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EntscheidungstheorieTeil 4

Sommersemester 2011

Prof. Dr. Antje Mahayni

Mercator School of ManagementDepartment of Accounting & Finance

Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 1/74

4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung)5 Entscheidung bei Ungewissheit

Gliederung Teil 4

Gliederung Teil 4

4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung)

4.6 Begrundung des Bernoulli–Prinzips4.7 (µ, σ)–Prinzip4.8 Stochastische Dominanz

5 Entscheidung bei Ungewissheit

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit5.2 Spezielle Entscheidungsregeln5.3 Theoretische Bewertung5.4 Praktische Relevanz



4.6 Begrundung des Bernoulli-Prinzips4.7 (µ, σ)–Prinzip4.8 Stochastische DominanzAufgaben

Entscheidung bei Risiko– Fortsetzung




Begrundung des Bernoulli-Prinzips

Frage: Ist das Bernoulli–Prinzip sinnvoll?

→ Antwort A

→ Uberprufung der All–Aussage:Jeder Entscheidungstrager besitzt eine Nutzenfunktion u, so dass er

in allen Risikosituationen seine Aktionen anhand des zugehorigen

Nutzenerwartungswertes beurteilt

→ Eine Verfizierung ist unmoglich→ Stochastifizierung (Bernoulli–Prinzip prognostiziert relativ

haufig das tatsachliche Verhalten)

→ Antwort B

→ Normativer Aspekt des Bernoulli–Prinzips: Entscheide inRisikosituationen rational

→ Prazisierung durch das Bernoulli–Prinzip→ Welche Forderungen impliziert das Bernoulli–Prinzip?




Axiome (Bernoulli-Prinzip)

Axiome (Bernoulli-Prinzip)

→ Erfullt die Praferenz eines Entscheiders bezuglichrisikobehafteter Alternativen

→ die Axiome einer Praferenzordnung (Vollstandigkeit,Transitivitat),

→ das Stetigkeitsaxiom→ und das Substitutionsaxiom,

→ so existiert eine Funktion u, deren Erwartungswert diesePraferenz abbildet




Nutzenfunktion u – Bemerkung

Nutzenfunktion u – Bemerkung

→ Die Nutzenfunktion bildet sowohl die Einstellung zum Werteiner Konsequenz als auch das Risikoverhalten ab

→ Erkennt ein Entscheider die vorherigen Axiome an, so muss ersich in riskanten Entscheidungssituationen gemaß derNutzentheorie verhalten




Stetigkeitsaxiom – Motivation

Stetigkeitsaxiom – Motivation

→ Hypothetische Entscheidungssituation

p 1− pz1 z2

a1 x=100e x=100ea2 y=0e z=200e

→ Eine Methode zur Bestimmung der Nutzenfunktion u(Methode der variablen Wahrcheinlichkeiten):Frage den Entscheidungsrager nach der Wahrscheinlichkeit p,so dass er indifferent zwischen Alternative 1 und 2 ist

→ Die Frage muß fur verschiedene sichere Auszahlungen (nichtnur fur die obigen 100e) beantwortet werden (konnen)




Zusammengesetzte Lotterien

Motivation Stetigkeitsaxiom – zusammengesetzte Lotterien

→ Bei der Methode der variablen Wahrscheinlichkeiten muss derEntscheidungstrager ein p angeben konnen, so dass erindifferent zwischen der sicheren Auszahlung und der Lotterieist

→ Bei dem Stetigkeitsaxiom werden zusammengesetzte Lotterienbetrachtet

→ Bei einer zusammengesetzten Lotterie sind zwei oder mehr alszwei Lotterien hintereinandergeschachtelt




Zusammengesetzte Lotterien – Beispiel

Zusammengesetzte Lotterie – Beispiel

→ Betrachte die Lotterie Y , die mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 2eine Auszahlung von 400 ergibt und mit (1− p = 0, 8) eineAuszahlung von 0

→ Betrachte zusatzlich die Lotterie Z , die mit Wahrscheinlichkeitp = 1 eine Auszahlung von 100 ergibt (degenerierte Lotterie)

→ Eine zusammengesetzte Lotterie ergibt sich nun, wenn manz.B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 an der Lotterie Yteilnimmt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 an derLotterie Z




Zusammengesetzte Lotterien – Illustration (zweistufig)

Zusammengesetzte Lotterie

→ Die zusammengesetzte Lotterie im obigen Beispiel kann alszweistufige Lotterie dargestellt werden

→ Die aquivalente einstufige Darstellung ergibt sich zuProf. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 10/74



Zusammengesetzte Lotterien – Illustration (einstufig)

Zusammengesetzte Lotterie

→ Die aquivalente einstufige Darstellung ergibt sich zu




Stetigkeitsaxiom

Stetigkeitsaxiom

→ Sind Lotterien (Verteilungen) X , Y und V gegeben wobeiY � X � V , dann gibt es eine Wahrscheinlichkeit p(∃p ∈ ]0, 1[), bei der

X ∼{

Y WS pV WS 1− p

Bedeutung

Das Stetigkeitsaxiom bedeutet, dass fur jede Lotterie X , die vonder Praferenz her zwischen Y und V liegt, immer eine Kombinationvon Y und V gefunden werden kann, die genauso gut ist wie X .




Substitutionsaxiom (Unabhangigkeitsaxiom)

Substitutionsaxiom (Unabhangigkeitsaxiom)

→ Gilt fur zwei Lotterien X � Y , so muss auch fur alle LotterienZ und fur alle Wahrschinlichkeiten p gelten, dass

pX + (1− p)V � pY + (1− p)V ,

d.h.,{X WS pV WS 1− p

�{

Y WS pV WS 1− p




Substitutionsaxiom (Unabhangigkeitsaxiom) – Bedeutung

Substitutionsaxiom (Unabhangigkeitsaxiom) – Bedeutung

→ Eine Praferenz zwischen zwei Lotterien X und Y soll sichnicht andern, wenn beide Lotterien mit ein und derselben(somit fur die Entscheidung irrelevanten) Lotterie verknupftwerden




Beispiel

Beispiel




Beispiel (Fortsetzung)





4.7 (µ, σ)–Prinzip

Klassische Entscheidungsprinzipien

→ Teils aus intuitiven Grunden, teils aus traditionellen Grunden, habensich auch andere Vorgehensweisen (als das Bernoulli–Prinzip)eingeburgert

→ Beispiele: µ–Prinzip und (µ, σ)–Prinzip

(µ, σ)–Prinzip

→ Betrachtet wird die zufallige Auszahlung X (Verteilung) mit

→ µ = E (X )

→ σ =√

Var [X ] =√

E [X 2]− (E [X ])2

→ (µ, σ)–Prinzip besagt, dass die Verteilung X (nur) nach ihremErwartungswert µ und ihrer Standardabweichung σ bewertet wird,d.h. Φ(X ) = Φ(µ, σ)




Bemerkungen

Unterscheidung (µ, σ)–Prinzip und (µ, σ)–Regel

→ (µ, σ)–Prinzip: Eine Verteilung X wird entsprechend einesPraferenzfunktionals Φ(X ) = Φ(µ, σ) beurteilt

→ Die Festlegung der Funktion Φ ergibt eine (µ, σ)–Regel

→ z.B. Φ(µ, σ) = µ− α2 σ

2 ((µ, σ)–Regel)

Darstellung von (µ, σ)–Regel durch Indifferenzkurven

→ Eine Indifferenzkurve ist die Verbindung aller (µ, σ)–Punkte,die bzgl. des gegebenen Kriteriums als gleichwertig gelten

→ Einsetzen der Punkte (von einer Indifferenzkurve) in dieEntscheidungsregel ergibt immer dieselbe Bewertung




Indifferenzkurven – risikoaverser Entscheidungstrager

Indifferenzkurven – risikoaverser Entscheidungstrager

→ Erhohung von σ (Risiko) muss durch eine Erhohung von µkompensiert werden




Indifferenzkurven – risikoneutraler Entscheidungstrager

Indifferenzkurven – risikoneutraler Entscheidungstrager

→ Risikoneutralitat bedeutet, dass σ (Risiko) nicht von Bedeutung ist,d.h., die Bewertung hangt nur von µ ab (= µ–Regel) →Φ(µ, σ) = Φ(µ)




Indifferenzkurven – risikofreudiger Entscheidungstrager

Indifferenzkurven – risikofreudiger Entscheidungstrager

→ Stimmen zwei Verteilungen in ihrem Erwartungswert uberein, sowird diejenige mit dem hoheren Risiko (σ) bevorzugt




(µ, σ)–Entscheidungsregel (Aufgabe)

Aufgabe

→ Betrachtet werden die Verteilungen X1 und X2 mit

xi P(X1 = xi )

0 0,10,5 0,21 0,42 0,23 0,1

xi P(X2 = xi )

-0,5 0,1-0,25 0,21,5 0,43 0,24 0,1

→ Bewerten Sie die Verteilungen X1 und X2 mit der(µ, σ)–Entscheidungsregel

Φ(X ) = Φ(µ, σ) =µ− 1

3σ2




Losung




(µ, σ)–Prinzip (Problem)

Beispiel

→ Betrachte die Lotterien X und Y mit

xi P(X = xi )

-1 1.000.0001.000.001

1.000.000 11.000.001

yi P(Y = yi )

-1.000 12

1.000 12

→ X und Y stimmen in ihren Erwartungswerten uberein

E [X ] = −1.000.000

1.000.001+

1

1.000.001· 1.000.000 = 0

E [Y ] = −1.000 · 1

2+ 1.000 · 1

2= 0

→ X und Y stimmen in ihren Varianzen uberein

Var[X ] =1.000.000

1.000.001· 1

1.000.001· (1.000.000− (−1))2 = 1.000.000

Var[Y ] =1

2· 1

2· (1.000− (−1.000))2 = 1.000.000




Problem

→ Laut (µ, σ)–Prinzip sind die Lotterien X und Y gleichwertig

→ X beschreibt ein Gluckspiel von der Art: Fur einen sehrniedrigen Einsatz (1 e) erhalt der Spieler mit sehr geringerWahrscheinlichkeit einen sehr hohen Gewinn (1.000.000 e)

→ Demgegenuber ist der Gewinn bei Y weniger attraktiv und einVerlust von 1.000 e relativ wahrscheinlich

→ Das Risikoverhalten eines Entscheidungstrager kann aber nurdann durch eine (µ, σ)–Regel beschrieben werden, wenn erindifferent zwischen den Verteilungen X und Y ist




Bemerkung – Vertraglichkeit mit dem Bernoulli–Prinzip

Bemerkung – Vertraglichkeit mit dem Bernoulli–Prinzip

→ Das Bernoulli-Prinzip und das (µ, σ)-Prinzip sind genau dannvertraglich, wenn das Praferenzfunktional Φ(µ, σ) und dieRisikonutzenfunktion u(x) folgende Gestalt haben:

Φ(µ, σ) = b1µ+ b2(µ2 + σ2)

u(x) = b1x + b2x2, fur beliebige Konstanten b1, b2

→ Fur allgemeinere Praferenzfunktionale erhalt man eineVertraglichkeit nur dann, wenn man die moglichenWahrscheinlichkeitsverteilungen einschrankt




MotivationMotivation

→ Falls nur ein bestimmter Entscheidungstrager betrachtet wird (und dessenRisikonutzenfunktion ermittelt wurde), konnen alle Alternativen(problemlos) verglichen werden

→ Aussagen uber die Wirkung von:

→ Entlohnungsschemata→ Regulierungsmaßnahmen→ Steuertarifanderungen→ · · ·

konnen nur getroffen werden, wenn eine Gruppe vonEntscheidungstragern betrachtet wird

→ Aussagen werden hier nur dann erzielt, wenn ein bestimmter Effekt fureine ganze Klasse von Nutzenfunktionen (z.B. CARA– oderCRRA–Nutzenfunktionen) nachgewiesen werden kann

→ Wir werden im folgenden (umfangreichere) nichtparametrische Klassenvon Nutzenfunktionen betrachten




Klassen von Nutzenfunktionen

Klassen von Nutzenfunktionen

→ U1 = Klasse aller monoton wachsendenRisikonutzenfunktionen u

→ U2 = Klasse aller Risikonutzenfunktionen u aus U1, diekonkav sind

Bemerkung

→ u′ > 0 bedeutet, dass mehr besser ist und stellt den normalenFall dar

→ Gilt zusatzlich u′′ < 0, so bedeutet dies abnehmendenGrenznutzen

→ u′′ < 0 bedeutet, die Nutzenfunktion ist konkav (risikoaverserEntscheidungstrager)




Stochastische Dominanz ersten Grades

Stochastische Dominanz ersten Grades (first degree stochasticdominance)

→ Falls alle Entscheidungstrager mit einer Nutzenfunktion u ausU1 zu demselben Urteil kommen, z.B. zu dem Urteil X1 � X2

(gleichbedeutend mit E [u(X1)] ≥ E [u(X2)]), so spricht manvon stochastischer Dominanz ersten Grades

→ Kurz:

X1 �FSD X2 ⇔ E [u(X1)] ≥ E [u(X2)] ∀ u ∈ U1




Satz – Stochastische Dominanz ersten Grades (FSD)

Satz Stochastische Dominanz ersten Grades (FSD)

→ Sind F1 und F2 die Verteilungsfunktionen der ZufallsvariablenX1 bzw. X2, so liegt stochastische Dominanz ersten Gradesvon X1 uber X2 (X1 �FSD X2) genau dann vor, wenn:

F1(x) ≤ F2(x) ∀ x ∈ IR

→ X1 dominiert X2 vom Grade 1, wenn die VerteilungsfunktionF1 unterhalb oder auf derjenigen von F2 verlauft




Illustration – Stochastische Dominanz ersten Grades (FSD)




Stochastische Dominanz zweiten Grades

Stochastische Dominanz zweiten Grades (second degree stochasticdominance)

→ Falls alle Entscheidungstrager mit einer Nutzenfunktion u ausU2 zu demselben Urteil kommen, z.B. zu dem Urteil X1 � X2

(gleichbedeutend mit E [u(X1)] ≥ E [u(X2)]), so spricht manvon stochastischer Dominanz zweiten Grades

→ Kurz:

X1 �SSD X2 ⇔ E [u(X1)] ≥ E [u(X2)] ∀ u ∈ U2




Satz – Stochastische Dominanz zweiten Grades (SSD)

Satz – Stochastische Dominanz zweiten Grades (SSD)

→ Sind F1 und F2 die Verteilungsfunktionen der ZufallsvariablenX1 bzw. X2, so liegt stochastische Dominanz zweiten Gradesvon X1 uber X2 (X1 �SSD X2) genau dann vor, wenn:∫ x

−∞F1(y) dy ≤

∫ x

−∞F2(y) dy ∀ x ∈ IR

→ X1 dominiert X2 vom Grade 2, wenn an jeder Stelle x derVergleich der Flachen unter den Verteilungsfunktionen (linksvon x) ergibt: die Flache unter der Verteilungsfunktion 1 istkleiner oder gleich derjenigen unter Verteilungsfunktion 2




Aufgabe 1 – Stochastische Dominanz

Aufgabe 1

→ Betrachten Sie die Verteilungen X1 und X2 mit

xi P(X1 = xi )

200 1

xi P(X2 = xi )

100 0,5300 0,5

→ Kommen alle Entscheidungstrager mit monoton wachsenderNutzenfunktion bei einem Vergleich von X1 und X2 zu einemeinheitlichen Urteil?

→ Kommen alle Entscheidungstrager mit monoton wachsenderund konkaver Nutzenfunktion bei einem Vergleich von X1 undX2 zu einem einheitlichen Urteil?




Aufgabe 2 – Stochastische Dominanz

Aufgabe 2

→ Betrachten Sie die Verteilungen X1 und X2 mit

xi P(X1 = xi )

0 0,10,5 0,21 0,42 0,23 0,1

xi P(X2 = xi )

-0,5 0,1-0,25 0,21,5 0,43 0,24 0,1

→ Gilt stochastische Dominanz ersten Grades?

→ Gilt stochastische Dominanz zweiten Grades?




Aufgaben




Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 120.)

Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 2 Kapitel 4, S.122.)

Ein risikoneutraler Kostenrechner steht vor der Frage, ob er einefestgestellte Kostenabweichung in Hohe von 5.000 e naheranalysieren soll oder nicht. Lasst er die Sache auf sich beruhen,dann muss er nach seiner Erfahrung mit einer Wahrscheinlichkeitvon 0,3 damit rechnen, dass auch in der nachsten Periode (auf diesich die Planung bezieht) diese Mehrkosten wieder anfallen. Wenner eine Ursachenanalyse, die 750 e Kosten verursacht, durchfuhrt,sinkt die Wahrscheinlichkeit des Fortbestehens derUnwirtschaftlichkeit erfahrungsgemaß auf 0,1.

→ Soll die Abweichungsanalyse durchgefuhrt werden?




Losung

Losung

→ Wichtig: Die Wahl der beiden Alternativen

→ a1=Ursachenanalyse durchfuhren→ a2 =Ursachenanalyse nicht durchfuhren

besitzt eine Auswirkung darauf, mit welchenWahrscheinlichkeiten die Zustande

→ z1 = Mehrkosten von 5.000 fallen (wieder) an→ z2 = Mehrkosten fallen nicht an

→ Laut Aufgabenstellung gilt

P(z1|a2) = 0, 3 ⇒ P(z2|a2) = 0, 7

P(z1|a1) = 0, 1 ⇒ P(z2|a1) = 0, 9




Losung (Fortsetzung)

Losung (Fortsetzung)

→ Die Wahl von Alternative a1 impliziert somit folgende Verteilung

X1 =

{5.000 + 750 WS p = 0, 1

750 WS 1− p = 0, 9

⇒ E [X1] = 0, 1× 5.750 + 0, 9× 750 = 1250

→ Die Wahl von Alternative a2 ergibt

X2 =

{5.000 WS p = 0, 3

0 WS 1− p = 0, 7

⇒ E [X2] = 0, 3× 5.000 = 1500

⇒ Kostenanalyse durchfuhren






Einem Unternehmer werden zwei Projekte angeboten. Bei demersten ist der Gewinn 20.000e oder 40.000e jeweils mit einerWahrscheinlichkeit von 0,5; bei dem zweiten erhalt er jeweils miteiner Wahrscheinlichkeit von 0,5 einen Gewinn von ye bzw. 0e.Wie groß muss der Gewinn y des zweiten Projekts sein, damitbeide Projekte gleich eingeschatzt werden? Bei der Beantwortungkann davon ausgegangen werden, dass sich der Unternehmer (imrelevanten Bereich) gemaß der quadratischen Nutzenfunktion

u(x) = − x2

100.000+ 2x

verhalt.




Losung (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 123.)




Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 126.) I


Der Unternehmer Muller legt seinen Entscheidungen eine lineareNutzenfunktion uM(x) = x zugrund, der Unternehmer Schulzerichtet sich nach der Nutzenfunktion

uS(x) =

{1

50.000 x2 , 0 ≤ x ≤ 50.000− 1

50.000 x2 + 4x − 100.000 , 50.000 < x ≤ 100.000

Beide sollen dieselbe Lage beurteilen. Es soll entschieden werden,welches der beiden Produkte 1 und 2 auf den Markt gebrachtwerden soll.




Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 126.) II

Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 8 Kapitel 4, S. 126.)

Produkt 1 bringt in der Planungsperiode mit einer Wahrscheinlichkeit von0,3 einen Gewinn von 50.000 e, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5einen Gewinn von 90.000 e und mit 0,2 einen Gewinn von 100.000 e.Produkt 2 bringt in jedem Fall einen Gewinn von 80.000 e.

→ Wie ist der Verlauf der beiden Nutzenfunktionen und welcheEinstellung zum Risiko spiegeln sie wider?

→ Wie entscheiden sich die beiden Unternehmer?

→ Andert sich an der Entscheidung etwas, wenn man berucksichtigt,dass beide Produkte zusatzliche fixen Kosten in Hohe von 50.000 everursachen?

→ Wie kommt es zu diesem Ergebnis?



5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit5.2 Spezielle Entscheidungsregeln5.4 Praktische Relevanz

5 Entscheidung beiUngewissheit




Entscheidungen bei Ungewissheit:Unsicherheit im engeren Sinn

→ Ungewissheitssituation→ Es ist bekannt, dass einer der Zustande aus dem Zustandsraum

eintritt.→ Es ist aber nicht bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die

Zustande eintreten.

→ Beispiel: Versicherung eines neuen Flugzeug-Typs, uber dennoch keine Schadenshaufigkeiten vorliegen.




Entscheidungsmatrix

Entscheidungsmatrix bei Ungewissheit

→ Im Folgenden werden wir der Einfachheit halberUngewissheitssituationen mit nur endlich vielen Aktionen undendlich vielen (relevanten) Zustanden betrachten

Zustandez1 z2 . . . zn

Aktionena1 u11 u12 . . . u1n

a2 u21 u22 . . . u2n...

......

...am um1 um2 . . . umn




Beispiel: Entscheidungsmatrix

Beispiel

Zustandez1 z2 z3

Aktionena1 7 3 5a2 2 8 9a3 4 10 2

→ Welche Alternative wahlen Sie?

→ Fur Zustand 1 ist a1 optimal→ Fur Zustand 2 ist a3 optimal→ Fur Zustand 3 ist a2 optimal




Vergleichbarkeit von Strategien

Vergleichbarkeit von Strategien

→ Zwei Aktionen ak und ai sind nur dann unmittelbarvergleichbar, wenn

→ entweder fur alle Zustande (d.h. fur j = 1, . . . , n) gilt

ukj ≥ uij

→ ak ist mindestens so gut wie ai

→ oder fur alle Zustande (d.h. fur j = 1, . . . , n) gilt

ukj ≤ uij

→ ai ist mindestens so gut wie ak




5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit

Dominanz

→ Eine Aktion ak dominiert eine Aktion ai , wenn ak in jedemZustand mindestens so gut wie ai und in mindestens einemZustand besser als ai ist.

ak � ai

⇔ ukj ≥ uij ∀ j = 1, . . . , n

und es existiert mindestens ein j ∈ {1, . . . , n}mit ukj > uij




Effizienz

→ Eine Aktion ai heißt effizient , wenn sie von keiner Aktion ak

dominiert wird.

→ Eine Aktion ai heißt ineffizient , wenn sie nichteffizient ist,d.h. wenn sie von mindestens einer Aktion ak dominiert wird.

→ In dem obigen Beispiel sind alle drei Aktionen a1, a2 und a3

effizient.




(Heraus-) Filtern ineffizienter Aktionen

→ In der Praxis kommt es selten vor, dass eine Aktion alleanderen dominiert (man nennt eine derartige Aktiongleichmaßig beste Aktion). Daher kann dies nicht alsKriterium zur Entscheidung herangezogen werden.

→ Man kann aber mit Hilfe der Dominanz ineffiziente Aktionenaussortieren.

→ Zerlegung in vernunftige (effiziente) und unvernunftige(ineffiziente) Aktionen




5.2 Spezielle Entscheidungsregeln furEntscheidungen bei Ungewissheit

→ Es werden Entscheidungsregeln eingefuhrt, die einevollstandige Vergleichbarkeit aller Aktionen erzwingen, indemsie den mit einer Aktion ai verknupften Nutzenwertenui1, . . . , uin eine einzige reelle Zahl Φ(ai ) als Gutemaßzuordnen, z. B.:

→ Maximin-Regel (Wald-Regel)→ Maximax-Regel→ Hurwicz-Regel→ Laplace-Regel→ Savage-Niehans-Regel (Regel des kleinsten maximalen

Bedauerns)




Bemerkung

→ Vorteil: Ungewissheitsproblem wird formal auf einOptimierungsproblem unter Sicherheit zuruckgefuhrt

→ Nachteil: (Gewisse) Willkur




MaxiMin–Regel

MaxiMin–Regel

→ Fur die Beurteilung einer Alternative ist nur der Erfolgmaßgeblich, der im ungunstigsten Fall erzielt wird.

Φ(a∗) = maxi∈{1,...,m}

minj∈{1,...,n}

uij

→ Nachteil: extrem pessimistisch

→ Fur unternehmerische Entscheidungen unbrauchbar, da derWorst Case dort meist ein Verlust ist.

→ Frage: In welchen Bereichen konnen Worst Case –Analysensinnvoll sein?




Beispiel – MaxiMin-Regel

Beispiel – MaxiMin-Regel

→ Schritt 1: Zeilenminima betrachten (Worst Case der jeweiligenAlternative)

Schritt 2: Maximum der Minima

Zustandez1 z2 z3

Aktionen

a1 7 3 5a2 2 8 9a3 4 10 2

→ Entsprechend der MaxiMin-Regel gilt hier a∗ = a1




Bemerkung – MaxiMin-Regel

Bemerkung – MaxiMin-Regel

→ Pathologischer Pessimismus (Krelle)

Zustandez1 z2 z3 · · · Φ(ai )

Aktionena1 0,999 1.000 1.000 · · · 0,999

a2 1 1 1 · · · 1

→ Laut MaxiMin–Regel ist hier a2 die optimale Aktion

→ Rechtfertigung der MaxiMin–Regel

→ Spieltheorie (hier ist das Umfeld ein rational handelnderGegenspieler)

→ Bei einem Ubergang von Nutzen zu Schaden wird aus derMaxiMin die MiniMax–Regel




MaxiMax-Regel

MaxiMax-Regel

→ Fur die Beurteilung einer Alternative ist nur der Erfolgmaßgeblich, der im besten Fall erzielt wird.

Φ(a∗) = maxi∈{1,...,m}

maxj∈{1,...,n}

uij

→ Nachteil: extrem optimistisch




Beispiel – MaxiMax-Regel

Beispiel – MaxiMax-Regel

→ Schritt 1: Zeilenmaxima betrachten (Best Case der jeweiligenAlternative)

→ Schritt 2: Maximum der Maxima

Zustandez1 z2 z3

Aktionena1 7 3 5a2 2 8 9

a3 4 10 2

→ Entsprechend der MaxiMax-Regel gilt hier a∗ = a3




Hurwicz-Regel (Hurwicz (1951))

Hurwicz-Regel

→ Kompromiss zwischen MaxiMin und MaxiMax

Φ(ai ) = λ maxj∈{1,...,n}

uij + (1− λ) minj∈{1,...,n}

uij

→ 0 ≤ λ ≤ 1 = Optimismusparameter

→ λ ist ein vom Entscheidungstrager selbst zu fixierenderParameter

→ Spezialfalle

→ λ = 0 → MaxiMin→ λ = 1 → MaxiMax




Bestimmung des Optimismusparameters

Bestimmung des Optimismusparameters

z1 z2

a1 1 0a2 x x

→ Variiere x bis der Entscheider indifferent ist

Φ(a1) = λ× 1 + (1− λ)× 0 = λ

Φ(a) = λ× x + (1− λ)× x = x

⇒ λ = x

→ Fur λ mit 0 < λ < 1 wagt diese Regel zwischen gunstigsterund ungunstigster Konsequenz ab




Hurwicz-Regel – Beispiel

Hurwicz-Regel – Beispiel

Zustande λ1 = 0, 25 λ2 = 0, 75z1 z2 z3 Max. Min Φ(ai ) Φ(ai )

Aktionena1 7 3 5 7 3 4 6a2 2 8 9 9 2 3,75 7,25a3 4 10 2 10 2 4 8




Hurwicz-Regel – Kritik


→ Betrachte die ordinale Nutzenmessung und die Entscheidungsmatrix

Zustande λ = 12

z1 z2 Φ(ai )

Aktionena∗ = a1 1 0 0,5

a2 -2 2 0

→ Wird etwa die folgende monoton wachsende Transformation betrachtet

Zustande λ = 12

z1 z2 Φ(ai )

Aktionena∗ = a1 1 0 0,5

a2 -4 10 3

so ist nun a2 die optimale Aktion

→ Hurwicz–Regel erfordert kardinale Nutzenmessung




Hurwicz-Regel – Kritik (Fortsetzung)


z1 z2 . . . zj zn

a1 1 0 . . . 0 0a2 0 1 . . . 1 1

→ Fur welche Alternative wurden Sie sich entscheiden?

→ Allerdings basiert diese Kritik darauf, dass der gesundeMenschenverstand die Ungewissheitssituation in eineRisikosituation transferiert, wobei jeder Zustand als gleichwahrscheinlich angesehen wird.




Laplace-Regel

Laplace-Regel

→ Die Laplace-Regel berucksichtigt alle moglichen Ergebnisse,wobei davon ausgegangen wird, dass alle Zustande gleichwahrscheinlich sind.

→ Nutzensumme

Φ(ai ) =n∑

j=1

uij

→ Begrundung: Bei Unsicherheit besteht kein Grund zurVermutung, dass irgendein Zustand wahrscheinlicher ist alsein anderer (Prinzip des unzureichenden Grundes)

→ Bemerkung: Auch hier wird kardinale Nutzenmessung benotigt




Laplace-Regel – Kritik

Laplace-Regel – Kritik

→ Bei starr festgelegten gleichen Gewichten kann sich die Rangfolge derAktionen durch Hinzufugen einer gleichen Spalte andern

→ Beispiel:

→ Ursprungliche Entscheidungsmatrixz1 z2 Φ(ai )

a∗ = a1 3 1 4a2 -1 4 3

→ Entscheidungsmatrix nach Hinzufugen einer gleichen Spaltez1 z2 z3 Φ(ai )

a1 3 1 1 5a∗ = a2 -1 4 4 7

→ Da die im Modell zu erfassenden Zustande vom Entscheidungstragerabhangen, konnen solche Erscheinungen in der Praxis nichtausgeschlossen werden




Savage-Niehans-Regel

Savage-Niehans-Regel

→ Man betrachtet statt der Nutzenmatrix (uij) die

Opportunitatskostenmatrix (sij)

sij = maxk

ukj − uij

→ Gutemaß

Φ(ai ) = maxj

(max

kukj − uij

)→ Die zugehorige Entscheidungsregel ist

Φ(a∗) = minai

Φ(ai )




Savage-Niehans-Regel: Beispiel

Entscheidungsmatrix (Schritt 1: Bestimme fur jeden Zustand den max.erreichbaren Wert)

Zustandez1 z2 z3

Aktionena1 7 3 5a2 2 8 9a3 4 10 2

Opportunitatskostenmatrix (Schritt 2: Bestimme Differenz (Bedauern))

Zustandez1 z2 z3

Aktionena1 7-7=0 10-3=7 9-5=4a2 7-2=5 10-8=2 9-9=0a3 7-4=3 10-10=0 9-2=7




Savage-Niehans-Regel: Beispiel (Fortsetzung)

Opportunitatskostenmatrix (Schritt 3: Bestimme Zeilenmaxima= max.Bedauern, das bei jeder Strategie auftreten kann)

Zustandez1 z2 z3

Aktionena1 0 7 4

a2 5 2 0a3 3 0 7

Schritt 4:

→ Bestimme optimale Aktion = diejenige mit demniedrigsten max. Bedauern

→ a∗ = a2




Problem bei Entscheidung unter Ungewissheit

Problem bei Entscheidung unter Ungewissheit

→ Im Wesentlichen gibt es 3 Wege

→ Gleichmaßig beste Aktion→ Gesamtheit der effizienten Aktionen→ Spezielle Entscheidungsregel

→ Kritik ist bei allen drei Wegen angebracht

→ Diskussion von wunschenswerten Forderungen anLosungskonzepte




Theoretische Bewertung

Forderungen an Entscheidungsregeln nach Milnor

1 vollstandige & transitive Rangordnung

2 Unabhangigkeit von der Reihenfolge

3 Dominierende Aktionen werden praferiert.

4 Neue Aktionen andern die bisherige Rangordnung nicht.

5 Spaltenweise Addition von Konstanten verandert dieReihenfolge nicht.

6 Einfugen identischer Spalten verandert die Rangordnung nicht.

Fazit

⇒ Es gibt keine Entscheidungsregel, die alle Forderungen erfullt.Nur die Laplace-Regel erfullt die ersten funf Forderungen.




5.4 Praktische Relevanz destheoretischen Konstrukts der Unsicherheit

→ Reale Problemsituationen lassen sich meist besser durchRisikosituationen als durch Unsicherheitssituationenbeschreiben.

→ In der Regel verfugt der Entscheider uber gewisse subjektiveWahrscheinlichkeitsvorstellungen hinsichtlich der Zustande.

→ Selbst wenn keine subjektiven Wahrscheinlichkeitsvorstellungenbestehen, kann man nach dem Prinzip des unzureichendenGrundes die Unsicherheitssituation durch Anwendung derLaplace–Regel in eine Risikosituation uberfuhren.

→ kontroverse Diskussion






Eine Unternehmung hat fur drei zur Debatte stehende Aktionen folgendeEntscheidungsmatrix ermittelt:

z1 z2 z3

a1 20 90 30a2 50 120 0a3 60 30 30

Wie lautet die optimale Aktion, wenn die

→ Maximax–Regel

→ Hurwicz–Regel (λ = 0, 3)

→ Laplace–Regel

→ Savage–Niehans–Regel

zugrundegelegt wird?






Fur die Entscheidungsmatrix

z1 z2 z3

a1 20 90 30a2 50 120 0a3 60 30 30

bestimme man die Wahrscheinlichkeiten p1, p2 und p3 fur die Datensituationz1, z2 und z3 so, dass nach dem µ–Kriterium alle drei Alternativen gleichbewertet werden.


Entscheidungstheorie Teil 4 - msm.uni-due.de · 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) 5...

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