Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1 Elektromagnetische...
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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /
Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
4th Lecture / 4. Vorlesung
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer
Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 2
Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten
Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten
Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten
x
y
z
cos
sin
r
r
z
sin cos
sin sin
cos
R
R
R
2 2
arctan
x y
y
xz
r
z
sin
cos
R
R
2 2 2
2 2
arctan
arctan
x y z
x y
zy
x
2 2
arctan
r z
r
z
R
Transformation Table / Umrechnungstabelle
z
y
x
R
Coordinates of Different Coordinate Systems /
Koordinaten verschiedenen Koordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 3
cos sin cosx r R
1. Formulate x as a function of the cylinder and spherical coordinates. / Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.
2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.
3. Formulate as a function of the cylinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.
2 2 sinr x y R
2 2 2 2 2 2
1
( cos ) ( sin ) cos sinx y r r r r
2 2x y2 2x y
Examples / Beispiele
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 4
Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten
Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten
Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten
x y zx y zA A A A e e e r zr zA A A A e e e RRA A A A = e e e
x
y
z
A
A
A
cos sin
sin cos
r
r
z
A A
A A
A
sin cos cos cos sin
sin sin cos sin cos
cos sin
R
R
R
A A A
A A A
A A
cos sin
sin cos
x y
x y
z
A A
A A
A
r
z
A
A
A
sin cos
cos sin
R
R
A A
A
A A
sin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos
x y z
x y z
x y
A A A
A A A
A A
sin cos
cos sin
r z
r z
A A
A A
A
RA
A
A
Transformation Table / Umrechnungstabelle
Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen
Koordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 5
Example: Coordinate Transformation of the Position Vector / Beispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor
, ,, , , , zx y
x y zR x y zR x y z R x y z
x y z R e e e
Position Vector in the Cartesian Coordinate System / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem
( , , , , , ) cos sin( , , , , , ) sin cos( , , , , , )
r x y z x y
x y z x y
z x y z z
R r z R R R R RR r z R R R R RR r z R R R R
( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin( , , ) ( , , )
x
y
z
R r z x r z rR r z y r z rR r z z r z z
, ,, , , ,
cos sinzx y
x y zR r zR r z R r z
r r z
R e e e
Transformation of the Coordinates / Transformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as
a Function of Cylinder Coordinates / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als
Funktion der Zylinderkoordinaten
Transformation of the Scalar Vector Components / Transformation der skalaren Vektorkomponenten
2 2
1
cos cos sin sin
(cos sin )
cos sin sin cos 0
r
z z
R r r
r r
R r r
R R
( )r z
r zR R
r z R e e
Position Vector in the Cylinder Coordinate System /
Ortsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem
( , , , , , )
, , ( ) , , ( ) , ,
r z
r zr z
r z R R R
R r z R r z R r z
R
e e e
?Position Vector in the Cylinder Coordinate
System / Ortsvektor im Zylinderkoordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 6
Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)
( ) ( ) ( )S t C t S t
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t E R dR B R dS J R dS
Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz
Time Dependent Surface /Zeitabhängige Fläche
Time Dependent Contour /Zeitabhängige Kontur
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 7
Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)
Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz
( ) ( )C t S t dR
( , )tE R
dR
( , )tE R dR
[m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral
[V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke
[m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement
[V]Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR
dRdR s
Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentiellesLinienelement
Tangential Unit Vector / Tangentialer
Einheitsvektor
Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles
Linienelement
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t E R dR B R dS J R dS
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 8
Different Products / Verschiedene Produkte
C A BScalar Product / Skalarprodukt
C AB
C A×BVector Product / Vektorprodukt
Dyadic Product / Dyadisches Produkt
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 9
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)
cos ( , )
cosAB
ABAB
A B A B A B
cos ABB
AB
A
B
cos ABA
ABEnclosed Angle / Eingeschlossener
Winkel
cos
cosBA
AB
BA
AB
A B B A
cos cosAB AB
cos
arccos
AB
AB
A B
A B
A B
A B
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 10
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)
1 00
0 1 0
10 0
( ) ( )
+
+
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A
A B e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
x x y y z zB A B A B
1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
3
1
( ) ( )
( ) ( )
i i
x y z x y zx y z x y z
x x y y z z
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x
x xi
A A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B
A B
A B e e e e e e
e e e e e e
x y z e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
1
0
0
x x
x y
x z
e e
e e
e e
0
1
0
y x
y y
y z
e e
e e
e e
0
0
1
z x
z y
z z
e e
e e
e e
1
2
3
x x
y x
z x
Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 11
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)
3 3
1 1
3 3
1 1
3 3
1 1
( ) ( )
or/oder
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i j i j
ij
i j
xi
x y z x y zx y z x y z
x xx xi j
x xx xi j
x x x xi j
x x x x
x x ij
B
A A A B B B
A B
A B
A B
A B
A B
A B e e e e e e
e e
e e
e e
e e
i j
x j
x xj j
i i
x ij x
A
A B
x x
A B
A B
1
0iji j
i j
Kronecker Delta / Kronecker-Delta
with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention
Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 12
Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors
1 00
0 1 0
10 0
(A A A ) (A A A )
A A A A A A
+ A A A A A A
+ A A A A A A
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
A A A
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
1
2
2 2 2
A A A A A A
A A A
A
x x y y z z
x y z
3 3
1 1
2
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i
x xx xi j
x xx x
x x x x
x
A B
A A
A A
A
A A A
e e
e e
e e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 13
Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor
( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )
x y zx y z
x y z
x y z x y z x y z x y zx y z
R e e ee e e
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
( , ) ( , , , )
E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z
t x y z t
x y z t x y z t x y z t
E R E
e e e
Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x y z
RR
Re e e
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
R R R
e e e e e e
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
E E E
E E E
x y zx y z
x y z
x y zx y z
x y z
EE
Ee e e
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
E E E E E E
E E E
x y z x y zx y z x y z
x y z
x y z x y z x y z
E E E
e e e e e e
Position Vector / Ortsvektor
Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)
Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors
(Stärke)
Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (Richtung)
Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (Richtung)
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 14
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (1)
sin ( , )
sin
AB
AB
AB
C
AB
S
C A×B
A B A B
AB
A
B
C
ABS
and /
und C A C B
Surface / Fläche
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 15
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (2)
A×B B×A
0
0
( ) ( )
+
+
yz
z x
y x
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y zz x z y
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A
ee
e e
e e
A×B e e e × e e e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e
0
( ) ( ) ( )
z z z
y z z y z x x z x y y xx x y z
B
A B A B A B A B A B A B
e ×e
e e e e
A×A 0
x y z e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
x x
x y z
x z y
y x z
y y
y z x
z x y
z y x
z z
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 16
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (3)
( )
+ ( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z x y
x y z x y
x y z x y
y z z y x
z x x z y
x y y x z
A A A
B B B
A A A A A
B B B B B
A B A B
A B A B
A B A B
e e e
A×B
e e e e e
e
e
e
Add the first two Columns / Addiere die beiden ersten Spalten
Sarrus Law /Regel von Sarrus
[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 17
Dyadic Product / Dyadisches Produkt
3 3
1 1
3 3
1 1
i ji j
i ji j
i ji j
i j i j
i j i j
x xx xi j
x xx xi j
x xx x
x x x x
x x x x
x xi jD
A B
A B
A B
A B
D
AB e e
e e
e e
e e
e e
D
BA AB
D ε E
B μ H
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 18
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 19
Electrostatic Field Problem – Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches Feldproblem – Beispiel: Paralleler
Plattenkondensator
Scalar Field: Electrostatic Potential /Skalarfeld: Elektrostatisches Potenzial
Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische Feldstärke
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 20
e
( ) 0
( ) ( )d
C S
S V VV
E R dR
D R dS R
e
( )
( ) ( )
×E R 0
D R R
Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform
Curl-Free E Field /Rotationsfreies E Feld
Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen
e
( ) ::( )
( ) :
E RD RR
Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte
Electrostatic /Elektrostatik 0
t
No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 21
e
e
( ) 0
( ) ( )d
C S
S V VV
Q
E R dR
D R dS R
e
( )
( ) ( ) ×E R 0
D R R
Integral Form / Integralform
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen
0( ) ( )D R E R
0 r( ) ( ) D R E R
Vacuum / Vakuum
Electric Field Constant / Elektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)Permittivity of Free Space / Permittivität des Freiraumes
Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen Fällen
Permittivity / Permittivität
2
3e
( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C][As/ m ]( )
( ) [As/m ]
E RD RR
Differential Form /
Differentialform
rMaterial
1.006
Paper / Papier 2...4
Wet Earth / Nasse Erde 5...15
Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13
Seawater / Seewasser 70
Air / Luft
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 4 / Vorlesung 4 22
End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung