Energy Power and Autocorrelationeng.sut.ac.th/tce/old/DC/ch5_comm.pdf409-326 Principles of...

409-326 Principles of Communication Systems: บทที่ 5 ENERGY POWER and ….. 22/5/03

of 15

บทที่ 5 Energy Power and Autocorrelation

จากบทที่ผานมาการพิจารณา Spectrum ของสัญญาณโดยการใชเทคนิคการแปลง Fourier Series และ Fourier Transform ทําใหเห็นสวนประกอบของสัญญาณ ณ ความถีต่างๆ หากเราสงสัญญาณนี้ผานชองสัญญาณที่มีแบนดวิทจํากัด สัญญาณที่รับไดก็จะเพ้ียนไป และหากสวนประกอบที่มีขนาดใหญผานไปไดแตสวนประกอบที่มีขนาดเล็กสูญหายไป เราก็สามารถประมาณวาสญัญาณที่รับไดมีลักษณะใกลเคียงกบัสัญญาณเดิม ซ่ึงจากรูป Spectrum เราจะสามารถพิจารณาไดวาแบนดวิทที่จํากัดควรจะมีแถบกวางเทาไรสญัญาณจึงไมเพ้ียนไปมากและสามารถถอดรหัสสัญญาณเดิมกลับมาได ทรัพยากรอีกสิ่งหน่ึงที่อยูคูกับแบนดวทิและเราจําเปนตองใชพิจารณารวมดวยคอืกําลังงานหรือพลังงานของสัญญาณ ในบทนี้จะกลาวถึง 1) การวิเคราะหหากําลังงานเฉลี่ยของ Power Signal (เชนสัญญาณรายคาบ) 2) การวิเคราะหหาพลังงานรวมของ Energy Signal (เชนสัญญาณที่ไมเปนรายคาบ)

5.1 สัญญาณกําลังงาน Power Signal และสัญญาณพลงังาน Energy Signal ในทางทฤษฎเีพ่ือใหงายในการศึกษาเราจะสมมติให Load คือ 1 โอหม เรียกวา การ normalized ดังน้ัน

ถาหากเปนสญัญาณรายคาบ

โดยที่ T เปนคาบของสัญญาณ P = Average normalized power E= Total normalized energy

< v(t) > คือคาเฉลี่ยทางเวลา Time Average ของสัญญาณ หรือระดับไฟตรง ของสัญญาณนั่นเอง

∫

∫

∫

−∞→

−∞→

∞

∞−

>=<

==

=

2

2

2

2

2

2

)(1lim)(

)(1lim

)(

T

TT

T

TT

dttvT

tv

dttvTT

EP

dttvE

∫

∫

−

−

>=<

=

2

2

2

2

2

)(1)(

)(1

T

T

T

T

dttvT

tv

dttvT

P


of 15

ถาสัญญาณ v(t) ใดมี P = 0 และ 0 < E < ∝ เรียกสัญญาณนั้นวาสัญญาณพลังงาน (Energy Signal) ตัวอยางเชน Unit Pulse ที่มีความสูง 1 Volt พลังงานก็คือ พ้ืนที่ใตกราฟ แตเน่ืองจากมีคาบ T ยาวเปนอนันตเม่ือมาคํานวณกําลังงานจะไดเทากับศนูย

ถาสัญญาณ v(t) ใดมี E = ∝ และ 0 < P < ∝ เรียกสัญญาณนั้นวาสัญญาณกําลังงาน (Power Signal) ตัวอยางเชน สญัญาณรายคาบ sine wave พลังงานก็คือ พ้ืนที่ใตกราฟของ |v(t)|2 ซ่ึงมีคาเทากับอนันต แตเม่ือมาคํานวณกําลังงานจะไดคาที่จํากัด

Example 5.1

Example 5.2

aa

ate

dtate

dttaedttxE

taetx

1

02

22

22

||2|)(|

||)(

0

2

=

∞−=

−=

−==

−=

∫∫∫

∞

∞

∞−

∞

∞−

21

21

11lim|)(|1lim

1lim|)(|lim

)()(

20

22

2

2

20

22

2

2

==

==

∞===

=

∫∫

∫∫

∞→−∞→

∞→−∞→

TT

dtT

dttxT

P

dtdttxE

tutx

T

T

T

TT

T

T

T

TT


of 15

Example 5.3

นักศึกษาไมควรมีความคิดที่คับแคบวาสญัญาณกําลังงานมีแตสัญญาณรายคาบ

เทานั้น สัญญาณสุมก็เปนสัญญาณกําลังงานอยางหนึ่ง และไมควรมีความคิดที่คบัแคบวาสญัญาณพลังงานมีแตสัญญาณชนดิ time limit

เทานั้น สัญญาณ exp(-t)u(t) ก็เปนสัญญาณพลังงานอยางหนึ่ง

5.2 การวิเคราะหหากําลังงานของสัญญาณรายคาบ (Parseval’s Power Theorem) 5.2.1 Single Side Spectrum

]4)();(21[

2

)(21

)22

(1

)(sin)(cos1

)]sin()cos([1

)(1

222

1

220

2

1

220

1

2

1

220

10 0

22

01

0 0222

0

1

200

100

0

2

nnnnnn

in

ni

n

in

in

i

T

n

T

i

T

n

in

T

in

T

cbajbac

ca

baa

bTaTTaT

termcrossdttnbdttnadtaT

dttnbtnaaT

dttvTT

EP

=+−=

+=

++=

++=

+++=

++=

==

∑

∑

∑∑

∑∫∫ ∑∫

∑∫ ∑

∫

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

ωω

ωω

∞==

==

∞==

==

=

∞→

∞→−∞→

∞→

∞→−∞→

∫∫

∫∫

3)2/(1lim

1lim|)(|1lim

3)2/(lim

lim|)(|lim

)()(

3

20

22

2

2

3

20

22

2

2

TT

dttT

dttxT

P

T

dttdttxE

ttutx

T

T

T

T

TT

T

T

T

T

TT


of 15

5.2.2 สามารถพิสูจนโดยใช Double side Spectrumไดดังน้ี

Example 5.4 Square pulse train

ดังน้ัน

∑

∑∑

∑ ∫

∫ ∑

∑∑

∫∫

∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

+=

==

−=

−=

−==

===

1

220

2*

*

0

0

*

**

00

2

2

])(1[

])[(1

][)(*

)(*)(1)(1

in

nnn

nn

nn

T

T

nn

nn

nn

TT

ca

ccc

cdttjetvT

dttjectvT

P

tjectjectv

dttvtvT

dttvTT

EP

ω

ω

ωω

20

22

0

220

491.0

...)21/181/149/125/19/11)(2(25.0[

21

V

V

baP n

=

+++++++=

+= ∑

π

=

==

=

==

∫−

evenn

oddnnV

dttnVT

b

aVa

T

Tn

n

; 0

; 2

)sin(2

0;2

0

2

2

00

00

π

ω


of 15

Example 5.5 Half Sine pulse train

ดังน้ัน

0)1(

2)(;0)(;

4

)]4cos(1[2

)2sin(1

200

0

20

2

0

20

2

0

20

=−

−===

=

−=

=

∫

∫

n

nn

T

T

bnV

evenaoddaV

a

V

dtTt

TV

dtTtV

TP

ππ

π

π

20

222

0

2220

24991.0

...)1225/1225/19/11)(2(811[

)(21

V

V

baaP nn

=

++++++=

++= ∑

ππ


of 15

5.3 การวิเคราะหหาพลังงานรวมของสญัญาณที่ไมเปนรายคาบ (Rayleigh’s Energy Theorem)

Example 5.6

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

=

−=

−=

=

==

ωωπ

ωωωπ

ωωωπ

ω

ωωωπ

ωωωπ

dV

dVV

ddttjetvVV

dtdtjeVtvE

dtjeVtv

dttvtvdttvE

2

2

)(21

)()(*21

])()(*21)[(*

])(*21)[(

])(21[)(*

)(*)()(

τωωπ

τπ

τπ

22

22 92.0)(

21 AdV =∫−τ2AE =


of 15

5.4 การกระจายของสเปกตรัม

ในหัวขอที่ 5.2 และ 5.3 ไดแสดงถึงวิธีการหากําลงังานของสัญญาณรายคาบ และพลังงานรวมของสัญญาณที่ไมเปนรายคาบ ในหัวขอน้ีเราจะพิจารณาการกระจายตวัของสเปคตรัมกําลงังาน หรือพลังงาน เพ่ือใหสามารถออกแบบระบบที่ใชชองสัญญาณที่แถบความถี่ที่จํากัด เราตองการหารูป Spectrum ทีแ่สดงกระจายของสวนประกอบของสัญญาณ ณ ความถี่ตางๆ เพ่ือพิจารณาการกระจายตัวของ Bandwidth และ กําลังงาน / พลังงาน สเปคตรัมของสัญญาณ มี 3 ชนิด ไดแก 1. Waveform spectrum V(ω) ซ่ึงก็คือ Fourier transform ของสัญญาณ v(t) น่ันเอง สังเกต

วา V(ω) เปน complex function ที่มีขนาด และเฟส 2. Energy spectral density (ESD) คือ |V(ω)|2 สังเกตวามีคาเปนคาจริงและเปนบวกเสมอ 3. Power spectral density (PSD) 3.1 กรณีสัญญาณที่เปนรายคาบ

Power spectral density ก็คือรูปการกระจายในแกนความถีข่องขนาดของสัมประสิทธิ ์cn (Complex Fourier series) ยกกําลังสอง (|cn|

2) น่ันเอง

3.2 กรณีสัญญาณที่ไมเปนรายคาบ วิธีการหา PSD ใหสมมตสิัญญาณไมเปนรายคาบ คอืสัญญาณรายคาบที่มีคาบยาว

อนันต ดังน้ี

กําหนด x(t) เปน power signal และเปนสัญญาณทีไ่มใชรายคาบ ซ่ึงโดยสวนใหญไมสามารถหา Fourier Transform ได สมมติให Energy signal xT(t)

น่ันคือ Fourier transform ของ energy signal xT(t) สามารถหาคาได คือ XT(ω) และ

| XT(ω)|2 ก็คือ Energy Spectral Density

2||; 0

2||; )()(

Tt

TttxtxT

>=

<=

∑∞

−∞=

−=n

x nffcfS )(||)( 02 δ


of 15

จาก Rayleigh Energy Theorem

5.5 Correlation Correlation เปนแนวคิด (concept) ที่สําคัญมากในการประยุกตใชงานทางวิศวกรรมไฟฟาสื่อสาร Correlation คือ การวัดสัญญาณ 2 ตัว วามีความเหมือนกันมากเพียงใด ถาคา Correlation ที่วัดไดมีคามากและมีคาเปนบวก ก็แสดงวาสัญญาณทั้ง 2 ตวัมีความเหมือนกันมาก และการเปลี่ยนแปลงของขนาด เปนไปในทศิทางเดยีวกัน แตถามีคานอยเขาใกลศนูย ก็แสดงวา สัญญาณทั้ง 2 ตัว ไมมีความเหมือนกัน และถาคา Correlation ที่วัดไดมีคาเปนลบ แสดงวาสัญญาณทัง้สองมีเฟสตรงขามกัน และมีการเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางที่ตรงขามกัน ในบางครัง้เราจะ normalize คา Correlation ใหอยูในชวง –1 ถึง 1 เรียกวา Correlation Coefficient การวัดคา Correlation จะพบบอยมากในวชิา RADAR และ Digital Communications 5.5.1 ตัวอยางการใชงานดาน RADAR สมมติวา เราสงสญัญาณ x(t) ออกไปในอากาศเพื่อตรวจจับวตัถบุิน สมมติวา คนพบวามีเครื่องบินอยูในบริเวณ สญัญาณที่สงออกไปก็จะสะทอนกลับมา สมมติวากลายเปน y(t) สัญญาณนี้ก็จะมีลักษณะคลายกับ x(t) แตวา มี time delay มี ขนาดเล็กลง และมีสญัญาณรบกวน w(n) ปนอยู

2

2

22

2

2

|)(|1lim)(

)(21

|)(|.1lim21

|)(|21.1lim|)(|1lim

ωω

ωωπ

ωωπ

ωωπ

TTXX

XX

TT

TT

T

TTT

XT

S

dS

dXT

dXT

dttxT

P

∞→

∞

∞−

∞

∞−∞→

∞

∞−∞→

−∞→

=

=

=

==

∫

∫

∫∫

Q

∫

∫∫

−

∞

∞−

∞

∞−

=

=

2

2

2

22

|)(|

|)(|21|)(|

T

TT

TT

dttx

dXdttx ωωπ


of 15

กรณี ที่มีวัตถบุิน y(t) = αx(t-D) + w(t) กรณีที่ไมมีวัตถุบิน y(t)= w(t) ถาหากนําสัญญาณ x(t) มาทํา correlation กับ y(t) หากไดขนาดใหญก็แสดงวามี วัตถุบิน แตถาหากมีคานอยๆ ก็แสดงวาไมมีวัตถุบิน นอกจากนี้ถาทราบวามีวัตถุบิน ยังสามารถพิจารณาอีกวา สัญญาณ delay ไปเปนเวลาเทาไรซึ่ง ทําใหสามารถคํานวณระยะหางจากเปาหมายได

รูปที่ 5.1 ตัวอยางการใช Correlation ในระบบเรดาร

5.5.2 ฟงกชนั Time Cross correlation และ Autocorrelation แบงออกเปนกรณีของ Energy signal และ Power signal ดังน้ี ก. กรณี Energy Signal Time cross correlation function

หาก x(t) และ y(t) เปน ฟงกชันจริง จะได

สังเกตวา Correlation เปนฟงกชันของเวลา τ

)()()( τττ −⊗= yxRxy

dttxtydttxtyR

dttytxdttytxR

yx

xy

)(*)()(*)()(

)(*)()(*)()(

∫∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+=−=

+=−=

τττ

τττ

)()(

)()()()()(

)()()()()(

ττ

τττ

τττ

−=

+=−=

+=−=

∫∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

yxxy

yx

xy

RR

dttxtydttxtyR

dttytxdttytxR


of 15

♥ ความสัมพันธระหวาง Time Autocorrelation function ของสัญญาณพลงังาน กับ Energy Spectrum Density หากนํา x(t) มาทํา correlation กับตวัเองเราเรียกวา Autocorrelation

ซ่ึงถาหา Fourier Transform ของ RXX(τ) จะไดวา

น่ันคือ Energy Spectrum Density สังเกตวาถา τ = 0 แลว RXX( 0) ก็คือ Energy น่ันเอง

ในสมการขางตนแสดงใหเห็นวามี อีกวิธใีนการหา ESD น่ันคือ ใชวธิีหาคา Fourier Transform ของ RXX(τ) นักศึกษาคงสงสัยวาทําไมการหา Energy Spectrum Density (ESD) ตองมาหา Autocorrelation กอน ทําไมไมหา |X(ω)| เลย แลวยกกําลังสอง ไมงายกวาหรือ? เหตุผลที่สําคญัในการศึกษาหัวขอน้ีก็คือ เพ่ือใหนักศกึษาคุนเคย เพ่ือใชในหัวขอตอไป คือ การหา Power ของสัญญาณกําลัง เน่ืองจากสัญญาณกําลังโดยทั่วไปไมสามารถหา |X(ω)| ได แตในทางตรงขาม Power Spectrum Density (PSD) กลับหาคาได ดังน้ันวิธีการทั่วไปที่งายในการหา PSD คือ หา Autocorrelation กอน แลวจึง หา Fourier transform ของ Autocorrelation ข. กรณี Power signal Time cross correlation function หาก x(t) และ y(t) เปน ฟงกชันจริง จะได

)()()( τττ −⊗= xxRxx

2|)(|)(*)()]([ ωωωτ XXXRxx ==ℑ

ωωπ

dXdttx

dttxtxRxx

22 |)(|21|)(|

)(*)()0(

∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

==

=

)()(

)()(1lim)()(1lim)(

)()(1lim)()(1lim)(

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

ττ

τττ

τττ

−=

+=−=

+=−=

∫∫

∫∫

−∞>−

−∞>−

−∞>−

−∞>−

yxxy

T

TT

T

TTyx

T

TT

T

TTxy

RR

dttxtyT

dttxtyT

R

dttytxT

dttytxT

R


of 15

♥ ความสัมพันธระหวาง Time autocorrelation function and Power Spectrum Density หากนํา x(t) มาทํา correlation กับตวัเองเราเรียกวา Autocorrelation

ซ่ึงถาหา Fourier Transform ของ RXX(τ) จะได

เรียก SXX(ω) วาคือ Power Spectrum Density (PSD) ซ่ึงเปนคาจริง ที่เปนบวก และเนื่องจาก

x(t) เปนสัญญาณจริง ทําให | X(ω) | เปนฟงกชันคู ดังน้ัน SXX(ω) จึงเปนฟงกชันคูดวย และสังเกตวาถา τ = 0 จะได

ดังน้ัน R(0) ก็คือ กําลังงานเฉลี่ย ของสัญญาณนั่นเอง

จากสมการขางตนจะเห็นวา ทั้ง Energy Spectral Density และ Power Spectral Density มีขาวสารของขนาด |X(ω)| แตไมมีเฟสของ X(ω) หรือพิจารณาวามีความเปนไปไดที่สัญญาณคนละสัญญาณ แตสามารถมี Spectral Density เหมือนกันได เชน

สัญญาณในโดเมนเวลา สัญญาณในโดเมนความถี่ ESD

δ(t) -----------------FT-------------> X(ω) =1 -----------------------------| X(ω) |2--------> 1 δ(t-td) -------------FT---------> X(ω) =1.exp(-jω td )------------------| X(ω).|2--------> 1 ดังน้ัน หากเราทราบเพียง Spectral Density จะไมสามารถทราบไดเลยวาสัญญาณ x(t)

คือ อะไร ทํานองเดียวกัน หากเราทราบเพียง Autocorrelation เราก็ไมสามารถทราบสัญญาณ x(t) เชนกัน เน่ืองจาก Autocorrelation และ Spectral Density เปนสิ่งเดียวกัน แต represent ในคนละโดเมน

)(|)(|lim)]([2

ωωτ XXT

Txx ST

XR ==ℑ∞>−

ωωπ

dSdttxT

dttxtxT

R

XXT

Txx

∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−∞>−

∞

∞−∞>−

==

=

)(21|)(|1lim

)(*)(1lim)0(

2

dttxtxT

dttxtxT

dttxtxT

R

TTT

T

TT

T

TTxx

)()(1lim

)()(1lim)()(1lim)(2/

2/

2/

2/

∫

∫∫∞

∞−∞>−

−∞>−

−∞>−

+=

+=−=

τ

τττ


of 15

5.5.3 Properties of the Autocorrelation สมมติ สัญญาณ v(t) ประกอบดวย ผลบวกของ x(t) และ y(t)

เน่ืองจากเปนสมการ Quadratic ที่มีคามากกวาศูนยเสมอ จึงไมมี Solution ดังน้ัน

ถาสมมติให y(t) = x(t) จะไดวา

น่ันคือ ฟงกชัน Autocorrelation จะมีคา มากที่สุดเม่ือ τ = 0 และถาพยายาม normailized ฟงกชัน Autocorrelation จะได Correlation coefficient

0)(2)0()0(

)]()()(2)([

)]()([

)()()(

22

2222

2

≥++=

−+−+=

−+=

−+=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

τ

ττ

τ

τ

xyyyxx abRRbRa

dttybtytabxtxa

dttbytaxE

tbytaxtv

yx

yyxxxy

yyxxxy

EE

RRR

RRR

≤

≤

≤−

)0()0(|)(|

0)0()0(4)(4 2

τ

τ

x

xx

xxxxxx

ER

RRR

≤≤

≤

)0()0()0(|)(| τ

x

yyxx

xyxy

xx

xxxx

E

RRRRR

≤

=

=

)0()0()(

)(

)0()()(

ττρ

ττρ

0)0()(2)0(

)0()0(

2

≥+

+

==

yyxyxx

yyy

xxx

RbaR

baR

ERER

τ


of 15


of 15

5.6 บทสรุป

การวิเคราะหสัญญาณจากบทที่ 3-5 มีประเด็นสรุปไดดังน้ี 1. เราตองการหารูป Spectrum ที่แสดงกระจายของสวนประกอบของสัญญาณ ณ

ความถีต่างๆ เพ่ือพิจารณาการกระจายตวัของ Bandwidth และ กําลังงาน / พลังงาน

2. Spectrum ที่นิยมใชเปนแบบ Double Side Spectrum 3. วิธทีี่งายที่สุดในการหา Spectrum คือ ทํา Fourier Transform สัญญาณ v(t) จะได

Amplitude Spectrum |V(ω)| หนวยเปน Volt/Hz และ Phase Spectrum 4. ในขอ 3 เรียกมีชื่อเรียกอีกชื่อหน่ึงวา Waveform Spectrum หากนํามาคํานวณหา

|V(ω)|2 = V(ω).V*(ω) เรียกวา Energy Spectrum Density หนวยเปน Joule / Hz

5. ในกรณีของ Power Signal โดยทั่วไปแลวไมสามารถหา Fourier Transform เน่ืองจากขาดคุณสมบัติ Absolute Integrable หรือ Absolute Sumable (แตมีขอยกเวนได โดยใช Limit และ Impulse Function มาชวยในการหา Fourier Transform)

6. เม่ือ Power Signal หา Fourier Transform ไมได จึงจําเปน ตองหาวิธีการอื่นเพ่ือแสดงรูป Spectrum ของ Power Signal

7. ในกรณีน้ีวธิีทีเ่ปนหัวใจสําคญัที่สุดคือใหหา Autocorrelation ของ Power Signal กอน

8. Fourier Transform ของ Autocorrelation ของ Power Signal น้ันสามารถหาคาได เราเรียกวา Power Spectrum Density

9. วิธีการในขอ8.มีความสําคญัอยางยิ่งในการหา Power Spectrum ของสัญญาณสุม (Random Signal) เชนสัญญาณรบกวน อยางไรก็ตามการศึกษาชั้นตนในเรื่อง AM FM เรื่อง Autocorrelation ยังไมจําเปนเทาใดนัก

Energy Power and Autocorrelationeng.sut.ac.th/tce/old/DC/ch5_comm.pdf409-326 Principles of...

Documents

Transcript of Energy Power and Autocorrelationeng.sut.ac.th/tce/old/DC/ch5_comm.pdf409-326 Principles of...