Eindhoven University of Technology

MASTER

Spectrale methoden in rechthoekige geometrieën : voor simulaties van 2D-stromingen

Willemen, M.J.A.

Award date:1996

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Technische Universiteit tû) Eindhoven

Titel:

Auteur:

Verslagnummer: Datum:

Spectrale methoden in rechthoekige geometrieën

voor simulaties van 2D-stromingen

lVI. J. A. WILLEMEN

R-1384-A 21 juni 1996

Werkeenheid: Werveldynamica Begeleiders: DR. H.J .H. CLERCX

PROF. DR. IR. G.J.F. VAN HEIJST

Vakgroep Transportfysica Faculteit Technische Natuurkunde Gebouw W&S Postbus 513 5600 MB Eindhoven

Samenvatting

De spectrale Chebyshev tau methode is geïmplementeerd in een numerieke code om simulaties van 2D-stromingen in rechthoekige bakken uit te kunnen voeren. Deze si­mulaties zijn gebaseerd op het numeriek oplossen van de Navier-Stokesvergelijkingen in primitieve variabelen, waarbij voor de tijddiscretisatie een ABCN-schema gebruikt is. Met behulp van de infiuence matrix techniek zijn de onbekende randvoorwaarden voor de druk bepaald. Hierbij is tevens de zogenaamde tau-correctie gebruikt, deze is noodzakelijk om in het hele domein een divergentie-vrije stroming te krijgen. Door het berekenen van een stroming waarvan de analytische oplossing te bepalen is, is gebleken dat de relatieve fout in de snelheid is terug te brengen tot 10-13

.

Om deze methoden verder te toetsen zijn een aantal spin-up-stromingen en driven­cavity-stromingen gesimuleerd. De spin-up-stroming ontstaat wanneer op t = 0 de tank plotseling begint te draaien. In een rechthoekige tank ontstaat na enige tijd een rij van wervels die afwisselend linksom en rechtsom draaien. De simulaties laten dezelfde ontwikkeling van de stroming zien als eerdere simulaties met de spectrale­elementen methode. Een driven-cavity-stroming is een stroming die wordt aangedreven door een bewegende zijkant van de tank. Bij lage Reynoldsgetallen (Re ::; 1600) wordt de stroming na enige tijd stationair. De stationaire stromingen die in een vierkante driven-cavity ontstaan zijn in goede overeenstemming met de berekeningen van Ghia.

11

"De waarnemer neemt voor waar wat hij waarneemt"

JULES DEELDER

Voorwoord

Over het algemeen genomen zit er een waarheid in deze uitspraak van Jules Deelder. Op de universiteit echter is het de gewoonte om vraagtekens bij de betrouwbaarheid van een waarneming te zetten. Bovendien is men pas echt tevreden wanneer datgene wat wordt waargenomen ook verklaard kan worden. Zo ook binnen de werkeenheid Werveldynamica, waar getracht wordt een beter begrip van de waargenomen stromingen te krijgen. Om dit te bereiken worden laboratorium-experimenten en numerieke simulaties van karakteristieke (2D-) stromingen gedaan. Tijdens mijn afstudeerperiode heb ik meegeholpen aan de ontwik­keling van een algoritme voor numerieke simulaties. Hoewel dit niet altijd vlekkeloos verliep heb ik hier veel van geleerd, vooral mijn doorzettingsvermogen is hierbij op de proef gesteld. De laatste twee maanden heb ik een aantal simulaties kunnen verrichten. Het is aan de lezer of deze de in dit verslag beschreven waarnemingen voor waar aanneemt.

Mijn dank gaat uit naar Herman Clercx, mijn begeleider die mij een programma verschafte dat ik als basis voor mijn numerieke code kon gebruiken en die altijd aan een halve zin genoeg had om mijn probleem te begrijpen, en naar GertJan van Heijst die mijn eerste resultaten meteen leuk en interessant vond. Bovendien bedank ik mijn collega afstudeerders en mijn vriend Marcel voor de bemoedigende woorden en een luisterend oor die zij mij gaven wanneer ik het even niet meer zag zitten. Tenslotte wil ik Gert, Monique en René bedanken voor de nuttige opmerkingen tijdens het schrijven van mijn verslag.

Marjohjn Willemen Eindhoven, 14 juni 1996

iii

IV

Inhoudsopgave

1 Inleiding

2 Twee-dimensionale stromingen

Geofysische stromingen

Zelforganisatie van 2D stromingen

N avier-Stokesvergelijkingen 0 0 0 0

201

202

203

2.4

205

Dimensieloze N avier-Stokesvergelijkingen 0

Voorbeelden van 2D-stromingen 0

20501

20502

Spin-up 0 0 0

Driven-cavity

3 Pseudospectrale Chebyshev methode

301

302

303

304

Spectrale methode 0 0 0 0 0 0

301.1

301.2

Chebyshev-polynomen

Tau-methode 0 0 0 0 0

Transformatie naar een vierkant domein

Tijddiscretisatie 0 0 0 0

30301

30302

ABCN-schema

Runge-Kutta-schema 0

Influence matrix methode 0 0

V

1

3

3

4

5

6

7

7

8

11

11

12

17

20

21

22

23

24

3.5

3.6

3.4.1

3.4.2

3.4.3

3.4.4

Splitsen van snelheid en druk . .

Randvoorwaarden voor de druk .

Tau-correctie . . . . . . . . . . .

Niet-inverteerbaarheid van de influence matrix

Oplossen van de Helmholtz-vergelijking

3.5.1

3.5.2

Twee-dimensionale Helmholtz-vergelijking

Eén-dimensionale Helmholtz-vergelijking .

Samenvatting van de oplosmethode . . . . . . . .

4 Resultaten

4.1

4.2

Convergentie en nauwkeurigheid van het algoritme

Spin-up ....... .

Startstroming .

Spin-up in een vierkante bak

4.2.1

4.2.2

4.2.3 Spin-up in rechthoekige bakken

4.3 Driven-cavity . . . . . . .

4.3.1

4.3.2

4.3.3

4.3.4

4.3.5

Aspect-ratio 8 = 1

Aspect-ratio 8 = 2

Andere aspect-ratio's .

Tweezijdige aandrijving

Aandrijving uit .....

5 Conclusies en aanbevelingen

Bibliografie

A Flowdiagram van het programma

Vl

24

24

26

28

29

29

32

33

35

35

38

38

39

41

47

47

52

56

57

58

61

63

67

B Oriëntatie van de tank 69

C Berekening van de stroomfunctie 71

D Waarden van de contourlijnen 73

E Snelheden in de driven-cavities 77

F Symbolenlijst 81

vii

Vlll

Hoofdstuk 1

Inleiding

Wanneer vloeistoffen of gassen zich verplaatsen spreken we van stromingen. Dagelijks hebben we te maken met allerlei stromingen. Alleen al in ons lichaam treden tal van stromingsver­schijnselen op, zoals bijvoorbeeld bloed dat door de aders stroomt. Maar ook water dat uit de kraan stroomt, badwater dat door het putje wegloopt, de wind die langs je oren waait, of gas dat door een leiding wordt getransporteerd zijn voorbeelden van stromingen. Een aantal stromingen zijn bij benadering twee-dimensionaal (2D). Een stroming in een zeepvlies is 2D omdat er geen snelheidscomponent loodrecht op dat vlies is. Stromingen in gestratificeerde of roterende media, zoals de oceanen en de atmosfeer, zijn bij benadering ook twee-dimensionaal.

Twee-dimensionale stromingen gedragen zich wezenlijk anders dan drie-dimensionale stromin­gen. In een drie-dimensionaal medium valt een turbulente wolk van bijvoorbeeld uitgeblazen sigarettenrook uiteen in steeds kleinere structuren, totdat er niets meer van te zien is. In twee-dimensionale stromingen gebeurt echter het omgekeerde. Hier gaan kleine structuren samen tot steeds grotere coherente structuren (wervels). Twee-dimensionale wervels kunnen een zeer lange levensduur hebben. Een voorbeeld hiervan is de Grote Rode Vlek in de at­mosfeer van Jupiter die al meer dan 300 jaar bestaat. Vanwege de lange levensduur spelen 2D-wervels een belangrijke rol in het transport van bijvoorbeeld vervuiling in de oceaan. Ook het weer wordt voor een belangrijk deel bepaald door 2D stromingen. Om deze stro­mingen beter te begrijpen wordt in de werkeenheid Werveldynamica onderzoek gedaan naar het gedrag van twee-dimensionale stromingen. Dit gebeurt onder andere door middel van laboratorium-experimenten en numerieke simulaties. Omdat deze beide methoden ieder hun beperkingen hebben is het noodzakelijk ze te combineren. Ook de verschillende numerieke methoden waarmee simulaties uitgevoerd worden hebben ieder hun eigen beperkingen of juist hun voordelen.

De methode die we hier gaan onderzoeken is een combinatie van de pseudospectrale Che­byshev tau methode en de influence matrix techniek. De spectrale methode wordt gebruikt voor het oplossen van gewone en partiële differentiaalvergelijkingen. Deze methode is geba­seerd op de methode van gewogen residuen, waarbij de oplossing ontwikkeld wordt naar een reeks van orthogonale functies. Door de specifieke keuze van de expansiefuncties wordt met de spectrale methode exponentiële convergentie bereikt, mits de oplossingen van de differen­tiaalvergelijkingen continu differentieerbaar zijn (zie Canuto et al. [1]). De influence matrix techniek wordt hier gebruikt om de ontbrekende randvoorwaarden van de druk te bepalen zodanig dat de stroming divergentie-vrij is. Hiervoor worden de snelheid en de druk geschre-

1

ven als som van een particuliere en een complementaire oplossing. De particuliere oplossing wordt bepaald met willekeurige randvoorwaarden voor de druk. De complementaire oplossing bestaat uit de som van elementaire oplossingen van het homogene probleem, waarbij de druk op de rand overal nul is op één punt na. Door te eisen dat de som van deze oplossingen een divergentie-vrije stroming geeft is aan iedere elementaire oplossing een gewicht toe te ken­nen en daarmee is de randvoorwaarde van de druk bekend. We kiezen voor deze methoden omdat hiermee een grote ruimtelijke nauwkeurigheid kan worden bereikt. Dit is vooral be­langrijk wanneer in de toekomst 2D-turbulentie en transport van deeltjes in 2D-stromingen bestudeerd worden. Hierbij speelt een goede resolutie van de kleine schalen een cruciale rol. Andere voordelen zijn dat we aan de wand een no-slip conditie kunnen opleggen en dat de be­rekende stroming divergentie-vrij is. In dit afstudeerwerk worden deze methoden getest voor het oplossen van de Navier-Stokesvergelijkingen in primitieve variabelen. Door het toevoe­gen van een mogelijkheid om niet-homogene randvoorwaarden voor de snelheid op te leggen kunnen ook continu aangedreven stromingen gesimuleerd worden. Tevens wordt het door een extra transformatie mogelijk gemaakt om naast vierkante domeinen ook andere rechthoekige domeinen te beschouwen.

Voor het testen van deze methoden zijn een aantal twee-dimensionale stromingen in een recht­hoekig domein bestudeerd. De keuze voor een rechthoekig domein is gebaseerd op twee rede­nen. Veel van de experimenten in de werkeenheid werveldynamica zijn fundamenteel van aard en worden uitgevoerd in rechthoekige bakken, het ligt daardoor voor de hand de numerieke simulaties eveneens op een rechthoekig domein uit te voeren. Een andere belangrijke reden is dat spectrale methoden speciaal geschikt zijn voor het oplossen van partiële differentiaal­vergelijkingen op een domein met een eenvoudige geometrie. Meer ingewikkelde geometrieën kunnen wel beschouwd worden maar clan zal eerst gebruik gemaakt moeten worden van clo­meinclecompositie en coördinatentransformaties om een (aantal) rechthoekige domeinen te krijgen. De door ons berekende stromingen zijn in drie categorieën onder te verdelen:

• Ten eerste is een stroming bekeken waarvan de N avier-Stokesvergelijkingen analytisch oplosbaar zijn, met als doel inzicht te krijgen in de nauwkeurigheid van de methoden.

• Vervolgens hebben we een drietal spin-up stromingen berekend in bakken met ver­schillende aspect-ratio's. Deze stromingen kunnen in een kritieke fase door een kleine verstoring (of door numerieke fouten) tot een compleet andere stromingsevolutie leiden. Hierdoor zijn ze uitstekende 'test cases'.

• Tenslotte zijn er berekeningen uitgevoerd aan 'driven-cavity-fiows'. Dit zijn stromingen die aangeelreven worden door een bewegende zijwand. Deze stromingen worden in de literatuur vaak gebruikt voor het testen van numerieke methoden. We vergelijken onze resultaten met die van Ghia et al. [2].

In hoofelstuk 2 wordt ingegaan op het verschijnsel twee-dimensionale stroming. Hoofelstuk 3 geeft een nauwkeurige beschrijving van de gebruikte methoden. De resultaten van de bereke­ningen met deze methoden worden in hoofdstuk 4 gegeven. Tenslotte worden in het laatste hoofdstuk de conclusies samengevat en enkele aanbevelingen voor verder onderzoek gedaan.

2

Hoofdstuk 2

Twee-dimensionale stromingen

2.1 Geofysische stromingen

Een stroming is twee-dimensionaal (2D) als de snelheid in één richting verwaarloosbaar klein is en de stroming zich afspeelt in één vlak. Ook stromingen waarvan de snelheden onafhankelijk zijn van één coördinaat noemen we 2D. Grootschalige stromingen in de atmosfeer of oceaan zijn vaak als twee-dimensionaal te beschouwen. Dit komt doordat deze geofysische stromingen beïnvloed worden door de rotatie van de aarde en door de stratificatie van de atmosfeer of van de oceaan. Daarnaast speelt hierbij ook de geometrie een belangrijke rol. De atmosfeer en de oceaan kunnen worden beschouwd als een zeer dunne schil rondom de aarde, waarin de vertikale afmetingen veel kleiner zijn dan de horizontale. Vertikaal heeft zo'n stroming een afmeting van slechts enkele honderden meters, terwijl de horizontale afmetingen honderden kilometers kunnen zijn. In figuur 2.1 is een voorbeeld gegeven van een geofysische stroming in de atmosfeer. Deze satellietfoto [3]laat een wervel zien die ontstaan is door een depressie.

In een medium met een stabiele stratificatie neemt de dichtheid af met toenemende hoogte ( * < 0). In de atmosfeer ontstaat deze stratificatie voornamelijk door temperatuurverschil­len. In de oceaan speelt daarnaast ook het zoutgehalte een rol. De stratificatie zorgt ervoor dat beweging in de vertikale richting bemoeilijkt wordt. Wanneer een vloeistofdeeltje met dichtheid p omhoog beweegt komt het in een gebied met de lagere dichtheid: p - f).p. Het deeltje ondervindt dan een terugdrijvende kracht gelijk aan gf).p (g is de zwaartekracht). Wanneer een vloeistofdeeltje omlaag beweegt en in een gebied terechtkomt met een hogere dichtheid dan is de opwaartse kracht die op dat deeltje werkt groter dan de zwaartekracht, hierdoor wordt het deeltje weer omhoog geduwd. De vloeistof heeft hierdoor de neiging om in een horizontaal vlak te blijven bewegen.

De rotatie van de aarde versterkt het twee-dimensionale karakter van geofysische stromingen. In een meeroterend systeem werkt er op elk vloeistofelementje een Corioliskracht1 (Fcor = -2n x V, zie paragraaf 2.5.1). Voor quasi-stationaire geostrofische stromingen (met een klein Rossbygetal2 en verwaarloosbare viskeuze effecten) is deze Corioliskracht in evenwicht met

1 Voor de gebruikte symbolen kan de symbolenlijst in appendix F geraadpleegd worden. 2 Het Rossbygetal is de verhouding tussen de stationaire traagheidskracht en de Corioliskracht.

3

Figuur 2.1: Satellietfoto gemaakt op 4-1-1989.

drukgradiënt [4]. Dit wordt weergegeven in de geostrofische balansvergelijking:

1 2n x v =--\lP. p

(2 .1)

Wanneer we te maken hebben met een onsamendrukbare stroming zien we, als we van deze vergelijking de rotatie nemen, dat de beweging onafhankelijk is van de axiale coördinaat . Dit wordt het Taylor-Proudman theorema genoemd. Een achtergrondrotatie kan dus de stroming in eerste benadering twee-dimensionaal maken.

2.2 Zelforganisatie van 2D stromingen

Zelforganisatie van twee-dimensionale stromingen staat in groot contrast met drie-dimensio­nale (3D) turbulentie waar we dagelijks mee te maken hebben. In drie-dimensionale stro­mingen vindt een herverdeling van de energie plaats naar een steeds kleinere lengteschaal, de zogenaamde energie-cascade. Door viskeuze dissipatie wordt turbulentie hier steeds zwakker en verdwijnt uiteindelijk, zelfs als de viscositeit klein is. In twee-dimensionale stromingen zorgt de inverse energie-cascade [4] voor een verschuiving van de (kinetische) energie naar een steeds grotere lengteschaal, waardoor turbulentie zich organiseert tot grote coherente struc­turen. Dit wordt zelforganisatie genoemd. Omdat viskeuze effecten alleen belangrijk zijn op zeer kleine schaal, beïnvloeden ze de grote structuren nauwelijks. Hierdoor kunnen deze coherente structuren lange tijd bestaan.

In figuur 2.2 is een voorbeeld van zelforganisatie te zien. In dit experiment van S.R Maassen ('private communication') is de stroming twee-dimensionaal gemaakt door een achtergrondro-

4

tatie aan te brengen. Wanneer de vloeistof (in een meeroterend stelsel) tot rust is gekomen wordt er met een hark doorheen bewogen3 . De verstoring die hierdoor ontstaat leidt tot een hoop kleine wervels in de bak. De stroming is hier zichtbaar gemaakt door deeltjes op het wateroppervlak te strooien en deze gedurende enige tijd te volgen. We zien dat een aantal van deze wervels zich samenvoegen en steeds grotere structuren vormen. Deze wervels neigen naar een axisymmetrische geometrie. Na enige tijd ontwikkelde de stroming zich daardoor tot een patroon van afwisselend linksom en rechtsom draaiende wervels, die nagenoeg cirkelvormig ZlJn.

t = 5 s t = 20 s

t = 60 s t = 120 s

t = 180 s t = 360 s

Figuur 2.2: Zelforganisatie na verstoring met een hark in een bak van 2 m bij 40 cm, experi­ment door S. Maassen. De stroming is zichtbaar gemaakt door 's treaklines' van tracerdeeltjes af te beelden.

2.3 Navier-Stokesvergelijkingen

Elke stroming kan beschreven worden met een aantal behoudswetten. Voor een niet-tempera­tuursafhankelijke stroming, van bijvoorbeeld water, kan het stromingsprofiel bepaald worden uit de vergelijking van behoud van massa en die van behoud van impuls. Water kan be­schouwd worden als een onsamendrukbare Newtonsé vloeistof. Voor zo'n vloeistof wordt het behoud van massa gegeven door de volgende vergelijking, ook wel de continuïteitsvergelijking genoemd:

\7 ·V= 0. (2.2)

Wanneer er geen krachten van buitenaf op de vloeistof werken wordt het impulsbehoud gege­ven door de volgende vergelijking:

av +(V. \7)V = _.!:_\7P + v\72V . at P

(2.3)

3 De hark heeft 11 spijlen op een onderlinge afstand van 1.8 cm, de doorsnede van de spijlen is 6 mm. De hark wordt door de vloeistof, in dit geval water, bewogen met een snelheid van ongeveer 27 cmfs.

4 In een Newtons medium is er een lineair verband tussen de schuifspanningen en de deformatiesnelheden.

5

De vergelijkingen (2.2) en (2 .3) worden de Navier-Stokesvergelijkingen genoemd.

Voor een volledige beschrijving van de stroming in een bak zijn ook een beginconditie en randvoorwaarden voor de snelheden nodig. Wanneer de wand geen water doorlaat, dan is de normaal-component van de snelheid aan de wand nul. In een viskeus medium is ook de tangentiële snelheid nul aan de wand door de adhesievoorwaarde; als de wand beweegt is de snelheid van de vloeistof aan de wand gelijk aan de snelheid van de wand. Dit wordt de no-slip conditie genoemd.

2.4 Dimensieloze Navier-Stokesvergelijkingen

We kunnen een stroming karakteriseren met een aantal dimensieloze kengetallen. Stromingen met dezelfde kengetallen gedragen zich gelijkvormig. Hierdoor is het mogelijk om een stroming op kleinere schaal en in een ander medium na te bootsen. Ook simulaties van stromingen worden in het algemeen gedaan met de zogenaamde dimensieloze Navier-Stokesvergelijkingen. De Navier-Stokesvergelijkingen kunnen in dimensieloze vorm geschreven worden door gebruik te maken van een karakteristieke lengte en een karakteristieke snelheid. De keuze van deze karakteristieke grootheden is afhankelijk van de geometrie en het soort stroming. Voor een stroming in een rechthoekige bak nemen we de halve breedte B als karakteristieke lengte. Voor een driven-cavity stroming wordt de snelheid van de bewegende zijde als karakteristieke snelheid V genomen. Bij spin-up is de karakteristieke snelheid de hoeksnelheid maal de karakteristieke lengte (V =DB).

De dimensieloze grootheden (weergegeven met accenten) zijn dan:

x' x B '

V' V V'

t' V Bt,

P' p

(2.4) pV2.

Door deze grootheden in te vullen in de vergelijkingen (2.3) en (2.2) vinden we de dimensieloze Navier-Stokesvergelijkingen (hierbij laten we de accenten achterwege):

av at + (V . \7)V =

\7-V

1 2 -\7P+ -\7 V Re '

0.

(2.5)

(2.6)

Hierin is Re = VvB het Reynoldsgetal. We zien dat stromingen die aan de Navier-Stokesver­gelijkingen voldoen gelijkvormig zijn als hun Reynoldsgetallen gelijk zijn.

6

2.5 Voorbeelden van 2D-stromingen

2.5.1 Spin-up

Spin-up is het proces waarbij de vloeistof in een bak zich aanpast aan een plotselinge veran­dering van de hoeksnelheid van 0- 6.0 naar 0. Door de achtergrondrotatie is de stroming in de bak twee-dimensionaal. Toch treden er bij spin-up ook 3D-effecten op zoals de vervorming van het vrije oppervlak en de Ekman-suctie in de grenslaag op de bodem [5]. Deze Ekman­suctie leidt tot een secundaire stroming die vooral belangrijk is bij spin-up in axisymmetrische bakken. In een rechthoekige bak spelen de zijwanden een belangrijkere rol in de ontwikkeling van de spin-up-stroming. Wij laten de 3D-effecten verder buiten beschouwing. In strikte zin hebben we nu te maken met spin-up in een oneindig hoge tank.

Om spin-up te onderzoeken bekijken we de stroming in een meeroterend stelsel. De Navier­Stokesvergelijking die de stroming beschrijft in een meeroterend systeem bevat twee extra termen en wordt dan:

av 1 2 1 2 2 ot +(V · \?)V+ 20 x V= -P\7P + v\7 V- \7("20 r ). (2.7)

De derde term in het linkerlid is de Coriolisversnelling. Deze versnelling staat loodrecht op zowel de hoeksnelheid als op de snelheid van de vloeistof. Deze term is verantwoordelijk voor de kenmerkende eigenschappen van roterende stromingen. De laatste term in vergelijking (2. 7) is de centrifugaalversnelling. Omdat deze vaak gecompenseerd wordt door de drukgradiënt in radiale richting combineren we deze twee termen. Ook de Coriolisversnelling is bij een twee-dimensionale stroming te schrijven als een gradiënt en is daardoor te combineren met de drukgradiënt. Hiervoor definiëren we:

1 2 2 \7</Jcentr = 20 \7r

\7</JcoT = 20 X V

dus

dus

1 2 2 <Pcentr = 20 r ,

</Jcor = 20'1/J.

(2.8)

(2.9)

Hierin is '1/J de stroomfunctie die gedefinieerd is door: u= ~ en v = -!f;t; . De gereduceerde druk wordt dan:

P,. = P + P</Jcentr + P</Jcor · (2.10)

Wanneer we de druk vervangen door de gereduceerde druk hebben de Navier-Stokesvergelij­kingen weer dezelfde vorm als in paragraaf 2.3.

In figuur 2.3 is een typisch spin-up experiment [5] te zien in een tank met aspect-ratio ~· Bij spin-up vanuit rust is de beginstroming in het meeroterende stelsel een starre rotatie. Onmid­dellijk wanneer de bak begint te draaien ontstaat er één anticyclonale wervel5 die de hele bak bestrijkt. Deze anticyclonale wervel heeft een uniforme vorticiteit van -20. Door wrijving met de wanden ontstaat cyclonale vorticiteit. Deze positieve vorticiteit wordt naar de hoeken van de bak geadvecteerd, waar zich cyclonale wervels vormen. In een langwerpige tank zijn de twee cyclonale wervels in de stroomafwaartse hoeken van de korte zijde zeer zwak en deze verdwijnen snel. De twee cyclonale wervels in de stroomafwaartse hoeken van de lange zijde daarentegen groeien tot hun diameter gelijk is aan de breedte van de bak. Gedurende deze ontwikkeling is de stroming in goede benadering twee-dimensionaal. Na enige tijd ontstaat er

5 Anticyclonale wervels zijn wervels die langzamer roteren dan de bak, of die in tegengestelde richting roteren. Cyclonale wervels zijn wervels die sneller roteren dan de bak.

7

stream function t = 0 stream function t = 120 s stream function t = 180 s

I~I~@~Q stream function t = 360 s stream function t = 960 s stream function t = 1440 s

Figuur 2.3: Experimentele resultaten van spin-up van 0 --+ 0.35 rad/s in een tank met lengte 0.886m, breedte 0.389m en diepte 0.35m. Door Van de Konijnenberg [5].

een quasi-stationaire situatie van afwisselend cyclonale en anticyclonale wervels . Het aantal wervels dat ontstaat is afhankelijk van de aspect-ratio van de bak. Uiteindelijk zal dit pa­troon vervallen en overgaan in een starre rotatie van de vloeistof met de nieuwe hoeksnelheid. Bij zuivere 2D-stromingen wordt het verval alleen veroorzaakt door viskeuze effecten. In een 3D-situatie speelt hierbij ook het Ekman-effect een belangrijke rol.

2.5.2 Driven-cavity

De driven-cavity (of lid-driven-cavity) wordt in de literatuur vaak gebruikt voor het testen van numerieke methoden (bijvoorbeeld in [2], [6], [7], [8] en [9]) . Bij deze 'test case' wordt de stroming in een rechthoekige bak aangedreven door één bewegende wand. Door Leong en Ottino [10] zijn experimenten met driven-cavity-stromingen gedaan. Zij hebben de stroming zichtbaar gemaakt door er kleurstof aan toe te voegen. In figuur 2.4 zien we een aantal van deze experimenten, waarbij de bovenste zijde en in de laatste drie experimenten ook de onder­ste zijde, met een constante snelheid zijn bewogen. De pijlen geven hierbij de richting aan. De aanvankelijk stilstaande vloeistof wordt door advectie aan de bewegende wand in beweging gebracht. De stroming ontwikkelt zich naar een evenwichtstoestand waarbij de bak gevuld is door één of meerdere wervels, afhankelijk van de manier van aandrijven en de aspect-ratio van de tank. Leong en Ottino deden deze experimenten om viskeuze menging te bestuderen. Deze stromingen bij een laag Reynoldsgetal kunnen eenvoudig numeriek bepaald worden. De uitdaging bij numerieke simulaties ligt bij stromingen met zeer hoge Reynoldsgetallen.

8

Figuur 2.4: Foto's van driven-cavity experimenten (bij een Reynoldsgetal van 1. 0) van Leong en Ottino [1 0}. De stroomlijnen in de stationaire toestand zijn door middel van kleurstof zichtbaar gemaakt.

9

10

Hoofdstuk 3

Pseudospectrale Chebyshev methode

In dit hoofdstuk beschrijven we de belangrijkste facetten van het pseudospectrale Chebyshev algoritme dat we gebruiken voor het berekenen van de twee-dimensionale stromingen in recht­hoekige containers. We gaan uitvoerig in op de spectrale methode, waarbij we vooral kijken naar het gebruik van Chebyshev-polynomen om de snelheid en de druk te ontwikkelen. Omdat de Chebyshev-polynomen gedefinieerd zijn op het domein [-1, 1], is voor simulaties in recht­hoekige bakken een domeintransformatie noodzakelijk. We bekijken de implementatie van de randvoorwaarden via de tau methode en beschrijven het tijdsintegratie schema. Vervolgens wordt de influence matrix methode uiteengezet. Hiermee kunnen we de randvoorwaarden voor de druk zodanig bepalen dat de stroming divergentie-vrij is. Tenslotte wordt een efficiënte oplosmethode voor Helmholtz-vergelijkingen beschreven. Hierbij wordt de twee-dimensionale Helmholtz-vergelijking gesplitst in een aantal één-dimensionale Helmholtz-vergelijkingen die met een quasi-tridiagonale matrixvergelijking opgelost kunnen worden.

3.1 Spectrale methode

Met de spectrale methode [11] kunnen oplossingen van (partiële) differentiaalvergelijkingen bepaald worden. Deze oplossingen worden uitgedrukt in een reeks van bekende gladde func­ties. Door de specifieke keuze van deze functies onderscheidt de spectrale methode zich van eindige-elementen of eindige-differentie methoden. In de eindige-elementen methode wordt het domein verdeeld in kleine elementjes. Op ieder elementje wordt een functie gedefinieerd, bijvoorbeeld een lineaire functie, waarmee de oplossing benaderd wordt. Ook de eindige­differentie methode is lokaal van karakter. De spectrale methode daarentegen maakt gebruik van globale functies. Zo'n functie is gedefinieerd op het hele domein. Hierdoor zijn de ex­pansiecoëfficiënten afhankelijk van alle waarden van de functie en voldoet de oplossing niet alleen op de gridpunten, maar op het hele domein aan de differentiaalvergelijking. Het ver­schil tussen het gebruik van lokale en globale functies wordt duidelijk bij het bepalen van een eenvoudige afgeleide uit de functiewaarden op een eindig aantal gridpunten. Bij een tweede orde eindige-differentie methode wordt de afgeleide in een punt bepaald door een parabool te trekken door dat punt en twee naburige punten. Door spectrale methoden toe te passen

11

gebruiken we alle informatie die van een functie bekend is. Dus als er N + 1 gridpunten zijn, dan wordt de afgeleide bepaald uit een Nde_graads polynoom door alle punten. Dezelfde polynoom wordt voor alle gridpunten gebruikt.

Voor kleine waarden van N is de nauwkeurigheid van de spectrale methode vergelijkbaar met die van eindige-differentie methoden. Wanneer N toeneemt, neemt de nauwkeurigheid van de spectrale methode echter sterk toe. De fout neemt hierbij exponentieel af. Dit wordt de spectrale nauwkeurigheid of spectrale convergentie genoemd. De eindige-differentie metho­den en ook de eindige-elementen methoden verbeteren slechts algebraïsch bij toenemende N. Tevens kan worden aangetoond dat numerieke dissipatie en dispersie verwaarloosbaar zijn in vergelijking met eindige-differentie methoden.

Binnen de spectrale methode kunnen we drie verschillende spectrale schema's onderscheiden: Galerkin, collocatie en tau. Ook zijn er verschillende ontwikkelingsfuncties mogelijk. De volgende twee paragrafen 3.1.1 en 3.1.2 worden de door ons gemaakte keuzen uitgewerkt. Deze paragrafen zijn grotendeels gebaseerd op het boek Speetral methods in fiuid dynamics van Canuto et al. [1].

3.1.1 Chebyshev-polynomen

Voor periodieke functies is de ontwikkeling in een Fourierreeks een voor de hand liggende keuze. Uit de Fomiertheorie blijkt dat als een functie u( x) oneindig vaak differentieerbaar is (met periodieke afgeleiden), de reeks van Fomiercoëfficiënten sneller dan algebraïsch naar nul convergeert voor toenemende waarden van k. Dit verval geldt natuurlijk niet voor de coëfficiënten die nodig zijn om de essentiële structuren van de functie weer te geven. In een wiskundige notatie ziet dit er als volgt uit:

V p > 0 3 ko V k > ko : ûk < k-P. (3.1)

Ook voor niet periodieke functies kan deze spectrale nauwkeurigheid bereikt worden. Echter niet elke ontwikkeling van een gladde functie in een set van orthogonale functies leidt tot coëfficiënten die sneller vervallen dan algebraïsch. Het blijkt dat we de spectrale convergentie alleen kunnen bereiken door eigenfuncties van een singulier Sturm-Liouville probleem voor de ontwikkeling te gebruiken. De meest gebruikte eigenfuncties hiervoor zijn Legendre- en Chebyshev-polynomen. De Chebyshev-polynomen hebben als voordeel dat de transformatie van fysische naar spectrale ruimte en omgekeerd mogelijk is met behulp van Fast Fourier Transfarms (FFT's) 1 .

Eigenschappen van Chebyshev-polynomen

Chebyshev-polynomen zijn gedefinieerd op het domein [ -1, 1] door:

Tk(x) = cos(k arccos(x)). (3.2)

Door de substitutie x = cos( e) worden dit gewone cosinus functies. Deze substitutie zal gebruikt worden om een aantal relaties tussen de polynomen af te leiden en om de overeen-

1 Het gebruik van FFT's is met de huidige computerfaciliteiten alleen voordelig als het aantal expansiefunc­ties groter is dan circa 64, voor lagere waarden zijn matrixoperaties concurrerend.

12

\

1\ 1\ f\ 1\ i

0.6

0.4

0.2

T16 o I··· 1············1 ...... , .......... .. , ...... ..

\ .\; \; \; \I

.0.6

.0.8

-1 -0.8 .0.6 .()4 -o.2 02 0.4 06 0.8

x

Figuur 3.1: 16de Chebyshev-polynoom.

komsten met Fomierontwikkeling te laten zien. Uit de definitie van de Chebyshev-polynomen volgt dat:

(3.3)

en (3.4)

De index k geeft de graad van het polynoom aan ( k ?:: 0). Het blijkt dat Tk een even functie is als k even is en een oneven als k oneven is. De eerste twee polynomen zijn T0 (x) = 1 en T1 (x) =x. De overige polynomen zijn af te leiden uit de volgende recurrente betrekking,

(3.5)

In figuur 3.1 is een voorbeeld van een Chebyshev-polynoom te zien.

Ook de afgeleide van de Chebyshev-polynomen kunnen bepaald worden uit een recurrente betrekking,

(3.6)

Chebyshev-polynomen zijn onderling orthogonaal. Dit is eenvoudig te zien door de x= cos(B) te substitueren:

hierin is

{ 2 k = 0

Ck = 1 k > Ü.

Het inprodukt in L~( -1, 1) wordt gegeven door:

(u,v)w = /_1

1 u(x)v(x)w(x)dx,

waarbij de ruimte L~( -1, 1) gedefinieerd is als de ruimte van functies v waarvoor

1 l

JJvJJw = {/_1

(v(x)) 2 w(x)dx} 2

eindig is. Hierin is w(x) de weegfunctie. In het geval van Chebyshev-polynomen geldt:

13

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Deze is bepaald door e = arccos(x) te substitueren in (3.7) zodat deze orthogonaliteitsrelatie in de vorm van (3.9) geschreven kan worden.

Ontwikkeling naar Chebyshev-polynomen

De continue Chebyshev-ontwikkeling van een functie u EL~( -1, 1) is te schrijven als: 00

u(x) = L ûkTk(x). (3.12) k=O

Omdat de Tk 's een complete set van orthogonale functies vormen is deze ontwikkeling in­verteerbaar. Een functie in de fysische ruimte u(x) kan eenduidig worden beschreven met Chebyshev-coëfficiënten Ûk in de spectrale ruimte:

(3.13)

Voor een even periodieke functie û(B) = u(cos(B)) komt een Chebyshev-reeks overeen met een (Fourier- )cosinusreeks:

00

u(cos(B)) = û(B) = L Ûk cos(kB). (3.14) k=O

Als u(x) oneindig differentieerbaar is op [-1, 1] dan is ook û(B) oneindig differentieerbaar en periodiek met al zijn afgeleiden op het domein [0, 2n-]. Voor deze periodieke functies geldt dat de Fomierontwikkeling spectraal nauwkeurig is. Dus ook de ontwikkeling naar Chebyshev­polynomen is spectraal nauwkeurig.

De Chebyshev-coëfficiënten zijn afhankelijk van alle waarden u(x) in de fysische ruimte en zijn numeriek dus niet exact te bepalen. Een eindig aantal coëfficiënten is te bepalen uit de waarden van u(x) op een eindig aantal gridpunten. Deze gridpunten worden ook wel collocatiepunten genoemd. Hiervoor worden vaak de Gauss-Lobatto-punten gebruikt, dit zijn de minima en maxima van de Nde orde Chebyshev-polynoom2 :

1f) Xj =cos( N ). (3.15)

Deze keuze voor de collocatiepunten maakt het gebruik van Fast Fourier Transfarms mogelijk. Een bijkomend voordeel is dat deze punten bij de rand van het domein dichter bij elkaar liggen. Hier is een goede resolutie noodzakelijk om de stroming in de grenslaag voldoende weer te geven.

De benadering van de functie u(x) door de afgekapte reeksontwikkeling wordt gegeven door PNu(x):

N

PNu(x) = L ÛkTk(x). (3.16) k=O

De discrete transformatie tussen de waarden u(xj) in fysische ruimte en de set van benaderde Chebyshev-coëfficiënten Ûk wordt dan:

N .

PNu(xj) = L ûk cos(k ~ ). k=O

(3.17)

2 Het Nde orde Chebyshev-polynoom is de hoogst frequente polynoom bij de discrete transformatie

14

Voor de Gauss-Lobatto punten is de integraaluitdrukking (3.13) exact gelijk aan de som:

waarin

2 N 1 . Ûk = N- L ~u(xj) cos(k 7rNJ ),

Ck k=O Cj

- { 2 Ck = 1

k=O,N 1:Sk:SN-l.

(3.18)

(3.19)

Vanwege de grote overeenkomst tussen deze discrete transformaties en Fouriertransformaties kunnen deze met behulp van Fast Fourier Transfarms bepaald worden3 . We nemen hierbij N altijd even. FFT's kunnen bepaald worden in O(N log2 N) bewerkingen terwijl de discrete transformatie door matrix vermenigvuldiging een berekening van O(N2 ) is.

Afgeleiden in termen van spectraal-coëfficiënten

De afgekapte reeksontwikkeling van de afgeleide ~·~ wordt gegeven door:

(3.20)

Hierin zijn û~1 ) de Chebyshev-coëfficiënten van de afgeleide. Door PN ( g~) gelijk te stellen

aan gx (PNu) gaat de recurrente betrekking (3.6) over in

(3.21)

Hieruit volgt dat de Chebyshev-coëfficiënten van de afgeleide van een functie zijn uit te druk­ken in de Chebyshev-coëfficiënten van de functie zelf:

N

2:: pûp. p=k+l

p+k oneven

De betrekking (3.21) is algemener te schrijven als:

(3.22)

(3.23)

Wanneer deze recurrente betrekking twee maal wordt toegepast zien we dat voor de coëffi­ciënten van de tweede afgeleide geldt:

N

2:: p(p2- k2)ûp. p=k+2

p+k even

(3.24)

3 Bij de door ons gebruikte NAG-bibliotheek geldt bij de FFT's de restrictie voor N dat de grootste priem­factor niet groter mag zijn dan 19, in de praktijk kunnen het beste de priemfactoren 2,3,5 genomen worden, omdat de andere te langzaam zijn.

15

Berekening van de convolutie-som

Niet-lineaire termen in de op te lossen differentiaalvergelijking zijn te schrijven als een produkt van twee functies. Dit produkt kunnen we in de spectrale ruimte bepalen met behulp van een convolutie-som. We beperken ons hier tot één-dimensionale convoluties. Het produkt van twee functies u(x) en v(x) noemen we w(x):

w(x) = u(x)v(x). (3.25)

Om het verband tussen de Chebyshev-coëfficiënten te bepalen worden de functies getransfor­meerd volgens (3.12). Het produkt van twee Chebyshev-polynomen is uit te drukken in de som van twee andere Chebyshev-polynomen,

(3.26)

Dit volgt uit de goniometrische relatie cos( a) + cos(,6) = 2 cos(! (a+ ,6)) cos(! (a- ,8)). Daar­door is het produkt (3.25) in de spectrale ruimte te bepalen uit een som van Chebyshev­coëfficiënten,

A 1~AA ~AA W k = 2 L.....t Up V q + L.....t Up V q.

p+q=k lp-ql=k (3.27)

Ook bij discrete transformaties wordt deze uitdrukking gevonden. Het numeriek berekenen van deze som kost O(N2 ) bewerkingen. Een produkt kan ook berekend worden door trans­formatie methoden te gebruiken. Hierbij worden de Chebyshev-coëfficiënten van u(x) en v(x) eerst teruggetransformeerd naar de fysische ruimte, waar de functies collocatiepuntsgewijs vermenigvuldigd worden. Deze berekening van het produkt kost slechts O(N log2 N) bewer­kingen. Het probleem bij deze transformatie methode, ook wel pseudospectrale convolutie genoemd, is dat er een 'aliasing' fout ontstaat. Deze is te vermijden door de transforma­ties met Nps > 3f gridpunten uit te voeren. Op de (Nps) collocatiepunten Yi wordt nu het produkt w(yi) bepaald:

7rJ Yj cos( N ),

ps Nps .

u(yj) 2:- 7rJ j = 0, 1, ... , Nps, uk cos(k N ), k=O ps

(3.28)

Nps .

v(yj) L Vk cos(k ;J ), j=0,1, ... ,Nps, k=O ps

w(yj) u(yj )u(yj),

hierin zijn

- { Ûk k ~ N vk = {

vk k ~ N Uk=

anders, 0 anders. 0 (3.29)

De Chebyshev-coëfficiënten van het produkt zijn dan:

- 2 ~ 1 7rj Wk = -N _ L.....t ::-w(yj) cos(kN ),

psCk j=O Cj ps j = 0, 1, ... , Nps· (3.30)

Hiervan zijn alleen de eersteN coëfficiënten van belang, waarbij wk = wk voor k = 0, 1, ... , N. Deze 'de-aliasing' techniek kost O(:t N log2 ~N) bewerkingen. Omdat we deze pseudospec­trale convolutie gebruiken voor het bepalen van de niet-lineaire term in de Navier-Stokesver­gelijkingen spreken we van de pseudospectrale methode.

16

3.1.2 Tau-methode

De spectrale methode is gebaseerd op de methode van gewogen residuen (MWR). De belang­rijkste elementen van de MWR zijn de trialfuncties en de testfuncties. De trialfuncties zijn de expansiefuncties die gebruikt worden als basis voor de afgekapte reeksontwikkeling van de oplossing. Met behulp van testfuncties wordt ervoor gezorgd dat de afgekapte reeks zo goed mogelijk voldoet aan de differentiaalvergelijking. Dit gebeurt door minimalisatie van het residu. Het residu is de fout die ontstaat doordat er een afgekapte reeks in plaats van de exacte oplossing wordt gebruikt. Het residu is minimaal als het voldoet aan een geschikte orthogonaliteits-eis met betrekking tot elke testfunctie.

Er zijn binnen de spectrale methode drie verschillende spectrale schema's te onderscheiden:

• Galerkin-schema: In de Galerkin benadering zijn de testfuncties gelijk aan de ex­pansiefuncties. Deze functies moeten dus allemaal individueel aan de randvoorwaarden voldoen. Door te eisen dat de integraal van het residu maal elke testfunctie nul moet zijn wordt zo goed mogelijk voldaan aan de differentiaalvergelijking.

• Collocatie-schema: In de collocatie benadering zijn de testfuncties verschoven Dirac delta functies gecentreerd op de collocatiepunten. Hierdoor voldoet de oplossing op de collocatiepunten exact aan de differentiaalvergelijking.

• Tau-schema: In deze benadering wordt de differentiaalvergelijking op dezelfde manier opgelegd als bij de Galerkin benadering. Echter hoeven nu de trial- en testfuncties niet aan de randvoorwaarden te voldoen. Er wordt een aanvullende set van vergelijkingen gebruikt om de randvoorwaarden op te leggen.

We kiezen hier voor een tau-schema omdat daarmee de no-slip randvoorwaarden van ons stromingsprobleem op een eenvoudige manier kunnen worden opgelegd. Hieronder wordt een voorbeeld gegeven van het gebruik van de spectrale tau-methode.

Voorbeeld van de spectrale tau-methode

Een differentiaalvergelijking met homogene Dirichlet-randvoorwaarden kan in het algemeen geschreven worden als:

M(u)

b(u) j,

0.

Als voorbeeld wordt een Poisson-vergelijking op het domein [-1, 1] x [-1, 1] genomen,

M(u) ()2u ()2u -+-ox2 ()y2'

b1 (u) u(x, -1),

b2(u) u(x, +1),

b3(u) u( -1, y),

b4(u) u( +1, y).

17

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

Voor de ontwikkeling van de twee dimensionale functies u en f wordt een tensorprodukt van Chebyshev-polynomen gebruikt. De trialfuncties zijn dan:

(3.38)

De door de afgekapte reeksontwikkeling benaderde functies worden respectievelijk uN en JN genoemd. Hierbij ontwikkelen we de functies in de x-richting tot de N-de graads Chebychev­polynoom en in dey-richting tot de M-de graads:

N M

uN = PNu(x, y) = L L ÛkzTk(x)Tz(y), (3.39) k=O l=O

N M

JN = PN f(x, y) = L L ÎkzTk(x)Tz(y). (3.40) k=O l=O

Voor de differentiaalvergelijking worden de testfuncties <p gelijk genomen aan de trialfuncties,

l.fJnm(X, y) = Tn(x)Tm(y). (3.41)

Er zijn aparte vergelijkingen voor de randvoorwaarden, daarom zijn de testfuncties voor de differentiaalvergelijking en die voor de randvoorwaarden verschillend. De testfuncties voor de randvoorwaarden xi zijn één-dimensionaal,

Tn(x),

Tm(y),

i= 1, 2,

i= 3,4.

(3.42)

(3.43)

De MWR-conditie stelt dat het residu minimaal is, als het orthogonaal is ten opzichte van elke testfunctie. Het residu is de fout die in de differentiaalvergelijking gemaakt wordt door de benaderde functie uN in plaats van de exacte oplossing u in te vullen,

(3.44)

De orthogonaliteits-eis voor de differentiaalvergelijking wordt gegeven door:

(3.45)

voor n = 0, 1, ... , N - 2 , m = 0, 1, ... , M - 2.

Wanneer de reeksuitdrukking van jN (zie formule (3.40)) en van M(uN),

N M

M( N) _ ""'"'(~(2,0) + ~(0,2))~ ( ) u - L... L... ukl ukl '1-'kl x,y' (3.46) k=O l=O

in de orthogonaliteits-eis worden ingevuld, blijkt uit de orthogonaliteit van de Chebyshev­polynomen dat:

~ (2,0) + ~ (0,2) - f~ ukl ukl - kl (3.47)

voorn= 0, 1, ... , N- 2, m = 0, 1, ... , M- 2.

18

De coëfficiënten û~~,o) en û~~' 2 ) zijn de coëfficiënten van de tweede afgeleide van u naar res­pectievelijk x en y:

1 N A (2,0) I: p(p2 - k2 )ûpl' ukl

Ck p=k+2

(3.48)

p+k even

1 M A (0,2) I: q(q2 _z2)ûkq· ukl

C[ q=l+2

(3.49)

q+l even

De residuen van de homogene randvoorwaarden zijn bi(uN) (i= 1,2,3,4). Omdat Tk(1) = 1 en Tk( -1) = ( -1)k worden deze gegeven door:

N M

L L ÛkLTk(x)( -1)1,

k=O l=O N M

L LÛkLTk(x), k=Ol=O N M

I: I: Ûkl( -1)bi1(y), k=O l=O

N M

b4(uN) = L L ûdTt(y). k=Ol=O

Deze invullen in de orthogonaliteits-eis,

[

1

1 bi(uN)x~(x)wc(x)dx = 0,

[

1

1 bi(uN)x~(y)wc(y)dy = 0,

geeft de volgende vergelijkingen:

N

LÛkL(-1)1 0, l=O

N

L:Ûk[ o, l=O

N

L:Ûkl(-1)k o, k=O

N

L:ûkl = o, k=O

i= 1, 2, n = 0, 1, ... , N,

i= 3, 4, m = 0, 1, ... , M.

k = 0, 1, ... , N,

k = 0,1, ... ,N,

l = 0, 1, ... ,M,

l = 0, 1, ... , M.

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)

Met deze randvoorwaarden bepalen we de hoogste orde Chebyshev-coëfficiënten. Deze hoge frequentie modes zijn opgeofferd om op een eenvoudige manier de randvoorwaarden mee te kunnen nemen.

M-3

Ûk-1,N L Ûk[, k=0,1, ... ,N, (3.60) 1=1

l oneven

19

ÛN,l-1

k = 0,1, ... ,N, 1=0

leven

N-3

L Ûkl, l=0,1, ... ,M, k=l

koneven

N-2

L::: Ûkl, 1=0

leven

l = 0, 1, ... ,M.

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

Doordat de hoekpunten twee keer zijn meegenomen zijn dit 2N + 2M lineair onafhankelijke vergelijkingen. Samen met de (N- 1)(M- 1) vergelijkingen in formule (3.47) vormen deze vergelijkingen een oplosbaar stelsel voor de Ûkl 's.

3.2 Transformatie naar een vierkant domein

De Chebyshev-polynomen, die als expansiefuncties gebruikt worden, zijn gedefinieerd op het domein [-1,1]. Hierdoor is het noodzakelijk om de twee-dimensionale Navier-Stokesvergelij­kingen voor de rechthoekige bak te transformeren naar vergelijkingen op het domein [ -1, 1] x [-1, 1].

1

L 1

Figuur 3.2: Transformatie van rechthoekig naar vierkant domein.

De halve lengte van de bak in de x-richting4 is L, en in dey-richting H,

Omdat de snelheid gegeven wordt door:

wordt ook de snelheid getransformeerd,

x'

y'

x

L' y

H

V= dX dt '

u' u

L' v'

V

H

(3.65)

4 0mdat we de vergelijkingen al dimensieloos hebben gemaakt zijn dit de verhoudingen van de echte lengte en de karakteristieke lengte B. Dit betekent dat afhankelijk van de oriëntatie van de bak of L of H gelijk is aan 1.

20

De dimensielozé impulsvergelijkingen in de x-richting en de y-richting worden nu:

au au au 1 a P 1 1 a2 u 1 a2 u ot + u ox + V oy = - u ox + Re (u ox2 + H 2 oy2 ) '

OV OV OV 1 0 p 1 1 ()2 V 1 ()2 V

ot + u ox + V oy = - H2 oy + Re (u ox2 + H2 oy2 ) .

Voor een verkorte schrijfwijze definiëren we V' ó en V'~ als:

\i'ó 1 a 1 a

( L 2 ox ' H 2 oy ) '

V'~ 1 ()2 1 ()2

L 2 ox2 + H 2 oy2 .

De getransformeerde impulsvergelijking wordt dan:

De continuïteitsvergelijking behoudt dezelfde vorm:

3.3 Tijddiscretisatie

OU ov ~+~ =0. ux uy

(3.66)

(3.67)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

(3.71)

Bij de toepassing van de spectrale methode voor het oplossen van partiële differentiaalverge­lijkingen is de plaatsdiscretisatie spectraal, maar voor de tijddiscretisatie worden vooralsnog eindige-differentie methoden gebruikt. \Ve gebruiken hier een semi-impliciet benaclerings­schema. Een volleelig impliciet schema zorgt namelijk voor volle en slecht geconditioneerde matrices. Een expliciet schema voor de diffusieterm leidt tot strenge beperkingen op de tijd­stap. De kritieke tijdstap is dan van de orde 1/ N 4 , met N het aantal Chebyshev-mocles. Een veel gebruikt discretisatie schema voor de Navier-Stokesvergelijkingen is het ABCN-schema (zie paragraaf 3.3.1), dat een expliciete Adams-Bashforth methode gebruikt voor de convec­tieterm en een impliciete Crank-Nicolsou methode voor de diffusieterm. De tijddiscretisatie met het ABCN-schema is numeriek stabiel als de grootte van de tijdstap voldoet aan:

(3.72)

Deze tijdrestrictie kan begrepen worden op basis van de CFL-conditie (Courant-Frieclrich­Lewy condition [12]). De CFL-conditie stelt dat een vloeistofdeeltje zich in één tijdstap niet verder mag verplaatsen dan de afstand tussen twee griclpunten:

~t u-< 1. ~x-

(3.73)

De grielpunten bij de Chebyshev transformatie zijn gedefinieerd als Xi = cos(;j). Deze punten

liggen bij de wand het dichtst bij elkaar, de onderlinge afstand is daar van de orde .:;J.x. De snelheid is van 0(1).

5 We gebruiken in het vervolg alleen nog de dimensieloze grootheden tenzij expliciet vermeld is dat het om dimensievolle grootheden gaat.

21

Het ABCN-schema is niet te gebruiken voor de eerste tijdstap, omdat dit schema gebruikt maakt van de snelheid op de twee vorige tijdstippen. Voor de eerste tijdstap wordt daarom in plaats van een Adams-Bashforth schema een tweede-orde Runge-Kutta schema voor de convectieterm gebruikt (zie paragraaf 3.3.2).

3.3.1 ABCN-schema

Het discretisatie schema van Adams-Bashforth-Crank-Nicolson (ABCN) gebruikt de tweede orde Adams-Bashforth methode voor het convectieve gedeelte (de niet-lineaire term) van de impulsvergelijking. Voor een probleem van de vorm:

(3.74)

ziet dit Adams-Bashforth schema er als volgt uit:

(3.75)

De Crank-Nicolsou methode wordt gebruikt voor het diffusieve gedeelte (de viskeuze term). Dit schema, toegepast op vergelijking (3.74), geeft het volgende schema:

(3.76)

Het tijdsniveau wordt aangegeven met de index n. Beide discretisatie-schema's zijn tweede orde convergent.

Wanneer het ABCN-schema wordt toegepast op de impulsvergelijking wordt de volgende vergelijking verkregen:

yn+l yn 3 1 1 --ll-~-- + 2L:(V)n- 2L:(V)n-l = -\Jtipn+l + -2R-e [\l~Vn+l + \l~vn]. (3.77)

Hierin geeft L: het convectieve gedeelte weer, L:(V) = (V· V')V. Vergelijking (3.77) is te schrijven in de vorm van een Helmholtz-vergelijking:

waarbij

À

p

2Re llt '

2ReP,

en S alle termen bevat die expliciet bepaald worden,

22

(3.78)

3.3.2 Runge-Kutta-schema

Voor de eerste tijdstap wordt het Runge-Kutta schema gebruikt voor het convectieve gedeelte van de impulsvergelijking en het Crank-Nicolson schema voor het diffusieve gedeelte. De tweede-orde Runge-Kutta methode kan geschreven worden als:

U* un + ~.6-tF(Un),

un+l U*+ .6-t [ -~F(Un) + F(U*)] . (3.79)

Wanneer we dit schrijven als:

U*- un

~.6-t un+l- U*

.6-t

F(Un), (3.80)

-~F(Un) + F(U*), (3.81)

vinden we de volgende uitdrukking voor un+l, waarbij het rechterlid op een tussenliggend tijdstip bepaald wordt:

un+l- un --.6.-t- = F(U*). (3.82)

Dit Runge-Kutta schema passen we toe op het convectieve gedeelte van de impulsvergelijking, samen met het Crank-Nicolson schema voor het diffusieterm. De impulsvergelijking voor het bepalen voor de snelheid op het tussenliggende tijdstip, respectievelijk voor het bepalen van yn+l wordt dan:

V* _yn

l.6_t 2

yn+l _ yn

.6-t

-.C(V)n - \1 {Jp* + 2~e [ \l~V* + \l~Vn) ' (3.83)

-.C(V)* - \1 fJpn+l + _1_ [\l~vn+l + \l~vn] . 2Re

(3.84)

Deze vergelijkingen zijn in dezelfde vorm te schrijven als (3.78), met een andere ,\ en S. Vergelijking (3.83) wordt dan:

waarbij

p

sn

2Re l,6.t' 2

2ReP,

2Re.C(Vt - .À yn - \l~Vn.

En vergelijking (3.84) wordt:

\l~yn+l _ ,\ yn+l = \1 fJpn+l + gn,*,

waarbij ,\weer gelijk is aan die bij (3.78):

2Re .ó.t '

P 2ReP,

gn,* 2Re.C(V)* - ,\ yn - \l~Vn.

(3.85)

(3.86)

Voor het bepalen van de snelheid en de druk op eerste tijdstip moeten de Navier-Stokesver­gelijkingen dus twee keer opgelost worden.

23

3.4 lnfluence matrix methode

Met de infiuence matrix methode kunnen oplossingen bepaald worden van lineaire stelsels elliptische vergelijkingen (waarvan bewezen is dat er een unieke oplossing is), terwijl niet voor alle onbekenden de randvoorwaarden bekend zijn. Voor de Navier-Stokesvergelijkingen betekent dit, dat met deze methode de druk bepaald kan worden zodanig dat de stroming divergentie-vrij is. Deze methode is voor het eerst gebruikt voor problemen in de stromingsleer door !Geiser en Schumann [13].

3.4.1 Splitsen van snelheid en druk

Op ieder tijelstip kunnen we de gediscretiseerde impulsvergelijking (3. 78) bepalen. Bovendien moet de stroming op ieder moment elivergentie-vrij zijn, en aan de randvoorwaarden voldoen. Voor iedere tijelstap moet het volgende stelsel6 worden opgelost:

V'JV- ÀV = V'd1 + S, in TJ,

V=Vr,

\7 ·V= 0,

op r = av, in TJ.

(3.87)

De term S bevat alle bijdrage van eerdere tijdstippen, zoals we in paragraaf 3.3 hebben gezien. Doordat de druk zich instantaan aanpast aan de tijelsafhankelijke stroming blijft de stroming divergentie-vrij. Om de druk te bepalen waar bij de stroming divergentie-vrij is wordt een Poissonvergelijking voor de druk afgesplitst van de gediscretiseerde impulsvergelijking (3. 78). Dit gebeurt door de divergentie te nemen van deze vergelijking:

(3.88)

Omelat voor de goede oplossingen geldt dat de stroming elivergentie-vrij is, is het linkerlid van deze vergelijking nul. Hierdoor ontstaat een Poissonvergelijking voor de druk:

(3.89)

Het linkerlid van vergelijking (3.88) is een Helmholtz-vergelijking voor de divergentie van de snelheid. Voor homogene Helmholtz-vergelijkingen met À > 0 geldt: als de oplossing op de randen nul is, dan is de oplossing in het hele domein nul. In plaats van de eis dat de snelheid in het hele domein divergentie-vrij is het dus voldoende om te eisen dat de divergentie van de snelheid op de randen nul is. Het stelsel op te lossen vergelijkingen ziet er nu als volgt uit:

\72P ó -V'. s, in TJ, V'·V 0, op r,

(3.90) V'JV- ÀV \lóP+S, in TJ,

V Vr, op r.

3.4.2 Randvoorwaarden voor de druk

De Poissonvergelijking voor de druk is niet op te lossen zonder de randvoorwaarden. Er zijn echter alleen fysische randvoorwaarden voor de snelheid bekend en helaas niet voor de druk.

6 We laten nu de index van het tijdsniveau weg.

24

Om toch de druk te bepalen kan de infiuence matrix methode [7][8][14] gebruikt worden. Met deze methode wordt de eis dat de stroming divergentie-vrij moet zijn aan de wand, omgezet in randvoorwaarden voor de druk. Hierbij wordt gebruik gemaakt van het feit dat de gediscretiseerde impuls- en drukvergelijking lineair zijn. Hierdoor is het mogelijk de oplossing te bepalen uit een superpositie van oplossingen waarvan de randvoorwaarden voor de druk wel bekend zijn. Het gebruik van een infiuence matrix stelt ons in staat het gewicht van elk van deze oplossingen zodanig te bepalen dat de volledige stroming divergentie-vrij is. Om dit te bereiken schrijven we de druk en de snelheid als de som van een particuliere en een complementaire oplossing:

p

V

(3.91)

(3.92)

De particuliere oplossing wordt bepaald met een willekeurige randvoorwaarde voor de druk, bijvoorbeeld Pr = 0. Hiervoor wordt het onderstaande stelsel vergelijkingen opgelost:

V~PP -V·S, in V, Pp 0, op r,

(3.93) v~vp- >.vp VöPp + S, in V,

VP Vr, op r.

De complementaire oplossing bestaat uit een reeks van elementaire oplossingen:

Nr

Pc = LaiPi, (3.94) i=l Nr

Vc = L::aivi. (3.95) i=l

Hierin is Nr het aantal discretisatie punten op de rand exclusief de hoekpunten. Elke ele­mentaire oplossing (Pi, Vi) is een oplossing van het stelsel (3.93), maar dan zonder bronterm (S = 0) en met homogene randvoorwaarden voor de snelheid. De randvoorwaarden voor de druk nemen we op alle discretisatie punten op de rand nul op één na. Dit stelsel ziet er dan als volgt uit:

2-V 6Pi 0, in V, (Pi)j Óij' op r,

(3.96) V 2V·- >.v v6Pi, in V, 6 1 1

vi = 0, op r. Hierin is (Pi)j de waarde van de ide elementaire oplossing op randpunt j. De ai's worden bepaald zodanig dat de totale snelheid divergentie-vrij is op ieder randpunt:

(3.97)

De ai's berekenen we met behulp van de infiuence matrix A:

[a] = - [Ar1 [(V. Vp)r], (3.98)

hierin geeft r de rand aan. De infiuence matrix wordt gegeven door:

A= [(V· Vi)j], i,j = 1, ... , Nr. (3.99)

De oplossing is nu bekend: de som van de particuliere en de complementaire oplossing. Echter omdat het erg veel geheugenruimte van de computer kost om alle elementaire oplossingen op

25

te slaan, bepalen we de oplossing door nu de goede randvoorwaarden voor de druk in (3.93) in te vullen,

Pj = aj, j = 1,Nr, (3.100)

en vervolgens dit stelsel opnieuw op te lossen. De infiuence matrix hoeft niet elke tijdstap opnieuw bepaald te worden, omdat voor de berekening van de elementaire oplossingen de bronterm en de randvoorwaarden voor de snelheid nul gesteld worden en dus steeds hetzelfde zijn. De infiuence matrix kan dus aan het begin van de berekeningen één keer bepaald worden en worden opgeslagen.

3.4.3 Tau-correctie

Hoewel de stroming op de rand van het domein machinenauwkeurig divergentie-vrij is, blijkt dit in het binnengebied niet het geval te zijn. Dit komt doordat de weergave van de Navier­Stokesvergelijking in discrete plaatscoördinaten aanzienlijke numerieke vervuiling vertoont. Met behulp van de tau-correctie [9] is de divergentie in het binnengebied toch nul te maken.

In de spectrale tau methode zijn de twee hoogste modes opgeofferd om de randvoorwaarden op te kunnen leggen. Hierdoor voldoet de impulsvergelijking voor deze modes niet exact. Om hiervoor te corrigeren wordt een impulsresidu B gedefinieerd als:

(3.101)

Dit impulsresidu is in deze vorm een weergave in de fysische ruimte van de hoogste frequentie modes. De Chebyshev-coëfficiënten Bnm zijn nul voor n :S N - 2 en m :S M - 2, omdat voor deze coëfficiënten de impulsvergelijking wel exact voldoet. De impulsvergelijking is nu te schrijven als:

(3.102)

Bij het oplossen van deze impulsvergelijking met de spectrale tau methode speelt het impuls­residu geen directe rol. De hoge frequentie modes beïnvloeden echter wel de oplossing van de druk en daardoor indirect de oplossing van de snelheid. De Poissonvergelijking voor de druk wordt namelijk verkregen door de divergentie van de impulsvergelijking te nemen. Deze Poissonvergelijking wordt nu:

(3.103)

De term V' · B bevat ook lage frequentie modes, omdat de afgeleide van een Chebyshev­polynoom van de graad n leidt tot Chebyshev-polynomen van lagere graad (zie formule (3.22)).

De correctieprocedure bestaat uit het mak~n v~n een extra complementaire oplossing die wordt opgebouwd uit de elementaire functies (Pi, V i). Deze elementaire functies zijn oplossingen van het volgende stelsel:

2= V'{j~i -V'. bi, in V,

pi 0, op r, (3.104) 2 = =

Y'tif\, in V, V'8Vi-À~i vi 0, op r.

Hierin maken we steeds één hoogste frequentie mode van de x- of de y-component van bi gelijk aan één, terwijl alle overige modes nul zijn. Niet alle hoge frequentie modes van B = (Ex, By) zijn belangrijk. De hoogste modes van Bx met m = M - 1 en die met m = M leiden

26

niet tot lage frequentie modes in de afgeleide naar x (omdat deze afgeleiden in de hoogste modes blijven). Ook de modes van By met n = N- 1 en die met n = N leveren geen laag frequente bijdrage aan de afgeleide in de y-richting. Er zijn in het totaal 2M - 2 relevante hoge frequentie modes in Bx,_ en 2f'!-_2 in By. Dit levert Nr extra elementaire functies. De Chebyshev-coëfficiënten van bi = (bxi, byi) worden gegeven door:

(bxi)nm = 0, (~yi)nm = 0,

(bxi)Nj = Ói-1,j, (~yi)nm = 0,

(bxi)N-1{ = 8i-M,j, (~yi)nm = 0,

0 :::; n :::; N - 2, 0 :::; m :::; M - 2,

1:::; i:::; M -1,

M:::; i:::; 2M- 2,

2M - 1 :::; i :::; 2M + N - 3, (bxi)nm = 0, (~yi)jM = 8i-(M-1),j,

(bxi)nm = 0, (byi)j,M-1 = 8i-(2M+N-2),j' 2M + N - 2 :::; i :::; 2M + 2N - 4 = Nr. (3.105)

De stroming wordt nu divergentie-vrij gemaakt door te eisen dat:

De impulsresiduen voor de verschillende oplossingen zijn gedefinieerd als:

(3.106)

(3.107)

(3.108)

(3.109)

Het totale impulsresidu B is de som van deze impulsresiduen. In Chebyshev-coëfficiënten kunnen we dit als volgt weergeven:

met

{

n=N, n = N -1,

n,m= n: O ... N = 2, n- O ... N 2,

m=O ... M-2 m=O ... M-2 m=M m=M-1.

(3.110)

Wanneer we de Poissonvergelijkingen voor de particuliere, de twee complementaire, en de totale druk op een rijtje zetten:

-V'. s,

-V'· S- V'· B,

is eenvoudig in te zien dat het totale impulsresidu voldoet aan:

Nr

B = L!JJ>i· (3.111) i=1

Dus voor de Chebyshev-coëfficiënten van B geldt:

Nr ,

Bnm = L /Ji(bi)nm, (3.112) i=1

27

met dezelfde (n, m) als in vergelijking (3.110), terwijl alle laag frequente modes nul zijn. De o:i's en de f3i's zijn nu te bepalen uit een vier maal zo grote influence matrix:

[ (V'~ Vi)j

(Bi)j (3.113)

Subscript j bij de divergentie van de snelheid geeft de verschillende punten op de rand aan, bij het impulsresidu geeft het de verschillende Chebyshev-coëfficiënten aan. Dit zijn de coëfficiënten die in vergelijking (3.110) weergeven zijn.

3.4.4 Niet-inverteerbaarheid van de influence matrix

De influence matrix die we gevonden hebben in de vorige paragraaf blijkt niet inverteerbaar te zijn. Dit heeft te maken met een aantal druk 'modes' die niet te bepalen zijn. De druk kan bijvoorbeeld alleen op een constante na bepaald worden omdat in de op te lossen vergelijkingen alleen de gradiënt van de druk voorkomt. De andere modes ontstaan door de discretisatie van de impulsvergelijking en de Poissonvergelijking voor de druk. Deze modes Psp beïnvloeden de snelheid echter niet, het zijn oplossingen van:

\76Psp + B = 0,

\l~Psp =-V'· B.

Omdat deze modes de snelheid niet beïnvloeden worden ze 'spurious modes' genoemd. Bala­chandar et al. [15] heeft de 'spurious modes' bepaald voor een influence matrix met collocatie correctie. Met het spectrale collocatieschema worden de snelheid en de druk exact bepaald op een aantal gridpunten in de fysische ruimte. Op deze punten, waar bij deze methode exact aan de gediscretiseerde impulsvergelijking wordt voldaan, zijn de gediscretiseerde gradiënten van de 'spurious modes' nul. Balachandar vindt acht modes, waarvan de eerste aangeeft dat de druk op een constante na te bepalen is. Vier andere 'spurious modes' worden veroorzaakt door de hoekpunten. Naast deze constante mode en de vier hoekmodes vind Balachandar nog drie andere 'spurious modes' die hij respectievelijk 'line', 'column' en 'checkerboard mode' noemt. Ook bij de tau-correctie blijken er 'spurious modes' te bestaan. Deze zijn echter moeilijk te vinden. Deze 'spurious modes' hebben tot gevolg dat de influence matrix vier eigenwaarden heeft die nul zijn (we hebben de hoekpunten niet meegenomen in de influence matrix), waardoor deze matrix niet inverteerbaar is.

Een oplossing voor deze niet-inverteerbaarheid van de influence matrix wordt gegeven door Tuckerman [16]. Zij stelt voor een nauwgerelateerde, maar wel inverteerbare, matrix A' te vormen, door de nuleigenwaarden te vervangen door de waarde één. De zo verkregen matrix gedraagt zich hetzelfde als de oorspronkelijke influence matrix, behalve in de nulruimte. Deze nulruimte heeft geen invloed op het verkrijgen van de juiste oplossing. Vanwege de eindige nauwkeurigheid waarmee de eigenwaarden van de influence matrix bepaald kunnen worden hebben de nuleigenwaarden een kleine eindige waarde. De eigenwaarde wordt beschouwd als zijnde nul wanneer deze kleiner is dan een bepaalde drempelwaarde. Deze drempelwaarde moet zorgvuldig gekozen worden om een divergentie-vrije stroming te krijgen. Wanneer deze te hoog is worden eigenwaarden die essentiële informatie bevatten weggegooid, is de waarde te laag dan zorgen de kleine eigenwaarden voor het opblazen van de fout. In ons geval, waarbij gerekend wordt met een machinenauwkeurigheid van 10-16 blijkt een drempelwaarde van 10-12 goed om precies de vier nulwaarden te vinden. Deze eigenwaarden vervangen we door

28

de waarde één. Met de nieuwe set van eigenwaarden en de originele eigenvectoren, wordt de aangepaste inftuence matrix gevormd. Deze kan geïnverteerd worden voor het berekenen van de ai 's en de (3/s.

In de collocatie-correctie is het mogelijk om de 'spurious modes' weg te filteren door de eigenwaarden die nul zijn oneindig groot te maken. Hierdoor is de fysische druk te bepalen. De 'spurious modes' die bij de tau-correctie ontstaan zijn echter niet zo eenvoudig weg te filteren. Omdat we niet geïnteresseerd zijn in de druk, maar deze alleen gebruiken om de snelheid te kunnen bepalen hebben we geen last van deze 'spurious modes'.

3.5 Oplossen van de Helmholtz-vergelijking

Voor het bepalen van de snelheid en de druk moeten respectievelijk twee-dimensionale Helm­holtz-vergelijkingen en twee-dimensionale Poisson-vergelijkingen worden opgelost. Dit doen we met de spectrale tau methode die is beschreven in paragraaf 3.1.2. Het blijkt dat de twee-dimensionale vergelijkingen kunnen worden uitgesplitst in een aantal één-dimensionale vergelijkingen [17]. Voor deze één-dimensionale vergelijkingen bestaat een efficiënte oplosme­thode, die neerkomt op het oplossen van quasi-tridiagonale matrixvergelijkingen.

3.5.1 Twee-dimensionale Helmholtz-vergelijking

De Helmholtz-vergelijkingen7 zijn van de vorm:

V'~u(x, y) - Àu(x, y) = f(x, y),

met de daarbij behorende randvoorwaarden op x= ±1 en y = ±1:

u(x, -1)

u(x, 1)

u(-1,y)

u(1, y)

a( x),

b(x),

c(y),

d(y).

(3.114)

(3.115)

(3.116)

(3.117)

(3.118)

Door de langste zijde van de bak in de x-richting te kiezen wordt H = 1, de aspect-ratio ó gelijk aan L en dus

(3.119)

Wanneer de langste zijde in de y-richting gekozen wordt, 1s deze definitie van V'~ ook te gebruiken. Dit wordt aangetoond in bijlage B.

De gezochte oplossing u( x, y), het rechterlid f(x, y) en de randvoorwaarden worden ontwikkeld naar Chebyshev-polynomen zoals in paragraaf 3.1.1 en 3.1.2, waarbij in x-richting naar N Chebyshev-polynomen ontwikkeld wordt en in y-richting naar M polynomen. Hierbij worden de volgende coëfficiënten verkregen: Ûnm, fnm, àn, bn, êm en dm. In de Chebyshev tau benadering is de Helmholtz-vergelijking als volgt te schrijven:

1 A(2,0) + A(0,2) 'A JA 0 :::; k :::; N- 2, 0 < l < M 2 ó2ukl ukl - A1lkl = kl, _ _ - . (3.120)

70ok de Poisson-vergelijking wordt gegeven door formule (3.114), maar dan met À gelijk aan nul.

29

De hoogste coëfficiënten worden gebruikt om de randvoorwaarden mee te kunnen nemen (zie paragraaf 3.1.2):

N-2

ÛN,m =(dm+ êm)/2- L Ûnm, n=O

neven

N-3

n=l noneven

M-2

Ûn,M = (bn + an)/2- L Ûnm, m=O

M-3

Ûn,M-1 = (bn- an)/2- L Ûnm, m=l

m oneven

Vergelijking (3.120) is in matrixvorm schrijven,

1 82 AU + U B - >.U = F,

m=O, ... ,M, (3.121)

m=O, ... ,M, (3.122)

n=O, ... ,N, (3.123)

n=O, ... ,N. (3.124)

(3.125)

waarbij de vermenigvuldiging van matrices A en U de Chebyshev-benadering van ~ re­

presenteert en de vermenigvuldiging van B met U de Chebyshev-benadering van ~ weer­geeft. Vergelijking (3.125) is door diagonalisatie van A te spitsen in aantal één-dimensionale Helmholtz-vergelijkingen die snel en eenvoudig zijn op te lossen (zie paragraaf 3.5.2)8 . In deze matrixvergelijking zijn U en F de matrices gevuld met Ûnm en Înm voor 0 ~ n ~ N- 2, 0 ~ m ~ M - 2. De tweede afgeleiden zijn afhankelijk van de hoogste orde coëfficiënten (met n = N- 1, N en m = M- 1, M), terwijl deze coëfficiënten niet in matrix U zitten. Omdat deze coëfficiënten bepaald kunnen worden uit een lineaire combinatie van de coëfficiënten die wel in U zitten (via de randvoorwaarde vergelijkingen), kunnen ze wel in vergelijking (3.125) worden meegenomen. Hiervoor schrijven we de tweede afgeleide naar x als volgt,

als neven:

û(2,0) nm

û(2,0) nm

N-2

2:: Cn p=n+2

1

p+n even

1 [ N-2 l + Cn N(N2 + n 2

) (dm+ êm)/2- ~ Ûpm '

p even

N-3

L p(p2- n2)ûpm p=n+2

p+n even

8 Wanneer N > Mis de berekening sneller als Binplaats van A gediagonaliseerd wordt. 9 De factor ...l.. valt weg omdat Cn altijd één is als n oneven.

c,.

30

(3.126)

(3.127)

Wanneer we de termen die de waarden van de functie u op de randen (êm en dm) bevatten niet meenemen in matrix A, blijft A bij een bepaalde N en M steeds exact hetzelfde. Daardoor kunnen we dezelfde matrix A gebruiken bij het oplossen van verschillende vergelijkingen, onafhankelijk van de randvoorwaarden of van het rechterlid F. Matrix A ziet er dan als volgt uit:

p en n even (0 ::; p, n ::; N - 2) :

{ P :S n : Apn = - c~ N ( N 2

- n 2 ),

P > n: Apn = LP(P2- n2)- c~ N(N2- n2), (3.128)

p en n oneven (1 ::; p, n ::; N - 3) :

{p:Sn: p > n:

Apn = -(N- 1)((N- 1)2 - n2), Apn = p(p2 - n2)- (N- 1)((N- 1)2 - n2).

(3.129)

De termen die de waarden êm en dm bevatten worden in de matrixvergelijking (3.125) naar het rechterlid gebracht, waar ze samen met de coëfficiënten Înm de matrix F vormen:

neven (n::; N- 2, m :S M- 2) :

' 1 2 2 ' ' Fnm = fnm- 82 (N + n )(dm+ Cm)/2, (3.130)

n oneven (n ::; N- 3, m ::; lvf- 2) :

' 1 2 2 ' ' Fnm = fnm- 82 (N- 1)((N- 1) + n )(dm- Cm)/2, (3.131)

We diagonaliseren nu matrix A: (3.132)

Hierin is Q de matrix met eigenvectoren van A en A de diagonaal matrix met de eigenwaarden Àn op de diagonaal. Wanneer we nu U en F transformeren door ze te vermenigvuldigen met Q-1

U'=Q- 1U ____, U=QU',

F'=Q-1F ____, F=QF',

is de matrixvergelijking te schrijven als

; 2 AU' + U'B +>.U'= F'.

Deze vergelijking is te splitsen in N - 1 één-dimensionale Helmholtz-vergelijkingen:

M-2

L Û~qBqm + (). + ; 2 Àn)û~m = Î~m 0 :S n :S N- 2, 0 :S m :S M - 2, q=O

(3.133)

(3.134)

(3.135)

(3.136)

met de daarbij horende getransformeerde randvoorwaarden (a~= Q-1an en b~ = Q- 1bn):

n=O, ... ,N, (3.137) rn=O

rn. even

M-3

û~,M-l = (b~- a~)/2- L: n=O, ... ,N. (3.138) rn=l

In de volgende paragraaf wordt hiervoor een effectieve oplosmethode gegeven, waaruit na terugtransformatie de coëfficiënten Ûnm, 0 ::; n :S N- 2, 0 ::; m ::; M volgen. De coëfficiënten ÛN,m en ÛN -l,m worden hierna bepaald door de berekende coëfficiënten in te vullen in verge­lijkingen (3.121) en (3.122).

31

3. 5. 2 Eén-dimensionale Helmholtz-vergelijking

Hieronder is nogmaals de één-dimensionale Helmholtz-vergelijking in de Chebyshev tau be­nadering gegeven met de daarbij behorende randvoorwaarden. Hierbij zijn de index n en de accenten weggelaten en is(,\+ tzÀn) vervangen door À1

•

m = 0, 1, ... , M- 2, M ~

""""' ~ - b+ii L...- Um- -2-, rn=O

M-1 b-a L Ûm= -2-. m=l

(3.139)

(3.140)

(3.141)

Omdat de coëfficiënten û~) lineair afhankelijk zijn van Ûm (m = 0, ... , M) is dit een lineair stelsel dat oplosbaar is. Een veel efficiëntere procedure [1] wordt verkregen door gebruik te maken van de recurrente betrekking (3.6) met achtereen volgens q = 2 en q = 1:

2mû(q- 1) = c û(q) - û(q) m m-1 m-1 m+1·

We kunnen vergelijking (3.139) dan schrijven als:

voor

met

À'Cm-2 ~ ( ,\'fJm ) ~ ( )

Um-2 + 1 - ( 2 ) Um 4m m -1 2 m -1 ,\' f3m+2 ~

+ 4m(m + 1) Um+2 =

Cm-2 ~ f3m ~ 4m(m- 1/m-2

- 2(m2 - 1/m f3m+2 ~

+ 4m(m + 1) fm+2'

'm=2, ... ,M,

f3m = { 1 0 ~ m ~ M - 2 0 m~M.

(3.142)

(3.143)

(3.144)

(3.145)

We zien dat de even en oneven coëfficiënten onafhankelijk zijn. Voor de even coëfficiënten wordt het volgende quasi-tridiagonaal systeem verkregen:

1 1 1

* * * * * *

* * *

* * *

1 ûo Û2

Û4

* ÛM-4

* ÛM-2

* * ÛM

=

fJM-6

fJM-4

fJM-2

(3.146)

Met een * worden de coëfficiënten aangegeven die niet nul zijn. Het rechterlid van vergelij­king (3.143) wordt aangegeven met 9m· Eenzelfde matrix wordt verkregen voor de oneven coëfficiënten. Deze tridiagonale matrixvergelijkingen zijn snel op te lossen. De berekening van de coëfficiënten Ûm, m = 0, ... , M kost 0(16M) bewerkingen.

32

3.6 Samenvatting van de oplosmethode

In deze paragraaf worden de stappen gegeven die doorlopen moeten worden voor het bereke­nen van een stroming met de hiervoor beschreven methoden. Het verloop van de snelheid van de stroming in de tijd wordt bepaald door voor elk tijdstapje dezelfde cyclus te doorlopen10 .

De matrix die bij het oplossen van de twee-dimensionale Helmholtz-vergelijkingen gediago­naliseerd wordt (zie paragraaf 3.5) is onafhankelijk van het rechterlid van de Helmholtz­vergelijking. Deze wordt daarom aan het begin van de berekening één keer bepaald, waarna de eigenwaarden en eigenvectoren worden opgeslagen. Ook de infl. uence matrix is niet af­hankelijk van de tijdsafhankelijke term S en ook niet van de (eventueel tijdsafhankelijke) randvoorwaarden. Daardoor hoeft ook deze matrix niet elke cyclus opnieuw bepaald te wor­den. De inverse van de infl.uence matrix wordt aan het begin van de berekening bepaald en opgeslagen.

Voor elke tijdstap worden dan achtereenvolgens bepaald:

1. Het rechterlid S:

(3.147)

De term .C(V)n wordt bepaald door eerst in de spectrale ruimte de afgeleiden van de snelheid in beide richtingen te berekenen (met formule (3.22)) en vervolgens met behulp van de pseudospectrale convolutie (zie paragraaf 3.1.1) te vermenigvuldigen met un of vn. De .C(V)n die hieruit ontstaat wordt tijdelijk opgeslagen, omdat deze ook nodig is in de volgende tijdstap voor de berekening van S. De term V'~Vn is in principe in de vorige tijdstap bepaald bij het oplossen van de Helmholtz-vergelijking:

(3.148)

Hieruit volgt dat:

gn,n-1 = Re [ 3.C(Vt - .C(Vt-1 J - \7 ópn - gn-1,n-2 - 2À yn. (3.149)

2. De particuliere oplossing voor de druk uit de Poissonvergelijking:

\7~pn+1 = _ \7. gn,n-1 u p '

(3.150)

met randvoorwaarden Pr = 0. Deze randvoorwaarden is willekeurig, er is hier voor de eenvoud gekozen voor homogene randvoorwaarden.

3. De particuliere oplossing voor de snelheden, up en vp:

\72yn+1 _ À yn+1 = \7 pn+1 + gn,n-1 ó p p ó p ' (3.151)

met de randvoorwaarden Vr.

4. De divergentie van de snelheid op de rand, en de relevante hoge frequentie modes van het impulsresidu van de particuliere oplossing11 .

10Dit geldt niet voor de eerste tijdstap, daar zijn S, .À en daardoor ook de influence matrix anders. 11 Deze kunnen ook bepaald worden zonder eerst het snelheidsveld op het hele domein uit te rekenen, stap 3

kan dan worden overgeslagen.

33

5. De ai's en f3i's uit de vermenigvuldiging van de inverse van de influence matrix met de divergentie van de snelheid op de rand en de hoogste frequentie modes van het impulsresidu van de particuliere oplossing:

6. De druk uit de Poissonvergelijking:

met de correcte randvoorwaarden

~\7. Vi)j

(Bi)j- 8ij r[

waarbij de j's de punten op de rand aangeven, en met het impulsresidu:

Nr

B = Lf3ibi, i=l

(3.152)

(3.153)

(3.154)

(3.155)

waarin de Chebyshev-coëfficiënten van bi allemaal nul zijn op één hoge frequentie mode na.

7. De goede snelheden op dezelfde manier als in stap 3 maar nu met de correcte druk die uit stap 6 volgt.

In stap 2 tot en met 7 kunnen de druk en de snelheden gesplitst worden in hun even en oneven gedeelten in beide richtingen (x en y). Dit levert een besparing op van rekentijd en geheugenruimte. Voor het bepalen van S met de spectrale convolutie is deze uitsplitsing eveneens mogelijk, maar in het huidige algoritme is dat niet geïmplementeerd.

34

Hoofdstuk 4

Resultaten

4.1 Convergentie en nauwkeurigheid van het algoritme

In eerste instantie berekenen we een stroming waarvan de oplossing analytisch te bepalen is. Hierdoor kunnen we de fout die we met deze berekening maken exact bepalen.

Stokes-probleem

Het Stokes-probleem [18] dat we hier bekijken is geen reële stroming maar een analytische oplossing van de Stokesvergelijkingen. Dit zijn de Navier-Stokesvergelijkingen zonder de niet­lineaire convectieterm. We voegen een bronterm f aan de Stokesvergelijkingen toe, om de oplossing analytisch te kunnen bepalen. Bovendien nemen we Re = 1. De dimensieloze Stokesvergelijkingen zien er dan als volgt uit:

V'. V= 0.

We bepalen de bronterm zodanig dat de snelheid en de druk voldoen aan:

De bronterm is dan:

u( x, y, t)

v(x, y, t)

p(x, y, t)

fx(x, y, t)

jy(x, y, t)

-cos(x)sin(y) e-2t,

sin(x) cos(y) e-2t,

1 - 4(cos(2x) + cos(2y)) e-4t.

cos(x) sin(x) e-4t,

cos(y) sin(y) e-4t.

( 4.1)

(4.2)

( 4.3)

( 4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

In figuur 4.1 is deze analytische oplossing van het snelheidsprofiel weergegeven op het tijdstip t = 1 en op het domein [-1, 1] x [-1, 1].

35

-I -1 x

-0.5 0 x

0.5

Figuur 4.1: Links: Analytische oplossing voor snelheid op t = 1. Rechts: Contouren van de berekende stroomfunctie op t = 1.

Het voor de berekeningen gebruikte programma is beknopt weergegeven in bijlage A. Om de bovenstaande Stokesvergelijkingen te kunnen oplossen laten we in dit programma echter de niet-lineaire term weg en voegen de bronterm toe. De beginvoorwaarden voor de snelheid voldoen aan vergelijkingen ( 4.3) en ( 4.4) waarbij t = 0 is. Ook de randvoorwaarden voldoen aan deze vergelijkingen met x = ±1 en y = ±1. Deze randvoorwaarden zijn dus tijdsafhan­kelijk. Het resultaat van de berekening aan deze Stokes-stroming met een grid van 17 x 17 en een tijdstap van ilt = 0.002 is weergegeven in een contourplot van de stroomfunctie (zie figuur 4.1). Deze stroomfunctie is gedefinieerd als ~t = u,~~ = -v en wordt bepaald uit de Chebyshev-coëfficiënten van de snelheden in de spectrale ruimte. Dit wordt toegelicht in bijlage C.

De functies waarmee de snelheden analytisch worden beschreven ( 4.3) en ( 4.4) zijn zo glad dat deze met 17 Chebyshev-coëfficiënten machinenauwkeurig worden weergegeven. Dit is te zien in figuur 4.2, waar de absolute waarde van de Chebyshev-coëfficiënten van u (op t = 1) met m = 0 en n = 0, ... , N zijn weergeven (bij een grid van 65 x 65). Een verdere verfijning van het grid heeft hier dan ook geen invloed, dit probleem is dus niet helemaal geschikt om de convergentie van het plaatsdiscretisatie schema te onderzoeken. Convergentietests voor spin-up-stromingen en stromingen met eenvoudige Gausswervels laten wel degelijk spectrale convergentie zien.

De afwijking van de berekende snelheid ( ub en vb) ten opzichte van de analytisch bepaalde oplossing (u en v) bepalen we door de volgende relatieve L2-norm te nemen:

I IA(E~ + E~)da I IA(u2 + v2)da'

36

(4.8)

1e·4

1e·B

log( I Ûn,O I) 1e-12

1e-16

1e·20

10 20 30 40 50 60 70

n

Figuur 4.2: Absolute waarden van de Chebyshev-coëfficiënten van u (op t = 1).

1e·10 1e-8 1e·6 1e·4 1e·2

log(~t)

Figuur 4.3: Relatieve fout (L2-norm) op t = 1.

waarin

Deze afwijking op t = 1, bij een grid van 9 x 9 en bij een grid van 33 x 33 is in figuur 4.3 uitgezet tegen de grootte van de tijdstap. We zien hier een kwadratische convergentie zoals we die bij een tweede orde tijddiscretisatie schema verwachtten (de lijn geeft de functie f(~t) = i(~t) 2 weer).

De L 2-norm van de divergentie van de stroming is bij deze berekeningen van de orde 10-14 .

Bij berekeningen zonder tau-correctie vinden we een divergentie van 10-3 . De fout in de snelheid is dan van dezelfde orde van grootte.

37

4.2 Spin-up

Spin-up is het aanpassingproces van een vloeistof in een container waarvan de hoeksnelheid instantaan veranderd is. Er wordt hier gekeken naar spin-up vanuit rust. In dimensievolle grootheden kunnen we dit proces als volgt beschrijven: Op t = 0 s begint de tank plotseling om zijn middelpunt te roteren met een constante hoeksnelheid n (n staat loodrecht op het 2D­vlak). De vloeistof kan de plotselinge beweging van de tank niet volgen. Het duurt enige tijd voordat de vloeistof zich, door advectie en diffusie processen, heeft aangepast aan de nieuwe hoeksnelheid. Voordat deze eindtoestand bereikt is zien we in de vloeistof een aantal wervels ontstaan. Deze wervels streven elk naar een axisymmetrische geometrie. Er ontstaat een quasi-stationaire situatie bestaande uit een rij van wervels met alternerende rotatierichting. Het aantal wervels dat ontstaat is afhankelijk van de aspect-ratio van de bak.

Binnen de werkgroep werveldynamica is al veel onderzoek verricht naar spin-up-processen, zowel experimenteel als numeriek [5][9][19][20]. Wij berekenen een drietal spin-up-stromingen. De berekeningen van spin-up in de lange bakken (/5 = 5, ó = 6) worden vergeleken met eerdere berekeningen van Tacken [19] die hiervoor de spectrale-elementen methode gebruikte zoals ontwikkeld bij de faculteit Werktuigbouwkunde door Timmermans, v.d. Vosse en Minev [21]. Zodoende kunnen we controleren of ons programma ook voor niet-vierkante bakken betrouwbare resultaten oplevert.

4.2.1 Startstroming

De stroming die in de tank ontstaat bekijken we in een meeroterend stelsel. Door een geredu­ceerde druk te definiëren hebben de Navier-Stokesvergelijkingen in dit meeroterende stelsel de­zelfde vorm als in het niet roterende stelsel (zie paragraaf 2.5.1). De snelheid is dimensieloos1

gemaakt met DB, de plaatscoördinaten met B en de tijd met n. De snelheid van de vloeistof op t < 0 wordt in het meeroterende stelsel gegeven door:

vo = -r, (4.9)

waarin r de straal is. In de onderstaande figuur zijn stroomlijnen van deze starre rotatie gegeven. Op t = o+ ontstaat er een zeer dunne grenslaag waardoor de stroming aan de nieuwe

I

I I I

I

I I

I I

Figuur 4.4: Starre rotatie van zowel de bak als de vloeistof

randvoorwaarden voldoet (we hebben ondoorlaatbare no-slip wanden). De starre rotatie gaat over in een anticyclonale wervel die de volledige bak bestrijkt. Deze wervel heeft een uniforme

1 De grootheden die in dit hoofdstuk beschouwd worden zijn verder allemaal dimensieloze grootheden.

38

vorticiteit van -2. Doordat we de vorticiteit kennen kunnen we de stroomfunctie bepalen uit:

\12 '1/J = -w = 2 in 'D, ( 4.10)

'Ij;= 0 op r.

Deze vergelijkingen ( 4.10) volgen uit de definities van 'Ij; en w en de randvoorwaarden u

v = 0 op de rand. Wanneer de stroomfunctie bekend is, zijn de snelheden eenvoudig te bepalen. In het proefschrift van Van de Konijnenberg [5] worden twee oplossingen gegeven voor vergelijking (4.10).

Het blijkt echter dat het hier gebruikte programma ook de starre rotatie als beginvoorwaarde aan kan, hoewel deze op t = 0 niet aan de randvoorwaarden voldoet. Omdat deze starre rotatie eenvoudiger en sneller te bepalen is, en hiermee de symmetrie exact wordt meegenomen, gebruiken we deze in onze berekeningen als beginvoorwaarden voor de snelheid:

u= y, v =-x. (4.11)

4.2.2 Spin-up in een vierkante bak

\Ve bekijken in eerste instantie de spin-up in een vierkante bak. Om de ontwikkeling van de stroming te volgen zijn de stroomfunctie en de vorticiteit gegeven in figuur 4.5. De gestip­pelde contouren geven hierin negatieve waarden aan en de doorgetrokken contouren geven positieve waarclen2 . Voor alle stromingsprofielen geldt dat ze zijn weergeven in dimensieloze grootheden, maar wel teruggetransformeerd naar het oorspronkelijke rechthoekige domein. Dit betekent dat we de getransformeerde stroomfunctie op het vierkante domein moeten vermenigvulcligen3 met HL. In dit geval is de aspect-ratio echter één, en is de transformatie niet nodig geweest. Bij deze berekening met een Reynoldsgetal van 625 (Re = 0~2 ) is een griel gebruikt van 65 x 65 en een tijdstap van Llt = 0.002. Onmiddellijk na het begin van de spin-up ontstaat er een anticyclonale wervel, die de hele bak bestrijkt. Doordat op de wand V= 0 wordt opgelegd en de snelheid vlak bij de wand eindig is 0(1), ontstaat er een grenslaag met sterke positieve vorticiteit. Deze compenseert de negatieve vorticiteit van de wervel zo­dat JJ AwdA = 0. De berekende vorticiteit voldoet binnen de machinenauwkeurigheid aan deze vergelijking. De grenslaag met positieve vorticiteit wordt steeds dikker, waardoor de extreem hoge waarden van de vorticiteit uitgesmeerd worden. Door de hoofdstroming wordt deze positieve vorticiteit naar de hoeken geadvecteerd waar zwakke cyclonale wervels ont­staan. Uiteindelijk ontstaat er een quasi-stationaire situatie waarbij de anticyclonale wervel cirkelvormig is. Door viskeuze effecten vervalt deze toestand langzaam.

Scatterplots

In een w( 'Ij; )-scat terplot is de vorticiteit tegen de stroomfunctie uitgezet. In twee-dimensionale niet-viskeuze stationaire stromingen is er een eenduidige relatie tussen deze twee grootheden,

2De precieze waarden van deze contouren, evenals van de contouren in alle volgende figuren, zijn gegeven in bijlage D.

3 Dit volgt uit de definitie van de stroomfunctie: ~ = -v, * = u ' d t f t" • I - X I - .JL I - U I - V en e rans orma Ie. x - y;, y - H'u - y;,v - r·

39

)r ,./·· .... .... ···---

/ , .... :') i '

·-=::,--,

:~:~~---........................ ./~i

t=0.002 t=1 t=20 t=80

Figuur 4.5: Contourenlijnen van de stroomfunctie (boven) en van de vorticiteit (onder) van spin-up bij Re= 625.

namelijk: w = F(?jJ). Dit wordt duidelijk wanneer we de vorticiteitsvergelijking beschouwen:

8w 1 2 fit+ (v · V')w = (w · V')v +Re V' w. (4.12)

Deze wordt verkregen door de rotatie van de impulsvergelijking (2.5) te nemen. In 2D­stromingen heeft de vorticiteit alleen een component loodrecht op het vlak. De vorticiteits­vergelijking voor twee-dimensionale onsamendrukbare stromingen wordt dan:

8w 1 2 fit+ (v. V')w = Re V' w. (4.13)

Wanneer de stroming niet-viskeus en stationair is wordt dit gereduceerd tot:

(v · V')w = 0. (4.14)

Ook in de quasi-stationaire fase van de spin-up vinden een eenduidige relatie tussen w en 1/J, hoewel hier de viskeuze effecten niet te verwaarlozen zijn. De sterkte van de wervel neemt in deze fase alleen nog maar af door viskeuze dissipatie, hierbij is ~ ongeveer gelijk aan ~e V' 2w, en dus (v · V')w ~ 0. Vergelijking (4.14) is ook te schrijven in termen van de stroomfunctie:

J(w 1/J) = 8w 81/J - 8w 81/J = 0 ' 8x 8y 8y 8x '

(4.15)

waarin J(w, 1/J) de Jacobiaan is. Deze relatie tussen w en 1jJ betekent dat elk punt op een stroomlijn4 dezelfde vorticiteit heeft en dat er een fundionale relatie tussen w en 1jJ bestaat.

4 Een stroomlijn is een lijn waarop de stroomfunctie een constante waarde heeft

40

w

Wanneer we deze relatie kennen is het complete stromingsprofiel te bepalen uit de Poisson­vergelijking voor de stroomfunctie:

\121/J = -w = F('ljJ). (4.16)

De w( 'ljJ )-relatie is belangrijk voor een beter begrip van de stroming.

W' w I

~

.A ; I

t=1 t=20 t=80

Figuur 4.6: w('l/J)-scatterplots van een spin-up-stroming bij Re=625.

Voor spin-up in de vierkante bak worden de w( 'ljJ )-scatterplots op verschillende tijdstippen afgebeeld in figuur 4.6. In de eerste fase van spin-up is een horizontale lijn in de scatterplot te zien die de uniforme vorticiteit in het binnengebied van de bak aangeeft. Aan de randen waar 'ljJ :::::: 0 is sterke vorticiteit waar te nemen. In deze grenslaag spelen viskeuze effecten in combinatie met advectie een belangrijke rol, daarom is er in dit gebied geen functionale relatie tussenwen 1/J. In de ontwikkelingsfase van de spin-up stroming zien we dat het gebied met dimensieloze vorticiteit -2 kleiner wordt. De randen van de anticyclonale wervel hebben nu positieve vorticiteit. De cyclonale hoekwervels (met 'ljJ > 0) zijn te zwak om in deze figuren waar te nemen. In de quasi-stationaire toestand zien we een lineaire w( 'ljJ )-relatie. De helling van deze lineaire relatie is 13.2 ±0.1. Dit is in overeenstemming met Vissers [20] die ongeacht het Reynoldsgetal en de aspect-ratio bij al zijn experimenten en numerieke simulaties een helling in de buurt van 12 en 13 vindt.

Zo'n lineaire w( 'ljJ )-relatie wordt ook gevonden bij andere stromingen waar zelforganisatie wordt waargenomen. Een voorbeeld hiervan is te vinden in het proefschrift van Flór [22]. Hij brengt de vloeistof in de tank in beweging door langs de twee lange zijden van de tank vloeistof in te spuiten. Wanneer de vloeistofstralen worden uitgeschakeld wordt na verloop van tijd zowel experimenteel (in een gestratificeerd medium) als numeriek een lineaire w( 'ljJ )­relatie gevonden. In spin-up-experimenten wijkt de w( 'ljJ )-relatie iets af van een lineair verband wanneer 3D-effecten een rol gaan spelen.

4.2.3 Spin-up in rechthoekige bakken

Bij spin-up in langwerpige bakken ontstaan meerdere wervels van dezelfde orde van grootte. Het aantal wervels dat ontstaat is afhankelijk van de aspect-ratio van de bak. In de quasi­stationaire toestand hebben naast elkaar gelegen wervels verschillende rotatierichtingen. Van­wege de symmetrie ten opzichte van het middelpunt van de bak (het rotatiecentrum) ontstaat er altijd een oneven aantal cellen5 . Dit aantal is ook afhankelijk van het Reynoldsgetal. In

5 Bij hoge Reynoldsgetallen kan door turbulentie de symmetrie verbroken worden.

41

t 10

t 15

t 18

t 20

t 27

t 49

t 124

Figuur 4.7: Stroomfunctie contourlijnen, 8 5, Re=625.

42

het afstudeerverslag van Tacken [19] zien we bijvoorbeeld dat in een bak met aspect-ratio 5 bij lage Reynoldsgetallen (Re = 125) drie wervels ontstaan, bij iets hogere Reynoldsgetallen vijf en bij Re ~ 1250 zeven.

De spin-up-stroming in een bak met aspect-ratio 5, bij een Reynoldsgetal van 625 is berekend met een griel van 65 x 65 en een tijdstap b..t = 0.002. In figuur 4.7 is de ontwikkeling van deze stroming te zien. De contourlijnen van de stroomfunctie zijn hier weergegeven op gelijke afstand van elkaar, waarbij deminimale en de maximale waarden als uitersten gekozen zijn.

Figuur 4.8: Resultaten Tacken {19]: Stroomfunctie contourlijnen, ó = 5, Re = 625 (a) t = 0, (b) t = 10, (c) t = 15, (d) t = 17.5, (e) t = 20, (!) t = 27.5, (g) t = 48.75, (h) t = 123.75.

Op t = o+ wordt de hele tank in beslag genomen door één anticyclonale wervel (hier niét afgebeeld). De positieve vorticiteit die langs de wanden ontstaat wordt door de hoofdstroming naar de hoeken geadvecteerd. Hierdoor ontstaan vier cyclonale wervels. De twee wervels in de stroomafwaartse hoeken van de korte zijde zijn echter zeer zwak en verdwijnen snel. De twee wervels in de stroomafwaartse hoeken van de lange zijden daarentegen groeien snel. Hierbij neemt de omvang van de anticyclonale wervel in het centrum van de bak af (t = 10). De twee cyclonale wervels genereren aan de wand negatieve vorticiteit. Hieruit ontstaan vier nieuwe anticyclonale wervels (t = 15), twee aan de uiteinden van de bak en twee andere die de cyclonale wervels in tweeën splitsen (t = 18). Deze twee (middelste) anticyclonale wervels gaan samen met de centrale wervel (t = 20 en t = 25), waarna de middelste twee cyclonale wervels weer geabsorbeerd worden door de grotere cyclonale wervels (t = 27). Er is nu al duidelijk een vijf-cellenpatroon te zien, dat bestaat uit wervels van vergelijkbare grootte en met alternerende rotatierichting. Uiteindelijk wordt de stroming quasi-stationair. Hiermee wordt bedoeld dat het stromingsprotiel nauwelijks meer verandert en dat alleen de sterkte van de wervels door viskeuze effecten in de loop van de tijd nog afneemt. Zoals we verwachtten zijn er in deze tank met aspect-ratio 5 vijf bijna cirkelvormige wervels ontstaan. De twee cyclonale wervels zijn iets sterker dan de drie anticyclonale.

We vergelijken deze ontwikkeling van de stroomfunctie met de resultaten van Tacken [19] (zie

43

figuur 4.8), die voor zijn berekening de spectrale elementen methode gebruikte6 , met een grid van 33 x 161. We zien een uitstekende overeenkomst tussen beide berekeningen.

Omdat Tacken in een bak met aspect-ratio 6 een andere stationaire toestand vond dan Suh [23] hebben we ook voor deze configuratie de spin-up-stroming bepaald (met een grid van 57 x 113 en een tijdstap 6..t = 0.001). We zien in figuur 4.9 een soortgelijke ontwikkeling als in de tank met aspect-ratio 5. De cyclonale wervels in de hoeken groeien nu harder doordat langs de langere wanden meer positieve vorticiteit geproduceerd wordt. Deze wervels zijn nu langgerekt van vorm. Ook nu produceren zij anticyclonale wervels, waarvan de middelste twee weer samengaan met de centrale wervel. Uiteindelijk ontstaat er een situatie met vijf even sterke wervels in het midden van de bak en twee zwakkere aan de uiteinden. Net als Tacken (zie figuur 4.10) vinden wij een anticyclonale centrale wervel. Suh beweert echter een cyclonale centrale wervel te vinden. Deze conclusie lijkt gebaseerd te zijn op een minder nauwkeurige berekening 7 , waarvan Suh de stromingsevolutie niet laat zien.

61n de notatie van Tacken [19) komt ons Reynoldsgetal van 625 overeen met Re = 5000. Omdat hij de totale breedte van de bak als karakteristieke lengte heeft genomen, en bovendien de snelheid schaalt met 2Q is zijn Reynoldsgetal een factor 8 groter. Ook de tijdschaal is bij Tacken een factor 2 groter. We geven hier alleen onze tijdschaal.

7Suh gebruikt een eindige differentie methode met een grid van 141 x 51 en een tijdstap van .6.t = 0.05

44

t 10

t = 15

t 20

t 25

t 35

t 65

0

t = 100

0 t 200

0

.""..---- ........ a I , .... ----: ......... '\ D ,,"., ,, (Q / {I,.,--,,\\ \ 0

I I I I I I I I

I\\', / J I I \ \ , -- _, t I \ '- ...,. __ ..,... I I

'<::::.:::_/

Figuur 4.9: Stroomfunctie contourlijnen, 8

45

."...------ ... / .... --- .... ...

I ,",."...-- ... ,''\ ',

: f ,' /.-- .... , \\ \ I 1\ I I I I I I I ' ' I I I I \ \ ''--"',/I I

\ ' , __ .... / I

' ... : :.-:.-:.-:."'., ./

6, Re=625.

0

0

0

(a)~,~

(b)l~~·l

(c)I~~O~&JI (d)QOc::IOQ (e)o~D@D~o

(!) o~G~GJ~o (g)o~aaa~o

Figuur 4.10: Resultaten Tacken {19}: Stroomfunctie contourlijnen, 8 = 6, Re= 625, {a) t = 10, {b) t = 15, {c) t = 20, {dj t = 25, {e) t = 35, (!) t = 65, (g) t = 100, {h) t = 200.

46

4.3 Driven-cavity

De driven-cavity wordt veel gebruikt als 'benchmarking' probleem voor het testen van nume­rieke programma's. Ook kan de driven-cavity experimenteel gebruikt worden om een bekende stroming te creëren. Leong en Ottino [10] bijvoorbeeld gebruikten deze stroming om chaotisch advectie van 2D viskeuze stromingen te onderzoeken. Het eenvoudigste en meest gebruikte driven-cavity probleem is een twee-dimensionale stroming in een vierkante bak die wordt aan­gedreven door één zijwand die met constante snelheid beweegt. We bekijken echter ook een aantal variaties op dit probleem, namelijk driven-cavity-stromingen in rechthoekige bakken met aspect-ratio ongelijk aan één, en situaties waarbij twee zijden van de bak in beweging worden gebracht.

0.8

u(x, 1) '·6

02

oL, ---:.0'-::-8 ---:.0'-::-6 -_,:'-:-.4 -.,-'-::.2-~----:'c:o 2--",.---::':0.6--:-:'c:----'

x

Figuur 4.11: Snelheid op de bewegende zijde.

In veel numerieke simulaties veroorzaakt de continue snelheid over de volledige breedte van de bewegende zijde singulariteiten wat leidt tot numerieke instabiliteiten. Dit is ook het geval bij gebruik van de spectrale methode. Wij lossen dit op door een continue differentieerbare functie op te leggen die nul is in de hoekpunten en één op het middelste gedeelte van de zijde (zie figuur 4.11):

u(x, y = 1) = 1- exp( -100(1- x 2)

2). (4.17)

Deze randvoorwaarde lijkt zoveel mogelijk op de uniforme snelheid en wordt ook gebruikt door Madabhushi et al. [8]. Een andere oplossing wordt gebruikt door Daube [7] en Shen [24]. Zij nemen u( x, 1) = (x2 - 1)2 . Deze functie is minder steil bij de hoekpunten, waardoor deze bij een klein aantal gridpunten minder snel instabiliteiten veroorzaakt.

4.3.1 Aspect-ratio ó = 1

In eerste instantie wordt de driven-cavity-stroming bepaald in een vierkante bak. In figuur 4.12 wordt de ontwikkeling van de stroming bij Re= 500 gegeven (berekend met een grid van 65 x 65 en een tijdstap van b..t = 0.002).

De vloeistof in de bak is in rust op t < 0. Op t = 0 wordt op de bovenste wand een snelheid naar rechts opgelegd (volgens formule (4.17)). Vanwege de viscositeit van de vloeistof en de no-slip conditie wordt de vloeistof aan deze zijde in beweging gebracht. Deze beweging ontwikkelt zich door heel de bak waardoor een primaire anticyclonale wervel ontstaat. Deze wervel wordt door de continue aandrijving niet geheel cirkelvormig. Aan de rechterzijwand

47

t=2 t=4 t=8

,----------------------- -----~,

/ ..... -------------------\ i /,' ,.,-- --,, l i

\,~(:~~3~ t = 12 t = 20

Figuur 4.12: Contourlijnen van de stroomfunctie van de ontwikkeling van driven-cavity bij Re= 500.

ontstaat een secundaire wervel door grenslaag-loslating. Genslaag-loslating kan optreden wanneer er net buiten de grenslaag een vertragende stroming is. Wanneer de viskeuze krachten niet voldoende zijn om de positieve drukgradiënt langs de wand te compenseren treedt er in de grenslaag terugstroming op, dit wordt grenslaag-loslating genoemd. Deze secundaire wervel groeit tot hij de hele rechteronderhoek in beslag neemt. Enige tijd later ontstaat ook in de linkeronderhoek een secundaire wervel. Het ontstaan van secundaire hoekwervels is afuankelijk van het Reynoldsgetal. Bij Re= 1600 vinden we ook een derde secundaire wervel in de linkerbovenhoek (zie figuur 4.14). Er kunnen ook tertiaire wervels ontstaan uit de negatieve vorticiteit die door de cyclonale secundaire wervels aan de wanden wordt opgewekt. Wij hebben deze tertiaire wervels bij de hier gebruikte lage resoluties echter niet gevonden8 .

w "

t = 1 t = 20 t = 80

Figuur 4.13: w('l/J)-scatterplots driven-cavity bij Re= 500.

8 Bij een fijner grid en kleinere tijdstap worden de tertiaire wervels wel gevonden [9].

48

Ook nu bekijken we de w( 7jJ )-scatterplots van de stroming voor de verschillende ontwikke­lingsfasen. Deze worden gegeven in figuur 4.13. Vlak nadat de wand in beweging is gebracht zien hoge positieve en negatieve waarden van de vorticiteit. Er is hier meer 'scatter' dan in de latere plots doordat de stroming nog niet stationair is. Wanneer de stroming stationair is geworden zien we een horizontale lijn die het middengebied van de stroming weergeeft. Dit betekent dat de stroming hier op een starre rotatie lijkt. Vlak bij de wanden spelen, net als bij spin-up, de viskeuze effecten een belangrijke rol. In dit gebied is zowel hoge positieve als negatieve vorticiteit te zien. Boubnov et al. [25] vindt voor een stroming die continu wordt aangedreven met bronnen en putten hetzelfde horizontale verband tussen w en 'Ij;.

Re= 50 Re= 200 Re= 500 Re= 1600

Figuur 4.14: Contourlijnen van de stroomfunctie van de stationaire situatie bij verschillende Reynoldsgetallen.

Om de verschillende numerieke methoden te vergelijken wordt vaak doorgerekend tot er een stationaire toestand is bereikt, de verschillen in de tijddiscretisatie zijn dan onbelangrijk. In figuur 4.14 worden de stationaire toestanden weergegeven van berekeningen bij verschillende Reynoldsgetallen. In tabel4.1 zijn voor iedere berekening het aantal grielpunten en de grootte van de tijdstap gegeven. Ook wordt hier het tijdstip waarop de stationaire toestand is bereikt gegeven. \Vij noemen de toestand stationair wanneer de snelheid over de periode van 50 tijdseenheden in 8 decimalen gelijk blijft. Daarnaast staan in tabel 4.1 de waarden van de stroomfunctie en de vorticiteit van de centra van de primaire wervel en de secundaire hoekwervels, evenals de posities van deze wervels.

De resultaten hiervan worden vergeleken met die van Ghia et al. [2]. Ghia gebruikt voor zijn berekeningen de CSI-MG methocle9 , waarbij niet de evolutie van de stroming, maar alleen de stationaire eindtoestanel bepaald wordt. Hierbij wordt een uniforme snelheid op heel de zijwand opgelegd. Voor de definitie van het Reynolclsgetal gebruikt Ghia de totale breedte van de bak als karakteristieke lengte terwijl wij hiervoor de halve breedte gebruiken. Ons Reynolclsgetal voor een vergelijkbare stroming is dus twee maal zo klein. We vermelden in het vervolg alleen ons Reynolclsgetal. Ghia heeft in zijn artikel een aantal waarden van de snelheden in de stationaire toestanel gegeven, namelijk de waarden op een horizontale en op een vertikale doorsnede door het midden van de bak. In figuur 4.15 worden deze vergeleken met onze resultaten. De door ons berekende waarden zijn ook te vinden in bijlage E. Er zijn een aantal kleine verschillen waar te nemen, met name bij Re = 1600. Ghia heeft voor dit hoge Reynolclsgetal hetzelfde aantal grielpunten (129 x 129) gebruikt als voor de lagere Reynolclsgetallen. Mogelijk is dit griel niet fijn genoeg geweest voor deze stroming. Ghia heeft ook de waarden van de stroomfunctie, de vorticiteit en de positie van de centra van de primaire en secundaire wervels gegeven. Wanneer we onze waarden hiermee vergelijken zien we voor de

9 CSI-MG staat voor 'coupled strongly implicit multigrid method'.

49

Tabel 4.1: Waarden van de maxima en minima van de stroomfunctie van de stationaire stro­ming in een vierkante driven-cavity bij verschillende Reynoldsgetallen (RO geeft de wervel rechtsonder in de hoek aan, LO de wervel linksonder en LB de wervel linksboven). Plus de vorticiteit in deze extrema en de positie daarvan en de voor de berekening gebruikte parame­ters: N x M en t6.t en het tijdstip waarop de stationaire toestand is bereikt.

Re =50 Re =200 Re =500 Re =1600 m1mmum '1/J -0.2071 -0.2277 -0.2370 -0.2415

w -1.584 -1.146 -1.031 -0.9704 x,y 0.2321,0.4 7 46 0.1088,0.2106 0.0622,0.1303 0.03631,0.0805

RO max '1/J 2.55E-5 1.29E-3 3.44E-3 5.61E-3 w 1.73E-2 0.225 0.552 1.09 x,y 0.8841,-0.8776 0. 7709,-0.7554 0. 7283,-0.7763 0.6482,-0.8314

LO max '1/J 3.59E-6 2.87E-5 4.64E-4 2.21E-3 w 8.19E-3 2.99E-2 0.175 0.574 x,y -0.9286,-0.9346 -0.8970,-0.9060 -0.8334,-0.8439 -0.8377,-0.7606

LB max '1/J 1.50E-3

w - - - 0.839 x,y -0.8882,0.8070

NxM 48x48 48x48 64x64 76x76 !J.t 0.002 0.002 0.002 0.0015

i stat 100 200 600 1100

primaire wervels een verschil van minder dan een 0.5 % in de stroomfunctie en de vorticiteit. De afwijking in de waarden van secundaire hoekwervels varieert tussen 0.3 en 5 %. Alleen bij Re = 1600 zien we weer grotere verschillen. Doordat wij de spectrale methode hebben toegepast en de oplossing ontwikkeld hebben naar functies die op het hele domein gedefinieerd zijn, kunnen we op iedere positie de stroomfunctie en de vorticiteit bepalen. Ghia kent de waarden van de stroomfunctie en de vorticiteit echter alleen op de gridpunten, hierdoor kan de maximale absolute fout in de positie van een maximum of minimum 0.0078 zijn. Dit leidt tot waarden van 'ljJ die minder extreem zijn (0.3 %). Een andere oorzaak voor de verschillen kan de iets andere snelheid van de bewegende zijde zijn. We hebben dit getest door de volgende snelheid op de wand op te leggen:

u( x, y = 1) = 1 - exp( -25(1 - x 2) 2 ), (4.18)

in plaats van ( 4.17). De afwijkingen van deze berekening (bij Re= 200) ten opzichte van de berekening met ( 4.17) waren van de orde:

0.7 % in de waarden van minimale stroomfunctie van de primaire wervel, 0.3 % in de waarden van de vorticiteit in het centrum van de primaire wervel, 1. 7 % in de waarden van maximale stroomfunctie van de secundaire wervels, 0.7 % in de waarden van de vorticiteit in het centrum van de secundaire wervels.

Naast deze twee mogelijke oorzaken voor de verschillen, kunnen ook vraagtekens gezet worden bij de nauwkeurigheid van Ghia's berekeningen.

50

0.8

0.6

0.4

0.2

y 0

,./~~ ......... i,...; ...

-0.2

·0.4

·0.6 ;)<,_ /• ',,

.i< ··-x. '1(. Re=50 -

·····)$·~-)( ... ·.·~---~'- ~=~~gg ~~----· -0.8

-1 '------'----'···· ·.c:· . -"-. :-.c:.·-:..._, ----'-----'----'----"""="-"16""00;u·c:;:···-=·-·-;;;_j••• -0.6 ·0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

u

0.05 r----.-.--,.-----.--,--.---,----.,---,-.---, Re=SO­

Re=200 ·----·· Re=500 ··

Re=1600 ····---·····

u -0.1

·0.15

-0.2

-0.25 '------'---'---'----'---'---'-----'----'---'-_____J ·1 ...0.8 ...0.6 -0.4 -Q.2 0.2 0.4 0.6 0.8

x

0.8

0.6

0.4

0.2

y 0

V

-0.2

-0.4

·0.6

·0.8 Re=50-Re=200 ·-----­Re::SOO ··

-1'----L----'~--'----'--~~R~e-~-1~6~0c:::=~ -0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

V

0.5 r----r--.--.---,----.---,--.----.,----.---, Re=50-

0.4

0.3

0.2

0.1

x

Re::200 ------­Re=500

Re=1600 ·

Figuur 4.15: Snelheden op vertikale {boven) en horizontale {onder) doorsneden door het mid­den van de bak van de stationaire driven-cavity-stromingen bij verschillende Reynoldsgetallen in een vierkante bak De doorgetrokken lijnen geven de hier berekende waarden weer, de kruisjes geven de door Ghia gevonden waarden.

Opmerkingen

• Bij een laag aantal gridpunten leidt de opgelegde snelheid op de rand tot oscillaties in het snelheidsveld. Het blijkt dat bij Reynoldsgetallen kleiner dan 200 een grid van 41 x 41 nauwkeurig genoeg is om deze oscillaties te voorkomen. Bij Reynoldsgetallen tot Re = 1600 is een grid van 53 x 53 hiervoor voldoende.

• De berekening van driven-cavity-stromingen leidt tot stromingen waarvan de divergen­tie van de snelheid van de orde 10-9 is. Dit is een maat voor de nauwkeurigheid van de berekende snelheid. Met de tau-correctie is het mogelijk om de divergentie machi­nenauwkeurig nul te krijgen [9]. Het hier gebruikte computerprogramma kan op dit punt nog verbeterd worden.

• Bij de berekening van de driven-cavity-stroming bij Re = 1600 werd in de som van de

51

absolute vorticiteit op de gridpunten: N M

LLiw(xi,Yj)l i=O j=O

een oscillatie met periode T = 13.9 ± 0.8 in het tijdsverloop waargenomen. Naarmate de stroming de stationaire toestand dichter naderde werd de amplitude hiervan kleiner, en tenslotte dempte de oscillatie helemaal uit. Deze oscillaties werden ook gevonden in de fysische grootheden als de kinetische energie en de enstrofie, en blijken een fysisch verschijnsel te zijn. Bij hogere Reynoldsgetallen (Re > 5000) dempen deze oscillaties niet meer uit en wordt er dus geen stationaire toestand gevonden. Deze oscillatie in de driven-cavity-stroming wijst op een 'Hopf bifurcatie' [24]. Ook bij spin-up wordt voor hoge Reynoldsgetallen een soortgelijk verschijnsel waargenomen. De niet geheel cirkelvormige wervels staan te wiebelen, hierbij verandert de oriëntatierichting van de wervels periodiek [19].

4.3.2 Aspect-ratio b = 2

In de bak met aspect-ratio 2 ontstaat op dezelfde manier een primaire wervel als in de vierkante bak. Er ontstaat echter ook een tweede wervel met vergelijkbare afmetingen. De manier waarop deze wervel ontstaat is afhankelijk van het Reynoldsgetal. Bij lage Reynoldsgetallen wordt deze tweede wervel gevormd uit de twee secundaire wervels onder in de hoeken (zie figuur 4.16), deze vormen samen één cyclonale wervel. Deze wervel is veel zwakker dan de primaire anticyclonale wervel, bovendien blijft de primaire wervel een factor twee groter. Bij hogere Reynoldsgetallen (Re :2 200) ontstaat de secundaire wervel aan de lange zijde, doordat daar loslating van de grenslaag optreedt. In figuur 4.17 zien we dat deze secundaire wervel net als bij de stroming in een bak met aspect-ratio 1 aan de rechterzijde ontstaat. Deze wervel groeit nu totdat hij de rest van de bak in beslag neemt. Hierbij behoudt de primaire wervel nagenoeg dezelfde afmetingen en sterkte als in de bak met aspect-ratio 1. Het maximum van de secundaire wervel blijkt iets links van het midden te liggen terwijl het minimum van de primaire wervel iets rechts van het midden ligt.

Omdat in de spectrale methode globale functies worden gebruikt voor de ontwikkeling is het niet nodig om het grid in dey-richting twee keer zo fijn te maken. Shen [24] suggereert om M in het interval [~N, 1NJ te kiezen om in beide richtingen dezelfde nauwkeurigheid te krijgen. In figuur 4.18 zijn de stationaire stromingen gegeven bij verschillende Reynoldsgetallen. Bij Re = 50 is de tweede wervel uit de twee hoekwervels ontstaan. In dit geval blijft de primaire wervel ook in de stationaire fase groter dan de secundaire wervel. Bij Re = 200 en hoger ontstaat de tweede wervel door loslating van de grenslaag aan de rechterzijwand. In dit geval wordt de secundaire wervel groter dan de primaire. Het hoogste punt waarop secundaire wervel de rechterzijde raakt is het punt waar loslating van de grenslaag is opgetreden. Dit punt ligt hoger bij hogere Reynoldsgetallen. Bij Re = 500 en Re= 1000 ontstaan er tertiaire wervels. In het eerste geval alleen in de linkeronderhoek en in het tweede geval ook in de rechteronderhoek Bovendien ontstaat er bij Re = 1000 nog een secundaire wervel in de linkerbovenhoek. In tabel 4.2 zijn de waarden van de maxima en minima van alle wervels gegeven.

Cortes en Milier [26] hebben ook simulaties van driven-cavity-stromingen in een bak met een aspect-ratio van 2 uitgevoerd. Zij gebruikten hiervoor een spectrale differentie methode en een

52

Tabel 4.2: Waarden van de maxima en mznzma van de stroomfunctie van de stationaire stroming in een driven-cavity met aspect-ratio 2 bij verschillende Reynoldsgetallen (RO geeft de wervel rechtsonder in de hoek aan, LO de wervel linksonder en LB de wervel linksboven), plus de vorticiteit in deze extrema en de positie daarvan en de voor de berekening gebruikte parameters: N x M en t:lt en het tijdstip waarop de stationaire toestand is bereikt.

Re=1 Re =50 Re =200 Re =500 Re =1000 min 1/J -0.2018 -0.2085 -0.2283 -0.2386 -0.2431

w -1.581 -1.550 -1.155 -1.070 -1.042 x,y 0.0068,1.5241 0.2306,1.4648 0.1054,1.2169 0.0595,1.1587 0.0417,1.1363

max 1/J 4.52E-004 1.64E-003 1.832E-002 2.726E-002 3.412E-002 w 7.35E-003 1.54E-002 0.1672 0.2334 0.2041 x,y 0.0011,-1.1648 0.0765,-0.8086 -0.1558,-0.3083 -0.3145,-0.3253 -0.1648,-0.5468

LO min 1/J -2.12E-005 -3.74E-004

w - - - -4.56E-003 -3.0E-002 x,y -0.7941,-1.7549 -0.6396,-1.6512

ROmin 1/J -5.3E-007 -4.9E-006

w - - - -9.6E-004 -2.2E-003 x,y 0.9311,-1.9190 0.8704,-1.8588

LB min 1/J 2.50E-004

w - - - - 0.561 x,y -0.9395,1. 7783

NxM 48x64 48x64 48x64 56x70 56x70 t::.t 0.0001 0.002 0.002 0.002 0.002

tstat 5 100 400 800 1200

iteratieve drukcorrectie methode. Van deze berekeningen hebben zij de horizontale snelheden op een vertikale doorsnede door het midden van de bak voor verschillende Reynoldsgetallen 10

weergegeven in figuren. We vergelijken deze met onze resultaten (zie figuur 4.19) en zien een goede overeenkomst. Helaas geven zij geen waarden van deze snelheden zodat een kwantita­tieve vergelijking niet mogelijk is. De door ons gevonden waarden van de snelheden op de horizontale en de vertikale doorsneden door het midden van de bak zijn gegeven in bijlage E.

10Hierbij dient opgemerkt te worden dat het Reynoldsgetal dat Cortes en Milier gebruiken een factor twee groter is, doordat zij de totale breedte van de bak als karakteristieke lengte gebruiken en wij de halve breedte.

53

t 0.10 t 0.15 t = 0.22 t 5.00

Figuur 4.16: Contourlijnen van de stroomfunctie van de ontwikkeling van driven-cavity­stroming in bak met aspect-ratio 2, bij laag Reynoldsgetal (Re= 1).

I \ --- --------- -~ I \ , I

\ \ / ... ~ \ I I I I I 11 : : ,' ...... -- .... , : :: : : : / ~ : :: I I I I I I IJ

! \ \ \, __ ... ....' / /: : \ \, "./ / / : \ ', ______ / ,/'Q / I \ ,; I I \ "."' /

\ ', ... ...-"' ,' I ' ....... _____ .... .....- (

I 1 I I I I I I I 1 I I

\ I \ I

\,,, _/,/ .......... ____ ...

t 15 t 20

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

' '

\~-------~~~~-:.-:.-=--==-=-=:,-~: I /' I I I " I I I 1

1 ",. ... ----,, I lf

: / / \ : :: I I / I I lt

: I 1 I / :: 1 I I I 1 lt I I I I I lt 1 I \ I 1 Ij 1 I ', ,;

1 I I 1 \ \, .... ____ ...... ,/ /' /

I ' ' 1 I ',, ' ....... ______ .......... , ... " ,'' '........... ...... ......... "." ... ------ ... ...

\ _--"'

' ' .... __ _

t 25

,..--------------------- ... \ --------- I ,. ...... -\ : / ,/' ........... ------.... : :

I 1 " ' I r 1 I I / \ I ft

: / I ,...-- .... , I : ::

: : : [ : : : :: 1 1 I \ 1 I J 11 ~ \ \ ... __ ". / / /: 1 I ' / I I 1 \ \ ', .,..."'/ I /i \ \. ", ... ' /,1 ',, ' ...... _ _ ____ ... ." ... ". ... ~,'

.............. --"'" .-~~

t 50

Figuur 4.17: Contourlijnen van de stroomfunctie van de ontwikkeling van driven-cavity­stroming in bak met aspect-ratio 2, bij hoger Reynoldsgetal (Re = 500 ).

54

y

~ c---------~---~::::::.-:_-_-_-.... --~ I \ I' --------... I I : \ ~ /- \ : :: : \ 11 : , ... --, : / ::

I : I I ', ,' I J I I : ~ \ \ __ ... ~/ / : : 1 I I \, I' I I I : \ \ ........ _.,.../ / / : : \ \ ",'' / : I \ ', "' I I ~ \ ........ ____ ........ ,l I \ \ / / \ ' ,' I

\ ''...... ...... ... "' / \ ______ .... , \ ' \ ",,' ' / ...... .... ...... --- -

Re= 50 Re= 200 Re= 500

... --- -... \ --------------, I 0 / ,_....... -------- I I

/ ,' / ....... -- .......... : : / / / ...... ------... , \ : : : / / ,/ , .... --... \ ~ : : : f :' ,' ,' ~ : ; :! i, \,, \,, ~\ \, __ .,.",/ / / / :

\, ,' / I/ I \ \ ' .,..' I' /1 I \ ', ',, ........ __ ........ /, , 11

' ' .... ........ ,' , ... ... _____ ................ ~"'' .......... ~=--- , -- ... _ ........

Re= 1000

Figuur 4.18: Contourlijnen van de stroomfunctie van de stationaire situatie bij verschillende Reynoldsgetallen en aspect-ratio 2.

2 :1

Re= 50 1.8 1.5

1.8

1.4

0.5

i 1.2

'il 0 = 1;-

~ • t.l 0.8 -0.5

0.8

-1

o ...

-1.5 0.2

-2 0 0 0 0 0 -0-5 0 0 0 0 0.6

u u velocity

Figuur 4.19: Horizontale snelheid op de verticale doorsnede door het midden van de tank met aspect-ratio 2, in de stationaire toestand, bij verschillende Reynoldsgetallen. Links onze berekeningen, rechts de figuur van Cortes en Milter {26}. De oorsprong van deze figuren zs verschoven voor de verschillende Reynoldsgetallen, om de profielen duidelijker zichtbaar te maken.

55

4.3.3 Andere aspect-ratio's

Zoals we bij de spin-up-stroming gezien hebben heeft de aspect-ratio invloed op het aantal wervels dat in de bak ontstaat. In een bak met aspect-ratio 2 ontstaan twee wervels van vergelijkbare afmeting, waarbij het Reynoldsgetal bepaalt welke van de twee het grootst is. Wanneer we de aspect-ratio vergroten verwachten we meerdere wervels met steeds tegenge­stelde rotatierichting te vinden. Bij een driven-cavity kunnen er niet een onbeperkt aantal wervels ontstaan. De primaire wervel (aan de wand waarmee de stroming wordt aangedreven) zorgt voor de aandrijving van de tweede wervel. De snelheid waarmee deze secundaire wervel wordt aangedreven is kleiner dan de snelheid waarmee de primaire wervel wordt aangedreven. Hierdoor is deze tweede wervel veel zwakker. Een eventueel derde wervel wordt door deze zwakkere wervel aangedreven en zal dus ook weer zwakker zijn dan de tweede. In figuur 4.20

~ ..... -.:==-------...:.::-~ I I/". ... -----, ~ :: ! ,' / ,' , ... -- ..... , \ JIJ I I I f f \ I 1 11 r r 1 1 r ' 1111 I I I 1 \ / I 1 11

\ \ \ \ ', __ ........ /I// I \ \ ' ",/ /I I \ \ ' ...._ ___ .... //I

~;/

t = 20 t = 60

,~,

' ' ' ', , ____ ,

t = 90

_, "' ' I c __ _

1', \ ' .......... ' ' ' / ... _____ ....

t = 110 t = 200

Figuur 4.20: Contourlijnen van de stroomfunctie van de ontwikkeling van driven-cavity met aspect-ratio 3 en Re = 1000.

is de ontwikkeling van de stroming weergegeven in een driven-cavity met aspect-ratio 3, bij een Reynoldsgetal van 1000 (berekend bij een grid van 45 x 65). We zien hier dat de tweede wervel op dezelfde manier ontstaat als in de bak met aspect-ratio 2, namelijk door loslating van de grenslaag. De derde wervel ontstaat uit de tertiaire wervels onder in de hoeken. Dit is vergelijkbaar met de manier waarop de secundaire wervel ontstaat in een bak met aspect­ratio 2, bij een lager Reynoldsgetal. Omdat de secundaire wervel links van het midden ligt is de tertiaire wervel in de linkeronderhoek hierbij iets sterker dan die in de rechteronderhoek. We zien hier een lichte verstoring op de veel zwakkere tertiaire wervels (op t = 90 ent= 110). Dit duidt op numerieke oscillaties die het gevolg zijn van een te grof grid.

Het is ook mogelijk om de stroming langs de lange zijde van de bak aan te drijven. Er ontstaat dan slechts één wervel over de volledige breedte van de bak. Omdat de bewegende zijde alleen anticyclonale wervels aandrijft ontstaat er geen situatie van naast elkaar gelegen wervels met tegengestelde rotatierichting. Een axisymmetrische geometrie van de wervel is hier dan ook niet mogelijk. In figuur 4.21 is de stroming afgebeeld in een bak met aspect-ratio 1.5 bij

56

------- ----------------------------------------,

\ (~ c; ~-·-•_:_.:_=_-:_X~,~·:·:·:'J. \'~_:_~_:_::_~'-?_-_---- - -----·-' .--~~/···· ,/

- -----:::_// -------------------------

Figuur 4.21: Contourlijnen van de stroomfunctie van een driven-cavity-stroming aangedreven langs de lange zijde {Re= 1}.

Re = L Deze stroming is te vergelijken met de experimentele stroming van Leong en Ottino in figuur 2A. Bij hogere Reynoldsgetallen en grotere aspect-ratio's is het mogelijk om bij de aandrijving via de lange zijde toch meerdere cellen te krijgen. Milier [27] vond in een bak met aspect-ratio 10, bij Re = 1000 vijf ei-vormige wervels. De anticyclonale wervels hebben een brede zijde aan de bovenkant terwijl de cyclonale aan de onderkant het breedst zijn. Zijn berekeningen zijn gebaseerd op een volledig andere techniek, namelijk op de zogenaamde 'lattice Boltzmann method'.

4.3.4 Tweezijdige aandrijving

--------- -~=======================:::::===---------,~

,..-- ------

::

/ .··'//­; /,----i ! l \ \, ___ \ ____ _

',__ _ __ / _,}

-------------------------, ____________________________________________________ .....

(b) (c) (a)

Figuur 4.22: Contourlijnen van de stroomfuncties van driven-cavity-stromingen bij verschil­lende aandrijvingen {Re= 1}.

De driven-cavity-stroming kan ook door twee tegenover elkaar gelegen zijden aangedreven worden. In figuur 4.22 zijn drie verschillende situaties weergegeven, die overeenkomen met de experimenten van Leong en Ottino (figuur 2A). In de eerste twee figuren worden stromingen

, afgebeeld die aangedreven worden door twee zijden die in tegengestelde richting bewegen. Deze stromingen zijn in vertikale richting symmetrisch. Wanneer de lange zijden bewogen

57

worden ontstaat er weer één (niet-cirkelvormige) wervel. Bij de aandrijving via de twee korte zijden ontstaan er twee gelijke wervels. Deze twee wervels zijn eivormig met de breedste zijde aan de wand. In de situatie bij zeer laag Reynoldsgetal (zie figuur 4.22(a)) liggen deze wervels bijna recht tegenover elkaar. Hierdoor ontstaat in het midden van de bak een stuwpunt. In de derde figuur 4.22(c) is de stroming afgebeeld die wordt aangedreven door twee zijden die dezelfde kant op bewegen. Er ontstaat hier een stroming die antisymmetrisch is ten opzichte van de horizontale middellijn.

~ ~ ~ ~

,.-- - -"""" ,-- -==- -=.;-, f-r::==--, ~-: : ,., .... __ ::-=_-~~: I // ... :::--, ::

I I I " .... ' J /1 1 I I ,--, I 11

: : { l ,' / /,'. : I I ( : //f I I I I I 111

I\\'-·./ /11: I I I I I I 11 I \ \ \ .... _", / ,, . I \ \ '-""' 11 J 1 \ ' .... ,_ .... "~/' . \\.:::.::";/I \ ', , __ ... <//.

I ', '---"" // IJ I ', --:::~. \~l ..... ___ ... ~'I \,' 2'

~ ·~- ~~ - r-

t=9 t = 18 t = 27 t = 36 t = 45 t = 153

Figuur 4.23: Contourlijnen van de stroomfunctie van de ontwikkeling van een tweezijdige aangedreven cavity met ó = 4 en Re = 250.

Wanneer we in een bak met grotere aspect-ratio de korte zijden aandrijven ontstaan er meer­dere wervels. In figuur 4.23 is zo'n situatie in een bak met aspect-ratio 4 bij Re= 250 gegeven (berekend met een grid van 53 x 89 en een tijdstap van f:lt = 0.0018. In de bovenste helft van de bak ontstaat in dit geval eenzelfde stroming als in een bak met aspect-ratio 2.

4.3.5 Aandrijving uit

Wanneer de bewegende wand bij een (volledig ontwikkelde, of nog in ontwikkeling zijnde) driven-cavity-stroming stil gezet wordt, ontwikkelt de stroming zich naar een eindsituatie die vergelijkbaar is met die van spin-up. Dit hebben we getest aan de hand van twee simulaties van driven-cavity-stromingen in een vierkante bak bij Re = 625. Hierbij is hetzelfde grid en dezelfde tijdstap gebruikt als bij de berekening van de spin-up-stroming in de vierkante bak. In het eerste geval is de aandrijving stopgezet op t=200. Op dit tijdstip is de driven­cavity-stroming bijna volledig tot ontwikkeling gekomen. Gezien de horizontale lijn in de w('lj;)-scatterplot is de vloeistof in het middengedeelte van de bak in een starre rotatie (zie figuur 4.24). Deze stroming lijkt dus erg op de beginvoorwaarden van spin-up. De vorticiteit

58

is hier echter ongeveer een factor 2 lager. Na het stopzetten van de aandrijving wordt de primaire cel cirkelvormig en de w( 'Ij; )-relatie verandert van een horizontale lijn naar een lijn met dezelfde helling (namelijk 13.2) als we bij spin-up gevonden hebben. Boubnov et al. [25] zagen in hun experimenten hetzelfde verloop in de w( 'Ij; )-relatie, wanneer de forcering van de stroming werd uitgeschakeld.

w w

t = 200 t = 250 t = 400

Figuur 4.24: w('lj;)-scatterplots van zelforganisatie na uitzetten van de aandrijving van de driven-cavity bij Re = 625.

Bij de tweede simulatie is de aandrijving uitgezet op t = 10. In dit geval heeft de driven­cavity-stroming nog geen stationaire toestand bereikt. Het centrum van de primaire wervel bevindt zich rechts boven in de tank. Voordat de wervel cirkelvormig kan worden moet hij naar het midden van de bak bewegen. De ontwikkeling van deze stroming is in figuur 4.25 weergegeven.

. ((~~~.')]

, _____ .., ____ _ \,,_ __/;

D //_.------------------~~:·-~ ' /,/---:l.----- . .

~((~·~j~(;§~)~ t = 10 t = 20 t = 40 t = 200

Figuur 4.25: Contourlijnen van de stroomfunctie van de ontwikkeling van de driven-cavity­stroming waarbij op t=10 de aandrijving is stopgezet. (Re= 625,8 = 1).

59

60

Hoofdstuk 5

Conclusies en aanbevelingen

Het eerste deel van het onderzoek richtte zich voornamelijk op de ontwikkeling van een 2D pseudospectrale Chebyshev code voor het oplossen van de Navier-Stokesvergelijkingen in pri­mitieve variabelen. Als basis hiervoor diende reeds aanwezige programmatuur voor simulaties in de zogenaamde snelheids-vorticiteits formulering [9]. Daarnaast is het algoritme geschikt gemaakt voor simulaties in rechthoekige geometrieën, het gebruik van verschillend aantal Che­byshev modes in beide richtingen en de implementatie van niet-homogene randvoorwaarden voor de snelheid. Het algoritme, alhoewel nog niet volledig geoptimaliseerd, is getest aan de hand van een aantal 'benchmark' oplossingen.

We hebben hierbij laten zien dat we met de spectrale methode twee-dimensionale stromingen in rechthoekige bakken kunnen simuleren, en dat ook niet homogene randvoorwaarden voor de snelheid opgelegd kunnen worden. \Ve zijn uitgegaan van de Navier-Stokesvergelijkingen in primitieve variabelen. De druk is hierbij beschouwd als een diagnostische variabele, die zich instantaan aanpast aan de veranderde stroming zodanig dat deze divergentie-vrij is. Er zijn echter geen fysische randvoorwaarden voor de druk bekend. Om deze toch te kunnen bepalen is gebruik gemaakt van de influence matrix techniek. Hierbij is een tau-correctie noodzakelijk om een stroming te krijgen die in het binnengebied machinenauwkeurig divergentie-vrij is. De methode in de primitieve variabelen formulering vertoont geen numerieke instabiliteiten zoals die zijn waargenomen bij de snelheids-vorticiteits formulering zonder tau-correctie [9].

Om de nauwkeurigheid van deze numerieke methoden te onderzoeken is een stroming berekend waarvan een analytische oplossing bekend is. Hieruit blijkt dat de fout hier hoofdzakelijk beïnvloed wordt door de grootte van de tijdstap. De analytische oplossing van dit Stokes­probleem is zo glad dat deze met 16 Chebyshev-polynomen machinenauwkeurig weergegeven kan worden. Een fijner grid leidt hierdoor niet tot grotere nauwkeurigheid. Bij een tijdstap van i:l.t = 10-6 is de relatieve fout in de berekening 5 · 10-13 . De divergentie van de stroming is van de orde 10-14 .

Vervolgens is gekeken naar een aantal spin-up-stromingen. Hierbij is een starre rotatie als beginvoorwaarde gebruikt. Na enige tijd ontstaat er een quasi-stationaire stroming die door viskeuze dissipatie langzaam vervalt. In deze fase van de stroming wordt een lineaire w( 1j; )­relatie gevonden. De helling van dit lineaire verband in dimensieloze grootheden is g~ = 13.2. In rechthoekige containers ontstaat een rij van wervels met alternerende rotatierichting. De ontwikkeling van de spin-up-stromingen in deze rechthoekige bakken (met aspect-ratio 5

61

en met aspect-ratio 6, bij een Reynoldsgetal van 625) is in goede overeenstemming met de berekeningen van Tacken [19]. Tacken gebruikte hiervoor een spectrale-elementen methode.

Tenslotte zijn er simulaties van driven-cavity-stromingen uitgevoerd. Hierbij wordt op de bovenste zijde van de bak een snelheid naar rechts opgelegd. Bij lage Reynoldsgetallen leidt de continue aandrijving na verloop van tijd tot een stationaire stroming. Deze stroming bestaat uit een primaire anticyclonale wervel en een aantal secundaire cyclonale wervels in de hoeken. Het ontstaan van deze secundaire wervels is afhankelijk van het Reynoldsgetal. Deze stationaire stroming wordt gekenmerkt door een horizontale w( '1/J )-relatie in het middelste gedeelte van de bak. De stationaire stromingen in een vierkante tank zijn vergeleken met de resultaten van Ghia et al. [2]. De kleine verschillen die we hierbij waargenomen hebben zijn te verklaren door een iets andere manier van aandrijven. Bovendien kan Ghia de positie van de centra van de wervels slechts met een beperkte nauwkeurigheid bepalen, waardoor ook de waarden van de stroomfunctie en van de vorticiteit hier iets afwijken.

De driven-cavity-stromingen in rechthoekige bakken met aspect-ratio 2 zijn te vergelijken met deze in de vierkante bakken. De secundaire wervels krijgen hier echter vergelijkbare afmetingen als de primaire. De manier waarop deze secundaire wervel ontstaat is afhankelijk van het Reynoldsgetal. Bij lage Reynoldsgetallen wordt de grote secundaire wervel gevormd uit twee hoekwervels onder in de bak. Wanneer het Reynoldsgetal hoger is treedt er aan de rechterzijde van de bak loslating van de grenslaag op, waardoor er op deze positie een cyclonale wervel gevormd wordt. Bij hoger Reynoldsgetallen ontstaan er ook tertiaire wervels onder in de hoeken en een tweede secundaire wervel in de linkerbovenhoek. De stationaire stromingen die weer na verloop van tijd ontstaan zijn in goede overeenstemming met de resultaten van Cortes en Miller [26]. Wanneer de aandrijving van de driven-cavity-stroming op enig moment uitgeschakeld wordt ontstaat er een vergelijkbare situatie als bij spin-up. In een vierkante bak zien we dat de primaire wervel naar het midden beweegt en axisymmetrisch wordt. De helling in de w( '1/J )-relatie van de quasi-stationaire toestand is hetzelfde als bij spin-up gevonden is.

Aanbevelingen Met de hier gebruikte methoden kan de stroming machinenauwkeurig divergentie-vrij gemaakt worden. Het door ons gebruikte programma levert echter bij de vierkante driven-cavity een elivergentie van 10-9 op. Wanneer het aantal grielpunten in de x- en y-richting verschillend zijn, is de elivergentie nog groter. Hier is dus nog een verbetering mogelijk.

Het programma waarmee we de berekeningen uitvoeren kan nog verder geoptimaliseerd wor­den, waardoor de berekeningstijd een factor 3 kan afnemen. Om de berekeningstijcl nog verder te verkorten kan gebruik worden gemaakt van symmetrie-kenmerken van de stroming. De spin-up-stroming is symmetrisch ten opzichte van de rotatie-as1 , hierdoor bevat de stro­ming in één helft van de bak alle gewenste informatie. Bij de driven-cavity-stromingen is het wellicht mogelijk om de stationaire eindsituatie van een berekening met lager Reynolclsgetal als beginvoorwaarden te nemen, hierdoor zal de stroming sneller de (stationaire) eindtoestanel bereiken.

Het is mogelijk om naast de snelheid ook de druk te bepalen die in stroming heerst. Wanneer men hierin is geïnteresseerd elient men de 'spurious modes' te identificeren en weg te filteren. Er is inmiddels aangetoond dat dit mogelijk is.

1Deze symmetrie kan verbroken worden wanneer de stroming bij zeer hoge Reynoldsgetallen turbulent wordt.

62

Transport van deeltjes evenals advectieprocessen worden nu onderzocht in quasi-stationaire spin-up-stromingen. Vooral wanneer de cellen staan te wiebelen zijn hier vele interessante onderzoeksmogelijkheden. Het nadeel van deze spin-up-stromingen is echter dat deze uit­dempen, waardoor langdurige processen niet onderzocht kunnen worden. Doordat de driven­cavity-stromingen continu aangedreven worden zullen deze niet uitdempen. Bij hogere Rey­noldsgetallen dan in dit afstudeerwerk gebruikt zijn, ontstaan er ook hier oscillaties in het stromingsprofiel. Deze oscillaties kunnen wellicht ook opgewekt worden door de randvoor­waarden in de loop van de tijd te variëren. In bakken met grotere aspect-ratio's kan zo bijvoorbeeld uitwisseling van deeltjes tussen de verschillende wervels onderzocht worden.

63

64

Bibliografie

[1] C. Canuto, M.Y. Hussaini, A. Quarteroni, and T.A. Zang. Speetral methods in fiuid dynamics. Springer-Verlag, New York, 1988.

[2] U. Ghia, K.N. Ghia, and C.T. Shin. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. Joumal of Computational Physics 48, 387-411, (1982).

[3] M.J. Bader, G.S. Forbes, J.R. Grant, R.B.E. Lilley, and A.J. Waters. Images in weather forecasting. Cambridge University Press, 1995.

[4] P.K. Kundu. Fluid mechanics. Academie Press, inc., San Diego, Califomia, 1990.

[5] J.A. van de Konijnenberg. Spin-up in non-axisymmetric containers. Proefschrift Tech­nische Universiteit Eindhoven, 1995.

[6] A. Pinelli and A. Vacca. A two dimensional Chebyshev collocated multi-domain algo­rithm for the incompressible Navier-Stokes equations. Technica! Note 183, von Karman Institute for Fluid Dynamics, 1993.

[7] 0. Daube. Resolution of the 2D Navier-Stokes equations in velocity-vorticity farm by means of an infiuence matrix technique. Joumal of Computational Physics 103, 402-414, (1992).

[8] R.K. Madabhushi, S. Balachandar, and S.P. Vanka. A divergence-free Chebyshev collo­cation procedure for incompressible fiows with two non-periadie directions. Joumal of Computational Physics 105, 199-206, (1993).

[9] H.J .H. Clercx. A speetral solver for the Navier-Stokes equations in the velocity-vorticity formulation for fiows with two non-periadie directions. Voor plaatsing toegezonden naar Joumal of Computational Physics.

[10] C.W. Leong and J.M. Ottino. Experiments on mixing due to chaotic adveetion zn a cavity. Joumal of Fluid Mechanics 209, 463-499, (1989).

[11] D. Gottlieb and S.A. Orzag. Numerical analysis of speetral methods: theory and appli­cation. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1977.

[12] C.A.J. Fletcher. Computational techniques for fiuid dynamics. Volume I, Springer­Verlag, Berlin, 1988.

[13] L. !Geiser and U. Schumann. Proceedings, 3rd GAMM-conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics, Köln, Germany, 1979 edited by E.H. Hischel. Notes on Numerical Fluid Mechanics (Vieweg, Wiesbaden, 1980), p.165.

65

[14] P. le Quere and T. Alziary de Roquefort. Gompution of natural conveelion in two­dimensional cavities with Chebyshev polynomials. Joumal of Computational Physics 57, 210-228, (1985).

[15] S. Balachandar and R.K. Madabhushi. Spurious modes in speetral collocation me­thods with two non-periadie directions. Joumal of Computational Physics 113, 151-153, (1994).

[16] L.S. Tuckerman. Divergence-free velocity fields in nonperiadie geometries. Joumal of Computational Physics 80, 403-441, (1989).

[17] D.B. Haidvogel, T. Zang. The accurate salution of poisson's equation by expansion in Chebyschev polynomials. Joumal of Computational Physics 30, 167-180, (1979).

[18] L.J.P. Timmermans. Analysis of speetral element methods with application to incom­pressible flow. Proefschrift Technische Universiteit Eindhoven, 1994.

[19] F.J.F. Tacken. Numerical simulations of 2D flows on a rectangular domain by means of the speetral element method. Afstudeerverslag R-1375-A, Technische Universiteit Eind­hoven, 1995.

[20] H. Vissers. De numerieke simulatie van spin-up in een rechthoekige tank. Afstudeerver­slag R-1292-A, Technische Universiteit Eindhoven, 1994.

[21] L.J.P. Timmermans, F.N. van de Vosse, and P.D. Minev. Taylor-Galerkin based speetral element methods for convection-diffusion problems. International Joumal for Numerical Methods in Fluids 18, 853, (1994).

[22] J.B. Flór. Coherent vortex structures in stratified fluids. Proefschrift Technische Uni­versiteit Eindhoven, 1994.

[23] Y.K. Suh. Numerical study on two-dimensional spin-up in a rectangle. Physics of Fluids A 6, 2333-2344, (1994).

[24] J. Shen. Numerical simulation of the regularized driven-cavity flows at high Reynolds numbers. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 80, 273-280, (1990).

[25] B.M. Boubnov, S.B. Dalzieland P.F. Linden. Source-sink turbulence in a stratified fluid. Joumal of Fluid Mechanics 261, 273-303, (1994).

[26] A.B. Cortes and J.D. Miller. Numerical experiments with the lid driven cavity flow problem. Computers Fluids 23, 1005-1027, (1994).

[27] W. Miller. Flow in the driven cavity calculated by the lattice Boltzmann method. Physical Review E 51, 3659-3669, (1995).

66

Bijlage A

Flowdiagram van het programma

De theorie beschreven in hoofdstuk 3 is in een computerprogramma gevat. Dit programma is geschreven in de programmeertaal Fortran77 en maakt gebruik van de NAG-bibliotheek. In deze bibliotheek staan onder andere subroutines voor matrix-operaties, zoals de berekening van de eigenwaarden en de eigenvectoren van een matrix, en subroutines voor fast-fourier­transforms. Het programma wordt gedraaid onder unix op een workstation (Alpha-station 40041233 ). De berekening van een tijdstap duurt ongeveer 70 JLS per vrijheidsgraad (omdat we de druk en twee snelheidscomponenten berekenen is het aantal vrijheidsgraden: 3(N + l)(M + 1))

Het programma is in grote lijnen opgebouwd als in paragraaf 3.6 is aangegeven. In het onderstaande flowdiagram is dit nogmaals te zien. Hierbij dient opgemerkt te worden dat bij de berekening van de eerste tijdstap een anders S en een andere infiuence matrix vereist is. De eerste tijdstap wordt bovendien in twee cycli bepaald.

Zoals we gezien hebben kan de Helmholtz-vergelijking uitgesplitst worden in de even en oneven componenten. Deze uitsplitsing trekken we door naar de rest van het programma. Het voordeel hiervan is dat de array's en de matrices in het programma kleiner worden, waardoor het programma sneller wordt en minder geheugenruimte in beslag neemt.

67

l N,M,b..t Re,8

uitvoer: 1};, w

... u,v

!IE. !IE. 8x' 8y

p

B

-------I I I

Pr

..... ..... ~~

~ ~~

68

.C(V)

• ~-.L--~ ____ I

....

_____ I

I

s

opslag ~ _____ J tbv t=n+l V'. s

,,

0!.E. 0!.E. 8x' 8y

Bp .....

Up,Vp ~

(V'· V)r ..... .....

-I

I

Bijlage B

Oriëntatie van de tank

In paragraaf 3.5.1 hebben we V'~ geschreven als p~ + /lr· Wanneer de bak de langste

zijde in de x-richting heeft is deze V'~ gelijk aan de eerdere definitie in paragraaf 3.2. We hebben V'~ zo geschreven omdat er in dat geval alleen een factor p komt voor matrix A in vergelijking (3.125). Deze matrix wordt gediagonaliseerd, waarna de vermenigvuldiging van A met p neer komt op de vermenigvuldiging van de eigenwaarden van A met fr. Zoals we in paragraaf 3.5.1 gezien hebben worden ook de randvoorwaarden vermenigvuldigd met deze factor, wanneer ze meegenomen worden in matrix F. Deze methode kunnen we ook gebruiken wanneer de langste zijde in dey-richting gekozen wordt. Hiervoor wordt de Navier­Stokesvergelijking (3.70) vermenigvuldigd met H 2. We krijgen dan (met L = 1):

H 2 [äu äu äu] = -H2äP 2._(H2ä2u ä

2u)

ät + u äx + v äy äx + Re äx2 + äy2 '

2 [äv äv äv] äP 1 2 ä2v ä2v

H ät +u äx + v äy =- äy +Re (H äx2 + äy2 ).

We kunnen nu definiëren:

en

en krijgen dan de volgende Navier-Stokesvergelijking:

Na de tijddiscretisatie krijgen we:

waarbij

À

p

82 2Re !:lt '

2ReP,

gn,n-1 = 812Re [3.C(Vt- ,C(V)n-1]- ÀVn- V'~2yn_

69

(B.1)

(B.2)

(B.3)

(B.4)

(B.5)

Door de aspect-ratio opnieuw te definiëren en nu als Lj H (dus in dit geval is de aspect-ratio kleiner dan één) en het Reynoldsgetal te vermenigvuldigen met H 2 , blijven de op te lossen vergelijkingen (3.78) hetzelfde. De druk (die we alleen gebruiken om de snelheid uit te rekenen en verder niet gebruiken) wordt dan ook een factor H 2 groter. Beide geometrieën zijn fysisch equivalent en ook de numerieke resultaten voor beide oriëntaties van de tank zijn gelijk.

70

Bijlage C

Berekening van de stroomfunctie

Wanneer de twee snelheidscomponenten in Chebyshev-coëfficiënten bekend zijn kan hieruit de stroomfunctie bepaald worden. De stroomfunctie 'Ij; wordt gedefinieerd door:

u

V =

o'I/J

ay o'I/J

ox (C.1)

In Chebyshev-coëfficiënten worden de horizontale snelheid, de vertikale snelheid en de stroom­functie gegeven door respectievelijk Ûnm, 'Ûnm, ,(/;nm· De definitie van de stroomfunctie in deze coëfficiënten wordt dan gegeven door:

oÎ,(0,1) 'Ynm _

0Î,(1,0)

'Ynm (C.2)

Hierin zijn ,(/;~;;.?) de Chebyshev-coëfficiënten van eerste afgeleide naar x van de stroomfunctie

en ,(/;~~1 ) van de eerste afgeleide naar y. Met behulp van de recurrente betrekking (3.21) kunnen we schrijven

A - A(1,0) A(1,0) 2n '1/Jnm- Cn-1 '1/Jn-1 m- 'I/Jn+1 m , ,

A - A(0,1) A(0,1) 2m '1/Jn,m - Cm-1 '1/Jn,m-1 - 'I/Jn,m+1

n = 1, ... ,!V; m = 0, ... ,Af

n = 0, ... , !V; m = 1, ... , A1

(C.3)

(C.4)

Wanneer we hierin de definitie van de stroomfunctie (C.2) invullen krijgen we twee formules voor de berekening van de Chebyshev-coëfficiënten van 'Ij;. Deze twee formules geven hetzelfde resultaat wanneer de stroming divergentie-vrij is. Dit is een voorwaarde om de stroomfunctie te kunnen bepalen.

nÎo 1 ( A A )

'Yn,m = 2

n -Cn-1 Vn-1,m + Vn+1,m n = 1, ... ,!V; m = 0, ... ,Af (C.5)

nÎo 1 ( A A )

'f'n m = - Cm-1 Un m-1 - Un m+1 ' 2m ' '

n = 0, ... ,!V; m = 1, ... ,Af (C.6)

Na terug-transformatie wordt de stroomfunctie in de fysische ruimte verkregen. Deze is op een constante na bepaald. Aan een stilstaande wand nemen we de stroomfunctie nul.

71

72

Bijlage D

Waarden van de contourlijnen

Om de stromingsprofielen weer te geven hebben we gebruik gemaakt van contourplaatjes van de stroomfunctie en van de vorticiteit. Om alle wervels met verschillende sterkten zichtbaar te maken hebben we de afstand tussen de contouren niet steeds hetzelfde gehouden. In de onderstaande tabellen is aangegeven welke contouren er in de verschillende figuren getekend ZlJn.

figuur 4.5 spin-up, 8 = 1 'Ij; t = 0.002 -0.0984,-0.1968,-0.2952,-0.3936,-0.4920

t = 1 -0.0886,-0.1773,-0.2660,-0.354 7,-0.4433,0.0018,0.0037 t = 20 -0.0529,-0.1058,-0.1588,-0.2117,-0.2646,0.0007,0.0014 t = 80 -0.0154,-0.0309,-0.0463,-0.0617,-0.0772,9.3e-5,4.6e-5

w t = 0.002 -25.0, 200, 400, 600,800, 1000 t = 1 -1.35, 5, 10, 15, 20 t = 20 -0.25,-1.0,-1. 75,0.5,1.25,2.0,2. 75,3.5 t = 80 -0.7 ,-0.5,-0.3,-0.1,0.1, 0.3,0.5, 0.7

figuur 4.7 '1/J, spin-up, 8 = 5 t = 10 -0.7 469,-0.6586,-0.5 702,-0.4819,-0.3936,-0.3056,-0.2169

-0.1286,-0.0402, 0.0480, 0.1364, 0.2247, 0.3130, 0.4013, 0.4896 t = 15 -0.4252,-0.3518,-0.2784,-0.2050,-0.1316,-0.0582, 0.0152

0.0885, 0.1620, 0.2354, 0.3088, 0.3821, 0.4555, 0.5289, 0.6023 t = 18 -0.3801,-0.3166,-0.2531,-0.1896,-0.1262,-0.0627' 0.0008

0.0643, 0.1277, 0.1912, 0.2547, 0.3182, 0.3817, 0.4451, 0.5086 t = 20 -0.37 49,-0.3150,-0.2550,-0.1950,-0.1350,-0.0750,-0.0150

0.0450, 0.1050, 0.1650, 0.2250, 0.2850, 0.3450, 0.4050, 0.4650 t = 25 -0.2482,-0.1948,-0.1415,-0.0881,-0.0348, 0.0185, 0.0719

0.1252, 0.1786, 0.2319, 0.2853, 0.3386, 0.3919, 0.4453, 0.4986 t = 27 -0.2470,-0.1970,-0.1470,-0.0971,-0.0471, 0.0029, 0.0528

0.1028, 0.1528, 0.2028, 0.2527, 0.3027, 0.3527, 0.4026, 0.4526 t = 49 -0.1655,-0.1325,-0.0995,-0.0665,-0.0335,-0.0005 0.0325

0.0655, 0.0985, 0.1315, 0.1645, 0.1975, 0.2304, 0.2634, 0.2964 t = 124 -0.0429,-0.0349,-0.0269,-0.0188,-0.0108,-0.0027, 0.0053

0.0133, 0.0214, 0.0294, 0.0374, 0.0455, 0.0535, 0.0616, 0.0696

73

figuur 4.9 '1/J, spin-up, 8 = 6 t = 10 -0.75525,-0.63111,-0.50698,-0.38285,-0.25871,-0.13458

-0.01045, 0.11368, 0.23782, 0.36195, 0.48608 t = 15 -0.59888,-0.4 7895,-0.35902,-0.23909,-0.11916, 0.00077

0.12070, 0.24063, 0.36056, 0.48049, 0.60042 t = 20 -0.29476,-0.21674,-0.13871,-0.06069, 0.01734, 0.09536

0.17339, 0.25141, 0.32943, 0.40746, 0.48548 t = 25 -0.42114,-0.35033,-0.27953,-0.208 72,-0.13 792,-0.06 712

0.00369, 0.07449, 0.14530, 0.21610, 0.28691 t = 35 -0.25689,-0.19586,-0.13484,-0.07381,-0.01279, 0.04824

0.10927, 0.17029, 0.23132, 0.29234, 0.35337 t = 65 -0.14194,-0.10854,-0.07514,-0.04175,-0.00835, 0.02505

0.05845, 0.09185, 0.12525, 0.15865, 0.19205 t = 100 -0.07832,-0.06096,-0.04361,-0.02625,-0.00890, 0.00846

0.02581, 0.04317, 0.06052, 0.07788, 0.09523 t = 200 -0.01384,-0.01079,-0.00775,-0.00470,-0.00166, 0.00138

0.00443, 0.00747, 0.01052, 0.01356, 0.01661

figuur 4.12 driven-cavity, ontwikkeling bij Re= 500, 8 = 1 t=2 -0.065,-0.05,-0.035,-0.02 t=4 -0.09,-0.07,-0.05,-0.03 t=8 -0.12,-0.09,-0.06,-0.03 t = 12 -0.16,-0.12,-0.08,-0.04,2e-5,8e-5 t = 20 -0.16,-0.12,-0.08,-0.04, 1e-4,5e-4, 1e-3 t = 50 -0.2,-0.16,-0.12,-0.08,-0.04,2e-4,2e-3,3e-3

figuur 4.14 driven-cavity, stationaire toestand, 8 = 1 Re= 50 -0.2,-0.15 ,-0.1 ,-0.05 ,-0.01 ,-0.001 ,1e-06 Re= 200 -0.2,-0.15 ,-0.1 ,-0.05 ,-0.01 ,-0.001 ,1e-06,0.0005,0.001 Re= 500 -0.2,-0.15 ,-0.1 ,-0.05 ,-0.005 ,0.001 ,0.004 Re= 1600 -0.2,-0.15 ,-0.1 ,-0.05 ,-0.005 ,0.001 ,0.004

figuur 4.16 driven-cavity, ontwikkeling bij Re= 1, 8 = 2 t = 0.1 -0.18,-0.14,-0.1 ,-0.06,-0.02 t = 0.15 -0.18,-0.14,-0.1 ,-0.06,-0.02, 1e-6,3e-6 t = 0.22 -0.18,-0.14,-0.1 ,-0.06,-0.02, 1e-5,3.5e-5 t=5 -0.18,-0.14,-0.1 ,-0.06,-0.02,5e-5,2e-4,4e-4

figuur 4.17 driven-cavity, ontwikkeling bij Re = 500, 8 = 2 t = 15 -0.16,-0 .08,-0 .02 ,-0.002 ,2e-5 ,2e-4 t = 20 -0.16,-0. 08,-0.02,-0.002, le-5 ,2e-5,2e-4 t = 25 -0.16,-0.08,-0.02,-0.002,2e-4,4e-4,1e-3 t = 50 -0.22,-0 .16,-0. 08,-0. 02,-0 .002,2e-4 ,0 .002 ,0. 006,0.01

figuur 4.18 driven-cavity, stationaire toestand, 8 = 2 Re= 50 -0.2,-0.14,-0.08,-0.02,-0.002,0.00002,0.0004,0.0012 Re= 200 -0.2,-0.14,-0.08,-0.02,-0.002,0.0002,0.002,0.008,0.016 Re= 500 -0.2,-0.14,-0.08,-0.02,-0.002,-0.00002,-0.00001 ,0.0002 ,0.002 ,0.01 ,0.02 Re= 1000 -0.23,-0 .18,-0 .12 ,-0. 06,-0.015,-0. 00015,0.002,0.003,0 .01 ,0 .02 ,0.03

74

figuur 4.20 driven-cavity, ontwikkeling bij Re = 1000, b = 3 t = 20 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.01 ,0.0005,0.001 ,0.0015 t = 60 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.01 ,0.005,0.01 ,0.015,0.02 t = 90 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.015,-1.5e-6,0.002,0.005,0.01 ,0.015,0.02 t = 110 -0.2,-0 .15 ,-0 .1 ,-0 .05,-0 .015,-1e-5 ,0. 002,0.005,0 .01 ,0.0 15,0.02 t = 200 -0.23,-0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.015,-5e-5,-1.5e-5,0.002,0.005,0.01 ,0.015,0.02,0.025

figuur 4.21 driven-cavity,t = 25, bij Re = 1, b = 1.5 -0.17,-0.135,-0.10,-0.065,-0.03

figuur 4.22 driven-cavity, t = 25, bij Re = 1 (a) -0.19,-0.15 ,-0.11 ,-0.07 ,-0.03 (b) -0.24,-0.19,-0.14,-0.09,-0.04 (c) -0.11 ,-0.075,-0.04,-0.005,0.005,0.04,0.075,0.11

figuur 4.23 driven-cavity, bij Re = 250, b = 4 t=9 -0.175,-0.15,-0.125,-0.1,-0.075,-0.05,-0.025,

0.025 ,0.05 ,0.075 ,0.1 ,0.125 ,0.15 ,0.175 t = 18 0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.01 ,-0.0015,-0.001 ,-0.0005,

0.0005 ,0.001 ,0.0015 ,0.01 ,0.05 ,0.1 ,0.15 ,0.2 t = 27 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.005,-0.003,-0.001,

0.001 ,0.003 ,0.005 ,0.05 ,0.1 ,0.15 ,0.2 t = 36 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.01 ,-0.008,-0.006,-0.004,-0.002 ,

0.002 ,0.004 ,0.006 ,0.008 ,0.01 ,0.05 ,0.1 ,0.15 ,0.2 t = 45 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.01 ,-0.008,-0.006,-0.004,-0.002,

0.002 ,0.004 ,0.006 ,0.008, 0.01 ,0.05 ,0.1 ,0.15 ,0.2 t = 153 -0.2,-0.15,-0.1 ,-0.05,-0.01 ,-0.008,-0.006,-0.004,-0.002 ,

0.002 ,0.004 ,0.006 ,0.008 ,0.01 ,0.05 ,0.1 ,0.15 ,0.2

figuur 4.25 driven-cavity: aandrijving uit op t = 10, bij Re = 625, 8 = 1

t = 10 -0.15,-0.1,-0.05 ,-0.025 ,-0.01 ,-0.002 ,5e-06

t = 20 -0.095,-0.05 ,-0.025 ,-0.01 ,-0.002 ,5e-06,1e-4

t = 40 -0.053,-0.04,-0.025 ,-0.01 ,-0.002 ,5e-06,5e-5

t = 200 -0.0015,-0.0011,-0.0006,-0.0002,-0.00001, 1e-8

75

76

Bijlage E

Snelheden in de driven-cavities

In deze paragraaf worden de waarden van de horizontale en de vertikale snelheden op de doorsneden door het midden van de bak gegeven. Dit maakt vergelijking met simulaties door middel van andere numerieke codes kwalitatief mogelijk. De snelheden op de doorsneden zijn ook in figuren weergegeven, een aantal hiervan zijn te vinden in paragrafen 4.3.1 en 4.3.2, de anderen in deze bijlage.

Tabel E.l: Snelheden op de vertikale doorsnede door het midden van de bak (x = 0), voor een bak met o = 1.

Re=50 Re=200 Re=500 Re=1600 y u V u V u V u V

1.0 1.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 0.8 4.079E-l 4.529E-2 3.517E-1 5.071E-2 3.826E-1 4.081E-2 4.146E-1 3.018E-2 0.6 1.148E-1 1.030E-l 2.385E-l 7.310E-2 2.713E-l 4.886E-2 2.774E-l 3.516E-2 0.4 -4.391E-2 1.175E-l 1.207E-l 7.203E-2 1.476E-l 4.471E-2 1.621E-l 3.132E-2 0.2 -1.541E-1 9.574E-2 1.115E-3 6.230E-2 3.909E-2 3.606E-2 5.950E-2 2.331E-2 0.0 -2.091E-l 5.772E-2 -1.148E-l 5.233E-2 -6.173E-2 2.603E-2 -3.641E-2 1.435E-2 -0.2 -2.060E-l 2.437E-2 -2.367E-l 4.239E-2 -1.591E-l 1.642E-2 -1.297E-l 6.086E-3 -0.4 -1.668E-1 5.983E-3 -3.252E-1 2.247E-2 -2.584E-1 9.432E-3 -2.228E-1 -6.329E-4 -0.6 -1.163E-l 1.676E-4 -2.785E-l 5.389E-4 -3.749E-l 4.444E-3 -3.161E-l -4.768E-3 -0.8 -6.355E-2 -1.853E-4 -1.438E-l -2.257E-3 -2.954E-l -2.859E-3 -4.307E-l -3.996E-3 -1.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Tabel E.2: Snelheden op de horizontale doorsnede door het midden van de bak (y = 0), voor een bak met o = 1.

Re=50 Re=200 Re=500 Re=1600 x u V u V u V u V

1.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.8 -6.070E-2 -1.868E-l -1.254E-1 -4.071E-l -1.281E-1 -5.198E-l -7.635E-2 -4.276E-l 0.6 -1.718E-l -2.531E-1 -1.910E-l -3.763E-1 -1.005E-l -3.127E-1 -7.134E-2 -3.054E-1 0.4 -2.358E-1 -1.777E-l -1.511E-1 -1.996E-l -8.706E-2 -1.952E-l -5.909E-2 -1.919E-1 0.2 -2.390E-l -5.239E-2 -1.268E-1 -6.993E-2 -7.326E-2 -8.250E-2 -4.657E-2 -8.662E-2 0.0 -2.091E-1 5.772E-2 -1.148E-l 5.233E-2 -6.173E-2 2.603E-2 -3.641E-2 1.435E-2 -0.2 -1.660E-l 1.327E-1 -1.066E-1 1.773E-l -5.268E-2 1.333E-l -2.866E-2 1.146E-l -0.4 -1.178E-1 1.722E-1 -9.234E-2 2.774E-l -4.439E-2 2.457E-l -2.170E-2 2.168E-l -0.6 -6.764E-2 1.766E-1 -6.174E-2 3.004E-1 -3.468E-2 3.581E-1 -1.308E-2 3.229E-1 -0.8 -2.216E-2 1.315E-1 -2.046E-2 2.380E-1 -1.344E-2 3.388E-1 -1.158E-3 4.289E-1 -1.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

77

Tabel E.3: Snelheden op de vertikale doorsnede door het midden van de bak (x = 0), voor een bak met 8 = 2.

Re=50 Re=200 Re=500 Re=lOOO y u V u V u V u V

2.0 1.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 1.6 1.199E-1 1.037E-1 2.403E-l 7.149E-2 2.742E-l 4.547E-2 2.806E-l 3.496E-2 1.2 -1.395E-l 9.722E-2 -2.813E-3 5.943E-2 2.608E-2 3.279E-2 3.681E-3 2.360E-3 0.8 -1.940E-l 2.280E-2 -2.471E-1 3.784E-2 -1.888E-1 1.385E-2 -1.777E-l 7.669E-3 0.4 -l.lllE-1 -7.183E-3 -2.798E-1 -5.303E-3 -4.064E-1 9.348E-4 -4.048E-1 2.397E-4 0.0 -4.159E-2 -5.855E-3 -5.819E-2 2.275E-3 -6.684E-2 9.894E-3 -7.012E-2 1.030E-2 -0.4 -1.058E-2 -1.950E-3 6.655E-3 8.014E-3 3.397E-4 2.010E-2 -1.886E-2 1.699E-2 -0.8 -2.867E-4 -4.250E-4 1.758E-2 3.346E-3 2.641E-2 9.569E-3 2.523E-2 1.212E-2 -1.2 1.983E-3 -5.966E-5 1.230E-l 4.836E-4 2.086E-2 2.813E-4 4.526E-2 1.478E-3 -1.6 1.616E-3 -3.921E-6 6.597E-3 -3.001E-5 7.873E-3 -6.700E-4 1.345E-2 -1.887E-3 -2.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Tabel E.4: Snelheden op de horizontale doorsnede door het midden van de bak (y = 0), voor een bak met 8 = 2.

Re=50 Re=200 Re=500 Re=lOOO x u V u V u V u V

1.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.8 -2.522E-3 -2.858E-3 6.375E-4 2.003E-2 2.555E-3 2.244E-2 8.042E-4 2.083E-2 0.6 -l.llOE-2 -1.090E-2 -5.617E-3 1.770E-2 -7.747E-4 2.190E-2 -4.742E-3 2.413E-2 0.4 -2.373E-2 -1.611E-2 -2.261E-2 7.850E-3 -1.809E-2 1.196E-2 -2.192E-2 1.554E-2 0.2 -3.538E-2 -1.425E-2 -4.375E-2 1.811E-3 -4.534E-2 5.935E-3 -4.856E-2 8.233E-3 0.0 -4.159E-2 -5.855E-3 -5.819E-2 2.275E-3 -6.684E-2 9.894E-3 -7.013E-2 1.030E-2 -0.2 -3.992E-2 5.289E-3 -5.855E-2 3.606E-3 -7.024E-2 1.979E-2 -7.145E-2 1.659E-2 -0.4 -3.124E-2 1.437E-2 -4.533E-2 -2.289E-3 -5.586E-2 1.323E-2 -5.399E-2 1.536E-2 -0.6 -1.821E-2 1.729E-2 -2.439E-2 -1.800E-2 -2.977E-2 -1.500E-2 -2.824E-2 -4.819E-3 -0.8 -5.688E-3 1.177E-2 -6.051E-3 -3.021E-2 -1. 704E-3 -7.070E-2 1.429E-4 -7.463E-2 -1.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

78

1.5 1.5

0.5 0.5

y y

-0.5 -0.5

-1 -1

-1.5 Ae=50- ·1.5 Re=SO --

Re=200 ------- Ae=200 ---Re:SOO · Ae:SOO ·

-2 Ae=100 ·2 Re:10 0 ·0.6 -Q.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

u V

0.01 0.04

0.02

-0.01

-0.02

-0.02 '

-0.03

u V -o.o• -0.04

-0.06 -0.05

-0.06

-0.07 Re:SO- ·0.1 Re:SO --Re=200 ------- Re=200 -------Re=500 · Re=SOO ·

-0.08 R -1000 ------ -0.12 A 1000 ··--·--

·1 -0.8 -0.6 -o.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 08 -1 -0.8 -o.6 -o.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

x x

Figuur E.l: Snelheden op vertikale (boven) en horizontale (onder) doorsneden door het midden van de bak van de stationaire driven-cavity-stromingen bij verschillende Reynoldsgetallen zn een bak met aspect-ratio 2.

79

80

Bijlage F

Symbolenlij st

Algemene fysische grootheden om een stroming weer te geven:

t5 aspectratio 'Ij; stroomfunctie v kinematische viscositeit p dichtheid w vorticiteit n rotatiesnelheid (=hoeksnelheid) B karakteristieke lengte (halve breedte van de bak) F cor corioliskracht F cor = 2!1 x V g z-component van de zwaartekracht P druk Pr gereduceerde druk in het meeroterende stelsel r plaatscoördinaat in radiale richting in een roterend stelsel Re Reynoldsgetal Re = v J3 t tijd V karakteristieke snelheid V() snelheid in tangentiële richting V snelheidsvector V= (u, v, w) of in 2D V= (u, v) x plaatsvector x= (x, y, z) of in 2D x= (x, y).

Met betrekking tot transformatie van fysische naar spectrale ruimte:

<Pkt

I.Pkl

xt O(N)

trialfuncties testfuncties voor de differentiaalvergelijking testfuncties voor de randvoorwaarden van de ordeN ck = 2 voor k > 0 ,ck = 2 voor k = 0 ëk = 2 voor 1 :S k :SN- 1, ëk = 2 voor k = 0 en k = N, met N het aantal gridpunten aantal Chebyshev-modes (=aantal gridpunten) in x-richting aantal Che byshev-modes (=aantal grid punten) in y- richting kde Chebyshev-polynoom

81

Ûk kde Chebyshev-coëfficiënt van de functie u A (i) uk

PNu(x) w(x)

kde Chebyshev-coëfficiënt van de ide afgeleide van de functie u

benadering van u door afgekapte reeksontwikkeling weegfunctie, collocatiepunten.

Definitie van de geometrie:

r rand van het domein V domein H dimensieloze lengte van de bak in y-richting L dimensieloze lengte van de bak in x-richting.

Gebruikte symbolen bij de tijddiscretisatie en de influence matrix techniek:

ai coëfficiënten van elementaire functies tbv randvoorwaarden voor de druk f3i coëfficiënten van elementaire functies tbv het impulsresidu bij Kronecker delta i::lt grootte van de tijelstap >. = 2fte (als t = 0: >. = 4fn \lb =(-btx,-bty)

2 1 8 2 1 8 2

\1 fJ = L2 8x2 + H2 8y2 A influence matrix B impulsresidu L transport operator Nr aantal grielpunten op de rand P 2ReP gn,n-1 'bronterm', bevat de termen met grootheden op tijdstippent = n ent= n- 1.

82