Fundamentos de Psicometria

INSTITUTO SUPERIOR DE COMPUTACIN, S.C.

DIVISIN LICENCIATURAS

MATERIAl DE APOYO

FUNDAMENTOS DE PSICOMETRA

Instituto Superior de Computacin, S. C. Fundamentos de Psicometria.

CAPITULO 1

LA PSIOMETRIA

El trmino "Psicometra" es el ms extendido y general para hacer referencia a la medicin psicolgica. Su significado popular y la etimologa de la palabra apuntan en la misma direccin: la disciplina que se encarga de la medicin en Psicologia. De hecho, los diccionarios de uso ms comn como el de la Real Academia de la Lengua o

el de Mara Moliner tambin coinciden en su significado: la medida de los fenmenos psquicos.

Para avanzar en el camino hacia una delimitacin conceptual de la disciplina es necesario detenerse en las definiciones explicitas que, desde la propia Psicologa, se han propuesto para la Psicomelra. Sealar los puntos comunes y las diferencias de matiz entre ellas pueden ayudar a entender el alcance de la disciplina.

Yela (1968) apunta que la Psicometra se ocupa de todas las medidas en el campo psicolgico, habindose desarrollado a travs de dos ramas principales: los mtodos psicofisicos y la teora de los tests. Nunnally (1973) se refiere a la Psicometra como la metodologa encargada del desarrollo y utilizacin de las tcnicas de medicin en todos los mbitos de la psicologa.

Muiz (1998) define la Psicometra como " ... el conjunto de mtodos, tcnicas y teorias implicadas en la medicin de variables psicolgicas ... lo especfico de la Psicometra seria su nfasis y especializacin en aquellas propiedades mtricas exigibles a las mediciones psicolgicas independientemente del campo sustantivo de aplicacin y de los instrumentos utilizados" .

La definicin de Martinez-Aras (1995) introduce un matiz que apunta hacia la relacin entre la Psicometra y la Psicologa Matemtica. Para la autora, la Psicometria " ... aglutina todo el conjunto de modelos formales que posibilitan la medicin de variables psicolgicas, centrndose en las condiciones que permiten llevar a cabo todo proceso de medicin en psicologia"

No resulta difcil entresacar los elementos comunes de las definiciones anteriores. La Psicometra es una disciplina metodolgica, sin un contenido psicolgico propio, pero con un campo sustantivo: la teora de la medicin en sentido amplio. Muiz (1998) afirma que el trabajo psicomtico tiene como finalidad construir y utilizar adecuadamente los tests y las escalas, de tal modo que se garantice su fiabilidad, validez y aplicacin adecuada.

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Historia de la Psicometra

La revisin de los antecedentes histricos y de la evolucin de la medida en Psicologfa, ofrece una perspectiva til para comprender la Psicometria actual. Para algunos autores, la historia de los tests mentales es tal vez uno de los mejores ejemplos de la existencia de una interaccin entre las demandas sociales y la evolucin de una disciplina cientfica. Salvando las distancias, la valoracin es aplicable al conjunto de la historia de la medida en Psicologa.

La historia de la medicin psicolgica ha estado marcada por la interrelacin entre la evolucin interna de la Psicometria y de la Psicologa con el deseo de responder a las demandas sociales de cada momento histrico, reflejando un mayor acento en las aplicaciones prcticas que en el desarrollo terico.

Este apartado pretende esbozar el enlomo intelectual y social en el que nace la Psicologa moderna y con ella la Psicometria. A continuacin, slo se aborda una de las dos lneas de trabajo que ms trascend~ncia han tenido para la evolucin de la Psicometra: el estudio de las diferencias individuales; para la otra lnea: la Psicofsica, se puede recurrir a la bibliografa complementaria del tema. Por ltimo, se sealan los acontecimientos que han marcado la consolidacin de la disciplina.

Estudio de las diferencias individuales

Debemos advertir de una doble simplificacin. Primera, dejar a un lado, por razones de tiempo, la Psicofsica impide lograr una visin comprehensiva de la historia de la medicin en Psicologa; segunda, la que vamos a cometer en este apartado, reducir la historia del estudio de las diferencias individuales a la historia de los tests psicolgicos y presentarla recurriendo a las aportaciones de algunas figuras clave. La ltima es reduccionista pero difcil de evitar: gran parte de la Pscometra actual no se puede comprender sin atender a los antecedentes y orgenes histricos de los tests psicolgicos y de la medida de la inteligencia.

El rpido progreso econmico y social en la Europa de finales del siglo XIX plante la necesidad de evaluar las capacidades y conocimientos de los individuos en contextos educativos, laborales, etc. Si la Filosofa y la Fisiologa fueron las disciplinas que ms influyeron en el trabajo de los primeros psicofsicos, el impacto ms dramtico sobre el estudio de las diferencias individuales vino de la Biologa. Al tiempo que Fechnner presentaba sus trabajos, Darwin (1809-1882) present su teora en La Evolucin de las Especies (1859) y su aplicacin al estudio del hombre en El origen del hombre y la seleccin en relacin al sexo (1871). Darwin defendi que la inteligencia y el sentido moral tambin se haban ido perfeccionando de manera gradual a travs de la seleccin natural. Al defender esta idea Darwin no hacia sino reflejar la visin cientfica y la opinin popular dominante en la Inglaterra del siglo XIX, que justificaba el colonialismo y el sistema de clases bajo la creencia de que el hombre de letras ingls de clase media era el pico de la evolucin humana (Rust y Golombok, 1989).

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No es exagerado afirmar que las necesidades de la evaluacin educativa fueron las primeras demandas sociales con un impacto significativo y duradero en la evolucin del estudio de las diferencias individuales y, por ende, de la Psicometra. Los intentos por medir la inteligencia como respuesta a esas demandas caminan de la mano de los desarrollos metodolgicos durante este periodo.

Thorndike (1997} seala al movimiento hacia la educacin obligatoria en Francia, Inglaterra y Estados Unidos a finales del siglo XIX, como uno de los desarrollos crlticos que propiciaron la medida de la inteligencia. La llegada por primera vez a las escuelas de nios cuyos padres no haba recibido una educacin o, como en el caso americano, cuya lengua materna no era el ingls, gener una heterogeneidad en la poblacin de alumnos como antes no se haba conocido. La exposicin de estos nios a un currculo antiguo, diseado para un grupo selecto de estudiantes, trajo como resultado niveles dramticos de fracaso escolar prximos al 50%. Este fracaso fue visto como una prdida de recursos en un tiempo en que eran limitados, de forma que se plante la necesidad de destinar los recursos a quienes mas se pudieran beneficiar, el medio: la evaluacin de la inteligencia. Este es el contexto en el que se debe situar la obra de Bine!

Los pioneros de la Psicologia llevaban aos intentando una formulacin aceptable de la inteligencia. Segn Rust y Golombok (1989rlos primeros autores tenian unas definiciones de la inteligencia que no iban ms all de lo que podra ser la psicologa popular del maestro comn de escuela. Se reconoca la diferencia entre una persona educada y una persona inteligente, entendiendo esta ltima como una persona "educable", con un origen esencialmente gentico y receptora ideal de los recursos educativos, frente a los "torpes" incapaces de beneficiarse de la educacin normal.

Entre los pioneros en el estudio de las diferencias individuales destaca el considerado por muchos autores, como el fundador de la Psicometra: Francis Galton. Primo de Darwin, inici sus investigaciones llevado por el objetivo de mostrar el componente hereditario del "genio". Para ello reuni el primer banco con los datos de personas relacionadas y no relacionadas. Influido por el asociacionismo de Locke y llevado por sus observaciones de que las personas con deficiencias mentales presentaban una peor ejecucin a la hora de discriminar sensaciones de fro, calor, dolor, etc., pens que la discriminacin sensorial podia ser el medio para cuantificar el intelecto de una persona. Sus aportaciones propiamente metodolgicas abarcan la formulacin de las bases de procedimientos estadsticos, como el "coeficiente de correlacin" desarrollado por K. Pearson (1857-1936}, las intuiciones sobre la forma de "campana", como imagen para describir la distribucin de puntuaciones en un test, as como las primeras aplicaciones de las escalas de "rating" y los mtodos de cuestionario (Anastasi y Urbina, 1997).

J. M. Catell (1860-1944} trabajo con Wundt, con quin comparti el inters por los fenmenos perceptivos y sensomotores, y el rigor en el control de las condiciones en que se realizaban las observaciones, pero de quin se distanci ante el despreci del experimentalista alemn por las diferencias individuales. Ms tarde trabajo con Galton e inici en Estados Unidos el estudio de las diferencias individuales. Acu el trmino "test mental" en un articulo publicado en 1890 en la revista Mind bajo el titulo "Mental test and measurements". Asumi la idea de Galton sobre la posibilidad de medir las funciones intelectuales por medio de tests de discriminacin sensorial y tiempo de reaccin. Sin embargo. los primeros estudios que se realizaron para evaluar este tipo de tests ofrecieron resultados



desalentadores: el "rendimiento intelectual" mostraba poca correspondencia de unos tests a otros y prcticamente ninguna relacin con estimaciones independientes del nivel intelectual realizadas por los profesores. Por el contrario, Ebbinghaus, apuntando ya un cambio de enfoque, haba obtenido con un test de terminacin de frases una correspondencia clara con el rendimiento acadmico de los nios.

Pero sin duda, la consolidacin social de la medicin psicolgica vino de la obra del francs Alfred Bine! (1857 -1911) cuya influencia en el desarrollo de la teora de los tests perdura en la actualidad. Bine! ya a finales de los aos noventa del siglo XIX critic la aproximacin de Galton y Cattell con el argumento de que para medir procesos mentales complejos era necesario observar la ejecucin de los individuos en actos mentales complejos, rechazando la idea de que fuese necesaria una mayor precisin para la que no haba instrumentos disponibles, ya que las diferencias individuales eran mayores respecto a los procesos superiores que en cuanto a la discriminacin sensorial.

Bine! recibi en 1904 el encargo del ministerio francs de instruccin pblica de elaborar un instrumento de medida capaz de diferenciar entre los nios "educables" y los que no podran beneficiarse de la educacin normal. Junto con su colaborador Simon present en 19051a primera versin del test Binet-Simon. El test estaba formado por 30 problemas o tareas dispuestos en orden de dificultad creciente, que median la capacidad de juicio, razonamiento y comprensin. Para determinar el nivel de dificultad, los problemas haban sido administrados a 50 nios de entre 3 y 11 aos ms a algn nio retrasado. La segunda versin del test editada en 1908, inclua un nmero mayor de tems junto con la eliminacin de algunos que se haban considerado podan reflejar diferencias en funcin de la extraccin social de los nios, adems aparecan ya agrupados por niveles de edad. Bine! prefiri el trmino "nivel mental" al de "edad mental" popularizado por las sucesivas traducciones de la escala, ya que el primer trmino estaba exento de las connotaciones evolutivas del segundo. Al poco tiempo de su presentacin, el test de Bine! y Simon fue traducido a diferentes idiomas y aplicado en diversos paises, lo que prueba la favorable acogida social que recibi.

El inters por la obra de Bine! se ha mantenido a lo largo del tiempo. Van der Linden (1986) ha resaltado las contribuciones estrictamente metodolgicas de la aproximacin de Bine! a la medida de la inteligencia. Primero, frente a los experimentos antropomtricos y psicofsicos que planteaban una nica tarea, Binet decidi alargar la longitud del test por dos motivos: a) el conjunto de items deba ser una representacin adecuada de la gran variedad de tareas a las que se debe enfrentar una persona en su vida diaria: y b) conocedor de las teoras de Spearman entendi que cada tem en s mismo era una media imprecisa, por lo que era necesario combinar observaciones de un buen nmero de tems para obtener una medida fiable. Segundo, la insistencia de Binet en la estandarizacin de la aplicacin del test, reflejada en la extrema precisin de las guias sobre el material, la administracin, la puntuacin y la interpretacin de las mediciones. Por ltimo, la prctica de "normativizar" el test para iniciar una interpretacin relativa de la ejecucin de las personas.

Tras las aportaciones de Binet, los mayores desarrollos en la medicin de las diferencias individuales hay que buscarlos en un rea y lugar diferente. El test de Bine! fue introducido en Estados Unidos por H. H. Goddard, cuya traduccin y adaptacin recibieron el beneplcito de la audiencia mdica, al venir a cubrir la necesidad de una medida estandarizada y objetiva para el diagnstico de la subnormalidad. Sin embargo, fue rpidamente desplazada por la revisin y adaptacin psicomtricamente ms slida, realizada por L. M. Terman en 1916 en la Universidad de Stanford. Al entrar Estados Unidos en la Primera Guerra Mundial, un comit encabezado por R. M. Yerkes detecta la



necesidad de clasificar de forma rpida al milln y medio de reclutas con respecto a su nivel intelectual. De nuevo, una demanda social provoca un avance metodolgico: los primeros tests de inteligencia de administracin grupal y no verbales, para evaluar a los reclutas analfabetos o que no tenlan como lengua materna el ingls. En este contexto hay que situar las contribuciones de A. S. Otis, por la introduccin del formato de eleccin mltiple y otros formatos de puntuacin objetiva. Impulsado por las necesidades militares aparece tambin el primer test estandarizado para la evaluacin de variables de personalidad: el "Personal Data Sheet" de R. S. Woodworth, un instrumento pensado para la deteccin de personas con inestabilidad emocional.

La consolidacin institucional de la Psicometria

De forma paralela a los avances tericos y las aplicaciones prcticas, se fue produciendo la consolidacin institucional de la Psicologa y, claro est, de la propia Psicometra. Esta consolidacin se refleja en la creacin de asociaciones profesionales, de publicaciones especializadas para la comunicacin entre profesionales y de empresas privadas dedicadas desde el inicio al floreciente negocio de la evaluacin psicolgica.

J. Jastrow habla sobre los tests en la primera convencin de la American Psychological Association (APA) en 1892. La APA form en 1895 un comit especializado en la nueva tecnologa de los tests. En 1899 Kilpatrick. presidente de la APA, realiz un llamamiento a los psiclogos para que elaboraran tests de tal naturaleza que " ... pudieran ser aplicados tanto a nios como adultos, que fueran de tal fonna que todas las personas tuvieran las mismas oportunidades de mostrar las capacidades examinadas, y que en aras de la economa del tiempo fueran diseados de forma que se pudieran administrar a una clase o escuela de una veZ:' (Thorndike. 1997, pg. 6). Impulsado por la figura clave de Terman el uso de los tests de inteligencia en las escuelas creci rpidamente. El propio Terman calcul que en el periodo entre 1920 y 1921 ms de dos millones de nios habfan respondido a un test de inteligencia. El uso de test tambin se extendi al mundo laboral como prueba su incorporacin a las prcticas de seleccin de la administracin americana.

Cattell fund la Psychological Corporation para la produccin industrial de tests en 1922. En 1947 se funda el Educational Testing Service (ETS) institucin sin animo de lucro que no slo se ha encargado de la produccin de tests estandarizados de rendimiento y tests de aptitud acadmica, sino que desde su constitucin, ha contribuido a la formacin y practica profesional de influyentes psicmetras. Desde 1975, el ETS edita en formato CD-ROM el proyecto ERIC donde con una periodicidad anual se recoge la informacin disponible sobre tests, escalamiento y medicin psicolgica y educativa.

Galton, Pearson y Weldon fundaron en 1901 la revista Biometrika que desde entonces publica trabajos matematicos relacionados con la Biologa y la Psicologa. Thorndike funda en Estados Unidos en 1936 la publicacin Psychometrika, revista de referencia para la Psicometria desde sus inicios. Desde entonces, la aparicin de revistas relacionadas con la medicin psicolgica ha sido continua. Como muestra se pueden citar el Educational and Psychological Measurement (1941), el British Joumal of Statistical Psychology (ahora con el nombre de British Jorunal of Statistical and Mathematical Psychology) (1947), el Journal of Mathematical Psychology y el Joumal of Educational Measurement (1964), el Multivariate Behavioral Research y el Aplied Psychological Measurement (1977), el Applied Measurement in Education (1988). etc.



Un acontecimiento que se ha convertido en referente obligado para todos los profesionales es la publicacin por las asociaciones profesionales ms relevantes de las guias tcnicas y ticas de la medicin psicolgica y educativa. Las recomendaciones elaboradas por la APA son, sin duda, las que han tenido y tienen una mayor influencia.

Tablas cronolgicas con los acontecimientos, figuras, publicaciones, etc., relativas a la medicin psicolgica y educativa pueden consultarse en numerosas fuentes (e. g., Anastasi y Urbina, 1997; Muiz, 1998).

La Psicometra espaola

La aparicin de la Psicometra en Espaa est ligada al nacimiento y desarrollo de la propia Psicologa cientfica al igual que en el resto del mundo. Carpintero (1996) seala uno de los rasgos distintivos de la psicologa espaola que tambin imprime carcter a la propia Psicometra: Espaa ha sido un pas ms receptor que creativo y el inters por la disciplina fue el resultado de la constatacin de que la Psicologa poda ofrecer soluciones prcticas en mbitos como la educacin, la clnica o la empresa.

Autores del Renacimiento como Luis Vives (1492-1540) o Huarte de San Juan (1530-1589) son los iniciadores de una tradicin que retomar la psicologa cientfica cuando inicia su andadura en las ltimas dcadas del siglo XIX. Carpintero (1996) sita en la Guerra Civil la frontera divisoria entre dos pocas. Antes de la ruptura que supuso la guerra es posible rastrear entre las aportaciones de diferentes figuras los antecedentes de la Psicometra espaola. Muiz (1991) recoge una resea de un libro publicado por Julian Besteiro en 1897 con el ttulo de La Psicofsica. Carpintero (1996) destaca entre los personajes de lo que denomina "la primera psicotecnia" a Emilio Mira y Lpez (1896-1964). Mira fund en Barcelona el lnstitut d'Orientacio Professional en 1918, realiz trabajos en el campo de la orientacin y seleccin profesional y fue autor de un test influido por el acercamiento sensomotriz a la consciencia: el Test Miokinetiko (PMK). Carpintero (1996) achaca a la falta de un anlisis masivo de sujetos normales en contextos industriales o militares al igual que se hacia en Estados Unidos, la falta de una consciencia amplia sobre la utilidad social de la Psicologa durante este periodo.

Jos Germain (1898-1986) habla iniciado su labor antes de la guerra en el entorno intelectual de la Institucin Libre de Enseanza, como prueba la adaptacin y baremacin para la poblacin espaola del test de Terman que realiz junto a Mercedes Rodrigo en 1930. Sin embargo, destaca su figura por ser el iniciador, junto con sus discpulos, del largo proceso de recuperacin de la psicologla cientfica en Espaa de los aos cuarenta. Germain fue en 1948 el primer director del recin creado Departamento de Psicologa Experimental, dentro del Instituto de Filosofa del Consejo Superior de Instituciones Cientficas. Entre los discpulos de Germain se encontraba Mariano Yela (1921-1994) figura sin la que es imposible entender la Psicometra espaola. Para obtener una idea global de la persona y obra de Yela es til leer la monografa que la revista Psicothema public en 1996 poco despus de su fallecimiento (vol. 8).

La Psicometra espaola carece de una revista especfica aunque son muchas las publicaciones peridicas que dedican un apartado a la metodologa de la medicin psicolgica. En 1995 se constituy la Asociacin Espaola



de Metodologa de fas Ciencias del Comportamiento (AEMCO), encargada de organizar los Congresos de Metodologa que con periodicidad bienal, van ya por su sexta celebracin. AEMCO ha editado en 1999 el primer nmero de la revista Metodologa de fas Ciencias del Comportamiento con la pretensin de ser el lugar de referencia para las publicaciones de los metodlogos espaoles en el mbito de las ciencias humanas y sociales.

RELACION PSICOMETRIA - PSICOLOGIA.

Las primeras pruebas psicometricas tuvieron lugar en intima conexin con los comienzos de la psicologa experimental y sirvieron para la investigacin de ciertos aspectos de la pscofisologia humana, luego se emplearon en la psicologa diferencial siendo as el soporte de los test mentales; los esfuerzos de la psicologa experimental se centran cada vez mas en la ideacin de mtodos e instrumentos que permitan obtener medidas del comportamiento humano.

Ademas la psicometra se encuentra estrechamente ligada con las matemticas en especial con la estadstica.

EL OBJETO DE LA MEDICIN EN PSICOLOGA _____r-~

Al presentar las defi1_1icio~~s expl_~!!_as d_e la P~_icometra elaboradas por difererit~s 3-ures, se entresacaron sus elementos comunes: disciplina metodolgica, sin contenido psicolgico prOPio, pero con un dominio sustantivo: la teora de la medicin psicolgica en un sentido amplio. La definicin de Muz (1998) seala adems, el rasgo definitorio de la preocupacin psicomtrica por la medida: las condiciones mtricas exigibles a todas medicin. Sin embargo. hay otra fuente de singularidad en la preocupacin psicomtrica por las condiciones mtricas de la medicin que no es posible soslayar: la que viene impuesta por la peculiaridad de los objetos psicolgicos de medicin.

A diferencia de las variables fsicas, las variables psicolgicas no se pueden observar de manera directa. No quiere esto decir, que en psicologa no se midan conductas directamente observables, cuya cuantificacin se suele obtener a travs de alguno de sus parmetros: duracin, frecuencia, intensidad, etc., sino que, incluso en estos casos, la conductas observables se interpretan como indicios o resultado de variables inobservables ms complejas. Atributos como "autoestima", "habilidad lectora", "razonamiento analgico", etc., son variables inobservables que slo es posible medir por medio de los comportamientos observables a los que den lugar.

Hay un amplio consenso sobre el trmino con el que referirse de forma genrica a los objetos de medicin: constructos. El trmino "constructo" se ha hecho familiar en el campo de la medicin psicolgica desde su utilizacin en el artculo de L. Cronbach y P. E. Meehl titulado "Construct validity in Psychological Test" (1955). Cronbach y Meehl (1955) entendieron por constructo un instrumento intelectual para organizar la experiencia en categoras. Cracker y Algina (1986) lo definen como " ... productos de la imaginacin informada de los cientlficos sociales qu intentan desarrollar teorias para explicar el comportamiento humano" (pg. 4 ).



Cracker y Algina (1986) ilustran el proceso de elaboracin de constructos insistiendo en su papel de "etiqueta" para resumir comportamiento y remarcan la importancia de establecer alguna regla de correspondencia entre el constructo y los comportamientos observables que son sus indicadores legtimos. La dificultad a la hora de encontrar la conexin "legtima" entre el constructo y sus indicadores comportamentales es valorada como uno de los lastres que impide el desarrollo de la medida psicolgica.

Lord y Novick (1968) fijaron la definicin obligatoria de los constructos como requisito previo para su medicin. La definicin de los constructos se debe abordar a dos niveles:

)> Definicin operacional o "semntica". Consiste en enumerar la serie de comportamientos indicadores que "engloba" el constructo. Dichos comportamientos son considerados los "indicadores empricos" del constructo objeto de la medicin. La importancia de la definicin operacional es evidente: debe conectar la "etiqueta verbal" con los datos observables.

>- Definicin conceptual o "sintctica". Recoge la teora sobre el constructo objeto de la medicin. Se trata de un discurso "conceptual" en el que se hacen explcitas las relaciones del constructo objeto de la medicin con otros constructos y/o indicadores empricos de otros constructos con los que el objeto de la medicin est relacionado.

La definicin de los constructos a los dos niveles anteriores es el primer paso inexcusable a la hora de iniciar cualquier medicin. El supuesto sobre la estabilidad de los constructos

La medicin psicolgica asume, o al menos tiene en cuenta, algunos supuestos sobre la naturaleza del objeto de la medicin, es decir, sobre la naturaleza de los constructos. Sin duda, el supuesto comn a la prctica totalidad de los modelos de medicin es el de la estabilidad de la variable.

Numerosos estudiosos de la medicin psicolgica defienden la idea de que las diferentes versiones de la teora de los tests (e. g., la teora clsica, la teora de la generalizabilidad y la teora de respuesta al tem) estn elaboradas para hacer inferencias con el mismo "esqueleto": la tendencia de las personas a comportarse de manera

prescrita en situaciones prescritas a partir de sus repuestas a un conjunto de tareas predeterminadas. Por ejemplo, la perspectiva tradicional para medir la inteligencia responde a este esquema inferencia!: empleo de tests estandarizados, compuesto por tems o tareas predeterminadas, aplicados bajo condiciones estandarizadas y con la pretensin de predecir el rendimiento futuro de las personas en situaciones igualmente "estandarizadas": la escuela, el trabajo, el ejercito, etc., En definitiva, los modelos de medida se han elaborado bajo el supuesto de estabilidad de la variable.

El supuesto de estabilidad est siendo amenazado por las perspectivas ms recientes sobre la evaluacin psicolgica, es decir, por la necesidad de extender el "paradigma metodolgico tradicional" para responder, por ejemplo, a las inferencias que el paradigma cognitivo plantea sobre las personas: las formas de uso y adquisicin de conocimientos y habilidades, en definitiva. para modelar el cambio.



La polmica sobre el objeto de la medicin

La cuestin sobre la naturaleza del objeto no ha estado exenta de debate a lo largo de la historia de la medicin psicolgica como reflejo de las discusiones sobre el propio objeto de estudio de la psicologa. Resulta diffcil evitar plantearse preguntas como las lanzadas por Meli (1990): "Cuntos atributos latentes o rasgos subyacentes existen? ... en qu medida son estables o evolucionan? son comunes a todas las personas?' (pg. 37).

Rust y Golombok (1989) defienden que la discusin sobre el objeto de medicin ha dividido a la Psicometria en dos escuelas: la Psicometra del rasgo y la Psicometra funcional. Spearman (1904, 1907) da carta de naturaleza a la Psicometria de los rasgos al plantear que la esencia de la tarea de la medida mental es identificar rasgos a travs de las tendencias de los individuos a comportarse de formas prescritas en situaciones prescritas. El fuerte carcter hereditario atribuido por los pioneros de la medida mental a los rasgos aparece suavizado en la definicin de Messick (1989): "Un rasgo es una caracteristica relativamente estable de una persona -un atributo, proceso duradero o disposicin- que se manifiesta consistentemente en algn grado a pesar de variaciones considerables en el rango de contextos y circunstancias" (pg. 15). Por el contrario, la Psicometria funcional defiende como un principio de partida que ningn rasgo o variable psicolgica interviniente es relevante. Plantea que dado que es posible definir y medir directamente los comportamientos a los que supuestamente conducen los rasgos, el papel de estos es redundanle.

Rus! y Golombok (1989) contrastan la preeminencia de la Psicometra funcional en la evaluacin educativa, con la de la Psicometria de los rasgos para la evaluacin clnica; y proponen resolver el enfrentamiento atendiendo a los procesos de toma de decisin que realizan los clientes de la evaluacin y de la seleccin psicomtrica: las decisiones se realizan resumiendo la medicin en trminos de rasgos que reflejan lo que denominan "la psicologa popular humana" ("don de gentes", "genio", "liderazgo", etc.).

EL MTODO DE LA PSICOMETRA

Meli (1990) plantea que la conexin entre la Psicometria y la psicologa matemtica, permite considerar el mtodo de la Psicometra desde una doble vertiente: por un lado, en tanto que la teora psicomlrica se refiera a contenidos empricos, el mtodo no es otro que el mtodo cientfico propio de toda ciencia emprica: y por otro lado, el componente matemtico de los modelos formales de medicin, sujeta a la teoria psicomtrica, como a la psicologa matemtica, a los criterios formales de las matemticas.

La relacin entre la psicologa matemtica y la Psicometra ha llevado a algunos autores a defender que el mtodo de la Psicometra es el de la psicologia matemtica. El esquema elaborado por Jez (1989) es la referencia obligada a la hora de presentar el mtodo de la psicologa matemtica. De manera resumida, dos son las caractersticas distintivas del mtodo de la psicologa matemtica: a) la presentacin formal, generalmente en


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trminos matematicos, del componente terico; y b) el recurso a procedimientos deductivos basados en la lgica o a procedimientos de simulacin a la hora de derivar las consecuencias del modelo matemtico.

Mencin especial merece la simulacin, por la preponderancia que esta adquiriendo en Psicometria. El papel metodolgico de la simulacin no resulta fcil de establecer. Muchos campos de la Psicometria la utilizan como tcnica de obtencin de datos, cuando el problema de investigacin hace imposible contrastar el modelo con datos empricos. Este es el caso cuando se pretende descubrir las propiedades y caractersticas de indices estadisticos, mtodos de estimacin, potencia de contrastes, etc. Adems, la simulacin preserva tambin el estatus de mtodo en cuanto generadora de conocimiento.

El analisis del mtodo no puede obviar el papel instrumental de la Psicometria como herramienta metodolgica para la contrastacin emprica de las teoras psicolgicas. La aplicacin del mtodo cientfico en psicologa obliga a que la Psicometria desempee un papel activo en diferentes momentos del proceso. Arnau {1989) articula las relaciones entre el plano terico y emprico del mtodo cientfico en tres niveles: el nivel terico-conceptual, que abarca desde el planteamiento del problema hasta la formulacin de hiptesis empricamente contrastables; el nivel tcnico-metodolgico que abarca el plan de investigacin y la estrategia de recogida de datos; y el nivel estadstico-analtico, donde se realiza la modelizacin estadstica de los datos y las inferencias sobre las hiptesis sometidas a contrastacin. La generalizacin de los resultados hace retornar la aplicacin del mtodo al nivel terico-conceptual con lo que se cierra el ciclo. La Psicometra acompaa a la aplicacin del mtodo en cada uno de los tres niveles.

El nivel terico conceptual recoge a teora que contextualza el problema de investigacin. La teoria debe incluir la definicin operacional y "sintactica" de los constructos implicados en las hiptesis. A su vez, la teora condiciona la eleccin del modelo de escalamiento y, por tanto, de las condiciones mtricas que se exigirn a las mediciones. La red nomolgica desempea adems un papel crucial durante la elaboracin de tests para determinar la utilidad de las puntuaciones obtenidas.

El nivel tcnico metodolgico implica la construccin o seleccin de los instrumentos de medida idneos para la medicin de los constructos de inters. La Psicometria debe guiar el proceso de elaboracin de instrumentos, teniendo en cuenta la teora psicolgica y el modelo de medida seleccionados en el nivel terico-conceptual.

Dentro del nivel estadstico analtico, las propiedades mtricas de las mediciones valoradas en el nivel anterior, condicionarn la modelizacin estadistica de los datos y la elaboracin de proposiciones a partir de los resultados. Por ejemplo, la informacin sobre la fiabilidad y validez de las mediciones, condicionar la generalizacin de los resultados en el regreso del proceso de investigacin al nivel terico conceptual.



LOS CONTENIDOS DE LA PSICOMETRA

Hay un consenso amplio en la disciplina sobre cuales son los contenidos propios de la Psicometria. Las diferencias entre las propuestas de los autores responden a las distintas tradiciones de investigacin de las que procedan o a diferencias en las estrategias de estudio de una misma temtica. Si se unen las diferentes versiones de la teoria de los tests bajo una denominacin comn, se obtiene la divisin en tres grandes grupos de los contenidos psicomtricos: teoria de la medicin, escalamiento y teoria de los tests. Los dos primeros contenidos han sido o sern objeto de un tema en el programa de la asignatura. La teoria de los tests es introducida en el siguiente apartado.



EJERCICIOS 1.0

Nombre: ------------------'------Matricula, ____ _

1. Menciona al menos tres definiciones de Psicometra.

2.- Realiza un cuadro sinoptico en el que esquematices la historia de la psicometra.



3.- Que relacin existe entre la psicologa y la psicometria.

4.- Menciona los pioneros de la psicometra.

5.- Quien fue Bine! y que papel jugo en la psicometria.

6.- Menciona tres aportaciones de Binet.

7.- Cuando se consolido a la psicometra como una disciplina

8.- De que habla la psicometria Espaola



9.- Cual es la relacin entre la psicologia y la psicometra.

10.- Cual es la finalidad de la medicin en la psicologa.



CAPITULO 2

PSICOMETRA Y ESTADISTICA

CONCEPTOS GENERALES

Se llama poblacin estadlstica al conjunto de todos los elementos que cumplen una o varias caractersticas o propiedades.

Una muestra es un subconjunto de los elementos de una poblacin.

Un parmetro es una propiedad descriptiva de una poblacin. Un estadstico es una propiedad descriptiva de una muestra.

Una caracterstica es una propiedad o cualidad de un individuo. Una modalidad es cada una de las maneras como se presenta una caracterstica.

MEDICIN

La estadstica no realiza sus funciones directamente sobre las modalidades observadas, sino que stas se representan por nmeros, y la estadstica realiza sus funciones sobre esos nmeros.

Se llama medicin al proceso de atribuir nmeros a las caractersticas.

La asignacin de nmeros a las caractersticas se hace siguiendo unas reglas, del estudio de los modelos mediante los cuales conocemos las reglas para una correcta atribucin de los nmeros se ocupa la Teora de la Medida.

A partir de una caracterstica se puede establecer un sistema relacional empmco {emprico, porque se refiere a entidades y relaciones reales). El sistema numrico est formado por un conjunto de entidades (nmeros) y unas relaciones entre ellos. Se trata de un sistema relacional numrico.

El objetvo de la medicin de una caracterstica es conectar un sistema relacional emprico y un sistema relacional numrico, de tal forma que las relaciones entre las entidades se reflejen en las relaciones entre los nmeros que los simbolizan. Slo si se consigue este objetivo ocurrir que de las relaciones entre los nmeros podrn hacerse inferencias vlidas acerca de las relaciones entre las entidades.

La medicin estudia las condiciones de construccin de representaciones numricas, y los modelos desarrollados para la medicin se llaman escalas.



Tenemos las escalas nominales. ordinales, cuantitativas de intervalo y cuantitativas de razn.

Escalas nominales: la clave de estas escalas de medida es que slo informan de la igualdad o desigualdad de los individuos en una caracterstica, pero no de posibles ordenaciones, puesto que la caracterstica a la que se refieren no se tiene en mayor o menor medida, sino que simplemente adopta formas cualitativamente distintas.

Un concepto ntimamente ligado al concepto de escala, y que de hecho las caracteriza, es el de transformacin admisible, que hace referencia al problema de la unicidad de la medida. La cuestin de la unicidad puede plantearse de la siguiente forma: es la representacin numrica que hemos construido la nica posible? En general la respuesta ser negativa.

Se dice que una transformacin de los nmeros asignados en una escala es una transformacin admisible si preserva las caractersticas que definen a esa escala, es decir, si los nmeros transformados tambin representan al sistema emprico.

Esta transformacin de los valores originales es una transformacin admisible porque los valores obtenidos mediante su aplicacin siguen cumpliendo las condiciones especificadas anteriormente para toda escala nominal. En trminos ms tcnicos diramos que en una escala nominal son admisibles todas las transformaciones que supongan aplicaciones inyectivas.

La aplicacin de una regla de asignacin de nmeros a las diferentes cantidades de tal forma que los nmeros asignados a los objetos reflejen esos distintos grados en los que se presenta la caracterstica. Los nmeros asignados nos permitirn extraer conclusiones acerca de las magnitudes. A veces lo nico que esos nmeros nos permiten inferir son relaciones de tipo "mayor que" o "menor que"

A aquellas escalas de medida que cumplen estas caractersticas se les llama escalas ordinales. Tambin se dice que se est haciendo una medicin a nivel ordinal. Los objetos pueden ordenarse, y de ah el nombre de la escala.

En psicologfa son muchas las caractersticas cuya medicin se considera que est a nivel ordinal, pues son muchos los casos en los que lo nico que puede decirse es que un individuo es ms extravertido que otro, que un nio es ms hiperactivo que otro, o que el aprendizaje es ms rpido con el mtodo A que con el mtodo B.

Apliquemos de nuevo el concepto de transformacin admisible a este tipo de escalas. No todas las transformaciones que eran admisibles en las escalas nominales lo son para las escalas ordinales.



Al igual que en las escalas nominales, las ordinales tienen unas transformaciones admisibles, que lgicamente sern todas aquellas que preserven las caractersticas de la escala ordinal. Se puede demostrar que esto ocurre con todas aquellas transformaciones que cumplan la condicin de ser transformaciones crecientes.

Se dice que la transformacin es creciente si para todo par de objetos a y b se cumple la siguiente condicin:

Sin (a)> n (b), entonces t[ n (a)] > t[n(b)]

La limitacin de las escalas ordinales es que aunque nos informa de que un objeto presenta la caracterstica en cuestin en una mayor magnitud que otro objeto, no nos dice en cunto ms. Para poder extraer conclusiones ms precisas, como la de en cunto ms presenta la caracterstica un objeto sobre otro, hay que contar con una unidad de medida, y para ello hay que pasar al siguiente tipo de escala.

Escala de intervalo, la tercera condicin aadida a las exigidas para una escala ordinal impone que el nmero asignado al objeto y que representamos por n(o;), sea una funcin lineal de la magnitud real que ese objeto representa en la caracterstica en cuestin. Cuenta con una unidad de medida, si se cumple esta tercera condicin podemos extraer consecuencias acerca de la igualdad o desigualdad de diferencias.

Si la diferencia entre los nmeros asignados a dos objetos es igual a la diferencia entre los nmeros asignados a otros dos, tambin son iguales las diferencias en magnitudes entre estos dos pares. Una mayor diferencia entre los nmeros asignados implica una mayor diferencia entre las magnitudes representadas.

El ejemplo clsico de este tipo de escalas es el de las temperaturas.

Las transformaciones admisibles para las escalas de intervalo no significan ms que un cambio en la unidad de medida y en el origen asignado a la escala, valores ambos arbitrarios en este tipo de escalas.

La principal limitacin de este tipo de escalas es que no tiene un cero absoluto. El nmero cero no representa realmente la ausencia de esta caracterstica.

LAS ESCALAS DE RAZN

Esta tercera condicin cumple la funcin de preservar el significado del valor cero, de forma que siempre representa la ausencia de esa caracterstica. La consecuencia fundamental de la presencia de un origen absoluto, y no arbitrario, es que adems de poder extraer conclusiones acerca de la igualdad o desigualdad de diferencias, tambin puede hablarse de la igualdad o desigualdad de razones.



NOMINAL

El sexo de los individuos se clasifica simbolizando con un O "hembra" y con un 1 "varn". Posteriormente se hace una transformacin admisible, O-> 5 y 1 -> 3.

ORDINAL

La dureza de los elementos se ordena, asignndoles nmeros que representen esa ordenacin. Posteriormente se hace una transformacin admisible, es decir, una que respeta esa ordenacin.

INTERVALO

Las cantidades de calor, pueden representarse por distintos conjuntos de nmeros, en tanto en cuanto en ellos se mantenga la diferencia de temperatura entre los objetos 1 y 2 sea la misma que la diferencia entre los objetos 3 y 4, y ambas sean mayores que la diferencia entre los objetos 2 y 3. Estas condiciones las cumplen tanto la escala centigrada como la escala Fahrenheit. Adems, de cualquiera de ellas puede pasarse a la otra, pues cada una es una transformacin admisible para la otra. Cada una tiene su propia unidad de medida y su origen propio.

RAZN

Las longitudes, pueden representarse tambin por distintos conjuntos de nmeros, en tanto en cuanto en ellos se mantenga que le objeto 2 tenga el doble que le objeto 1, y que el cociente entre los nmeros asignados a los objetos 3 y 1 sea mayor que el cociente entre los nmeros asignados a los objetos 2 y 1. Estas condiciones se cumplen tanto al medir en metros como al medir en yardas. Se puede pasar de una a otra, son transformaciones mutuamente admisibles, ya que aunque cada una tiene su unidad de medida, ambas respetan el cero absoluto, que coincide con las dos, y representa la ausencia de esta caracterstica.

Transform. Tipo Informacin deducible Ejemplos

admisibles

Nominal Relaciones "igual que" o "distinto Aplicaciones

Sexo, estado civil, diagnstico clinico. que" inyectivas

Ordinal Relaciones "mayor que" o "igual

Funciones crecientes Dureza, nivel socioeconmico, grado de

que" asertividad

Intervalo Igualdad o desigualdad de

A + b . x (b" 0) Temperatura, calendario, inteligencia. diferencias

Razn Igualdad o desigualdad de

B. X (b *O) Longitud, peso. razones



LAS VARIABLES: CLASIFICACIN Y NOTACIN

Una variable es una representacin numrica de una caracteristica.

Ejemplo Tipo de estudio Variables Tipo de escala 1 Descriptivo Grado de patrn A Intervalo 2 Inferencia! Grupo, Nivel cultural, Inteligencia, estrs. Nominal, Ordinal, Intervalo. Intervalo 3 Inferencia! Tiempo de reaccin Razn 4 Inferencia! Intencin de voto Nominal

Estadstica descriptiva con una variable

ORGANIZACIN Y REPRESENTACIN DE DATOS

Distribucin de frecuencias

La distribucin de frecuencias es un instrumento diseado para cumplir tres funciones:

Proporcionar una reorganizacin y ordenacin racional de los datos recogidos. Ofrecer la informacin necesaria para hacer representaciones grficas Facilitar los clculos necesarios para obtener los estadsticos muestrales

Se llama frecuencia absoluta de un valor X,, y se simboliza por n;, al nmero de veces que se repite el valor X, en la muestra.

Se llama frecuencia relativa de un valor X;, y se simboliza por p, al cociente entre la frecuencia absoluta de ese valor y el tamao de la muestra. Es decir: p, = n,/ n

Se llama frecuencia absoluta acumulada de un valor )(, y se simboliza por na, al nmero de veces que se repite en la muestra ese valor)(, o cualquier otro valor inferior.

Se llama frecuencia relativa acumulada de un valor )(, y se simboliza por Pa. al cociente entre su frecuencia absoluta acumulada y el tamao de la muestra. Es decir: Pa = na 1 n.



Las frecuencias relativas, se expresan en trminos porcentuales. Suelen representarse con maysculas, para obtenerlas basta con multiplicar por 100 las frecuencias relativas. Para cualquier valor de la variable, Xt tenemos que:

P;=p; 100 y P,=p,100

Una distribucin de frecuencias se organiza en forma de tabla. En una distribucin de frecuencias completa aparece, una columna con los valores que adopta la variable, creciendo de abajo hacia arriba.

Construimos la distribucin de frecuencias siguiendo los pasos descritos:

1. Ponemos en la primera columna esos valores, creciendo de abajo hacia arriba 2. Para la columna de frecuencias absolutas contamos el nmero de veces que se repite cada valor, si el

nmero de valores es muy grande conviene ir haciendo marcas por cada valor, para contarlas al final 3. Para la columna de frecuencias relativas dividimos cada frecuencia absoluta por n 4. Para obtener las frecuencias absolutas acumuladas sumamos para cada valor su frecuencia absoluta ms la

absoluta acumulada del valor anterior. 5. Para las frecuencias relativas acumuladas dividimos cada frecuencia absoluta acumulada por n. La

frecuencia relativa acumulada del valor mayor debe ser igual a 1.

Distribucin de frecuencias construida sobre el ejemplo del nmero de hijos (texto)

x, n, PI n, p, 4 1 0.05 20 1.00 3 3 0.15 19 0.95 2 7 0.35 16 0.80 1 6 0.30 9 0.45 o 3 0.15 3 0.15

20 1.00

Agrupacin en intervalos: consisten en formar grupos de valores consecutivos, llamados intervalos, y poner uno de estos grupos en cada fila, en lugar de poner cada valor individual por separado. Cada uno de estos grupos suele indicarse en la distribucin de frecuencias poniendo los valof-es mayor y menos incluidos en l.

A continuacin se calculan las frecuencias absolutas conjuntas de los valores incluidos en el intervalo, haciendo lo mismo despus con las frecuencias relativas, las absolutas acumuladas y las relativas acumuladas.

Se llama intervalo a cada uno de los grupos de valores que ocupan una fila en una distribucin de frecuencias. En algunos textos se llaman clases.



Se llaman limites aparentes o informados de un intervalo a los valores mayor y menor que puede adoptar la variable dentro de ese intervalo, segn el instrumento de medida utilizado.

Se llaman lmites exactos de un intervalo a los valores mximo y mnimo incluidos en el intervalo y que podran medirse si se contara con un instrumento de precisin perfecta.

Se llama punto medio de un intervalo a la suma de sus limites exactos partido por dos. En algunos libros se llama marca de clase.

Se llama amplitud de un intervalo a la diferencia entre su lmite exacto superior y su lmite exacto inferior. Suele representarse por la letra l.

Para hacer una distribucin de frecuencias:

1. El intervalo superior debe incluir al mayor valor observado. 2. el intervalo inferior debe incluir al menor valor observado. 3. Cada intervalo debe incluir el mismo nmero de valores.

Dado que el objetivo de una distribucin de frecuencias es conseguir una ordenacin manejable que ayude a comprender el significado de los datos, no es conveniente que el nmero de intervalos sea demasiado grande.

Como consecuencia de lo anterior, podemos sentimos inclinados a reducir al mximo el nmero de intervalos, pero lo cierto es que esto traera consigo una consecuencia negativa, los intervalos tendran una excesiva amplitud y acabaramos teniendo a sujetos con puntuaciones muy distintas en el mismo intervalo.

El nmero apropiado de intervalos debe ser tal que, con ella se consiga una agrupacin operativa y que cumpla los objetivos para los que ha sido diseada la distribucin de frecuencias, pero sin distorsionar excesivamente los valores con el error de agrupamiento.

A veces hay casos en los que hacer un nmero de intervalos siguiendo las directrices que acabamos de plantear distorsionaran demasiado los datos.

Para evitar eso se utilizan lo que se denomina intervalos abiertos, en los cuales no se pone el lmite inferior del intervalo que incluye los valores menores, el lmite superior del intervalo que incluye los valores mayores o no se pone ninguno de estos dos. Ej.+ de ....



PROBLEMA DE LOS BORDES

Supongamos que vamos a construir una agrupacin en intervalos, siendo los valores mayor y menor observados iguales a 79 y 43, respectivamente. Como el nmero de valores distintos seria igual a 37, que es un nmero primo,. no pueden hacerse intervalos de amplitud constante tales que el mayor tenga al 79 como limite aparente superior y al 43 como limite aparente inferior. En estos casos suele aadirse al listado de valores distintos observados algunos otros valores no observados en la muestra.

Estos valores tendrn frecuencias absolutas iguales a cero, pero nos permitirn conseguir un nmero de valores distinto que sea mltiplo del nmero de intervalos que queremos hacer.

Para no distorsionar demasiado ninguno de los intervalos extremos es preferible repartirlos lo ms homogneamente posible entre los dos.

SUPUESTOS DE DISTRIBUCIN INTRAINTERVALO

Una vez confeccionada una distribucin de frecuencias con datos agrupados en intervalos, sta se puede -utilizar para hacer representaciones grficas y para facilitar los clculos de estadsticos que iremos explicando.

Dado que de cada puntuacin slo sabemos el intervalo al que pertenece, un procedimiento que a veces resultar til consiste en asumir el supuesto de concentracin en el punto medio. Segn este supuesto, trataramos a esos dos datos como si fueran dos valores iguales. Entonces este es el punto medio de su intervalo.

El supuesto de distribucin homognea, los valores incluidos en un intervalo se reparte con absoluta conformidad en su interior, si en un intervalo hay cinco observaciones, aceptaremos que sus valores son los que tendramos si partiramos al intervalo en cinco subintervalos de igual amplitud y asignramos a cada individuo el punto medio de un subintervalo.

REPRESENTACIONES GRFICAS

A partir de las distribuciones de frecuencias se pueden construir representaciones grficas. La funcin de stas es dar informaciones globales mediante un solo golpe de vista.

Representaciones grficas de uso frecuente

Diagrama de rectngulos: Para hacer un diagrama de rectngulos se colocan en el eje de abscisas las modalidades (o los nmeros que las representan) y en el eje de ordenadas las frecuencias. Sobre cada modalidad se levanta un rectngulo cuya altura es la frecuencia correspondiente. Este tipo de representaciones se suele utilizar para variables nominales, pero tambin se utiliza para variables ordinales, como el nivel cultural.



Perfil ortogonal: Se utiliza mucho en informes psicopedaggicos o de rendimiento. Calificaciones obtenidas por un alumno a lo largo de 4 exmenes.

Pictograma: Son representaciones en forma de crculos en las que stos son divididos en secciones cuya superficie es proporcional a la frecuencia de la modalidad correspondiente.

Diagrama de barras: Se utiliza para variables cuantitativas discretas. En el eje de abscisas se colocan los distintos valores de la variable y en el eje de ordenadas las frecuencias. Sobre cada valor de la variable se traza una linea o barra perpendicular cuya altura debe ser igual a la frecuencia.

Histograma: Se utiliza para variables cuantitativas continuas con datos agrupados en intervalos. En el eje de abscisas se colocan los lmites exactos de los intervalos, y en el eje de ordenadas las frecuencias.

Polgono de frecuencias: Para variables discretas, el polgono de frecuencias es la figura que resulta de unir los extremos superiores de las que hubieran sido las barras. Si se trata de las bases superiores de los rectngulos correspondientes a un hipottico histograma construido con esos mismos datos.

Diagrama de barras acumulativo: Se utiliza en variables discretas. En el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias acumuladas, ya sean absolutas o relativas. Sobre cada valor se traza una perpendicular cuya longitud sea igual a la frecuencia acumulada. Desde el extremo superior de cada una de estas barras se traza una linea horizontal que se une con la barra situada a su derecha.

Polgono de frecuencias acumuladas: Se utilizan en variables continuas. El eje de abscisas se construye igual que en los histogramas, pero en el de ordenadas se incluyen las frecuencias acumuladas, ya sean absolutas o relativas. Sobre cada lmite se levanta una perpendicular cuya longitud sea idntica a la frecuencia acumulada y se unen los extremos superiores de dichas perpendiculares.

CONVENCIONES SOBRE LAS REPRESENTACIONES GRFICAS

1. En el eje de abscisas colocamos los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias (absolutas o relativas, simples o acumuladas).

2. La interseccin de los dos ejes es el origen , de modo que en el eje de abscisas las puntuaciones ms bajas estarn a la izquierda, y las ms altas a la derecha; en el de ordenadas los valores los valores pequeos estarn abajo y los altos arriba.

3. Si el valor mnimo del eje de abscisas fuera excesivamente grande, se debe cortar la lnea



4. Conviene incluir en cada grfico toda la informacin posible para evitar ambigedades y facilitar su interpretacin por otras personas o por nosotros mismos al cabo del tiempo.

5. Cuando un mismo grfico se representan dos o ms grupos simultneamente y stos son de tamaos considerablemente distintos se deben utilizar frecuencias relativas.

Las representaciones sirven para comunicar informacin de un solo golpe de vista, y por ello en su construccin debe tenerse en cuenta el pblico al que va dirigida, sus necesidades de informaciones ms bien globales y generales o especficas y precisas, y cualquier otra consideracin que pueda mejorar la transmisin de informacin gil y precisa.

TENDENCIOSIDAD EN LAS REPRESENTACIONES GRFICAS

Un primer mtodo consiste en recortar el eje de ordenadas, eliminando los menores valores de frecuencias con la excusa de que no hay ninguna observacin que las adopte. Esto tiene como consecuencia que pequeas diferencias parezcan mayores.

Un segundo tipo de distorsin se produce cuando se utilizan figuras representativas de aquello que se est midiendo. Suelen hacerse proporcionando sus alturas a las frecuencias correspondientes, el incremento en la altura conlleva tambin un incremento en la anchura. Como consecuencia de ello, la superficie de las figuras no guarda relacin con las frecuencias observadas, dando la impresin de que la diferencia es mayor que la realmente registrada.

PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Los polgonos de frecuencias dependen demasiado de la unidad de medida utilizada, de la agrupacin en intervalos hecha y de las fluctuaciones particulares esperables en una muestra concreta. Las curvas suavizadas suelen ser representaciones ms apropiadas que los polgonos de frecuencias simples. Son cuatro las propiedades con las que describiremos las distribuciones de frecuencias:

1. Tendencia central: Una primera propiedad es la que se refiere a la magnitud general de las observaciones hechas. Esta magnitud general puede cuantificarse mediante unos indices oonocidos como ndices de tendencia central o promedios, y que reciben ese nombre porque pretenden ser sntesis de los valores de la variable.

2. Variabilidad: Grado de concentracin de las observaciones en torno al promedio. Una distribucin de frecuencias ser homogneo o poco variable si los datos difieren poco entre si, y por tanto, se agolpan en torno a su promedio. Seria heterognea o muy variable si los datos se dispersan mucho con respecto al promedio.



3. Asimetrla o sesgo: Esta propiedad se refiere al grado en que los datos tienden a concentrarse en los valores centrales, en los valores inferiores al promedio, o en los valores supriores a ste. Existe simetra perfecta cuando en caso de doblar la representacin grfica por una vertical trazada sobre la media, las dos mitades se superponen perfectamente. Las distribuciones con asimetra negativa son propias de las pruebas, tareas o tests f8ciles, en las que la mayora de los sujetos puntan alto. Las distribuciones asimtricas positivas son tpicas de pruebas, tareas o tests difciles en las que la mayora de los sujetos puntan bajo.

4. Curtosi: Se refiere al grado de apuntamiento de la distribucin de frecuencias. Si es muy apuntada se llama leptocrtica y si es muy aplastada, se llama platicrtica.

DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS

Las distribuciones de frecuencias no son el nico medio para resumir y exponer conjuntos de datos; una alternativa a ellas son los llamados diagramas de tallo y hojas.

Su obtencin requiere separar cada puntuacin en dos partes. El primer o primeros dgitos, que reciben el nombre de tallo, y el dgito o digitos restantes, que reciben el nombre de hojas; por ejemplo, X = 56 se puede separar en 5 (tallo) y 6 hoja. Estos diagramas tienen la suficiente flexibilidad como para admitir otras posibilidades.

1. Se identifican los valores mximo y mnimo observados. 2. Se toma una decisin acerca del nmero mas apropiado de tallos distintos. 3. Se listan todos los tallos distintos en una columna, ordenados de forma creciente de arriba abajo. 4. Se escribe cada hoja junto al tallo que le corresponda, preferiblemente ordenados segn su valor.

En general, un nmero de tallos superior a cinco y que no pase de 20 suele ser apropiado. Aparte de ser mas facil de construir, el diagrama de tallo y hojas tiene varias ventajas sobre la distnbucin de frecuencias, y tambin algn inconveniente:

1. Ventaja: permite identificar cada puntuacin individual. En las distribuciones tradicionales slo conocemos la frecuencia del intervalo y nos obliga a tratar los datos de ciertas maneras distorsionantes. La ventaja de retener cada valor individual viene acompaada del inconveniente de que le diagrama de tallo y hojas no facilita, como la distribucin de frecuencias ctasica, el clculo de los estadsticos que estudiaremos mas adelante.

2. Ofrece simultneamente tanto un listado de las puntuaciones como un dibujo de distnbucin, si tumbamos el diagrama obtenemos una especie de histograma.

3. Al contener los valores de cada observacin, es ms fcil de modificar para obtener un dibujo con un nivel de detalle distinto, mayor o menor, de la distribucin.



4. Pueden presentarse dos conjuntos de datos simultneamente en el mismo diagrama, con lo que se facilita la comparacin.

MEDIDAS DE POSICIN

Cantiles o percentiles

Son 99 valores de la variable que dividen a la distribucin en 100 secciones, cada una conteniendo a la centsima parte de las observaciones. Se pueden representar por la inicial de cada uno de los dos trminos que los designan ms el subndice correspondiente, e, o P, (k = 1,2, ... 99). Se simboliza por C2a a aquella puntuacin que deja por debajo de si al28 por 100 de las observaciones y que es superada por el 72 por 100.

Aunque por definicin son slo 99 valores, por extensin a veces se utilizan posiciones intermedias, como, por ejemplo, el cantil 88,5 o Caa.s. que seria aquel valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 88,5 por 100 de las observaciones.

Dado que los valores correspondientes a los cantiles se determinan en funcin de los porcentajes de observaciones, normalmente las distancias entre ellos, en trminos de puntuacin, no sern constantes. Generalmente las distancias entre los cantiles intermedios sern menores que las distancias entre centiles extremos.

Las puntuaciones correspondientes a los cantiles 55 y 56 sern ms cercanas entre s que las puntuaciones correspondientes a los cantiles 98 y 99, o las de los cantiles 2 y 3. Esto se dar, en distribuciones simtricas, mientras que a medida que las distribuciones se van haciendo ms asimtricas esta relacin hay que matizarla algo ms.

Los centiles no suelen calcularse con cantidades pequef'ias de datos y cuando es necesario hacerlo se obtienen sencillamente ordenando las puntuaciones y calculando la proporcin de stas que superan al valor que se quiere comparar. Normalmente los centiles se obtienen sobre datos agrupados en intervalos, y en su clculo se asume el supuesto de distribucin homognea intraintervalo.

Estamos buscando la puntuacin que deja por debajo de si a 140, que es una cantidad intermedia entre 90 y 150. El procedimiento que se utiliza para calcular ese valor, y que se recoge en la frmula que veremos a continuacin, consiste en adoptar como representacin del Cro un valor perteneciente al intervalo 11 - 14 que mantenga una relacin de proporcionalidad con respecto a la frecuencia buscada. Se trata de buscar una puntuacin de ese intervalo que divida a las observaciones pertenecientes a l en dos grupos, uno que incluya a las 50 observaciones inferiores y otro que incluya a las 10 restantes. De esta forma, ese valor dejar por debajo de si a 50 observaciones pertenecientes al intervalo, ms las 90 que quedaban por debajo de su limite exacto inferior, totalizando las 140 buscadas. Dado que esa puntuacin debe dejar a 50 por debajo y 10 por encima, debe ser una puntuacin ms cercana al lmite superior del intervalo que al lmite inferior. El procedimiento se resume en la si uiente frmula:


Instituto Superior de Computacin, S. C.

Ck es la puntuacin correspondiente al centil k L es el lmite exacto inferior del intervalo crtico 1 es la amplitud de los intervalos n es la frecuencia absoluta del intervalo crtico. k es el porcentaje de observaciones inferiores a ck n es el nmero de observaciones hechas na es la frecuencia absoluta acumulada hasta L;

OTROS CUANTILES

Deciles

Fundamentos de Psicometra.

Son nueve puntuaciones que dividen a la distribucin en 1 O partes, cada una conteniendo al 1 O por 100 de las observaciones. Se representan por Dk, donde k indica el nmero del decil al que se refiere.

Cuartiles

Son tres puntuaciones que dividen a la distribucin en cuatro partes, cada una conteniendo al 25 por 100 de las observaciones. Se representan por Qk, donde k indica el nmero del cuartil al que se refiere.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

La media aritmtica

El indice de tendencia central mas utilizado es la media. Se define como 1 asuma de los valores observados, dividida por el nmero de ellas. Se representa con la misma letra que representa la variable, en maysculas , con una barra horizontal encima. Por tanto, si recogemos n observaciones de la variable X, entonces la medida de los valores observados es:

X=1:X;/n

De donde se deduce que:

1:X;=n X



Clculo en una distribucin de frecuencias

Cuando se tiene un conjunto grande de observaciones, stas tradicionalmente se han agrupado en distribuciones de frecuencias, para luego hacer los clculos sobre la distribucin.

Vamos a describir el procedimiento para hacer los clculos de la media con datos agrupados en una distribucin de frecuencias.

Para hacer los clculos se asume el supuesto de concentracin en el punto medio del intervalo.

Para hallar la media se asume el supuesto de concentracin en el punto medio del intervalo.

n

Se diferencia de la fnnula anterior en que: el sumatorio no tiene n sumandos, como en la frmula anterior sino tantos como intervalos tenga la distribucin y las X no son los datos directos. sino los puntos medios de los intervalos.

Propiedades de la media aritmtica

Puntuaciones directas: valores brutos y los representamos por la letra de la variable en maysculas.

Puntuaciones diferenciales: diferencias de cada sujeto con respecto a la media grupal, las representamos por la letra minscula.

La suma de las diferencias de n puntuaciones con respecto a su media, o puntuaciones diferenciales, es igual a cero: l: X;= O

La razn por la que la suma de las diferenciales es igual a cero es que unas son positivas y otras negativas y se compensan unas con otras.

La suma de los cuadrados de las desviaciones de unas puntuaciones con respecto a su media es menor que con respecto a cualquier otro valor.

Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la media aritmtica quedar aumentada en esa misma constante.



Si multiplicamos por una constante a un conjunto de puntuaciones. la media aritmtica quedara multiplicada por esa misma constante.

La media total de un grupo de puntuaciones, cuando se conocen los tamaos y las medias de varios subgrupos hechos a partir del grupo total, ll)utuamente exclusivos y exhaustivos, puede obtenerse ponderando las medias parciales a partir de los tamaftos de los subgrupos en que han sido calculadas.

Una variable definida como la combinacin lineal de otras variables tiene como media la misma combinacin

lineal de las medias de las variables intervinientes en su definicin

LA MEDIANA

Mediana: aquella puntuacin que fuera superada por la mitad de las observaciones, pero no por la otra mitad, se suele representar por Mdn.

Para su clculo podemos encontrarnos en dos casos generales, aquel en el que contamos con un nmero impar de observaciones y aquel que nos encontramos con un nmero par de ellas. En el primero se toma como mediana el valor central: en el segundo se da la circunstancia de que cualquier valor comprendido entre los dos centrales cumple con la definicin de la mediana. Fechner propuso tomar la media aritmtica de los dos valores centrales.

LA MODA

Una tercera va para representar la tendencia central de un conjunto de valores consiste en informar del valor ms frecuentemente observado. Se presenta por Mo, y se define sencillamente como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta_

Como norma, para obtener la moda ordenaremos los valores de menor a mayor para as facilitar la identificacin

del de mayor frecuencia.

Cuando todos los valores tienen la misma frecuencia, es un caso en el que la moda no se puede calcular,

decimos que es una distribucin amodaL

Cuando hay dos valores con la misma y mxima frecuencia en este caso se dice que la distribucin tiene

dos modas o que es una distribucin bimodal.



Cuando disponemos de una distribucin de frecuencias, se toma como moda el punto medio del intervalo con mayor frecuencia. Tambin en distribuciones de frecuencias pueden darse los casos anteriores. En ellos se utilizaran las mismas reglas que acabamos de exponer, pero aplicadas a los puntos medios de sus intervalos.

COMPARACIN ENTRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Si no hay ningn argumento de peso en contra, se preferir siempre la media. Hay dos razones para apoyar esta norma general. La primera es que en ella se basan otros estadsticos y la segunda es que es mejor estimador de su parmetro que la mediana y la moda.

Hay al menos 3 situaciones en las que se preferir la mediana a la media:

1. Cuando la variable est medida en escala ordinal 2. Cuando haya valores extremos que distorsionen la interpretacin de la media 3. Cuando haya intervalos abiertos, situaciones en las que el intervalo superior carece de lmite superior, el

intervalo inferior carece de lmite inferior o ambos.

La media es extremadamente sensible a las puntuaciones y un cambio en slo una de ellas supone un cambio en la media aritmtica, mientras que la mediana slo se vera alterada por cambios en los valores centrales.

La mediana sera la segunda candidata para representar la tendencia central y si no hay argumentos de peso en contra se preferir la mediana a la moda:

1. Cuando se trate de una variable medida en escala nominal 2. Cuando haya intervalos abiertos y la mediana pertenezca a uno de ellos.

MEDIDAS DE VARIACIN

Medidas de variacin

Varianza y desviacin tpica

Una idea que se ha demostrado til a la hora de cuantificar la variabilidad es la de trabajar con las distancias desde los valores hasta algn poste centra, que podra ser la media aritmtica y basar la medicin de la dispersin en algn tipo de "separacin promedio" hasta ese poste.



Una solucin al problema de que las distancias con respecto a la media sumen cero consiste en elevar al cuadrado esas distancias antes de hallar su promedio, dado que los cuadrados son siempre positivos. El ndice basado en esta idea se llama varianza y se representa por la expresin S2,, donde el subndice recoge la letra con la que se representa la variable. Al calculo del promedio de las desviaciones cuadraticas con respecto a la meda:

n

n

La cuestin que puede surgir es la de cmo valorar el grado de dispersin cuantificado mediante este ndice. En realidad no tiene mucho sentido hablar de niveles altos o bajos de dispersin en trminos absolutos, sino, en todo caso, en trminos comparativos.

La varianza sirve sobre todo para comparar el grado de dispersin de dos o ms conjuntos de valores en una misma variable, llegando a conclusiones como la siguiente: "La poblacin de hombres presenta una mayor variabilidad en su estatura que la poblacin de mujeres, que son ms homogneas en esa caracterstica"

El valor 27,2 no parece un nmero claramente relacionado con lo que se pretenda medir. Las mayores distancias que presentan esos valores con respecto a la media son de 8 puntos y parece que una representacin numrica de la magnitud general de esas distancias estara bastante alejada de 27,2. La razn de esta discrepancia es que las distancias no se han tratado como tales, sino que para evitar el problema de que las diferenciales sumen cero se han elevado stas al cuadrado. Por ello es frecuente que. con objeto de retomar las unidades originales de esas distancias, se calcule la raz cuadrada de la cantidad obtenida. Al ndice as hallado se le llama desviacin tpica, se representa por Sx y se define sencillamente como la raz cuadrada de la varianza:

n

La desviacin U pica es un mejor descriptor de la variabilidad, aunque la varianza tenga algunas notables propiedades que la hacen idnea para basar en ella los anlisis estadsticos complejos.

La variabilidad de los datos esta reflejando el hecho incuestionable de las diferencias individuales y stas son uno de los objetos de estudio primordiales de la psicologa.

Cuasivarianza: dividiendo por n - 1, representamos por S'2x



CLCULO Y PROPIEDADES DE LA VARIANZA

La varianza y la desviacin tpica como medidas de dispersin, son valores esencialmente positivos.

Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, su varianza no se altera

Si multiplicamos por una constante a un conjunto de puntuaciones. la varianza quedar multiplicada por el cuadrado de la constante, y la desviacin tipica por el valor absoluto de esa constante.

La varianza total de un grupo de puntuaciones, cuando se conocen los tamaos (n;), las medidas ( X) y las varianzas (S2,) de varios subgrupos hechos a partir del grupo total, mutuamente exclusivos y exhaustivos, puede obtenerse sumando la media (ponderada) de las varianzas y la varianza (ponderada) de las medias:

2 2 - - 2 S T = n, S , + l: n; ( x,- XT) ----r n :; n

La desigualdad de Tchebychev recoge el hecho de que las distancias menores hasta la media son ms frecuentes que las distancias mayores. As, entre las puntuaciones correspondientes a la media +- una desviacin tipica se encontrarn menos observaciones que entre las puntuaciones correspondientes a la media+- una dos desviaciones tipicas. Segn la desigualdad de Tchebychev, el porcentaje de puntuaciones que quedan entre las correspondientes a la media+- k desviaciones tpicas es, como mnimo, el:

( 1 - 1) por 100 de las observaciones

OTRAS MEDIDAS DE VARIACIN

Una forma muy sencilla de indicar el grado de dispersin consiste en calcular la distancia entre el mayor y el menor de los valores observados. Este indice se llama amplitud total, rango o recorrido, y se obtiene sencillamente hallando la diferencia entre los valores extremos:

La principal desventaja de este indice es que es muy sensible a los valores extremos, y nada sensible a los intermedios, pudiendo carecer de toda representatividad.



Otro inconveniente de este ndice es que est ligado al tamao de la muestra utilizada, Si se quiere comparar la variabilidad de la dispersin de dos conjuntos de dalas de tamao marcadamente distinto, es probable que la muestra de mayor tamao presente una mayor amplitud aunque las poblaciones de referencia tengan la misma variabilidad. Desviacin media: tomar las desviaciones con respecto a la media, o puntuaciones diferenciales, en valor absoluto. Se representa por sus iniciales (DM):

DM o ST = 1 X,- Xi n

La desviacin media representa un promedio de distancias tomadas en valor absoluto y representa bien el concepto de dispersin y su cuantificacin, aunque no es muy utilizado en psicologia debido a la dificultad que supone el trabajo con valores absolutos, y que hace que no haya muchas tcnicas de anlisis estadstico basadas en ella.

Cuando en las puntuaciones hay algn valor extremo que pudiera distorsionar la representalividad de la varianza se puede utilizar otro ndice, basado slo en las puntuaciones correspondientes a los cuartiles primero y tercero. Se denomina amplitud semi - intercuartil, se representa por la lelra O

O=OJ-0,

Esta medida de variabilidad elimina del cmputo las puntuaciones extremas que no le afectan.

Coeficiente de variacin: Comparar la variabilidad de grupos cuya media es claramente distinta, relativizar la desviacin tpica con respecto a la media, expresado como un porcentaje, se representa por CV

CV=S,100 X

Cuanto mayor es el coeficiente de variacin, menos representativa es la media.

REPRESENTACIN GRFICA DE LA VARIABILIDAD

Box and whiuskers, que significa literalmente caja y bigotes. Para su construccin se marcan seales de tal forma que las distancias entre ellas sean proporcionales a las distancias entre la puntuacin mxima y mnima y los 3 cuartiles. Con los 3 cuartiles se forma una especie de ficha de domin, mientras que las puntuaciones mxima y mnima se unen mediante lineas rectas a los bordes de esta forma geomtrica. Se puede comparar la variabilidad de dos distribuciones haciendo representaciones paralelas de caja y bigotes.



En otros casos se quiere representar la evolucin de los valores medios, se pueden unir mediante un trazo los puntos correspondientes y aadir unos bigotes verticales que indiquen los valores correspondientes a una desviacin ti pica.

PUNTUACIONES TPICAS Y ESCALAS DERIVADAS

Puntuaciones tpicas

Punluacin diferencial-> la dislancia o diferencia, entre esa puntuacin y la media del grupo de puntuaciones.

Las puntuaciones diferenciales son ms informativas e interesantes que las directas, pues al menos nos indican si la puntuacin es superior o inferior a la media o si coincide con ella. Esta informacin es insuficiente para comparar puntuaciones de sujetos pertenecientes a distintos grupos o a distintas variables.

Variabilidad del grupo de referencia: se tratara de indicar cmo de grande es una distancia en tnninos de las distancias observadas en general en esas puntuaciones. Esa distancia general es la desviacin tpica. Las puntuaciones as conseguidas se denominan, puntuaciones tpicas, se representan por letras z minsculas y su frmula es:

Z=)(- X s,

Es idntica al cociente entre la puntuacin diferencial y la desviacin tpica:

Z = )(

--s,

Al proceso de obtencin de las puntuaciones tipicas se le llama tipificacin. La definicin de las puntuaciones tpicas puede basarse en esta idea y expresarse como sigue:

La puntuacin tpica de una observacin indica el nmero de desviaciones tpicas que esa observacin se separa de la media del grupo de obse!Vaciones.

Las puntuaciones tpicas permiten hacer comparaciones entre unidades de distintos grupos, entre variables medidas de distintas formas o incluso entre variables diferentes. Siempre nos indican el nmero de desviaciones tpicas que se separan de la media y si esa desviacin es por encima o por debajo de la media.



Las ti picas no son ms que una transformacin lineal que consiste en multiplicar las directas por una constante (el inverso de la desviacin tipica) y luego sumar a esos productos otra constante (el cociente entre la media y la desviacin tpica, con signo negativo)

Z;~X;- X ~1.X;+- X ~ s-;- s-;-

Estas caractersticas de las puntuaciones tpicas son universales, no dependen del tipo de puntuaciones, ni de su dispersin, ni de su nmero.

La media de las puntuaciones tpicas es cero, mientras que su varianza y desviacin tpica son iguales a uno.

Las puntuaciones tpicas reflejan las relaciones esenciales entre las puntuaciones con independencia de la unidad de medida que se haya utilizado en la medicin.

Escalas derivadas

Inconveniente~ La medida de las tpicas es cero y su desviacin tpica uno, buena parte de las puntuaciones suelen ser negativas y casi todas decimales.

Un procedimiento consiste en transformar las puntuaciones tpicas en otras que retengan todas las relaciones que manifiestan las puntuaciones originales, que sean puntuaciones equivalentes pero evitando la dificultad operativa y que constituyen lo que se denomina una escala derivada.

Las puntuaciones transformadas tienen como media y desviacin tpica las constantes utilizadas para la transformacin, podemos conseguir que las puntuaciones en una escala derivada tengan las caractersticas que nos resulten ms cmodas, sencillamente haciendo la transformacin con las constantes que deseamos como media y desviacin tpica.

Si transformamos linealmente las puntuaciones tpicas, multiplicndolas por una constante a, y sumando una constante b, entonces las puntuaciones transformadas tendrn como media la constante sumada, b, como desviacin tpica el valor absoluto de la constante multiplicada (a) y como varianza el cuadrado de esta constante, a2

La construccin de una escala derivada parte de unas puntuaciones directas, stas se tipifican y despus se transforman linealmente en otras puntuaciones.



Esquema de la transformacin en una escala derivada:

Puntuaciones directas (X;)

Media: X Varianza: S2 x

Tipificacin

Puntuaciones tpicas (z;) Media: O

Varianza: 1

Puntuaciones transformadas (T;)

Media: b Varianza: a2

Transformacin en escala derivada: T =a. Zi + b

La cuestin fundamental de las escalas derivadas consiste en transformar las puntuaciones originales, X, en otras puntuaciones transformadas, T, tales que sean ms cmodas de tratar e interpretar, pero que a la vez retengan las relaciones esenciales entre los valores, que sean puntuaciones equivalentes.

Cualquier transformacin lineal en la que la constante multiplicadora sea positiva da lugar a unas puntuaciones equivalentes.

MEDIDAS DE ASIMETRIA Y CURTOS!

ndices de asimetra

El grado de asimetra de una distribucin hace referencia al grado en que los datos se reparten equilibradamente por encima y por debajo de la tendencia central. Hay diferentes ndices con los que cuantificar esta propiedad:

El primero de ellos se basa en la relacin entre la media y la moda. y se define como la distancia entre la media y la moda, medida en desviaciones tpicas.



La media es inferior a la moda, y por tanto este ndice dar un valor negativo, mientras que en la figura e la media es superior y el ndice dar positivo. En la distribucin de la figura b coinciden los dos ndices de tendencia central, y por tanto el ndice de asimetra dar cero.

Las distribuciones del tipo de la figura a se dice que tienen asimetra negativa y el ndice da valores menores que cero. Las del tipo de la figura e se dice que tienen asimetra positiva y este ndice da valores mayores que cero. Las del tipo de la figura b se dice que son distribuciones simtricas, puesto que no estn inclinadas hacia ningn lado; este ndice da en ellas valores en tomo a cero y si la simetra es perfecta entonces da exactamente cero. Este ndice tiene la dificultad de que slo se puede calcular en distribuciones unimodales.

ndice de asimetra de Pearson, es igual al promedio de las puntuaciones tpicas elevadas al cubo:

As= ( z3) = 1: [( X;- X)3/ S/] = 1 . 1: (X;- X)3 n n.~

Los valores menores que cero indican asimetra negativa, los mayores de cero asimetra positiva y los valores en torno a cero indican distribuciones aproximadamente simtricas. Es el ndice de asimetra ms utilizado.

El ndice de asimetra intercuartlico se basa, en los cuartiles. Su frmula es:

As = (Q,- Q,) - (O,- Q,) 3

Los valores mayores de cero indican asimetra positiva, los menores indican asimetra negativa y los valores en torno a cero reflejan distribuciones aproximadamente simtricas. Tiene una ventaja sobre los ndices anteriores y es que tiene un valor mximo y mnimo con lo que se facilita su interpretacin en trminos relativos.

ndice de curtosis

Slo vamos a estudiar el que se basa en el promedio de las tpicas elevadas a la cuarta potencia. Su frmula es:

-, -4 4 ~ -4 Cr = ( z ) = 1: [(X,- X) 1 S ~ - = 1 .. 1: (X;- X) n n. S x

Al restar un tres al ndice lo que se consigue es utilizar ese modelo como patrn de comparacin. Una distribucin en la que el ndice sea igual a cero tiene un grado de curtosis similar al de la distribucin normal y, siguiendo la terminologa propuesta por Pearson, se dice que es mesocrtica, mientras que si es positivo su grado de apuntamiento es mayor que el de la distribucin normal y se dice que es una distribucin leptocrtica y si es negativo su apuntamiento es menor que el de la distribucin normal y se dice que es platicrtica.



EJERCICIOS 2.0

Nombre: _______________________ Matricula, ____ _

1.- Que es una poblacin estadstica.

2.- Define los siguientes conceptos: a) Muestra

b) Parmetro

e) Estadstico

d) Caracterstica

e) Modalidad


Instituto Superior de Computacin, S. C.

3.- Cuantas escalas nominales existen.

4.- Define Escala de intervalo y para que sirve.

\11

5.- Que es una Escala de Razn y para que sirve.

6.- Que es una distribucin de frecuencias.

7.- Para que sirve la agrupacin de intervarlos.

8.- Que son los supuestos de intervalos.

INSUCO

Fundamentos de Psicometra.

40 Versin 2007

Instituto Superior de Computacin. S. C. Fundamentos de Psicometra.

9.- Cuales son las representaciones graficas de uso frecuente.

10. Menciona las propiedades de distribucin de frecuencias.



CAPITULO 3

TEORIA DE LOS TEST

QU ES UNA TEORA DE TESTS?

Una teora de tests es una teora que proporciona modelos para las puntuaciones de los tests, es decir, modeliza matrices de datos que contienen las respuestas que una muestra o grupo de sujetos han dado a cada uno de los elementos de un test. El anlisis o modelado de estas matrices de datos da como resultado:

la estimacin del nivel en que poseen los sujetos la(s) caracterstica(s) que mide el test (valores escalares de los sujetos)

la estimacin de los parmetros de los items (valores escalares de los items ).

El problema central de la teora de los tests es la relacin que existe entre:

el nivel del sujeto en la variable inobservable que se desea estudiar y

su puntuacin observada en el test.

Dicho de otro modo, el objetivo de cualquier teora de tests es realizar inferencias sobre el nj_vel en que los sujetos poseen la caracterstica o rasgo inobservable que mide el test, a partir de las respuestas que stos han dado a los elementos que forman el mismo. Por tanto, para medir o, mejor dicho, estimar las caracteristicas latentes de los sujetos es necesario relacionar stas con la actuacin observable en una prueba y esta relacin debe de ser adecuadamente descrita por una funcin matemtica.

Las distintas teoras de tests difieren justamente en la funcin que utilizan para relacionar la actuacin observable en el test con el nivel del sujeto en la variable inobservable. En cualquier caso, esta funcin da siempre cuenta de la informacin contenida en la matriz de entrada a partir de:

la(s) caracteristica(s) de inters que supuestamente est midie

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