Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester...
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Fourier-TransformationImpulsmessung, quantenmechanische Messung
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 3. Vorlesung
“I remember my friend Johnny von Neumann used to say, with four parameters I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk.”
Enrico Fermi
Komplexe Ebene
Periodische Funktion kann in der komplexen Ebene dargestellt werden
Komplexe Ebene : stehende Welle eikx
Kreis mit Umfang L
Periodische Funktion
Wellenzahl
Komplexe Ebene : stehende Welle eikx
Kreis mit Umfang L
Wellen mit höherer Wellenzahl (n > N) können auf solche mit geringerer Wellenzahl (n) abgebildet werden
FouriertransformationEine beliebige periodische Funktion, die an N Stellen entlang des Kreisesgegeben ist, kann man durch Überlagerung von N Wellen darstellen
wobei die N Stützstellen x und die N Wellenzahlen k gegeben sind als
Welche Darstellung man bevorzugt ist Geschmackssache. Beide Darstellungen beinhalten dieselbe Information.
Vollständigkeit
Was ist ?
Vollständigkeit
Terme heben sich paarweise auf !
Mit der Vollständigkeitsrelation kann man leicht zeigen, dass die x- und k-Darstellung über die Fouriertransformation bzw. die
inverse Fouriertransformation miteinander verknüpft sind.
Beweisen Sie die beiden Beziehungen
(Inverse) Fouriertransformation
Das Konzept der Fouriertransformation lässt sich auch auf unendlicheBereiche und kontinuierliche x- und k-Werte verallgemeinern
(Inverse) Fouriertransformation
Fouriertransformation : Gaußsche Funktion
Wie sieht die Fouriertransformierte der Gaußschen Funktion aus ?
Je breiter die Gaußfunktion, desto schmäler die Fouriertransformierteund umgekehrt
Standardabweichung
Normierung
Mittelwert
Gegeben sei die Wellenfunktion
Bestimmen Sie: • die Normierung C• den Mittelwert x• das Schwankungsquadrat Dx
Wellenfunktion : Ortsmessgrößen
Wie bestimmt (misst) man den Impuls eines Wellenpakets ?
Standardabweichung
Wellenfunktion : ImpulsmessgrößenImpulsmessgrößen werden bestimmt, indem man zuerst die Fourier-
transformierte der Wellenfunktion bestimmt
Normierung
Mittelwert
Orts- und Impulsmessung
Je breiter die Wellenfunktion im Ortsraum desto schmäler im Impulsraum, und umgekehrt
Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß
Beispiele :
Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß
Beispiele :
Quantenmechanische MessungIn der Quantenmechanik kann ein beliebige Messung beschrieben werden durch
Messgröße
Ortsmessung …
Impulsmessung …
Messoperator
Beweis
Quantenmechanische MessungImpulsmessung
Kinetische Energie
Kinetische Energie hängt mit mittlerer Krümmung der Wellenfunktion zusammen
Aufgabe : Ordnen Sie die Energie der Wellenfunktionen n = 1,2,3
Aufgabe : Welche Wellenfunktion hat die höhere Energie: (a) oder (b); (a) oder (c) ?
a b c
a b c