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$e pueden mostrar los ceros de /0s1 factorizando el numerador:

)onde y d representan las mismas cantidades. Es decir! es el coeficiente de

amortiguamiento exponencial.

d es la frecuencia resonante natural.

El patrón de polos y ceros se obtiene de la forma factorizada

Resonancia en paralelo

)ada la relación que existe entre! d y - y la configuración de polos y ceros! la

frecuencia resonante puede obtenerse a travs de mtodos puramente gráficos.

$i se asume una fuente de corriente senoidal de amplitud constante para el

circuito RL+ que se mostró al principio! la respuesta de volta%e es proporcional a la

impedancia de entrada.

Esta respuesta puede obtenerse de la gráfica de polos y ceros.

La respuesta comienza en cero! alcanza un valor máximo cerca de la frec.

Resonante natural y luego cae a cero conforme tiende a infinito

Resonancia en paralelo

La admitancia definida por 

tiene una conductancia constante y una susceptancia que tiene una magnitud

m(nima 0cero1 en resonancia y su valor es de 23R.

El valor máximo de la impedancia 4R5 ocurre en resonancia.

La corriente de L en resonancia es 06L!-7 6R3%-L1 y la corriente en + es 06+!-7

 %-+R61 . /a que en resonancia

$e encuentra que 6+!-7 86L!- 7 %-+R6 o sea 6+!-9 6L!- 7 6L!+ 7-

El valor máximo de la magnitud de la respuesta y la frecuencia a la que ocurre no

siempre se encuentran fácil.

Factor de +alidad

La esbeltez de la curva de respuesta de cualquier circuito resonante está

determinada por la máxima cantidad de energ(a que puede almacenarse en el

circuito! comparada con la energ(a que se pierde durante un per(odo completo de

la respuesta.

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En teor(a de control se escribe ste factor ligeramente diferente agregando el

parámetro adimensional 0zeta1!llamado factor de amortiguamiento:

La comparación de estas expresiones permite relacionar con otros parámetros.

1.5.- GRÁFICAS LOGARÍTMICAS DE BODE.

*n diagrama de ?ode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la

respuesta en frecuencia de un sistema. @ormalmente consta de dos gráficas

separadas! una que corresponde con la magnitud de dic"a función y otra que

corresponde con la fase. Recibe su nombre del cient(fico estadounidense que lodesarrolló! AendriB Cade ?ode.

Es una "erramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica! siendo

fundamental para el dise'o y análisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de ?ode dibu%a el módulo de la función de transferencia

0ganancia1 en decibelios en función de la frecuencia 0o la frecuencia angular 1 en

escala logar(tmica. $e suele emplear en procesado de se'al para mostrar 

la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de ?ode representa la fase de la función de transferencia enfunción de la frecuencia 0o frecuencia angular1 en escala logar(tmica. $e puede

dar en grados o en radianes. ,ermite evaluar el desplazamiento en fase de una

se'al a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia

determinada. ,or e%emplo! tenemos una se'al

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$i la función de transferencia es una función racional! entonces el diagrama de

?ode se puede aproximar con segmentos rectil(neos. Estas representaciones

asintóticas son #tiles porque se pueden dibu%ar a mano siguiendo una serie de

sencillas reglas 0y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibu%ar la

gráfica1.

Esta aproximación se puede "acer más precisa corrigiendo el valor de las

frecuencias de corte 04diagrama de ?ode corregido51.

El uso de cálculo logar(tmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

$upongamos que la función de transferencia del sistema ob%eto de estudio viene

dada por la siguiente transformada de Laplace:

donde ! e son constantes.

Las normas a seguir para dibu%ar la aproximación del ?ode son las siguientes

• en los valores de pulsación correspondientes a un cero 0 1 se tiene

que aumentar la pendiente de la recta un valor de por dcada.

• en los valores de pulsación correspondientes a un polo 0 1 se tiene

que disminuir la pendiente de la recta un valor de por dcada.

• el valor inicial se obtiene poniendo el valor de frecuencia angular 

inicial D en la función y calculando el módulo JA0%D1J.

• el valor de pendiente de la función en el punto inicial depende en el n#mero

y orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores a la inicial& se aplican

las dos primeras reglas.

,ara poder mane%ar polinomios irreducibles de segundo grado 0 1 se

puede en muc"os casos aproximar dic"a expresión por .

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@ótese que "ay ceros y polos cuando D es igual a un determinado o . Eso

ocurre porque la función en cuestión es el módulo de A0%D1! y como dic"a función

es comple%a!

.

,or ello! en cualquier lugar en el que "aya un cero o un polo asociado a un

trmino ! el módulo de dic"o trmino será

.

 

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CÓMO SE APROVECHA LA FRECUENCIA DE RESONANCIA EN

LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS.

,ara comprender la idea de resonancia se puede acudir a una experiencia quequizás por muy conocida no es "abitual razonar sobre ella. $e inicia la misma con

un recorrido por un parque cualquiera "asta llegar "asta una zona donde unos

ni'os o ni'as recrean su ocio %ugando con ciertos aparatos. En concreto conviene

fi%arse en uno de ellos: el columpio. $e puede observar el movimiento del columpio

y como la ni'a o ni'o sincroniza sus movimientos con el balanceo del columpio.

 

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el sistema 0el columpio1 y la acción sobre el mismo 0el movimiento de las piernas

del ni'o3a1 están sincronizados.

$e puede encontrar numerosos fenómenos en los que la respuesta de un sistema

físico sometido a una acción periódica depende de la frecuencia de dicha acción,

de tal forma que exista una frecuencia, la de resonancia, para la cual la magnitud medida adopta un valor máximo o mínimo.

 

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de imágenes mdicas RM@ 0Resonancia Magntica @uclear1 se basa en este

fenómeno.

El estudio de fenómenos resonantes puede llevar a comprender el

comportamiento de sistemas tan peque'os como el movimiento de protones y

neutrones en el n#cleo atómico! o tan grandes como es el movimiento de lasmareas atmosfricas terrestres 0deformación de la atmósfera debida a la acción

gravitatoria de la Luna1. La explosión del NraBatoa en 2O permitió medir 

experimentalmente la frecuencia de resonancia de la atmósfera considerada como

un oscilador.

El !"#!$% RLC 

El circuito que se va a analizar está compuesto por tres elementos: resistencia!

bobina y condensador. $e analiza su comportamiento tanto al conectarlosenserie 0figura ;1 como cuando están en paralelo 0figura O1. En particular! se

medirá la intensidad que circula por el circuito al aplicar una diferencia de potencial

alterna entre sus terminales y a distintas frecuencias. La relación entre tensión e

intensidad permitirá conocer la impedancia del circuito.

El comportamiento de los elementos pasivos en su con%unto debe corresponderse

con las expresiones:

 

siendo Z  el módulo de la impedancia e Y  el módulo de la admitancia para los

circuitos serie y paralelo respectivamente. La admitancia es el valor de la inversa

de la impedancia.

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En la figura P se muestra cual es la evolución del valor de la impedancia de un

circuito RLC  serie. En la gráfica se observa que para una frecuencia dada

0frecuencia de resonancia1 la impedancia es m(nima! o lo que es lo mismo! ante

una tensión aplicada la intensidad es máxima.

 

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,or otra parte! si analizamos el circuito RLC  paralelo! figura Q! se observa que la

frecuencia de resonancia se corresponde con un valor m(nimo de la admitancia o!lo que es lo mismo! máximo de la impedancia. Esto implica que ante una tensión

aplicada la intensidad es la menor posible. )e "ec"o la intensidad que entra en el

circuito cuando se encuentra en resonancia tiene el mismo valor que la que circula

por la resistencia. Esto no quiere decir que no circulen intensidades por el con%unto

bobina8condensador! sino que estos se comportan como si de una malla

independiente se tratase: las cargas del condensador cambian de una armadura a

la otra circulando a travs de la bobina. ,uede suceder que se d valores

intensidad muy grandes que pongan en peligro el circuito. En este caso se "abla

de factor de so!reintensidades y su expresión es la inversa del factor de

sobretensiones visto en el circuito anterior.

anto en el circuito RLC  serie como el paralelo la frecuencia de resonancia es:

El !"#!$% RLC  %&% '!l$"% () *)+,l)*

La respuesta selectiva de un circuito RLC  en función de la frecuencia puede ser utilizada para eliminar de una se'al compuesta de m#ltiples se'ales senoidales

aquellas frecuencias que no se desea. ,ara ello se introduce la se'al compuesta

0d.d.p.1 a la entrada del circuito RLC  y se mide la diferencia de potencial entre los

terminales de uno de sus elementos: esta será la se'al transmitida a un circuito

conectado entre dic"os terminales.

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El valor de la resistencia es independiente de la frecuencia de la se'al! pero no

sucede lo mismo con la intensidad que por ella circula ni! en consecuencia! con la

diferencia de potencial entre sus bornes. ,ara frecuencias próximas a la de

resonancia la intensidad que atraviesa será máxima! mientras que para

frecuencias que se ale%en del valor de la de resonancia! tanto si son mayores

como menores! la intensidad que atraviesa el circuito RLC  tiende a valer cero.

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C!"#!$% RLC  %&% !"#!$% ")*%,$)

Realiza el circuito de la figura 2O y completa la siguiente tabla:

+ircuito R 

S

C 

TF

L

mA

f - teórica

Az

f - exp.

Az

a1 original PU P!P H

b1 cambiar R  2;- P!P H

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C!"#!$% RLC  %&% '!l$"%

Realiza el circuito de la figura 2P! modificando la posición del segundo volt(metro

seg#n el filtro de que se trate! y completa la siguiente tabla:

+ircuito R 

S

C 

TF

L

mA

 teórica   exp.

VVV

,asa8alta a1 =riginal PU P!P H

,asa8ba%a a1 =riginal PU P!P H

,asa8bada a1 =riginal PU P!P H 8888888888888

VVVEl factor de calidad experimental!  exp.! se determina a partir de la curva

obtenida para los filtros pasa ba%a y pasa alta! y es igual el cociente % C &%  y % L &% a

la frecuencia de resonancia:

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@ota: se define el anc"o de banda de un filtro pasa8banda como el valor f 28f ;!

siendo f 2 y f ; las dos frecuencias correspondientes a una ganancia:

Es un parámetro que indica el rango de frecuencias filtradas en el entorno de la

frecuencia de resonancia. Las frecuencias f 2 y f ; se denomina frecuencias de

corte.

TÉCNICAS UE SE EMPLEAN PARA REPRESENTAR LA

RESPUESTA A LA FRECUENCIA