e s c a s , l ' u n d e s m o d l e s p r c d e n t s s e r a s u s a n t . N ' o u b l i e z p a s q u e n o u s c h e r c h o n s

u n m o d l e d e c o m p o r t e m e n t u n i q u e m e n t . D a n s l e s q u e l q u e s c a s r s i s t a n t a u x m t h o d e s p r c d e n t e s ,

u n p e u d ' a s t u c e p e r m e t d e t r o u v e r u n e m t h o d e p o u r d t e r m i n e r l e s c o n s t a n t e s d u s y s t m e . E t s i r i e n

d e c e q u i p r c d e n e v o u s a i d e , I l r e s t e l e s m t h o d e s d e m o d l i s a t i o n p a r a m t r i q u e .


20/91


T a b .

2 . 6 C o e c i e n t s d ' u n P I D r g l p a r l e s m t h o d e s d e Z i e g l e r - N i c h o l s e t C h i e n - H r o n e s - R e s w i c k :

e s s a i i n d i c i e l e t m t h o d e d u p o m p a g e .

M t h o d e d e p o m p a g e

B o u c l e f e r m e

M t h o d e s a p r i o d i q u e s

B o u c l e o u v e r t e

S y s t m e s s t a b l e s o u i n s t a b l e s

e n b o u c l e o u v e r t e

S y s t m e s s t a b l e s , i n s t a b l e s

o u i n t g r a t e u r s

Z i e g l e r - N i c h o l s Z i e g l e r - N i c h o l s C h i e n - H r o n e s - R e s w i c k

R g u l a t i o n o u

P o u r s u i t e

R g u l a t i o n o u

P o u r s u i t e

R g u l a t i o n

P o u r s u i t e

PK = 0.5Kosc K =

T K = 0.3

T K = 0.3

T

P . IK = 0.45Kosc K = 0.9

T K = 0.6

T K = 0.35

T

Ti = 0.83Tosc Ti = 3.3 Ti = 4 Ti = 1.2T

P . I . D

K = 0.6Kosc K = 1.2T K = 0.95T K = 0.6

T

Ti = 0.5Tosc Ti = 2 Ti = 2.4 Ti = TTd = 0.125Tosc Td = 0.5 Td = 0.4 Td = 0.5


21/91

C h a p i t r e 3

A l g o r i t h m e g n r a l d ' i d e n t i c a t i o n

I l f a u t r p o n d r e a u x q u e s t i o n s s u i v a n t e s :

Q u e l g e n r e d e m o d l e ?

P a r a m t r i q u e o u n o n p a r a m t r i q u e ?

Q u e l l e s m e s u r e s e e c t u e r ?

Q u e l s i g n a l d ' e x c i t a t i o n ?

Q u e l l e s t r u c t u r e a d o p t e r ?

D o i t - o n y i n c l u r e d e s c o n n a i s s a n c e s a p r i o r i ?

C o m m e n t c h o i s i r l e b o n m o d l e p a r m i t o u s c e u x c a l c u l s ?

C e m o d l e e s t - i l a d a p t c e q u e l ' o n v a l u i d e m a n d e r ?

M e s u r e s

C h o i x d e l a

s t r u c t u r e

C r i t r e d e

s l e c t i o n

D o n n e s

C a l c u l d ' u n

m o d l e

V a l i d a t i o n

cc c

'

T

c

c

c c

c

c

C o n n a i s s a n c e s a p r i o r i

cM o d l e n a l

F i g .

3 . 1 A l g o r i t h m e g n r a l d ' i d e n t i c a t i o n d e s s y s t m e s . N o t e z q u e l e p r o c e s s u s d ' i d e n t i c a t i o n

e s t u n p r o c e s s u s i t r a t i f , c h a q u e p a s s a g e a p p o r t a n t u n p e u p l u s d e c o n n a i s s a n c e s .

2 1


22/91

2 2 C H A P I T R E 3 . A L G O R I T H M E G N R A L D ' I D E N T I F I C A T I O N

E

b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7

E

F i g .

3 . 2 P r i n c i p e d e g n r a t i o n d e n o m b r e a l a t o i r e s f o n d s u r u n r e g i s t r e d c a l a g e .

T a b .

3 . 1 T a b l e a u d e s b i t s u t i l i s e r p o u r o b t e n i r u n e s q u e n c e d e l o n g u e u r m a x i m a l e

n b i t s

3b2

b14

b3

b25

b4b2

6 b5 b47

b6

b58

b7

b3

b2

b19

b8

b41 0

b9

b6

3 . 1 C h o i x d u s i g n a l d ' e x c i t a t i o n

P o u r b i e n i d e n t i e r , i l f a u t b i e n e x c i t e r d a n s t o u t l e s p e c t r e d e f r q u e n c e s s u s c e p t i b l e d e c o n t e n i r d e s

c o n s t a n t e s d e t e m p s d u s y s t m e .

sin(wt)

: p a r f a i t d ' u n p o i n t d e v u e s p e c t r e ( b a l a y a g e e n f r q u e n c e ) m a i s p e u d e s y s t m e s a c c e p t e n t

c e g e n r e d ' e n t r e s .

(t)

: p a r f a i t d u p o i n t d e v u e t h o r i q u e , m a i s , h o r m i s e n l e c t r o n i q u e , i l e s t i m p o s s i b l e d e r a l i s e r

u n t e l s i g n a l .

u(t): m o i n s b o n d ' u n p o i n t d e v u e s p e c t r a l (

u(f) =s i n c

(f)) , m a i s f a c i l e i m p l a n t e r

b(t)

: b r u i t b l a n c i d a l d ' u n p o i n t d e v u e s p e c t r a l m a i s c o m m e n t l e r a l i s e r ?

I l a r r i v e q u e v o u s n ' a y e z a u c u n e p o s s i b i l i t d ' e x c i t e r l e s y s t m e ( e x : m a c h i n e e n p r o d u c t i o n ) , i l f a u d r a

a l o r s p r o t e r d e s c o m m a n d e s " n a t u r e l l e s " d u s y s t m e c o m m e s i g n a l d ' e n t r e d u s y s t m e . D a n s c e c a s ,

l e p r e m i e r t r a v a i l c o n s i s t e c a l c u l e r l e s p e c t r e d u s i g n a l d ' e n t r e ( F F T p a r e x e m p l e ) . I l f a u d r a v r i e r

a p o s t e r i o r i q u e l e s c o n s t a n t e s d e t e m p s i d e n t i e s s o n t b i e n d a n s d e s d o m a i n e s d e f r q u e n c e s d a n s

l e s q u e l s l e s y s t m e a t e x c i t .

3 . 2 L e s s q u e n c e s b i n a i r e s p s e u d o a l a t o i r e s ( S B P A )

L ' u n d e s m o y e n s d e r a l i s e r u n s i g n a l " a l a t o i r e " e s t l a m i s e e n u v r e d e S q u e n c e s B i n a i r e s P s e u d o

A l a t o i r e s ( e n a n g l a i s P R B S : P s e u d o R a n d o m B i n a r y S e q u e n c e )

P r i n c i p e :

P o u r q u e l e s y s t m e f o n c t i o n n e , o n d o i t i n i t i a l i s e r l e r e g i s t r e n ' i m p o r t e q u e l l e v a l e u r b i n a i r e s a u f

z r o . l e n o m b r e c o d e n b i n a i r e A = b7b6b5b4b3b2b1b0 e s t " a l a t o i r e . d e l a m m e f a o n , l e b i t b7 s e m b l e

i n d p e n d a n t d e s e s v a l e u r s p r c d e n t e s .

1

U n e s q u e n c e s u r N b i t s u n e l o n g u e u r d e 2N1 = L d o n t 2N1 1 e t 2N11 0 , s a v a l e u r m o y e n n e

e s t d o n c n o n n u l l e .

E(s(t)) =a

L1

C e l a n e s e m b l e p a s t r s s r i e u x , m a i s s a c h e z q u e l e s g n r a t e u r s d e b r u i t e n l e c t r o n i q u e u t i l i s e n t c e p r i n c i p e m a i s

s u r 4 0 b i t s e t q u e l e c r y p t a g e d e t e x t e s u t i l i s e u n p r i n c i p e t o u t f a i t s i m i l a i r e s u r 1 2 8 b i t s !


23/91

3 . 2 . L E S S Q U E N C E S B I N A I R E S P S E U D O A L A T O I R E S ( S B P A ) 2 3

E

TT

t

a m p l i t u d e

a " 1 "

" 0 "

F i g .

3 . 3 d i a g r a m m e t e m p o r e l d ' u n e s q u e n c e b i n a i r e p s e u d o a l a t o i r e .

T

EE

a2

TeTe LTea2L

t

F i g .

3 . 4 F o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n d ' u n e S B P A .

P o u r d t e r m i n e r l a f o r m e d u s p e c t r e i l f a u t e n p r e m i e r l i e u c a l c u l e r s a f o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n , l e

s p e c t r e t a n t l a t r a n s f o r m e d e F o u r i e r d e l a f o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n

F o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n

Cxx() =1

LT

LT0

x()x(t )dt

s i || TCxx() = a

2(1 L + 1L

.||T

)

s i || TCxx() = a

2

L

O n e n d d u i t l e s p e c t r e q u i e s t l a t r a n s f o r m e d e F o u r i e r d e l a f o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n .

P(f) = a2L + 1

L2

+

(v nLT

)(sin nL

nL)2 a

2

L(v)

L e s p e c t r e d e l a S B P A r e p r s e n t e n g u r e 3 . 5 e s t d o n c u n p e i g n e d e D i r a c m o d u l p a r u n s i n u s

c a r d i n a l . O n c o n s i d r e q u e l e b r u i t p e u t t r e c o n s i d r c o m m e u n b r u i t b l a n c d a n s l e p r e m i e r t i e r s d u

p r e m i e r l o b e ( 1/3Te ) . O n r e m a r q u e d o n c q u e : p l u s

Lg r a n d p l u s l a v a l e u r m o y e n n e e s t f a i b l e

p l u s L

g r a n d

p l u s d e r a i e s , p l u s p r o c h e d u b r u i t b l a n c


24/91


E

T

1/Te 2/Te

T

T

T

T

T

T

TT

T

f

SBPA(f)

1LTe 2

LTe

F i g .

3 . 5 S p e c t r e d ' u n e S B P A .

3 . 2 . 1 C h o i x d e s p a r a m t r e d ' u n e S B P A

I l f a u t d o n c d t e r m i n e r a, L

e tT e

" o p t i m u m " v i s - - v i s d u s y s t m e i d e n t i e r .

L e p r e m i e r c o m p r o m i s c o n c e r n e L

e tTe .

P l u s l a s q u e n c e e s t l o n g u e :

p l u s i l y a d ' i n f o r m a t i o n s

p l u s l e t r a n s i t o i r e e s t n g l i g e a b l e

p l u s l e s o r g a n e s s o u r e n t

p l u s l e s d r i v e s s ' a c c e n t u e n t

L e d e u x i m e c o m p r o m i s e s t : p l u s a

e s t p e t i t ,

p l u s l e s i g n a l e s t n o y d a n s l e b r u i t ( l e v r a i c e l u i l ! )

m o i n s l e s o r g a n e s s o u r e n t

m o i n s l e s d r i v e s s ' a c c e n t u e n t

L e c h o i x d e a

e s t d o n c a v a n t t o u t l i a u b r u i t p r s e n t d a n s l e s y s t m e . O n c h o i s i r a a

j u s t e a s s e z g r a n d

p o u r a v o i r d u s i g n a l e n s o r t i e d u s y s t m e .

C h o i x d e L

e tTe U n e S B P A d e l o n g u e u r L = 2

Ne n v o y e l a f r q u e n c e

1/Te p r s e n t e u n p l a t e a u d e l o n g u e u r m a x i m a l e d e l o n g u e u r

N Te . L e p l u s p e t i t p l a t e a u t a n t d e l o n g u e u r TeL e c h o i x d e

N( d o n c

L) e t

Te e s t d o n c , e n c o r e u n e f o i s , u n c o m p r o m i s e n t r e : u n e b o n n e i d e n t i c a t i o n d u g a i n s t a t i q u e

u n e b o n n e e x c i t a t i o n s u r l a b a n d e d e f r q u e n c e d u s y s t m e

S o i t max l a p l u s g r a n d e c o n s t a n t e d e t e m p s d u s y s t m e e t min l a p l u s p e t i t e c o n s t a n t e d e t e m p s d u

s y s t m e .

P o u r u n e b o n n e i d e n t i c a t i o n d u g a i n s t a t i q u e o n c h o i s i r a :

N T e = 3

5 max

P o u r u n e b o n n e e x c i t a t i o n s u r l e s p e c t r e e n t r e 0 e t l a p l u s h a u t e f r q u e n c e d e c o u p u r e o n c h o i s i r a :

0, 31

T e=

1

2min

L a r s o l u t i o n d e s e s d e u x q u a t i o n s d o n n e

Ne t

TeN o t e 1 : s i

max min N d e v i e n t v i t e t r s g r a n d d o n c LTe d e v i e n t p r o h i b i t i f !


25/91

3 . 3 . I D E N T I F I C A T I O N B A S E S U R L ' E R R E U R D E S O R T I E 2 5

E

T

1/Te 2/Te

T

T

T

T

T

T

TT

Tf

SBPA(f)

1LTe2

LTe

z o n e o l a S B P A e s t u n b r u i t b l a n c

fb = 0, 3/T eW

E

T

t

a

p l a t e a u m a x i m u m =NTe

t =3 5

max

F i g .

3 . 6 P a r a m t r e s d ' u n e S B P A .

N o t e 2 : S i

f ee s t b l o q u e e t t r o p g r a n d e ( b e a u c o u p d e s y s t m e s s o n t s u r - c h a n t i l l o n n s ) , i l e s t p a r -

f a i t e m e n t p o s s i b l e c h o i s i r Te = n/fe e n r p t a n t c h a q u e b i t n f o i s

N o t e 3 : S i f e

e s t b l o q u e e t t r o p p e t i t e , a b a n d o n n e z l ' i d e d ' i d e n t i e r l a p e t i t e c o n s t a n t e d e t e m p s :

d e t o u t e s f a o n s v o u s n e p o u r r e z p a s l a c o n t r l e r !

3 . 3 I d e n t i c a t i o n b a s e s u r l ' e r r e u r d e s o r t i e

L e p r i n c i p e d e c e t t e m t h o d e d ' i d e n t i c a t i o n e s t i l l u s t r e n g u r e 3 . 7 . L e m o d l e e s t u n e f o n c t i o n d e

np a r a m t r e s

i , i v a r i a n t d e 1 n . I l s ' a g i t a l o r s d e d t e r m i n e r l e s p a r a m t r e s i t e l s q u e l e c r i t r e s o i t m i n i m u m . L e c r i t r e e s t e n g n r a l c h o i s i d e l a f o r m e

J = 2.

S y s t m e

M o d l e

C r i t r e

0

u i+

yi

yi

F i g .

3 . 7 P r i n c i p e d ' i d e n t i c a t i o n f o n d s u r l ' e r r e u r d e s o r t i e .

L a r e c h e r c h e d e s p a r a m t r e s o p t i m a u x

i s e f a i t p a r p r o g r a m m a t i o n n o n l i n a i r e . I L s ' a g i t d ' u t i l i s e r u n a l g o r i t h m e q u i p a r t i r d e p a r a m t r e s n o n o p t i m a u x

i e t u n c r i t r e J d o n n e l e s p a r a m t r e s i .C e s a l g o r i t h m e s s o n t n o m b r e u x , t i t r e d e d ' e x e m p l e v o i c i l e s p l u s u t i l i s s .

g r a d i e n t

q u a s i N e w t o n

N e l d e r e t M e a d

a l g o r i t h m e s g n t i q u e s

r e c u i t s i m u l

A v a n t a g e s d e c e t t e m t h o d e :

p a s d ' h y p o t h s e s u r l a f o r m e d u m o d l e : n o n l i n a i r e


26/91


a d a p t l a r e c h e r c h e d e p a r a m t r e s p h y s i q u e s s i m o d l e d e c o n n a i s s a n c e s ( m o d l e c o n t i n u ! )

L ' i n c o n v n i e n t m a j e u r e s t q u ' a u c u n d e c e s a l g o r i t h m e s n ' e s t c a p a b l e d e g a r a n t i r q u e l e r s u l t a t e s t

r e l l e m e n t l ' o p t i m u m .

3 . 4 I d e n t i c a t i o n b a s e s u r l ' e r r e u r d e p r d i c t i o n

D a n s c e t t e p a r t i e , n o u s s u p p o s e r o n s q u e l e m o d l e o b t e n u e s t u n p r d i c t e u r , c ' e s t d i r e q u ' i l p e r m e t

d e c a l c u l e r l a s o r t i e l ' i n s t a n t i

e n f o n c t i o n d e s e n t r e s e t d e s s o r t i e s r e l l e s a u x i n s t a n t s p r c d e n t s

uik e t yik .

S y s t m e

M o d l e

C r i t r e

0

ui i+

yi

yi

F i g .

3 . 8 P r i n c i p e d ' i d e n t i c a t i o n f o n c e s u r l ' e r r e u r d e p r d i c t i o n .

3 . 4 . 1 M t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s s i m p l e s

L e s c a l c u l s s u i v a n t s s e r o n t f o n d s s u r l e m o d l e p r s e n t e n g u r e 3 . 9 .

B(z1)A(z1)

iyiviui

F i g .

3 . 9 M o d l e d u s y s t m e t u d i .

L a m i s e e n q u a t i o n d u s y s t m e d o n n e :

Avi = Bui

yi = vi + i

A(yi i) = BuiAyi = Bui + Ai

p o s o n s :

ei = Ai

ei s o n t l e s r s i d u s d e l ' e s t i m a t i o n . O n o b t i e n t n a l e m e n t :

Ayi = Bui + ei( 3 . 1 )

S i n o u s p o s s d o n s N

m e s u r e s c o n s c u t i v e s , o n p e u t c r i r e N n

f o i s

2

l ' q u a t i o n 3 . 1 .

2 ne s t l ' o r d r e , s u p p o s c o n n u d u p o l y n m e

A, o n a p p e l l e r a

pl ' o r d r e d u p o l y n m e

B.


27/91

3 . 4 . I D E N T I F I C A T I O N B A S E S U R L ' E R R E U R D E P R D I C T I O N 2 7

S o u s f o r m e m a t r i c i e l l e , o n o b t i e n t :

yNyN1

yN2yN3.

.

.

yn+2yn+1

=

yN1 yN2 . . . yNn uN . . . uNpyN2 yN3 yNn1 uN1 uNp1yN3

.

.

.

.

.

. uN2 uNp2.

.

. yn+1.

.

.uNp3

yn+1 yn.

.

.uNp

yn yn1 . . . y1 un+1

a1a2

.

.

.

anb0b1

.

.

.

bm

+

eNeN1eN2

.

.

.

.

.

.

en+2en+1

s o i t

y = X + e

l e c r i t r e J

e s t :

J =

e2 = eTe

d o n c

J = (y X)T(y X) = yTy TXTy yTX + TXTXN o u s c h e r c h o n s l a v a l e u r

d e

q u i m i n i m i s e

J. A i n s i

J

=

= 0 = 2XTy + 2XTX=

D ' o o n e n d d u i t : = (XTX)1XTyI l r e s t e v r i e r q u e l a v a l e u r o b t e n u e e s t b i e n u n m i n i m u m

2J

2

= 2XTXm a t r i c e d n i e p o s i t i v e : c ' e s t b i e n u n m i n i m u m !

3 . 4 . 2 C a l c u l d u b i a i s d e l ' e s t i m a t e u r

E[] = E[(XTX)1XTy]e t

y = X + e= E[ + (XTX)1XTe]= + E[(XTX)1XTe]

L ' e s t i m a t e u r e s t n o n b i a i s s i

E[] = d o n c s i

E[(XTX)1XTe] = 0

i l f a u t d o n c q u e : X

e te

s o i e n t n o n c o r r l s

es o i t c e n t r


28/91


M a i s c e n ' e s t p a s l e c a s ! L e c a l c u l d e c e b i a i s s u r l ' e x e m p l e p r s e n t e n g u r e 3 . 1 0 p e r m e t d e l e

m o n t r e r .

bz1

1+az

1 i

yiviui

F i g .

3 . 1 0 S y s t m e d u p r e m i e r o r d r e b r u i t .

L e s q u a t i o n s d u s y s t m e s o n t :

vi + avi1 = bui1yi = vi + i

o i e s t u n b r u i t r p o n d a n t a u d e u x q u a t i o n s s u i v a n t e s :

E[i] = 0E[i.ik] = 2(k)

E n r c r i v a n t l e s q u a t i o n s d u s y s t m e o n o b t i e n t :

yi + ayi1 = bui1 + i + ai1= bui1 + ei

E[ei] = E[i + ai1] = E[i] + aE[i1] = 0

E[ei.eik] = E[(i + ai1)(ik + aik1)]= E[i.ik] + aE[i.ik1] + aE[i1.ik] + a2E[i1.ik1]= 2[(1 + a2)(k) + a(k 1) + a(k + 1)]

E

T

TT

2(1 + a2)

a2a2

k0 1- 1

F i g .

3 . 1 1 F o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n d e s r s i d u s d ' e s t i m a t i o n .

L a f o n c t i o n d ' a u t o - c o r r l a t i o n ( v o i r g . 3 . 1 1 ) m o n t r e b i e n q u e l e s r s i d u s ei n e s o n t p a s u n b r u i t

b l a n c , n o t r e e s t i m a t e u r e s t b i e n b i a i s ! I l r e s t e d o n c t r o u v u n e m t h o d e q u i p e r m e t t e d e r e n d r e c e

b i a i s n u l . D e u x m t h o d e s s o n t p r o p o s e s c i - a p r s : L a m t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s g n r a l i s s e t l a

m t h o d e d e l a m a t r i c e i n s t r u m e n t a l e .


29/91

3 . 4 . I D E N T I F I C A T I O N B A S E S U R L ' E R R E U R D E P R D I C T I O N 2 9

3 . 4 . 3 M t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s g n r a l i s s

L e s y s t m e t u d i e s t d c r i t s u r l a g u r e 3 . 1 2

B(z1)A(z1)

m o d l e

mi yivi

yi

ui n ei

P(z1)Q(z1)

i

F i g .

3 . 1 2 S y s t m e t u d i .

Avi = Bui

yi = vi + i

A(yi

i) = Bui

Ayi = Bui + Ai ( 3 . 2 )

l e s r s i d u s s o n t d o n c :

ei = Ai

c r i t s e n f o n c t i o n d u b r u i t b l a n c i

ei = AP

Qi

q u a t i o n q u e n o u s c r i r o n s d a n s u n s o u c i s d e s i m p l i c a t i o n d ' c r i t u r e :

F ei = i

E n r e p r e n a n t l ' q u a t i o n 3 . 2 e t e n m u l t i p l i a n t t o u s l e s t e r m e s p a r F

o n o b t i e n t :

AF yi = BF ui + AF i

= BF ui + AQ

APi

= BF ui + i

E n r c r i v a n t c e t t e d e r n i r e q u a t i o n ,

Ayi = Bui + i

o

y

ie t

u

is o n t , r e s p e c t i v e m e n t l e s s o r t i e s

yie t l e s c o m m a n d e s

ui l t r e s p a r l e l t r e

F.

E n a p p l i q u a n t l a m t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s s i m p l e s s u r c e s e n t r e s - s o r t i e s l t r e s l e b i a i s d e l ' e s t i -

m a t e u r s e r a n u l c a r l e b r u i t i e s t b i e n u n b r u i t b l a n c . L ' e s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s s e r a d o n c p a r f a i t e .

T o u t e f o i s i l r e s t e d t e r m i n e r l e l t r e F

.


30/91


D t e r m i n a t i o n d e F

R e p r e n o n s 3 . 4 . 3 s o u s f o r m e m a t r i c i e l l e ( a v e c F

d e l a f o r m e : F = 1 + f1z

1 +f2z

2 + . . . + fnzn )

eN

eN1eN2eN3

.

.

.

en+2en+1

=

eN1

eN2 . . .

eNn

eN2 eN3 eNn1eN3

.

.

.

.

.

.

.

.

. en+1en+1 enen en1 . . . e1

f1f2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

fn

+

N

N1N2

.

.

.

.

.

.

n

s o i t

e = Xef +

q u i e s t u n e f o r m e c o n n u e e t d o n t o n s a i s q u e l a s o l u t i o n e s t :

f = (XTe Xe)1XTe eL e s p a r a m t r e s

fd e

Fs o n t d o n c d t e r m i n s c o n d i t i o n d e d i s p o s e r d e s r s i d u s

e. M a i s c ' e s t j u s t e m e n t

p o u r l e s a v o i r q u e l ' o n d r o u l e t o u t e s c e s q u a t i o n s . . .

L a s o l u t i o n p r o p o s e c o n s i s t e a l o r s p r o c d e r p a r i t r a t i o n s e n u t i l i s a n t u n e p r e m i r e e s t i m a t i o n d e s

r s i d u s e

o b t e n u e p a r u n p r e m i e r m o d l e u t i l i s a n t

1u n e p r e m i r e a p p r o x i m a t i o n d e s p a r a m t r e s d u

s y s t m e o b t e n u e p a r l a m t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s s i m p l e s .

L ' a l g o r i t h m e e s t a l o r s , p a r t i r d e s e n t r e s - s o r t i e s

1ui = ui e t1yi = yi

1 . E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s

k = (kXT kX)1kXT ky

2 . E s t i m a t i o n d e s r s i d u s

ke = ky kXk3 . C o n s t r u c t i o n d u l t r e

F1kf = (kXTe kXe)1kXTe ke

4 . F i l t r a g e l e s d o n n e s

kyi =kyi e t

kui =kFkui

5 . R e b o u c l a g e e n u t i l i s a n t c e n o u v e l e n s e m b l e d ' e n t r e s s o r t i e s

Q u e l q u e s r e m a r q u e s :

S i l e s l t r e s

kFs o n t d u p r e m i e r o r d r e (

n = 1) , l a m a t r i c e

Xe s e r d u i t u n r e l c e q u i s i m p l i e l a

f o r m u l e

kf = (kXTe kXe)1kXTe ke = kekXe .C r i t r e d ' a r r t d e l ' a l g o r i t h m e : L e p r e m i e r r e x e c o n s i s t e c a l c u l e r l a " b l a n c h e u r " d e s r s i d u s , m a i s

c e c r i t r e e s t a s s e z d i c i l e m e t t r e e n u v r e . U n m t h o d e p l u s s i m p l e c o n s i s t e c a l c u l e r u n c r i t r e

d ' a r r t d e l a f o r m e :

Ca =

J

J =

kJ

k1J

kJa v e c

J = e

T

e

E n p r a t i q u e o n u t i l i s e r a Ca 5%

A c h a q u e i t r a t i o n l e b r u i t " d e v i e n t p l u s b l a n c " e t p a s c o n s q u e n t l e c r i t r e d c r o t .


31/91

3 . 5 . I D E N T I F I C A T I O N E N B O U C L E F E R M E 3 1

3 . 4 . 4 M t h o d e d e l a M a t r i c e I n s t r u m e n t a l e

P u i s q u e l e b i a i s d e l ' e s t i m a t e u r d e s m o i n d r e s c a r r s e s t b i a i s c a u s e d e l a c o r r l a t i o n e n t r e X

e t

e, o n s e p r o p o s e d e d t e r m i n e r u n e a u t r e m a t r i c e q u i p e r m e t t e l e c a l c u l d e

t o u t e n v i t a n t c e t t e

c o r r l a t i o n e t d o n c l e b i a i s d e l ' e s t i m a t e u r .

P o s o n s : = (ZTX)1ZTyo

Ze s t l a m a t r i c e i n s t r u m e n t a l e .

Q u e l l e s s o n t l e s c o n d i t i o n s s u r Z

p o u r q u e l ' q u a t i o n p r c d e n t e a i t u n s e n s ?

E n p o u r s u i v a n t l e c a l c u l : = (ZTX)1ZT(X + e) = + (ZTX)1ZTe

P o u r q u e

E[] = i l f a u t :

E[ZTX] = 0e t

E[ZTe] = 0

P l u s i e u r s c h o i x d e Z

s o n t p o s s i b l e s , e n v o i c i d e u x :

l e p r e m i e r c h o i x c o n s i s t e f a i r e d e u x c a m p a g n e s d e m e s u r e s a v e c l a m m e e n t r e ui , l e p l u s s o u v e n t

c o n s c u t i v e s ( d c a l e s d a n s l e t e m p s ) . V o u s a v e z a l o r s l a p o s s i b i l i t d e d t e r m i n e r d e u x m a t r i c e s X

s o i t

X1 e t X2 . E n p o s a n t

= (XT2 X1)1XT2 y1i l n ' y a p l u s d e c o r r l a t i o n e n t r e

X2 e t y1 ( l e b r u i t e s t s t o c h a s t i q u e e t e r g o d i q u e ) l e b i a i s e s t b i e n n u l .

L a d e u x i m e p r o p o s i t i o n c o n s i s t e c r e r l e s d o n n e s n c e s s a i r e s l a c r a t i o n d e l a m a t r i c e X2 l ' a i d e

d ' u n m o d l e d e t y p e m o i n d r e c a r r s s i m p l e s i s s u d e l a p r e m i r e c a m p a g n e d e m e s u r e .

3 . 5 I d e n t i c a t i o n e n b o u c l e f e r m e

C e d o m a i n e d e l ' i d e n t i c a t i o n e s t a c t u e l l e m e n t t r s a c t i f . E n e e t c e s m o d l e s s o n t n c e s s a i r e s d a n s l e

c a d r e d e l a c o m m a n d e p r d i c t i v e . P l u s p r a g m a t i q u e m e n t , r a p p e l o n s q u e l e p l u s s o u v e n t l ' i d e n t i c a t i o n

e n m i l i e u i n d u s t r i e l s ' e e c t u e s u r u n e m a c h i n e e n p r o d u c t i o n . I l e s t p a r c o n s q u e n t d i c i l e v o i r e

i m p o s s i b l e d ' o u v r i r l a b o u c l e p o u r p r o c d e r u n e i d e n t i c a t i o n . C ' e s t t o u t p a r t i c u l i r e m e n t l e c a s d e s

s y s t m e s i n s t a b l e s .

I l r e s t e n a n m o i n s p o s s i b l e d ' o b t e n i r u n m o d l e . L e s y s t m e d e l a g u r e 3 . 1 3 r e p r s e n t e l e s y s t m e

i d e n t i e r e n b o u c l e f e r m e . l e c o r r e c t e u r d u s y s t m e e s t r e p r s e n t p a r l a f r a c t i o n r a t i o n n e l l e

C(z1)D(z1) .

T r o i s a p p r o c h e s s o n t a l o r s p o s s i b l e s .

L a m t h o d e d i r e c t e D a n s c e c a s o n u t i l i s e l e s e n t r e s vi e t l e s s o r t i e s yi . L ' i d e n t i c a t i o n s e f a i t

a l o r s c o m m e e n b o u c l e o u v e r t e . L ' a v a n t a g e d e c e t t e a p p r o c h e e s t d e n e p a s n c e s s i t e r l a c o n n a i s s a n c e

d u r g u l a t e u r . L e s m t h o d e s A R X , A R M A X e t l e s m o d l e s d ' t a t d o n n e n t d e b o n s r s u l t a t s . L e s

m e i l l e u r s r s u l t a t s s e r o n t o b t e n u s s i :

L e m o d l e d e b r u i t e s t b o n

l a b o u c l e d e r e t o u r n ' a e c t e p a s o u p e u l e s p e c t r e d u s i g n a l d ' e n t r e ( vi ) )

l e r a p p o r t s i g n a l b r u i t e s t i m p o r t a n t ( p e u d e b r u i t )

D a n s l e c a s c o n t r a i r e , l ' e s t i m a t e u r e s t b i a i s .


32/91


G(z1) = B(z1)A(z1)

H(z1) = C(z1)D(z1) mm yi

P(z1)Q(z1)

i

uivi

+++

F i g .

3 . 1 3 I d e n t i c a t i o n d e s s y s t m e s e n b o u c l e f e r m e .

L a m t h o d e i n d i r e c t e D a n s c e c a s o n u t i l i s e l e s e n t r e s ui e t l e s s o r t i e s yi . B i e n e n t e n d u o n i d e n t i e

a l o r s l e s y s t m e e n b o u c l e f e r m e s o i t :

M(z1) =B(z1)A(z1)

=H(z1)G(z1)

1 + H(z1)G(z1)=

C(z1)B(z1)C(z1)B(z1) + D(z1)A(z1)

L a c o n n a i s s a n c e d u r g u l a t e u r d u r g u l a t e u r n o u s p e r m e t d e d t e r m i n e r l e m o d l e d u s y s t m e :

G(z1) =M(z1)

H(z1) M(z1)H(z1)L ' a v a n t a g e d e c e t t e m t h o d e e s t q u e n ' i m p o r t e q u e l l e m t h o d e d ' i d e n t i c a t i o n e s t a p p l i c a b l e e t d o n -

n e r a u n m o d l e d u s y s t m e e n b o u c l e f e r m e . P a r c o n t r e , l a m o i n d r e e r r e u r s u r l e r g u l a t e u r ( p a s

f o r c e m e n t b i e n c o n n u , p a r a m t r e s , s a t u r a t i o n s . . . ) s e r e t r o u v e d a n s l e m o d l e .

L a m t h o d e " J o i n t I n p u t - O u t p u t " A v e c c e t t e m t h o d e o n s e p r o p o s e d e d t e r m i n e r s i m u l t a n -

m e n t l e s d e u x m o d l e s :

l e m o d l e d u s y s t m e

l e m o d l e d u c o r r e c t e u r .

C e c i s ' e e c t u e f a c i l e m e n t e n u t i l i s a n t l e s m o d l e s p a r a m t r i q u e s d ' t a t s o u s M a t l a b . yv

= Au + B

L a m a t r i c e A

c o n t i e n t a l o r s l e s d y n a m i q u e s d u c o r r e c t e u r Guv e t c e l l e d u s y s t m e e n b o u c l e f e r m e

Guy . C o m m e p o u r l a m t h o d e p r c d e n t e o n r e m o n t e a u m o d l e d u s y s t m e p a r c a l c u l .

3 . 6 E t M a t l a b

d a n s t o u t a ?

M a t l a b e s t a v a n t t o u t u n o u t i l d e c a l c u l ! S c i l a b , g r a t u i t , p r s e n t e l e s m m e s f o n c t i o n n a l i t s , i l e s t

v r a i , s a n s l e s b o i t e s o u t i l s d u m o i n s p a s a u s s i c o m p l t e s .

M a t l a b p r o p o s e d o n c t o u t e u n e s r i e d ' o u t i l s d ' a i d e l ' i d e n t i c a t i o n . E n p a r t i c u l i e r , q u a t r e m o d l e s

l i n a i r e s , l e s p l u s c o u r a m m e n t u t i l i s s s o n t d e s f o n c t i o n s d e M a t l a b .

D a n s l e t a b l e a u 3 . 2 c e s m o d l e s s o n t p r s e n t s a v e c l e u r s u t i l i s a t i o n s " c l a s s i q u e " e t l a m t h o d e d e

d t e r m i n a t i o n d e s p a r a m t r e s . N o t e z q u ' u n e l e c t u r e d e l a d o c u m e n t a t i o n c o n c e r n a n t l a b o i t e o u t i l s

" i d e n t i c a t i o n " e s t u n e e x c e l l e n t e a c t i v i t !

F a c e l a f a c i l i t d e c a l c u l d e m o d l e s , l e p r o b l m e n ' e s t p l u s v r a i m e n t d e c h o i s i r u n e s t r u c t u r e a d a p t e

m a i s f a i r e l e t r i p a r m i l e s q u a n t i t s d e m o d l e s c a l c u l s .


33/91

3 . 6 . E T M A T L A B

D A N S T O U T A ? 3 3

T a b .

3 . 2 M o d l e s p a r a m t r i q u e s i m p l a n t s s o u s M a t l a b .

B(z1)

A(z1) myi

1A(z1)

i

+

+ui

M o d l e A R X

L e m o d l e l e p l u s s i m p l e , d o n n e s o u v e n t d e b o n s r s u l t a t s .

l e s e u l h i c e s t l e t r a i t e m e n t d u b r u i t q u i e s t s o u m i s

l a m m e d y n a m i q u e q u e l ' e n t r e . A u t i l i s e r e n p r e m i r e

a p p r o x i m a t i o n o u l o r s q u e l e b r u i t e s t s u r t o u t l ' e n t r e .

M t h o d e d e d t e r m i n a t i o n d e s p a r a m t r e s :

M o i n d r e s c a r r s o u M a t r i c e i n s t r u m e n t a l e

B(z1)A(z1)

myiC(z1)A(z1)

i

+

+ui

M o d l e A R M A X

P r o c h e d u m o d l e A R X , i l s ' u t i l i s e d a n s l e s m m e s c a s . I l

p e r m e t e n o u t r e d e c r e r u n m o d l e d e b r u i t u n p e u p l u s

r a l i s t e . C ' e s t l e m o d l e l e p l u s u t i l i s .


M a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e

B(z1)A(z1)

myi

i

+

+ui

M o d l e O E

B i e n q u e s e m b l a n t p l u s s i m p l e q u e l e s p r c d e n t s , l e c a l c u l

d e s p a r a m t r e s s ' a v r e p l u s d i c i l e . P a r f a i t l o r s q u e l e b r u i t

e s t s u r t o u t u n b r u i t d e c a p t e u r , d o n c p r o c h e d e l a s o r t i e .



B(z1)A(z1)

myiP(z1)Q(z1)

i

+

+ui

M o d l e d e B o x - J e n k i n s

L e m o d l e c o m p l e t p a r e x c e l l e n c e , l a d y n a m i q u e d i r e n t e

p o u r l ' e n t r e e t l e b r u i t e n f o n t u n b o n m o d l e .




34/91



35/91

C h a p i t r e 4

E s t i m a t i o n s r c u r s i v e s

4 . 1 M o i n d r e s c a r r s r c u r s i f s

L ' e s t i m a t i o n d e p a r a m t r e s p a r l a m t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r s s i m p l e s p r s e n t e u n i n c o n v n i e n t

m a j e u r , l a n c e s s i t d e c a l c u l e r l ' i n v e r s e d ' u n e m a t r i c e , c e q u i e s t l o n g e t p a r f o i s i m p o s s i b l e s u r u n

m i c r o c o n t r l e u r . O n s e p r o p o s e t r a v e r s c e t e x e r c i c e d e d t e r m i n e r u n e f o r m e r c u r s i v e d e c e t t e

e s t i m a t i o n .

L e s a v a n t a g e s d ' u n e f o r m u l a t i o n r c u r s i v e t i e n n e n t e s s e n t i e l l e m e n t e n d e u x p o i n t s .

L a p o s s i b i l i t d e t r a i t e r u n p l u s g r a n d n o m b r e d e d o n n e s q u e d a n s l e c a s d e l a f o r m u l a t i o n d i r e c t e

( p a s d e p s e u d o - i n v e r s e c a l c u l e r ) , n o t a m m e n t d a n s l e c a s d e l ' i m p l a n t a t i o n s u r u n m i c r o c o n t r l e u r .

D a n s l e c a s d e s s y s t m e s v a r i a n t s d a n s l e t e m p s , l a f o r m e r c u r s i v e p e r m e t d e " s u i v r e " l e s p a r a m t r e s

d u s y s t m e . D a n s c e c a s , l ' i d e n t i c a t i o n e n l i g n e e s t g n r a l e m e n t s u i v i e d ' u n e c o m m a n d e q u i e l l e

a u s s i " s ' a d a p t e " a u x p a r a m t r e s c o u r a n t s , o n e n t r e a l o r s d a n s l e d o m a i n e d e s c o m m a n d e s a u t o -

a d a p t a t i v e s q u i d p a s s e n t l e c a d r e d e c e c o u r s .

C o m m e d a n s t o u t p r o b l m e r c u r s i f o n s ' i n t r e s s e d ' a b o r d l a b o u c l e , e n s u i t e c o m m e n t o n e n s o r t e t

e n n c o m m e n t o n y e n t r e . S u p p o s o n s q u e n o u s p o s s d i o n s u n e e s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s l ' i n s t a n t

N:

N

N = (XTNXN)

1XTNYN

l ' i n s t a n t s u i v a n t l a n o u v e l l e e s t i m a t i o n e s t :

N+1 = (XTN+1XN+1)

1XTN+1YN+1

a v e c :

XN+1 = xN+1XN , YN+1 = yN+1YN e t EN+1 = eN+1EN o

xN+1 = [yN yN1 . . . yNn+1uN+1 . . . uNp+1]N+1 s ' c r i t a l o r s :

N+1 = (XTN+1XN+1)1XTN+1YN+1= (XTNXN + x

TN+1xN+1)

1(XTNYN + xTN+1yN+1)

E n u t i l i s a n t l e l e m m e d ' i n v e r s i o n m a t r i c i e l l e :

(A + BC D)1 = A1 A1B(C1 + DA1B)1DA1

o n o b t i e n t :

3 5


36/91

3 6 C H A P I T R E 4 . E S T I M A T I O N S R C U R S I V E S

N+1 = (XTNXN)1 (XTNXN)1xTN+1 1 + xN+1(XTNXN)1xTN+11 xN+1(XTNXN)1

XTNYN + x

TN+1yN+1

E n p o s a n t

a = 1 + xN+1(XTNXN)

1xTN+1

N+1 = (XTNXN)1 (XTNXN)1xTN+1 1 + xN+1(XTNXN)1xTN+11 xN+1(XTNXN)1XTNYN + x

TN+1yN+1

N+1 = (XTNXN)1 (XTNXN)1xTN+1a1xN+1(XTNXN)1 XTNYN + xTN+1yN+1

= (XTNXN)1XTNYN

N+(XTNXN)

1xTN+1yN+1 (XTNXN)1xTN+1a1xN+1 (XTNXN)1XTNYN N

(XTNXN)

1

xTN+1a

1

xN+1(XTNXN)

1

xTN+1yN+1

= N + (XTNXN)1xTN+1yN+1 (XTNXN)1xTN+1a1xN+1N(XTNXN)1xTN+1a1xN+1(XTNXN)1xTN+1yN+1

= N (XTNXN)1xTN+1a1 xN+1N+(XTNXN)

1xTN+1a1 xN+1(XTNXN)1xTN+1yN+1 + (XTNXN)1xTN+1yN+1

= N (XTNXN)1xTN+1a1 xN+1N+(XTNXN)

1xTN+1a1xN+1(XTNXN)1xTN+1yN+1 + yN+1

=

N

(XTNXN)

1xTN+1a1

xN+1

N+(XTNXN)1xTN+1a1 xN+1(XTNXN)1xTN+1 + a yN+1= N (XTNXN)1xTN+1a1 xN+1N

+(XTNXN)1xTN+1a

1yN+1

= N + (XTNXN)1xTN+1a1 yN+1 xN+1N

O n o b t i e n t n a l e m e n t u n e f o r m u l e d e r c u r r e n c e :

N+1 =

N + (X

TNXN)

1xTN+1a1

yN+1 xN+1

N

L e t e r m e

yN+1 xN+1N r e p r s e n t e l ' e r r e u r d ' e s t i m a t i o n l ' a i d e d e s p a r a m t r e s p r c d e n t s . L ' q u a -

t i o n e s t a l o r s : l a n o u v e l l e e s t i m a t i o n e s t l ' a n c i e n n e e s t i m a t i o n c o r r i g e p a r u n t e r m e p r o p o r t i o n n e l

l ' e r r e u r d ' e s t i m a t i o n p r c d e n t e , q u e l ' o n p e u t r c r i r e s o u s l a f o r m e .

N+1 = N + KN+1 yN+1 xN+1N

L ' a l g o r i t h m e g n r a l e s t d o n c :

N+1 = N + KN+1 yN+1 xN+1N ( 4 . 1 ) KN+1 = PNx

TN+1

I + xN+1PNx

TN+1

1( 4 . 2 )

PN+1 = PN KN+1xN+1PN ( 4 . 3 )


37/91

4 . 2 . V A R I A B L E I N S T R U M E N T A L E R C U R S I V E 3 7

O n r e m a r q u e r a u n e a n a l o g i e a v e c l e l t r e d e K a l m a n , e n f a i t c ' e s t b i e n l ' q u i v a l e n t d ' u n l t r e d e

K a l m a n a p p l i q u s u r l e s y s t m e s u i v a n t :

N+1 = N

yN+1 = xN+1N + eN+1

L a c o n d i t i o n d e c o n v e r g e n c e e s t l a m m e : eN d o i t t r e u n b r u i t b l a n c .

L ' i n i t i a l i s a t i o n d e l ' a l g o r i t h m e s e f a i t d e d e u x f a o n s :

S i o n c o n n a i s u n e p r e m i r e e s t i m a t i o n d e

( e n p r o v e n a n c e d ' u n e m t h o d e n o n r c u r s i v e p a r

e x e m p l e ) , o n l ' u t i l i s e . D a n s c e c a s o n p r e n d P0 = I a v e c p e t i t ( p e t i t e v a r i a n c e d u b r u i t )

S i o n n e c o n n a i s p a s d e p r e m i r e a p p r o x i m a t i o n , o n p r e n d 0 q u e l c o n q u e e t P0 = I a v e c g r a n d

( g r a n d e v a r i a n c e d u b r u i t ) .

C e t a l g o r i t h m e n e p e u t t r e u t i l i s q u e s i l e s p a r a m t r e s d u s y s t m e s o n t c o n s t a n t s , e n e e t l o r s q u e N

t e n d v e r s l ' i n n i , PN t e n d v e r s 0 , a l o r s u n e v a r i a t i o n m m e i m p o r t a n t e d e s p a r a m t r e s n ' i n u e p l u s

s u r l ' e s t i m a t i o n d e

. N o t o n s e n c o r e q u e s u r l e p l a n n u m r i q u e l a f o r m e PN+1 = PN

KN+1xN+1PN

e s t t r s m a l c o n d i t i o n n e , o n l u i p r f r e l a f o r m e :

PN+1 = (I KN+1xN+1)PN(I KN+1xN+1)T + KN+1KTN+1S i l e s p a r a m t r e s v o l u e n t b r u s q u e m e n t , u n e s o l u t i o n c o n s i s t e r i n i t i a l i s e r

PN = I a v e c g r a n d S i l e s p a r a m t r e s v o l u e n t l e n t e m e n t o n p e u t u t i l i s e r :

N+1 = N + KN+1 yN+1 xN+1N ( 4 . 4 ) KN+1 = PNx

TN+1

I + xN+1PNx

TN+1

1( 4 . 5 )

PN+1 = (PN KN+1xN+1PN) 1

( 4 . 6 )

C e p e n d a n t c e t a l g o r i t h m e p r s e n t e l ' i n c o n v n i e n t d e f a i r e c r o t r e PN d e f a o n e x p o n e n t i e l l e s ' i l n ' y a

p l u s d ' e x c i t a t i o n .

V o i c i d ' a u t r e s c h o i x p e r t i n e n t s

g a i n c o n s t a n t : o n f o r c e a l o r s PN+1 = PN ; c e l a v i t e l a d i m i n u t i o n d u g a i n e n c o u r s d e r e c h e r c h e

d e s p a r a m t r e s , e t o n d o n n e a i n s i p l u s d e p o i d s a u x a c q u i s i t i o n s l e s p l u s r c e n t e s ; c e t t e o p t i o n

c o n v i e n t b i e n u n s y s t m e d o n t l e s p a r a m t r e s v a r i e n t .

g a i n d c r o i s s a n t : PN = cst, c a s c l a s s i q u e , q u i c o n v i e n t u n s y s t m e p a r a m t r e s c o n s t a n t s .

t r a c e c o n s t a n t e : o n g a r d e t r (PN) = cst ( m u l t i p l i c a t i o n p a r u n f a c t e u r c o r r e c t i f c h a q u e i t r a t i o n ) ;

o n a l e s m m e s a v a n t a g e s q u e d a n s l a r e c h e r c h e g a i n c o n s t a n t m a i s o n m o d u l e e n c o u r s d e r e c h e r c h e

l e p o i d s r e l a t i f d e c h a q u e p a r a m t r e .

C e t t e m t h o d e p r s e n t e l e s m m e s a v a n t a g e s q u e l a m t h o d e d e s m o i n d r e c a r r e s n o n r c u r s i v e ,

m a i s a u s s i l e m m e i n c o n v n i e n t : l ' e s t i m a t e u r e s t b i a i s ! A u s s i o n l u i p r f r e g n r a l e m e n t d ' a u t r e s

m t h o d e s t e l l e q u e l a m t h o d e d e l a v a r i a b l e i n s t r u m e n t a l e r c u r s i v e .

4 . 2 V a r i a b l e i n s t r u m e n t a l e r c u r s i v e

L ' a l g o r i t h m e , t r s p r o c h e d e c e l u i n o n c e n

N+1 = N + KN+1 yN+1 xN+1N ( 4 . 7 ) KN+1 = PNZ

TN+1

2 + xN+1PNZ

TN+1

1

( 4 . 8 )

PN+1 = PN KN+1xN+1PN ( 4 . 9 ) D a n s c e c a s

ZN+1 r e p r s e n t e u n v e c t e u r l i g n e i n s t r u m e n t a l c o m p o s , u n p e u c o m m e l a m a t r i c e i n s - t r u m e n t a l e , s o i t d ' o b s e r v a t i o n s r e t a r d e s d e l a s o r t i e s o i t d e l a s o r t i e d ' u n m o d l e a u x i l i a i r e .


38/91

3 8 C H A P I T R E 4 . E S T I M A T I O N S R C U R S I V E S

B e a u c o u p d ' a u t r e s a l g o r i t h m e s e x i s t e n t , l e l e c t e u r i n t r e s s e n t r o u v e r a p l t h o r e d a n s l a l i t t r a t u r e .

N a n m o i n s i l s s o n t t o u s a p e u p r s f o n d s s u r l e m m e p r i n c i p e . E n f a i t , i l s s e r s u m e n t l ' e x p r e s s i o n

d ' u n a s s e r v i s s e m e n t g a i n r g l a b l e : o n a s s e r v i t l e s p a r a m t r e s p o u r a n n u l e r u n e e r r e u r , d ' q u a t i o n

o u d e s o r t i e s e l o n l a m t h o d e . L a v a l e u r d u g a i n i n u e , c o m m e s u r n ' i m p o r t e q u e l s y s t m e , s u r l a

s t a b i l i t , s o i t l a c o n v e r g e n c e d e l a m t h o d e , e t s u r l a r a p i d i t .

M o d u l e r l e g a i n r e v i e n t d o n c m o d u l e r l a r a p i d i t d e c o n v e r g e n c e : s i l ' o n a a a i r e u n p r o c d d o n t i l

f a u t p o u r s u i v r e l e s p a r a m t r e s , q u i v a r i e n t e e c t i v e m e n t d a n s l e t e m p s , o n a u r a i n t r t a v o i r u n g a i n

f o r t ; s i p a r c o n t r e l e s y s t m e e s t f o r t e m e n t b r u i t , o n a i n t r t a v o i r u n g a i n f a i b l e , s i n o n l a s o r t i e

d u m o d l e v a p o u r s u i v r e l e b r u i t e n f a i s a n t v a r i e r l e s p a r a m t r e s c h a q u e p r i o d e d ' c h a n t i l l o n n a g e ,

c e q u i n ' a p a s d e s e n s p h y s i q u e . U n b o n r g l a g e d u g a i n d e m a n d e p l u s i e u r s e s s a i s e t p a s m a l d e b o n

s e n s !


39/91

C h a p i t r e 5

A l g o r i t h m e s d ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e .

5 . 1 P r s e n t a t i o n g n r a l e .

C e c h a p i t r e e s t c o n s a c r a u c h o i x d ' u n e m t h o d e d ' o p t i m i s a t i o n d e s p a r a m t r e s . U n e t u d e b i b l i o -

g r a p h i q u e s u c c i n c t e m o n t r e q u e l e d o m a i n e d e l ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e e s t e n p l e i n e v o l u t i o n

n o t a m m e n t d a n s l e c a d r e d e s m t h o d e s s t o c h a s t i q u e s .

N o u s p r s e n t e r o n s l e s m t h o d e s l e s p l u s c o n n u e s a n d ' e n e x t r a i r e l e s p r i n c i p e s d ' o p t i m i s a t i o n l e s p l u s

a p t e s r s o u d r e n o t r e p r o b l m e .

L e s m t h o d e s p r s e n t e s s o n t e n f a i t c e l l e s q u i r e v i e n n e n t l e p l u s s o u v e n t d a n s l a l i t t r a t u r e . P a r f o i s

a n c i e n n e s , c e s m t h o d e s , e n r a i s o n d e l e u r c a p a c i t o p t i m i s e r d e s f o n c t i o n s t r s d i r e n t e s , s o n t

e n c o r e s o u v e n t u t i l i s e s a u j o u r d ' h u i . P a r a i l l e u r s , c e s m t h o d e s s o n t s o u v e n t l a b a s e d e n o u v e l l e s

m t h o d e s d ' o p t i m i s a t i o n .

L e d o m a i n e d ' u t i l i s a t i o n d e c h a q u e m t h o d e e s t u n p o i n t d l i c a t a b o r d e r . U n e f a o n s i m p l e d e

d t e r m i n e r c e d o m a i n e s e r a i t d e l e l i m i t e r a u d o m a i n e d e c o n v e r g e n c e g a r a n t i e , e n g n r a l l e s f o n c t i o n s

c o n v e x e s . M a i s c e t t e a p p r o c h e e s t q u e l q u e p e u r d u c t r i c e e t n e t i e n t p a s c o m p t e d e l a r o b u s t e s s e d e l a

m t h o d e , c ' e s t p o u r q u o i l e s s p c i a l i s t e s d e l ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e p r f r e n t s e r f r e r d e s t e s t s

s u r d e s f o n c t i o n s c o n n u e s e t p r s e n t a n t d e s c a r a c t r i s t i q u e s d e s p l u s d i v e r s e s .

5 . 2 E x e m p l e i n t r o d u c t i f

I m a g i n o n s q u e l a f o n c t i o n m i n i m i s e r s o i t l ' a l t i t u d e e t q u e l ' e s p a c e s u r l e q u e l n o u s c h e r c h o n s

o p t i m i s e r l ' a l t i t u d e s o i t l a s u r f a c e d e n o t r e p l a n t e . I l e x i s t e p l u s i e u r s f a o n s d e p r o c d e r .

L a p r e m i r e f a o n c o n s i s t e p a r c o u r i r l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s d e l a s u r f a c e e t d e m e s u r e r l ' a l t i t u d e e n

c h a q u e p o i n t . E n s u p p o s a n t u n m a i l l a g e d e l a p l a n t e d e 1 0 m s u r 1 0 m e t r a i s o n d ' u n e m e s u r e p a r

s e c o n d e : c e l a r e p r s e n t e e n v i r o n s 1 6 0 0 0 0 a n s d e t r a v a i l ( n u m r a t i o n ) .

L a d e u x i m e m t h o d e c o n s i s t e p a r t i r d ' u n p o i n t e t d e d e s c e n d r e d a n s l e s e n s d e l a p l u s g r a n d e p e n t e .

N o u s v i t o n s a i n s i t o u s l e s s o m m e t s l o c a u x m a i s u n o b s e r v a t e u r q u i p a r t i r a i d ' u n p o i n t d e s A l p e s a

p e u d e c h a n c e s d e t r o u v e r l e f o n d d e l a m e r ( g r a d i e n t ) . N o u s p o u v o n s a m l i o r e r c e t t e m t h o d e e n

p r e n a n t t r o i s o b s e r v a t e u r s q u i s e c o m m u n i q u e n t l e u r a l t i t u d e . C e l u i q u i s e s i t u e a u p o i n t l e p l u s h a u t

s e d p l a c e e n d i r e c t i o n d ' u n p o i n t s i t u e n t r e l e s d e u x a u t r e s o b s e r v a t e u r s e t p a r c o u r e d e u x f o i s l a

d i s t a n c e q u i l e s p a r e d e c e p o i n t . C e s o b s e r v a t e u r s s ' p a r g n e n t l e c a l c u l d e l a p e n t e m a i s o n t t o u j o u r s

p e u d e c h a n c e s d e t r o u v e r l a m e r ( N e l d e r e t M e a d ) .

U n e t r o i s i m e m t h o d e c o n s i s t e d o n n e r n o t r e o b s e r v a t e u r i n i t i a l u n e s o u c o u p e v o l a n t e ( e t a m p h i b i e )

q u i l u i p e r m e t d e s e d p l a c e r t r s v i t e . P e n d a n t u n t e m p s i l s e p o s e a u h a s a r d s u r l a p l a n t e e t n o t e

l ' a l t i t u d e e t l a p o s i t i o n d e c h a q u e p o i n t . p u i s a u c o u r s d u t e m p s i l c o n c e n t r e s a r e c h e r c h e a u t o u r d e s

p o i n t s l e s p l u s b a s e n e e c t u a n t d e s d p l a c e m e n t s a l a t o i r e s m a i s d e p l u s e n p l u s c o u r s e n m o y e n n e .

C e t o b s e r v a t e u r t r o u v e r a i t r s r a p i d e m e n t u n o c a n e t d t e r m i n e r a i s o n p o i n t l e p l u s b a s . P a r c o n t r e

s i i l s e c o n c e n t r e t r o p v i t e s u r l ' u n d e s o c a n s i l r i s q u e d e r a t e r l e p o i n t l e p l u s b a s d e l a p l a n t e ( r e c u i t

s i m u l ) .

3 9


40/91

4 0 C H A P I T R E 5 . A L G O R I T H M E S D ' O P T I M I S A T I O N P A R A M T R I Q U E .

L a q u a t r i m e m t h o d e c o n s i s t e n a t u r e l l e m e n t p r e n d r e p l u s i e u r s o b s e r v a t e u r s q u i f e r a i e n t l e m m e

t r a v a i l q u e l e p r c d e n t . R a p i d e m e n t i l s e c o n s t i t u e r a i e n t e n g r o u p e s q u i d t e r m i n e n t l e r e l i e f d e c h a q u e

m e r s e t o c a n s . L o r s q u ' u n g r o u p e a t t e i n t l e m i n i m u m d e s o n t e n d u e d ' e a u e t r e m a r q u e q u ' u n a u t r e

g r o u p e o b t i e n t u n m i n i m u m p l u s f a i b l e , l e p r e m i e r g r o u p e s e d p l a c e p o u r a i d e r u n a u t r e g r o u p e

n ' a y a n t t o u j o u r s p a s a t t e i n t l e f o n d ( a l g o r i t h m e s g n t i q u e s ) .

5 . 3 P r o b l m e p o s

L ' i d e g n r a l e d e l ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e c o n s i s t e d t e r m i n e r u n e n s e m b l e d e p a r a m t r e s q u i

o p t i m i s e u n c r i t r e s o u m i s d e s c o n t r a i n t e s . D a n s l a s u i t e d e c e m m o i r e , n o u s p a r l e r o n s e x c l u s i v e m e n t

d e m i n i m i s a t i o n , l a m a x i m i s a t i o n t a n t l a m i n i m i s a t i o n d e l ' o p p o s d e l a f o n c t i o n .

m i n i m i s e r f(x),

a v e c x = {x1, x2, x3, , xn},

s o u m i s Ck(x) 0 k = 1 m,

e t

Ck(x) = 0 k = m

p.

( 5 . 1 )

D a n s l a p r e m i r e p a r t i e d e c e c h a p i t r e , n o u s n o u s c o n s a c r e r o n s l a d t e r m i n a t i o n d e t r a j e c t o i r e s

o p t i m a l e s s a n s c o n t r a i n t e . C e c a s , b i e n q u ' i n a p p l i c a b l e d a n s l e c a s d e s r o b o t s m a r c h e u r s , p e u t t r s

b i e n l ' t r e p o u r d e s r o b o t s m a n i p u l a t e u r s .

5 . 4 R e v u e b i b l i o g r a p h i q u e s u c c i n c t e .

L e s p r i n c i p a l e s m t h o d e s d ' o p t i m i s a t i o n p e u v e n t t r e c l a s s e s e n t r o i s c a t g o r i e s p r i n c i p a l e s :

1 . L e s m t h o d e s a n a l y t i q u e s , q u i d t e r m i n e n t l e p o i n t d e c a l c u l s u i v a n t e n f o n c t i o n d e s c a r a c t r i s -

t i q u e s d e l a f o n c t i o n a u p o i n t c o n s i d r .

2 . L e s m t h o d e s s t o c h a s t i q u e s , q u i i n t g r e n t u n e p a r t d e h a s a r d d a n s l e c h o i x d u p o i n t d e c a l c u l

s u i v a n t .

3 . L ' n u m r a t i o n , q u i c o n s i s t e d i s c r t i s e r l ' e s p a c e e n g e n d r p a r l e v e c t e u r o p t i m i s e r e t c a l c u l e r

l ' e n s e m b l e d e s p o s s i b i l i t s .

L a g u r e 5 . 1 p r s e n t e l e s d i r e n t s g r o u p e s d ' a l g o r i t h m e s d ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e e t l e u r c l a s s i -

c a t i o n .

L ' n u m r a t i o n : E l l e c o n s i s t e p r e n d r e u n n o m b r e n i d e v a l e u r s p o u r c h a q u e p a r a m t r e e t

c a l c u l e r l e c r i t r e a s s o c i p o u r l ' e n s e m b l e d e s p o s s i b i l i t s . D a n s n o t r e c a s e l l e e s t i n u t i l i s a b l e c o m p t e

t e n u d u n o m b r e d e p a r a m t r e s . E n u t i l i s a n t 5 0 v a l e u r s p a r p a r a m t r e e t 1 3 p a r a m t r e s p a r a x e , i l f a u t

e x a m i n e r 50135

p o s s i b i l i t s !

L e s a l g o r i t h m e s d ' o r d r e n : F o n d s s u r u n e d c o m p o s i t i o n l ' o r d r e n e n s r i e s d e T a y l o r d e l a

f o n c t i o n m i n i m i s e r , c e s a l g o r i t h m e s u t i l i s e n t l a d r i v e d ' o r d r e n p o u r l a d t e r m i n a t i o n d u p o i n t d e

c a l c u l s u i v a n t . I l s s o n t t r s r a p i d e s l o r s q u e l a f o n c t i o n e s t c o n t i n u e , d r i v a b l e e t c o n v e x e . P a r c o n t r e ,

i l s s o n t p e u r o b u s t e s s i l a f o n c t i o n p r s e n t e d e s m i n i m a l o c a u x .

L e s a l g o r i t h m e s d ' o r d r e 0 : N ' u t i l i s a n t q u e l a v a l e u r d e l a f o n c t i o n e n c e r t a i n s p o i n t s , c e s a l g o -

r i t h m e s s o n t l e n t s m a i s r o b u s t e s e n c a s d e d i s c o n t i n u i t s d e l a f o n c t i o n .

L e s a l g o r i t h m e s g n t i q u e s : T r a n s p o s i t i o n l ' i n f o r m a t i q u e d e l a s l e c t i o n n a t u r e l l e s e l o n C h a r l e s

D a r w i n , i l s u t i l i s e n t p l u s i e u r s v e c t e u r s d e p a r a m t r e s ( u n e p o p u l a t i o n ) q u i v o l u e n t v e r s l e m i n i m u m

p a r l a m i s e e n u v r e d e t r o i s o p r a t i o n s s t o c h a s t i q u e s , l a s l e c t i o n , l e c r o i s e m e n t e t l a m u t a t i o n .


41/91

5 . 5 . E L M E N T S D E C O M P A R A I S O N D E S D I F F R E N T E S M T H O D E S . 4 1

F i g .

5 . 1 C l a s s e s d ' a l g o r i t h m e s d ' o p t i m i s a t i o n p a r a m t r i q u e

L e s a l g o r i t h m e s d e r e c u i t s i m u l : A l g o r i t h m e s s t o c h a s t i q u e s p a r e x c e l l e n c e , i l s s o n t s t a t i s t i -

q u e m e n t c a p a b l e s d e d t e r m i n e r l e m i n i m u m g l o b a l d ' u n e f o n c t i o n q u e l l e s q u e s o i e n t s e s c a r a c t r i s -

t i q u e s . P a r c o n t r e , l e t e m p s d e c a l c u l n c e s s a i r e l ' o b t e n t i o n d u m i n i m u m e s t l o n g .

L e s s t r a t g i e s d ' v o l u t i o n : F o n d e s s u r u n e v a l u a t i o n i t r a t i v e d e l a f o n c t i o n , l e d p l a c e m e n t

e s t a l a t o i r e m a i s i l s ' a d a p t e e n f o n c t i o n d e l a t o p

Id en Ti Fit Ion

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