Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 13 / Vorlesung 13 1 Elektromagnetische...

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 13 / Vorlesung 13 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

13th Lecture / 13. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


MS Fields – Magnetic Field Computation of Coils /MS-Felder – Magnetfeldberechnung von Spulen


MS Fields – Governing Equations of MS Fields / MS-Felder – Grundgleichungen der MS-Felder

ee( ) ( )

( ) 0

C S S

S

I

H R dR J R dS

B R dS

e( ) ( )

( ) 0

×H R J R

B R

Integral Form / Integralform

e ( )J R

is a Known Prescribed Electric Current Density: For Example a

Electric Current Density in a Wire /ist eine bekannte vorgegebene elektrische Stromdichte: Zum

Beispiel eine elektrische Stromdichte in einem Draht

Differential Form / Differentialform

2 2

e 2

A:

m

Vs Wb:

m m

A:

m

H

B

J

Units /Einheiten

22

eeA/m A=m=A/m

=A

( ) ( )C S S

I

H R dR J R dS

22 mVs/m

Vs

( ) 0S

B R dS

Wb:Weber

2

2

e1/ m A/m A/m

A/m

( ) ( )

×H R J R

21/ m Vs/m

( ) 0

B R

2 3

3

m1/ m Vs/m Vs/m

Vs/m

( ) ( )

B R R

22

m

VsmVs/m

Vs

( )S

Q

B R dS

2 2

m

Vs/m Vs/m

( ) ( )

n B R R

With Magnetic Charges! / Mit magnetischen Ladungen!


MS Fields – Governing Equations / MS-Felder - Grundgleichungen

e( ) ( )B R ×A R

0( ) ( )B R H R

0

e0

1( ) ( )

1( )

H R B R

×A R

( ) 0 B RBecause of /Weil

Can be Represented by / kann dargestellt werden über

In Vacuum we have / Im Vakuum gilt

( )B R

ee( ) ( )

( ) 0

C S S

S

I

H R dR J R dS

B R dS

e( ) ( )

( ) 0

×H R J R

B R

Integral Form / Integralform

e ( )J R

is a Known Prescribed Electric Current Density: For Example a

Electric Current Density in a Wire /ist eine bekannte vorgegebene elektrische Stromdichte: Zum

Beispiel eine elektrische Stromdichte in einem Draht

Differential Form / Differentialform


e ( ) 0 A R

0 e( ) ( ) H R ×A R

0 e

0 e

( ) ( )

( )

×H R × × A R

J R

e e e

0

e

e

( ) ( ) ( )

( )

( )

× ×A R A R A R

A R

A R

MS Fields – Vector Potential / MS Felder – Vektorpotential

Coulomb Gauge / Coulomb-Eichung

It follows / Es folgt

Applying the Curl Operator Gives / Die Anwendung des Rotationsoperators ergibt


MS Fields – Vector Potential – Poisson and Laplace Equation / MS Felder – Vektorpotential – Poisson- und Laplace-Gleichung

0 e e

e

e

for / Vectorial Poisson Equation / für Vektorielle Poisson-Gleichung

for / Vectorial Laplace Equation / für Vektorie

( ) ( )

lle Laplace-Gleichung

( )0 ( )

J R J R 0A R

J R 0


30e e

30 e

1( ) ( ) d

4 | |

( ) ( ) d

S

S

V

VG

A R J R RR R

R R J R R

MS Fields – Vector Potential – (…) Special Solution / MS Felder – Vector Potential – (…) Spezielle Lösung

0e e( ) ( ) A R J R Vector Possion’s Equation / Vektorielle Possion-Gleichung

Special Solution / Spezielle Lösung

1 1( )

4 | |G

R R

R R

With the Three-Dimensional Static Green’s Function / Mit der dreidimensionalen statischen Greenschen Funktion

3-D Convolution Integral / 3D-Faltungsintegral


30e e( ) ( ) ( ) d

SVG A R R R J R R

e0

30 e

0

3e

1( ) ( )

1( ) ( ) d

( ) ( ) d

S

S

V

V

G

G

H R ×A R

× R R J R R

× R R J R R

( ) × A ×A ×A

e e e[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )G G G

0

× R R J R R R ×J R R R ×J R

MS Fields – Vector Potential – (…) Special Solution / MS Felder – Vector Potential – (…) Spezielle Lösung

0e e( ) ( ) A R J R Vector Possion’s Equation / Vektorielle Possion-Gleichung

Special Solution / Spezielle Lösung

1 1( )

4 | |G

R R

R R

With the Three-Dimensional Static Green’s Function /

Mit der dreidimensionalen statischen Greenschen Funktion


3

1 1 1 1 1( )

4 4 4| | | | | |G

R RR R

R R R R R R

3e3

3e3

3e3

1( ) ( )d

4 | |

( ) ( )1d

4 | |

( ) ( )1d

4 | |

S

S

S

V

V

V

R RH R ×J R R

R R

J R × R RR

R R

J R × R RR

R R

MS Fields – Vector Potential – Biot-Savart’s Law / MS Felder – Vector Potential – Biot-Savartsche Gesetz

3e3

( ) ( )1( ) d

4 | |SV

J R × R R

H R RR R

Biot-Savart’s Law (for a Given Volume Source) / Biot-Savartsches Gesetz (für eine Volumenquelle)


MS Fields – Biot-Savart’s Law for a Line Source / MS Felder – Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle

0e ( ) ( ) ( ) , 0J R eI r - a z a

3e3

2e0

30 0

2e0

30 0 : 0

( ) ( )1( ) d

4 | |

( ) ( ) ( ) ( )1d d d

4 | |

( ) ( ) ( )d d

4 | |

sV

z r

r z

I r a zr r z

r aIr r

R

J R × R RH R R

R R

e × R R

R R

e × R R

R R

z

y

x

a

/:

Source

Quelle sC

e0I e ( )J R


2e0

30

: ; 0

2e0

30 : ; 0

e03

: : ;0 2 ; 0

( ) d ( )( )

4 | |

( )

4 | |

( )

4 | |s

s

r a z

r a z

C C r a z

aI

I

I

dR

R

R

R

e × R RH R

R R

dR × R R

R R

dR × R R

R R

e03

( )( )

4 | |sC

I

dR × R R

H RR R

Biot-Savart Law for a Line Source with Contour CS / Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle mit der Kontur CS

MS Fields – Biot-Savart‘s Law for a Line Source /MS-Felder – Biot-Savartsche Gesetz für eine Linienquelle

: : ;0 2 ; 0RSC r a z Line Source with Contour CS / Linienquelle mit der Kontur CS

Arbitrary Contour CS / Beliebige Kontur CS


e03

( )( )

4 | |sC

I

dR × R R

H RR R

Biot-Savart Law for a Line Source with Contour CS / Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle mit der Kontur CS

MS Fields – Biot-Savart‘s Law for a Line Source /MS-Felder – Biot-Savartsche Gesetz für eine Linienquelle

3e3

( ) ( )1( ) d

4 | |

J R × R RH R R

R RsV

Biot-Savart’s Law for a Volume Source Vs / Biot-Savartsches Gesetz für eine Volumenquelle Vs


e03

( )( )

4 | |SC

I

dR × R R

H RR R

0

( )

( ) ,

( )

d

dd

r z

r z zr

r z

z

r z

r z z z

r z z

dzz

z

R e e

R e e e

R R e e

dR R

e

3 3 / 22 2

( ) 0 0

0

( )

e e e

dR × R R

e

R R

r z

dz

r z z

r dz

r z z

MS Fields – Biot-Savart – Example: Infinite Thin and Infinite Long Wire Carrying a Constant Electric Current / MS-Felder – Biot-Savart –

Beispiel: unendlich dünner, unendlich langer Draht, der einen konstanten elektrischen Strom führt

z

y

x

: Source

Quelle sCe0I

z

z

Biot-Savart Law for a Line Source with Contour CS /

Biot-Savartsches Gesetz für eine Linienquelle mit der Kontur CS


d d

:

:

=

z z

z

z z

z z

e03 / 22 2

e03 / 22 2

e03 / 22 2

e0

2 2 2

( ) d4 ( )

d

4

d

4

( )4

z

rIz

r z z

Ir

r

Ir

r

Ir

r r

eH R

e

e

e3 / 2 22

2

d

1,

x x

b ax bax b

a b r

with

mit

With the Substitution /Mit der Substitution


Beispiel: unendlich dünner, unendlich langer Draht, der einen konstanten elektrischen Strom führt (...)


e0

2 2

e0

2 2

e0

2 2 2 2

1 1

e0

2

e0

sgn( )1( ) ( )

4

sgn( )1( )

4 1 /

1 sgn( ) sgn( )lim lim ( )

4 1 / 1 /

11 ( 1) ( )

4

1( )

2

I

r r

I

r r

I

r r r

I

r

I

r

H R e

e

e

e

e

1 0sgn( )

1 0

sgn( )

With the Signum Function /Mit der Signum-Funktion

2 With /Mit




), (z H r

,y r

x

/ : SC

Source

Quelle

e0I

e0

( )

1( )

2

( )

H r

I

r

H r

H R e

e

1( ) ( )H r

rH R

1( )H r

r

( )H RField Lines of the Magnetic Field Strength / Feldlinien der magnetischen Feldstärke




MS Fields – Biot-Savart’s Law – Wire Loop Carrying a Constant Electric Current / MS-Felder – Biot-Savartsches Gesetz –

Drahtschleife, die einen konstanten elektrischen Strom führt (...)

e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R

( ) : 0 2

cos sin

cos sin

dd

d

R e

R e

e e

R R e e e

dR R

z

sr

x y

z x y

z z

a C

a a

z a a

Magnetic Field Strength on the z Axis/ Magnetische Feldstärke auf der z-Achse

y

x

a

/ : SC

Source

Quelle

e0Ie ( )J RR

z

R ezz

R R

dR

e0e ( ) ( ) ( ) , 0I r - a z a J R e

e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R

Biot-Savart’s Law / Biot-Savartsches Gesetz




e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R


dd

d

dcos sin d

d

sin cos d

dR R

e e

e e

x y

x y

a a

a

y

x

a

/ : SC

Source

Quelle

e0Ie ( )J RR

z

R ezz

R R

dR

cos sin ; 0 2x ya a R e e




2 2 2 2

cos sin , 0 2

sin cos d

( ) sin d cos d 0

cos sin

cos d sin d cos d sin d

cos sin

R R e e e

dR e e

e e e

dR × R R

e e e e

e e

z x y

x y

x y z

x z z y

x y

z a a

a

a a

a a z

az a a az

az

2 2 2

1

2

d sin cos d

cos sin d d

e

e e e

z

x y z

a

az a

e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R




2 2 2

1

3 / 2

32 2 2 2 2

cos sin

3 / 22 2

2

cos sin , 0 2

cos sin

( ) cos sin d d

R R e e e

R R

dR × R R e e e

z x y

a

x y z

z a a

a a z

a z

az a

e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R




2

3 3 / 22 2

( ) cos sinx y zza a

a z

dR × R R e e e

R R

e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R

e03

22e0

3 / 22 20

2 2 2e0 e0

3 / 2 3 / 22 2 2 20 0

( )( )

4 | |

cos sind

4

cos sind d

4 4

S

zC

x y z

x y z

Iz

za aI

a z

za aI I

a z a z

dR × R RH R e

R R

e e e

e e e




2

3 3 / 22 2

( ) cos sinx y zaz a

a z

dR × R R e e e

R R

e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R

2 22

e0 e03 / 2 3 / 22 2 2 2

0 0

0

22e0

3 / 22 20

2

2e0

3 / 22 2

( ) cos sin d d4 4

d4

2

zz x y

z

z

aI Izaz

a z a z

aI

a z

I a

a z

eH R e e e

e

e

2

0

2

0

cos d 0

sin d 0




e03

( )( )

4 | |S

zC

Iz

dR × R R

H R eR R

2e0

3 / 22 2( )

2z zI a

za z

H R e e

y

x

a

/ : SC

Source

Quelle

e0Ie ( )J RR

z

R ezz

R R

dR


20 e0

3 / 22 2( )

2z zI a

za z

B R e e

0( ) ( )B R H R

Magnetic Flux Density on the z Axis/ Magnetische Flussdichte auf der z-Achse

Constitutive Equation for Vacuum / Materialgleichung für Vakuum

Biot-Savart’s Law / Biot-Savartsches Gesetz




y

x

a

/ : SC

Source

Quelle

e0Ie ( )J RR

z

R ezz

R R

dR




y

x

a

/ : SC

Source

Quelle

e0Ie ( )J RR

z

R

R R

dR

2 2 20 0

2 2

2 2 20 0

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )4

( ) ( ) ( )4

r zr z

r

z

B B

I k z a r zB K k E k

rar a r z

I k a r zB K k E k

ar a r z

B R R e R e

R

R

2 2

4ark

a r z

/ 2

2 20

/ 22 2

0

1( ) d

1 sin

( ) 1 sin d

K kk

E k k

with / mit

Complete Elliptic Integrals of 1st and 2nd Kind / Kompletten elliptischen Integrale 1. und 2. Art

Magnetic Flux Density – Arbitrary Observation Point / Magnetische Flussdichte – Beliebiger Beobachtungspunkt

Jianming Jin: Electromagnetic Analysis and Design in Magnetic Resonance Imaging. CRC Press, 1998.


MS Fields – MS Field of a Circular Cylindrical Solenoid/MS-Felder – MS-Feld einer kreisförmigen Zylinderspule

e0 /zH

N I d

/z a

d

2a

http://web.mit.edu/6.013_book/www/Videos/8.2.1.rm

Movie / Film:


MS Fields – Coils for MRT Systems – MRT: Magnetic Resonance Tomography /

MS-Felder – Spulen für MRT-Systeme – MRT: Magnetresonanz Tomographie



MS-Felder – Spulen für MRT-Systeme – MRT: Magnetresonanz TomographieMagent (Homogeneous Magnetic Field)

• Ultracompact 1.5 Tesla Magnet, Length: 160 cm• Wide, Patient-friendly Inner Bore Diameter 60 cm• Magnet Weight Only 4,050 kg• Large DSV (Diameter Spherical Volume) with Excellent Homogeneity Over 50 cm

Gradient Coil (Gradient Magnetic Field)

• Gradient Field Strength up to 30 mT/m • Slew Rate up to 125 T/m/s• Large Field of View up to 50 cm, Optimized for whole Body Examinations• Ultrafast, Highly Compact, Water-cooled Gradient Amplifier in Solid-State Technology for best min.TR 1.8 ms and min.TE 0.8 ms (Matrix 256²)

Magnetic Flux Density B0 of an MRI System /Magnetische Flussdichte B0 eines MR-Systems: 1.5 T = 15,000 Gauss = Vs/m2 (T = Tesla = 104 Gauss)

Magnetic Flux Density of the Earth Magnetic Field / Magnetische Flussdichte des Erdmagnetfeldes: 0.25 ... 0.5 Gauss = 25 μT .... 50 μT

15,000 Gauss / 0.5 Gauss = 30,000




Helmholtz Coil / Helmholtz-Spule

Maxwell Coil / Maxwell-Spule

RF Coil / HF-Spule

Gradient Coil / Gradientenspule

RF Coil / HF-Spule

Patient

Magnet / Magnet

Block Diagram of an MRI System /Blockdiagramm eines MR-Systems


Magnet / Magnet

RF Coil / HF-Spule



MS Fields – Biot-Savart’s Law – Helmholtz and Maxwell Coil / MS-Felder – Biot-Savartsches Gesetz – Helmholtz- und Maxwell-Spule


yx

e0I

z

ae0I

x


2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

( )

2 / 2 2 / 2

z zB z

I a I a

a d z a d z

R e

a

2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

( )

2 / 2 2 / 2

z zB z

I a I a

a d z a d z

R e

d dyx

e0I

ae0I

a






RF Coil / HF-Spule


RF Coil / HF-Spule

Patient

Magnet / Magnet

Block Diagram of an MRI System /Blockdiagramm eines MR-Systems


Magnet / Magnet

RF Coil / HF-Spule





yx

e0I

z

ae0I

x


2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

( )

2 / 2 2 / 2

z zB z

I a I a

a d z a d z

R e

a

2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

( )

2 / 2 2 / 2

z zB z

I a I a

a d z a d z

R e

d dyx

e0I

ae0I

a


MS Fields – Biot-Savart’s Law – Optimization of a Helmholtz Coil / MS-Felder – Biot-Savartsches Gesetz – Optimierung einer Helmholtz-

SpuleGoal: Homogeneous Magnetic Field Between the Loops / Ziel: Homogenes Magnetfeld zwischen den Schleifen

20 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

1 1( )

2/ 2 / 2

z zI a

B za d z a d z

R e

20 e0

5 / 2 5 / 22 22 20

20 e0

5 / 2 5 / 22 22 20, 0

0

20 e0

5 / 222

3d / 2 / 2( )

d 2/ 2 / 2

3d / 2 / 2( )

d 2/ 2 / 2

3 / 2

2/ 2

zr

zr z

z

I a d z d zB z

za d z a d z

I a d z d zB z

za d z a d z

I a d d

a d

5 / 222

/ 2

/ 2

for /0

für

a d

d

d( ) 0

d 2 2zd d

B z zz



Spule

Goal: Homogeneous Magnetic Field Between the Loops / Ziel: Homogenes Magnetfeld zwischen den Schleifen

2 22 2220 e0

2 7 / 2 5 / 22 22 20

2 22 2220 e0

2 7 / 2 5 / 22 22 20, 00

20 e0

4 / 2 4 / 23d( )

2d / 2 / 2

4 / 2 4 / 23d( )

2d / 2 / 2

3

2

z

r

z

r zz

a d z a d zI aB z

z a d z a d z

a d z a d zI aB z

z a d z a d z

I a

2 22 2

7 / 2 5 / 22 22 2

2 22

0 e0 7 / 222

4 / 2 4 / 2

/ 2 / 2

12/ 2

for /0

für

a d a d

a d a d

a dI a

a d

d a

d( ) 0

d 2 2zd d

B z zz



Spule

3

30, 0

for /d( ) 0

für dz

r z

B z dz

d( ) 0

d 2 2zd d

B z zz

20 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

1 1( )

2/ 2 / 2

z zI a

B za d z a d z

R e

Goal: Homogeneous Magnetic Field Between the Loops / Ziel: Homogenes Magnetfeld zwischen den Schleifen

Optimized Value / Optimierter Wert

d a

20 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

4

1 1( )

2/ 2 / 2

( ) (0) ( / )

z z

z z

I aB z

a a z a a z

B z B z d

R e

O


MS Fields – Biot-Savart’s Law – Optimized Helmholtz Coil / MS-Felder – Biot-Savartsches Gesetz – Optimierte Helmholtz Spule

(...)Helmholtz Coil with Optimized Distance d = a / Helmholtz-Spule mit optimierten Abstand d = a




yx

e0I

z

ae0I

x


2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

( )

2 / 2 2 / 2

z zB z

I a I a

a d z a d z

R e

a

2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2

( )

2 / 2 2 / 2

z zB z

I a I a

a d z a d z

R e

d dyx

e0I

ae0I

a


MS Fields – Biot-Savart’s Law – Optimization of a Maxwell Coil / MS-Felder – Biot-Savartsches Gesetz – Optimierung einer Maxwell-

SpuleGoal: Linear Varying Magnetic Field Along the z Axis Between the Loops / Ziel: Linear variierendes Magnetfeld entlang der z Achse zwischen den beiden Schleifen

d( )

d 2 2zd d

B z C zz

2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2( )

2 / 2 2 / 2z z

I a I aB z

d z a d z a

R e

20 e0

5 / 2 5 / 22 22 20

20 e0

5 / 2 5 / 22 22 20, 0

0

20 e0

22

3d / 2 / 2( )

d 2/ 2 / 2

( )

3d / 2 / 2( )

d 2/ 2 / 2

/ 23

/ 2

zr

z

zr z

z

I a d z d zB z

za d z a d z

B z

I a d z d zB z

za d z a d z

dI a

a d

5 / 2

0, 0(0)z r z

B




d( )

d 2 2zd d

B z C zz

2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2( )

2 / 2 2 / 2z z

I a I aB z

d z a d z a

R e

2 22 2220 e0

2 7 / 2 5 / 22 22 20

2 22 2220 e0

2 7 / 2 5 / 22 22 20, 00

20 e0

4 / 2 4 / 23d( )

2d / 2 / 2

4 / 2 4 / 23d( )

2d / 2 / 2

3

2

z

r

z

r zz

a d z a d zI aB z

z a d z a d z

a d z a d zI aB z

z a d z a d z

I a

2 22 2

7 / 2 7 / 22 22 2

4 / 2 4 / 2

/ 2 / 2

for /0

für

a d a d

a d a d

d




2 20 e0 0 e0

3 / 2 3 / 22 22 2( )

2 / 2 2 / 2z z

I a I aB z

d z a d z a

R e

3 32 2230 e0

3 9 / 2 9 / 22 22 20

3 32 2230 e0

3 9 / 2 9 / 22 22 20, 0

4 / 2 3 / 2 4 / 2 3 / 215d( )

2d / 2 / 2

4 / 2 3 / 2 4 / 2 3 / 215d( )

2d / 2 / 2

z

r

z

r z

d z d z a d z d z aI aB z

z a d z a d z

d z d z a d z d z aI aB z

z a d z a d z

0

3 32 220 e0

9 / 2 9 / 22 22 2

3 22

0 e0 9 / 222

4 / 2 3 / 2 4 / 2 3 / 215

2/ 2 / 2

4 / 2 3 / 215

/ 2

z

d d a d d aI a

a d a d

d d aI a

a d

d( )

d 2 2zd d

B z C zz




3 232

0 e03 9 / 2220, 0

4 / 2 3 / 2d( ) 15

d / 2z

r z

d d aB z I a

z a d

3

30, 0

for /d( ) 0 3

für dz

r z

B z d az

3 2

2 2

4 / 2 3 / 2

3

3

d d a

d a

d a

d( )

d 2 2zd d

B z C zz

20 e0

0 3 / 2 3 / 22 22 2

5

0, 0

1 1( )

23 / 2 3 / 2

( ) (0)

z r

z z r z

I aB z

a z a a z a

zB z B z

d

O

3d a Optimized Value / Optimierter Wert


MS Fields – Biot-Savart’s Law – Optimized Maxwell Coil / MS-Felder – Biot-Savartsches Gesetz – Optimierte Maxwell-Spule (...)

Maxwell Coil with Optimized Distance d = √3 a / Maxwell-Spule mit optimierten Abstand d = √3 a


ES and MS Fields – Electric and Magnetic Dipole Moment / ES- und MS-Felder – Elektrisches und Magnetisches Dipolmoment

2

20 e0m

mVs =A

Am

Vs m

Vs mzI a

p e

z

y

x

a

/ : SV

Source

Quelle

e0I

mp

32

2

30em

m mVs m A/mVs/Am

Am

Vs m

( ) d2 sV

p R × J R R

33

3ee

m m= As m As/m

= As m

( ) dsV

p R R R

z

y

x

aeQ

eQ

ee=mAs

As m

As mzQ a

p e

ep

/ : SV

Source

Quelle

e e( ) ( ) ( ) R v R J R

R

Electric Dipole Moment / Elektrisches Dipolmoment

Magnetic Dipole Moment / Magnetisches Dipolmoment

e0I


30em( ) d

2 sV

p R×J R R

MS Fields – Magnetic Dipole Moment / MS-Felder – Magnetisches Dipolmoment

e0 0 0e ( ) ( ) ( ) , 0I r - r z r J R e

z

y

x

0r

/ : SC

Source

Quelle

e0I e ( )J R


Example: Magnetic Dipole Moment of a Current Loop / Beispiel: Magnetisches Dipolmoment einer elektrischen Stromschleife

r zr z R e e

30em( ) d

2 sV

p R×J R R

e0 0e ( ) ( ) ( )r zr z I r - r z R×J R e e × e

R


MS Fields – Magnetic Dipole Moment of a Electric Current Loop / MS-Felder – Magnetisches Dipolmoment einer elektrischen

Stromschleife

e0 0 0e ( ) ( ) ( ) , 0I r - r z r J R e

z

y

x

0r

e0I e ( )J R

r zr z R e eR

e e

e0 00 1

e0

( )

( ) ( ) d d

sS

r z

I

I r - r z z r

I

J R dS

e e

e ( )J R

z

r

sS

/ : SV

Source

Quelle

Electric Current Density in φ Direction / Elektrische Stromdichte in φ Richtung



Stromschleife

30em

20

e0 00

20 e0

00

2

00

( ) d2

( ) ( ) d d d2

( ) ( ) d d d2

( ) ( ) d d d

sV

z rr z

zr z

rr z

I r - r z r z r r z

Ir - r z r r r z

r - r z z r r z

p R× J R R

e e

e

e

e0 0e

e0 0

e0 0

e0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

0 1 0

( ) ( )

r z

r z

r z

z r

r z I r - r z

I r - r z r z

I r - r z r z

I r - r z r z

R×J R e e × e

e e ×e

e e e

e e



Stromschleife

2 2

20 e00 0m

0 0

220 e0

00

20 e00

0

1

( ) ( ) d d d ( ) ( ) d d d2

( ) ( ) d d d2

( ) ( ) d2

z rr z r z

zr z

z

Ir - r z r r z r - r z z r r z

Ir - r z r r z

Ir - r r z z

p e e

e

2

0

20 e0 0

20 e0 0

20

20

2

d d

( ) d

zr

zr

z

r

r

r

I r - r r r

I r

e

e

e

because /( ) d 0

weilz

z z z

20 e0 0m zI r p e

Example: Magnetic Dipole Moment of a Current Loop / Beispiel: Magnetisches Dipolmoment einer elektrischen Stromschleife



Stromschleife

20 e0 0m zI r p e

Example: Magnetic Dipole Moment of a Current Loop / Beispiel: Magnetisches Dipolmoment einer elektrischen Stromschleifez

y

x

0r

e0Ie ( )J R

e0m

m

Plane /

- Ebenez

I

xy

xy

p

p e

mp

20 e0 e0m zI r p e

z

y

x

0r

e0I

e ( )J R

e0m

m

Plane /

- Ebenez

I

xy

xy

p

p e

mp

/ : SV

Source

Quelle

/ : SV

Source

Quelle

R

R



Stromschleife

20 e0 0m zI r p e

Example: Magnetic Dipole Moment of a Current Loop / Beispiel: Magnetisches Dipolmoment einer elektrischen Stromschleifez

y

x

0r

/ : SV

Source

Quelle

e0Ie ( )J R

e0m

m

Plane /

- Ebenez

I

xy

xy

p

p e

mp

20 e 0 0m zI r p e

z

y

x

0r

e0I

e0m

m

Plane /

- Ebenez

I

xy

xy

p

p e

mp

/ : SV

Source

Quelle

R

R

e e( ) ( ) ( ) R v R J R


ES and MS Fields – Electric and Magnetic Dipole Moment / ES- und MS-Felder – Elektrisches und Magnetisches Dipolmoment

20 e 0m

[Vs m]zI a p e

z

y

x

a

/ : SV

Source

Quelle

e0I

mp

32

2

30em

m mVs m A/mVs/Am

Am

Vs m

( ) d2 sV

p R × J R R

33

3ee

m m= As m As/m

= As m

( ) dsV

p R R R

z

y

x

aeQ

eQ

ee As mzQ ap e

ep

/ : SV

Source

Quelle

e e( ) ( ) ( ) R v R J R

R

Electric Dipole Moment / Elektrisches Dipolmoment



MS Fields – Magnetic Polarization of Materials / MS-Felder – Magnetische Polarisation von Materialien

0 matm

0 vac

( ) ( )( )

( )

V

V

H R P R RB R

H R R

( )m m

1

( ) dM

Ni

Vi

V

P R p

Magnetic Dipoles /Magnetische Dipole

( )m

, 1, 2,3, 4i i p

0 0 mat

0 vac

( ) ( )( )

( )

V

V

H R M R RB R

H R R

0 m

0 r

0 0 r

m ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 1 ( )

P R

B R H R P R

R H R

H R R H R

0 rm

0 m

m ( )

( ) ( ) 1 ( )

( ) ( )

R

P R R H R

R H R

r ( ) [1] R Relative Permeability /Relative Permeabilität

m ( ) [1] R Magnetic Susceptibility /Magnetische Suszeptibilität


MS Fields – Relative Permeability / MS-Felder – Relative Permeabilität

Material / Material μr

Diamagnetic / Diamagnetisch μr < 1

Silver / Silber 0,99998

BleiCopper / Kupfer 0,99999

Paramagnetic / Paramagnetisch μr > 1

Vacuum / Vakuum 1Air / Luft 1,00000035Aluminium 1,000024

Wolfram 1,000067Platin 1,000256

Ferromagnetic / Ferromagnetisch μr >> 1

Nickel Iron / Eisen PermalloySuperalloy

6005.000 (>> 1000)150.0001.000.000


End of the 13th Lecture /Ende der 13. Vorlesung

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 13 / Vorlesung 13 1 Elektromagnetische...

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