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Circuiti con dinamiche complesse,biforcazioni e caos deterministico

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA E TECNOLOGIE DELL'INFORMAZIONE

Corso di Teoria dei CircuitiLaurea Magistrale in Ingegneria

Elettrica, Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni

Prof. Massimiliano de [email protected], www.elettrotecnica.unina.it

mailto:[email protected]

http://www.elettrotecnica.unina.it

Modulo di TEORIA DEI CIRCUITI - Circuiti con dinamiche complesse 2

• Richiami sulla fenomenologia del comportamento asintoticoper diverse classi di circuiti

• Analisi del circuito RLC ferrorisonante, soluzioni periodiche, subarmoniche e quasi-periodiche

• Qualche premessa sul caos deterministico, mappe

• Circuito RLCD e raddoppiamenti di periodo, soluzioni caotiche, finestre nel caos

• Strumenti per l’analisi di dinamiche complesse: attrattori strani, mappe di Poincaré, esponenti di Lyapunov

• Un paradigma del caos deterministico: il circuito di Chua• Cenni alle applicazioni dei circuiti caotici

Sommario


Alcune questioni generali

•Esiste un unico regime, o viceversa il comportamento asintotico non è unico?

•È sempre possibile definire i bacini di attrazione per le soluzioni asintotiche ed in che modo?

•Le soluzioni asintotiche mantengono le “simmetrie” del circuito (caratteristiche, andamento dei forzamenti)?

•Come cresce la numerosità delle soluzioni asintotiche al variare dei parametri?

•Quali aspetti di regolarità è possibile individuare nelle soluzioni asintotiche?

Comportamento asintotico/1


Caso lineare

•Per i circuiti lineari asintoticamente stabili il comportamento per t ∞ è unico (regime).

•La soluzione di regime è legata al tipo di forzamento (es. stazionario, sinusoidale), vale la proprietà di isomorfismo e la sovrapposizione degli effetti.

•Nei circuiti lineari per forzamenti di tipo diverso dal quello stazionario e sinusoidale è possibile applicare l’analisi di Fourier (serie, trasformata).



Caso non lineare

•Per i circuiti non lineari il comportamento asintotico in generale non è unico (dipende cioè dalle c.i.) dunque non sempre si può definire un regime.

•Il comportamento asintotico o le soluzioni di regime non sono necessariamente legate alle simmetrie (morfologia) del forzamento (es: oscillatore).

•non è possibile restringere lo studio ai soli casi stazionario e sinusoidale per poi applicare l’analisi di Fourier (non vale la sovrapposizione)



Unicità/non unicità soluzioni t ∞

•Circuito autonomo “debolmente” non lineare: soluzione di regime unica (es. amplificatore)

•Circuito autonomo non lineare: diverse soluzioni di regime (es. circuito con diodo tunnel)

•Circuito debolmente non lineare forzato sinusoidalmente: soluzione di regime unica periodica (es. raddrizzatore)

•Circuito non lineare forzato sinusoidalmente: diverse soluzioni di regime periodiche (es. circuito ferrorisonante)



• Circuito autonomo debolmente non lineare (es. amplificatore): soluzione di regime stazionaria (simmetria ok)

• Circuito autonomo non lineare (es. oscillatore): soluzioni periodiche (rottura della simmetria)

• Circuito debolmente non lineare forzato sinusoidalmente(es. raddrizzatore): soluzione di regime periodica (simmetria ok)

• Circuito non lineare forzato sinusoidalmente (es. circuito ferrorisonante): soluzioni subarmoniche (rottura della simmetria)

Conservazione delle simmetrie


“Una soluzione di regime che abbia meno simmetria del circuito non può essere unica”

Rottura delle simmetrie

Es. oscillatore autonomo:

x(t) soluzione x(t’ ) soluzione con t’=t+τDue i casi:

– x(t) = x(t’ ) per qualsiasi scelta di τ– Le due soluzioni sono differenti se τ ≠Τ

Nel secondo caso abbiamo diversi regimi (∞)


Il circuito è non lineare, del secondo ordine, non autonomo

Può rappresentare ad es. il modello di un trasformatore di misura in sottostazioni elettriche

=( ) sen( )Me t E tω 502

f Hzωπ

= =

.

Circuito ferrorisonante

R CRe t

i


se EM è “sufficientemente piccolo” il comportamento è lineare (siamo completamente all’interno della regione lineare della caratteristica dell’induttore)

.

Circuito ferrorisonante /2

La soluzione di regime è unica, indipendentemente dalle condizioni iniziali, periodica (sinusoidale) con periodo T=1/f

Aumentando un po’ l’ampiezza EM la soluzione rimane unica e di periodo T ma nasce una distorsione


.

Circuito ferrorisonante /3Superato un certo valore per EM si osserva che nascono tre soluzioni di regime. Di esse, due sono stabili ed una instabile

Ciascuna soluzione viene raggiunta a partire da determinate condizioni iniziali. Tutte e tre le soluzioni conservano la simmetria del circuito

Osserviamo dunque al variare di EM una “biforcazione” simile a quella del circuito del primo ordine con diodo tunnel


Si potrebbe pensare che la soluzione instabile separi i bacini di attrazione.

Ciò non è vero nel caso considerato!

.

Circuito ferrorisonante /4Quali sono i bacini di attrazione di tali soluzioni di regime?


Aumentando ancora EM (EM =300 V) la soluzione ritorna ad essere unica, ma con un grado di distorsione maggiore

.


La soluzione di regime è unica, indipendentemente dalle condizioni iniziali, periodica con periodo T=1/f


Continuando ad aumentare EM (EM =2300 V) , si ritrovano nuovamente 3 soluzioni di regime periodiche di periodo T

.


Di esse due risultano stabili ed una instabile. Tali soluzioni però manifestano una rottura della simmetria.


Per alcuni valori dei parametri del circuito si può avere una situazione nuova:

.


nascono soluzioni di periodo multiplo (3T) del forzamento (subarmoniche)Si hanno ora quattro soluzioni: quella interna (instabile) e “tre” esterne che differiscono l’un l’altra per traslazioni di T e 2T

È possibile trovare valori dei parametri con comportamenti anche molto più complessi (es. 41 soluzioni di cui 17 stabili!)


Il concetto di “caos” è normalmente legato all’impredicibilità

della dinamica di un sistema, o al concetto di casualità (cioè

al risultato di un processo “aleatorio”). Ma possiamo legare

l’impredicibilità al determinismo?

Esistono molti sistemi, generalmente complessi, per i quali

la descrizione della dinamica è di fatto impraticabile se

intesa in senso deterministico, ed a ciò siamo abituati. Ciò

che sorprende invece e che ciò possa accadere anche in

sistemi semplici.

.

Caos deterministico: una introduzione /1


• In un sistema dinamico (macroscopico) l’apparente “casualità” è spesso dovuta a:

alta sensibilità alle c.i. con leggi note (e magari semplici): es. la roulette

imprecisione nella conoscenza delle leggi: es. la fluidodinamica

estrema complessità dei sistemi: es. i gas

• Diverso è invece il caso dei fenomeni quantistici, nei quali l’elemento aleatorio è intrinseco al modello!

• Vogliamo qui presentare invece sistemi deterministici (circuiti) estremamente semplici che, sotto opportune condizioni, hanno un comportamento non “predicibile”, se non in senso statistico!

.



Possiamo avere dinamiche cd. “caotiche” in un circuito (sistema) dinamico anche semplice se si combinano due condizioni:

•elevata sensibilità alle condizioni iniziali (“the butterflyeffect”*)

•ripiegamento delle traiettorie (folding, boundedstability)

* “the butterfly effect”, Edward Lorenz, 1972, può il battito di ali di una farfalla in Brasile

provocare un tornado in Texas?

.



Es: modello dinamico a “tempo discreto”:

a) caso lineare

.

21 0 2 1 0

0

( )

; ;....n

n

f x kxx kx x kx k x

x k x

=

= = =

=

−= 1( )n nx f x

1 0

1n

n

a x

a x

< ⇒ →

> ⇒ → ∞

x=0 è l’unico punto di equilibrio, e risulta attrattivo se

|a|<1, repulsivo altrimenti

Caos deterministico: es. tempo discr./1


b) caso non lineare:

.

21 1( )n n nx f x x b− −= = −

( )

21 0

22 22 1 0

4 2 20 0

;

-

2

x x b

x x b x b b

x x b b b

= −

= − = − =

= − + −

xn risulterà un polinomio completo di grado 2n !

Risulta abbastanza difficile sapere a priori come va a finire!



.

Esempio: f (x)=x 2-2, x’0=0.5 e x’’0=0.499

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

-2

-1

0

1

2

3

x 0= 0 .5

x 0= 0 .4 9 9

…dipendenza sensibile alle condizioni iniziali (soluzioni instabili secondo Liapunov)



.

Possiamo parlare di caos deterministico se, in qualche regione dello spazio di stato del nostro sistema accade che:

•si verifica alta sensibilità alle c.i. (eventualmente esponenziale) divergenza delle traiettorie

•c’è il “folding” delle traiettorie (che le mantiene limitate ad una regione finita dello spazio di stato nonostante la divergenza)

•esiste una regione “densa” di orbite nello spazio di stato (attrattore strano)

Ma come si può caratterizzare quantitativamente la “divergenza” delle traiettorie? esponenti di Lyapunov

Caos deterministico: condizioni


.

HP: divergenza può essere trattata con la linearizzazione (locale):

λ prende il nome di esponente di Liapunov

( ) ( )0

0 00

1; lim lim lnt

t x

x tx t e x

t xλ

δ

δδ δ λ

δ→∞ →≈ =

Caos deterministico: esp. Lyapunov/1

se λi<0 le soluzioni

convergono,

se λi>0 le soluzioni

divergono (chaos!)


.

Es: sistema a tempo discreto,

dopo n iterazioni:

0 0 0 0;x x x x ε′ ′′= = +

( ) ( )( ) ( )0 0

n n nf x f x e λε ε+ − ≈

( ) ( ) ( )

( )

0

( ) ( ) ( )0 0

1

0

1 1ln ln

1lim ln

n n n

x x

n

in i

f x f x df xn n dx

f xn

ελ

ε=

−

→∞=

⎡ ⎤⎡ ⎤+ −⎢ ⎥≈ ≈ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

′∑

Caos deterministico: esp. Lyapunov/2

Andamento esponente di Lyapunov per la “mappa logistica”


1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits, Artech House, Inc, 1986.

2. G. L. Baker, J. P. Gollub, Chaotic dynamics: an introduction (2°

edition), Cambridge University Press

3. F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics, John Wiley & Sons,

1992

4. H. G. Schuster, Deterministic Chaos, VCH, 1988

5. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-

Verlag 1995.

Riferimenti bibliografici

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