Curso de Robotica Movil 11

Robtica Mvil Maestra en Ingeniera Electrnica, Pontificia Universidad Javeriana Bogot, Colombia

Clase 6: Modelado Dinmico Dinmica de cuerpos rgidos, Operadores espaciales

Dinmica multi-cuerpo, Algoritmos: Dinmica inversa y Dinmica Directa. Modelo energtico

Prof. Julin Colorado, Ph.D email: [email protected] Parte del contenido e imgenes de esta presentacin son Andrs Jaramillo Botero, 2005Libro: Herramientas para Robtica de ManipuladoresS/W: Robomosp. IEEE Robotics and Automation Magazine, 2006 Peter-Corke Toolbox robtica Matlab

Contenido de la clase: ( Breve ) Parmetros Denavit-Hartenberg (DH) ( Breve ) Modelado dinmico por Euler Lagrange

Operadores espaciales (Newton-Euler) Dinmica de un solo cuerpo rgido Dinmica de cuerpos rgidos articulados

Algoritmos Newton-Euler recursivo Dinmica inversa Dinmica directa Modelo energtico

Estado del arte: modelado dinmico- fsica de cuerpos rgidos

Shigeo Hirose Toykio Tech Boston Dynamics

Bat-wing Molecular dynamics

Robtica mvil Clase 6: Modelado Dinmico ______________________________________

Parmetros DH


Transformaciones EspacialesTransformacines homogneasRepaso

Matriz de Transformacin Homognea para Articulaciones rotacionales

Matriz de Transformacin Homognea para Articulaciones primticas


Parmetros DHDenavit y Hartenberg proponen un modelo matricial para establecer de forma sistemtica un sistema de coordenadas (ligado al cuerpo) para cada elemento de una cadena articulada.D-H resulta en una matriz de transformacin homognea de 4x4 que representa cada uno de los sistema de coordenadas de los elementos de la articulacin con respecto al sistema de coordenadas del elemento previo.

Robomosp demo3 PA10.rbt


Parmetros DHLa matriz DH de un robot, se construye a partir de 4 parmetros geomtricos:


Parmetros DHEjemplo: Parmetros DH manipulador stanford

Eje fijo de base


d1

Parmetros DHEjemplo: Parmetros DH manipulador rotacional


En resumen1. Diseo geomtrico del robot: definir sistemas de coordenadas siguiendo el

planteamiento/algoritmo DH segn la morfologa requerida.2. En CAD, asociar cuerpos rgidos, articulaciones y motores al robot segn

los sistemas de coordenadas establecidos con DH3. Encontrar las matrices de Transformacin Homognea Tn,0 desde i=1 hasta

n; siendo n el nmero total de grados de libertad del robot.


Cdigo cinemtica directa:


Cdigo cinemtica inversa:

La relacin directa entre velocidades articulares y cartesianas est dada por:

qd es un vector de 1xn, siendo la inversa del jacobiano una matriz de nx6 y V es la velocidad espacial del efector final de 6x1.

Para que la solucin converga, se necesita un robot de al menos 6 grados del libertad.

Si n

Euler-Lagrange


Modelo y control dinmico de cuerpos articulados Euler-Lagrange

1. Identificar la matriz DH

La primer articulacin es rotacional ( ), mientras que la segunda (z) y tercera (r) son prismticas.

Ecuacin de Lagrange: : Lagrangiano dependiente de las posiciones y velocidades articulares. F: Fuerzas torques del sistema.


2. Identificar la posicin de los centros de masa de los cuerpos rgidos que componen el robot, as como sus vectores del velocidad.



3. Hallar Ecuaciones de Energa Cintica y Potencial



4. Obtener el Lagrangiano:



5. Hallar Ecuacin de movimiento:



5. Hallar Ecuacin de movimiento:

Ecuacin generalizada:

Matriz de masa Coriolis, centrfugas,giroscpicas

Gravedad



Modelos en coordenadas cartesianas:




Tipos de Control: articular o cartesiano usando el Jacobiano.


Operadores espaciales


articulacin i

centro de masacm

si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1

......cuerpo n: efecto final

base

......articulacin

i+1

ri+1,i

Operadores Espaciales


si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xi

yi

zi+1

xi+1

yi+1

r i+1,i Ecuaciones dinmicas de movimiento: (operadores espaciales)

Unidades ?



si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1ri+1,i

Ecuaciones dinmicas de movimiento:

Para expresar ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido en 3D o 6D, es necesario conocer su modelo cinemtico, es decir, operadores de rotacin-traslacin y el operador de inercia espacial (tensor de inercia) de dicho cuerpo:

Operadores:traslacin: rotacin: Inercia espacial:



si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1ri+1,i

Operador de traslacin:

Es un operador 6-dimensional, matriz de 6x6, compuesto por la matriz skew-simtrica (3x3) del vector de traslacin contenido en la matriz de transformacin homognea (3x1)

Pi,i+1 ! "6x6

pi,i+1 =

0 ! pz pypz 0 ! px

! py px 0

"

#

$$$$

%

&

( ) 3x3 matriz skew-simtrica de !pi,i+1 = px , py , pz!" #$

T

U 3x3 Matriz identidad de 3x3



si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1ri+1,i

Operador de rotacin:

Es un operador 6-dimensional, matriz de 6x6, compuesto por la matriz de rotacin de 3x3.

Ri+1,i 6x6

ri+1,i 3x3 Matriz de rotacin de 3x3.



En resumen

Para poder calcular los operadores espaciales (o 6-dimensionales) que definen la traslacin y orientacin de un cuerpo rgido, es necesario calcular la matriz de transformacin homognea para cada articulacin:

ri+1,i 3x3

!pi,i+1 = px , py , pz!" #$

T

articulacin Rotacional!



si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1ri+1,i

Operador inercial

Matriz de inercial espacial (o 6-dimensional) calculado con respecto al centro de masa (cm) del cuerpo rgido Ii,cm

6x6

Ji,cm =

Ixx Ixy IxzIxy Iyy IyzIxz Iyz Izz

3x3Tensor de inercial con respecto el centro de masa. Est compuesto por los productos y momentos de inercia

miUMasa puntual del cuerpo rgido, U: matriz identidad de 3x3



si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1ri+1,i

Tensor de inercia

Ji ,cm =

I xx ! I xy ! I xz! I xy I yy ! I yz! I xz ! I yz I zz

"

#

$$$$

%

&

( ) 3x3Ji ,cm



Ejemplo: clculo del Tensor de inercia

S u p o n i e n d o u n c u e r p o r g i d o c o n morfologa rectangular, cuyo centro de masa se ubica en las coordenadas: [c/2, b/2, a/2]. Calcular su tensor de inercia (genrico)

Ji ,cm3

3

3



3

3

ResumenOperadores Espaciales


Dinmica de Cuerpos Rgidos


Dinmica de Cuerpos RgidosCuerpo rgido sencillo

Velocidad angular:

Velocidad lineal:

Fuerzas:

Torques:

En 3D (operadores vectoriales):

En 6D (operadores espaciales):



Velocidad lineal: Torques:

En 3D (operadores vectoriales):

En 6D (operadores espaciales):

La relacin entre la velocidad y fuerza espacial con respecto la sistema de coordenadas de la articulacin y el sistema de coordenadas del centro de masa del cuerpo rgido es:

Siendo,

Soi,cm = Si,cm =U si,cm0 U

si,cm



Velocidad espacial:

si,cm

Aceleracin espacial (derivada con respecto al tiempo de la velocidad)

Donde, el segundo trmino representa la aceleracin de Coriolis y la aceleracin centrifuga (ambos dependientes directamente de velocidad)

SOLO Efecto traslacional!



Derivada vectorial:

w r = w r



Fuerza espacial:

si ,cm

La Fuerza! Es la derivada del momentum en funcin del tiempo:

SOLO Efecto rotacional!

Fuerzas giroscpicas:



Fuerza espacial:

si,cm

Con respecto a la articulacin:

Reemplazando Fi,cm

, siendo:

Reemplazando d/dt(Vi,cm):



Fuerza espacial:

!si ,cm

Expandiendo,

Teorema de ejes paralelos para el clculo de inercias en cualquier punto del cuerpo rgido


Dinmica de Cuerpos Rgidos Articulados


Dinmica de Cuerpos Rgidos articulados


Dinmica de Cuerpos Rgidos articuladosLas ecuaciones de movimiento son:

articulacin i

centro de masacm

si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1


base

......articulacin

i+1

ri+1,i

Velocidad espacial de la cadena articulada:

Aceleracin espacial de la cadena articulada:

i = 1...n

i = 1...nFuerza espacial de la cadena articulada:

i = 1...n

Ri+1,iT Pi,i+1



Anlisis de la ecuacin de velocidad espacial

articulacin i

centro de masacm

si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1


base

......articulacin

i+1

ri+1,i

Velocidad espacial:

i = 1...n6x1

Vi : Velocidad espacial. Vector de 6x1del cuerpo i, con respecto al sistema coordenado de la articulacin i

Ri+1,i 6x6 Pi,i+1 ! "

6x6 : Operadores espaciales de rotacin y traslacin. Matrices de 6x6 que permiten orientar y trasladar cantidades fsicas que se encuentran con respecto a diferentes sistemas de coordenadas.

Vi1 : Velocidad espacial del cuerpo i-1, con respecto al sistema i-1H : vector de 6x1 (al menos que la articulacin sea esfrica). Permite proyectar un escalar de movimiento

sobre el eje de movimiento.

qi :Escalar. Velocidad angular de la articulacin (rad/s)- articulacin rotacional o velocidad lineal de la articulacin (m/s) articulacin prismtica



Anlisis de la ecuacin de aceleracin espacial

articulacin i

centro de masacm

si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1


base

......articulacin

i+1

ri+1,i

Aceleracin espacial:

i = 1...n6x1

bi =Pi ,i+1 Ri+1,iVi ! 1 + H qi

qi

qi

qi

Coriolis Centrgufa Ri+1,iT Pi,i+1



Anlisis de la ecuacin de Fuerza espacial

articulacin i

centro de masacm

si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1


base

......articulacin

i+1

ri+1,i

Fuerza espacial:

i = 1...n6x1

IiVi Componente local de fuerza- (Newton: masa por aceleracin), siendo Ii el operador de inercia o matriz

de inercia del cuerpo i con respecto al sistema de coordenadas i

I i

Si ,cm + I iVi : Trminos de fuerza dependientes de velocidad: giroscpicas


Dinmica de Cuerpos Rgidos articuladosEn resumen..modelo dinmico

articulacin i

centro de masacm

si,cm

pi,i+1

cuerpo i

cuerpo i+1

zi

xiyi

zi+1

xi+1

yi+1


base

......articulacin

i+1

ri+1,i

Velocidad espacial de la cadena articulada:

Aceleracin espacial de la cadena articulada:

i = 1...n

i = 1...nFuerza espacial de la cadena articulada:

i = 1...n

Ri+1,iT Pi,i+1


Algoritmos:Dinmica Inversa/DirectaRevisarLibro: Herramientas para Robtica de Manipuladores Andrs Jaramillo Botero, 2005


El problema dinmico


Algoritmo: dinmica InversaClculo de torques/fuerzas segn un movimiento articular predefinido.

Velocidades y aceleraciones espaciales (PROPAGACION HACIA ADELANTE)Dinmica Inversa

Fuerzas espaciales (PROPAGACION HACIA ATRAS):

Ri+1,iT Pi,i+1


Algoritmo: dinmica InversaClculo de torques/fuerzas segn un movimiento articular predefinido.

Newton-Euler Recursivo (complejidad O(n))

Ri+1,iT Pi,i+1


Algoritmo: dinmica Inversa

Detalle de algunos operadores espaciales:

siendo,

Hi =

001000

qi =

00qi000

Rotacional (alrededor de z)

Hi di =

00000di

Primtica(a lo largo de z)

Hi qi =

1 0 00 1 00 0 10 0 00 0 00 0 0

qi =

qx 0 00 qy 0

0 0 qz0 0 00 0 00 0 0

Articulacin esfrica

Ri+1,iT Pi,i+1


Algoritmo: dinmica InversaDetalle de algunos operadores espaciales:

siendo,

Operador inercial en el {CM}

Tensor de inercia en el {CM}

momentos

Operador de traslacin entre el frame {i} y el {CM}


Dinmica Directa

q = M q( )1 C q, q( ) q g q( )


Algoritmo: Dinmica Directa (complejidad O(n2))

Paso 1. Clculo del Operador de Masa M(q) de nxn

q = M q( )1 C q, q( ) q g q( )

Dado que M(q) SOLO es dependiente de las posiciones articulares (q), Los trminos de Fuerza dependientes de velocidad (Coriolis) y aceleracin (Gravedad), NO afectan los componentes de la matriz de masa M(q). Por lo tanto,

= M q( ) q +C q, q( ) q + g q( )01

= M q( )


Algoritmo: Dinmica Directa

Paso 2. Clculo de los trminos de fuerza dependientes de velocidad: Coriolis/gravedad

q = M q( )1 C q, q( ) q g q( )

Paso 3. Finalmente se integra en el tiempo (numricamente) para hallar qd y q a partir de qdd


ModeloEnergtico


Energa cintica y potencial de un robot de n-grados de libertad

Por definicin, la energa cintica (K) de una partcula de masa puntual (m) est definida segn su velocidad (V), como:

K = 12mV 2

As mismo, la energa potencial (U) para la misma partcula se define como el producto de su masa puntual por la constante de la gravedad (g) y la altura (h) de dicha partcula con respecto al suelo

U = mgh


Energa cintica y potencial de un robot de n-grados de libertad

Para el caso de una cadena articulada de cuerpos rgidos, la energa cintica de TODO el robot, se calcula como:

K = 12qiM q( ) qiT

:Velocidades articulares. Vector de 1xn qiM q( ) : matriz de masa de nxn calculada en el cmputo de la dinmica directa.

Por otro lado, la energa potencial (U) solo depende de la masa puntual de cada cuerpo rgido. Para hallar la energa potencial de TODO el robot, es necesario calcular la energa potencial de cada cuerpo y propagar esta cantidad a lo largo de toda la cadena cinemtica.

Uii=1

n

=Ui1 +mi g p z( )

p z( ) : componente del eje z del vector de traslacin de la matriz homognea del cuerpo i


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