Dvoosni Manipulator Dinamika Lagrange Euler

Zadatak: Dinami£ki model £lanka

Lagrange-Euler model

Treba zavrtiti robotski £lanak mase m1 oko osi z0, kao ²to je prikazano na slici 1.Lagrange-Eulerovom metodom izra£unajte koliki je moment potreban da bi sezavrtio ²tap. Pri tome obratite pozornost na smjer gravitacijske sile ukoordinatnom sustavu zemlje. Pri ra£unanju, koristite se na slici 1 ozna£enimosima z0 i z1.

Slika : Robotski £lanak

Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 1 / 22


Lagrange-Euler model - Rje²enje

Lagrange-Eulerova metoda temelji se na poznavanju kineti£ke i potencijalneenergije tijela:

L (q, q̇) = Ek (q, q̇)− Eg (q, q̇) (1)

Kineti£ka energija - masa-linearna brzina, moment inercije-kutna brzinaPotencijala energija - masa, pozicija tijela

d

dt

∂

∂q̇iL(q, q̇)− ∂

∂qiL(q, q̇) = Fi (2)

�lanak se promatra u njegovom centru mase (CM).

Slika : Robotski £lanak



Robotski £lanak - DH parametri

Poziciju £lanka odre�ujemo pomo¢u matrice transformacije, za koju je potrebnopostaviti koordinatne osi prema DH pravilima. S obzirom da su z osi £lankazadane u zadatku, preostaje postaviti preostale osi (x odnosno y) vode¢i ra£una opravilima DH metode. Jedno od mogu¢ih rje²enja prikazano je na slici. Za takopostavljene koordinatne sustave vrijede DH parametri prikazani u tablici i matricahomogene transformacije(3).

Θ d α aq1 0 π

2 L

T 10 =

c1 0 s1 Lc1s1 0 −c1 Ls10 1 0 00 0 0 1

(3)



Robotski £lanak - DH parametri

S obzirom da gravitacija djeluje u centru mase £lanka robota, potrebno je odreditipoziciju centra mase £lanka u odnosu na koordinatni sustav L0. S obzirom datransformacijska matrica T 1

0 preslikava koordinate sustava L1 u koordinatni sustavL0, potrebno je odrediti koordinate centra mase £lanka 1 u koordinatom sustavuL1(4). Potom ih pomo¢u matrice transformacije T 1

0 jednostavno preslikamo ukoordinatni sustav L0(7). Prema slici te koordinate glase:

−−→∆C1 =

[−∆C1 0 0 1

]T=[−L2 0 0 1

]T(4)

C1 = HT 10 ∆C1 =

L

2

[c1 s1 0

]T(5)



Robotski £lanak - kineti£ka energija

Kineti£ku energiju £ine masa i moment inercije, zajedno s linearnom i kutnombrzinom tijela. Iz izraza 7 vidljivo je da se pozicija centra mase £lanka mijenjaovisno o zakretu q1. Kako bismo odredili brzinu £lanka, potrebno je derivirati izrazza poziciju 7. Pri tome valja imati na umu kako je pozicija funkcija zakreta.Rje²enje stoga uklju£uje parcijalnu derivaciju pozicije po zakretu, te parcijalnuderivaciju zakreta po vremenu.

C1 = HT 10 ∆C1 =

L

2

[c1 s1 0

]T(6)

dC1

dt=L

2

[∂cos(q1)∂q1

∂q1∂t

∂sin(q1)∂q1

∂q1∂t 0

]T=L

2

∂q1∂t

[−sin (q1) cos (q1) 0

]T (7)




S druge strane kutna brzina £lanka o£ito je povezana sa zakretom q1 oko zadaneosi z0, tj. s njegovom brzinom ω = ∂q1

∂t . Preostaje jo² postaviti smjer vektorakutne brzine u smjeru osi z0 oko koje se £lanak rotira. Vektor kutne brzine stogaglasi:

ω̂1 =∂q1∂t

[0 0 1

]T(8)

Vektori ²to mnoºe brzinu zakreta £lanka ∂q1∂t dio su Jacobian matrice. Jacobian

matrica op¢enito preslikava brzine zakreta zglobova robota u linijske i kutne brzine£lanka. U ovom slu£aju, Jacobian matrica glasi:

J1 =[−L2 s1

L2 c1 0 0 0 1

]TAT = −L

2

[−s1 c1 0

];B =

[0 0 1

]T (9)




U odre�ivanju kineti£ke energije preostaje jo² samo odrediti moment tromosti£lanka. Moment tromosti £lanka odre�uje se s obzirom na njegov centar mase. Utu svrhu koordinatni sustav L1 translatiramo po x1 u centar mase prvog (ijedinog) £lanka Lc1. Potom ra£unamo tenzor momenta tromosti, vode¢i ra£una oin�tezimalnoj ²irini i visini ²tapa u odnosu na njegovu duljinu:

Dck|k=1 = Dc1 = mL2

12

0 0 00 1 00 0 1

(10)




Kako bi izra£unali moment kojim je potrebno zavrtiti £lanak, potrebno je tenzorinercija £lanka transformirati iz koordinatnog sustava centra mase u koordinatnisustav hvati²ta, tj. baze L0. Izdvojimo li rotacijski dio R1

0 matrice transformacijeT 10 , moºemo pisati izraz za transformaciju momenta tromosti £lanka:

D1 = R10Dc1R

10T

= mL2

12

s21 −s1c1 0−s1c1 c21 0

0 0 1

(11)

Kineti£ku energiju ²tapa £ine rotacijska i translacijska kineti£ka energija zajedno.Ukupnu kineti£ku energiju ra£unamo izrazom:

Ek =1

2ω̂1

T ·D1 · ω̂1 +1

2m1v1

T · v1

=1

2q̇1[BT ·D1 ·B

]q̇1 +

1

2m1q̇1

[AT ·A

]q̇1 =

L2

6m1q̇

21

(12)



Robotski £lanak - potencijalna energija

Gravitacijski vektor u koordinatnom sustavu L0 glasi −→g =[0 g0 0

]T.Kona£no

pi²emo izraz za gravitacijsku potencijalnu energiju £lanka:

Eg = −m−→g T−→c = −mg0L

2

[0 1 0

] c1s10

= −mg0L

2s1 (13)



Robotski £lanak - rezultat

Lagrangeova funkcija de�nira se kao razlika izme�u kineti£ke i potencijalneenergije. Prema tome, Lagrangeova jednadºba za dani zadatak glasi:

L (q1, q̇1) = Ek (q1, q̇1)− Eg (q1, q̇1)

=L2

6m1q̇

21 +m1g0

L

2s1

(14)

Primjenom Lagrange-Eulerove metode moment M1 kojim Ivica mora zavrtiti ²tapglasi:

M1 =d

dt

∂

∂q̇1L (q1, q̇1)− ∂

∂q1L (q1, q̇1) =

m1L2

3q̈ − g0m1c1

L

2(15)

DZ: izra£unati zadatak kori²tenjem "kuharice" iz knjige



Dinami£ka jednadºba gibanja manipulatora

n∑j=1

[Dij(q)q̈j ] +

n∑k=1

n∑j=1

[Cikj(q)q̇kq̇j

]+ hi(q) + bi(q̇) = τi (16)

D(q) - tenzor inercije manipulatora n× nC(q) - matrica povezivanja brzina n× nh(q) - vektor gravitacijskog djelovanja n× 1

b(q) - trenje


Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)

Dvoosni manipulator (L-E model)

Izra£unajte dinami£ke jednadºbe gibanja RT manipulatora sa slike! Pri tome sumase £lanaka m1 i m2, a ²irina i visina £lanka je zanemariva u odnosu na duljinu.

Slika : Opis slike.Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 12 / 22


Rje²enje

Θ d α aq1 L1

π2 0

0 L2 + q2 0 0

T 10 =

c1 0 s1 0s1 0 −c1 00 1 0 L1

0 0 0 1

(17)

T 20 =

c1 0 s1 (L2 + q2) s1s1 0 −c1 − (L2 + q2) c10 1 0 L1

0 0 0 1

(18)



Rje²enje

Centar mase n-tog £lanka dobije se translatiranjem koordinatnog sustava Ln unjegov centar mase. Vektori translacije koordinatnog sustava Ln u centar masen-tog £lanka ∆Cn promatraju se u koordinanom sustavu Ln.

∆c1 =[0 −L1

2 0 1]T

(19)

∆c2 =[0 0 −L2

2 1]T

(20)



Rje²enje

Ra£unanje koordinata centra mase £lanka u odnosu prema koordinatnom sustavubaze:

c1 = HT 20 ∆c1 =

[0 0 L1

2

]T(21)

c2 = HT 20 ∆c2 =

[(q2 + L2

2

)s1 −

(q2 + L2

2

)c1 L1

]T(22)



Rje²enje

Izra£unavanje tenzora intercije i-tog £lanka oko njegova centra mase u odnosuprema koordinatnom sustavu Lci:

D′

1 =m1L1

2

12dijag (1, 0, 1) (23)

D′

2 =m2L2

2

12dijag (1, 1, 0) (24)



Rje²enje

Dobivene momente inercije, pomo¢u matrica R10 i R2

0, transformiramo ukoordinatni sustav baze L0:

D1 = R10DC1R

10T

=L21 ·m1

12

1 0 00 1 00 0 0

(25)

D2 = R20DC2R

20T

=L22 ·m2

12

c21 s1 · c1 0s1 · c1 s21 0

0 0 1

(26)



Izra£unavanje Jacobijevih matrica

Izra£unavanje Jacobijevih matrice £lanka 1 i 2:

J1(q) =

[A1(q)

B1(q)

]=

∂C1∂q1

0

ξ1z1 0

=

0 00 00 00 00 01 0

(27)

J2(q) =

[A2(q)

B2(q)

]=

∂C2∂q1

∂C2∂q2

ξ1z1 ξ2z2

=

(L22

+ q2

)c1 s1(

L22

+ q2

)s1 −c1

0 00 00 01 0

(28)

zi−1

(q) = Ri−10 (q) · i3 (29)



Izra£unavanje tenzora inercije manipulatora

D(q) = d1(q) + d

2(q) =

n∑k=1

[Ak(q)]T·mk · A

k(q) +

[Bk(q)]T·Dk(q) · Bk(q) (30)

d1(q) =

[A

1(q)]T ·mi · A1

(q) +[B

1(q)]T ·Dk(q) · B1

(q)

=

[0 0 00 0 0

]·m1

0 00 00 0

+

[0 0 10 0 0

] s12 + c12 −s1c1 0

−s1c1 s12 + c1

2 00 0 0

0 00 01 0

=

[0 00 0

]

d2(q) =

−(L22

+ q2

)s1

(L22

+ q2

)c1 0

c1 s1 0

·m1

−(L22

+ q2

)s1 c1(

L22

+ q2

)c1 s1

0 0

+

[0 0 10 0 0

] L22

12·m2 · s

21 −

L22

12·m2 · c1 · s1 0

−L22

12·m2 · c1 · s1

L22

12·m2 · c

21 0

0 0L2·m2

12

0 00 01 0

=

[m23

(L22 + 3 · L2 · q2 + 3 · q22) 0

0 m2

]= D(q)



Rje²enje

Izra£un matrice povezivanja brzina C:

Cikj =∂Dij(q)

∂qk− 1

2

∂Dkj(q)

∂qi, 1 ≤ i, j, k ≤ n (31)

C1 =

[0 0

m2(L2 + 2 · q2) 0

](32)

C2 =

[−0.5 ·m2(L2 + 2 · q2) 0

0 0

](33)



Rje²enje

Izra£un vektora gravitacijskog djelovanja:

hi(j) = −3∑k=1

3∑j=i

[gk ·mj ·Ajki(q)

](34)

~g =[0 0 −g0

]T(35)

h1(q) = h2(q) = 0 (36)



Zavr²ni rezultat

τ1 =m2

3(L2

2 + 3 · L2 · q2 + 3 · q22)q̈1 +m2(L2 + 2 · q2) · q̇2q̇1 + b1(q̇) (37)

τ2 = m2 · q̈2 − 0.5 ·m2(L2 + 2 · q2) · q̇1q̇1 + b2(q̇) (38)



====================================


Dvoosni Manipulator Dinamika Lagrange Euler

Documents

Transcript of Dvoosni Manipulator Dinamika Lagrange Euler