gas evolution schemes
of 29
Transcript of gas evolution schemes
-
7/27/2019 gas evolution schemes
1/29
G a s E v o l u t i o n D y n a m i c s a n d N u m e r i c a l D i s s i p a t i o n i n S h o c k
C a p t u r i n g S c h e m e s
K u n X u
a n d Z u o w u L i
y
s u b j e c t c l a s s i c a t i o n : 3 5 L 6 4 , 7 6 N 1 0 , 6 5 M 9 3 , 7 6 P 0 5
k e y w o r d s : R i e m a n n s o l v e r , u x v e c t o r s p l i t t i n g , u x d i e r e n c e s p l i t t i n g , s h o c k i n s t a b i l i t y
s u b m i t t e d t o J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l P h y s i c s , M a y 1 9 9 9
C o r r e s p o n d i n g a u t h o r . M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t , T h e H o n g K o n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e & T e c h n o l o g y ,
C l e a r W a t e r B a y , K o w l o o n , H o n g K o n g . E m a i l : m a k x u @ u x m a i l . u s t . h k F a x : ( 8 5 2 ) 2 3 5 8 - 1 6 4 3 T e l : ( 8 5 2 ) 2 3 5 8 - 7 4 3 3
y
C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s L a b o r a t o r y , B e i j i n g U n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s , B e i j i n g ,
C h i n a
1
-
7/27/2019 gas evolution schemes
2/29
G a s E v o l u t i o n D y n a m i c s a n d N u m e r i c a l D i s s i p a t i o n
i n S h o c k C a p t u r i n g S c h e m e s
A b s t r a c t
T h i s p a p e r c o n c e r n s t h e g a s e v o l u t i o n d y n a m i c s i n e x a c t a n d a p p r o x i m a t e R i e m a n n s o l v e r s ,
e . g . t h e F l u x V e c t o r S p l i t t i n g ( F V S ) a n d t h e G o d u n o v m e t h o d . T h e d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m i n
d i e r e n t g a s e v o l u t i o n m o d e l s w i l l b e a n a l y z e d . M a n y t e s t c a s e s a r e u s e d t o s u p p o r t t h e p h y s i c a l
a r g u m e n t . T h e n u m e r i c a l e x a m p l e s i n c l u d e s h o c k s t r u c t u r e , l a m i n a r b o u n d a r y l a y e r , a n d 2 D
s h o c k t u b e c a l c u l a t i o n s . F r o m t h e b o u n d a r y l a y e r c a s e , t h e r s t o r d e r d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m
i n t h e s o - c a l l e d s e c o n d - o r d e r M U S C L - t y p e F V S s c h e m e i s q u a n t i t a t i v e l y e v a l u a t e d . A l s o , t h e
p h y s i c a l r e a s o n f o r s h o c k i n s t a b i l i t y i n t h e G o d u n o v m e t h o d , i . e . c a r b u n c l e p h e n o m e n a a n d
o d d - e v e n d e c o u p l i n g , i s p r e s e n t e d .
1 I n t r o d u c t i o n
A s p o i n t e d o u t b y v a n L e e r 1 3 ] , a h i g h r e s o l u t i o n s c h e m e u s u a l l y c o n s i s t s o f t w o p a r t s , t h e
r e c o n s t r u c t i o n o f t h e i n i t i a l d a t a a n d t h e d y n a m i c a l e v o l u t i o n s t a r t e d f r o m t h e c o n s t r u c t e d
d a t a . T h e r e c o n s t r u c t i o n s t a g e i s a k i n e m a t i c d e s c r i p t i o n o f t h e o w v a r i a b l e s . I t t r i e s t o
r e c o v e r t h e c o n t i n u o u s p h y s i c a l r e a l i t y i n s i d e e a c h c e l l f r o m t h e d i s c r e t i z e d d a t a . H o w e v e r ,
n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i s i m p l i c i t l y i n t r o d u c e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n s t a g e t h r o u g h t h e s m e a r i n g
o f s u b c e l l s t r u c t u r e a n d t h e a m o u n t o f d i s s i p a t i o n d e p e n d s o n t h e u i d v e l o c i t y d i e r e n c e 1 8 ] .
I n t h i s p a p e r w e a r e g o i n g t o a n a l y z e t h e d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m o f s h o c k c a p t u r i n g s c h e m e s i n
t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e .
T h e r e a r e m a i n l y t w o k i n d s o f n u m e r i c a l u x f u n c t i o n s d e r i v e d f r o m t h e i n v i s c i d E u l e r
e q u a t i o n s . T h e r s t g r o u p i s t h e F V S s c h e m e s 1 1 , 1 4 ] , w h e r e t h e w a v e s g e n e r a t e d i n t h e l e f t
a n d r i g h t h a n d s i d e o f a c e l l i n t e r f a c e m o v e a c r o s s t h e c e l l b o u n d a r y f r e e l y , a n d t h e u x h a s
t h e f o r m F
j + 1 = 2
= F
+
( W
j
) + F
( W
j + 1
) , w h e r e W
j
a n d W
j + 1
a r e t h e l e f t a n d r i g h t s t a t e s . I n
t h e F V S s c h e m e , a p o s i t i v e u x f u n c t i o n f r o m t h e l e f t s t a t e F
+
( W
j
) c a n m o v e a c r o s s t h e c e l l
i n t e r f a c e r e g a r d l e s s o f t h e e x i s t e n c e o f t h e r i g h t s t a t e W
j + 1
. I n o t h e r w o r d s , t h e r e i s n o a n y
d y n a m i c a l i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e l e f t a n d r i g h t s t a t e s i n t h e F V S s c h e m e i n t h e u x e v a l u a t i o n
p r o c e s s . I n t h e p r e s e n t p a p e r , w e a r e g o i n g t o s h o w t h a t d u e t o t h e f r e e t r a n s p o r t m e c h a n i s m
t h e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n f r o m t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e i n t h e F V S s c h e m e i s r s t o r d e r , a n d t h e
v i s c o s i t y c o e c i e n t i s a l w a y s p r o p o r t i o n a l t o t h e c e l l s i z e , i . e .
n u m
x . T h e l i n e a r r e l a t i o n
b e t w e e n t h e v i s c o s i t y c o e c i e n t a n d t h e c e l l s i z e i s e v e n t r u e f o r t h e s e c o n d - o r d e r M u s c l - t y p e
F V S s c h e m e . T h i s i s a l s o t h e b a s i c r e a s o n f o r t h e r o b u s t n e s s o f t h e F V S s c h e m e , s u c h a s t h e
a b s e n c e o f n u m e r i c a l s h o c k i n s t a b i l i t y . H o w e v e r , t h i s a d v a n t a g e a l s o b r i n g s a d i s a d v a n t a g e f o r
t h e F V S s c h e m e i n s o l v i n g t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s b e c a u s e t h e l a r g e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n
c o u l d e a s i l y p o i s o n t h e p h y s i c a l v i s c o u s t e r m .
O n t h e o t h e r h a n d , t h e G o d u n o v m e t h o d b a s e d o n t h e e x a c t R i e m a n n s o l v e r a c c o u n t s f o r
t h e w a v e i n t e r a c t i o n s i n t h e g a s e v o l u t i o n p r o c e s s 3 ] . S i n c e t h e G o d u n o v m e t h o d i s c l o s e l y
f o l l o w i n g t h e E u l e r s o l u t i o n i n t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e , i f t h e r e i s n o p r o j e c t i o n d i s s i p a t i o n
i n t r o d u c e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n s t a g e , i t c a n k e e p a p r e c i s e s h e a r l a y e r i n t h e 2 D c a s e o n c e
2
-
7/27/2019 gas evolution schemes
3/29
t h e s h e a r l a y e r i s a l i g n e d w i t h t h e m e s h . T h e r e f o r e , t h e g a s e v o l u t i o n m o d e l i n t h e G o d u n o v
m e t h o d d o e s n o t i n t r o d u c e a n y n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n . B u t , t h i s a d v a n t a g e i s a s s o c i a t e d w i t h
d i s a d v a n t a g e s i n s o m e c a s e s , s u c h a s i n a b i l i t y t o s t a b i l i z e a 2 D s h o c k f r o n t . P r a c t i c a l l y , a n y
s c h e m e w h i c h c o u l d c a p t u r e a s h o c k t r a n s i t i o n m u s t h a v e i n t r i n s i c d i s s i p a t i o n . F o r t h e G o d u n o v
m e t h o d , t h e d i s s i p a t i o n i s s o l e l y p r o v i d e d f r o m t h e p r o j e c t i o n o r t h e r e c o n s t r u c t i o n s t a g e .
A s a r e s u l t , t h e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n i n t h e G o d u n o v m e t h o d d e p e n d s n o t o n l y o n t h e o w
d i s t r i b u t i o n s , b u t a l s o o n t h e m e s h o r i e n t a t i o n , i . e . i n w h i c h d i r e c t i o n t h e R i e m a n n s o l v e r i s
a p p l i e d . T h e r e f o r e , t h e f o r m o f t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t h e G o d u n o v m e t h o d i s b a s i c a l l y
i n c o n s i s t e n t w i t h t h e N a v i e r - S t o k e s - t y p e v i s c o u s t e r m , a n d t h e G o d u n o v m e t h o d c o u l d p o s s i b l y
g e n e r a t e i n a p p r o p r i a t e s o l u t i o n s .
I n t h i s p a p e r , w e a r e g o i n g t o u s e t h e G o d u n o v a n d F V S s c h e m e s t o s o l v e t h e N a v i e r - S t o k e s
e q u a t i o n s i n b o t h a s h o c k s t r u c t u r e a n d a l a m i n a r b o u n d a r y l a y e r . T h e r e a s o n f o r t h e d i e r e n t
b e h a v i o r o f t h e F V S s c h e m e i n t h e s h o c k a n d b o u n d a r y l a y e r s i s p r e s e n t e d . D u e t o t h e s a m e
f r e e t r a n s p o r t m e c h a n i s m b e t w e e n F V S a n d K i n e t i c F V S ( K F V S ) s c h e m e , t h e i n a p p r o p r i a t e
b e h a v i o r o f t h e N a v i e r - S t o k e s K F V S s c h e m e o f C h o u a n d B a g a n o i s a l s o p o i n t e d o u t 1 ] .
2 N u m e r i c a l O b s e r v a t i o n s
I n t h i s s e c t i o n , w e a r e g o i n g t o t e s t t h e G o d u n o v a n d v a n L e e r F V S s c h e m e s i n a f e w c a s e s .
I n o r d e r t o c l e a r l y d i s t i n g u i s h t h e d y n a m i c s f r o m t h e r e c o n s t r u c t i o n a n d g a s e v o l u t i o n s t a g e s ,
i d e n t i c a l r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d w i l l b e u s e d f o r b o t h s c h e m e s . I n o t h e r w o r d s , a n y d i e r e n c e
i n t h e n u m e r i c a l b e h a v i o r f r o m t h e s e t w o s c h e m e s i s p u r e l y f r o m t h e d i e r e n t u n d e r l y i n g g a s
e v o l u t i o n m o d e l s .
2 . 1 S e c o n d - o r d e r G o d u n o v a n d F V S S c h e m e s
2 . 1 . 1 R e c o n s t r u c t i o n S t a g e
F o l l o w i n g v a n L e e r ' s M u s c l i d e a , t h e n u m e r i c a l s c h e m e i s c o m p o s e d o f a n i n i t i a l r e c o n s t r u c t i o n
s t a g e f o l l o w e d b y a d y n a m i c a l e v o l u t i o n s t a g e . A t t h e b e g i n n i n g o f e a c h t i m e s t e p t = 0 ,
c e l l a v e r a g e d m a s s , m o m e n t u m a n d e n e r g y d e n s i t i e s a r e g i v e n . F o r a h i g h o r d e r s c h e m e ,
i n t e r p o l a t i o n t e c h n i q u e s m u s t b e u s e d t o c a p t u r e t h e s u b c e l l s t r u c t u r e . I n t h e c u r r e n t p a p e r ,
t h e v a n L e e r l i m i t e r w i l l b e u s e d t o i n t e r p o l a t e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s d i r e c t l y .
L e t x
j
= j x ( j = 0 ; 1 ; 2 ; : : : ) b e a u n i f o r m m e s h a n d x t h e m e s h s i z e . L e t x
j +
1
2
=
( j +
1
2
) x b e t h e i n t e r f a c e b e t w e e n c e l l s j a n d j + 1 . T h e c e l l a v e r a g e d c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e
i s d e n o t e d b y W
j
, a n d i t s i n t e r p o l a t e d v a l u e i n c e l l j i s
W
j
( x ) , w i t h t w o p o i n t w i s e v a l u e s
W
j
( x
j 1 = 2
) a n d
W
j
( x
j + 1 = 2
) a t t h e l o c a t i o n s x
j 1 = 2
a n d x
j + 1 = 2
. T o s e c o n d o r d e r a c c u r a c y , t h e
i n t e r p o l a t e d v a l u e i n t h e j - t h c e l l c a n b e w r i t t e n a s
W
j
( x ) = W
j
+ L ( W
j l
; : : : ; W
j + l
) ( x x
j
) f o r x
j 1 = 2
x x
j + 1 = 2
;
w h e r e l i s a n i n t e g e r a n d 2 l + 1 i s t h e e x t e n t o f t h e s t e n c i l . H e r e L i s a n i n t e r p o l a t i n g f u n c t i o n .
F o r e x a m p l e , t h e s e c o n d - o r d e r T V D i n t e r p o l a t i o n h a s l = 1 . T h e l i m i t e r w e w i l l u s e i n t h e
c u r r e n t s t u d y i s t h e v a n L e e r l i m i t e r
L ( s
+
; s
) = S ( s
+
; s
)
j s
+
j j s
j
j s
+
j + j s
j
;
3
-
7/27/2019 gas evolution schemes
4/29
w h e r e S ( u ; v ) = s i g n ( u ) + s i g n ( v ) i s d e n e d i n t e r m s o f s i g n - f u n c t i o n s , a n d s
+
= ( W
j + 1
W
j
) = x a n d s
= ( W
j
W
j 1
) = x a r e t h e c o r r e s p o n d i n g s l o p e s f o r t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s .
2 . 1 . 2 G a s E v o l u t i o n S t a g e
I n o r d e r t o g e t a s e c o n d o r d e r a c c u r a c y i n t i m e , w e a d a p t t h e M u s c l - H a n c o c k a p p r o a c h 1 2 ] .
B a s e d o n t h e i n t e r p o l a t e d d a t a
W
j
( x ) i n s i d e c e l l j , t h e v a l u e s o f
W a t t w o e n d p o i n t s i n s i d e c e l l
j a r e d e n o t e d a s W
L
j
=
W
j
( x
j 1 = 2
) a n d W
R
j
=
W
j
( x
j + 1 = 2
) . T h e n , t h e i n t e r p o l a t e d b o u n d a r y
v a l u e s W
L
j
a n d W
R
j
a r e e v o l v e d b y a h a l f t i m e s t e p
1
2
t a c c o r d i n g t o
W
L
j
= W
L
j
+
1
2
t
x
F ( W
L
j
) F ( W
R
j
) ]
a n d
W
R
j
= W
R
j
+
1
2
t
x
F ( W
L
j
) F ( W
R
j
) ] :
B a s e d o n t h e n e w s t a t e s
W
L
=
W
R
j
a n d W
R
=
W
L
j + 1
t h e e x a c t R i e m a n n p r o b l e m i s s o l v e d i n t h e G o d u n o v m e t h o d , f r o m w h i c h t h e n u m e r i c a l u x e s
c a n b e o b t a i n e d
F
I
j + 1 = 2
= F ( W
j + 1 = 2
( 0 ) ) :
H e r e W
j + 1 = 2
( 0 ) d e n o t e s t h e v a l u e o f W
j + 1 = 2
( x = t ) a t x = t = 0 , a n d I m e a n s t h e i n v i s c i d u x .
F o r t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w e u s e a s e c o n d - o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e t o e v a l u a t e
t h e v i s c o u s u x a c r o s s a c e l l i n t e r f a c e F
V
j + 1 = 2
. T h e u p d a t e o f t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s i n s i d e
e a c h c e l l b e c o m e s
W
n + 1
j
= W
n
j
+
t
x
( F
I
j 1 = 2
+ F
V
j 1 = 2
F
I
j + 1 = 2
F
V
j + 1 = 2
) :
F o r t h e v a n L e e r F V S s c h e m e , t h e o n l y d i e r e n c e f r o m t h e a b o v e G o d u n o v m e t h o d i s t h e
u x e v a l u a t i o n , w h e r e t h e u x v e c t o r s p l i t t i n g f o r m u l a t i o n i s u s e d 1 4 ] .
2 . 2 N u m e r i c a l R e s u l t s
I n t h i s s u b s e c t i o n , w e a r e g o i n g t o c o m p a r e t h e r e s u l t s f r o m t h e s e c o n d - o r d e r G o d u n o v a n d
v a n L e e r F V S s c h e m e i n t h r e e t e s t c a s e s . A l s o , C h o u a n d B a g a n o ' s N S K F V S s c h e m e w i l l b e
t e s t e d i n t h e l a m i n a r b o u n d a r y l a y e r c a s e .
2 . 2 . 1 N a v i e r - S t o k e s S h o c k S t r u c t u r e
T h e r s t t e s t c a s e i s t h e s t a n d a r d S o d t e s t c a s e 1 0 ] . H o w e v e r , i n s t e a d o f s o l v i n g t h e i n v i s c i d
E u l e r e q u a t i o n s , w e a r e g o i n g t o s o l v e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w i t h u n i t P r a n d t l n u m b e r
d i r e c t l y , w h e r e t h e k i n e m a t i c v i s c o u s c o e c i e n t u s e d i n t h i s c a s e i s s e t t o b e a c o n s t a n t ,
i . e . = 0 : 0 0 0 1 . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n c o v e r s x 2 0 ; 1 ] , a n d t h e t o t a l n u m b e r o f m e s h
p o i n t s u s e d h e r e a r e N = 5 0 ; 2 0 0 ; 4 0 0 ; : : : ; 1 0 0 0 0 0 . T h e c o r r e s p o n d i n g c e l l s i z e b e c o m e s x =
1 = N . I n i t i a l l y , w i t h t h e c o a r s e m e s h , t h e p h y s i c a l v i s c o u s e e c t i s m u c h l e s s t h a n t h e i n t r i n s i c
n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n f r o m t h e r e c o n s t r u c t i o n s t a g e 1 8 ] , a n d t h e a r t i c i a l s h o c k f r o n t i s a l w a y s
c o m p o s e d o f o n e o r t w o g r i d p o i n t s . F i g . ( 1 ) a n d ( 3 ) p r e s e n t t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n s u s i n g
4
-
7/27/2019 gas evolution schemes
5/29
1 0 0 ; 2 0 0 ; 4 0 0 ; a n d 8 0 0 g r i d p o i n t s f r o m t h e s e t w o s c h e m e s . T h e x e d n u m b e r o f g r i d p o i n t s i n t h e
n u m e r i c a l s h o c k r e g i o n m e a n s t h a t t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t r o d u c e d i n t h e r e c o n s t r u c t i o n
s t a g e i s a l w a y s p r o p o r t i o n a l t o t h e c e l l s i z e o n c e t h e s h o c k l a y e r o f t h e v i s c o u s e q u a t i o n s
c a n n o t b e p r o p e r l y r e s o l v e d b y t h e c e l l s i z e . F r o m t h e a b o v e F i g u r e s , w e c a n c l e a r l y o b s e r v e
t h e e q u i v a l e n c e b e t w e e n t h e s e t w o s c h e m e s i n t h e c a p t u r i n g o f t h e n u m e r i c a l s h o c k . W i t h a
m e s h r e n e m e n t , t h e r e c o n s t r u c t i o n d i s s i p a t i o n d e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s i n g o f r e s o l u t i o n i n
t h e r e c o n s t r u c t e d d a t a . A s a r e s u l t , t h e p h y s i c a l v i s c o u s t e r m b e c o m e s i m p o r t a n t . A s s h o w n
i n F i g . ( 2 ) a n d ( 4 ) , t h e s h o c k s t r u c t u r e e m e r g e s f r o m t h e s e t w o s c h e m e s a s m e s h s i z e g o e s d o w n
t o 1 = 3 2 0 0 o r e v e n s m a l l e r . I n t h e s e F i g u r e s , t h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n
o f t h e s h o c k s t r u c t u r e . W i t h t h e m e s h s i z e x = 1 = 6 4 0 0 , t h e e n t r o p y d e n s i t y i n s i d e t h e s h o c k
l a y e r i s a l s o c a p t u r e d a c c u r a t e l y , a s s h o w n i n F i g . ( 5 ) . A g a i n , t h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t s o l u t i o n .
F i g . ( 5 ) s h o w s t h a t t h e e n t r o p y d i s t r i b u t i o n i s n o t a m o n o t o n i c f u n c t i o n a c r o s s t h e s h o c k l a y e r .
T h e s e p h e n o m e n a a l s o h a p p e n i n i n v i s c i d E u l e r c a l c u l a t i o n s w h e n a n u m e r i c a l s h o c k i s a c r o s s
a f e w g r i d p o i n t s 9 ] . S o , t h e e n t r o p y e q u a t i o n h a s t o b e u s e d c a r e f u l l y i n t h e d e s i g n o f a
m o n o t o n i c n u m e r i c a l s c h e m e .
F o r t h e s h o c k s t r u c t u r e c a l c u l a t i o n , b o t h t h e G o d u n o v a n d t h e F V S s c h e m e c a n p r e s e n t
a c c u r a t e s o l u t i o n s . I n o t h e r w o r d s , i t i s h a r d t o d i s t i n g u i s h t h e d i e r e n t g a s e v o l u t i o n m e c h -
a n i s m i n t h e s e t w o s c h e m e s . I t i s p a r t i a l l y d u e t o t h e s e l f s t e e p e n i n g m e c h a n i s m o f t h e s h o c k
w a v e . A d e t a i l a n a l y s i s w i l l b e p r e s e n t e d i n s e c t i o n 3 . S i n c e t h e K F V S a n d F V S h a v e t h e s a m e
p h y s i c a l b a s i s , i t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e N a v i e r - S t o k e s K F V S s c h e m e o f C h o u a n d B a g a n o
c a n a l s o g i v e a n a c c u r a t e s h o c k s t r u c t u r e c a l c u l a t i o n 1 ] . H o w e v e r , t h i s t e s t c a s e a l o n e c a n n o t
g u a r a n t e e t h a t F V S s c h e m e i s a p p r o p r i a t e f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n s .
A l s o , i t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t t h e i m p l e m e n t a t i o n o f H a n c o c k m e t h o d t o g e t s e c o n d o r d e r
t e m p o r a l a c c u r a c y i s v e r y i m p o r t a n t i n t h e c a p t u r i n g o f m o v i n g s h o c k s t r u c t u r e i n b o t h G o -
d u n o v a n d F V S s c h e m e s ; o t h e r w i s e t h e s h o c k s t r u c t u r e a p p e a r s s t e e p e r f r o m a r s t o r d e r t i m e
a c c u r a t e s c h e m e . I n o t h e r w o r d s , t h e r s t o r d e r t i m e a c c u r a c y i n t r o d u c e s n e g a t i v e d i s s i p a t i o n
i n t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e .
2 . 2 . 2 2 D L a m i n a r B o u n d a r y L a y e r
I n t h e f o l l o w i n g , w e a r e g o i n g t o t e s t t h e s e t w o s c h e m e s i n a l a m i n a r b o u n d a r y l a y e r . M a n y
s h o c k c a p t u r i n g s c h e m e s h a v e c l a i m e d t o g i v e a c c u r a t e N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n s , a l t h o u g h s o m e
o f t h e m a r e d y n a m i c a l l y s i m i l a r t o t h e F V S s c h e m e . I t i s p r o b a b l y f a v o r a b l e t o g e t a s t a n d a r d
a n d r e a s o n a b l e t e s t c a s e i n o r d e r t o c o m p a r e d i e r e n t s c h e m e s . I n t h e f o l l o w i n g , w e d e s i g n
s u c h a t e s t c a s e f o r t h i s p u r p o s e 1 6 ] .
T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n u s e d i n t h i s c a s e i s x ] y ] = 1 ; 3 2 0 ] 1 ; 1 2 0 ] a n d t h e n u m e r i c a l
m e s h i s o r t h o g o n a l w i t h 3 2 0 1 2 0 g r i d p o i n t s i n t h e x y p l a n e . T h e c e l l s i z e s a r e x = 1 : 0
a n d y = 1 : 0 . T h e a t p l a t e i s p l a c e d a t t h e l o w e r b o u n d a r y r a n g i n g f r o m x = 8 0 t o x = 3 2 0
w i t h t o t a l l e n g t h L = 2 4 0 . T h e i n o w c o n d i t i o n a t x = 1 i s
( ; U ; V ; p ) j
x = 1 ; y ; t
= ( 1 ; 3 ; 0 ;
9
M
2
) ;
w h e r e M i s t h e x e d M a c h n u m b e r w i t h t h e v a l u e M = 0 : 3 a n d = 1 : 4 . I n t h i s t e s t c a s e , t h e
5
-
7/27/2019 gas evolution schemes
6/29
R e y n o l d s n u m b e r i s d e n e d a s
R e =
U L
p h y
;
a n d t h e v a l u e o f
p h y
i s e q u a l t o 0 : 0 2 4 w h i c h g i v e s R e = 3 0 ; 0 0 0 . N o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n
i s i m p o s e d o n t h e a t p l a t e b y c r e a t i n g t w o \ g h o s t c e l l s " i n s i d e b o u n d a r y w h i c h r e v e r s e t h e
v e l o c i t i e s o f t h e t w o c e l l s a b o v e t h e a t p l a t e . T h e E u l e r b o u n d a r y c o n d i t i o n w i t h x - d i r e c t i o n
v e l o c i t y s l i p i s u s e d f o r t h e o t h e r p a r t o f t h e l o w e r b o u n d a r y . A p p r o p r i a t e n o n r e e c t i n g b o u n d -
a r y c o n d i t i o n b a s e d o n t h e o n e - d i m e n s i o n a l R i e m a n n i n v a r i a n t s i s u s e d a t t h e l e f t a n d u p p e r
b o u n d a r i e s . F o r e x a m p l e , i n t h e l e f t b o u n d a r y , R i e m a n n i n v a r i a n t s a r e
R
1
= U
1
+
2 C
1
1
c o n s t r u c t e d f r o m t h e s t a t e a t 1 , a n d
R
2
= U
1
2 C
1
1
o b t a i n e d f r o m t h e s t a t e a t t h e r s t c e l l i n s i d e t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n , w h e r e U i s t h e u i d
v e l o c i t y a n d C i s t h e s o u n d s p e e d . F r o m t h e a b o v e t w o r e l a t i o n s , w e c a n d e t e r m i n e t h e v e l o c i t y
U
0
a n d t h e s o u n d s p e e d C
0
i n t h e r s t c e l l o u t s i d e t h e l e f t b o u n d a r y . A l s o , w i t h t h e h e l p o f
e n t r o p y i n v a r i a n t c o n d i t i o n ,
p
1
1
=
p
0
0
;
w e c a n d e t e r m i n e o t h e r c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a t t h e c e l l 0 . T h e n , t h e o w v a r i a b l e s i n t h e c e l l
1 a r e s e t t o b e e q u a l t o t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s a t t h e c e l l 0 . S i m p l e e x t r a p o l a t i o n o f t h e
c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e u s e d a t t h e r i g h t b o u n d a r y .
T h e o u t p u t v e l o c i t i e s a r e d e n e d a s
u =
U
U
1
; v =
V
U
1
s
U
1
( x x
s
)
p h y
;
w h e r e x
s
= 7 9 : 5 i s t h e l o c a t i o n o f t h e l e a d i n g e d g e o f t h e a t p l a t e . T h e n u m e r i c a l r e s u l t s a r e
p l o t t e d a t t h e l o c a t i o n s x = 1 5 0 ; 2 0 0 ; a n d 2 5 0 , a n d t h e d i s t a n c e y i n t h e y - d i r e c t i o n a b o v e t h e
a t p l a t e i s n o r m a l i z e d b y
= y
s
U
1
p h y
( x x
s
)
:
F i g . ( 6 ) a n d ( 7 ) s h o w t h e u a n d v v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s c a l c u l a t e d b y t h e G o d u n o v a n d v a n
L e e r F V S s c h e m e s . T h e s o l i d l i n e s a r e t h e e x a c t B l a s i u s s o l u t i o n . A s s h o w n i n t h e s e g u r e s ,
t h e G o d u n o v m e t h o d c a n g i v e a c c u r a t e l a m i n a r b o u n d a r y s o l u t i o n , w h i l e t h e F V S s c h e m e c a n
h a r d l y c a p t u r e t h e s h e a r l a y e r c o r r e c t l y . I n t h e v v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n , t h e G o d u n o v s c h e m e
g i v e s a v e l o c i t y j u m p i n t h e r s t c e l l a b o v e t h e a t p l a t e . T h e r e a s o n f o r t h i s i s s t i l l u n d e r
i n v e s t i g a t i o n .
B o t h u a n d v v e l o c i t i e s a r e m u c h s m e a r e d i n t h e v a n L e e r F V S s c h e m e . S i n c e w e h a v e u s e d
t h e s a m e r e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e f o r t h e p r e p a r a t i o n o f t h e i n i t i a l d a t a , t h e d i e r e n t b e h a v i o r s
b e t w e e n t h e G o d u n o v a n d F V S m e t h o d s m u s t c o m e f r o m t h e g a s e v o l u t i o n m o d e l , i . e . t h e
d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m u n d e r l y i n g t h e u x e v a l u a t i o n . A d e t a i l a n a l y s i s w i l l b e p r e s e n t e d i n
s e c t i o n 3 .
6
-
7/27/2019 gas evolution schemes
7/29
R e c e n t l y , C h o u a n d B a g a n o p r o p o s e d a N a v i e r - S t o k e s K F V S S c h e m e 1 ] . I n t h e i r c a s e ,
t h e y t e s t e d t h e s h o c k l a y e r a n d s h o w e d t h a t t h e i r N S K F V S s c h e m e g i v e s a n a c c u r a t e s o l u t i o n .
H o w e v e r , a p p l y i n g t h e C h o u - B a g a n o s c h e m e t o t h e b o u n d a r y l a y e r p r o b l e m , w e n d t h a t
t h e i r s c h e m e b e h a v e s b a s i c a l l y i n t h e s a m e w a y a s t h e v a n L e e r F V S s c h e m e . T h e u a n d v
v e l o c i t i e s a r e s h o w n i n F i g . ( 8 ) .
2 . 2 . 3 O d d - e v e n D e c o u p l i n g C a s e
Q u i r k 7 ] c a t a l o g u e d a f e w c a s e s , w h i c h c o u l d t r i g g e r t h e f a i l u r e o f u p w i n d i n g s c h e m e s , e s p e c i a l l y
t h e R o e ' s m e t h o d 8 ] . S o m e o f t h e f a i l u r e s a r e d u e t o t h e l i n e a r i z a t i o n o f t h e E u l e r e q u a t i o n s ,
s u c h a s n e g a t i v e d e n s i t y a n d e x p a n s i o n s h o c k s , a n d o t h e r s a r e d u e t o i n t r i n s i c p r o p e r t i e s o f
t h e G o d u n o v m e t h o d . I n t h e f o l l o w i n g w e t e s t b o t h t h e 2 n d - o r d e r G o d u n o v a n d F V S s c h e m e s
i n t h e o d d - e v e n d e c o u p l i n g c a s e 7 ] . T h i s t e s t i s a b o u t a n o r m a l s h o c k p r o p a g a t i n g i n t h e 2 D
s h o c k t u b e , w h e r e t h e l o c a t i o n o f c e n t r a l l i n e i s p e r t u r b e d o d d - e v e n l y w i t h a m a g n i t u d e o f
1 0
6
. A s s h o w n i n 7 ] , a n y s m a l l u c t u a t i o n g e t s a m p l i e d q u i c k l y i n t h e R o e s c h e m e , a n d
t h e i n i t i a l s h o c k f r o n t i s t o t a l l y d e s t r o y e d a f t e r t h e s h o c k p a s s e s t h r o u g h s o m e d i s t a n c e i n t h e
s h o c k t u b e . S i m i l a r p h e n o m e n a h a p p e n s t o t h e O s h e r ' s s c h e m e .
F i g . ( 9 a ) s h o w s t h e r e s u l t f r o m t h e 2 n d - o r d e r G o d u n o v m e t h o d b y s o l v i n g t h e i n v i s c i d E u l e r
e q u a t i o n s , a n d F i g . ( 9 b - d ) a r e t h e r e s u l t s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . F i g . ( 9 e ) p r e s e n t s t h e
r e s u l t f r o m t h e F V S s c h e m e w i t h
p h y
= 0 : 0 . F r o m t h e s e g u r e s , w e c a n c l e a r l y o b s e r v e t h a t
t h e G o d u n o v m e t h o d w i l l a m p l i f y t h e i n i t i a l s m a l l p e r t u r b a t i o n s a n d g e n e r a t e i n s t a b i l i t y a f t e r
t h e s h o c k . H o w e v e r , t h e i n s t a b i l i t y c a n b e e e c t i v e l y r e m o v e d b y s o l v i n g t h e v i s c o u s e q u a t i o n s .
F o r t h e F V S s c h e m e , t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n t h e w h o l e d o m i a n i s e x t r e m e l y s m o o t h a n d
t h e p e r t u r b a t i o n i s e e c t i v e l y s u p p r e s s e d . T h i s t e s t c a s e c l e a r l y s h o w s t h e r o b u s t n e s s o f t h e
F V S s c h e m e .
W i t h t h e h e l p o f a b o v e t h r e e t e s t c a s e s i n t h i s s e c t i o n , w e a r e g o i n g t o a n a l y z e t h e d i s s i p a t i v e
m e c h a n i s m i n b o t h F V S a n d t h e G o d u n o v m e t h o d s i n t h e n e x t f e w s e c t i o n s .
3 D i s s i p a t i v e M e c h a n i s m i n F V S S c h e m e
3 . 1 N u m e r i c a l D i s s i p a t i o n
S i m i l a r t o t h e K F V S s c h e m e 1 6 ] , a l l F V S s c h e m e s h a v e p a r t i c l e s o r w a v e s f r e e t r a n s p o r t
m e c h a n i s m . A s a r e s u l t , t h e F V S s c h e m e m a k e s t h e p a r t i c l e m e a n f r e e p a t h
l b e e q u a l t o
t h e c e l l s i z e x . S i n c e t h e v i s c o s i t y c o e c i e n t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e m e a n f r e e p a t h , i . e .
c
l , w h e r e c i s t h e l o c a l s o u n d s p e e d , t h e a r t i c i a l v i s c o s i t y i n t h e F V S s c h e m e m u s t b e
p r o p o r t i o n a l t o t h e c e l l s i z e x , i . e .
n u m
= y i n t h e b o u n d a r y l a y e r c a s e . I n t h e A p p e n d i x ,
t h e d e t a i l d e r i v a t i o n o f t h e v i s c o s i t y c o e c i e n t o f t h e F V S s c h e m e i s p r e s e n t e d .
I n o r d e r t o v e r i f y t h e a b o v e a n a l y s i s , w e h a v e d o n e a m e s h r e n e m e n t s t u d y i n t h e b o u n d a r y
l a y e r c a s e f o r t h e F V S s c h e m e . T h e a r t i c i a l v i s c o s i t y c o e c i e n t
n u m
i s o b t a i n e d b y t t i n g
t h e B l a s i u s s o l u t i o n w i t h t h e n u m e r i c a l u - v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a t t h e l o c a t i o n o f x = 2 0 0 .
T a b l e 1 . T h e V i s c o s i t y v s . C e l l S i z e , w h e r e
p h y
= 0 : 0 2 4
7
-
7/27/2019 gas evolution schemes
8/29
y 1 2 = 3 1 = 2 1 = 3 1 = 4
q
t o t a l
=
p h y
2 : 1 1 : 6 5 1 : 4 1 : 2 1 : 1 2
q
n u m
=
p h y s
1 : 9 1 : 4 5 1 : 1 7 0 : 8 6
I n T a b l e 1 , w e l i s t t h e e x p e r i m e n t a l d a t a c o n t a i n i n g c e l l s i z e y a n d t h e v i s c o u s i t y c o e -
c i e n t . H e r e
t o t a l
i s o b t a i n e d f r o m t h e t o t a l v i s c o u s e e c t w h e n t h e F V S s c h e m e i s u s e d t o s o l v e
t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w i t h
p h y
= 0 : 0 2 4 . F i g . ( 1 0 ) s h o w s t h e t t i n g p r o c e s s t o g e t t h e
a b o v e v i s c o s i t y c o e c i e n t s . I f w e r e m o v e t h e p h y s i c a l v i s c o u s t e r m
p h y
a n d s o l v e t h e \ E u l e r
e q u a t i o n s " d i r e c t l y u s i n g t h e F V S s c h e m e i n t h e b o u n d a r y l a y e r , w e c a n a l s o t t h e b o u n d a r y
l a y e r s o l u t i o n t o g e t t h e p u r e l y n u m e r i c a l v i s c o u s c o e c i e n t
n u m
. F i g . ( 1 1 ) s h o w s t h i s t t i n g
p r o c e s s , f r o m w h i c h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n
q
n u m
=
p h y
a n d y c a n b e o b t a i n e d . A s s h o w n
i n F i g . ( 1 1 ) , a t y = 1 / 3 , t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y b e c o m e s s m a l l e r t h a n
p h y
a n d t h e b o u n d a r y
l a y e r t h i c k n e s s i s t h i n n e r . I n F i g . ( 1 2 ) , w e p l o t t h e d a t a i n T a b l e 1 a n d c l e a r l y o b s e r v e t h e
l i n e a r d e p e n d e n c e b e t w e e n c e l l s i z e y a n d n u m e r i c a l v i s c o u s c o e c i e n t
n u m
. S o , w e h a v e t h e
r e l a t i o n
n u m
y b a s e d o n t h e n u m e r i c a l r e s u l t s f r o m t h e F V S s c h e m e a n d t h i s p r o p e r t y i s
i n d e p e n d e n t o f t h e s p a t i a l o r d e r i n t h e r e c o n s t r u c t i o n s t a g e . F r o m t h e n u m e r i c a l d a t a i n T a b l e
1 , w e c a n g e t 0 : 1 1 . T h i s n u m b e r i s o n t h e s a m e o r d e r a s t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s i n t h e
A p p e n d i x .
F r o m t h e a b o v e a n a l y s i s , w e c a n u n d e r s t a n d t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f a s e c o n d - o r d e r F V S
s c h e m e f o r t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i s i m p o s s i b l e . T h e f r e e t r a n s p o r t m e c h a n i s m u n d e r l y i n g
a l l F V S s c h e m e s g e n e r a t e r s t - o r d e r d i s s i p a t i o n . T h i s i s t h e b a s i c r e a s o n f o r t h e r o b u s t n e s s
o f t h e F V S s c h e m e , s u c h a s t h e a v o i d i n g t h e c a r b u n c l e p h e n o m e n a a n d o d d - e v e n d e c o u p l i n g ,
s e e F i g . ( 9 e ) . F u r t h e r m o r e , a s a n a l y z e d i n 1 6 ] , t h e p a r a m e t e r i n
n u m
= x s h o u l d b e
p r o p o r t i o n a l t o t h e p r e s s u r e . S i n c e t h e p r e s s u r e d e c r e a s e s f r o m t h e l e a d i n g p a r t t o t h e r e a r p a r t
o f t h e a t p l a t e , t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y i s n o t c o n s t a n t , a n d d e c r e a s e s a l o n g t h e d i r e c t i o n
f r o m 1 5 0 t o 2 5 0 . T h i s o b s e r v a t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e n u m e r i c a l r e s u l t s i n F i g . ( 7 ) . A t
d i e r e n t l o c a t i o n s , t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s c a n n o t c o l l a p s e t o t h e s a m e c u r v e , a n d
n u m
i s
d e c r e a s i n g f r o m t h e l o c a t i o n s x = 1 5 0 t o 2 5 0 .
F o r t h e N a v e r - S t o k e s s o l u t i o n s , a d a p t i v e m e s h i s u s u a l l y u s e d i n t h e b o u n d a r y l a y e r , w h e r e
t h e m e s h s i z e i s v e r y s m a l l c l o s e t o t h e b o u n d a r y a n d b e c o m e l a r g e a w a y f r o m t h e b o u n d a r y . I f
t h e F V S s c h e m e i s u s e d h e r e , d u e t o t h e d i e r e n c e i n t h e m e s h s i z e , t h e d i s s i p a t i o n c o e c i e n t
n u m
w i l l b e d i e r e n t a t d i e r e n t l o c a t i o n s i n t h e y - d i r e c t i o n . A s a r e s u l t , t h e s i m i l a r i t y
s o l u t i o n w i l l b e l o s t , s u c h a s F i g . 1 0 ( a ) i n 2 ] , w h e r e i t i s i m p o s s i b l e t o t t h e r o u n d e d c o r n e r
b y m o d i f y i n g t h e v i s c o s i t y c o e c i e n t i n t h e B l a s i u s s o l u t i o n . I n o u r c a s e , s i n c e w e a r e u s i n g
a u n i f o r m m e s h , t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y c o e c i e n t i s b a s i c a l l y a c o n s t a n t i n e a c h x l o c a t i o n .
T h e r e f o r e , t h e s i m i l a r i t y s o l u t i o n f r o m F V S s c h e m e c a n b e b a s i c a l l y k e p t .
T h e p h y s i c a l a n a l y s i s b a s e d o n K F V S s c h e m e i n 1 7 ] a n d t h e a b o v e n u m e r i c a l o b s e r v a t i o n
a b o u t F V S s c h e m e a r e c o n s i s t e n t . A f t e r u n d e r s t a n d i n g t h e d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m i n t h e F V S
s c h e m e s , w e c a n c o n c l u d e t h a t i t i s d i c u l t t o g e t a n a c c u r a t e N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n u s i n g
F V S s c h e m e i f t h e m e s h s i z e i s n o t s m a l l e n o u g h . T h e i n t r i n s i c w e a k n e s s o f t h e F V S m e t h o d
s h o u l d a p p e a r i n a l l s c h e m e s , w h e r e t h e m e t h o d o l o g y F = F
+
+ F
i s u s e d t o c o n s t r u c t u x e s .
8
-
7/27/2019 gas evolution schemes
9/29
3 . 2 D i e r e n t B e h a v i o r o f F V S S c h e m e a t S h o c k a n d B o u n d a r y L a y e r s
T h e F V S s c h e m e b e h a v e s d i e r e n t l y i n t h e s h o c k a n d b o u n d a r y l a y e r c a l c u l a t i o n s . T h e b a s i c
r e a s o n i s t h e f o l l o w i n g .
S u p p o s e w e n e e d N 1 0 c e l l s t o r e s o l v e t h e p h y s i c a l s h o c k f r o n t a n d b o u n d a r y l a y e r . T h e n ,
t h e s h o c k t h i c k n e s s l
s
c a n b e e x p r e s s e d a s
l
s
s
p h y
U
N x ;
w h e r e s m e a n s s h o c k c a s e , a n d t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s l
b
i s
l
b
s
b
p h y
L
U
N x ;
w h e r e b m e a n s b o u n d a r y . I n b o t h c a s e s , p h y r e f e r s t o t h e p h y s i c a l v i s c o s i t y . I n t h e b o u n d a r y
l a y e r c a s e , U i s t h e v e l o c i t y j u m p f r o m t h e a t p l a t e U = 0 t o t h e v e l o c i t y U
1
a t f a r u p s t r e a m ,
a n d L i s t h e l e n g t h o f t h e a t p l a t e . N o t e t h a t t h e v e l o c i t y j u m p i n b o t h s h o c k a n d b o u n d a r y
c a s e s c a n b e c o n s i d e r e d o n t h e s a m e o r d e r a s t h e t e s t c a s e s p r e s e n t e d i n t h e l a s t s e c t i o n . F r o m
t h e a b o v e e q u a t i o n s , t h e p h y s i c a l v i s c o s i t y i n t h e s h o c k a n d b o u n d a r y l a y e r b e c o m e
s
p h y
N x U ;
b
p h y
( N x )
2
U
L
:
S u p p o s e t h a t w e u s e t h e F V S s c h e m e t o s i m u l a t e s h o c k a n d b o u n d a r y l a y e r s . B e c a u s e t h e
n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n c o e c i e n t i n t h e F V S s c h e m e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c e l l s i z e , i . e .
n u m
x , t h e r a t i o b e t w e e n t h e n u m e r i c a l a n d p h y s i c a l v i s c o s i t y c o e c i e n t s a r e
n u m
p h y
j
s h o c k
N U
( 3 . 1 )
i n t h e s h o c k r e g i o n , a n d
n u m
p h y
j
b o u n d a r y
L
N
2
x U
;
i n t h e b o u n d a r y l a y e r c a s e . S i n c e L N
2
x i n o u r b o u n d a r y l a y e r t e s t c a s e , t h e a b o v e r e l a t i o n
g o e s t o
n u m
p h y
j
b o u n d a r y
U
:( 3 . 2 )
C o m p a r i n g E q . ( 3 . 1 ) a n d ( 3 . 2 ) , f r o m t h e s a m e a m o u n t o f n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n , t h e a r t i c i a l
v i s c o s i t y p l a y s a m u c h m o r e i m p o r t a n t r o l e i n t h e b o u n d a r y l a y e r t h a n t h a t i n t h e s h o c k l a y e r
o n c e b o t h l a y e r s a r e r e s o l v e d b y c e r t a i n n u m b e r o f p o i n t s , s u c h a s N 1 0 .
4 D i s s i p a t i v e M e c h a n i s m i n t h e G o d u n o v G a s E v o l u t i o n M o d e l
T h e G o d u n o v m e t h o d i s b a s e d o n t h e e x a c t E u l e r s o l u t i o n , t h e s o - c a l l e d R i e m a n n p r o b l e m i n
t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e . T h e r e f o r e , t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n p r o v i d e d i n t h e G o d u n o v m e t h o d
m u s t c o m e f r o m t h e p r o j e c t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n s t a g e . T h e l a c k o f n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n
i n t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e h a s a d v a n t a g e a n d d i s a d v a n t a g e . I n t h i s s e c t i o n , w e a r e g o i n g t o
a n a l y z e t h e G o d u n o v g a s e v o l u t i o n m o d e l a n d p r e s e n t a n e x p l a n a t i o n f o r t h e s h o c k i n s t a b i l i t y .
9
-
7/27/2019 gas evolution schemes
10/29
4 . 1 E x a c t R i e m a n n S o l v e r
T h e R i e m a n n p r o b l e m i s d e n e d a s a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s . I n t h e
1 - D c a s e , w i t h t h e f o l l o w i n g i n i t i a l c o n d i t i o n a t t = 0 ,
( ; U ; p ) =
(
(
L
; U
L
; p
L
) ; x 0 ;
(
R
; U
R
; p
R
) ; x > 0 ;
( 4 . 3 )
t h e e n t r o p y - s a t i s f y i n g s o l u t i o n s a r e t h e f o l l o w i n g : t h e l e f t s t a t e (
L
; U
L
; p
L
) i s c o n n e c t e d t o
t h e r i g h t s t a t e (
R
; U
R
; p
R
) b y a 1 - s h o c k o r 1 - r a r e f a c t i o n w a v e , a 2 - c o n t a c t d i s c o n t i n u i t y , a n d
a 3 - s h o c k o r a 3 - r a r e f a c t i o n w a v e . T h e 2 - c o n t a c t d i s c o n t i n u i t y s e p a r a t e s t w o c o n s t a n t s t a t e s
(
I
; U
; p
) a n d (
I I
; U
; p
) , s o t h a t ( U ; p ) a r e c o n t i n u o u s a c r o s s t h e c o n t a c t d i s c o n t i n u i t y . F o r
e x a m p l e , i n F i g . ( 1 3 ) , t h e 1 - w a v e i s a r a r e f a c t i o n a n d t h e 3 - w a v e a s h o c k . T h e r e i s s t a n d a r d
t e c h n i q u e t o o b t a i n t h e s o l u t i o n s a r o u n d a c o n t a c t d i s c o n t i n u i t y 1 2 ] . B a s i c a l l y , t h e G o d u n o v
m e t h o d i s c l o s e l y f o l l o w i n g t h e s o l u t i o n o f t h e i n v i s c i d E u l e r e q u a t i o n s .
O n c e t h e s o l u t i o n o f t h e R i e m a n n p r o b l e m i s o b t a i n e d , t h e o w v a r i a b l e s a t x = 0 , i . e .
(
I
; U
; p
) i n F i g . ( 1 3 ) , a r e u s e d t o c o n s t r u c t u x e s . T h e G o d u n o v m e t h o d u s e s t h e s e u x e s
a c r o s s e a c h c e l l i n t e r f a c e t o u p d a t e t h e o w v a r i a b l e s . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e g a s e v o l u t i o n
m o d e l i n t h e G o d u n o v m e t h o d , w e h a v e t o u n d e r s t a n d t h e u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n i n t h e p r o c e s s
o f e v a l u a t i n g t h e u x e s . F o r t h e E u l e r e q u a t i o n s , t h e c o r r e s p o n d i n g u x e s a r e o b v i o u s l y
0
B
@
F
F
U
F
1
C
A
=
0
B
@
U
U
2
+ p
1
2
U
3
+
1
p U
1
C
A
:( 4 . 4 )
F o r e x a m p l e , i n F i g . ( 1 3 ) , t h e u x e s a t x = 0 c a n b e w r i t t e n a s (
I
U
;
I
U
2
+ p
;
1
2
I
U
3
+
1
p
U
)
T
. F r o m t h e o w v a r i a b l e s ( ; U ; p ) t o t h e a b o v e u x f u n c t i o n s ( F
; F
U
; F
) , i t i s
i m p l i c i t l y a s s u m e d t h a t t h e g a s i s s t a y i n g i n a n e q u i l i b r i u m s t a t e . I n o t h e r w o r d s , w h a t e v e r
t h e r e a l o w s i t u a t i o n s i s , t h e s t a t e (
I
; U
; p
) a t t h e c e l l i n t e r f a c e a l w a y s c o r r e s p o n d s t o t h e
e q u i l i b r i u m s t a t e i n t h e G o d u n o v m e t h o d , e v e n f o r t h e u i d i n s i d e a n u m e r i c a l s h o c k l a y e r , s e e
F i g . ( 1 4 ) .
A s w e k n o w , t h e i n t e r m e d i a t e p o i n t s i n t h e n u m e r i c a l s h o c k r e g i o n h a v e t o b e r e g a r d e d
a s p o i n t s i n s i d e a s h o c k s t r u c t u r e , w h e r e o w p a r t i c l e s s t a y i n a n o n e q u i l i b r i u m s t a t e a n d a
d i s s i p a t i v e m e c h a n i s m i s c r u c i a l l y i m p o r t a n t t o t r a n s l a t e k i n e t i c e n e r g y i n t o t h e r m a l e n e r g y
a n d m a k e t h e s h o c k t r a n s i t i o n s m o o t h . B u t , t h e g a s e v o l u t i o n m o d e l o f t h e G o d u n o v m e t h o d
i n a p p r o p r i a t e l y a s s i g n s t h e e q u i l i b r i u m s t a t e t h e r e a t t h e c e l l i n t e r f a c e . I g n o r i n g d i s s i p a t i o n
i n t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e i n t h e d i s c o n t i n u o u s r e g i o n i s o n e o f t h e a w s o f t h e G o d u n o v
m e t h o d . F o r t u n a t e l y , a s a n a l y z e d i n 1 8 ] , t h e p r o j e c t i o n s t a g e c a n p r o v i d e a c e r t a i n a m o u n t
o f d i s s i p a t i o n i n t h e s h o c k r e g i o n t o c a p t u r e n u m e r i c a l d i s c o n t i n u i t i e s . H o w e v e r , i n t h e s l o w l y
m o v i n g s h o c k c a s e , t h e p r o j e c t i o n d i s s i p a t i o n a l o n e i s n o t e n o u g h t o c o n s t r u c t a s m o o t h s h o c k
t r a n s i t i o n , a n d o s c i l l a t i o n s a l w a y s a p p e a r a f t e r t h e s h o c k . I f t h e v i s c o u s g o v e r n i n g e q u a t i o n s
a r e s o l v e d , k e e p i n g a c e r t a i n a m o u n t o f d i s s i p a t i o n i n t h e g a s e v o l u t i o n s t a g e c a n e e c t i v e l y
r e m o v e p o s t - s h o c k o s c i l l a t i o n s . S e e F i g . ( 1 5 ) .
1 0
-
7/27/2019 gas evolution schemes
11/29
4 . 2 S h o c k I n s t a b i l i t y i n t h e G o d u n o v M e t h o d
4 . 2 . 1 P r o j e c t i o n D i s s i p a t i o n I n 2 D C a s e
I n t h e 2 - D c a s e , f o r a n y o w d i s t r i b u t i o n w i t h v e l o c i t y ( U
1
( x ; y ) ; U
2
( x ; y ) ) a n d d e n s i t y (
1
( x ; y ) ;
2
( x ; y ) )
i n a s m a l l v o l u m e , t h e d i s s i p a t i o n p r o v i d e d i n t h e p r o j e c t i o n s t a g e i s
E
k
= E
k
E
k
;( 4 . 5 )
w h e r e E
k
i s t h e t o t a l k i n e t i c e n e r g y b e f o r e t h e a v e r a g i n g a n d
E
k
i s t h e k i n e t i c e n e r g y a f t e r t h e
a v e r a g i n g . T h e d i e r e n c e i n t h e k i n e t i c e n e r g y b e f o r e a n d a f t e r a v e r a g i n g i s t r a n s l a t e d i n t o t h e
t h e r m a l o n e . F o r s i m p l i c i t y , t h e v o l u m e s o c c u p i e d b y (
1
; U
1
) a n d (
2
; U
2
) a r e a s s u m e d t o b e
t h e s a m e a n d e q u a l t o 1 = 2 . F r o m t h e c o n s e r v a t i o n s o f t h e m a s s a n d m o m e n t u m , w e h a v e
=
1
2
(
1
+
2
)
a n d
U =
1
2
(
1
U
1
+
2
U
2
) :
A s a r e s u l t , t h e k i n e t i c e n e r g y b e f o r e t h e a v e r a g i n g i s
E
k
=
1
4
(
1
U
1
2
+
2
U
2
2
) ;
a n d a f t e r t h e a v e r a g i n g
E
k
=
1
2
U
2
:
W i t h t h e a b o v e r e l a t i o n s , t h e d i e r e n c e i n t h e k i n e t i c e n e r g y c a n b e o b t a i n e d ,
E
k
=
1
4
1
2
1
+
2
( U
1
U
2
)
2
n
;
w h e r e ^ n i s t h e d i r e c t i o n f r o m w h i c h t h e u i d v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s a r e U
1
; U
2
. S o , t h e p r o j e c -
t i o n s t a g e i n t h e G o d u n o v m e t h o d p r o v i d e s t h e f o l l o w i n g d i s s i p a t i o n
d i s s i p a t i o n
1
2
1
2
( U
1
U
2
)
2
n
:( 4 . 6 )
A g a i n , ^ n i s t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e R i e m a n n s o l u t i o n i s e v a l u a t e d . F o r a 1 - D o w , ( U
1
U
2
) i s o n t h e s a m e d i r e c t i o n a s ^ n a n d t h e d i s s i p a t i o n i s a l w a y s p r o p o r t i o n a l t o ( U
1
U
2
)
2
.
T h e r e f o r e , i n t h e 1 - D c a s e , t h e v e l o c i t y d i e r e n c e p r o v i d e s i n t r i n s i c d i s s i p a t i o n t o t h e G o d u n o v
m e t h o d i n t h e s h o c k r e g i o n . H o w e v e r , i n t h e 2 - D c a s e , t h e v e l o c i t y d i e r e n c e b e t w e e n U
1
a n d
U
2
d e p e n d s o n w h i c h d i r e c t i o n y o u l o o k a t t h e o w , a n d t h e d i s s i p a t i o n i n t h e G o d u n o v m e t h o d
b e c o m e s m e s h - o r i e n t e d . A s s h o w n i n F i g . ( 1 6 ) , f o r t h e s a m e u i d d i s t r i b u t i o n i n t h e 2 - D c a s e ,
i . e . a n o r m a l s h o c k i n t h e ^ x - d i r e c t i o n , t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ( U
1
U
2
)
n
i s d i e r e n t w h e n
v i e w e d f r o m d i e r e n t d i r e c t i o n s ^ n . S o , t h e d i s s i p a t i v e t e r m i n E q . ( 4 . 6 ) b e c o m e s d i r e c t i o n a l l y
d e p e n d e n t . A s s h o w n i n t h e c a s e ( b ) o f F i g . ( 1 6 ) , f o r a 2 - D n o r m a l s h o c k i n t h e ^ x - d i r e c t i o n , t h e
d i s s i p a t i o n p r o v i d e d i n t h e ^ y - d i r e c t i o n b e c o m e s ( U
1
U
2
)
y
0 , b e c a u s e U
1
a n d U
2
a p p e a r
a s p a r a l l e l o w s w i t h t h e s a m e v e l o c i t y m a g n i t u d e i n t h a t d i r e c t i o n .
1 1
-
7/27/2019 gas evolution schemes
12/29
4 . 2 . 2 S h o c k I n s t a b i l i t y
T h e d o c u m e n t e d o b s e r v a t i o n s o f t h e s h o c k i n s t a b i l i t y a r e s c a t t e r e d i n m a n y p a p e r s . T h e i n u -
e n t i a l p a p e r b y Q u i r k f o r t h e r s t t i m e s y s t e m a t i c a l l y p r e s e n t e d t h e o b s e r v a t i o n a n d a n a l y s i s
7 ] . A f t e r t h a t , t h e e x p l a n a t i o n o f t h i s n u m e r i c a l s h o c k b e h a v i o r h a s a t t r a c t e d m u c h a t t e n t i o n .
A s h o r t l i s t o f r e f e r e n c e s i n c l u d e s 4 , 5 , 6 ] , a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n .
I n o r d e r t o h a v e s h o c k i n s t a b i l i t y , s u c h a s t h e c a r b u n c l e p h e n o m e n a o r o d d - e v e n d e c o u p l i n g ,
t h e n u m e r i c a l u i d h a s t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n 7 , 5 ] :
S h o c k p r o p a g a t e s a n d i s a l i g n e d w i t h t h e m e s h .
F r o m t h e a b o v e c o n d i t i o n , i f t h e s h o c k f r o n t i s a l i g n e d w i t h t h e m e s h , t h e p r o j e c t i o n
d i s s i p a t i o n ( 4 . 6 ) c a n b e p r o v i d e d o n l y i n t h e d i r e c t i o n n o r m a l t o t h e s h o c k f r o n t , s u c h a s i n
t h e x - d i r e c t i o n . T h e r e i s a l m o s t n o p r o j e c t i o n d i s s i p a t i o n p r o v i d e d i n t h e d i r e c t i o n a l o n g t h e
s h o c k f r o n t d u e t o t h e e q u a l v e l o c i t i e s .
N o w s u p p o s e t h a t a s t a t i o n a r y s h o c k i s s t a y i n g i n t h e ^ x - d i r e c t i o n . I n s i d e t h e s h o c k l a y e r ,
d u e t o n u m e r i c a l p e r t u r b a t i o n s , i t i s p o s s i b l e t h a t a u i d e l e m e n t w i l l m o v e f r o m c r o s s s e c t i o n
S
A
t o S
B
t h r o u g h t h e s t r e a m l i n e c o n v e r g i n g o r d i v e r g i n g , s u c h a s t h a t s h o w n i n F i g . ( 1 7 ) . F o r
t h i s e l e m e n t , t h e m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n g i v e s
p S
A
+ U
2
S
A
+ p d S
A
= ( p + d p ) ( S
A
+ d S
A
) + ( + d ) ( U + d U )
2
( S
A
+ d S
A
) :( 4 . 7 )
T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n i s d ( U S
A
) = 0 , o r
U d S
A
+ S
A
d U + S
A
U d = 0 :
M u l t i p l y i n g t h e a b o v e e q u a t i o n b y U a n d s u b t r a c t i n g i t f r o m E q . ( 4 . 7 ) , w e h a v e
d p = U d U ;
w h i c h m e a n s t h a t t h e p r e s s u r e c h a n g e i s a l w a y s o u t o f p h a s e w i t h t h e v e l o c i t y c h a n g e . F r o m
a e r o d y n a m i c t h e o r y f o r a q u a s i - o n e - d i m e n s i o n a l o w , w e h a v e
C a s e ( 1 ) . F o r 0 M 1 ( d o w n s t r e a m s i d e ) , a n i n c r e a s e i n v e l o c i t y ( p o s i t i v e d U ) i s a s s o c i -
a t e d w i t h a d e c r e a s e i n a r e a ( S
A
) , a n d v i c e v e r s a . T h e r e f o r e , t h e v e l o c i t y i n c r e a s e s ( p r e s s u r e
d e c r e a s e s ) i n a c o n v e r g i n g s t r e a m l i n e c a s e a n d d e c r e a s e s ( p r e s s u r e i n c r e a s e s ) i n a d i v e r g i n g
s t r e a m l i n e c a s e .
C a s e ( 2 ) . F o r M > 1 ( u p s t r e a m s i d e ) , t h e v e l o c i t y i n c r e a s e s ( p r e s s u r e d e c r e a s e s ) i n d i v e r g i n g
s t r e a m l i n e c a s e a n d d e c r e a s e s ( p r e s s u r e i n c r e a s e s ) i n t h e c o n v e r g i n g s t r e a m l i n e c a s e .
O n t h e s u b s o n i c s i d e , o n c e t h e r e i s p e r t u r b a t i o n i n s i d e t h e n u m e r i c a l s h o c k f r o n t , a n i n -
c r e a s e o f v e l o c i t y i s a s s o c i a t e d w i t h a d e c r e a s e o f p r e s s u r e i n t h e c o n v e r g i n g s t r e a m l i n e c a s e ,
s e e F i g . ( 1 8 ) . P h y s i c a l l y , t h e s h e a r v i s c o s i t y w i l l s t r o n g l y t a k e e e c t t o r e d u c e t h e v e l o c i t y
d i e r e n c e s a n d s t a b i l i z e t h e n u m e r i c a l s h o c k s t r u c t u r e . H o w e v e r , f o l l o w i n g t h e i n v i s c i d E u -
l e r s o l u t i o n i n t h e y - d i r e c t i o n ( n o p r o j e c t i o n d i s s i p a t i o n p r o v i d e d i n t h i s d i r e c t i o n ) w i l l g i v e
a d i e r e n t a n s w e r . T h e e x a c t 1 - D R i e m a n n s o l v e r i n t h e y - d i r e c t i o n d o e s n o t r e c o g n i z e t h e
x - c o m p o n e n t v e l o c i t y d i e r e n c e s d u e t o t h e i n v i s c i d n a t u r e . T h e o n l y d y n a m i c a l i n u e n c e i n -
v o l v e d i n t h e R i e m a n n s o l v e r i n t h i s d i r e c t i o n i s t h e p r e s s u r e d i e r e n c e . S i n c e t h e u i d i n t h e
s u r r o u n d i n g c e l l s h a s a h i g h e r p r e s s u r e , i t w i l l m o v e t o w a r d t h e c e n t e r . A s a c o n s e q u e n c e , t h e
u i d i n t h e c e n t r a l c e l l s p a s s e s t h r o u g h a n e v e n n a r r o w e r c r o s s s e c t i o n , a n d t h e u i d s p e e d g e t s
1 2
-
7/27/2019 gas evolution schemes
13/29
e v e n h i g h e r d u e t o t h e c o n v e r g i n g o f s t r e a m l i n e s . T h e r e f o r e , t h e p r e s s u r e i n t h e c e n t r a l c e l l s
b e c o m e s e v e n l o w e r . S o , t h e u s e o f t h e e x a c t R i e m a n n s o l v e r i n t h e y - d i r e c t i o n c o u l d o n l y h e l p
t o a m p l i f y t h e i n i t i a l p e r t u r b a t i o n , a n d t h e i n s t a b i l i t y w i l l b e f o r m e d i n t h e s u b s o n i c r e g i o n ,
w h e r e M 1 , t h e s t r u c t u r e i s t h e o r e t i c a l l y s t a b l e t o
s m a l l p e r t u r b a t i o n s .
F i g . ( 1 9 ) s h o w s t h e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n s i n F i g . ( 9 a ) a l o n g t h e x - d i r e c t i o n a t d i e r e n t y
l o c a t i o n s . F i g . ( 1 9 ) c l e a r l y s h o w s t h a t t h e d e n s i t y u c t u a t i o n g e t s a m p l i e d o n t h e d o w n s t r e a m
s i d e , i . e . M
-
7/27/2019 gas evolution schemes
14/29
F r o m t h i s p a p e r , w e u n d e r s t a n d t h a t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n c o e c i e n t i n t h e F V S s c h e m e
i s a l w a y s p r o p o r t i o n a l t o t h e c e l l s i z e , w h i c h i s d u e t o t h e p a r t i c l e o r w a v e f r e e t r a n s p o r t
m e c h a n i s m . T h e r e f o r e , t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n F V S s c h e m e s i s t o o l a r g e t o g i v e a n a c c u r a t e
N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n . I t i s a l s o s h o w n t h a t t h e N a v i e r - S t o k e s K F V S s c h e m e o f C h o u - B a g a n o
c a n n o t g i v e c o r r e c t N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n s e i t h e r . T h e r e a s o n f o r t h e d i e r e n t b e h a v i o r s o f
t h e F V S s c h e m e i n t h e s h o c k a n d b o u n d a r y l a y e r s i s p o i n t e d o u t .
O n t h e o t h e r h a n d , t h e G o d u n o v m e t h o d g i v e s a c c u r a t e r e s u l t s i n b o t h u n s t e a d y s h o c k
s t r u c t u r e a n d b o u n d a r y l a y e r c a l c u l a t i o n s . H o w e v e r , s i n c e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t h e G o -
d u n o v m e t h o d c o m e s f r o m t h e p r o j e c t i o n a n d r e c o n s t r u c t i o n s t a g e s , d i s s i p a t i o n i s t i g h t l y r e -
l a t e d t o t h e m e s h o r i e n t a t i o n . T h e a b s e n c e o f d i s s i p a t i o n i n t h e g a s e v o l u t i o n m o d e l o f t h e
G o d u n o v m e t h o d a m p l i e s t h e p o s t - s h o c k o s c i l l a t i o n s a n d s h o c k i n s t a b i l i t y .
I n o r d e r t o d e v e l o p m o r e a c c u r a t e a n d r o b u s t n u m e r i c a l s c h e m e s f o r t h e c o m p r e s s i b l e o w
s i m u l a t i o n , w e h a v e t o c o n s i d e r t h e v i s c o u s g o v e r n i n g e q u a t i o n s d i r e c t l y i n t h e d i s c o n t i n u i t y
r e g i o n . N o p e r f e c t s c h e m e , o r t h e R i e m a n n s o l v e r , w i l l b e o b t a i n e d i f o n l y t h e E u l e r e q u a t i o n s
a r e r e g a r d e d a s t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s .
A p p e n d i x : T h e N u m e r i c a l V i s c o u s E e c t i n t h e v a n L e e r F V S
S c h e m e
F o r t w o a d j a c e n t c e l l s i n s i d e t h e b o u n d a r y i n t h e y - d i r e c t i o n , t h e o w d i s t r i b u t i o n c a n b e
d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g g u r e .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
..
...
..
.
.
.
....
..
..
.
.
.
..
u
b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
...
...
.
.
.
.
.
.....
..
.
.
.
.
..
u
a
. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. .. . . ....
..
..
.
.
.
.
.
......
.
..
.
.
.
.
u
0
b
. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. ....
..
..
..
.
.
.
...
...
.
..
.
..
.
u
0
a
j + 1 = 2
S i n c e w e a r e g o i n g t o a n a l y z e a s e c o n d - o r d e r s c h e m e , f r o m t h e x - d i r e c t i o n v e l o c i t i e s u
a
a n d
u
b
a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s i n s u r r o u n d i n g c e l l s , t h e v a n L e e r l i m i t e r w i l l g i v e u
0
a
a n d u
0
b
a s t h e i n t e r p o l a t e d v e l o c i t i e s a t t h e c e l l i n t e r f a c e j + 1 = 2 . D u e t o t h e x - v e l o c i t y d i e r e n c e s
i n u
0
a
a n d u
0
b
, t h e v a n L e e r s p l i t t i n g f u n c t i o n g i v e s a n e t u x o f x - m o m e n t u m a c r o s s t h e c e l l
i n t e r f a c e , w h i c h i s t h e n u m e r i c a l s h e a r s t r e s s ,
=
1
4
c ( u
0
b
u
0
a
) ;( 5 . 8 )
1 4
-
7/27/2019 gas evolution schemes
15/29
w h e r e c i s t h e s o u n d s p e e d . A t t h e s a m e t i m e , a c c o r d i n g t o t h e s h e a r s t r e s s d e n i t i o n , w e h a v e
=
d u
d y
;( 5 . 9 )
a n d d u = d y c a n b e f o r m a l l y d e n e d a s
d u
d y
=
u
b
u
a
y
:
F r o m E q . ( 5 . 8 ) a n d ( 5 . 9 ) , w e g e t t h e f o l l o w i n g k i n e m a t i c v i s c o s i t y c o e c i e n t i n t h e 2 n d - o r d e r
v a n L e e r F V S s c h e m e ,
=
1
4
c
u
0
b
u
0
a
u
b
u
a
y :( 5 . 1 0 )
T h e a b o v e l i n e a r r e l a t i o n b e t w e e n a n d c e l l s i z e i s c o n s i s t e n t w i t h t h e n u m e r i c a l o b s e r v a t i o n
i n s e c t i o n 2 . F o r t h e 1 s t - o r d e r F V S s c h e m e , t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y c o e c i e n t i s
=
1
4
c y :
N o w l e t ' s a p p l y E q . ( 5 . 1 0 ) t o t h e B l a s i u s b o u n d a r y l a y e r s o l u t i o n . F i r s t . l e t ' s t a k e a f e w
p o i n t s i n t h e b o u n d a r y l a y e r , s u c h a s
0 : 4 1 : 2 2 : 0 2 : 8
u 0 : 1 3 2 7 7 0 : 3 9 3 7 8 0 : 6 2 9 7 7 0 : 8 1 1 5 2
F r o m t h e a b o v e d a t a , w e h a v e u
a
= 0 : 3 9 3 7 8 a n d u
b
= 0 : 6 2 9 7 7 . T h e n , u s i n g t h e v a n L e e r
l i m i t e r , w e c a n g e t u
0
a
= 0 : 5 1 7 7 a n d u
0
b
= 0 : 5 2 7 1 . I n t h e l a m i n a r b o u n d a r y c a s e i n s e c t i o n 2 ,
w e h a v e t h e p r e s s u r e p = 9 = ( M
2
) = 7 1 : 4 a n d t h e s o u n d s p e e d c =
p
p = = 9 : 9 9 7 . T h e r e f o r e ,
t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y c o e c i e n t b e c o m e s
=
1
4
c
u
0
b
u
0
a
u
b
u
a
y = 0 : 0 9 9 y ;
w h i c h i s o n t h e s a m e o r d e r a s t h e n u m e r i c a l o b s e r v a t i o n , i . e .
n u m
= 0 : 1 1 y .
T h e a b o v e a n a l y s i s i s b a s e d o n a s i m p l i e d p h y s i c a l m o d e l o f t h e F V S s c h e m e . W e h a v e
i g n o r e d t h e H a n c o c k m e t h o d f o r t i m e a c c u r a c y a n d t h e s m a l l v v e l o c i t y i n s i d e t h e b o u n d a r y
l a y e r . A l s o , t h e r e i s s o m e u n c e r t a i n t y i n t h e s e l e c t i n g o f p o i n t s i n t h e b o u n d a r y l a y e r . E v e n
w i t h t h e a b o v e a p p r o x i m a t i o n s , t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t i s b a s i c a l l y c o n s i s t e n t w i t h t h e n u m e r i c a l
o b s e r v a t i o n . F o r t h e 1 s t - o r d e r F V S s c h e m e , t h e n u m e r i c a l v i s c o s i t y c o e c i e n t b e c o m e s =
2 : 4 4 9 y , w h i c h i s m u c h l a r g e r t h a n t h a t i n E q . ( 5 . 1 0 ) o f t h e \ s e c o n d - o r d e r " s c h e m e .
A c k n o w l e d g m e n t s
S u p p o r t w a s p r o v i d e d b y H o n g K o n g R e s e a r c h G r a n t C o u n c i l t h r o u g h R G C 9 7 / 9 8 . H K U S T 6 1 6 6 / 9 7 P .
R e f e r e n c e s
1 ] S . Y . C h o u a n d D . B a g a n o f f , K i n e t i c F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g f o r t h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s , J .
C o m p u t . P h y s . , 1 3 0 ( 1 9 9 7 ) , p p . 2 1 7 - 2 3 0 .
1 5
-
7/27/2019 gas evolution schemes
16/29
2 ] D . D r i k a k i s a n d S . T s a n g a r i s , O n t h e S o l u t i o n o f t h e C o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s
u s i n g I m p r o v e d F l u x V e c t o r S p l i t t i n g M e t h o d s , A p p l . M a t h . M o d e l l i n g , 1 7 ( 1 9 9 3 ) , p p . 2 8 2 - 2 9 7 .
3 ] S . K . G o d u n o v , A D i e r e n c e S c h e m e f o r N u m e r i c a l C o m p u t a t i o n o f D i s c o n t i n u o u s S o l u t i o n s o f
H y d r o d y n a m i c E q u a t i o n s , M a t h . S b o r n i k , 4 7 ( 1 9 5 9 ) , p p . 2 7 1 .
4 ] J . G r e s s i e r a n d J . M . M o s c h e t t a , O n t h e P a t h o l o g i c a l B e h a v i o r o f U p w i n d S c h e m e s , A I A A
9 8 - 0 1 1 0 ( 1 9 9 8 ) .
5 ] M . S . L i o u , P r o b i n g N u m e r i c a l F l u x e s , P o s i t i v i t y , a n d E n t r o p y - s a t i s f y i n g P r o p e r t y , A I A A 9 7 - 2 0 3 5
( 1 9 9 7 ) .
6 ] M . P a n d o l f i a n d D . D ' A m b r o s i o , U p w i n d M e t h o d s a n d C a r b u n c l e P h e n o m e n o n , C o m p u t a -
t i o n a l F l u i d D y n a m i c s 9 8 , 1 ( 1 9 9 8 ) , p p . 1 2 6 - 1 3 1 , 4 t h E C C O M A S , A t h e n s .
7 ] J . Q u i r k , A C o n t r i b u t i o n t o t h e G r e a t R i e m a n n S o l v e r D e b a t e , I n t . J . N u m . M e t . i n F l u i d s , 1 8
( 1 9 9 4 ) , n o . 6 .
8 ] P . L . R o e , A p p r o x i m a t e R i e m a n n S o l v e r s , P a r a m e t e r V e c t o r s a n d D i e r e n c e S c h e m e s , J . C o m p u t .
P h y s . , 4 3 ( 1 9 8 1 ) , p p . 3 5 7 .
9 ] M . D . S a l a s a n d A . I o l l o , E n t r o p y J u m p A c r o s s a n I n v i s c i d S h o c k W a v e , I C A S E R e p o r t 9 5 - 1 2
( 1 9 9 5 ) .
1 0 ] G . S o d , A S u r v e y o f S e v e r a l F i n i t e D i e r e n c e M e t h o d s f o r S y s t e m s o f N o n l i n e a r H y p e r b o l i c C o n -
s e r v a t i o n L a w s , J . C o m p u t . P h y s . , 2 7 ( 1 9 7 8 ) , p p . 1 - 3 1 .
1 1 ] J . L . S t e g e r a n d R . F . W a r m i n g , F l u x v e c t o r s p l i t t i n g o f t h e i n v i s c i d g a s - d y n a m i c e q u a t i o n s
w i t h a p p l i c a t i o n s t o n i t e d i e r e n c e m e t h o d s , J . C o m p u t . P h y s . , 4 0 ( 1 9 8 1 ) , p p . 2 6 3 - 2 9 3 .
1 2 ] E . T o r o , R i e m a n n S o l v e r s a n d N u m e r i c a l M e t h o d s f o r F l u i d D y n a m i c s , S p r i n g e r ( 1 9 9 7 ) .
1 3 ] J . B . v a n L e e r , T o w a r d s t h e U l t i m a t e C o n s e r v a t i v e D i e r e n c e S c h e m e I V , A N e w A p p r o a c h t o
N u m e r i c a l C o n v e c t i o n , J . C o m p u t . P h y s . , 2 3 ( 1 9 7 7 ) , p p . 2 7 6 - 2 9 9 .
1 4 ] B . v a n . L e e r , F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s , I C A S E r e p o r t , N O . 8 2 - 3 0 ( 1 9 8 2 ) .
1 5 ] B . v a n . L e e r , J . L . T h o m a s , P . L . R o e , R . W . N e w s o m e , A C o m p a r i s o n o f N u m e r i c a l F l u x
F o r m u l a s f o r t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s , A I A A p a p e r 8 7 - 1 1 0 4 ( 1 9 8 7 ) .
1 6 ] K . X u , G a s - K i n e t i c S c h e m e s f o r U n s t e a d y C o m p r e s s i b l e F l o w S i m u l a t i o n s , V K I f o r F l u i d D y n a m -
i c s L e c t u r e S e r i e s 1 9 9 8 - 0 3 ( 1 9 9 8 ) , C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s .
1 7 ] K . X u , G a s E v o l u t i o n D y n a m i c s i n G o d u n o v - t y p e S c h e m e s a n d A n a l y s i s o f N u m e r i c a l S h o c k I n -
s t a b i l i t y , I C A S E R e p o r t 9 9 - 6 , N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r .
1 8 ] K . X u a n d J . H u , P r o j e c t i o n D y n a m i c s i n G o d u n o v - t y p e S c h e m e s , J . C o m p u t . P h y s . , 1 4 2 ( 1 9 9 8 ) ,
p p . 4 1 2 - 4 2 7 .
1 6
-
7/27/2019 gas evolution schemes
17/29
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
x=1/100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
x=1/200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
x=1/400
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(d)
x=1/800
F i g u r e 1 : D e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n S o d t e s t c a s e u s i n g 2 n d - o r d e r N S G o d u n o v m e t h o d f o r t h e
N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s w i t h
p h y
= 0 : 0 0 0 1 . T h e g u r e s ( a ) - ( d ) r e p r e s e n t t h e r e s u l t s o b t a i n e d
u s i n g d i e r e n t c e l l s i z e .
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(a)
shock region
x=1/1600
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(b)
shock region
x=1/3200
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(c)
shock region
x=1/6400
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(d)
shock region
x=1/10000
solidline: exact
+: computed
F i g u r e 2 : D e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n t h e s h o c k r e g i o n u s i n g 2 n d - o r d e r N S G o d u n o v m e t h o d f o r
t h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s . T h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t s o l u t i o n .
1 7
-
7/27/2019 gas evolution schemes
18/29
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
x=1/100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
x=1/200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
x=1/400
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(d)
x=1/800
F i g u r e 3 : D e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n S o d t e s t c a s e u s i n g 2 n d - o r d e r N S v a n L e e r F V S m e t h o d
f o r t h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s w i t h
p h y
= 0 : 0 0 0 1 . T h e g u r e s ( a ) - ( d ) r e p r e s e n t t h e r e s u l t s
o b t a i n e d u s i n g d i e r e n t c e l l s i z e .
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(a)
shock region
x=1/1600
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(b)
shock region
x=1/3200
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(c)
shock region
x=1/6400
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7650.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(d)
shock region
x=1/10000
solidline: exact
+: computed
F i g u r e 4 : D e n s i t y d i s t r i b u t i o n i n t h e s h o c k r e g i o n u s i n g 2 n d - o r d e r N S v a n L e e r F V S m e t h o d
f o r t h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s . T h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t s o l u t i o n .
1 8
-
7/27/2019 gas evolution schemes
19/29
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7653.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
(a)
Riemann
x=1/6400
solidline: exact
+: computed
0.761 0.762 0.763 0.764 0.7653.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
(b)
FVS
x=1/6400
solidline: exact
+: computed
F i g u r e 5 : E n t r o p y ( p =
) d i s t r i b u t i o n a c r o s s t h e s h o c k l a y e r . ( a ) : 2 n d - o r d e r N S G o d u n o v
m e t h o d , ( b ) : 2 n d - o r d e r N S F V S s c h e m e .
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(b)
F i g u r e 6 : 2 n d - o r d e r N S G o d u n o v m e t h o d . ( a ) : u v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n v s . , ( b ) : v v e l o c i t y
d i s t r i b u t i o n v s . . T h e o u t p u t l o c a t i o n s a r e : : x = 1 5 0 , : x = 2 0 0 , : x = 2 5 0 . T h e s o l i d
l i n e i s t h e e x a c t s o l u t i o n .
1 9
-
7/27/2019 gas evolution schemes
20/29
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(b)
F i g u r e 7 : 2 n d - o r d e r N S v a n L e e r F V S s c h e m e . ( a ) : u v e l o c i t y , ( b ) : v v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n .
T h e o u t p u t l o c a t i o n s a r e : : x = 1 5 0 , : x = 2 0 0 , : x = 2 5 0 . T h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t
B l a s i u s s o l u t i o n . F r o m F i g . ( a ) , w e k n o w t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e l e a s t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n ,
t h e n a n d .
2 0
-
7/27/2019 gas evolution schemes
21/29
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(b)
F i g u r e 8 : C h o u - B a g a n o N S K F V S S c h e m e f o r t h e B o u n d a r y l a y e r s o l u t i o n 1 ] . ( a ) : u v e l o c i t y
d i s t r i b u t i o n v s . , ( b ) : v v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n v s . . T h e o u t p u t l o c a t i o n s a r e : : x = 1 5 0 , :
x = 2 0 0 , : x = 2 5 0 . T h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t B l a s i u s s o l u t i o n .
2 1
-
7/27/2019 gas evolution schemes
22/29
27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.5
1
(a)
27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.5
1
(b)
27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.5
1
(c)
27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.5
1
(d)
27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.5
1
(e)
F i g u r e 9 : N u m e r i c a l s o l u t i o n s o f t h e 2 D s h o c k t u b e c a s e , w h e r e t h e l o c a t i o n o f c e n t r a l l i n e i s
p e r t u r b e d o d d - e v e n l y . ( a ) - ( d ) a r e f r o m 2 n d - o r d e r N S G o d u n o v m e t h o d w i t h ( a ) :
p h y
= 0 : 0 ,
( b ) :
p h y
= 0 : 0 0 0 5 , ( c ) :
p h y
= 0 : 0 0 1 a n d ( d ) :
p h y
= 0 : 0 0 1 2 . ( e ) i s f r o m 2 n d - o r d e r v a n L e e r
F V S s c h e m e w i t h
p h y
= 0 : 0 . A s a n a l y z e d i n t h i s p a p e r , t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t h e F V S
s c h e m e i s
n u m
= x , w h i c h i s m u c h l a r g e r t h a n t h e p h y s i c a l v i s c o s i t y i n t h e N S G o d u n o v
m e t h o d .
2 2
-
7/27/2019 gas evolution schemes
23/29
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
y=1/2solidline: exactdashline: exact*1.4
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
y=1/3solidline: exactdashline: exact*1.2
(b)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
y=1/4solidline: exact
dashline: exact*1.12
(c)
F i g u r e 1 0 : M e s h r e n e m e n t s t u d y o f N S v a n L e e r F V S s c h e m e . T h e d a s h l i n e i s o b t a i n e d b y
c h a n g i n g t h e v i s c o s i t y i n t h e B l a s i u s s o l u t i o n t o t t h e n u m e r i c a l d a t a a t t h e o u t p u r l o c a t i o n
x = 2 0 0 : 0 . T h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t B l a s i u s s o l u t i o n o b t a i n e d f r o m
p h y
= 0 : 0 2 4 .
2 3
-
7/27/2019 gas evolution schemes
24/29
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
y=1.solidline: exactdashline: exact*1.9
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
y=1/2solidline: exactdashline: exact*1.17
(b)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
y=1/3solidline: exactdashline: exact*0.86
(c)
F i g u r e 1 1 : M e s h r e n e m e n t s t u d y o f t h e F V S s c h e m e i n t h e l a m i n a r b o u n d a r y l a y e r c a s e . T h e
v a n L e e r F V S u x f u n c t i o n i s u s e d d i r e c t l y w i t h o u t i n c l u d i n g t h e p h y s i c a l v i s c o u s t e r m i n t h e
t o t a l u x e v a l u a t i o n . T h e a b o v e b o u n d a r y l a y e r i s c o n s t r u c t e d p u r e l y f r o m n u m e r i c a l v i s c o u s
e e c t . T h e d a s h l i n e i s o b t a i n e d b y c h a n g i n g t h e v i s c o s i t y c o e c i e n t o f t h e B l a s i u s s o l u t i o n t o
t t h e n u m e r i c a l d a t a a t t h e l o c a t i o n x = 2 0 0 . T h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t B l a s i u s s o l u t i o n w i t h
p h y
= 0 : 0 2 4 .
2 4
-
7/27/2019 gas evolution schemes
25/29
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
(d)
F i g u r e 1 2 : : p l o t o f
t o t a l
p h y s
v s . m e s h s i z e . : p l o t o f
n u m e r
p h y s
v s . m e s h s i z e ,
w h e r e
p h y s
i s a c o n s t a n t a n d e q u a l t o 0 : 0 2 4 .
3-wave1-wave
2-contact wave
UL,p )L( L , ( R , UR, p )R
( I , U*,p* ) ( II, U*,p*)
x
t
F i g u r e 1 3 : S o l u t i o n o f t h e R i e m a n n p r o b l e m i n t h e ( x ; t ) - p l a n e
2 5
-
7/27/2019 gas evolution schemes
26/29
Equilibrium states at cell interfaces
Dissipative Numerical Shock Region
F i g u r e 1 4 : G o d u n o v g a s e v o l u t i o n m o d e l
0.5 0.55 0.6 0.65
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
F i g u r e 1 5 : P o s t s h o c k o s c i l l a t i o n s o f a s l o w l y m o v i n g s h o c k . T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e f r o m
2 n d - o r d e r N S G o d u n o v m e t h o d . : = 0 : 0 , a n d : = 0 : 0 0 1 .
2 6
-
7/27/2019 gas evolution schemes
27/29
^nn
n n
U U
U
U
U
U
U
U
1
1
1 1
2
2
22
(a) (b)
(c) (d)
F i g u r e 1 6 : V e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s a r o u n d a 2 - D n o r m a l s h o c k l o o k e d i n d i e r e n t d i r e c t i o n s , ( a ) :
x , ( b ) : ^ y , ( c ) : 1 3 5
, ( d ) : 4 5
.
downstream side upstream side
S SA Bdownstream upstream
M < 1M > 1
M=1
Numerical Shock Region
F i g u r e 1 7 : A n o r m a l s h o c k i n t h e ^ x - d i r e c t i o n i n t h e 2 - D c a s e
2 7
-
7/27/2019 gas evolution schemes
28/29
j+1/2
j-1/2
j+3/2
i+1/2i-1/2 i+3/2
p,u
: Gas Velocity Field
: Pressure Field
.
p+ p
p+ p
u- u
u- u
Downstream Side
F i g u r e 1 8 : S c h e m a t i c e x p l a n a t i o n o f s h o c k i n s t a b i l i t y
25 26 27 28 29 30 31 32 330.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
x
Density
M=1
F i g u r e 1 9 : D e n s i t y d i s t r i b u t i o n s o f F i g . ( 9 a ) a l o n g x - d i r e c t i o n a t d i e r e n t y l o c a t i o n s .
2 8
-
7/27/2019 gas evolution schemes
29/29
27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 320
0.5
1
F i g u r e 2 0 : D e s i t y d i s t r i b u t i o n c a l c u l a t e d b y a 2 n d - o r d e r G o d u n o v m e t h o d w i t h
p h y
= 0 : 0 . A l l
o w c o n d i t i o n s a n d m e s h p e r t u r b a t i o n a r e t h e s a m e a s t h a t i n F i g . ( 9 a ) e x c e p t t h e s h o c k f r o n t
i s t i t l e d b y 1 0 d e g r e e . S h o c k i n s t a b i l i t y d i s a p p e a r s d u e t o t h e p r o j e c t i o n d i s s i p a t i o n s i n b o t h
d i r e c t i o n s .
