Finanzas para Emprendedores, F Roca, capítulo 6

7/28/2019 Finanzas para Emprendedores, F Roca, captulo 6

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FINANZAS PARA EMPRENDEDORES COPYRIGHT 2011 POR FLORENCIA ROCA

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CAPTULO 6 BALANCEAR RIESGO Y RETORNO ESPERADO

A lot of people approach risk as if it's the enemy when it's really fortune's accomplice

-Sting (1951-), English rock singer

LA TEORA DE MARKOWITZ

Ha considerado usted invertir en la bolsa? Con una conexin a internet, hoy puede hacerlo sin moversede su casa. Distintos sitios web ofrecen alternativas de inversin incluso para inversores pequeos, que

con no mucho ms que 5,000 dlares ya pueden abrir una cuenta y operar.

Si lo entusiasm la idea, permtame poner a prueba su criterio para elegir inversiones. Le har 3

preguntas.


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1. En qu empresa invertira: Coca-Cola o Fulanita? (Figura 63)Figura 63 - Coca-Cola o Fulanita?


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2. En qu empresa invertira: Coca-Cola o Menganita? (Figura 64)Figura 64 - Coca-Cola o Menganita?


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3. En qu empresa invertira: Coca-Cola o Apple? (Figura 65)Figura 65 - Coca-Cola o Apple?

La pregunta 1 se refiere a dos empresas que tienen el mismo nivel de riesgo, pero distinta rentabilidad

Probablemente usted eligi Coca-Cola, que es la que ofrece mayor rentabilidad (si eligi Fulanita, por

favor escrbame y cunteme por qu). La pregunta 2 se refiere a dos empresas que ofrecen la misma

rentabilidad, pero tienen distinto riesgo. Probablemente usted eligi Coca-Cola, que es la que tiene menor

riesgo. La pregunta 3 es ms difcil: las dos empresas son distintas tanto en la rentabilidad como tambin

en el riesgo. Podramos decir que, en este caso, para ganar ms hay que arriesgar ms. Puede usted

asegurar que alguna de las dos es mejor?

A principios de los aos 50, Harry Markowitz revolucion las finanzas con una teora de inversiones que

ofrece algunas respuestas a las preguntas anteriores. Si usted contest 1) Coca-Cola, 2) Menganita y 3) Nos, Markowitz le dira que tiene una mala estrategia en las tres situaciones.

Asumiendo a los retornos como variables aleatorias y con distribucin normal, Markowitz (1952, p. 80)

calcul dos de sus parmetros: la media (el retorno esperado) y la desviacin estndar (el riesgo)

Encontr que al combinar distintos activos financieros, el retorno de la cartera resultante es el promedio

de los retornos (ponderado por las cantidades invertidas en cada activo), pero el riesgo no lo es. El riesgo

de una cartera, de acuerdo con su teora, depende de las covarianzas entre los activos. En otras palabras

quiere usted formar un equipo con Messi, Tevez, Forln, Neymar, Higuan, Di Mara, Rooney, Van


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Nistelrooy, Chicharito Hernndez, el nio Torres y Cristiano Ronaldo? Son todos muy buenos jugadores,

es cierto, pero son todos delanteros! No sera mejor quitar algn delantero, y en su lugar poner un

portero? No sera mejor sacar seis o siete delanteros ms, y reemplazarlos por defensores y

mediocampistas? (por ejemplo, si usted quiere jugar 4-3-1-2). Para Markowitz, en trminos de riesgo, no

son tan importantes las caractersticas individuales, sino el juego en equipo, por eso busca covarianzas

quiere saber cmo los pares de activos se mueven juntos. Por ejemplo, dos delanteros se mueven en elmismo sentido, ambos tratan de hacer goles (sera el equivalente a una correlacin +1). Un delantero y un

portero, en cambio, se mueven en sentidos opuestos (correlacin -1). Un delantero y un mediocampista

se mueven en sentidos distintos (correlacin 0, 0.5, -0.3, etctera).

Observe ahora en una grfica la covarianza entre Coca-Cola y Fulanita (Figura 66). Es negativa: en

general, los retornos buenos de Fulanita ocurren cuando Coca-Cola tiene sus retornos malos. Uno de los

activos financieros tiene la capacidad de actuar como una especie de seguro del otro. Es decir que son

buenas inversiones para combinar juntas en un portafolio.

Figura 66 - Covarianza entre Coca-Cola y Fulanita

La covarianza tiene efectos interesantes. Si usted tuviera, por ejemplo, todo su dinero invertido en

Fulanita, podra mejorar tanto su rentabilidad como tambin su riesgo, agregando a su portafolio

acciones de Coca-Cola. Por ejemplo, puede distribuir su cartera en partes iguales, dejando la mitad en

Fulanita (por la cual esperaba una rentabilidad de 0.49%, asumiendo un riesgo de 4.31%) y la otra mitad

en Coca-Cola. El resultado es que en la nueva cartera, su rentabilidad aumenta un 126% (de 0.49% a

1.11%), en tanto que su riesgo, en lugar de aumentar, disminuye! (Figura 67).


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Por efecto de la covarianza negativa, la combinacin de dos inversiones que tienen el mismo riesgo

(4.31%, medido como desviacin estndar), resulta en una cartera con menos de la mitad de riesgo que

cualquiera de las dos (1.90%). En otras palabras, para Markowitz, no siempre para ganar ms hay que

arriesgar ms.

Figura 67 - Portafolio Coca-Cola + Fulanita

Considere ahora que usted tiene todo su dinero invertido en Coca-Cola. Est contento obteniendo un

retorno de 1.73%, con un riesgo de 4.31%. No parece tener mucho sentido considerar una inversin

como Menganita, que ofrece la misma rentabilidad (1.73%) pero con un riesgo mayor (4.66%). Adems

la covarianza entre ambas inversiones es positiva. Nada de eso! Markowitz le dira que por favor s

considere a Menganita. Es cierto, la covarianza es positiva, pero no sabemos qu tan alta es. Podemos

estandarizarla, dividindola por el producto de las desviaciones estndar de las dos inversiones, y as

obtener el coeficiente de correlacin; que es una covarianza que como mximo va a tomar un valor +1, y

como mnimo -1. Mientras el coeficiente de correlacin sea inferior a 1, los activos no se mueven

exactamente en el mismo sentido, y por lo tanto alguna diversificacin de riesgos es posible.

En este caso, la correlacin es cercana a cero. Los retornos de Coca-Cola y Menganita se mueven de modo

independiente. De tal forma que si usted tiene todo su dinero invertido en Coca-Cola, puede mantener la

misma rentabilidad que tena pero reducir el riesgo. Efectivamente, segn Markowitz, usted puede lograr

eso agregando a su portafolio una inversin que es individualmente ms riesgosa que Coca-Cola, pero que

combinadas, funcionan bien. Por ejemplo, si usted mantiene en su cartera un 54% de Coca-Cola

mezclndola con un 46% de Menganita, obtiene una cartera con la misma rentabilidad que Coca-Cola


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(1.73%), pero con menor desviacin estndar (3.26%). As es: el agregado de una inversin ms riesgosa

que lo que tenamos no implica, necesariamente, que el riesgo total aumentar. Esto explica por qu

algunas inversiones, como por ejemplo bonos de pases emergentes que individualmente seran

percibidos como muy riesgosos- a veces son muy buscados por los inversores. En tanto tengan una

correlacin baja con el resto de los activos de la economa, son interesantes para incluir en una cartera.

Figura 68 - Portafolio Coca-Cola + Menganita

Finalmente: Coca-Cola y Apple. Qu inversin eligi usted originalmente? Es difcil encontrar un criterio

puesto que las dos tienen distintos niveles de rentabilidad esperada y tambin de riesgo. Ya es posible

adivinar qu dira Markowitz: no se decida por ninguna de las dos. Lo mejor es combinarlas. La mejor

alternativa, segn su teora, sera comprar un 81% de Coca-Cola y un 19% de Apple; obteniendo una

cartera que ofrece ms retorno que Coca-Cola (2.16%), y menos riesgo que ambas (4.14%). La lneanaranja de la Figura 69 muestra portafolios con distintas cantidades de las dos inversiones. Comprando

un 100% de Coca-Cola, el retorno esperado es 1.73% y el riesgo 4.31% (punto azul). Comprando un

100% de Apple, el retorno esperado sube a 3.99%, pero a costa de un mayor riesgo (6.63%, punto

violeta). La cartera ptima, segn Markowitz, es la que minimiza el riesgo a la vez que maximiza e

retorno: comprar un 81% de Coca-Cola y un 19% de Apple tiene el efecto de llevar la rentabilidad

esperada a 2.16% y reducir el riesgo a un nivel inferior al que tendran individualmente cualquiera de las

dos acciones (4.14%, punto verde).


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Figura 69 - Combinaciones de Coca-Cola y Apple

En este punto, usted puede preguntarse cmo llegamos a obtener las cantidades ptimas de Coca-Cola y

Apple. La Figura 70 muestra el soporte de clculos para este caso, pero en la seccin que sigue se lo

contamos con ms detalle, desarrollando paso a paso la teora de Markowitz.


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Figura 70 - Portafolio Coca-Cola y Apple

QU ES EL RIESGO?En su nocin ms simple, el riesgo es entendido como la probabilidad de tener una prdida. Abarca dos

conceptos: el dao y la chance de que ste ocurra. La teora de Finanzas incluye distintas definiciones de

riesgo. Markowitz (1952) introdujo una de las primeras, al medir el riesgo de un activo individual con la

varianza y desviacin estndar de sus retornos. Posteriormente, Sharpe (1964) consider el beta como

medida de riesgo relevante: la importancia de las covarianzas resaltada por Markowitz hizo que la forma

de estimar el riesgo no estuviera centrada en el riesgo individual de una inversin u otra, sino es su

correlacin con otros activos de la economa.

An cuando las finanzas modernas descansan en el supuesto de que los inversores son racionales (encuanto a que eligen siempre mayor retorno y menor riesgo), ello no significa que rechazan el riesgo sino

que buscan un retorno esperado suficiente para compensarlo.

Cuando existe riesgo, el retorno esperado puede ser distinto del real. Si hubiera un nico resultado

posible (y por lo tanto tuviera un 100% de probabilidad de ocurrir) entonces no habra riesgo sino

certeza o certidumbre. Por el contrario, cuando hay una serie de posibles resultados (y cada uno de ellos


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tiene una determinada probabilidad de ocurrir) existe riesgo o incertidumbre: ms cosaspueden suceder

de las que van a suceder.

Dentro de las finanzas neoclsicas, Jorion (2007, p. 3), define al riesgo como la volatilidad de resultados no

esperados (the volatility of unexpected outcomes), que pueden representar el valor de distintos activos

financieros. Esta definicin est en lnea con Markowitz: cada vez que estimamos el riesgo empleando su

teora, estamos asumiendo que conocemos los posibles resultados futuros, estamos calculando un

resultado esperado en base a ellos; y finalmente evaluando qu tanto se aleja cada posible resultado de

dicho valor esperado. Eso es lo que hacen exactamente una varianza, o una desviacin estndar.

El concepto prctico del riesgo es algo ms complejo. Las personas en el fondo saben que no conocen

todos los posibles resultados (mucho menos sus probabilidades), y por ello observan rpidamente que la

aparente objetividad de estos clculos desaparece en el momento de elegir los datos (hay que usar

retornos anuales, mensuales o diarios? desde qu fecha?) o de estimar las probabilidades (por qu

asumimos que todos los retornos tienen la misma probabilidad de ocurrir?).

Simon Benninga (2006, p. 312), de Wharton Business School, recuerda que el riesgo es la palabramgica en Finanzas. Cada vez que una persona no puede explicar algo, lo nico que debe hacer es lucir

confiado y decir debe ser el riesgo. Recomienda un modo de parecer inteligente en una presentacin

financiera: simplemente lucir escptico y preguntar Ha considerado usted los riesgos?.

Los economistas austracos, en cambio, son ms prudentes en el tratamiento de las predicciones. Saben

que ninguna teora rigurosa puede adjudicarse la capacidad de predecir el futuro. Por ello distinguen

entre riesgo e incertidumbre, alertando sobre aquello que siempre escapa a lo que podemos anticipar

Por lo general, siguen un trabajo clsico de Frank Knight (1921, p. I.I. 26), llamado Risk, Uncertainty, and

Profit. Para Knight, el riesgo es susceptible de medicin, en tanto que la incertidumbre no lo es:

But Uncertainty must be taken in a sense radically distinct from the familiar notion of Risk,

from which it has never been properly separated. The term "risk," as loosely used in

everyday speech and in economic discussion, really covers two things which, functionally at

least, in their causal relations to the phenomena of economic organization, are categorically

different. The nature of this confusion will be dealt with at length in chapter VII, but the

essence of it may be stated in a few words at this point. The essential fact is that "risk"

means in some cases a quantity susceptible of measurement, while at other times it is

something distinctly not of this character; and there are far-reaching and crucial differences

in the bearings of the phenomenon depending on which of the two is really present and

operating. There are other ambiguities in the term "risk" as well, which will be pointed out;

but this is the most important. It will appear that a measurable uncertainty, or "risk" proper,

as we shall use the term, is so far different from an unmeasurable one that it is not in effect

an uncertainty at all. We shall accordingly restrict the term "uncertainty" to cases of the


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nonquantitive type. It is this "true" uncertainty, and not risk, as has been argued, which

forms the basis of a valid theory of profit and accounts for the divergence between actual

and theoretical competition.

Para cualquier modelo financiero, evidentemente, asumimos que en el mundo real hay riesgo, en

trminos de Knight. De otro modo, no podramos hacer ningn clculo. El problema est en confiar, con

cierta ingenuidad, en que los modelos de estimacin de riesgo darn resultados exactos, cuando en

realidad hay una eternidad de factores que les escapan. Tanto en presencia de riesgo como de

incertidumbre, los resultados esperados pueden ser distintos a los reales. Sin embargo el concepto de

riesgo implica asumir que se conocen los posibles resultados (y como consiguiente su probabilidad de

ocurrencia), en cambio en incertidumbre ni los posibles resultados ni sus probabilidades son conocidas

(Figura 71).

Figura 71 - Riesgo e Incertidumbre

Poniendo atencin a la teora de Markowitz, podemos ver que l est usando dos medidas que son

parmetros de una distribucin normal: la media y la varianza (o desviacin estndar). De tal forma que

como mnimo est haciendo dos supuestos muy importantes: 1) que se conocen los posibles retornos y

sus probabilidades de ocurrencia, y 2) que los mismos se distribuyen normalmente.


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RIESGO Y RETORNO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL

RETORNO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL

El retorno de una inversin es la ganancia o prdida que ella experimenta durante un perodo

determinado, en relacin al capital invertido. Puede calcularse como la variacin en el precio del activo

financiero (ganancia o prdida de capital) ms los flujos de caja producidos (dividendos, intereses)expresados como un porcentaje en relacin al capital invertido al inicio del perodo para generarlos. En

otras palabras, una medida de retorno relaciona unaganancia con una inversin. Por ejemplo, si ganamos

$20 con una inversin de $100, hemos tenido un retorno del 20% ($20/$100).

Podemos calcular retornos para acciones, bonos, o para cualquier activo financiero. El retorno de una

accin es el porcentaje que surge de comparar por un determinado perodo- la variacin de su precio

(ganancia o prdida de capital) ms los dividendos con el precio al inicio del perodo (Ecuacin 39).

Ecuacin 39 - Retorno de una accin

donde:

Ri= Retorno de la accin i

PT= Precio de la accin en el momento T

PT-1= Precio de la accin en el momento T-1

DT= Dividendos durante el perodo desde T-1 hasta T


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Figura 72 - Retorno trimestral de acciones de GE

Por lo tanto no es posible estimar cul fue el retorno de una accin simplemente observando su grfica de

precios. Hay que considerar tambin los dividendos, que son sumas de dinero que el accionista recibe y

que forman parte de su rentabilidad. Por ejemplo, el retorno para acciones de General Electric en un

perodo de 3 meses entre diciembre de 2008 y marzo de 2009 fue negativo (-38,71%). Durante dicho

perodo la empresa pag un dividendo de $0,31, el cual comparado con el precio pagado por la accin

result en un rendimiento parcial (dividend yield) de 1,9%, pero el mismo no es suficiente para

compensar la prdida de capital por haber vendido a $9,54 una accin que se haba comprado tres mesesantes a $16,07 (Figura 72).

El retorno de un accionista tiene 2 componentes, que se evidencian en el ejemplo: 1) la ganancia o

prdida de capital y 2) el dividendyield. La comparacin entre rendimientos de distintas acciones debe

considerar siempre ambos componentes: por ejemplo si se compara GE con otra empresa que no paga

dividendos se llegar errneamente a la conclusin que el retorno de GE es ms alto, sin embargo el

precio de las acciones de la otra empresa podra haber subido, superando el retorno total de GE.


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Al tratarse de una medida de rendimiento histrica, el retorno anterior es un retorno ex-post. Este tipo de

retorno no asume nada acerca de la distribucin de posibles resultados ni sus probabilidades. En la

valuacin de activos financieros los retornos ex-post slo son relevantes si se espera que la historia se

repita: la valuacin se construye sobre retornos esperados (ex-ante). Por ello se hacen supuestos sobre

los retornos tales como probabilidades o distribucin (Figura 73).

Figura 73 - Retornos ex ante y ex post

La frmula que presenta Markowitz para calcular retornos (Ecuacin 40) no es un promedio simple, sino

un promedio calculado a partir de las probabilidades. Cada posible retorno (Rj) es multiplicado por su

probabilidad de ocurrencia (Pj). Evidentemente, las dos metodologas coinciden cuando la probabilidad

de ocurrencia de todos los retornos es la misma (equiprobabilidad). En esos casos, es posible llegar al

mismo resultado multiplicando cada posible retorno por su probabilidad, que sumndolos todos y

dividiendo por el nmero de retornos (por eso se hace posible usar la funcin PROMEDIO de Excel).

Ecuacin 40 - Retorno esperado de 1 activo

donde:

Rj = Posibles retornos de cada perodo (desde 1 hasta n)

Pj = Probabilidad de cada posible retorno


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Riesgo y retorno esperado pueden representarse graficando los posibles retornos y sus probabilidades

de ocurrencia. El promedio de los posibles retornos (ponderado por probabilidad) es una medida de

retorno esperado de la inversin, y la dispersin de los posibles retornos con respecto al promedio

constituye una medida de su riesgo.

Por ejemplo para una inversin se vislumbran 3 posibles retornos: si el mercado est en alza, el retorno

ser 12%, si el mercado se mantiene normal el retorno ser 9% y si el mercado cae, el retorno ser 6%.

No hay otras posibilidades: los tres escenarios agotan todo lo que puede ocurrir en la realidad. Los 3

escenarios se asumen igualmente probables. La probabilidad de cada uno es 1/3 (o 33,3%). La suma de

todas las probabilidades es, evidentemente, 100% (Figura 74).

En este ejemplo, puesto que las probabilidades son todas iguales, hay dos formas para calcular el retorno

esperado:

1. Multiplicar cada posible retorno por su probabilidad de ocurrencia y luego sumar (sta es laelegida por Markowitz)

2. Sumar todos los posibles retornos y dividir por 3Figura 74 - Retorno esperado y probabilidades


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La frmula de Markowitz requiere multiplicar cada posible retorno por su probabilidad, sin embargo en

este ejemplo como todas las probabilidades son iguales (equiprobabilidad), el mismo resultado se obtiene

sumando todo y dividiendo por 3:

La funcin PROMEDIO o AVERAGE de Excel permite calcular el retorno esperado pero asume que

todas las probabilidades de ocurrencia son iguales, por lo tanto si las probabilidades asignadas a cada

posible escenario difieren no podr usarse esta funcin sino que deber emplearse la frmula general

(Ecuacin 40).

RIESGO DE UN ACTIVO INDIVIDUAL

Dos negocios pueden tener el mismo retorno esperado y sin embargo ser distintos en trminos de riesgo

Por ejemplo, considere dos negocios para los cuales se espera una rentabilidad del 9% (Figura 75). S

bien el retorno esperado es el mismo, en el negocio verde existe la posibilidad de ganar ms dinero que

en el rojo, y tambin la de perder ms dinero: la dispersin con respecto al retorno esperado es mayor.


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Figura 75 - Igual retorno esperado pero distinto riesgo

La comparacin entre cada posible retorno y el esperado ofrece una idea del riesgo: en el negocio verde

la rentabilidad podra ser 5% inferior a la esperada (4%-9%), en tanto que en el negocio rojo slo puede

alejarse un 3% (6%-9%). Grficamente, estas diferencias pueden verse en la longitud de los segmentosverde y rojo (Figura 76). Dado que el cuadrado de cualquier nmero es siempre un nmero positivo

elevando al cuadrado cada una de estas diferencias se evita que diferencias positivas y negativas se

cancelen mutuamente. Finalmente promedindolas con su probabilidad se llega a una medida de riesgo

de los retornos, la varianza.


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Figura 76 - Igual retorno esperado pero distinto riesgo

La varianza de los retornos es siempre un nmero positivo. Est expresada en una unidad diferente a los

retornos: por ejemplo si los retornos estn en dlares, la varianza estar expresada en dlares al

cuadrado. Por eso en Finanzas se utiliza generalmente la desviacin estndar, una medida de riesgo que

no difiere conceptualmente de la varianza, pero que es su raz cuadrada -y por lo tanto est expresada en

la misma unidad de medida que los retornos.

En resumen, la varianza de los retornos de un activo financiero es un valor esperado, que pondera las

diferencias de cada posible retorno con respecto al retorno esperado, previamente elevadas al cuadrado

(Ecuacin 41).

Ecuacin 41 - Varianza de 1 activo i

donde:


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Para calcular la varianza de un activo financiero podemos armar una planilla de clculo simple en 3

pasos:

1. Calcular las diferencias de cada posible retorno con respecto al retorno esperado2. Elevar las diferencias al cuadrado, para que se transformen en nmeros positivos y no se

compensen entre ellas

3.

Promediar multiplicando cada cuadrado por su probabilidad de ocurrencia y sumar

Aplicando estos tres pasos para los negocios rojo y verde, llegamos a que las varianzas son 0.06% y

0.17% respectivamente (Figura 77).

Figura 77 - Varianza de activos individuales en Excel


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La funcin VARP13 de Excel permite calcular la varianza de los retornos de un activo, sin embargo

asume equiprobabilidad, por lo cual no es aplicable cuando los retornos tienen distinta probabilidad de

ocurrencia.

Pasemos ahora a la desviacin estndar. Una vez calculada la varianza, la desviacin estndar surge

simplemente de computar su raz cuadrada (Ecuacin 42).

Ecuacin 42 Desviacin estndar de un activo i, a partir de la varianza

En caso que usted quiera usar Excel, la funcin DESVESTP (o STDEVP, en ingls) evita calcular

previamente la varianza, ya que se aplica directamente sobre los retornos. Recuerde que tambin asume

equiprobabilidad. Hay otra funcin similar en Excel, (DESVEST, o STDEV), que al no tener la P final,

asume que usted est trabajando con una muestra, y por lo tanto hace un ajuste para inferir a toda lapoblacin. En este caso, puesto que la suma de las probabilidades siempre debe ser igual a 1, estamos

asumiendo que conocemos todos los posibles eventos futuros, y por ello indirectamente asumimos que

trabajamos con la poblacin completa. Las funciones para muestra no terminan en los mismos resultados

que las frmulas de Markowitz.

RIESGO Y RETORNO DE UN PORTAFOLIO

RETORNO DE UN PORTAFOLIO

Las medidas de riesgo y rentabilidad esperada presentadas en la seccin anterior son apropiadas para

aquellos inversores que tienen todo su dinero concentrado en un nico activo financiero, pero no sirven

para quienes tienen un grupo de activos, que conforman una cartera oportafolio.

Puesto que Markowitz defini a los retornos como variables aleatorias, encontr que al combinarlas, la

media del portafolio era un promedio ponderado de las medias de los activos, pero no la varianza. Para e

13 Existe en Excel una funcin parecida, VAR. La diferencia entre las funciones VAR y VARP es que VARP se aplica a

trabajar con toda la poblacin, en tanto que VAR asume que se est trabajando solamente con una muestra y hace por lo tanto u

ajuste para la poblacin. Ambas dividen directamente por el nmero de observaciones, con lo cual no admiten distintas probabilidade

de ocurrencia. Las frmulas que utiliza Excel en cada caso son las siguientes:


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retorno esperado necesita simplemente la frmula de un promedio ponderado, en tanto que para la

varianza debe emplear una matriz de covarianzas. Comenzaremos con el primero de ellos: el retorno

esperado de un portafolio p, compuesto por 2 activos A y B, es el promedio de los retornos esperados de

A y de B, ponderado por la proporcin en la que cada uno integra el portafolio (Ecuacin 43).

Ecuacin 43 - Retorno esperado de un portafolio

donde:

y

wA + wB = 1

La suma de las proporciones invertidas en cada activo debe ser siempre 100%, por ejemplo wA=40% y

wB=60%. Una de las proporciones podra ser negativa, indicando que se trata de una venta corta (shortsale14), por ejemplo wA= -30% y wB=130%.

Por ejemplo, si usted tiene 100,000 dlares y piensa invertir el 70% en acciones de Wal-Mart, por las

cuales espera una rentabilidad del 10% anual; y el 30% restante en un plazo fijo, por el cual espera un

rendimiento del 5% anual, entonces el rendimiento esperado total de su cartera ser 8,5% (

Figura 78).

14 Una venta corta o short sale es la venta de un activo que no se posee. Vea por favor nuestra seccin al respecto.


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Figura 78 - El Retorno de un portafolio es el promedio de los retornos

RIESGO DE UN PORTAFOLIO

El riesgo del portafolio, por otra parte, noes el promedio de las varianzas. Tampoco de las desviaciones

estndar (Figura 79). Cuando un inversor tiene todo su dinero concentrado en un nico activo, el hecho

de agregar a su cartera un segundo tipo de activo generalmente reducir el riesgo total de la cartera,

aunque individualmente el segundo activo tuviera una mayor varianza que el que originalmente tena. La

posibilidad de diversificar riesgos hace necesario evaluar, al momento de calcular el riesgo de un

portafolio, no solamente las varianzasindividuales de cada activo sino la covarianza entre ellos.

Figura 79 El riesgo de un portafolio no es el promedio de las desviaciones estndar


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Nuevamente, puesto que los retornos estn definidos como variables aleatorias, la varianza de un

portafolio P de 2 activos es el valor esperado de las diferencias con respecto a la media del portafolio

elevados al cuadrado:

Sustituyendo con la Ecuacin 43 - Retorno esperado de un portafolio, queda:

Teniendo en cuenta que el cuadrado de una suma es igual a:

la ecuacin de la varianza del portafolio se transforma en:

gracias a las propiedades que tienen los valores esperados, puede expresarse como:

Dentro del segundo trmino hay un retorno esperado que es en realidad la covarianza entre los retornos

de los dos activos (Ecuacin 44):

Ecuacin 44 - Covarianza entre 2 activos


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Sustituyendo en la frmula de la varianza del portafolio, se obtiene que la varianza de un portafolio de 2

activos depende de las proporciones (WA, WB), de las varianzas individuales (VARPA, VARPB) y de la

Covarianza entre ambos activos (COVARA,B). La varianza del portafolio de 2 activos queda entonces como

muestra la Ecuacin 45:

Ecuacin 45 - Varianza de un portafolio de dos activos A y B

donde:

La desviacin estndar del portafolio es simplemente la raz cuadrada de su varianza (Ecuacin 46).

Ecuacin 46 Desviacin estndar de un portafolio

En resumen, hemos calculado -en primer lugar -medidas de retorno esperado y riesgo para activos

individuales, para los cuales ponderamos posibles retornos con sus respectivas probabilidades de

ocurrencia. Luego hemos combinado activos individuales para formar portafolios, y en ellos el retorno

esperado puede calcularse como el promedio ponderado de los retornos; pero el riesgo depende de la

covarianza. Por ello, lo importante para saber cunto riesgo tiene una cartera no es qu tan riesgosas sean

individualmente las inversiones que la componen; sino cmo se mueven en conjunto sus retornos.

EJEMPLO:RIESGO Y RETORNO, PASO A PASOINTRODUCCIN

Esta seccin presenta un ejemplo completo de clculo de retornos esperados y riesgo para dos

compaas: Coca-Cola (KO) y Pfizer (PFE), para un perodo de tiempo determinado (enero 2006-abril

2007). Sabemos que el perodo puede resultar muy breve para tomar decisiones de inversin sobre estas

dos empresas, tenga en cuenta por favor que ha sido seleccionado simplemente para ilustrar las frmulas


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de Markowitz y las funciones de Excel correspondientes. Aplicaremos al ejemplo de Coca-Cola y Pfizer

todas las frmulas mencionadas en el captulo:

1. Riesgos y Retornos Individualesa. Retorno esperado de KOb. Retorno esperado de PFEc. Varianza de KOd. Varianza de PFEe. Desviacin estndar de KOf. Desviacin estndar de PFE

2. Relacin entre los dos activosa. Covarianza entre KO y PFEb.

Coeficiente de correlacin entre KO y PFE

3. Riesgos y Retornos de un Portafolio integrado por KO y PFEa. Retorno esperado del portafoliob. Varianza del portafolioc. Desviacin estndar del portafolio

RIESGOS Y RETORNOS INDIVIDUALES (KO, PFE)

Para comenzar nuestro anlisis, necesitamos datos histricos. El alcance del trabajo de Markowitz no

incluye indicar cmo hace cada inversor para encontrar los posibles retornos y sus probabilidades. Una

forma podra ser (dice Markowitz) usando retornos histricos. Por supuesto, al comenzar a usar suteora nos encontramos con el gran tema del riesgo y la incertidumbre, que ya hemos mencionado.

Haciendo el aludido supuesto de que la historia se va a repetir, analizaremos los retornos de las dos

empresas en las cuales nos interesa invertir: Coca-Cola y Pfizer.

Si usted tuviera que decirme, a ciegas, qu rentabilidad esperara por invertir en Pfizer qu me

respondera? Es difcil saber. Ahora, si le digo que en los ltimos 15 meses (2006/2007) rindi menos

que un 1% mensual en dlares esperara usted un 8% de rentabilidad para el mes que viene? Debera,

probablemente, justificarlo con algn hecho especial. Lo primero que vamos a hacer entonces es analizar

los datos histricos de las dos empresas. Comenzaremos con los precios de Coca-Cola y Pfizer desde

enero de 2006 hasta abril de 2007, en intervalos mensuales (Figura 80).

La columna Close presenta el precio de cierre de las acciones, en tanto que la columna Adjusted Close

tiene los precios ajustados por splits y dividendos, incorporando no solamente la variacin del precio sino

tambin los dividendos recibidos (y los stock splits, que reducen artificialmente el precio de las acciones)

La ltima columna es por lo tanto la que necesitamos, puesto que permite en un nico nmero la

ganancia de capital y el dividendyield, los dos componentes que tiene la rentabilidad de un accionista.


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Figura 80 - Precios histricos de KO y PFE

El primer paso para calcular el retorno esperado es calcular cada uno de los retornos mensuales. El

retorno esperado ser su promedio. Cada retorno compara la variacin del precio con el precio anterior

Por ejemplo el retorno del perodo 1 es: (P1-P0)/P0. O bien, P1/P0-1. Ambas frmulas llegan al mismo

resultado. Tambin podramos calcular retornos compuestos continuamente, con la frmula en Excel=LN(P1/P0), lo cual es conveniente por algunas propiedades de los logaritmos (Benninga, 2006, p. 331).

En este caso nos quedaremos con la forma ms simple (P1/P0-1). Por ejemplo el retorno de las acciones

de Pfizer entre marzo y abril de 2007 fue: 23,47/22,41-1= 4,73%. El retorno de las acciones de Coca-Cola

para el mismo perodo fue: 49,28/45,33-1= 8,71% (Figura 81).

Seguimos ahora con el clculo del retorno esperado para cada activo. Es simplemente el promedio de los

retornos mensuales, ponderado por su probabilidad de ocurrencia. Como en este caso asumimos

equiprobabilidad, podemos calcular el retorno esperado de 2 formas:

1. Multiplicando cada posible retorno por la probabilidad de ocurrencia y sumando (en el ejemplohay 15 retornos, por lo tanto cada probabilidad ser 1/15).

2. Utilizando la funcin PROMEDIO (o AVERAGE, en ingls) de Excel.En ambos casos el resultado es idntico. Para Pfizer el retorno esperado est en la celda D22. Los datos

necesarios para usar la funcin de Excel son los retornos mensuales (celdas D6 a D20) y el resultado es


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0,64%. Es decir que si la historia se repite, estaremos ganando un 1.83% mensual en dlares por invertir

en Coca-Cola, y un 0.64% por invertir en Pfizer.

Figura 81 - Retornos esperados de PFE y KO

Observando los retornos con ms detalle, podemos ver que si hubiramos invertido en Pfizer en

Mayo/Junio de 2006, podramos haber ganado ms de un 10% en un mes. Para el mismo perodo, Coca-

Cola tambin tuvo buenos retornos, pero el retorno ms alto mensual no lleg a esa cifra (8.71%, en

Febrero/Marzo de 2007). Los malos retornos de Pfizer tambin fueron ms extremos: si hubiramos

invertido en esta empresa en Agosto/Septiembre de 2006, hubiramos perdido ms del 6% de nuestro

dinero en un mes. En cambio en Coca-Cola, el retorno mnimo no lleg al 3% en un mes. Lo que estamos

haciendo es evaluar, adems del retorno promedio, alguna medida de qu tan dispersos estn los

posibles retornos.

Grficamente (Figura 82), vemos que los puntos azules representan los retornos histricos de Pfizer, y los

rojos los de Coca-Cola. Las rentabilidades esperadas estn representadas por la lnea verde (0,64%) y la

naranja (1,83%). A simple vista podemos observar que los retornos de Coca-Cola estn mucho ms

concentrados sobre el promedio que los de Pfizer. Su varianza seguramente es menor.


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Figura 82 - Retornos esperados de PFE y KO, grfico

El clculo de la varianza requiere comparar cada posible retorno con el retorno esperado, elevando al

cuadrado dicha diferencia. En otras palabras, tenemos que buscar una expresin numrica que muestre

qu tanto se alejan los puntos azules de la lnea verde (para Pfizer), o bien qu tanto se alejan los puntos

rojos de la lnea naranja (para Coca-Cola). Pasemos al Excel (Figura 83). En la columna A tenemos losretornos para cada empresa, en la B las probabilidades, y en la C las diferencias con el promedio

elevadas al cuadrado. Por ejemplo, en el caso de Pfizer, el primer posible retorno es 4.73%. Le restamos el

promedio, que es 0.64%, y luego elevamos al cuadrado: (4,73%-0,64%)^2= 0,17%. Para Coca-Cola:

(8,71%-1,83%)^2=0,47%.

Luego es necesario ponderar por la probabilidad: multiplicamos cada uno de los nmeros de la columna

C por su probabilidad, y sumamos. Por ejemplo para Pfizer: 0,17% * 1/15 + 0,00% * 1/15 + 0,20% * 1/15

+ ... + 0,06% * 1,15 = 0,24%.

El mismo resultado puede obtenerse multiplicando uno a uno y sumando o utilizando la funcin de Excel

SUMA.PRODUCTO (o SUMPRODUCT, en ingls). Es una funcin para multiplicar matrices. Requiere

simplemente seleccionar los dos grupos de datos que se quiere multiplicar entre s, y que deben ser del

mismo tamao. Para el clculo del retorno esperado, esas matrices son las columnas A y B, en tanto que

para la varianza las matrices son las columnas B y C.


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Figura 83 - Varianza y Desviacin Estndar, PFE y KO

La desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza. Para Pfizer (celda D24) es 4,91%. Utilizando la

funcin de Excel RAIZ (o SQRT, en ingls) se puede obtener la desviacin estndar a partir de la

varianza calculada. La funcin requiere el ingreso de una nica celda, que es el nmero para el cual sequiere calcular la raz (en el caso de Pfizer, la celda D23, que es la que contiene a la varianza).

Como hay equiprobabilidad, podemos llegar a los mismos resultados usando las funciones de Excel. La

varianza de Pfizer utilizando la funcin VARP es 0,24% (celda D23 de la Figura 84), el mismo resultado

que se haba obtenido aplicando la frmula de las probabilidades. Del mismo modo, la varianza de los

retornos de Coca-Cola es 0,08% (celda J23). La desviacin estndar de Pfizer utilizando la funcin

DESVESTP (o STDEVP, en ingls) es 4,91%, al igual que en el clculo anterior. Igualmente la de Coca-

Cola, 2,80%.


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Figura 84 - Varianza y Desviacin estndar de PFE y KO usando Excel

RELACIN ENTRE KO Y PFE: COVARIANZA Y CORRELACIN

Ya hemos resaltado que, en la determinacin del riesgo de la cartera, es necesario no solamente contar

con las proporciones y los riesgos individuales de los dos activos, sino tambin con una medida de cmo

los retornos de los dos activos varan juntos (Figura 85). Necesitamos la covarianza.

La covarianza entre los retornos de Coca-Cola y Pfizer requiere comparar los retornos de cada activo con

su retorno esperado: en el caso de Pfizer los retornos estn representados con los puntos azules y el

retorno esperado es la lnea verde, en tanto que en el caso de Coca-Cola los retornos estn representados

con los puntos rojos y son comparados con el retorno esperado, que es la lnea naranja. Ya habamos

hecho estas comparaciones en el momento de calcular la varianza, pero las habamos elevado al

cuadrado. Ahora necesitamos las mismas diferencias, pero sin el cuadrado.


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Figura 85 - Covarianza PFE-KO, grficamente

La covarianza entre Coca-Cola y Pfizer fue calculada en 3 pasos:

1. Clculo de las diferencias de los retornos de cada activo con respecto a su media (columna A paraPfizer y B para Coca-Cola)

2. Multiplicacin entre las diferencias de los dos activos (columna A*B)3. Clculo de un valor esperado ponderado por probabilidades (si se asumen todas iguales, puede

usarse la funcin PROMEDIO (o AVERAGE, en ingls). El resultado siguiendo esta forma de

clculo es 0,01% (celda M22)


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Figura 86 - Covarianza PFE-KO

Podemos llegar al mismo resultado con la funcin de Excel COVAR, que no requiere calcular las

diferencias y multiplicarlas sino que trabaja directamente sobre los retornos. Los inputs que pide Excel

son las dos matrices con los retornos de los activos, en este caso la columna A (Pfizer) y B (Coca-Cola). E

resultado obtenido es el mismo que con la frmula anterior, 0,01% (celda M26).

RIESGO Y RETORNO DE PORTAFOLIOS (KO, PFE)

Lleg el momento de combinar las dos inversiones para evaluar cmo quedaran distintas carteras. Para

eso necesitamos determinar las cantidades que se invertirn en cada activo (Figura 87). Por ejemplo

podemos armar una cartera en la cual Pfizer represente el 20% (WPFE) y Coca-Cola el 80% restante

(WKO).

El retorno esperado del portafolio es el promedio de los retornos esperados, de modo que para calcularlo

slo hacen falta:

1. Las proporciones invertidas en Pfizer (20%) y en Coca-Cola (80%)2. Los retornos esperados de Pfizer (0,64%) y Coca-Cola (1,83%)


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Evidentemente al ser un promedio, el retorno esperado del portafolio es ms bajo que el de Coca-Cola

pero ms alto que el de Pfizer: 1,60% (celda M22).

Figura 87 - Riesgo y retorno de un portafolio 20% PFE y 80% KO

La varianza del portafolio, en cambio, no es el promedio ponderado. Surge de una frmula que tiene 3

trminos, dos de ellos son siempre positivos y uno puede ser positivo o negativo (el trmino de la

covarianza). Para calcular la varianza del portafolio hacen falta 3 grupos de datos:

1. Las proporciones invertidas en Pfizer (20%) y en Coca-Cola (80%)2. Los riesgos de Pfizer (varianza 0,24% o desviacin estndar 4,91%) y Coca-Cola (varianza 0,08% o

desviacin estndar 2,80%)

3. La relacin entre Pfizer y Coca-Cola (covarianza 0,01% o coeficiente de correlacin 0,07)Con estos datos y la aplicacin de la Ecuacin 45 - Varianza de un portafolio de dos activos A y B , la

varianza del portafolio es 0,06% (celda M23). El riesgo del portafolio en este caso es inferior al riesgo de

Pfizer (024%) pero tambin a causa de la diversificacin- es inferior al riesgo de Coca-Cola (0,08%).

LA MATRIZ DE COVARIANZAS

Un modo muy conveniente de calcular la varianza de un portafolio es utilizando la matriz de covarianzas

(Figura 88). La matriz contiene la misma frmula que la varianza del portafolio y llega al mismo

resultado, pero al organizar el clculo en casillas permite incorporar un mayor nmero de activos (la


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frmula es slo para dos), y reduce errores de clculo. Dentro de cada celda slo hay potencias y

multiplicaciones, y para hallar la varianza, todas las celdas deben ser sumadas al final. Para el ejemplo de

Coca-Cola y Pfizer, la matriz de covarianzas permite llegar al riesgo de la cartera (que es la suma de sus

cuatro casillas), 0.06%.

Figura 88 - Matriz de Covarianzas, PFE-KO

La matriz de covarianzas anterior responde exactamente a la frmula del riesgo de la cartera para dos

activos: la celda superior izquierda es el primer trmino de la frmula, la celda inferior derecha es el

segundo trmino, y las dos celdas de la diagonal que falta componen el tercer trmino. Ahora podemos

plantear una forma general para resolver todas las casillas, que nos permitir ampliar la matriz de

covarianzas a n activos, calculando as el riesgo de cualquier cartera.

La matriz de covarianzas tendr la forma de la Ecuacin 47:

Ecuacin 47 - Matriz de covarianzas

Es decir que para cada celda utilizaremos una ecuacin idntica: la multiplicacin de las cantidades de

dos activos, por la covarianza entre ellos (Ecuacin 48):


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Ecuacin 48 - Celda de la matriz de covarianzas

En algunas celdas tendremos que multiplicar la cantidad invertida en uno de los activos por s misma, locual antes hacamos elevando w al cuadrado. En esas celdas tambin tendremos que calcular la

covarianza de los retornos de un activo con s mismos, que es su varianza. De modo que con eso podemos

ver que en realidad estamos haciendo matemticamente lo mismo que antes, pero con una frmula ms

general. Para el ejemplo de Coca-Cola y Pfizer, esta segunda matriz llegara tambin a una varianza de

0.06% (Figura 89).

Figura 89 Matriz de Covarianzas, frmula general

LA CARTERA DE MNIMA VARIANZA

El portafolio entre Pfizer y Coca-Cola fue elegido arbitrariamente. Las proporciones invertidas en cada

activo no seguan ningn criterio en particular. Para aprovechar al mximo los beneficios de la

diversificacin, es posible calcular cul es el portafolio que tiene el mnimo riesgo, la cartera de mnima

varianza. Dado que WA+WB tiene que ser igual a 1, es posible despejar slo una de las proporciones yluego calcular la otra por diferencia. Nos queda entonces una ecuacin para obtener la cantidad ptima

del activo A (Ecuacin 49):


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Ecuacin 49 - Cartera de mnima varianza

Las cantidades ptimas para Pfizer y Coca-Cola son 23% y 77% respectivamente, las cuales deberan

resultar en el portafolio de menor varianza y desviacin estndar, dentro de todos los portafolios que es

posible conformar con estos dos activos (Figura 90).

Figura 90 - Portafolio de mnima varianza

Las proporciones obtenidas pueden comprobarse utilizando la frmula de la varianza del portafolio y la

funcin SOLVER de Excel15. La funcin permite encontrar el mnimo para la frmula de la varianza de

portafolio, cambiando la celda WA (en el ejemplo, WPFE). Es decir, permite encontrar la cantidad del activo

A que har mnimo el riesgo del portafolio. Por diferencia es posible calcular luego la cantidad del activo

B, para que la suma de ambos sea 100%.

Las frmulas para trabajar con la funcin SOLVER son por lo tanto:

1. La varianza del portafolio (Ecuacin 45 - Varianza de un portafolio de dos activos A y B)2. La restriccin: WA + WB = 1 (por lo tanto WB = 1 - WA)

En el ejemplo para Pfizer y Coca-Cola, las dos frmulas anteriores se incluyeron en:

15 La funcin SOLVER es un complemento de Excel, por lo cual puede no estar instalada dentro de las funciones bsicas. Es posibl

instalarla dentro del men principal de Excel, en la seccin Options; o bien en la seccin Herramientas de Anlisis.


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1. Varianza del portafolio: celda M232. WB = 1 - WA : celda M27

Luego se emple la funcin SOLVER, que est dentro del men Herramientas Anlisis de Datos (o

Data Data Analysis, en ingls). La ecuacin definida como target es la varianza del portafolio (celda

M23), la cual se quiere minimizar, cambiando la proporcin del activo A (celda M26). El resultadoobtenido es idntico al calculado analticamente (Figura 91).

Figura 91 - Mnima varianza, usando Solver

Finanzas para Emprendedores, F Roca, capítulo 6

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