Variable Compleja - Lista 1

1. Realice las operaciones indicadas

a) (i− 2) [2(1 + i)− 3(i− 1)]

b) (2i− 1)2(

41−i + 2−i

1+i

)c) i4+i9+i16

2−i5+i10−i15

2. Suponga que z1 = 1−i, z2 = −2+4i y z3 =√

3−2i.Evalúe lo siguiente:

a) |2z2 − 3z1|2

b) (z3 − z3)5

c)∣∣∣ z1+z2+1z1−z2+i

∣∣∣d) 1

2

(z3z3

+ z3z3

)e) Re

(2z3

1 + 3z22 − 5z2

3

)3. Exprese en forma polar los siguientes números com-

plejos.

a) 2− 2i

b) −1 +√

3i

c) 2√

2 + 2√

2i

d) −ie) −4

f ) −2√

3− 2i

g)√

2i

h)√

2i

i)√

32 −

32 i

4. Evalúe las expresiones siguientes

a) [3 exp(πi6 )][2 exp(− 5πi4 )][6 exp( 5πi

3 )][4 exp( 2πi

3 )]2

b)(√

3−i√3+i

)4 (1+i1−i

)5

5. Encuentre las raíces que se indican y localícelas enel plano complejo.

a) Raíces cúbicas de 8

b) Raíces cuadradas de 4√

2 + 4√

2i

c) Raíces quintas de −16 + 16√

3i

d) Raíces sextas de −27i

6. Encuentre todas las raíces y grafíquelas:

a) Cuartas de la unidad

b) Séptimas de la unidad

7. Sea z = 6eπi/3, evalúe∣∣eiz∣∣.

1

Variable compleja - Lista 2

1. Dada las funciones siguientes, encuentre u (x, y),v (x, y), tales que f (z) = u (x, y) + iv (x, y):

a) 3z2 + 5z + i+ 1

b) z+iz2+1

c) 1z

d) 2z2+3|z−1|

2. Exprese la siguiente función en términos de z y z,f(z) = x2 + y2 + 3x+ 1 + i3y

3. Encuentre todos los valores de z para los que e4z = i.

4. Demuestre que cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.

5. Demuestre que cos 5θ = 16 cos5 θ−20 cos3 θ+5 cos θ

6. Compruebe que

a) cos 2z = cos2 2z − sin2 z

b) sin2(z2

)= 1

2 (1− cos z)

7. Sea cos z = 2. Encuentre cos 3z.

8. Suponga que las siguientes funciones trigonométri-cas e hiperbólicas están definidas en su rama princi-pal, compruebe lo siguiente:

a) sec−1 z = 1i ln

(1+√1−z2z

)b) sech−1z = ln

(1+√1−z2z

)c) coth−1 z = 1

2 ln(z+1z−1

)9. Encuentre todos los valores de:

a) sin−1 2

b) cosh−1 i

c) sinh−1 [ln (−1)]

d) (1 + i)i

e) 1√2

f ) ln(√

2 +√

2i)

g) ln (−2 + i)

h) ln (−1)

i) ln (−i)

10. Evalúe los siguientes límites

a) lımz→1+i

(z−1−iz2−2z+2

)2b) lımz→eπi/3

(z − eπi/3

) (z

z3+1

)c) lımn→∞

(n

n+3i −inn+1

)= 1− i

d) lımn→∞in2−in+1−3i

(2n+4i−3)(n−i)

11. Sea

f(z) =

{z2+4z−2i z 6= 2i

3 + 4i z = 2i

¿es continua en z = 2i? ¿de qué forma se puedereescribir la función para que sea continua?

12. Encuentre todos los puntos de discontinuidad de lasfunciones siguientes:

a) f(z) = 2z−3z2+2z+2

b) f(z) = tanh zz2+1

1

Variable Compleja-Lista 3

1. Descomponga en fracciones parciales los siguientes cocientes:

a) 3+iz(z+1)(z+2)

b) z(z2+z+1)2

2. Para cada una de las siguientes funciones, determine sus puntos singulares y calcule su derivada respecto a z en todos losotros puntos.

a) 3z−2z2+2z+5

b) zz+i

c) z3+4z+9(2z+2)(z−3)5

d) z2−9(z2+9)2

e) 2z3+3z3(z+1)

3. Verifique las ecuaciones de Cauchy-Riemann para las siguientes funciones y diga si son o no analíticas.

a) f(z) = ze−z

b) f(z) = sin 2z

c) f(z) = z2 + 5iz − 3 + i

d) f(z) = ez2

4. Muestre que h(z) = 3x2 + 2x− 3y2 − 1 + i (6xy + 2y) es entera y escríbala en términos de z.

5. Pruebe que la función u = 2x(1− y) es armónica y encuentre la función v tal que f(z) = u+ iv es analítica.

6. Econtrar las funciones armónicas conjugadas de

a) u(x, y) = x2 − y2

b) u(x, y) = sinx cosh y

c) u(x, y) = e−2xy sin(x2 − y2)

d) u(x, y) = ex sin y

1

Variable Compleja-Lista 4

Profra. Blanca Lucía Moreno Ley

1. Sea C el círculo , |z| = 4, evalúe la siguienteintegral ˆ

C

cos z

z2 − 6z + 5dz

2. Evalúe´

Γ

(|z − 1 + i|2 − z

)dz a lo largo del se-

micírculo z = 1− i+ eit con 0 ≤ t ≤ 2π

3. Sea C el círculo |z − i| = 2 , evalúe

a)´C

1z2+4dz

b)´C

1(z2+4)2

dz

4. Evalúe las siguientes integrales sobre una curvacerrada alrededor del origen:

a)´Cez

z3 dz

b)´C

sin zz2 dz

5. Utilizando el teorema de Cauchy evalúe las si-guientes integrales,

a)´

Γ3z−2z2−zdz con Γ : |z| = 1

b)´

Γ2z2−z+1

(z−1)2(z+1)dz con Γ : |z| = 1

6. Evalúe la integral¸C

e3z

z−2πidz donde C :|z − 1| = 4.

7. Pruebe que¸C

ezt

z2+1dz = sin t si t > 0 y dondeC : |z| = 3.

8. Evalúe lo siguiente si C : |z| = 1

a)¸C

sin6 zz−π

6dz

b)¸C

sin6 z

(z−π6 )

3 dz

9. Sea C : |z| = 2 orientada en sentido positivo.Calcule las siguientes integrales.

a)´C

cos zz3+9zdz

b)´C

zez

2z−3dz

c)´C

5z2+2z+1(z−i)3 dz

d)´C

sin zz2(z−4)dz

10. Sea t > 0 y C una curva simple cerrada quecontiene a z = −1, pruebe que

1

2πi

˛zezt

(z + 1)3 dz =

(t− t2

2

)e−t

11. Calcule las series de Taylor, en torno a los pun-tos especificados de las siguientes funciones:

a) f(z) = e−z, z0 = 1

b) f(z) = cosh z, z0 = 0

c) f(z) = ln(z + 1), z0 = 0

d) f(z) = 1z , z0 = 1

12. Usando series de Taylor pruebe las siguientesidentidades:

a) sin(−z) = − sin z

b) e−iz = cos z − i sin z

13. Calcule las series de Laurent de la siguientefunción 1

z+z2 en cada una de las regiones si-guientes,

a) 0 < |z| < 1

b) 1 < |z|c) 0 < |z + 1| < 1

d) 1 < |z + 1|

14. Calcule las series de Laurent de la siguientefunción 1

(z+1)(z−2) en cada una de las regionessiguientes,

a) |z| < 1

b) 1 < |z| < 2

c) 2 < |z|

15. Calcule la serie de Laurent de la siguiente fun-ción sin 2z

z3 en |z| > 0.

1

Variable Compleja-Lista 5

1. Calcule por residuos las siguientes integrales.

(a)¸C

5z−2z(z−2)dz , C : |z| = 3

(b)¸C

cosh zz3 dz, C : |z| = 1

(c)¸C

sin zz2−4dz , C : |z| = 5

(d)¸C

1z2 sin zdz , C : |z| = 1

(e)¸C

eiz

z(z−2)3 , C : |z| = 3

(f)¸C

5z−2z2(z−2)(z+5i) , C : |z| = 3

(g)¸C

3z+2z4+1dz , C : |z| = 3

2. Evalúe las siguientes integrales reales definidas,

(a)´ 2π0

dθ24−8 cos θ

(b)´ 2π0

dθ24−6 sin θ

(c)´ 2π0

dθ2+sin θ

(d)´ 2π0

dθ(3+2 cos θ)2

(e)´ 2π0

dθ24−8 cos θ

(f)´∞−∞

cos kxx2 dx

(g)´∞−∞

x2

1+x4 dx

(h)´∞−∞

cos xx2−2x+2dx

(i)´∞−∞

x2+3(x2+1)(x2+4)dx

(j)´∞−∞

cos x1+x2 dx

(k)´∞−∞

1x2+2x+2dx

1