Dufor: POLINOMIOS -5to grado

8/21/2019 Dufor: POLINOMIOS -5to grado

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GUSTAVO A. DUFFOUR

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La aproximación de una función por unpolinomio es una de las ideas más antiguas

en el análisis numérico y una de las másusadas aún en la actualidad.

Las razones más importantes sonposiblemente que:

1) Los polinomios son las funciones más fácilespara calcular, porque implican solo las tresoperaciones aritméticas: suma, resta ymultiplicación.

2) Las raíces de una ecuación polinómicaaparecen con mayor facilidad que en otrasfunciones.

Con todo esto, no es difícil explicar la popularidad de los polinomios, comoaproximación a otras funciones más difíciles.

Es posible observar una aplicaciónpráctica de la aproximación de valoresfuncionales por polinomios en lascalculadoras, ya que estas no tienen unatabla numérica para el cálculo de valores

funcionales.

Cada vez que se les pide un valorfuncional, lo calculan haciendo miles desumas (recuérdese que multiplicar essumar en forma reiterada, y dividir es restaren forma repetida), aproximando elresultado con la precisión necesaria paramostrarlo con 9 dígitos. (Al respecto, véasela página 203 de este libro, y«Aproximación de funciones porpolinomios», en el libro de texto Matemáticade sexto, de este mismo autor).

Debido a la lentitud de las primerascalculadoras era común que en su visorapareciera el mensaje, CAL... o un puntito,que se movía a lo largo de la pantalla porvarios segundos, mientras se realizaba elcálculo pedido.

HP–35 de 1972Una de las primeras calculadoras

científicas de bolsillo.


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MATEMÁTICA DE QUINTO201

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POLINOMIOS

1 – CONOCIMIENTOS GENERALES

1.1. INTRODUCCIÓN

Desde años anteriores el estudiante conoce a los polinomios como:

A(x) = 2x2 – 5x + 4 B(x) = 3x – 7

También está familiarizado con algunas operaciones con polinomios, como la suma,resta y multiplicación. Durante el año pasado se trabajó, entre otras, con funciones lineales,cuadráticas y racionales.

En este curso se profundizarán las operaciones con polinomios y las gráficas defunciones polinómicas, junto con los teoremas relacionados.

1.2. EL NOMBRE DE UN POLINOMIO

A los polinomios se los denomina con una letra (en este texto se usarán letras enmayúsculas) y se indica, entre paréntesis, la variable utilizada.

Sobre todo se usará la letra P, inicial de la palabra Polinomio. Pero cuando seanecesario hablar de varios polinomios, se utilizarán también otras letras: A(x), B(x), Q(x)...

Cuando se habla de la función polinómica asociada a un polinomio, es común referirsea ella usando letras en minúsculas f (de función) y, si son varias las funciones polinómicas,se usarán las siguientes letras: g, h...

Muchas veces se indican el dominio y el codominio en que están definidas.

Por ejemplo: f: ? / f(x) = x2 – 5x + 7


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1.3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN POLINÓMICA

Se llama función polinómica de los números reales en los números reales, a todas lasfunciones cuya formulación algebraica es:

f: ? / f(x) = anx

n + an – 1

xn – 1 + ... + a

1x + a

0

donde an, an – 1,... a1, a0, son números reales llamados coeficientes y n, n – 1,... son

números naturales llamados exponentes.

NOTA

En adelante se llamará polinomio a la expresión que

caracteriza a una función polinómica y se dará por

sobreentendido que está definida de los números reales

en los números reales.

La palabra polinomio indicará un polinomio ordenado en la

variable x. Es común la ordenación en potenciasdecrecientes.

Cuando se nombre un polinomio, como A(x), B(x)... seusará el signo =, pues se ha visto la necesidad dediferenciarlo de una ecuación, en que se usa el signo =.

Por ejemplo:Dado el polinomio A(x) = x2 – x + 3Resolver A(x) = 4x – 1

Significa resolver: x2 – x + 3 = 4x – 1Solución ={1, 4}

Véase la diferencia entre f y f(x), en el capítulo 4.

1.4. COEFICIENTES EN UN POLINOMIO

El estudiante debe tener claro qué son los coeficientes en un polinomio: son todos los

números o letras que afectan a las diferentes potencias en x.

Se destacan dos coeficientes.

El del término de mayor exponente en x: primer coeficiente o coeficiente principal.

El del término de exponente cero en x: término independiente.

En P(x) = – 3x2 + 2x + 5 Coeficiente principal = – 3Término independiente = + 5


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Se anota

P(x) =

0

3 5 7sen = + + ...

3! 5! 7!

x x xx x − −

La expresiónes útil paravalores de: – 1


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1.6. GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio reducido P(x) no idénticamente nulo es el mayor exponente

de la variable x.

Se entiende por «reducido» elpolinomio obtenido luego de hechas lascuentas necesarias, sumando o restando

los términos de igual exponente en x.

EJEMPLOS:

A(x) ≡ – 3x3 + x2 – 5 ? es de grado 3

B(x) ≡ x2

+ 4x – 5 ? es de grado 2C(x) ≡ 3x – 5 ? es de grado 1D(x) ≡ 5 ? es de grado 0

NOTA

Repasando las definiciones de grado

y de polinomio nulo, se puede concluir

que: el polinomio nulo no tiene grado.

EJEMPLO: Indicar el grado de

P(x) = 2x – x2 – 5 + 3x2 – 7 + 8x – 2(x – 1)2

Para obtener el grado de P(x) esnecesario reducirlo. Se eleva (x – 1) alcuadrado, se multiplica por 2 el resultado yluego se suman o restan los términos de igual

exponente en x.P(x) = 2x – x2 – 5 + 3x2 – 7 + 8x – 2x2+ 4x – 2 =

= x x x x x xx

x

2 2 23 2 2 8 4 ( 5 7 2)

142 140

− + − + + + + − − −

−

P(x) = 14x – 14

P(x) es de grado 1

Dado el polinomio: x xn

P( ) a

0

=≡=∑i

i

ii

El grado de P(x) es el mayor i / ai

0

Responder «verdadero» o

«falso», y justificar la

respuesta.

a) El grado del producto de dospolinomios no nulos, concoeficientes reales, es la sumade los grados de cada uno deellos.

b) El grado de la suma de dospolinomios no nulos, concoeficientes reales, es la sumade los grados de cada uno deellos.

c) El grado del producto de dospolinomios no nulos, concoeficientes reales, es igual aldel polinomio de mayor grado.

d) El grado de la resta de dospolinomios no nulos, concoeficientes reales, es igual algrado del polinomio de mayorgrado.

Véanse los resultados en la página 479.


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Contestar las preguntas 1 y 2 de la página 250.

1.7. DEFINICIÓN DE POLINOMIOS IDÉNTICOS

Dos polinomios son idénticos y se escribe: A(x) = B(x), si tienen en su forma reducidael mismo grado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes.

EJEMPLO: Dado A(x) = x3+2ax2 + 7 B(x) = bx4+ x3 + 4x2 + (c – 2)Hallar a, b, y c, si A(x) = B(x)

Si dos polinomios son idénticos, son iguales los coeficientes de los términos de igual

exponente en x.

Coeficientes de A(x) Coeficientes de B(x)

0 ← Coeficiente del término en x4 → b

1 ← Coeficiente del término en x3 → 1

2a ← Coeficiente del término en x2 → 4

0 ← Coeficiente del término en x1 → 0

7 ← Coeficiente del término en x0 → c – 2

Al igualar los coeficientes y despejar las incógnitas resulta:

0 = b → b = 01 = 1

2a = 4 → a = 20 = 0

7 = c – 2 → c = 9

Antes de continuar, es conveniente hacer

el ejercicio 238, de la página 252.

En una división entera entre dos polinomios:1) Si el dividendo tiene grado 8 y el cociente grado 3,

¿qué grado tiene el resto?

2) Si el resto tiene grado 2 y el dividendo tiene grado 4,¿qué grado tiene el cociente?

3) Si el divisor tiene grado 2 y el cociente tiene grado 3,¿qué grado tiene el resto?



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1.8. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Cuando en un polinomio se sustituye la variable x por un número y se efectúan lasoperaciones indicadas, se obtiene un resultado que se llama valor numérico del polinomio

para ese valor particular de x.

El valor numérico del polinomio P(x) para x = a, se indica por P(a).

NOTA

El valor numérico que toma un polinomio al sustituir su

variable x por cero, es igual al término independiente.

P(0) = a0

EJEMPLO: Dado P(x) = x3+ ax2 – x – 4 calcular a para que P(– 2) = 6.

Para resolver el problema, se sustituye en el

polinomio toda x por – 2 y se iguala a 6.Debe ponerse el valor de x entre paréntesis,para evitar posibles errores en los signos.

P(x) = x3+ 4x2 – x – 4

NOTA

Un valor numérico muy importante es el cero.

Se llama raíz de un polinomio al valor de la variable x quehace cero al valor numérico del polinomio.

α es raíz de P(x) % P(α) = 0


los ejercicios 239 al 241, de la página 252.

P(– 2) = (– 2)3

+ a(– 2)2 – (– 2) – 4 = 6

– 8 + 4a + 2 – 4 = 6

– 10 + 4a = 6

4a = 16

Solución: a = 4Pensando en problemas más largos,

el estudiante se debe acostumbrar asustituir, en el polinomio, el valor de lasletras encontradas y dar también comosolución al polinomio.


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Dividendo = 3x3 – 4x2 – 5x + 4

Divisor = x2 – 2x + 3

Cociente = 3x + 2

Resto = – 10x – 2

2 – DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS

2.1. DEFINICIÓN

Dividir un polinomio P(x) (dividendo), entre otro D(x) (divisor no nulo), es encontrardos polinomios Q(x) (cociente) y R(x) (resto), tal que el dividendo sea igual al divisor porel cociente más el resto y que el grado del resto sea menor que el grado del divisor o unpolinomio nulo.

P(x) ≡ D(x) Q(x) + R(x) grado R(x) < grado D(x) o R(x) ≡ 0

Es común expresar la división con el siguiente esquema:

Con respecto a los grados de los polinomios, se tendrá que si P(x) es de grado n yD(x) es de grado m, con m


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NOTAUn dato muy importante que no debe olvidar el estudiante

es que:En una división entera entre polinomios

el resto es de grado menor que el divisor

o es el polinomio nulo. En este curso solo se estudiará la división entera de

polinomios, reducidos y ordenados en potencias

decrecientes de la variable y cuando el grado del

dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.

Existen otros casos. Entre ellos:

x x

x

A( ) B( ) A( ) 0

2.3. POLINOMIOS DIVISIBLES DIVISIÓN EXACTA

Diremos que un polinomio P(x) es divisibleentre el polinomio D(x) (no nulo) si el resto dela división es cero o un polinomio nulo.

P(x) es divisible entre D(x) si y solo si P(x) = D(x).Q(x)

NOTATambién suele decirse que D(x)/P(x)o que D(x) divide exactamente a P(x)

x x

x

P( ) D( )

0 Q( )

Si: grado A(x)


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Cada vez que se dicecon palabras:

Que con símbolos seexpresa como:

Significa, por elteorema del resto:

3 – TEOREMA DEL RESTO

3.1. TEOREMA DEL RESTOPARA DIVISORES DE LA FORMA (x – α)

El valor numérico que toma un polinomio, para x = α αe , es

igual al resto de la división entre (x – α).

Hipótesis: Tesis:

Dada la división:x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α P(α) = R

R∈

ya que grado(x – α) = 1

Se parte de la división: → x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α

Se expresa como: → P(x) = (x – α) Q(x) + R

Se sustituye toda x por α (el cual es un número): → P(α) = ( )Q( ) R

0

0

α − α α +

=

=

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis: → P(α) = R

3.2. ¿QUÉ NOS DICE EL TEOREMA DEL RESTO?

P(x) dividido (x + 3) da resto 1 x x

x

P( ) ( 3)

1 Q( )

+ P(– 3) = 1

P(x) dividido (x – 2) da resto – 7 x x

x

P( ) ( 2)

7 Q'( )

−

− P(2) = – 7

P(x) dividido x da resto 6 x x

x

P( )

6 Q"( ) P(0) = 6


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EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 2x2+ (a – 2)x – 3a – 5Calcular a para que P(x) dividido entre (x + 1) dé resto – 5

Para aplicar el teorema del resto se debe hallar el valor de α. Para ello se toma el divisor (x + 1), se iguala a cero y se despeja la x.

x + 1 = 0 se despeja x, x = – 1

Por el teorema del resto, ? P(– 1) = – 5

P(– 1) = 2(– 1)2

+ (a – 2)(– 1) – 3a – 5 = – 5

2 – a + 2 – 3a – 5 = – 5 – 4a = – 5 +1 – 4a = – 4 a = 1

En todos los casos, además de hallar el valor de a, es conveniente escribir elpolinomio sustituyendo a por el valor hallado.

P(x) ≡ 2x2 – x – 8

EJEMPLO: Dado P(x) = 2(x –2)9+(x –2)5 +x –5 Calcular el resto de dividir P(x) entre (x –3)

Una posibilidad sería reducir P(x) y hacer la división. Es un método largo ycomplicado, que demuestra tan solo que no se conoce el significado del teorema del resto.

Un método rápido y sencillo para hallar el resto es aplicar el teorema del resto. Deeste modo, para calcular el resto se efectúa P(3).

P(3) = 2(3 – 2)9

+ (3 – 2)5

+ 3 – 5 = 2 +1 + 3 – 5 = 1 Resto = 1


los ejercicios 242 al 245, de la página 252,

y contestar las preguntas 3, 4 y 5 de la página 250.

NOTA

Aunque el teorema del resto se cumple para todo αe , se demuestra a continuación otro caso particular yfrecuentemente utilizado: cuando el divisor es (ax + b).


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Para aplicar el teorema del resto se debe

hallar el valor deb

a

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para ello se toma

el divisor (2x + 6), se iguala a cero y sedespeja la x.

3.3. TEOREMA DEL RESTOPARA DIVISORES DE LA FORMA (ax + b)

El valor numérico que toma un polinomio, para x = – ba a ≠

0,

es igual al resto de la división entre (ax + b).

Hipótesis: Tesis:


x

P( ) (a b)

R Q( )

+

bP R

a

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

a∈* b∈ R∈


x

P( ) (a b)

R Q( )

+

Se expresa como: → P(x) ≡ (ax + b) Q(x) + R

Se sustituye toda x porb

a− (el cual es un número): → P

b

a

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=b b

a b Q Ra a

0

0

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

=

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis.→ Pb

a

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= R

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ – 3x2 + (2a – 1)x + a – 2Calcular a para que P(x) dividido entre (2x + 6) dé resto – 1

2x + 6 = 0 se despeja x x = – 3

Por el teorema del resto,P(– 3) = – 1

P(– 3) = – 3(– 3)2 + (2a – 1)(– 3) + a – 2 = – 1

– 27 – 6a + 3 + a – 2 = – 1 – 5a – 26 = – 1 – 5a = 25 a = – 5

En todos los casos, además de hallar el valor de a es conveniente escribir elpolinomio sustituyendo a por el valor hallado.

P(x) ≡ – 3x2 – 11x – 7


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3.4. TEOREMA GENERAL DEL RESTO

Si D(α) = 0, el valor numérico que toma un polinomio P(x) para

x

=

α es igual al valor numérico para x

=

α del resto de la divisiónde P(x) entre D(x).(α∈ ) ( grado D(x) ≤ grado P(x), D(x) no nulo)

Hipótesis: Tesis:


x x

P( ) D( )

R( ) Q( ) con D(α) = 0 P(α) = R(α)


x x

P( ) D( )

R( ) Q( )

Se expresa como: → P(x) ≡ D(x) Q(x) + R(x)

Se sustituye toda x por α (que es un número): → P(α) =

D( )Q( ) R( )

0

0

α α + α

=

=

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis:→ P(α) = R(α)

René DescartesFrancia, 1596-1650

Filósofo francés, creador del racionalismo y unode los padres de la filosofía moderna. Educado porlos jesuitas, estudió jurisprudencia, ingresó en elejército y luego se retiró a vivir a Holanda, dondepermaneció desde 1626 a 1649. Posteriormente fueinvitado por Cristina de Suecia a su corte, dondefalleció en 1650. Considerado el primer filósofomoderno, Descartes utilizó la ciencia y las

matemáticas para explicar y pronosticaracontecimientos en el mundo físico.

Su famosa frase «Cogito ergo sum» ('Pienso, luego existo') fue el punto departida que lo llevó a investigar las bases del conocimiento. La contribuciónmás notable que hizo Descartes a las matemáticas fue la sistematización de lageometría analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvasconforme al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuyó también a laelaboración de la teoría de las ecuaciones. Descartes fue el responsable de lautilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidadesdesconocidas, y las primeras letras para las conocidas.


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4 – TEOREMA DE DESCARTES

Es condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea

divisible entre (x – α), que P(α) = 0. α∈

Que sea condición necesaria y suficiente, significa que será necesario demostrar eldirecto y el recíproco.

DIRECTO

Hipótesis: Tesis:P(x) es divisible entre (x – α) P(α) = 0

x x

x

P( ) ( )

0 Q( )

− α

Se expresa como: P(x) ≡ (x – α) Q(x) + 0

Se sustituye toda x por α (el cual es un número): ? P(α) = ( )Q( )0

0

α − α α

==

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis: ? P(α) = 0

RECÍPROCO

Hipótesis: P(α) = 0Tesis: P(x) es divisible entre (x – α)

x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α

Se expresa como: P(x) ≡ (x – α)Q(x) + RSe hace valor numérico, sustituyendo toda x por α.

Se llega a que P(α) = R. Pero por hipótesisP(α) = 0. Con lo cual se concluye que: R = 0, P(α) = (α – α)Q(α) + R ? P(α) = R

que significa que el polinomio es divisibleentre (x – α). Que es la tesis. Por hipótesis ? P(α) = 0

NOTA

El teorema de Descartes permite afirmar que: por cadaraíz α de un polinomio existe un divisor asociado de laforma (x – α).

Si P(x) es divisible entre (x – α) significa

que el resto de la división es cero.

Al dividir P(x) entre (x – α) seobtiene un cociente y un resto.


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EJEMPLO: Hallar m y p, sabiendo que: P(x) ≡ 4x3 – 16x2 + mx + pes divisible entre (x – 4) y que dividido entre (x + 1) da resto – 15

Que sea divisible entre (x – 4) significa queP(4) = 0 (teorema de Descartes).

Que dividido entre (x + 1) da resto – 15,significa que P(– 1) = – 15 (teorema del resto).

Se efectúan las sustituciones por ambosvalores numéricos, para obtener un sistema dedos ecuaciones con dos incógnitas, que seresuelve por el método de reducción.

4m p 0m p 5+ =− + =

Solución: m = – 1 p = 4 P(x) ≡ 4x3 – 16x2 – x + 4


los ejercicios 246 y 247, de la página 252,

y contestar las preguntas 6 a 10, de la página 250.

Véase «cálculo de raíces», en las páginas 223 y 224.

Paolo RuffiniNació en 1765 y falleció en 1822, en

Módena, Italia.Como otros personajes, Ruffini no fue

solo un matemático, sino que se graduótambién como médico e incluso tuvocargos políticos.

Eran tiempos de guerra, Napoleónformó la República Cisalpina y en 1798Ruffini perdió su trabajo en la Universidadde Módena. No se preocupó, pues le

quedaba tiempo para cuidar a susenfermos y, sobre todo, para trabajar enuno de los más originales proyectos,denominado: La ecuación de quinto grado no

puede ser resuelta por radicales.

La comunidad matemática de esa época no estaba preparadapara aceptar esta revolucionaria idea de que un polinomio nosiempre puede ser resuelto por radicales. Solo al final de su vida,entre 1800 y 1820, apoyado por Cauchy, la comunidad matemáticaaceptó esa idea de Ruffini.

P(4) = 4(4)3 – 16(4)

2 + m(4) + p = 0

256 – 256 + 4m + p = 0

4m + p = 0

P(– 1) = 4(– 1)3 – 16(– 1)

2+ m(– 1) + p = –15

–4 – 16 – m + p = – 15

–m + p = 5


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5 – DEMOSTRACIÓN DEL ESQUEMA DE RUFFINI

El caso más importante de división de dos polinomios es aquel en que el divisor es de

primer grado y de la forma (x – α), α∈ . La división queda planteada en los siguientestérminos:

x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α P(x) ≡ (x – α) Q(x) + R R∈ por ser grado(x – α) = 1

Se trata de hallar un polinomio Q(x) cociente de la división, y un resto R, quecumplan la igualdad anterior. Es de notar que si el grado de P(x) es n, el grado de Q(x) esuna unidad menor (n – 1).

Para facilitar la demostración, y sin perder generalidad, se hará con un polinomio detercer grado.

Dado: P(x) ≡ a3x3 + a2x

2 + a1x + a0 y un cociente Q(x) ≡ b2x2 + b1x + b0 a determinar.

Resulta que si: P(x) ≡ (x – α) Q(x) + R

a3x3

+ a2x2

+ a1x + a

0 ≡ (x – α)( b

2x2

+ b1x + b

0) + R

Efectuando las operaciones indicadas, multiplicando al divisor por el cociente ysumando el resto, el resultado debe ser idéntico a P(x), o sea que los coeficientes de lostérminos de igual exponente en x son iguales.

b2x3 + b

1x2 + b

0x

– αb2x

2 – αb

1x – α b

0R

a3x3 + a

2x2 + a

1x + a

0 = b2x3 + (b1 – αb2)x2 + (b0 – αb1)x + (R – αb0)

Lo que implica la igualdad de los coeficientes de los términos de igual exponente en x,de P(x) y del resultado de la multiplicación anterior.

De ellos se despejan los coeficientes de Q(x), en función de los de P(x).

a3 = b

2 ? b

2 = a

3

a2 = b

1 – α.b

2 ? b

1 = a

2 + α.b

2

a1 = b

0 – α.b

1 ? b

0 = a

1 + α.b

1

a0 = R – α.b

0 ? R = a

0 + α.b

0

Ello significa que el primer coeficiente del cociente Q(x) es igual al primero de P(x).El segundo coeficiente de Q(x) se obtiene multiplicando por α el primero de Q(x) ysumando el segundo de P(x). Y así sucesivamente. El resto R se obtiene multiplicandopor α el último coeficiente de Q(x) y sumando el último coeficiente de P(x).

Se puede utilizar para la división entre (x – α) desarrollada anteriormente, unesquema sumamente cómodo llamado de Ruffini.

a a a a3 2 1 0

b b b2 1 0

b b b R2 1 0

↓α α α α


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Se suman.

Se multiplican.

NOTASe debe recordar que si en el

dividendo falta algún término,

debe ponerse cero en el

coeficiente correspondiente.Se pone el mismo.

El esquema de Ruffini es una

forma de hacer la división de unpolinomio entre un divisor de laforma (x –α).

Dividendo ≡ 2x3 – 6x + 5Divisor ≡ x – 3

Cociente ≡ 2x2 + 6x + 12Resto ≡ 41

Coeficientes del dividendo.

Raíz deldivisor.

Coeficientes del cociente.

Resto

EJEMPLO: Hallar cociente y resto de dividir P(x) ≡ 2x3 – 6x + 5 entre (x – 3) aplicando el esquema de Ruffini.

Para trabajar con Ruffini se debe tener en cuenta el siguiente esquema.

coeficientes del DIVIDENDO

raíz

del

DIVISOR

coeficientes del COCIENTE RESTO

Primer paso para aplicar elesquema de Ruffini.

2 0 - 6 5

3

2

Pasos siguientes para aplicar elesquema de Ruffini.

2 0 - 6 5

3 6 1 8 3 6

2 6 1 2 4 1

NOTA

Cuando dos polinomios son divisibles, el resto de la división

entre ellos da cero.

Como el cociente de Ruffini es de un grado menor que el

dividendo, es común decir que se usa Ruffini «para bajar

de grado» al dividendo.

En este caso, el dividendo es idéntico al divisor por el

cociente.P(x) ≡ (x – α Q(x)


18/60


EJEMPLO: Hallar cociente y resto de dividir P(x) ≡ 3x3 – 8x2 – 5x + 6 entre (3x – 2) aplicando el esquema de Ruffini.

3 8 5 6

22 4 6

3

3 6 9 0

− −

− −

− −

2cociente de Ruffini 3x 6x 9

a 3

− −≡

Cociente correcto ≡ x2 – 2x – 3

NOTA

Para efectuar la división:x x

x

P( ) a bR Q( )

+

utilizando el esquema de Ruffini, hay que tener en cuenta

que:

1) el resto de Ruffini es el verdadero resto.

2) el cociente de Ruffini debe dividirse entre a para obtener el correcto.

6 – ALGUNAS IDEAS PARA HALLAR UN POLINOMIO

6.1. USANDO RUFFINI

Cada vez que se parta del polinomio y se deban hallar algunas letras paradeterminarlo, es muy conveniente usar Ruffini.

i) En forma de un Ruffini para cada dato.ii) Cuando es divisible, conviene aplicar el esquema de Ruffini en forma sucesiva.

Resto = 0

RazonamientoCon a $ 0

P(x) ≡ (ax + b)Q(x) + R

P(x) ≡ a ( )x ba⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Q(x) + R

P(x) ≡ ( )x + ba (aQ(x)) + R

Cociente de Ruffini:( aQ(x))

El cociente que se obtieneal hacer Ruffini, estámultiplicado por a.


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GUSTAVO A. DUFFOUR

218

Como resto = 0 4a + 2b + c + 8 = 0

4a + 2b + c = – 8

Como resto = 12a – b + c – 1 = 12

a – b + c = 13

Como resto = 4

9a + 3b + c + 27 = 4

9a + 3b + c = – 23

Este problema sepuede hacer aplicandoel teorema del restomediante el esquemade Ruffini o usando elvalor numérico.

En este caso, lasoperaciones necesariaspara aplicar el esquemade Ruffini son mássencillas.

EJEMPLO: Dado P(x) = x3 + ax2 + bx + c Hallar a, b y c sabiendo que:→ P(x) es divisible entre (x – 2)

→ que P(x) dividido (x – 3) da resto 4 → P(– 1) = 12

Para resolver el problema, o sea hallar el polinomio, lo que implica necesariamentehallar los valores de a, b, y c, se interpreta cada dato de la letra del problema.

El esquema de Ruffini es una herramienta muy importante y conviene usarlo siempreque sea posible.

Primer datoSi P(x) es divisible entre (x – 2), se efectúa la división aplicando el esquemade Ruffini y se iguala el resto a cero (teorema de Descartes).

1 a b c2 2 2a 4 4a 2b 8

1 a 2 2a b 4 4a 2b c 8

+ + +

+ + + + + +

Segundo datoSi P(x) dividido (x – 3) da resto 4, se efectúaRuffini y se iguala el resto a 4 (teorema del resto).

1 a b c

3 3 3a 9 9a 3b 27

1 a 3 3a b 9 9a 3b c 27

+ + +

+ + + + + +

Tercer dato Si P(– 1) = 12, se efectúa Ruffini y se iguala el resto a 12 (teorema del resto).

1 a b c

1 1 a 1 a b 1

1 a 1 a b 1 a b c 1

− − − + − −

− − + + − + −

Se resuelve el sistema:

4a 2b c 8

9a 3b c 23

a b c 13

+ + = −

+ + = −

− + =

Solución: a = – 2 b = – 5 c = 10

P(x) ≡ x3 – 2x2 – 5x + 10


20/60


Dado el polinomio P(x) = 2x3 + ax2 + (b + 1)x + 6

Considere el siguiente esquema de Ruffini

de dividir P(x) entre (x – α). 6

3 0

1) Halle a, b y α completando el esquema.2) Determine el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.


EJEMPLO: Hallar m y n para que P(x) ≡ x3 + mx + n sea divisible

entre D(x) ≡ x2 – 4x + 4

1 0 m n

2 2 4 2m 8

1 2 m 4

2 2 8

1 4

+

+ 2m +n+ 8 = 0

m+12

2m n 8

m 12

+ = −

= − Solución: m = – 12 n = 16 P(x) ≡ x3 – 12x + 16


los ejercicios 248 al 250, de la página 252,

y contestar las preguntas 11 y 12, de la página 251.

Se hallan las raíces del divisor aplicando lafórmula para la ecuación de segundo grado.

En este caso hay raíz doble: α = 2 β = 2. Seaplica el esquema de Ruffini en forma sucesivaexigiendo que cada resto sea cero.

Recuérdese que si al polinomio le falta untérmino, al hacer el esquema de Ruffini se pondrá

un cero en el lugar del coeficiente que falta.

= 0


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GUSTAVO A. DUFFOUR

220

Examen 5.º Humanístico

Febrero 1989 Liceo de Solymar

Dado: ≡ − − − −3 2m aP( ) 7 2 + 2 + 170m 2 m 5C Cx x x x

Calcular a y m sabiendo que P(x) dividido entre (x2 – 4)da resto (2x + 2).

Véase el resultado en la página 480.

6.2. EFECTUANDO LA DIVISIÓN

Cuando se parte del polinomio y éste no es divisible entre un divisor de segundogrado, o el divisor no tiene raíces, se debe hacer la división en forma tradicional.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 2x4 – mx3 + 2x2 – x + n se sabe que dividido entre

(x2 + 4) da resto (3x + 1). Hallar m y n.

El divisor (x2 + 4) no tiene raíces reales, por lo cual se debe hacer la división enforma tradicional. Esta se efectúa dividiendo el término de mayor exponente de P(x) entreel término de mayor exponente del divisor, y poniendo dicho resultado como el primertérmino del cociente. Luego se multiplica éste por cada uno de los términos del divisor y selo resta (se pasa con signo contrario y se suma) al dividendo, para obtener un nuevodividendo y repetir el procedimiento. La división continúa hasta que el resto sea de gradomenor que el divisor o el número cero.

x x x x x

x x x x

4 3 2 22 m 2 n 4

4 2 22 8 2 m 6

− + − + +

− − − −

–mx3 – 6x

2 – x + n

+mx3 + 4mx

– 6x2

+(4m – 1)x + n

+ 6x2 + 24 El resto (de un grado menor que el

x(4m 1) (24 n)

3 1

− + +

= =

divisor), debe ser idéntico al dado.

4m – 1 = 3 → m = 124 + n = 1 → n = –23

P(x) ≡ 2x4 – x3 + 2x2 – x – 23




22/60


6.3. PARTIENDO DE LA DIVISIÓN

En muchos casos en que no se da el polinomio, es conveniente partir de algunadivisión que esté en la letra del problema y completarla con un cociente o restoindeterminado. El polinomio final se encuentra como el divisor por el cociente más el resto.

EJEMPLO: Hallar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que:

• Dividido entre (x2 – x – 2) da un cociente Q(x) y un resto 5x – 4 • P(0) = – 12• Q(– 1) = – 7

x x x

x x

2P( ) 2

5 4 a b

− −

− +

Se expresa como: P(x) ≡ (x2 – x – 2)(ax + b) + 5x – 4

Y antes de hacer cuentas se aplican los otros datos del problema:

P(0) = (02 – 0 – 2)( a(0) + b) + 5(0) – 4 = – 12 ? – 2b – 4 = –12 b = 4

En el cociente se aplica: Q(–1) = a(– 1) + 4 = – 7 a = 11

Se plantea el polinomio: P(x) ≡ (x2 – x – 2)(11x + 4) + 5x – 4

Se efectúan cuentas: P(x) ≡ 11x3 –11x2 – 22x + 4x2 – 4x – 8 + 5x – 4

P(x) ≡ 11x3 – 7x2 – 21x – 12



Se plantea la división poniendo comocociente un polinomio de primer grado

Q(x) ≡ ax + b

Examen 5.º Científico Noviembre 1998, Scuola Italiana de Montevideo

Hallar dos polinomios f(x) y g(x) tales que:

f(x) = (x – α)2(x + β) α > 0, β > 0

(x + 4).f(x) = g(x) – (x2 – 9)

g(x) es divisible entre (x2 – 9)



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GUSTAVO A. DUFFOUR

222

EJEMPLO: i) Un polinomio P(x) dividido entre (x + 2) da resto 5 y divididoentre (x – 3) da resto 10.Hallar el resto de dividir P(x) entre (x + 2)(x – 3)

ii) Se sabe que el cociente de la división anterior es (2x2 + x) Hallar P(x)

Primera parteDatos que da la letra del ejercicio

x x

x

P( ) 2

5 Q'( )

+→ P( 2) = 5

x x

x

P( ) 3

10 Q"( )

−→ P(3) = 10

¿Qué pide el ejercicio? Un resto

x x x

x x

P( ) ( 2)( 3)

Q( )

+ −

+a b

P(x) ≡ (x + 2)(x – 3)Q(x) + ax + b

Se aplican los valores numéricos y se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas,que se resuelven.

P( 2) ( 2 2)( 2 3)Q( 2) a( 2) b 5

0

0

− = − + − − − + − + =

==

2a b 53a b 10− + =+ =

P(3) (3 2)(3 3)Q(3) a(3) b 10

0

0

= + − + + =

==

Segunda parte

x x x

x x x

P( ) ( 2)( 3)

27 2

+ −

+ +

P(x) ≡ (x + 2)(x – 3)(2x2 + x) + x + 7 P(x) ≡ 2x4 – x3 – 13x2 – 5x + 7



Primero se aplica el teorema del resto acada uno de los datos. Se obtienen valores

numéricos del polinomio P(x).

Solución: a = 1 b = 7

R(x) ≡ x + 7

Conociendo el cociente y el resto hallado en la

primera parte del ejercicio, el polinomio se calcula comoel divisor por el cociente más el resto.

Se plantea la división pedida, poniendo por

cociente a Q(x) y un resto de primer grado, concoeficientes indeterminados.

Se expresa la división como:

– 2a + b = 5

3a + b = 10


24/60


α es raíz de P(x) ⇔ P(α) = 0

6.4. SISTEMA DE ECUACIONES CON POLINOMIOS

Puede suceder que se deban hallar dos polinomios resolviendo un sistema de dosecuaciones con dos incógnitas, en donde las incógnitas son los polinomios.

EJEMPLO: Hallar los polinomios P(x) y Q(x) sabiendo que:

P(x) + Q(x) ≡ x4 – x3 – 29x2+ 60x – 30 P(x) – 2Q(x) ≡ – 2x4+ 23x3 – 71x2+ 24x + 42

P(x) + Q(x)≡ x4 – x3 – 29x2 + 60x – 30

– P(x) + 2Q(x) ≡ 2x4 – 23x3+71x2 – 24x – 42

3Q(x) ≡ 3x4 – 24x3 + 42x2 + 36x – 72 → Se divide todo entre 3

Q(x) ≡ x4 – 8x3 + 14x2 + 12x – 24

2P(x) + 2Q(x) ≡ 2x4 – 2x3 – 58x2 + 120x – 60

P(x) – 2Q(x) ≡ –2x4 + 23x3 – 71x2 + 24x + 42

3P(x) ≡ 21x3 – 129x2 +144x – 18 → Se divide todo entre 3

P(x) ≡ 7x3 – 43x2 + 48x – 6



7 – RAÍCES DE UN POLINOMIO

7.1. DEFINICIÓN

Se llama raíz de un polinomio a

aquellos valores de la variable x para loscuales el valor numérico del polinomio valecero.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ x3 – 5x2 – 3x +18Investigar si x = 2 o x = – 3 son raíces de P(x).

Basta sustituir la x en el polinomio por 2 y por – 3 Si da cero, es raíz; si no da cero, NO es raíz.

P(2) = (2)3

– 5(2)2

– 3(2) + 18 = 0 → Entonces x = 2 es raíz de P(x).

P(– 3) = (– 3)3

– 5(– 3)2

– 3(– 3) +18 = – 45 → Entonces x = – 3 NO es raíz de P(x).

Al sumar la primera, más la segundamultiplicada por – 1, se elimina P(x) ydel resultado se despeja Q(x).

Al sumar la primera multiplicada pordos, más la segunda, se elimina Q(x) ydel resultado se despeja P(x).


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GUSTAVO A. DUFFOUR

224

Por el teorema de Descartes se cumple que si P(α) = 0 el polinomio es divisible entre(x – α). Por lo cual, las siguientes afirmaciones significan lo mismo.

P(α) = 0 P(x) es divisible entre (x – α)

α es raíz de P(x) (x – α) / P(x)

RESOLVER P(x) = 0SIGNIFICA HALLAR TODAS SUS RAÍCES

Antes de continuar, es conveniente

contestar la pregunta 13, de la página 251.

7.2. ALGUNAS IDEAS PARA HALLAR RAÍCES

NOTA

En la mayoría de los casos se tratará de deducir una o

varias raíces leyendo atentamente la letra del problema.

Luego se aplicará el esquema de Ruffini tantas veces como

sea necesario hasta llegar a un cociente de segundo grado,

donde es posible investigar si tiene más raíces, aplicando

la fórmula:

Primer caso

Una de las raíces puede estar en la primera parte de la letra de los problemas.Si esta dice:

? α es raíz de P(x)? P(x) es divisible entre (x – α)? P(α) = 0? (x – α) / P(x)

Estas cuatro afirmaciones significan lo mismo: queα es raíz de P(x).

Para ax2 + bx + c = 0

x−

2b ± b 4ac=

2a−


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Segundo caso RAÍCES EVIDENTES

Caso A El estudiante debe reconocer cuándo un polinomio tiene raíz 1. La suma de los

coeficientes vale cero.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ – x3 + 2x2 + 11x – 12 hallar las raíces de P(x).

Al sumar los coeficientes del polinomio

– 1 por el término en x3

+ 2 por el término en x2

+11 por el término en x

– 12 por el término independiente.0 ? Entonces el polinomio tiene raíz uno.

1 2 11 12

1 1 1 12

1 1 12 0

− −

−

−

Raíces de P(x) = { – 3, 1, 4}

Caso B

El estudiante debe reconocer cuándo un polinomio tiene raíz 0. El polinomio no tienetérmino independiente. Se saca x de factor común.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ x3 + 3x2 – 10x hallar las raíces de P(x).

Se saca x de factor común y se aplica la propiedad hankeliana (si un producto de dosnúmeros reales vale cero, uno de los números tiene que ser cero).

x(x2

+ 3x – 10) = 0 por: x = 0 ? raíz: ? α = 0

por: x2

+ 3x – 10 = 0 raíces: ? β = 2 γ = – 5

Raíces de P(x) = { – 5, 0, 2}

Una raíz es: ? α = 1

Las otras dos raíces, si las tiene, surgen de resolver el cocienteigual a cero:

– x2+ x + 12 = 0 raíces: ? β = – 3 γ = 4


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GUSTAVO A. DUFFOUR

226

Caso CTambién se considera raíz evidente a – 1.La suma de los coeficientes de los términos de exponente par y la suma de los

coeficientes de los términos de exponente impar, dan el mismo resultado.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ x3 + x2 + 4x + 4 hallar las raíces de P(x).

+ 1 por el término en x3 + 1 por el término en x

2

+ 4 por el término en x + 4 por el término independiente+ 5 + 5

1 1 4 4

1 1 0 41 0 4 0− − −

Raíces de P(x) = { – 1}

Tercer casoAplicación de relación entre raíces y coeficientes.Se da al estudiante un dato para aplicar relaciones entre raíces y coeficiente.

Véase el ejemplo de la página 236.

Cuarto casoRaíces comunes a dos polinomios.Se da al estudiante un dato para aplicar raíces comunes a dos polinomios.

Aplicar métodos de raíces comunes. Véase la página 239.

Quinto casoRaíces independientes del parámetro.Se le dice al estudiante que el polinomio tiene raíces independientes del parámetro.Véase el ejemplo de la página 242.

Sexto casoCasos particulares de ecuaciones.El polinomio que debe resolver es: simétrico, hemisimétrico, bicúbico, bicuadrado etc.Véase el capítulo 11.

Séptimo casoAplicación del teorema de la raíz racional. Véase el teorema de la página 243.

La raíz evidente es:α = – 1

Las otras dos, si las tiene, surgen de resolver el cocienteigual a cero.

x2+ 4 = 0 raíces: ? no tiene


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Cociente Q(x) ≡ 2x – 1

Resto R x ≡ 5x+ 4

NOTALos ejemplos mostrados son los casos más comunes, en

este curso, para hallar raíces a un polinomio.

Aplican los diferentes temas a estudiar.

Por supuesto, no son los únicos.

Por ejemplo, en el próximo curso se aproximan raíces

aplicando el teorema de Bolzano.

Véase el texto «Matemática de sexto»

de este mismo autor.

También el ingenio, basado en el conocimiento, es muy

importante para hallar todas las raíces de una expresión.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 6x3 + x2 – 13x + 121) Hallar cociente Q(x) y resto R(x) de

dividir P(x) entre (3x2 + 2x – 8). 2) Resolver P(x) – R(x) = 0.

1) Hacer la división:

x x x x x

x x x

3 2 26 13 12 3 2 8

3 26 4 16

+ − + + −

− − + x

x x

x x

2 1

23 3 12

23 2 8

−

− + +

+ + −

x5 4+ +

2) Para resolver P(x) – R(x) = 0, se debe tomar en cuentaque, en la división anterior, se cumple:

P(x) ≡ (3x2+ 2x – 8)(2x – 1) + R(x)

De donde se puede despejar: P(x) – R(x) = (3x2+ 2x – 8)(2x – 1) Las raíces de (P(x) – R(x)) son:

las raíces de (3x2

+ 2x – 8) =

{ }432,−

y la raíz de (2x – 1) = { }12

Raíces de P(x) – R(x) = { }1 42 32, ,−


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GUSTAVO A. DUFFOUR

228

NOTA

¿Tiene raíces el polinomio nulo? ¿Cuántas y por qué?

El polinomio nulo tiene infinitas raíces, pues dado que

todos sus coeficientes son cero, cualquier número por

cero da cero.

Un polinomio de grado cero ¿tiene raíces?

No, puesto que ningún valor logra anularlo.

8 – TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Un polinomio de grado efectivo n, que admite n raícesdistintas (

α

i

con i = 1 a n), se puede escribir como el

producto del coeficiente del término de mayor exponente, por

n factores de la forma (x – αi

) con: i = 1 a n n∈*

Hipótesis: P(x) ≡ anxn

+ an – 1

xn–1

+... + a1 x + a

0 a

n ≠ 0

tiene n raíces distintas: α1 , α

2 , α

3 ,... α

n

Tesis: P(x) = an

(x – α1

).(x – α2).(x – α

3)... (x – α

n)

Siα1 es raíz de P(x), significa, por el teorema de Descartes, que P(x) es divisible

entre (x – α1). Ello se plantea como: ? P(x) ≡ (x – α1)Q’(x) 1)

Sean A(x) y B(x) dos polinomios de coeficientes «invertidos».

A(x) ≡ anxn

+ an–1xn–1

+... + a1x + a0 an ≠ 0

B(x) ≡ a0xn

+ a1xn–1

+... + an–1x + an a0 ≠ 0

¿Cuál es la relación entre las raíces de A(x) y B(x)?Demuéstrela.


Grado efectivo nsignifica a

n $ 0


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Siα2 es raíz de P(x), significa, por definición de raíz, que P(α2) = 0. Se sustituye

en el polinomio (1) toda x por α2 y se iguala a cero.

P(α2) = (α2 – α1).Q’(α2) = 0

En el producto (α2 – α1)Q’(α2) = 0, uno de los factores debe valer cero. Pero por ser

raíces diferentes, (α2 – α1) ≠ 0. Entonces Q’(α2) = 0, lo cual significa, por el teorema

de Descartes, que Q’(x) es divisible entre (x – α2). Q’(x) ≡ (x – α2).Q’’(x)

Al sustituir en (1), se obtiene una nueva expresión para P(x).

P(x) ≡ (x – α1

) (x – α2

).Q’’(x) (2)

Siα3 es raíz de P(x), significa, por definición de raíz, que P(α3) = 0. Se sustituye

en el polinomio (2) toda x por α3 y se iguala a cero.

P(α3

) = (α3

– α1

)(α3

– α2

)Q’’(α3

) = 0

En el producto: (α3 – α1)(α3 – α2)Q’’(α3) = 0, uno de los factores debe valer cero.

Pero (α3 – α1) ≠ 0 (α3 – α2) ≠ 0 por ser raíces diferentes. Entonces Q’’(α3) = 0, lo cual

significa, por el teorema de Descartes, que Q’’(x) es divisible entre (x – α3).

Q’’(x) ≡ (x – α3

).Q’’’(x)

Al sustituir en (2), se obtiene una nueva expresión para P(x).

P(x) ≡ (x – α1

)(x – α2

)(x – α3

)Q’’’(x) (3)

Y así sucesivamente, al repetir el mismo razonamiento hasta la penúltima raíz, seobtiene la expresión siguiente:

P(x) ≡ (x – α1)(x – α

2)(x – α

3)... (x – α

n – 1)Q

n – 1(x) (n – 1)

Para la última raíz se repite el razonamiento: si αn es raíz, entonces P(αn) = 0.

Al sustituir toda x por αn en el polinomio (n – 1), se llega a:

P(αn ) = (α

n – α

1)(α

n – α

2)(α

n – α

3)... (α

n – α

n – 1)Q

n – 1(α

n) = 0

Si el producto anterior vale cero, uno de los factores debe valer cero.

Pero (αn – α1) ≠ 0, (αn – α2) ≠ 0, (αn – α3) ≠ 0,... (αn – αn – 1) ≠ 0, por ser raíces diferentes.

Entonces Qn – 1(αn) = 0, lo cual significa, por el teorema de Descartes, que Qn – 1(x) es

divisible entre (x – αn). De este último cociente debe tenerse en cuenta que:

Qn – 1(x) es un polinomio de primer grado, pues ya hay (n – 1) factores, de la forma

(x – αi

) (i∈* i = 1 a n), en la descomposición de P(x).

El último cociente de las sucesivas divisiones de P(x) entre los (x – αi

) es an . Esto

se puede ver mediante el siguiente esquema de Ruffini.


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GUSTAVO A. DUFFOUR

230

a .......................... an 0

1

a ........................... 0n

2

a ................................n

α

α

a ..................................n

n

a último cocienten

α Entonces Qn – 1(x) ≡ (x – αn)a

n

Al sustituir en el polinomio (n – 1), se obtiene:

P(x) ≡ an(x – α1)( x – α2)( x – α3)... (x – αn) o sea, la tesis.

NOTA

La condición de raíces distintas es necesaria para la

demostración del teorema; sin embargo, el teorema

también es válido para raíces iguales.

NOTA

El teorema de descomposición factorial es de suma

importancia, no solo para la demostración de otros

teoremas, sino por su significado.

Los factores de la forma (x – α) son los divisores primosdel polinomio.

El estudiante debe comprender que la descomposición

factorial de un polinomio no es más que otra manera de

expresar al polinomio, pues si se efectúan las cuentas, seobtiene la forma reducida de este.

Aunque: según la definición dada en 1.3, no se debería

llamar polinomio a la descomposición factorial.

Antes de continuar, es conveniente contestar

la pregunta 14, de la página 251.


32/60


f – 3 = 0f 5 = 0

f(4) = 21

f 0 = – 30

f 2 = 0

Raíces de la función,(los valores de x, que

hacen cero a lafunción).

= { – 3, 2, 5}

EJEMPLO: Escribir la descomposición factorial de: P(x) ≡ – 2x2 + 16x – 14

Se hallan las raíces aplicando la fórmula para una ecuación de segundo grado.

x

2 116 16 4( 2)( 14)

72( 2)

α =− ± − − −=

β =− P(x) ≡ – 2(x – 1)(x – 7)

El estudiante debe hacer las cuentas y comprobar que se obtiene de nuevo elpolinomio, en su forma reducida.

EJEMPLO: Hallar un polinomio sabiendo que tiene raíces:α = – 2, β = 1, γ = 4 y que P(0) = – 16

Se plantea la descomposición factorial de un polinomio de tercer grado de raíces

α = –2, β = 1, γ = 4 P(x) ≡ a(x + 2)(x – 1)(x – 4)

Luego se aplica que P(0) = – 16 P(0) = a(0 + 2)(0 – 1)(0 – 4) = – 16 8a = – 16 a = –2

P(x) ≡ – 2(x + 2)(x – 1)(x – 4) Se hacen las cuentas P(x) ≡ – 2x3 + 6x2 + 12x – 16

9 – GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Cuando se está trabajando con gráficas de funciones polinómicas, se acostumbra ahablar del valor funcional, que se obtiene, generalmente, interpretando el gráfico dado.




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GUSTAVO A. DUFFOUR

232

NOTA

Las raíces de una función polinómica (los ceros) son las

abscisas de los puntos de corte de la representación

gráfica de la función con el eje x.

Recuérdese que, en este curso, se está buscando la

función polinómica de menor grado posible.

Por lo tanto, si la representación gráfica de la función

corta al eje x, la raíz está una sola vez. Si toca al eje x

sin cortarlo, la raíz se debe considerar doble.

Por cada raíz α doble, corresponde un factor (x – α)2 en la descomposición factorial de f(x).

EJEMPLO:

Determinar la expresión f(x) de unafunción polinómica de tercer grado,cuya representación gráfica es la dada.

Al observar la representación gráfica y sabiendo que f es de tercer grado, se puededeterminar que las raíces de f son: x = – 3 (dos veces) y x = 1 (una vez).

Al aplicar el teorema de descomposición factorial se obtiene que:f(x) ≡ a(x + 3)2 (x – 1)

Al aplicar el otro dato, que se deduce también de la representación gráfica dada, deque f(0) = 36, se puede despejar a.

f(0) = a(0 + 3)2 (0 – 1) = 36 – 9a = 36 a = – 4

Se sustituye y se hacen cuentas para hallar f(x).

f(x) ≡ – 4(x + 3)2 (x – 1) f(x) ≡ – 4x3 – 20x2 – 12x + 36

f(x)

x 0


34/60


2 3 5 – 3

– 8

6

f(x)

x

NOTA

El signo del coeficiente principal de la función polinómica

(coeficiente del término de mayor exponente), es igual al

signo de los valores de la función en + 8 (en valores muygrandes de x).

La representación gráfica de una función polinómica corta

al eje vertical en el punto de coordenadas ( 0, f(0)) .

Como f(0) = a0, el término independiente de una función

polinómica determina el corte con el ejey

.

Se debe tener en cuenta que cuando una funciónpolinómica carece de término independiente, o sea a0= 0,

la representación gráfica de la función pasa por el origen

de coordenadas. La función tiene un cero en x = 0.

Observando la representación gráfica de una función polinómica f,sin determinar f(x), completar:

1) El menor grado posible de f es:

2) El término independiente de f es:

3) El resto de dividir f entre (x – 3) es:

4) f es divisible entre:

5) La imagen de – 3 por f es:

6) Las preimágenes de cero son:


0


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GUSTAVO A. DUFFOUR

234

β

EJEMPLO:

Determinar la expresión h(x) de unafunción polinómica de tercer grado cuyarepresentación gráfica es la dada.

Al observar la representación gráfica se puede determinar que las raíces de h son:x = –1 (dos veces) y x = β (una vez).

Partiendo del teorema de descomposición factorial, h(x) se puede expresar:

h(x) ≡ a(x + 1)2(x – β)

Luego, al aplicar los otros datos que se deducen también de la representación gráficadada, de que h(0) = – 9 y h(2) = – 27, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dosincógnitas: a y β.

Se aplica que h(0) = – 9 → h(0) = a(0 + 1)2(0 – β) = – 9 → – aβ = – 9 → aβ = 9

Se aplica que h(2) = – 27→ h(2) = a(2 +1)2(2 – β) = – 27→ a(9)(2 – β) = – 27→ a(2 – β) = – 3

Sistema a resolver:a 9

a(2 ) 3

β =

−β = −

Para resolver el sistema se emplea el método de sustitución, despejando siempre a de una ecuación y sustituyendo en la otra.

De la primera:9

a =β

, se sustituye en la segunda9

(2 ) 3−β = −β

, se hacen cuentas y se

despeja β: 9(2 – β) = – 3β 18 – 9β = – 3β

β = 3 a = 3

h(x) ≡ 3(x + 1)2(x – 3) h(x) ≡ 3x3 – 3x2 – 15x – 9


los ejercicios 273 al 281 de la página 254.

0


36/60


10 – RELACIONES ENTRE RAÍCES Y COEFICIENTES

10.1. POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Si P(x) es un polinomio de segundo grado de la forma: P(x) ≡ ax2+ bx + c, a ≠ 0 con raíces reales

α

yβ

, se cumple según el teorema de descomposición factorial, lasiguiente identidad:

ax2

+ bx + c ≡ a(x – α)(x – β)

Se hacen las cuentas y se saca – ax de factor común, en los términos de primergrado. Se obtiene una expresión que debe ser idéntica al polinomio reducido. Por lo cual,los coeficientes de los términos de igual exponente son iguales en valor y signo (véase ladefinición de identidad de polinomios, en página 205).

ax2 + bx + c ≡ ax2 – aαx – aβx + aαβ

ax2

+ bx + c ≡ ax2 – a(α + β)x + aαβ

En los coeficientes de x2

? a = a

En los coeficientes de x ? – a(α + β) = b ? suma de las raíces: α + β =b

a−

En los términos independientes ? aαβ = c ? producto de las raíces: α.β = ca

De esta manera se obtienen las relaciones entre raíces y coeficientes para unpolinomio de segundo grado.

10.2. POLINOMIO DE TERCER GRADO

Si P(x) es un polinomio de tercer grado de la forma: P(x) ≡ ax3 + bx2 + cx + d, a 0 con raíces reales α, β y γ, se cumple según el teorema de descomposición factorial, lasiguiente identidad:

ax3 + bx2 + cx + d ≡ a(x – α)(x – β)(x – γ)

Se hacen las cuentas, se sacan factores comunes para obtener un polinomio reducido

en x y se igualan los coeficientes de igual exponente en x (véase la definición depolinomios idénticos, en página 205).

ax3

+ bx2

+ cx + d ≡ ax3 – aαx2 – aβx2 – aγx2 + aαβx + aαγx + aβγx – aαβγ

ax3

+ bx2

+ cx + d ≡ ax3 – a(α + β + γ)x2 + a(αβ + αγ + βγ)x – aαβγ


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GUSTAVO A. DUFFOUR

236

En los coeficientes de x3

? a = a

En los coeficientes de x2 ? – a(α + β + γ) = b

En los coeficientes de x ? a(αβ + αγ + βγ) = c

En los términos independientes ? – aαβγ = d

De esta manera se obtienen las relaciones entre raíces y coeficientes para unpolinomio de tercer grado.

VÉASE EL CUADRO COMPLETO EN LA CONTRATAPA DEL LIBRO

10.3. POLINOMIO DE ENÉSIMO GRADO

Si P(x) es un polinomio de enésimo grado de la forma:

P(x) ≡ an xn + an – 1 x

n – 1 +... + a1x + a0 an 0 de raíces reales α1, α2, α3,... αn

Se cumple, aplicando el mismo razonamiento anterior:

Para la suma de raíces: α1

+ α2

+ α3 +.... + α

n=

an 1an

−−

Para el producto de raíces: α1

. α2 . α

3. ... α

n =

an 0( 1) .an

−

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 16x3 + 76x2 – 225 hallar todas sus raícessabiendo que la suma de dos de ellas es igual a – 1.

En estos problemas se trata de combinar el dato que nos dan, con el dato quedebemos saber de las relaciones entre coeficientes y raíces, con el fin de obtener unaraíz.

El dato que se da es: α + β = – 1

La relación entre raíces y coeficientes para la suma de las raíces es: α + β + γ = b

a−

y para el polinomio dado: α + β + γ = 76

16−

Se sustituye el dato dado α + β = – 1 – 1 + γ = 76

16−

Al despejar se obtiene que: γ = 15

4−

Se divide el polinomio dado, aplicando el esquema de Ruffini, para obtener un cociente desegundo grado. Este se resuelve igual a cero para obtener, si las hay, las otras dos raíces.

α + β + γ =b

a− suma

αβ + αγ + βγ = ca

α.β.γ =d

a− producto


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16 76 0 225

1560 60 225

4

16 16 60 0

−

− − −

−

Raíces de P(x) = { }15 5 34 2 2, ,− −



11 – RAÍCES COMUNES A DOS POLINOMIOS

11.1. INTRODUCCIÓN

Dentro del tema de divisibilidad de polinomios es posible plantear una serie deteoremas similares a los vistos en el tema de de divisibilidad numérica, sustituyendo laexpresión a/b ( a divide a b) por una similar, en donde se empleen dos polinomios:D(x)/P(x) ( D(x) divide a P(x)) .

Cuando D(x) es de primer grado y de la forma (x – α), se dirá que (x – α)/P(x), que(x – α) divide a P(x) o, lo que es lo mismo, que α es raíz de P(x).

Por lo tanto, una manera de plantear algunos teoremas de divisibilidad de polinomios

es usando la terminología de: α es raíz de un polinomio.Todos los teoremas siguientes se demuestran aplicando valor numérico y recordando

que, por definición de raíz: α es raíz de P(x) si y solo si P(α) = 0.

11.2. PRIMER TEOREMA DE RAÍCES COMUNES

Si α es raíz común a dos polinomios, es también raíz de la suma yde la resta de ambos polinomios.

Hipótesis: α es raíz común a A(x) y B(x) Tesis: α es raíz de A(x) + B(x)

Si α es raíz de A(x) se cumple que: A(α) = 0Si α es raíz de B(x) se cumple que: B(α) = 0

A(x) + B(x) A(α) + B(α) = 0

Haciendo la suma o resta de A(x) con B(x), se cumple para x = α que

A(α) +

B(α) = 0, lo cual significa que α es raíz de: A(x) +

B(x).

NOTA

El teorema, en su forma general, expresa:

Si α es raíz de A(x) y de B(x) α es raíz de toda combinación lineal de los polinomios.

O sea, α es raíz de: kA(x) + pB(x) k∈ p∈ k2 + p2 0

Cociente = 16x2

+ 16x – 60

de raíces: α = 5

2− β =

3

2


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GUSTAVO A. DUFFOUR

238

11.3. SEGUNDO TEOREMA DE RAÍCES COMUNES

Si α es raíz común a dos polinomios (no nulos), es también raíz

del resto de la división de los polinomios.

Hipótesis: α es raíz común a: A(x) y B(x) gr.B(x) ≤ gr.A(x)

Tesis: α es raíz de R(x), resto de dividir los polinomios.

Se dividen los polinomios.

x x

x x

A( ) B( )

R( ) Q( )

Luego se expresa como: A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)

Se halla el valor numérico, sustituyendo toda x por α y se aplica la hipótesis de queA(α) = 0 y B(α) = 0. Resulta que R(α) = 0, lo cual significa que α es raíz de R(x), resto dela división.

A( ) B( )Q( ) R( )

0 0

0

α = α α + α

= =

=

Resulta que R(α) = 0

NOTA

El recíproco del teorema anterior no se cumple.

En una división entera entre polinomios, las raíces del resto no tienen por qué ser raíces comunes entre divisor ydividendo.

En la teoría de la divisibilidad de polinomios, los polinomiosde segundo grado, ¿son primos o compuestos?

Analice los distintos casos en el conjunto de números reales.



40/60


1) Un divisor del polinomio

P(x) = 2x2 – 18 es:

i) 2x

ii) (x – 9)iii) (2x – 3)iv) (x + 3)v) ninguno de los anteriores.

2) Un divisor común entre los

polinomios A(x) ≡ 4x2 – 1 y

B(x) ≡ 8x3 – 1 es:

i) (x – 2)ii) (2x – 1)

iii) (2x + 1)

iv) (2x)v) ninguno de los anteriores.


11.4. EJERCICIOS CON RAÍCES COMUNES

PRIMER CASO

Se debe investigar si se pueden hallar las raíces de uno de los polinomios, en formaindependiente, para luego, en el segundo polinomio, averiguar aplicando el esquema deRuffini, cuál es la raíz común.

EJEMPLO: Dado A(x) ≡ – 4x3 – 2x2 + 10x – 4 B(x) ≡ 12x3 – 32x2 + 17x – 2 Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen una raízen común.

En este caso, si se observan con atención los polinomios, se puede saber que A(x) tieneraíz evidente 1, pues la suma de sus coeficientes vale cero. Por lo tanto, mediante el esquemade Ruffini se obtiene un cociente de segundo grado de donde hallar las demás raíces. También

se puede hacer como en el segundo o tercer caso (véanse páginas 240 y 241).

En el polinomio A(x)4 2 10 4

1 4 6 4

4 6 4 0

− − −

− −

− −

Raíces de A(x) ={ }122, , 1−

En el polinomio B(x)Se investiga, aplicando el esquema de

Ruffini, cuál de las raíces de A(x) es común con

B(x).

12 32 17 2

16 13 2

2

12 26 4 0

− −

−

−

Raíces de B(x) ={ }1 16 2, , 2

Cociente ≡ – 4x2 – 6x + 4

de raíces = { }122,−

Cociente ≡ 12x2 – 26x + 4

de raíces = { }16 , 2

Raíz común entre A(x) y B(x) ={ }12


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GUSTAVO A. DUFFOUR

240

SEGUNDO CASO

Si los polinomios son del mismo grado (tercer grado), conviene aplicar la formageneral del primer teorema: se suman los polinomios multiplicados por números

convenientes, de tal forma que se elimine el término de exponente tres. En dicha suma(polinomio de segundo grado) se encontrará la raíz común.

EJEMPLO: Dados A(x) ≡ 6x3+ 11x2 – 19x + 6 B(x) ≡ 3x3 – 11x2 – 24x + 20 Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen una raíz en común.

Se multiplica a A(x) por 1 y a B(x) por – 2, de forma que, al sumarlos, se elimine eltérmino de exponente tres. En dicha suma se encontrará la raíz común.

A(x) ≡ 6x3 + 11x2 – 19x + 6

– 2B(x) ≡ – 6x3+ 22x2 + 48x – 40

A(x) – 2B(x) ≡ 33x2

+ 29x – 34

Raíces de ( 33x2 + 29x – 34) = { }17 211 3,−

En el polinomio A(x)6 11 19 6

24 10 6

3

6 15 9 0

−

−

−

Raíces de A(x) ={ }1 22 33, ,−

En el polinomio B(x)3 11 24 20

22 6 20

3

3 9 30 0

− −

− −

− −

Raíces de B(x) ={ }232, , 5−

Raíz común entre A(x) y B(x) = { }23

Cociente ≡ 3x2 – 9x – 30de raíces = { – 2, 5}

Cociente ≡ 6x2 + 15x – 9

de raíces = { }123,−

Responder « verdadero » o

« falso », y justificar la

respuesta.

1) Si α y β son raíces de unpolinomio P, entonces (α + β)también es raíz de P.

2) Si α y β son raíces de unpolinomio P, entonces αβ esraíz de P.

3) Si α es raíz de los polinomiosP y Q, entonces α es raíz de(P – Q).

4) Si α es raíz de los polinomiosP y Q, entonces α es raíz delcociente de dividir P entre Q.

5) Si un polinomio tiene raíz α,

de multiplicidad mayor que 2,el polinomio es divisible entre

(x – α)2.

6) Una raíz de

P(x) ≡ (3x – 6)7+ (– x + 2)(x + 1)es x = 2.



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TERCER CASOSi los polinomios que tienen raíces comunes son de diferente grado, se aplica el segundo

teorema: se divide el de mayor grado entre el de menor grado y las raíces del resto (generalmentelas dos), son las raíces comunes, (también se puede aplicar si son de igual grado).

EJEMPLO: Dados A(x) ≡ 6x4 + 13x3 – 32x2 – 45x + 18 B(x) ≡ 3x3 – x2 – 12x + 4 Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen raíces comunes.

x x x x x x x

x x x x x

4 3 2 3 26 13 32 45 18 3 12 4

4 3 26 2 24 8 2 5

+ − − + − − +

− + + − +

15x3 – 8x

2 – 53x + 18

–15x3 + 5x

2 + 60x – 20

–3x2 + 7x – 2 Raíces de ( – 3x2 + 7x – 2) ={ }13 , 2

En el polinomio A(x)6 13 32 45 18

12 5 9 18

3

6 15 27 54 0

2 12 54 54

6 27 27 0

− −

− −

− −

Raíces de A(x) ={ }3 12 33, , , 2− −

En el polinomio B(x)3 1 12 4

11 0 4

3

3 0 12 0

2 6 12

3 6 0

− −

−

−

Raíces de B(x) ={ }132, , 2−

NOTA Con estos casos no se pretende mostrar todas las

posibilidades para hallar las raíces comunes entre dos

polinomios, sino las más comunes usadas en este curso.


los ejercicios 296 y 297, de la página 258,

y contestar las preguntas 15 a 18, de la página 251.

Cociente = 3x + 6

de raíz = { – 2}

Raíces comunes entre A(x) y B(x) = { }13 , 2

Cociente = 6x2 + 27x + 27

de raíces = { }323,− −


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GUSTAVO A. DUFFOUR

242

12 – RAÍZ INDEPENDIENTE DEL PARÁMETRO (RIP)

Sea un polinomio en la variable x, cuyos coeficientes dependen de un parámetro

me

. Por ejemplo:

Pm

(x) = mx3 + (m2 + 1)x2 + (2m2 – 7m – 4)x + m2 – 6m – 5

Para estudiar si existe una raíz independiente del parámetro m, primero se debereordenar el polinomio en el parámetro m, considerando a m como incógnita y cuyoscoeficientes sean polinomios en x.

Términos con m2 Términos con m Términos sin m

m2

x2

mx3

x2

2m2

x – 7mx – 4x

m2 – 6m – 5

Pm

(x) = (x2 + 2x + 1)m2 + (x3 – 7x – 6)m + (x2 – 4x – 5)

Que Pm(x) reordenado en potencias decrecientes de m y con coeficientes

dependientes de x, tenga una o varias raíces independientes del parámetro m, significaque para ese valor de x y para cualquier valor de m, debe tener un valor numérico igual acero.

Por lo tanto, debe ser un polinomio nulo, o sea que todos sus coeficientes deben seriguales a cero.

x2

+ 2x + 1 = 0 → Se resuelve: raíces ={ – 1, – 1}

x3 – 7x – 6 = 0 → Se resuelve: raíces ={ – 1, 3, – 2}x2

– 4x – 5 = 0 → Se resuelve: raíces ={ – 1, 5}

Por lo cual, aquellos valores de x que anulen simultáneamente a estas tresecuaciones serán los valores de x que anularán el polinomio propuesto, cualquiera sea elvalor del parámetro m.

Raíz independiente del parámetro = { – 1}

En la mayoría de los problemas en que se pide hallar la raíz independiente delparámetro, es conveniente hacer la división por el esquema de Ruffini, no solo paraproseguir con la siguiente parte del problema, sino para verificar que la RIP sea correcta.

2 2 2m m 1 2m 7m 4 m 6m 5

2 21 m m m 1 m 6m 5

2 2m m m 1 m 6m 5 0

+ − − − −

− − − + − − + +

− + − −

Cociente: Qm

(x) = mx2 + (m2 – m + 1)x + (m2 – 6m – 5)



Hallar RIP es hallarla o las solucionescomunes de estasecuaciones.


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p∈

q∈

*

En los númerosenteros,

p y q son primosentre sí

si y solo siMCD(p,q) = { – 1,1}

13 – TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONALSi un número racional

p

q es raíz de un polinomio no

nulo, de coeficientes enteros, y siendo p y q primosentre sí, se cumple que: el coeficiente del término de

mayor exponente es múltiplo de q y el términoindependiente es múltiplo de p.

Hipótesis: Dado A(x) = an

xn + a

n–1 x

n–1 +... + a

1 x + a

0 con a

n $ 0

p

q es raíz de A(x) p y q son números primos entre sí.

Tesis: a0

= pi

(a0 es múltiplo de p) a

n = q

i (a

n es múltiplo de q)

Quep

q sea raíz de A(x) significa que al sustituir la x por el número

p

q se obtiene

una igualdad a cero: Ap

q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

Ap

q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= an

np

q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ an – 1

n 1

p

q

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+... + a1

p

q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ a0 = 0

La potencia de una fracción es igual al cociente de las potencias del numerador y deldenominador.

n n 1p p p

a a ... a a 0n n 1 1 0n n 1 qq q

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + =⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Examen 5.º Científico

Febrero 1987, Liceo de Solymar

Dado Pm(x) = 2x4+ (m – 10)x3 – (7m + 20)x2+ 4(m – 10)x – 28(m + 4) con me

1) Verificar que Pm(x) tiene dos raíces imaginarias puras,

independientes de m, y calcularlas.

2) Calcular otra raíz entera, independiente de m.

3) Sabiendo, además, que si se divide Pm(x) entre (x2 – 4) el resto es

(– 72x – 216) calcular m.

4) Para m hallado, estudiar signo de P(x) t xe



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GUSTAVO A. DUFFOUR

244

Se multiplica la igualdad por qn

Se toman en cuenta los términos que son múltiplos de p.

n n 1 n 1 na .p a .p .q ... a .p.q a .q 0n n 1 1 0

p pp

p

− −+ + + + =− i ii

i

pi

+ a0

qn = 0 ? p

i= – a

0qn

o lo que es lo mismo pi

= a0

qn

Como por hipótesis p y q son primos entre sí, también lo son p y qn

. En estascondiciones es aplicable el teorema de Euclides, del capítulo de divisibilidad numérica. Si elproducto de dos números es múltiplo de p y uno de ellos es primo con p, entonces el otroes múltiplo de p. Conclusión:

a0 = pi

Partiendo nuevamente de la ecuación que resultó de hacer común denominador, perotomando en cuenta los términos que son múltiplos de q, resulta:

n n 1 n 1 na .p a .p .q ... a .p.q a .q 0n n 1 1 0

q qq

q

− −+ + + + =−

i ii

i

anpn

+ qi

= 0 ? qi

= – anpn

o lo que es lo mismo, qi

= anpn

Como por hipótesis p y q son primos entre sí, también lo son pn y q. En estascondiciones es aplicable el teorema de Euclides, del capítulo de divisibilidad numérica. Si elproducto de dos números es múltiplo de q y uno de ellos es primo con q, entonces el otroes múltiplo de q. En conclusión:

an =iq



Cada uno de los n primerostérminos es un múltiplo de p.Como la suma de varios múltiplosde p es otro múltiplo de p, secumple lo indicado.

Cada uno de los términosindicados es un múltiplo de q.Como la suma de variosmúltiplos de q es otro múltiplode q, se cumple lo indicado.


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XXXVI Olimpíada Matemática

Española 2000

Sean los polinomios:

P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 1

Q(x) = x4 + cx3 + bx2 + ax + 1

Hallar las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c(a distinto de c), para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes y resolveren ese caso las ecuaciones P(x) = 0 Q(x) = 0.


DESAFÍO OLÍMPICO

14 – TEOREMAFUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

Un polinomio de grado n efectivo no puedetener más de n raíces. n∈

Hipótesis: Dado P(x) = an

xn

+ an–1

xn–1

+... + a1

x + a0 con a

n $ 0

Sean: α1

, α2

, α3

,... αn

raíces distintas de P(x)

Tesis: P(x) no puede tener más de n raíces.

La demostración se efectúa por el absurdo, suponiendo lo contrario de lo que sequiere demostrar. O sea: ¿qué pasaría si tuviese más de n raíces?

Por el teorema de descomposición factorial, con n raíces el polinomio se puedeexpresar como:

P(x) = an

(x – α1

)(x – α2

)(x – α3

)... (x – αn

)

Suponiendo que αn + 1 es raíz de P(x), debería ser: P(αn + 1) = 0

P(αn + 1

) = an

(αn + 1

– α1

)(αn + 1

– α2

)(αn + 1

– α3)... (α

n + 1 – α

n ) $ 0

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

NO puede valer cero, pues todos los factores son distintos de cero, por ser la resta deraíces diferentes. El primer coeficiente tampoco vale cero, por hipótesis.

Grado efectivo nsignifica a

n $ 0


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GUSTAVO A. DUFFOUR

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15 – TEOREMA PREVIO AL DE IDENTIDAD DE POLINOMIOS

Si un polinomio de grado aparente n tiene más de n raíces, es

idénticamente nulo.

Hipótesis: Dado P(x) = an

xn + a

n–1 x

n – 1 +... + a

1 x + a

0

Sean: α1

, α2

, α3

,... αn

, αn+1

raíces distintas de P(x)

Tesis: P(x) = 0 ( P(x) es un polinomio idénticamente nulo) .

NOTAEs necesario notar que existe una diferencia fundamental

con el teorema anterior (punto 14). Aquel teorema exigía,

en la hipótesis, que el polinomio fuera de grado n efectivo, mientras que este teorema no lo hace.

Por el teorema de descomposición factorial, con las n raíces distintas el polinomio sepuede expresar como:

P(x) = an

(x – α1

)(x – α2

)(x – α3

)... (x – αn)

Si por hipótesisαn + 1 es raíz de P(x), deberá cumplirse: P(αn + 1) = 0

P(αn + 1

) = an

(αn + 1

– α1)(α

n + 1 – α

2)(α

n + 1 – α

3)... (α

n + 1 – α

n) = 0

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Para que este producto valga cero, uno de los factores debe ser cero. Los factoresque son resta de raíces diferentes no valen cero. De modo que el único que puede valer ceroes: an = 0. Entonces, el polinomio no es de grado n, sino que es de grado n – 1.

P(x) = an – 1

xn – 1

+... + a1

x + a0

Por el teorema de descomposición factorial, con las n – 1 raíces el polinomio sepuede expresar como:

P(x) = an – 1

(x – α1

)(x – α2

)(x – α3

)... (x – αn – 1

)

Si por hipótesisαn es raíz de P(x), deberá cumplirse: P(αn) = 0

P(αn )= a

n – 1(α

n – α

1)(α

n – α

2)(α

n – α

3)... (α

n – α

n – 1 ) = 0

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Para que este producto valga cero, uno de los factores debe ser cero. Los factoresque son resta de raíces diferentes, no valen cero. De modo que el único que puede valercero es: an – 1 = 0. Entonces, el polinomio no es de grado n – 1, sino que será de grado

n– 2.De esta manera es posible seguir, sucesivamente, demostrando que todos los

coeficientes valen cero, por lo cual el polinomio es un polinomio nulo.


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16 – TEOREMA DE IDENTIDAD DE POLINOMIOS

Dos polinomios A(x) y B(x) de grados efectivos n y m quetoman el mismo valor numérico para un número de valores de la

variable superior al mayor de los grados, son idénticos.

Hipótesis: Dados A(x) = an xn + an – 1 xn – 1 +... + a

1 x + a

0 a

n $ 0

B(x) = bm

xm

+ bm – 1

xm – 1

+... + b1

x + b0

bm

$ 0

para x = 1 ? A(1) = B(1) Toman el mismo valor numéricopara x = – 5 ? A(– 5) = B(– 5) para más de n valores de lapara x = 3 ? A(3) = B(3) variable, o para más de m valores

de la variable.para x = k ? A(k) = B(k)

Tesis: A(x) = B(x) (son idénticos)

La demostración se hace por el absurdo. Consiste en suponer que los grados puedenser distintos: m n, y llegar a contradicciones con la hipótesis.

En toda la demostración del teorema se trabaja con un polinomio D(x), que es laresta de A(x) menos B(x). Este será de grado n o m, según sea n o m el mayorgrado.

D(x) = A(x) – B(x) = an

xn

+ an – 1

xn – 1

+... + a1x + a

0 – ( b

m x

m +b

m– 1xm – 1

+... +b1x + b

0)

Examen 5.º Humanístico

Julio 1989, San Juan Bautista.

Dado P(x) = (a – 2)x3+ (b – 1)x2+ cx + d – 3

i) Hallar a, b, c y d, sabiendo que:?

ii) Hallar P(x) e indicar su grado.


– 3

2

1

– 2

7

0

– 1

2

P(x)


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GUSTAVO A. DUFFOUR

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SUPONGAMOS QUE: n > m El polinomio D(x), resta de A(x) y B(x), tendrá la forma:

D(x) = an

xn +... +(a

1 – b

1)x + (a

0 – b

0)

Y como por hipótesis existen más de n valores de x, para los cuales A(x) y B(x) toman el mismo valor numérico, el polinomio D(x) valdrá cero para más de n valores de x.

para x = 1 ? D(1) = A(1) – B(1) = 0 De acuerdo con el teorema 15,para x = – 5 ? D(– 5) = A(– 5) – B(– 5) = 0 un polinomio que se anulapara x = 3 ? D(3) = A(3) – B(3) = 0 para más de n valores de

la variable, es un polinomio

para x = k ? D(k) = A(k) – B(k) = 0 nulo. D(x) = 0

Que D(x) sea un polinomio nulo significa que todos sus coeficientes valen cero, entreellos el a

n, lo cual no puede ser, pues por hipótesis a

n 0. Por lo tanto, es absurdo

suponer que n > m.

SUPONGAMOS QUE: n


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an

– bm

= 0 ? an

= bm

an – 1 – bm – 1 = 0 ? an – 1 = bm – 1 a

n – 2 – b

m – 2 = 0 ? a

n – 2 = b

m – 2

a1

– b1 = 0 ? a

1 = b

1a

0 – b

0 = 0 ?

Dufor: POLINOMIOS -5to grado

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