Francisco Periago Esparza

Fundamentos Matemáticos del

Método de los Elementos Finitos

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

Universidad Politécnica de Cartagena

Esquema de la PresentaciónModelización Matemática

Análisis Matemático:El Método Variacional

Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos

•Mecánica de Fluidos

•Difusión de Calor

•Electromagnetismo

•Elasticidad, etc. etc.

•Existencia de Solución

•Unicidad

•Dependencia continua respecto de los datos

•Descripción del Método

•Control del Error

•Simulación Numérica de Elementos Finitos con Matlab

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Mecánica de Fluidos

V

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles

Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Difusión de Calor

qD

2500

350 450 550 650

50100150200250300350400

temperatura ºK

cobre

aluminio

acero

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Ecuación del Calor

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Electrostática

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío

James Clerk Maxwell (1862)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Membrana Elástica Sujeta en el Borde

Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

L

u(x)

xf

0

f

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Elasticidad Lineal. Caso Estático

Robert Hooke (1678)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Más modelos….. y ecuaciones en derivadas parciales

Etc, etc, etc….

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

El Laplaciano

Sir Isaac Newton (1643-1727)

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

CONCLUSIONES I

La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos.

Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto.

Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sóla de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

Galileo Galilei (1564-1642)

CONCLUSIONES II

1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología.

2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente.

3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.

SIGLO XX: AÑO 1946

Laurent Schwartz (1915-2002)

Teoría de las Distribuciones (1946).

Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales

John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Richard Courant (1943)

SIGLO XXI: Método Científico

1. Modelización Matemática

2. Análisis Matemático

3. Análisis y Simulación Numérica

4. Control, Diseño, etc…

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

( PM )

( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!

L/2

¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES?

( PM )

Trabajo virtual de las fuerzas exteriores

Trabajo virtual interno de deformación

( PV )

L/2

ANÁLISIS MATEMÁTICO

L/2

Paul Dirac (1902-1984)

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Teoría de Distribuciones

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Teoría de Distribuciones

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Ejemplos de Distribuciones

ANÁLISIS MATEMÁTICO

La derivación es una operación válida para cualquier distribución !!!

ANÁLISIS MATEMÁTICO

( PM )

L/2

( PV )

ANÁLISIS MATEMÁTICO

( PM )

( PV )

a(u,v)< f,v >

L/2

ANÁLISIS MATEMÁTICO

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Formulación en Mínima Energía

Principio de Mínima Energía

Principio de los Trabajos Virtuales

Ecuación de Euler-Lagrange

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Idea General del MEF

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Construcción de los Espacios de Aproximación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Construcción de los Espacios de Aproximación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

A modo de Resumen

MEF

Sistema de ecuaciones algebraico

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Estructura de la Matriz de Rigidez

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Simulación Numérica con Matlab

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Ensamblado de la Matriz de Rigidez

0...0000

0...0000

0...0000

0...0000

0...0000

Ah

Ah1

Ah2

Ah3

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Control del Error en el MEF

( PV )

•Regularidad de la malla•Regularidad de la solución débil•Grado de los polinomios de interpolación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El caso de las dimensiones 2 y 3

a(u,v) < f,v >

Función de forma en dimensión 2

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor

Concepto de solución débil. Se ha de cumplir:

Solución del problema discretizado con elementos finitos:

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

incógnita

matriz de masa

matriz de rigidez

término independiente