Escuela de Ingeniería CivilMatemática I

ECUACIÓN DE LA ELIPSE Y APLICACIONES

Lic. Billy Toribio Aranda billy_trb@hotmail.com

Abril - 2013

Contenidos:

• Problema aplicativo

• Noción intuitiva de elipse

• Definición de elipse

• Forma canónica de la ecuación de la elipse

• Forma ordinaria de la ecuación de la elipse

• Solución al problema aplicativo

Determinar y graficar la ecuación de la elipse en el plano

cartesiano.

Resolver problemas vinculados a la ingeniería haciendo uso

de la ecuación de la elipse

Objetivos:

Un ingeniero está diseñando una piscina en forma elíptica que se

construirá en el centro de un jardín de 30 por 20 pies , manteniendo

por lo menos 5 pies de espacio en todos sus lados. Determine el lugar

geométrico de la piscina.

Problema aplicativo:

¿ Que idea tenemos de elipse ?

Una elipse es el conjunto de todos los puntos P en el plano tales

que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 es

constante. Esos dos puntos fijos son los focos de la elipse.

¿ Que es una elipse ?

12

2

2

2

by

ax

a) La ecuación de una elipse de centro C(0 , 0) y su eje focal es el eje X, es:

F1(c,0)F2(-c,0)

V1(a,0)V2(-a,0)

A1(0,b)

A2(0,-b)

x

y

ba

Forma canónica de la ecuación de la elipse

12

2

2

2

ay

bx

b) La ecuación de una elipse de centro C(0 , 0) y su eje focal el eje Y, es :

F2(0,-c)

F1(0,c)

V1(0,a)

V2(0,-a)

A1(b,0)A2(-b,0)x

y

ba

1) Determine los focos, vértices y longitudes de los ejes mayor y menor de la siguientes elipses, y trace su gráfica.

3) Determine la ecuación de la elipse de centro el origen de coordenadas, foco en el punto (0,3) y eje mayor igual a 10.

110036

b)22

yx

144916c) 22 yx

149

a)22

yx

2) Determine la ecuación de la elipse con focos en (0,+8) y (0,-8) y excentricidad .

54e

Ejemplos Aplicativos

a) La ecuación de una elipse de centro C(h , k) y eje focal paralelo al eje X, es:

1)()(

2

2

2

2

bky

ahx

F1(h + c, k)F2(h - c, k)

V1(h + a, k)V2(h - a, k)

A1(h, k + b)

A2(h, k - b)

h

k

x

y

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse

b) La ecuación de una elipse de centro C(h , k) y eje focal paralelo al eje Y ,es:

1)()(

2

2

2

2

aky

bhx

F2(h, k – c )

F1(h, k + c )

V1(h, k + a)

V2(h, k – a)

A1(h + b, k)A2(h – b, k)

h

k

x

y

1) Determine el centro, los vértices, los focos y las longitudes de los ejes de las siguientes elipses y trace su gráfica.

2) Determine la ecuación de la elipse de focos en (-1,-1) y (-1,7), y la longitud del semieje mayor es de 8 unidades

14)2(

9)1(

b)22

yx

1100

)4(64)3(

a)22

yx

3) Determine la ecuación de la elipse de centro en (4,-2), vértice en (9,-2) y foco en (0,-2).

Ejemplos Aplicativos

La forma general de una elipse está dada por:

022 FEyDxCyAx

Observación: Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la

ecuación representa una elipse de ejes paralelos a los

coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar

geométrico.

Forma general de la elipse

1) Exprese cada ecuación en forma ordinaria y trace su gráfico.

2) Pruebe que la gráfica de la ecuación .

es una elipse. Determine el centro, eje principal, los vértices, los extremos del eje menor y los focos. Dibuje la elipse.

11161849c)

131624b)

04844a)

22

22

22

yxyx

yxyx

yxyx

011191281501625 22 yxyx

Ejemplos Aplicativos

Un ingeniero está diseñando un piscina en forma elíptica que se

construirá en el centro de un jardín de 30 por 20 pies , manteniendo

por lo menos 5 pies de espacio en todos sus lados. Determine el

lugar geométrico de la piscina .

Solución al problema aplicativo