Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I ... · PDF fileNumerische Methoden...

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

5th Lecture / 5. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Büro: Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung

Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen

m

e

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t

t t

ρ

ρ

∂= −∇ −

∂

∂= ∇ −

∂

∇ =

∇ =

B R ×E R J R

D R ×H R J R

B R R

D R R

i

i0

0

( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t

µε

=

=

B R H RD R E R

Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen

(Materialgleichungen) für Vakuum

m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

µ µ

ε ε

∂= − ∇ −

∂

∂= ∇ −

∂

H R ×E R J R

E R ×H R J R

Continuity equations / Kontinuitätsgleichungen

mm

ee

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t tt

t tt

ρ

ρ

∂∇ = −

∂

∂∇ = −

∂

J R R

J R R

i

i


m0 0

e0 0

2

m20 0

2

e20 0

2

e20 0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t tt tt

t t tt tt

t t tt

µ µ

ε ε

µ µ

ε ε

µ ε ε

∂= − ∇ −

∂

∂= ∇ −

∂

∂ ∂ ∂= − ∇ −

∂ ∂∂

∂ ∂ ∂= ∇ −

∂ ∂∂

∂= − ∇ ∇ −

∂

H R ×E R J R

E R ×H R J R

H R × E R J R

E R × H R J R

H R × ×H R J R m0

2

m e20 0 0 0

2

e m20 0 0 0 0

2

m e20 0 0 0 0

1 ( , )

1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) + ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( ,

tt

t t t ttt

t t t ttt

t t ttt

µ

ε µ µ ε

ε µ ε µ µ

ε µ ε µ ε

∂− ∂

∂ ∂= ∇ − ∇ − − ∂∂

∂ ∂= − ∇ ∇ ∇ −

∂∂

∂ ∂= − ∇ ∇ − ∇ −

∂∂

J R

E R × ×E R J R J R

H R × ×H R ×J R J R

E R × ×E R ×J R J R )t

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)


2

0e m2 20

2

0m e2 20

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttc t

t t t ttc t

ε

µ

∂ ∂−∇ ∇ − = −∇ +

∂∂

∂ ∂−∇ ∇ − = ∇ +

∂∂

× ×H R H R ×J R J R

× ×E R E R ×J R J R

2=∇ =∆

∇ ∇ =∇∇ −∇ ∇ =∇∇ −∆× × i i i

[ ]

[ ]

2

0e m2 20

2

0m e2 20

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttc t

t t t ttc t

ε

µ

∂ ∂− ∇∇ −∆ − = −∇ +

∂∂

∂ ∂− ∇∇ −∆ − = ∇ +

∂∂

H R H R ×J R J R

E R E R ×J R J R

i

i

Vector identity / Vektoridentität

00 0

1cε µ

=

2

e m20 0 0 0 0

2

m e20 0 0 0 0

1 1 1( , ) ( , ) + ( , ) ( , )

1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttt

t t t ttt

ε µ ε µ µ

ε µ ε µ ε

∂ ∂∇ ∇ + = ∇ −

∂∂

∂ ∂∇ ∇ + = − ∇ −

∂∂

× ×H R H R ×J R J R

× ×E R E R ×J R J R

2∇ ∇=∇ =∆iShort-hand notation /

Abkürzende Schreibweise

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)


[ ]

[ ]

2

0e m2 20

2

0m e2 20

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t ttc t

t t t ttc t

ε

µ

∂ ∂− ∇∇ −∆ − = −∇ +

∂∂

∂ ∂− ∇∇ −∆ − = ∇ +

∂∂

H R H R ×J R J R

E R E R ×J R J R

i

i

2

0e m2 20

2

0m e2 20

m0

e0

1 ( , )

1 ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t

t

t t t t ttc t

t t t t ttc t

ρµ

ρε

ε

µ

=

=

∂ ∂∆ −∇ ∇ − = −∇ +

∂∂

∂ ∂∆ −∇∇ − = ∇ +

∂∂

R

R

H R H R H R ×J R J R

E R E R E R ×J R J R

i

i

m

e

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t

ρ

ρ

∇ =

∇ =

B R R

D R R

i

i

m0

e0

1( , ) ( , )

1( , ) ( , )

t t

t t

ρµ

ρε

∇ =

∇ =

H R R

E R R

i

i

0

0

( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t

µε

=

=

B R H RD R E R

3rd and 4th Maxwell’s equations / 3. und 4.

Maxwellsche GleichungConstitutive equations /

Materialgleichungen


2

m 0e m2 20 0

2

e 0m e2 20 0

2

0 me m2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

t t t t ttc t

t t t t ttc t

t t t t ttc t

t

ρ εµ

ρ µε

ε ρµ

∂ ∂∆ −∇ − = −∇ + ∂∂

∂ ∂∆ −∇ − = ∇ + ∂∂

∂ ∂∆ − = −∇ + + ∇

∂∂

∆ −

H R R H R ×J R J R

E R R E R ×J R J R

H R H R ×J R J R R

E R2

0 em e2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t ttc t

µ ρε

∂ ∂= ∇ + + ∇

∂∂E R ×J R J R R

2 2 2

2 2 2

e e e e e ex y z x y zx y z x y z

x y z

∆=∇ ∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

i

i

Laplace operator in Cartesian coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten


[ ]( , ) ( , )

e e e e e e ( , )x y z x y z

t t

tx y z x y z

∆ =∇ ∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E R E R

E R

i

i

[ ]( ) ( )

( , ) ( , )

e e e e e e ( , )x y z x y zx y z x y z

t t

t

∆ =∇ ∇

= ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂

E R E R

E R

i

i

( )e e e ( , )e ( , )e ( , )e

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y y y y y zy x y y y z

x z z y z zz x z y z z

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

∂ + ∂ + ∂ + + = ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ + ∂ + ∂

R R R

R R R

R R R

R R R

x y z tx y z t∂ ∂ ∂ ∂= ∂ = ∂ = ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂Short-hand notation /

Abkürzende Schreibweise


[ ]( ) ( )( )

( , ) ( , )

e e e e e e ( , )

e e e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e

x y z x y zx y z x y z

x y z x x x y x zx y z x x x y x z

x y y y y zy x y y y z

t t

t

E t E t E t

E t E t E

∆ =∇ ∇

= ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂ = ∂ + ∂ + ∂ ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂

E R E R

E R

R R R

R R

i

i

i

( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )x z y z z zz x z y z z

t

E t E t E t + ∂ + ∂ + ∂

R

R R R

[ ]( , ) ( , )

e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e e

x x x x y x zx x x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

y xy x x

t t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E

∆ =∇ ∇

= ∂ ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ ∂

E R E R

R R R

R R R

R R R

i

i

i ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e e ( , ) e e ( , ) e e ( ,

x x y z zx y x z



z x x x y x zz x x x y x z

t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

+ ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ ∂ + ∂ + ∂

R R R

R R R

R R R

R R Ri )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )



E t E t E t

E t E t E t

+ ∂ + ∂ + ∂

+ ∂ + ∂ + ∂

R R R

R R R


[ ]

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( , )

( , ) ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

= ( , )e ( , )e ( , )e

x x x y x zx y z

y x y y y zx y z

z x z y z zx y z

x y z x y zx y z

t

t t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

E t E t E t

=

∆ = ∇ ∇

= ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂+ ∂ + ∂ + ∂

∂ + ∂ + ∂ + + E R

E R E R

R R R

R R R

R R R

R R R

i

( )2 2 2 ( , )x y z t= ∂ + ∂ + ∂ E R

( )2 2 2

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , )

( , )

x y zt t

tx y z

∆ = ∂ + ∂ + ∂

∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂

E R E R

E R


2

0 me m2 200

2

0 em e2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t ttc t

t t t t ttc t

ε ρµ

µ ρε

∂ ∂∆ − = −∇ + + ∇

∂∂

∂ ∂∆ − = ∇ + + ∇

∂∂

H R H R ×J R J R R

E R E R ×J R J R R

( )( )

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y z

x y z

t t

t t

∆ = ∂ +∂ +∂

∆ = ∂ +∂ +∂

E R E R

H R H R

2 2 2 2

0 me m2 2 2 2 200

2 2 2 2

0 em e2 2 2 2 200

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t ttx y z c t

t t t t ttx y z c t

ε ρµ

µ ρε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂

H R H R ×J R J R R

E R E R ×J R J R R

mm

ee

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t tt

t tt

ρ

ρ

∂∇ = −

∂∂

∇ = −∂

J R R

J R R

i

i

2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

mm m

ee e

( , ) ( , , ) ( , , )

( , ) ( , , ) ( , , )y y

y y

t x z t J x z t

t x z t J x z t

= =

= =

J R J e

J R J e

0y∂≡

∂

2 2 2

e 0 m m2 2 2 200

2 2 2

m 0 e e2 2 2 200

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

y yy y

y yy y

x z t x z t J x z t J x z t x y ttx z c t

x z t x z t J x z t J x z t x y ttx z c t

ε ρµ

µ ρε

∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂

H H × e e

E E × e e

We consider the xz plane and assume that the field is independent of y /Wir betrachten die xz-Ebene und nehmen an, dass das Feld unabhängig von y ist

2 2 2 2

0 me m2 2 2 2 200

2 2 2 2

0 em e2 2 2 2 200

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x z t x z t x z t x z t x z ttx y z c t

x z t x z t x z t x z t x z ttx y z c t

ε ρµ

µ ρε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∇ + + ∇ ∂∂ ∂ ∂ ∂

H H ×J J

E E ×J J

Then it follows for the 3-D wave equations / Es folgt dann für die 3D-Wellengleichungen

And we confine the current sources to / Und wir beschränken die Stromquellen auf

This yields for the above given 3-D wave equation / Dies ergibt für die oben gegebenen 3D-Wellengleichungen


mm

ee

( , ) ( , , )

( , ) ( , , )y y

y y

t J x z t

t J x z t

=

=

J R e

J R e

m m m

e e e

( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

y y yy x y z y

y y yy x y z y

J x z t J x z t J x z tx y z y

J x z t J x z t J x z tx y z y

∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = = ∂ ∂ ∂ ∂

e e e e e

e e e e e

i i

i i

e

e

e e

e e

( , )

0 ( , , ) 0

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y z

x y z

z

z zz x

z zx z

t

J x z t

J x z t J x z tx z

J x z t J x z tz x

∇ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂= −∂ ∂∂ ∂

= − +∂ ∂

e e e

×J R

e e

e e

m

m

m m

m m

( , )

0 ( , , ) 0

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x y z

x y z

z

z zz x

z zx z

t

J x z t

J x z t J x z tx z

J x z t J x z tz x

∇ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂= −∂ ∂∂ ∂

= − +∂ ∂

e e e

×J R

e e

e e

Curl and divergence of the current sources / Rotation und Divergenz der Stromquellen

The divergence of the current

sources is in this special case zero, because the

currents are constant in ydirection. / Die Divergenz

der Stromquellen ist in diesem speziellen Fall null, da die Ströme in y-Richtung

konstant sind.


m

e

( , , ) 0

( , , ) 0y y

y y

J x z

J x z

ω

ω

∇ =

∇ =

e

e

i

i

mm

ee

( , , ) j ( , , )( , , ) j ( , , )x z x zx z x z

ω ωρ ωω ωρ ω

∇ =

∇ =

JJ

ii

m

e

( , ) 0( , ) 0

ρ ωρ ω

==

RR

m

e

( , ) 0( , ) 0tt

ρρ

==

RR

mm

ee

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t tt

t tt

ρ

ρ

∂∇ = −

∂∂

∇ = −∂

J R R

J R R

i

i

m m

e e

1( , , ) ( , , )j1( , , ) ( , , )j

x z x z

x z x z

ρ ω ωω

ρ ω ωω

= ∇

= ∇

J

J

i

i


2 2 2

e e 0 m2 2 2 20

2 2 2

m m 0 e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

y y yz x y

y y yz x y

x z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t

x z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t

ε

µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − = − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − = − + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

H H e e e

E E e e e

e ee ( , ) ( , , ) ( , , )z zz xt J x z t J x z tx z∂ ∂

∇ = −∂ ∂

×J R e e

m mm ( , ) ( , , ) ( , , )z zz xt J x z t J x z tx z∂ ∂

∇ = −∂ ∂

×J R e e

2 2 2

0e m2 2 2 20

2 2 2

0m e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x z t x z t x z t x z ttx z c t

x z t x z t x z t x z ttx z c t

ε

µ

∂ ∂ ∂ ∂+ − = −∇ + ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∇ + ∂∂ ∂ ∂

H H ×J J

E E ×J J


2 2 2

e e 0 m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )y y yz x yx z t x z t J x z t J x z t J x z tx z tx z c t

ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ H H e e e

2 2 2

e2 2 2 20

2 2 2

0 m2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

x x y

y y y

z z y

H x z t H x z t J x z tzx z c t

H x z t H x z t J x z ttx z c t

H x z t H x z t J x z txx z c t

ε

∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ − = − ∂∂ ∂ ∂

2 2 2

m 0 e m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )y y yx y zx z t x z t J x z t J x z t J x z tz t xx z c t

µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = − + + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ E E e e e

2 2 2

m2 2 2 20

2 2 2

0 e2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

x x y

y y y

z z y

E x z t E x z t J x z tzx z c t

E x z t E x z t J x z ttx z c t

E x z t E x z t J x z txx z c t

µ

∂ ∂ ∂ ∂+ − = − ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ − = ∂∂ ∂ ∂

Decoupled equations / Entkoppelte Gleichungen

Decoupled equations / Entkoppelte Gleichungen


2 2 2

0 e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




µ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = − ∂∂ ∂ ∂

2 2 2

0 m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




ε ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂

Separation in 2-D → TM and TE case /Separation in 2D → TM- und TE- Fall

TMy case / TMy-Fall

TEy case / TEy-Fall

TM: transversal magnetic / transversal magnetischTE: transversal electric / transversal elektrisch

( , , )

( , , )( , , )

y

x

z

E x z t

H x z tH x z t

( , , )

( , , )( , , )

y

x

z

H x z t

E x z tE x z t

2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall

2 2 2

0 e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

2 2 2

e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




µ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = − ∂∂ ∂ ∂

Separation in 2-D → TM case /Separation in 2D → TM-Fall

TMy case / TMy-Fall

TM: transversal magnetic / transversal magnetisch

( , , )

( , , )( , , )

y

x

z

E x z t

H x z tH x z t

xy z

xz plane / xz-Ebene

ey=n( , , )yE x z t

( , , )xH x z t

( , , )zH x z tSurface normal vector (unit-vector) /Flächennormalenvekt

or (Einheitsvektor)

2-D EM Wave Propagation – 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TE-Fall

2 2 2

0 m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

2 2 2

m2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

1( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y

x x y

z z y




ε ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂

Separation in 2-D → TE case /Separation in 2D → TE- Fall

TEy case / TEy-Fall

TE: transversal electric / transversal elektrisch

( , , )

( , , )( , , )

y

x

z

H x z t

E x z tE x z t

xy z

xz plane / xz-Ebene

ey=n

Surface normal vector (unit-vector) /Flächennormalenvekt

or (Einheitsvektor)

( , , )yH x z t

( , , )xE x z t

( , , )zE x z t

FD Method – 2-D TM Wave Equation / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung

22

2 2

22

2 2

22

2 2

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]

( )( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( , , ) [( ) ]( )

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( , , ) [( ) ]

( )

y y yy

y y yy

y y yy

E x x z t E x z t E x x z tE x z t x

x xE x z z t E x z t E x z z t

E x z t zz z

E x z t t E x z t E x z t tE x z t t

t t

+ ∆ − + −∆∂= ∆

∂ ∆

+ ∆ − + −∆∂= ∆

∂ ∆

+ ∆ − + −∆∂= ∆

∂ ∆

○

○

○

+

+

+

Central FD Operators / Zentrale FD-Operatoren

2 2 2

0 e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )y y yE x z t E x z t J x z ttx z c t

µ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂

Central FD Operators / Zentrale FD-Operatoren

e ee

( . , ) ( , , )( , , ) ( )y yy

J x z t J x z t tJ x z t tt t

− −∆∂= + ∆

∂ ∆○

Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator


2 2

2 20

e e0

( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( ) ( )( , , ) 2 ( , , ) ( , , )1

( )( , , ) ( , ,

y y y y y y

y y y

y y

E x x z t E x z t E x x z t E x z z t E x z t E x z z t

x zE x z t t E x z t E x z t t

c tJ x z t J x z t

µ

+ ∆ − + −∆ + ∆ − + −∆+

∆ ∆+ ∆ − + −∆

−∆− −

= 2 2 2)[( ) ] [( ) ] [( ) ]

tx z t

t∆

+ ∆ ∆ ∆∆

○ ○ ○+ +

2 2 2

0 e2 2 2 20

1( , , ) ( , , ) ( , , )y y yE x z t E x z t J x z ttx z c t

µ ∂ ∂ ∂ ∂

+ − = ∂∂ ∂ ∂

Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

2-D TM wave equation / 2D-TM-Wellengleichung

FD Method – 2-D TM Wave Equation – 2-D FD Grid / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – 2D-FD-Gitter

z∆

x∆

x

zy

1xn = x xn N=1zn =

z zn N=

xn →

zn

↓

( 1) 1, , x x z x zn n N n n N N N N= + − = =…

2-D FD grid / 2D-FD-Gitter

Global grid node numbering /

Globale Gitterknotennummerierung

1, ,1, ,

x x

z z

n Nn N

=

=

……

( , , ) ( , )( , , ) x z t tn n n n ny y yE x z t E E→ →

( , , )

( , )

( , , ) x z t

t

n n ny y

n ny

E x z t E

E

=

=

FD Method – 2-D TM Wave Equation – 2-D FD Stencil / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – 2D-FD-Schablone

z∆

x∆

( ),x zn n

2-D FD stencil in space / 2D-FD-Schablone im Raum

( ), 1x zn n −

( ), 1x zn n +

( )1,x zn n+( )1,x zn n−

x∆

z∆


, 1, ,, 1, ,

, 1, ,

x x x

z z z

t t t

x n x n Nz n z n Nt n t n N

→ ∆ =

→ ∆ =→ ∆ =

………

220 2

220 2

( , , ) 2 ( , , ) ( , , )

( ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( )

( ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )( )

y y y

y y y

y y y

E x z t t E x z t E x z t t

tc E x x z t E x z t E x x x tx

tc E x z z t E x z t E x z z tz

+ ∆ = − − ∆

∆ + + ∆ − + −∆ ∆

∆ + + ∆ − + −∆ ∆2 2 2 20 0 e e ( , , ) ( , , ) [( ) ] [( ) ] [( ) ]y yc t J x z t J x z t t x z tµ + ∆ − −∆ + ∆ + ∆ ∆ ○ ○ ○+

Explicit 2-D FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter 2D-FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

Marching-on-in-time algorithm /„Marschieren in der Zeit“-Algorithmus

( , , )

( , , )e e

( , , )

( , , )

x z t

x z t

n n ny y

n n ny y

E x z t E

J x z t J

→

→


x z∆ = ∆

( , , 1) ( , , ) ( , , 1)

2( 1, , ) ( , , ) ( 1, , )0

2( , 1, ) ( , , ) ( ,0

2

2

2

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t

x z t x z t x z

n n n n n n n n ny y y


n n n n n n n ny y y

E E E

c t E E Ex

c t E E Ez

+ −

+ −

+ −

= −

∆ + − + ∆

∆ + − + ∆ 1, )

( , , ) ( , , 1)2 2 2 20 0 e e [( ) ] [( ) ] [( ) ]

t

x z t x z t

n

n n n n n ny yc t J J x z tµ −

+ ∆ − + ∆ + ∆ ∆ ○ ○ ○+

Explicit 2-D FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter 2D FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

Homogeneous 2-D FD grid of quadratic cells /Homogenes 2D- FD-Gitter aus quadratischen Zellen

( , , 1) ( , , ) ( , , 1)

2( , 1, ) ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( , 1, )0

( , , )20 0 e

2

4

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t x z t

x z t


n n n n n n n n n n n n n n ny y y y y

n n ny

E E E

c t E E E E Ex

c t J Jµ

+ −

+ + − −

= −

∆ + + − + + ∆

+ ∆ − ( , , 1) 2 2e [( ) ] [( ) ]x z tn n ny x t− + ∆ ∆ ○ ○+


Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

( , , 1) ( , , ) ( , , 1)

( , 1, ) ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( , 1, )2

( , , ) ( , , 1)e e

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 4

ˆ ˆ

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t x z t

x z t x z t


n n n n n n n n n n n n n n ny y y y y

n n n n n ny y

E E E

t E E E E E

t J J

+ −

+ + − −

−

= −

+ ∆ + − + + + ∆ −

1for / für 1

1

x x

z z

t t

n Nn Nn N

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

( , , ) ( , , 1) ( , , 2)2

( , 1, ) ( 1, , ) ( 1, , ) ( , 1, )2

( , , ) ( , , 1)e e

ˆ ˆ ˆ2 1 2( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t

x z t x z t


n n n n n n n n n n n ny y y y

n n n n n ny y

E t E E

t E E E E

t J J

− −

+ + − −

−

= − ∆ − + ∆ + + +

+ ∆ −

FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Flow Chart / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Flussdiagramm

( , , ) ( , , ) ( , , 1) ( , , 2)e e

ˆ ˆ ˆ ˆx z t x z t x z t x z tn n n n n n n n n n n ny y y yE E t J J− − = + ∆ −

Start

Stop

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

2-D FD TM wave equation: For all nodes nx, nz inside the simulation region:

Excitation: For all excitation nodes nx, nz :

NoNo YesYes

( , , ) ( , , 1) ( , , 2)2

( , 1, 1) ( 1, , 1) ( 1, , 1) ( , 1, 1)2

( , , ) ( , , 1)e e

ˆ ˆ ˆ2 1 2( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ

x z t x z t x z t

x z t x z t x z t x z t

x z t x z t


n n n n n n n n n n n ny y y y

n n n n n ny y

E t E E

t E E E E

t J J

− −

+ − + − − − − −

−

= − ∆ − + ∆ + + +

+ ∆ −

( , , )ˆ 0x z tn n nyE =

Boundary condition: For all PEC boundary nodes nx, nz:

FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel

Scalar 2-D TM wave equation / Skalare 2D-TM-Wellengleichung

Causality / Kausalitäte

e 0 0

( , , ) ( , , ) 0 0

( , , ) ( ) ( ) ( ) 0y y

y

E x z t J x z t t

J x z t x x z z f t tδ δ

= = ≤

= − − >

(0, , ) 0 ( ,0, ) 0, and / und ,

( , , ) 0 ( , , ) 0y y

y y

E z t E x tz t t x t t

E X z t E x Z t

= = ∀ ∀ ∀ ∀ = =

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary conditions for a perfectly electrically conducting (PEC) boundary / Randbedingung für einen ideal elektrisch leitenden (IEL) Rand

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

2 2 2

0 e2 2 2 20

01( , , ) ( , , ) ( , , ) for / für 0

0y y y

x XE x z t E x z t J x z t z Z

tx z c t t Tµ

≤ ≤ ∂ ∂ ∂ ∂ + − = ≤ ≤ ∂∂ ∂ ∂ ≤ ≤

z

0x = x X=0z =

z Z=

PEC / IEL

PEC / IEL

PEC / IEL

PEC / IEL

x

zy

FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example / FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel

x∆

x∆

1xn = x xn N=1zn =

z zn N=

xn →

zn

↓

( 1) 1, , x x z x zn n N n n N N N N= + − = =…

Nodes in the simulation region / Knoten im Simulationsgebiet

Global grid node numbering / Globale

Gitterknotennummerierung

1, ,1, ,

x x

z z

n Nn N

=

=

……

( , ) 0tn nyE ≠

( , ) 0tn nyE =

Nodes at the PEC boundary / Knoten auf dem IEL-Rand

FD Method – 2-D TM Wave Equation – Example/ FD-Methode – 2D-TM-Wellengleichung – Beispiel

e ( , , )yJ x z t

PEC boundary / IEL-Rand

FD Method – 2-D FD Wave Equation – TM Case – Validation / FD-Methode – 2D FD-Wellengleichung – TM-Fall – Validierung

0 e( , ) j ( , ) ( , ) dx xz

E z G z z J z zω ωµ ω ω∞

′=−∞

′ ′ ′= −∫ 0 e( , , ) j ( , , ) ( , , ) d dy yz x

E x z G x x z z J x z x zω ωµ ω ω∞ ∞

′ ′=−∞ =−∞

′ ′ ′ ′ ′ ′= − −∫ ∫

0j0

0

0

0

1( , ) j PV ( ) e2

( , )2

k zcG z z

zcG z t u tc

ω πδω

= +

= −

(1) 2 20

0

2 20

2 2 2 2 00

j( , , ) H4

1( , , )2 ( )

G x z x zc

c x zG x z t u tcc t x z

ωω

π

= +

+ = − − +

Green’s function / Greensche Funktion

1-D case / 1D-Fall 2-D case / 2D-Fall

Domain integral representation /(Gebiets-) Integraldarstellung


0 e0

( , ) j ( , ) ( , ) dy yr

E r G r r J r rω ωµ ω ω∞

′=

′ ′ ′= −∫(1)0

0

02 2 2 00

j( , ) H4

1( , )2

G r rc

c rG r t u tcc t r

ωω

π

=

= − −

2-D Domain integral representation /2D-(Gebiets-)Integraldarstellung

(1)0

0

02 02 2

0

j( , ) H4

1( , )2

Gc

cG t u tc

c t

ωω

π

′ ′− = −

′− ′− = − ′− −

r r r r

r rr r

r r

0 e( , ) j ( , ) ( , ) dy yE G Jω ωµ ω ω′′ ′ ′= −∫rr r r r r


2-D Domain integral representation / 2D-(Gebiets-)Integraldarstellung

(1)RC2 RC2 00 20 02 2

0

j 1( , ) RC2( ) H ( , ) RC2( )4 2t

cG G t t u t

c cc t

ωω ωπ

′− ′ ′ ′− = − − = ∗ − ′− −

r rr r r r r r

r r

jjRC2 41 2c RC2( ) e( , ) e

4

k

Gπ

ωωπ ω

′−

′

′−−

r r

r rr r

EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

The first two Maxwell’s Equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

∂= −∇ −

∂∂

= ∇ −∂

B R ×E R J R

D R ×H R J R

0

0

( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t

µε

=

=

B R H RD R E R


(Materialgleichungen) für Vakuum m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

µ

ε

∂= −∇ −

∂∂

= ∇ −∂

H R ×E R J R

E R ×H R J R

0

0

( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t

νε

=

=

H R B RD R E R



[ ] [ ]

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t ttε ν

∂= −∇ −

∂∂

= ∇ −∂

B R ×E R J R

E R × B R J R

( ),f H E

( ),f B E

Equations of first order / Gleichungen der ersten Ordnung


m( , ) ( , ) ( , )t t ttµ∂

= −∇ −∂

H R ×E R J R

e( , ) ( , ) ( , )t t ttε∂ = ∇ −

∂E R ×H R J R

Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms

Field / Feld Sources / Quellen

Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz

Ampère-Maxwell‘s circuital law /Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz


m( , ) ( , ) ( , )t t tt∂

= −∇ −∂B R ×E R J R

[ ] e( , ) ( , ) ( , )t t ttε ν∂

= ∇ −∂E R × B R J R



Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz

Ampère-Maxwell‘s circuital law /Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz

1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)


m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

∂= −∇ −

∂∂

= ∇ −∂

B R ×E R J R

D R ×H R J R

m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

H z t E z t J z tt z

E z t H z t J z tt z

µ µ

ε ε

∂ ∂= − −

∂ ∂

∂ ∂= − −

∂ ∂

0

0

( , ) ( , )( , ) ( , )t tt t

µε

=

=

B R H RD R E R



( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x x

y y

t E z tt H z t=

=

E R eH R e

Ansatz for the electric and magnetic field strength /

Ansatz für die elektrische und magnetische Feldstärke

2

2

(2 2( ) ( ) ]

2 2( ) ( ) ]

t tf t f td f t tdt t

z zf z f zd f z xdz x

∆ ∆ + − − = + ∆

∆∆ ∆ + − −

= + ∆∆

O[

O[


m0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )y x yH z t E z t J z tt zµ µ∂ ∂

= − −∂ ∂

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )x y xE z t H z t J z tt zε ε∂ ∂

= − −∂ ∂



1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 1st Equation / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 1ten Gleichung

m0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )y x yH z t E z t J z tt zµ µ∂ ∂

= − −∂ ∂

21( , ) ( , ) ( ) ]2 2x x x x

z

z zE z t E z t E z E z zz z z∂ ∂ ∆ ∆ → = + − − + ∆ ∂ ∂ ∆

O[

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )z z z zn n n ny x x yH t E t E t J t

t zµ µ+ −∂ = − − − ∂ ∆

Spatial discretization of the 1st equation / Räumliche Diskretisierung der 1ten Gleichung

2z∆

2z∆

zn12zn −

12zn +

( 1/ 2)znxE

− ( 1/ 2)znxE

+( )znyH

( ): , 1, ,

: 1/ 2 , 1, ,y z z z

x z z z

H z n z n N

E z n z n N

→ ∆ =

→ + ∆ =

…

…

( )znxE

1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 2nd Equation / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 2ten Gleichung

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )x y xE z t H z t J z tt zε ε∂ ∂

= − −∂ ∂

( ) ( ) 2

2

1( , ) ( , ) ( ) ]y y y yzzH z t H z t H z z H z zz z z∆

+

∂ ∂ → = + ∆ − + ∆ ∂ ∂ ∆O[

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )z z z zn n n nx y y yE t H t H t J t

t zε ε+ + +∂ = − − − ∂ ∆

Spatial discretization of the 2nd equation / Räumliche Diskretisierung der 2ten Gleichung

2z∆

2z∆

12zn +zn 1zn +

( )znyH

( 1)znyH

+( 1/ 2)znxE

+

( 1/ 2)znyH

+

( ): , 1, ,

: 1/ 2 , 1, ,y z z z

x z z z

H z n z n N

E z n z n N

→ ∆ =

→ + ∆ =

…

…

1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

2z∆

2z∆

zn12zn −

12zn +

( 1/ 2)znxE

− ( 1/ 2)znxE

+( )znyH

2z∆

2z∆

1zn + 32zn +

( 3/ 2)znxE

+( 1)znyH

+

2z∆

2z∆

32zn −2zn − 1zn −

( 2)znyH

− ( 1)znyH

−( 3/ 2)znxE

−

2z∆

2z∆

zn12zn −

12zn +

( )znyH

2z∆

1zn + 32zn +

( 1)znyH

+

2z∆

32zn −2zn − 1zn −

( 2)znyH

− ( 1)znyH

−

( 1/ 2)znxE

− ( 1/ 2)znxE

+ ( 3/ 2)znxE

+( 3/ 2)znxE

−

z∆ z∆

z∆ z∆

z∆

z∆


m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x



µ µ

ε ε

∂ ∂= − −

∂ ∂

∂ ∂= − −

∂ ∂

21( ) ( ) ]2 2

d z zf z f z f z zdz x

∆ ∆ = + − − + ∆ ∆ O[

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m

0 0

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

z z z z

n n n ny x x y

n n n nx y y x

H t E t E t J tt z

E t H t H t J tt z

µ µ

ε ε

+ −

+ + +

∂ = − − − ∂ ∆

∂ = − − − ∂ ∆

( )

( 1/ 2)

( ) ?

( ) ?

z

z

ny

nx

H tt

E tt

+

∂=

∂∂

=∂


( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )m

0 0

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)e

0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

z z z z

n n n ny x x y

n n n nx y y y

H t E t E t J tt z

E t H t H t J tt z

µ µ

ε ε

+ −

+ + +

∂ = − − − ∂ ∆

∂ = − − − ∂ ∆

( , ) ( , 1)( ) 2

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1/ 2) 2

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

z t z tz

z t z tz

n n n ny yn

y

n n n nn x xx

H HH t tt t

E EE t tt t

−

+ + + −+

−∂= + ∆

∂ ∆

−∂= + ∆

∂ ∆

○

○

21( ) ( ( ) ]2 2

d t tf t f t f t tdt t

∆ ∆ = + − − + ∆ ∆ O[

( , ) ( , 1)( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

m0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1) ( ) ( 1/ 2)

e0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

z t z tz z z

z t z tz z z

n n n ny y n n n

x x y

n n n nn n nx xy y y

H HE t E t J t

t z

E E H t H t J tt z

µ µ

ε ε

−+ −

+ + + −+ +

− = − − − ∆ ∆

− = − − − ∆ ∆

Staggered grid in time / Versetztes Gitter in der ZeitStaggered grid in time / Versetztes Gitter in der Zeit


( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n ny y x x y

n n n n n n n n n nx x y y y

t tH H E E Jzt tE E H H Jz

µ µ

ε ε

− + − − − −

+ + + + + +

∆ ∆ = − − − ∆

∆ ∆ = − − − ∆

( , ) ( , 1)( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

m0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)( 1) ( ) ( 1/ 2)

e0 0

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

z t z tz z z

z t z tz z z

n n n ny y n n n

x x y

n n n nn n nx xy y y

H HE t E t J t

t z

E E H t H t J tt z

µ µ

ε ε

−+ −

+ + + ++ +

− = − − − ∆ ∆

− = − − − ∆ ∆

Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

FDTD:FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions

on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions

on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD / 1D EM Wellenausbreitung – 1D FDTD

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t


n n n n n n n n n nx x y y x


µ µ

ε ε

− + − − − −

+ + + − + +

∆ ∆ = − − − ∆

∆ ∆ = − − − ∆

Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time / Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on

Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on

Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

m0 0

e0 0

1 1( , ) ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x



µ µ

ε ε

∂ ∂= − −

∂ ∂

∂ ∂= − −

∂ ∂


1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

32zn

−

xE12zn

−

12zn

+

32zn

+

( )2zn − ( )1zn − ( )zn ( )1zn +

12tn

−

yH ( )tn

32zn

−

xE12zn

−

12zn

+

32zn

+ 1

2tn +

Time plane / Zeitebene

Interleaving of the Ex and Hy field components in space and time in the 1-D FDTD formulation / Überlappung der Ex- und Hy-Feldkomponente in der 1D-FDTD-Formulierung im Raum und in der

Zeit

1-D EM Wave Propagation – FDTD – Normalization / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Normierung

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

0 0

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

0 0

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t




µ µ

ε ε

− + − − − −

+ + + − + +

∆ ∆ = − − − ∆

∆ ∆ = − − − ∆

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t



H H t E E tJ

E E t H H t J

− + − − − −

+ + + − + +

= −∆ − −∆ = − ∆ − −∆

ref refref ref

ref ref

ref ref ref ref ref 0

ref

refref ref

ref ref

ˆ ˆ

ˆ

x x

y y

x xt t t t t tc c

z x z c c c

E E E

EH H H Hc

ε ε ε µ µ µ µ µ

µ

∆ ∆∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆

∆ = ∆ ∆ = = = =

=

= = ref ref ref refref ref

ref ref ref

refee e ref e ref ref

ref

ref refmm m ref m ref ref

ref ref ref

xx

xx

EE EZ

J J J J Et

EJ J J J Ht t c

ε µ εµ µ

ε

µ

= = =

= =∆

= = =∆ ∆

1-D FDTD – Staggered Grid in Space – Global Node Numbering / 1D-FDTD – Versetztes Gitter im Raum – Globale Knotennummerierung

2z∆

2z∆

zn12zn −

12zn +

( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE

− + ( 1/ 2, 1/ 2)z tn nxE

+ +

( , )z tn nyH

2z∆

2z∆

1zn + 32zn +

( 3/ 2, 1/ 2)z tn nxE

+ +

( 1,, )z tn nyH

+

2z∆

2z∆

32zn −2zn − 1zn −

( 2, )z tn nyH

− ( 1, )z tn nyH

−

( 3/ 2, 1/ 2)z tn nxE

− +

2z∆

2z∆

2z∆

zn12zn −

12zn +

( 1, )tn nxE− ( , )tn n

xE

( , )tn nyH

2z∆

2z∆

1zn + 32zn +

( 1, )tn nxE+

( 1, )tn nyH+

2z∆

2z∆

32zn −2zn − 1zn −

( 2, )tn nyH− ( 1, )tn n

yH−

( 2, )tn nxE−

2z∆

z

z

1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e

ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ+ += −∆

Start

Stop

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

Compute 1-D Faraday’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE

+ =Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E

− − − − = −∆ −

Compute 1-D Ampère-Maxwell’s FDTD equation: For all nodes n inside the simulation region:( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , )

t t t tn n n n n n n nx x y yE E t H H

+ − + = − ∆ −

1-D FDTD Algorithm – Flow Chart / 1D-FDTD-Algorithmus – Flussdiagramm

Start

Stopp

1t tn n= +

t tn N≥

1tn =

Berechne die 1D-Faraday-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n

NeinNein JaJa

( , 1/ 2)ˆ 0tn nyE

+ =Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n

Berechne die 1D-Ampère-Maxwell-FDTD-Gleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet::

( , ) ( , 1) ( , 1/ 2) ( 1, 1/ 2)t t t tn n n n n n n ny y x xH H t E E

− − − − = −∆ −

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( 1, ) ( , ) t t t tn n n n n n n n

x x y yE E t H H+ − + = − ∆ −

( , 1/ 2) ( , 1/ 2) ( , )e

ˆ ˆ ˆt t tn n n n n ny y yE E tJ+ += −∆

FDTD Solution of the First Two 1-D Scalar Maxwell’s Equations / FDTD-Lösung der ersten beiden 1D skalaren Maxwell-Gleichungen

Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen

Causality / Kausalitätm

e

e e0 0 0

( , ) ( , ) 0 0

( , ) ( , ) 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) 0

y y

x x

x

H z t J z t t

E z t J z t tJ z t K z z z f t tδ

= = ≤

= = ≤

= − >

(0, ) 0( , ) 0x

x

E tt

E Z t=

∀=


Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material / Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

Z

0z = z Z=

( , ) 0xE Z t =(0, ) 0xE t =( , )xE z t

m0 0

e0 0

01 1( , ) ( , ) ( , ) for / für0

1 1( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

z ZH z t E z t J z t

t Tt z


µ µ

ε ε

≤ ≤∂ ∂= − − ≤ ≤∂ ∂

∂ ∂= − −

∂ ∂


Causality / Kausalität

0 0

( , ) ( , )m

( , ) ( , )e( ) ( )( , ) ( )

e e

0 1

0 1

1

z t z t

z t z t

z z zz t t

n n n ny y t

n n n nx x t

n n nn n nx x t

H J n

E J n

J K f nδ −

= = ≤

= = ≤

= >

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

= ≤ ≤=


Discrete hyperbolic initial-boundary-value

problem /Diskretes

hyperbolisches Anfangs-Randwert-

Problemz∆ z∆ z∆ z∆

zZ zN= ∆

1zn = z zn N=

( , ) 0z tN nxE =

(1, ) 0tnxE =

( , ) ( , ),z t z tn n n nx yE H

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , )

1 for / für

1

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t

n n n n n n n n n n z zy y x x y

t t

n n n n n n n nx x y y

n NH H t E E tJ

n N

E E t H H

− + − − − −

+ + + − +

≤ ≤ = −∆ − −∆ ≤ ≤ = − ∆ −

( 1/ 2, )e z tn nxt J+

− ∆

Discrete 1-D FDTD equations / Diskrete 1D-FDTD-Gleichungen

(2, )tnxE

(2, )tnyH

(1, ) 0tnyH =

( , )z tN nyH

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material / Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material


Excitation pulse: RC2(t) – Time Domain / Anregungsfunktion: RC2(t) – Zeitbereich

Excitation pulse: RC2(f) – Frequency Domain / Anregungsfunktion: RC(f) –Frequenzbereich

Mag

ntiu

de|R

C2(f)

| /

Betr

ag|R

C(f)|

Ampl

itude

RC2

(t) /

Am

plitu

de R

C(t)

Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

= ≤ ≤=

Absorbing/open boundary condition / Absorbierende/offene Randbedingung

(1, ) (2, 2)

( , ) ( 1, 2)1

t t

z t z t

n nx x

t tN n N nx x

E En N

E E

−

− −

= ≤ ≤=

0.5t∆ =For / Füra plane wave needs two time steps, 2 nt , to travel over one grid cell with the size ∆z /

braucht eine ebene Welle zwei Zeitschritte, 2 nt , um sich über eine Gitterzelle der Größe ∆zauszubreiten

Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung

Space-time-extrapolation of the first order / Raum-Zeit-Extrapolation der ersten Ordnung


FDTD Books / FDTD-Bücher

Taflove, A. (Editor): Advances in

Computational Electrodynamics: The

Finite-Difference Time-Domain Method. Artech

House, 1998.

Kunz, K. S., Luebbers, R. J.: The Finite Difference

Time Domain Method for Electromagnetics. 1993

Taflove, A. (Editor): Computational

Electrodynamics: The Finite-Difference Time-

Domain Method. 2nd Editon,

Artech House, Boston, 2000.

Taflove, A. (Editor): Computational

Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain

Method. Artech House, Boston, 1995.

FDTD Books / FDTD-Bücher

Sullivan, D. M.: Electromagnetic

Simulation Using the FDTD Method. IEEE

Press, New York, 2000.

2-D TM FDTD – Photonic Crystals /2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle

2-D TM FDTD – Photonic Crystals /2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle

End of Lecture 5 /Ende der 5. Vorlesung

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I ... · PDF fileNumerische Methoden...

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