\documentclass{article}\usepackage[utf8]{vietnam}\usepackage{tabu}\usepackage{float}\usepackage{hyperref,color,amsmath,amsxtra,amssymb,latexsym,amscd,amsthm,amsfonts,graphicx}\numberwithin{equation}{section}\title{\huge{On Approximating Solution Of One Dimensional Boundary Value Problems With Dirichlet Conditions By Using Finite Element Methods}}\author{\textsc{Nguyen Quan Ba Hong}\footnote{Student ID: 1411103.}\\\textsc{Doan Tran Nguyen Tung}\footnote{Student ID: 1411352.}\\{\small Students at Faculty of Math and Computer Science,}\\ {\small Ho Chi Minh University of Science, Vietnam} \\{\small \texttt{email. dtrngtung@live.com}}\\{\small \texttt{email. nguyenquanbahong@gmail.com}}\\{\small \texttt{blog. \url{http://hongnguyenquanba.wordpress.com}} \footnote{Copyright \copyright\ 2016 by Nguyen Quan Ba Hong, Student at Ho Chi Minh University of Science, Vietnam. This document may be copied freely for the purposes of education and non-commercial research. Visit my site \texttt{\url{http://hongnguyenquanba.wordpress.com}}to get more.}}}\begin{document}\maketitle\begin{abstract}Tài liệu này đề cập tới việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xấp xỉ nghiệm của bài toán giá trị biên BVP với điều kiện Dirichlet (\textit{Boundary Value Problems with Dirichlet conditions}) có dạng\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - u''\left( x \right) + Au'\left( x \right) + Bu\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)} \\ {u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0} \end{array}} \right.\]bằng các đa thức Lagrange cơ sở bậc 2 (\textit{piecewise quadrature Lagrange polynomials}), viết chương trình \textsc{\textsc{Matlab}} để mô tả nghiệm xấp xỉ bằng công thức xấp xỉ xây dựng được, cùng một số vấn đề có liên quan.\end{abstract}\newpage\tableofcontents\newpage\section{Bài toán}\textbf{Bài toán 1.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con\begin{equation}\label{1}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right) + u'\left( x \right) - u\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}}\\Một dạng tổng quát cho \textsc{bài toán 1} có dạng như sau, với các hệ số được thay bằng các hằng số thực $A,B$\\\\\textbf{Bài toán 2.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con

\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right) +A u'\left( x \right) +B u\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}với $A,B \in \mathbb{R}$ là các hằng số cho trước.}\\\\\textbf{Bài toán 3.} \textit{Với ${M_N} = {\left( {{M_{ij}}} \right)_{(2N-1) \times (2N-1)}} \in {\mathcal{M}_{2N-1}}\left( \mathbb{R} \right)$ là ma trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán 2 tương ứng với trường hợp $A,B$ là hằng số thực tùy ý. Chứng minh với mọi số nguyên dương $N$, ${M_N}$ là ma trận đối xứng trong trường hợp $A=0$ và xác định dương trong trường hợp $A=B=0$.}\section{Xây dựng nghiệm xấp xỉ}Thay vì giải \textsc{bài toán} (\ref{1}), ta sẽ giải \textsc{bài toán 2} với hệ số tổng quát hơn\\\\\textbf{Bài toán 2.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng đa thức Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con\begin{equation}\label{2}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right) +A u'\left( x \right) +B u\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}với $A,B \in \mathbb{R}$ là các hằng số cho trước.}\\\\\textit{Ghi chú.} Lưu ý số hạng $u''$ mang dấu trừ để sau khi lấy tích phân từng phần ở bên dưới, sẽ mất đi dấu trừ này để tiện việc tính toán. Và việc gán cho hệ số của $u''$ bằng $-1$ sẽ không làm mất đi tính tổng quát của giả thiết \lq\lq \textit{các hệ số của $u'',u',u$ là các hằng số thực tùy ý}\rq\rq\ .\\\\\textsc{Chuyển dạng mạnh về dạng yếu.}\\\\Nhân hàm $v\left( x \right)$ vào 2 vế của phương trình thứ nhất trong (\ref{2}), rồi lấy tích phân 2 vế từ $a$ đến $b$, thu được\begin{equation}\label{3}- \int\limits_a^b {u''\left( x \right)v\left( x \right)dx} + A\int\limits_a^b {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx + B\int\limits_a^b {u\left( x \right)v\left( x \right)dx} } = \int\limits_a^b {f\left( x \right)v\left( x \right)dx} \end{equation}Sử dụng công thức tích phân từng phần đối với số hạng $\int\limits_a^b {u''\left( x \right)v\left( x \right)dx} $, thu được\begin{equation}\label{4}\begin{array}{l}\int\limits_a^b {u''\left( x \right)v\left( x \right)dx} = \left. {u'\left( x \right)v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {u'\left( x \right)v'\left( x \right)dx} \\ = u'\left( b \right)v\left( b \right) - u'\left( a \right)v\left( a \right) - \int\limits_a^b {u'\left( x \right)v'\left( x \right)dx}

\end{array}\end{equation}Giả sử $v\left( b \right) = v\left( a \right) = 0$ với $v \in C_C^1\left( {a,b} \right) \subset H_0^1\left( {a,b} \right)$Khi đó (\ref{4}) trở thành \begin{equation}\label{5}\int\limits_a^b {u''\left( x \right)v\left( x \right)dx} = - \int\limits_a^b {u'\left( x \right)v'\left( x \right)dx} \end{equation}Thay (\ref{5}) vào (\ref{3}), thu được\begin{equation}\label{6}\int\limits_a^b {u'\left( x \right)v'\left( x \right)dx} + A\int\limits_a^b {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} + B\int\limits_a^b {u\left( x \right)v\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)v\left( x \right)dx} \end{equation}thỏa với mọi $v \in C_C^1\left( {a,b} \right) \subset H_0^1\left( {a,b} \right)$ (nghiệm yếu).\\Ta vừa đưa được bài toán dạng mạnh (\ref{2}) thành bài toán dạng yếu (\ref{6}). Ta sẽ xấp xỉ nghiệm của (\ref{2}) dựa vào (\ref{6}). Trước hết cần xây dựng chặt chẽ một số khái niệm sau\\\\\textsc{Continuous piecewise quadratic function space.}\\\\Để xấp xỉ nghiệm của bài toán (\ref{6}), ta sẽ sử dụng hàm thuộc không gian các hàm đa thức bậc 2 liên tục từng khúc (\textit{space of continuous piecewise quadratic functions}). Không gian này được xác định như sau\\Với số nguyên dương $N$ cho trước, ta chia đoạn $\left[ {a,b} \right]$ bởi $N+1$ điểm chia $a={x_0},{x_1}, \ldots ,{x_N}=b$ \textit{tùy ý}. Đặt không gian các hàm đa thức bậc 2 liên tục từng khúc - \textit{continuous piecewise quadratic function}\begin{equation}{V_h} = \left\{ {v\left( x \right) : v\left( x \right)} \mbox{ is continuous piecewise quadratic}, v(a)=v(b)=0 \right\} \end{equation}Từ định nghĩa trên, ta có không gian hữu hạn chiều các hàm tuyến tính từng khúc (sinh bởi các hàm đa thức cơ sở Lagrange tuyến tính) là không gian con của $V_h$. Mỗi hàm $\phi \left( x \right) \in {V_h}$ trên mỗi đoạn $\left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]$ sẽ có dạng\begin{equation}\phi \left( x \right) = {a_i}{x^2} + {b_i}x + {c_i},{x_i} \leqslant x < {x_{i + 1}}, i=\overline{0,N-1}\end{equation}Mỗi bộ 3 tham số $(a_i,b_i,c_i)$ sẽ xác định một hàm đa thức bậc 2 trên đoạn $\left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]$. Có tất cả $N$ đoạn, nên sẽ có tất cả $3N$ tham số. Nhưng để đảm bảo tính liên tục của hàm $\phi (x)$, ta có các phương trình tại các điểm nút $x_i$ sau\begin{equation}\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_i} - } \phi \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_i} + } \phi \left( x \right),i = \overline {1,N - 1} \hfill \\ \Leftrightarrow {a_{i - 1}}{x^2} + {b_{i - 1}}x + {c_{i - 1}} = {a_i}{x^2} + {b_i}x + {c_i},i = \overline {1,N - 1} \hfill \\ \end{gathered}

\end{equation}Và thêm các điều kiện bên như giả sử ở trên, ta cần\begin{equation}\phi \left( a \right) = \phi \left( b \right) = 0\end{equation}Vậy các tham số phải thỏa thêm $N+1$ phương trình trên. Suy ra số chiều của không gian $V_h$ là \begin{equation}\dim {V_h} = 3N - \left( {N - 1} \right) - 2 = 2N - 1\end{equation}Trong phần tiếp theo, sau khi có được các công thức tường minh của các hàm Lagrange cơ sở bậc 2, ta sẽ chứng minh $2N-1$ hàm Lagrange cơ sở này là một cơ sở của không gian $V_h$.\\Tiếp theo, lấy trung điểm mỗi đoạn $\left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right],i = \overline {0,N - 1} $. Đánh lại các chỉ số, thu được $2N+1$ điểm ${\bar x_0},{\bar x_1}, \ldots ,{\bar x_{2N}}$ xác định bởi\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\bar x}_{2k}} = {x_k},k = 0,1, \ldots ,N}\\{{{\bar x}_{2k + 1}} = \dfrac{{{x_k} + {x_{k + 1}}}}{2},k = 0,1, \ldots ,N - 1}\end{array}} \right.\end{equation}Không tính 2 đầu mút, thì ta sẽ có $2N-1$ nodes, tương ứng với với $2N-1$ hàm Lagrange cơ sở bậc 2 $L_{2,i}, i=\overline{1,2N-1}$. Các hàm Lagrange cơ sở bậc 2 này thỏa mãn tính chất\begin{equation}{L_{2,i}}\left( {{{\bar x}_j}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\mbox{ if } i = j} \\ {0,\mbox{ if } i \ne j} \end{array}} \right. \forall i=1,2,\dots,2N-1\end{equation}Và quy ước \begin{equation}{L_{2,i}} \equiv 0,\forall i \ne \overline {1,2N - 1} \end{equation}để tiện biểu diễn công thức ở các bước tiếp theo.\\\\\textsc{Xác định các hàm cơ sở Lagrange bậc 2.}\\\\Lưu ý rằng các hàm Lagrange cơ sở bậc 2 bao gồm 2 \lq\lq loại\rq\rq\ , là các hàm Lagrange bậc 2 với chỉ số chẵn (tại các node chính), và các hàm Lagrange bậc 2 với chỉ số lẻ (tại các node phụ - trung điểm của các node chính kề nhau). Điều này sẽ được thể hiện rõ hơn bằng hình vẽ ở phần code \textsc{\textsc{Matlab}}. Các hàm cơ sở Lagrange bậc 2 được cho bởi các công thức sau\\\begin{itemize}\item Hàm cơ sở Lagrange bậc 2 tại các node chính $i=\overline{1,N-1}$\begin{equation}\label{evenlagrange}{L_{2,2i}}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\left( {x - {{\bar x}_{2i - 1}}} \right)\left( {x - {{\bar x}_{2i - 2}}} \right)}}{{\left( {{{\bar x}_{2i}} - {{\bar x}_{2i - 1}}} \right)\left( {{{\bar x}_{2i}} - {{\bar x}_{2i - 2}}} \right)}},\forall x \in \left[ {{{\bar x}_{2i - 2}},{{\bar x}_{2i}}} \right]} \\ {\dfrac{{\left( {x - {{\bar x}_{2i + 1}}} \right)\left( {x - {{\bar x}_{2i + 2}}} \right)}}{{\left( {{{\bar x}_{2i}} - {{\bar x}_{2i + 1}}} \right)\

left( {{{\bar x}_{2i}} - {{\bar x}_{2i + 2}}} \right)}},\forall x \in \left[ {{{\bar x}_{2i}},{{\bar x}_{2i + 2}}} \right]} \\ {0,\mathbb{R} \backslash \left[ {{{\bar x}_{2i - 2}},{{\bar x}_{2i + 2}}} \right]} \end{array}} \right.\end{equation}\item Hàm cơ sở Lagrange bậc 2 tại các node phụ $i=\overline{0,N-1}$\begin{equation}\label{oddlagrange}{L_{2,2i + 1}}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\left( {x - {{\bar x}_{2i}}} \right)\left( {x - {{\bar x}_{2i + 2}}} \right)}}{{\left( {{{\bar x}_{2i + 1}} - {{\bar x}_{2i}}} \right)\left( {{{\bar x}_{2i + 1}} - {{\bar x}_{2i + 2}}} \right)}},\forall x \in \left[ {{{\bar x}_{2i}},{{\bar x}_{2i + 2}}} \right]} \\ {0,\mathbb{R} \backslash \left[ {{{\bar x}_{2i}},{{\bar x}_{2i + 2}}} \right]} \end{array}} \right.\end{equation}\end{itemize}Vậy ta có $2N-1$ hàm cơ sở Lagrange bậc 2, bao gồm $N-1$ hàm cơ sở Lagrange bậc 2 tại các node chính $x_i$ và $N$ hàm cơ sở Lagrange bậc 2 tại các node phụ là các trung điểm của các node chính kề nhau. Chú ý các hàm Lagrange bậc 2 này đều thuộc không gian $V_h$. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $\left\{ {{L_{2,i}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{2N - 1}$ độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử\begin{equation}\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{a_i}{L_{2,i}}\left( x \right)} = 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{equation}Thay $x=\bar x_j$ vào, thu được \begin{equation}{a_j} = \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{a_i}{L_{2,i}}\left( {{\bar x_j}} \right)} = 0,\forall j = \overline {1,2N - 1} \end{equation}Suy ra $\left\{ {{L_{2,i}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{2N - 1}$ độc lập tuyến tính. Mặt khác, ta có $\mbox{dim} V_h=2N-1$. Suy ra $\left\{ {{L_{2,i}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{2N - 1}$ là cơ sở của không gian $V_h$. $\square$\\\\Kết quả này sẽ được sử dụng ở phần chứng minh ma trận thu được trong quá trình xấp xỉ nghiệm của bài toán giá trị biên là một ma trận xác định dương trong trong phần tiếp theo\\\\\textsc{Xấp xỉ nghiệm của bài toán giá trị biên.}\\\\Với các hàm Lagrange cơ sở bậc 2 vừa thu được, ta xấp xỉ nghiệm $u(x)$ của (\ref{6}) bằng một hàm \lq\lq thích hợp\rq\rq\ nào đó trong không gian $V_h$. Vì $\left\{ {{L_{2,i}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{2N - 1}$ là cơ sở của không gian $V_h$, hàm \lq\lq thích hợp\rq\rq\ này là tổ hợp tuyến tính của các hàm Lagrange cơ sở bậc 2. Như vậy, ta có thể xấp xỉ nghiệm của (\ref{1}) bởi công thức\begin{equation}\label{7}u\left( x \right) \approx \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}{L_{2,i}}\left( x \right)} ,\forall x \in \left( {a,b} \right)\end{equation}

Thay lần lượt các điểm ${\bar x_0},{\bar x_1}, \ldots ,{\bar x_{2N}}$ vào công thức (\ref{7}), thu được\begin{equation}{u_i} \approx u\left( {{\bar x_i}} \right),i = \overline {1,2N - 1}\end{equation}Ta cần tìm giá trị của ${u_i} \approx u\left( {{\bar x_i}} \right),i = 1,2, \ldots ,2N - 1$. Sử dụng quy ước về ký hiệu sau cho tích phân của các hàm khả tích Riemann trên ${\left[ {a,b} \right]}$\begin{equation}\int\limits_a^b f : = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} ,\forall f \in \mathcal{R}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)\end{equation}để cho công thức ở các bước tiếp theo được ngắn gọn và dễ nhìn.\\Sử dụng (\ref{7}), (\ref{6}) trở thành\begin{equation}\int\limits_a^b {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}v'{L_{2,i}}'} } + A\int\limits_a^b {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}v{L_{2,i}}'} } + B\int\limits_a^b {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}v{L_{2,i}}}} \approx \int\limits_a^b {fv} \end{equation}\begin{equation}\label{8}\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}\int\limits_a^b {v'{L_{2,i}}'} } + A\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}\int\limits_a^b {v{L_{2,i}}'} } + B\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{u_i}\int\limits_a^b {v{L_{2,i}}} } \approx \int\limits_a^b {fv} \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {\left( {{u_i}\int\limits_a^b {v'{L_{2,i}}'} + A{u_i}\int\limits_a^b {v{L_{2,i}}'} + B{u_i}\int\limits_a^b {v{L_{2,i}}} } \right)} \approx \int\limits_a^b {fv} \end{array}\end{equation}Chọn $v\left( x \right) = {L_{2,j}}\left( x \right),j = 1,2, \ldots ,2N - 1$ trong (\ref{8}), thu được\begin{equation}\label{9}\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {\left( {{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,j}}'{L_{2,i}}'} + A{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,j}}{L_{2,i}}'} + B{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,j}}{L_{2,i}}} } \right)} \approx \int\limits_a^b {f{L_{2,j}}} \end{equation}Với quy ước \textit{Với các số hạng có chỉ số không được định nghĩa ở trên, hoặc đoạn nằm ngoài $(a,b)$ thì quy ước nó bằng 0 hoặc $\emptyset$ tương ứng.}\\Đặt \begin{equation}{I_k} = \left[ {{{x}_k},{{x}_{k + 1}}} \right],k = \overline {0,N - 1}\end{equation}Từ phương trình (\ref{9}), suy ra\begin{equation}\begin{gathered} \sum\limits_{i = 2j - 2}^{2j + 2} {\left( {{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,2j}}'{L_{2,i}}'} + A{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,2j}}{L_{2,i}}'} + B{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,2j}}{L_{2,i}}} } \right)} \approx \int\limits_a^b {f{L_{2,2j}}} \hfill \\ \sum\limits_{i = 2j}^{2j + 1} {\left( {{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,2j + 1}}'{L_{2,i}}'} + A{u_i}\int\limits_a^b {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,i}}'} + B{u_i}\

int\limits_a^b {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,i}}} } \right)} \approx \int\limits_a^b {f{L_{2,2j + 1}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}Hay\begin{equation}\begin{gathered} \left( {{u_{2j - 2}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_j}} {{L_{2,2j}}'{L_{2,2j - 2}}'} + A{u_{2j - 2}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_j}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j - 2}}'} + B{u_{2j - 2}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_j}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j - 2}}} } \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j - 1}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_j}} {{L_{2,2j}}'{L_{2,2j - 1}}'} + A{u_{2j - 1}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_j}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j - 1}}'} + B{u_{2j - 1}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_j}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j - 1}}} } \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}'{L_{2,2j}}'} + A{u_{2j}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j}}'} + B{u_{2j}}\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j}}} } \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 1}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}'{L_{2,2j + 1}}'} + A{u_{2j + 1}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j + 1}}'} + B{u_{2j + 1}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j + 1}}} } \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 2}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}'{L_{2,2j + 2}}'} + A{u_{2j + 2}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j + 2}}'} + B{u_{2j + 2}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j}}{L_{2,2j + 2}}} } \right) \hfill \\ \approx \int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_{j + 1}}} {f{L_{2,2j}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}và \begin{equation}\begin{gathered} \left( {{u_{2j}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}'{L_{2,2j}}'} + A{u_{2j}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,2j}}'} + B{u_{2j}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,2j}}} } \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 1}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}'{L_{2,2j + 1}}'} + A{u_{2j + 1}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,2j + 1}}'} + B{u_{2j + 1}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,2j + 1}}} } \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 2}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}'{L_{2,2j + 2}}'} + A{u_{2j + 2}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,2j + 2}}'} + B{u_{2j + 2}}\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + 1}}{L_{2,2j + 2}}} } \right) \hfill \\ \approx \int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {f{L_{2,2j + 1}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}Đặt \begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} = \int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + \alpha }}'{L_{2,2j + \beta }}'} ,\forall \alpha ,\beta = 0,1,2} \\ {B_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} = \int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + \alpha }}{L_{2,2j + \beta }}'} ,\forall \alpha ,\beta = 0,1,2} \\

{C_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} = \int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {{L_{2,2j + \alpha }}{L_{2,2j + \beta }}} ,\forall \alpha ,\beta = 0,1,2} \end{array}} \right.\end{equation}Ta có nhận xét sau\begin{equation}\label{nx}A_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} = A_{\beta ,\alpha }^{\left( j \right)},C_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} = C_{\beta ,\alpha }^{\left( j \right)},\forall \alpha ,\beta = 0,1,2\end{equation}Và phương trình trên trở thành\begin{equation}\begin{gathered} \left( {{u_{2j - 2}}A_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)} + A{u_{2j - 2}}B_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)} + B{u_{2j - 2}}C_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)}} \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j - 1}}A_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)} + A{u_{2j - 1}}B_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)} + B{u_{2j - 1}}C_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)}} \right) \hfill \\ + \left[ {{u_{2j}}\left( {A_{2,2}^{\left( {j - 1} \right)} + A_{0,0}^{\left( j \right)}} \right) + A{u_{2j}}\left( {B_{2,2}^{\left( {j - 1} \right)} + B_{0,0}^{\left( j \right)}} \right) + B{u_{2j}}\left( {B_{2,2}^{\left( {j - 1} \right)} + B_{0,0}^{\left( j \right)}} \right)} \right] \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 1}}A_{0,1}^{\left( j \right)} + A{u_{2j + 1}}B_{0,1}^{\left( j \right)} + B{u_{2j + 1}}C_{0,1}^{\left( j \right)}} \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 2}}A_{0,2}^{\left( j \right)} + A{u_{2j + 2}}B_{0,2}^{\left( j \right)} + B{u_{2j + 2}}C_{0,2}^{\left( j \right)}} \right) \hfill \\ \approx \int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_{j + 1}}} {f{L_{2,2j}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}và \begin{equation}\begin{gathered} \left( {{u_{2j}}A_{1,0}^{\left( j \right)} + A{u_{2j}}B_{1,0}^{\left( j \right)} + B{u_{2j}}C_{1,0}^{\left( j \right)}} \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 1}}A_{1,1}^{\left( j \right)} + A{u_{2j + 1}}B_{1,1}^{\left( j \right)} + B{u_{2j + 1}}C_{1,1}^{\left( j \right)}} \right) \hfill \\ + \left( {{u_{2j + 2}}A_{1,2}^{\left( j \right)} + A{u_{2j + 2}}B_{1,2}^{\left( j \right)} + B{u_{2j + 2}}C_{1,2}^{\left( j \right)}} \right) \hfill \\ \approx \int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {f{L_{2,2j + 1}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}Đặt tiếp\begin{equation}D_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} = A_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} + AB_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)} + BC_{\alpha ,\beta }^{\left( j \right)},\forall \alpha ,\beta = 0,1,2\end{equation} và\begin{equation}{F_i} = \int\limits_a^b {f{L_{2,i}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_{{x_{j - 1}}}^{{x_{j + 1}}} {f{L_{2,2j}}} ,\mbox{ if } i = 2j} \\ {\int\limits_{{x_j}}^{{x_{j + 1}}} {f{L_{2,2j + 1}}} ,\mbox{ if } i = 2j + 1} \end{array}} \right.

\end{equation}thu được\begin{equation}\begin{gathered} {u_{2j - 2}}D_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)} + {u_{2j - 1}}D_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)} + {u_{2j}}\left( {D_{2,2}^{\left( {j - 1} \right)} + D_{0,0}^{\left( j \right)}} \right) \hfill \\ + {u_{2j + 1}}D_{0,1}^{\left( j \right)} + {u_{2j + 2}}D_{0,2}^{\left( j \right)} \approx F_{2j} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}và\begin{equation}{u_{2j}}D_{1,0}^{\left( j \right)} + {u_{2j + 1}}D_{1,1}^{\left( j \right)} + {u_{2j + 2}}D_{1,2}^{\left( j \right)} \approx F_{2j+1} \end{equation} Từ các kết quả vừa thu được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn ${u_1},{u_2}, \ldots ,{u_{2N - 1}}$\begin{equation}\label{15}M_N U = F\end{equation}Với các phần tử của ma trận $M_N$ được xác định bởi\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{2j,2j - 2}} = D_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)}} \\ {{M_{2j,2j - 1}} = D_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)}} \\ {{M_{2j,2j}} = D_{2,2}^{\left( {j - 1} \right)} + D_{0,0}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j,2j + 1}} = D_{0,1}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j,2j + 2}} = D_{0,2}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j + 1,2j}} = D_{1,0}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j + 1,2j + 1}} = D_{1,1}^{\left( j \right)}} \\ \begin{gathered} {M_{2j + 1,2j + 2}} = D_{1,2}^{\left( j \right)} \hfill \\ {M_{i,j}} = 0,else \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.\end{equation}Ma trận $M_N$ có dạng\begin{equation}\label{M_N}{M_N} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{1,1}}}&{{M_{1,2}}}&0&0&0&0& \cdots &0 \\ {{M_{2,1}}}&{{M_{2,2}}}&{{M_{2,3}}}&{{M_{2,4}}}&0&0& \cdots &0 \\ 0&{{M_{3,2}}}&{{M_{3,3}}}&{{M_{3,4}}}&0&0& \cdots &0 \\ 0&{{M_{4,2}}}&{{M_{4,3}}}&{{M_{4,4}}}&{{M_{4,5}}}&{{M_{4,6}}}& \cdots &0 \\ 0&0&0&{{M_{5,4}}}&{{M_{5,5}}}&{{M_{5,6}}}& \cdots &0 \\ 0&0&0&{{M_{6,4}}}&{{M_{6,5}}}&{{M_{6,6}}}& \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&0&0&0& \cdots &{{M_{2N - 1,2N - 1}}} \end{array}} \right)\end{equation}Nghiệm cần tính\begin{equation}U = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\

{{u_2}}\\{{u_3}}\\ \vdots \\{{u_{2N - 1}}}\end{array}} \right)\end{equation}và $F$\begin{equation}F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_1}}\\{{F_2}}\\{{F_3}}\\ \vdots \\{{F_{2N - 1}}}\end{array}} \right)\end{equation}\section{Ma trận $M_N$ đối xứng trong trường hợp $A=0$}Ở phần này, ta sẽ giải quyết bài toán sau\\\\\textbf{Bài toán 4.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right) + B u\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}với $B \in \mathbb{R}$ là các hằng số cho trước.}\\\textit{Với ${M_N} = {\left( {{M_{ij}}} \right)_{(2N-1) \times (2N-1)}} \in {\mathcal{M}_{2N-1}}\left( \mathbb{R} \right)$ là ma trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Chứng minh ${M_N}$ là ma trận đối xứng với mọi số nguyên dương $N$.}\\\\\textsc{Chứng minh.} Trong phần 2, ta tìm được công thức cụ thể cho ma trận $M_N$ tương ứng với trường hợp $A=0$\begin{equation}D_{i,j}^{\left( k \right)} = A_{i,j}^{\left( k \right)} + BC_{i,j}^{\left( k \right)}\end{equation}và\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{2j,2j - 2}} = D_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)}} \\ {{M_{2j,2j - 1}} = D_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)}} \\ {{M_{2j,2j}} = D_{2,2}^{\left( {j - 1} \right)} + D_{0,0}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j,2j + 1}} = D_{0,1}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j,2j + 2}} = D_{0,2}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j + 1,2j}} = D_{1,0}^{\left( j \right)}} \\ {{M_{2j + 1,2j + 1}} = D_{1,1}^{\left( j \right)}} \\ \begin{gathered} {M_{2j + 1,2j + 2}} = D_{1,2}^{\left( j \right)} \hfill \\ {M_{i,j}} = 0,else \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.\end{equation}

Từ nhận xét (\ref{nx}), suy ra\begin{equation}D_{i,j}^{\left( k \right)} = A_{i,j}^{\left( k \right)} + BC_{i,j}^{\left( k \right)} = A_{j,i}^{\left( k \right)} + BC_{j,i}^{\left( k \right)} = D_{j,i}^{\left( k \right)}\end{equation}Sử dụng kết quả này, xét các phần tử đối xứng qua đường chéo chính của ma trận $M_N$ ta có\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{2j,2j - 2}} = D_{2,0}^{\left( {j - 1} \right)} = D_{0,2}^{\left( {j - 1} \right)} = {M_{2j - 2,2j}}} \\ {{M_{2j,2j - 1}} = D_{2,1}^{\left( {j - 1} \right)} = D_{1,2}^{\left( {j - 1} \right)} = {M_{2j - 1,2j}}} \\ {{M_{2j,2j + 1}} = D_{0,1}^{\left( j \right)} = D_{1,0}^{\left( j \right)} = {M_{2j + 1,2j}}} \\ {{M_{2j,2j + 2}} = D_{0,2}^{\left( j \right)} = D_{2,0}^{\left( j \right)} = {M_{2j + 2,2j}}} \end{array}} \right.\end{equation}và các phần tử khác của ma trận $M_N$ đều bằng 0.\\Suy ra ma trận $M_N$ là ma trận đối xứng. $\square$\\Như vậy, nếu $A=0$ thì ma trận $M_N$ là ma trận đối xứng. Hơn nữa, chiều ngược lại cũng đúng\\\\\textbf{Bài toán 5.} \textit{Chứng minh nếu ma trận $M_N$ xác định bởi (\ref{M_N}) là ma trận đối xứng khi và chỉ khi $A=0$.}\\\\\textsc{Chứng minh.} Một chiều của bài toán đã được chứng minh, ta chứng minh chiều còn lại\begin{equation}{M_N} \mbox{ is a symmetric matrix} \Rightarrow A = 0\end{equation}Giả sử $M_N$ là ma trận đối xứng. Từ các công thức đã được thiết lập ở phần trước, cùng với nhận xét (\ref{nx}), ta suy ra\begin{equation}AB_{i,j}^{\left( k \right)} = AB_{j,i}^{\left( k \right)},\forall i,j,k\end{equation}Biến đổi tương đương\begin{equation}A\left( {\int\limits_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {{L_{2,i}}{L_{2,j}}'} - \int\limits_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {{L_{2,j}}{L_{2,i}}'} } \right)=0,\forall i,j,k\end{equation}Cho $i=2,j=3,k=1$, có \begin{equation}\begin{array}{l}{L_{2,2}}\left( x \right){L_{2,3}}'\left( x \right) - {L_{2,3}}\left( x \right){L_{2,2}}'\left( x \right) = 0,x \in \left\{ {{{\bar x}_2},{{\bar x}_3},{{\bar x}_4}} \right\}\\{L_{2,2}}\left( x \right){L_{2,3}}'\left( x \right) - {L_{2,3}}\left( x \right){L_{2,2}}'\left( x \right) > 0,x \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right]\backslash \left\{ {{{\bar x}_2},{{\bar x}_3},{{\bar x}_4}} \right\}\end{array}\end{equation}Nhận xét này sẽ dễ thấy hơn khi nhìn vào đồ thị của các hàm cơ sở Lagrange bậc 2 ở phần cuối. Suy ra $A=0$.\\Kết luận $M_N$ là ma trận đối xứng khi và chỉ khi $A=0$. $\square$

\section{Ma trận $M_N$ xác định dương}Trong phần này, khi $A=0$, tác giả sẽ cố gắng mở rộng phạm vi của $B$ để ma trận $M_N$ là ma trận xác định dương. Sau đây ta sẽ xét trường hợp $A=B=0$ - trường hợp đơn giản nhất trong phần này.\\\\\textbf{Bài toán 6.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}Với ${M_N} = {\left( {{M_{ij}}} \right)_{(2N-1) \times (2N-1)}} \in {\mathcal{M}_{2N-1}}\left( \mathbb{R} \right)$ là ma trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Chứng minh ${M_N}$ là ma trận xác định dương với mọi số nguyên dương $N$.}\\\\\textsc{Chứng minh.} Trường hợp $A=B=0$, ma trận $M_N$ được xác định bởi \begin{equation}{M_{ij}} = \int\limits_a^b {{L_{2,i}}'{L_{2,j}}'} ,\forall i,j = \overline {1,2N - 1} \end{equation}Đặt \begin{equation}{\phi _i}\left( x \right) = {L_{2,i}}'\left( x \right),\forall i = \overline {1,2N - 1} \end{equation}thì phần tử của $M_N$ được xác định bởi\begin{equation}{M_{ij}} = \int\limits_a^b {{\phi _i}{\phi _j}} ,\forall i,j = \overline {1,2N - 1} \end{equation}Để chứng minh $M_N$ xác định dương, ta cần chứng minh\begin{equation}{\xi ^T}M\xi > 0,\forall \xi \in {\mathcal{M}_{2N - 1,1}}\left( \mathbb{R} \right)\end{equation}Tính toán trực tiếp\begin{equation}\begin{gathered} {\xi ^T}M\xi = \sum\limits_{i,j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{M_{ij}}{\xi _j}} = \sum\limits_{i,j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}\left( {\int\limits_a^b {{\phi _i}{\phi _j}} } \right){\xi _j}} \hfill \\ = \int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^{2N - 1} {{\xi _j}{\phi _j}} } \right)} = \left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2 \ge 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}Chuẩn cuối cùng bằng $0$ khi và chỉ khi ${s = \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}} }=0$\begin{equation}s\left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}\left( t \right)} = 0,\forall t \in \mathbb{R} \end{equation}

Lấy tích phân 2 vế từ $a$ đến $x$ trong công thức vừa thu được, suy ra\begin{equation}\int\limits_a^x {s\left( t \right)dt} = \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}\int\limits_a^x {{\phi _i}\left( t \right)dt} = 0 = \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{L_{2,i}}\left( x \right)} } = 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{equation}Để ý ${\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{L_{2,i}}\left( x \right) \in {V_h}} }$. Mặt khác, ta đã chứng minh ở phần 2, $\left\{ {{L_{2,i}}\left( x \right)} \right\}_{i = 1}^{2N - 1}$ là một cơ sở của $V_h$. Suy ra $\xi _i=0, \forall i=\overline{1,2N-1}$. Kết luận ma trận $M_N$ xác định dương. $\square$\\\\Tiếp theo là một số đánh giá khác về khoảng giá trị của $B$ để ma trận $M_N$ là ma trận xác định dương\\\\\textbf{Bài toán 7.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right)+Bu(x) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}với $B \ge 0$ là hằng số cho trước. \\Với ${M_N} = {\left( {{M_{ij}}} \right)_{(2N-1) \times (2N-1)}} \in {\mathcal{M}_{2N-1}}\left( \mathbb{R} \right)$ là ma trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Chứng minh ${M_N}$ là ma trận xác định dương với mọi số nguyên dương $N$.}\\\\\textsc{Chứng minh.} Ý tưởng chứng minh hoàn toàn tương tự bài trước. ma trận $M_N$ được xác định bởi \begin{equation}{M_{ij}} = B\int\limits_a^b {{L_{2,i}}{L_{2,j}}} + \int\limits_a^b {{L_{2,i}}'{L_{2,j}}'} ,\forall i,j = \overline {1,2N - 1} \end{equation}Đặt \begin{equation}{\phi _i}\left( x \right) = {L_{2,i}}'\left( x \right),\forall i,j = \overline {1,2N - 1} \end{equation}thì phần tử của $M_N$ được xác định bởi\begin{equation}{M_{ij}} = B\int\limits_a^b {{\phi _i}{\phi _j}} + \int\limits_a^b {{\phi _i}'{\phi _j}'} ,\forall i,j = \overline {1,2N - 1} \end{equation}Để chứng minh $M_N$ xác định dương, ta cần chứng minh\begin{equation}{\xi ^T}M\xi > 0,\forall \xi \in {\mathcal{M}_{2N - 1,1}}\left( \mathbb{R} \right)\end{equation}Tính toán trực tiếp\begin{equation}\label{xdd}\begin{array}{l}

{\xi ^T}M\xi = \sum\limits_{i,j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{M_{ij}}{\xi _j}} = \sum\limits_{i,j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}\left( {B\int\limits_a^b {{\phi _i}{\phi _j}} + \int\limits_a^b {{\phi _i}'{\phi _j}'} } \right){\xi _j}} \\ = B\sum\limits_{i,j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}\left( {\int\limits_a^b {{\phi _i}{\phi _j}} } \right){\xi _j}} + \sum\limits_{i,j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}\left( {\int\limits_a^b {{\phi _i}'{\phi _j}'} } \right){\xi _j}} \\ = B\int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}} } \right)} + \int\limits_a^b {\left( {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}'} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}'} } \right)} \\ = B\left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2 + \left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{\phi _i}'} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2 \ge 0\end{array}\end{equation}Với điều kiện $B \ge 0$, lý luận tương tự chứng minh bài toán trước, ta có chuẩn cuối cùng bằng $0$ khi và chỉ khi $\xi _i=0, \forall i=\overline{1,2N-1}$. Kết luận ma trận $M_N$ xác định dương. $\square$\\\\Bài toán trên có thể tổng quát thành bài toán sau\\\\\textbf{Bài toán 8.} \textit{Xấp xỉ nghiệm của bài toán sau bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lagrange bậc 2 trên mỗi đoạn con\begin{equation}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u''\left( x \right)+Bu(x) = f\left( x \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)}\\{u\left( a \right) = u\left( b \right) = 0}\end{array}} \right.\end{equation}Với ${M_N} = {\left( {{M_{ij}}} \right)_{(2N-1) \times (2N-1)}} \in {\mathcal{M}_{2N-1}}\left( \mathbb{R} \right)$ là ma trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Tìm điều kiện cần và đủ của $B$ để\\\textbf{1.} $M_N$ là ma trận xác định dương với mỗi số nguyên $N$ cho trước (điều kiện của $B$ phụ thuộc vào $N$).\\\textbf{2.} ${M_N}$ là ma trận xác định dương với mọi số nguyên dương $N$ (điều kiện của $B$ không phụ thuộc vào $N$).}\\\\Bài toán cuối cùng trong tài liệu này thực sự là một bài toán khó. Tác giả bài viết này không thể giải trọn vẹn bài toán này được, mà chỉ có thể đưa ra đánh giá phạm vi của $B$ để ma trận $M_N$ xác định dương. Tác giả cũng đã thử chạy code \textsc{\textsc{Matlab}} với rất nhiều giá trị $B$, từ giá trị thực nhỏ nhất \texttt{-realmax} đến giá trị thực lớn nhất \texttt{realmax} trong \textsc{\textsc{Matlab}}, kết quả đều cho ma trận $M_N$ xác định dương (sau khi có $M_N$, sử dụng lệnh \texttt{rref} trong \textsc{\textsc{Matlab}}, nếu tất cả trị riêng của $M_N$ đều dương thì xác định dương). Nên tác giả tin tưởng rằng với mọi số thực $B$ thì ma trận này là ma trận xác định dương. Tuy nhiên đó chỉ là phỏng đoán. Tài liệu này chỉ có thể dừng lại ở các kết quả sau\\\\\textsc{Đánh giá tham số $B$.}\\\\Từ bất đẳng thức (\ref{xdd}) ở cuối phần chứng minh trên, suy ra nếu\begin{equation}

\label{best}B > \mathop {\sup }\limits_{\xi \in {M_{2N - 1,1}}\left( \mathbb{R} \right)} \left( { - \dfrac{{\left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{L_{2,i}}'} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2}}{{\left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{L_{2,i}}} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2}}} \right)\end{equation}thì ma trận $M_N$ xác định dương.\\\textbf{Nhận xét.} Phần giá trị trong $\sup$ thực sự khó xác định hoặc đánh giá tốt được. Lưu ý, bất đẳng thức (\ref{best}) cho ta một ước lượng của $B$ phụ thuộc vào $N$, nên đánh giá này thỏa yêu cầu 1 của \textit{bài toán 8}. Nếu lấy supremum trên tập các số nguyên dương một lần nữa thì ta sẽ có điều kiện\begin{equation}\label{best1}B > \mathop {\sup }\limits_{N \in {\mathbb{Z}_ + }} \mathop {\sup }\limits_{\xi \in {M_{2N - 1,1}}\left( \mathbb{R} \right)} \left( { - \dfrac{{\left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{L_{2,i}}'} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2}}{{\left\| {\sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {{\xi _i}{L_{2,i}}} } \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)}^2}}} \right)\end{equation}thỏa mãn \textit{yêu cầu 2} của \textit{bài toán 8}. Dễ thấy một hệ quả của điều kiện (\ref{best}) là \textit{Nếu $B\ge 0$ thì $M_N$ xác định dương}, chính là \textit{bài toán 7} ở trên.\\Điều khó khăn nhất ở đánh giá này chính là khó đánh giá hoặc tính toán được giá trị dưới dấu $\sup$. Nếu có thể làm được điều này thì đánh giá trên thực sự khá giá trị. Hy vọng người đọc bài viết này, nếu có quan tâm, có thể đầu tư thêm vào đánh giá (\ref{best}) và đánh giá (\ref{best1}).\section{Viết chương trình \textsc{Maltab}}Trong phần này, ta sẽ viết chương trình \textsc{Maltab} để mô phỏng nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trị biên (\ref{1}) bằng các công thức ở phần lý thuyết chúng ta vừa xây dựng được. Một số điểm cần lưu ý đối với các code \textsc{\textsc{Matlab}} dưới đây như sau\begin{enumerate}\item Code \textsc{\textsc{Matlab}} gồm 2 phần. Một file chính viết lại các công thức cần thiết trong phần lý thuyết, vẽ các nghiệm chính xác, nghiệm xấp xỉ với các bộ test, tính toán sai số,... và một file script viết hàm xấp xỉ tích phân bằng phương pháp cầu phương Gauss-Legendre (\textit{Gauss-Legendre quadrature method}).\item Mục đích chính của file \texttt{LGQ.m} là xấp xỉ tích phân. Nên ta có thể thay thế phương pháp cầu phương Gauss bằng các phương pháp xấp xỉ tích phân khác mà không ảnh hưởng đến các file chính. Nhưng vì cần độ chính xác cao nên file \texttt{LGQ.m} ở đây sử dụng phương pháp cầu phương Gauss-Legendre.\item Code cho phương pháp cầu phương Gauss-Legendre trong file \texttt{LGQ.m} có thể sử dụng số lượng nút bất kỳ (tham số \texttt{node}) được nhập từ bàn phím. \end{enumerate}Dưới đây là 2 chương trình \textsc{\textsc{Matlab}}.\subsection{Code \textsc{Matlab} cho phương pháp cầu phương Gauss-Legendre}Code \textsc{\textsc{Matlab}} cho phương pháp cầu pương Gauss-Legendre xấp xỉ tích phân\begin{verbatim}function [I]=LGQ(f,N,a,b)% This script is for computing definite integrals using Legendre-% Gauss Quadrature. Computes the Legendre-Gauss nodes and weights% on an interval [a,b] with truncation order N

%N=N-1;N1=N+1; N2=N+2;xu=linspace(-1,1,N1)';% Initial guessy=cos((2*(0:N)'+1)*pi/(2*N+2))+(0.27/N1)*sin(pi*xu*N/N2);% Legendre-Gauss Vandermonde MatrixL=zeros(N1,N2);% Derivative of LGVMLp=zeros(N1,N2);% Compute the zeros of the N+1 Legendre Polynomial% using the recursion relation and the Newton-Raphson methody0=2;% Iterate until new points are uniformly within epsilon of % old pointswhile max(abs(y-y0))>epsL(:,1)=1;Lp(:,1)=0;L(:,2)=y;Lp(:,2)=1;for k=2:N1L(:,k+1)=( (2*k-1)*y.*L(:,k)-(k-1)*L(:,k-1) )/k;endLp=(N2)*( L(:,N1)-y.*L(:,N2) )./(1-y.^2); y0=y;y=y0-L(:,N2)./Lp;end% Linear map from[-1,1] to [a,b]x=(a*(1-y)+b*(1+y))/2; % Compute the weightsw=(b-a)./((1-y.^2).*Lp.^2)*(N2/N1)^2;% Compute the approximationI=sum(double(subs(f,v)).*w);\end{verbatim}

\subsection{Code Maltab cho bài toán giá trị biên BVP trường hợp sử dụng hàm cơ sở Lagrange bậc 2}Các bước thực hiện và một số điểm cần lưu ý\begin{enumerate}\item \textit{Khởi tạo các giá trị cần thiết}. như $a,b,N$ (có thể nhập từ bàn phím hoặc thay đổi trực tiếp trên code. \item \textit{Phân hoạch đoạn $(a,b)$}. Đoạn $(a,b)$ được chia tùy ý, bằng cách nhập vector chiều dài $N-1$ chứa các điểm chia cho đoạn $(a,b)$ hoặc chia đều.\item \textit{Tạo các bộ test}. Hàm $u(x)$ thỏa điều kiện biên $u(a)=u(b)=0$ nên ta sẽ sử dụng dạng đơn giản sau cho bộ test $u\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)g\left( x \right)$, với $g(x)$ là hàm tùy ý. Hàm $f(x)$ được suy ngược lại bằng $f = - u'' + Au' + Bu$. Do vậy chỉ thay đổi hàm $g(x)$ là có thể tạo bộ test mới.\item \textit{Tạo các hàm Lagrange cơ sở bậc 2.} Sử dụng các công thức (\ref{evenlagrange}) và (\ref{oddlagrange}). Sử dụng kỹ thuật \texttt{heaviside} để tạo hàm piecewise. Lưu ý một điều ở đây, thực sự ta chỉ cần tính các giá trị của các hàm Lagrange cơ sở bậc 2 là đủ. Nhưng tác giả muốn sử dụng symbolic, tuy chương trình sẽ chạy chậm hơn rất nhiều, nhưng sẽ mang lại một số kết quả mà cách không sử dụng symbolic không làm được. Chẳng hạn, phương pháp này có thể thu được nghiệm xấp xỉ dưới dạng symbolic và vẽ đồ thị của cả

nghiệm xấp xỉ đó. Trong khi phương pháp không sử dụng symbolic không làm được điều này (chỉ có thể tính giá trị của nghiệm xấp xỉ tại các node đã chia).\item \textit{Tính $A_{\alpha ,\beta }^{\left( i \right)},B_{\alpha ,\beta }^{\left( i \right)},C_{\alpha ,\beta }^{\left( i \right)},D_{\alpha ,\beta }^{\left( i \right)}$}. Tính các biến này bằng các công thức tích phân đã xây dựng ở phần lý thuyết. Sử dụng phương pháp cầu phương Gauss-Legendre để xấp xỉ các tích phân này. Sử dụng biến $E_{\alpha ,\beta }^{\left( {i + 1} \right)} = D_{\alpha ,\beta }^{\left( i \right)}$ để tránh chỉ số $0$.\item \textit{Tính ma trận $M_N$.} Sử dụng $D_{\alpha ,\beta }^{\left( i \right)}$ vừa tính được, ta tính các phần tử của ma trận $M_N$ với công thức được xác định ở phần lý thuyết.\item \textit{Giải hệ phương trình $MU = F$.} Thu được vector $U$ với các thành phần là ${u_i},i = \overline {1,2N - 1} $.\item \textit{Vẽ các đồ thị tương ứng.} Ta sẽ vẽ các đồ thị sau\begin{itemize}\item Đồ thị các hàm cơ sở Lagrange bậc 2.\item Đồ thị chứa nghiệm chính xác của bài toán giá trị biên (hàm $u$ trong bộ test) và cácđiểm trên đồ thị của nó tương ứng tại ${\bar x_i},i = \overline {1,2N - 1} $.\item Đồ thị chứa nghiệm xấp xỉ \texttt{appro} và các điểm trên đồ thị của nó tương ứng tại ${\bar x_i},i = \overline {1,2N - 1} $.\item Đồ thị hàm sai số \texttt{u-appro}\end{itemize}\item \textit{Đánh giá sai số.} Đánh giá trực quan với đồ thị hàm sai số \texttt{u-appro} đã vẽ. Có thể sử dụng các chuẩn thích hợp để đánh giá hàm sai số này.\item \textit{Các thao tác khác.} Sử dụng các phép toán symbolic khác trên các biến symbolic \texttt{L, L(2*i), L(2*i+1), appro} cho các mục đích khác.\end{enumerate}Code \textsc{\textsc{Matlab}} cho bài toán giá trị biên BVP\begin{verbatim}clear allclose allclcformat long

% ON APPROXIMATING-SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM: % (1) -u''(x)+Au'(x)+Bu(x)=f(x),for all x in (a,b)% (2) u(a)=u(b)=0% BY USING PIECEWISE QUADRATURE LAGRANGE POLYNOMIALS.

tic% SOME INITIAL INPUTS.syms x;a=0; b=1; N=10; h=(b-a)/(2*N); node =10;A=1; B=-1;

% CREATE TESTS.% For arbitrary choice of function g(x).g=(sin(x));u=((x-a)*(x-b)*g);f=(-diff(u,x,2)+A*diff(u,x,1)+B*u);

X=zeros(1,N-1);barX=zeros(1,2*N-1);

% CREATE PARTITION OF [a,b]. % You also can use the code:% X=input('Input 1x(N-1) vector X=');% for i=2:(2*N-2)% if (mod(i,2)==0)% barX(i)=X(i/2);% else% barX(i)=1/2*(X((i-1)/2)+X((i+1)/2));% end% end% barX(1)=(a+X(1))/2;% barX(2*N-1)=(X(N-1)+b)/2;% to create arbitrary partition.for i=1:(N-1)X(i)=a+2*i*h; endfor i=1:(2*N-1)barX(i)=a+i*h; end

% DEFINE PIECEWISE QUADRATURE LAGRANGE BASIS.L=sym(zeros(1,2*N-1));% For even-index piecewise quadrature Lagrange.for i=2:(N-2)L(2*i)=(heaviside(x-X(i-1))*heaviside(X(i)-x)*(x-barX(2*i-1))*...(x-barX(2*i-2))/((barX(2*i)-barX(2*i-1))*(barX(2*i)-barX(2*i-2)))...+heaviside(x-X(i))*heaviside(X(i+1)-x)*(x-barX(2*i+1))*(x-...barX(2*i+2))/((barX(2*i)-barX(2*i+1))*(barX(2*i)-barX(2*i+2))));end% Define L(2)L(2)=(heaviside(x-a)*heaviside(X(1)-x)*(x-barX(1))*(x-a)/...((barX(2)-barX(1))*(barX(2)-a))+heaviside(x-X(1))*heaviside(X(2)-x)...*(x-barX(3))*(x-barX(4))/((barX(2)-barX(3))*(barX(2)-barX(4))));% Define L(2N-2)L(2*N-2)=(heaviside(x-X(N-2))*heaviside(X(N-1)-x)*(x-barX(2*N-3))*...(x-barX(2*N-4))/((barX(2*N-2)-barX(2*N-3))*(barX(2*N-2)...-barX(2*N-4)))+heaviside(x-X(N-1))*heaviside(b-x)*(x-barX(2*N-1))...*(x-b)/((barX(2*N-2)-barX(2*N-1))*(barX(2*N-2)-b)));for i=1:N-2L(2*i+1)=(heaviside(x-X(i))*heaviside(X(i+1)-x)*(x-X(i))*...(x-X(i+1))/((barX(2*i+1)-barX(2*i))*(barX(2*i+1)-barX(2*i+2))));end

% For odd-index piecewise quadrature Lagrange.L(2*N-1)=(heaviside(x-X(N-1))*heaviside(b-x)*(x-X(N-1))*(x-b)/...((barX(2*N-1)-barX(2*N-2))*(barX(2*N-1)-b)));% Define L(1)L(1)=(heaviside(x-a)*heaviside(X(1)-x)*(x-a)*(x-X(1))/((barX(1)-a)...*(barX(1)-barX(2))));

% COMPUTE THE COEFFICIENTS A,B,C.

% Define E^(k+1)=D^(k) and compute E().

E00=zeros(1,2*N-1);E01=zeros(1,2*N-1);E02=zeros(1,2*N-1);E10=zeros(1,2*N-1);E11=zeros(1,2*N-1);E12=zeros(1,2*N-1);E20=zeros(1,2*N-1);E21=zeros(1,2*N-1);E22=zeros(1,2*N-1);

g=(diff(L(1))*diff(L(1))+A*L(1)*diff(L(1))+B*L(1)*L(1));E11(1)=LGQ(g,node,a,X(1));g=(diff(L(1))*diff(L(2))+A*L(1)*diff(L(2))+B*L(1)*L(2));E12(1)=LGQ(g,node,a,X(1));g=(diff(L(2))*diff(L(1))+A*L(2)*diff(L(1))+B*L(2)*L(1));E21(1)=LGQ(g,node,a,X(1));g=(diff(L(2))*diff(L(2))+A*L(2)*diff(L(2))+B*L(2)*L(2));E22(1)=LGQ(g,node,a,X(1));

for i=1:N-2g=(diff(L(2*i))*diff(L(2*i))+A*L(2*i)*diff(L(2*i))+B*L(2*i)*L(2*i));E00(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1));g=(diff(L(2*i))*diff(L(2*i+1))+A*L(2*i)*diff(L(2*i+1))+B*L(2*i)...*L(2*i+1));E01(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(L(2*i))*diff(L(2*i+2))+A*L(2*i)*diff(L(2*i+2))+B*L(2*i)...*L(2*i+2));E02(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1));g=(diff(L(2*i+1))*diff(L(2*i))+A*L(2*i+1)*diff(L(2*i))+B*L(2*i+1)...*L(2*i));E10(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(L(2*i+1))*diff(L(2*i+1))+A*L(2*i+1)*diff(L(2*i+1))+...B*L(2*i+1)*L(2*i+1));E11(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(L(2*i+1))*diff(L(2*i+2))+A*L(2*i+1)*diff(L(2*i+2))+...B*L(2*i+1)*L(2*i+2));E12(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1));g=(diff(L(2*i+2))*diff(L(2*i))+A*L(2*i+2)*diff(L(2*i))+...B*L(2*i+2)*L(2*i));E20(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1));g=(diff(L(2*i+2))*diff(L(2*i+1))+A*L(2*i+2)*diff(L(2*i+1))+...B*L(2*i+2)*L(2*i+1));E21(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1));g=(diff(L(2*i+2))*diff(L(2*i+2))+A*L(2*i+2)*diff(L(2*i+2))+...B*L(2*i+2)*L(2*i+2));E22(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1));end

g=(diff(L(2*N-2))*diff(L(2*N-2))+A*L(2*N-2)*diff(L(2*N-2))+B*L(2*N-2)...*L(2*N-2));E00(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b);g=(diff(L(2*N-2))*diff(L(2*N-2+1))+A*L(2*N-2)*diff(L(2*N-2+1))+...B*L(2*N-2)*L(2*N-2+1));E01(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b);g=(diff(L(2*N-2+1))*diff(L(2*N-2))+A*L(2*N-2+1)*diff(L(2*N-2))+...B*L(2*N-2+1)*L(2*N-2));E10(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b);

g=(diff(L(2*N-2+1))*diff(L(2*N-2+1))+A*L(2*N-2+1)*diff(L(2*N-2+1))+...B*L(2*N-2+1)*L(2*N-2+1));E11(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b);

% COMPUTE THE MATRIX M.M=zeros(2*N-1,2*N-1);for i=2:N-1M(2*i,2*i-2)=E20(i);endi=0;M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1);M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1);M(2*i+1,2*i+1)=E11(i+1);

for i=1:N-2M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1);M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1);M(2*i+1,2*i+1)=E11(i+1); M(2*i,2*i-1)=E21(i);M(2*i,2*i)=E22(i)+E00(i+1);M(2*i,2*i+1)=E01(i+1);M(2*i+1,2*i)=E10(i+1);M(2*i,2*i+2)=E02(i+1);end

i=N-1;M(2*i,2*i-1)=E21(i);M(2*i,2*i)=E22(i)+E00(i+1);M(2*i,2*i+1)=E01(i+1);M(2*i+1,2*i)=E10(i+1);M(2*i+1,2*i+1)=E11(i+1);

% COMPUTE FF=zeros(2*N-1,1);for i=1:2*N-1g=(f*L(i));F(i)=LGQ(g,30,a,b);end

% SOLVE SYSTEM OF EQUATIONU=M\F;

% PLOT AND TEST.% Plot piecewise quadrature Lagrange basis.figure hold ont=a:0.01:b;for i=1:2*N-1if (mod(i,2)==0)plot(t,subs(L(i),t),'r');elseplot(t,subs(L(i),t),'b');endendxlabel('x');ylabel('y');legend('piecewise quadrature Lagrange');

% Plot approximating points and exact solution.figurehold ont=a:0.01:b;plot(t,subs(u,t),'g');legend('Exact Solution');for i=1:2*N-1plot(barX(i),subs(u,barX(i)),'b *','MarkerSize',10);endxlabel('x');ylabel('y');

% Plot approximating solution.figurehold onappro=sym(0);for i=1:2*N-1appro=appro+U(i)*L(i); endplot(t,subs(appro,t),'c');xlabel('x');ylabel('y');legend('Approximating Solution');for i=1:2*N-1plot(barX(i),U(i),'r *','MarkerSize',10); end

% ERROR ESTIMATIONfigurehold onerror=u-appro;for i=1:2*N-1plot(barX(i),subs(error,barX(i)),'r *','MarkerSize',10);endplot(t,subs(error,t));xlabel('x');ylabel('y');legend('error');toc\end{verbatim}\subsection{Bảng đánh giá sai số}Trong phần này, ta kí hiệu nghiệm xấp xỉ là $u_h=\sum_{i=1}^{2N-1}u_i L_{k,i}(x)$ và nội suy của nghiệm chính xác là $\Pi_h u=\sum_{i=1}^{2N-1}u(x_i) L_{k,i}(x)$.\\Ta đánh giá sai số của phép xấp xỉ với các giá trị $\lVert u-u_h \rVert_{L^2}$, $\dfrac{\lVert u-u_h \rVert_{L^2}}{\lVert u\rVert_{L^2}}$, $\lVert \Pi_h u-u_h \rVert_{L^2}$, $\dfrac{\lVert \Pi_h u-u_h \rVert_{L^2}}{\lVert \Pi_h u\rVert_{L^2}}$ với chuẩn $\lVert\cdot\rVert_{L^2}$ được định nghĩa như sau\begin{equation}\lVert f \rVert_{L^2}=\left(\int_{a}^{b} \lvert f\rvert ^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\end{equation}Để thực hiện điều đó, ta viết thêm vào sau code ở phần $(5.2)$ các dòng sau đây\begin{verbatim}

ERROR1=double(sqrt(int((u-appro)^2,a,b)))ERROR2=double(sqrt(int((u-appro)^2,a,b))/sqrt(int((u)^2,a,b)))interpolation=sym(0);for i=1:2*N-1interpolation=interpolation+subs(u,x,barX(i))*L(i);endERROR3=double(sqrt(int((interpolation-appro)^2,a,b)))ERROR4=double(sqrt(int((interpolation-appro)^2,a,b))/...sqrt(int((interpolation)^2,a,b)))\end{verbatim}Với ERROR1, ERROR2, ERROR3, ERROR4 lần lược là các giá trị như đã nói ở trên và ở đây tính tích phân bằng hàm \texttt{int} (symbolic) thay vì xấp xĩ bằng hàm \texttt{LGQ.m} để đảm bảo độ chính xác.\\Tiến hành chạy cho các giá trị $N=4, 8, 16, 32$, ta có\begin{table}[H]

\begin{center}\setlength{\tabulinesep}{1.5mm}\setlength{\tabcolsep}{0.5mm}

\begin{tabu}{|c|c|c|c|c|}\hlineN & 4 & 8 & 16 & 32 \\ \hline$\lVert u-u_h \rVert_{L^2}$ & 4.64868487e-04 &

8.65570446e-05 & 5.28550230e-05 & 6.74613235e-05 \\ \hline$\dfrac{\lVert u-u_h \rVert_{L^2}}{\lVert u\

rVert_{L^2}}$ & 0.00510651 & 9.50817786e-04 & 5.80605498e-04 & 7.41053794e-04 \\ \hline$\lVert \Pi_h u-u_h \rVert_{L^2}$ &

5.82394201e-05 & 6.50150142e-05 & 5.23980967e-05 & 6.74557260e-05 \\ \hline$\dfrac{\lVert \Pi_h u-u_h \rVert_{L^2}}{\lVert

\Pi_h u\rVert_{L^2}}$ & 6.39911617e-04 & 7.14193278e-04 & 5.75586831e-04 & 7.40992356e-04\\

\hline\end{tabu}

\end{center}\caption{\textsc{Bảng đánh giá sai số.}}

\end{table}\noindent\textbf{Nhận xét.} Khi tăng $N$ lên thì chưa chắc độ chính xác cũng tăng.

\subsection{Các đồ thị thu được}Thử code \textsc{\textsc{Matlab}} trên, với $a=0,b=1,N=5$ và hàm $u = x\left( {x - 1} \right)\sin \left( x \right)$. Thu được các hình vẽ như sau\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=10cm]{lagrange}\caption{\textsc{Đồ thị các đa thức cơ sở Lagrange bậc 2.}}\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=10cm]{exact}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm chính xác.}}\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=10cm]{appro}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm xấp xỉ.}}\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=10cm]{error}\caption{\textsc{Đồ thị hàm sai số.}}\end{figure}

\subsection{Code \textsc{Matlab} cho trường hợp sử dụng hàm cơ sở Lagrange bậc 1}Ý tưởng xây dựng thuật toán cho trường hợp sử dụng hàm cơ sở Lagrange bậc 1 tương tự nhưng đơn giản hơn trường hợp bậc 2 nên tác giả sẽ không trình bày cụ thể ở đây mà chỉ trình bày code \textsc{Matlab}.\begin{verbatim}clear allclose allclcformat long

% ON APPROXIMATING-SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM: % (1) -u''(x)+Au'(x)+Bu(x)=f(x),for all x in (a,b)% (2) u(a)=u(b)=0% BY USING PIECEWISE LINEAR LAGRANGE POLYNOMIALS.

tic% SOME INITIAL INPUTS.syms x;a=0; b=1; N=30;h=(b-a)/(N-1); node=3;A=1; B=-1;

% CREATE TESTS.% For arbitrary choice of function g(x).g=(sin(x));u=((x-a)*(x-b)*g);f=(-diff(u,x,2)+A*diff(u,x,1)+B*u);X=zeros(1,N-2);

% CREATE PARTITION OF [a,b]. for i=1:N-2X(i)=a+i*h; end

% DEFINE PIECEWISE QUADRATURE LAGRANGE BASIS.L=sym(zeros(1,N-2));

% L(1)L(1)=heaviside(x-a)*heaviside(X(1)-x)*((x-a)/h)...

+heaviside(x-X(1))*heaviside(X(2)-x)*((X(2)-x)/h);

% L(i), 2<=i<=N-3for i=2:N-3L(i)=heaviside(x-X(i-1))*heaviside(X(i)-x)*((x-X(i-1))/h)...+heaviside(x-X(i))*heaviside(X(i+1)-x)*((X(i+1)-x)/h);end

% L(N-2)L(N-2)=heaviside(x-X(N-3))*heaviside(X(N-2)-x)*((x-X(N-3))/h)...+heaviside(x-X(N-2))*heaviside(b-x)*((b-x)/h);

% COMPUTE THE MATRIX MM=zeros(N-2,N-2);

% M_i,im11=diff(L(1),x,1)*diff(L(1),x,1)+A*L(1)*diff(L(1),x,1)+B*L(1)*L(1);M(1,1)=LGQ(m11,node,a,X(1))+LGQ(m11,node,X(1),X(2));

for i=2:N-3m11=diff(L(i),x,1)*diff(L(i),x,1)+A*L(i)*diff(L(i),x,1)+B*L(i)*L(i);M(i,i)=LGQ(m11,node,X(i-1),X(i))+LGQ(m11,node,X(i),X(i+1));end

m11=diff(L(N-2),x,1)*diff(L(N-2),x,1)+A*L(N-2)*diff(L(N-2),x,1)+...B*L(N-2)*L(N-2);M(N-2,N-2)=LGQ(m11,node,X(N-3),X(N-2))+LGQ(m11,node,X(N-2),b);

% M_i+1,im21=diff(L(2),x,1)*diff(L(1),x,1)+A*L(2)*diff(L(1),x,1)+B*L(2)*L(1);M(2,1)=LGQ(m21,node,X(1),X(2));

for i=2:N-3m21=diff(L(i+1),x,1)*diff(L(i),x,1)+A*diff(L(i),x,1)*L(i+1)+...B*L(i+1)*L(i);M(i+1,i)=LGQ(m21,node,X(i),X(i+1));end

% M_i,i+1m12=diff(L(1),x,1)*diff(L(2),x,1)+A*L(1)*diff(L(2),x,1)+B*L(1)*L(2);M(1,2)=LGQ(m12,node,X(1),X(2));

for i=2:N-3m12=diff(L(i),x,1)*diff(L(i+1),x,1)+A*L(i)*diff(L(i+1),x,1)+...B*L(i)*L(i+1);M(i,i+1)=LGQ(m12,node,X(i),X(i+1));end

% COMPUTE FF=zeros(N-2,1);

g=(f*L(1));F(1)=LGQ(g,50,a,X(2));

for i=2:N-3g=(f*L(i));F(i)=LGQ(g,50,X(i-1),X(i+1));

end

g=(f*L(N-2));F(N-2)=LGQ(g,50,X(N-3),b);

% SOLVE SYSTEM OF EQUATIONU=M\F;

% PLOT AND TEST.

% Plot piecewise linear Lagrange basis.figure hold ont=a:h:b;for i=1:N-2plot(t,subs(L(i),t),'b');endxlabel('x');ylabel('y');legend('piecewise linear Lagrange basis');

% Plot the exact solution.figurehold ont=a:0.01:b;plot(t,subs(u,t),'g');legend('Exact Solution');for i=1:N-2plot(X(i),subs(u,X(i)),'b *','MarkerSize',10);endxlabel('x');ylabel('y');

% Plot the approximating solution.figurehold onappro=sym(0);for i=1:N-2appro=appro+U(i)*L(i); endplot(t,subs(appro,t),'c');xlabel('x');ylabel('y');legend('Approximating Solution');for i=1:N-2plot(X(i),U(i),'r *','MarkerSize',10); end

% ERROR ESTIMATIONfigurehold onerror=u-appro;for i=1:N-2plot(X(i),subs(error,X(i)),'r *','MarkerSize',10);endplot(t,subs(error,t));xlabel('x');

ylabel('y');legend('error');toc\end{verbatim}

\section{Các đồ thị của một số test khác (phần bài tập thực hành)}\subsection{$a=0, b=1, f=x-(x(x-1))/2-3/2, u=(x(x-1))/2$}\subsubsection{Xấp xỉ bằng hàm cơ sở Lagrange bậc 1}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{basis_1_a}\caption{\textsc{Đồ thị các đa thức cơ sở Lagrange bậc 1.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{exact_1_a}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm chính xác.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{appro_1_a}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm xấp xỉ.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{error_1_a}\caption{\textsc{Đồ thị hàm sai số.}}

\end{figure}

\subsubsection{Xấp xỉ bằng hàm cơ sở Lagrange bậc 2}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{basis_2_a}\caption{\textsc{Đồ thị các đa thức cơ sở Lagrange bậc 2.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{exact_2_a}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm chính xác.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{appro_2_a}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm xấp xỉ.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{error_2_a}\caption{\textsc{Đồ thị hàm sai số.}}

\end{figure}

\subsection{$a=0, b=1, f=4\pi\cos(4\pi x)-\sin(4\pi x)+16\pi^2 \sin(4\pi x),\\ u=\sin(4\pi x)$}\subsubsection{Xấp xỉ bằng hàm cơ sở Lagrange bậc 1}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{basis_1_b}\caption{\textsc{Đồ thị các đa thức cơ sở Lagrange bậc 1.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{exact_1_b}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm chính xác.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{appro_1_b}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm xấp xỉ.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{error_1_b}\caption{\textsc{Đồ thị hàm sai số.}}

\end{figure}

\subsubsection{Xấp xỉ bằng hàm cơ sở Lagrange bậc 2}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{basis_2_b}\caption{\textsc{Đồ thị các đa thức cơ sở Lagrange bậc 2.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{exact_2_b}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm chính xác.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{appro_2_b}\caption{\textsc{Đồ thị nghiệm xấp xỉ.}}

\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering\includegraphics[width=9cm]{error_2_b}\caption{\textsc{Đồ thị hàm sai số.}}

\end{figure}

\newpage

\section{Một số ghi chú}Trong quá trình thực hiện đề tài này, nhóm có phát hiện và chứng minh một số kết quả thú vị sau\begin{enumerate}

\item Nếu sử dụng đa thức Lagrange cơ sở bậc $n$ thì ma trận thu được sau khi thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm của bài toán giá trị biên bằng phương pháp phần tử hữu hạn như trên, sẽ là ma trận $(2n+1)$-đường chéo. Nhận xét này dễ dàng chứng minh bằng cách đếm số chỉ số $j$ để $L_{2,i}L_{2,j}$ khác $0$ với $i$ là chỉ số cố định.\\

Chẳng hạn, nếu sử dụng \textit{piecewise linear Lagrange basis}, ma trận $M_N$ sẽ là ma trận 3-đường chéo. Còn nếu sử dụng \textit{piecewise quadratic Lagrange basis}, ma trận $M_N$ sẽ là ma trận 5 đường chéo.

\item Giải hệ phương trình nảy sinh trong phương pháp cầu phương Gauss-Legendre xấp xỉ tích phân với $N$ nút bất kỳ. Lời giải lý thuyết chi tiết ở đây\\

\url{https://hongnguyenquanba.wordpress.com/2016/05/13/problem-7/}\end{enumerate}

\begin{center}\textsc{The end}\end{center}\newpage\begin{thebibliography}{999}\bibitem {1} S. R. Otto, J. P. Denier, \textit{An introduction to programming and numerical method in \textsc{Matlab}}, Springer, 2005.\bibitem {2} Richard L. Burden, J. Douglas Faires, \textit{Numerical Analysis}, Ninth Edition.\bibitem {3} Mats G. Larson, Fredrik Bengzon, \textit{The Finite Element Method, Theory, Implementation and Applications}, Texts in Computational Science and Engineering 10, Springer, 2013.\bibitem {4} \url{https://hongnguyenquanba.wordpress.com/}\bibitem {5} \url{http://www.mathworks.com/}\end{thebibliography}\end{document}