Contenido - Talleres | Just another WordPress.com site¬nicion´ 3.1.5 Una variable aleatoria es...

Contenido

3 Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad 23.1 Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas . . . . 63.3 Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . 17

3.3.1 Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2 Varianza de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . 22

3.4 La distribucion uniforme (discreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 La distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 La distribucion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 La distribucion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.8 Las distribuciones binomial negativa y geometrica . . . . . . . . . . . . 553.9 Uso de Statgraphics para trabajar con distribuciones discretas . . . . . 60 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Respuestas a ejercicios impares seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

CAPITULO 3

Variables aleatorias discretas ydistribuciones de probabilidad

Contenido

3.1 Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatoriasdiscretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta 17

3.3.1 Esperanza de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.2 Varianza de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . 22

3.4 La distribucion uniforme (discreta) . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 La distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 La distribucion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7 La distribucion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Las distribuciones binomial negativa y geometrica . . . 55

3.9 Uso de Statgraphics para trabajar con distribucionesdiscretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1 Variables aleatorias 3

Objetivos del capıtulo

1. Distinguir el concepto de variable aleatoria discreta.

2. Facilitar la comprension de los conceptos basicos de las distribuciones discretas deprobabilidad.

3. Desarrollar los conceptos de esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta.

4. Presentar aplicaciones de algunas distribuciones discretas en casos concretos.

Empleo de la estadıstica

≪Una empresa informa que el 25% de los contadores tienen empleo en contadurıa

publica. Suponga que este porcentaje se aplica a un grupo de 15 egresados de uni-

versidades que van a ejercer la profesion de contadurıa. ¿Cual es la probabilidad

de que cuando menos tres egresados tengan empleo en contadurıa publica?≫

3.1 Variables aleatorias

Es conveniente para el trabajo futuro, saber relacionar los resultados de un experimentocon numeros reales, ya que cuando los resultados de un experimento se pueden asociarcon numeros reales, son mas faciles de analizar. Desafortunadamente, no todos losexperimentos dan como resultados numeros reales.

Ejemplo 3.1.1 Suponga que una moneda se lanza dos veces. Entonces, el espacio muestralΩ correspondiente tendra como elementos a las siguientes cuatro parejas ordenadas de datoscualitativos (categoricos):

(C,C), (C, S), (S,C), (S, S),

en donde C significa “cara” y S, “sello”. Estos resultados no son numeros reales, pero sicada uno se asocia con el numero de caras, podemos asociar un unico real a cada resultado.Por ejemplo,

Al resultado (C,C) se le puede asignar el numero 2 (porque hay dos caras).

Al resultado (C, S) se le puede asignar el numero 1 (porque hay una cara).

Al resultado (S,C) se le puede asignar el numero 1 (porque hay una cara).

Al resultado (S, S) se le puede asignar el numero 0 (porque hay cero caras).

Al hecho de asociar los resultados de una espacio muestral de un experimento connumeros reales unicos se le llama variable aleatoria. La variable aleatoria en el ejemplo3.1.1 es “numero de caras que pueden resultar al lanzar una moneda dos veces” y sedice que tiene los tres valores 0, 1, 2.

Definicion 3.1.2 Una variable aleatoria X es una regla o funcion que asignaun unico numero real a cada resultado del espacio muestral Ω de un experimentoaleatorio. En sımbolos, una variable aleatoria X es una funcion X : Ω −→ R, siendoR el conjunto de los numeros reales.


Las variables aleatorias se simbolizan, generalmente, con las letras mayusculas X, Y y Z.Se utilizara su correspondiente letra minuscula (x, y, z en este caso) para designar susposibles valores. Ası, por ejemplo, si X representa a la regla (variable aleatoria) “numerode caras que pueden resultar al lanzar una moneda dos veces”, entonces, sus valores sonx = 1, 2, 3.

En el capıtulo 1 se hizo la distincion entre dos tipos datos numericos: los discretosy los continuos. Esta misma distincion se hace con las variables aleatorias.

Definicion 3.1.3 Una variable aleatoria es discreta si y solo si tiene unacantidad o finita o (infinita) enumerable de valores.

Recordemos que un conjunto de elementos es enumerable si los elementos que lo integran

pueden establecer una correspondencia biunıvoca uno a uno con el conjunto de los enteros positivos.

En este contexto, los conjuntos enumerables son infinitos.

Ejemplo 3.1.4 (Ejemplos de variables aleatorias discretas) La tabla 3.1 muestra ejem-plos de variables aleatorias discretas. En ella aparece un experimento, la correspondientevariable aleatoria X y sus posibles valores x.

Experimento Variable aleatoria X Valores x

1. Lanzar tres monedas Numero de sellos 0, 1, 2, 32. Sacar dos fichas, sin reemplazo, de Numero de fichas

una caja con 4 fichas rojas y 3 negras rojas 0, 1, 23. Lanzar dos dados Suma de los numeros

de las caras 2, 3, . . . , 124. Clientes que llegan a un mostrador Numero de clientes 0, 1, 2, . . .

5. Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1, 2, 3, 4, 5que hacen pedido

6. Revisar un embarque de 50 radios Cantidad de radios 0, 1, 2, . . ., 50defectuosos

7. Funcionamiento de un restaurante Sexo del cliente 0 si es hombre;durante un dıa 1 si es mujer

8. Lanzar un dado Numero de la cara 1, 2, 3, 4, 5, 6

Tabla 3.1: Ejemplos de variables aleatorias discretas

Ahora, presentamos el concepto de una variable aleatoria continua.

Definicion 3.1.5 Una variable aleatoria es continua si y solo si tiene una canti-dad infinita no enumerable de valores


Ejemplo 3.1.6 (Ejemplos de variables aleatorias continuas) La tabla 3.2 muestra ejem-plos de variables aleatorias continuas. En ella aparece un experimento, la correspondientevariable aleatoria X y sus posibles valores x.

Experimento Variable aleatoria X Valores x

1. Medir el tiempo en que apa-rece una letra en la pantalla Tiempo que demora endel computador aparecer la letra A x > 0

2. Escoger una serpiente al azar Longitud de una serpiente x > 0

3. Atencion al publico de un Tiempo, entre llegadas debanco clientes x ≥ 0

4. Llenar una lata de bebida(max = 12,1 onzas) Cantidad de onzas 0 ≤ x ≤ 12, 1

5. Proyecto para construir una Porcentaje terminado delnueva biblioteca proyectado en seis meses 0 ≤ x ≤ 100

6. Ensayar un nuevo proceso Temperatura en que se lleva aquımico cabo la reaccion deseada 150 ≤ x ≤ 212

(min 150 F; max 212F)

Tabla 3.2: Ejemplos de variables aleatorias continuas

Ejercicios de la seccion 3.1

1. Identifique las siguientes variables aleatorias en discretas o continuas:

(a) El numero de transistores defectuosos en un lote de 1000 transistores.

(b) El numero de robos ocurridos en un almacen en determinado perıodo de tiempo.

(c) El tiempo requerido por un bus de una ruta determinada para realizar el trayectoCentro-Universidad.

(d) El numero de polizas de seguros vendidos en un determinado mes por un agente deseguros.

(e) El tiempo de vida de un bombillo.

(f) El punto de fatiga, en kg por cm2 , de un cable de acero de 1,5 cm de diametro.

(g) El tiempo que dura un semaforo, de una determinada esquina en la Ciudad, en cambiarde rojo a verde.

(h) La cantidad de gasolina consumida por un vehıculo en un trayecto de 50 km.

2. Se determinara el numero de computadores en uso, tanto en una oficina con cinco com-putadores, como en una con tres. De los posibles valores para cada una de las siguientesvariables aleatorias.

(a) X = numero total de computadores en uso.

(b) Y = la diferencia entre los numeros de computadores en uso de las oficinas 1 y 2.

(c) Z = numero maximo de computadores en uso en cada una de las oficinas.

(d) W = numero de oficinas que tienen exactamente dos computadores en uso.

3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas 6

3. Un embarque de cinco maquinas de coser contiene dos que estan defectuosas. Si unalmacen de electrodomesticos recibe tres de estas maquinas al azar, enumere los elementosdel espacio muestral Ω con las letras B y D para “buena” y “defectuosa”, respectivamente.Luego a cada elemento de Ω asigne un valor x de la variable aleatoria X que representael numero de maquinas de coser defectuosas que el almacen compra.

4. Se lanza una moneda hasta que se obtienen tres caras. Enumere solo aquellos elementosdel espacio muestral Ω que requieren cinco o menos lanzamientos.

5. Un experimento consiste en la preparacion de una comida y se registra el tiempo que tardaen hacer esto.

(a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo, en minutos, requerido parapreparar la comida.

(b) ¿Que valores puede asumir la variable aleatoria?

(c) ¿Es discreta o continua esta variable aleatoria?

6. Tres personas tienen entrevistas programadas para empleo durante vacaciones en ciertaempresa. En cada caso, el resultado de la entrevista sera que les ofrezcan un empleoo no. Los resultados experimentales se definen en funcion de los resultados de las tresentrevistas.

(a) Haga una lista de los resultados experimentales.

(b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas. ¿Es unavariable aleatoria discreta o continua?

(c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los resultados experimentales.

3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleato-rias discretas

Probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome cierto valor

Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con una cierta probabilidad.

Ejemplo 3.2.1 Supongase que se lanza una moneda dos veces y sea X la variable aleatoriaque representa al “numero de caras que resultan”. Hallar la probabilidad de que X tome elvalor (a) 0, (b) 1 y (c) 2.SOLUCION:Debido a que el espacio muestral correspondiente esta dado por

Ω =(C,C), (C, S), (S,C), (S, S)

,

entonces, realmente, los posibles valores de X son 0, 1 y 2 porque

X(

(C,C))

= 2, X(

(C, S))

= 1, X(

(S,C))

= 1, X(

(S, S))

= 0.

Esta informacion tambien se puede resumir como se muestra en la tabla de la figura 3.1.Nos piden calcular1 P(X = 0), P(X = 1) y P(X = 2). Con base en lo anterior, obtenemos

1P(X = x) se lee “la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x”. Por ejemplo,P(X = 0) significa la probabilidad de que el valor resultante de X sea 0.


Evento muestral (S, S) (C, S) (S, C) (C, C)

Valores de X 0 1 1 2

Fig. 3.1: Valores de una variable aleatoria para el lanzamiento de dos monedas

P(X = 0) = P(

(S, S))

=1

4.

P(X = 1) = P(

(C, S) o (S,C))

= P(

(C, S))

+ P(

(S,C))

=1

4+

1

4=

1

2.

P(X = 2) = P(

(C,C))

=1

4.

Funcion de probabilidad y su representacion grafica

La distribucion de probabilidad de una variable aleatoria describe como se distribuyenlas probabilidades de los diferentes valores de la variable aleatoria.

Ejemplo 3.2.2 Consideremos nuevamente el lanzamiento de dos monedas y X la variablealeatoria definida como en el ejemplo 3.2.1. Entonces, teniendo en cuenta las probabilidadescalculadas en ese ejemplo, la distribucion de probabilidad de X se puede visualizar a traves dela llamada tabla de distribucion de probabilidades (o tabla de probabilidades)que se muestra en la tabla 3.3 (Recuerde que x interpreta a los valores de X).

x 0 1 2

P(X = x) 14

12

14

Tabla 3.3: Distribucion de probabilidad del ejemplo 3.2.2

Para una variable aleatoria discreta X, las probabilidades de que X tome cada uno desus valores generalmente se modelan tambien a traves de la llamada funcion de proba-bilidad, que representaremos por f. Esta funcion define la probabilidad de cada valor dela variable aleatoria. Por esta razon, introducimos la siguiente

Definicion 3.2.3 Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y supongamos que X toma los valores x1, x2, . . . (finito o infinito enumer-able). Decimos que una funcion f : R −→ [0, 1] es una funcion de probabilidadde X si

f(xk) =

P(X = xk), para todo valor xk de X;0, de otra forma.

Se puede verificar que f cumple las dos siguientes condiciones:

(a) f(xk) ≥ 0 para todo valor xk de X.

(b)∑

k

f(xk) = 1.


Ejemplo 3.2.4 Consideremos otra vez el lanzamiento de dos monedas y X la variable aleato-ria definida como en el ejemplo 3.2.1. Sea f : R −→ [0, 1] definida por f(x) = P(X = x), endonde x es un posible valor de X, es decir, f se define ası:

f(0) = P(X = 0) =1

4, f(1) = P(X = 1) =

1

2, f(2) = P(X = 2) =

1

4.

Una descripcion equivalente es

f(x) =

14, si x = 0 o x = 2;

12, si x = 1;

0, en otros casos.

Podemos verificar que f satisface las dos condiciones mencionadas en la observacion de ladefinicion 3.2.3. En este ejemplo, f(1) = 1/2 se interpreta de la siguiente manera: de ungran numero de veces que lancemos dos monedas, el 50% de las veces saldra 1 cara. Demanera similar podemos interpretar cualquier valor de f para un valor determinado de X enuna funcion de probabilidad.

Ejemplo 3.2.5 Se sabe que en un grupo de cuatro componentes hay dos que tienen undefecto. Una inspectora los prueba de uno en uno hasta encontrar las dos piezas defectuosas.Una vez que las localiza interrumpe las pruebas, pero prueba la segunda pieza defectuosapor seguridad. Si X es el numero de pruebas en la que se detecta la segunda pieza defectuosa,determine la funcion de probabilidad de X.SOLUCION:Sea f la funcion de probabilidad de X. Debido a que los posibles valores de X son 2, 3 o 4,entonces,

f(2) = P(X = 2) =2

4· 1

3=

1

6;

f(3) = P(X = 3) =2

4· 2

3· 1

2+

2

4· 2

3· 1

2=

1

3;

f(4) = P(X = 4) =2

4· 1

3· 2

2· 1

1· 3 =

1

2.

Observemos que f satisface las dos condiciones mencionadas en la observacion de la definicion3.2.3.

Ejemplo 3.2.6 Para verificar la exactitud de sus estados financieros, las empresas a menudoemplean auditores que verifiquen sus ingresos. Los empleados de la empresa se equivocanal registrar los ingresos 5% de las veces. Suponga que un auditor revisa aleatoriamentetres ingresos. Determine la funcion de probabilidad del numero de errores detectado por elauditor.SOLUCION:Para i = 1, 2, 3, sea Mi el evento que representa al hecho de que el auditor detecto un erroren el ingreso i. De igual manera, sea Bi el evento que representa al hecho de que el auditorno detecto un error en un ingreso i. De los datos del problema, P(Mi) = 0, 05. Por tanto,P(Bi) = 1 − P(Mi) = 0, 95. Ahora, sean X la variable aleatoria que representa al numero deerrores detectado por el auditor y f su correspondiente funcion de probabilidad. Tenemosque Como X puede tomar los valores 0, 1, 2 o 3, entonces (utilizaremos la independencia de


los eventos Mi, de los Bi y la de los Mi con los Bi),

f(0) = P(X = 0) = P(B1B2B3) = P(B1)P(B2)P(B3) = (0, 95)3 = 0, 857375;

f(1) = P(X = 1) = P(B1B2M3 o B1M2B3 o M1B2B3) = = 3(0, 05)(0, 95)2 = 0, 135375;

f(2) = P(X = 2) = P(B1M2M3 o M1B2M3 o M1M2B3) = = 3(0, 05)2(0, 95) = 0, 007125;

f(3) = P(X = 3) = P(M1M2M3) = (0, 05)3 = 0, 000125.

Observemos que f satisface las dos condiciones mencionadas en la observacion de la definicion3.2.3.

En muchas ocasiones, es de mucha ayuda el expresar la distribucion de probabilidad enforma grafica. En realidad, hay dos formas de hacer esta representacion grafica:

1. Cuando la variable aleatoria es discreta, la grafica de la funcion de probabilidadpuede construirse usando segmentos de rectas verticales. Los valores de la variablealeatoria se localizan en el eje horizontal y las probabilidades en el eje vertical,en cada valor se construye un segmento de recta vertical de altura igual a laprobabilidad de la variable aleatoria (vease el ejemplo 3.2.7). Advierta que lasuma de las longitudes de los segmentos verticales debe ser igual a 1.

Ejemplo 3.2.7 La grafica de la funcion de probabilidad del ejemplo 3.2.4 es comose muestra en la figura 3.3.

Fig. 3.2: Grafica de la funcion de probabilidad del ejemplo 3.2.4

2. En lugar de la representacion anterior, con mas frecuencia la funcion de distribucionde probabilidad se representa graficamente a traves del llamado histograma deprobabilidad. Como en el capıtulo ??, este histograma es un diagrama debarras, en donde los rectangulos estan dibujados de tal forma que sus bases, conel mismo ancho, estan centradas en cada valor x de X, y sus alturas son igualesa las correspondientes probabilidades dadas por f(x) (vease el ejemplo 3.2.8).Puesto que cada base tiene un ancho igual a 1, P(X = x) es igual al area delrectangulo centrado en x.

Ejemplo 3.2.8 El histograma de probabilidad del ejemplo 3.2.4 es como se muestraen la figura ??.


Fig. 3.3: Histograma de probabilidad del ejemplo 3.2.4

Funcion de distribucion acumulada y su representacion grafica

Hay muchos problemas en los cuales se desea calcular la probabilidad de que el valorobservado de una variable aleatoria X sea menor o igual a algun numero real x. Sise escribe F(t) = P(X ≤ t) para cada numero real t, se dice que F es la funcion dedistribucion acumulada o, simplemente, la funcion de distribucion de X.

Definicion 3.2.9 La funcion de distribucion (acumulada) F : R −→ R deuna variable aleatoria discreta X cuya esta definida por F(t) = P(X ≤ t), para todot real.

Observemos que si X tiene distribucion de probabilidad f, entonces,

F(t) =∑

x; x≤t

f(x), para todo t real

en donde la suma anterior recorre todos los valores x de X que son menores o iguales que t.

Ejemplo 3.2.10 Consideremos el lanzamiento de dos monedas y X la variable aleatoria“numero de caras que resultan”. En el ejemplo 3.2.4 se ha encontrado que la distribucionde probabilidad f de X esta definida por

f(0) = P(X = 0) =1

4, f(1) = P(X = 1) =

1

2, f(2) = P(X = 2) =

1

4.

Ahora, hallaremos la funcion de distribucion F de X. Para ello, procederemos teniendo enlos dos siguientes pasos:

• Como los posibles valores de X son 0, 1 y 2, primero determinamos F(t) para cada


valor t en el conjunto 0, 1, 2:

F(0) = P(X ≤ 0) =∑

x; x≤0

f(x) = f(0) =1

4.

F(1) = P(X ≤ 1) =∑

x; x≤1

f(x) = f(0) + f(1) =1

4+

1

2=

3

4.

F(2) = P(X ≤ 2) =∑

x; x≤2

f(x) = f(0) + f(1) + f(2) =1

4+

1

2+

1

4= 1.

• Ahora, determinamos F(t) para cualquier otro numero t (distinto de los valores posi-bles que toma x, es decir, distinto de 0, 1, 2). En este caso, F(t) coincide con F(x),siendo x el valor mas cercano posible de X a la izquierda de t. Por ejemplo,

– Tomemos numeros menores2 que 0:

F(−0, 5) = P(X ≤ −0, 5) = P(∅) = 0.

F(−10) = P(X ≤ −10) = P(∅) = 0.

Es decir, para todo t < 0, siempre F(t) = 0.

– Tomemos numeros que se encuentren entre 0 y 1:

F(0, 1) = P(X ≤ 0, 1) = P(X ≤ 0) =1

4.

F(0, 53) = P(X ≤ 0, 53) = P(X ≤ 0) =1

4.

F(0, 73) = F(0) =1

4.

F(0, 98) = F(0) =1

4.

Es decir, para todo 0 < t < 1, siempre F(t) = F(0) = 14.

– Ahora, tomemos numeros que se encuentren entre 1 y 2:

F(1, 32) = P(X ≤ 1, 32) = P(X ≤ 1) = F(1) =3

4.

F(1, 556) = F(1) =3

4.

F(1, 91) = F(1) =3

4.

Es decir, para todo 1 < t < 2, siempre F(t) = F(1) = 34.

– Finalmente, tomemos numeros que sean mayores que 2:

F(3, 84) = F(2) = 1, F(45) = F(2) = 1.

Es decir, para todo t > 2, siempre F(t) = F(2) = 1.

2Observese que los valores de X no son negativos y, por esta razon, es imposible que X tome unvalor negativo.


Teniendo en cuenta las conclusiones formuladas en los dos pasos anteriores, podemos afirmarque la funcion de distribucion acumulada esta dada por

F(t) =

0, si t < 0;

14, si 0 ≤ t < 1;

34, si 1 ≤ t < 2;

1, si t ≥ 2.

El grafico de esta funcion aparece en la figura 3.4, en la que puede verse que la funcion dedistribucion acumulada crece a saltos hasta que alcanza el valor 1.

Fig. 3.4: Grafica de la funcion de distribucion acumulada del ejemplo 3.2.10

Ejemplo 3.2.11 Sea X la variable aleatoria definida como en el ejemplo 3.2.5. Entonces,la funcion de distribucion acumulada F de X esta dada por

F(t) =

0, si t < 2;

16, si 2 ≤ t < 3;

12, si 3 ≤ t < 4;

1, si t ≥ 4.

Para encontrar a la funcion F, hemos utilizado el mismo procedimiento empleado en elejemplo 3.2.10.

En general, para variables aleatorias discretas, la funcion de distribucion acumuladasiempre tiene la forma de funcion escalonada comenzando en 0, hasta 1 (comparese conla figura 3.4). Esta y otras propiedades se expresan formalmente en el siguiente teorema:


Teorema 3.2.12 Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de distribucionacumulada F. Entonces,

(a) 0 ≤ F(t) ≤ 1, para todo numero real t.

(b) Si a y b son dos numeros reales con la propiedad de que a ≤ b, entonces, debecumplirse que F(a) ≤ F(b). Es decir, F es creciente.

En el ejemplo 3.2.10, observemos que F(0) ≤ F(1) ≤ F(2).

Calculo de f a partir de F

En el ejemplo 3.2.10, la funcion de distribucion acumulada F se ha determinado a partirde la funcion de probabilidad f. Es posible invertir este procedimiento y obtener f a partirde F cuando esta disponible esta ultima funcion. Esto ultimo se ilustra en el siguienteejemplo:

Ejemplo 3.2.13 Sea X una variable aleatoria discreta con valores 0, 1, 2 y 3 y con funcionde distribucion acumulada F definida por

F(t) =

0, si t < 0;

17, si 0 ≤ t < 1;

13, si 1 ≤ t < 2;

34, si 2 ≤ t < 3;

1, si t ≥ 3,

cuya grafica esta en la figura Si f es la funcion de probabilidad de X, entonces, calcularemosf a partir F de la siguiente manera:

f(3) = P(X = 3) = P(X toma valores 0, 1, 2, 3) − P(X toma valores 0, 1, 2)

= P(X ≤ 3) − P(X ≤ 2) = F(3) − F(2) = 1 −3

4=

1

4.

f(2) = P(X = 2) = P(X toma valores 0, 1, 2) − P(X toma valores 0, 1)

= P(X ≤ 2) − P(X ≤ 1) = F(2) − F(1) =3

4−

1

3=

5

12.

f(1) = P(X = 1) = P(X toma valores 0, 1) − P(X toma valores 0)

= P(X ≤ 1) − P(X ≤ 0) = F(1) − F(0) =1

3−

1

7=

4

21.

f(0) = 1 − f(1) − f(2) − f(3) =1

7.


Calculo de probabilidades de la forma P(a ≤ X ≤ b) a partir de f o F

Por regla general, la probabilidad de que X se ubique en un intervalo especıfico se obtienefacilmente de la funcion de distribucion acumulada, como se muestra en el siguienteejemplo.

Ejemplo 3.2.14 Sean X y F la variable aleatoria y su correspondiente funcion de dis-tribucion acumulada, definidas como en el ejemplo 3.2.13. Ademas, sea f la funcion deprobabilidad de X. Entonces,

P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X toma valores 2 o 3)

= P(X toma valores 0, 1, 2 o 3) − P(X toma valores 0 o 1)

= P(X ≤ 3) − P(X ≤ 1) = F(3) − F(1) = 1 −1

3=

2

3.

P(1 < X ≤ 3) = P(2 ≤ X ≤ 3) =2

3.

P(2 ≤ X < 3) = P(X toma solo el valor 2) = P(X = 2) = f(2) =5

12.

P(0 < X < 2) = P(X = 1) = f(1) =4

21.

P(1 < X < 2) = P(∅) = 0.

Observemos que P(2 ≤ X ≤ 3) 6= F(3) − F(2). Esto es porque el valor 2 de X esta incluido en2 ≤ X ≤ 3, por lo cual no deseamos restar esta probabilidad. Sin embargo, observemos queP(1 < X ≤ 3) = F(3) − F(1) porque X = 1 no esta incluida en el intervalo 1 < X ≤ 3.

Todas estas observaciones se pueden resumir en el siguiente teorema:

Teorema 3.2.15 Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de distribucionacumulada F. Entonces,

(a) Si a y b son dos numeros reales con la propiedad de que a ≤ b, entonces, setiene que

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a−),

en donde “a−” representa el valor maximo posible de X que sea estrictamentemenor que a.

(b) En particular, si los unicos valores posibles son enteros y a y b son enteros,entonces,

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a − 1),

(c) Si se toma a = b, entonces, P(X = a) = F(a) − F(a − 1).



7. Determine el valor de k de modo que cada una de las siguientes funciones sea una funcionde probabilidad de una variable aleatoria discreta X:

(a) f(x) = k(x3 + 4), para x = 0, 2, 3.

(b) f(x) = k(

3x

)(

44−x

)

, para x = 0, 1, 2.

8. Un casa editorial sabe que 35% de las textos universitarios que se editan se efectuan entextos de estadısticas con 332 paginas, 20% en con 400 paginas y 45% en textos con 450paginas. Sea X la variable aleatoria que representa al numero de paginas del siguientetexto universitario de estadıstica que se editara. Calcule la funcion de probabilidad de X

y representela graficamente a traves de un grafico lineal y un histograma de probabilidad.

9. Una pizzerıa, que atiende pedidos por correo, tiene cinco lıneas telefonicas. Sea X lavariable aleatoria que representa al numero de lıneas en uso en un momento especıfico.Supongamos que la funcion de probabilidad f de X esta dada en la siguiente tabla:

Valor x de X 0 1 2 3 4 5f(x) 0,20 0,25 0,10 0,15 0,09 0,21

Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:

(a) A = “a lo sumo 2 lıneas estan en uso”.

(b) B = “menos de 4 lıneas estan en uso”.

(c) C = “por lo menos 3 lıneas estan en uso”.

(d) D = “entre 2 y 4 (ambos inclusive) lıneas estan en uso”.

(e) E = “entre 2 y 5 (ambos inclusive) lıneas no estan en uso”.

(f) F = “por lo menos 3 lıneas no estan en uso”.

10. La funcion de probabilidad de la variable aleatoria X que representa al numero de imper-fecciones por 4 metros de un papel especial en rollos continuos de ancho uniforme, estadada por

x 0 1 2 3 4f(x) 0,21 0,28 0,10 0,25 0,16

Determine la funcion de distribucion acumulada de X y representela graficamente.

11. Una fabricante de lapiceros tiene un programa de control de calidad que incluye la in-speccion de lapiceros recibidos para revisar que no tengan defectos. Supongamos que, encierto dıa, el recibe lapiceros en lotes de cinco y se seleccionan dos lapiceros de un lotepara inspeccionarlos. Podemos representar los posibles resultados del proceso de seleccionpor pares. Por ejemplo, el par (3, 4) representa la seleccion de los lapiceros 3 y 4 parainspeccionarlos.

(a) Haga una lista de los resultados diferentes.

(b) Supongamos que los lapiceros 3 y 4 son los unicos defectuosos de un lote de cinco yse van a escoger dos lapiceros al azar. Defina la variable aleatoria X como el numerode de lapiceros defectuosos observado entre los inspeccionados. Encuentre la funcionde probabilidad de X.

(c) Encuentre la funcion de distribucion acumulada F de X y representela graficamente.

12. Se sacan tres fichas sucesivamente, sin reemplazo, de una caja que contiene cuatro fichasblancas y dos rojas. Encuentre la funcion de probabilidad para el numero de fichas rojas.


13. Un almacen de electrodomesticos ofrece a sus clientes diferentes opciones para el pago desus cuotas. Para un cliente seleccionado al azar, sea X la variable aleatoria que representaal numero de meses entre pagos sucesivos. Supongamos que la funcion de distribucionacumulada F de X esta dada por

F(t) =

0, si t < 1,

0, 39, si 1 ≤ t < 4,

0, 53, si 4 ≤ t < 6,

0, 69, si 6 ≤ t < 8,

0, 80, si 8 ≤ t < 12,

1, si 12 ≤ t.

(a) Calcule la probabilidad de que el numero de meses entre pagos sucesivos es estricta-mente mayor que 4, pero menor o igual que 12.

(b) Calcule la probabilidad de que el numero de meses entre pagos sucesivos es estricta-mente menor 4 o mayor o igual que 8.

(c) Calcule la funcion de probabilidad f de X.

(d) Utilice f para calcular la probabilidad de que el numero de meses entre pagos sucesivosque ha hecho un cliente esta entre 4 y 8 meses (ambos inclusive).

(e) Utilice nuevamente a f para calcular la probabilidad de que el numero de meses entrepagos sucesivos que ha hecho un cliente sea mayor o igual que 8.

14. Determine la funcion de probabilidad y la distribucion acumulada de la variable aleatoriaX que representa el resultado cuando se lanza un dado. Calcule la probabilidad de que X

sea estrictamente mayor que (a) 0 y (b) -2 pero menor o igual que 2.

15. Un embarque de siete computadores contiene tres defectuosos. Una empresa hace unacompra al azar de tres computadores. Sea X la variable aleatoria que representa al numerode computadores defectuosos que compra la empresa.

(a) Encuentre la funcion de probabilidad de X y dibuje el histograma de probabilidadcorrespondiente.

(b) Encuentre la funcion de distribucion acumulada de X y representela graficamente.

(c) Calcule la probabilidad de que el numero de computadores defectuosos que comprala empresa es 1.

(d) Calcule la probabilidad de que el numero de computadores defectuosos que comprala empresa es estrictamente mayor que 0, pero menor o igual que 2.

16. Se seleccionan tres monedas sin reemplazo de una caja que contiene cuatro de 200 pesosy dos de 500 pesos. Encuentre la funcion probabilidad para la variable aleatoria X querepresenta al total de dinero que hay en las tres monedas. Represente graficamente estafuncion como un histograma de probabilidad.

17. La aptitud de una persona para ser mensajero puede categorizarse como aceptable (A) o noaceptable (I). Cierta empresa necesita dos personas como mensajeros, los cuales deberanseleccionarse y ponerse a prueba independientemente hasta encontrar dos aceptables.Supongamos que 95% de todas las personas son aceptables. Sea X la variable aleatoria querepresenta al numero de personas que deben ser probadas. Halle la funcion de probabilidadf de X.


3.3 Esperanza y varianza de una variable aleatoria dis-creta

3.3.1 Esperanza de una variable aleatoria

Consideremos inicialmente el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.3.1 Suponga que usted esta encargado de crear y administrar un puesto dejuego en una feria que tradicionalmente tiene lugar anualmente en una fecha fija. Por expe-riencia previa, sabe que a la feria solo asisten los aficionados a las ferias. Su juego debe sersimple, y como es usted quien lo administra, eficiente. Se decide por un juego que se llama“dinero en el sombrero”. Entonces, consigue un sombrero elegante y coloca all 5 billetes de$1.000, 4 de $2.000 y un billete de $5.000.

A cada jugador se le permite meter la mano en el sombrero y sacar un solo billete3 quegana como resultado del juego.

Suponga que este juego se va a jugar muchas veces durante el dıa (digamos 100 veces)y que usted quiere ganar $1.000 en promedio por persona en ingresos netos o utilidades.Esto es,

precio por jugar − ganancia promedio por jugada = $1.000.

Suponiendo que cada billete, sin importar su denominacion, tiene la misma oportunidad deser seleccionado, ¿cuanto debe cobrar usted por jugar “dinero en el sombrero”?SOLUCION:Sea X la variable aleatoria discreta que representa a la cantidad de dinero que un jugadorpodrıa ganar en una sola jugada. En este caso, X puede tomar los valores $1.000, $2.000o $5.000. Como hay 10 billetes en total en el sombrero y cada billete, sin importar sudenominacion, tiene la misma oportunidad de ser seleccionado, entonces,

P(X = 1.000) =5

10= 0, 50, P(X = 2.000) =

4

10= 0, 40, P(X = 5.000) =

1

10= 0, 10.

Para decidir cuanto debe cobrar usted por jugar “dinero en el sombrero” necesitamos calcularla “ganancia promedio por jugada”. Ahora, como se jug’o n = 100 veces durante el dıa,entonces, esperarıamos que

• nP(X = 1.000) = (100)(0, 50) = 50 veces los jugadores sacarıan un billete de $1.000para una perdida de (50)($1.000) = $50.000 para el dueno de la feria;



Como la perdida total para el dueno de la feria (o las ganancias totales para los jugadores)es

$50.000 + $80.000 + $50.000 = $180.000

para los 100 jugadores, la perdida promedio por jugar es

$180.000

100= $1.800.

3Si selecciona mas de un billete, el jugador no recibe ninguno, un incentivo suficientemente fuertepara excluir esto como una posibilidad


Por lo tanto, para tener un promedio de $1.000 de ganancia por cliente, debemos cobrar$2.800, para el privilegio de sacar un billete del sombrero. Otra manera de considerar laperdida promedio para el dueno de la feria por cliente es:

$1.000P(X = 1000) + $2.000P(X = 2.000) + $5.000P(X = 5.000) = $1.800.

Este valor de $1.800, que corresponde a la “ganancia promedio del cliente por jugada” lallamaremos el valor esperado de X.

Antes de introducir la defeinicion de esperanza de una variable aleatoria, recuerde queuna formula para calcular el valor de la media poblacional µ es

µ =

∑(f · x)

n,

donde f es la frecuencia de una dato particular x y n es el tamano de la poblacion. Estaformula puede reescribirse como

µ =∑ (

x · f

n

)

.

Como la frecuencia relativa fn

“representa” en cierta forma a P(X = x) (la probabilidadde que ocurra x) y como f(x) = P(X = x) (en donde f es la funcion de probabilidad deX), entonces, la media poblacional puede escribirse como

µ =∑

(x · f(x)) .

Como consecuencia de estas observaciones, obtenemos la siguiente definicion:

Definicion 3.3.2 Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y supongamos que X toma los valores x1, x2, . . . (finito o infinito). Seaf la funcion de probabilidad de X. Entonces, la esperanza (valor esperado omedia) de X, simbolizada por µ o E(X), se define como

µ = E(X) =∑

k

xk · f(xk).

La interpretacion del concepto de esperanza se puede dar en terminos de frecuenciasrelativas a largo plazo. Supongamos que un experimento aleatorio se repite n veces, yque el evento X = x ocurre en f ocasiones. El promedio de los valores que toma lavariable aleatoria sobre las n repeticiones sera, entonces, la suma de xf/n sobre todos losposibles valores de x. Cuando el numero de repeticiones tiende a infinito, el coeficientef/n tiende a la probabilidad de ocurrencia del evento X = x, es decir, a P(X = x).Por tanto, xf/n tiende a xP(X = x). De este modo, la esperanza puede interpretarsecomo el valor promedio que tomarıa una variable aleatoria sobre un numero grandede repeticiones y representa una medida de localizacion localizado a lo largo del ejehorizontal que “dara equilibrio” a la distribucion de la variable aleatoria. Es importanterecalcar que la esperanza puede no ser un valor que la variable aleatoria pueda asumiren un ensayo del experimento.4

4Por ejemplo, E(X) = $1.800 en el ejemplo 3.3.1, aunque los valores posibles de X sean $1.000,$2.000 o $5.000.


Ejemplo 3.3.3 Consideremos el lanzamiento de dos monedas y sea X la variable aleatoria“numero de caras que resultan”. En el ejemplo 3.2.4 se ha encontrado que la distribucionde probabilidad f de X esta definida por

f(0) = P(X = 0) =1

4, f(1) = P(X = 1) =

1

2, f(2) = P(X = 2) =

1

4.

Por consiguiente, la esperanza de X esta dada por

E(X) = 0 · f(0) + 1 · f(1) + 2 · f(2)

= 0 · 1

4+ 1 · 1

2+ 2 · 1

2= 1.

Es decir, cuando el lanzamiento de las monedas se repite un numero grande de veces, seespera que resulte en promedio 1 cara.

Ejemplo 3.3.4 Una planta industrial grande realiza una campana para promover el usocompartido del automovil entre sus empleados. Los datos en la tabla de la figura 3.5 seregistraron entre todos los empleados de la planta para conocer los efectos de la campana.

Numero x Frecuenciade ocupantes Frecuencia relativapor automovil f xf f/n

1 425 425 0,4502 235 470 0,2493 205 615 0,2174 52 208 0,0555 22 110 0,0236 6 36 0,006

Total 945 1.864 1

Fig. 3.5: Datos de uso compartido del automovil

La media poblacional esta dada por µ = 1.864945

= 1, 97.

Ahora escojamos un coche al azar que transporte empleados al trabajo y contemos el numerode ocupantes. Este numero representa una variable aleatoria X, que toma los valores 1, 2,3, 4, 5 y 6 con las probabilidades 0,45, 0,249, 0,217, 0,555, 0,023 y 0,006 respectivamente.La esperanza de esta variable aleatoria es entonces

E(X) = 1 · f(1) + 2 · f(2) + 3 · f(3) + 4 · f(4) + 5 · f(5) + 6 · f(6)

= (1)(0, 45) + (2)(0, 249) + (3)(0, 217) + (4)(0, 555) + (5)(0, 023) + (6)(0, 006)

= 1, 97.

Observe que esto concuerda con valor calculado anteriormente.

Ejemplo 3.3.5 Una empresa considera dos inversiones posibles. Como aproximacion ini-cial, asigna probabilidades (subjetivas) a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20%por cada dolar invertido, perder un 10%, ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.Sea X el rendimiento por cada dolar invertido en el primer proyecto y Y el rendimiento porcada dolar invertido en el segundo. Las probabilidades asignadas son


x -0,20 -0,10 0 +0,10 +0,20P(X = x) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

y -0,20 -0,10 0 +0,10 +0,20P(Y = y) 0,01 0,04 0,10 0,50 0,35

Calcule los rendimientos esperados por cada dolar invertido en cada proyecto. ¿Cual proyectole parece a usted que representa la inversion mas atractiva.SOLUCION:El proyecto X, de acuerdo con cualquier estandar razonable, parece menos atractivo. Resultaigualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo. El proyectoY ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder.Ahora, E(X) = 0 y E(Y) = 0, 114. Por o tanto, el rendimiento esperado de X es (como hemosanticipado) menor que el rendimiento esperado de Z.

Esperanza de una funcion

La nocion de esperanza no se restringe a la propia variable aleatoria X, tambien puedeaplicarse a cualquier funcion h(X) de la misma5, como se explica en los siguientes dosejemplos:

Ejemplo 3.3.6 Un contratista puede tener cierta incertidumbre sobre el tiempo que re-querira terminar un contrato. Esta incertidumbre puede representarse mediante una varia-ble aleatoria cuyos valores posibles son el numero de dıas transcurridos desde el comienzohasta la conclusion del trabajo que se ha contratado. Sin embargo, el principal interes delcontratista no es el tiempo necesario sino el costo de cumplir el contrato. Este costo serauna funcion del tiempo. Luego, para determinar el costo esperado, es necesario expresar laesperanza como una funcion de la variable aleatoria “tiempo necesario para la conclusiondel trabajo”.

Ejemplo 3.3.7 Suponga que una librerıa compra tres ejemplares de un libro a $10.000

para venderlos a $20.000, entendiendo que al terminar el periodo de tres meses, cualquierejemplar no vendido se vendera en $3.000. Si X es la variable aleatoria “numero de ejemplaresvendidos”, entonces, la utilidad neta es una variable aleatoria h(X) que depende de X y queesta dada por

h(X) = 20.000X + 3.000(3 − X) − 30.000 = 17.000X − 21.000.

El siguiente teorema nos sugiere una forma sencilla de calcular la esperanza de unafuncion h(X).

5Es importante enfatizar que toda funcion h(X) de una variable aleatoria discreta X es tambienuna variable aleatoria discreta.


Teorema 3.3.8 Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y supongamos que X toma los valores x1, x2, . . . (finito o infinito). Sea f

la funcion de probabilidad de X. Entonces, la esperanza o media de cualquierfuncion h(X) de X, simbolizada por E

(

h(X))

, se define como

E(

h(X))

=∑

k

h(xk) · f(xk).

La esperanza E(

h(X))

puede entenderse como el valor promedio que tomarıa h(X) sobre un numero

muy grande de repeticiones.

Ejemplo 3.3.9 Si en el ejemplo 3.3.7, la variable X toma los valores 0, 1, 2 y 3 con lasprobabilidades 0,1, 0,2, 0,3 y 0,4, respectivamente, entonces, la utilidad esperada es

E(

h(X))

= h(0) · f(0) + h(1) · f(1) + h(2) · f(2) + h(3) · f(3)

= (−21.000)(0, 1) + (−4.000)(0, 2) + (13.000)(0, 3) + (30.000)(0, 4)

= 13.000.

Es decir, sobre un numero muy grande de repeticiones, se espera que el comprador tengauna utilidad de $13.000.

Propiedades de la esperanza

Hemos definido la esperanza de una funcion h(X) de una variable aleatoria X. La funcionlineal h(X) = aX + b, donde a y b son numeros reales fijos, es de particular interes. Eneste caso, E

(

h(X))

se calcula facilmente a partir de E(X).

Teorema 3.3.10 Sean X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y a, b numeros reales fijos. Entonces,

(a) E(aX + b) = aE(X) + b.

(b) E(aX) = aE(X) (si se toma b = 0).

(c) E(b) = b (si se toma a = 0).

Ejemplo 3.3.11 Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria 5X + 2

tiene esperanza 1, ¿cual es la esperanza de X?SOLUCION:Por hipotesis, se tiene que E(5X + 2) = 1. Por consiguiente, por el teorema 3.3.10a,

1 = E(5X + 2) = 5 E(X) + 2.

Con lo anterior, 5E(X) = 1 − 2 = −1, o sea, E(X) = −15.


3.3.2 Varianza de una variable aleatoria discreta

Ya que tenemos una manera de medir la localizacion de la distribucion de probabilidad,la pregunta es: ¿como sabremos, preferiblemente con un solo numero, el grado de dis-persion de la distribucion? Si queremos utilizar la esperanza en conjunto con una medidade dispersion para describir una distribucion, entonces, estudiar la distribucion alrededorde la esperanza es un metodo destacado (pero no unico) para considerar la dispersion delos valores posibles de una varibale aleatoria. Utilizaremos la esperanza como un puntode referencia.

Primero, debemos observar que este concepto de dispersion requiere alguna medidade la distancia x − E(X) entre un valor x determinado de la variable aleatoria X y elvalor esperado E(X). Esta distancia serıa todo lo necesario si todos los valores de la va-riable aleatoria discreta tuvieran la misma importancia (o igual probabilidad de ocurrir).Frecuentemente este no es el caso. A menudo algunos valores de la variable aleatoriatendran una probabilidad mas alta de ocurrir que otros. Entonces, necesitamos algunaforma de ponderar cada distancia para reflejar sus diferencias en importancia relativa.

Esta lınea de razonamiento nos indicarıa que todo cuanto necesitamos hacer, es medirla distancia xi − E(X) entre cada valor xi de la variable aleatoria discreta X y el valoresperado E(X) y ponderar esta distancia por la probabilidad de que ocurra tal valor ası:[xi−E(X)]P(X = xi). Sumando todas estas distancias ponderadas,

∑[xi−E(X)]P(X =

xi), tendremos la medida de dispersion buscada. Nuestra logica es correcta, pero estamedida no nos permitira distinguir entre una distribucion de probabilidad y otra porque,desafortunadamente, ∑

[xi − E(X)]P(X = xi) = 0

para todas las distribuciones de probabilidad. Es decir, obtenemos siempre el mismovalor numerico (esto es, 0) sin importar cual distribucion consideramos.

Hay varias maneras de evitar esta dificultad y mantener nuestra idea de un “distanciaponderanda” para medir la dispersion. Al usar xi−E(X), nuestra medida de “distancia”fue a veces positiva y otras negativa. Al elevar al cuadrado esa diferencia, [xi − E(X)]2,conservamos una medida de distancia, pero el valor numerico es siempre positivo. Pode-mos ponderar nuestra “nueva” medida de distancia por la probabilidad de ocurrenciade aquel valor de X y, entonces, tenemos una medida de dispersion. Los matematicoshan utilizado tradicionalmente esta medida y la llaman la varianza de la variable aleatoria.

Antes de introducir el concepto de varianza, recordemos que la varianza poblacionalde una conjunto de datos σ2 esta definida por

σ2 =

∑f · (x − µ)2

n,

donde f es la frecuencia de un dato particular x y n es el tamano de la poblacion. Estaformula puede reescribirse como

σ2 =∑(

[x − µ]2 · f

n

)

.


Como la frecuencia relativa fn

“representa” en cierta forma a P(X = x) (la probabilidadde que ocurra x) y como f(x) = P(X = x) (en donde f es la funcion de probabilidad deX), entonces, la media poblacional puede escribirse como

σ2 =∑ (

[x − µ]2 · f(x))

.

Como consecuencia de estas observaciones, obtenemos la siguiente definicion:

Definicion 3.3.12 Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y supongamos que X toma los valores x1, x2, . . . (finito o enumerable).Sean f y µ la funcion de probabilidad y esperanza de X, respectivamente. Entonces,la varianza de X, simbolizada por σ2 o V(X), se define como

σ2 = V(X) = E(

(X − µ)2)

=∑

k

(xk − µ)2 · f(xk).

La desviacion estandar de X, denotada por σ, se define como la raız cuadradapositiva de la varianza.

Tomar la raız cuadrada de la varianza para obtener la desviacion estandar proporciona un

valor en las unidades de medidas originales, como senalamos en el capıtulo ??.

Cuando se conoce la funcion de probabilidad, la media y la varianza de una variablealeatoria pueden calcularse aplicando directamente la definicion. En algunas aplica-ciones pr”acticas, desde el punto de vista computacional, es preferible usar una formulaalternativa equivalente para calcular la varianza. La equivalencia entre la formula alter-nativa y la definicion puede veriricarse algebraicamente.

Teorema 3.3.13 Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y supongamos que X toma los valores x1, x2, . . . (finito o enumerable).Sean f y µ la funcion de probabilidad y esperanza de X, respectivamente. Entonces, lavarianza de X es la esperanza del cuadrado de X menos el cuadrado de la esperanzade X. Es decir,

V(X) = E(X2) −[

E(X)]2

=∑

k

x2k f(xk) −

[

E(X)]2

.

Ejemplo 3.3.14 Consideremos el lanzamiento de dos monedas y sea X la variable aleatoria“numero de caras que resultan”. En el ejemplo 3.2.4 se ha encontrado que la distribucionde probabilidad f de X esta definida por

f(0) = P(X = 0) =1

4, f(1) = P(X = 1) =

1

2, f(2) = P(X = 2) =

1

4.

Ademas, en el ejemplo 3.3.3, hemos encontrado que la esperanza de X es µ = 1. Por


consiguiente, segun la definicion 3.3.12, la varianza de X esta dada por

V(X) = (0 − 1)2 · f(0) + (1 − 1)2 · f(1) + (2 − 1)2 · f(2)

= 1 · 1

4+ 0 · 1

2+ 1 · 1

4=

1

2.

Con esto, la desviacion estandar de X es σ =√

1/2 = 0, 707. La varianza de X pudimoshaberla hallado aplicando el teorema 3.3.13 de la siguiente manera:

E(X2) = 02 · f(0) + 12 · f(1) + 22 · f(2)

= 0 · 1

4+ 1 · 1

2+ 4 · 1

4=

3

2.

Por consiguiente,

V(X) = E(X2) −[

E(X)]2

=3

2− 12 =

1

2.

Ejemplo 3.3.15 Consideremos los datos del uso compartido del automovil presentados enel ejemplo 3.3.4 y sea X la variable aleatoria definida en ese mismo ejemplo. Allı se encontroque la esperanza de X es µ = 1, 97. Con esto, la varianza de esta variable aleatoria es

V(X) = (1 − 1, 97)2 · f(1) + (2 − 1, 97)2 · f(2) + (3 − 1, 97)2 · f(3) + (4 − 1, 97)2 · f(4) +

+ (5 − 1, 97)2 · f(5) + (6 − 1, 97)2 · f(6)

= (0, 9409)(0, 45) + (0, 0009)(0, 249) + (1, 0609)(0, 217) + (4, 1209)(0, 555) +

+ (9, 1809)(0, 023) + (16, 2409)(0, 006)

= 1, 197

y, por consiguiente, la desviacion estandar de X es σ =√

1, 197 = 1, 094.

Ejemplo 3.3.16 En el ejemplo 3.3.5, encuentre la varianza y la desviacion estandar de X

y Y e interprete los valores obtenidos.SOLUCION:En dicho ejemplo tenemos que E(X) = 0 y E(Y) = 0, 114. Podemos verificar que

V(X) = 0, 012, σX = 0, 110, V(Y) = 0, 006804, σY = 0, 082.

La distribucion de X tiene una mayor variabilidad. El grueso de la distribucion de Y seconcentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X estan de algunmodo dispersas entre todos los valores posibles. Con frecuencia se toma a la varianza delrendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto mayor es la varianza.En este ejemplo, la inversion Y tiene un rendimiento mas alto y un riesgo menor.

Varianza de una funcion

El siguiente teorema nos sugiere una forma sencilla de calcular la varianza de una funcionh(X) con X discreta.


Teorema 3.3.17 Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y supongamos que X toma los valores x1, x2, . . . (finito o infinito). Seaf la funcion de probabilidad de X. Entonces, la varianza de cualquier funcionh(X) de X, simbolizada por V

(

h(X))

, se define como

V(

h(X))

=∑

k

[

h(xk) − V(

h(X))]2 · f(xk).

Como antes, la desviacion estandar de h(X) es igual a la raız cuadrada positivade la varianza de h(X).

Ejemplo 3.3.18 Supongamos que, en el ejemplo 3.3.7, la variable X toma los valores 0, 1,2 y 3 con las probabilidades 0,1, 0,2, 0,3 y 0,4, respectivamente. En el ejemplo 3.3.7 hemoscalculado que la utilidad esperada es E

(

h(X))

= $13.000, siendo h(X) la utilidad neta. Porconsiguiente, la varianza de h(X) es

V(

h(X))

= [h(0) − 13.000]2 · f(0) + [h(1) − 13.000]2 · f(1) + [h(2) − 13.000]2 · f(2) +

+ [h(3) − 13.000]2 · f(3)

= (−21.000 − 13.000)2(0, 1) + (−4.000 − 13.000)2(0, 2) +

+ (13.000 − 13.000)2(0, 3) + (30.000 − 13.000)2(0, 4)

= (11, 56 × 108)(0, 1) + (28, 9 × 107)(0, 2) + (0)(0, 3) + (28, 9 × 107)(0, 4)

= 28, 9 × 107.

La desviacion estandar de h(X) es igual a√

28, 9 × 107 = $17.000.

Reglas de la varianza

Cuando h(X) es una funcion lineal de la forma h(X) = aX+b, donde a y b son numerosreales fijos, V

(

h(X))

se calcula facilmente a partir de V(X).

Teorema 3.3.19 Sean X una variable aleatoria discreta definida sobre un espaciomuestral Ω y a, b numeros reales fijos. Entonces,

(a) V(aX + b) = a2V(X).

(b) V(aX) = a2V(X) (si se toma b = 0).

(c) V(b) = 0 (si se toma a = 0).

(d) La desviacion estandar de aX + b es igual a |a| por la desviacion estandar dela variable X.

Observemos que las partes (a) y (b) dicen que la inclusion de la constante b no afecta la varianza, lo

cual es intuitivo porque la suma (o la resta) de una constante b cambia la ubicacion (valor medio),

pero no la dispersion de los datos. Ademas, la razon para el valor absoluto de a en la parte (d) es

que a puede ser negativa, mientras que la desviacion estandar no puede ser negativa.


La regla de Tchebychev y la regla empırica para variables aleatoriasdiscretas

La regla de Tchebychev y la regla empırica, introducidas en el capıtulo ?? para muestrasy poblaciones, tambien se aplican a las variables aleatorias.

Teorema 3.3.20 (Regla de Tchebychev y regla empırica) Sea X una varia-ble aleatoria con media µ y varianza σ2 (ambas finitas). Entonces,

P(|X − kσ| ≤ µ) ≥ 1 −1

k2,

para cualquier numero k > 1. Si X tiene mas o menos un histograma de probabilidadcon forma de campana, entonces,

P(|X − σ| ≤ µ) ≈ 0, 68, P(|X − 2σ| ≤ µ) ≈ 0, 95.

Ejemplo 3.3.21 Para la variable aleatoria X de los ejemplos 3.3.5 y 3.3.16, tenemos queE(X) = 0 y σX = 0, 110. Las verdaderas probabilidades son

P(|X − σ| ≤ µ) = P(|X − 0, 110| ≤ 0)

= P(−0, 110 ≤ X ≤ 0, 110)

= P(Y = −0, 10) + P(Y = 0) + P(Y = 0, 10)

= 0, 80

yP(|X − 2σ| ≤ µ) = P(|X − 0, 220| ≤ 0) = P(−0, 220 ≤ Y ≤ 0, 220) = 1.

La regla de Tchebychev indica que estas probabilidades deben ser al menos 1− 1/(12) = 0 y1 − 1/(22) = 0, 75, respectivamente. Como de costumbre, las desigualdades son ciertas conun margen muy grande. En este caso, la aproximacion que nos da la regla empırica es muymediocre, en parte porque X toma un numero muy pequeno de valores. Si la empresa hubieseestimado probabilidades subjetivas para los rendimientos de, digamos, −0, 25, −0, 20, −0, 15,. . ., 0, 15, 0, 20, 0, 20, lo mas probable es que la regla empırica hubiese sido una mejoraproximacion, aunque la distribucion no tenga una forma de campana.


18. Encuentre la media de la variable aleatoria X que representa al total de las tres monedasen el ejercicio 16 e interprete su respuesta.

19. Una distribuidora de aparatos electrodomesticos calcula la proporcion de estufas nuevasvendidas que han sido devueltas varias veces para repararles algun defecto durante elperıodo de garantıa. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:

Devoluciones 0 1 2 3 4 5Proporcion 0,20 0,30 0,21 0,09 0,06 0,14

(a) Dibujar la funcion de probabilidad.

(b) Hallar y dibujar la funcion de distribucion acumulada.


(c) Hallar la media y la varianza del numero de devoluciones para reparar defectos de unaestufa durante el perıodo de garantıa.

20. La funcion de probabilidad de la variable aleatoria X que representa al numero de imper-fecciones por 4 metros de un papel especial en rollos continuos de ancho uniforme, estadada en el ejercicio 10 por

x 0 1 2 3 4f(x) 0,21 0,28 0,10 0,25 0,16

Encuentre el numero promedio de imperfecciones en 4 metros de papel y su desviacionestandar.

21. Un distribuidor de computadores, vende tres modelos diferentes de computadores concapacidad de 20 GB, 25 GB y 30 GB del disco duro . Sea X la variable aleatoria querepresenta a la cantidad de espacio del disco duro de un computador comprado por elsiguiente cliente. Supongamos que X tiene la funcion de probabilidad f dada por

x 20 25 30f(x) 0,29 0,31 0,40

(a) Calcule E(X), E(X2) y V(X). Interprete E(X).

(b) Si el precio de un computador con capacidad X GB de disco duro es h(X) = 15X− 3,¿cual es el precio esperado (interpretelo) y la varianza del precio?

(c) ¿Cual es la varianza del precio h(X) pagado por el cliente?

(d) Suponga que mientras la capacidad nominal de un computador es X, la capacidadreal es g(X) = X2 − X. Calcule la media de la capacidad real e interpretela.

22. El propietario de una companıa proveedora de levadura tiene en existencia 120 libras deun producto que vende a los clientes en lotes de 4 libras. Sea X la variable aleatoria querepresenta al numero de lotes ordenados por un cliente seleccionado al azar y suponga queX tiene una funcion de probabilidad

x 1 2 3 4 5f(x) 0,18 0,32 0,30 0,12 0,08

(a) Calcule E(X) y V(X). Interprete E(X).

(b) Calcule el numero esperado y la varianza de libras sobrantes. (Sugerencia: el numerode libras restantes es una funcion lineal de X.)

23. Sea X una variable aleatoria discreta que representa al numero de personas que fuman deuna muestra de 4 personas escogidas de una poblacion en donde el 25% de las personasfuman. Supongamos que X tiene funcion de probabilidad definida por

f(x) =

(

4

x

)

(0, 25)x(0, 75)4−x, x = 0, 1, 2, 3, 4.

Encuentre la media de X e interprete su respuesta.

24. A un empleado de un servicio de fotocopiadora se le paga de acuerdo al numero defotocopias que saca. Suponga que las probabilidades 1/7, 3/14, 1/14, 3/14, 2/7, 1/14

son las de que el empleado reciba $1.500, $2.000, $2.500, $3.000, $3.500 y $4.000,respectivamente, entre 8:00 a.m. y 9:00 a.m. en cualquier lunes. Encuentre la media delas ganancias del empleado e interprete su respuesta.


25. Un determinada empresa compra varios computadores ultimo modelo al final de cada ano.El numero exacto depende de la frecuencia de reparaciones en el ano anterior. Supongaque X, el numero de computadores que se compran cada ano, tiene la siguiente funcionde probabilidad:

x 0 1 2 3f(x) 1/4 3/16 1/4 5/16

Si el costo del modelo que se desea permanece fijo a $2.830.451 a lo largo de este ano yse obtiene un descuento de $100.000X2 en cualquier compra, ¿cuanto espera gastar estaempresa en nuevos computadores al final de este ano?

26. Suponga que las probabilidades de 0,1; 0,3; 0,4 y 0,2 son las de que 0, 1, 2 o 3 personascompren cierto artıculo que esta en oferta en un pequeno almacen y en cierto dıa dado.Encuentre la media y la varianza del numero de personas que compran el artıculo en oferta.

27. Una empresa esta especializada en la instalacion y mantenimiento de diversos tipos dealarmas para bancos. Cada vez que se inicia un nuevo ano, las demandas de serviciosque reciben suelen ser para la instalacion de una nueva alarma. La tabla muestra lasprobabilidades estimadas para el numero de peticiones de una nueva alarma en las tresultimas semanas de enero.

Peticiones 0 1 2 3 4Probabilidad 0,12 0,16 0,27 0,29 0,16



(c) Calcular la probabilidad de que durante ese perıodo de tres semanas se generen almenos dos peticiones.

(d) Hallar la media y la desviacion tıpica del numero de peticiones de una nueva alarmaen ese perıodo de tres semanas.

28. Al invertir en unas acciones particulares, Humberto puede tener una ganancia en un anode $8.000.000 con probabilidad de 0,4 o tener una perdida de $2.000 con probabilidad de0,6.

(a) ¿Cual es la ganancia esperada de esta persona? Interprete su respuesta.

(b) ¿Cual es la varianza de esta persona?

29. Una companıa fabrica paquetes de minas para portaminas. El numero de minas porpaquete varıa, como se indica en la tabla de abajo.

Numero de minas 7 8 9 10 11 12 13Proporcion de paquetes 0,21 0,29 0,03 0,20 0,10 0,04 0,13



(c) ¿Cual es la probabilidad de que un paquete elegido aleatoriamente contenga entre 8y 12 minas (ambos inclusive)?

(d) Hallar la media y la desviacion tıpica del numero de minas por paquete.

(e) El costo (en pesos) de fabricar un paquete de minas es 1.000 + 2X, donde X es elnumero de minas por paquete. El ingreso por la venta de un paquete, independiente-mente del numero de minas que contenga, es de 3.000 pesos. Si el beneficio se definecomo la diferencia entre el ingreso y el costo, hallar la media y la desviacion tıpicadel beneficio por paquete.

3.4 La distribucion uniforme (discreta) 29

3.4 La distribucion uniforme (discreta)

A partir de esta seccion, estudiaremos algunas distribuciones de probabilidades discretasespeciales, que poseen un importante significado teorico y practico. Una de las massimples es la llamada distribucion uniforme.

Definicion 3.4.1 Una variable aleatoria discreta X con los valores enteros sobre elintervalo [a, b] tiene distribucion uniforme discreta sobre el conjunto de losnumeros enteros que estan en el intervalo [a, b], cuando se tiene que P(X = x) = 1

n,

para todo x entero que esta en el intervalo [a, b].

Por tanto, una variable aleatoria distribuida uniformemente es caracterizada por el he-cho de que ella solo puede tomar finitos valores y todos estos valores tienen la mismaprobabilidad (una distribucion uniforme sobre un conjunto infinito y enumerable de va-lores, obviamente, no se puede dar). Para el caso en que X tenga valores 1, 2, . . . , n,la densidad de probabilidad y la correspondiente funcion de distribucion de X estarandadas, respectivamente, por

f(x) =

1n, si x ∈ N,

0, si x 6∈ N,y F(t) =

0, si t < 0,kn, si k ≤ t < k + 1, con k = 1, . . . , n − 1.

1, si n ≤ t.

Algunos ejemplos de situaciones en donde se tiene una distribucion uniforme discretason los siguientes:

Ejemplo 3.4.2 (a) En una caja hay 7 bolas de la misma especie y marcadas con losnumeros 1, . . . , 7. La probabilidad de sacar una bola numerada con un determinadonumero sera siempre igual a 1

7.

(b) Al lanzar un dado no falso, la probabilidad de obtener cualquier cara del dado seraigual siempre a 1

6.

Teorema 3.4.3 Suponga que X es una variable aleatoria que tiene distribucion uni-forme discreta sobre el intervalo [a, b]. Entonces,

E(X) =a + b

2y V(X) =

(b − a + 1)2 − 1

12.

Ejemplo 3.4.4 Un sistema de comunicacion de voz de un negocio contiene 48 lıneas exter-nas. En un tiempo particular, se observa el sistema y algunas de las lıneas estan en uso.Sea X la variable aleatoria que denota al numero de las 48 lıneas de voz que estan en uso enun tiempo dado. Suponga que X es una variable aleatoria discreta uniforme con rango devalores de 0 a 48. Entonces,

µ =48 + 0

2= 24, σ2 =

(48 − 0 + 1)2 − 1

12= 199, 396.

3.5 La distribucion binomial 30


30. La variable X tiene una distribucion uniforme sobre los enteros 7 ≤ x ≤ 10. Determine lamedia y la varianza de X.

31. La variable X tiene una distribucion uniforme sobre los enteros 15 ≤ x ≤ 40. Determinela media y la varianza de X.

32. En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones del espesor, hasta la centesimade milımetro mas cercana. Las mediciones estan distribuidas de manera uniforme, convalores 0,12; 0,13; 0,14, 0,15; 0,16 y 0,17. Para este proceso, calcule la media y la varianzadel espesor del recubrimiento. Interprete la media.

33. Sea X una variable aleatoria discreta que puede asumir con la misma probabilidad losvalores 3, 7 o 14. Determine la media y la varianza de X.

34. Se mide la longitud de varias placas de vidrio, hasta la decima de milımetro mas cercana.Las longitudes estan distribuidas de manera uniforme, con valores que estan espaciadosuna decima de milımetro comenzando en 320,0 y continuando hasta 320,9. Calcule lamedia y la varianza de las longitudes. Interprete la media.

3.5 La distribucion binomial

Experimento de Bernoulli

En la vida diaria podemos encontrar experimentos, llamados experimentos de Bernouilli,en donde solo hay dos resultados posibles como, por ejemplo, masculino y femenino;letrado e iletrado; miembro o no miembro; soltero o casado; que va a la escuela y queno va, etc. A estos experimentos se les puede asociar una variable aleatoria para iden-tificar la “ocurrencia” o “no ocurrencia” de cierto evento. La ocurrencia de tal eventose le considerara un “exito” y la no ocurrencia, un “fracaso”. En conclusion, podemosformular la siguiente

Definicion 3.5.1 Un experimento de Bernoulli es un experimento aleatoriocon solo dos resultados posibles: “exito” y “fracaso” y en donde un exito ocurre conprobabilidad p, siendo 0 < p < 1.

Ejemplo 3.5.2 Considere el experimento que consiste en disparar un misil y en donde hasido observado que se dispara con exito con una probabilidad de p = 0, 88. Sea X la variablealeatoria definida por

X =

0, si se dispara el misil con exito;1, si se fracasa al lanzar el misil.

Observe que este experimento es un ejemplo de un experimento de Bernoulli. Se puedeverificar facilmente que la funcion de probabilidad de la variable aleatoria X es

f(x) =

(0, 88)x(0, 12)1−x, para x = 0, 1;0, de otro modo.

Entonces, la probabilidad con que el misil sera disparado exitosamente es P(X = 1) = f(1) =

0, 88 y la de fallar es P(X = 0) = f(0) = 0, 12.


Experimento binomial

Considere el experimento de lanzar una moneda 10 veces y observar el numero de“caras” que resultan. Como puede observarse, este experimento tiene las siguientescaracterısticas:

• El experimento “lanzar una moneda” es un experimento de Bernoulli (hay dosresultados posibles: “cara” y “sello”).

• Este experimento se ejecuta n = 10 veces.

• Todos los 10 experimentos son identicos (por ser el mismo experimento de Bernoulli).

• Todos los 10 experimentos son independientes, es decir, el resultado de un expe-rimento no afecta al del otro.

• La probabilidad p = 12

de obtener una “cara” permanece constante de un experi-mento a otro (por ser el mismo experimento de Bernoulli).

Este experimento que se acaba de describir es un ejemplo de un tipo especial de expe-rimento llamado experimento binomial.

Definicion 3.5.3 Un experimento binomial es un experimento de Bernoulli quese ejecuta n veces, de tal manera que las diferentes ejecuciones se efectuen inde-pendientemente unas de las otras, es decir, el resultado de cualquier experimentoparticular no influye sobre el resultado de cualquier otro experimento.

Distribucion binomial

Si se conoce la probabilidad de que un ensayo determinado producira un exito, es posibleestimar cuantos exitos habra en un numero dado de experimentos, como se muestra enel siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.5.4 Supongamos que una moneda se lanza tres veces. Entonces, los posiblesresultados del espacio muestral correspondiente seran:

CCC, CCS, CSC, CSS, SSS, SSC, SCS, SCC.

O sea, hay en total 8 resultados posibles. Ahora, sea X la variable aleatoria “numero decaras que resultan en los tres lanzamientos”. Entonces,

(a) La probabilidad de que resulten 0 caras es P(X = 0) = 18, porque en esta situacion los

casos posibles sera SSS (o sea, 1 caso de 8 en total).

Esta probabilidad se puede calcular de otra manera:6

P(X = 0) = P(SSS) = P(S)P(S)P(S) = (1 − p)3

= 1 p0 (1 − p)3 =(

30

)

p0 (1 − p)3−0

6De aquı en adelante, tengase en cuenta que P(C) = P(‘‘cara") = p = 12

y P(S) = P(‘‘sello") =

1 − p = 12.


y esto es igual a 18

porque p = 12. Por consiguiente, P(X = 1) tambien se puede

calcular multiplicando los siguientes tres factores:

•(

30

)

= 1, el numero de posibilidades en que se puede escoger 0 caras de un grupode 3 elementos.

• p0 = 1, la probabilidad de que salga cara elevada al numero de caras que apare-cen (que es 0).

• (1−p)3−0 =(

12

)3, la probabilidad de que salga sello elevada al numero de sellos

que aparecen (que es 3).

(b) La probabilidad de que resulte 1 cara es P(X = 1) = 38, porque en esta situacion los

casos posibles seran CSS, SSC, SCS (o sea, 3 casos de 8 en total).

Esta probabilidad se puede calcular de otra manera:

P(X = 1) = P(CSS o SSC o SCS) = P(CSS) + P(SSC) + P(SCS)

= p1 (1 − p)2 + p1 (1 − p)2 + p1(1 − p)2

= 3 p1 (1 − p)2

=(

31

)

p1 (1 − p)3−1




•(

31

)

= 3, el numero de posibilidades en que se puede escoger 1 cara de un grupode 3 elementos.

• p1 =(

12

)1, la probabilidad de que salga cara elevada al numero de caras que

aparecen (que es 1).

• (1−p)3−1 =(

12



(c) La probabilidad de que resulten 2 caras es P(X = 2) = 38, porque en esta situacion los

casos posibles seran CCS, CSC, SCC (o sea, 3 casos de 8 en total).


P(X = 2) = P(CCS o CSC o SCC) = P(CCS) + P(CSC) + P(SCC)

= p2 (1 − p)1 + p2 (1 − p)1 + p2(1 − p)1

= 3 p2 (1 − p)1

=(

32

)

p2 (1 − p)3−2




•(

32

)


• p2 =(

12



• (1−p)3−2 =(

12




(d) La probabilidad de que resulten 3 caras es P(X = 3) = 18, porque en esta situacion los

casos posibles sera CCC (o sea, 1 caso de 8 en total).


P(X = 3) = P(CCC) = P(C)P(C)P(C) = p3

= 1 p3 (1 − p)0 =(

33

)

p3 (1 − p)3−3




•(

33

)


• p3 =(

12



• (1 − p)3−3 =(

12

)0= 1, la probabilidad de que salga sello elevada al numero de

sellos que aparecen (que es 0).

El segundo metodo utilizado para calcular las probabilidades obtenidas en el ejemplo3.5.4 se puede generalizar, como se muestra en el siguiente teorema:

Teorema 3.5.5 Consideremos un experimento binomial con n experimentos. SeanX el “numero de exitos” en los n experimentos y p, la probabilidad de un exito.Entonces, la probabilidad de que haya k exitos en los n experimentos esta dada por

P(X = k) =(

nk

)

pk (1 − p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.

La correspondiente distribucion de X se conoce con el nombre de distribucionbinomial con parametros n y p.

Observemos que, en el teorema 3.5.5, la probabilidad P(X = k) se calcula multiplicando los siguientestres factores:

•(

n

k

)

, el numero de posibilidades en que se puede escoger k exitos de un grupo de n elementos.

• pk , la probabilidad de un exito elevada al numero de exitos (que es k).

• (1 − p)n−k , la probabilidad de un fracaso elevada al numero de fracasos (que es n − k).

Como podemos verificar, las funciones de probabilidad f y de distribucion F de unavariable aleatoria que tiene distribucion binomial con parametros n y p estan dadas por

b(k; n; p) := f(k) =

(

nk

)

pk (1 − p)n−k, si k = 0, 1, 2, . . . , n;0, de otra manera.

y

B(t; n; p) := F(t) = P(X ≤ t) =∑

k≤t

b(k; n; p),

respectivamente, en donde la suma anterior recorre todos los enteros no negativos queson menores o iguales que t. Como vemos, en el caso n = 1, la distribucion binomialcoincide con la distribucion de Bernoulli con parametro p. En la figura 3.6 se muestrangraficas de la distribucion de binomial para varios valores de n, pero manteniendo fijoel producto entre n y p.


Fig. 3.6: Distribuciones de Bernoulli para varios valores de n pero fijo np = 3.

Uso de tablas binomiales

Incluso para un valor relativamente pequeno de n, el calculo de probabilidades binomialespuede ser tedioso. La tabla del apendice tabula la funcion de distribucion acumuladaF(t) = P(X ≤ t) = B(t; n; p) para n = 5, 10, 15, 20, 25 en combinacion con valoresseleccionados de p. Por ejemplo,

• B(7; 10; 0, 5) es la entrada en la fila x = 7, y en la columna p = 0, 5 de la tablabinomial correspondiente a n = 10. De la tabla binomial del apendice, obtenemosque B(7; 10; 0, 5) = 0, 945.



Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las muchas aplicaciones de la distribucionbinomial.

Ejemplo 3.5.6 Una moneda no falsa es lanzada 10 veces. Consideraremos el evento “cara”como un exito y “sello” como un fracaso. Es claro que p = 0, 5, n = 10 y las condicionesbasicas que caracterizan a la distribucion binomial se satisfacen. Por consiguiente,

• La probabilidad de tener exito exactamente 7 veces es

P(X = 7) = b(7; 10; 0, 5) =

(

10

7

)

(0.5)7(0.5)3 =15

128≈ 0, 1172.


Esta probabilidad tambien se puede calcular con ayuda de la tabla binomial, a saber,

P(X = 7) = P(X ≤ 7) − P(X ≤ 6) = B(7; 10; 0, 5) − B(6; 10; 0, 5)

= 0, 945 − 0, 828 = 0, 117.

• La probabilidad de tener a lo mas 7 exitos es

P(X ≤ 7) = B(7; 10; 0, 5) = 0, 945.

• La probabilidad de tener por lo menos 3 exitos se puede calcular de la siguientemanera:

P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − P(X ≤ 2)

= 1 − B(2; 10; 0, 5) = 1 − 0, 055 = 0, 945.

• La probabilidad de ningun exito es

P(X = 0) = b(0; 10; 0, 5) = (0, 5)10 =1

1.024≈ 9.766 × 10−4.

Ejemplo 3.5.7 Una persona dispara a un objetivo 6 veces. La probabilidad de dar en elblanco es p = 0, 40. (a) ¿Cual es la probabilidad de que el de en el blanco por lo menosuna vez? (b) ¿Cuantas veces debe disparar al objetivo para que la probabilidad de dar enel blanco por lo menos una vez sea mas grande que 0, 77?SOLUCION:La respuesta en (a) sera

P(X ≥ 1) = 1 − P(X ≤ 0) = 1 − P(X = 0) = 1 − b(0; 6; 0, 4)

= 1 − (0, 6)6 ≈ 0.953.

Para (b), debemos encontrar n tal que P(X ≥ 1) > 0, 77, es decir, encontrar n tal que

0, 77 < P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1)

= 1 − P(X = 0) = 1 − b(0;n; 0, 4) = 1 − (0, 6)n,

es decir, tal que 1−(0, 6)n > 0, 77. Resolviendo esta desigualdad, encontramos que n > 2, 9.Es decir, la persona debe disparar al objetivo 3 o mas veces para mantener una probabilidadmayor que 0, 77 de dar en el blanco por lo menos una vez.

Esperanza y varianza de la distribucion binomial

Antes mostramos como determinar la esperanza y la varianza de una distribucion disc-reta utilizando las formulas dadas en las definiciones 3.3.2 y 3.3.12. Sin embargo, si solohay dos resultados posibles, como en la distribucion binomial, la esperanza y la varianzapueden determinarse mas facilmente, como se muestra en el siguiente teorema:

Teorema 3.5.8 Si X es una variable aleatoria que tiene distribucion binomial conlos parametros n y p, entonces, se cumple que E(X) = np y V(X) = np(1 − p).

Ejemplo 3.5.9 Volvamos al ejemplo 3.5.6. La media (o esperanza) del numero de caras es

µ = np = (10)(0, 5) = 5

y la varianza

σ2 = np(1 − p) = (10)(0, 5)(1 − 0, 5) = 2, 5.



35. Utilizando la formula binomial, calcule las siguientes probabilidades binomiales:

(a) b(2; 7; 0, 4).

(b) b(4; 4; 0, 9).

(c) P(2 ≤ X < 4) cuando n = 3 y p = 0, 2.

(d) P(2 ≤ X) cuando n = 11, p = 0, 5 y si X toma solo valores no negativos.

36. Usando la tabla binomial, calcule las siguientes probabilidades:

(a) B(3; 5; 0, 3).

(b) b(8; 10; 0, 4).

(c) b(12; 15; 0, 5).

(d) P(X ≤ 3) cuando n = 5 y p = 0, 7.

(e) P(4 ≤ X ≤ 9) cuando n = 25 y p = 0, 6.

(f) P(5 ≤ X) cuando n = 10 y p = 0, 8.

(g) P(14 < X < 20) cuando n = 20 y p = 0, 9.

37. Una semilla tiene un porcentaje de germinacion del 83% . Si se siembran 12 semillas,¿cual es la probabilidad de que germinen (a) todas, (b) 10, (c) a lo mas 2, (d) al menos10?

38. De un cargamento de 100 artıculos, se sabe que el 10% de los artıculos estan defectuosos.Se eligen al azar con reemplazo y sin orden 20 artıculos del cargamento y se examinan.Sea X la variable aleatoria que representa al numero de artıculos defectuosos encontrados.Construya la funcion de probabilidad de X, calcule la media (interpretela) y la varianza.

39. Un agente de seguros piensa que en un contacto concreto, la probabilidad de conseguiruna venta es 0,4. Sea X la variable aleatoria que representa al numero de ventas queconsigue. Si tiene cinco contactos directos y para cada uno la probabilidad conseguir unaventa es 0,4:

(a) Construya la funcion de probabilidad.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de exitos este entre 2 y cuatro (ambosinclusive)?

(c) ¿Cual es la probabilidad de al menos un exito?

(d) Calcule la media, la varianza y la desviacion estandar.

40. Con el proposito de establecer el grado de aceptacion de su producto, una empresa selec-ciona una muestra de 1.000 consumidores de una poblacion de 1.000.000, de forma tal quecada uno de los elementos de la poblacion tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.A cada consumidor seleccionado se le pregunta si prefiere el producto producido por estaempresa o no. ¿Es este un experimento binomial? Explique su respuesta.

41. Un lote de 25 computadores llega a un distribuidor, el cual selecciona aleatoriamente ysin reemplazo, 5 computadores para verificar si estan defectuosos o no. El distribuidorignora que 3 de los 25 estan defectuosos. ¿Es este un experimento binomial? Justifiquesu respuesta.

42. El examen TELP consta de 150 preguntas de eleccion multiple y hay 4 opciones en cadauna de ellas. Si muchas personas que no saben ingles, realizan el examen, calcule la mediade las calificaciones obtenidas.


43. De una produccion de 2.000 tornillos, se sabe que el 5% estan defectuosos. Supongamosque se selecciona un muestra al azar de 20 tornillos.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de tornillos defectuosos en la muestra noexceda a 3?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de tornillos defectuosos en la muestra espor lo menos 6?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de tornillos defectuosos en la muestra seaestrictamente mayor que 2, pero menor o igual de 6?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que ninguno de los 20 tornillos este defectuoso?

(e) Calcule e inteprete el valor esperado y la desviacion estandar del numero de tornillosdefectuosos en la muestra.

44. En un peaje se cobra 1.500 pesos por cada bus de transporte publico y 2.500 pesos porcarros particulares. Supongamos que durante las horas diurnas, 70% de todos los vehıculosson buses de transporte publicos. Si 15 vehıculos pasan por el peaje durante un perıodoparticular diurno, ¿cual es el ingreso de cuotas esperado? (Sugerencia: sea X el numerode buses de transporte publico, entonces, el ingreso de cuotas h es una funcion lineal deX.)

45. Un fabricante de celulares, desea controlar la calidad de su producto y rechazar cualquierlote en el que la proporcion de celulares defectuosos sea demasiado alta. Con este fin, decada lote grande (digamos, 20.000 celulares) selecciona y prueba 25. Si por lo menos 3de estos estan defectuosos, todo el lote sera rechazado.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 5% de los celulares estandefectuosos?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 10% de los celulares estandefectuosos?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 30% de los celulares estandefectuosos?

(d) ¿Que sucederıa con las probabilidades anteriores si el numero crıtico para rechazoaumentara de 3 a 5?

46. Un jefe de produccion sabe que el 4% de 200 artıculos producidos en cierto tipo de maquinatiene algun defecto. Se examinan cinco de estos artıculos. ¿Cual es la probabilidad deque (a) ninguno, (b) dos, (c) al menos dos de estos artıculos tengan un defecto?

47. Una institucion beneficiaria contrata personal para que soliciten donaciones por telefono.Despues de un breve perıodo de preparacion, las personas telefonean a los potencialesdonantes y se les paga una comision. La experiencia indica que, normalmente, estaspersonas logran solo un exito moderado, y el 70% de ellas deja el trabajo en las tresprimeras semanas. La institucion contrata seis personas, las cuales se pueden considerarcomo una muestra aleatoria. ¿Cual es la probabilidad de que al menos dos de las cincopersonas (a) dejen, (b) no dejen el trabajo en las tres primeras semanas?

48. Una empresa se dedica a la instalacion de nuevos paquetes computacionales. Se hacomprobado que en el 10% de 250 instalaciones es necesario volver para realizar algu-nas modificaciones. En una semana determinada se realizaron 10 instalaciones. Asumirindependencia en los resultados de esas instalaciones.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que sea necesario volver en cinco casos?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno los casos?

3.6 La distribucion de Poisson 38

(c) ¿Cual es la probabilidad de que sea necesario volver en mas de un caso?

49. En cierto cultivo de peces, el 40% de los peces son de la especie Pecius y el otro 60%, dela especie Pecelius. Peces de la especie Pecius produce peces de la especie Pecius 29%de las veces, mientras que peces de la especie Pecelius produce peces de la especie Pecius26% de las veces. Suponga que se seleccionan al azar 10 peces.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente cinco de esos peces provengan de laespecie Pecius y produzcan peces de la especie Pecius?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente cinco de esos peces sean de la especiePecius?

50. Al realizar una entrevista a un grupo de personas con el fin de ingresar en un programa detelevision, se encuentra que 25% de las personas no cumplen con los requisitos requeridos.De las siguientes 15 personas entrevistadas, encuentre la probabilidad de que (a) menosde cuatro, (b) de cuatro a siete, (c) mas de seis no cumplan con los requisitos requeridos.

51. Una investigacion en cierto pais arrojo que aproximadamente 60% cree el actual presidentede ese pais esta haciendo las cosas bien. ¿Cual es la probabilidad de que al menos cincode las siguientes diez personas seleccionadas al azar sean de esta opinion?

52. Se sabe que 30% de las vacas vacunadas con un suero quedan protegidos de cierta enfer-medad. Si se vacunan 20 vacas, encuentre la probabilidad de que (a) ninguna, (b) menosde dos, (c) mas de tres contraigan la enfermedad.

3.6 La distribucion de Poisson

Experimento y proceso de Poisson

Consideremos las siguientes variables aleatorias:

1. El numero de partıculas emitidas por cierta sustancia radioactiva en un determi-nado lapso de tiempo.

2. El numero de accidentes de trafico que ocurren en un dıa en un cruce.

3. El numero de llamadas que llegan a una central telefonica en cierto intervalo detiempo.

4. El numero de ordenes de devolucion de piezas que recibe una empresa en unasemana.

5. El numero de ninos nacidos con un problema en el corazon en una cita grandedurante un ano.

6. El numeros de lanzamientos “no golpeados” por beibolista famoso durante sucarrera.

7. El numero de veces que falla una pieza de un equipo durante un perıodo de tresmeses.

8. El numero de nuevas infecciones por una enfermedad contagiosa en una poblaciondurante un mes.


9. El numero de mordeduras de serpientes venenosas en un tiempo determinado.

10. El numero de huelgas anuales en un empresa.

Cada una de estas variables aleatorias se caracteriza por ser el numero de ocurrencia decierto suceso durante un perıodo de tiempo. Estas variables aleatorias estan asociadas aexperimentos aleatorios que son conocidos con el nombre de experimentos de Poisson.

Definicion 3.6.1 Los experimentos que resultan en valores numericos de una varia-ble aleatoria que representa el numero de resultados durante un intervalo de tiempodado se llaman experimentos de Poisson.

Un experimento de Poisson surge del llamado proceso de Poisson, el cual explicaremosa continuacion. Consideremos la situacion ilustrada en la figura 3.7, donde se mide eltiempo a lo largo de la lınea horizontal, y supongamos que estamos interesados en elperıodo que comienza en 0 y termina en t. Las ocurrencias de sucesos a lo largo del ejetemporal se indican con el sımbolo ⋆. Por tanto, en esta ilustracion ocurren seis sucesosen el perıodo de tiempo relevante.

Fig. 3.7: Ilustracion del numero aleatorio de ocurrencias ⋆ de un suceso de tiempo

Entonces, un proceso de Poisson esta caracterizado por las siguientes tres propiedades:

(P1) Para cada intervalo de tiempo pequeno,7 la probabilidad de que ocurra un sucesoen ese intervalo es aproximadamente proporcional a la amplitud del intervalo, esdecir, si A es un evento que ocurre en el intervalo de tiempo [0, t], entonces,

P(A) ≈ λt, para un numero real λ > 0.

Este numero λ es llamado el parametro del proceso de Poisson y repre-senta al numero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo.

(P2) La probabilidad de que mas de un evento ocurra en un intervalo, como el descritoanteriormente, es despreciable en comparacion con la probabilidad de la ocurrenciade cada evento. Es decir, si A, B, C son eventos que ocurren en [0, t], entonces,las probabilidades P(A∩B), P(A∩C), P(B∩C) y P(A∩B∩C) son despreciablesen comparacion con P(A), P(B) y P(C).

(P3) El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo es independientedel numero de resultados que ocurren antes de ese tiempo.

En la siguiente seccion presentaremos una formula que nos permite calcular la proba-bilidad de que ocurra una cantidad determinada de eventos en un intervalo de tiempopequeno.

7Este intervalo de tiempo esta representado mediante un pequeno segmento entre 0 y t del ejetemporal de la figura 3.7


Distribucion de Poisson

La experiencia indica que, para una amplia gama de problemas como los mostrados alcomienzo de esta seccion, la llamada distribucion de probabilidad de Poisson representaadecuadamente la estructura probabilıstica del numero de eventos que ocurren en unintervalo de tiempo [0, t]. La demostracion de la formula para la probabilidad de queocurra una cantidad determinada de eventos en un intervalo de tiempo pequeno, la cualse basa en las propiedades del proceso de Poisson indicadas anteriormente, esta fueradel alcance de este texto. Por esta razon solo se presentara lo que se utiliza para elcalculos de diferentes tipos de probabilidades.

Teorema 3.6.2 Consideremos un proceso de Poisson con parametro λ > 0 (esdecir, λ es el numero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo) y sea X el“numero de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo [0, t]”. Entonces, laprobabilidad de que ocurran k eventos en el intervalo [0, t] esta dada por

P(X = k) =1

k!e−λ λk, k = 0, 1, 2, 3, . . . .

siendo e = 2, 71828 la base del logaritmo natural. La correspondiente distribucionde X se conoce con el nombre de distribucion de Poisson con parametro λ.

Las funciones de probabilidad f y de distribucion F de una variable aleatoria X que tienedistribucion de Poisson con parametros λ estan dadas por

p(k; λ) := f(k) =

1k!

e−λ λk, si k = 0, 1, 2, . . .;0, de otra manera.

y

P(t; λ) := F(t) = P(X ≤ t) =∑

k≤t

p(t; λ),

respectivamente, en donde la suma anterior recorre todos los enteros no negativos queson menores o iguales que t. En la figura 3.8 se muestran graficas de la distribucion dePoisson para varios valores de λ.

Ejemplo 3.6.3 Los sabados por la manana, los clientes entran en una pequena tienda de uncentro comercial suburbano a una tasa esperada de 0,50 por minuto. Halle la probabilidadde que el numero de clientes que entran en un intervalo especıfico de 10 minutos es (a) 3,(b) a lo mas 3.SOLUCION:Las hipotesis del proceso de Poisson parecen ser razonables en este contexto. Damos porsentado que los clientes no llegan en grupos (o podemos contar al grupo entero como unsolo cliente) y que la entrada de un cliente no aumenta ni disminuye la probabilidad de quellegue otro. Para obtener λ, observamos que auna tasa media de 0,50 por minuto duranteun periodo de 10 minutos, podemos esperar λ = (0, 50)(10) = 5 entradas. Sea X la variablealeatoria que representa al numero de clientes que entran en un intervalo especıfico de 10minutos.

(a) Nos piden calcular P(X = 3). Para ello, aplicaremos el teorema 3.6.2 con λ = 5 y k = 3:

P(X = 3) =1

3!e−5 53 = 0, 1403.


Fig. 3.8: Distribuciones de Poisson para varios valores del parametro λ.

(b) Ahora nos piden calcular P(X ≤ 3):

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

=1

0!e−5 50 +

1

1!e−5 51 +

1

2!e−5 52 +

1

3!e−5 53

= 0, 0067 + 0, 0337 + 0, 0843 + 0, 1403

= 0, 2650.

Uso de tablas de Poisson

Al igual que el calculo de probabilidades binomiales, el calculo de probabilidades dePoisson tambien llega a ser tedioso. Por esta razon, tambien hay tablas, como la delapendice, que tabulan la funcion de distribucion acumulada F(t) = P(X ≤ t) = P(t; λ)

para algunos valores de λ. Por ejemplo,

• P(0; 0, 1) es la entrada en la fila x = 0 y en la columna λ = 0, 1 de la tabla dePoisson. De la tabla de Poisson del apendice, obtenemos que P(0; 0, 1) = 0, 905.

• P(5; 1) es la entrada en la fila x = 5 y en la columna λ = 1 de la tabla de Poisson.De la tabla de Poisson del apendice, obtenemos que P(5; 1) = 0, 999.

• P(8; 8) es la entrada en la fila x = 8 y en la columna λ = 8 de la tabla de Poisson.De la tabla de Poisson del apendice, obtenemos que P(8; 8) = 0, 593.

• P(6; 0, 5) es la entrada en la fila x = 6 y en la columna λ = 0, 5 de la tablade Poisson. Observese que allı no vemos ningun valor. Esto quiere decir quesupondremos que la probabilidad correspondiente sera siempre 1. Es decir, de latabla de Poisson del apendice, obtenemos que P(6; 0, 5) = 1.


• P(36; 2) es la entrada en la fila x = 36, y en la columna λ = 2 de la tabla dePoisson. Como no hay ningun valor, supondremos que la probabilidad asignada es1. Por tanto, P(36; 2) = 1.

Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las muchas aplicaciones de la distribucion dePoisson.

Ejemplo 3.6.4 Un estudio indica que el numero de huelgas anuales en una determinadaempresa con 2.000 empleados, se puede representar por una distribucion de Poisson conmedia λ = 0, 4. Sea X la variable aleatoria que representa al numero de huelgas. Ahora,con esta informacion y con ayuda de la tabla de Poisson del apendice, podemos calcularprobabilidades para numeros concretos de huelgas anuales:

(a) La probabilidad de que no haya huelga es

P(X = 0) = P(0; 0, 4) = 0, 670.

(b) La probabilidad de que haya 3 huelgas es

P(X = 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 2) = P(3; 0, 4) − P(2; 0, 4)

= 0, 999 − 0, 992 = 0, 007.

(c) La probabilidad de que haya mas de una huelga en una ano es

P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(0; 0, 4)

= 1 − 0, 670 = 0, 33.

Ejemplo 3.6.5 (Lıneas de espera o colas) La distribucion de Poisson ha resultado sermuy util en problemas de lıneas de espera o colas. Los clientes llegan a una maquinafotocopiadora a una tasa media de 2 cada 5 minutos. En la practica, se pueden representarlos procesos de llegada de esta clase mediante una distribucion de Poisson. Asumiendo queeste es el caso, representaremos por X el numero de llegadas de clientes en un perıodo decinco minutos, con lo cual X tiene distribucion de Poisson con media λ = 2.

(a) La probabilidad de que no haya llegadas en un perıodo de cinco minutos es

P(X = 0) = P(0; 2) = 0, 135.

(b) La probabilidad de que haya 1 llegada es

P(X = 1) = P(X ≤ 1) − P(X ≤ 0) = P(1; 2) − P(0; 2)

= 0, 406 − 0, 135 = 0, 271.

(c) La probabilidad de que haya estrictamente mas de dos llegadas es

P(X > 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − P(2; 2)

= 1 − 0, 677 = 0, 323.

Ejemplo 3.6.6 El numero promedio de partıculas radiactivas que pasan a traves de uncontador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. ¿Cual es la pro-babilidad de que entren entre 3 y 6 (inclusives) partıculas al contador en un milisegundodeterminado?SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa al numero de partıculas que entran al contador.Si se utiliza la distribucion de Poisson con k = 6 y λ = 4, se tiene que

P(3 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 2) = P(6; 4) − P(2; 4)

= 0, 889 − 0, 238 = 0, 651.


Esperanza y varianza de la distribucion de Poisson

El siguiente teorema muestra como se puede calcular la esperanza y la varianza de unavariable aleatoria que tiene distribucion de Poisson.

Teorema 3.6.7 Si X es una variable aleatoria que tiene distribucion de Poissoncon parametro λ, entonces, se cumple que E(X) = V(X) = λ.

Ejemplo 3.6.8 En el ejemplo 3.6.3, tenemos que la media y varianza del numero de clientesque entran en un intervalo especıfico de 10 minutos son µ = σ2 = 5.

Aproximacion de la distribucion binomial a la de Poisson

Como hemos visto, la distribucion de Poisson aparece de manera natural para represen-tar el numero de ocurrencias de un suceso en un perıodo de tiempo. Esta distribuciontiene tambien otro uso. Ella tambien juega un papel importante como distribucion lımitede la distribucon binomial, en especial, para el calculo numerico de las probabilidadesb(k; n; p) cuando n es grande, p pequena y el producto np tiene un tamano moderado.8

Las situaciones siguientes satisfacen estas condiciones:

1. Una companıa aseguradora mantiene un gran numero de polizas de seguro de vida en in-dividuos de determinada edad, y la probabilidad de que durante el ano se produzca unareclamacion en una poliza es muy pequena. La distribucion del numero de reclamaciones esbinomial, con n grande y p muy pequeno.

2. Una companıa puede tener un gran numero de maquinas trabajando en un proceso si-multaneamente. Si la probabilidad de que cada una de ellas se averıe en un dıa concreto esmuy pequena, entonces, la distribucion del numero de averıas es binomial, con n grande y p

muy pequeno.

En estos casos, la distribucion binomial puede aproximarse bien mediante la distribucionde Poisson con esperanza λ = np. Es decir, la media λ de la distribucion de Poissonaproximada esta fija en el valor de la esperanza conocida np de la distribucion binomialque se quiere aproximar.

Teorema 3.6.9 (Aproximacion de la binomial a la de Poisson) Sea X unavariable aleatoria binomial con parametros n y p. Si n es grande (n ≥ 100), p

pequena (p ≤ 0, 01) y np tiene un tamano moderado (np ≤ 20), entonces, la dis-tribucion binomial con parametros n y p puede aproximarse bien por la distribucionde Poisson con parametro λ = np. Es decir, bajo estas condiciones se cumple que

b(k; n; p) ≈ p(k; np), k = 0, 1, 2, 3, . . .

o, que es equivalente,

B(k; n; p) ≈ P(k; np), k = 0, 1, 2, 3, . . . .

8No hay una regla para el tamano de p y n al aproximar la distribucion binomial con la dePoisson. En la practica, si n ≥ 100, p ≤ 0, 01 y np ≤ 20, la aproximacion sera buena.


Los siguientes ejemplos ilustran algunos de los problemas en donde la distribucion dePoisson puede ser aplicada como aproximacion de la distribucion binomial.

Ejemplo 3.6.10 Una cierta companıa electronica produce 15.000 unidades de un tipo es-pecial de tubo al vacıo. Se ha observado que, en promedio, 3 tubos de 300 son defectuosos.La companıa empaca los tubos en cajas de 600. ¿Cual es la probabilidad de que en una cajade 600 tubos hayan (a) 5 tubos defectuosos, (b) por lo menos 3 defectuosos y (c) a lo mas1 defectuoso?SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa al numero de tubos defectuosos. Entonces, X esuna variable binomial con parametros n = 600 y p = 0, 01.

Observemos que no podemos usar la tabla binomial por ser n muy grande. Por consiguiente,debemos buscar una aproximacion de la distribucion binomial. La idea es aplicar el teorema3.6.9. Observamos que

• n = 600 es grande,

• p = 0, 01 es pequeno,

• y se cumple que np = 6 ≤ 20.

Como se cumplen estos tres supuestos exigidos por el teorema, las probabilidades pedi-das pueden ser calculadas (en forma aproximada) usando la distribucion de Poisson conparametro λ = np = 6.

(a) Nos piden calcular P(X = 5). Por tanto, por el teorema de aproximacion de la binomiala la de Poisson (teorema 3.6.9), se tiene

P(X = 5) = P(X ≤ 5) − P(X ≤ 4) = B(5; 600; 0, 01) − B(4; 600; 0, 01)

≈ P(5; 6) − P(4; 6) = 0, 446 − 0, 285 = 0, 161.

(b) Nos piden calcular P(X ≥ 3). Por tanto, por el teorema de aproximacion de la binomiala la de Poisson (teorema 3.6.9), se tiene

P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − B(2; 600; , 0, 01)

≈ 1 − P(2; 6) = 1 − 0, 062 = 0, 938.

(c) Nos piden calcular P(X ≤ 1). Por tanto, por el teorema de aproximacion de la binomiala la de Poisson (teorema 3.6.9), se tiene

P(X ≤ 1) = B(1; 600; 0, 01) ≈ P(1; 6) = 0, 017.

Ejemplo 3.6.11 Suponga que es conocido que en un libro de matematicas de 400 paginashay 200 errores que estan distribuidos aleatoriamente en todo el texto. Calcular la proba-bilidad de que en una pagina dada (a) no haya errores (b) 2 o mas errores.SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa al numero de errores por pagina. Ya que la pro-babilidad de que un error aparezca en una pagina dada es p = 1

400= 0, 0025 y que n = 200,

es claro ver que X es una variable binomial con parametros p = 0, 0025 y n = 200. Y,como vemos, es justificable usar la distribucion de Poisson y obtener las probabilidades conλ = np = 0, 5. Por consiguiente,

P(X = 0) = B(0; 200, 0, 0025) ≈ P(0; 0, 5) = 0, 607 ≈ 60, 7%

y

P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − B(1; 200; 0, 0025)

≈ 1 − P(1; 0, 5) = 1 − 0, 910 = 0, 09.


Ejemplo 3.6.12 En la tabla de la figura 3.9 damos los resultados del famoso experimentofısico, dirigido por Rutherford y Geigner, en donde se observaron partıculas α emitidas poruna sustancia radioactiva en 2.068 periodos de 7, 5 segundos cada uno. Aquı k es el numerode partıculas α emitidas y fo es el numero de perıodos de 7, 5 segundos observados.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fo 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16

Fig. 3.9: Frecuencias observadas para el experimento de Rutherford y Geigner

En este experimento, n = 2.608 y p es bastante pequena, y la distribucion de la variableX, que representa al numero de partıculas α emitidas, puede ser aproximada por la funcionde probabilidad de Poisson. El numero promedio λ de partıculas α emitidas durante unperıodo de 7, 5 segundos es

λ = x =

10∑

k=0

kfobservado

n=

0 · 57 + 1 · 203 + 2 · 383 + · · · + 10 · 16

2.608= 3, 87

y, con esto, la funcion de probabilidad de Poisson estara dada por

pk := p(k; 3, 87) =e−3,87(3, 87)k

k!, k = 0, 1, . . . , 10.

Ahora, por ejemplo, calcularemos algunas probabilidades (e−3,87 ≈ 0, 021):

• La probabilidad de que en un periodo de 7, 5 segundos observemos 0 partıculas es

P(X = 0) = p(0; 3, 87) =e−3,87(3, 87)0

0!≈ 0, 021.

• La probabilidad de que en un periodo de 7, 5 segundos observemos 1 partıcula es

P(X = 1) = p(1; 3, 87) =e−3,87(3, 87)1

1!≈ 0, 0807.

• La probabilidad de que en un periodo de 7, 5 segundos observemos 2 partıculas es

P(X = 12) = p(2; 3, 87) =e−3,87(3, 87)2

2!≈ 0, 1562.

En la tabla 3.10 aparecen todas estas probabilidades.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pk 0,021 0,08 0,156 0,201 0,195 0,151 0,097 0,054 0,026 0,011 0,0065

Fig. 3.10: Probabilidades para el experimento de Rutherford y Geigner

Al calcular las frecuencias esperadas fe del numero de perıodos de 7, 5 segundos, mediantela formula

fe = 2.680 pk,

notamos (en la tercera fila de la tabla de la figura 3.11) que la funcion de probabilidad dePoisson da una buena aproximacion del problema (comparese los valores de fo y fe).


k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fo 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16fe 54,7 210,5 407,4 525,5 508,4 393,5 253,8 140,3 67,9 29,2 17,1

Fig. 3.11: Frecuencias esperadas para el experimento de Rutherford y Geigner


53. Sea X la cantidad de huecos en la superficie de una instrumento metalico de cierto tipo,seleccionado al azar, con una distribucion de Poisson con parametro λ = 15 y utilice latabla del apendice para calcular las siguientes probabilidades: (a) P(X ≤ 9), (b) P(X = 9),(c) P(X ≥ 10), (d) P(7 ≤ X ≤ 11), (e) P(4 < X < 9).

54. Suponga que el numero X de tormentas electricas observadas en cierta region durante unperiodo de 6 meses tiene una distribucion de Poisson con λ = 9.

(a) Calcule P(X ≤ 11), P(7 ≤ X ≤ 12) y P(X ≥ 13).

(b) ¿Cuantas tormentas electricas se espera que se podran ver durante un perıodo de seismeses,y cual es la desviacion estandar del numero observado de tormentas electricas?

55. El numero de cartas perdidas en el correo en un dıa tiene un promedio de 4. ¿Cual es laprobabilidad de que en un dıa determinado

(a) se pierdan a lo mas dos cartas en el correo?

(b) se pierdan tres cartas en el correo?

(c) se extravıen cuatro o cinco?

(d) al menos desaparezca una carta en el correo?

56. En un lote de 1.000 bombillas fabricadas por una companıa, 10 son defectuosas. Utilicela aproximacion de la distribucion binomial por la de Poisson para calcular la probabilidadde que en una muestra de 20 bombillas, (a) 2, (b) 0, (c) por lo menos 3 sean defectuosas.

57. Las estadısticas muestran que hay un promedio de tres accidentes por semana en unaruta determinada. Determine la probabilidad de que durante cierta semana seleccionadaal azar haya (a) 4, (b) 3 o 4, (c) a lo mas tres, (d) al menos 4 accidentes.

58. En cierto estudio se reporta que de cada 100 personas, una fuma. Consideremos unamuestra aleatoria de 2.000 personas.

(a) ¿Cual es la distribucion aproximada del numero de quienes fuman?

(b) Utiliza la aproximacion de la parte (a) para calcular la probabilidad aproximada deque entre 8 y 20 (ambos inclusive) personas fumen.

(c) Utiliza nuevamente la aproximacion de la parte (a) para calcular la probabilidad apro-ximada de que estrictamente entre 12 y 30 personas fumen.

59. A traves de un anuncio de television se le informa a todas las familias que deben llevara sus ninos menores de 4 anos (si los tienen) al hospital de la ciudad para hacerles unchequeo medico debido a la presencia de un peligroso virus en la ciudad. Suponga que el1% de tales ninos tienen el virus. Considere una muestra aleatoria de 1.000 ninos.

(a) ¿Cuales son el valor esperado y la desviacion estandar del numero de ninos de lamuestra que tienen el virus.

3.7 La distribucion hipergeometrica 47

(b) ¿Cual es la probabilidad (aproximada) de que por lo menos 10 ninos de los muestreadostengan el virus?

(c) ¿Cual es la probabilidad (aproximada) de que ninguno de los ninos en la muestratengan el virus?

60. Los estudios indican que, en promedio, se producen 2 averıas diarias en las carreterasurbanas durante las horas “pico” de la tarde. Asumamos que la distribucion es de Poisson.¿Cual es la probabilidad de que en un dıa concreto se produzcan (a) menos de tres, (b)mas de cinco averıas en estas carreteras durante las horas “pico” de la tarde?

61. Suponga que los buses llegan a cierto terminal de transporte, segun un proceso de Poisson,con tasa α = 8 buses por hora, de modo que el numero de llegadas por un periodo de t

horas es una variable aleatoria de Poisson con parametro λ = 8t.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente 5 buses pequenos lleguen durante unperıodo de una hora? ¿Por lo menos 5? ¿A lo mas 10?

(b) ¿Cuales son el valor esperado y la desviacion estandar del numero de buses que llegandurante un perıodo de 90 minutos?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que por lo menos 20 buses lleguen durante un perıodo de2 horas y media? ¿De que a lo sumo 10 lleguen durante este perıodo?

62. De las personas encarceladas que son sometidas a un detector de mentiras, 0,8% dicen laverdad. Supongamos que se escoge una muestra aleatoria de 500 encarcelados.

(a) ¿Cual es la funcion de probabilidad aproximada del numero muestreado que dice laverdad?

(b) Calcule la probabilidad de que a lo mas 5 personas de las 500 dice la verdad.

(c) Calcule la probabilidad de que exactamente 5 personas de las 500 dice la verdad.

63. Supongamos que, en promedio, una persona comete dos errores por pagina. Determinela probabilidad de que en la siguiente pagina cometa (a) ningun error, (b) por lo menoscuatro errores.

64. Un fabricante de computadores se preocupa por el mal funcionamiento de cierto programaestadıstico en un modelo en particular. El mal funcionamiento puede producir en rarasocasiones un bloqueo en el sistema operativo. Suponga que la distribucion del numero decomputadores por ano que tienen un mal funcionamiento del paquete estadıstico es la dePoisson con λ = 5.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que a lo mas dos computadores por ano tenga un bloqueoen el sistema operativo?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que mas de un computador por ano tenga un bloqueo enel sistema operativo?

3.7 La distribucion hipergeometrica

Experimento hipergeometrico

En esta seccion queremos considerar experimentos que obedezcan las propiedades deun experimento binomial, pero debilitando la propiedad de independencia entre los ex-perimentos individuales, es decir, supondremos que los experimentos individuales sondependientes. Este nuevo tipo de experimento resultante se llamara experimento hiper-geometrico y se usan comunmente cuando el muestreo se hace sin reemplazo. En general,


un experimento hipergeometrico con parametros n, M y N esta basado en lassiguientes suposiciones (vease la figura 3.12):

(H1) La poblacion o conjunto donde deba hacerse el muestreo es una poblacion finitacon N elementos.

(H2) Cada elemento de la poblacion puede ser caracterizado como un exito o un fracaso.

(H3) Hay M exitos en la poblacion.

(H4) Se elige una muestra sin reemplazo de n individuos, de tal forma que sea igual-mente probable seleccionar cada subconjunto de tamano n.

Fig. 3.12: Esquema grafico de un experimento hipergeometrico

Distribucion hipergeometrica

En un experimento hipergeometrico con parametros n, M y N, como el descrito en laseccion anterior, la variable de interes X es siempre “el numero de exitos obtenidos enla muestra”. La distribucion de probabilidad de X, llamada distibucion hipergeometrica,depende de los parametros n, M y N y la probabilidad que inicialmente nos interesa es-tudiar es la de obtener k exitos en la muestra, la cual simbolizaremos con h(k; n, M, N).Es decir, estaremos interesados en calcular la probabilidad

P(X = k) = h(k; n, M, N),

cuya formula aparece despues de analizar el siguiente ejemplo que identifica a un tipode experimento hipergeometrico.

Ejemplo 3.7.1 Una caja contiene, al comienzo de un experimento, 2 bolas blancas y 4bolas negras. Ahora se sacan n = 3 bolas aleatoriamente, sin reemplazo. Determinar laprobabilidad de que entre las 3 bolas sacadas haya (a) 1 negra, (b) 2 negras y (c) 3 negras.Ademas, (d) determine la distribucion de probabilidad de X.SOLUCION:En la caja hay N = 6 bolas en total. Sea X la variable aleatoria que representa al numerode bolas negras elegidas de entre las 3 bolas sacadas. Esto quiere decir que “sacar una bolanegra” es un exito y que M = 4. Es claro que los valores posibles de X son k = 0, 1, 2, 3.

Ahora, el numero de formas de seleccionar una muestra de de n = 3 bolas de un totalde N = 6 bolas disponibles en la caja es

(

N

n

)

=

(

6

3

)

= 20.


Por consiguiente, el espacio muestral correspondiente Ω tiene 20 elementos igualmente pro-bables.

(a) Nos piden calcular P(X = 1). Determinemos la cantidad de maneras de escoger unamuestra de tamano n = 3 que contiene k = 1 bola negra y n − k = 2 blancas:

• k = 1 bola negra de un total de M = 4 bolas negras que hay en la caja se puedenescoger de

(

Mk

)

=(

41

)

= 4 formas.

• n − k = 2 bolas blancas de un total de N − M = 2 bolas blancas que hay en lacaja se pueden escoger de

(

N−Mn−k

)

=(

22

)

= 1 forma.

Por consiguiente, la cantidad de maneras de escoger una muestra de tamano n = 3

que contiene k = 1 bolas negras y n − k = 2 blancas es igual a(

M

k

)(

N − M

n − k

)

=

(

4

1

)(

2

2

)

= 4.

Con esto, la probabilidad pedida sera

P(X = 0) =

(

41

) (

22

)

(

63

) =4

20=

1

5= 0, 20.

(b) Nos piden calcular P(X = 2). Determinemos la cantidad de maneras de escoger unamuestra de tamano n = 3 que contiene k = 2 bolas negras y n − k = 1 blancas:

• k = 2 bolas negras de un total de M = 4 bolas negras que hay en la caja sepueden escoger de

(

Mk

)

=(

42

)

= 6 formas.

• n − k = 1 bola blanca de un total de N − M = 2 bolas blancas que hay en lacaja se puede escoger de

(

N−Mn−k

)

=(

21

)

= 2 formas.



M

k

)(

N − M

n − k

)

=

(

4

2

) (

2

1

)

= 12.


P(X = 2) =

(

42

) (

21

)

(

63

) =12

20=

3

5= 0, 60.

(c) Nos piden calcular P(X = 3). Determinemos la cantidad de maneras de escoger unamuestra de tamano n = 3 que contiene k = 3 bolas negras y n − k = 0 blancas:

• k = 3 bolas negras de un total de M = 4 bolas negras que hay en la caja sepueden escoger de

(

Mk

)

=(

43

)

= 4 formas.

• n − k = 0 bolas blancas de un total de N − M = 2 bolas blancas que hay en lacaja se pueden escoger de

(

N−Mn−k

)

=(

20

)

= 1 forma.



M

k

)(

N − M

n − k

)

=

(

4

3

)(

2

0

)

= 4.


P(X = 3) =

(

43

) (

20

)

(

63

) =4

20=

1

5= 0, 20.


(d) En la tabla de la figura 3.13 vemos la distribucion de probabilidad para la variablealeatoria hipergeometrica X, descrita en el ejemplo 3.7.1. Observe el patron con lasentradas numericas.

k P(X=k)

1(4

1) (22)

(63)

= 15

2(4

2) (2

1)(6

3)= 3

5

3(4

3) (2

0)(6

3)= 1

5

Fig. 3.13: Distribucion de probabilidad para la distribucion hipergeometrica conparametros N = 6, M = 4 y n = 3.

Para generalizar el metodo que usamos en el ejemplo 3.7.1 (vease la figura 3.14), supong-amos que una poblacion (en nuestro ejemplo, la caja) contiene N objetos (en nuestroejemplo, N = 6 bolas), dentro de los cuales hay M exitos (en nuestro ejemplo, M = 4

bolas negras) y N − M fracasos (en nuestro ejemplo, N − M = 2 bolas blancas).Supongamos que se sacan, aleatoriamente (sin reemplazo y sin orden) n objetos de lapoblacion (en nuestro ejemplo, n = 3 bolas). Nuestro interes determinar el numero deexitos escogidos que hay en los n objetos sacados. Ahora,

1. El numero total de formas de escoger n objetos de N objetos de la poblacion esel coeficiente binomial

(

Nn

)

.

2. Supongamos que entre los n objetos escogidos hay k exitos (esto quiere decir quehay n − k fracasos). Como

• k exitos de un total de M exitos que hay en la poblacion se pueden escogerde

(

Mk

)

formas y

• n − k fracasos de un total de N − M fracasos que hay en la poblacion sepuede escoger de

(

N−Mn−k

)

formas,

entonces, la cantidad de maneras de escoger una muestra de tamano n que con-tiene k exitos y n − k fracasos es igual al producto

(

Mk

) (

N−Mn−k

)

.

En consecuencia, tenemos el siguiente teorema:


Fig. 3.14: Esquema grafico para obtener la distribucion hipergeometrica

Teorema 3.7.2 Sea X el numero de exitos obtenidos en una muestra escogida alazar al realizar un experimento hipergeometrico con parametros n, M y N. Entonces,la probabilidad de elegir k exitos en n intentos esta dada por

P(X = k) =

(

Mk

) (

N−Mn−k

)

(

Nn

) , donde k = 0, 1, 2, . . . , n y n ≤ N. (3.1)

La correspondiente distribucion de X se conoce con el nombre de distribucionhipergeometrica con parametros n, M y N.

Como podemos verificar, las funciones de probabilidad f y de distribucion F de unavariable aleatoria hipergeometrica con parametros n, M y N estan dadas por

h(k; n, M, N) := f(k) =

(Mk ) (N−M

n−k )

(Nn)

, si k = 0, 1, 2, . . . , n y n ≤ N;

0, de otra manera.

y

H(t; n, M, N) := F(t) = P(X ≤ t) =∑

k≤t

h(k; n, M, N),

respectivamente, en donde la suma anterior recorre todos los enteros k no negativos queson menores o iguales que t.

Aplicaciones de la distribucion hipergeometrica

La distribucion hipergeometrica encuentra aplicaciones en los controles de calidad dela produccion colectiva. Por ejemplo, un cargamento de mercancıa se compone de B

ejemplares buenos y de M ejemplares defectuosos. El buen ejemplar juega el papel deun bola blanca y el defectuoso, de una bola negra. Para el control de calidad, escogemosuna cargamento de n ejemplares al azar y el ejemplar, precisamente escogido, no se echaal cargamento, antes de la proxima escogencia. Si B y M fuesen conocidos, entonces,se podrıa aplicar la formula (3.1) para calcular la probabilidad de que, entre los n

ejemplares escogidos, hayan k en mal estado. Sin embargo, en la practica, B y M noson conocidos y la investigacion de la calidad de un determinado numero de ejemplaressirve precisamente para la estimacion de estos numeros desconocidos.


Ejemplo 3.7.3 Una cantidad de 60 componentes electricas estan sujetas a un control decalidad. Fue encontrado que 48 de las componentes no estaban defectuosas y las compo-nentes que quedaban sı lo estaban. Si una muestra aleatoria de 15 componentes son escogidasde este lote, ¿cual es la probabilidad de que (a) exactamente 11 de ellas, (b) a lo mas 3 deellas no esten defectuosas?SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa al numero de componentes no defectuosas. Apli-cando la distribucion geometrica con parametros n = 15, N = 60 y M = 48, tenemos

P(X = 11) = h(11; 15, 48, 60) =

(

4811

) (

124

)

(

6015

) = 0, 21026.

y

P(X ≤ 3) =

3∑

j=0

(

48j

) (

1215−j

)

(

6015

) =

3∑

j=3

(

48j

) (

1215−j

)

(

6015

) =

(

483

) (

1212

)

(

6015

) ≈ 3, 251 × 10−10.

Observemos que la primera suma puede comenzar a evaluarse desde j = 3 (como se observaen la segunda suma) porque el coeficiente

(

1215−j

)

= 0, para todo j = 0, 1, 2.

Ejemplo 3.7.4 El consejo de cierta universidad consiste de 66 senadores, 38 de los cualesson de la facultad de ciencias, 28 de los cuales son de la de artes. Si un comite de 16senadores fue escogido aleatoriamente, entonces, determine la probabilidad de que el comitetenga por lo menos 2 senadores de la facultad de arte.SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa al numero de senadores escogidos de la facultadde arte. Entonces, la probabilidad de que el comite tenga a lo mas un senador de la facultadde arte esta dada por

P(X ≤ 1) =

1∑

j=0

(

28j

) (

3816−j

)

(

6616

) =

(

280

) (

3816

)

(

6616

) +

(

281

) (

3815

)

(

6616

) ≈ 5, 324 × 10−4.

Por consiguiente, la probabilidad de que el comite tenga por lo menos 2 senadores de lafacultad de arte sera P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) ≈ 0, 9995%.

Ejemplo 3.7.5 Una companıa recibe un pedido de 20 artıculos. Dado que la inspeccionde cada artıculo es cara, se sigue la polıtica de analizar una muestra de 6 art’iculos de cadaenvıo (seleccionada sin reemplazo y sin orden), aceptando la remesa si no hay mas de unartıculo defectuoso en la muestra. ¿Cual es la probabilidad de que sea aceptado un pedidocon cinco artıculos defectuosos?SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa al numero de artıculos defectuosos en la muestrade 5. Entonces,

P(aceptar el envıo) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

=

(

156

)

(

206

) +

(

51

)(

155

)

(

206

)

= 0, 129 + 0, 387 = 0, 516.

Por consiguiente, la probabilidad de que sea aceptado un pedido con cinco artıculos defec-tuosos es de 0,516.


Esperanza y varianza de la distribucion hipergeometrica

El siguiente teorema muestra como se puede calcular la esperanza y la varianza de unavariable aleatoria que tiene distribucion hipergeometrica.

Teorema 3.7.6 Si X es una variable aleatoria que tiene distribucion hiper-geometrica con parametros n, M y N, entonces, se cumple que

E(X) = n · M

Ny V(X) =

(

N − n

N − 1

)

· n · M

N·(

1 −M

N

)

.

La razon M/N es la proporcion de los exitos de la poblacion. Si sustituimos M/N

por p en las formulas de E(X) = np y V(X) = np(1 − p), dadas en el teorema 3.5.8,obtenemos

E(X) = np y V(X) =

(

N − n

N − 1

)

· np(1 − p).

La expresion anterior muestra que la esperanza de las variables binomial e hipergeometricason iguales, mientras que las varianzas de las dos variables difieren por el factor (N −

n)/(N− 1), a veces llamado factor de correccion por poblacion finita. Estefactor es menor que 1, ası que la variable hipergeometrica tiene menor varianza que lade la binomial. El factor de correccion se puede escribir como (1 − n

N)/(1 − 1

N), que es

aproximadamente 1 cuando la poblacion tiene un tamano muy grande (N → ∞). Unaregla de uso muy frecuente establece que el factor de correccion se puede pasar por altocuando n

N≤ 0, 05, es decir, cuando la muestra contiene menos del 5% de los elemen-

tos de la poblacion. Cuando esto sucede, las distribuciones binomial e hipergeometricacoinciden.


65. Una caja con 24 calculadoras contiene 4 que estan defectuosas. Si se eligen al azar 4 deesa caja (sin reemplazo y sin importar el orden), ¿cual es la probabilidad de que:

(a) tres esten defectuosas?

(b) a lo mas una este defectuosa?

(c) por lo menos dos esten defectuosas?

(d) Calcule la media, la varianza y la desviacion estandar del numero de calculadorasdefectuosas entre las 4 seleccionadas.

66. Se embarcan abanicos electricos en lotes de diez. Antes de aceptar un lote, un inspectorelige tres de esos abanicos y los inspecciona. Si ninguno de los abanicos probados estadefectuosos, el lote se acepta; si uno o mas salen con defectos, revisan todo el lote.Suponga que hay dos abanicos deficientes. ¿Cual es la probabilidad de que se necesite un100% de inspeccion?

67. En un almacen hay diez impresoras, de las cuales cuatro estan defectuosas. Un clienteselecciona, si reemplazo, cinco impresoras al azar. ¿Cual es la probabilidad de que lascinco esten en buen estado.


68. Se dispone de diez resistencias, entre las cuales se van a elegir tres sin reemplazo y sinorden . Sea X la variable aleatoria que representa al numero de resistencias defectuosas.Construya la funcion de probabilidad de X con las siguientes condiciones:

(a) Hay dos resistencias, entre las diez, que son defectuosas.

(b) Entre las diez resistencias hay cuatro que son defectuosas.

69. Una empresa recibe un pedido de 20 artıculos. Dado que la inspeccion de cada artıculoes cara, se sigue la polıtica de analizar una muestra aleatoria de 6 artıculos de cada envıo,aceptando la remesa si no hay mas de un artıculo defectuoso en la muestra. ¿Cual es laprobabilidad de que sea aceptado un pedido con cinco artıculos defectuosos?

70. Una empresa recibe un pedido de 1.000 artıculos. Se analiza una muestra aleatoria de15 artıculos y se acepta el pedido si menos de tres resultan defectuosos. ¿Cual es laprobabilidad de aceptar un envıo que contenga un 5% de artıculos defectuosos?

71. El rector de un colegio publico esta considerando la posibilidad de darle trabajo a nuevepersonas que lo han solicitado. El perfil de todos los solicitantes es similar, excepto enque cuatro son licenciados y el resto aun no lo es. Al final, el rector aprueba cincosolicitudes. Si estas cinco solicitudes han sido elegidas aleatoriamente del total, ¿cual esla probabilidad de que menos de la mitad de las aprobadas sean solicitudes de personasque son licenciados?

72. Una persona ha recibido una caja de 12 manzanas, de las cuales 5 son verdes y las otras7, rojas. Supongamos que ella selecciona al azar 5 manzanas de la caja. ¿Cual es laprobabilidad de que entre las 5 seleccionadas (a) hallan 2 manzanas rojas, (b) hallan porlo menos 4 manzanas verdes, (c) no hallan manzanas rojas, (d) hallan a lo mas 2 manzanasverdes.

73. Cada uno de los 13 computadores de cierta marca ha sido devuelto a un proveedor de-bido al mal funcionamiento de ciertos programas bajo un determinado sistema operativo.Supongamos que 7 de estos 13 tienen problemas con la memoria RAM y los otros 6 tienenproblemas con los ejecutables EXE. Si se examinan al azar y sin reemplazo 6 de estoscomputadores, ¿cual es la probabilidad de que (a) exactamente 3, (b) a lo mas 2, (c)estrictamente entre 2 y 5 computadores tengan problemas con la memoria RAM?

74. En el dıa de su cumpleanos, un joven recibio 5 discos compactos de musica romantica y4 de musica clasica. Despues de recibidos todos los discos compactos, los apilo en ordenaleatorio antes de comenzar a escucharlos. Considere los 3 primeros discos compactos queha escuchado Brian.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sean de musica romantica?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que al menos 2 de ellos sean de musica romantica?

(c) ¿Cuales son el valor medio y la desviacion estandar de la cantidad entre los 3, quesean de musica romantica?

(d) ¿Cuales son el valor medio y la desviacion estandar, del numero de discos compactosque no esten entre los 3 primeros y que sean de musica romantica?

75. El jefe de personal de cierta empresa entrevista a 9 personas para cinco vacantes. Paraello ha programado 5 entrevistas para el primer dıa de entrevistas y 4 para el segundo dıa.Suponga que los candidatos son entrevistados al azar.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que k de los mejores cuatro candidatos sean entrevistadosel primer dıa?

(b) ¿Cuantos de los mejores cuatro candidatos pueden esperar ser entrevistados el primerdıa?

3.8 Las distribuciones binomial negativa y geometrica 55

76. Una reunion polıtica para discutir la aceptacion de una reforma social termino en discusiondebido a que ocho de los polıticos que participaron en la reunion estuvieron a favor lareforma, mientras que los otros cuatro no lo estaban. Suponga que los polıticos queparticiparon en la reunion salen de la oficina en orden aleatorio y que cada uno de loscuatro primeros es abordado por un reportero para entrevistarlo.

(a) ¿Cual es la funcion de probabilidad del numero de los polıticos, entre los entrevistados,a favor de la reforma?

(b) ¿Cuantos a favor de la reforma se espera que sean entrevistados?

77. Se selecciona al azar un comite de 3 personas entre 3 matematicos y 5 fısicos.

(a) Encuentre la funcion de probabilidad para el numero de matematicos en el comite.

(b) Calcule la probabilidad de que en el comite hayan por lo menos dos fısicos.

78. Una senora siembra en el jardın de su casa 6 semillas seleccionadas al azar de una cajaque contiene tres semillas de nıspero y cuatro de zapote. ¿Cual es la probabilidad de queentre las 6 semillas hayan dos de nıspero?

79. Una determinada empresa esta interesada en evaluar su procedimiento de inspeccion actualen embarques de 50 artıculos identicos. El procedimiento es tomar una muestra de cincoy pasar el embarque si no se encuentra mas de dos defectuosos. ¿Que proporcion del 20%de embarques defectuosos se aceptara?

3.8 Las distribuciones binomial negativa y geometrica

Experimento binomial negativo

Consideremos un experimento que satisface las mismas propiedades que las de un exper-imento binomial, con la excepcion de que los experimentos se repetiran hasta que ocurraun numero determinado de exitos. Por lo tanto, en lugar de encontrar la probabilidadde k exitos en n experimentos, donde n es fijo, ahora estamos interesados en la proba-bilidad de que el k-esimo exito ocurra en el r-esimo experimento. Los experimentos deesta clase recibe el nombre de experimentos binomiales negativos. En otras palabras, unexperimento binomial negativo con parametros r y p esta caracterizado por lassiguientes condiciones:

(BN1) El experimento consta de una serie de experimentos de Bernoulli y que son inde-pendientes entre sı.

(BN2) La probabilidad de exito p de cada experimento de Bernoulli es siempre la misma.

(BN3) El experimento continua hasta que un total de r exitos se haya observado, siendor un entero no negativo dado.

Distribucion binomial negativa

La variable de interes en un experimento binomial negativo con parametros r y p es X =

“numero de fracasos que preceden al r-esimo exito”. Observese que X tiene valores 0,1, 2, . . .. La distribucion de probabilidad de X, llamada distribucion binomial negativa,depende de los parametros r y p y la probabilidad que inicialmente nos interesa estudiar


es la de obtener k fracasos antes del r-esimo exito, la cual simbolizaremos con bn(k; r; p).Es decir, estaremos interesados en calcular la probabilidad

P(X = k) = bn(k; r; p),

cuya formula deduciremos a continuacion. Observese que el evento X = k es equiva-lente9 al evento “r − 1 exitos en los primeros k + r − 1 experimentos y un exito en en(k + r)-esimo experimento”. Sean A y E los eventos que representan a “r − 1 exitos enlos primeros k + r − 1 experimentos” y “ un exito en en (k + r)-esimo experimento”,respectivamente. Con esto, el evento X = k es equivalente al evento A ∩ E. Comotodos los experimentos son independientes (y, por lo tanto, tambien A y E), entonces,

bn(k; r, p) = P(X = k) = P(A ∩ E) = P(A)P(E).

Ahora, debido a que p = P(E) y a que la probabilidad

P(A) = b(r − 1; k + r − 1, p) =

(

k + r − 1

r − 1

)

pr−1 (1 − p)k

es una probabilidad binomial con parametros k + r − 1 y p, entonces,

bn(k; r, p) =

(

k + r − 1

r − 1

)

pr−1 (1 − p)k p =

(

k + r − 1

r − 1

)

pr (1 − p)k.

Esto conduce al siguiente teorema:

Teorema 3.8.1 Sea X el numero de fracasos que preceden al r-esimo exito en unexperimento binomial negativo con parametros r y p. Entonces, la probabilidad deque hayan k fracasos antes del r-esimo exito esta dada por

bn(k; r, p) = P(X = k) =

(

k + r − 1

r − 1

)

pr (1 − p)k, k = 0, 1, 2, . . . .

La correspondiente distribucion de X se conoce con el nombre de distribucionbinomial negativa con parametros r y p.

Las funciones de probabilidad f y de distribucion F de una variable aleatoria X que tienedistribucion binomial negativa con parametros r y p estan dadas por

bn(k; r, p) := f(k) =

(

k+r−1r−1

)

pr (1 − p)k, si k = 0, 1, 2, . . .;

0, de otra manera.

y

Bn(t; r, p) := F(t) = P(X ≤ t) =∑

k≤t

bn(k; r, p),

respectivamente, en donde la suma anterior recorre todos los enteros no negativos queson menores o iguales que t.

9Por ejemplo, si r = 6 y k = 13, entonces, debe haber 4 exitos en los primeros 18 experimentosy el experimento 19 debe ser 1 exito.


Ejemplo 3.8.2 Una pareja desea tener exactamente dos ninas en su familia. Tendran hijoshasta que se satisfaga esta condicion. Suponiendo que la probabilidad de que el hijo quenazca varon es igual a 0,5,

(a) ¿cual es la probabilidad de que la familia tenga k hijos varones?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que la familia tenga 4 hijos?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que la familia tenga a lo mas 4 hijos?

SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa a “numero de varones que nacen antes de quenazca la segunda hembra”. Es claro ver que X tiene distribucion binomial negativa con losparametros r = 2 y p = 0, 5.

(a) Por el teorema 3.8.1, la probabilidad pedida es

P(X = k) = bn(k; 2; 0, 5) =

(

k + 1

1

)

(0, 5)2 (0, 5)k = (k + 1) (0, 5)k+2.

(b) Nos piden calcular P(X = 2), la cual, por la parte (a), es igual a

P(X = 2) = (2 + 1)(0, 5)2+2 = 3(0, 5)4 = 0, 188.

Es decir, la probabilidad de que la familia tenga exactamente 4 hijos es aproximadamentedel 0,188.

(c) Nos piden calcular P(X ≤ 2), la cual, por la parte (a), es igual a

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = (0, 5)2 + 2(0, 5)3 + 3(0, 5)4 = 0, 688.

Es decir, la probabilidad de que la familia tenga a lo mas 4 hijos es aproximadamentedel 0.688.

Esperanza y varianza de la distribucion binomial negativa

El siguiente teorema muestra como se puede calcular la esperanza y la varianza de unavariable aleatoria que tiene distribucion binomial negativa.

Teorema 3.8.3 Si X es una variable aleatoria que tiene distribucion binomial ne-gativa con parametros r y p, entonces, se cumple que

E(X) =r(1 − p)

py V(X) =

r(1 − p)

p2.

Ejemplo 3.8.4 Consideremos la situacion presentada en el ejemplo 3.8.2.

(a) ¿Cuantos varones se esperarıa que tenga esta familia?

(b) ¿Cuantos hijos se esperarıa que tenga esta familia?

SOLUCION:Sea X como en el ejemplo 3.8.2. En ese mismo ejemplo se determino que X tiene distribucionbinomial negativa con los parametros r = 2 y p = 1.


(a) Nos piden calcular la esperanza de X, la cual, por el teorema 3.8.3, esta dada por

E(X) =2(1 − 0, 5)

0, 5= 2.

(b) Aquı nos piden calcular la esperanza de X + 2. Por tanto,

E(X + 2) = E(X) + 2 = 4.

En conclusion, se espera que esta familia tenga 2 varones y un total de 4 hijos.

Distribucion geometrica

Como caso especial, la distribucion binomial negativa con parametros r = 1 y p seconoce con el nombre de distribucion geometrica con parametro p. Como caso particu-lar de los teoremas 3.8.1 y 3.8.3, con r = 1, tenemos el siguiente teorema:

Teorema 3.8.5 Sea X el numero de fracasos que preceden al primer exito en unexperimento binomial negativo con parametros 1 y p. Entonces, la probabilidad deque hayan k fracasos antes del primer exito esta dada por

P(X = k) = bn(k; 1, p) = p (1 − p)k, k = 0, 1, 2, . . . .

La correspondiente distribucion de X se conoce con el nombre de distribuciongeometrica con parametros p. Ademas, E(X) = 1−p

py V(X) = 1−p

p2 .

Ejemplo 3.8.6 Las etiquetas en los frascos de los medicamentos se examinan con un lectoroptico para comprobar que estan debidamente adheridas a las botellas. Suponga que laprobabilidad de descubrir una etiqueta mal adherida es 0,0001.

(a) Calcule la probabilidad de que el proceso detecte una etiqueta con tales caracterısticasen el primer ensayo.

(b) Calcule la probabilidad de que el proceso descubra por primera vez una etiqueta maladherida en diezmilesima botella.

(c) Encuentre el valor esperado y la desviacion estandar del numero de etiquetas examinadashasta que se encuentra una etiqueta mal adherida.

SOLUCION:Sea X es la variable aleatoria que representa al numero de ensayos realizados antes de encon-trar la primera etiqueta mal adherida. Dando por sentado que los ensayos son de Bernoulli,con p := P(exito) = 0, 0001, empleamos una distribucion geometrica. Por consiguiente,

(a) P(X = 0) = p(1 − p)0 = p = 0, 0001.

(b) P(X = 10.000) = p(1 − p)10.000 = (0, 0001)(0, 9999)10.000 = 0, 0000368.

Observemos que, aun cuando esperamos una etiqueta mal adherida en cada 10.000 botellas,la probabilidad de que en la siguiente botella se encuentre una de ellas es mas alta que laprobabilidad de que se encuentre despues de 10.000 botellas.


(c) Tenemos que p = 0, 0001, de modo que E(X) = 1/(0, 0001) = 10.000. Es razonablepensar que si una de cada 10.000 etiquetas esta mal adherida, tendremos que esperarun promedio de 10.000 botellas para encontrar una botella con tales caracterısticas.La varianza es

V(Y) =1 − 0, 0001

(0, 0001)2= 99.990.000.

Por lo tanto, la desviacion estandar es√

99.990.000 = 9.999, 5.


80. El 10% de los motores armados en una fabrica de montaje estan defectuosos. Si seseleccionan en forma aleatoria uno por uno y se prueba, calcule la probabilidad de localizarel tercer motor sin defecto (a) en el quinto ensayo,(b) en el quinto ensayo o antes.

81. De acuerdo con un estudio geologico, en un pozo de exploracion petrolera hay 0,2 de pro-babilidad de encontrar petroleo. Calcule la probabilidad de localizar petroleo por primeravez en el tercer pozo que se perfore.

82. Nubia y Jorge deciden tener hijos hasta que tengan cuatro del mismo sexo. Si se suponeque la probabilidad de que nazca varon es de 0,5, ¿cual es la funcion de probabilidad delnumero de hijos de Nubia y Jorge?

83. Tres hermanos y sus respectivas esposas deciden tener hijos hasta que cada familia tengados ninas.

(a) ¿Cual es la funcion de probabilidad del numero total de varones nacidos de los her-manos?

(b) ¿Cual es la esperanza del numero total de varones nacidos de los hermanos y comose compara con el numero esperado de varones nacidos de cada hermano?

84. Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza tres monedas obtenga solo caraso sellos por segunda vez en el sexto lanzamiento.

85. Se sabe que en cierto proceso de fabricacion, en promedio, uno de cada 100 artıculos estadefectuoso. ¿Cual es la probabilidad de que el sexto artıculo que se inspecciona sea elprimer defectuoso que se encuentra.

86. Si la probabilidad de que un ladron sea atrapado en un robo cualquiera es 0,20. ¿Cual esla probabilidad de que lo capturen por primera vez en su cuarto robo?

87. Si 0,05 es la probabilidad de que cierto instrumento de medicion sufra una desviacionexcesiva, ¿cual es la probabilidad de que el sexto de los instrumentos probados sea elprimero en mostrar esa desviacion?

88. Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces. ¿Cual es la probabilidad de quefalle por primera vez en su decimoquinto disparo?

89. Los expedientes de una companıa de albercas indican que la probabilidad de que una desus nuevas albercas requiera reparacion en el plazo de un ano es 0,20. ¿Cual sera laprobabilidad de que la sexta alberca construıda en un ano determinado sea la primera enrequerir reparacion en ese lapso?

3.9 Uso de Statgraphics para trabajar con distribuciones discretas 60

3.9 Uso de Statgraphics para trabajar con distribucionesdiscretas

Introduccion

A traves del programa Statgraphics se escoge una de las distribuciones que incluye elprograma y se introducen los valores de los parametros de la distribucion. El programapermite calcular probabilidades para puntos en variables aleatorias discretas y para in-tervalos en variables aleatorias discretas y continuas (en esta seccion nos limitaremosal caso discreto y en la seccion ?? al caso continuo). Ası mismo, permite calcularcuantiles o percentiles para ambos tipos de variables aleatorias. Tambien representagraficamente las distribuciones de probabilidad. En esta seccion se presenta en primerlugar una descripcion de las opciones para calculo de probabilidades (en el caso discreto)con Statgraphics, junto con algunos ejemplos.

Opciones de Statgraphics para probabilidad

• Se escoge la opcion Plot de la barra de menu.

• Dentro de Plot, se escoge Probability Distributions.

• Dentro de Probability Distributions, se escoge la distribucion deseada. Los valoresde los parametros que definen la distribucion (estan fijados por defecto por elprograma) se pueden modificar pulsando el boton derecho del raton y escogiendola opcion Analysis Options.

Opciones numericas

Situandose en el icono de Tabular options (de color amarillo) y pulsando el botonizquierdo del raton, el programa ofrece cuatro posibilidades:

• Analysis Summary (opcion por defecto).El programa presenta un recordatorio de la distribucion escogida y los valores delos parametros.

• Cumulative Distribution Function (calculo de probabilidad).Dado un valor x de la variable aleatoria X, el programa calcula tres probabilidades:P(X < x), P(X = x) y P(X > x). El valor x se introduce pulsando el boton derechodel raton, escogiendo Pane Options y rellenando o modificando uno (o varios) delos recuadros blancos que aparecen mediante el teclado.

• Inverse CDF (calculo de percentiles o cuantiles).Dado un valor de probabilidad p, el programa calcula el valor x tal que F(x) = p.El valor de p se introduce pulsando el boton derecho del raton, escogiendo PaneOptions y rellenando o modificando uno (o varios) de los recuadros blancos queaparecen.

• Random Numbers (generacion de numeros aleatorios).El programa genera n valores aleatorios de una distribucion elegida. El valor de n

3.9 Uso de Statgraphics para trabajar con distribuciones discretas 61

se fija pulsando el boton derecho del raton, escogiendo Pane Options y escribiendoen la opcion Size el valor deseado. A continuacion, para generar la serie de numerosaleatorios, hay que situarse en el ıcono Save results (cuarto ıcono, el que lleva undibujo de un diskette) y pulsar el boton izquierdo del raton. El programa permiteguardar los valores generados (marcando el recuadro bajo el tıtulo Save con elboton izquierdo del raton) y pide al usuario que escoja un nombre para la variablebajo la cual se almacena la columna de datos (por defecto, las denomina RAND1,RAND2, etc,..., aunque el usuario puede cambiarlas situando el cursor encima decualquiera de ellas en los recuadros bajo el tıtulo target variables y moidificandoel texto mediante el teclado). Se pueden generar muestras secuencialmente conrapidez sin mas que pinchar en el cuarto icono y cambiar el nombre de la variable(RAND1, RAND2,...).

Opciones graficas

Las opciones graficas se seleccionan pulsando el icono Graphical Options (tercer icono,en el que aparece una grafica) de la barra de herramientas con el boton izquierdo delraton. El programa ofrece cinco posibilidades, a saber:

• Density/Mass Function.Esta opcion crea una grafica de la funcion de probabilidad (o de densidad en elcaso continuo) que se esta evaluando.

• CDF : Esta opcion crea una grafica de la funcion de distribucion acumulada quese esta evaluando.

• Survivor Function: Esta opcion crea una grafica de la funcion complementariade la funcion de distribucion acumulada (funcion de supervivencia) que se estaevaluando. La funcion indica la probabilidad de obtener un valor mayor o igual alos valores sobre el eje X.

• Log Survivor Function: Esta opcion crea una grafica de la logaritmo de la funcionde supervivencia que se esta evaluando. La funcion de supervivencia indicala probabilidad de obtener un valor mayor o igual a los valores sobre el eje X.

• Hazard Function: Esta opcion crea un grafica de la funcion de riesgo para ladistribucion que se esta evaluando. La funcion de riesgo es igual a la funcionde probabilidad (o de densidad en el caso continuo) dividida por la funcion desupervivencia.

Ejemplo 3.9.1 El porcentaje de piezas defectuosas producidas en un proceso es del 5%.Calcular la probabilidad de que de 150 piezas producidas mediante el proceso en cuestionhayan como maximo seis defectuosas.SOLUCION:Se eligen las opciones Plot, a continuacion Probability Distributions y seguidamente seescoge la distribucion binomial. Marcando en el ıcono Input dialog (primer ıcono, rojo) sepodrıa posteriormente cambiar de tipo de distribucion en el mismo analisis. Pulsando elboton derecho del raton y escogiendo Analysis Options, se fija el valor de n (Trials) en 150y el de p (Event probability) en 0,05. Pulsando en el ıcono Tabular Options (segundo ıcono,amarillo) se escoge CDF. Pulsando otra vez el boton derecho del raton y escogiendo ahora

Cap. 3. Ejercicios complementarios 62

Pane Options, se fija elige el valor de la variable (Random variable) en 6. La solucion queda el programa es 1 − F(6) (Upper tail area) = 0, 627. Es decir, F(6) = 0.373.


s 90. Un agente de seguros vende polizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 anosmas es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de anos vivan (a) los 5 individuos,(b) al menos 3, (c) solo 2, (d) al menos 1.

s 91. Se ha producido un vertido de productos radiactivos en una zona A; se detectara lacontaminacion solo en los puntos en que se supere un total de 30 desintegraciones en unminuto. Si en un punto el numero de desintegraciones por minuto sigue una distribucion dePoisson con media 33, calcular la probabilidad de que al cabo de un minuto sea detectadala contaminacion en ese punto.

s 92. En el primer curso de una facultad hay cinco asignaturas y se permite pasar al segundocurso a todos los alumnos que hayan aprobado un mınimo de 3 asignaturas. Si la proba-bilidad de aprobar cada asignatura es del 60%, ¿cual es la de pasar a segundo curso?

s 93. El numero medio de automoviles que llega a una estacion de suministro de gasolina esde 210 por hora. Si dicha estacion puede atender a un maximo de 10 automoviles porminuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la estacion desuministro mas automoviles de los que puede atender.

s 94. En la Unidad de Cuidados Intensivos de un hospital hay 30 camas. Si el numero deenfermos graves que llegan al hospital por dıa sigue una distribucion de Poisson conmedia 20, ¿cual es la probabilidad de que en un dıa falten camas en la unidad?

s 95. Un equipo de seis medicos se turna para hacer las guardias. Si la probabilidad de causarbaja para cada uno de ellos en un periodo de dos meses es de 0,1 y la baja de un facultativoes independiente de las de los demas, ¿cual es la probabilidad de que haya que suplir almenos a uno de ellos en dicho perıodo?

Ejercicios complementarios

96. ¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justificar cada respuesta.

(a) Toda variable aleatoria discreta es un numero.

(b) Si f es la funcion de probabilidad de una variable aleatoria discreta X y 0 es un posiblevalor de X, entonces, f(0) = 0.

(c) Para cualquier variable aleatoria discreta X se cumple que P(X = 1) = 1, en donde 1es un posible valor de X.

(d) Si F es la funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria X discreta,entonces, F es una funcion escalonada

(e) Si X es una variable aleatoria discreta con funcion de distribucion acumulada F, en-tonces, se cumple que P(3 ≤ X < 5) = F(5) − F(3).

(f) Si X es cualquier varaible aleatoria discreta, entonces, la desviacion estandar de lavariable aleatoria X + 2 es diferente a la desviacion estandar de X.

(g) Si X es cualquier variable aleatoria discreta y si la variable aleatoria X + 2 tieneesperanza 1, entonces, la esperanza de X es 3.


97. Dos dados no cargados se tiran independientemente. Sea X la variable aleatoria querepresenta al maximo numero que resulta en ambas caras.

(a) Halle la funcion de probabilidad f de X.

(b) Halle la funcion de distribucion acumulada F de X y representela graficamente.

98. Una caja contiene cuatro tornillos de cuerda derecha y seis de cuerda izquierda. Seseleccionan dos tornillos (uno por uno). Sea X la variable aleatoria que representa alnumero de tornillos de cuerda izquierda que se obtienen.

(a) Si la seleccion es sin reemplazo, construya la funcion de probabilidad y grafıquela;construya la funcion de distribucion acumulada y grafıquela; calcule la media e in-terpretela y calcule la varianza. ¿Que tipo de experimento aleatorio es este? ¿Porque?

(b) Si la seleccion es con reemplazo, construya la funcion de probabilidad y grafıquela;construya la funcion de distribucion acumulada y grafıquela; calcule la media e in-terpretela y calcule la varianza. ¿Que tipo de experimento aleatorio es este? ¿Porque?

99. Una determinada revista, que evalua la calidad del funcionamiento de computadoresnuevos, reporta regularmente el numero de defectos importantes que tiene cada com-putador en cada examen. Sea X la variable aleatoria que representa al numero de defectosimportantes en un computador de cierto tipo seleccionado al azar. Supongamos que lafuncion de distribucion acumulada F de X es como sigue:

F(t) =

0, si t < 0,

0, 18, si 0 ≤ t < 1,

0, 39, si 1 ≤ t < 2,

0, 63, si 2 ≤ t < 3,

0, 89, si 3 ≤ t < 4,

1, si 4 ≤ t.

(a) Calcule la probabilidad de que el numero de defectos importantes en un computadorde cierto tipo seleccionado al azar sea igual a 1.

(b) Calcule la probabilidad de que el numero de defectos importantes en un computadorde cierto tipo seleccionado al azar sea estrictamente mayor que 2.

(c) Calcule la probabilidad de que el numero de defectos importantes en un computadorde cierto tipo seleccionado al azar sea mayor o igual que 2, pero menor o igual que 4.

(d) Calcule la probabilidad de que el numero de defectos importantes en un computadorde cierto tipo seleccionado al azar sea estrictamente mayor que 1 y estrictamentemenor que 4.

(e) Halle la funcion de probabilidad f de X.

(f) Utilizando f, encuentre las probabilidades de los incisos (a) hasta (d).

100. La probabilidad de que una persona, que vive en cierta ciudad de Colombia, tenga un gatoes de 0,6. Encuentre la probabilidad de que la undecima persona entrevistada al azar enesta ciudad sea la cuarta que tiene un gato.

101. Un empresario necesita conocer algunos detalles sobre el proyecto financiero que debepresentar ante el consejo directivo el proximo martes y decide llamar por telefono a loscompaneros que hacen parte del proyecto para preguntarles. Cree que, en cada llamada,la probabilidad de obtener la informacion necesaria es 0,30. Decide seguir llamando a suscompaneros hasta que consiga la informacion. Sea X la variable aleatoria que representael numero de llamadas necesarias para obtener la informacion.


(a) Construya y grafique la funcion de probabilidad de X.

(b) Construya y grafique la funcion de distribucion acumulada de X.

(c) Calcule la probabilidad de que se necesiten al menos tres llamadas.

102. Sea X la variable aleatoria que representa al numero de llamadas telefonicas que recibeun conmutador durante un intervalo de cinco minutos. Supongamos que X tiene funcionde probabilidad

f(x) =e−3 3x

x!, para x = 0, 1, 2, . . . .

(a) Determine la probabilidad de que X sea igual a 0, 1, 2, 3 y 4.

(b) Grafique la funcion de probabilidad de X para estos valores de x.

103. Una persona en Alemania puede repetir su examen de conduccion tantas veces lo quierahasta que lo gane para poder recibir su permiso de conduccion. Supongamos que la prob-abilidad de que una determinada persona en Alemania apruebe su examen de conducciones 0,7. Determine la probabilidad de que esa persona apruebe el examen de conduccion(a) en el tercer, (b) antes del cuarto intento.

104. Suponga que un distribuidor de monedas antiguas se interesa en la compra de una monedade oro para el que las probabilidades 0,31, 0,26; 0,25 y 0,18 son las de que pueda venderlocon una ganancia de $500.000; una ganancia de $300.000; venderlo al costo; o venderlocon una perdida de $300.000. ¿Cual es su ganancia esperada? Interprete su respuesta.

105. Una persona tiene la opcion de seleccionar dos temas (la dieta y el asma) para proponerun reportaje en un periodico local. Si elige el tema la dieta pedira dos libros por mediode prestamos entre bibliotecas, pero si selecciona el tema del asma pedira cuatro libros.La persona cree que, para un buen reportaje, necesita por lo menos la mitad de los librossolicitados para cualquiera de los temas seleccionados. Si la probabilidad de que un librosolicitado por medio de prestamo entre bibliotecas en realidad llegue a tiempo es 0,9 y loslibros llegan independientemente unos de otros,

(a) ¿cual tema debe seleccionar la persona para llevar al maximo la probabilidad de hacerun buen reportaje?

(b) ¿Cual si la probabilidad de llegada es solo 0,5 en lugar de 0,9 ?

106. De todos los clientes que compran computadores portatiles, 75% compran uno con 256 MBde memoria RAM. Sea X el numero entre los siguientes 10 compradores que seleccionanun computador portatil con 256 MB de memoria RAM.

(a) ¿Cual es la funcion de probabilidad de X?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el numero entre los siguientes 10 compradores queseleccionan un computador portatil con 256 MB de memoria RAM sea mayor o igualque 7? ¿Este entre 6 y 13 (ambos inclusive)?

(c) Calcule la esperanza y desviacion del numero entre los siguientes 10 compradores queseleccionan un computador portatil con 256 MB de memoria RAM. Interprete susrespuestas.

(d) Si la tienda tienda actualmente tiene en existencia 8 portatiles con 256 MB de memoriaRAM y 7 con 300 MB de memoria RAM, ¿cual es la probabilidad de que todas lassolicitudes de estos 10 clientes puedan satisfacerse con la existencia actual?

107. El numero de llamadas telefonicas recibidas en una determinada oficina para formular unaqueja es un proceso de Poisson con razon α = 4 por hora.


(a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 llamadas telefonicas se reciban duranteun periodo en particular de dos horas.

(b) Si los empleados que reciben las llamadas en la central descansan 30 minutos paratomar alimentos, ¿cual es la probabilidad de que no se pierda ninguna llamada deasistencia?

(c) ¿Cuantas llamadas se esperarıan durante el descanso?

108. En una maraton de atletismo, la probabilidad de que un atleta termine la carrera es 0,99.Suponga que una maraton comienza siempre con 400 atletas.

(a) ¿Cuantos atletas se esperan que terminen la carrera y cual es la desviacion estandardel numero que se espera que no terminen la carrera?

(b) ¿Cual es la probabilidad (aproximada) de que por lo menos cuatro atletas no terminenla carrera?

109. Un determinado peloton militar tiene disponibles 3 soldados de Alemania, 5 de Colombia,4 de Japon y 7 de Venezuela. Si se seleccionan a 8 de estos soldados para una exploracionmilitar, encuentre la probabilidad de que hayan 2 soldados de Alemania, 2 de Colombia,3 de Japon y 1 de Venezuela.

110. Suponga que la probabilidad de que, al ser revisado, un soldado tenga sus botas comple-tamente limpias sea de 0,7. ¿Cual es la probabilidad de que

(a) el quinto soldado revisado sea el tercero en tener sus botas completamente limpias?

(b) el cuarto soldado revisado sea el primero en tener sus botas completamente limpias.

111. Un tienda de deportes generalmente compra lotes grande de cierta marca de balones defutbol. Se utiliza un metodo que rechaza un lote si se encuentran dos o mas unidadesdefectuosas en una muestra aleatoria de 25 unidades.

(a) ¿Cual es la probabilidad de rechazar un lote que tiene 5% de unidades defectuosas?

(b) ¿Cual es la probabilidad de aceptar un lote que tiene 10% de unidades defectuosas?

112. Una encuesta a nivel nacional, hecha por cierta universidad a los estudiantes de undecimogrado, revela que aproximadamente el 80% no tienen computador en su casa. Si seseleccionan al azar 15 de estos estudiantes y se les hace la encuesta, ¿cual es la probabilidadde que mas de cinco pero menos de once tengan computador en su casa?

113. El numero de personas que llegan por hora a cierta tienda se supone que tiene distribucionde Poisson con λ = 5.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que mas de 7 personas lleguen en un perıodo de dos horas?

(b) ¿Cual es el numero medio de llegadas durante un perıodo de dos horas?

114. La probabilidad de que una persona muera cuando contrae una infeccion pulmonar es0,003. De los siguientes 4.000 infectados con este tipo de enfermedad, ¿cual es el numeromedio que morira?

115. Si el espacio muestral Ω es un conjunto infinito, ¿implica esto necesariamente que cualquiervariable aleatoria X definida sobre Ω tendra un conjunto infinito de valores posibles? Sies ası, diga por que. Si no, de un ejemplo.

116. Suponga que el numero de plantas de un tipo particular se encuentra en una regionrectangular de cierta area geografica es una variable aleatoria X con funcion de probabilidad

f(x) =

c/x3, si x = 1, 2, 3, . . .,

0, de otro modo.


Halle c para que f sea en realidad una funcion de probabilidad. ¿Es E(X) finita? Justifiquesu respuesta.

117. Encuentre la esperanza y varianza de una variable X si esta se define de modo que

E([X − 2]2) = 5, E([X − 4]2) = 5.

118. Suponga que E(X) = 5 y E(X[X − 1]) = 27, 5. Calcule E(X2) y V(X).

⋆ 119. Demuestre que la funcion de distribucion acumulada F de una variable aleatoria discretaX es una funcion no decreciente, es decir, si x1 < x2, entonces, F(x1) ≤ F(x2). ¿En quecondicion sera F(x1) = F(x2)?

⋆ 120. Demuestre que E(aX + b) = aE(X) + b y V(aX + b) = a2.

⋆ 121. Para n fija, ¿hay valores de p con 0 ≤ p ≤ 1 para los cuales V(X) = 0. ¿Para que valorde p es V(X) es maxima? Explique.

⋆ 122. Si X es una variable aleatoria binomial con parametros n y p, demuestre que E(X) = np

y V(X) = np(1 − p).

⋆ 123. Si X tiene distribucion hipergeometrica con parametros n, M y N, demuestre que E(X) =

n · MN

y V(X) =(

N−nN−1

)

· n · MN

·(

1 − MN

)

.

⋆ 124. Si X tiene distribucion de Poisson con parametro λ, demuestre que E(X) = V(X) = λ.

Respuestas a ejercicios imparesseleccionados

Capıtulo 3

7. (a) 1/37 (b) 1/31

9. (a) 0,55 (b) 0,70 (c) 0,45 (d) 0,34 (e)0,70 (f) 0,45

11. (b) f(k) =(

2k

)(

32−k

)

/10, conk = 0, 1, 2

13. (a) 0,47 (b) 0,70 (d) 0,41 (e) 0,31

15. (c) 15/28 (d) 45/56

17. f(k) = (k − 1)(0, 05)k−2(0, 95)2, parak = 2, 3, 4, 5, . . .

19. (c) 1,93; 2,6830

21. (a) 25,55; 669,75; 16,9472 (b) 380,25;254,208 (c) 644,2

23. 1

25. $2.430.451

27. (c) 0,72 (d) 2,21; 1,235

29. (c) 0,66 (d) 9,33; 2,0152 (e) 1.981,34pesos

31. 27,5; 56,25

33. 8; 60,7

35. (a) 0,2612736 (b) 0,6561 (c) 0,104(d) 0,9897462

37. (a) 0,10689 (b) 0,295652 (c) 9,5128×10−7 (d) 0,6637

39. (b) 0,6528 (c) 0,92224 (d) 2; 1,2

41. No

43. (a) 0,984 (b) 0 (c) 0,075 (d) 0,358(e) 1; 0,9746

45. (a) 0,127 (b) 0,463 (c) 0,91

47. (a) 0,9891 (b) 0,5798

49. (a) 0,02857 (b) 0,0767

51. 0,834

53. (a) 0,070 (b) 0,033 (c) 0,93 (d) 0,177(e) 0,036

55. (a) 0,195 (b) 0,352 (c) 0,982 (d)0,238

57. (a) 0,168 (b) 0,392 (c) 0,647 (d)0,353

59. (a) 10; 3,16227 (b) 0,542 (c) 0

61. (a) 0,091; 0,90; 0,283 (b) 12; 3,464(c) 0,53; 0,011

63. (a) 0,1429 (b) 0,1353

Respuestas a ejercicios impares seleccionados 68

65. (a) 0,006023 (b) 0,38208 (c) 0,61792(d) 0,67; 0,6947

67. 0,0238

69. 0,516

71. 0,4762

73. (a) 0,408 (b) 0,20862 (c) 0,71387

75. (a) f(k) =(

4k

)(

55−k

)

/126, conk = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (b) 20/9

77. (a) f(k) =(

3k

)(

44−k

)

/56, conk = 0, 1, 2, 3, 4 (b) 8/3

79. 0,9517

81. 0,128

83. (a) f(k) =(

k+55

)

(0, 5)6+k, conk = 0, 1, 2, . . . (b) 6

85. 0,0095099

87. 0,038689

89. 0,000256

99. (a) 0,21 (b) 0,37 (c) 0,61 (d) 0,50

101. (a) f(k) = (0, 30)(0, 70)k−1, conk = 1, 2, 3, . . . (b) F(t) = 1 − (0, 70)t sit = 1, 2, 3, . . .; F(t) = 0, de otra forma(c) 0,657

103. (a) 0,0630 (b) 0,9730

105. (a) El asma (b) La dieta

107. (a) 0,099 (b) 0,135 (c) 2

109. 0,011114

111. (a) 0,358 (b) 0,271

113. (a) 0,133 (b) 10

115. No

117. 3; 4

Indice

Conjuntoenumerable, 4

Desviacionestandar

de una funcion, 25de una variable aleatoria, 23

Distribucionbinomial, 33binomial negativa, 56de Poisson, 40geometrica, 58hipergeometrica, 51uniforme (discreta), 29

Esperanzade una funcion, 21de una variable aleatoria, 18

Experimentobinomial, 31binomial negativo, 55de Bernoulli, 30de Poisson, 39hipergeometrico, 48

Factor de correccionpor poblacion finita, 53

Funcion dedistribucion acumulada, 10probabilidad, 7riesgo, 61supervivencia, 61

Mediade una funcion, 21de una variable aleatoria, 18

Proceso de Poisson, 39

Reglade Tchevichev, 26empırica, 26

Teoremade aproximacion

de la binomial a la de Poisson, 43

Valor esperado, ver esperanzaVariable aleatoria, 3

continua, 4discreta, 4

Varianzade una funcion, 25de una variable aleatoria, 23

Contenido - Talleres | Just another WordPress.com site¬nicion´ 3.1.5 Una variable aleatoria es...

Documents

Transcript of Contenido - Talleres | Just another WordPress.com site¬nicion´ 3.1.5 Una variable aleatoria es...