Exercicios de Analise Matematica I/II (IST/2003)

Exercıcios de Analise Matematica I/II

Departamento de Matematica do

Instituto Superior Tecnico

10 de Setembro de 2003

http://www.math.ist.utl.pt/

http://www.ist.utl.pt/

Indice

1 Numeros Reais. Sucessoes. 9

2 Series 21

2.1 Series numericas elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Convergencia absoluta e criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Funcoes. Continuidade e Limites. 35

4 Calculo Diferencial. 53

4.1 Nocao de derivada. Primeiras propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Teoremas de Rolle e Lagrange. Corolarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Regras de Cauchy. Indeterminacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Teorema de Taylor. Estudo de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 Serie de Taylor. Desenvolvimentos em series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Primitivacao 99

6 Integral de Riemann 111

6.1 Definicao e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Teorema fundamental. Regra de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.3 Calculo de areas, comprimentos de linha e volumes de solidos de revolucao . . . . . 127

7 Introducao a Analise em Rn 137

7.1 Topologia e sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2 Continuidade e limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.3 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4 Teorema da derivacao da funcao composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.5 Teoremas do valor medio e de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.6 Teoremas da funcao inversa e da funcao implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.7 Estudo de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3

Nota previa

Este texto foi objecto de publicacao por parte da IST Press1 em Setembro de 2003. Excepto asformulas nas diversas figuras, que sofreram um “percalco” nao particularmente grave de ordemtecnica na edicao tipografica que se espera corrigir em edicoes posteriores, aquela versao passou aser a versao autoritativa e havera pequenas correccoes que ali estarao presentes mas aqui nao. Alemdisso faz-se notar que a edicao tipografica e esta introduzem relativamente a versoes anteriores aAgosto de 2003 uma alteracao de numeracao no capıtulo 4: o pseudo exercıcio 4.60 foi eliminadopelo todos os 4.x com x > 60 passam a 4.(x− 1).

O preco da edicao tipografica compara-se muito favoravelmente com preco de uma impressaodo texto pelo que tambem por isso se desaconselha a impressao desta versao embora se mantenhao acesso livre nos moldes tradicionais.

1Ver http://www.istpress.ist.utl.pt/lexercıciosmath.htm .

5

http://www.istpress.ist.utl.pt/lexerc%EDciosmath.htm

Introducao

Aquilo que vai comecar a ler tem uma historia algo fora de vulgar no que respeita a textos deMatematica a nıvel universitario. Esta nota tenta explicar a sua genese, dar credito por formaprovavelmente incompleta a quem para ele contribuiu e fazer algumas observacoes em nome daentidade algo difusa a que se pode chamar autor neste caso.

A origem da maior parte do texto sao enunciados de perguntas de provas de avaliacao nas dis-ciplinas de Analise Matematica do Instituto Superior Tecnico no 1o ano dos cursos ali leccionadosentre 1970 e 1980. O ultimo capıtulo corresponde a material que, por vezes, so e leccionado no 2o

ano.O ano de 1967 ficou assinalado no IST pela admissao como Professor Catedratico de Ma-

tematica de Jaime Campos Ferreira que cedo se rodeou nas disciplinas de Analise Matematica Ie II de um numero consideravel de Monitores e Assistentes que, alunos dos cursos de Engenha-ria, tinham adquirido um gosto consideravel pela Matematica. Alguns sao hoje professores deMatematica no IST e noutras escolas.

Um acontecimento notavel no paıs na decada de 70 foi a revolucao do 25 de Abril que teveconsequencias variadıssimas na vida das universidades portuguesas. Uma destas foi a multiplicacaodo numero de provas de avaliacao de conhecimentos por disciplina que a luz dos padroes actuaispassaram a ser em numero exageradıssimo. Isto obrigou o corpo docente de Matematica, e emparticular Jaime Campos Ferreira e a sua equipa, a um esforco consideravel na producao deenunciados de exame. Estes enunciados formaram um conjunto extremamente coeso de materialde qualidade que o entao jovem Assistente Francisco Viegas coleccionou, ordenou, seleccionou ereescreveu com a sua excelente caligrafia, tendo como objectivo reciclar para material de apoio asaulas praticas o que de outra forma teria sido esquecido. O empenho e cuidado nesta operacaonao trivial rapidamente tornaram o texto assim produzido uma referencia para as aulas praticasdestas disciplinas.

A primeira metade da decada de 80 assistiu, gracas a existencia do 12o ano do ensino se-cundario e a habitual pressao numa escola de Engenharia para a Matematica ser introduzida taocedo quanto possıvel, a introducao da Analise de funcoes de mais de uma variavel real na partefinal do currıculo de Analise Matematica II. Isto teve como consequencia o aparecimento de umapendice (com a caligrafia do signatario) englobando um conjunto de exercıcios oriundo de pro-vas de Analise Matematica III. Por outro lado Paulo de Almeida denodadamente escreveu umconjunto de solucoes de alguns dos exercıcios.

Na inıcio da decada de 90 o recem-doutorado Francisco Teixeira percebeu que o material queassim se tinha construıdo valia a pena ser revisto para ser disponibilizado num formato mais perenee que tal era viavel com um investimento de tempo e esforco nao exagerado e feito localmentegracas aos avancos tecnologicos no campo dos computadores pessoais e do processamento de textomatematico. O proprio Jaime Campos Ferreira reviu a versao final. Perdeu-se a bela caligrafiamas ganhou-se em legibilidade e em capacidade de actualizar o texto.

Isto nao impediu que o texto comecasse a ganhar apendices varios e a ter um ar antiquadoem termos graficos. O ser responsavel por alguns dos cursos de Analise Matematica I/II noinıcio do novo seculo motivou o meu envolvimento numa nova grande revisao incidindo sobre oaspecto tipografico, reordenamento de exercıcios, clarificacao de um grande numero de solucoes,alguma uniformizacao de notacao, refazer de todas as ilustracoes,. . . Tal teria introduzido umanova geracao de gralhas nao fosse a revisao cuidada de Luısa Ribeiro.

7

Os avancos tecnologicos permitiram a disponibilizacao via web num formato de hipertexto.Este facto nao impede com certeza que esta edicao pela IST Press venha a ser muito bem vindapor parte dos alunos devido a dificuldade e custo da impressao de um texto desta dimensao.

Mantiveram-se as referencias a prova em que cada pergunta foi apresentada e respeitou-se tantoquanto possıvel o texto original excepto em casos de conflitos de notacao, gralhas, etc., servindoassim de memoria de um trabalho colectivo para o qual contribuiram inumeros colegas desde oassinalar de gralhas a enunciados de problemas ou solucoes. Espero que esta introducao nao pequedemasiado por omiti-los.

Finalmente faco notar que quem usar este texto deve ter presente que: o incluir um pequenonumero de solucoes e uma opcao consciente para por um lado manter o desafio do desconhecidoe por outro dar alguns exemplos de como se redige Matematica; a ordenacao das materias e umadas possıveis correspondendo a uma ordenacao popular no IST; dada a dificuldade em escreverexercıcios razoaveis sobre alguns topicos, geralmente introdutorios, ha assuntos que apareceraosubrepresentados (e outros sobrerepresentados).

Instituto Superior Tecnico, 4 de Abril de 2003,Joao Palhoto Matos

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Capıtulo 1

Numeros Reais. Sucessoes.

1.1 Indique, se existirem, os majorantes, os minorantes, o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimode cada um dos conjuntos:

a) Vε(a) (onde a e um real e ε um real positivo).

b) {x : x ∈ R ∧ x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0}.

(Grupo I do 1o Teste de 24/2/79)

1.2 Considere os seguintes subconjuntos de R:

A ={

x ∈ R : |x| ≥ x

2+ 2}

, B = [−3, 4], C = R \ Q.

a) Mostre que A ∩ B = [−3,− 43 ] ∪ {4}.

b) Indique, se existirem em R, supA, min(A ∩ B), max(A ∩ B), inf(A ∩ B ∩ C), sup(A ∩ B ∩ C)e min(A ∩ B ∩ C).

(Pergunta 1 do Grupo I do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)


A =

{

1

n: n ∈ N1

}

, B = R \ Q, C = {x ∈ R : logx ≥ 0}.

Indique, se existirem em R, o inf A, min(A∪C), sup(A∪C), inf(A∩C), min(B∩C) e o sup(A∩B).



A = {x : x ∈ R \ Q ∧ x > 0}, B =

{

x :x− 1

2x+ 3≤ 0

}

, C = A ∩ B.

Para cada um dos conjuntos A, B e C:

a) Indique o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes.

b) Indique o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo, no caso de existirem.


9

CAPITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES.

1.5 Considere os conjuntos

A =

{

x ∈ R :x− 1

x2≥ 0

}

, B =

{

x ∈ R : log1

x≥ 1

}

.

Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantese, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.

(Pergunta 1 do Grupo I do 2o Exame de 6/2/95)


A =

{

x ∈ R :x

ex(x+ 1)≤ 0

}

, B ={

x ∈ R : ex ≥ e−x}

.


(Grupo I da 2a Epoca de 24/2/95)


A =

{

x ∈ R :ex

|x| ≥ 0

}

, B = {x ∈ R : | limxn| ≤ 1}, C = A ∩ B.

Para cada um dos conjuntos A e C, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantese, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.



A =

{

x ∈ R :1

logx≥ 1

}

, B =

{

1 − (−1)n

n: n ∈ N1

}

.



1.9 Indique se sao majorados, minorados, limitados os seguintes subconjuntos de R:

A = {x : |x− 3| = 2|x|}, B =

{

y :y

y − 1<y − 1

y

}

.

Indique ainda (se existirem, em R) o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo de cada um dessesconjuntos.

(Grupo Ia da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

Resolucao:

A = {x ∈ R : |x− 3| = 2|x|} = {x ∈ R : |x− 3| = |2x|}= {x ∈ R : x− 3 = 2x ou x− 3 = −2x} = {−3, 1},

B =

{

y ∈ R :y

y − 1<y − 1

y

}

=

{

y ∈ R :y

y − 1− y − 1

y< 0

}

=

{

y ∈ R : 2y − 1

2

y(y − 1)< 0

}

= {y ∈ R : y < 1/2, y < 0, y < 1} ∪ {y ∈ R : y < 1/2, y > 0, y > 1}∪ {y ∈ R : y > 1/2, y < 0, y > 1} ∪ {y ∈ R : y > 1/2, y > 0, y < 1}

= ] −∞, 0[ ∪ ]1/2, 1[ .

10

Como A = {−3, 1} e B = ] −∞, 0[ ∪ ]1/2, 1[ conclui-se que A e limitado e B e apenas majorado.Portanto supA = 1, inf A = −3, supB = 1, B nao tem ınfimo em R, maxA = 1, minA = −3 e Bnao tem maximo nem mınimo em R.

1.10 Seja A um subconjunto de R, majorado e nao vazio e seja m um majorante de A, distintodo supremo deste conjunto. Mostre que existe ε > 0 tal que Vε(m) ∩ A = ∅.

(Grupo Ib do Exame Final de 30/4/80)

1.11 Sendo A um subconjunto majorado e nao vazio de R e α = supA, prove que, para qualquerε > 0, o conjunto Vε(α)∩A e nao vazio. Na hipotese de α nao pertencer a A, o conjunto Vε(α)∩Apode ser finito? Justifique a resposta.

(Grupo IVa do Exame Final de 10/5/79)

1.12 Sendo U e V dois subconjuntos majorados e nao vazios de R, tais que supU < supV ,justifique (de forma precisa e abreviada) as afirmacoes seguintes:

1. Se x ∈ U , entao x < supV .

2. Existe pelo menos um y ∈ V tal que y > supU .

(Grupo Ib da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

1.13 Prove que, se X e Y sao dois subconjuntos de R tais que supX > inf Y , existem x ∈ X ey ∈ Y tais que y < x.

(Grupo IVa da Prova de 26/7/78)

1.14 Sejam A e B dois subconjuntos de R.

1. Prove que, se supA < inf B, A e B sao disjuntos;

2. Mostre, por meio de exemplos, que se for supA > inf B ∧ supB > inf A, A e B podem serou nao ser disjuntos.

(Pergunta 1b do Ponto no2, Exame Final de 17/7/71)

1.15 Sejam A e B dois subconjuntos majorados e nao vazios de R e sejam α = supA, β = supB.Justifique que o conjunto C = A∪B tem supremo e, designando-o por γ, prove que γ = max{α, β}.



A = {x : senx ≥ 0}, B = {x : |x| < 2π}, C = A ∩B.

1. Para cada um dos conjuntos A, B e C:

(a) Indique se o conjunto tem ou nao majorantes e minorantes (em R) e, se existirem, quaissao.

(b) Indique o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo dos mesmos conjuntos, no caso deexistirem.

2. Apenas para o conjunto C:

11


(a) Indique o menor intervalo que contem esse conjunto (de forma mais precisa: indiqueum intervalo I que contenha o conjunto C e esteja contido em qualquer intervalo quecontenha C).

(b) De um exemplo de uma sucessao convergente, cujos termos pertencam a C e cujo limitenao pertenca ao mesmo conjunto.


1.17 Prove que, para todo o numero natural n ≥ 4, se tem

(n!)2 > 2nn2.


1.18 Demonstre pelo princıpio da inducao matematica as seguintes identidades:

a) 1 + 3 + · · · + (2n− 1) = n2, ∀n ∈ N1.

b) 11.2 + 1

2.3 + · · · + 1n(n+1) = n

n+1 , ∀n ∈ N1.

1.19 Demonstre que

a) n! ≥ 2(n−1), ∀n ∈ N1.

b) 3n−1

n! < 19n2 para qualquer numero natural n ≥ 4.

1.20 Demonstre a desigualdade de Bernoulli : Sendo a > −1, n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na.

1.21 Demonstre, pelo princıpio da inducao matematica, o binomio de Newton:

(a+ b)n =

n∑

p=0

(

n

p

)

an−p bp, ∀n ∈ N, ∀a, b ∈ R.

Recorde que(

np

)

designa, em analise combinatoria, as combinacoes de n elementos p a p, e tem-se

(

n

p

)

=n!

p!(n− p)!(1.1)

(n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 4 · 3 · 2 · 1). Uma propriedade importante e a seguinte,

(

n+ 1

k

)

=

(

n

k − 1

)

+

(

n

k

)

,

cuja demonstracao se reduz ao calculo destes valores por aplicacao da expressao (1.1).

1.22 Calcule os limites das sucessoes de termos gerais

un =

(

1 +1

2n

)n

, vn =[(−1)n + 3]n

(2n)!.


1.23 Calcule, se existir, o limite de cada uma das sucessoes definidas como se segue:

a) vn = 1n√n2

,

12

b) wn = an

n , onde a ∈ R.

(Perguntas 1bc do Grupo I do Exame A da Epoca Especial de 17/11/95)

1.24 Indique, justificando abreviadamente, o conjunto dos sublimites de cada uma das sucessoesde termo geral

an = sennπ

2+ cos

nπ

2, bn = e(1−

1n

)n

.


1.25 Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas as proposicoes seguintes:

a) Qualquer sucessao crescente de termos em ] − 1, 1[ converge.

b) Se (un) e (vn) sao sucessoes limitadas, o conjunto dos sublimites da sucessao (un + vn) e naovazio.

c) Se (un) e uma sucessao tal que, para todo o n ∈ N, u2n ∈ ]0, 1[ e u2n+1 ∈ ]1, 2[, entao (un) edivergente.


1.26 Sejam (xn) e (yn) sucessoes tais que (xn) e crescente e, para todo o n ∈ N, xn ≤ yn. Mostreque, se (yn) e convergente, o mesmo acontece com (xn) e estabeleca, nesse caso, uma relacao entrelim xn e lim yn.

(Pergunta 2 do Grupo I do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

1.27 Sejam (xn) e (yn) duas sucessoes reais tais que, para qualquer n ∈ N1, xn ≤ yn. Mostre quese lim xn = +∞ entao tambem lim yn = +∞.



A =

{

x ∈ R :x− 1

x2≥ 0

}

, B =

{

x ∈ R : log1

x≥ 1

}

.

1o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos mino-rantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.

2o Indique, justificando, quais das proposicoes seguintes sao verdadeiras e quais sao falsas:

a) Toda a sucessao monotona de termos em B e convergente.

b) O conjunto dos sublimites de uma sucessao de termos em A e nao vazio.

c) Se (xn) e sucessao de termos em A, xn

n e divergente.

d) Se a ∈ B, a serie∑+∞

n=1an

n e convergente.

(Grupo I do 2o Exame de 6/2/95)


A =

{

x :2x− 2

x− 2≤ 1

}

, B =

{

x : ∃n∈N |x− n| < 1

10

}

.

13


1. Indique, justificando, se A e B sao majorados, minorados, limitados e se tem maximo,mınimo, supremo ou ınfimo.

2. De um exemplo de uma sucessao cujos termos pertencam ao conjunto B e que nao sejalimitada. Seria possıvel dar o exemplo pedido se, em vez de B, se considerasse o conjuntoA? Justifique.


1.30 Seja A um subconjunto de R, com supremo s. Prove que existe uma sucessao xn, de termosem A, convergente para s. Prove ainda que, se A nao tem maximo, a sucessao xn pode ser escolhidapor forma que seja estritamente crescente.


1.31 Considere un = sen[(−1)n(π2 − 1n+1 )]. Determine o conjunto dos majorantes e o conjunto

dos minorantes do conjunto dos termos da sucessao. Diga se tem ınfimo, supremo, mınimo oumaximo o conjunto dos termos da sucessao.

(Grupo Ib do Exame O.S. de 11/2/80)

1.32 Considere as sucessoes de termos gerais

un =(−1)n

n2, vn = [1 + (−1)n]n, wn =

2n+1

2n + 1

e indique, justificando abreviadamente as respostas:

1. as que sao monotonas, as que sao limitadas e as que sao convergentes;

2. o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo (se existirem) do conjunto dos termos de cadauma das sucessoes consideradas.

(Grupo Ia do Exame Final de 30/4/80)

Resolucao: Quanto a (un), |un| =∣

∣

∣

(−1)n

n2

∣

∣

∣ = 1n2 < 2 para qualquer n, logo (un) e limitada. (un)

nao e crescente, pois, por exemplo, u3 < u2; nem e decrescente pois, por exemplo, u2 > u1. (un)e convergente para 0 pois |un| ≤ 1

n2 e 1n2 tende para 0.

Quanto a (vn), |vn| = |(1 + (−1)n)n| = |1 + (−1)n|n, logo (vn) nao e limitada pois dado M esempre possıvel encontrar n0 tal que |vn0 | > M ; com efeito, escolhendo n0 par tal que n0 >

M2

vira |vn0 | = 2n0 > M . (vn) nao e decrescente, pois, por exemplo v1 < v2, nem crescente poisv2 > v3. (vn) nao e convergente pois se o fosse seria limitada e nao o e.Quanto a (wn), wn = 2

1+2−n o que permite reconhecer que (wn) e uma sucessao de termos crescentee com todos os termos menores que o seu limite que e 2 e todos os termos maiores ou iguais aoprimeiro que vale 4/3.

1.33 Das sucessoes de termos gerais

an = (−1)n, bn =3n3 + 3n2 + 1

2n3 − 3, cn = anbn, dn =

2n + 4n

3n+1

indique, justificando as respostas, as que sao limitadas e as que sao convergentes (indicando nestecaso os respectivos limites).

(Grupo IIa do 1o Teste de 7/4/79)

14


un =(−1)n+1

n, vn =

nn+1

nn + 1, wn = unvn

indique, justificando abreviadamente as respostas, as que sao limitadas e as que sao convergentes.


1.35 Calcule (se existirem) os limites das sucessoes de termos gerais:

un =cos(nπ) + cos(2nπ)

n, vn =

(n+ 1)! − n!

n!(n+ 2), wn =

n2

1 + 2n.

(Grupo IIa da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

Resolucao: un e da forma anbn onde an = cos(nπ)+cos(2nπ) e limitada (pois |an| = | cos(nπ)+cos(2nπ)| ≤ | cos(nπ)| + | cos(2nπ)| ≤ 1 + 1 = 2) e bn = 1

n → 0. Logo un → 0.

vn =(n+ 1)! − n!

n!(n+ 2)=n!((n+ 1) − 1)

n!(n+ 2)=

n

n+ 2. Logo vn → 1.

Como 0 ≤ wn =n2

1 + 2n<n2

2ne, como

n2

2n→ 0, tambem wn → 0.

1.36 Indique, justificando abreviadamente a resposta, o conjunto dos valores reais de a para os

quais a sucessao de termo geral xn =an

21+2ne:

i) convergente;

ii) divergente, mas limitada.

(Grupo IIb da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

1.37 Para cada a ∈ R determine, quando existam, os limites das sucessoes de termos gerais:

a)an− 1

an2 + 1, b)

an − 2

a2n + 1.

(Grupo II do 1o Teste de 24/2/79)

Resolucao:

a) Se a = 0 vem un =an− 1

an2 + 1= −1 e limun = −1.

Se a 6= 0 tem-se1un =an− 1

an2 + 1∼ an

an2=

1

n→ 0 . Logo un → 0.

b) Se |a| > 1 tem-se un =an − 2

a2n + 1∼ an

a2n= a−n → 0 e limun = 0.

Se |a| < 1 tem-se un =an − 2

a2n + 1∼ −2 e limun = −2.

Se a = 1 vem un = −1

2e limun = −1

2.

Se a = −1 vem u2n = −1

2e u2n+1 = −3

2. Logo un nao tem limite.

15


1.38 Estude, do ponto de vista da convergencia, as sucessoes de termos gerais:

un =an2 − n

n2 + 1, vn =

b2n

n2, wn =

2

πarctg(cn)

onde a, b e c sao constantes; em caso de convergencia, determine o limite.


1.39 Considere as sucessoes seguintes:

un =an2 + n+ 1

(a+ 1)n2 + 3com a ∈ R,

vn =an + 1

b2n + 3com a, b ∈ R,

wn =(senn)n

3n−1.

Estude-as quanto a existencia de limite, obtendo os respectivos limites quando existirem. Indiquequais sao as limitadas.

1.40 Estude, quanto a convergencia, as sucessoes de termos gerais:

un = cos(n!π), vn =n cos(nπ)

2n+ 1, wn =

1 + an

1 + a2n(a ∈ R).



un =n(2 + cos(nπ))

1 + n(1 − cos(nπ))e vn =

(

a+ 1

a

)n

indique, justificando, as que sao limitadas e as que sao convergentes (no caso de vn a respostadependera naturalmente do valor de a, que deve supor-se real e diferente de 0).

(Grupo Ia da Prova de 26/7/78)

1.42 Determine os limites das sucessoes de termos gerais:

a) un =

(

a

1 + |a|

)n

, b) vn = n

√

(3n)!

(n!)3,

onde a e um numero real.

(1971)

Resolucao:

a) De∣

∣

∣

∣

a

1 + |a|

∣

∣

∣

∣

=|a|

1 + |a| < 1

conclui-se imediatamente que limun = 0.

b) Sabe-se que se an ≥ 0 para todo n e lim an+1

an= α entao lim n

√an = α. Com an = (3n)!

(n!)3 tem-se

an+1

an=

(3(n+ 1))!

((n+ 1)!)3· (n!)3

(3n)!=

(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)

(n+ 1)3∼ 27n3

n3= 27 .

Logo lim n√an = 27.

1Sendo un e vn duas sucessoes de termos nao nulos, escreveremos un ∼ vn sse lim(un/vn) = 1; e claro quesendo un ∼ vn, se uma das sucessoes tiver o limite α ∈ R, a outra tendera tambem para α.

16

1.43 Prove que a soma de duas sucessoes limitadas e uma sucessao limitada.

(Grupo IIb do 1o Teste de 6/3/80)

1.44 Seja an o termo geral de uma sucessao tal que, para todo o n ∈ N,

0 < an < an+1 < 1.

1. Justifique que a sucessao e convergente e indique um intervalo (de comprimento tao pequenoquanto possıvel) que contenha o limite de qualquer sucessao que satisfaca as condicoes im-postas a an.

2. Indique o supremo e o ınfimo do conjunto dos termos da sucessao; este conjunto tera maximo?E mınimo? Justifique abreviadamente as respostas.

(Grupo Ia do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

1.45 Justifique que, se as condicoes

un > 0 eun+1

un< 1

sao verificadas qualquer que seja n ∈ N, un e convergente. Mostre ainda, recorrendo directamentea definicao de limite, que o limite de un nao pode ser um numero negativo.


1.46 Supondo 0 < a1 < a2 < · · · < an−1 < an < · · · e bn = 1/an, justifique que bn e convergente;indique ainda, se existirem, o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo do conjunto de todos ostermos bn (n ∈ N1). Justifique as respostas.

(Grupo IIb da Prova de 26/7/78)

1.47 Sendo xn o termo geral de uma sucessao monotona, yn o termo geral de uma sucessaolimitada e supondo verificada a condicao

∀n∈N1 |xn − yn| <1

n

prove em primeiro lugar que xn e limitada e depois que as duas sucessoes sao convergentes parao mesmo limite.

(Pergunta 2b do Exame Final (Ponto no 2) de 17/7/71)

1.48 1. Prove que se A e B sao subconjuntos de R tais que A ⊂ B e se A e nao vazio e Bmajorado, entao supA ≤ supB.

2. Suponha que, para todo o n ∈ N, Xn designa um subconjunto majorado e nao vazio deR, tal que Xn ⊂ Xn+1. Mostre que, para que a sucessao de termo geral sn = supXn sejaconvergente e necessario e suficiente que exista um conjunto X , majorado em R, tal que

Xn ⊂ X, ∀n ∈ N .

3. De exemplos de conjuntos Xn nas condicoes indicadas no primeiro perıodo da alınea b) etais que

(a) todos os conjuntos Xn sejam infinitos e a sucessao de termo geral sn = supXn sejaconvergente;

17


(b) todos os subconjuntos Xn sejam finitos e a sucessao dos respectivos supremos sejadivergente.

(Pergunta 4 da Prova de 19/9/72)

1.49 Supondo que, para cada n ∈ N1, Xn e um subconjunto nao vazio de R e ainda que:

(i) ∀n∈N1 Xn+1 ⊂ Xn;

(ii) X1 e um conjunto limitado.

a) Justifique que existem o supremo e o ınfimo de cada um dos conjuntos Xn.

b) Pondo an = inf Xn, bn = supXn, mostre que as sucessoes an e bn sao convergentes e quelim an ≤ lim bn.

(Grupo IV do 1o Teste de 24/2/79)

1.50 Seja un o termo geral de uma sucessao limitada; para cada n ∈ N, designe-se por Un oconjunto formado pelos termos da sucessao cuja ordem e maior do que n: Un = {up : p > n}.

1. Justifique que Un tem supremo e ınfimo.

2. Sendo αn = inf Un, βn = supUn, prove que as sucessoes αn e βn convergem e que, designandopor α e β os seus limites, se tem α ≤ β.

3. Prove que un tem subsucessoes convergentes para β e que nenhuma subsucessao de unconverge para um numero maior do que β (portanto, β e o limite maximo de un).


Resolucao:

1. Se (un) e limitada, o conjunto U dos seus termos e limitado e Un ⊂ U tambem o sera; oconjunto Un e nao vazio por definicao de sucessao; Un, limitado e nao vazio tem pois umsupremo e um ınfimo, como consequencia do axioma do supremo.

2. Como Un+1 ⊂ Un resulta que a sucessao de termo geral αn = inf Un e crescente e a sucessaode termo geral βn = supUn e decrescente; mostremos que a primeira sucessao e majorada e asegunda minorada; com efeito, de Un ⊂ U e de U ser limitado sai que αn = inf Un ≤ supUn ≤supU e βn = supUn ≥ inf Un ≥ inf U ; como (αn) e crescente e limitada superiormente, entao(αn) converge e como βn e decrescente e limitada inferiormente, (βn) converge; da relacaoαn ≤ βn sai α = limαn ≤ limβn = β.

3. Comecamos por provar que existem subsucessoes de (un) convergentes para β. Facamo-lodefinindo uma subsucessao (ukn

) de (un) por inducao. Consideramos uk0 = u0 e supostosdefinidos uk0 , . . . , ukn

escolhemos m ∈ N tal que 0 < βm − β < 1/n (gracas a limβm = β)e m > kn (esta ultima condicao destina-se a garantir que estamos de facto a construir umasubsucessao). Por definicao de supremo existe uq com q > m tal que 0 < βm − uq =supUm − uq < 1/n. Tomamos ukn+1 = uq. Assim

|ukn+1 − β| ≤ |ukn+1 − βm| + |βm − β| = (βm − uq) + (βm − β) < 2/n.

A sucessao (ukn) e de facto uma subsucessao de (un) e para n ∈ N1 temos |ukn

− β| < 2/no que garante que o seu limite e β.

18

Para provar que nenhuma subsucessao de un converge para um numero maior do que βsuponhamos, por absurdo, que existe um sublimite de un, β

′, tal que β′ > β. Tomando0 < ε < β′ − β, tem-se

∀p∈N∃n>p |un − β′| < ε.

Portanto para todo o p ∈ N existe un ∈ Up tal que un > β′ − ε. Desta forma, para todo op ∈ N, βp = supUp > β′ − ε. Mas entao devıamos ter limβn ≥ β′ − ε > β.

1.51 Justifique as afirmacoes seguintes:

1. Se un e uma sucessao limitada, qualquer subsucessao de un tem subsucessoes convergentes.

2. Se un nao e limitada, existem subsucessoes de un sem qualquer subsucessao convergente.

(Grupo IVa da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

Resolucao:

1. Sendo un limitada, qualquer subsucessao de un se-lo-a tambem e tera, portanto, subsucessoesconvergentes (teorema de Bolzano-Weierstrass).

2. A sucessao un, sendo ilimitada, tera uma subsucessao upntal que |upn

| → +∞ (para obteruma tal subsucessao bastara escolher p1 tal que |up1 | > 1, depois p2 > p1 tal que |up2 | > 2,etc). Qualquer subsucessao de upn

sera ilimitada (visto que em valor absoluto tenderatambem para +∞) e nao podera portanto ser convergente.

1.52 Seja

A =

{

x ∈ R :x

x2 − 1> 0

}

.

1. Diga se o conjunto A e majorado ou minorado e indique (caso existam) o supremo, o ınfimo,o maximo e o mınimo de A.

2. Justifique que o conjunto dos sublimites de uma qualquer sucessao de termos em ]−∞, 0[∩Ae nao vazio.

3. Mostre, por meio de exemplos, que o conjunto dos sublimites de uma sucessao de termos em]0,+∞[ ∩ A pode ser ou nao ser vazio.

19


20

Capıtulo 2

Series

2.1 Series numericas. Series elementarmente somaveis e

series de termos com sinal fixo

2.1 Calcule (se existirem) os limites das sucessoes de termos gerais:

un =2n+1

2n + 1, vn =

(−1)n

2n + 1, wn =

n∑

k=1

1

k.

Nos casos em que conclua que nao existe limite (finito ou infinito), justifique essa conclusao.


2.2 Sendo a, r ∈ R considere a sucessao definida por:{

x0 = a,

xn = xn−1 + rn.

a) Indique o conjunto dos valores de r para os quais a sucessao e convergente, e, para cada rpertencente a esse conjunto, determine o limxn. [Sugestao: pode ser-lhe util determinar umaoutra expressao para o termo geral xn da sucessao].

b) Justifique que para todo o r ≥ 0 a sucessao xn e monotona e, considerando separadamente oscasos 0 ≤ r < 1 e r ≥ 1, calcule lim arctanxn.

(Grupo II1 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

2.3 Calcule a soma da serie∑+∞

n=2

(

25

)n−1.

(Pergunta 2 do Grupo II do 1o Exame de 26/1/94)

2.4 Mostre que a serie∑∞

n=1 un com un = n+1√n+ 1 − n

√n e convergente e calcule a sua soma.


Resolucao: A serie∑∞

n=1(an+1 − an) estuda-se a partir de

Sn = (a2 − a1) + (a3 − a2) + · · · + (an+1 − an) = an+1 − a1.

No nosso caso

Sn =

n∑

k=1

k+1√k + 1 − k

√k = n+1

√n+ 1− 1

21

CAPITULO 2. SERIES

elimSn = lim( n+1

√n+ 1 − 1) = lim( m

√m− 1) = 0.

Este ultimo resultado deve-se a que se lim(vn+1/vn) = α (e vn > 0) entao lim n√vn = α. Quer

dizer que∑∞n=1 un converge e tem soma nula.

2.5 Determine a natureza da serie∞∑

n=1

n+ 1

n!.


2.6 Estude, quanto a convergencia, as series de termos gerais

a)n2

2ne b)

1

1 + a2n(a > 0).

(Grupo Ib do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

Resolucao:

a) un =n2

2n> 0 e como

limun+1

un= lim

(n+ 1)2

2n+1

2n

n2=

1

2< 1

resulta do criterio de d’Alembert que∑

un e convergente.

b) Se |a| ≤ 1 a serie diverge, visto que entao un nao tende para 0 (un → 1 se |a| < 1, un → 12 se

|a| = 1).

Se |a| > 1 a serie converge, visto que se tem nesse caso un ∼ 1a2n , sendo

∑

1a2n uma serie

geometrica (de razao 1a2 < 1) convergente.

2.7 Estude, quanto a convergencia, as series

∞∑

n=0

n3

1 + n!e

∞∑

n=0

(

1

1 + |x|

)n

.

Para esta ultima, depois de determinar o conjunto dos valores de x para os quais a serie converge,calcule a respectiva soma num ponto x desse conjunto.

(Pergunta 2a da Prova de 8/1/73)

2.8 Determine a natureza de cada uma das series

+∞∑

n=0

1 − e

en,

+∞∑

n=1

√n+ 1

n+ n2

e calcule a soma de uma delas.


22

2.1. SERIES NUMERICAS ELEMENTARES

2.9 Estude quanto a natureza (convergencia absoluta, convergencia simples, divergencia) cadauma das series seguintes:

+∞∑

n=1

(−1)ne−n,+∞∑

n=1

(

1

n

)(−1)n

,+∞∑

n=1

1 + (−1)n

n3.

(Pergunta 1 do Grupo II do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

2.10 Estude a natureza de cada uma das series seguintes:

+∞∑

n=1

2n

3n+1,

+∞∑

n=1

arctg(n3)√n+ n2

,

+∞∑

n=1

cos(n2π),

+∞∑

n=1

nn

(2n)!.

Determine a soma de uma destas series.

(Grupo II do Exame de 1a Epoca de 26/1/96)

2.11 Determine a natureza de cada uma das series seguintes:

+∞∑

n=1

[1 + (−1)n],

+∞∑

n=1

n3 + 1000

log 2n + n4,

+∞∑

n=3

1

n(n− 2),

+∞∑

n=1

2n(2n)!

3n(2n+ 1)!.



+∞∑

n=0

4n

1 + arctgn,

+∞∑

n=1

(n!)2

3n(2n)!.



+∞∑

n=1

1 + (−1)n

2n,

+∞∑

n=1

2 + n!

n!,

+∞∑

n=1

(

2n− 1

3n+ 1

)2n

.



+∞∑

n=1

√n+ 1

n2 + 1,

+∞∑

n=1

e−n logn,

+∞∑

n=1

(

1

n2

)1n

.


2.15 Sendo an o termo geral de uma sucessao de termos positivos, indique, justificando, a naturezadas series:

∑

(1 + an) e∑ 1

n2 + an.

(Grupo IIIb do 1o Teste de 6/3/80)

23

CAPITULO 2. SERIES

2.16 Sendo∑

an e∑

bn duas series de termos positivos, a primeira convergente e a segundadivergente, indique, justificando, a natureza das series:

∑

(an + bn),∑ an

1 + bn.

(Pergunta 2b da Prova de 1/8/72)

2.17 Seja (an) uma sucessao de termos positivos e (bn) uma sucessao limitada.

a) Mostre que a convergencia da serie∑+∞n=1 an implica a convergencia da serie

∑+∞n=1 anbn.

b) Use o resultado da alınea anterior para provar que se a serie∑+∞

n=1 an converge entao tambem

converge∑+∞n=1 a

2n.

c) Mostre, por meio de um exemplo, que a recıproca da proposicao anterior e falsa.


2.18 Sendo an o termo geral de uma sucessao de termos positivos, com limite +∞, indique quale a natureza das series:

∑ an1 + an

e∑ 1

3n + an.

Justifique.

(Grupo IIIb da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

2.19 Seja (an) uma sucessao de termos positivos tal que lim an+1

an> 1. Diga, justificando, se sao

verdadeiras ou falsas as seguintes proposicoes:

a)∑+∞

n=1n√an e uma serie convergente.

b)∑+∞

n=1an

n e uma serie divergente.

c) A serie∑+∞

n=1(an − an+1) e convergente.


2.20 Sendo∑

an e∑

bn series convergentes de termos positivos, indique, justificando, quais dasseries:

a)∑

(

1

an+

1

bn

)

, b)∑

(

1

an− 1

bn

)

, c)∑

anbn.

sao necessariamente convergentes ou necessariamente divergentes e quais podem ser convergentesou divergentes consoante as series

∑

an e∑

bn consideradas.


Resolucao:

a) A serie diverge pois se∑

an e∑

bn convergem tem-se an → 0 e bn → 0 e como an > 0 e bn > 0tem-se 1

an→ +∞ e 1

bn→ +∞ e portanto 1

an+ 1

bn→ +∞. Ora se a serie fosse convergente o

seu termo geral teria de tender para 0.

b) A serie pode ser convergente ou divergente: por exemplo, se for an = bn e claro que∑

(

1an

− 1bn

)

converge, mas se for 1bn

≤ 1an

− 1bn

, ou seja, se for 2an ≤ bn vira∑

(

1an

− 1bn

)

divergente, pois a serie de termos positivos 1bn

o e, ja que 1bn

6→ 0.

24

2.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA E CRITERIO DE LEIBNIZ

c)∑

anbn e necessariamente convergente. Com efeito, convergindo∑

bn devera ter-se bn →0 e portanto, a partir de certa ordem n0, bn ≤ 1; multiplicando ambos os membros destadesigualdade por an (positivo por hipotese) conclui-se que, para n > n0, se tera anbn ≤ an. Aconvergencia de

∑

anbn resulta entao da de an, pelo criterio de comparacao.

2.21 Sendo∑

an e∑

bn duas series convergentes, de termos positivos, indique quais das series:

∑

a2n,

∑

(

1

an− 1

bn

)

,∑ an

1 + bn

sao necessariamente convergentes ou necessariamente divergentes e quais podem ser convergentesou divergentes consoante as series

∑

an e∑

bn consideradas.

(Pergunta 3b do Ponto no6 de 25/10/71)

2.22 Seja un o termo geral da sucessao de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . definida por un+1 = un +un−1 para n ≥ 2, e u1 = u2 = 1. Estude a natureza da serie

∞∑

n=1

un3n.

(Grupo IIa da Prova de 7/74)

2.23 Estude a natureza da serie ∞∑

n=2

arctan vn

sendo v2 = K > 0 e vn+1 = vn sen πn para n ≥ 2.

(Pergunta no5 da Prova de 12/3/74)

2.2 Series numericas. Convergencia absoluta e criterio de

Leibniz

2.24 De exemplos de sucessoes an de termos nao nulos e para as quais a serie

+∞∑

n=1

(−1)nan1 + nan

a) converge simplesmente;

b) converge absolutamente.


2.25 Prove que sao necessariamente verdadeiras ou mostre, por meio de exemplos, que podem serfalsas, as afirmacoes correspondentes as alıneas a), b) e c) seguintes.

Sendo∑

an uma serie convergente de termos positivos, a serie

a)∑

(−1)nan, b)∑

n√an, c)

∑

a2n+1.

e necessariamente convergente.


25

CAPITULO 2. SERIES

2.26 Seja un o termo geral de uma sucessao convergente e tal que

unun+1 < 0 ∀n∈N

a) Indique, justificando, qual e o limite de un.

b) Prove que, se for ainda verificada a condicao

∣

∣

∣

∣

un+1

un

∣

∣

∣

∣

≤ 1 ∀n∈N

a serie∑∞

n=1 un sera convergente, estando a sua soma compreendida entre u1 e u1 + u2.

(Pergunta 1 do Exame Final de 20/2/71)

Resolucao:

a) Sendo (un) convergente, seja u o seu limite. De unun+1 < 0 sai u2 ≤ 0; ora como um quadradoe sempre maior ou igual a 0, so pode ser u = 0.

b) A condicao unun+1 < 0 implica que a serie∑∞

n=1 un e alternada e, sem perda de generalidade,podemos supor que

∞∑

n=1

un =

∞∑

n=1

(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·

com an > 0 (isto e, que u1 > 0). Ora sabe-se que

an+1 = |un+1| ≤ |un| = an,

por hipotese. Logo (an) e decrescente. Como se viu que un → 0, tambem an → 0; logo, pelocriterio de Leibniz, a serie

∑∞n=1(−1)n+1an converge.

E facil ver que serao tambem convergentes — e com a mesma soma, s — as series: (a1 − a2) +(a3 −a4)+ (a5 −a6)+ · · · e a1 − (a2 −a3)− (a4 −a5)−· · · . Assim, se designarmos por s′ e s′′,respectivamente, as somas das series (a3 − a4) + (a5 − a6) + · · · e (a2 − a3) + (a4 − a5) + · · ·cujos termos sao todos nao negativos (por an ser decrescente), ter-se-a evidentemente s′ ≥ 0,s′′ ≥ 0 e tambem

s = (a1 − a2) + s′ = u1 + u2 + s′ ≥ u1 + u2,

s = a1 − s′′ = u1 − s′′ ≤ u1,

isto e, u1 + u2 ≤ s ≤ u1.

E claro que, se em lugar de u1 > 0 tivessemos suposto u1 < 0, concluirıamos de modo analogo,nao so a convergencia da serie, como a relacao u1 ≤ s ≤ u1 + u2.

2.27 Indique, justificando, se sao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou di-vergentes as series

∞∑

n=1

(−1)nn2

n2 + 1,

∞∑

n=0

1

(2 + a2)n(a ∈ R).

Calcule a soma das que forem convergentes.


26


2.28 Diga, justificando, se e simplesmente convergente, absolutamente convergente ou divergente,cada uma das series seguintes:

+∞∑

n=1

(

√

n2 + 1 −√n)

,+∞∑

n=1

1

(n+ 1)(n+ 2),

+∞∑

n=1

(−π)−n

n.


2.29 Indique o limite de cada uma das seguintes sucessoes

un = (−1)nn

n2 + 1, vn =

3n

n!, wn = cos

1

n.

e estude, quanto a convergencia, as series de termos gerais un, vn e wn.

(Grupo I2 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

2.30 Analise a natureza das series

∞∑

n=1

cosπ

n2,

∞∑

n=1

(−1)n√

n(n+ 1),

∞∑

n=2

1

n2 logn.

(Pergunta 1 do Grupo II do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

2.31 Determine a natureza das series

∑ logn

n,∑

(−1)nn

n2 + 1,∑ n3

en;

nos casos de convergencia, indique se e simples ou absoluta.

(Grupo IIa do Exame Final de 30/4/80)

2.32 Determine para que valores de α sao absolutamente convergentes, simplesmente convergentesou divergentes as series de termos gerais

(1 + senα)n, (−1)nn2

nα + 1.


Resolucao:

a) Trata-se de uma serie geometrica de razao 1+senα logo havera convergencia sse |1+senα| < 1,isto e, sse −2 < senα < 0 ou ainda sse senα < 0, ou enfim, sse α ∈ ](2k− 1)π, 2kπ[ com k ∈ Z.

E claro que para esses valores de α a serie sera absolutamente convergente.

b) Ponha-se

un = (−1)nn2

nα + 1.

Se α ≤ 2, un nao tende para 0 e portanto,∑

un e divergente.

Se α > 2, consideremos a sucessao (vn) definida por

vn = |un| =n2

nα + 1∼ 1

nα−2.

27

CAPITULO 2. SERIES

Como a serie∑ 1

nα−2 e convergente sse α > 3, pode concluir-se que un e absolutamenteconvergente sse α > 3.

Para estudar se a serie e simplesmente convergente para α ∈]2, 3] notamos que vn → 0 e,excluıdos termos iniciais em numero finito dependente de α, a sucessao (vn) e decrescente(para o reconhecer pode observar-se que, sendo α > 2, a derivada da funcao definida em

]0,+∞[ pela formula ϕ(x) = x2

xα+1 ,

ϕ′(x) =x

(xα + 1)2[2 + (2 − α)xα],

e negativa para x > (2/(2 − α))1/α).

O criterio de Leibniz permite entao concluir que∑

un converge simplesmente para α ∈ ]2, 3].

2.33 Seja I o conjunto de todos os pontos x ∈ R para os quais a serie

∞∑

n=1

(−1)n(1 − 4x)n

n(n+ 2)

e convergente. Mostre que I e um intervalo. Indique, justificando, a natureza da serie em cada umdos extremos daquele intervalo e, em caso de convergencia, calcule a soma da serie correspondente.

(Grupo IIIa da Prova de 28/2/74)

Resolucao: A serie de potencias∞∑

n=1

(−1)n1

n(n+ 2)yn

e absolutamente convergente para |y| < R onde

R =1

lim n

√

1n(n+2)

= lim n√

n(n+ 2) = lim(n+ 1)(n+ 3)

n(n+ 2)= 1.

A serie obtida e ainda absolutamente convergente para |y| = 1. Logo, os pontos x ∈ R para os quaisa serie do enunciado e convergente, sao os pontos tais que |1− 4x| ≤ 1, ou seja, −1 ≤ 1− 4x ≤ 1,isto e, 1

2 ≥ x ≥ 0. Tem-se pois I = [0, 1/2].Ja vimos que a serie dada converge se x = 0 e x = 1

2 . No primeiro caso a serie e:

∞∑

n=1

(−1)n1

n(n+ 2)=

1

2

∞∑

n=1

(−1)n(

1

n− 1

n+ 2

)

.

Designando por (Sn)n∈N a sucessao de somas parciais da serie podemos repetir o raciocınio paraobter a soma de uma serie de Mengoli:

2Sn = −(

1 − 1

3

)

+

(

1

2− 1

4

)

−(

1

3− 1

5

)

+

(

1

4− 1

6

)

− · · ·

· · · + (−1)n−1

(

1

n− 1− 1

n+ 1

)

+ (−1)n(

1

n− 1

n+ 2

)

= − 1 +1

2+ (−1)n−1

(

− 1

n+ 1

)

+ (−1)n(

− 1

n+ 2

)

.

Assim limSn = − 14 ; logo − 1

4 e a soma da serie dada quando x = 0.

28


Se x = 12 a serie e procedemos de forma analoga para obter

∞∑

n=1

(−1)n(−1)n

n(n+ 2)=

∞∑

n=1

1

n(n+ 2)=

1

2

∞∑

n=1

(

1

n− 1

n+ 2

)

,

2Sn =

(

1 − 1

3

)

+

(

1

2− 1

4

)

+

(

1

3− 1

5

)

+

(

1

4− 1

6

)

+ · · ·

· · · +(

1

n− 1− 1

n+ 1

)

+

(

1

n− 1

n+ 2

)

=1 +1

2− 1

n+ 1− 1

n+ 2.

e limSn = 34 ; logo 3

4 e a soma da serie dada quando x = 12 .

2.34 Determine para que valores reais de x sao absolutamente convergentes, simplesmente con-vergentes e divergentes as series

∞∑

n=0

(

x

x+ 1

)n

e

∞∑

n=0

nxn

n2 + 1.

(Pergunta 3a da Prova de 2a epoca de 18/12/72)

2.35 Determine o conjunto dos pontos em que e absolutamente convergente e o conjunto dospontos em que e simplesmente convergente a serie:

∞∑

n=1

1

2n

(

x− 2

x

)n

.

(Pergunta 3a do Ponto no3 de 1/10/71)

2.36 Determine o conjunto dos pontos em que e absolutamente convergente e o conjunto dospontos em que e simplesmente convergente a serie:

∞∑

n=1

n

n2 + 1

(

x− 2

x+ 4

)n

.


2.37 Seja I o conjunto de todos os pontos x ∈ R para os quais a serie

∑ 1

n

(−6x+ 4

3x+ 5

)n

e convergente. Mostre que I e um intervalo e determine os seus extremos.


2.38 Mostre que a serie∞∑

n=1

2n(n!)2

(2n)!(x2 − x)n

converge em todos os pontos x de um intervalo e determine os extremos desse intervalo (nao sepreocupe em verificar se a serie converge ou nao nos referidos extremos).


29

CAPITULO 2. SERIES

2.39 a) Determine o conjunto dos valores reais de k para os quais sao convergentes e o conjuntodos valores de k para os quais sao limitadas as sucessoes de termos gerais:

un =k2n

2 + kn, vn = (−1)n

n2k

1 + nk.

b) Quais sao os valores de k que tornam absolutamente convergente, simplesmente convergente edivergente cada uma das series

∑

un e∑

vn?

(Pergunta 3 do Ponto no5, Exame integrado de 25/10/71)

2.40

Sendo an o termo geral de uma sucessao de termos reais e, para cada n ∈ N1, b2n−1 = an,b2n = −an, considere a serie

∑∞n=1 bn. Prove que

∑

bn e convergente se e so se lim an = 0 e que∑

bn e absolutamente convergente se e so se∑

an o for.

(Pergunta 4 de uma Prova de Analise Matematica II)

2.41 Sejam∑∞n=0 an e

∑∞n=0 bn series numericas absolutamente convergentes.

a) Mostre que, para todo x ∈ R, a serie

∞∑

n=0

(an cos(nx) + bn sen(nx))

e convergente.

b) Sendo f : R → R a funcao definida por

f(x) =

∞∑

n=0

(an cos(nx) + bn sen(nx))

mostre que

i) f e periodica.

ii) Se f for par f(x) =∑∞

n=0 an cos(nx) e se f for ımpar f(x) =∑∞

n=0 bn sen(nx).

(Grupo III1 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

Resolucao:

a) Tem-se|an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an cos(nx)| + |bn sen(nx)| ≤ |an| + |bn|.

Ora,∑ |an| e

∑ |bn| convergem, logo∑

(|an| + |bn|) converge e∑∞

n=0(an cosnx+ bn sinnx) eabsolutamente convergente e portanto, convergente.

b) i) Como cos(nx) = cos(nx+ n2π) = cos(n(x+ 2π)) e sen(nx) = sen(nx+ n2π) = sen(n(x+2π)) resulta que f(x) e periodica.

ii)

f(x) =

∞∑

n=0

(an cos(nx) + bn sen(nx)) =

∞∑

n=0

an cos(nx) +

∞∑

n=0

bn sen(nx)

f(−x) =

∞∑

n=0

(an cos(−nx) + bn sen(−nx)) =

∞∑

n=0

an cos(nx) −∞∑

n=0

bn sen(nx)

30

2.3. SERIES DE POTENCIAS

Se f e par de f(x) = f(−x) sai 2∑∞n=0 bn sen(nx) = 0. Logo

∑∞n=0 bn sen(nx) = 0 e

f(x) =∑∞

n=0 an cos(nx).

Se f e ımpar de f(x) = −f(−x) sai 2∑∞n=0 an cos(nx) = 0. Logo

∑∞n=0 an cos(nx) = 0 e

f(x) =∑∞

n=0 bn sen(nx).

2.42 Seja f uma aplicacao de R em si mesmo e g a funcao definida pela igualdade:

g(x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1f(nx)

no conjunto de todos os pontos x para os quais e convergente a serie que figura no 2o membro.

a) Indique (referindo-se ao valor de f num ponto conveniente) uma condicao necessaria e suficientepara que 0 pertenca ao domınio de g.

b) Prove que, se f for diferenciavel em R e verificar as condicoes

f ′(x) < 0 ∀x∈R e limx→+∞

f(x) = 0

o domınio de g e um intervalo. Indique esse intervalo.

c) Prove que, na hipoteses da alınea b), as relacoes

f(x) − f(2x) < g(x) < f(x)

sao verificadas em todos os pontos do domınio de g.


2.3 Series de potencias

2.43 Determine o raio de convergencia da serie de potencias:

∞∑

n=0

(x− 3)n

n+ 1

e indique, justificando, os valores reais de x para os quais a serie e absolutamente convergente eaqueles para que e simplesmente convergente.

(Grupo IIIa do 1o Teste de 6/3/80)

2.44 Determine todos os valores de x para os quais e convergente a serie

∑ 2n

1 + 8n(x− 1)n

Para quais desses valores pode garantir que a convergencia e absoluta? Porque?

(Pergunta 3a de uma Prova de Analise Matematica II)

2.45 Sendo k um numero natural, determine o intervalo de convergencia da serie

∞∑

n=1

(x− 2)n

n(n+ k)

e calcule a soma da serie no extremo superior do seu intervalo de convergencia.

(Grupo Ic do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

31

CAPITULO 2. SERIES

2.46 Estude quanto a natureza (convergencia absoluta, convergencia simples, divergencia) cadauma das series seguintes, onde x designa um parametro real:

+∞∑

n=1

1

n(√n+ 3 +

√n+ 1

) ,

+∞∑

n=1

(nx)n

(n+ 1)n,

+∞∑

n=1

n1/n(x2 + 1)n.


2.47 Considere a serie de potencias de x:

∑ cn+1

n+ 1xn

onde c e um numero real positivo.

1. Determine o raio de convergencia da serie.

2. Estude a natureza da serie nos extremos do seu intervalo de convergencia.

3. Justifique que existe um unico valor de c para o qual a serie e simplesmente convergente noponto x = −3 e determine-o.

(Grupo IIIa da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

2.48 Determine o intervalo de convergencia da serie

∞∑

n=1

(

n+ p

p

)

xn.

Estude a natureza da serie nos extremos desse intervalo.

(Grupo IIb da Prova de 7/74)

2.49 Suponha que a serie∑

anxn e simplesmente convergente em certo ponto c < 0. Indique,

justificando, o raio de convergencia da serie e esclareca, para os valores reais de K para os quaisseja possıvel faze-lo com a informacao de que dispoe, a natureza da serie

∑

anKn, indicando, nos

casos de convergencia, se e simples ou absoluta.


2.50 Suponha que a serie de potencias de x

∑

anxn

e convergente no ponto −3 e divergente no ponto 3:

1. indique, justificando, se a convergencia da serie no ponto −3 e simples ou absoluta.

2. indique o conjunto dos valores de x para os quais a serie e absolutamente convergente e oconjunto dos valores de x para os quais e divergente.

3. de um exemplo de uma serie que verifique as condicoes requeridas no enunciado.

(Grupo IIIa do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

32

2.3. SERIES DE POTENCIAS

2.51 Prove que, se o raio de convergencia da serie∑

anxn e maior do que 1, entao lim an = 0.

Mostre que, se o raio de convergencia da serie for igual a 1, a sucessao an pode tender paraqualquer limite (finito ou infinito) ou nao ter limite. Prove ainda que, na hipotese de o raio deconvergencia ser menor do que 1, a sucessao an nao e limitada.

(Grupo IVb da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

2.52 a) Prove que, sendo P (x) um polinomio em x (de qualquer grau, mas nao identicamentenulo):

limx→+∞

P (x+ 1)

P (x)= 1.

b) Supondo que P (x) e um polinomio nas condicoes da alınea a) e que Q(x) e tambem umpolinomio tal que

∀x∈N Q(x) 6= 0

utilize o resultado da alınea a) para determinar o raio de convergencia da serie de potencias

∞∑

n=1

P (n)

Q(n)xn.

c) Obtenha uma condicao (fazendo intervir os graus dos polinomios P e Q) necessaria e suficientepara que a serie seja absolutamente convergente nos extremos do seu intervalo de convergencia.Justifique.


2.53 Designando por r e r′ os raios de convergencia das series

∑

anxn e

∑

bnxn

indique, justificando, o raio de convergencia da serie∑

(an + bn)xn em cada uma das hipoteses

seguintes:

1. r = r′ = +∞;

2. r ∈ R, r′ = +∞;

3. r, r′ ∈ R e r < r′.

O que pode afirmar sobre o raio de convergencia de∑

(an + bn)xn se for r = r′ ∈ R? Justifique e

de exemplos que ilustrem as hipoteses que podem verificar-se.


33

CAPITULO 2. SERIES

34

Capıtulo 3

Funcoes. Continuidade e Limites.


A =

{

x ∈ R :x

ex(x + 1)≤ 0

}

, B = {x ∈ R : ex ≥ e−x}.

1o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos mino-rantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.

2o Indique, justificando, quais das proposicoes seguintes sao verdadeiras e quais sao falsas:

a) Se f e uma funcao definida e limitada em B e (xn) e sucessao de termos em B, (f(xn))tem subsucessoes convergentes.

Nas alıneas seguintes, suponha que (an) e uma sucessao decrescente de termos em A.

b) A sucessao (−1)nan e convergente.

c) A sucessao a2n

ane convergente.

d) A serie∑+∞n=1(an − an+1) e convergente.

(Grupo I da 2a Epoca de 24/2/95)


A =

{

x ∈ R :1

logx≥ 1

}

, B =

{

1 − (−1)n

n: n ∈ N1

}

.

a) Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos mino-rantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.

b) Indique, justificando, quais das proposicoes seguintes sao verdadeiras e quais sao falsas:

i) Toda a sucessao de termos em A tem subsucessoes convergentes.

ii) Toda a sucessao monotona de termos em B e convergente e o seu limite esta em B.

iii) Toda a funcao contınua em A tem maximo (em A).


3.3 Seja f uma funcao contınua em R e designe por K o conjunto dos zeros de f . Diga, justificando,se e verdadeira ou falsa cada uma das proposicoes seguintes∗:

a) Se K= ∅ entao f > 0 ou f < 0.

35

CAPITULO 3. FUNCOES. CONTINUIDADE E LIMITES.

b) Se K= Z entao f e limitada.

c) Se { 1n : n ∈ N1} ⊂ K entao 0 ∈ K.

d) Se Q ⊂ K entao K = R.

*Nota: Sempre que afirme que uma proposicao e falsa de um exemplo que o comprove. Sempre queafirme que uma proposicao e verdadeira justifique, abreviadamente, porque chegou a tal conclusao.


3.4 Seja f uma funcao contınua em R. Indique, justificando, a natureza da serie

+∞∑

n=1

f(cosn)

n2.

(Pergunta 1 do Grupo IV do 2o Exame de 6/2/95)

3.5 Seja φ : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) uma funcao contınua e suponha que existe uma sucessao(xn), de termos em [a, b], tal que limφ(xn) = 0. Prove que φ tem, pelo menos, um zero em [a, b].

(Pergunta 1 do Grupo IV do Exame de 2a Epoca de 28/2/96)

3.6 Seja f : [0,+∞[ → R uma funcao contınua e sejam, para cada n ∈ N,

Mn = max{f(x) : x ∈ [n, n+ 1]}, mn = min{f(x) : x ∈ [n, n+ 1]}.

Suponha ainda que

Mn −mn ≤ 1

n, 0 ≤Mn −Mn−1 ≤ 1

n2para todo o n ∈ N1.

a) Prove que, para todo o n ∈ N1, se tem

Mn ≤M0 +

n∑

k=1

1

k2.

b) Prove que existe, em R, lim Mn.

c) Sendo b = limMn, prove que limx→+∞ f(x) = b.

(Grupo IV do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

3.7 Seja f uma funcao contınua em R para a qual existem (em R) os limites limx→+∞ f(x) elimx→−∞ f(x). Seja ainda A o subconjunto de R definido por A = {x : x = f(x)}. Nestascondicoes, prove que:

a) A e nao vazio. [Pode ser-lhe util considerar a funcao g(x) = x− f(x) com x ∈ R.]

b) A e limitado.

c) A tem maximo e mınimo.

(Grupo IV do 1o Exame de 23/1/95)

3.8 Justifique que, se f e uma funcao limitada em R, para qualquer sucessao de termos reais, xn,a sucessao f(xn) tem subsucessoes convergentes.

(Grupo Ib do Exame final de 4/5/79)

36

3.9 Considere os subconjuntos A e B de R, definidos pelas formulas:

A = {x : |x2 − 1| < 1}, B = {x : 2x2 − 1 > 0}.

1. Determine a reuniao e a interseccao dos conjuntos A e B.

2. Sendo f a aplicacao de A em B definida por f(x) = 1x , indique, justificando, se f e bijectiva.

(Pergunta 1a e c da Prova de 1/9/72)

3.10 Seja g a funcao definida no intervalo ] −∞, e− 1] pela formula

g(x) = log

(

1 +x+ |x|

2

)

.

1. Esboce o grafico de g.

2. Mostre que g e crescente mas nao estritamente crescente no seu domınio e indique o “maior”intervalo em que g e estritamente crescente (isto e, um intervalo I no qual g seja estritamentecrescente sem que o mesmo se passe em qualquer intervalo J que contenha I e seja distintode I).

3. Indique, justificando, se g e ou nao limitada e se tem maximo e mınimo.

(Grupo Ib do 2o Teste de 12/4/80)

Resolucao:

1. O grafico de g esta representado1na figura 3.1.

Para esbocar o grafico basta observar que

g(x) =

{

0, se x ≤ 0,

log(1 + x), se 0 ≤ x ≤ e− 1.

e que portanto a funcao e constante se x ≤ 0 e se 0 ≤ x ≤ e− 1 o grafico e uma translacaode 1 para a esquerda do grafico do logaritmo.

2. Relembrando que o logaritmo e uma funcao estritamente crescente e a expressao que obti-vemos para g na alınea anterior facilmente se conclui que g e crescente, nao e estritamentecrescente pois e constante em ] −∞, 0] e o maior intervalo onde e estritamente crescente e[0, e− 1].

3. Sendo g constante em ]−∞, 0] e crescente em [0, e−1] temos 0 = g(0) ≤ g(x) ≤ g(e−1) = 1para todo o x no seu domınio. Portanto a funcao e g limitada, o seu maximo e 1 e o seumınimo 0 ocorrendo respectivamente em e− 1 e em ] −∞, 0].

3.11 Seja f uma funcao definida em R e tal que f ◦ f = IR onde IR designa a aplicacao identicade R em si mesmo (IR(x) = x, ∀x∈R).

1. Recorrendo directamente as definicoes de aplicacao injectiva e sobrejectiva, prove que f enecessariamente bijectiva.

1O grafico que se apresenta foi gerado numericamente. Obviamente o que se pretende neste e noutros graficose uma representacao aproximada das caracterısticas mais importantes que se esbocam com facilidade. Por vezes,como neste caso, a escala dos dois eixos nao e a mesma.

37


PSfrag replacements

e− 10

1

x

y

y = log(1 + x+|x|2 )

Figura 3.1: O grafico de g(x) = log(1 + x+|x|2

) no exercıcio 3.10.

2. Mostre, por meio de exemplos, que uma funcao f nas condicoes acima indicadas pode ser:

(a) contınua em todos os pontos de R;

(b) contınua num unico ponto de R;

(c) descontınua em todos os pontos de R.

(Pergunta 4 do Exame Final (Ponto no2) de 17/7/71)

3.12 Seja f : R → R uma funcao contınua no ponto 0 e xn o termo geral de uma sucessaoconvergente; indique (expresso em funcao de um dos valores assumidos por f) o limite da sucessaof(x3n − x2n). Justifique abreviadamente a resposta.

(Grupo IIa do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

3.13 Sendo an o termo geral de uma sucessao convergente tal que, qualquer que seja n ∈ N,

a2n > 2 e a2n+1 < 2,

indique, justificando, qual e o limite de an.Existira alguma funcao f , contınua no ponto 0 e tal que, para todo o n, verifique a igualdade:

f( 1n ) = (−1)nan?

Justifique a resposta.


Resolucao: O limite de an tem de ser 2 pois se (an) converge para um certo α ∈ R, qualquer suasubsucessao tem o mesmo limite e a partir de a2n > 2 e a2n+1 < 2 obtem-se α = lim a2n ≥ 2 eα = lim a2n+1 ≤ 2 ou seja α = 2.Se f e contınua em 0 tem-se para qualquer sucessao xn → 0, que lim f(xn) = f(limxn) = f(0).Em particular ter-se-ia

f(0) = lim f

(

1

2n

)

= lim(−1)2na2n = lim a2n = 2

38

e tambem

f(0) = lim f

(

1

2n+ 1

)

= lim(−1)2n+1a2n+1 = lim(−a2n+1) = −2

e viria 2 = −2, o que e absurdo. Logo nao pode existir uma tal funcao.

3.14 Sendo g : [0, 1] → R uma funcao contınua, justifique que:

1. nao existe qualquer sucessao xn (de termos em [0, 1]) tal que g(xn) = n (∀n∈N1)

2. se existe uma sucessao xn (de termos em [0, 1]) tal que g(xn) = 1n (∀n∈N), entao existe

c ∈ [0, 1] tal que g(c) = 0.


3.15 Sendo f : R → R uma funcao contınua no ponto 1, em que ponto(s) sera necessariamentecontınua a funcao g(x) = f(senx)? Justifique.

(Grupo Ic da Repeticao do 2o Teste de 19/4/80)

3.16 Seja ϕ uma funcao definida em R e verificando as condicoes seguintes:

1. Para qualquer x ∈ R, ϕ(x) e um numero inteiro.

2. ϕ(x) tende para um limite finito, c, quando x→ +∞.

Recorrendo directamente a definicao de limite, justifique que c e um numero inteiro e que existeα ∈ R tal que ϕ(x) = c sempre que x > α.


3.17 Mostre que se un e uma sucessao monotona, arctg un e uma sucessao convergente.


3.18 Suponha que, para todo o n ∈ N1, a funcao f verifica a condicao

f

(

− 1

n

)

= 1 − f

(

1

n

)

.

Se existirem os limites laterais f(0−) e f(0+) quanto valera a sua soma? Se existir limx→0 f(x)qual sera o seu valor? Justifique abreviadamente as respostas.


3.19 Seja f : R → R uma funcao com limite finito quando x→ 0 e tal que

f(x)

x> 0 ∀x6=0.

Indique, justificando, o valor de limx→0 f(x).

(Grupo Ic do 2o Teste de 12/4/80))

Resolucao: Tem de ter-se limx→0 f(x) = 0 pois se fosse limx→0 f(x) = α 6= 0 com, por exemplo,α > 0, resultaria que, para x suficientemente proximo de 0 mas menor que 0, f(x)/x < 0. Casofosse α < 0, ter-se-ia para x suficientemente proximo de 0 mas maior que 0, f(x)/x < 0.Concretamente, no caso α > 0, escolha-se ε > 0 tal que 0 < α− ε; como limx→0 f(x) = α existiraδ > 0 tal que se x ∈ ] − δ, δ[ entao f(x) ∈ ]α− ε, α+ ε[. Logo para x ∈ ] − δ, δ[ vira f(x) > 0 e emparticular se −δ < x < 0 vira f(x)/x < 0.

39


3.20 Calcule

limx→1

x2 − x

x2 − 3x+ 2, lim

x→0

tg 5x

x arccosx.

(Grupo I3 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

3.21 Calcule os limites

limx→+∞

x cos ex

x2 + 1, lim

x→0

senx2

x sen 3x.

(Grupo IIb do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

Resolucao: O primeiro dos limites pedidos e 0. De facto, tem-se

0 ≤∣

∣

∣

∣

x cos(ex)

x2 + 1

∣

∣

∣

∣

≤ |x|x2 + 1

;

como |x|x2+1 tende para 0 quando x→ +∞, tambem x cos(ex)

x2+1 tende para 0 quando x→ +∞.Quanto ao segundo limite, quando x → 0, quer o numerador quer o denominador da fraccaotendem para 0. No entanto:

sen(x2)

x sen(3x)=

sen(x2)

x2

x

sen(3x)=

1

3

sen(x2)

x2

3x

sen(3x)

e como limu→0senuu = 1 resulta que a expressao do lado direito tende para 1

3 .

3.22 Considere a funcao f , definida no intervalo ] − 1, 1[ pela formula

f(x) =x− 2

x+ 1.

1. Calcule limx→1 f(x) e limx→−1 f(x).

2. Mostre que f e estritamente crescente e indique, justificando, se e majorada ou minorada ese tem maximo ou mınimo (em ] − 1, 1[).

3. Se xn for uma sucessao convergente para 1, com termos em ] − 1, 1[, qual sera o limite def(xn)? Justifique.

4. De um exemplo de uma sucessao yn, de termos em ] − 1, 1[, tal que a sucessao f(yn) naoseja limitada.

(Grupo Ia do 2a Teste de 12/4/80)

3.23 Considere as funcoes

ϕ(x) = log(1 + ex), ψ(x) = arctg(x) sen(x2).

1. Indique, justificando, se ϕ e ψ sao majoradas, minoradas, limitadas (em R).

2. A funcao ψ tem maximo (em R)? Qual e o seu supremo? Justifique.

3. Existe o limx→−∞(ϕ(x)ψ(x))? E o limx→+∞(ϕ(x)ψ(x))? Justifique.

(Grupo III do Exame Final de 21/9/79)

40

Resolucao:

1. Para qualquer x ∈ R tem-se ex > 0, logo 1 + ex > 1 e portanto, ϕ(x) = log(1 + ex) > 0 eminorada; como limx→+∞ ϕ(x) = +∞, ϕ(x) nao e majorada e portanto nao e limitada.

Quanto a ψ(x) tem-se |ψ(x)| = | arctg x| · | sen x2| < π

2· 1 =

π

2. Logo ψ(x) e limitada.

2. ψ nao tem maximo embora o supremo de ψ seja π2 . Para ver que π

2 = supx∈R ψ(x) bastaobservar que π

2 e um majorante de ψ(x) para todo x ∈ R, como se viu e que dado ε > 0

existe x ∈ R tal que: π2 − ε < ψ(x). Para este efeito observe-se que, pondo xn =

√

2nπ + π2 ,

se tem ψ(xn) = arctgxn → π2 ; assim, escolhendo n suficientemente grande, ter-se-a decerto

ψ(xn) > π2 − ε.

Mostramos que supx∈Rψ(x) = π

2 e como nao existe ξ ∈ R tal que ψ(ξ) = π2 conclui-se que

ψ nao tem maximo.

3. Tem-se limx→−∞

ϕ(x) = limx→−∞

log(1 + ex) = log

(

limx→−∞

(1 + ex)

)

= log 1 = 0. Viu-se que

ψ(x) e limitada pois |ψ(x)| < π2 , ∀x∈R. Logo limx→−∞ ϕ(x)ψ(x) = 0. Mas

limx→+∞

ϕ(x) = limx→+∞

log(1 + ex) = +∞.

Mostremos que limx→+∞ ϕ(x)ψ(x) nao existe. Basta encontrar duas sucessoes (xn) e (yn)tais que

limn→∞

ϕ(xn)ψ(xn) = α, limn→∞

ϕ(yn)ψ(yn) = β e α 6= β.

Por exemplo, com

xn =

√

2nπ +π

2, yn =

√2nπ

tem-se

limϕ(xn)ψ(xn) = lim(

ϕ(xn) arctgxn sen(

2nπ +π

2

))

= lim(ϕ(xn) arctg xn) = +∞,

limϕ(yn)ψ(yn) = lim(ϕ(yn) arctg yn sen(2nπ)) = 0.

3.24 1. Para cada x ∈ R, calcule

limn→∞

1 − |x|n1 + |x|n .

(Considere separadamente os casos |x| < 1, |x| = 1 e |x| > 1.)

2. Estude do ponto de vista da continuidade uma das funcoes seguintes (a sua escolha):

ϕ(x) = (x2 − 1) limn→∞

1 − |x|n1 + |x|n

ou

ψ(x) =

{

x2 − 1, se |x| ≤ 1,

1 − x2, se |x| > 1.

Esboce o grafico da funcao escolhida e indique, justificando, os seus extremos absolutos elocais (se existirem) e o seu contradomınio.


41


3.25 a) Para cada x ∈ R \ {1} calcule

limn→+∞

1 + x2n

1 − x2n−1.

(Considere separadamente os casos: |x| < 1, x = −1 e |x| > 1).

b) Esboce o grafico da funcao f , definida em R \ {1} pela formula

f(x) = limn→+∞

1 + x2n

1 − x2n−1.

Nota: se nao resolver a alınea a), considere a funcao f definida, nao pela formula anterior,mas por:

f(x) =

{

−x, se x < −1 ou x > 1,

1, se −1 ≤ x < 1.

c) Esboce ainda o grafico da funcao g, definida no mesmo conjunto pela igualdade:

g(x) = |f(x)|.

d) Estude as funcoes f e g, do ponto de vista da continuidade, em cada ponto x ∈ R. Indiqueainda se algumas destas funcoes tem maximo ou mınimo (em todo o seu domınio) e, no casode existir maximo ou mınimo, indique o seu valor e os pontos do domınio da funcao em que eatingido.

(Grupo III do 1o Teste de 11/3/78)

PSfrag replacements

f(x)

x

1

1

1

−1

PSfrag replacements

g(x)

x

1

1

1

−1

Figura 3.2: Os graficos das funcoes f e g = |f | no exercıcio 3.25.

Resolucao:

a) Se |x| < 1: limn→+∞

1 + x2n

1 − x2n−1=

1

1= 1.

Se x = −1: limn→+∞

1 + (−1)2n

1 − (−1)2n−1= limn→+∞

1 + 1

1 + 1= lim

n→+∞1 = 1.

Se |x| > 1: limn→+∞

1 + x2n

1 − x2n−1= lim

n→+∞x2n

−x2n−1= lim

n→+∞−x = −x.

42

b)

f(x) =

{

1, se |x| < 1 ou x = −1,

−x, se |x| < 1.

c)

g(x) =

{

1, se |x| < 1 ou x = −1,

|x|, se |x| > 1.

d) f e contınua em R \ {1}. g e contınua em R \ {1} mas e prolongavel por continuidade aoponto 1, bastando por g(1) = 1. f nao tem maximo nem mınimo em R \ {1}. g tem mınimoem R \ {1}, em todos os pontos de [−1, 1[.

3.26 Considere a funcao f definida em R pela formula

f(x) =x+ |x|

2ϕ(x),

onde

ϕ(x) =

{

1, se x ∈ Q,

0, se x ∈ R \ Q.

1. Indique o contradomınio de f . A funcao e majorada (em R)? E minorada?

2. Quais dos limites limx→+∞ f(x) e limx→−∞ f(x) existem?

3. Em que pontos e que f e contınua?

Justifique as respostas.


3.27 Sendo f a funcao definida em R, contınua no ponto 1, dada por

f(x) =

K sen(

π2x)

, se x ≥ 1,

arcsenx, se −1 < x < 1,

0, se x ≤ −1.

1. Determine K.

2. Estude a funcao f do ponto de vista da continuidade, em cada ponto x ∈ R. Indique ocontradomınio da funcao f ; indique ainda se a funcao tem maximo, mınimo, supremo ouınfimo (em todo o seu domınio) e, no caso de existencia, indique o seu valor.

3. Diga se existem e, no caso de existencia, calcule os seguintes limites:

limx→−∞

f(x) e limx→+∞

f(x).

Justifique as respostas.


3.28 Considere a funcao ψ definida em R pela forma seguinte:

ψ(x) =

{

e−x, se x ≥ 0,

K − arctgx, se x < 0,

43


onde K e um numero real.Determine K por forma que ψ seja contınua em R e, fixando K no valor determinado (para o

qual a funcao fica estritamente monotona em R) calcule

supx∈R

ψ(x) e infx∈R

ψ(x).

(Grupo IIIa do Exame Final de 30/4/80)

3.29 1. Estude, quanto a continuidade em cada ponto do seu domınio, as funcoes definidas emR \ {0} pelas formulas:

ϕ(x) = e−1

x2 ,

ψ(x) = x sen1

x− cos

1

x.

2. Indique, justificando, se cada uma das funcoes ϕ e ψ e prolongavel por continuidade oudescontınua no ponto 0.

3. Mostre que as funcoes ϕ e ψ sao limitadas.


3.30 Seja ϕ uma funcao majorada no intervalo [a, b] e, para cada x ∈ [a, b], designe-se por ψ(x) osupremo da funcao no intervalo [a, x]:

ψ(x) = supt∈[a,x]

ϕ(t).

Nestas condicoes, prove que a funcao ψ e crescente e limitada em [a, b] e que ψ e contınua emqualquer ponto c ∈ [a, b] no qual ϕ seja contınua; mostre que ψ pode ser contınua em [a, b] sendoϕ descontınua em todos os pontos deste intervalo.


3.31 Prove que se f : R → R e uma funcao contınua e limitada e se P (x) e um polinomio em xde grau ımpar, a equacao:

f(x) = P (x)

tem pelo menos uma raiz real. De exemplos de funcoes f e polinomios P , nas condicoes referidasno enunciado, para os quais a equacao indicada:

1. Tenha apenas uma raiz real.

2. Tenha infinitas raızes reais.

(Grupo IVb da Prova de 26/7/78)

3.32 Considere a funcao f definida (no conjunto dos pontos x ∈ R para os quais a expressao√x

x−1designa um numero real) pela formula

f(x) =

√x

x− 1.

1. Indique, sob a forma de uma reuniao de intervalos disjuntos, o domınio de f .

2. Calculelim

x→+∞f(x), lim

x→1−f(x) e lim

x→1+f(x).

44

3. Justificando abreviadamente a resposta, indique o contradomınio de f .

4. De exemplos de sucessoes un e vn, de termos no domınio de f e tais que un e f(vn) sejamconvergentes e vn e f(un) sejam divergentes.


3.33 Considere as funcoes f e g definidas em ]0,+∞[ pelas formulas

f(x) = log log(1 + x),

g(x) =√x sen

1

x2.

1. Estude f e g quanto a continuidade, em cada ponto do seu domınio.

2. Calcule limx→+∞ f(x) e limx→+∞ g(x).

3. Indique, justificando, se f ou g sao prolongaveis por continuidade ao ponto 0.

4. Indique, justificando, o contradomınio de f .

(Grupo IIIb do Exame Final de 30/4/80)

3.34 Considere a funcao ϕ : R → R definida da forma seguinte:

ϕ(x) =

{

arctg 1x , se x < 0,

1 + e1−x, se x ≥ 0.

1. Justifique que ϕ e contınua para qualquer ponto x 6= 0.

2. Calcule os limites laterais de ϕ no ponto 0 e indique, justificando, se ϕ e contınua, contınuaa direita ou contınua a esquerda nesse ponto.

3. Justifique que ϕ e monotona em cada um dos intervalos ]−∞, 0[ e [0,+∞[. Se-lo-a tambemna reuniao desses dois intervalos? Justifique a resposta.

4. Calcule limx→+∞ ϕ(x) e limx→−∞ ϕ(x) e indique, justificando, o contradomınio de ϕ.


3.35 Considere a funcao g, definida em R \ {0} pela formula

g(x) =1

xe1/x.

1. Usando a notacao usual para representar intervalos, represente os conjuntos:

{x : g(x) > 0} e {x : g(x) < 0}

como uma uniao de intervalos disjuntos.

2. Observe que g assume valores positivos e valores negativos, mas nao assume o valor 0;explique porque e que este facto nao esta em contradicao com o teorema do valor intermedio.

3. Calcule limx→0+ g(x) e limx→+∞ g(x) e indique, justificando sinteticamente a resposta, otransformado pela funcao g do intervalo ]0,+∞[ .

4. Calcule limx→−∞ g(x) e limx→0− g(x) e justifique que g nao tem maximo no intervalo] −∞, 0[; indique ainda um subconjunto deste intervalo no qual g tenha maximo.

45



3.36 Seja f a funcao real de variavel real definida por

f(x) =

{

−e 1x , se x < 0,

log 11+x2 , se x > 0.

1. Calcule limx→−∞

f(x) e limx→+∞

f(x).

2. Justifique que f e contınua em todo o seu domınio.

3. Mostre que f e prolongavel por continuidade ao ponto 0.

4. Sendo g a funcao que resulta de f por prolongamento por continuidade ao ponto 0, justifiqueque g tem maximo e mınimo em qualquer intervalo [−ε, ε] com ε > 0. Indique, justificando,o valor de max

x∈[−ε,ε]g(x).

(Grupo II2 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

3.37 Sendo K um numero real diferente de zero, considere a funcao f , definida em R \ {0} por

f(x) =

{

sen(πx)Kx , se x < 0,

arctg 1x , se x > 0.

1. Estude a funcao, do ponto de vista da continuidade, em cada ponto do seu domınio.

2. Calcule os limites laterais de f no ponto 0 e indique, justificando, os valores de K para osquais f e prolongavel por continuidade ao ponto 0.

3. Calcule os limites de f(x) quando x → +∞ e quando x → −∞ e indique, justificando, se afuncao e limitada (em todo o seu domınio).

(Grupo IIa da Repeticao do 2o Teste de 19/4/80)

46

Resolucao:

1. Para x 6= 0 a funcao e contınua pois 1x , senx e arctgx o sao e compondo funcoes contınuas

obtem-se funcoes contınuas.

2. Para que f seja prolongavel por continuidade em 0 basta que

limx→0−

sen(πx)

Kx= lim

x→0+arctg

1

x.

Ora:

limx→0+

arctg1

x= limy→+∞

arctg y =π

2,

limx→0−

sen(πx)

Kx= lim

x→0−

π

K

sen(πx)

πx=

π

Klimx→0−

sen(πx)

πx=

π

K· 1 =

π

K.

Logo, tera de ser π2 = π

K ou seja K = 2.

3.

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

arctg1

x= arctg 0 = 0

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

sen(πx)

Kx= 0

pois 1Kx → 0 e sen(πx) e limitada.

Se x > 0 tem-se 0 < arctg 1x <

π2 .

Se x < 0 viu-se que limx→0−sen(πx)Kx = π

K , logo sen(πx)Kx e limitada nalgum intervalo ] − ε, 0[

(com ε > 0). Fora desse intervalo, isto e, se x ∈ ] −∞,−ε] tem-se

∣

∣

∣

∣

sen(πx)

Kx

∣

∣

∣

∣

≤ 1

|Kx| =1

|K||x| <1

|K|ε ,

pois entao |x| > ε. Logo f(x) e limitada para x < 0 e para x > 0, ou seja, e limitada no seudomınio.

3.38 Seja f : [a,+∞[ → R uma funcao contınua e suponha que existe b ∈ [a,+∞[ tal que, paraqualquer x > b, se tem f(x) < f(a). Prove que f tem maximo em [a,+∞[.


Resolucao: Se for b = a entao para todo x > a tem-se f(x) < f(a) o que significa que f atingeum valor maximo em a. Se for b 6= a e portanto, b > a, f(x) se tiver maximo ha-de te-lo em [a, b]pois para x > b, f(x) < f(a). Ora sendo f contınua em [a,+∞[ a sua restricao f1 ao intervalolimitado e fechado [a, b] e contınua e pelo teorema de Weierstrass f1 tem maximo em [a, b] que eportanto maximo de f .

3.39 Seja f uma funcao contınua em [a, b], tal que f(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]. Prove que existemnumeros positivos α e β tais que, quaisquer que sejam x e y pertencentes a [a, b], α ≤ f(x)f(y) ≤β.


47


Resolucao: Sendo f contınua em I = [a, b] e f(x) 6= 0 para cada x ∈ I , todos os valores assumidospor f em I serao do mesmo sinal (como resulta do teorema do valor intermedio). Designando porm o mınimo e por M o maximo de f em I (que existem, pelo teorema de Weierstrass) e supondox, y ∈ I , ter-se-a entao, na hipotese de serem positivos os valores de f em I

0 < m ≤ f(x) ≤M, 0 < m ≤ f(y) ≤M

e, no caso de esses valores serem negativos,

m ≤ f(x) ≤M < 0, m ≤ f(y) ≤M < 0.

Tomando α = m2, β = M2 no primeiro caso e α = M2, β = m2 no segundo ter-se-a portanto emqualquer dos casos

0 < α ≤ f(x)f(y) ≤ β.

3.40 a) Sendo g : [0,+∞[ → R contınua no seu domınio, mostre que a funcao

ϕ(x) = g(1 − x2)

tem maximo e mınimo.

b) Se na alınea a) considerassemos g definida e contınua em ]0,+∞[ poderıamos continuar agarantir para ϕ a existencia de maximo e mınimo? Justifique.


3.41 Sejam f e g funcoes contınuas no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b).

a) Justifique que existem numeros reais α e β tais que, para todo o x ∈ [a, b],

α ≤ (f(x) + g(x))2 ≤ β.

b) Prove que, se existirem x1, x2 ∈ [a, b] tais que f(x1) > g(x1) e f(x2) < g(x2), a equacaof(x) = g(x) tem pelo menos uma solucao em [a, b].

c) Quais das proposicoes expressas nas alıneas a) e b) continuariam a ser verdadeiras se, em vezdo intervalo fechado [a, b] considerassemos o intervalo aberto ]a, b[ (no qual f e g continuariama supor-se contınuas)? Justifique cuidadosamente a resposta.

(Grupo V do 1o Teste de 24/2/79)

3.42 Seja f uma funcao contınua em R, com limites positivos quando x → +∞ e quando x→ −∞e tal que f(0) < 0. Nestas condicoes prove que:

1o A equacao f(x) = 0 tem pelo menos duas raızes reais.

2o Existe um ponto c ∈ R tal que, qualquer que seja x ∈ R, f(c) ≤ f(x).

De ainda um exemplo de uma funcao que verifique todas as condicoes exigidas no enunciado —excepto a continuidade em R, que deve ser substituıda pela continuidade em ]−∞, 0[ e em ]0,+∞[— e para a qual as afirmacoes expressas em 1o e 2o sejam ambas falsas.

(Grupo IIIb do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

48

Resolucao:

1. Sendo limx→+∞ f(x) = α > 0 e limx→−∞ f(x) = β > 0 seja ε > 0 tal que 0 < α − εe 0 < β − ε. Existem x0 < 0 e x1 > 0 tais que, se x ≤ x0, se tem |f(x) − α| < ε e,em particular, 0 < α − ε < f(x) e, se x ≥ x1, se tem |f(x) − β| < ε e em particular0 < β − ε < f(x). Quer dizer f(x0) > 0 e f(x1) > 0; porem f(0) < 0 pelo que, como f econtınua, existem c0 e c1 tais que:

x0 < c0 < 0, 0 < c1 < x1, f(c0) = 0 e f(c1) = 0

pelo teorema do valor intermedio.

2. Com as notacoes anteriores, f tem um valor mınimo em [x0, x1] atingido em certo c ∈ [x0, x1],de acordo com o teorema de Weierstrass, e f(c) < 0 pois f(0) < 0 e 0 ∈ [x0, x1]. Ora, forade [x0, x1], f(x) e sempre positiva como se viu, logo o valor mınimo de f(x) em R e de factof(c). Quanto ao contra-exemplo basta considerar

f(x) =

1, se x < 0,

− 12 , se x = 0,

arctg(x− 1), se x > 0.

3.43 Sejam a, b ∈ R, a < b e g : ]a, b[ → R uma funcao contınua em ]a, b[, tal que

limx→a

g(x) = − limx→b

g(x) = −∞.

Mostre que existe uma e uma so funcao contınua h definida em [a, b] tal que

h(x) = arctg[g(x)]2 ∀x∈ ]a,b[

e determine o seu contradomınio. Justifique cuidadosamente a resposta.

(Grupo III2 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

3.44 Suponha que f e uma funcao contınua em R.

1. Recorrendo directamente a definicao de continuidade prove que, se f(a) > 0, existe ε > 0 talque x ∈ Vε(a) ⇒ f(x) > 0.

2. Designando por g a funcao definida em R por

g(x) =

{

f(x), se f(x) ≥ 0,

0, se f(x) < 0,

prove que g e contınua em qualquer ponto a ∈ R.

[Sugestao: considere separadamente as hipoteses f(a) > 0, f(a) < 0 e f(a) = 0; na primeirapode ser-lhe util o resultado da alınea a); a segunda pode tratar-se analogamente; na terceirarecorra directamente a definicao de continuidade].

3. Prove que, se a equacao g(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real e se g nao e a funcao nula,a equacao f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real.

4. Prove que, se os limites de f(x) quando x → +∞ e quando x → −∞ existem e sao ambosnegativos, a funcao g tem maximo e mınimo absolutos.

(Grupo IV da Prova de 2/12/76)

49


3.45 Sejam a e b dois numeros reais tais que a < b, f uma funcao contınua em [a, b] e admita-seque qualquer dos conjuntos:

A = {x : x ∈ [a, b] ∧ f(x) > 0}, B = {x : x ∈ [a, b] ∧ f(x) < 0}

e nao vazio.Justifique as proposicoes seguintes:

1. A ∪ B 6= [a, b].

2. Se xn e o termo geral de uma sucessao convergente tal que, para todo o n ∈ N, x2n ∈ A ex2n+1 ∈ B, entao f(xn) converge e o seu limite e zero.

3. O conjunto f(A) tem maximo e nao tem mınimo; o conjunto f(B) tem mınimo e nao temmaximo.

De ainda um exemplo de uma funcao f (contınua em [a, b]), para a qual seja igual a a o ınfimo dequalquer dos conjuntos A e B.


3.46 Sendo f e g duas funcoes contınuas em R, considere os conjuntos:

U = {x : f(x) > g(x)}, V = {x : f(x) < g(x)}, W = {x : f(x) = g(x)}.

1. Prove que, se U e V sao nao vazios, W e nao vazio.

2. Prove que, se xn e uma sucessao convergente e se x2n ∈ U e x2n+1 ∈ V (∀n∈ N), entaolimxn ∈ W .

3. Prove que, se a ∈ U , existe ε > 0 tal que a vizinhanca ε de a esta contida em U ; estaafirmacao ficaria ainda verdadeira se substituıssemos U por W ? Justifique.

4. Se existirem os limites f(+∞) e g(+∞) e se for verificada a desigualdade f(+∞) > g(+∞),quais dos conjuntos U , V , W serao necessariamente majorados? Justifique.

5. Em cada um dos casos seguintes de um exemplo – ou prove que nao e possıvel faze-lo – defuncoes f , g contınuas em R, tais que f(+∞) = g(+∞) e para as quais, dos tres conjuntosU , V , W :

a) So U e V sejam majorados.

b) So U e W sejam majorados.

c) So W seja majorado.

d) So U seja majorado.

e) Nenhum seja majorado.

(Grupo III da Repeticao do 2o Teste de 19/4/80)

3.47 Seja f uma funcao definida em R, verificando a condicao

∃K∈R∀x,y∈R |f(x) − f(y)| ≤ K|x− y|. (3.1)

1. Prove que f e contınua em R.

2. Prove que, qualquer que seja a > 0, a funcao |f | tem maximo no intervalo [−a, a] e que essemaximo nao excede o numero |f(0)| +Ka.

3. Prove que, sendo α > 1, limx→+∞

f(x)

xα= 0.

50

4. Indique, justificando, quais sao as funcoes polinomiais que verificam a condicao (3.1).

(Grupo IVb do Exame Final de 30/4/80)

Resolucao:

1. Seja x0 ∈ R e prove-se que f e contınua em x0. Dado ε > 0 ter-se-a com efeito |f(x)−f(x0)| <ε desde que |x− x0| < ε

K , pois entao

|f(x) − f(x0)| ≤ K|x− x0| < Kε

K= ε.

2. Dados dois reais u, v tem-se sempre ||u| − |v|| ≤ |u− v| daı que para qualquer x ∈ [−a, a]

||f(x)| − |f(0)|| ≤ |f(x) − f(0)| ≤ K|x| ≤ Ka

e portanto, |f(x)| ≤ |f(0)|+Ka e daı que o maximo de f em [−a, a] (que existe pelo teoremade Weierstrass) seja inferior a |f(0)| +Ka.

3. Tem-se∣

∣

∣

∣

f(x)

xα

∣

∣

∣

∣

=|f(x)||x|α ≤ |f(0)| +K|x|

|x|α =|f(0)||x|α +K

1

|x|α−1.

Como α > 1 o lado direito tende para 0 quando x → +∞.

4. Se f(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · · + an−1x+ an (a0 6= 0) tem-se

limx→+∞

f(x)

xα= lim

x→+∞a0x

n

xα= lim

x→+∞a0x

n−α.

Se f verifica a condicao este limite tera de ser nulo para qualquer α > 1 e ele so e nulo sen− α < 0. Logo tem de ser n ≤ 1 e f tem de ter grau menor ou igual a um.

51


52

Capıtulo 4

Calculo Diferencial.

4.1 Nocao de derivada. Primeiras propriedades.

4.1 Considere a funcao f , definida em R, contınua no ponto 0 e tal que

f(x) =x

2 + e−1/x∀x6=0.

Calcule as derivadas laterais de f no ponto 0.

(Grupo IIa do Teste de 7/4/79)

4.2 Determine as derivadas laterais, no ponto 0, da funcao f contınua em R e cujos os valorespara x 6= 0 sao determinados pela igualdade:

f(x) = x1 + e1/x

2 + e1/x.

[Sugestao: estude primeiramente os limites laterais, no ponto 0, da funcao e1/x.]


4.3 Considere a funcao definida em R pela forma seguinte:

g(x) =

{

x2 − 1, se |x| ≤ 1,

1 − x2, se |x| > 1.

a) Sendo |a| < 1 e |b| > 1, calcule g′(a) e g′(b) (num dos casos, recorra directamente a definicaode derivada; no outro, use as regras de derivacao adequadas).

b) Calcule as derivadas laterais de g nos pontos em que a funcao nao e diferenciavel.

c) Esboce o grafico de g′ e justifique que nao ha, no grafico de g, dois pontos (distintos) nos quaisas tangentes a este ultimo grafico sejam paralelas.

(Pergunta 1∗ do Exame Final de 6/5/78)

Resolucao:

a) Vamos calcular g′(a) recorrendo a definicao:

g′(a) = limh→0

g(a+ h) − g(a)

h= limh→0

((a+ h)2 − 1) − (a2 − 1)

h=

= limh→0

2ah+ h2

h= limh→0

(2a+ h) = 2a.

53

CAPITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL.

PSfrag replacements

2

1

−1

−2

1 x

y

Figura 4.1: O grafico da funcao g′ no exercıcio 4.2.

Vamos calcular g′(b) usando as regras de derivacao: sendo |x| > 1 tem-se g′(x) = (1 − x2)′ =−2x. Logo g′(b) = −2b.

b) Nos pontos 1 e −1 a funcao nao e diferenciavel. As derivadas laterais existem e sao:

g′d(1) = limh→0+

g(1 + h) − g(1)

h= lim

h→0+

1 − (1 + h)2 − 0

h= lim

h→0+

−2h− h2

h= −2,

g′e(1) = limh→0−

g(1 + h) − g(1)

h= lim

h→0−

(1 + h)2 − 1 − 0

h= limh→0−

2h+ h2

h= 2,

g′d(−1) = limh→0+

g(−1 + h) − g(1)

h= limh→0+

(−1 + h)2 − 1 − 0

h= lim

h→0+

−2h+ h2

h= −2,

g′e(−1) = limh→0−

g(−1 + h) − g(1)

h= lim

h→0−

1 − (−1 + h)2 − 0

h= limh→0−

2h− h2

h= 2.

c) Dois pontos distintos x1, x2 teriam tangentes paralelas ao grafico de g se as derivadas g′(x1)e g′(x2) tivessem um valor comum α. Isso implicaria que a recta paralela ao eixo dos x compontos de ordenada α cortasse o grafico de g′ em dois pontos. Mas nao ha nenhum α nessascondicoes.

4.4 Sendo C a curva plana de equacao y = x2 − 5x+ 6.

1o Determine o ponto de C no qual a tangente a curva e paralela a bissectriz dos quadrantesımpares;

2o Justifique que, dada arbitrariamente uma recta do plano nao paralela ao eixo das ordenadas,existe um e um so ponto de C no qual a tangente e paralela a recta dada.


54

4.1. NOCAO DE DERIVADA. PRIMEIRAS PROPRIEDADES.

4.5 Seja g uma funcao contınua em R, tal que g(0) = 3 e seja f a funcao definida pela igualdade

f(x) = 1 + xg(x) ∀x∈R.

Prove que f e diferenciavel no ponto 0 (note que nao se supoe que g o seja) e determine umaequacao da tangente ao grafico de f no ponto de interseccao com o eixo das ordenadas. Mostreainda que, se g for estritamente monotona, o grafico de f e a tangente cuja equacao determinouso se intersectam no ponto de tangencia.


Resolucao:

f ′(0) = limx→0

f(x) − f(0)

x= lim

x→0

1 + xg(x) − 1

x= limx→0

g(x) = g(0).

O ultimo passo decorre de g ser contınua em 0. A equacao pedida e y = f ′(0)x + f(0) ou sejay = g(0)x+ 1. Um ponto de interseccao da tangente com o grafico de f devera ter uma abcissa xverificando:

f(x) = f ′(0)x+ f(0)

ou seja, 1+xg(x) = g(0)x+1 ou ainda xg(x) = g(0)x. Se for x 6= 0 ter-se-a g(x) = g(0) e sendo gestritamente monotona viria por outro lado g(x) 6= g(0) pois g seria injectiva. Ora isto e absurdo,pelo que tem de ser x = 0.

4.6 Seja f ∈ C2(R) e sejam ϕ e ψ as funcoes reais definidas em R por

ϕ(x) = f(ex), ψ(x) = f(senx).

Mostre que

ϕ′′(0) + ψ′′(π

2

)

= f ′′(1).

(Pergunta 1 do Grupo III do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

4.7 Seja

f(x) =

{

x2 + x− 1, se x > 0,2π arctg 1

x , se x < 0.

a) Sendo a < 0 e b > 0, justifique que f e diferenciavel nos pontos a e b e determine uma equacaoda recta tangente ao grafico da funcao f no ponto (a, f(a)).

b) Mostre que f e prolongavel por continuidade ao ponto 0 e, designando por f a funcao quese obtem prolongando f por continuidade ao ponto 0, indique, justificando, o domınio dediferenciabilidade de f .

(Grupo I1 da Repeticao do 1o Teste de 18/9/80)

4.8 Seja

g(x) =

{

ex−1x se x 6= 0,

1 se x = 0.

1o Calcule g′(x), para x 6= 0.

2o Calcule g′(0) (recorra a definicao de derivada).

55


3o Escreva uma equacao da tangente ao grafico de g no ponto de abcissa 0.

(Grupo I do Exame de 2/10/80)

4.9 Determine o domınio, o domınio de diferenciabilidade e calcule a derivada das seguintesfuncoes:

a) log(x shx), b) arcsen(arctgx), c)ex

1 + x.

(Grupo I1 do Exame de 23/3/77)

4.10 Determine o domınio, o domınio de diferenciabilidade e calcule a derivada das seguintesfuncoes:

a) f(x) = ex+1x−1 , b) g(x) = log | logx|.

(Grupo I do Exame de 2a epoca de 19/7/77)

4.11 Determine o domınio, o domınio de diferenciabilidade e a derivada de cada uma das seguintesfuncoes:

a) f(x) =√

4 − x2, b) g(x) = sen log(x3 − 1), c) h(x) =

{

e−1

x2 , se x 6= 0,

0, se x = 0.

(Grupo I1 da Prova de 25/7/77)

4.12 1o Seja f a funcao definida por f(x) = log arcsen x+1x−1 ; determine o domınio de f , o domınio

de diferenciabilidade de f e calcule a sua derivada.

2o Determine o domınio, o domınio de diferenciabilidade e calcule a derivada da funcao definidapor y =

√ch x− 1. Calcule as suas derivadas laterais no ponto x = 0.

3o Determine uma equacao da recta tangente ao grafico da funcao definida em R por y = earctg x,no ponto de abcissa nula.

(Grupo I da Prova de 18/7/77)

4.13 Sendo f : R → R a funcao definida pela formula

f(x) = x4e−x

e sendo g : R → R uma funcao diferenciavel, calcule (g ◦ f)′(x).

(Grupo IIb do Exame de 26/7/78)

4.14 Considere a funcao f : R → R definida por:

f(x) =

{

a+ bx, se x ≤ 0,

arctg 1x , se x > 0.

a) Escreva uma equacao da tangente ao grafico de f no ponto de abcissa 1.

b) Determine a e b por forma que f seja diferenciavel no ponto 0 e verifique se (com esses valoresde a e b) a funcao f ′ fica contınua em R.

(Grupo II do Teste de 10/4/79)

56

4.1. NOCAO DE DERIVADA. PRIMEIRAS PROPRIEDADES.

4.15 Seja g : R → R a funcao contınua no ponto 0 e tal que, para todo o x ∈ R \ {0}

g(x) = x

(

2 + x sen2 1

x

)

.

a) Determine uma equacao da tangente ao grafico de g no ponto de abcissa 0 e mostre que nenhumponto do grafico da funcao esta situado “abaixo” dessa tangente.

b) Estude, do ponto de vista da continuidade, a funcao g′ (primeira derivada de g).


4.16 Sendo f : R → R uma funcao diferenciavel e supondo que f ′ e contınua (mas possivelmentenao diferenciavel) no ponto a ∈ R, prove que a funcao

g(x) = (x− a)f(x)

e duas vezes diferenciavel no ponto a e exprima g′′(a) em funcao de f ′(a).

(Grupo IIIb do Exame de 26/7/78))

4.17 Sendo f uma funcao duas vezes diferenciavel em R e designando por g : R → R a aplicacaodefinida por g(x) = f(ex), mostre que

g′′(0) − g′(0) = f ′′(1).


Resolucao: Temos

g′(x) = f ′(ex)ex,

g′′(x) = f ′′(ex)e2x + f ′(ex)ex.

Logog′′(0) − g′(0) = f ′′(1) + f ′(1) − f ′(1) = f ′′(1).

4.18 Sendo g : R → R uma funcao duas vezes diferenciavel, considere a funcao ϕ : ]0,+∞[ → R

definida porϕ(x) = eg(log x)

e (supondo conhecidos os valores de g, g′ e g′′ em pontos convenientes) determine:

1o Uma equacao da tangente ao grafico de ϕ no ponto de abcissa 1.

2o ϕ′′(e).

(Grupo IVa do Teste de 24/4/79)

4.19 Determine para que valores k ∈ R+ a funcao

fk(x) =

{

xk sen 1x2 , se x 6= 0,

0, se x = 0,

e diferenciavel em R, mas a derivada nao e contınua em x = 0. Justifique.

(Grupo IV do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

57


4.2 Teoremas de Rolle e Lagrange. Corolarios.


A = {x ∈ R : 5|x+ 1| ≥ 11 + 3x}, Bn =

[

0,1

n

[

(n ∈ N1),

C = {x ∈ R+ : log x ≤ 1}, D = ∩n∈N1Bn.

(Note que D e o conjunto dos numeros reais que pertencem a todos os Bn.)

1. Mostre que A = ] −∞,−2] ∪ [3,+∞[.

2. Indique, se existirem em R, o maximo, o mınimo, o supremo e o ınfimo dos conjuntos A, Ce D.

3. Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas cada uma das proposicoes seguintes dando umexemplo sempre que afirmar que a proposicao e falsa e jutificando abreviadamente sempreque afirmar que a proposicao e verdadeira:

a) Toda a sucessao crescente de termos em A ∩ R− e convergente (em R).

b) Toda a sucessao (xn) tal que xn ∈ Bn para qualquer n ∈ N1, e convergente (em R).

c) Sejam x0 ∈ A ∩ R− e y0 ∈ A ∩ R+. Toda a funcao contınua em A tal que f(x0) < 0 ef(y0) > 0, tem pelo menos um zero.

d) Toda a funcao contınua em C ∪D tem maximo.

e) Seja f uma funcao diferenciavel em R tal que f(0) = 0 e f(

1n

)

= 0 para qualquer n ∈ N1.

Entao f′tem, para cada n ∈ N1, pelo menos um zero em Bn.

(Grupo I do Exame de 1a Epoca de 26/1/96)

4.21 Considere a funcao F definida em R da forma seguinte:

F (x) =

{

x1−x , se x < 0,

arctgx, se x ≥ 0.

a) Sendo a < 0 e b > 0, calcule F ′(a) e F ′(b) e escreva equacoes das tangentes ao grafico de Fnos pontos de abcissas a e b.

b) Justifique que F ′(0) = 1.

c) Utilize os resultados de a) e b) para justificar que F nao tem extremos locais.

(Pergunta 1 do Teste de 22/4/78)

4.22 Sendo f uma funcao real definida em R, designe-se por Γ o grafico de f num dado referencial(ortonormado) e por ϕ a funcao definida pela forma seguinte: para cada x ∈ R, ϕ(x) e igual adistancia da origem ao ponto de Γ cuja abcissa e x.

1. Exprima ϕ(x) (em funcao de f(x) e x) por meio de uma formula e aproveite-a para justificarque ϕ e contınua em qualquer ponto em que f o seja; mostre, por meio de um exemplo, queϕ pode ser contınua num ponto de descontinuidade de f .

58

4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROLARIOS.

2. Reconhece-se facilmente que, se f for contınua em R, ϕ tem mınimo (absoluto); sem demons-trar este resultado, aproveite-o para provar que, qualquer que seja a funcao f diferenciavelem R, a equacao

x+ f(x)f ′(x) = 0

tem pelo menos uma raiz real. [Sugestao: Considere a funcao (ϕ(x))2.]


4.23 Sendo f uma funcao diferenciavel num intervalo I que contenha os pontos −1 e 1, considerea funcao ϕ : R → R definida por

ϕ(x) = f(cosx)f(sen x).

Calcule ϕ′(x) e mostre que, em qualquer ponto (a, b) do grafico de ϕ tal que tg a = 1, a tangentea esse grafico e horizontal. Admitindo que f era duas vezes diferenciavel em I , o que poderıamosdizer sobre o numero de raızes da equacao ϕ′′(x) = 0?

(Grupo IVa do Teste de 7/4/79)

Resolucao:

ϕ′(x) = f ′(cosx)(− senx)f(senx) + f(cosx)f ′(senx) cosx

A condicao tg a = 1 significa sena = cosa e portanto

ϕ′(a) = f ′(sen a)(− sena)f(sen a) + f(sena)f ′(sen a) sen a = 0,

ou seja, a tangente ao grafico de ϕ no ponto de abcissa a e horizontal. A funcao ϕ′ anula-se nospontos a tais que tg a = 1 ou seja, nos pontos da forma π

4 + kπ onde k ∈ Z. Para cada k ∈ Z

temos entao que ϕ′′ tera que se anular em ]π/4 + kπ, 5π/4 + kπ[. Logo, a equacao ϕ′′(x) = 0 teminfinitas raızes.

4.24 Seja g uma funcao tres vezes diferenciavel em R, a, b e c tres numeros reais tais que a < b < c.Prove que, se g tem extremos locais (maximos ou mınimos) em cada um dos pontos a, b e c, aequacao g′′′(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. Indique um intervalo que contenha essa raiz.


Resolucao: Se x0 e um extremo local de g e porque g′(x0) = 0. Logo g′(a) = g′(b) = g′(c) = 0.Pelo teorema de Rolle, existem α ∈ ]a, b[ e β ∈ ]b, c[ tais que g′′(α) = 0 e g′′(β) = 0; de novo peloteorema de Rolle existe γ ∈ ]α, β[ tal que g′′′(γ) = 0. A maior precisao para γ e: γ ∈ ]a, c[.

4.25 Sendo ϕ : ]0,+∞[→ R uma funcao indefinidamente diferenciavel verificando a condicao

∀r,s∈N1 ϕ(r) = ϕ(s),

prove que, para todo o natural n, a equacao ϕ(n)(x) = 0 tem infinitas raızes. Para cada k ∈ N1

indique um natural p tal que possa garantir-se a existencia de uma raiz da equacao ϕ(k)(x) = 0no intervalo ]1, p[; justifique a resposta.

(Pergunta 4a do Teste de 22/4/78)

4.26 Mostre que, se a funcao f definida em R por f(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · · + an−2x2 tem um

zero positivo, isto e, se existe b > 0 tal que f(b) = 0, entao a segunda derivada de f tera pelomenos um zero no intervalo ]0, b[. Justifique cuidadosamente a resposta.

(Pergunta 1b do Exame Final (Ponto no 1) de 5/7/71))

59


4.27 Seja g uma funcao contınua em [a, b], diferenciavel em ]a, b[ e tal que

g(a) = g(b) = 0 e g(x) 6= 0, ∀x∈ ]a,b[.

Seja ainda h(x) = g′(x)/g(x), para todo o x ∈ ]a, b[. Mostre que h(]a, b[) = R.[Sugestao: Dado α ∈ R, para provar que existe c ∈ ]a, b[ tal que h(c) = α, aplique (justificando

que pode faze-lo) o Teorema de Rolle a funcao g(x)e−αx, no intervalo [a, b].]

(Pergunta 4a∗ do Exame Final de 6/5/78)

Resolucao: Ha que provar que h : ]a, b[ → R e sobrejectiva, ou seja, que dado α ∈ R existec ∈ ]a, b[ tal que h(c) = α, ou ainda, g′(c)/g(c) = α. Ora G(x) = g(x)e−αx e contınua em [a, b],diferenciavel em ]a, b[ e anula-se em a e em b, logo existe c ∈ ]a, b[ tal que G′(c) = 0. ComoG′(x) = (g′(x) − αg(x))e−αx isso significa que g′(c) − αg(c) = 0 ou g′(c)/g(c) = α.

4.28 Seja f uma funcao diferenciavel em ]0, 1[ e tal que

f

(

1

n+ 1

)

= 0, ∀n∈N1

Diga, justificando, se e verdadeira ou falsa cada uma das proposicoes seguintes 1:

a) Para qualquer n ≥ 2, a funcao f tem maximo no intervalo[

1n+1 ,

1n

]

.

b) A funcao f e limitada em ]0, 1[.

c) A funcao f ′ tem infinitos zeros em ]0, 1[.


4.29 Sendo f uma funcao indefinidamente diferenciavel em R, suponha que existe uma sucessaoxn, estritamente decrescente e tal que:

limxn = 0 e f(xn) = 0, ∀n∈N.

1. Prove que, qualquer que seja o inteiro k ≥ 0, f (k)(0) = 0.

2. De um exemplo de uma funcao, distinta da funcao nula, que verifique todas as condicoesreferidas no enunciado.

(Grupo IIIc do 1o Teste de 21/6/80)

4.30 Seja φ uma funcao diferenciavel no intervalo ]0, 1[, verificando a condicao

φ

(

1

n+ 1

)

= φ

(

1

n+ 2

)

, para todo o inteiro n > 0.

Supondo que existe o limx→0 φ′(x), indique, justificando, o valor deste limite.


4.31 Seja f uma funcao contınua num intervalo aberto que contenha os pontos 0 e 1 e tal que,para todo o n ∈ N1,

f(1/n) = 3 − 1

n2.

Justificando cuidadosamente todas as respostas:

1Nota: Sempre que afirme que uma proposicao e falsa de um exemplo que o comprove. Sempre que afirme queuma proposicao e verdadeira justifique, abreviadamente, porque chegou a tal conclusao.

60


1. Calcule f(0).

2. Prove que o contradomınio de f contem o intervalo [2, 3].

3. Supondo agora, suplementarmente, que f e indefinidamente diferenciavel nalguma vizi-nhanca da origem, determine f (k)(0) para todo o k ∈ N e indique se o ponto 0 e ou naoponto de extremo de f .

[Sugestao: podera ser-lhe util considerar a funcao ϕ(x) = f(x) + x2 − 3]


4.32 Seja φ uma funcao diferenciavel em R tal que

φ(n) = (−1)nn ∀n ∈ N.

Prove que nao existe o limite limx→+∞ φ′(x).[Sugestao: Pode ser-lhe util aplicar o teorema de Lagrange.]

(Pergunta 2 do Grupo IV do 2o Exame de 6/2/95)

4.33 Seja (xn) uma sucessao estritamente crescente, de termos positivos, e

A = {xn : n ∈ N1}.

Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas cada uma das proposicoes seguintes:

a) Se A e um conjunto majorado, toda a subsucessao de (xn) e convergente (em R).

b) A serie∑+∞

n=1xn

n e convergente.

c) Seja f uma funcao contınua em R e suponha que A e um conjunto majorado. Entao existe (emR) lim f(xn).

d) Seja f uma funcao contınua em R, tal que f(xn) = (−1)n. Entao a equacao f(x) = 0 teminfinitas solucoes.

e) Seja f uma funcao diferenciavel em R, tal que f(xn) = f(xm) para quaisquer m,n ∈ N1. Entaoa equacao f ′(x) = 0 tem infinitas solucoes.

(Grupo I do Exame de 2a Epoca de 28/2/96)

4.34 Prove que, se g e uma funcao diferenciavel em R e se a funcao g′ e injectiva (isto e ∀x1,x2∈R

x1 6= x2 ⇒ g′(x1) 6= g′(x2)) entao nenhuma tangente ao grafico de g tem mais de um ponto comumcom esse grafico [Sugestao: use o teorema de Lagrange]. Mostre ainda que se alguma tangente aografico de uma funcao ψ com 2a derivada contınua em R intersecta o grafico de ψ em dois pontosdistintos, entao a equacao ψ′′(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real.

(Grupo IVb do Teste de 10/4/79)

4.35 Sendo I um intervalo de R e f : I → R, diz-se que x0 ∈ I e um ponto fixo de f sse f(x0) = x0.Supondo que f e indefinidamente diferenciavel em I mostre que:

a) Se f tem dois pontos fixos distintos, existe c1 ∈ I tal que f ′(c1) = 1.

b) Se f tem n pontos fixos distintos (n > 2), existe c2 ∈ I tal que f (n−1)(c2) = 0.

(Grupo III3 da Repeticao do 1o Teste de 21/6/80)

4.36 Seja f : [0, 1] → R uma funcao contınua, cujo contradomınio esta contido em [0, 1].

61


a) Mostre que existe um x ∈ [0, 1] tal que f(x) = x.

b) Supondo agora adicionalmente que f e diferenciavel em ]0, 1[ com f ′(x) 6= 1 para qualquerx ∈ ]0, 1[, prove que a equacao anterior tem uma so raiz naquele intervalo.


4.37 Seja f uma funcao diferenciavel em R tal que f(0) = 0 e cuja derivada e uma funcao crescente.Demonstre que a funcao g(x) = f(x)/x e crescente em R+.

[Sugestao: Aplique o teorema de Lagrange a f num intervalo adequado para mostrar queg′(x) > 0 para qualquer x ∈ R+.]


4.38 Use o teorema de Lagrange para mostrar que | senx−sen y| ≤ |x−y| para quaisquer x, y ∈ R.

(Pergunta 2 do Grupo III do 2o Exame de 9/2/94)

4.39 Uma funcao f : R → R diz-se lipschitziana se e so se verifica a condicao:

∃c∈R∀x,y∈R |f(x) − f(y)| ≤ C|x− y|.Utilize o teorema de Lagrange para provar que se f : R → R e diferenciavel e f ′ e limitada em R,f e lipschitziana. De exemplos que mostrem que a diferenciabilidade de f em todos os pontos deR nao e condicao necessaria, nem suficiente, para que f seja lipschitziana.

(Pergunta 4b do Teste de 22/4/78)

4.40 Supondo que f e uma funcao com derivada contınua em todos os pontos do intervalo [a, b](a, b ∈ R, a < b), prove que existe K ∈ R tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ [a, b], |f(x)− f(y)| ≤K|x− y|.


4.41 Seja f uma funcao contınua e positiva no intervalo [a, b] e diferenciavel em ]a, b[. Mostre queexiste um ponto c ∈ ]a, b[ tal que

f(b)

f(a)= e(b−a)

f′(c)f(c)

(Pergunta 1b do Exame Final (Ponto no 2) de 6/7/71)

Resolucao: Como f e positiva, h(x) = log(f(x)) esta definida em [a, b]; como f e contınua em[a, b] e diferenciavel em ]a, b[, o mesmo se passa com log(f(x)), pois log : R+ → R e contınua ediferenciavel em R+. Pelo teorema de Lagrange:

h(b) − h(a) = h′(c)(b− a), para algum c ∈ ]a, b[.

Ora como h′(x) = f ′(x)/f(x) isto significa

log(f(b)) − log(f(a)) =f ′(c)

f(c)(b− a)

ou ainda

logf(b)

f(a)= log

(

e(b−a)f′(c)f(c)

)

.

Como log : R+ → R e injectiva conclui-se que

f(b)

f(a)= e(b−a)

f′(c)f(c) .

62


4.42 Seja f uma funcao diferenciavel no intervalo [1,+∞[. Prove que, se f ′(x) e limitada nomesmo intervalo, f(x)/x tambem o e. [Sugestao: aplique o teorema de Lagrange, no intervalo[1, x]].

(Pergunta 4b do Exame Integrado (Ponto no5) de 25/10/71)

4.43 Sejam f e g duas funcoes diferenciaveis no intervalo ]a,+∞[, contınuas no ponto a e verifi-cando as condicoes:

i) f(a) < g(a).

ii) g e majorada em ]a,+∞[.

iii) limx→+∞

f(x) = +∞.

Prove que sao verdadeiras as proposicoes:

1. Existe um α tal que f(α) = g(α);

2. Qualquer que seja β existe um γ > β tal que f ′(γ) > g′(γ).

Mostre ainda, por meio de um exemplo adequado, que nao pode garantir-se a existencia de um δtal que f ′(x) > g′(x) para todo o x > δ.


4.44 Seja f uma funcao definida no intervalo ]a,+∞[, diferenciavel em todos os pontos desseintervalo e tal que

f(x)f ′(x) < 0 ∀x>a.Prove que existem limx→a f(x) e limx→+∞ f(x) sendo o segundo limite necessariamente finito.Se-lo-a tambem o primeiro?

(Pergunta 4b do Exame Final (Ponto no1) de 1/10/71)

Resolucao: A condicao f(x)f ′(x) < 0 significa que f(x) e f ′(x) tem sinais contrarios. Suponha-mos por exemplo que f(x) > 0 e f ′(x) < 0 para todo o x > a. A funcao f seria decrescente eminorada em ]a,+∞[; o limx→+∞ f(x) seria entao

α = infx>a

f(x) = inf f(]a,+∞[)

e α seria um real pois o conjunto f(]a,+∞[) ⊂ ]0,+∞[ sendo minorado tem o seu ınfimo em R.Mostremos entao que limx→+∞ f(x) = α ou seja, que dado ε > 0 existe x0 tal que se x > x0 se tem|f(x)−α| < ε. Como f(x) > α = infx>a f(x) pode suprimir-se o valor absoluto. Por definicao deınfimo, dado ε > 0 existe x0 > a tal que α ≤ f(x0) < α+ ε e em particular f(x0) < α+ ε; como fe decrescente, se x > x0 vem f(x) ≤ f(x0) < α+ ε e portanto, para x > x0 ter-se-a: f(x)−α < ε.Ainda na hipotese de ser f(x) > 0 e f ′(x) < 0 para x > a, vamos mostrar que limx→a f(x)existe2em R. Seja β = supx>a f(x), podendo ser β = +∞ se f nao for majorada. Se β ∈ R

mostra-se que limx→a f(x) = β como anteriormente, utilizando a nocao de supremo: dado ε > 0existe x0 tal que β − ε < f(x0) ≤ β. Logo β − ε < f(x0) e para x tal que a < x < x0 viraβ − ε < f(x) pois f e decrescente; quer dizer que dado ε > 0 se tera β − f(x) < ε desde quex− a < x0 o que significa que limx→a− f(x) = β. Como f so esta definida para x > a,

limx→a−

f(x) = limx→a

f(x).

Se β = supx>a f(x) = +∞ tambem limx→a f(x) = +∞ pois dado M existe x0 > a tal quef(x0) > M ja que f nao e majorada e portanto para x tal que a < x < x0 vira f(x) > M pois fe decrescente.O caso f(x) < 0 e f ′(x) > 0 tratava-se de maneira analoga.

63


4.45 Sejam ϕ e ψ duas funcoes diferenciaveis em R, verificando as condicoes:

x(ϕ′(x) − ψ′(x)) > 0 ∀x6=0 e ϕ(0) > ψ(0).

Prove que, para todo o x ∈ R, ϕ(x) > ψ(x). Mostre ainda, por meio de um exemplo que retirandoapenas a hipotese ϕ(0) > ψ(0), poderia ter-se ϕ(x) < ψ(x) para todo o x ∈ R.


4.46 Seja f ∈ C1(R) tal que

∀x,y∈R x < y =⇒ f ′(x) > f ′(y). (4.1)

a) De um exemplo de uma funcao f ∈ C1(R) satisfazendo a (4.1) e tal que

limx→−∞

f(x) = limx→+∞

f(x) = −∞.

b) Prove que nao existe nenhuma funcao f ∈ C1(R) satisfazendo a (4.1) e tal que

limx→−∞

f(x) = limx→+∞

f(x) = +∞.

c) Prove que nao existe nenhuma funcao f ∈ C1(R) satisfazendo a (4.1) e tal que

limx→−∞

f(x) = a e limx→+∞

f(x) = b

onde a e b designam dois numeros reais.

(Grupo IV do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

4.47 Sendo f e g funcoes diferenciaveis em R, verificando as condicoes:

f(0) = g(0) e f ′(x) > g′(x) ∀x∈R,

prove que x(f(x) − g(x)) > 0 para todo o x ∈ R \ {0}.(Grupo IIc do 1o Teste de 21/6/80)

4.48 Seja f uma funcao definida numa vizinhanca de 0, Vε(0), diferenciavel em todos os pontosdessa vizinhanca excepto possivelmente no ponto 0 e tal que xf ′(x) > 0, ∀x ∈ Vε(0) \ {0}.

1. Prove que, se f e contınua no ponto 0, f(0) e um extremo de f e indique, justificando, se eum maximo ou um mınimo; no caso de f ser diferenciavel no ponto 0, qual sera o valor def ′(0)? Porque?

2. Mostre por meio de um exemplo que, sem a hipotese de continuidade de f no ponto 0, naopode garantir-se que f(0) seja um extremo de f .

(Grupo IVb do Teste de 24/4/79)

4.49 Seja ϕ a funcao definida em R por:

ϕ(x) =1

1 + |x| .

a) Indique o domınio de diferenciabilidade de ϕ e faca um esboco do seu grafico.

2E claro que este limite pode ser finito (ex: e−x) ou infinito (ex: 1/(x− a)).

64


b) Para todo o a > 0 seja Ua o quadrilatero de vertices (a, 0), (a, ϕ(a)), (−a, 0), (−a, ϕ(−a)):mostre que se trata de um rectangulo. De todos os rectangulos Ua (com a > 0) determineaquele que tem area maxima ou, caso nao exista tal rectangulo, o supremo das areas dosrectangulos Ua.

(Grupo IVa e b do Exame de 23/3/77)

Resolucao:

a) ϕ e claramente diferenciavel para x > 0 sendo entao:

ϕ′(x) =

(

1

1 + x

)′= − 1

(1 + x)2.

Para x < 0 tem-se:

ϕ′(x) =

(

1

1 − x

)′=

1

(1 − x)2.

Para x = 0 tem-se

limx→0+

ϕ(x) − ϕ(0)

x= limx→0+

11+|x| − 1

x= lim

x→0+− |x|x(1 + |x|) = −1,

limx→0−

ϕ(x) − ϕ(0)

x= limx→0−

− |x|x(1 + |x|) = 1.

Logo ϕ′(0) nao existe. O domınio de diferenciabilidade e pois R \ {0}.Para esbocar o grafico3usamos os seguintes factos: ϕ e uma funcao par, contınua em R,decrescente e com derivada crescente em [0,+∞[ ; ϕ(0) = 1, ϕ′

d(0) = −1, ϕ′e(0) = 1,

limx→+∞ ϕ(x) = limx→−∞ ϕ(x) = 0.

b) Basta observar que sendo P1, P2, P3, P4 os pontos (a, 0), (a, ϕ(a)), (−a, 0) e (−a, ϕ(−a)) setem: o segmento P1P2 e paralelo a P3P4 (pois sao paralelos ao eixo dos yy ja que P1, P2

tem a mesma abcissa a e P3, P4 tem a mesma abcissa −a), o segmento P1P3 e paralelo aP2P4 (pois sao paralelos ao eixo dos xx ja que P1, P3 tem a mesma ordenada 0 e P2, P4 aordenada ϕ(a) = ϕ(−a)) e por serem os eixos dos xx e dos yy escolhidos perpendiculares(por hipotese). A area do rectangulo Ua e

A(a) = 2aϕ(a) = 2a1

1 + a.

Se existisse um a0 tal que A(a0) fosse maxima deveria ter-se A′(a0) = 0, pois A e diferenciavelem R+. Ora

A′(a) =

(

2a

1 + a

)′=

2(1 + a) − 2a

(1 + a)2=

2

(1 + a)2

e portanto nunca se anula. Nao ha pois nenhum Ua com area maxima. Por outro lado ve-seque, por ser A′ > 0, A e crescente e

lima→+∞

A(a) = lima→+∞

2a

1 + a= 2.

Logo o supremo das areas dos rectangulos Ua e 2.

3O grafico que se apresenta foi, em parte, gerado numericamente. As escalas dos dois eixos sao distintas.

65


��

��

PSfrag replacements

y

x

0

1

−10 10

ϕ(x) = 11+|x|

U(a)

a−a

ϕ(a)

Figura 4.2: O grafico de ϕ no exercıcio 4.49.

4.50 Obtenha uma equacao da recta que passa pelo ponto (3, 1) e determine, com os eixos coor-denados, um triangulo contido no 1o quadrante e de area mınima.

(Pergunta 3b do Exame Final de 6/5/78)

4.51 Seja P o ponto de coordenadas x0 > 0 e y0 > 0 num certo referencial cartesiano ortogonal.Para cada recta r que contem P e nao e paralela a nenhum dos eixos coordenados designem Ar eBr os pontos de interseccao de r com OX e com OY respectivamente. Seja dr a distancia de Ara Br. Quais os extremos locais de dr?

[Sugestao: Se tiver dificuldade em resolver uma equacao cujas raızes sao os pontos de estaci-onaridade, utilize o facto de um deles se obter imediatamente a partir do enunciado.]


4.52 De entre todos os rectangulos de area S, determine as dimensoes daquele que admite o menorcırculo circunscrito.

(Grupo III2 da Prova de 19/9/77)

4.53 Mostre que o menor valor que pode ter o raio de uma esfera circunscrita a um cilindro comuma dada area lateral, S, e o produto de

√2 pelo raio da base do cilindro.

(Grupo IV do Exame de 2a epoca de 25/7/77)

Resolucao: A area lateral de um cilindro de altura a e raio da base r e dada por 2πra. Porhipotese 2πra = S. Sendo R o raio da esfera tem-se, em razao da esfera circunscrever o cilindro:(a2 )2 + r2 = R2. Quer dizer:

R =

√

(a

2

)2

+ r2 =

√

(

S

2πr

1

2

)2

+ r2 =

√

(

S

4π

)21

r2+ r2.

Vamos por K = ( S4π )2. R e pois funcao de r e so podera ser mınima no ponto r0 se R′(r0) = 0.Ora:

R′(r) =

(

(

K1

r2+ r2

)12

)′

=1

2

(

K1

r2+ r2

)− 12(

−K 2

r3+ 2r

)

66

4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINACOES.

e R′(r) = 0 so e possıvel se −K 2r3 + 2r = 0 ou seja se r4 = K ou r2 = S

4π ou r = 12

√

Sπ . Para este

valor r0 de r, R(r), teremos:

R(r0)

r0=

√

( S4π )24πS + 14Sπ

12

√

Sπ

=

√

14Sπ + 1

4Sπ

12

√

Sπ

=

√

12

12

=1√

12

=√

2.

Quer dizer que, para a esfera de raio mınimo (que e R(r0)), se tera R(r0) =√

2r0.

4.54 Sendo g(x) = xex para todo o x ∈ R e n ∈ N, determine o conjunto dos valores reais de xque verificam a condicao

g(n)(x) > 0.

Indique um intervalo no qual todas as derivadas g(n) sejam crescentes. Existira algum intervalono qual todas essas derivadas sejam decrescentes? Justifique a resposta.

(Pergunta 3b do Teste de 22/4/78)

4.3 Regras de Cauchy. Indeterminacoes.

Em geral, nas solucoes dos exercıcios desta seccao apresentam-se duas maneiras de resolver osproblemas relativos ao calculo de limites: usando as regras de Cauchy e usando alguns desenvol-vimentos de Taylor notaveis.

4.55 Seja f uma funcao contınua no intervalo I = ]a− ε, a+ ε[ e diferenciavel em todos os pontosde I \ {a}.

Prove que, se existe e e finito limx→a f′(x), f e diferenciavel no ponto a e f ′ e contınua no

mesmo ponto. Mostre ainda, por meio de um exemplo, que uma funcao pode ser diferenciavel emtodos os pontos de ]a− ε, a+ ε[ sem que a sua derivada seja contınua no ponto a.

(Pergunta 4a do Exame Final de 6/5/78)

4.56 Calcule os limites:

limx→0

senx− x

x− tgx, lim

x→0(cosx)

1x2 .


Resolucao:

a) Como limx→0(senx−x) = 0 e limx→0(x−tg x) = 0 vamos aplicar a regra de Cauchy e tentar

calcular limx→0(senx−x)′(x−tg x)′ . Temos para as derivadas

(senx− x)′ = cosx− 1, (x− tg x)′ = 1 − 1

cos2 x.

Mas, de novo,

limx→0

(cosx− 1) = 0 e limx→0

(

1 − 1

cos2 x

)

= 0.

No entanto, simplificando4o limite a que fomos conduzidos, obtemos

limx→0

(cosx− 1)

(1 − 1cos2 x )

= limx→0

cos2 xcosx− 1

cos2 x− 1= 1 lim

x→0

1

cosx+ 1=

1

2.

67


b) Para calcular limx→0(cosx)1/x2

encontramos uma indeterminacao do tipo 1+∞. Vamos cal-

cular limx→0 log(cosx)1/x2

.

log(

(cosx)1

x2

)

=1

x2log(cosx).

A indeterminacao e agora do tipo 00 . Vamos tentar calcular limx→0(log(cosx))′/(x2)′.

(log cosx)′

(x2)′=

− senxcosx

2x= −1

2

1

cosx

senx

x→ −1

2· 1 · 1 = −1

2.

Logo limx→0

(

log(cosx)1/x2)

= − 12 e portanto limx→0(cosx)1/x

2

= e−1/2.

Resolucao alternativa:

a) Como5senx = x− x3

3! + o(x3) (x→ 0), e tgx = x+ x3

3 + o(x3) (x → 0) vem

senx− x

x− tg x∼ −x3

3!

−x3

3

=1

2(x → 0).

Logo

limx→0

senx− x

x− tg x=

1

2.

b) Como

cosx = 1 − x2

2!+ o(x2) (x → 0)

tem-se

log cosx = log

(

1 − x2

2+ o(x2)

)

= −x2

2+ o(x2).

Logo

(log cosx)1

x2∼ −x

2

2

1

x2= −1

2

e portanto

limx→0

log(

(cosx)1

x2

)

= −1

2

e daı limx→0(cosx)1/x2

= e−1/2.

4.57 Calcule, justificando, o valor de

limx→0

chx− cosx

x2.


4Era tambem possıvel aplicar de novo a regra de Cauchy. Em geral, entre aplicacoes sucessivas da regra deCauchy, convem tentar simplificar as expressoes, isolar factores com limite finito e nao nulo,. . .

5Na sequencia, devera entender-se que uma expressao da forma f(x) ∼ g(x) (x → a), tem o sentido delimx→a f(x)/g(x) = 1 e que uma expressao do tipo ϕ(x) = ψ(x) + o(xα) (x → a) equivale a limx→a(ϕ(x) −

ψ(x))/xα = 0.

68


4.58 Calcule

limx→0

senx+ cosx− ex

log(1 + x2)e lim

x→+∞

(

a1x + b

1x

2

)x

(onde a e b sao reais positivos).

(Grupo 3a do Exame Final de 6/5/78)

Resolucao:

a) E uma indeterminacao do tipo 00 . Ponha-se f(x) = senx+ cosx− ex e g(x) = log(1 + x2).

f ′(x) = cosx− senx− ex e g′(x) =2x

1 + x2

f ′(x)

g′(x)= (cosx− senx− ex)

1 + x2

2x=

(cosx− senx− ex)(1 + x2)

2x

Para calcular limx→0 f′(x)/g′(x) caımos em nova indeterminacao do tipo 0

0 . Vamos porh(x) = (cosx− senx− ex)(1 + x2) e k(x) = 2x. Temos:

h′(x)

k′(x)=

(− senx− cosx− ex)(1 + x2) + (cosx− senx− ex)2x

2→ −2 + 0

2= −1.

b) E uma indeterminacao do tipo 1+∞. Vamos calcular

limx→+∞

log

(

a1x + b

1x

2

)x

= limx→+∞

x(

log(

a1x + b

1x

)

− log 2)

recaindo numa indeterminacao do tipo +∞ · 0. Vamos fazer f(x) = log(a1/x + b1/x) − log 2e g(x) = 1/x. Logo

f ′(x) =a

1x log a(− 1

x2 ) + b1x log b(− 1

x2 )

a1/x + b1/x

e g′(x) = −1/x2, pelo que

f ′(x)

g′(x)=a

1x log a+ b

1x log b

a1/x + b1/x→ log a+ log b

2=

1

2log(ab) quando x → +∞.

Logo

limx→+∞

log

(

a1/x + b1/x

2

)x

=1

2log(ab)

e portanto

limx→+∞

(

a1/x + b1/x

2

)x

= (ab)12 .


a)

senx+ cosx− ex = (x + o(x2)) + (1 − x2

2+ o(x2)) − (1 + x+

x2

2+ o(x2))

= −x2 + o(x2) (x → 0).

69


Logo:senx+ cosx− ex

log(1 + x2)∼ −x2

x2= −1

e o limite e −1.

b) Como atras, o que importa e conhecer

limx→+∞

x log

(

a1/x + b1/x

2

)

.

Ora

a1x = e

1x

log a = 1 +1

xlog a+ o

(

1

x

)

(x → +∞)

b1x = e

1x

log b = 1 +1

xlog b+ o

(

1

x

)

(x → +∞)

a1x + b

1x = 2 +

1

xlog(ab) + o

(

1

x

)

(x → +∞)

x log

(

a1x + b

1x

2

)

= x log

(

1 +1

x

log(ab)

2+ o

(

1

x

))

=

= x

(

1

x

log(ab)

2+ o

(

1

x

))

=log(ab)

2+ o(1) ∼ log(ab)

2.

Como atras, daqui resulta que o limite pedido e (ab)1/2.

4.59 Determine os seguintes limites:

a) limx→0

10x − 5x

x.

b) limx→0+

x2 sen 1x

senx.

c) limx→0+

e−1x

x.

d) limx→+∞

x1

x−1 .

(Grupo II1 da Prova de 2/12/76)

4.60 Calcule

limx→0

ax − bx

x(a, b > 0) e lim

x→0+xsenx.

(Pergunta 3a do Teste de 22/4/78)


limx→+∞

2x

x2, lim

x→−∞2x

x2, lim

x→1+xlog log x.

(Grupo IIIa do Exame de 26/7/78)

70


4.62 Calcule

a) limx→1+

xlog(x−1), b) limx→0

(1 − cosx)2

tg x− x.

(Grupo II1 do Exame O.S. de 11/2/80)

4.63 Calculelimx→0+

(senx)sen x e limx→+∞

(log x)1x .


4.64 Calcule

limx→+∞

x logx+ 1

x− 1.

(Grupo I2b da Prova de 25/7/77)

4.65 Calcule

limx→0+

(

log1

x

)x

.

(Grupo I2b da Prova de 19/9/77)

4.66 Calcule

limx→+∞

x sen1

xe lim

x→π4

(tg x)tg 2x.



limx→0

barctgx − carctg x

x(b, c > 0), lim

x→0

(senx

x

)1

x2

.

(Grupo I do Teste de 24/4/79)


limx→+∞

log(1 + e3x)

xe lim

x→0

(senx

x

)1

sen2 x.



limx→0

cos(π2 cosx)

sen2 xe lim

x→0

(

1

x senx− 1

x2

)

.


Resolucao:

a) E uma indeterminacao do tipo 00 . Pondo f(x) = cos(π2 cosx) e g(x) = sen2 x vem f ′(x) =

− sen(π2 cosx)π2 (− senx) e g′(x) = 2 senx cosx. Logo

f ′(x)

g′(x)=

sen(π2 cosx)π22 cosx

→ (sen π2 )π2

2=π

4quando x→ 0

e portanto o limite pedido e π/4.

71


b) E uma indeterminacao do tipo ∞−∞. Temos:

limx→0

(

1

x senx− 1

x2

)

= limx→0

x− senx

x2 senx

transformando-a numa indeterminacao do tipo 0/0. Com f(x) = x− senx e g(x) = x2 senx

vem f ′(x)g′(x) = 1−cosx

2x senx+x2 cosx e

f ′′(x)

g′′(x)=

senx

2 senx+ 2x cosx+ 2x cosx− x2 senx

=senx

2 senx+ 4x cosx− x2 senx.

Para calcular o limite deste quociente recaımos numa indeterminacao

f ′′′(x)

g′′′(x)=

cosx

2 cosx+ 4 cosx− 4x senx− 2x senx− x2 cosx

=cosx

6 cosx− 6x senx− x2 cosx→ 1

6quando x → 0.

Logo o limite pedido e 1/6.


a)

cos(π

2cosx

)

= cos

(

π

2

(

1 − x2

2+ o(x2)

))

= cos(π

2− π

4· x2 + o(x2)

)

= − sen(

−π4· x2 + o(x2)

)

= sen(π

4· x2 + o(x2)

)

∼ π

4x2.

Logocos(π2 · cosx)

sen2 x∼

π4 · x2

x2=π

4

e daı que o limite seja π/4.

b) Como

1

x senx=

1

x(

x− x3

3! + o(x3)) =

1

x2(

1 − x2

6 + o(x2)) =

1

x2

(

1 +x2

6+ o(x2)

)

(x → 0)

1

x senx− 1

x2=

1

x2

(

1 +x2

6+ o(x2)

)

− 1

x2=

1

6+ o(1) → 1

6(x → 0).

Logo

limx→0

(

1

x senx− 1

x2

)

=1

6.

4.70 Calcule

limx→1

x1

1−x e limx→0+

log tg(ax)

log tg(bx)(a, b > 0).


72


4.71 Calcule

limx→0

senx− x

arcsenx− x.

(Grupo Ia da Prova de 7/74)

4.72 Calcule

limx→0

(chx)coth x e limx→0+

logx

x2elog2 x.

[Sugestao: para o segundo caso x2 = e2 log x.]

(Pergunta 1a do Exame Final (Ponto no1) de 5/7/71)

4.73 Calcule

limx→+∞

[

log x log

(

1 − 1

x

)]

.


4.74 Calcule

limx→a

(

2 − x

a

)tg πx2a

onde a e um numero real diferente de zero.


Resolucao: E uma indeterminacao do tipo 1∞. Vamos calcular

limx→a

log

(

(

2 − x

a

)tg πx2a

)

= limx→a

tgπx

2alog(

2 − x

a

)

recaindo numa indeterminacao do tipo ∞0. Vamos fazer

f(x) = log(

2 − x

a

)

e g(x) =1

tg πx2a

de forma que o limite pedido e limx→a f(x)/g(x). Ora

f ′(x) =− 1a

2 − xa

e g′(x) = −1

cos2 πx2a

π2a

(

tg πx2a

)2 .

Logo

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

− 1a

2−xa

−1

cos2 πx2a

π2a

(tg πx2a )

2

= limx→a

− 1a

2− xa

− π2a

1sen2 πx

2a

=− 1a

− π2a

=2

π.

Conclui-se que

limx→a

(

2 − x

a

)tg πx2a

= e2π .

Resolucao alternativa: Vamos calcular

limx→a

log

(

(

2 − x

a

)tg πx2a

)

= limx→a

tgπx

2alog(

2 − x

a

)

= limy→0

tgπ(a+ y)

2alog

(

2 − a+ y

a

)

= limy→0

tg(π

2+

π

2ay)

log

(

1 − 1

ay

)

= limy→0

tg(π

2+

π

2ay)

(

−1

ay

)

.

73


Fizemos a mudanca de variavel x = a+ y para reduzir o problema a uma vizinhanca de 0, onde,em geral, e mais comodo trabalhar. Ha que determinar uma funcao equivalente a tg

(

π2 + π

2ay)

quando y → 0. Ora

tg(π

2+

π

2ay)

=sen(

π2 + π

2ay)

cos(

π2 + π

2ay) =

sen π2 cos

(

π2ay)

+ cos π2 sen(

π2ay)

cos π2 cos(

π2ay)

− sen π2 sen

(

π2ay)

=cos(

π2ay)

− sen(

π2ay) ∼ 1

− π2ay

quando y → 0.

Logo

limy→0

tg(π

2+

π

2ay)

(

−1

ay

)

= limy→0

1

− π2ay

(

−1

ay

)

=2

π.

Conclui-se que o limite pedido e e2/π.

4.75 Calcule

limx→1

[

(

tgπx

4

)1

1−x

]

.


4.76 Calcule

limx→0

√x−√

a+√x− a√

x2 − a2.


4.77 Calcule

limnsen 1n .

[Sugestao: determine em primeiro lugar, limx→+∞ xsen(1/x).]

(Pergunta 3a do Exame Integrado (Ponto no2) de 1/10/71)

4.78 Calcule

lim

(

1

n

)sen 1n

.

[Sugestao: determine em primeiro lugar, limx→0 xsenx.]

(Pergunta 3a do Exame Integrado (Ponto no1) de 1/10/71)

4.79 Sendo f uma funcao contınua no intervalo [0, π2 [ e tal que, para todo o x ∈ ]0, π2 [, f(x) =(tg x)tg x, calcule f(0).


4.80 Calcule, em R, os seguintes limites:

limx→0+

xx2

, limx→+∞

logx

e1/x, lim

x→+∞(logx)1/x.


74


4.81 Considere as funcoes f e g definidas em R pela forma seguinte:

f(x) =

{

x2 logx2, se x 6= 0,

0, se x = 0,g(x) = lim

n→+∞1

1 + x2n.

a) Estude f e g do ponto de vista da continuidade.

b) Justifique que, qualquer que seja a > 0, ambas as funcoes f e g tem maximo e mınimo nointervalo [−a, a].

(Grupo III do Exame de 10/5/79)

4.82 Considere a funcao seguinte:

f(x) =

{

a senx+ 1 se x ≤ 0,

x2 logx+ b se x > 0,(a, b ∈ R)

a) Determine a e b tais que f(x) seja diferenciavel no ponto x = 0.

b) Para b = 1 diga quais os valores de a para os quais f(x) nao tem extremo no ponto 0. Justifiquea resposta. [Sugestao: estude o crescimento da restricao de f a ]0,+∞[.]

(Grupo II2 do Exame O.S. de 11/2/80)

PSfrag replacements

f(x)

x

1a = 0

a > 0a < 0

PSfrag replacements

f(x)

x

1

a = 0

a > 0

a < 0

PSfrag replacements

f(x)

x

1

a = 0a > 0

a < 0

Figura 4.3: Os casos a = 0, a > 0 e a < 0.

Resolucao:

a) Se f for diferenciavel em 0, as derivadas laterais em 0 existem e tem de ser iguais:

f ′d(0) = lim

h→0+

f(0 + h) − f(0)

h= limh→0+

h2 logh+ b− 1

h.

75


Para que exista este limite tera de ser b = 1 e entao f ′d(0) = 0

f ′e(0) = lim

h→0−

f(0 + h) − f(0)

h= limh→0−

a senh+ 1 − 1

h= lim

h→0−asenh

h= a.

Tera pois de ter-se a = 0 e b = 1.

b) Supondo b = 1 e a = 0 vimos que f ′(0) = 0 e portanto pode haver um extremo em 0. Vamosestudar o crescimento de f na vizinhanca de 0. Fa-lo-emos atraves do estudo do sinal de f ′.Se x > 0 tem-se:

f ′(x) = (x2 logx)′ = 2x logx+ x = x(2 logx+ 1).

Se x < 0 tem-se f ′(x) = 0. Quer dizer que para ε > 0 suficientemente pequeno f ′(ε) =ε(2 log ε+ 1) < 0 e f e decrescente do lado direito de 0 e constante do lado esquerdo. Se b = 1e a = 0 o grafico de f(x) e do tipo representado na figura 4.3.

Se b = 1 e a 6= 0 teremos consoante a > 0 ou a < 0: f ′e(0) > 0 ou f ′

e(0) < 0. Tem-se semprepor outro lado f ′

d(0) = 0 e para ε suficientemente pequeno, f ′(ε) = ε(2 log ε+ 1) < 0.

Logo, se a > 0 havera um maximo em 0 e se a < 0 nao havera extremo em 0. Se a = 0 ha ummaximo em 0, como se viu.

4.4 Teorema de Taylor. Extremos, concavidades e inflexoes.

Assımptotas. Estudo de funcoes.

4.83 Prove, usando a formula de MacLaurin com resto de Lagrange, que se tem

∣

∣

∣

∣

e−x −(

1 − x+x2

2

)∣

∣

∣

∣

≤ 1

6

para qualquer x ∈ [0, 1].


4.84 Seja I um intervalo de R nao vazio nem reduzido a um ponto e seja f : I → R uma funcaocom segunda derivada finita e maior do que zero em todos os pontos de I .

a) Sendo a ∈ I e y = g(x) a equacao da tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)), determineg(x).

b) Mostre que ∀x∈I\{a}, f(x) > g(x).

(Grupo IV do Exame O.S. de 11/2/80)

76

4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNCOES

Resolucao:

a) A equacao da tangente ao grafico de f em (a, f(a)) e y = f ′(a)(x − a) + f(a) pelo que g(x) =f ′(a)(x − a) + f(a).

b) Pela formula de Taylor com resto de Lagrange, dado x ∈ R:

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +1

2f ′′(ξ)(x − a)2

com ξ entre x e a, ou seja,

f(x) − g(x) =1

2f ′′(ξ)(x − a)2.

Se f ′′(ξ) > 0 vem f(x) > g(x) (x ∈ I \ {a}).

4.85 Prove que, se a funcao f : R → R verifica a condicao

f (n)(x) = 0 ∀x∈R,

entao f(x) e um polinomio em x de grau menor do que n.[Sugestao: recorra a formula de Mac-Laurin.]


4.86 Suponhamos que f e g sao aplicacoes do intervalo I = ]a, b[ em R que admitem derivadascontınuas de todas as ordens nesse intervalo. Diz-se que f e g tem um contacto de ordem n ∈ N1

no ponto c ∈ I se f(c) = g(c), f (k)(c) = g(k)(c) para k = 1, 2, . . . , n e f (n+1)(c) 6= g(n+1)(c).

a) De que ordem e o contacto das funcoes definidas por

f(x) = ex e g(x) = 1 + x+x2

2

no ponto 0?

b) Mostre que se f e g tem um contacto de ordem par no ponto c entao os graficos destas funcoes“cruzam-se” no ponto de abcissa c e que se o contacto e de ordem ımpar nao ha “cruzamento”.


4.87 Sendo ϕ e ψ duas funcoes diferenciaveis em R e f = ϕ ◦ ψ, calcule f ′(x) e f ′′(x) (expressosem valores de derivadas de ϕ e ψ em pontos convenientes). Supondo agora ϕ(x) = log

√1 + x2

e ψ(x) = x(1 + cos(2x)), aproveite o resultado precedente para indicar, justificando, se a funcaof = ϕ ◦ ψ tem um maximo ou um mınimo (local) na origem.


4.88 Seja f : ]0,+∞[ → R uma funcao com segunda derivada contınua em R+ e suponha quef ′(1) = 0, f ′′(1) = −2. Nestas condicoes, sendo ϕ(x) = f(ex), calcule ϕ′(0) e ϕ′′(0). Poderagarantir-se que ϕ tem um extremo local no ponto 0? Maximo ou mınimo? Justifique.

Escreva a formula de Mac-Laurin para a funcao ϕ (com resto de 1a ordem) e aproveite-a paracalcular

limx→0

ϕ(x) − ϕ(0)

x2.


77


Resolucao: ϕ′(x) = f ′(ex)ex e ϕ′′(x) = f ′′(ex)e2x + f ′(ex)ex. Logo

ϕ′(0) = f ′(1) = 0 e ϕ′′(0) = f ′′(1) + f ′(1) = −2 + 0 = −2.

Para que 0 seja um ponto de extremo local de ϕ (duas vezes continuamente diferenciavel em R)basta que ϕ′(0) = 0 e ϕ′′(0) 6= 0. E o caso. Como ϕ′′(0) < 0 pode concluir-se que 0 e um pontode maximo.Tem-se a seguinte formula de Mac-Laurin (com resto de 1a ordem):

ϕ(x) = ϕ(0) + ϕ′(0)x+1

2ϕ′′(ξ)x2 (ξ entre 0 e x),

ou seja:

ϕ(x) = ϕ(0) +1

2

(

f ′′(eξ)e2ξ + f ′(eξ)eξ)

x2.

Logo:ϕ(x) − ϕ(0)

x2=

1

2

(

f ′′(eξ)e2ξ + f ′(eξ))

eξ.

e

limx→0

ϕ(x) − ϕ(0)

x2= limξ→0

1

2

(

f ′′(eξ)e2ξ + f ′(eξ))

eξ =1

2(f ′′(1) + f ′(1)) = −1.

Como ξ esta entre 0 e x usamos o facto de que se x → 0 tambem ξ → 0.

4.89 Prove que se g : R → R e tres vezes diferenciavel e se g′′′(x) > 0, ∀x ∈ R, entao g nao podeter mais de dois pontos de extremo local. Admitindo agora que g tem de facto extremos locais nospontos α e β, com α < β, indique se g(α) e g(β) sao maximos ou mınimos da funcao. Justifique.

Escreva a formula de Taylor para g em relacao ao ponto β e com resto (de Lagrange) de 2a

ordem e aproveite-a para mostrar que g(x) > g(β) para x > β.

(Grupo IVb do 2o Teste de 7/4/79)

4.90 Seja f uma funcao de classe C2(R) e considere a funcao g, definida por g(x) = xf(x), paratodo o x ∈ R. Se g′′ e estritamente crescente em R e g′′(0) = 0, prove que f(0) e mınimo absolutode f .

[Sugestao: Pode ser-lhe util considerar a formula de Mac-Laurin.]


4.91 Seja ψ : ] − 1, 1[ → R uma funcao de classe C2 em ] − 1, 1[. Suponha ainda que:

i) Existe uma sucessao (xn), de termos em]

− 12 ,

12

[

, tal que ψ′(xn) = 1n para qualquer n ∈ N1.

ii) ψ′′(x) > 0, ∀x∈ ]−1,1[.

Prove que ψ tem, pelo menos, um mınimo local.


4.92 Considere a funcao f definida em R pela formula:

f(x) = aex + be−x

onde a e b sao constantes reais nao conjuntamente nulas.

a) Mostre que, para que f tenha um extremo local, e necessario e suficiente que se verifique acondicao ab > 0.

78


b) Supondo esta condicao verificada, determine o extremo de f e indique, justificando, em quecondicoes esse extremo e um maximo e em que condicoes e um mınimo.

c) Em cada um desses dois casos indique, justificando, o contradomınio da funcao e estude osentido da concavidade do seu grafico.

(Pergunta 2 da Prova de 2a epoca de 18/12/72)

4.93 Determine o conjunto dos pontos x ∈ ]0, 2π[ onde a concavidade do grafico de f definida por

f(x) = x+senx cosx

2− cosx

esta “voltada para cima”.


4.94 Sendo g a funcao definida no intervalo ]1,+∞[ pela igualdade

g(x) =

√

x3

x− 1

determine as assımptotas do grafico de g.


Resolucao: A funcao g tem uma assımptota vertical para x = 1 pois limx→1+ g(x) = +∞. Naoha assımptotas horizontais pois limx→+∞ g(x) = +∞ (nao ha lugar a considerar limx→−∞ g(x)pois g so esta definida em ]1,+∞[). Para determinar assımptotas oblıquas, se as houver, vamoscalcular:

limx→+∞

g(x)

x= lim

x→+∞1

x

√

x3

x− 1= lim

x→+∞1

x

√

x3

x= 1.

Por outro lado:

limx→+∞

(g(x) − x) = limx→+∞

(

√

x3

x− 1− x

)

= limx→+∞

x3

x−1 − x2

√

x3

x−1 + x

= limx→+∞

xx−1

√

xx−1 + 1

=1

2.

Logo, y = x+ 12 e uma assımptota oblıqua a direita.

4.95 Considere a funcao f , definida em R, contınua no ponto no ponto 0 e tal que

f(x) =x

2 + e−1/x∀x6=0.

Verifique se o grafico de f tem assımptotas verticais ou nao verticais e, se existirem, determine-as.

(Grupo IIb do Teste de 7/4/79))

4.96 Considere a funcao F , definida pela formula F (x) =√

x(x − 2).

a) Calcule F ′d(2).

b) O grafico de F admite duas assımptotas, ambas nao verticais. Determine uma delas.

79


c) Justifique que o grafico de F e simetrico em relacao a recta de equacao x = 1; aproveite estasimetria (mesmo que a nao tenha justificado) para indicar o valor F ′

e(0) e para escrever umaequacao da assımptota ao grafico de F que nao determinou na alınea (b).

(Grupo II do Teste de 24/4/79)

4.97 E dada a funcao f definida por

f(x) =

{

x2(1 + sen2 1x ), se x 6= 0,

0, caso contrario.

a) Estude-a quanto a existencia de assımptotas.

b) Mostre que existe uma funcao g : R → R da forma g(x) = ax2 + b com a e b constantes,verificando a condicao limx→+∞(f(x) − g(x)) = 0.

(Grupo II da Prova de 28/2/74)

Resolucao:

a) Nao ha assımptotas verticais, pois f e contınua em R. Como a funcao e par o estudo dasassımptotas horizontais e oblıquas pode reduzir-se as assımptotas “a direita”. Como

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

x2

(

1 + sen2 1

x

)

= +∞

nao ha assımptotas horizontais. Como

limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞x

(

1 + sen2 1

x

)

= +∞

tampouco ha assımptotas oblıquas.

b) Como

limx→+∞

x2 sen2 1

x= lim

x→+∞x2

(

1

x

)2

= 1

resulta que:

limx→+∞

(f(x) − x2) = limx→+∞

x2 sen2 1

x= 1

e portanto limx→+∞(f(x)− (x2 + 1)) = 0. Assim g(x) = x2 + 1 e uma solucao (que facilmentese reconhece ser unica).

4.98 O grafico da funcao f , definida em R pela formula

f(x) =2x3 − x2 + 1

x2 + 1

tem uma inflexao no ponto de abcissa −1.

a) Determine os outros pontos de inflexao e indique os intervalos em que o grafico de f tem aconcavidade voltada para cima;

80


b) O grafico de f tem alguma assımptota vertical? Porque?

Determine uma equacao da unica assımptota nao vertical do mesmo grafico e estude a loca-lizacao deste em relacao aquela assımptota, determinando os intervalos em que esta “por baixo”ou “por cima” da mesma.


4.99 Considere a funcao f , definida em ]0,+∞[ pela formula:

f(x) =1

xx.

Obtenha uma equacao da tangente ao grafico de f no ponto de abcissa 1 e indique, no caso deexistirem, o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo da funcao (em todo o domınio). Indiqueainda o contradomınio da funcao.

(Pergunta 1 do Exame Integrado (Ponto no5) de 25/10/71)

4.100 a) Determine a constante K por forma a que a funcao f definida em R \ {0} pela formulaf(x) = (x + K)e1/x tenha um extremo no ponto 2. Indique, justificando, se se trata de ummaximo ou de um mınimo e se a funcao tem algum outro extremo local.

b) Depois de substituir K pelo valor calculado na alınea (a) – ou, se nao resolver essa alınea, porum numero positivo a sua escolha – estude ainda a funcao sob os aspectos seguintes: sentidoda concavidade do seu grafico, pontos de inflexao, assımptotas oblıquas e assımptotas verticais.

(Pergunta 1 de uma Prova de Analise II)

4.101 a) Determine a derivada de ordem n da funcao f(x) = xe−x.

b) Mostre que, qualquer que seja n, f (n) tem um so extremo local e verifique se esse extremo eum maximo ou um mınimo.

c) Indique justificando se esse extremo e absoluto.

d) Determine os pontos de inflexao do grafico de f (n).Nota: Para algumas das respostas, podera convir-lhe considerar separadamente as hipoteses

“n par” e “n ımpar”.


4.102 a) Estude a funcao f definida em R pela formula

f(x) =|x|

1 + |x|

considerando em particular os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, intervalosde monotonia, extremos, contradomınio. Escreva uma equacao da tangente ao grafico de fnum ponto (a sua escolha) onde esse grafico tenha tangente.

b) Verifica a funcao f considerada na alınea a) as condicoes expressas na hipotese do Teorema deRolle, em relacao ao intervalo [−3, 3]? E as da hipotese do Teorema de Lagrange, relativamenteao intervalo [0, 3]? Justifique as respostas.


81


4.103 a) Estude a funcao definida em R \ {−1, 1} pela formula:

f(x) =|x|

1 − |x|

considerando em especial os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, crescimento,maximos e mınimos, concavidades, assımptotas.

b) Esboce o grafico da funcao.


4.104 a) Estude a funcao definida em R pela formula:

f(x) =1 − |x|1 + |x|

considerando em especial os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, crescimento,maximos e mınimos, concavidades, assımptotas.



Resolucao:

a) A funcao e par, isto e, f(x) = f(−x). Vamos tirar partido deste facto notando, por exemplo,que a derivada sera ımpar no seu domınio, isto e, f ′(x) = −f ′(−x) se f for diferenciavel em x,a segunda derivada sera par,. . .

A funcao e contınua em R. Para x > 0 e diferenciavel (logo tambem para x < 0) com

f ′(x) =

(

1 − x

1 + x

)′=

−(1 + x) − (1 − x)

(1 + x)2= − 2

(1 + x)2< 0 (se x > 0).

Do facto da derivada ser ımpar concluımos que se a derivada existir em 0 tera de ser nula. Noentanto

f ′d(0) = lim

x→0+

f(x) − f(0)

x= lim

x→0+

1

x

(

1 − x

1 + x− 1

)

= limx→0+

−2

1 + x= −2

pelo que f nao e diferenciavel em 0.

A funcao sera entao decrescente em [0,+∞[ (e crescente em ] −∞, 0]). Nos pontos em que ediferenciavel nao ha extremos pois aı a derivada e nao nula. A continuidade em 0 e o sinal daderivada para x 6= 0 implicam que 0 e um ponto de maximo.

A concavidade sera estudada a partir do sinal de f ′′(x). Ora

f ′′(x) =4

(1 + x)3se x > 0

pelo que a concavidade estara voltada para cima em [0,+∞[ (e portanto tambem em ]−∞, 0]).

Nao ha assımptotas verticais. Como limx→+∞ f(x) = −1 (e limx→−∞ f(x) = −1) a rectay = −1 e assımptota horizontal a esquerda e a direita.

b) O esboco do grafico de f esta representado na figura 4.4. A paridade de f implica a simetriaem relacao ao eixo dos y.

82


PSfrag replacements

1

1−1

−1

0 x

y

f(x) =1 − |x|1 + |x|

Figura 4.4: Grafico de f .

4.105 Considere a funcao f : R \ {1} → R definida por

f(x) =x2 − 2x+ 2

x− 1.

a) Seja (xn) uma sucessao de termos em R \ {1}, convergente para α ∈ R. Justifique que se α 6= 1a sucessao f(xn) converge para f(α).

b) Sera f prolongavel por continuidade ao ponto x = 1? Justifique.

c) Calcule a funcao derivada de f e determine os intervalos de monotonia e os extremos locais def .

d) Escreva a equacao da tangente ao grafico de f no ponto de abcissa x = −1.

e) Indique, justificando, o contradomınio de f .


4.106 Estude a funcao definida por y = xex e esboce o seu grafico.


4.107 Considere a funcao definida em R pela formula

f(x) = (x − 1)ex.

a) Estude a funcao f , considerando especialmente os aspectos seguintes: intervalos de monotonia,extremos locais e absolutos, convexidade, inflexoes, contradomınio, assımptotas.

b) Prove que, para todo o x ∈ R e todo o n ∈ N, se verifica a relacao:

f (n)(x) = f(x+ n)e−n.

(Pergunta 1 de uma Prova de Analise II)

83


4.108 Estude a funcao f definida em R pela formula:

f(x) = x2e−x

e esboce o respectivo grafico (nao se preocupe com a determinacao da direccao das tangentes nospontos de inflexao).

(Grupo Ia do 1o Teste de 21/6/80)

4.109 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao f : R → R definida pela formula:

f(x) = x4e−x

e esboce o respectivo grafico.

(Grupo IIa do Exame de 26/7/78)

4.110 Faca o estudo da funcao definida por y = xe1/x.(Determine o domınio, o domınio de diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos,

concavidades, assımptotas e faca um esboco do respectivo grafico).

(Grupo III da Prova de 18/7/77)

Resolucao: A medida que avancamos no estudo da funcao inscrevemos num quadro as in-formacoes obtidas.

x −∞ 0 1 +∞y −∞ ↗ 0 | +∞ ↘ e ↗ +∞y′ + | − 0 +y′′ − | +

O domınio da funcao e R \ {0}, sendo a funcao aı contınua. O domınio de diferenciabilidade eR \ {0} sendo y′ = e1/x

(

1 − 1x

)

. A derivada anula-se para x = 1; e positiva para x > 1 ou x < 0e negativa para 0 < x < 1. Logo ha crescimento da funcao para x > 1 ou x < 0 e decrescimentopara 0 < x < 1. Em x = 1 ha pois um maximo, sendo o valor correspondente y = e. Para estudara concavidade determina-se y′′ = e1/x 1

x3 e vem y′′ > 0 se x > 0 e y′′ < 0 se x < 0; logo para x < 0a concavidade esta voltada para baixo e para x > 0 voltada para cima. Nao ha pontos de inflexao.Para x = 0 ha uma assımptota, tendo-se como limites laterais a esquerda e a direita:

limx→0−

xe1x = 0, lim

x→0+xe

1x = +∞.

Comolim

x→+∞xe1/x = +∞ e lim

x→−∞xe1/x = −∞

nao ha assımptotas horizontais. Como

limx→+∞

y

x= limx→+∞

e1x = 1, lim

x→−∞y

x= lim

x→−∞e

1x = 1

elim

x→+∞(y − x) = lim

x→+∞x(e

1x − 1) = 1, lim

x→−∞(y − x) = lim

x→−∞x(e

1x − 1) = 1

resulta que y = x+ 1 e assımptota oblıqua a esquerda e a direita.O grafico esta esbocado na figura 4.5.

4.111 Estude a funcao definida em R pela formula

f(x) = xe−x2/2

84


PSfrag replacements

y

x0 1

1

e

y = x+ 1

y = xe1/x

Figura 4.5: O grafico de y = xe1/x no problema 4.110.

considerando em especial os aspectos seguintes: intervalos de monotonia, maximos e mınimos,concavidade, inflexoes. Esboce o grafico da funcao.


4.112 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao F definida pela formula

F (x) = e1

x2−1

e esboce o grafico da funcao.

(Grupo II do Exame Final de 10/5/79)

4.113 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao f definida pela formula

f(x) = (x− 1)ex

x−1


(Grupo II da Repeticao do 1o Teste de 18/9/80)

4.114 Considere a funcao f , definida em R pela formula

f(x) = |x|e1−x2

.

a) Estude a funcao do ponto de vista da continuidade e da diferenciabilidade. Em cada ponto emque f nao seja diferenciavel, calcule as derivadas laterais.

b) Complete o estudo da funcao, considerando em particular os aspectos seguintes: crescimento,extremos, concavidade, inflexoes, assımptotas. Esboce o grafico da funcao.

(Grupo II do Exame de 21/9/79)

85


4.115 a) Faca um estudo analıtico, tao completo quanto possıvel, da funcao f definida em R pelaformula:

f(x) = xe−|1−x2|

(em particular, determine os eventuais maximos e mınimos, inflexoes e pontos em que a funcaonao seja diferenciavel).



4.116 a) Estude a funcao definida em R pela formula:

f(x) = xe−|4−x2|

considerando especialmente os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, cresci-mento, maximos e mınimos, concavidades, inflexoes e assımptotas.


(Pergunta 2 do Ponto no4 de 1/10/71)

4.117 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao g : R → R contınua no ponto 0 etal que, para todo o x 6= 0, g(x) = xe−1/x2

. Esboce o grafico da funcao.

(Grupo IV do Teste de 10/4/79)

4.118 Faca o estudo da funcao definida por: f(x) = e− log2 x. (Determine o domınio, domınio dediferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, concavidades, pontos de inflexao, assımptotase faca um esboco do respectivo grafico).


4.119 a) Estude a funcao f , definida pela formula:

f(x) =x

1 + logx

no conjunto de todos os valores reais x tais que f(x) ∈ R. Considere especialmente os aspectosseguintes: intervalos de monotonia, maximos e mınimos, convexidade, inflexoes, assımptotas.

b) Sendo g a funcao definida em R \ {− 1e ,

1e} e verificando as condicoes:

i) g e ımpar e e contınua em todo o seu domınio;

ii) em todo o ponto x positivo e distinto de 1/e, g(x) = f(x).

Esboce o grafico de g e determine equacoes das tangentes a esse grafico em cada um dos seuspontos de inflexao.


4.120 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao f : R \ {− 1e , 0,

1e} → R definida

pela formula:

f(x) =x2

2 + logx2


(Grupo Ib do Exame de 2/10/80)

86


4.121 a) Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao f , definida pela formula

f(x) =x

log |x|

b) Esboce o grafico da mesma funcao.


4.122 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao g definida pela formula:

g(x) =x

1 + log |x|

e esboce o respectivo grafico.

(Grupo III do Teste de 7/4/79)

4.123 Estude a funcao f , definida pela formula

f(x) =x

1 − log |x|

(no conjunto dos pontos x tais que f(x) ∈ R) e esboce o respectivo grafico.


4.124 Faca o estudo da funcao definida por

y =1 − log |x|1 + log |x| .

(Determine o domınio, domınio de diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, conca-vidades, pontos de inflexao, assımptotas e faca um esboco do respectivo grafico).


4.125 a) Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao f , definida em R, contınua noponto 0 e tal que, em qualquer ponto x 6= 0, se verifica a igualdade:

f(x) = x2 logx2.


(Pergunta 2 do Teste de 22/4/78)

4.126 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao f , definida por:

f(x) =senx

1 − senx.

Esboce o grafico da restricao de f ao intervalo [0, 2π].

(Grupo III do Teste de 24/4/79)

4.127 Estude do modo mais completo que lhe seja possıvel a funcao definida pela formula:

y = arctgx− x

1 + x2.

Esboce o grafico da funcao.

(Grupo III do Exame OS de 11/2/80)

87


4.128 Considere a funcao f definida pela formula

f(x) = x+ 2 arctg1

x

no conjunto de todos os pontos x tais que f(x) ∈ R.

a) Estude a funcao, determinando em especial os pontos de descontinuidade, os intervalos demonotonia, os maximos e os mınimos locais e o sentido da concavidade do grafico de f . Verifiquese existem pontos de inflexao.

b) O grafico de f admite alguma assımptota vertical? Justifique.

Obtenha uma equacao da unica assımptota nao vertical do mesmo grafico e determine osintervalos em que este esta situado “por cima” e por “por baixo” dessa assımptota.


4.129 Faca um estudo tao completo quanto possıvel da funcao F definida em R\{1} pela formula:

F (x) = arctgx

x− 1.

Esboce o grafico da funcao.

(Grupo II do Exame Final de 10/5/79)

4.130 Estude analiticamente a funcao real definida pela expressao

f(x) = arctg

∣

∣

∣

∣

1 + x

1 − x

∣

∣

∣

∣

e represente a sua imagem geometrica aproximada.

(Pergunta 3 do Exame Final (Ponto no2) de 6/7/71)

4.131 Seja f : R → R a funcao definida por

f(x) = arctg(2x2 − x).

a) Calcule limx→−∞ f(x) e limx→+∞ f(x) e indique os zeros da funcao f .

b) Estude f quanto a diferenciabilidade e calcule a sua derivada.

c) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia de f .

d) Determine o contradomınio de f .


4.132 Seja f : R → R a funcao diferenciavel em 0, dada por

f(x) =

{

xe−x, se x ≥ 0,

arctg(αx), se x < 0,

onde α ∈ R.

a) Calcule α.

b) Calcule limx→−∞ f(x) e limx→+∞ f(x) (se nao conseguiu calcular α, suponha doravante queα = 1).

c) Estude f quanto a diferenciabilidade e calcule a sua derivada.

d) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia de f .

88


e) Determine o contradomınio de f .


4.133 Considere a funcao definida por

f(x) =

{

k1 sh(

x1−x

)

, se x < 0,

k2 + arctgx, se x ≥ 0,

onde k1 e k2 sao numeros reais.

a) Justifique que f e contınua em R \ {0}.

b) Determine k1 e k2 de modo a que a funcao f fique contınua e diferenciavel em R.

c) Mostre que, para os valores de k1 e k2 calculados na alınea anterior, a funcao f nao temextremos locais.


4.134 Considere a funcao f : R → R tal que f(0) = π2 e definida por

f(x) = arctg

(

1 + x

x

)

, se x 6= 0.

a) Estude f quanto a continuidade e a existencia dos limites quando x → +∞ e quando x→ −∞.

b) Estude a funcao f quanto a monotonia e extremos.

c) Indique, justificando, o contradomınio da restricao de f ao intervalo [0,+∞[.

d) Determine o sentido da concavidade e as inflexoes do grafico de f .

e) Esboce o grafico de f .

(Grupo III do 1o Exame de 23/1/95)

4.135 a) Faca um estudo analıtico, tao completo quanto possıvel, da funcao definida em R\{0}pela formula:

f(x) =log |x|xn

onde n e um numero natural.

b) Esboce o grafico de f , na hipotese de ser n = 1.


4.136 Considere a funcao f definida em ] − 1,+∞[ por

f(x) =

{

log√

1 − x2, se x ∈ ] − 1, 0],

x2e1−x2

, se x ∈ ]0,+∞[.

a) Estude quanto a continuidade a funcao f . Determine limx→−1 f(x) e limx→+∞ f(x).

b) Determine o domınio de diferenciabilidade de f . Calcule a funcao derivada f ′.

c) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia da funcao f .

89


d) Calcule a segunda derivada de f .

e) Justifique que existem exactamente tres pontos de inflexao e determine o sentido das conca-vidades do grafico de f . (Caso nao saiba determinar os pontos de inflexao , pode utilizar, na

sequencia do raciocınio, que 12

√

5 ±√

17 sao zeros de f ′′).

f) Esboce o grafico de f .

(Grupo III do Exame de 1a Epoca de 26/1/96)

4.137 Considere a funcao f definida em R por

f(x) =

{

x log x, se x > 0,ex−1e , se x ≤ 0.

a) Estude, do ponto de vista de continuidade e diferenciabilidade, a funcao f . Calcule f ′(x) nospontos x em que f seja diferenciavel e, em cada ponto que o nao seja, calcule (se existirem) asderivadas laterais.

b) Determine os intervalos de monotonia f e os seus extremos locais.

Calcule limx→+∞ f(x) e limx→−∞ f(x).

c) Qual e o contradomınio de f? Justifique cuidadosamente a resposta.

(Pergunta 1 do Grupo III do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

4.138 Considere a funcao f : R → R, contınua em R e tal que

f(x) = x log1

x2, se x 6= 0.

a) Indique, justificando o valor de f(0). Verifique se o grafico da funcao apresenta alguma simetria,estude o sinal de f e os limites de f quando x→ +∞ e x → −∞.

b) Estude a funcao f quanto a diferenciabilidade e determine os intervalos de monotonia e extre-mos.

c) Determine o sentido da concavidade e as inflexoes do grafico de f .

d) Indique uma equacao da tangente ao grafico de f no ponto de abcissa x = e.


(Grupo III do 2o Exame de 6/2/95)

4.139 Considere a funcao f : R → R definida por

f(x) = |1 − x|e1−x, ∀x ∈ R.

a) Estude a funcao f quanto a continuidade e a existencia dos limites de f quando x → +∞ ex → −∞.

b) Estude a funcao f quanto a diferenciabilidade, monotonia e extremos.

c) Determine o sentido da concavidade e as inflexoes do grafico de f .

d) Indique uma equacao da tangente ao grafico de f no ponto de abcissa x = 3.

90

4.5. SERIE DE TAYLOR. DESENVOLVIMENTOS EM SERIES DE POTENCIAS.



4.140 Considere a funcao f definida em R \ {−2} por

f(x) = e|x−1||x+2| .

a) Estude a funcao f quanto a continuidade. Determine limx→−2 f(x), limx→−∞ f(x) e limx→+∞ f(x).

b) Determine o domınio de diferenciabilidade de f . Calcule a funcao derivada f ′.

c) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia da funcao f .

d) Calcule a segunda derivada de f .

e) Determine o sentido das concavidades do grafico de f .

f) Esboce o grafico de f .


4.5 Serie de Taylor. Desenvolvimentos em series de potencias.

4.141 a) Determine o raio de convergencia da serie

∞∑

n=1

(−1)n+1 xn

(2n− 1)(2n+ 1).

b) Estude a natureza da serie nos extremos do seu intervalo de convergencia. Em caso de con-vergencia, verifique se e simples ou absoluta.

c) Designando por f a funcao definida pela formula:

f(x) =

∞∑

n=1

(−1)n+1 xn

(2n− 1)(2n+ 2),

no conjunto de todos os pontos em que a serie e convergente, calcule f(1) e indique, justificando,o valor de f ′′(0).


4.142 Considere a serie de potencias

∞∑

n=0

x2n

(n+ 1)(n+ 2)

e, em cada ponto x em que a serie convirga, designe por ϕ(x) a sua soma. Nestas condicoes:

1. Justifique que o domınio de ϕ e um intervalo I , e indique os extremos desse intervalo.

2. Justifique que, em qualquer ponto x ∈ I , ϕ(−x) = ϕ(x); mostre ainda que a restricao de ϕao conjunto I ∩ [0,+∞[ e uma funcao crescente.

91


3. Calcule o maximo da funcao ϕ.

(Grupo IIb do Exame Final de 30/4/80)

Resolucao:

1. Uma serie de potencias de x converge absolutamente no intervalo ] −R,R[, onde

R =1

lim n

√

1(n+1)(n+2)

= lim n√

(n+ 1)(n+ 2) = 1.

Nos pontos 1 e −1 a serie toma a forma

∞∑

n=0

1

(n+ 1)(n+ 2)

e como1

(n+ 1)(n+ 2)∼ 1

n2

a serie converge. Logo o domınio de ϕ e [−1, 1].

2. ϕ(x) =

∞∑

n=0

x2n

(n+ 1)(n+ 2)=

∞∑

n=0

(−x)2n(n+ 1)(n+ 2)

= ϕ(−x). Para ver que ϕ(x) restrita a [0, 1]

e crescente basta notar que se 0 ≤ x < y ≤ 1 entao, para todo o n ∈ N, x2n ≤ y2n pelo queϕ e crescente em [0, 1].

3. Acabamos de ver que ϕ e uma funcao par — donde decorre que o seu contradomınio,ϕ([−1, 1]), coincide com ϕ([0, 1]) — e tambem que ϕ e crescente em [0, 1]. Deve ter-seportanto:

maxϕ = ϕ(1) =

∞∑

n=0

1

(n+ 1)(n+ 2).

Designando por Sn a soma dos n primeiros termos desta serie, tem-se:

Sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 + · · · + 1

n(n+ 1)

=

(

1 − 1

2

)

+

(

1

2− 1

3

)

+ · · · +(

1

n− 1

n+ 1

)

= 1 − 1

n+ 1

e portanto, maxϕ = limSn = 1.

4.143 Indique, sob a forma de um intervalo, o conjunto dos ponto de R onde a serie

∞∑

n=2

(x− 1)2n−1

n2 − n

e absolutamente convergente, e determine, se possıvel, a soma da serie nos extremos do intervalo.Esta serie define uma funcao no mesmo intervalo; determine uma expressao da derivada dessa

funcao.

(Pergunta 1a do Exame Final (Ponto no2) de 6/7/71)

4.144 a) Determine o raio de convergencia da serie que figura no segundo membro da igualdade:

f(x) =

∞∑

n=0

(−1)nxn+2

(n+ 1)(n+ 2).

92


b) Estude a natureza da serie nos extremos do seu intervalo de convergencia e calcule a soma numdesses extremos.

c) Mostre que, em qualquer ponto x interior ao intervalo de convergencia da serie se verifica aigualdade:

f(x) = (x+ 1) log(x + 1) − x

e aproveite esta igualdade para verificar se f e contınua naquele extremo do intervalo de con-vergencia em que calculou a soma da serie.

[Sugestao: pode derivar a serie termo a termo duas vezes]

4.145 Supondo igual a 2 o raio de convergencia da serie de potencias∑∞n=0 anx

n,

1. Indique, justificando, a natureza da serie∑ |an|.

2. Definindo uma funcao ϕ, no intervalo de convergencia da serie de potencias, pela formula

ϕ(x) =

∞∑

n=0

anxn,

justifique que ϕ e integravel no intervalo [−1, 1] e prove que se verifica necessariamente adesigualdade

∣

∣

∣

∣

∫ 1

−1

ϕ(x) dx

∣

∣

∣

∣

≤ 2

∞∑

n=0

|an|.

(Grupo IIIb do Exame de 2/10/80)

Resolucao:

1. Se 2 e o raio de convergencia de∑

anxn, ha convergencia absoluta em ]−2, 2[ e em particular

para x = 1 e portanto,∑ |an| converge.

2. ϕ e integravel em [−1, 1] pois e aı contınua.

Para cada x ∈ [−1, 1] tem-se:

|ϕ(x)| =

∣

∣

∣

∣

∣

∞∑

n=0

anxn

∣

∣

∣

∣

∣

≤∞∑

n=0

|an||xn| ≤∞∑

n=0

|an|,

donde∣

∣

∣

∣

∫ 1

−1

ϕ(x) dx

∣

∣

∣

∣

≤∫ 1

−1

|ϕ(x)| dx ≤∫ 1

−1

∞∑

n=0

|an| dx = 2

∞∑

n=0

|an|.

4.146 a) Determine o raio de convergencia da serie de potencias

∑ (x− 1)n

3n√n

e indique, justificando, em que pontos a serie converge absolutamente e em que pontos convergesimplesmente.

b) Supondo que a funcao g e definida pela igualdade

g(x) =

∞∑

n=1

(x− 1)n

3n√n

93


no conjunto de todos os pontos em que a serie e convergente, calcule g(1) e g ′′(1) e escreva aserie de Taylor, no ponto 1, da funcao x+ g′(x).


4.147 Considere as funcoes g que podem ser desenvolvidas em serie de potencias de x com raiode convergencia infinito. Quais dessas funcoes satisfazem a relacao

xg′(x) = g(x) ∀x∈R?


4.148 Justificando cuidadosamente a resposta, mostre que ex e a unica funcao que satisfaz ascondicoes seguintes:

f (n)(x) = f(x) ∀n∈N∀x∈R, f(0) = 1.

[Sugestao: Pode-lhe ser util recorrer a um desenvolvimento em serie de Mac-Laurin].


4.149 Sendo f uma funcao analıtica na origem e verificando as condicoes

f(0) = 3 e f ′(x) = f(x) + x ∀x∈R.

Determine o desenvolvimento de Mac-Laurin de f e indique, justificando, para que valores de x eque esse desenvolvimento representa a funcao.

(Pergunta 3b duma Prova de Analise II)

4.150 Sejam f e g duas funcoes com derivadas f ′ e g′ satisfazendo as seguintes condicoes:

f ′(x) = g(x), g′(x) = −f(x) ∀x∈R

e tais que f(0) = 0 e g(0) = 1.

1. Prove que

a) f e g sao indefinidamente diferenciaveis.

b) Qualquer das funcoes f e g e desenvolvıvel em serie de Mac-Laurin, serie essa que repre-senta a funcao considerada para todo o ponto x ∈ R.

2. Utilize o metodo dos coeficientes indeterminados para obter os desenvolvimentos de Mac-Laurin de f e g.

3. Prove que [f(x)]2 + [g(x)]2 = 1 ∀x∈R.

4.151 1. Prove que qualquer solucao (definida em R) da equacao diferencial

dx

dt= kx, com k constante

a) e indefinidamente diferenciavel,

b) e desenvolvıvel em serie de Mac-Laurin, serie essa que representa a funcao para todo o tpertencente a R.

Aproveite os resultados para verificar (recorrendo a serie de Mac-Laurin com “coeficientesindeterminados”) que a expressao geral das referidas solucoes e x = a0e

kt.

94


2. Com base nas conclusoes obtidas em 1) resolva a seguinte questao: Uma substancia ra-dioactiva desintegra-se a um ritmo que, em cada instante, e proporcional a quantidadede substancia existente nesse instante (tendo todos os atomos a mesma probabilidade dedesintegrar-se, a desintegracao total e proporcional ao numeros de atomos remanescente).Se x(t) designa a quantidade de subtancia existente no instante t, ter-se-a portanto

x′(t) = kx(t)

com k constante. Sendo x0 a quantidade de substancia existente no instante t = 0, determinex(t) e prove que existe um numero τ (a vida media do elemento radioactivo) tal que

x(t+ τ) =1

2x(t)

para todo o t > 0.

(Problema 3 do Grupo IV do Trabalho de 1974)

Resolucao:

1. a) Para provar que qualquer funcao que seja solucao da equacao

x′(t) = kx(t)

e indefinidamente diferenciavel - isto e, n vezes diferenciavel, qualquer n ∈ N - podeusar-se o metodo de inducao.

Sendo solucao da equacao considerada, e claro que x tera que ser diferenciavel (isto e, nvezes diferenciavel, para n = 1); por outro lado, admitindo (como hipotese de inducao)que x(t) - e portanto tambem o segundo membro da equcao x′(t) = kx(t) - e n vezesdiferenciavel, logo se conclui que o primeiro membro, x′(t), e tambem n vezes diferenciavele portanto, que x(t) e n+ 1 vezes diferenciavel.

b) A equacao implica por inducao que para todo o n ∈ N tenhamos x(n)(t) = knx(t) e emparticular x(n)(0) = knx(0). Assim se uma solucao da equacao for representavel pala suaserie de Mac-Laurin numa vizinhanca de 0 entao essa solucao sera nessa vizinhanca

+∞∑

n=0

knx(0)tn

n!= x(0)ekt. (4.2)

Reciprocamente qualquer funcao deste tipo e solucao da equacao.

Resta provar que as unicas solucoes sao definidas em R por x(t) = x(0)ekt. Para issovamos provar que o resto de ordem n da formula de Taylor de uma solucao (nao neces-sariamente da forma (4.2)) num ponto t tende para 0 quando n → ∞ qualquer que sejat ∈ R. Com efeito a equacao implica

x(t) =

n−1∑

m=0

x(0)kmtm

m!+Rn(t)

em que

Rn(t) =x(n)(τ)tn

n!=knx(τ)tn

n!

para algum τ ∈ ]0, 1[ dependente de n e t. Como limn→∞knx(τ)tn

n! = 0 concluimos queRn(t) → 0 quando n → ∞ e qualquer solucao e representada pela serie de Mac-Laurinrespectiva. Como ja vimos tera de ter a forma (4.2).

2. Queremos provar que existe τ tal que

x(t + τ) = x(0)ek(t+τ) =1

2x(0)ekt =

1

2x(t).

Quer dizer que ek(t+τ) = elog12 ekt, isto e, k(t+ τ) = log 1

2 + kt ou ainda τ = 1k log 1

2 .

95


4.152 Desenvolva em serie de Mac-Laurin a funcao

2x +1

2 + x

e indique, justificando, o intervalo de convergencia da serie obtida.

(Pergunta 3b da Prova de 2a epoca de 18/12/72)

Resolucao:

2x = e(log 2)x =∞∑

n=0

1

n!(log 2)nxn (x ∈ R),

1

2 + x=

1

2

1

1 + x2

=1

2

∞∑

n=0

(−1)n(x

2

)n

(|x| < 2).

Logo:

2x +1

2 + x=

∞∑

n=0

1

n!(log 2)nxn +

∞∑

n=0

(−1)nxn

2n+1

=∞∑

n=0

(

1

n!(log 2)n + (−1)n

1

2n+1

)

xn.

Esta serie converge (e representa a funcao considerada) no intervalo ]−2, 2[, visto que em qualquerponto x tal que |x| < 2 convergem as series de Mac-Laurin das funcoes 2x e 1

2+x . Para qualquer xtal que |x| ≥ 2 converge apenas uma destas series, divergindo portanto a serie obtida por adicaodas duas.


f(x) = log

(

1 +x2

4

)

e indique o maior intervalo aberto em que a serie representa a funcao.



ϕ(x) = x log(1 + x3)

e aproveite o desenvolvimento para justificar que a funcao tem um mınimo no ponto 0 (mostreque ϕ′(0) = ϕ′′(0) = ϕ′′′(0) = 0 e observe o sinal de ϕ(4)).



f(x) = arctgx2

9

e indique o maior intervalo aberto em que a serie representa a funcao.

(Pergunta 2b da Prova (Ponto no2) de 1/10/71)

4.156 Desenvolva a funcao log x em serie de potencias de x− 2 e indique um intervalo aberto noqual a funcao coincida com a soma da serie obtida.

(Grupo Ic do Exame Final de 18/9/80)

96


Resolucao:

logx = log(2 + (x− 2)) = log

(

2

(

1 +x− 2

2

))

= log 2 + log

(

1 +x− 2

2

)

= log 2 +∞∑

n=1

(−1)n+1 1

n

(

x− 2

2

)n

= log 2 +∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2nn(x− 2)n.

Usamos log(x + 1) =∑∞n=1(−1)n+1 1

nxn para |x| < 1 o que implica que a serie obtida converge e

representa a funcao para |x−22 | < 1, isto e, para 0 < x < 4.

4.157 Desenvolva em serie de potencias de x−1 as funcoes log(3−x) e 1x2 . Em cada um dos casos,

indique o “maior” intervalo aberto em que o desenvolvimento representa a funcao considerada.


4.158 Desenvolva em serie de potencias de x − 1 a funcao ϕ(x) = (x − 1)ex e indique os pontosem que a soma da serie obtida e igual ao valor da funcao. Aproveitando o desenvolvimento — ouindependentemente — calcule ϕ(n)(1) (n natural arbitrario).

(Grupo Ic do Exame de 2/10/80)

4.159 Obtenha os desenvolvimentos em serie de Mac-Laurin e em serie de Taylor relativa ao ponto1, da funcao

g(x) = e5x +3

3 + 5x

e indique, para cada um desses desenvolvimentos, o “maior” intervalo aberto onde cada uma dasseries representa a funcao. Aproveite um dos desenvolvimentos obtidos para indicar uma expressaopara g(n)(0).


4.160 Seja f a funcao definida em R\{0} por f(x) = x2 logx2. Desenvolva f em serie de potenciasde x− 1 e indique o “maior” intervalo aberto onde esse desenvolvimento representa a funcao.

(Grupo IV da Prova de 2/12/76)

97


98

Capıtulo 5

Primitivacao

5.1 Determine uma expressao geral de todas as primitivas das seguintes funcoes.

a) (1 − x)5, b) |x|.


5.2 Para cada uma das funcoes definidas em R pelas expressoes

cos(

2x− π

4

)

,x

1 + x4, xe−x

2

(todas elas imediatamente primitivaveis) obtenha, se possıvel:

a) A primitiva que se anula no ponto x = 0.

b) A primitiva que tende para 1 quando x→ +∞.

Se nalgum caso for impossıvel obter uma primitiva que verifique a condicao requerida explique arazao dessa impossibilidade.


Resolucao:

Designando por F uma primitiva de cos(

2x− π4

)

temos:

F (x) ≡∫

cos(

2x− π

4

)

dx =1

2

∫

cos(

2x− π

4

)

2 dx =1

2sen(

2x− π

4

)

+K.

a) Se F (0) = 0 e porque K = 12√

2; a primitiva que se anula para x = 0 e pois:

F (x) =1

2sen(

2x− π

4

)

+1

2√

2.

b) Para nenhum valor de K existe o limite limx→+∞ F (x) pelo que nao existe nenhuma primitivatal que limx→+∞ F (x) = 1.

Designando por G uma primitiva de x1+x4 temos:

G(x) ≡∫

x

1 + x4dx =

1

2

∫

2x

1 + (x2)2dx =

1

2arctgx2 +K.

99

CAPITULO 5. PRIMITIVACAO

a) Se G(0) = 0 e porque K = 0; a primitiva que se anula em 0 e pois:

G(x) =arctgx2

2.

b)

limx→+∞

G(x) = limx→+∞

arctgx2

2+K =

π

4+K.

Se limx→+∞ F (x) = 1 e porque K = 1 − π4 , logo a primitiva pedida e:

G(x) =1

2arctgx2 +

(

1 − π

4

)

.

Designando por H uma primitiva de xe−x2

H(x) ≡∫

xe−x2

dx = −1

2

∫

e−x2

(−2x) dx = −1

2e−x

2

+K.

a) Se H(0) = 0 e porque K = 12 . Logo, a primitiva pedida e:

H(x) =1

2

(

1 − e−x2)

.

b) limx→+∞H(x) = limx→+∞(

− 12e

−x2

+K)

= K. Logo a primitiva que verifica

limx→+∞H(x) = 1 e:

H(x) = −1

2e−x

2

+ 1.

5.3 a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funcoes:

x2 cos(x3 + 1),1 + x√1 − x2

, ex senx.

b) Determine a funcao F definida em R \ {1} que obedece as seguintes condicoes:

F ′(x) =1

(x− 1)2, F (2) = 0, lim

x→−∞F (x) = 10.


5.4 Obtenha uma primitiva de cada uma das seguintes funcoes (todas elas elementarmente pri-mitivaveis).

sen(2x) cos(2x),1

x(2 − 3 logx)23

, ex+ex

.


Resolucao: Notando que a derivada de ddx(sen(2x)) = 2 cos(2x):

∫

sen(2x) cos(2x) dx =1

2

∫

sen(2x) cos(2x)2 dx =1

4sen2(2x).

100

Notando que 1x e a derivada de logx:

∫

1

x(2 − 3 logx)23

dx =

∫

1

(2 − 3 logx)23

1

xdx

= −1

3

∫

(2 − 3 logx)−23

(

− 3

x

)

dx = −1

33(2 − 3 logx)

13

= −(2 − 3 logx)13 .

Finalmente

H(x) =

∫

ex+ex

dx =

∫

exeex

dx = eex

.

5.5 Para cada umas das funcoes (todas elas imediatamente primitivaveis) definidas pelas ex-pressoes:

x senx2,ex

2 + ex,

1

(1 + x2)[1 + (arctgx)2]

determine, se possıvel:

1. Uma primitiva que se anule no ponto x = 0;

2. Uma primitiva que tenda para 0 quando x → +∞.

Nos casos em que nao seja possıvel obter uma primitiva nas condicoes requeridas explique sucin-tamente a razao dessa impossibilidade.


5.6 Determine uma primitiva delogx

x(log2 x+ 1)

no intervalo ]0,+∞[.

(Pergunta 1b da Prova de 7/74)


tg x sec2 x; senx 2cosx;1

x+ x log2 x.

b) Determine a funcao f , definida em R \ {0} que verifica as seguintes condicoes:

f ′(x) = 4x log |x|,f(−1) = 1,

f(1) = −1.

(Grupo Ia e b do Exame de 2a epoca de 11/2/80)

Resolucao:

a) Designamos por F (x) uma primitiva de tg x sec2 x.

F (x) =

∫

tg x sec2 x dx =1

2tg2 x.

101


Designemos por G(x) uma primitiva de senx2cosx.

G(x) =

∫

senx2cosx dx =

∫

2cosx senx dx

=−1

log 2

∫

e(log 2) cosx(− log 2 senx) dx = −e(log 2) cosx

log 2= −2cosx

log 2.

Designemos por H(x) uma primitiva de 1x+x log2 x

H(x) =

∫

1

x+ x log2 xdx =

∫

1

1 + log2 x

1

xdx.

Usando primitivacao por substituicao com y = logx e portanto dydx = 1/x consideramos

∫

1

1 + y2dy = arctg y

dondeH(x) = arctg(log x).

b) Trata-se de determinar em R \ {0} uma primitiva J(x) de 4x log |x| de forma que:

{

f(−1) = 1,

f(1) = −1.

Se x > 0 devemos ter para alguma constante K1:

J(x) =

∫

4x logx dx = 4

∫

x logx dx = 4

(

1

2x2 logx−

∫

1

2x2 1

xdx

)

= 2x2 logx− 2

∫

x dx = 2x2 logx− x2 +K1 = x2(2 logx− 1) +K1

Se x < 0 devemos ter para alguma constante K2:

J(x) =

∫

4x log(−x) dx = 4

(

1

2x2 log(−x) −

∫

1

2x2 1

−x (−1) dx

)

= x2(2 log(−x) − 1) +K2.

Assim J(x) tera de ser da forma:

J(x) =

{

x2(2 logx− 1) +K1, se x > 0,

x2(2 log(−x) − 1) +K2 se x < 0.

Para obter f(1) = −1 e f(−1) = 1 as constantes K1 e K2 tem de escolher-se assim:

K1 = 0, K2 = 2.

5.8 Determine a funcao f , definida no intervalo ]0,+∞[ e que satisfaz as condicoes:

f ′(x) = x5 log x− 1

x2sen

π

x∀x>0 e f(1) = 0.


102

5.9 Estabeleca uma formula de recorrencia para o calculo de

P tgn x, n ∈ N1.


Resolucao: Ponha-se Jn(x) =∫

tgn x dx. Se n = 1:

J1(x) =

∫

tg x dx =

∫

senx

cosxdx =

= −∫

1

cosx(− senx) dx = − log | cosx|

Se n = 2:

J2(x) =

∫

tg2 x dx =

∫

(sec2 x− 1) dx = tgx− x.

Se n > 2:

Jn(x) =

∫

tgn x dx =

∫

tgn−2 x tg2 x dx =

=

∫

tgn−2 x(sec2 x− 1) dx =

∫

tgn−2 x sec2 x dx − Jn−2(x) =1

n− 1tgn−1 x− Jn−2(x).

Temos pois:

Jn(x) =1

n− 1tgn−1 x− Jn−2(x), se n > 2,

J1(x) = − log | cosx|,J2(x) = tg x− x.

5.10 Primitive

x logx+logx

x+

1

x logx+

1

x log x log(logx).


5.11 Determine a funcao f que verifica:

{

f ′′(x) = senx sen 2x, para todo o x ∈ R,

f(0) = f ′(0) = 1.


5.12 Determine a funcao f : ] − 1,+∞[ → R que verifica:

{

f ′′(x) = 11+x , qualquer que seja x > −1,

f(0) = f ′(0) = 1.

(Grupo IIa da Prova de 18/9/79)

103


5.13 Determine a funcao ϕ, definida em R e que verifica as condicoes seguintes:

ϕ′′(x) = x+1x2+1 qualquer que seja x ∈ R,

ϕ(0) = 1,

ϕ′(0) = 0.

(Pergunta 2b de uma Prova de Analise II)

5.14 Calcule∫

x4

x4 − 1dx.


Resolucao: Escrevamos x4

x4−1 como soma de fraccoes simples:

x4

x4 − 1= 1 +

1

x4 − 1e

1

x4 − 1=Ax+B

x2 + 1+

C

x− 1+

D

x+ 1.

Determinemos A, B, C e D:

1 = (Ax +B)(x2 − 1) + C(x2 + 1)(x+ 1) +D(x2 + 1)(x− 1)

1 = (A+ C +D)x3 + (B + C −D)x2 + (−A+ C +D)x+ (−B + C −D)

A+ C +D = 0

B + C −D = 0

−A+ C +D = 0

−B + C −D = 1

⇐⇒

A = 0

B = − 12

C = 14

D = − 14

Quer dizer que:

∫

x4

x4 − 1dx =

∫

1 dx− 1

2

∫

1

x2 + 1dx +

1

4

∫

1

x− 1dx− 1

4

∫

1

x+ 1dx

= x− 1

2arctg x+

1

4log |x− 1| − 1

4log |x+ 1|

= x− 1

2arctg x+

1

4log

∣

∣

∣

∣

x− 1

x+ 1

∣

∣

∣

∣

.

5.15 Obtenha a primitiva da funcao12x+ 8

x4 − 4x2

definida no intervalo ]2,+∞[ e que tende para 1 quando x tende para +∞.


5.16 Determine:

a) Uma expressao geral das primitivas da funcao definida em R pela formula:

f(x) = (x+ 1)ex2+2x.

104

b) A primitiva G, da funcao

g(x) =x+ 3

x4 − x2

definida no intervalo ]1,+∞[ e que verifica a condicao limx→+∞G(x) = 3.



f(x) = cos(2x) cosx, g(x) =log arcsenx√

1 − x2, h(x) =

x3

√

(x4 − 1)3.

b) Considere a funcao:

f(x) =3x2 + 7

(x2 + 4)(x2 − 1)

definida em R\{−1, 1}. Obtenha uma primitiva F de f que satisfaca as tres condicoes seguintes:

i) limx→−∞

F (x) =π

2,

ii) limx→+∞

F (x) = 0,

iii) F (0) = 1.



ex2+2 senx(x+ cosx),

(1 + 2 arctgx)3

1 + x2, x2 shx.

b) Calcule:∫

4x2 − 3x+ 5

(x− 1)2(x + 2)dx.


5.19 Calcule uma primitiva de cada uma das funcoes seguintes:

arcotgx

x2e

3x+ 4

(x− 5)2 + 3.


5.20 Calcule∫

x4

x4 − 5x2 + 4dx.

(Grupo II1a da Prova de 18/7/77)

5.21 Determine:

a) Uma funcao f , definida em R, e verificando as condicoes:

f ′(x) =arctgx

1 + x2∀x∈R e lim

x→+∞f(x) = 0.

105


b) Decida justificadamente se existe uma funcao g, definida no intervalo I = ]16,+∞[ e tal que:

g′(x) =1 +

√x

x(4 −√x)

∀x∈I e limx→+∞

g(x) = 1.


5.22 Calcule uma primitiva de cada uma das funcoes

logx√1 + x

e5x− 6

x[(x − 1)2 + 2].


Resolucao:

a) Primitivando por partes de log x√1+x

para x > 0:

I(x) =

∫

logx√1 + x

dx =

∫

(1 + x)−12 log x dx = 2(1 + x)

12 logx− 2

∫

(1 + x)121

xdx.

Para calcular J(x) =∫

(1+x)12

1x dx poderia parecer razoavel tentar de novo uma primitivacao

por partes. No entanto tal conduz sempre a primitivas envolvendo potencias fraccionariasde 1 + x a multiplicar por uma potencia inteira e nao nula de x ou conduz-nos de novo aprimitiva com que tınhamos comecado.

Como as potencias fraccionarias de 1+x sao um problema tentamos uma mudanca de variavelpara elimina-las. Para tal consideramos a substituicao y = (1 + x)

12 , onde x > 0 e portanto

y > 1, cuja inversa e x = y2 − 1 que por sua vez tem derivada dxdy = 2y, conduzindo ao

calculo de:∫

y1

y2 − 12y dy = 2

∫

y2

y2 − 1dy = 2

∫

(1 +1

y2 − 1) dy = 2y + 2

∫

1

y2 − 1dy. (5.1)

Decompondo 1y2−1 = A

y+1 + By−1 e determinando as constantes A e B atraves de 1 = A(y −

1) +B(y + 1) obtem-se A = − 12 e B = 1

2 , quer dizer

1

y2 − 1=

1

2

(

1

y − 1− 1

y + 1

)

,

pelo que∫

1

y2 − 1dy =

1

2log

y − 1

y + 1(se y > 1).

Substituindo em (5.1)∫

y2

y2 − 1dy = y +

1

2log

y − 1

y + 1.

Daı que:

J(x) = 2(1 + x)12 + log

(1 + x)12 − 1

(1 + x)12 + 1

.

Voltando a I(x):

I(x) = 2(1 + x)12 logx− 4(1 + x)

12 − 2 log

(1 + x)12 − 1

(1 + x)12 + 1

= 2(1 + x)12 (log x− 2) − 2 log

(1 + x)12 − 1

(1 + x)12 + 1

.

106

Em conclusao:

∫

log x√1 + x

dx = 2

(√1 + x(logx− 2) − log

√1 + x− 1√1 + x+ 1

)

+K.

b) A primitiva∫

5x−6x[(x−1)2+2] dx calcula-se mais comodamente efectuando a mudanca de variavel

y = x− 1 o que conduz a:∫

5y − 1

(y + 1)(y2 + 2)dy.

Decompondo a fraccao racional:

5y − 1

(y + 1)(y2 + 2)=

A

y + 1+By + C

y2 + 2

obtem-se calculando A, B e C,

5y − 1

(y + 1)(y2 + 2)=

−2

y + 1+

2y + 3

y2 + 2

e daı:∫

5y − 1

(y + 1)(y2 + 2)dy = −2 log |y + 1| +

∫

2y + 3

y2 + 2dy

= −2 log |y + 1| +∫

2y

y2 + 2dy + 3

∫

1

y2 + 2dy

= −2 log |y + 1| + log(y2 + 2) +3

2

∫

1(

y√2

)2

+ 1

dy

= −2 log |y + 1| + log(y2 + 2) +3√2

arctgy√2.

Invertendo a mudanca de variavel:

∫

5x− 6

x[(x− 1)2 + 2]dx = −2 log |x| + log((x− 1)2 + 2) +

3√2

arctgx− 1√

2.

5.23 Calcule∫

1

x 4√

1 + xdx


5.24 Determine as funcoes f e g, definidas em R e que verificam as condicoes:

f ′′(x) = (1 + senx) cosx, f ′(0) = 1, f(0) = 3;

g′(x) =1

1 + e2x, lim

x→+∞g(x) = 1.

(Pergunta 2a do Ponto no 5 de 25/10/71)

107


5.25 Obtenha uma primitiva φ da funcao

ϕ(x) =2e−x

1 − e2x,

definida no intervalo ]0,+∞[ e tal que ϕ(+∞) = 1. Seria possıvel obter uma primitiva Ψ de ϕdefinida em ]−∞, 0[ e com limite finito quando x → −∞ ? Justifique abreviadamente a resposta.

(Grupo IIc do Exame de 2/10/80)

Resolucao: Vamos fazer a mudanca de variavel y = ex em∫

2e−x

1−e2x dx. Notando que x = log y edxdy = 1

y obtemos1∫

2e−x

1− e2xdx =

∫

2y−1

1 − y2

1

ydy = 2

∫

1

y2(1 − y2)dy.

Tem-se:1

y2(1 − y2)=A

y2+B

y+

C

1 − y+

D

1 + y;

A, B, C e D calculam-se a partir de:

1 = A(1 − y2) +By(1 − y2) + Cy2(1 + y) +Dy2(1 − y)

atribuindo por exemplo a y os valores 0, 1, −1 e 2:

1 = A

1 = 2C

1 = 2D

1 = −3A− 6B + 12C − 4D

⇔

A = 1

C = 12

D = 12

B = 0

Vem, desta forma:

∫

1

y2(1 − y2)dy =

∫

1

y2dy +

1

2

∫

1

1 − ydy +

1

2

∫

1

1 + ydy

= −y−1 +1

2log

∣

∣

∣

∣

1 + y

1 − y

∣

∣

∣

∣

+ C.

Portanto:

φ(x) =

∫

2e−x

1 − e2xdx = −2

y+ log

∣

∣

∣

∣

1 + y

1 − y

∣

∣

∣

∣

+K = − 2

ex+ log

∣

∣

∣

∣

1 + ex

1 − ex

∣

∣

∣

∣

+K.

Se limx→+∞ φ(x) = 1 e porque K = 1. Assim − 2ex + log

∣

∣

∣

1+ex

1−ex

∣

∣

∣ + K e ainda a forma geral

das primitivas de ϕ para x < 0. Porem, seja qual for o valor da constante K, tem-se semprelimx→−∞ φ(x) = −∞ pelo que e impossıvel encontrar uma primitiva Ψ de ϕ em ]−∞, 0[ verificandolimx→−∞ Ψ(x) = α com α ∈ R.

5.26 Calcule∫

e3x

(1 + e2x)(ex − 2)2dx.

(Grupo Ia do Exame de 2a epoca de 7/2/79)

1Nesta solucao e nalgumas outras deste capıtulo uma igualdade entre primitivasR

f(x) dx =R

g(y) dy significade facto que consideramos uma mudanca de variavel y = θ(x) com inversa x = θ−1(y) e que a funcao de y do ladodireito da igualdade composta com θ iguala o lado esquerdo da igualdade como funcao de x. Este pequeno abusode notacao revelar-se-a pratico ao nıvel do calculo.

108

5.27 Calcule∫

e3t + 3e2t + 6

e3t + 3etdt.


5.28 Calcule a primitiva G da funcao

g(x) =2 logx− 1

x logx(log x− 1)2

definida no intervalo ]e,+∞[ e que verifica a condicao:

limx→+∞

G(x) = 7.

(Grupo Ib da Prova de 25/9/79)

5.29 a) Obtenha uma primitiva de cada uma das seguintes funcoes:

y =1

x logx2, y =

x√1 + 3x2

, y = 3x cosx

b) Calcule uma primitiva F (x) de

f(x) =sen 2x

(2 + senx)2

tal que F (0) = 0. Havera outra primitiva de f(x) que se anule para x = 0? Justifique.

(Grupo Ia e b do Exame de 2a epoca de 4/2/80)

5.30 Primitive as funcoes

1√1 + x

, arcsen1

xe

1

senx cos2 x.


5.31 Primitive as funcoes:arctg 2x

1 + 4x2e

1

sen2 x cosx.


5.32 Determine o conjunto de todas as primitivas da funcao f definida por

f(x) =1

1 − senx− cosxno intervalo ]0, π/2[.


Resolucao: Vamos considerar a mudanca de variavel tg x2 = t que conduz a:

senx =2t

1 + t2, cosx =

1 − t2

1 + t2, dx =

2

1 + t2dt.

109


Note-se que ao variar x em ]0, π2 [ a variavel t percorre ]0, 1[.

∫

1

1 − senx− cosxdx =

∫

1

1 − 2t1+t2 − 1−t2

1+t2

2

1 + t2dt

=

∫

1

t(t− 1)dt =

∫

1

t− 1dt−

∫

1

tdt

= log |t− 1| − log |t| = log(1 − t) − log t

= log1 − t

t(por ser sempre 0 < t < 1).

Quer dizer:∫

1

1 − senx− cosxdx = log

1 − tg x2

tg x2

+K.

110

Capıtulo 6

Integral de Riemann

6.1 Definicao e primeiras propriedades

6.1 Recorde que se chama oscilacao de uma funcao f num subconjunto (nao vazio) A do seudomınio a diferenca entre o supremo e o ınfimo da funcao no conjunto A (onde f se supoe limitada).Nestas condicoes, sendo f uma funcao limitada no intervalo [a, b], prove que f e integravel emI = [a, b] se for verificada a condicao seguinte:

Qualquer que seja ε > 0 existe uma decomposicao de I tal que a oscilacao de f em cada um

dos subintervalos de I determinados por essa decomposicao e menor que ε.

Mostre ainda que a verificacao da condicao referida nao e necessaria para que f seja integravel.

(Grupo V do 1o Teste de 20/7/78)

Resolucao: Sendo f : [a, b] → R e d = {x1, . . . , xn−1} uma decomposicao de [a, b] define-se Sd =∑n−1

i=0 Mi(xi+1 − xi), sd =∑n−1

i=0 mi(xi+1 − xi) (com x0 = a e xn = b) onde Mi = sup[xi,xi+1] f ,

mi = inf [xi,xi+1] f e portanto: Sd − sd =∑n−1

i=0 (Mi −mi)(xi+1 − xi).Sendo verificada a condicao do enunciado, dado δ > 0, escolha-se uma decomposicao d de I =[a, b] tal que a oscilacao Mi − mi de f em cada um dos subintervalos de I determinados pord = {x1, . . . , xn−1} seja menor que ε = δ

b−a . Vira entao:

Sd − sd =

n−1∑

i=0

(Mi −mi)(xi+1 − xi) <

n−1∑

i=0

ε(xi+1 − xi)

= ε

n−1∑

i=0

(xi+1 − xi) =δ

b− a

n−1∑

i=0

(xi+1 − xi)

=δ

b− a(b− a) = δ.

Quer dizer que dado δ > 0 e possıvel encontrar uma decomposicao d de [a, b] tal que Sd − sd < δ,o que equivale a dizer que f e integravel em [a, b].Para ver que a condicao do enunciado nao e necessaria para que f seja integravel, basta considerara funcao

f(x) =

{

0, se x 6= x0,

1, se x = x0,

onde x0 ∈ [a, b]. A funcao f e integravel mas nao existe uma decomposicao d de [a, b] tal que aoscilacao de f em cada um dos subintervalos de [a, b] determinados por d seja menor do que 1 poisem qualquer subintervalo que contenha x0 a oscilacao de f sera igual a 1.

111

CAPITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN

6.2 A cada aplicacao f : R → R podemos associar as aplicacoes f+ e f− (designadas por parte

positiva e parte negativa de f , respectivamente) pelas seguintes definicoes:

f+(x) =

{

f(x), se f(x) ≥ 0,

0, se f(x) < 0, f−(x) =

{

−f(x), se f(x) ≤ 0,

0, se f(x) > 0.

a) Indique uma aplicacao limitada f : R → R tal que f+ seja integravel em [0, 1] e f− nao o seja.

b) Indique uma aplicacao limitada g : R → R tal que g+ + g− seja integravel em [0, 1] e g nao oseja.

6.3 Mostre que a integrabilidade de f : R → R em [a, b] implica a integrabilidade de f 2 em [a, b].Observacao: Prove-o directamente, isto e, nao utilize o conhecimento de que o produto de duasfuncoes integraveis num intervalo e integravel nesse intervalo.


6.4 Seja ϕ uma funcao integravel em [0, 1] e φ(x) =∫ x

aϕ(t) dt com a ∈ [0, 1]. Justifique que φ e

integravel em [0, 1] e mostre que existe b ∈ [0, 1] tal que

∫ 1

0

φ(t) dt =

∫ b

a

ϕ(t) dt.

(Na resolucao desta alınea podera ser-lhe util recorrer ao teorema da media).


Resolucao: Sendo ϕ integravel em [0, 1], a funcao φ e contınua em [0, 1] e portanto integravel em[0, 1]. Existe por isso b ∈ [0, 1] tal que

∫ 1

0

φ(t) dt = φ(b)(1 − 0) = φ(b) =

∫ b

a

ϕ(t) dt.

6.5 Sejam f e ϕ definidas em [a, b] maiores ou iguais a 0 e integraveis em [a, b]. Suponha-se queϕ e crescente e designe-se por ϕ(b−) o limx→b− ϕ(x).

1) Mostre que: ∃c∈[a,b] :∫ b

a f(x)ϕ(x) dx = ϕ(b−)∫ b

c f(x) dx.

2) A igualdade seria valida se substituissemos ϕ(b−) por ϕ(b)?

3) Mostre que se ϕ e estritamente crescente em ]a, b[ e∫ b

af(x) dx 6= 0 entao c devera ser diferente

de a e de b.


6.2 Teorema fundamental. Regra de Barrow

6.6 Seja f uma funcao duas vezes diferenciavel e tal que f ′(x) e f ′′(x) sao positivas em todo oponto x ∈ R; seja ainda

g(x) =

∫ x

0

f(t2) dt, ∀x∈R.

Justifique que g e tres vezes diferenciavel, calcule g′′(x) e g′′′(x) para x ∈ R e aproveite o resultadopara estudar, quanto a concavidade e inflexoes, o grafico de g.


112

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW

Resolucao: Como f e contınua em R tem-se em R, pelo Teorema Fundamental do Calculo,g′(x) = f(x2). Como f e duas vezes diferenciavel segue do Teorema de Derivacao da Funcao

Composta que:

g′′(x) = 2f ′(x2)x,

g′′′(x) = f ′′(x2)(2x)2 + f ′(x2)2 = 4f ′′(x2)x2 + 2f ′(x2).

O estudo da concavidade e inflexao de g pode fazer-se atraves do sinal de g ′′(x): como f ′(x) ef ′′(x) sao positivas: g′′(x) > 0 se x > 0, g′′(x) < 0 se x < 0. Para x > 0, a concavidade estavoltada para cima, para x < 0, voltada para baixo. Em x = 0 ha pois um ponto de inflexao(g′′(0) = 0 e g′′′(0) > 0).

6.7 Sendo f uma funcao contınua em R e diferenciavel no ponto 0,

g(x) =

∫ x

0

f(t) dt, ∀x∈R

e h = g ◦ g, calcule h′′(0), expresso em f(0) e f ′(0).


6.8 Sendo f uma funcao diferenciavel em R,

a) Justifique que a igualdade:

F (x) =

∫ x

0

f(t) dt

define uma funcao F , duas vezes diferenciavel em R.

b) Sendo ϕ = F ◦F (isto e, ϕ(x) = F [F (x)], ∀x∈R), prove que, se f(x) < 0, ∀x∈R, ϕ e estritamentecrescente em R.

c) Calcule ϕ′(0) e ϕ′′(0), em funcao de f(0) e f ′(0).


6.9 Prove que se f e uma funcao diferenciavel em R, verificando a condicao

∫ x

0

f(u) du = xf(x), ∀x∈R

entao f e constante. [Sugestao: derive ambos os membros da igualdade anterior.)


6.10 Sendo f uma funcao contınua em R prove que, se e nulo o integral de f em qualquer intervalolimitado, entao f(x) = 0, para todo o x ∈ R.

Mostre, por meio de exemplos, que a conclusao precedente poderia ser falsa em qualquer dasduas hipoteses seguintes:

1. Se, em lugar de supor f contınua em R, se suposesse apenas que f era integravel em qualquerintervalo limitado;

2. Se, em vez de supor que e nulo o integral de f em qualquer intervalo limitado, se admitisseque era nulo o integral de f em qualquer intervalo de R com comprimento igual a 1.

(Pergunta 4b da Prova de 2a epoca de 8/1/73)

113


6.11 Sendo ϕ uma funcao contınua em R, e para cada x ∈ R,

φ(x) =

∫ x

0

(x− t)ϕ(t) dt,

calcule φ′(x) e φ′′(x). Justifique todos os passos dos calculos efectuados.


6.12 Seja g uma funcao definida e contınua em R tal que g(1) = 5 e∫ 1

0 g(t) dt = 2.Seja f a funcao definida em R por

f(x) =1

2

∫ x

0

(x− t)2g(t) dt.

Mostre que f admite derivadas contınuas em R ate a 3a ordem e calcule f ′′(1) e f ′′′(1).


Resolucao:

f(x) =1

2

∫ x

0

(x− t)2g(t) dt =1

2

∫ x

0

(x2 − 2xt+ t2)g(t) dt

=1

2x2

∫ x

0

g(t) dt− x

∫ x

0

tg(t) dt+1

2

∫ x

0

t2g(t) dt.

As funcoes g(t), tg(t), t2g(t) sao contınuas em R pelo que, pelo teorema fundamental do Calculo:

f ′(x) =

(

x

∫ x

0

g(t) dt+1

2x2g(x)

)

−(∫ x

0

tg(t) dt+ x2g(x)

)

+1

2x2g(x)

= x

∫ x

0

g(t) dt−∫ x

0

tg(t) dt,

f ′′(x) =

∫ x

0

g(t) dt+ xg(x) − xg(x) =

∫ x

0

g(t) dt

f ′′′(x) = g(x).

Tem-se pois f ′′(1) =∫ 1

0g(t) dt = 2 e f ′′′(1) = g(1) = 5.

6.13 Calcule ϕ′(x) sendo ϕ(x) =∫ 3

x x2esen t dt.

(Grupo II1c da Prova de 18/7/77)

6.14 Seja ϕ a funcao definida em R pela formula ϕ(x) =∫ x3+1

cosx e−t2

dt. Indique, justificando, osvalores de ϕ(0) e ϕ′(0).


6.15 Demonstre que, se f e contınua em R e se

∫ x

−xf(t) dt = 0, para todo o x ∈ R,

entao f e uma funcao ımpar. De um exemplo de uma funcao g definida em R, verificando acondicao

∫ x

−x g(t) dt = 0, ∀x∈R, e que nao seja ımpar.

114


6.16 Calcule

limx→0

∫ x

0sen t3 dt

x4.


6.17 Determine o seguinte limite

limx→0

x∫ x

0e−t

2

dt

1 − e−x2 .

(Grupo II1c da Prova de 2/12/76)

Resolucao: Trata-se de uma indeterminacao do tipo 00 . Aplicando sucessivamente a regra de

Cauchy:

limx→0

x∫ x

0e−t

2

dt

1 − e−x2 = limx→0

∫ x

0e−t

2

dt+ xe−x2

e−x22x= lim

x→0

e−x2

+(

e−x2 − xe−x

2

2x)

−e−x24x2 + e−x22

= limx→0

2e−x2

(1 − x2)

e−x2(2 − 4x2)= limx→0

2(1 − x2)

2 − 4x2= 1.

6.18 Calcule

limx→0

∫ x

0sen t5 dt

∫ x2

0 sen t2 dt.

(Grupo IIc do 2o Teste de 28/7/80)

6.19 a) Determine o valor da constante real K, por forma a que f ′(1) = 0, sendo

f(x) =

∫ K log x

x2

e−t2

dt.

b) Determine uma funcao g de classe C2 que satisfaca as seguintes condicoes:∫ x

0

g′′(t) dt = x3 + x ∧ g′(0) = g(0) = 1.


Resolucao:

a) Para derivar f fazemos a seguinte observacao: sendo f(x) =∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)g(t) dt com g contınua num

intervalo, ϕ1, ϕ2 funcoes com valores nesse intervalo e a um qualquer ponto desse intervalo, tem-

se f(x) =∫ ϕ2(x)

a g(t) dt−∫ ϕ1(x)

a g(t) dt. Daı resulta que, sendo ϕ1 e ϕ2 funcoes diferenciaveis,e usando o Teorema Fundamental do Calculo e o Teorema de derivacao da Funcao Composta:

f ′(x) = g(ϕ2(x))ϕ′2(x) − g(ϕ1(x))ϕ

′1(x).

Logo, no caso f(x) =∫ K log x

x2 e−t2

dt vem:

f ′(x) = e−(k log x)2K

x− e−x

4

2x

e portanto f ′(1) = K − 2e−1. Ter-se-a f ′(1) = 0 se K = 2e .

b) Temos∫ x

0 g′′(t) dt = g′(x)−g′(0), isto e, g′(x) = x3 +x+1 e portanto g(x) = 1

4x4 + 1

2x2 +x+K

sendo K = g(0) = 1. Portanto g(x) = 14x

4 + 12x

2 + x+ 1.

115


6.20 Indique onde esta o erro no calculo seguinte:

∫ 2

−1

dx

x2=

[

− 1

x

]2

−1

= −3

2.

(Grupo Ic da Prova de 7/74)

Resolucao: A regra de Barrow,∫ b

a f(x) dx = F (b)−F (a) aplica-se1a uma funcao f integravel em

[a, b] e com uma primitiva F em [a, b]. Ora, embora F (x) = − 1x seja uma primitiva de f(x) = 1

x2

em R \ {0} e portanto em [−1, 2] \ {0}, nao e verdade que F (x) seja primitiva de f(x) em [−1, 2],

logo a formula de Barrow nao e aplicavel pelo que e ilegıtimo escrever∫ 2

−1dxx2 =

[

− 1x

]2

−1. Pode

de resto observar-se que o integral em causa nao existe; visto que a funcao integranda 1x2 , nao e

limitada no intervalo de integracao.

6.21 Calcule∫ π

4

0

sen 2x cos 2x dx e

∫ 1

0

et+et

dt.

(Note que ambas as funcoes integrandas sao facilmente primitivaveis.)

(Grupo IIa do Exame Final de 18/9/80)

6.22 Estude, quanto a existencia de assımptotas, a funcao f definida por

f(x) = log x

∫ 2x

x

ds

s log s, para x > 1.


6.23 Calcule∫ π

1

x arctgx dx.

(Grupo I2a da Prova de 19/9/77)

6.24 Calcule∫ 1

0

arctgx

1 + x2dx e

∫ π

0

sen3 u du.

(Grupo IIa do Exame de 2/10/80)

6.25 Seja f uma funcao definida no intervalo [a, b] e que admite segunda derivada contınua nesse

intervalo. Exprima∫ b

a xf′′(x) dx como funcao dos valores de f e f ′ nos pontos a e b.

(Grupo IV2 do Exame de 18/7/1977)

6.26 Calcule∫ 1

0

dx

x− 3,

∫ 4

2

x3

x− 1dx.

(Grupo II2 da Prova de 2/12/76)

1Assume-se a convencao habitual de que do ponto de vista da integracao uma funcao pode nao estar definidanum numero finito de pontos. Desta forma a solucao do problema nao tem a ver com o facto da funcao integrandanao estar definida em 0 mas sim com a funcao ser ilimitada numa qualquer vizinhanca de 0.

116


6.27 Calcule∫ e

1

logx dx,

∫ 12

0

1

x2 − 1dx.

(Pergunta 2a e b da Prova de 23/3/77)

6.28 Calcule∫ 3

2

1

x3 + xdx e

∫ π

−πsen2 x dx.


6.29 Calcule∫ 2

1

4x− 4

x4 + 4x2dx.


6.30 Calcule∫ 1

0

x

(x+ 2)2(x2 + 4)dx.

(Grupo Ic da Prova de 28/2/74)

6.31 Sendo f ′(x) = x4+1x2+1 , ∀x∈R e f(0) = 1, calcule:

∫ 1

0

f(x) dx.


6.32 Calcule o integral∫ 1

0

1

et + e2tdt.


6.33 Calcule∫ 1

0

et + 4

e2t + 4dt.


6.34 Calcule∫ π

3

0

8 tg x

3 + sen2 xdx.


6.35 Calcule∫ π

0

sen3 x

2 − sen2 xdx.

(Grupo 1a da Prova de 18/12/72)

117


Resolucao: Uma maneira de calcular o integral e observar que x 7→ cosx e uma bijeccao de [0, π]em [−1, 1] e usar a mudanca de variavel y = cosx.Tem-se entao, designando o integral que pretendemos calcular por I :

I ≡∫ π

0

sen3 x

2− sen2 xdx =

∫ π

0

sen2 x

2 − sen2 xsenx dx =

∫ π

0

1 − cos2 x

1 + cos2 xsenx dx

= −∫ −1

1

1 − y2

1 + y2dy =

∫ 1

−1

1 − y2

1 + y2dy.

Ora 1−y2

1+y2 = −1 + 21+y2 e daı

∫

1−y2

1+y2 dy = −y + 2 arctg y. Quer dizer:

I = [−y + 2 arctg y]1−1 = (−1 + 2 arctg 1) − (1 + 2 arctg(−1))

=(

−1 + 2π

4

)

−(

1 − 2π

4

)

= −2 + π = π − 2.

6.36 Aplicando a regra de Barrow prove que, sendo f uma funcao contınua em R,∫ c−a

c−bf(c− x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.


6.37 Seja F uma funcao contınua em R e sejam a, b, c numeros reais com c 6= 0. Mostre que

∫ b

a

F (x) dx = c

∫ bc

ac

F (cx) dx.

(Grupo IV da Repeticao do 1o Teste de 22/9/78)

6.38 Seja f uma funcao contınua em R e a um ponto de R. Mostre que:

a) Se f e par,∫ a

−a f(x) dx = 2∫ a

0 f(x) dx.

b) Se f e ımpar,∫ a

−a f(x) dx = 0.

(Grupo IV1 do Exame de 18/7/1977)

6.39 Sendo ϕ diferenciavel em R, f contınua em R e h definida pela formula seguinte

h(x) =

∫ ϕ(x3)

ϕ(x)

x2f(t) dt,

calcule h′(x). Supondo agora que ϕ e f sao ımpares, mostre que h e par.


Resolucao:

h′(x) =d

dx

(

x2

∫ ϕ(x3)

ϕ(x)

f(t) dt

)

=2x

∫ ϕ(x3)

ϕ(x)

f(t) dt+ x2(f(ϕ(x3))ϕ′(x3)3x2 − f(ϕ(x))ϕ′(x)).

Ora se ϕ e f sao ımpares, tem-se, usando a mudanca de variavel t = −u:

118


h(−x) =

∫ ϕ(−x3)

ϕ(−x)x2f(t) dt =

∫ −ϕ(x3)

−ϕ(x)

x2f(t) dt

=

∫ ϕ(x3)

ϕ(x)

x2f(−u)(−1) du =

∫ ϕ(x3)

ϕ(x)

x2 f(u) du = h(x),

pelo que h e par.

6.40 Considere a funcao ϕ definida no intervalo ]0,+∞[ pela formula

ϕ(x) =

∫ x

1

t

(1 + t2)2log t dt.

a) Calcule ϕ(2).

b) Mostre que ϕ e diferenciavel (em todo o seu domınio) e, supondo x > 0, indique, justificando,o valor de ϕ′(x).

c) Estude a funcao ϕ sob o ponto de vista do crescimento e mostre que ha um so ponto c dodomınio de ϕ satisfazendo a condicao ϕ(c) = 0.


6.41 Considere a funcao F definida pela igualdade

F (x) =

∫ x

1

1 +3√u2

3u(1 + 3√u)2

du

no conjunto dos valores reais de x para os quais tem sentido o integral do segundo membro.

a) Calcule F ′(3) e F ′′(3).

b) Calcule F (3).

c) Indique o domınio de F , sob a forma de intervalo, e justifique que e efectivamente esse odomınio.


6.42 a) Seja g a funcao definida pela formula g(x) =∫ log x

0 x et2

dt. Mostre que g′′(1) = 1.

b) Seja h uma funcao definida em R, contınua, ımpar e estritamente crescente e seja H a funcaodefinida em R pela formula

H(x) =

∫ x

0

h(t) dt.

Justifique que H e diferenciavel em R, que e funcao par, que tem um mınimo absoluto no pontozero, e determine os intervalos de monotonia de H .


6.43 a) Justifique que a igualdade (onde surge um integral que nao devera calcular)

ϕ(x) =

∫ x

0

(2 + sen t2) dt

define uma funcao ϕ indefinidamente diferenciavel em R.Mostre que ϕ e estritamente crescente e estude o sinal de ϕ(x), para cada x ∈ R.Sera ϕ par? E ımpar? Justifique.

119


b) Considere a funcao φ definida em R pela equacao seguinte

φ(x) =

∫ x2−1

x

esen t dt.

Determine a funcao derivada.

(Grupo IV de 20/7/78)

6.44 Seja f uma funcao diferenciavel em todos os pontos de R. Considere, para cada h 6= 0, umanova funcao Fh definida por

Fh(x) =1

h

∫ x+h

x

f(u) du.

Como sabe, Fh(x) representa o valor medio de f no intervalo [x, x+ h].

a) Em que pontos do seu domınio e Fh diferenciavel?

Justifique a resposta e determine a derivada F ′h(x) = d

dx (Fh(x)).

b) Para cada valor de x, Fh(x) e F ′h(x) dependem de h. Considere entao, para um dado x = a, duas

outras funcoes, ϕ e ψ, definidas respectivamente pelas igualdades ϕ(h) = F ′h(a) e ψ(h) = Fh(a),

∀h∈R\{0}. Determine

limh→0

ϕ(h) e limh→0

ψ(h).


6.45 Como sabe, diz-se que a funcao f : R → R tem perıodo a sse f(x+ a) = f(x), ∀x∈R.Supondo que a funcao contınua f tem perıodo a e que g e uma primitiva de f (em R), mostre

que a funcao g(x+a)−g(x) e constante; aproveite o resultado para provar que, sendo f uma funcaocontınua que tenha perıodo a, as primitivas de f terao tambem esse perıodo sse

∫ a

0 f(x) dx = 0.


6.46 a) Para cada x ∈ R, seja ϕ(x) =∫ senx

0log(1+t2) dt. Sem efectuar qualquer integracao prove

que ϕ(x + 2π) = ϕ(x) (qualquer que seja x ∈ R) e determine os valores de x, pertencentes aointervalo [0, 2π[ e tais que a tangente ao grafico de ϕ no ponto (x, ϕ(x)) seja horizontal; indiqueainda, justificando, quais desses valores sao pontos de maximo ou de mınimo para a funcao ϕ.

b) Sejam u e v funcoes contınuas em R, tais que, para qualquer x ∈ R,

∫ x

a

u(t) dt =

∫ x

b

v(t) dt,

onde a e b sao numeros reais. Prove que u = v e que∫ b

au(x) dx = 0.

c) Seja f uma funcao contınua em R e

F (x) =

{

1x

∫ x

0 f(t) dt, se x 6= 0,

f(0), se x = 0.

Prove que F e contınua em R e diferenciavel em R \ {0}; mostre que, nas condicoes indicadas,F pode nao ser diferenciavel na origem.


120


6.47 Sejam f e ϕ duas funcoes que admitam segundas derivadas contınuas em R e seja

F (x) =

∫ ϕ(x)

0

f(t) dt.

a) Exprima F ′(x) e F ′′(x) em termos das derivadas de f e ϕ.

b) Supondo que f(x) > 0, ∀x∈R e ϕ′′(x) 6= 0, ∀x∈R, mostre que os pontos de maximo de Fcoincidem com os de ϕ e os pontos de mınimo de F coincidem com os pontos de mınimo de ϕ.

c) Mostre por meio de um exemplo que, omitindo a hipotese f(x) > 0, ∀x∈R, F pode admitirmaximos e mınimos em pontos onde ϕ nao admita extremos.

(Grupo II do Exame de 2a epoca de 7/2/79)

6.48 Seja f uma funcao contınua em R e φ o seu integral indefinido com origem no ponto 0.

a) Se φ tem maximo no ponto a, qual e o valor de f(a)? Justifique cuidadosamente a resposta.

b) Prove que, se φ(c) = 0, sendo c 6= 0, f tem pelo menos uma raiz real, com o mesmo sinal de c.

c) Mostre que, sendo a > 0 e I = [0, a],

maxx∈I

|φ(x)| ≤ amaxx∈I

|f(x)|

e de um exemplo de uma funcao f para a qual se verifique a igualdade, qualquer que seja oponto a > 0.


Resolucao:

a) Sendo f contınua em R, φ(x) =∫ x

0 f(t) dt e diferenciavel em R, sendo φ′(x) = f(x). Ora seuma funcao φ e diferenciavel em R e tem um maximo em a entao necessariamente φ′(a) = 0,pelo que f(a) = 0.

b) O teorema do valor medio e a continuidade de f garantem que existe um α no intervalo deextremos 0 e c tal que

∫ c

0 f(t) dt = f(α)(c − 0). Ora, se φ(c) = 0, entao f(α)c = 0 e, comoc 6= 0, tem-se f(α) = 0. Como α esta no intervalo entre 0 e c, tem o sinal de c.

c) Para todo o x ∈ I tem-se |φ(x)| =∣

∣

∫ x

0 f(t) dt∣

∣ ≤∫ x

0 |f(t)| dt ≤∫ a

0 |f(t)| dt ≤ amaxt∈I |f(t)|.Logo maxt∈I |φ(x)| ≤ amaxt∈I |f(t)|. Qualquer funcao constante verifica a igualdade.

6.49 Supondo que f e uma funcao diferenciavel em R e tal que, para qualquer x ∈ R, os valoresf(x) e f ′(x) sao ambos negativos, considere a funcao g definida em R pela formula:

g(x) =

∫ x2−4x+3

0

f(t) dt.

1. Determine os intervalos em que g e monotona, os seus pontos de maximo ou de mınimo e asraızes da equacao g(x) = 0. Estude ainda o sentido da concavidade do grafico de g.

2. A funcao g e majorada? E minorada? Justifique.


121


6.50 Sendo ϕ uma funcao contınua e positiva em R e

Ψ(x) =

∫ x2

x

ϕ(t) dt, ∀x∈R.

1. Estude o sinal de Ψ(x).

2. Justifique que Ψ e diferenciavel e calcule Ψ′.

3. Prove que Ψ e estritamente decrescente no intervalo ] −∞, 0[.

4. Justifique que Ψ tem mınimo (absoluto) e, designando esse mınimo por m, prove que severifica necessariamente a relacao:

|m| ≤ 1

4maxx∈[0,1]

ϕ(x).


6.51 Sendo ϕ(x) = 1−cosxx2 se x 6= 0 e ϕ(0) = 0, considere a funcao g, definida pela formula:

g(x) =∫ x

0ϕ(u) du (x ∈ R). Nestas condicoes:

1. Justifique que a funcao g e ımpar.

2. Determine g′(x) para x 6= 0 e ainda g′(0); justifique as respostas.

3. Indique as abcissas dos pontos em que o grafico de g tem tangente horizontal. Justifique queg e estritamente crescente.

4. Justifique que g e limitada.


6.52 Justifique que a formula

ϕ(x) =

∫ x2

0

e−√t dt

define uma funcao ϕ : R → R. Mostre que ϕ e uma funcao par. Calcule a derivada de ϕ nos seuspontos de diferenciabilidade, e estude ϕ quanto ao crescimento e convexidade.

Sendo a um numero positivo tal que ex > x4 para todo o x > a, determine em funcao de a,um majorante do limx→+∞ ϕ(x).

(Grupo IVb da Prova de 18/9/79)

6.53 Seja f uma funcao contınua em R e tal que f(x) > 0 qualquer que seja x ∈ R e seja

g(x) =

∫ x

0

f(t) dt, ∀x∈R.

a) Justifique que g e diferenciavel em R. Qual e o valor da derivada de g num ponto a ∈ R?

b) Mostre que g e estritamente crescente e que, para todo o x ∈ R \ {0}, xg(x) > 0.

c) Prove que, se f(x) tem limite positivo quando x→ +∞, entao limx→+∞ g(x) = +∞ e mostre,por meio de exemplos, que, se f(x) tender para zero quando x→ +∞, o limite de g(x) quandox → +∞ pode ser finito ou +∞.


122


6.54 Seja f uma funcao contınua em R e seja g a funcao definida pela formula

g(x) =

∫ x+1

0

f(t) dt, ∀x∈R.

a) Justifique que g e diferenciavel em R e indique, justificando, o valor de g′(x).

b) Prove que, se limx→+∞ f(x) = 0, entao tambem limx→+∞[g(x) − g(x− 1)] = 0.

c) Mostre, por meio de um exemplo, que pode verificar-se a igualdade

limx→+∞

[g(x) − g(x− 1)] = 0

sem que f(x) tenha limite quando x → +∞.


6.55 Seja f uma funcao contınua em R e g a funcao definida em R \ {0} pela igualdade

g(x) =1

x

∫ x

0

f(t) dt.

a) Indique o valor de limx→0 g(x). Justifique cuidadosamente a resposta.

b) Prove que g e uma funcao constante (em R \ {0}) se e so se f tambem o e (em R).

c) Prove que o contradomınio de g esta contido no de f .

d) Sendo α um dado numero real, de um exemplo de uma funcao f (contınua em R) sem limitequando x → +∞ e tal que limx→+∞ g(x) = α.


Resolucao:

a) Como f e contınua em R, o seu integral indefinido e diferenciavel usando o Teorema Funda-

mental do Calculo, permitindo usar a regra de Cauchy para obter:

limx→0

g(x) = limx→0

∫ x

0f(t) dt

x= lim

x→0

f(x)

1= f(0).

b) Se g for constante e igual a k vem:∫ x

0 f(t) dt = kx e por derivacao f(x) = k para todo o x ∈ R.Reciprocamente, se f for constante o calculo do integral permite obter que g toma o mesmovalor constante.

c) Se α pertence ao contradomınio de g entao existe β ∈ R\{0} tal que α = g(β) e portanto, usando

o teorema do valor medio e a continuidade de f vem α = 1β

∫ β

0 f(t) dt = 1β (β − 0)f(ξ) = f(ξ);

logo α pertence ao contradomınio de f .

d) Seja f(t) = α+ cos t. Entao nao existe limt→+∞ f(t) e, no entanto,

limx→+∞

1

x

∫ x

0

(α+ cos t) dt = α+ limx→+∞

senx

x= α.

123


6.56 Considere a funcao f(x) =∫ 3x

xcos tt dt.

a) Determine o seu domınio e mostre que e par.

b) Mostre ainda que e diferenciavel e calcule a sua derivada.

c) Mostre que existe um ε > 0 tal que f |]0,ε[ e monotona e limitada.

d) Que pode concluir quanto a existencia de limite da funcao f na origem?


6.57 Seja f uma funcao real definida e diferenciavel no intervalo [0,+∞[ e tal que:

f(0) = 0; limx→+∞

f(x) = +∞; f ′(x) > 0 ∀x∈[0,+∞[.

1. Mostre que f−1 e integravel no intervalo [0, b], ∀b>0.

2. Prove (analiticamente) que, qualquer que seja t ∈ [0,+∞[

tf(t) =

∫ t

0

f +

∫ f(t)

0

f−1

e aproveite o resultado para mostrar que, quaisquer que sejam a, b ∈ [0,+∞[

ab ≤∫ a

0

f +

∫ b

0

f−1.


PSfrag replacements

y

x

b

a

f(a)

f−1(b)

PSfrag replacements

y

x

b

a

f(a)

f−1(b)

Figura 6.1: Os casos b > f(a) e b < f(a).

Resolucao:

1. Nas condicoes do enunciado, f e uma funcao estritamente crescente e contınua em [0,+∞[.Alem disso, como limt→+∞ f(t) = +∞ e f(0) = 0, o teorema do valor intermedio garanteque o seu contradomınio e [0,+∞[. Assim, existe f−1 : [0,+∞[→ [0,+∞[. Pelo teorema decontinuidade da inversa, f−1 tambem e contınua e portanto integravel em qualquer intervalo[0, b] com b > 0.

124


PSfrag replacements

x

y

y = f(x)

y = f−1(x)

Figura 6.2: Simetria do grafico de uma funcao f e da sua inversa f−1 relativamente a bissectriz do1o quadrante.

2. Considere-se∫ f(t)

0f−1(u) du e facamos neste integral a mudanca de variavel u = f(v). Ob-

temos:

∫ f(t)

0

f−1(u) du =

∫ t

0

f−1(f(v))f ′(v) dv =

∫ t

0

vf ′(v) dv

= vf(v)|t0 −∫ t

0

f(v) dv = tf(t) −∫ t

0

f(v) dv.

Entao tf(t) =∫ t

0 f(v)dv +∫ f(t)

0 f−1(u) du. Se interpretarmos graficamente os numeros∫ a

0 f

e∫ b

0f−1 veremos que eles correspondem as medidas das areas a diferentes tons de cinzento

na figura 6.1.

Esta interpretacao geometrica resulta do facto dos graficos de f e f−1 se relacionarem (umavez escolhidas as mesmas unidades de medida nos dois eixos), atraves de uma simetria emrelacao a bissectriz do primeiro quadrante como se ilustra na figura 6.2.

No caso de ser b = f(a) e claro que:

ab = af(a) =

∫ a

0

f +

∫ f(a)

0

f−1 =

∫ a

0

f +

∫ b

0

f−1.

Se b > f(a):

ab = a(f(a) + b− f(a)) = af(a) + a(b− f(a))

=

∫ a

0

f +

∫ f(a)

0

f−1 +

∫ b

f(a)

f−1(f(a)) dt

≤∫ a

0

f +

∫ f(a)

0

f−1 +

∫ b

f(a)

f−1

=

∫ a

0

f +

∫ b

0

f−1,

em que no penultimo passo usamos o facto de f−1 ser crescente.

125


Se b < f(a) (e portanto f−1(b) < a):

ab = (f−1(b) + a− f−1(b))b = f−1(b)b+ (a− f−1(b))b

=

∫ f−1(b)

0

f +

∫ f(f−1(b))

0

f−1 + (a− f−1(b))b

=

∫ f−1(b)

0

f +

∫ b

0

f−1 + (a− f−1(b))b

≤∫ f−1(b)

0

f +

∫ b

0

f−1 +

∫ a

f−1(b)

f

=

∫ f−1(b)

0

f +

∫ a

f−1(b)

f +

∫ b

0

f−1

=

∫ a

0

f +

∫ b

0

f−1.

onde tambem utilizamos o teorema do valor medio, o facto de f ser crescente e a desigualdade:

∫ a

f−1(b)

f ≥ (a− f−1(b)) min[f−1(b),a]

f = (a− f−1(b))f(f−1(b)) = (a− f−1(b))b.

Se b > f(a) podemos usar o caso anterior aplicado a f−1.

6.58 a) Para cada α > 0 e cada x ≥ 0 existe∫ α

0txe−t dt. Porque?

b) Mostra-se que existe limα→+∞∫ α

0 tx−1e−t dt (para x ≥ 1) e representa-se por Γ(x). Mostreque tem lugar a relacao Γ(x+ 1) = xΓ(x) para x ≥ 1. Calcule Γ(1). O que pode dizer de Γ(n)com n ∈ N1?

(Grupo IVb da Prova de 7/74)

6.59 Sendo f uma funcao contınua em R e a ∈ R, designa-se por Iaf o integral indefinido de fcom origem no ponto a.

a) Utilizando o metodo de integracao por partes, mostre que Ia(Iaf) (que designaremos por I2af)

e dado pela seguinte expressao:

(I2af)(x) =

∫ x

a

(x − t) f(t) dt.

b) Sendo D o operador de derivacao, mostre que

D(Iaf) = f e D2(I2af) = f.

c) Supondo agora f com segunda derivada contınua em R, mostre que I2a(D

2f) e o resto daformula de Taylor resultante da aproximacao de f pelo seu polinomio de Taylor de grau ≤ 1no ponto a. [Sugestao: pode ser-lhe util o resultado obtido na alınea a) e uma nova utilizacaoda integracao por partes].


126

6.3. CALCULO DE AREAS, COMPRIMENTOS DE LINHA E VOLUMES DE SOLIDOS DE

REVOLUCAO

Resolucao:

a) Como (Iaf)(x) =∫ x

af(t) dt vem

(Ia(Iaf))(x) =

∫ x

a

(∫ t

a

f(u) du

)

dt =

∫ x

a

(1

∫ t

a

f(u) du) dt

= t

∫ t

a

f(u) du|xa −∫ x

a

tf(t) dt = x

∫ x

a

f(u) du−∫ x

a

tf(t) dt

=

∫ x

a

xf(t) dt−∫ x

a

tf(t) dt =

∫ x

a

(x − t)f(t) dt.

b)

(D(Iaf))(x) = D

(∫ x

a

f(t) dt

)

= f(x)

(D2(I2af))(x) = D2

(∫ x

a

(x− t)f(t) dt

)

=

= D2

(

x

∫ x

a

f(t) dt−∫ x

a

tf(t) dt

)

=

= D

(∫ x

a

f(t) dt+ xf(x) − x f(x)

)

= f(x)

c) Da alınea (a) temos:

(I2af

′′)(x) =

∫ x

a

(x− t)f ′′(t) dt = (x− t)f ′(t)]xa −∫ x

a

(−1)f ′(t) dt

= −(x− a)f ′(a) +

∫ x

a

f ′(t) dt = −(x− a)f ′(a) + f(x) − f(a).

Entao f(x) = f(a)+(x−a)f ′(a)+(I2af

′′)(x), o que permite concluir imediatamente que I2aD

2fe o resto da formula de Taylor referida no enunciado.

6.3 Calculo de areas, comprimentos de linha e volumes de

solidos de revolucao

6.60 Calcule a area da regiao plana definida pelas seguintes condicoes:

y < ex,

y > logx,

1 ≤ x ≤ e.


Resolucao: Como temos ex > logx para todo o x > 0 a area e dada por

∫ e

1

(ex − log x) dx = [ex − x(log x− 1)] |e1 = ee − e− 1.

127


6.61 Calcule a area da regiao plana definida pelas condicoes x2 + y2 ≤ 4 e y ≥√

3x2.

(Grupo IIb da Prova de 11/9/78)

6.62 Calcule a area da regiao do plano XOY limitada pelo grafico da funcao y = arctgx e pelasrectas de equacao x = 1 e y = 0.

(Pergunta 4a da Prova de 7/74)

6.63 Determine a area da regiao plana constituıda pelos pontos (x, y) ∈ R2 que satisfazem ascondicoes seguintes:

0 ≤ y ≤ π

4, y ≥ π

16x2, y ≤ arctgx.

(Grupo Ic da Prova de 4/2/80)

6.64 Calcule a area da regiao contida no semiplano x ≥ 0 e limitada pelas linhas de equacoesy = arctgx e y = π

4x.


6.65 Calcule a area do conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x arctgx ≤ y ≤ π4x}.

(Grupo IIc do Exame Final de 18/9/80)

6.66 Calcule a area da regiao plana limitada pelas linhas de equacoes x = 0, x = 2y e y = 11+x2 .


6.67 Determine a area do conjunto dos pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condicoes:0 ≤ x ≤ 1 e arcsenx ≤ y ≤ 2 arctgx.


6.68 Calcule a area do conjunto limitado pelos arcos das curvas de equacoes y = x2 e y = x2 cosxcompreendidos entre a origem e o ponto de menor abcissa positiva em que as duas curvas seintersectam.


Resolucao: Os pontos de interseccao dos dois graficos tem por abcissas as solucoes da equacaox2 = x2 cosx que sao x = 0 e x = 2kπ (k ∈ Z). O ponto de interseccao de menor abcissa positivae pois x = 2π. A area pedida e entao:

A =

∫ 2π

0

(x2 − x2 cosx) dx =1

3x3]2π0 −

∫ 2π

0

x2 cosx dx =8π3

3−∫ 2π

0

x2 cosx dx.

Ora∫

x2 cosx dx = x2 senx− 2

∫

x2 senx dx

= x2 senx− 2

(

x(− cosx) −∫

(− cosx) dx

)

=

= x2 senx+ 2x cosx+ senx

pelo que A = 8π3

3 − 4π.

128


REVOLUCAO

6.69 Calcule a area do conjunto dos pontos P (x, y), cujas coordenadas verificam as condicoes1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ cos(logx). (Na primitivacao pode utilizar de inıcio a substituicao x = et).


6.70 Calcule a area da regiao do plano limitada pelos arcos das curvas de equacoes:

y = logx e y = log2 x

compreendidos entre os pontos de interseccao das duas curvas.

(Grupo IIb do Exame de 2/10/80)

6.71 Calcule o valor de a ∈ [1,+∞[ por forma a que a area da parte colorida na figura 6.3 sejaigual a π.

PSfrag replacements

x

y

x2 + y2 = 1

x2 + y2/a2 = 1

Figura 6.3: A figura do exercıcio 6.71.

(Grupo Ib do Exame de 2aepoca de 7/2/79)

Resolucao: Designando a area pretendida por A temos

A =

∫ 1

−1

(

a√

1− x2 −√

1 − x2)

dx =

∫ 1

−1

(a− 1)√

1 − x2 dx

= (a− 1)

∫ 1

−1

√

1 − x2 dx = (a− 1)

∫ π2

−π2

√

1 − sen2 t cos t dt

= (a− 1)

∫ π2

−π2

cos2 t dt.

Ora∫

cos2 t dt = 12

∫

(1 + cos 2t) dt = 12 (t+ 1

2 sen 2t) pelo que:

A = (a− 1)

[

1

2(t+

1

2sen 2t)

]π2

−π2

= (a− 1)1

2

[(

π

2+

1

2sen π

)

−(

−π2

+1

2sen(−π)

)]

=π

2(a− 1).

129


Querendo que π2 (a− 1) = π tera de ser a = 3.

6.72 Calcule a area do conjunto de todos os pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condicoes:

|x| ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤√

x2 − x4.


6.73 Considere duas circunferencias de raio igual a 1, com centro nos pontos (0, 0) e (1, 0), quelimitam dois cırculos no plano.

Determine a area do conjunto reuniao desses cırculos.


6.74 Calcule a area do conjunto limitado pelos arcos das curvas de equacoes y = x senx e y =x cosx, compreendidos entre a origem e o ponto de menor abcissa positiva em que as duas curvasse intersectam.


6.75 Determine a area da “regiao” do plano definida pelas condicoes:

−√

x2 + x ≤ y ≤ 1

1 +√x+ 1

e 0 ≤ x ≤ 1.


6.76 Determine a area do conjunto de menor area limitado pela elipse de equacao:

x2

4+y2

2= 1

e pela parabola x2 = 2y.


PSfrag replacements

−2 2

1

0 x

y

y = x2/2

−√

2√

2

Figura 6.4: O conjunto no exercıcio 6.76.

130


REVOLUCAO

Resolucao: O conjunto referido e o que esta colorido na figura 6.4. Os pontos de interseccao da

parabola e da elipse tem por abcissa as solucoes da equacao x2

2 =√

2(1 − x2

4 ) que sao x =√

2 e

x = −√

2.A area pedida e pois

A =

∫

√2

−√

2

(√

2

(

1 − x2

4

)

− x2

2

)

dx =√

2

∫

√2

−√

2

√

1 − x2

4dx− 2

3

√2.

Ora

∫

√2

−√

2

√

1 −(x

2

)2

dx = 2

∫

√2

2

−√

22

√

1 − y2 dy = 2

∫ π4

−π4

cos2 t dt =

=

[

t+1

2sen 2t

]π4

−π4

=

(

π

4+

1

2

)

−(

−π4− 1

2

)

=π

2+ 1.

Logo

A =√

2

∫

√2

−√

2

√

1 − x2

4dx− 2

3

√2 =

√2(π

2+ 1)

− 2

3

√2 =

(

π

2+

1

3

)√2.

6.77 Determine a area do conjunto dos pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condicoes:y2 − x2 ≥ a2 e |y| ≤ a

√2 com a > 0.


6.78 Determine a area do conjunto de todos os pontos (x, y) cujas coordenadas verificam ascondicoes: x2 + y2 ≤ 10 e |x| + |y| ≥ 4.


6.79 Seja A o conjunto dos pontos P (x, y) cujas coordenadas verificam as condicoes:

0 ≤ y ≤ logx e x ≤ a

(onde a designa um numero real maior do que 1).

a) Calcule a area de A.

b) Calcule o comprimento da linha (formada por um arco de curva e dois segmentos de recta) que“limita” o conjunto A.


Resolucao:

a) A area de A e dada por∫ a

1logx dx = [x logx]|a1 = a loga.

b) O comprimento do arco de curva e:

C =

∫ a

1

√

1 + ((log x)′)2 dx =

∫ a

1

√

1 +1

x2dx =

=

∫ a

1

√

1 + x2

x2dx =

∫ a

1

1

x

√

1 + x2 dx.

131


PSfrag replacements

x

y

a1

1

1

0

A

y = logx

Figura 6.5: A regiao A no exercıcio 6.79.

A substituicao x =√t2 − 1 (que define uma aplicacao bijectiva e diferenciavel do intervalo

[√

2,√

1 + a2] no intervalo [1, a]) conduz a

√

1 + x2 = t,dx

dt=

t√t2 − 1

e portanto

C =

∫ a

1

1

x

√

1 + x2 dx =

∫

√1+a2

√2

t2

t2 − 1dt

=

∫

√1+a2

√2

[

1 +1

2

1

t− 1− 1

2

1

t+ 1

]

dt =

[

t+1

2log

t− 1

t+ 1

]

√1+a2

√2

=√

1 + a2 +1

2log

√1 + a2 − 1√1 + a2 + 1

−√

2 − 1

2log

√2− 1√2 + 1

.

Os dois segmentos tem comprimentos a− 1 e log a pelo que o comprimento total da linha e:

(a− 1) + log a+ C.

6.80 a) Calcule a area da regiao plana “limitada” pela curva de equacao y = log x e pela rectaque intersecta aquela curva nos pontos de abcissa 1 e e.

b) Calcule o comprimento da linha que “limita” essa regiao.


6.81 Seja A o conjunto dos pontos P (x, y) cujas coordenadas verificam a condicao:

x2 ≤ y ≤ x+ 2.

a) Calcule a area de A.

b) Calcule o comprimento da linha (formada por um segmento de recta e um arco de parabola)que “limita” o conjunto A.


132


REVOLUCAO

6.82 Considere a regiao plana limitada pelas linhas de equacao y = x+ 1 e y = (x− 1)2. Calcule:

a) a sua area;

b) o comprimento da linha que limita essa regiao.


6.83 Faca um esboco da regiao plana A definida por:

A ={

(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 − 1 ≤ y ≤ arccosx}

e determine a sua area. Calcule o comprimento da linha que limita a regiao

B = A ∩ {(x, y) : y ≤ 0}.


6.84 Faca um esboco da regiao plana definida por:

A ={

(x, y) : | senx| ≤ y ≤ ch2 x ∧ 0 ≤ x ≤ 2π}

e determine a sua area. Calcule o comprimento da linha que “limita superiormente” a regiao A(de uma forma mais precisa, a linha definida pela equacao y = ch2 x com x ∈ [0, 2π]).

Nota — Na resolucao desta questao poderao ser-lhe uteis as seguintes igualdades:

ch2 x− sh2 x = 1 e sh(2x) = 2 shx chx.


6.85 Determine o comprimento do grafico das seguintes funcoes, entre os pontos considerados:

a) y = x4

4 + 18x3 entre os pontos x = 1 e x = 2.

b) y = chx entre os pontos de abcissas 0 e x.


6.86 Calcule o comprimento do arco da curva de equacao

y =x− 3

3

√x

compreendido entre os pontos de abcissas 0 e 1.


6.87 Calcule o comprimento do arco de curva de equacao

y =x− 6

3

√

x

2

compreendido entre os pontos de abcissas 0 e 2.


133



y = log(cosx)

compreendido entre os pontos de abcissas 0 e π3 .



y =a

2

(

exa + e−

xa

)

compreendido entre os pontos de abcissas 0 e a.

(Pergunta 2c de uma Prova de Analise Matematica II)

6.90 Determine o comprimento do arco da curva de equacao

y = logex − 1

ex + 1

compreendido entre os pontos de abcissas a e b com 0 < a < b.


Resolucao: O comprimento e dado por:

∫ b

a

√

√

√

√1 +

(

(

logex − 1

ex + 1

)′)2

dx =

∫ b

a

√

1 +

(

ex + 1

ex − 1

ex(ex + 1) − ex(ex − 1)

(ex + 1)2

)2

dx

=

∫ b

a

√

1 +

(

2ex

e2x − 1

)2

dx =

∫ b

a

√

1 +4e2x

(e2x − 1)2dx

=

∫ b

a

e2x + 1

e2x − 1dx =

∫ b

a

2e2x − (e2x − 1)

e2x − 1dx

=

∫ b

a

−1 +2e2x

e2x − 1dx = a− b+ log

(

e2b − 1

e2a − 1

)

.

6.91 Seja g a funcao definida em [0, 1] por g(x) = x2. Calcule:

a) A area limitada pelo grafico de g, pelo eixo dos xx e pelas rectas de equacoes x = 0 e x = 1.

b) O comprimento do grafico de g.

c) O volume do solido de revolucao gerado pela rotacao do grafico de g em torno do eixo dos xx.

(Grupo II2 do Exame de 18/7/77)

Resolucao:

a) Como x2 ≥ 0∫ 1

0

x2 dx =1

3x3∣

∣

x=1

x=0=

1

3.

134


REVOLUCAO

PSfrag replacements

x

y1

10

y = x2

Figura 6.6: A regiao no exercıcio 6.91

b) O comprimento sera dado por (note a mudanca de variavel 2x = sh y):

∫ 1

0

√

1 + (g′(x))2 dx =

∫ 1

0

√

1 + 4x2 dx

=

∫ argsh 2

0

√

1 + sh2 y1

2ch y dy =

1

2

∫ argsh 2

0

ch2 y dy

=1

4

∫ argsh 2

0

(1 + ch 2y) dy =1

8(2y + sh2y)|y=argsh 2

y=0

=1

4argsh2 +

1

82 sh(argsh2) ch(argsh2) =

1

4argsh2 +

1

2

√5.

c) O volume sera π∫ 1

0g(x)2 dx = π

∫ 1

0x4 dx = π 1

5x5∣

∣

x=1

x=0= π

5 .

6.92 Seja ϕ a funcao definida em R por: ϕ(x) = 11+|x| .

a) Indique o domınio de diferenciabilidade de ϕ e faca um esboco do seu grafico.

b) Calcule o volume do solido gerado pela rotacao em torno do eixo dos xx do grafico da restricaoda funcao ϕ ao intervalo [−1, 1].

(Grupo IVa e c do Exame de 23/3/1977)

135


136

Capıtulo 7

Introducao a Analise em Rn

7.1 Topologia e sucessoes

7.1 Considere o subconjunto de R2: D = {(x, y) : xy > 1}.

1. Indique um ponto interior, um ponto fronteiro e um ponto exterior ao conjunto D e diga seD e aberto, fechado, limitado, conexo. Justifique abreviadamente as respostas.

2. De um exemplo de uma sucessao de termos emD que convirja para um ponto nao pertencentea D. Seria possıvel dar um exemplo de uma sucessao cujos termos nao pertencessem a D eque convergisse para um ponto deste conjunto? Porque?


PSfrag replacements

1 0

y

1

1 2 x

y = 1/x

Figura 7.1: O conjunto D no exercıcio 7.1.

137

CAPITULO 7. INTRODUCAO A ANALISE EM RN

Resolucao:

1. O conjuntoD e facil de conceber graficamente: e a regiao colorida na figura 7.1, nao incluindoos ramos de hiperbole. Um ponto interior: (2, 1); um ponto fronteiro: (1, 1); um pontoexterior: (0, 0). D e aberto, pois dado a ∈ D sempre existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊂ D. D naoe fechado pois (1, 1) ∈ D \D. D nao e limitado pois nao existe nenhuma bola que contenhaD, pois, por exemplo, (λ, λ) ∈ D para qualquer λ ≥ 1. D nao e conexo pois pode exprimir-secomo a uniao de dois conjuntos separados, concretamente D = D+ ∪D− com

D+ = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1, x > 0},D− = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1, x < 0},D+ ∩D− = ∅, D− ∩D+ = ∅.

2. (xn) = ((1 + 1n , 1 + 1

n )) e uma sucessao de elementos de D que converge para (1, 1) 6∈ D.

Nao e possıvel obter uma sucessao de termos em R2 \D que convirja para um ponto de D,pois R2 \D e fechado, logo o limite de qualquer sucessao convergente de termos em R2 \Destara necessariamente em R2 \D.

7.2 Sejam un e vn os termos gerais de duas sucessoes de termos em Rp e suponha que un convergepara o vector nulo e que vn e limitada. Nestas condicoes, prove que a sucessao real un ·vn (produtointerno de un por vn) converge para 0.


7.3 Sendo A o conjunto de Rn+1

A ={

(x1, . . . , xn, 0) ∈ Rn+1 : (x1, . . . , xn) ∈ Rn}

mostre que qualquer sucessao convergente an de termos em A tem como limite um elemento deA.

(Grupo IIIb do Exame de 2a epoca de 11/2/80)

7.4 Sejam A e B dois subconjuntos nao vazios de Rn e suponha-se que A e fechado.

1. Mostre que, se existir x ∈ Rn, uma sucessao xm de termos de A e uma sucessao ym de termosde B tais que xm → x e ym → x, entao A e B nao sao separados.

2. Mostre por meio de um exemplo que a proposicao anterior seria falsa se omitissemos ahipotese de A ser fechado.


Resolucao:

1. Com efeito, tem-se x ∈ A = A (A e fechado) e, por outro lado, x ∈ B, logo x ∈ A∩B dondeA e B nao sao separados.

2. Basta considerar A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x < 0} e xm = (− 1m , 0),

ym = ( 1m , 0) pois xm → (0, 0) e ym → (0, 0). A e B sao porem separados.

7.5 Sejam xn e vn os termos gerais de duas sucessoes em Rp e admita que xn converge para z eque, qualquer que seja n ∈ N, ‖xn − yn‖ < 1

n . Nestas condicoes:

138

7.1. TOPOLOGIA E SUCESSOES

1. Justifique que yn converge para z.

2. Supondo que A ⊂ Rp e tal que xn ∈ A e yn 6∈ A (qualquer que seja n), justifique que z e umponto fronteiro do conjunto A.


7.6 1. Sejam A e B dois subconjuntos fechados de Rn verificando a condicao seguinte: qualquer

que seja n ∈ N1 existem pontos xn ∈ A e yn ∈ B tais que ‖xn − yn‖ < 1n . Prove que se um

dos conjuntos A ou B for limitado, entao A ∩ B 6= ∅.2. De um exemplo (em R2, se preferir) de conjuntos A, B fechados, disjuntos e tais que para

todo o ε > 0 existam pontos x ∈ A e y ∈ B verificando a condicao ‖x− y‖ < ε.


PSfrag replacements

1 0

x2

1

1 x1

A

B

Figura 7.2: Possıveis conjuntos A e B na solucao da alınea (b) do exercıcio 7.6.

Resolucao:

1. Suponhamos que A e limitado; entao A e um conjunto limitado e fechado pelo que e possıvelextrair de (xn) uma subsucessao convergente para certo x ∈ A. Seja (xnr

) uma tal sub-sucessao e provemos que (yn) tambem admite uma subsucessao convergente para x. Comefeito, estimando a distancia de ynr

a x:

‖ynr− x‖ = ‖ynr

− xnr+ xnr

− x‖ ≤ ‖ynr− xnr

‖ + ‖xnr− x‖

≤ 1

nr+ ‖xnr

− x‖ −→ 0, logo ynr→ x.

Como A e B sao fechados, tem-se x ∈ A ∩ B.

2. Basta considerar

A = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x1x2 ≥ 1},B = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x1x2 ≤ −1}.

Com efeito, como limx1→+∞1x1

= 0, dado ε > 0 basta tomar x1 >1ε para que se tenha:

‖(x1, 1/x1) − (x1,−1/x1)‖ = ‖(0, 2/x1)‖ =2

|x1|< 2ε

e (x1, 1/x1) ∈ A, (x1,−1/x1) ∈ B.

139


7.2 Continuidade e limites

7.7 Considere a funcao g : R2 → R2 cujas funcoes coordenadas, g1 e g2, sao definidas pelo sistema:

g1(x, y) =√

1 − x2 − y2

g2(x, y) = log |y − x2|e designe porD o seu domınio. Represente geometricamente o conjuntoD, determine o seu interiore a sua fronteira e indique, justificando, se D e aberto, fechado, limitado, conexo.

(Grupo IIb do Exame Final de 18/9/79)

7.8 Sendo g uma aplicacao de A em B e C um subconjunto de B; designa-se correntemente porg−1(C) o conjunto de todos os elementos x ∈ A tais que g(x) ∈ C.

Considere uma funcao contınua f : Rn → Rm e um conjunto C ⊂ Rm e prove que:

1. Se C e aberto, f−1(C) e aberto.

2. Se C e fechado, f−1(C) e fechado.

Mostre ainda que, sendo C conexo e limitado, f−1(C) pode ser desconexo e ilimitado.


7.9 Considere a funcao f definida pela formula

f(x, y) =√

−y2 + sen2 x

e designe por D o seu domınio.

a) Interprete geometricamente o conjunto D e determine a sua fronteira e o seu interior.

b) Justificando abreviadamente as respostas, indique se D e aberto, fechado, limitado. O interiorde D e conexo? Porque?

c) Estude a funcao f , do ponto de vista da continuidade. Justifique que, em qualquer ponto(x, y) ∈ D, se verificam as desigualdades: 0 ≤ f(x, y) ≤ 1 e ainda que, qualquer que seja asucessao (xn, yn) de pontos de D, a sucessao real f(xn, yn) tem subsucessoes convergentes.


Resolucao:

a) A funcao esta definida se e so se o argumento da raiz quadrada for nao negativo, isto e,

D ={

(x, y) ∈ R2 : −y2 + sen2 x ≥ 0}

={

(x, y) ∈ R2 : y2 ≤ sen2 x}

={

(x, y) ∈ R2 : |y| ≤ | senx|}

.

O conjunto D corresponde a regiao colorida na figura 7.3. Designando por ∂D a sua fronteirae intD o seu interior temos:

∂D ={

(x, y) ∈ R2 : y = senx ou y = − senx}

,

intD ={

(x, y) ∈ R2 : |y| < | senx|}

.

b) D nao e aberto pois contem pontos, por exemplo (0, 0), que nao sao centro de nenhuma bolacontida em D; D e fechado pois contem todos os seus pontos fronteiros; D nao e limitado poisnao existe r > 0 tal que Br(0) tal que D ⊂ Br(0); intD nao e conexo pois, por exemplo, intD =A∪B com A =

{

(x, y) ∈ R2 : x > 0 e |y| < | senx|}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : x < 0 e |y| < | senx|}

que sao dois conjuntos separados.

140

7.2. CONTINUIDADE E LIMITES

PSfrag replacements

D

1

−1

y

x

2π

Figura 7.3: O domınio D da funcao f no exercıcio 7.9.

c) f e contınua em D pois e uma composicao de funcoes contınuas:

D

g−−−−−−−−−−−−→(x,y) 7→−y2+sen2 x

R+

ϕ−−−−−→u 7→√

u

R, f = ϕ ◦ g.

Se (x, y) ∈ D tem-se sen2 x ≥ y2 e como 1 ≥ sen2 x ≥ y2 vem 1 ≥ sen2 x ≥ sen2 x − y2 ≥ 0;

como 0 ≤ −y2 + sen2 x ≤ 1, tambem f(x, y) =√

−y2 + sen2 x verifica 0 ≤ f(x, y) ≤ 1 peloque a sucessao (f(xn, yn)) tem termos em [0, 1], logo, do teorema de Bolzano-Weierstrass temuma subsucessao convergente.

7.10 Prove que :

a) Se K e um conjunto compacto e nao vazio de Rn, para cada funcao f , contınua em K e talque f > 0, existe α > 0 tal que f(x) > α, ∀x∈K .

b) Se K ⊂ Rn nao for limitado ou nao for fechado, existem funcoes contınuas e positivas emK, para as quais a propriedade anterior nao e valida.


Resolucao:

a) Se K e compacto e a funcao real f e contınua em K segue do teorema de Weierstrass que oconjunto f(K) e compacto. Em particular, f(K) 6= ∅ e limitado logo tem ınfimo finito e, comoe fechado, esse ınfimo e o mınimo. Se o designarmos por β e escolhermos α com β > α > 0obtemos o resultado.

b) Seja K1 = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : ‖x‖ ≤ 1, x1 > 0} e f(x) = ‖x‖, ∀x ∈ K1. A funcao fe contınua e positiva. O conjunto K1 e limitado mas nao e fechado e f(ε, 0, . . . , 0) = |ε| → 0quando ε→ 0.

Seja agora K2 = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 1} e g(x) = 1‖x‖ , ∀x ∈ K2. A funcao g tambem

e contınua e positiva. O conjunto K2 nao e limitado mas e fechado e g(1/ε, 0, . . . , 0) = |ε| → 0quando ε→ 0.

141


7.11 Seja A um subconjunto nao vazio de Rn e b ∈ Rn; chama-se distancia do ponto b ao conjunto

A — designada por d(b, A) — ao ınfimo do conjunto formado pelas distancias de b a todos ospontos de A:

d(b, A) = inf {‖x− b‖ : x ∈ A} .Tendo em conta esta definicao:

a) Justifique que, se b ∈ A, d(b, A) = 0 e mostre por meio de um exemplo (que podera ser dadoem R ou R2, se o preferir) que pode ter-se d(b, A) = 0 sem que seja b ∈ A.

b) Prove que se A e fechado e se d(b, A) = 0 entao b ∈ A.

c) Justifique que, se A e nao vazio, limitado e fechado existe um ponto a ∈ A tal que d(b, A) =‖a− b‖. [Sugestao: tenha em conta a continuidade da aplicacao x → ‖x− b‖].

d) Prove que o resultado da alınea anterior e ainda verdadeiro, supondo apenas que A e fechadoe nao vazio.

7.12 Seja f a funcao definida em R2 pela formula

f(x, y) =

{

3, se x2 + y2 ≤ 1

a+ e− 1

|x2+y2−1| , se x2 + y2 > 1.

Determine o numero real a por forma a que f fique contınua em R2.


Resolucao: Seja (x, y) ∈ R2 um ponto verificando x2 + y2 = 1. Como se tem imediatamente

lim(x,y)→(x,y)

x2+y2≤1

f(x, y) = 3

ha que determinar a por forma a que

lim(x,y)→(x,y)

x2+y2>1

f(x, y)

tambem seja igual a 3. Ora

lim(x,y)→(x,y)

x2 + y2 = x2 + y2 = 1,

lim(x,y)→(x,y)

e− 1

|x2+y2−1| = 0

e, portanto,lim

(x,y)→(x,y)

x2+y2>1

f(x, y) = a+ limu→0u>0

e−1u = a,

pelo que deve ser a = 3.

7.13 Seja f a funcao definida pela formula:

f(x, y) = x log(xy)

a) Indique o domınio D de f , interprete-o geometricamente e determine o seu interior, o seu ex-terior e a sua fronteira; indique, justificando se D e

142

7.2. CONTINUIDADE E LIMITES

1o) aberto 2o) fechado 3o) limitado 4o) conexo.

b) A funcao f e contınua em todo o seu domınio? Justifique.

c) Mostre que, sendo S uma semirecta com origem no ponto (0, 0) e contida no domınio D de f ,o limite de f na origem relativo ao conjunto S,

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈S

f(x, y)

toma o mesmo valor para toda a semirecta nas condicoes indicadas.

d) Mostre que nao existe lim(x,y)→(0,0) f(x, y). [Sugestao: pesquise o limite relativo ao subcon-

junto de D formado pelos pontos que pertencem a linha de equacao y = e−1

x2 ].

7.14 Mostre que nao existe lim(x,y)→(0,0)xy

x3+y2 .


Resolucao: Basta encontrar duas curvas Γ1, Γ2 passando por (0, 0) de forma a que

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ1

xy

x3 + y26= lim

(x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ2

xy

x3 + y2.

Com Γ1 = {(x, y) : y = x} e Γ2 = {(x, y) : y = −x} obtem-se:

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ1

xy

x3 + y2= lim

x→0

x2

x3 + x2= 1,

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ2

xy

x3 + y2= limx→0

−x2

x3 + x2= −1.

7.15 Considere a funcao f : D → R definida por f(x, y) = 1/√xy − 1 onde D = {(x, y) : xy > 1}.

1. Indique, justificando, os pontos em que f e contınua.

2. Existira algum ponto fronteiro ao conjunto D ao qual f possa prolongar-se por continuidade?Porque?

3. Indique, justificando, o contradomınio de f .


7.16 Considere uma aplicacao f : D ⊂ Rn → Rm. Mostre que se existirem numeros reais positivosc, p, ε tais que:

x ∈ Bε(a) ∩D =⇒ ‖f(x) − f(a)‖ ≤ c‖x− a‖p

entao a aplicacao f e contınua em a.

7.17 Considerando f : R → R definida por:

f(x) =

{

(log |x|)−1, se 0 < x < 1,

0, se x = 0,

prove que a condicao do problema anterior nao e necessaria para continuidade num ponto.

143


7.18 Estude quanto a continuidade a funcao f de R2 com valores em R definida por:

f(x, y) =

x2, se x2 + y2 < 2y,

|x|, se x2 + y2 = 2y,

y2, se x2 + y2 > 2y.

(Prova de Analise Matematica III de 27/4/81)

7.19 Considere a funcao f : R2 → R definida por:

f(0, 0) = 0

f(x, y) =y − 2x2

(x2 + y2)12

, se (x, y) 6= (0, 0)

a) Prove que esta funcao nao e contınua em (0, 0).

b) Considere a restricao desta funcao ao conjunto D = {(x, y) : |y| ≤ x2}. Prove que estarestricao de f e contınua em (0, 0).

c) Verifique que a conclusao da alınea anterior nao seria valida se, em vez da restricao a D,

considerassemos a restricao a Dk = {(x, y) : |y| ≤ |x|k } (k ∈ R+).

7.3 Diferenciabilidade

7.20 Seja f a funcao definida pela expressao f(x, y) =√

x/(x+ y).

a) Determine o domınio D de f e interprete-o geometricamente.

b) Indique o interior, exterior e fronteira de D. Sera D aberto? E fechado?

c) Justifique que D nao e limitado nem conexo.

d) De um exemplo de uma sucessao de elementos deD que convirja para um ponto nao pertencentea D.

e) Calcule ∂2f∂x2 (a, 0) sendo a ∈ R, a 6= 0.


7.21 Considere uma funcao real f , definida em R2 e tal que, para (x, y) 6= (0, 0),

f(x, y) = 1 + xyx2 − y2

x2 + y2.

1. Se f for contınua na origem, qual sera o valor de f(0, 0)? Justifique.

2. Calcule ∂f∂x(a, 0) e ∂f

∂y (a, 0), onde a e um numero real (para o caso a = 0, suponha f(0, 0) = 1).


7.22 Determine o domınio e calcule as derivadas parciais de cada uma das seguintes funcoes:

a) f(x, y) =x sh y

√

x2 + y2, b) g(x, y) =

∫ x2y

1

e−t2

dt.


144

7.3. DIFERENCIABILIDADE

7.23 Seja g uma funcao diferenciavel em R e G(x, y) =∫ xy2

0 g(t) dt. Calcule

∂2G

∂x2e∂2G

∂y2.

(Grupo IIIb do Exame de 23/2/79)

7.24 Seja f a funcao definida pela expressao

f(x, y, z) = e− 1

x2+y2+z2 .

a) Determine o domınio D de f e interprete-o geometricamente.

b) Indique o interior, exterior e fronteira de D. Sera D aberto? E fechado?

c) De um exemplo de uma sucessao de elementos de D que nao tenha subsucessoes convergentes.

d) Estude a funcao f quanto a diferenciabilidade, calcule as funcoes derivadas parciais e calculeainda f ′

(1,−1,e)(0, 0, 1).

(Grupo I da Repeticao do 2o Teste de 22/9/78)

7.25 Seja a = (a1, a2, . . . , an) um vector unitario de Rn e F (x) = ea·x para todo o x =(x1, . . . , xn) ∈ Rn.

a) Justifique que F e diferenciavel em Rn e calcule as (primeiras) derivadas parciais de F no ponto0 = (0, 0, . . . , 0).

b) Justifique que a derivada F ′(0) e a aplicacao ϕ : Rn → R tal que ϕ(x) = a · x, para todo ox ∈ Rn.

c) Quanto vale o limite limx→0ea·x−1−a·x

‖x‖ ? Porque?

d) Verifique que ∂2F∂x2

1+ · · · + ∂2F

∂x2n

= F .

(Grupo II duma Prova de Analise II)

Resolucao:

a) F e uma funcao composta de duas funcoes diferenciaveis, logo e diferenciavel: F = f ◦ ϕ comx 7→ ϕ(x) = a · x e u 7→ f(u) = eu. Como a · x = a1x1 + · · · + anxn

∂F

∂xi(x) =

df

du(a · x)

∂ϕ

∂xi(x) = ea·xai para i = 1, . . . , n.

No ponto 0 vem: ∂F∂xi

(0) = ai.

b) Sendo h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn a a derivada de F em 0 e a aplicacao linear de Rn em R definidapor

DF (0)h =[

∂F∂x1

(0) · · · ∂F∂xn

(0)]

h1

...hn

= a · h.

145


c) Como F e diferenciavel em 0, da definicao de diferenciabilidade vem

limx→0

F (x) − F (0) −DF (0)x

‖x‖ = limx→0

ea·x − 1 − a · x‖x‖ = 0.

d) Como, para cada i = 1, . . . , n,

∂2F

∂x2i

(x) =∂

∂xi

(

∂F

∂xi(x)

)

=∂

∂xi(ea·x ai) = ea·x a2

i

obtemos

∂2F

∂x21

(x) + · · · + ∂2F

∂x2n

(x) = ea·x (a21 + · · · + a2

n

)

= ea·x ‖a‖2 = ea·x = F (x).

7.26 Seja Q o conjunto dos racionais. Uma aplicacao f de R2 em R e definida por:

f(x, y) =

0, se x = 0,

x2 + y2, se x 6= 0 e yx ∈ Q,

−(x2 + y2), se x 6= 0 e yx 6∈ Q,

a) Esta funcao e diferenciavel na origem? Justifique.

b) Indique o conjunto dos pontos onde f e diferenciavel.

c) Dado um ponto (a, b) ∈ R2 indique quais sao os vectores h 6= (0, 0) para os quais existe f ′h(a, b).

(Prova de Analise Matematica III de 1978)

7.27 Seja f : R2 → R definida por:

f(x, y) =

{

√

x2 + y2, se x+ y > 0,

x+ y, se x+ y ≤ 0,

a) Estude a diferenciabilidade de f em (0, 0).

b) Determine, caso existam, as derivadas segundo o vector (1, 1) nos pontos (1, 1) e (1,−1).


7.28 Seja g a funcao definida em R2 pela expressao:

g(x, y) =

{

x+ y, se xy > 0,

0, se xy ≤ 0.

a) Calcule ∂g∂x (0, 0) e ∂g

∂y (0, 0).

b) Calcule g′(1,1)(0, 0). Que pode concluir quanto a diferenciabilidade de g no ponto (0, 0)?

(Grupo II1 da Repeticao do 2o Teste de 22/9/78)

146


Resolucao:

a) Nao podemos usar as regras de derivacao usuais para calcular as derivadas parciais na origemmas, notando que a funcao e identicamente nula sobre os eixos coordenados, concluımos, usandoa definicao de derivada parcial, que as derivadas parciais de g sao nulas em (0, 0).

b) Por definicao,

g′v(a) = lim

t→0

g(a + tv) − g(a)

t,

logo

g′(1,1)(0, 0) = limt→0

g((0, 0) + t(1, 1)) − g(0, 0)

t= limt→0

g(t, t)

t= lim

t→0

2t

t= 2.

Pode concluir-se que g nao e diferenciavel em (0, 0) pois, se o fosse, ter-se-ia:

g′v(0, 0) = ∇g(0, 0) · v =

∂g

∂x(0, 0)v1 +

∂g

∂y(0, 0)v2

para qualquer v = (v1, v2) ∈ R2. Ora g′(1,1)(0, 0) = 2 mas ∇g(0, 0) = 0.

7.29 Considere a funcao de R2 com valores em R definida por:

f(x, y) =

{

xk yx2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0),

com k ∈ Z. Estude f quanto a sua diferenciabilidade em (0, 0) em funcao do parametro k.


7.30 Seja ϕ uma funcao real diferenciavel em R2 e tal que:

ϕ(x, y) = ϕ(y, x) ∀(x,y)∈R2

1. Prove que, em qualquer ponto (a, b) ∈ R2, se verifica a igualdade

∂ϕ

∂x(a, b) =

∂ϕ

∂y(b, a).

2. Calcule ∂ϕ∂v (c, c) com c ∈ R e v = (1,−1).


7.31 Considere a funcao f(x, y) = arctg(

xy

)

.

1. Determine o seu domınio, D, e mostre que f e diferenciavel em todos os pontos de D.

2. Calcule f ′x(x, y) e f ′

y(x, y).

3. Determine f ′(h,h)(1, 1) com h 6= 0.

4. Mostre que f nao e prolongavel por continuidade a nenhum ponto da fronteira de D.

(Grupo IIa do Exame de 2a epoca de 11/2/80)

7.32 Seja f a funcao definida em R2 por: f(x, y) =√

|xy|.

147


a) Calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 0).

b) Verifique se f e ou nao diferenciavel no ponto (0, 0).

c) Indique, justificando, qual o domınio de diferenciabilidade de f .

d) Verifique se existe derivada de f segundo o vector (1, 1) nos seguintes pontos: (0, 0) e (3, 5).No caso de existir alguma delas indique o seu valor.


7.33 Considere as funcoes f , g, u, v : R2 → R definidas por: f(x, y) =√x+ log(cos y), g(x, y) =√

senx+ log(y2 − 1), u(x, y) = log(y/x) + arcsen(x2 + y2), v(x, y) = log(x2 − y2).

a) Determine o domınio de cada uma destas funcoes. Indique o interior, fronteira, exterior decada um daqueles conjuntos e classifique-os quanto a serem abertos ou fechados.

b) Estude cada uma das funcoes quanto a diferenciabilidade.

c) Calcule, caso existam:

D(h1,h2)f(π

4,π

4

)

, D(2,−1)g(π

3,π

3

)

,

D(1,1/2)u

(

1

2,1

2

)

, D(1,3)v(1, 0).

(Provas de Analise Matematica III de 17/12/80, 5/1/81, 27/2/81 e 7/81)

7.34 Sendo n um numero natural maior do que 2, considere a funcao ϕ, definida em R \ {0} pelaformula:

ϕ(x) = ‖x‖2−n(

‖x‖ =√

x21 + · · · + x2

n

)

.

a) Justifique que ϕ e diferenciavel em todos os pontos do seu domınio.

b) Calcule as primeiras derivadas parciais de ϕ no ponto (1, 0, . . . , 0) e a derivada de ϕ no mesmoponto segundo o vector v = (v1, v2, . . . , vn).

c) Verifique que, em qualquer ponto do domınio de ϕ,

n∑

j=1

∂2ϕ

∂x2j

= 0.


Resolucao:

a) As derivadas parciais ∂ϕ∂xj

(x) = (2−n)‖x‖1−n‖x‖−1xj = (2−n)‖x‖−nxj existem e sao contınuas

em Rn \ {0}, logo ϕ e aı diferenciavel.

b)

∂ϕ

∂xj(1, 0, . . . , 0) = (2 − n)δ1j , onde δ1j =

{

1, se j = 1,

0, se j 6= 1.

ϕ′v(x) =

n∑

j=1

∂ϕ

∂xj(x)vj = (2 − n)‖x‖−n

n∑

j=1

xjvj .

Logo ϕ′v(1, 0, . . . , 0) = (2 − n)v1.

148


c)

∂2ϕ

∂x2j

(x) =∂

∂xj

(

∂ϕ

∂xj

)

=∂

∂xj

(

(2 − n)‖x‖−nxj)

= (2 − n)

[(

∂

∂xj‖x‖−n

)

xj + ‖x‖−n]

= (2 − n)(

−n‖x‖−n−1‖x‖−1xjxj + ‖x‖−n)

= (2 − n)‖x‖−n(

−n‖x‖−2x2j + 1

)

.

Logo:

n∑

j=1

∂2ϕ

∂xj(x) = (2 − n)‖x‖−n

−n‖x‖−2n∑

j=1

x2j + n

= (2 − n)‖x‖−n(−n+ n) = 0.

7.35 Seja F a funcao definida por F (x, y) =∫ x2y

ydt

log t .

a) Determine o domınio de F e diga, justificando, se ele e aberto, fechado, compacto ou conexo.

b) Justifique que F e diferenciavel em todo o seu domınio e calcule as funcoes derivadas parciais.

(Grupo IV do Exame Final de 9/10/78)

7.36 Considere a funcao

g(x, y) =

∫ xy2−x

y+2

f(t)

tdt

em que f : R → R e uma funcao contınua e positiva em R.

1. Represente geometricamente o seu domınio D. Determine o seu interior e a sua fronteira eindique, justificando, se D e aberto, fechado, limitado, conexo.

2. Indique, justificando, o domınio de diferenciabilidade de g e calcule as suas derivadas parciais.

(Grupo IIIa do Exame de 2a epoca de 11/2/80)

7.37 Seja G uma funcao de R2 em R, diferenciavel em R2 e sejam a e b numeros reais, com a < b.

a) Mostre que, se G(a, a) = G(b, b), entao existe c ∈ ]a, b[ tal que G′(h,h)(c, c) = 0, qualquer que

seja h ∈ R, h 6= 0. [Sugestao: Na resolucao desta alınea podera ser-lhe util aplicar o Teorema

de Rolle].

b) Mostre por meio de um exemplo que a proposicao enunciada na alınea (a) seria falsa se seomitisse a hipotese de diferenciabilidade de G.

(Grupo IV da Repeticao do 2o Teste de 22/9/78)

149


7.38 Seja F : D ⊂ R2 → R2 definida por:

F (x, y) =

(

x y

1 − x2 − y2,

√

y2 − x

x

)

a) Determine o domınio de diferenciabilidade de F . Justifique.

b) Calcule a derivada dirigida D(1,1)F (1, 2). Justifique o seu processo de calculo.

7.39 Considere as funcoes definidas em R2 com valores em R por:

fp(x, y) = yp−1D(x), p ∈ {1, 2, 3},

em que

D(x) =

{

1, se x 6∈ Q,

0, se x ∈ Q.

a) Estude quanto a continuidade f1, f2, f3.

b) Calcule as derivadas parciais de f3 e indique o seu domınio.

c) Mostre que ∂f3∂y e contınua na origem e existe em R2.

d) Usando o resultado anterior e a existencia de ∂f3∂x (0, 0) mostre que f3 e diferenciavel em (0, 0).

e) Considere g : R3 → R definida por: g(x, y, z) = f3(x, y)D(z). Pode usar o resultado utilizadoem (d) para provar que g e diferenciavel em (0, 0, 0)?

f) Prove que g e diferenciavel em (0, 0).

7.40 Seja f uma funcao real definida em R2 por:

f(x, y) =

{

x3

x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0).

a) Mostre que f e contınua em todo o seu domınio.

b) Estude f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0).

c) Indique o maior subconjunto de R2 onde existem e sao iguais as derivadas parciais de segundaordem f ′′

xy e f ′′yx. Justifique.


7.41 Dada a funcao f : R2 → R definida por:

f(x, y) =

{

y x2−y2

x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0),

calcule, quando existirem, as derivadas parciais D1,2f(0, 0) e D2,1f(0, 0). Depois de efectuados oscalculos conclua justificadamente sobre a continuidade de D1,2f em (0, 0).

(Prova de Analise Matematica III)

150

7.4. TEOREMA DA DERIVACAO DA FUNCAO COMPOSTA

Resolucao: Comecamos por calcular D1f(x, y) e D2f(x, y). Se (x, y) 6= (0, 0) tem-se:

D1f(x, y) = y2x(

x2 + y2)

−(

x2 − y2)

2x

(x2 + y2)2 =

4xy3

(x2 + y2)2

D2f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2+ y

−2y(

x2 + y2)

−(

x2 − y2)

2y

(x2 + y2)2 =

x2 − y2

x2 + y2− 4x2y2

(x2 + y2)2

No ponto (0, 0):

D1f(0, 0) = limh→0

f(h, 0)

h= 0

D2f(0, 0) = limh→0

f(0, h)

h= limh→0

1

hh−h2

h2= −1

Daqui sai:

D1,2f(0, 0) = limh→0

D2f(h, 0)−D2f(0, 0)

h= limh→0

1 − (−1)

h= ∞,

D2,1f(0, 0) = limh→0

(D1f) (0, h) −D1f(0, 0)

h= lim

h→0

0− 0

h= lim

h→0

0

h= lim

h→00 = 0.

E evidente que D1,2f nao e contınua em (0, 0). Pode observar-se que tambem nao e contınuana origem a derivada D2,1f ; com efeito, existindo D1f(x, y), D2f(x, y) e D2,1f(x, y) em todos ospontos de uma vizinhanca da origem, se D2,1f fosse contınua em (0, 0) deveria ter-se D1,2f(0, 0) =D2,1f(0, 0).

7.42 Seja T : Rn×Rm → Rp uma aplicacao bilinear, i.e., para todos os αi ∈ R, xi ∈ Rn, yi ∈ Rp,(i = 1, 2):

T (α1x1 + α2x2, y1) = α1T (x1, y1) + α2T (x2, y1)

T (x1, α1y1 + α2y2) = α1T (x1, y1) + α2T (x1, y2).

a) Mostre que existe M > 0 tal que:

‖T (x, y)‖ ≤M‖x‖‖y‖ ∀x∈Rn ∀y∈Rm .

b) Considerando no espaco produto Rn×Rm uma norma definida por ‖(x, y)‖ = ‖x‖+‖y‖ mostreque T e diferenciavel.


7.4 Teorema da derivacao da funcao composta

7.43

a) Sendo g : R2 → R2 a funcao cujas funcoes coordenadas g1 e g2 sao definidas pelo sistema:

g1(x, y) = x cosα− y senα

g2(x, y) = x senα+ y cosα

onde α e uma constante real, determine a matriz jacobiana de g num ponto arbitrario de R2 ecalcule a derivada direccional da funcao na direccao e sentido do vector h = (cos θ, sen θ).

151


b) Sendo f : R2 → R uma funcao diferenciavel em R2 e tal que:

f(u, 0) = 0 ∀u∈R

f(0, v) = v ∀v∈R

calcule f ′h(0, 0), onde h e o vector referido em a). Justifique a resposta.

c) Sendo ϕ = f ◦ g, calcule:[

∂ϕ

∂x(0, 0)

]2

+

[

∂ϕ

∂y(0, 0)

]2

(Grupo III duma Prova de Analise II)

Resolucao:

a) A derivada de g e 1

Dg(x, y) =

[

∂g1∂x (x, y) ∂g1

∂y (x, y)∂g2∂x (x, y) ∂g2

∂y (x, y)

]

=

[

cosα − senαsenα cosα

]

.

Como g e diferenciavel em R2 temos:

g′h(x, y) = Dg(x, y)h =

[

∂g1∂x (x, y) ∂g1

∂y (x, y)∂g2∂x (x, y) ∂g2

∂y (x, y)

]

[

cos θsen θ

]

=

[

cosα cos θ − senα sen θsenα cos θ + cosα sen θ

]

=

[

cos(α + θ)sen(α+ θ)

]

.

b) Comecamos por calcular ∂f∂x (0, 0) e ∂f

∂y (0, 0); como f e diferenciavel vira entao: f ′h(0, 0) =

∇f(0, 0) · h. Ora

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0) − f(0, 0)

h= lim

h→0

0

h= 0,

∂f

∂y(0, 0) = lim

h→0

f(0, h) − f(0, 0)

h= lim

h→0

h

h= 1,

e

f ′h(0, 0) =

∂f

∂x(0, 0) cos θ +

∂f

∂y(0, 0) sen θ = sen θ.

c)

∂ϕ

∂x(0, 0) =

∂f

∂u(g(0, 0))

∂g1∂x

(0, 0) +∂f

∂v(g(0, 0))

∂g2∂x

(0, 0)

=∂f

∂u(0, 0)

∂g1∂x

(0, 0) +∂f

∂v(0, 0)

∂g2∂x

(0, 0)

= 0 cosα+ 1 senα = senα,

∂ϕ

∂y(0, 0) =

∂f

∂u(g(0, 0))

∂g1∂y

(0, 0) +∂f

∂v(g(0, 0))

∂g2∂y

(0, 0) = cosα.

Temos portanto:(

∂ϕ

∂x(0, 0)

)2

+

(

∂ϕ

∂y(0, 0)

)2

= sen2 α+ cos2 α = 1.

152


7.44 a) Determine a matriz jacobiana, no ponto (u, v, w) ∈ R3, da funcao g : R3 → R3 cujasfuncoes coordenadas sao definidas pelo sistema:

g1(u, v, w) = eu cos v cosw,

g2(u, v, w) = eu cos v senw,

g3(u, v, w) = eu sen v.

b) Se for[

a1 a2 a3

b1 b2 b3

]

a matriz jacobiana de uma funcao f : R3 → R2 no ponto (1, 0, 0), (onde f se supoe dife-renciavel), qual sera a matriz jacobiana de f ◦ g no ponto (0, 0, 0)? Porque?

(Grupo Ib do 2o Teste 11/9/79)

7.45 Seja ϕ uma aplicacao de R3 em R2, diferenciavel em todos os pontos de R3; sejam L1 e L2

as funcoes coordenadas da sua derivada no ponto (0, 0, 0):

L1(x, y, z) = 2x+ 3y + z

L2(x, y, z) = x− y + z

Seja ψ a seguinte aplicacao de R2 em R:

ψ(u, v) = arctg(u2 + v).

Sabendo que ϕ(0, 0, 0) = (1, 2), calcule (ψ ◦ ϕ)′(0, 0, 0).

(Grupo II2 da Repeticao do 2o Teste de 22/9/78)

7.46 Sejam ρ e µ aplicacoes de R3 em R3 definidas por:

ρ(x1, x2, x3) = (x2, x3, x1),

µ(x1, x2, x3) = (x1, x2 cosx3, x2 senx3).

e define-se ψ : R3 → R3 por:

ψ = µ ◦ ρ ◦ µ.

a) Justificando a diferenciabilidade de ρ e µ em R3, determine as derivadas e os determinantesdas matrizes jacobianas que as representam num ponto (x1, x2, x3).

b) Justificando a diferenciabilidade de ψ determine (sem obter explicitamente uma expressao paraψ) o determinante da matriz jacobiana de ψ num ponto (x1, x2, x3).

7.47 Seja f : R2 → R2 a funcao que transforma cada vector (x, y) no vector (u, v) tal que:

u = ex cos y

v = ex sen y

1. Verifique que:∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0.

1Nesta e noutras solucoes identificamos a aplicacao linear derivada com a matriz que a representa.

153


2. Sendo g = f ◦ f , mostre que a aplicacao linear g′(0, 0) e uma homotetia, isto e, da formag′(0, 0)w = αw para cada w ∈ R2 e com α ∈ R.


Resolucao:

1. A conclusao segue dos calculos seguintes:

∂u

∂x= ex cos y,

∂u

∂y= −ex sen y,

∂v

∂x= ex sen y,

∂v

∂y= ex cos y,

∂2u

∂x2= ex cos y,

∂2u

∂y2= −ex cos y,

∂2v

∂x2= ex sen y,

∂2v

∂y2= −ex sen y.

2. Designando por I a matriz identidade

g′(0, 0) = f ′(f(0, 0))f ′(0, 0) = f ′(1, 0)f ′(0, 0)

=

[

ex cos y −ex sen yex sen y ex cos y

]

(1,0)

[

ex cos y −ex sen yex sen y ex cos y

]

(0,0)

= eI2 = eI.

Tem-se portanto g′(0, 0)w = ew, para qualquer w ∈ R2.

7.48 Sejam f : R3 → R e ϕ : R2 → R3 duas funcoes diferenciaveis e seja F = f ◦ ϕ. Designandopor ϕ1, ϕ2 e ϕ3 as funcoes coordenadas de ϕ, mostre que, se forem verificadas as igualdades:

∂ϕi∂u

(u0, v0) =∂ϕi∂v

(u0, v0), i = 1, 2, 3,

se-lo-a tambem a igualdade ∂F∂u (u0, v0) = ∂F

∂v (u0, v0).


7.49 Sejam g : R2 → R2 e h : R → R2 duas funcoes diferenciaveis e G = g ◦ h. Sendo z0 ∈ R,designe-se por L1 e L2 as funcoes coordenadas da aplicacao linear g′[h(z0)]. Mostre que, seL1(x, y) = L2(x, y), ∀(x,y)∈R2 , entao

∂G1

∂z(z0) =

∂G2

∂z(z0),

onde G1 e G2 sao as funcoes coordenadas da funcao G.


7.50 Sejam f e g as funcoes definidas em R2 pelas expressoes:

f(x, y) = arctg(x2 + y2), g(x, y) = arctg√

x2 + y2

e seja ϕ a funcao de R2 em R2 definida pela igualdade:

ϕ(x, y) = (f(x, y), g(x, y)).

154


a) Estude as funcoes f e g quanto a continuidade e diferenciabilidade.

b) Calcule as funcoes derivadas parciais de f e g, indicando os respectivos domınios.

c) Sendo (h, k) um vector nao nulo de R2, diga se existem, e calcule em caso afirmativo, f ′(h,k)(0, 0)

e g′(h,k)(0, 0).

d) Estude ϕ quanto a continuidade e diferenciabilidade, e calcule a sua derivada em todos ospontos do seu domınio de diferenciabilidade.

e) Calcule (f ◦ ϕ)′(1, 0).


7.51 Considere as aplicacoes f : R2 \ {(0, 0)} → R e g : R → R assim definidas:

f(x, y) =x3y

x2 + y2, g(t) = et.

a) Estude f e g quanto a continuidade. Verifique que f e prolongavel por continuidade ao ponto(0, 0).

b) Designando por F o prolongamento por continuidade de f , calcule(

∂F∂x

)

(0, 0) e(

∂F∂y

)

(0, 0).

c) Verifique que F e diferenciavel em todo o seu domınio.

d) Sendo h um vector nao nulo de R2 indique, justificando, o valor de F ′h(0, 0).

e) Estude a funcao ϕ = g ◦ F quanto a continuidade e diferenciabilidade.

f) Calcule(

∂ϕ∂x

)

(0, 0) e(

∂ϕ∂y

)

(0, 0).

g) Sendo ψ a aplicacao de R2 em R2 definida por ψ(x, y) = (ϕ(x, y), ex2+y2

) calcule a derivada deψ no ponto (0, 0).


7.52 Seja g a funcao definida por g(x, y) =√

x2y.

a) Determine o domınio D de g. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado de D.Sera D aberto? E fechado?

b) Seja

G(x, y) =

{

g(x, y), se (x, y) ∈ D,

0, se (x, y) 6∈ D,

Estude G quanto a continuidade.

c) Calcule ∂G∂x e ∂G

∂y , indicando os respectivos domınios.

d) Mostre que G e diferenciavel no ponto (0, 0).

e) Sendo h um vector nao nulo de R2, indique, justificando, o valor de G′h(0, 0).

f) Seja ψ : R → R2 a funcao assim definida:

ψ(t) = (t+ 1, 2t+ 2).

Calcule(

d(G◦ψ)dt

)

t=0e(

d(G◦ψ)dt

)

t=−1.

155


7.53 Sejam f e g as funcoes definidas em R2 pelas expressoes:

f(x, y) =

{

x2y2 sen(xy)x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0),g(x, y) = ex

2y.

a) Estude f e g quanto a continuidade.

b) Calcule as derivadas parciais de f e g.

c) Estude f e g quanto a diferenciabilidade.

d) Sendo ψ(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) estude ψ quanto a continuidade e diferenciabilidade; calculena origem a derivada segundo um vector h = (h1, h2) nao nulo.

e) Calcule a derivada de g ◦ ψ na origem.


7.54 Considere a funcao:

f(x, y) =

{

arctg 1(x2+y2)−1 , para ‖(x, y)‖ > 1,

π2 (x2 + y2), para ‖(x, y)‖ ≤ 1.

a) Estude f quanto a continuidade.

b) Sendo (a, b) tal que ‖(a, b)‖ = 1, mostre que nao existe f ′(a,b)(a, b). Que pode concluir quanto

a diferenciabilidade de f nos pontos da circunferencia de equacao ‖(x, y)‖ = 1? Justifique.

c) Mostre que f e diferenciavel em todos os pontos de R2 com norma diferente de 1.

d) Determine f ′x(0, 1).

e) Indique, justificando, qual o contradomınio de f .

f) Sendo g : R → R2 dado por

x 7→ (ex, arctgx)

mostre que g ◦ f e diferenciavel no ponto (1/2, 1/2) e determine a derivada nesse ponto. Apro-veite o resultado para calcular (g ◦ f)′(0,1)(1/2, 1/2).

(Grupo II do Exame de 2a epoca de 4/2/80)

7.55 Seja ϕ uma funcao real diferenciavel definida em R3 e ψ(x, y, z) = ϕ(x − y, y − z, z − x).Mostre que, em qualquer ponto (x, y, z) ∈ R3, se verifica a igualdade:

∂ψ

∂x(x, y, z) +

∂ψ

∂y(x, y, z) +

∂ψ

∂z(x, y, z) = 0.


7.56 Dada a funcao f de R3 com valores em R definida por z = f(x, u, v), diferenciavel no seudomınio, considere a funcao F (x, y) = f(x, x+ y, xy).

a) Exprima ∂F∂x − ∂F

∂y nas derivadas parciais de f .

156


b) Aproveite este resultado para verificar a igualdade

(

∂F

∂x

)

(2,1)

−(

∂F

∂y

)

(2,1)

=

(

∂f

∂x

)

(2,3,2)

−(

∂f

∂v

)

(2,3,2)


7.57 Sabendo que f : R3 → R e uma funcao diferenciavel no ponto (0, e, 0) e que a sua matrizjacobiana nesse ponto e

[

e −1 e]

, mostre que

(

∂g

∂x

)

(0,1)

+

(

∂g

∂y

)

(0,1)

= 0,

onde g(x, y) = f((sen(xy2), ey, log(1 + x2)), ∀(x,y)∈R2 .

(Grupo IIb do Exame de 2a Epoca de 11/2/80)

7.58 Seja F uma funcao que admite derivada contınua em R e z = xy + xF (y/x). Mostre que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= xy + z, ∀x6=0.


7.59 Sendo G uma funcao real diferenciavel em R2 e

F (x, y, z) = G(x2 − y2, y2 − z2), ∀(x,y,z)∈R3 .

1. Indique, justificando, os pontos em que F e diferenciavel.

2. Mostre que, em qualquer ponto (x, y, z), se verifica a igualdade

yzF ′x(x, y, z) + xzF ′

y(x, y, z) + xyF ′z(x, y, z) = 0.


7.60 Seja f : R2 → R, f ∈ C1(R2). Considere a funcao G definida por G(u, v) = f(u2 + v2, u/v).Mostre que, para todo o (u, v) ∈ R2 tal que v 6= 0, existe a derivada dirigida G′

(u,v)(u, v), tendo-se:

G′(u,v)(u, v) = 2(u2 + v2)D1f(u2 + v2, u/v).


7.61 Seja F : R2 → R uma funcao diferenciavel em R2. Seja G uma funcao definida porG(x, y, z) = F [(x− y)z, (z − x)y].

a) Sera G diferenciavel em R3? Justifique a sua resposta e na afirmativa calcule G′(1, 1, 1) emtermos das derivadas parciais de F .

157


b) Determine em que condicoes a derivada dirigida de G segundo o vector (1, 1, 1) e identicamentenula sobre a recta x = −y = −z.


7.62 Seja f : R2 → R diferenciavel em R2 e tal que f(−1, 1) = −1. Considere uma funcao Gdefinida por

G(x, y) = f [f(x, y), f2(x, y)].

Mostre que

∂G

∂x(−1, 1) + 2

∂G

∂y(−1, 1) =

[

∂f

∂x(−1, 1)

]2

− 4

[

∂f

∂y(−1, 1)

]2

.


7.63 Seja F : R2 → R, F ∈ C1(R2) e tal que: F (0, 1) = 0, F (1, 0) = 1. Seja H(x, y) =F (F (x, y), F (y, x)). Calcule

(

∂H∂x

)

(0,1)em funcao de derivadas parciais de F .

(Prova de Analise Matematica III de 7/81)

7.64 Seja g : R2 → R, g ∈ C1(R2). Defina-se uma funcao F : R3 → R atraves de

F (x, y, z) = g(g(x, y), g(y, z)).

a) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de F em funcao de derivadas parciais de g.Justifique ser F ∈ C1(R3).

b) Suponha que para todo o (x, y) ∈ R2 temos D(1,1)g(x, y) = 0. Mostre que entao

D(1,1,1)F (x, y, z) = 0

para todo o (x, y, z) ∈ R3.

7.65 Seja f uma funcao duas vezes diferenciavel em R; seja u(x, t) = af(x+ ct)+ bf(x− ct) sendoa, b, c constantes reais e c 6= 0. Mostre que

∂2u

∂x2− 1

c2∂2u

∂t2= 0.


7.66 Sejam F e g duas funcoes de classe C2 em R e u(x, y) = F [x+ g(y)]. Verifique que

∂u

∂x

∂2u

∂x∂y=∂u

∂y

∂2u

∂x2.


Resolucao: Do teorema de derivacao da funcao composta obtem-se:

∂u

∂x= F ′(x+ g(y))1 = F ′(x+ g(y)),

∂u

∂y= F ′(x+ g(y))g′(y),

∂2u

∂y∂x=

∂

∂y(F ′(x+ g(y))) = F ′′(x+ g(y))g′(y),

∂2u

∂x2= F ′′(x+ g(y)).

donde segue o resultado.

158

7.5. TEOREMAS DO VALOR MEDIO E DE TAYLOR

7.67 Sejam f, g : R → R, f, g ∈ C2(R) e seja h : R2 → R definida por:

h(x, y) = xf(y/x) + g(y/x)

sempre que x 6= 0. Mostre que ∀(x,y)6=(0,y) temos:

x2 ∂2h

∂x2+ 2xy

∂2h

∂x∂y+ y2 ∂

2h

∂y2= 0.


7.68 Seja u(x, y) = F (x2 − y2, y2). Sabendo que as derivadas cruzadas de segunda ordem dafuncao F sao nulas, mostre que:

x

y

∂2u

∂x∂y+∂2u

∂x2=

1

x

∂u

∂x, ∀x,y 6=0.

(Na resolucao deste exercıcio admita que pode utilizar o teorema da derivada da funcao compostasempre que dele necessitar).


7.69 Seja F : R2 → R tal que F ∈ C1(R2) e D1F (x, y)D2F (x, y) 6= 0, ∀(x,y)∈R2 . Seja u : R2 → R

outra funcao tal que:

i) u ∈ C2(R2);

ii) em R2 tem-se F (u′x, u′y) = k com k uma constante real.

Mostre que, nestas condicoes, e valida a igualdade:

(

∂2u

∂x∂y

)2

=∂2u

∂x2

∂2u

∂y2.


7.5 Teoremas do valor medio e de Taylor

7.70 Considere a funcao definida em R2 por f(x, y) = cosx sen y e os pontos (0, 0) e (π/6, π/6).Mostre que existe θ ∈ ]0, 1[ tal que

cos

(

θπ

3

)

=3√

3

2π.


7.71 Considere uma funcao u : R2 → R, u ∈ C∞(R2), satisfazendo, para todo o (t, x) ∈ R2, ascondicoes seguintes:

∂u

∂t= xu(t, x),

∂u

∂x= tu(t, x).

Prove que existe, para cada (t, x) ∈ R2, um real θ ∈ ]0, 1[ que verifica:

159


u(t, x) = u(0, 0) + 2θtxu(θt, θx).


Resolucao: Pelo teorema do valor medio, relativo a funcoes escalares, se a ∈ Rn e a derivadadireccional u′v(a+ α v) existe para cada 0 ≤ α ≤ 1, tem-se

u(a+ v) − u(a) = u′v(a+ θ v)

para algum θ ∈ ]0, 1[.No nosso caso, u′v(t0, x0) existe para qualquer (t0, x0) e qualquer v, pois u e diferenciavel em(t0, x0) ∈ Rn, ja que as derivadas parciais existem e sao contınuas em R2. Logo tem-se emparticular, no ponto (t0, x0) = (0, 0) e com v = (t, x):

u((0, 0) + (t, x)) − u(0, 0) = u′(t,x)((0, 0) + θ(t, x)) com θ ∈ ]0, 1[,

ou seja,u(t, x) − u(0, 0) = u′(t,x)(θt, θx).

Ora

u′(t,x)(θt, θx) =∂u

∂t(θt, θx)t +

∂u

∂x(θt, θx)x

= θxu(θt, θx)t + θtu(θt, θx)x

= 2θtxu(θt, θx).

Assim:u(t, x) = u(0, 0) + 2θtxu(θt, θx) com θ ∈ ]0, 1[.

7.72 Considere g : R2 → R definida por g(x, y) = x2 − y4.

a) Mostre que existe k > 0 tal que para todo o 1 > ε > 0:

(x, y), (x0, y0) ∈ Bε(0, 0) =⇒ ‖g(x, y) − g(x0, y0)‖ < kε‖(x− x0, y − y0)‖

b) Seja ϕ : R2 → R2 definida por ϕ(x, y) = (x2 − y4, y2 − x4). Mostre, utilizando o resultado daalınea anterior, que existe ε > 0 tal que a restricao de ϕ a Bε(0, 0) e uma contraccao.



f(x, y) = x sen y + y senx.

a) Determine o desenvolvimento de Taylor de 2a ordem daquela funcao relativamente ao ponto(0, 0).

160

7.5. TEOREMAS DO VALOR MEDIO E DE TAYLOR

b) Aproveite o resultado anterior para mostrar que existe uma e uma so constante real a tal que:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − axy

x2 + y2= 0

Determine a.


Resolucao:

a) A formula de Taylor de 2a ordem relativa a f em (0, 0) e em geral:

f(x, y) =f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)x+

∂f

∂y(0, 0)y

+1

2

(

∂2f

∂x2(0, 0)x2 + 2

∂2f

∂x∂y(0, 0)xy +

∂2f

∂y2(0, 0) y2

)

+ o(

‖(x, y)‖2)

((x, y) → (0, 0)).

Ora

∂f

∂x= sen y + y cosx,

∂f

∂y= x cos y + senx,

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(

∂f

∂x

)

= −y senx,∂2f

∂y2=

∂

∂y

(

∂f

∂y

)

= −x sen y,

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(

∂f

∂y

)

= cos y + cosx.

Particularizando para (x, y) = (0, 0) obtem-se:

f(0, 0) = 0,∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂2f

∂x2(0, 0) =

∂2f

∂y2(0, 0) = 0,

∂2f

∂x∂y(0, 0) = 2.

Assim a expressao da formula de Taylor de segunda ordem vai ser:

f(x, y) = 2xy + o(‖(x, y)‖2) ((x, y) → (0, 0)).

b)

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − axy

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

(2xy + o(‖(x, y)‖2)) − axy

x2 + y2

= lim(x,y)→(0,0)

(2 − a)xy + o(x2 + y2)

x2 + y2

= lim(x,y)→(0,0)

(

(2 − a)xy

x2 + y2+o(x2 + y2)

x2 + y2

)

= lim(x,y)→(0,0)

(2 − a)xy

x2 + y2.

Este limite sera nulo se a = 2 e nao existe se a 6= 2 pois entao

lim(x,y)→(0,0)

y=x

(2 − a)xy

x2 + y2=

2 − a

26= a− 2

2= lim

(x,y)→(0,0)

y=−x

(2 − a)xy

x2 + y2.

161


7.6 Teoremas da funcao inversa e da funcao implıcita

7.74 Mostre que a funcao definida por (u, v) = ϕ(x, y) com

u = exy + 1,

v = exy + y2,

possui uma inversa local de classe C1, que a cada (u′, v′) ∈ Bε(2, 2) faz corresponder um e um so(x′, y′) ∈ Bδ(0, 1), para certos ε, δ > 0. Designando por ψ a inversa de ϕ calcule D1ψ(2, 2).


Resolucao: Sendo ϕ de classe C1, uma condicao suficiente para a existencia da inversa local(tambem de classe C1), e det(Dϕ(0, 1)) 6= 0. Ora

Dϕ(x, y) =

[

∂ϕ1

∂x (x, y) ∂ϕ1

∂y (x, y)∂ϕ2

∂x (x, y) ∂ϕ2

∂y (x, y)

]

=

[

∂u∂x (x, y) ∂u

∂y (x, y)∂v∂x (x, y) ∂v

∂y (x, y)

]

=

[

yexy xexy

yexy xexy + 2y

]

.

Logo:

Dϕ(0, 1) =

[

1 01 2

]

e portanto det(Dϕ)(0, 1) = 2. Para calcular D1ψ(2, 2) observamos que Dψ(u, v) = [Dϕ(x, y)]−1

onde (u, v) = ϕ(x, y) e (x, y) = ψ(u, v). Logo:

Dψ(2, 2) = [Dϕ(0, 1)]−1 =

[

∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

]−1

(0,1)

=

[

1 01 2

]−1

=

[

1 0−1/2 1/2

]

.

A derivada parcial D1ψ(2, 2) corresponde ao vector coluna correpondente a primeira coluna destamatriz. Logo D1ψ(2, 2) = (1,−1/2).

Resolucao alternativa: Justificando da mesma maneira a existencia de inversa local poderıamosefectuar o calculo de D1ψ por derivacao em ordem a u de ambos os membros de cada uma dasequacoes do sistema dado (considerando agora x e y como funcao de u e v) o que conduziria a

{

1 = yexy ∂x∂u + xexy ∂y∂u0 = yexy ∂x∂u + (xexy + 2y) ∂y∂u

ou, no ponto (x, y) = (0, 1):{

1 = ∂x∂u

0 = ∂x∂u + 2 ∂y∂u

donde se obtem imediatamente: ∂x∂u = 1, ∂y

∂u = − 12 .

7.75 Mostre que a funcao ϕ : R2 → R2 definida por ϕ(x, y) = ((x + y)3, (x − y)3) nao satisfaz ahipotese do teorema da funcao inversa “relativamente” a origem e, no entanto, ϕ e invertıvel emR2.

(Prova de Analise Matematica III de 1982)

Resolucao: Tem-se com efeito:

Dϕ(x, y) =

[

3(x+ y)2 3(x+ y)2

3(x− y)2 −3(x− y)2

]

.

162

7.6. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPLICITA

Logo det(Dϕ(0, 0)) = 0. No entanto pondo u = (x + y)3, v = (x − y)3 vem x = 12 (u1/3 + v1/3),

y = 12 (u1/3 − v1/3) pelo que ϕ e uma bijeccao de R2 em R2.

7.76 Considere a funcao F : R2 \ {(0, 0)} → R2 definida por F (x, y) = (x2 − y2, 2xy). Verifiqueque:

i) F ∈ C1(R2 \ {(0, 0)})

ii) ∀(x,y)6=(0,0), det[

∂(F1,F2)∂(x,y)

]

(x, y) 6= 0,

iii) F nao e invertıvel em R2 \ {(0, 0)}

iv) Dado (x0, y0) 6= (0, 0) existe uma vizinhanca U de (x0, y0) tal que F |U e invertıvel.


Resolucao:

i) Como ∂F∂x (x, y) = (2x, 2y) e ∂F

∂y (x, y) = (−2y, 2x) e claro que as derivadas parcias ∂Fi

∂x (x, y),∂Fi

∂y (x, y) existem e sao contınuas em R2 (e portanto em R2 \ {(0, 0)}).

ii) Como∂(F1, F2)

∂(x, y)(x, y) =

[

2x −2y2y 2x

]

vem det[

∂(F1,F2)∂(x,y) (x, y)

]

= 4(x2 + y2); se (x, y) 6= 0 e claro que 4(x2 + y2) 6= 0.

iii) Basta ver que ha dois pontos, por exemplo (1, 1) e (−1,−1) com a mesma imagem (nestecaso, (0, 2)).

iv) Para (x0, y0) 6= (0, 0) tem-se det(DF (x, y)) = (x20 + y2

0) 6= 0 pelo que, pelo teorema da funcaoinversa, F e invertıvel numa vizinhanca de (x0, y0).

7.77 Seja g : R → R, g ∈ C1(R). Define-se ϕ : R2 → R2 atraves de:

ϕ(x, y) = (xg(y), yg(x)).

a) Indique condicoes suficientes relativas a g que garantam que ϕ e localmente invertıvel numavizinhanca do ponto (1, 1). Justifique.

b) Considere uma funcao F : R2 → R diferenciavel em R2 e uma funcao H definida por H = F ◦ψ(com ψ a inversa local de ϕ nas condicoes de (a)). Justifique ser H diferenciavel e calculeD1H(g(1), g(1)) em termos de F e g.


7.78 Seja f : R2 → R, f ∈ C1(R2), f(0, 0) = 0. Define-se ϕ : R3 → R3 atraves de:

ϕ(x, y, z) = (f(x,−y), f(y,−z), f(z,−x)).

a) Prove que seD1f(0, 0) 6= D2f(0, 0) existem ε, δ > 0 tais que ϕ e um difeomorfismo de Bε(0, 0, 0)sobre um aberto T ⊃ Bδ(0, 0, 0).

b) Calcule D1ψ(0, 0, 0) com ψ =[

ϕ|Bε(0,0,0)

]−1.

163


7.79 E dada a equacao

x2/3 + y2/3 = a2/3.

a) Mostre que nao existem pares (x, y) com |x| > |a| que satisfacam esta equacao. E com |x| = |a|?

b) Calcule as derivadas dydx e d2y

dx2 da funcao implıcita y = ϕ(x) definida por aquela equacao eindique os domınios correspondentes.

c) Atendendo ao significado destas derivadas, represente geometricamente o conjunto dos pontosque satisfazem a equacao dada.


7.80 Sejam f e g duas funcoes reais com domınio contido em R2, de classe C1 e (a, b) um pontointerior aos seus domınios. Suponha-se que

f(a, b) = c1, g(a, b) = c2, D2f(a, b) ·D2g(a, b) 6= 0

com c1, c2 ∈ R. Mostre que as funcoes y = ϕ(x) e y = ψ(x) definidas implicitamente pelas equacoesf(x, y) = c1, g(x, y) = c2, respectivamente, tem as tangentes aos seus graficos perpendiculares noponto (a, b) se e so se:

∇f(a, b) · ∇g(a, b) = 0.


Resolucao: As rectas tangentes aos graficos de ϕ e ψ no ponto (a, b) tem por equacoes:

y − b = ϕ′(a)(x− a) e y − b = ψ′(a)(x− a).

Por outro lado:

ϕ′(a) = −∂f∂x (a, b)∂f∂y (a, b)

, ψ′(a) = −∂g∂x(a, b)∂g∂y (a, b)

.

Enfim, as rectas y − b = α(x − a) e y − b = β(x − a) sao perpendiculares se e so se α = − 1β . As

tangentes se-lo-ao portanto se e so se:

−∂f∂x (a, b)∂f∂y (a, b)

=

∂g∂y (a, b)∂g∂x(a, b)

ou seja ∂f∂x (a, b) ∂g∂x (a, b)+ ∂f

∂y (a, b) ∂g∂y (a, b) = 0, ou ainda(

∂f∂x (a, b) , ∂f∂y (a, b)

)

·(

∂g∂x(a, b), ∂g∂y (a, b)

)

=

0, que e o mesmo que ∇f(a, b) · ∇g(a, b) = 0.

7.81 Mostre que, numa vizinhanca do ponto (1,−1, 2) o sistema de equacoes:

x2(y2 + z2) = 5

(x− z)2 + y2 = 2

define y e z como funcoes de x, continuamente diferenciaveis. Calcule

dy

dx(1) e

dz

dx(1).

(Prova de Analise Matematica III de 7/81)

164

7.6. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPLICITA

7.82 Considere a equacao z3 + z − 2ex2+y2

= 0 e o ponto (0, 0, 1). Mostre que aquela equacaodefine localmente uma funcao implıcita z = ϕ(x, y) com ϕ(0, 0) = 1 e calcule

∂ϕ

∂x(0, 0) e

∂ϕ

∂y(0, 0).


7.83 Mostre que o sistema{

exy − u+ log(v + x) − 1 = 0

x2 + y3 + u2 − v3 = 0

define implicitamente uma funcao φ que a cada (x, y) ∈ Bε(0, 1) faz corresponder um e um so(u, v) ∈ Bδ(0, 1), para certos ε, δ > 0. Calcule ∂u

∂x (0, 1).


7.84 Seja F uma funcao de classe C2 definida em R2 e com valores em R e a equacao

F (F (x, y), y) = 0.

a) Indique, justificando a sua resposta, condicoes suficientes para que aquela equacao possa definir,numa vizinhanca de 0, uma funcao y(x). Suponha que F (0, 0) = 0.

b) Aproveite a alınea anterior para calcular dydx(0).


Resolucao:

a) Definindo φ(x, y) = F (F (x, y), y) o teorema da funcao implıcita fornece uma tal condicaosufuciente que e ∂φ

∂y (0, 0) 6= 0. Ora:

∂φ

∂y(x, y) =

∂F

∂x(F (x, y), y)

∂F

∂y(x, y) +

∂F

∂y(F (x, y), y)

∂φ

∂y(0, 0) =

∂F

∂x(0, 0)

∂F

∂y(0, 0) +

∂F

∂y(0, 0)

=

(

1 +∂F

∂x(0, 0)

)

∂F

∂y(0, 0)

Logo ∂F∂x (0, 0) 6= −1 e ∂F

∂y (0, 0) 6= 0 sao as condicoes pedidas.

b)

∂y

∂x(0) = −

∂φ∂x (0, 0)∂φ∂y (0, 0)

= −∂F∂x (0, 0)∂F∂x (0, 0)

(

1 + ∂F∂x (0, 0)

)

∂F∂y (0, 0)

.

7.85 As funcoes f : R3 → R2 e g : R2 → R sao definidas por:

f :

{

u = x+ y + z + sen(xyz)

v = xyz + sen(x+ y + z)g : w = 1 − eu−2v

a) Mostre que a equacao (g◦f)(x, y, z) = 0 define implicitamente numa vizinhanca de (0,−π/2, π/2)uma funcao y = α(x, z) tal que α(0, π/2) = −π/2 que e diferenciavel naquele ponto.

165


b) Calcule ∂α∂z (0, π/2).


7.86 Sendo ϕ a funcao definida implicitamente pelo sistema de equacoes{

x+ y2 − u3 + v = 0

x2 − y + u− v2 = 0

de uma bola centrada em (x0, y0) = (0, 0) para uma bola centrada em (u0, v0) = (0, 0) e sendo

g : R2 → R2 definida por (u, v) 7→ (z, w) = (v cosu, u sen v), calcule ∂(g◦ϕ)∂x (0, 0).


Resolucao:

ϕ : (x, y) 7−→ (u, v), g : (u, v) 7−→ (z, w)

g ◦ ϕ : (x, y) 7−→ (z(u(x, y), v(x, y)), w(u(x, y), v(x, y)))

∂(g ◦ ϕ)

∂x(x, y) =

(

∂(g ◦ ϕ)1∂x

(x, y),∂(g ◦ ϕ)2

∂x(x, y)

)

,

onde (g ◦ ϕ)i e a i-esima funcao coordenada de g ◦ ϕ.

∂(g ◦ ϕ)1∂x

(x, y) =∂z

∂u(u, v)

∂u

∂x(x, y) +

∂z

∂v(u, v)

∂v

∂x(x, y)

= −v senu∂u

∂x(x, y) + cosu

∂v

∂x(x, y)

∂(g ◦ ϕ)2∂x

(x, y) =∂w

∂u(u, v)

∂u

∂x(x, y) +

∂w

∂v(u, v)

∂v

∂x(x, y)

= sen v∂u

∂x(x, y) + u cos v

∂v

∂x(x, y).

Tendo em conta que ϕ(0, 0) = (0, 0) obtem-se entao:

∂(g ◦ ϕ)1∂x

(0, 0) =∂v

∂x(0, 0),

∂(g ◦ ϕ)2∂x

(0, 0) = 0.

Para calcular ∂v∂x (0, 0), pode comecar-se por derivar em ordem a x ambos os membros de cada uma

das equacoes do sistema dado — considerando u e v como funcoes das “variaveis independentes”x e y — o que conduz a

1 − 3u2(x, y)∂u

∂x(x, y) +

∂v

∂x(x, y) = 0,

2x+∂u

∂x(x, y) − 2v(x, y)

∂v

∂x(x, y) = 0,

e, particularizando para x = y = 0 (e portanto tambem u = v = 0),

∂v

∂x(0, 0) = −1

(e ∂u∂x (0, 0) = 0, resultado que nao era necessario calcular). Portanto:

∂(g ◦ ϕ)

∂x(0, 0) =

(

∂(g ◦ ϕ)1∂x

(0, 0),∂(g ◦ ϕ)2

∂x(0, 0)

)

= (−1, 0).

166

7.7. ESTUDO DE EXTREMOS

7.87 Volte a considerar o exercıcio 7.64. Suponha adicionalmente que g(0, 0) = 0.

a) Indique condicoes suficientes relativas a g que garantam a definicao duma funcao implıcita(x, z) 7→ y = ϕ(x, z) numa vizinhanca da origem atraves de F (x, y, z) = 0 com ϕ(0, 0) = 0.

b) Justifique que naquelas condicoes ϕ e diferenciavel em (0, 0) e

∂ϕ

∂x(0, 0) = − D1g(0, 0)

2D2g(0, 0).

7.7 Estudo de extremos

7.88 Determine os extremos relativos da funcao f : R2 → R definida por

f(x, y) = xyex−y.


7.89 a) Determine os extremos relativos da funcao f : R2 → R definida por

f(x, y) = x3 − 3xy + y3.

b) O que pode afirmar sobre os extremos absolutos daquela funcao?


Resolucao:

a) Tratando-se de uma funcao diferenciavel os unicos candidatos a pontos de extremo sao pontosonde o gradiente se anula. Ora ∇f(x, y) = ( ∂f∂x (x, y), ∂f∂y (x, y)) = (3x2 − 3y,−3x + 3y2) logo

consideramos o sistema de estacionaridade ∇f(x, y) = (0, 0) que toma a forma:

{

3x2 − 3y = 0

−3x+ 3y2 = 0⇔{

y = x2

x(x3 − 1) = 0

Portanto os candidatos a pontos de extremo sao (0, 0) e (1, 1). Estudemos o sinal da formaquadratica definida por:

(h1, h2) = h 7→ D2hf(x, y) =

∂2f

∂x2(x, y)h2

1 + 2∂2f

∂x∂y(x, y)h1h2 +

∂2f

∂y2(x, y)h2

2

em (0, 0) e (1, 1). Temos ∂2f∂x2 (x, y) = 6x, ∂2f

∂x∂y (x, y) = −3 e ∂2f∂y2 (x, y) = 6y.

A forma quadratica reduz-se a (h1, h2) 7→ −6h1h2 em (0, 0) que reconhece-se imediatamentecomo uma forma quadratica indefinida e portanto (0, 0) nao e um ponto de extremo.

Em (1, 1) a forma quadratica2reduz-se a (h1, h2) 7→ 6h21−6h1h2+6h2

2 = 6(

(h1 −√

22 h2)

2 +h22

2

)

que se reconhece como definida positiva e portanto (1, 1) e um ponto de mınimo relativo.

b) Como limx→+∞ f(x, 0) = +∞ e limx→−∞ f(x, 0) = −∞ reconhecemos imediatamente que estafuncao nao possui extremos absolutos.

2A classificacao de formas quadraticas em R2 pode ser feita por diversos processos equivalentes. No texto destasolucao optou-se por “completar o quadrado” o que nao pressupos conhecimentos especiais de Algebra Linear.Alternativas equivalentes sao, por exemplo, a determinacao do sinal dos valores proprios da matriz hessiana, etc.

167


7.90 Considere a funcao f : R2 → R definida por f(x, y) = (2x − x2)(2y − y2). Determine osextremos locais de f , indicando se sao ou nao extremos absolutos.


7.91 Idem, para f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2.


7.92 Considere uma funcao u : R2 → R, u ∈ C∞(R2), satisfazendo para todo o (x, t) ∈ R2, ascondicoes seguintes:

∂u

∂t(x, t) = xu(x, t),

∂u

∂x(x, t) = tu(x, t)

e u(0, 0) = 1. Mostre que u nao admite um extremo local na origem.


Resolucao: Vamos tentar usar um criterio baseado na formula de Taylor para provar que uma talfuncao, se existir, nao pode ter um extremo na origem. Uma condicao necessaria para existenciade um extremo na origem e o gradiente da funcao em (0, 0) ser 0. Ora

∂u

∂t(0, 0) = 0u(0, 0) = 0

∂u

∂x(x, t) = 0u(0, 0) = 0

pelo que aquele criterio e inconclusivo. Consideramos entao derivadas parciais de segunda ordemde u que se podem obter por derivacao de ambos os membros das igualdades no enunciado.

∂2u

∂x2= t

∂u

∂x= t2 u(x, t),

∂2u

∂t∂x=

∂

∂t(tu(x, t)) = u(x, t) + t

∂u

∂t= u(x, t) + xt u(x, t),

∂2u

∂t2= x

∂u

∂x= x2 u(x, t).

pelo que particularizando em (0, 0)

∂2u

∂x2(0, 0) = 0,

∂2u

∂t∂x(0, 0) = 1,

∂2u

∂t2(0, 0) = 0.

A matriz hessiana de u em (0, 0) e entao

Hu(0, 0) =

[

0 11 0

]

.

que define uma forma quadratica indefinida (h, k) 7→ 2hk pelo que (0, 0) nao e um ponto deextremo.


Sabendo que o gradiente de uma funcao e ortogonal as suas linhas de nıvel vamos tentar identificaras linhas de nıvel de u. Isto permitira identificar u e resolver a questao posta.Como

∇u(x, t) = u(x, t)(t, x)

168


e como qualquer funcao do produto xt, digamos v(x, t) = f(xt), satisfaz ∇v(x, t) = f ′(xt)(t, x)procuramos um tal f que devera entao satisfazer f ′ = f e f(0) = 1. Sabemos que uma tal funcaoe a exponencial e com efeito se considerarmos u(x, t) = ext esta funcao satisfaz todas as condicoesdo enunciado.Poderiam no entanto existir outras funcoes satisfazendo as condicoes do enunciado. Se v fosseuma tal funcao facilmente verificamos que o gradiente de e−xtv(x, t) e 0 e portanto o produtoe−xtv(x, t) e constante, constante essa que so podera ser 1 devido ao valor em (0, 0) imposto.Decorre entao da identificacao de u a nao existencia de extremo na origem, visto que a funcao(x, t) 7→ tx o nao tem e que a funcao exponencial e estritamente crescente em R.

7.93 Para cada (a, b) ∈ R2 considere a funcao definida por f(x, y) = ax + b

y + xy. Determine os

seus pontos de estacionaridade consoante seja: 1) ab > 0; 2) ab < 0; 3) ab = 0 com a2 + b2 6= 0;4) a2 + b2 = 0. Em cada caso determine os extremos da funcao.


Resolucao: Consideremos em primeiro lugar os casos 1) e 2). Os pontos de estacionaridade saoos pontos (x, y) tais que

{

∂f∂x(x, y) = − a

x2 + y = 0,∂f∂y (x, y) = − b

y2 + x = 0,ou seja, tais que x = a

23 b−

13 , y = b

23 a−

13

(com a 6= 0 e b 6= 0).Estudemos a natureza da forma quadratica

(h, k) 7→ ∂2f

∂x2(x0, y0)h

2 + 2∂2f

∂x∂y(x0, y0)h k +

∂2f

∂y2(x0, y0) k

2

com (x0, y0) = (a2/3b−1/3, a−1/3b2/3). As derivadas parciais de segunda ordem de f em (x0, y0)tomam os valores:

∂2f

∂x2(x0, y0) = 2b/a,

∂2f

∂x∂y(x0, y0) = 1,

∂2f

∂y2(x0, y0) = 2a/b.

pelo que a matriz hessiana de f em (x0, y0) e:

Hf (x0, y0) =

[

2b/a 11 2a/b

]

.

Como o determinante desta matriz e 3 o ponto (x0, y0) sera sempre um ponto de extremo. Aclassificacao do extremo dependera do sinal de 2b/a que e igual ao sinal de ab; ou seja, se ab > 0trata-se de um ponto de mınimo e se ab < 0 trata-se de um ponto de maximo.No caso 3) tem-se a = 0 e b 6= 0 ou a 6= 0 e b = 0. Na primeira destas suituacoes os pontos deestacionaridade obtem-se a partir de:

{

∂f∂x ≡ y = 0∂f∂y (x, y) = − b

y2 + x = 0um sistema impossıvel!

e analogamente se b = 0. No caso 3) nao ha portanto pontos de estacionaridade.No caso 4) tem-se a = 0 e b = 0 pelo que o sistema de estacionaridade reduz-se a

{

∂f∂x (x, y) ≡ y = 0∂f∂y (x, y) ≡ x = 0

so tem uma solucao que e (0, 0). A funcao f(x, y) e nesse caso f(x, y) = xy e (0, 0) e um ponto desela.

169



f(x, y) = αx + βx2 + γy2 + δx4 + (1 − δ)x2y2

em que α, β, γ, δ sao constantes reais. Mostre que nao existem constantes α, β, γ, δ tais que,simultaneamente:

i) (0, 0) seja um ponto mınimo de f ;

ii) (1, 1) seja um ponto de estacionaridade de f .

[Sugestao: Comece por mostrar que: (i) =⇒ βγ ≥ 0; (ii) =⇒ β + γ + 2 = 0].


7.95 Considere a funcao definida por f(x, y) = x4 − 2x2y2 + y4 + 1.

a) Mostre que f possui um mınimo absoluto.

b) Mostre que o estudo baseado na formula de Taylor nao permite classificar os pontos de estaci-onaridade.


7.96 Sejam f : R → R e g : Rn → R duas funcoes contınuas nos seus domınios e defina-seF : Rn → R atraves de F = f ◦ g. Se ϕ for uma funcao real diferenciavel num aberto de Rp,designa-se neste exercıcio o conjunto dos pontos de estacionaridade de ϕ por E(ϕ).

a) Mostre que se f tem um maximo (resp. mınimo) num ponto y do contradomınio de g, entaoF tem um maximo (mınimo) nos pontos de g−1({y}).

b) Suponha adicionalmente que f e g sao funcoes diferenciaveis. Mostre que entao: E(F ) =E(g) ∪ g−1(E(f)).

c) Suponha adicionalmente que n = 2 e que f e g sao funcoes de classe C2. Mostre que se(x0, y0) ∈ g−1(E(f)) o criterio de classificacao dos pontos de estacionaridade baseado no estudodo termo de 2a ordem da formula de Taylor e inconclusivo.

d) Classifique os pontos de estacionaridade da funcao F : R2 → R, definida por

F (x, y) = (x2 − y2)2 + 2(x2 − y2).

7.97 Estude a natureza dos pontos de estacionaridade da funcao definida por:

f(x, y) = (x− y)3(3x− 3y − 4).


7.98 Idem, para f(x, y) = 4x2 + 4xy + y2 + 8x+ 4y.


7.99 Sejam f e g funcoes reais de variavel real e defina-se no produto cartesiano dos seus domıniosuma funcao real ϕ atraves de ϕ(x, y) = f(x) + g(y). Mostre que:

a) Se x0 e um ponto de mınimo de f , y0 um ponto de maximo de g e (x0, y0) um ponto de extremode ϕ entao ou f e constante numa vizinhanca de x0 ou g e constante numa vizinhanca de y0.

b) Se x0 nao e ponto de extremo de f entao (x0, y0) nao e ponto de extremo de ϕ, qualquer queseja y0 no domınio de g.

170


c) Se x0 e um ponto de mınimo de f e y0 um ponto de mınimo de g entao (x0, y0) e um ponto demınimo de ϕ.

7.100 Determine os extremos locais da funcao f(x, y) = y4 + x2 − x3, indicando quais dessesextremos sao absolutos.


7.101 Determine o maximo (absoluto) da funcao definida no 1o quadrante (x ≥ 0, y ≥ 0) porf(x, y) = x2y3(1 − x− y).



f(x, y) = 4xy − 2x2 − y4.

a) Determine os extremos relativos de f .

b) Determine os extremos absolutos da restricao de f ao quadrado Q definido por:

Q = {(x, y) : |x| ≤ 2, |y| ≤ 2}.


7.103 a) Determine as seis rectas constituıdas por pontos de estacionaridade da funcao definidapor g(x, y, z) = xyz(x+ y + z − 1).

b) Mostre, sem recurso a derivadas de ordem superior a primeira, que a funcao nao tem extremoem qualquer dos pontos daquelas rectas.

c) Diga se a funcao tem um maximo ou mınimo relativo nos restantes pontos de estacionaridade.


7.104 a) Entre os pontos que verificam a equacao x2 + y2 = 16, determine pelo metodo dosmultiplicadores de Lagrange, aquele que esta mais proximo do ponto A = (2, 1) e determine adistancia do ponto A aquela circunferencia.

b) Confirme o valor da distancia obtida, determinando-a por um processo elementar.


7.105 a) Determine os extremos e os extremos absolutos da restricao da funcao f : R3 → R

definida por f(x, y, z) = x− 2y + 2z ao conjunto {(x, y) : x2 + y2 + z2 = 1}.

b) Justifique o facto dos pontos obtidos serem efectivamente extremos absolutos.


7.106 Considere a funcao f : R2 → R definida por f(x, y) = 2x2 + y2 + 2x.

a) Determine os extremos locais de f .

b) Que pode afirmar quanto a existencia de extremos absolutos de f em {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≤ 1}?


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Exercicios de Analise Matematica I/II (IST/2003)

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