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Esse documento contém o caderno de questões em Português, seguido do caderno de respostas , também em Português e então as versões em Inglês dos mesmos. Basta imprimir a versão mais adequada para os candidatos que realizarão a prova em sua localidade.

This document consists of the exam and the answer sheet in Portuguese, followed by a version in English of the same documents. It is enough to print the sheets corresponding to the adequate language for the candidates in your location.

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2018-2

Segundo Semestre de 2018 - 17 de Maio de 2018 (UFRJ)

LEIA COM ATENCAO.(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA E COMPOSTA DE 5 BLOCOS:Bloco 1: Mecanica ClassicaBloco 2: Ondas, Fluidos e TermodinamicaBloco 3: EletromagnetismoBloco 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica ModernaBloco 5: Mecanica Quantica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutoradodevem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecanica Quantica).

• A escolha do bloco que NAO sera corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto docaderno de respostas.

• Cada bloco contem 3 questoes de multipla escolha (45% da nota) e uma questao discursiva (55%da nota).

• Quatro respostas erradas a questoes de multipla escolha cancelam uma resposta correta a outraquestao de multipla escolha, dentro do universo de 12 questoes de multipla escolha dos 4 blocosescolhidos.

• Respostas em branco nao tem nenhum efeito sobre a correcao das outras questoes.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

1

BLOCO 1: Mecanica Classica

Multipla escolha

Problema 1: Uma partıcula realiza um movimento unidimensional e sua posicao como funcao dotempo e dada pelo grafico abaixo. Assinale a afirmacao FALSA:

x(t)

t

t1t2 t3

0t4

a) No instante t1 a aceleracao e positiva.

b) Nos instantes t2 e t3 as aceleracoes possuem o mesmo sinal.

c) Nos instantes t1 e t3 as velocidades sao nulas, mas as aceleracoes nao.

d) Nos instantes t2 e t4 as velocidades possuem sinais opostos.

Problema 2: Uma saltadora de Bungee Jump possui uma corda elastica amarrada ao seu pe. A cordacomporta-se como uma mola ideal, cujo comprimento, quando nao esta deformada, e de 10 metros. Aoutra extremidade da corda esta presa a uma plataforma distante do chao. Apos a saıda da saltadorada plataforma, quando a sua velocidade atinge o seu valor maximo? Despreze a resistencia do ar.

a) A dez metros da plataforma, assim que a corda comeca a esticar.

b) Quando a forca elastica da corda cancela a forca gravitacional.

c) No ponto mais baixo de sua trajetoria.

d) Quando a energia cinetica e igual a energia potencial elastica.

2

Problema 3: Considere dois blocos, de massas m e 2m, suspensos por fios ideais e identicos nasduas configuracoes representadas na figura abaixo. Ao aplicarmos uma forca ~F que aumenta LENTA-MENTE puxando cada sistema para baixo, PODEMOS AFIRMAR que

2m

m

m

2m

1 3

24

�F �F

a) Os fios 1 e 4 serao rompidos antes dos fios 2 e 3.

b) Todos os fios se romperao no mesmo instante.

c) Os fios 2 e 3 serao rompidos antes dos fios 1 e 4.

d) Os fios 1 e 3 serao os primeiros a romper.

Discursiva

Problema 4: Uma granada de massa m explode em N fragmentos. A diferenca entre as energiascineticas antes e depois da explosao (Q) e positiva. Considere um instante imediatamente apos aexplosao. Se necessario use cos 60� = 1/2.

a) Se N = 2, mostre que os fragmentos se movem na mesma direcao mas em sentidos opostos noreferencial do centro de massa.

b) Se N = 3, mostre que os momentos lineares dos fragmentos, relativos ao centro de massa, estao emum plano.

c) Ainda com N = 3, se os fragmentos sao iguais e emitidos com momentos lineares de mesmo modulono referencial do centro de massa, encontre o momento linear de cada fragmento, relativamente aocentro de massa, em funcao de Q e m. Considere que um dos fragmentos foi espalhado no sentidopositivo do eixo X.

3

BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinamica

Multipla escolha

Problema 5: Considere um bote de fibra flutuando em uma piscina contendo um lıquido incom-pressıvel, nas situacoes ilustradas na figura. Em todos os casos o volume de lıquido e o mesmo.

(A) Bote com uma ancora dentro.

(B) Bote vazio.

(C) O bote vazio sofre um pequeno acidente e um pedaco de sua borda quebra, cai na piscina e permaneceflutuando.

Sendo HX o nıvel da superfıcie do lıquido, na situacao X, medido desde o fundo da piscina, qual dasseguintes proposicoes e a CORRETA?

a) HA > HB > HC .

b) HA = HB > HC .

c) HA > HB = HC .

d) HA > HC > HB.

Problema 6: Uma amostra de um gas ideal realiza o ciclo fechado representado no diagrama P-Vabaixo. O processo DC e isotermico. Qual das seguintes afirmacoes e VERDADEIRA para o ciclocompleto, com relacao as grandezas �U (variacao de energia interna), Q (calor recebido pelo gas) e �S

(variacao de entropia)?

a) �U = 0, Q < 0, �S = 0.

b) �U < 0, Q > 0, �S = 0.

c) �U < 0, Q < 0, �S > 0.

d) �U = 0, Q = 0, �S > 0.

4

Problema 7: Considere uma onda sonora que incide em um objeto em movimento, com velocidadeconstante, e e por ele refletida. Sendo fI a frequencia da onda incidente e fR a frequencia da ondarefletida, ambas medidas por um observador no referencial do objeto, podemos AFIRMAR que:

a) fR = fI .

b) fR > fI .

c) fR < fI .

d) a relacao entre fI e fR depende da direcao e do sentido da velocidade do objeto.

Discursiva

Problema 8: Uma bola verticalmente suspensa por uma mola esta imersa em um fluido viscoso, comoilustrado na figura.

A equacao de movimento do centro de massa da bola e da forma

mx = �kx � 2bx ,

onde x e o deslocamento medido desde a posicao de equilıbrio, m e a massa da bola, k e a constanteda mola e b e uma constante positiva que depende da geometria da bola e da viscosidade do fluido.Propondo solucoes da forma

x(t) = e�t,

onde t e o tempo e � e um numero complexo, desenvolva os seguintes itens, justificando cada passo.

a) Obtenha a relacao entre k, b e m para que existam oscilacoes.

b) Para esses casos, determine o perıodo T das oscilacoes. Esboce o grafico de T como funcao de b.Comente sobre os casos extremos.

c) A energia do sistema e dada por E = k2x

2 + m2 x

2. Usando a equacao de movimento, mostre que

E(= dE/dt) = �2bx2. A partir de E e dE/dt, obtenha os valores assintoticos da energia E e doestado do sistema (x, x) no limite t ! 1.

5

BLOCO 3: Eletromagnetismo

Multipla escolha

Problema 9: Um ıma permanente e solto de uma altura, h, acima de um bloco macico de cobre cujasuperfıcie e muito maior que a sua, como ilustrado na figura abaixo. Sabendo que o cobre e um metalnao magnetico e g e o modulo da aceleracao da gravidade, assinale a afirmativa CORRETA:

a) O ıma cai com velocidade constante em todo percurso.

b) O ıma cai com aceleracao |~a(t)| = g.

c) O ıma cai com aceleracao |~a(t)| > g.

d) O ıma cai com aceleracao |~a(t)| < g.

Problema 10: Dados os circuitos abaixo, qual afirmativa esta CORRETA?

b) o ıma se movimento em direcao ao circuito com velocidade 2�v en-quanto o circuito se afasta com velocidade 1, 5�v.

c) o ıma se movimento em direcao ao circuito com velocidade �v enquantoo circuito se aproxima com velocidade 0, 5�v.

4. Questao:Dados os circuito abaixo, qual afirmativa esta correta?

pIq pIIq pIIIq

a) para uma mesma voltagem aplicada, o circuito (III) tem a menorpotencia.

b) para uma mesma voltagem aplicada, o circuito (I) e (II) tem a mesmapotencia.

c) o circuito (I) tem a menor resistencia.

Respotas:

• Questao 1: resposta (b)

• Questao 2: resposta (a)

• Questao 3: resposta (c)


2

a) Para uma mesma voltagem aplicada, o circuito (III) tem a menor potencia.

b) Para uma mesma voltagem aplicada, os circuitos (I) e (II) tem a mesma potencia.

c) O circuito (I) tem a menor resistencia.

d) A corrente que passa em cada um dos resistores em (II) e a mesma que em (I).

6

Problema 11: A figura abaixo mostra a disposicao espacial de dois protons (p) e um eletron (e) em 3configuracoes. Sobre a magnitude da forca eletrica resultante, Fi (o ındice i corresponde a cada situacaoilustrada), que atua no eletron, PODEMOS DIZER que:

-22-

39. The figure above shows three arrangements of one electron (e) and two protons (p). Which of the following is true about the magnitude F of the netelectrostatic force acting on the electron due to the protons?

(A) 1 2 3F F F! !(B) 1 2 3F F F !(C) 1 3 2F F F! !(D) 2 1 3F F F! !(E) 2 3 1F F F! !

GO ON TO THE NEXT PAGE.-22-

39. The figure above shows three arrangements of one electron (e) and two protons (p). Which of the following is true about the magnitude F of the net electrostatic force acting on the electron due to the protons?

(A) F ! F ! F1 2 3

(B) F F ! F1 2 3

(C) F ! F ! F1 3 2

(D) F ! F ! F2 1 3

(E) F ! F ! F2 3 1

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a) F1 > F2 > F3.

b) F1 = F3 < F2.

c) F1 > F3 > F2.

d) F2 > F1 > F3.

Discursiva

Problema 12: Uma carga pontual, Q, e colocada no centro do interior de uma casca esferica condutorade raio interno a e raio externo b, como pode ser visto na figura. Suponha que o sistema esteja emequilıbrio eletrostatico e que a esfera condutora esteja carregada com excesso de carga q.

a) Calcule o potencial eletrostatico em funcao de r, V (r), em todo o espaco, supondo que V (1) = 0 (re a distancia ao centro da casca esferica).

b) Calcule a densidade superficial de carga em cada uma das duas superfıcies do condutor (superfıciesde raios a e b).

7

BLOCO 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica Moderna

Multipla escolha

Problema 13: Uma partıcula esta confinada numa armadilha unidimensional na regiao entre x = 0e x = L, atraves de um potencial, V (x), que tem a forma de um poco finito,

V (x) =

⇢�V0,

0,0 x L

x < 0 || x > L

onde V0 e L sao constantes positivas. Sendo k uma constante positiva e real, qual das opcoes abaixoMELHOR EXPRESSA a funcao de onda da partıcula na regiao x < 0:

a) (x) = A sin(kx).

b) (x) = 0.

c) (x) = A exp(kx).

d) (x) = A exp(�kx).

Problema 14: Em uma experiencia tıpica sobre o efeito fotoeletrico (usando um determinado materialcomo catodo) foi estabelecida uma diferenca de potencial (�V ) entre os eletrodos e medida a corrente(i) ao se iluminar o catodo com luz de frequencia f . As curvas obtidas para diferentes valores de f estaomostradas na figura abaixo. Com base nestes resultados, podemos AFIRMAR que

a) f4 = f2 > f1 = f3.

b) f1 = f2 > f3 = f4.

c) f1 = f3 > f2 = f4.

d) f1 = f4 > f2 = f3.

-3 -2 -1 0 1 2 3

5

f1

f2

f3

f4

i(µA)

ΔV(V)

8

Problema 15: O muon e uma partıcula instavel abundantemente produzida na nossa atmosferadevido a colisoes de raios cosmicos. No referencial de repouso do muon, o seu tempo de decaimento ede ⇠ 2 µs. Sabendo que a velocidade dos muons produzidos e aproximadamente vmuon ⇡ 0.9c, sendo c

a velocidade da luz, uma pessoa na superfıcie observara um tempo de decaimento do muon:

a) muito menor que 2 µs.

b) muito maior que 2 µs.

c) aproximadamente igual a 2 µs.

d) impossıvel de determinar com as informacoes fornecidas no enunciado.

Discursiva

Problema 16: Dois experimentos foram feitos com feixes de luz, de comprimento igual a 600nm,incidindo sobre uma fenda simples ou sobre uma fenda dupla e projetados a 2,5m de cada fenda. Asfiguras abaixo contem os resultados destes dois experimentos que foram, infelizmente, misturados e estaoexpostos em ordem aleatoria.

a) Identifique qual imagem corresponde a cada experimento. Justifique a sua resposta.

b) Qual e a abertura da fenda simples? Qual e o espacamento entre as fendas no caso da fenda dupla?

c) Faca um esboco, sobre a figura correspondente a da fenda dupla, do padrao que seria obtido se estafosse substituıda por um numero grande de fendas (mantendo o mesmo espacamento entre fendasconsecutivas). Use para isso a figura do caderno de respostas.

9

BLOCO 5: Mecanica Quantica(OBRIGATORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

Multipla escolha

Problema 17: Considere uma partıcula presa no potencial de um oscilador anarmonico dado porV (x) = ax

2 + bx4, onde a e b sao constantes dimensionais sendo a < 0, enquanto b > 0. Sobre esta

situacao, e CORRETO afirmar que

a) O numero de estados possıveis e finito e estes estados formam um contınuo.

b) O numero de estados possıveis e finito e estes estados sao discretos.

c) O numero de estados possıveis e infinito e estes estados formam um contınuo.

d) O numero de estados possıveis e infinito e estes estados sao discretos.

Problema 18: Considere uma funcao de onda (x) definida sobre todo o eixo real (�1,+1). Qualdas funcoes abaixo NAO PODE representar esta funcao de onda?

a) (x) = Nekx2�a, sendo N , k e a constantes positivas.

b) (x) = Ne�kx2+a, sendo N , k e a constantes positivas.

c) (x) = N1

kx+a , sendo N , k e a constantes positivas.

d) (x) = N1

kx�a , sendo N , k e a constantes positivas.

Problema 19: O momentum angular orbital e definido como ~L = ~R ⇥ ~P , ou em termos de suascomponentes:

Lx = Y Pz � ZPy , Ly = ZPx � XPz , Lz = XPy � Y Px .

O quadrado da sua magnitude e L2 = L

2x + L

2y + L

2z. A relacao de comutacao INCORRETA e:

a) [L2, Ly] = 0.

b) [Lx, Ly] = i~Lz.

c) [Lz, X] = i~Y .

d) [Lz, Py] = i~Pz.

10

Discursiva

Problema 20: Considere uma partıcula descrita por uma funcao de onda (x, t). No instante t = 0:

(x, 0) =

8>>>>>><

>>>>>>:

Ax

a, se 0 x a ,

Ab � x

b � a, se a x b ,

0 , nos outros casos.

Sabendo que A, a e b sao constantes,

a) normalize e determine A em funcao de a e b;

b) determine a localizacao mais provavel da partıcula em t = 0;

c) determine o valor esperado de x em t = 0.

11

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIRO

EDITAL 2018-2

Segundo Semestre de 2018 - 17 de maio de 2018 (UFRJ)

CADERNO DE RESPOSTAS

Nome Completo:

Assinatura:

Indique qual e o bloco que NAO sera corrigido:

Indique o numero de paginas utilizadas (incluindo essa folha de rosto):

Nota Final (para ser preenchido pela comissao da UNIPOSRIO):

Multipla escolha Discursiva

Nota FinalQuestoes Questoes QuestoesProb. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20

corretas incorretas p/ pontuacao

Multipla escolha

Marque com um X as suas respostas das questoes de multipla escolha para cada bloco na seguinte tabela

de acordo com os blocos escolhidos para resolver.

a) b) c) d)

Bloco 1

Prob. 1

Prob. 2

Prob. 3

Bloco 2

Prob. 5

Prob. 6

Prob. 7

Bloco 3

Prob. 9

Prob. 10

Prob. 11

Bloco 4

Prob. 13

Prob. 14

Prob. 15

Bloco 5

Prob. 17

Prob. 18

Prob. 19

1


EDITAL 2018-2



Nome completo:

Se voce optou por fazer o Bloco 4, deve usar essa figura para responder o problema 16.

2


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Nome completo:

3


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Nome completo:

4


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Nome completo:

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Nome completo:

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Nome completo:

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Nome completo:

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Nome completo:

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Nome completo:

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EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2018-2

Second Semester 2018 - May 17, 2018 (UFRJ)

READ CAREFULLY.

THE EXAM CONSISTS OF 5 BLOCKS:Block 1: Classical MechanicsBlock 2: Waves, Fluids and ThermodynamicsBlock 3: ElectromagnetismBlock 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern PhysicsBlock 5: Quantum Mechanics

• All applicants must choose only 4 of the 5 blocks to solve. PhD candidates MUST choose theblock 5 (Quantum Mechanics).

• The block that will NOT be corrected should be clearly registered in the cover sheet of the answerbook.

• Each block consists of 3 multiple-choice questions (45% of grade) and a discursive question (55%of the grade).

• Four wrong answers to multiple-choice questions cancel one correct answer to another multiple-choice, within the universe of 12 multiple-choice questions of the 4 selected blocks.

• Blank answers will have no e↵ect on the correction of other questions.

YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.

1

BLOCK 1: Classical Mechanics

Multiple-choice

Problem 1: A particle executes a one dimensional motion and its position as a function of time isgiven by the plot below. Mark the FALSE statement.

x(t)

t

t1t2 t3

0t4

a) At instant t1 the acceleration is positive.

b) At instants t2 and t3 the accelerations have the same sign.

c) At instants t1 and t3 the velocities are zero, but the accelerations aren’t.

d) At instants t2 and t4 the velocities have opposite signs.

Problem 2: A Bungee Jump practitioner has an elastic string tied to her foot. The string can beconsidered as an ideal spring which has a length of 10 meters when it is not stressed. The other extremityof the string is tied to a platform high above the ground. After the practitioner leaves the platform,when does her velocity reach its maximum value? Neglect air resistance.

a) Ten meters below the platform, when the string starts to stretch.

b) When the elastic force of the string cancels the gravitational force.

c) At the lowest point of her trajectory.

d) When the kinetic energy equals the elastic potential energy.

2

Problem 3: Consider two blocks, with masses m and 2m, suspended by ideal and identical stringsin the two configurations represented in the figure below. When applying a force ~F that increasesSLOWLY pulling each system downwards, one CAN STATE that:

2m

m

m

2m

1 3

24

�F �F

a) The strings 1 and 4 will break before the strings 2 and 3.

b) All strings will break at the same instant.

c) The strings 2 and 3 will break before the strings 1 and 4.

d) The strings 1 and 3 will break first.

Discursive

Problem 4: A grenade of mass m explodes in N fragments. The di↵erence between the kinetic enegiesbefore and after the explosion (Q) is positive. Consider an instant immediately after the explosion. Ifnecessary, use cos 60� = 1/2.

a) If N = 2, show that the fragments move in opposite directions relative to the center of mass frame.

b) If N = 3, show that the linear momenta of the fragments, relative to the center of mass, are in aplane.

c) Still with N = 3, if the fragments are equal and emitted with linear momenta of the same magnitudein the center of mass reference frame, find the linear momentum of each fragment, relative to thecenter of mass, in terms of Q and m. Consider that one of the fragments has been scattered in thepositive direction of the X axis.

3

BLOCK 2: Waves, Fluids and Thermodynamics

Multiple-choice

Problem 5: Consider a fiber boat floating in a pool containing an incompressible liquid, in the situ-ations illustrated in the figure. In all cases, the volume of liquid is the same.(A) Boat with an anchor inside.(B) Empty boat.(C) The empty boat su↵ers a small accident and a piece of its edge breaks, falls into the pool andremains floating.

If HX is the liquid surface level, in the situation X, measured from the bottom of the pool, which of thefollowing propositions is CORRECT?

a) HA > HB > HC .

b) HA = HB > HC .

c) HA > HB = HC .

d) HA > HC > HB.

Problem 6: A sample of an ideal gas performs the closed cycle shown in the P-V diagram below.The process DC is isothermal. Which of the following statements is TRUE for the complete cycle,relative to magnitudes �U (internal energy variation), Q (heat received by the gas) and �S (entropyvariation)?

a) �U = 0, Q < 0, �S = 0.

b) �U < 0, Q > 0, �S = 0.

c) �U < 0, Q < 0, �S > 0.

d) �U = 0, Q = 0, �S > 0.

4

Problem 7: Consider a sound wave that is incident on a constant-speed moving object and is reflectedby it. If fI is the frequency of the incident wave and fR is the frequency of the reflected wave, bothmeasured by an observer in the object reference frame, we can AFFIRM that:

a) fR = fI .

b) fR > fI .

c) fR < fI .

d) the relationship between fI and fR depends on the direction of the object velocity.

Discursive

Problem 8: A ball vertically suspended by a spring is immersed in a viscous fluid, as shown in thefigure.

The equation of motion of the center of mass of the ball is

mx = �kx � 2bx ,

where x is the displacement measured from the equilibrium position, m is the mass of the ball, k is thespring constant and b is a positive constant that depends on the geometry of the suspended object andthe viscosity of the fluid. Proposing solutions of the form

x(t) = e�t,

where t is the time and � is a complex number, develop the following items, justifying each step.

a) Obtain the relation between k, b and m for the existence of oscillations.

b) For these cases, determine the period T of the oscillations. Sketch the plot of T as a function of b.Comment on the extreme cases.

c) The energy of the system is given by E = k2x

2 + m2 x

2. Using the equation of motion, show that

E(= dE/dt) = �2bx2. From E and dE/dt, deduce the asymptotic values of the energy E and thatof the state of the system (x, x), in the limit t ! 1.

5

BLOCK 3: Electromagnetism

Multiple-choice

Problem 9: A permanent magnet is released from a height, h, over a solid block of copper that isconsiderably larger than the magnet, as illustrated in the figure below. Given that copper is a non-magnetic metal and g is the magnitude of the free-fall acceleration, it is CORRECT to state that:

a) The magnet falls with constant speed, from the moment it is released.

b) The magnet falls with acceleration |~a(t)| = g.

c) The magnet falls with acceleration |~a(t)| > g.

d) The magnet falls with acceleration |~a(t)| < g.

Problem 10: Considering the circuits below, the CORRECT alternative is:

b) o ıma se movimento em direcao ao circuito com velocidade 2�v en-quanto o circuito se afasta com velocidade 1, 5�v.

c) o ıma se movimento em direcao ao circuito com velocidade �v enquantoo circuito se aproxima com velocidade 0, 5�v.

4. Questao:Dados os circuito abaixo, qual afirmativa esta correta?

pIq pIIq pIIIq

a) para uma mesma voltagem aplicada, o circuito (III) tem a menorpotencia.

b) para uma mesma voltagem aplicada, o circuito (I) e (II) tem a mesmapotencia.

c) o circuito (I) tem a menor resistencia.

Respotas:


• Questao 2: resposta (a)

• Questao 3: resposta (c)


2

a) For the same applied voltage, circuit (III) is the one with the lowest power.

b) For the same applied voltage, circuits (I) and (II) have the same power.

c) Circuit (I) is the one with the smallest resistence.

d) The current that flows through each resistor in circuit (II) is equal to the current that flows throughcircuit (I).

6

Problem 11: Two protons (p) and one electron (e) are arranged in the three configurations illustratedin the figure below. Considering the net electric force acting on the electron, Fi (where the index i

indicates the configuration), it is CORRECT to state that:

-22-

39. The figure above shows three arrangements of one electron (e) and two protons (p). Which of the following is true about the magnitude F of the netelectrostatic force acting on the electron due to the protons?

(A) 1 2 3F F F! !(B) 1 2 3F F F !(C) 1 3 2F F F! !(D) 2 1 3F F F! !(E) 2 3 1F F F! !

GO ON TO THE NEXT PAGE.-22-

39. The figure above shows three arrangements of one electron (e) and two protons (p). Which of the following is true about the magnitude F of the net electrostatic force acting on the electron due to the protons?

(A) F ! F ! F1 2 3

(B) F F ! F1 2 3

(C) F ! F ! F1 3 2

(D) F ! F ! F2 1 3

(E) F ! F ! F2 3 1

GO ON TO THE NEXT PAGE. 28

a) F1 > F2 > F3.

b) F1 = F3 < F2.

c) F1 > F3 > F2.

d) F2 > F1 > F3.

Discursive

Problem 12: A point charge, Q, is placed at the center of a conducting spherical shell of inner radiusa and external radius b, as illustrated below. Assume that the system is in electrostatic equilibrium andthat the conducting shell has a net charge q.

a) Calculate the electrostatic potential as a function of r, V (r), in all space. Assume that r is thedistance to the center of the spherical shell and V (1) = 0.

b) Determine the surface density charge at the two surfaces of the conducting spherical shell.

7

BLOCK 4: Electromagnetic Waves , Optics and Modern Physics

Multiple-choice

Problem 13: A particle is confined in a one-dimensional trap located between x = 0 and x = L, dueto a potential V (x), shaped like a finite well:

V (x) =

⇢�V0,

0,0 x L

x < 0 || x > L

where V0 and L are positive constants. Considering k to be real and positive, which of the followingoptions BETTER DESCRIBES this particle’s wave-function for x < 0:

a) (x) = A sin(kx).

b) (x) = 0.

c) (x) = A exp(kx).

d) (x) = A exp(�kx).

Problem 14: The figure below displays the current (i) as a function of the potential-di↵erence (�V )obtained for a typical photoelectric-e↵ect experiment when a specific cathode is illuminated by light offrequency f . According to this experiment, which of the following relations is TRUE?

a) f4 = f2 > f1 = f3.

b) f1 = f2 > f3 = f4.

c) f1 = f3 > f2 = f4.

d) f1 = f4 > f2 = f3.

-3 -2 -1 0 1 2 3

5

f1

f2

f3

f4

i(µA)

ΔV(V)

8

Problem 15: The muon is an unstable particle abundantly produced in the earth’s atmosphere, dueto collisions with cosmic rays. In the local rest frame of the muon, its decay time is ⇠ 2 µs. Assumingthat the muons are produced with a velocity vmuon ⇡ 0.9c, with c being the velocity of light, an observerat rest at earth’s surface would see a muon’s decay time that is:

a) considerably smaller than 2 µs.

b) considerably larger than 2 µs.

c) approximatly equal to 2 µs.

d) impossible to determine with the information given above.

Discursive

Problem 16: Two experiments were made with light beams of wavelength 600 nm. One was asingle-slit experiment and the other was a double-slit experiment, with both interference patterns beingprojected in a screen 2.5 m away from the slits. The figure below shows the results of both experiments,but unfortunately they were mixed and are given in a random order.

a) Identify which image corresponds to each experiment. Justify your answer.

b) What is the size of the aperture of the single slit? In the case of the two slits experiment, what isthe distance between them?

c) On the figure representing the double slit experiment, sketch the interference pattern that wouldemerge if the two slits were replaced by a large number of slits (all with the same spacing betweenthem as in the double slit experiment). Use the figure located at the answer book.

9

BLOCK 5: Quantum Mechanics(MANDATORY FOR PHD CANDIDATES)

Multiple-choice

Problem 17: Consider a particle confined in the potential an anharmonic oscillator given by V (x) =ax

2 + bx4, where a and b are dimensional constants, with a < 0 while b > 0. For this situation, it is

CORRECT to state that :

a) there is a finite number of possible continuum states.

b) there is a finite number of possible discrete states.

c) there is an infinite number of possible continuum states.

d) there is an infinite number of possible discrete states.

Problem 18: Consider a wave function (x) defined over the entire real axis (�1,+1). Choose theoption which CANNOT represent this wave function:

a) (x) = Nekx2�a, where N , k and a are positive constants.

b) (x) = Ne�kx2+a, where N , k and a are positive constants.

c) (x) = N1

kx+a , where N , k and a are positive constants.

d) (x) = N1

kx�a , where N , k and a are positive constants.

Problem 19: The orbital angular momentum operator is defined as ~L = ~R ⇥ ~P or, in terms of itscomponents:

Lx = Y Pz � ZPy , Ly = ZPx � XPz , Lz = XPy � Y Px .

The magnitude squared of the angular momentum vector is L2 = L2x + L

2y + L

2z. The INCORRECT

commutation relation is:

a) [L2, Ly] = 0.

b) [Lx, Ly] = i~Lz.

c) [Lz, X] = i~Y .

d) [Lz, Py] = i~Pz.

10

Discursive

Problem 20: Consider a particle described by a normalised wave function , at a time t = 0:

(x, 0) =

8>>>>>><

>>>>>>:

Ax

a, if 0 x a ,

Ab � x

b � a, if a x b ,

0 , in any other case.

Given that A, a e b are constants,

a) determine A as a function of a and b;

b) determine the most probable value of the particle position at time t = 0;

c) determine the average position x of the particle at time t = 0.

11


EDITAL 2018-2

Second Semester 2018 - May 17th, 2018 (UFRJ)

ANSWERS

Full Name:

Signature:

Indicate which block will NOT be corrected:

Indicate the total number of pages filled in (including this first one):

Final grade (to be filled by the UNIPOSRIO committee):

Multiple choice Discursive

Final gradeCorrect Wrong GradingProb. 4 Prob. 8 Prob. 12 Prob. 16 Prob. 20

answers answers answers

Multiple choice

Mark with an X your answers to the multiple-choice questions in the table below, according to the blocks

you have chosen to answer.

a) b) c) d)

Block 1

Prob. 1

Prob. 2

Prob. 3

Block 2

Prob. 5

Prob. 6

Prob. 7

Block 3

Prob. 9

Prob. 10

Prob. 11

Block 4

Prob. 13

Prob. 14

Prob. 15

Block 5

Prob. 17

Prob. 18

Prob. 19

1


EDITAL 2018-2


ANSWERS

Full name:

If you chose to answer Block 4, you should use the figure below to solve problem 16.

2


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ANSWERS

Full name:

3


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ANSWERS

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4


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