Diapositivas de Cinetica Del Solido

8/16/2019 Diapositivas de Cinetica Del Solido

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FACULTAD DE INGENIERIA

CIVIL SISTEMAS Y

ARQUITECTURA

C I N É T I C A P L A N A D E U N C U E R P O R Í G I D O :

F U E R Z A S Y A C E L E R A C I O N E S

C U R S O :

D I N A M I C A

I N T E G R A N T E S :

* C A N C I N O R I V E R A L U I S O L I V E R

N U Ñ E Z T O R R E S E L V I N

P E R E Z R I V A D E N E I R A O C T A V I O

G O I C O C H E A H U A N S I J O S E


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•PRINCIPIO DE D’ALEMBERT

•CONCEPTOS BÁSICOS FUERZA Y

ACELERACION EN EL SOLIDO)

• ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL

SOLIDO

MOVIMIENTO SIMPLE:

*TRASLACION DEL SOLIDO

*ROTACION DEL SOLIDO

MOVIMIENTO COMPUESTO:

*MOVIMIENTO PLANO GENERAL• EJERCICIOS DE APLICACIÓN


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INTRODUCCION

La Cinética de los cuerpos rígidos trata de las relaciones

existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen

agentes exteriores y los correspondientes movimientos de

traslación y rotación de dichos cuerpos.

En el caso de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita

una ecuación más para especificar el estado de rotación del

cuerpo. Así pues, para determinar el estado de movimiento plano

de un cuerpo rígido se necesitará dos ecuaciones de fuerza y una

de momentos, o sus equivalentes.

Es decir se estudiara las relaciones existentes entre las fuerzas

que actúan en un cuerpo rígido, la forma y la masa del mismo, y

el movimiento producido.


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OBJETIVOS

•Desarrollar las ecuaciones de movimiento de cinéticaplana de un cuerpo rígido simétrico

•Analizar las aplicaciones de estas ecuaciones acuerpos que experimentan traslación, rotación

alrededor de un eje fijo y movimiento plano general.


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BIOGRAFIA DE:

JEAN LE ROND D’ LEM ERT

Hijo ilegítimo de Madame de Tencin y del caballero

Destouches, D'Alembert, recién nacido, fue

abandonado en la puerta de la iglesia de Saint-

Jean-le Rond (de ahí el nombre que se le impuso).

En 1743 publicó su Tratado de dinámica, obra

fundamental en que formula el conocido principiode D´alembert, que confirma la existencia de la

inercia en un punto material, como reacción

ejercida por ese punto frente a las fuerzas que

actúan sobre él. Con ella, el joven D'Alembert

alcanza de inmediato prestigio en toda Europa

como uno de los pensadores científicos más

reputados;Lagrenge afirmará que ese tratado

«reduce la estática a la dinámica».


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PRINCIPIO DE D‘ LEM ERT

El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas

a un sistema:

( -

). 0

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema,

siendo:

:cantidad de movimiento de la partícula i -ésima.

: fuerza externa sobre la partícula i -ésima.

:cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre elconjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones

de movimiento existentes.

El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda

ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya

que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizantrabajo en un movimiento compatible.

Finalmente debe señalarse que el principio de d'Alembert es

peculiarmente útil en la mecánica de solidos donde puede usarse

para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo

de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que

sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio deD'Alembert.


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CONCEPTOS BÁSICOS

:

Antes de empezar a explicar este capítulo es importante conocer algunos

conceptos básicos:

FUERZA:

Fuerza es una magnitud vectorial que mide la intensidad del intercambio

de momento lineal entre dos partículas o sistema de partículas.


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MASA

:

Es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo. Es una propiedadextrínseca de los cuerpos que determina la medida de la masa inercial y dela masa gravitacional.

La unidad kilogramo (kg). Es una magnitud escalar.

PESO:

Es una medida de la fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto. El pesoequivale a la fuerza que ejerce un cuerpo sobre un punto de apoyo, originada porla acción del campo gravitatorio local sobre la masa del cuerpo.


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CINETICA:

Estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que lo producen (fuerzas

externas).


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CUERPO RIGIDO:

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto

de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no

cambian.


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«MOVIMIENTO SIMPLE»


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ECUACION DEL MOVIMIENTO DEL

SÓLIDO


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1.-ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL SÓLIDO EN

TRASLACION

Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un

segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, éste se mantiene siempre paralelo a sí

mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto

continuo de puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una

trayectoria determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias

equidistantes entre sí.

SOLIDO EN TRASLACION RECTILINEA


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En un movimiento de traslación rectilínea o curvilínea según se muestra enla figura 2, el vector posición del punto B es:

(1)

A AB lo llamaremos “vector de B con respecto a A” y es constante. Derivando la (1) tenemos:

(2)

Es decir en un instante dado la velocidad de B es igual, a la velocidad de A ya la de cualquier otro punto material del sólido rígido (ya sea unmovimiento de traslación rectilínea o curvilínea).

Si derivamos la (2) con respecto al tiempo:

(3)

Es decir que la aceleración del punto B es la misma que la del punto A y a lade cualquier otro punto material del sólido rígido.


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Es decir que la aceleración del punto B es la misma que la del punto A y ala de cualquier otro punto material del sólido rígido.

Así pues para un cuerpo en traslación las ecuaciones generales delmovimiento plano puede escribirse:

∑FG = maG ∑MGz = 0

Para una traslación rectilínea, como la ilustrada en la figura1, si el eje x setoma en la dirección de la aceleración las dos ecuaciones escalares delas fuerzas quedan:

∑FX = m(aG) x O ∑ Y = m(aG) y


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SÓLIDO EN TRASLACION

CURVILINEA

Cuando un cuerpo rígido se somete a traslación

curvilínea, todas sus partículas viajan a lo largo delas trayectorias de curvas paralelas. En un análisis,con frecuencias es conveniente utilizar un sistemade coordenadas inercial con su origen que coincidacon el centro de masa de cuerpo en el instanteconsiderado y sus ejes orientados en la direcciónnormal y tangencial a la trayectoria del movimiento.

0

Diremos pues que y representan,respectivamente, las magnitudes de lascomponentes de la aceleración tangencial y normaldel punto G.


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2.-ECUACIONES DEL SOLIDO EN ROTACION

SÓLIDO EN ROTACION ALREDEDOR UN EJE FIJO

Considere el cuerpo rígido, el cual está limitado a girar en el plano

vertical alrededor de un eje fijo. El sistema de fuerzas externas ymomentos de par que actúan en el cuerpo produce la velocidad y

aceleración angulares.

La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de

movimiento (IGzx = IGyz = 0), y que gira en torno a un eje fijo que pasa

por el CDM/G del cuerpo ( = = 0).En este caso aG = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimientoplano cualquiera se reducen a:

∑FX = mGx = 0∑F Y = mGy = 0

∑MX = IGz ()

A menudo aparecen rotaciones en torno a ejes fijos que no pasan

por el CDM/G del cuerpo.


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La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto

al plano de movimiento (IGzx = IGyz = 0), y que gira en torno

a un eje fijo que NO pasa por el CDM/G del cuerpo, en

este caso aA = 0; por tanto, las ecuaciones para un

movimiento plano cualquiera se reducen a:

∑Fx = m(aG)x = -m ω2

∑Fy = m(aG)y = m ∑M

Az = I

Az

La componente tangencial de la aceleración tiene una

magnitud de () y debe actuar en la direccióncompatible con la aceleración angular del cuerpo . Lamagnitud de la componente normal de la aceleración es

() esta componente siempre está dirigida delpunto Ga O, sin importar el sentido de rotación de .


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Los diagramas de cuerpo libre y cinético del cuerpo se

muestran en la figura. Las dos componentes m() ym() que se muestran en el diagrama cinético, estánasociados con las componentes tangencial y normal de la

aceleración del centro de masa del cuerpo. El vector ,donde es el momento de inercia del cuerpo calculadocon respecto a un eje que pasa por G.

Las ecuaciones de movimientos aplicables al cuerpo se

escriben en la forma:

∑Fn = m(aG)n = mω2rG

∑Ft = m(aG)t = m rG ∑MG = IG


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La ecuación de momentos puede ser reemplazada por una suma de momentos con

respecto a cualquier punto arbitrario P en o fuera del cuerpo siempre que se tenga

en cuenta los momentos () producidos por , m() y m() con respectoal punto.

∑Fn = m(aO)n = mω2rG

∑Ft = m(aO)t = mαrG

∑MO = IOα


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«MOVIMIENTO COMPUESTO»


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3.-SÓLIDO EN MOVIMIENTO EN EL

PLANO GENERAL

En la figura, donde un émbolo está conectado a un volantemediante una biela AB, se ilustran tres formas demovimiento plano:

1.- Rotación del volante en torno a un eje fijo.

2.- Traslación rectilínea del émbolo

3.- Movimiento plano cualquiera de la biela AB

Cuando el volante gira un ángulo θ, el pasador A recorre unadistancia sA = Rθ a lo largo de un camino circular. Elmovimiento del pasador B se puede considerar que es unasuperposición de los desplazamientos resultantes de unatraslación curvilínea de la biela y de una rotación de la bielaen torno al pasador A. Como resultado de estos dosdesplazamientos, el pasador B recorre una distancia sB a lo

largo de un camino horizontal.Así pues, el movimiento plano de la biela AB es lasuperposición de una traslación y una rotación en torno a uneje fijo.

El cuerpo rígido de la figura (a) se somete a movimiento plano general


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El cuerpo rígido de la figura (a) se somete a movimiento plano general

provocado por las fuerzas y el sistema de momentos de par aplicados de

manera externa. Los diagramas de cuerpo libre y cinético del cuerpo se

muestran en la figura (b). Si se establece un sistema de coordenadas x e y

inercial como se muestra, las tres ecuaciones de movimiento son:

∑Fx = m(aG)x

∑Fy = m(aG)y

∑MG = IGα

En algunos problemas puede ser útil sumar los momentos con respecto aun punto P distinto de G para eliminar tantas fuerzas desconocidas como

sea posible de la suma de momentos. Cuando se utilizan en este caso más

general, las tres ecuaciones de movimiento son:

∑Fx = m(aG)x

∑Fy = m(aG)y

∑MP = ∑(MK)P


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En este caso ∑(MK)P representa la suma de momentos de IGα y

m(aG) (o sus componentes) con respecto a P determinados porlos datos que aparecen en el diagrama cinético.

Existe un tipo particular de problema que implica un cilindro

uniforme, o un cuerpo de forma circular, que rueda sobre una

superficie áspera sin deslizarse. Si sumamos los momentoscon respecto al centro instantáneo de velocidad cero, entonces

∑(MK)CI se vuelve ICIα. La comprobación es similar ∑M0 = I0α,

de modo que:

∑MCI = ICIα

Este resultado es comparable a ∑M0 = I0α, la cual se utiliza

para un cuerpo sujeto con un pasador en 0.


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APLICACIONES

Ejercicio 1: Un gabinete de 75 kg se mueve a través de una superficie horizontal como

se muestra. Determinar la máxima fuerza que puede aplicarse sin que sevuelque el gabinete.


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Solución

El gabinete está en traslación con 0.Las ecuaciones de movimiento son:

+ → 7 5 + ↑ + − 75 9.81 0 + 75 9.81 + 735.75

0.45−0.45−0.450

− La fuerza máxima corresponde a impedir el vuelco,

entonces:

0 Por lo tanto: 735.75 735.75

9.81 →


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Ejercicio 2: El automóvil de tracción trasera representado en la figura pesa 15.5KN. El

coeficiente de rozamiento estático μ entre neumático y calzada es 0.70.

Determinar el mínimo tiempo que se necesita para que el automóvil acelere

uniformemente desde el reposo hasta una celeridad de 96 km/h


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Solución

155009.81 0

+ − 1 5 5 0 0 0

0

0.9 −0.19 +0.5 0

0.70()

+ − 1 5 5 0 0 0 + 15500

0.9 −0.19 +0.5(0.70) 0


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0.70() + − 1 5 5 0 0 0 + 15500

−0.19 +0.5(0.70) 0

1.25−0.19 0 Reemplazando

1.25−0.19(15500−) 0 Hallando

2045.1389 13454.8611 1431,59723 0.90606 /


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Hallando el tiempo mínimo

()

− − + Si 0

9 6 26.67

0

26.67/ (0.90606/

)

29.435


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Ejercicio 3:

La rueda de 150 kg. Tiene un radio de giro con respecto a su centro de masa O de

250 . Si gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a unavelocidad angular de 120 / en el instante en que se aplican lasfuerzas de tensión

2000 y

1000 a la banda de frenado en A y B

determine el tiempo requerido para detener la rueda.


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SOLU ION

El momento de inercia ( ) sobre su centro de masa es 150(0.25) 9.375

1000 0.3 − 2000(0.3) 9.375 ∝

∝ 32 / Por cinemática tenemos:

120 min 2 1 125.66

+ ∝ 0125.66 + −32

3.93


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Ejercicio 4:

Una esfera de 1lb que se mueve a 20 pie/s golpea el extremo de una barra esbelta B

en reposo de 10 lb. La barra está articulada a un soporte fijo en O. ¿cuál es la

velocidad angular de la barra después del impacto si e= 0.8?


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Solución

e = 0,8 0,8 =

V’

BP

-

V’

A

)/ V

A

- V

B

)

1,6 = V’

BP

-

V’

A

Conservación del momento angular total en C:

r

A

*m

A

V

A

).k + I

A

ω

A

+ r

B

*m

B

V

B

).k + I

B

ω

B

= r

A

*m

A

V’

A

).k + I

A

ω’

A

+ r

B

*m

B

V’

B

).k + I

B

ω’

B

-3j* 1/32,2) 20)i).k = -3j* 1/32,2) V’

A

)i).k + -1,5j* 10/32,2) V’

B

i)).k + 1/12) 10/32,2) 3

2

)

ω’

B

1,863 = 0,093 V’

A +

0,466 V’

B

+ 0,233

ω’

B

…………. 1

)

De la figura:

V’

B

= 1,5 *

ω’

B

V’

BP

= 3 *

ω’

B

Ahora reemplazamos en 1):

1,863 = 0,093 V’

A

+ 0,699

ω’

B

+ 0,233

ω’

B

1,863 -

0,093 V’

A

= 0,932

ω’

B

1,863 -

0,093 V’

A

= 0,932 V’

BP

/ 3)

1,863 + 0,093 1,6 -

V’

BP

) = 0,311 V’

BP

1,863 + 0,1488 = 0,404 V’

BP

V’

BP

= 4,98 pie/s

V’

BP

= 3 *

ω’

B

4,98 / 3 =

ω’

B

ω’

B

= 1,66 rad /s


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Ejercicio 5:

En el instante que se muestra la figura, la barra de 20 kg tiene una velocidad angular

de 5 / . Determine la aceleración angular y los componentes horizontal yvertical de la reacción del pasador en la barra en ese instante.


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SOLUCION

. + = m ; =(20kg)(5 /)(1.5m)

.+↓ = m ; −+ 20(9.81)N = (20kg)( )(1.5m)

. +↻ = ; (1.5m) + 60 N.m =

(20)(3) Al resolver= 750 N ; =19.05 N ; =5.90 / • Una solución mas directa de este problema seria sumar los

momentos con respecto al punto O para eliminar y y obteneruna solución directa para

. Por tanto

+↻ = () ;60 N.m + 20(9.81)N(1.5m)= (20)(3) +(20kg)( )(1.5m) (1.5m) =5.90 / ……..Resp.

Además , como

=

m

para una barra esbelta , podemos aplicar

+↻ = ; 60 N.m + 20(9.81)N(1.5m)= (20)(3) =5.90 / ……..Resp.

NOTA: por comparación la ultima ecuación da la solución más simplepara y no requiere utilizar el diagrama cinético.


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Ejercicio 6:


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Ejercicio 7:


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Ejercicio 8:


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