Documenta Ie

7/26/2019 Documenta Ie

1/26

Cuprins

1 Not,iuni generale 3

1.1 Alfabet, S, ir, Limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Alfabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 S, ir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Operat, ii pe limbaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Reuniune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Concatenare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Kleene Star . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Mult, imea putere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ierarhia Chomsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Limbaje regulate 6

2.1 Expresii regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.1 Utilizari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Automate finite deterministe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Utilizari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Automate finite nedeterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Utilizari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Echivalent,a ER, AFD, AFN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Conversie AFD AFN . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Conversie AFNAFD . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.3 Conversie ER AFN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Proprietat, i algoritmice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.1 Inchidere n raport cu reuniunea. . . . . . . . . . . . . 122.5.2 Inchidere n raport cu concatenarea . . . . . . . . . . . 122.5.3 Inchidere n raport cu Kleene Star. . . . . . . . . . . . 132.5.4 Inchidere n raport cu diferent,a . . . . . . . . . . . . . 132.5.5 Inchidere n raport cu intersect, ia . . . . . . . . . . . . 142.5.6 Inchidere n raport cu complementarea . . . . . . . . . 152.5.7 Decizia daca un limbaj regulat este vid . . . . . . . . . 15

2.5.8 Decizia daca un s, ir este ntr-un limbaj regulat . . . . . 152.5.9 Decizia daca un limbaj regulat este finit . . . . . . . . 162.6 Lema de pompare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.1 Enunt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6.2 Negat, ia Lemei de pompare . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1


2/26

2.6.3 Utilizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Limbaje independente de context 18

3.1 Gramatici independente de context . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.1 Utilizari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Automate Pushdown nedeterministe . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Utilizari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Echivalent,a GIC, APD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1 Conversia GIC APD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2 Conversia APD GIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Proprietat, i algoritmice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4.1 Inchiderea n raport cu reuniunea . . . . . . . . . . . . 20

3.4.2 Inchiderea n raport cu concatenarea . . . . . . . . . . 213.4.3 Inchiderea n raport cu Kleene Star . . . . . . . . . . . 223.4.4 Clasa limbajelor independente de context nu este nchisa

n raport cu diferent,a, intersect, ia s, i complementarea. . 233.4.5 Decizia daca un limbaj independent de context este vid 23

3.5 Lema de pompare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.1 Enunt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2 Negat, ia Lemei de pompare . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.3 Utilizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2


3/26

1 Not,iuni generale

1.1 Alfabet, S,

ir, Limbaj

1.1.1 Alfabet

Un alfabet este orice mult, ime nevida finita de simboluri. Acestea pot ficaractere, semnale sau orice obiect ce poate fi interpretat cumva.Exemple:

alfabetul roman: ={A,B,C,...,Z}

alfabetul format din cifre: ={0, 1, 2,..., 9}

alfabetul semnalelor pentru 3-Way Handshake: ={SYN, ACK, SYN-ACK}

1.1.2 S,

ir

Un s, ir(cuvant) este o secvent, a finita de simboluri dintr-un alfabet. Un s, irpoate sa nu cont, ina niciun caracter. Acesta, s, irul vid, se noteaza cue(n altesurse se noteaza cu).Lungimea unui s, ir w se noteaza cu |w| s, i reprezinta numarul de simboluridin care e format w.Exemple:

={a,b,c,d}, w= cbba, |w|= 4

={0, 1}, w= 10010101, |w|= 8

={a, b}, w= e, |w|= 0

1.1.3 Limbaj

Un limbaj peste un alfabet este o mult, ime de cuvinte formate din simboluridin . Limbajul vid se noteaza cu, s, i este limbajul n care nu se afla niciun

cuvant. Acesta este diferit de limbajul care cont, ine doar s, irul vid. Un limbajpoate fi finit sau infinit.Exemple:

L= , |L|= 0

3


4/26

L= {e}, |L|= 1

L= {e,a,ab}, |L|= 3

L= {a, aa, aaa, ...}, |L|=

1.2 Operat,ii pe limbaje

1.2.1 Reuniune

Reuniunea a doua limbaje este reuniunea normala definita pe mult, imi.

1.2.2 Concatenare

Fie L1, L2, doua limbaje. Concatenarea se defines,te n felul urmator:L1 L2= {w1w2|w1 L1 w2 L2}.Mai exact, orice concatenare a unui cuvant din L1 cu un cuvant din L2 seafla n L1 L2. Concatenarea se poate nota mai simplu L1L2.Concatenarea nu este comutativa.Concatenarea este asociativa s, i distributiva la stanga, respectiv la dreaptafat, a de reuniune.Exemple:

L1= ,L2= {e,a,b}. L1L2= , fiindca nu exista niciun cuvant nL1

care sa fie concatenat cu vreun cuvant dinL2

L1= {a, b}, L2= {c, d}. L1L2= {ac,ad,bc,bd}

L1= {e, a},L2 = {b,bb,bbb,...}. L1L2= {b,ab,bb,abb,...}

1.2.3 Kleene Star

Fie L un limbaj. Kleene Star se defines,te n felul urmator:L ={w|w= w1w2...wn wi L, n 0}Kleene Star aplicat pe un limbaj reprezinta concatenarea de zero sau maimulte ori a oricator s, iruri din L.

Fie un alfabet oarecare. este o mult, ime finita de simboluri. Acesta poatefi tratat ca un limbaj format din s, iruri de lungime 1. Aplicand Kleene Star peacest limbaj, obt, inem , mult, imea tuturor s, irurilor formate din simboluridin .

4


5/26

DeoareceL cont, ine concatenarea tuturor cuvintelor de zero sau mai multe

ori, L

l va cont, ine ntotdeauna pe e.Exemple:

L= . L ={e}.

L= {e}. L ={e}.

L= {a}. L ={e,a,aa,aaa,..}

L= {a, b}. L ={e,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...}

1.2.4 Mult,imea putere

Fie Mo mult, ime. Notam cu 2M mult, imea tuturor submult, imilor lui M.2M ={A|A M}.Exemplu: M={0, 1}. 2M ={, {0}, {1}, {0, 1}}Daca este un alfabet, reprezinta mult, imea tuturor s, irurilor peste acelalfabet s, i 2

este mult, imea tuturor limbajelor peste acel alfabet. estefinit. este infinit numarabil. 2

este infinit s, i nenumarabil.

1.3 Ierarhia Chomsky

Ierarhia consta n patru mari clase de limbaje:

1. Limbaje regulate

2. Limbaje independente de context

3. Limbaje dependente de context

4. Limbaje zero

5


6/26

2 Limbaje regulate

Clasa limbajelor regulate este mult, imea minima de limbaje nchisa n raportcu operat, iile de reuniune, concatenare s, i Kleene Star.

2.1 Expresii regulate

Expresiile regulate reprezinta o metoda de reprezentare finita a limbajelor.Ele pot descrie orice succesiune finita de operat, ii de reuniune, concatenare s, iKleene Star.

Fie un alfabet. O expresie regulata este o secvent, a finita de simboluridin {, , (, ), , e}, t, inand cont de urmatoarele proprietat, i:

1. s, i e sunt expresii regulate, reprezentand limbajul vid, L1 = , res-pectiv limbajul care cont, ine doar s, irul vid, L2= {e};

2. a, a este expresie regulata, reprezentand limbajul ce cont, ine unsingur cuvant format din simbolula,L= {a};

3. , expresii regulate, este expresie regulata, reprezentand re-uniunea limbajelor descrise de expresiile regulate s, i , L( ) =L() L();

4. , expresii regulate, este expresie regulata, reprezentand con-

catenarea limbajelor descrise de expresiile regulate s, i , L() =L() L();

5. expresie regulata, este expresie regulata, reprezentand aplica-rea operatorului Kleene Star limbajului descris de expresia regulata,L() =L();

6. expresie regulata, () este expresie regulata. Parantezele cresc pri-oritatea operatorilor. Operatorii, ordonat, i de la prioritate maxima laminima sunt: Kleene Star, operator de concatenare, operator de reu-niune;

7. Orice altceva nu este expresie regulata.

Limbajele acceptate de expresii regulate se numesc limbaje regulate.Notat, ii ajutatoare:

6


7/26

Fie o expresie regulata. Notam+ =.

Fie o expresie regulata. Notam? = ( e)

Exemple:

E=e ab bb. L(E) =L(e) L(ab) L(bb) ={e} {ab} L(b) L(b) = {e,ab} {b} L(b) = {e,ab} {b} {b} = {e,ab} {b} {e,b,bb,bbb,...}= {e,ab} {b, bb, bbb, bbbb, ...}= {e,ab,b,bb,bbb,...};

E= (ab). L(E) =L((ab)) ={a, b} ={e,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,...};

E=ab. L(E) =L(a)L(b) ={e,a,aa,aaa,...}{e,b,bb,bbb,...}=

{e,a,aa,aaa,...,b,bb,bbb,...};

2.1.1 Utilizari

Expresiile regulate sunt folosite n motoare de cautare, unelte de prelucraretext (grep), limbaje de programare (haskell).

2.2 Automate finite deterministe

Un automat finit este un model de calcul care primes,te la intrare o banda desimboluri s, i s, i modifica starea interna n funct, ie de ce are la intrare. Acesta

poate fi privit ca o cutie neagra cu nis,te stari ntre care face tranzit, ii nfunct, ie de intrare, la fiecare tranzit, ie mis,cand capul de citire la dreapta.Formal, un automat finit determinist este un tuplu M = (K, , ,s,F),

cu urmatoarele proprietat, i:

K este mult, imea starilor. Keste finita, de unde vine s, i numele auto-matului;

este alfabetul din care sunt formate cuvintele acceptate de automat;

se numes,te funct, ie de tranzit, ie. : K K. (p, a) = q;p, qK; a nseamna ca automatul, daca se afla n starea p s, i primes,te

pe banda a, trece n starea q. Fiindca este funct, ie, toate tranzit, iiledin fiecare stare pentru fiecare simbol trebuie sa fie definite.

s Keste starea de start. Aceasta este starea n care se afla automatulnainte de a primi ceva pe banda.

7


8/26

F K este mult, imea starilor finale. Daca automatul se afla ntr-o

starefF dupa ce a terminat de citit s, irul nseamna ca accepta s, irul.Un moment din execut, ia unui automat finit se numes,te configurat, ie. O

configurat, ie completa consta ntr-un tuplu (q, w) format din starea curentas, i s, irul de la intrare. O configurat, ie este un element din K .

Pentru a se descrie trecerea ntre configurat, ii se foloses,te operatorulM:K K . q, q K, w, w , (q, w)M (q

, w) , w=w (q, ) =q

Se noteaza cuM nchiderea reflexiva s, i tranzitiva a operatorului de tre-cere ntre configurat, ii. AdicaM reprezinta trecerea ntre configurat, ii n zerosau mai mult, i pas, i.

Un automat finit determinist accepta un s,

ir daca s,

i numai daca la termi-narea s, irului de la intrare automatul se afla ntr-o stare finala. w, Maccepta w fF, (s, w)M (f, e).

Mult, imea tuturor cuvintelor acceptate de un automat se numes,te limbajacceptat de automat. w , w L(M) f F, (s, w)M (f, e). Unlimbaj acceptat de un automat finit determinist este regulat.

2.2.1 Utilizari

Automatele finite deterministe sunt folosite la crearea analizoarelor lexicale,la proiectarea circuitelor electrice, la testarea protocoalelor, la crearea unor

programe n care este evidenta existent,a unei stari interne.

2.3 Automate finite nedeterministe

Un automat finit nedeterminist este un automat finit mai put, in restrictivdecat unul determinist. Acesta se bazeaza pe faptul ca se pot rula n paralelo infinitate de ramuri de execut, ie s, i daca cel put, in una se termina ntr-o starefinala, s, irul este acceptat.

Un automat finit nedeterminist permite:

absent,a tranzit, iilor pe anumite simboluri. Daca se ntampla ca la unmoment dat sa apara un simbol pentru care nu exista tranzit, ie, ramuracurenta de execut, ie se termina fara a accepta s, irul;

existent,a mai multor tranzit, ii din aceeas, i stare pe acelas, i caracter.Daca se ntampla acest lucru, automatul lanseaza mai multe ramuride execut, ie, cate una pentru fiecare tranzit, ie posibila;

8


9/26

tranzit, ii pe s, iruri. Fiindca se pot neglija tranzit, ii, un lant, de tranzit, ii n

care din starile intermediare nu pleaca nicio tranzit, ie se poate considerao singura tranzit, ie pe un s, ir.

tranzit, ii pe s, irul vid. Automatul s, i poate modifica spontan starea faraa citi vreun caracter.

Un automat nedeterminist este tot un tuplu M = (K, , , s , F ) cuurmatoarele proprietat, i:

Keste mult, imea finita a starilor;

este alfabetul din care sunt formate cuvintele acceptate de automat;

(K K) nu este funct, ie, este relat, ie. este o finita.(p, u, q) nseamna ca automatul poate trece din starea p n stareaqcitind s, irulu;

s Keste starea de start;

FKeste mult, imea starilor finale.

O configurat, ie a unui automat finit nedeterminist se noteaza la fel ca ncazul determinist, (q, w) (K ).

Operatorul de trecere ntre configurat, ii se noteaza la fel ca n cazul deter-

minist,M, dar fiindca se poate ajunge n mai multe configurat, ii sau niciunanu mai e funct, ie. Inchiderea reflexiva s, i tranzitiva a operatorului de trecerentre configurat, ii se noteaza tot cuM.

Un automat finit nedeterminist accepta un s, ir daca exista cel put, in ocale astfel ncat din configurat, ia init, iala sa se ajunga ntr-o stare finala faraniciun caracter ramas la intrare. Limbajul acceptat de un automat finitnedeterminist este format din totalitatea s, irurilor acceptate de el. w , w L(M) fF, (s, w)M (f, e)

Un automat determinist este un automat finit nedeterminist care are nis,terestrict, ii impuse. Des, i mult, imea automatelor finite deterministe este inclusan mult, imea automatelor finite nedeterministe, limbajele acceptate de elesunt aceleas, i, limbajele regulate.

9


10/26

2.3.1 Utilizari

Automatele finite nedeterministe pot fi folosite la modelarea unei problemepentru a fi ulterior transformat n automat determinist, care e mai greu descris direct.

2.4 Echivalent,a ER, AFD, AFN

2.4.1 Conversie AFD AFN

Un automat finit determinist este s, i nedeterminist, deci conversia este tri-viala. Il lasam exact asa cum e.

2.4.2 Conversie AFN AFD

Fie M1= (K1, 1, 1, s1, F1). Sa se gaseasca un M2 = (K2, 2, 2, s2, F2), L(M1) =L(M2), 2= 1.

Pas, i:

1. Eliminarea tranzit, iilor pe s, iruri.

Fie 1 = {(p, c, q)|(p, c, q) 1 |c| 1} {(p, c1, qw1), (qw1, c2, qw2),..., (qwn, cn, q)|(p, w, q) 1 |w|= n >1 w= c1c2...cn qw1, qw2,...,qwn /K1} s, iK

1= {qw1, qw2,...qw2|(p, c1, qw1), (qw1, c2, qw2),

..., (qwn, cn, q) 1

\ 1}.

FieM1= (K1, 1,

1, s1, F1).

L(M1) = L(M1) fiindca nu se schimba nimic la tranzit, iile normale, s, irezultatul unui s, ir de tranzit, ii pe cate un caracter e identic cu rezultatultranzit, iei pe s, ir.

2. Se construies,te automatul determinist folosind ca stari nchiderea refle-xiva s, i tranzitiva operatorului de trecere ntre configurat, ii restrict, ionatla tranzit, ii pe s, irul vid. K2 = 2

K1.

FieQ(q) ={p|(q, w)M (p, w)}. Q(q) reprezinta totalitatea starilor n

care se poate ajunge pornind din q fara a citi vreun caracter.s2= Q0= Q(s1)

2 :K2 K2. Adica 2 : 2K1 2K1. Pentru fiecare elementQi K2 se calculeaza(Qi).

10


11/26

F2= {Q(f)|fF1}.

Din cauza modului n care se face transformarea, numarul starilor unuiautomat finit determinist tinde sa fie crescut exponent, ial la trecerea dela AFN la AFD. |K2|= |2K1|= 2|K1|.

2.4.3 Conversie ER AFN

Pentru conversia aceasta vom trata expresiile regulate n acelas, i mod ca ncazul definirii; ntai constructori de baza s, i apoi operat, iile de reuniune, con-catenare s, i Kleene Star.

Toate automatele create acum vor avea o stare init, iala s, i o singura starefinala. La combinarea a doua automate starile init, iale s, i finale s, i pierd

proprietatea de stare init, iala, respectiv finala.Pentru a fi mai us,or se definesc urmatoarea notat, ie:

E expresie regulata, AF N(E) este automatul obt, inut prin aplicareaalgoritmului de aici;

1. E1= . M1 = (K1, 1, 1, s1, F1);K1 = {s, f}, 1= , F ={f};

E2 = e. M2 = (K2, 2, 2, s2, F2); K2 = {s, f}, 2 = {(s,e,f)}, F ={f};

2. a , E=a. M = (K, , , s , F ); K={s, f}, ={(s,a,f)}, F =

{f};

3. , expresii regulate,E=. Fie M1= AF N() = (K1, 1, 1, s1, {f1}),M2 = AF N() = (K2, 2, 2, s2, {f2}). M = (K, , , s , F ); K ={s, f}K1K2, = 12{(s,e,s1), (s,e,s2), (f1, e , f ), (f2, e , f )}, F ={f};

4. , expresii regulate,E=. Fie M1= AF N() = (K1, 1, 1, s1, {f1}),M2 = AF N() = (K2, 2, 2, s2, {f2}). M = (K, , , s , F ); K ={s, f}K1K2, = 12{(s,e,s1), (f1, e , s2), (f2, e , f )}, F ={f};

5. o expresie regulata,E=

. Fie M1= AF N() = (K1, 1, 1, s1, {f1}).M= (K, , , s , F );K={s, f}K1, = 1{(s,e,f), (s,e,s1), (f1, e , f )},F ={f};

11


12/26

2.5 Proprietat,i algoritmice

2.5.1 Inchidere n raport cu reuniunea

Mult, imea limbajelor regulate este nchisa n raport cu reuniunea. L1, L2limbaje regulate, L1 L2 este regulat.

1. Expresii regulate:

L1, L2, E1, E2, L(E1) =L1, L(E2) =L2.

L(E1 E2) =L(E1) L(E2) =L1 L2.

Se poate scrie o expresie regulata, E=E1 E2, care descrie limbajulL1 L2.

2. Automate finite nedeterministe:

FieM1= (K1, 1, 1, s1, F1), M2= (K2, 2, 2, s2, F2), doua automatefinite, L(M1) =L1, L(M2) =L2. K1K2 = , altfel, redenumim stariledintr-un automat.

M= (K, , , s , F ),K=K1 K2 {s}, = 1 2, = 1 2 {(s,e,s1), (s,e,s2)}, F =F1 F2, acceptaL(L1) L(L2).

Automatul ori trece n starile corespunzatoare automatului M1 s, i ac-cepta un cuvant din L1, ori trece n starile corespunzatoare lui M2 s, iaccepta un cuvant dinM2.

2.5.2 Inchidere n raport cu concatenarea

Mult, imea limbajelor regulate este nchisa n raport cu concatenarea. L1, L2limbaje regulate, L1 L2 este regulat.


L1, L2, E1, E2, L(E1) =L1, L(E2) =L2.

L(E1E2) =L(E1) L(E2) =L1 L2.

Se poate scrie o expresie regulata, E = E1E2, care descrie limbajulL1 L2.


12


13/26

FieM1= (K1, 1, 1, s1, F1), M2= (K2, 2, 2, s2, F2), doua automate

finite, L(M1) =L1, L(M2) =L2. K1K2 = , altfel, redenumim stariledintr-un automat.

M = (K, , , s , F ), K = K1 K2, = 1 2, = 1 2 {(f1, e , s2)|f1 F1}, s= s1, F =F2, acceptaL(L1) L(L2).

Automatul trece prin starile corespunzatoare lui M1 pana ajunge ntr-o stare care era finala, apoi trece n s2 s, i se opres,te ntr-o stare finaladupa ce primes,te s, i un cuvant din L2.

2.5.3 Inchidere n raport cu Kleene Star

Mult, imea limbajelor regulate este nchisa n raport cu Kleene Star. Llimbajregulat,L este regulat.


L, E, L(E) =L.

L(E) =L(E) =L.

Se poate scrie o expresie regulata,E=E, care descrie limbajul L.


FieM = (K, , , s, F), un automat finit, L(M) =L.

M = (K, , , s , F), K = K {s}, = , = {(s,e,s)} {(f, e , s)|f F}, F ={s}, accepta L(L).

Automatul termina direct n s sau trece prin starile corespunzatoarelui M pana ajunge ntr-o stare care era finala, de unde ajunge pe otranzit, ie vida napoi ns unde poate termina sau repeta procesul.

2.5.4 Inchidere n raport cu diferent,a

Mult, imea limbajelor regulate este nchisa n raport cu diferent,a. L1, L2limbaje regulate, L1 \ L2 este regulat.

1. Automate finite deterministe:

Fie M1 = (K1, 1, 1, s1, F1), M2 = (K2, 2, 2, s2, F2), doua automatefinite,L(M1) =L1, L(M2) =L2.

13


14/26

1 = 2 = , altfel unele tranzit, ii necesare nu exista. Daca nu exista,

se pot completa 1s, i 2pana la 1 2, introducand o stare de eroarenefinala n care sa ramana pentru orice caracter s, i tranzit, ii catre aceastare din orice alta stare pentru orice caracter nou introdus.

M= (K, , ,s,F),K=K1 K2, = {((q1, q2), c, ((q1), (q2)))|q1K1, q2 K2, c }, s = (s1, s2), F = {(f1, q2)|f1 F1, q2 K2 \ F2}, acceptaL(L1) \ L(L2).

Automatul simuleaza execut, ia ambelor automate n paralel s, i acceptaun s, ir daca doar primul automat ar fi a juns ntr-o stare finala.

2.5.5 Inchidere n raport cu intersect,ia

Mult, imea limbajelor regulate este nchisa n raport cu intersect, ia. L1, L2limbaje regulate, L1 L2 este regulat.

Demonstrat, ie:

Se poate considera L1 L2 = L1\ (L1\ L2) s, i se foloses,te metoda demai sus pentru automate.

Se foloses,te urmatoarea metoda:


Fie M1 = (K1, 1, 1, s1, F1), M2 = (K2, 2, 2, s2, F2), doua auto-mate finite,L(M1) =L1, L(M2) =L2.

1 = 2 = , altfel unele tranzit, ii necesare nu exista. Daca nuexista, se pot completa 1 s, i 2 pana la 1 2, introducand ostare de eroare nefinala n care sa ramana pentru orice caracter s, itranzit, ii catre acea stare din orice alta stare pentru orice caracternou introdus.

M= (K, , ,s,F),K=K1K2, = {((q1, q2), c, ((q1), (q2)))|q1K1, q2 K2, c }, s = (s1, s2), F = {(f1, f2)|f1 F1, f2 F2}, acceptaL(L1) L(L2).

Automatul simuleaza execut, ia ambelor automate n paralel s, i ac-cepta un s, ir cand ambele automate ar fi ajuns ntr-o stare finala.

14


15/26

2.5.6 Inchidere n raport cu complementarea

Mult, imea limbajelor regulate este nchisa n raport cu complementarea. L

limbaj regulat, L = Lc = L este regulat.Demonstrat, ie:

Se poate considera L = \ L s, i se aplica metoda ment, ionata anteriorpentru cele doua automate.

Se foloses,te urmatoarea metoda:


Fie M = (K, , , s, F), un automat finit determinist, L(M) =

L.M= (K, , , s, K \ F) accepta Lc.

Complementand mult, imea starilor finale se obt, ine exact comple-mentul limbajului.

2.5.7 Decizia daca un limbaj regulat este vid


Fie Eo expresie regulata L(E) = , , E = . Daca= =e, atunciE= .

2. Automate finite deterministe sau nondeterministe:

Pentru a stabili daca automatul accepta vreun s, ir, se face o parcurgerea grafului s, i daca se ajunge ntr-o stare finala limbajul nu e vid.

2.5.8 Decizia daca un s,ir este ntr-un limbaj regulat


Se genereaza n ordinea lungimii s, irurile acceptate de expresie s, i secompara cu s, irul cautat.


Se lanseaza n execut, ie automatul cu s, irul la intrare s, i se as,teaptasfars, itul execut, iei automatului. Daca la final este ntr-o stare finalas, irul este acceptat.

15


16/26


Se lanseaza n execut, ie automatul cu s, irul la intrare. Daca vreuna dinramuri se termina ntr-o stare finala s, irul este acceptat. Pentru a seasigura terminarea execut, iei, ciclurile care ajung n starea de unde aupornit fara a fi citit vreun caracter se executa o singura data.

2.5.9 Decizia daca un limbaj regulat este finit


Limbajul descris de o expresie regulata este finit daca orice operat, iede Kleene Star din interior este ntr-o subexpresie care descrie limbajulvid. Limbajul descris de o expresie fara Kleene Star este finit. Limbajulvid este finit.

2. Automate finite deterministe sau nedeterministe:

Un automat finit care cont, ine o stare finala aflata n/dupa un cicluaccesibil din starea init, iala accepta o infinitate de s, iruri.

2.6 Lema de pompare

Lema de pompare este o proprietate pe care o are orice limbaj regulat.

2.6.1 Enunt,

Fie L un limbaj regulat. Atunci n0 N astfel ncatw L, |w| n0x,y,z , w= xyz, |xy| n0, |y|>0 astfel ncatk N, xykz L.

Lema de pompare se poate formula astfel: Pentru orice limbaj regulat,orice s, ir destul de lung am avea, el se poate mpart, i n trei part, i astfel ncatpompand partea din centru de oricate ori, s, irul rezultat sa ramana n limba j.

Pentru limbaje finite se poate alege n0 lungimea maxima din limbaj.Astfel, pentru toate s, irurile mai lungi decat n0, adica niciunul, se aplicalema.

Pentru o expresie regulata, pentru orice s, ir se alege un subs, ir care s-a

potrivit o data pentru o subexpresie careia i se aplica Kleene Star s, i poatepompa de oricate ori, s, irul rezultat nca potrivindu-se expresiei regulate.

16


17/26

2.6.2 Negat,ia Lemei de pompare

Lema de pompare nu poate fi folosit a pentru a demonstra ca un limbajeste regulat fiindca exista limbaje care nu sunt regulate pentru care lemade pompare funct, ioneaza.

Fiindca lema funct, ioneaza pentru orice limbaj regulat, limbajele pentrucare lema nu se aplica cu sigurant, a nu sunt regulate. Astfel, dintr-o propri-etate fara mare utilitate, lema de pompare a devenit un instrument foartebun de demonstrare a faptului ca un limbaj nu ar fi regulat.

Forma negata a lemei de pompare este:FieL un limbaj. Daca pentrun0 N,w L, |w| n0 astfel ncat

x,y,z , w = xyz, |xy| n0, |y| > 0, k N astfel ncat xykz / L,

atunciL nu este regulat.Pentru a demonstra ca o proprietate nu e adevarata, cautam un contrae-xemplu. Pentru orice dimensiune, cautam un s, ir mai lung astfel ncat oricuml-am mpart, i, pomparea s, irului din mijloc produce un s, ir care nu e n limbaj.

2.6.3 Utilizare

Demonstrat, i folosind lema de pompare caL= {anbm|n=m} nu este regulat.Rezolvare: Presupunem L regulat. S, tiind ca L = L(ab) este regulat,

L \L = {anbm|n = m} ar trebui sa fie regulat, deci ar trebui sa respectelema de pompare.

Fien0 oarecare,w= an0

bn0

, |w|= 2n0 n0.x,y,z, w= xyz, din cauza restrict, iilor |xy| n0 s, i |y|> 0, nu putempompa decat a. Atunci, consideram x = ai; y = aj, j > 0; z = an0ijbn0 .Atunci, xykz = aiajkan0ijbn0 = an0+j(k1)bn0. Pentru k = 2, xy2z =an0+jbn0. Pentruj = 0, n0+j = n0, adica an0+jbn0 /L. Contradict, ie! presupunerea ca L ar fi regulat e gres, ita.

17


18/26

3 Limbaje independente de context

Din pacate, nu toate limbajele sunt regulate. Pentru ca expresiile regulates, i automatele finite pot descrie doar limbaje regulate, a fost nevoie de cevamai mult. Clasa limbajelor independente de context este urmatoarea clasaprincipala n ierarhia Chomsky.

3.1 Gramatici independente de context

Gramaticile independente de context reprezinta o alta metoda de reprezen-tare finita a limbajelor.

Limba romana are o gramatica a ei. O gramatica reprezinta o mult, ime

de reguli de modificare s, i combinare a cuvintelor n propozit, ii corecte. Con-siderand not, iuni definite pana acum, limba romana poate fi asociata unuilimbaj. Propozit, iile corecte pot fi considerate s, iruri din limbaj s, i compo-nentele propozit, iilor, cuvintele, pot fi considerate litere din alfabet. Astfel,facem urmatoarele asocieri:

limba limbaj;

propozit, ie s, ir;

cuvantsimbol;

vocabular alfabet.

Analizate astfel, not, iunile definite pana acum nu sunt suficiente pentru adefini o gramatica fiindca nu se pot reprezenta regulile.

O gramatica este, din punct de vedere formal, un tupluG = (V, , R , S ),undeV reprezinta mult, imea simbolurilor ce pot aparea n reguli, reprezintaalfabetul, R reprezinta mult, imea regulilor s, i S reprezinta simbolul de start.

este o mult, ime finita de simboluri care pot aparea n cuvintele limba-jului, simboluri numite s, i terminali. V este mult, imea tuturor simbolurilorcare apar n reguli, dar, pe langa terminali, cont, ine s, i nis,te simboluri carenu apar n cuvintele limbajului, numite neterminali. Un astfel de simbol este

SV \ .R este mult, imea finita a regulilor de product, ie. O regula este un tuplu,

(A, ), A V \ , V, care nseamna ca neterminalul A poate fi nlocuitcu s, irul de terminali s, i neterminali . Regula (A, ) se noteaza cu A .Modul n care este definit face ca R (V \ ) V. In cazul n care

18


19/26

A V \ , , V, (A, ) R (A, ) R, atunci regulile se pot scrie

A |, nsemnand caA se poate nlocui fie cu, fie cu .Inlocuirea part, ii din stanga a unei reguli cu partea din dreapta ntr-uns, ir se numes,te derivare. Spunem ca v este derivat din u(u v) daca AV \ , , , V astfel ncat (A, ) R u= A v= .

Inchiderea reflexiva s, i tranzitiva a relat, iei de derivare se noteaza cu.u v nseamna ca v este derivat din u n zero sau mai mult, i pas, i.

O gramatica genereaza un s, irwdaca s, i numai daca pornind de la simbolulde start se poate derivaw. Mult, imea tuturor s, irurilor generate de o gramaticaG se numes,te limbaj generat de gramatica. w L(G) S w.

Un limbaj generat de o gramatica independenta de context se numes,telimbaj independent de context.

3.1.1 Utilizari

Gramaticile independente de context sunt folosite pentru a descrie formallimbaje de programare. Din cauza asta sunt foarte folosite n compilatoare.

3.2 Automate Pushdown nedeterministe

Din cauza faptului ca automatele Pushdown deterministe pot accepta doaro submult, ime a limbajelor independente de context nu vor fi folosite deloc.

Un automat Pushdown nedeterminist este un automat finit nedeterminist

care are atas,ata o stiva.Formal, un APD este un tuplu M = (K, , , , s , F ), unde K este

mult, imea starilor, este alfabetul, este alfabetul stivei, (K ) (K ), este relat, ia de tranzit, ie ntre stari, s este starea de start s, iFeste mult, imea starilor finale.

Daca ((p, u, ), (q, )) , nseamna ca automatul poate trece din stareap n starea q, citindu de la intrare s, i scot, and de pe stiva, punand n loc .

O configurat, ie a unui APD este un element (p, w, ) K .Operatorul de trecere ntre configurat, ii este MKK.

Inchiderea reflexiva s, i tranzitiva a operatorului de trecere ntre configurat, ii

este

M.Un automat Pushdown nedeterminist accepta un s, ir daca exista cel put, ino cale astfel ncat din configurat, ia init, iala sa se ajunga ntr-o stare finalafara niciun caracter ramas la intrare s, i cu stiva goala. Limbajul acceptat

19


20/26

de un automat Pushdown nedeterminist este format din totalitatea s, irurilor

acceptate de el. w

, w L(M) fF, (s,w,e)

M (f,e,e).

3.2.1 Utilizari

Un APD poate fi folosit pentru implementarea unui parser dupa o gramaticadata.

3.3 Echivalent,a GIC, APD

3.3.1 Conversia GIC APD

Fie G = (V, , R , S ) o gramatica independenta de context. Sa se gaseasca

un automat Pushdown nedeterminist M= (K, , , , s , F ) care sa acceptelimbajul generat de G, L(M) =L(G).

Vom scrie un automat ale carui tranzit, ii simuleaza derivarile din grama-tica.

K = {s, f}; = V; = {((s,e,e), (f, S))} {((f,e,A), (f, ))|A V, (A, ) R} {((f,a,a), (f, e))|a };F ={f}.

Automatul pune init, ial pe stiva simbolul de start s, i trece n starea n careface derivarile. O derivare este simulata scot, and de pe stiva neterminalul dinstanga regulii s, i punerea pe stiva a part, ii din dreapta regulii. In cazul n carenu poate face o derivare fiindca simbolul din varful stivei este un terminal,

automatul poate citi la intrare terminalul respectiv s, i l scoate de pe stiva.

3.3.2 Conversia APD GIC

3.4 Proprietat,i algoritmice

3.4.1 Inchiderea n raport cu reuniunea

Mult, imea limbajelor independente de context este nchisa n raport cu reu-niunea. L1, L2 limbaje independente de context, L1 L2 este independentde context.

1. Gramatici independente de context:

Fie G1 = (V1, 1, R1, S1), G2 = (V2, 2, R2, S2), L(G1) = L1, L(G2) =L2. (V1 \ 1) (V2 \ 2) =, altfel redenumim neterminalii identici.

20


21/26

G = (V, , R , S ). V = V1 V2; = 1 2; R = R1 R2

{(S, S1), (S, S2)}.Din simbolul de start se poate deriva simbolul de start pentru una dincele doua gramatici de unde se poate deriva orice cuvant.

L(G) =L(G1) L(G2).

2. Automate Pushdown nedeterministe:

Fie M1 = (K1, 1, 1, 1, s1, F1), M2 = (K2, 2, 2, 2, s2, F2), douaautomate Pushdown nedeterministe, L(M1) = L1, L(M2) = L2. K1K2 = , altfel, redenumim starile dintr-un automat.

M = (K, , , , s , F ), K = K1 K2 {s}, = 1 2, = 1

2, = 1 2 {((s,e,e), (s1, e)), ((s,e,e), (s2, e))}, F = F1 F2,acceptaL(L1) L(L2).

Automatul ori trece n starile corespunzatoare automatului M1 s, i ac-cepta un cuvant din L1, ori trece n starile corespunzatoare lui M2 s, iaccepta un cuvant dinM2.

3.4.2 Inchiderea n raport cu concatenarea

Mult, imea limbajelor independente de context este nchisa n raport cu conca-tenarea. L1, L2 limbaje independente de context, L1 L2 este independent

de context.


Fie G1 = (V1, 1, R1, S1), G2 = (V2, 2, R2, S2), L(G1) = L1, L(G2) =L2. (V1 \ 1) (V2 \ 2) =, altfel redenumim neterminalii identici.

G= (V, , R , S ). V =V1 V2; = 1 2;R = R1 R2 {(S, S1S2)}.

Din simbolul de start se deriveaza concatenarea celor doua simboluride start, din fiecare derivandu-se cate un cuvant din limbajul respectiv.

L(G) =L(G1) L(G2).

2. Automate Pushdown nedeterministe:Fie M1 = (K1, 1, 1, 1, s1, F1), M2 = (K2, 2, 2, 2, s2, F2), douaautomate Pushdown nedeterministe, L(M1) = L1, L(M2) = L2. K1K2 = , altfel, redenumim starile dintr-un automat. 1 2 = , altfel

21


22/26

redenumim simbolurile dintr-unul dintre alfabetele stivei unuia dintre

automate.M = (K, , , , s , F ), K =K1 K2, = 1 2, = 1 2, =1 2 {((f1, e , e), (s2, e))|f1 F1}, s= s1, F =F2, acceptaL(L1) L(L2).

Automatul trece prin starile corespunzatoare lui M1 pana ajunge ntr-o stare care era finala, apoi trece n s2 s, i se opres,te ntr-o stare finaladupa ce primes,te s, i un cuvant din L2. Fiindca simbolurile de pe stivasunt diferite, al doilea automat nu poate curat,a stiva daca primul alasat ceva, as,a ca un s, ir e acceptat doar daca amandoua automatele aulasat stiva goala.

3.4.3 Inchiderea n raport cu Kleene Star

Mult, imea limbajelor independente de context este nchisa n raport cu Kle-ene Star. L limbaj independent de context, L = L este independent decontext.


FieG = (V, , R, S), L(G) =L.

G= (V, , R , S ). V =V; = ;R= R {(S, SS), (S, e)}.

Din simbolul de start se deriveaza S

S, facand practic o inserare aunui cuvant din L la nceputul s, irului. Dupa ce se insereaza numarulde cuvinte necesare se poate face o derivare a s, irului vid din ultimulsimbol de start.

L(G) =L(G1).

2. Automate Pushdown nedeterministe:

Fie M = (K, , , , s, F), un automat Pushdown nedeterminist,L(M) =L.

M = (K, , , , s , F ), K = K {s, f}, = , = {Z}, Z /

, = {((s,e,e), (s, Z))} {((f, e , Z ), (s, e))|f F}, F =F2,acceptaL(L1).

Automatul poate termina direct din stareassau poate trece prin starileluiM. Daca trece prin starile luiM, pune ntai un simbol pe stiva pe

22


23/26

careM nu l poate scoate s, i nu l scoate decat cand dintr-o stare finala

se ntroarce n s, dar doar daca automatul a ajuns n acea stare cu stivacurat,ata. Astfel, fiecare rulare a automatului accepta un cuvant.

3.4.4 Clasa limbajelor independente de context nu este nchisa n

raport cu diferent,a, intersect

,ia s

,i complementarea

Fie L1 ={ambncp|m,n,p N m= n}, L2 ={ambncp|m,n,p N n=p}. L1 \ L2 = {ambncp|m,n,p N m= n= p}, care nu este independentde context.

Intersect, ia s, i complementarea se pot descrie n funct, ie de diferent, a astfel:

A B= A \ (A \ B)

Ac = \ A

3.4.5 Decizia daca un limbaj independent de context este vid


Pentru a verifica daca o gramatica independenta de context genereazacel put, in un s, ir se marcheaza pe rand simbolurile din care se pot derivas, iruri de terminali.

Algoritm:

(a) Se marcheaza terminalii ca fiind simboluri din care se pot derivas, iruri formate doar din terminali.

(b) La fiecare iterat, ie se parcurg regulile s, i se marcheaza neterminaliidin stanga regulilor care au n dreapta s, iruri formate doar dinsimboluri deja marcate.

(c) Daca dupa o iterat, ie nu s-a mai marcat niciun neterminal, algo-ritmul se opres,te

Daca la finalul algoritmului simbolul de start, S, este marcat, nseamna

ca gramatica poate genera cel put, in un s, ir fara neterminali, adica lim-bajul este nevid

23


24/26

3.5 Lema de pompare

Lema de pompare este o proprietate pe care o respect a orice limbaj indepen-dent de context.

3.5.1 Enunt,

Fie L un limbaj independent de context. Atuncin0 N astfel ncat wL, |w| n0, u,v,x,y,z , w = uvxyz, |vxy| n0, |vy| > 0 astfel ncatk N, uvkxykzL.

Lema de pompare se poate formula astfel: Pentru orice limbaj indepen-dent de context, orice s, ir destul de lung am avea, el se poate mpart, i n cincisubs, iruri astfel ncat pompand simultan al doilea s, i al patrulea subs, ir deoricate ori, s, irul rezultat sa ramana n limba j.

3.5.2 Negat,ia Lemei de pompare

Lema de pompare nu poate fi folosita pentru a demonstra ca un limbaj esteindependent de context fiindca exista limbaje care nu sunt independente decotnext pentru care lema de pompare funct, ioneaza.

Fiindca lema funct, ioneaza pentru orice limbaj independent de context,limbajele pentru care lema nu se aplica, cu sigurant, a nu sunt independentede context. Astfel, dintr-o proprietate fara mare utilitate, lema de pomparea devenit un instrument foarte bun de demonstrare a faptului ca un limbajnu ar fi independent de context.

Forma negata a lemei de pompare este:FieL un limbaj. Daca pentrun0 N,w L, |w| n0 astfel ncat

u,v,x,y,z , w = uvxyz, |vxy| n0, |vy| > 0, k N astfel ncatuvkxykz /L, atunci L nu este independent de context.

Pentru a demonstra ca o proprietate nu e adevarata, cautam un con-traexemplu. Pentru orice dimensiune, cautam un s, ir mai lung astfel ncatoricum l-am mpart, i, pomparea celor doua subs, iruri produce un s, ir care nue n limbaj.

3.5.3 Utilizare

Demonstrat, i folosind lema de pompare caL = {anbncn}nu este independentde context.

Rezolvare:

24


25/26

Fien0 oarecare,w= an0bn0cn0, |w|= 3n0 n0.

u,v,x,y,z

, w = uvxyz, din cauza restrict, iilor |vxy| n0 s, i |vy| > 0,vxy poate sa cont, ina doar a, doar b, doar c, doar a s, i b sau doar b s, i c.Cazuri:

1. u= ai

vxy = aj; v= ajv , x= ajx, y= ajy ;jv+jx+jy =j n, jv+jy >0

z=an0ijbn0cn0

uvkxykz = aiakjvajxakjyan0ijbn0cn0 = an0+(jv+jy)(k1)bn0cn0 . Pentruk= 2, n0+ (jv+jy)=n0, adica an0+(jv+jy)bn0cn0 /L

2. u= an0i

vxy = aibj; i +j n0; i >0, j >0

z=bn0jcn0

Cazuri:

(a) v= aiv ;x = aixbjx; y = bjy ;iv+ix= i, jx+jy =j, iv+jy >0

uvkxykz = an0iakivaixbjxbkjybn0jcn0 = an0+iv(k1)bn0+jy(k1)cn0 .Pentruk = 2,n0+iv =n0n0+jy =n0, adicaan0+ivbn0+jycn0 /L

(b) v= aibjv ; x = bjx; y = bjy ;jv+jx+jy =j, i +jv+jy >0, jv > 0

uvkxykz = an0i(aibjv)kbjxbkjybn0jcn0 . Pentru k = 2, se stricaforma s, irului,an0bjvaibn0+jy(k1)cn0 /L

(c) v= aiv ;x = aix; y = aiybj; iv+ix+iy =i, iv+iy+j >0, iy >0

uvkxykz = an0iakivaix(aiybj)kbn0jcn0. Pentru k = 2, se stricaforma s, irului,an0+iv(k1)bjaiybn0cn0 /L

3. u= an0bi

vxy = bj; v = bjv , x= bjx, y= bjy ;jv+jx+jy =j n, jv+jy >0

z=cn0ij

uvkxykz = an0bibkjvbjxbkjybn0ijcn0 = an0bn0+(jv+jy)(k1)cn0. Pentruk= 2, n0+ (jv+jy)=n0, adica a

n0bn0+(jv+jy)cn0 /L

4. u= an0bn0i

vxy = bicj; i +j n0; i >0, j >0

z=cn0j

Cazuri:

25


26/26

(a) v= biv ; x = bixcjx; y = cjy ;iv+ix= i, jx+jy =j, iv+jy >0

uvk

xyk

z = an0

bn0i

bkiv

bix

cjx

ckjy

cn0j

= an0

bn0+iv(k1)

cn0+jy(k1)

.Pentruk = 2,n0+iv =n0n0+jy =n0, adicaan0bn0+ivcn0+jy /L

(b) v= bicjv ; x = cjx; y = cjy ;jv+jx+jy =j, i+jv+jy >0, jv >0

uvkxykz = an0bn0i(bibjv)kcjxbkjycn0j . Pentru k = 2, se stricaforma s, irului,an0bn0cjvbicn0+jy(k1) /L

(c) v= biv ; x = bix;y= biycj; iv+ix+iy =i, iv+iy+j >0, iy >0

uvkxykz = an0bn0ibkivbix(biycj)kcn0j. Pentru k = 2, se stricaforma s, irului,an0bn0+iv(k1)cjbiycn0 /L

5. u= an0bi

vxy = cj ;v = cjv , x= cjx, y= cjy ; jv+jx+jy =j n, jv+jy >0

z=cn0ij

uvkxykz = an0bn0cickjvcjxckjycn0ij = an0bn0cn0+(jv+jy)(k1). Pentruk= 2, n0+ (jv+jy)=n0, adica an0bn0cn0+(jv+jy) /L.

26

Documenta Ie

Documents

Transcript of Documenta Ie