Construir - Universiteit Utrecht

Álgebra

Construir fórmulas

Lasmatemáticas

encontexto

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios.Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo delsubsidio n.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autoresy no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Wijers, M., Roodhardt, A., van Reeuwijk, M., Dekker, T., Burril, G., Cole, B. R. yPligge, M. A. (2006). Construir fórmulas. Wisconsin Center For EducationResearch & Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago:Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también para su uso público, su presentación y otros usosaplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedadintelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, queincluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o porotros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto una licencia,escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093048-0

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Monica Wijers, Anton Roodhardt y Martin van Reeuwijk desarrollaron la primera versión de Construirfórmulas. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burrill, Beth R. Cole, yMargaret A. Pligge

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Adri TreffersPeter Christiansen Julia A. Shew Heuvel-Panhuizen Monica WijersBarbara Clarke Aaron N. Simon Jan Auke de Jong Astrid de WildDoug Clarke Marvin Smith Vincent JonkerBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Ronald KeijzerFae Dremock Mary S. Spence Martin KindtMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Truus Dekker desarrolló la versión revisada de Construir fórmulas. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burril.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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(c) 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y ellogotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas deEncyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (de izquierda a derecha) © GettyImages; © John McAnulty/Corbis; © Corbis

Ilustraciones6, 7 (abajo) Holly Cooper-Olds; 8 Christine McCabe/© EncyclopædiaBritannica, Inc.; 18, 22, 26 Holly Cooper-Olds; 34, 39 Christine McCabe/©Encyclopædia Britannica, Inc.; 40, 41 Holly Cooper-Olds; 44 © EncyclopædiaBritannica, Inc.; 48 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.

Fotografías1 (arriba, derecha) Expuesto—Nicolas Randall/Alamy; (abajo, izquierda) SamDudgeon/ HRW; 4 Sam Dudgeon/HRW; 5 Expuesto—Nicolas Randall/Alamy; 6 Sam Dudgeon/HRW; 13 (arriba) © Corbis; (abajo) © ImageState; 15 © Corbis;17 Sam Dudgeon/HRW; 30 Brand X Pictures/Alamy; 34 Letraset Phototone; 36© Pat O'Hara/Corbis; 38 Sam Dudgeon/HRW; 45 Karl Weatherly/GettyImages/PhotoDisc; 47 PhotoDisc/Getty Images; 50 © Corbis

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A PatronesBaldosas 1Vigas 6Resumen 10Verifica tu trabajo 11

Sección B Patrones con ladrillosLadrillos 13Clásico 15Más filas de ladrillo 17Resumen 20Verifica tu trabajo 20

Sección C Usar fórmulasTemperatura 22Construcción de escaleras 26Resumen 32Verifica tu trabajo 32

Sección D Fórmulas y geometríaLíquenes 34Círculos y cuerpos geométricos 38

Pirámides 40Resumen 42Verifica tu trabajo 42

Sección E Resolución de problemasEntrenamiento intenso 44Grillos 47Arte egipcio 48Resumen 50Verifica tu trabajo 50

Práctica adicional 52

Respuestas para verificar tu trabajo 57

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Querido alumno:

Bienvenido a Construir fórmulas.

En esta unidad, estudiarás muchas clases de fórmulas.

Aprenderás a identificar las partes que componen una fórmula y acrear tus propias fórmulas. Ayudarás a la construcción de un estudiode cine al crear una fórmula que determine la cantidad de baldosasazules y blancas, y varillas de metalque se necesitan.

¿Sabes cómo hallar el área de un liquen, un hongo que crece casi en todas partes? Los científicos usan el tamaño de un liquen para calcular cuánto tiempo hace que desapareció un glaciar.

También trabajarás con fórmulas que alguien más creó, como una fórmula que convierte los grados Celsius en grados Fahrenheit y otras fórmulas que los arqueólogos usan para recrear antiguos dibujos egipcios.

Al completar esta unidad, deberás entender el significado de las diferentes partes de una fórmula, cómo hacer una gráfica de fórmulas, cómo volver a escribir las fórmulas y cómo usar las fórmulas que halles.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

VI Construir fórmulas

0

0

�10

10

�20

20

30

40

50

60

C F

20

40

60

80

100

120

140

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APatrones

Baldosas

Urvashi está diseñando un escenario para una escena de una película quetiene lugar en el exterior de una mansión. La mansión está rodeada de ungran jardín decorado con plantas, senderos de baldosas, esculturas y patios.

Ella quiere diseñar patrones de baldosas para las distintas longitudes de los senderos del jardín. Decide usar baldosas cuadradas de dos colores diferentes.

Sección A: Patrones 1

blanco

azul

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Usando uno de los patrones, Urvashi dibuja senderos que tienen diferentes longitudes.

Para hacer más fácil la referencia a un sendero, Urvashi le asigna un número a cada uno.

1. a. ¿Qué representan los números?

b. Usando cuadrados de plástico o de papel de diferentes colores, traza otras longitudes de senderos que tengan este patrón. Para cada ejemplo, escribe el número del sendero. Describe los patrones de los números de baldosas en los diferentes senderos.

Urvashi quiere hacer más interesante el patrón y decide agregar unacolumna de baldosas al comienzo y otra columna al final.

Las imágenes que están a continuación muestran cómo cambia el senderonúmero 3.

El nuevo sendero número 3 tiene ahora una longitud de cinco baldosas.

2. a. Compara el nuevo sendero número 3 con el sendero número 3 antiguo.

b. Urvashi tiene un nuevo sendero que ahora tiene 53 baldosas de longitud. ¿Cuál es el número del sendero?

3. Haz algunos ejemplos del diseño nuevo de Urvashi.

2 Construir fórmulas

PatronesA

Sendero número 3

Sendero número 4

Sendero número 5

Sendero número 3 Nuevo sendero número 3


Urvashi hace una tabla para poder hallar fácilmente la cantidad de baldosasnecesarias para cada diseño nuevo de sendero.

4. Copia y completa la tabla.

5. a. ¿Cómo cambia la cantidad de baldosas azules cuando pasas de unnúmero de sendero al siguiente?

b. Describe por lo menos dos patrones más de la tabla. Usa dibujos entu explicación.

También puedes describir un patrón usando la fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO.

La fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO que describe la cantidad de baldosas azules es:

Cantidad de baldosas azules en el sendero PRÓXIMO �Cantidad de baldosas azules en el sendero ÚLTIMO � ?

6. a. Termina la fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO que describe la cantidad debaldosas azules. Puede resumirse de este modo:

PRÓXIMO azul � ÚLTIMO azul � ?

b. Escribe fórmulas PRÓXIMO-ÚLTIMO para describir la cantidad debaldosas blancas y la cantidad total de baldosas.


APatrones

Número Cantidad de Cantidad de Cantidad total

de sendero baldosas azules baldosas blancas de baldosas

1

2

3 8 7 15

4

5

6

7



PatronesA

Urvashi hace un modelo del sendero número10 y halla que necesita 14 baldosas blancas.

7. a. Usa la fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO paraaveriguar cuántas baldosas blancasnecesitaría para el sendero número 15.Explica cómo lo hiciste.

b. Halla la cantidad de baldosas blancas yazules que Urvashi necesitaría para elsendero número 30. Explica cómohallaste tus respuestas.

Para hallar la cantidad de baldosas azules del sendero número 30, Urvashino quería usar la fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO porque no quería calcular lacantidad de baldosas, paso a paso, de todos los senderos anteriores.

Stu, uno de sus compañeros de trabajo, dice que calcular la cantidad debaldosas azules del sendero número 30 es fácil. Todo lo que se tiene quehacer es calcular 4 � 29 � 2.

8. a. Verifica el cálculo de Stu de la cantidad de baldosas azules delsendero número 30.

b. Explica como crees que Stu pensó en este método.

c. Ese mismo proceso, ¿funcionaría para otros números de senderoque no fueran el 30? De ser así, ¿cómo?

Al mirar los ejemplos de los diferentes números de sendero, Urvashidescubre una relación para hallar la cantidad de baldosas blancas si conocecuál es el número de sendero. Ella usa S para representar el número desendero y B para representar la cantidad de baldosas blancas. Luegoescribe una cadena de flechas.

S � 4⎯⎯→ B

9. a. Usa un dibujo que te ayude a explicar la cadena de flechas.

b. Vuelve a escribir la cadena de flechas en forma de fórmula.

La fórmula que escribiste en el problema 9b se llama fórmula directa, adiferencia a la fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO.

10. a. Escribe una fórmula directa para hallar la cantidad de baldosasazules de cada número de sendero.

b. Explica tu fórmula con una cadena de flechas o con un dibujo.

c. Compara tu fórmula o tu cadena de flechas con la fórmula de Stu.


11. Usa las fórmulas directas para verificar tus respuestas a los problemas7a y 7b de la página 4.

12. Reflexiona Compara el uso de las fórmulas PRÓXIMO-ÚLTIMO con eluso de las fórmulas directas. Incluye las ventajas y las desventajas decada una.


APatrones

13. a. Escribe por lo menos dos maneras de hallar la cantidad total debaldosas necesarias para el sendero número 13.

b. ¿Funcionaría tu método con otros números de sendero?

Jim escribió una fórmula directa para calcular la cantidad total de baldosas (T) para cada número de sendero (S).

14. a. Escribe una fórmula que consideres que Jim podría haber usado.Explica la fórmula.

b. Usa la fórmula para calcular la cantidad total de baldosas que la compañía de cine necesitaría para los senderos número 15, 23, 92 y 93. Muestra tus cálculos.

Urvashi y Jim se preguntan si se podría usar cualquier otra fórmula parahallar la cantidad total de baldosas (T) de cada número de sendero (S).

Urvashi sugiere esta fórmula:

T � (S � 2) � (S � 2) � (S � 2)

15. Esta fórmula, ¿dará también la cantidad total de baldosas de cadanúmero de sendero? Usa un dibujo para explicar tu respuesta.

Jim Shew, el director de presupuestode la película, quiere hallar el costo delas baldosas que Urvashi usará. Comolas baldosas azules y blancas tienen elmismo precio, él sólo necesita saber lacantidad total de baldosas de cadanúmero de sendero.


Jim dice que esta fórmula es la mismaque T � 3 � (S � 2), que también puedeescribirse como T � 3(S � 2).

16. a. ¿Qué hizo Jim para obtener esta fórmula?

b. Halla otra manera de escribiresta fórmula.


PatronesA

Vigas

Después de encontrarse con el director de la película, Urvashi le dice a Jimque van a usar el nuevo diseño para los senderos. Ordenan 100 baldosas.

Jim se pregunta: “¿Existe un sendero que precise exactamente 100 baldosas?”

17. a. ¿Cuál es la respuesta? Explícala.

b. ¿Qué número de sendero contiene exactamente 54 baldosas?

Ha comenzado el trabajo de construcción de un gran edificio que se usarácomo parte del escenario de la película. La estructura está compuesta devigas de metal sobre columnas de concreto. Cada viga está hecha conpequeñas varillas.

Las vigas pueden tener distintas longitudes. La longitud de una viga la da lacantidad de varillas a lo largo de la parte inferior.


18. ¿Por qué se considera que esta viga es de longitud 6?

Para construir el edificio del escenario de la película se colocan juntas tresvigas, tal como se muestra en la imagen.

19. a. Mira el dibujo. ¿Qué longitud tienen las vigas?

b. ¿Hay más de una respuesta correcta?

Jared trabaja en la fábrica donde se fabrican estas vigas. Le interesa hallar lacantidad total de varillas necesaria para las diferentes longitudes de vigas.


APatrones


Jared comenzó por hacer una tablade la cantidad de varillas según lasdiferentes longitudes de vigas.


PatronesA

Longitud de viga

(L)

Cantidad de varillas

(V)

1

2

3

4

3

20. a. Copia y completa la tabla de Jared en tu cuaderno.

b. Explica cómo hallaste los números para completar la tabla.

c. Haz un dibujo o usa palillos para construir una viga de longitud 5.¿Cuántas varillas necesitarías para una viga de longitud 5?

d. Piensa cómo construiste o dibujaste la viga de longitud 5. ¿Cómopodrías hallar la cantidad total de varillas de una viga de longitud 6?¿Y de una de longitud 10?

e. ¿Cómo podría Jared hallar la cantidad total de varillas de una viga delongitud 50?

Encontrar una fórmula directa le dará a Jared la cantidad total de varillas deuna viga de cualquier longitud.

21. a. Trata de hallar una fórmula directa que dé la cantidad de varillas (V)necesaria para construir una viga de cualquier longitud (L).

b. Verifica tu fórmula usando las entradas de la tabla del problema 20.

Las personas que trabajan en la fábrica también calculancuántas varillas se necesitan para vigas de distintaslongitudes. Hallan tres fórmulas diferentes que creen quefuncionarán.

22. a. Verifica todas las fórmulas para las longitudes 7, 15y 68 para comprobar si dan la misma cantidad devarillas.

b. ¿Son todas las fórmulas iguales? Explica.

c. Compara estas fórmulas con la que hallaste para elproblema 21a.

Angelina:

V � L � 3 � (L � 1)

David:

V � L � (L � 1) � 2L

María:

V � 3 � (L � 1) � 4


Jared no está convencido de que las tres fórmulas le darán los resultadoscorrectos para todas las longitudes. Decide que si puede calcular de dóndeprovienen las fórmulas, tendrá una mejor idea acerca de si funcionarán contodas las longitudes.

David usó este dibujo para explicar su fórmula, V � L � (L � 1) � 2L.

23. ¿Cuál es una posible explicación de la fórmula de David?


APatrones

María dividió la viga en partes y usó este dibujo paradescribir su fórmula, V � 3 � (L � 1) � 4.

24. Termina la explicación de María. Explica de quémodo los dibujos se relacionan con su fórmula.

La fórmula de Angelina es: V � L � 3 � (L � 1). Ella le cuenta a Jared quetambién halló la fórmula dividiendo la viga en partes.

25. Escribe una explicación de la fórmula de Angelina. Puedes usar dibujos.

Sara y Josh escribieron fórmulas que son casi las mismas que escribieronAngelina y María.

26. La fórmula de Sara es V � 3L � (L � 1). La fórmula de Josh es V � 3 � 4 (L � 1). ¿Prefieres una de estas fórmulas? ¿Por qué?

En la fábrica de varillas, muchas de las órdenes llegan por fax. Entró unaorden de varillas para construir un edificio con siete vigas de igual longitud.Lamentablemente, el fax era difícil de leer y nadie podía ver si se habíanordenado 525 o 532 varillas.

27. Halla la cantidad de varillas que se ordenaron.

Voy a dividir las vigas en

partes.



Patrones

Al resolver problemas sobre diseños, puedes:

• trazar algunos ejemplos del diseño;• hacer una tabla y buscar patrones; o• expresar los patrones como fórmulas.

Investigaste dos tipos distintos de fórmulas que pueden usarse paradescribir un patrón:

• una fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO, que va paso a paso• una fórmula directa, trabajando directamente con el número de patrón.

Pueden usarse distintas fórmulas directas para describir la misma regla opatrón. Una forma de verificar si las distintas fórmulas dan el mismoresultado es usando un dibujo que conecte cada fórmula al mismo patrón.

Por ejemplo, V � 3L � (L � 1) es igual que V � 4L � 1 porque ambasdescriben el mismo patrón.

V � 3L � (L � 1) puede conectarse al patrón mediante el siguiente dibujo.

V � 4L � 1 representa el mismo patrón, tal como está en el siguiente dibujo.

Si el significado es claro puedes omitir el signo de multiplicación.

T � 4 � L � 1 es igual que T � 4L � 1.

Cuando sumas o multiplicas puedes cambiar el orden.

T � (S � 1) � 3 � 2 es igual que T � 3(S � 1) � 2 o T � 2 � 3(S � 1).

A



Estas son tres fórmulas:

T � S � 2 � S

T � 2S � 2

T � 2(S � 1)

1. Muestra que estas fórmulas describen el mismo patrón.

Terry está diseñando un patio de baldosas. Su diseño tiene un cuadradoanaranjado en el medio y un borde blanco que lo rodea. Estos patiospueden tener diferentes tamaños. Estos son cuatro tamaños.

2. a. Estudia el diseño. Haz una tabla de la cantidad de baldosasanaranjadas y blancas para los diferentes números de patio.

b. Halla una fórmula directa para calcular la cantidad de baldosas anaranjadas (A) necesarias para cualquier número de patio (P).

c. Halla una fórmula directa para calcular la cantidad de baldosas blancas (B) necesarias para cualquier número de patio.

d. ¿Cuántas baldosas anaranjadas y blancas se necesitan para el patio número 10?

patio número 1

patio número 3

patio número 2

patio número 4



Estas son dos fórmulas para la cantidad total de baldosas (T ) de cada patio.

T � S � S � 4S � 4

y

T � (S � 2) � (S � 2)

3. a. Agrega una columna a la tabla que hiciste en el problema 2 para mostrar la cantidad total de baldosas de cada patio.

b. Ambas fórmulas, ¿dan el mismo resultado? Puedes usar dibujospara fundamentar tu respuesta.

Terry tiene un total de 196 baldosas que va a usar para construir uno deestos patios.

4. a. ¿Qué número de patio va a construir? Explica.

b. ¿Cuántas baldosas anaranjadas y cuántas blancas tiene? Explica.

Halla un ejemplo de un patrón del salón de clase, de tu viaje hasta laescuela o de tu casa que pueda describirse como una fórmula PRÓXIMO-ÚLTIMO y uno que pueda describirse como una fórmula directa. Haz unproblema a partir de uno de los patrones.


Muchos edificios y algunas aceras están construidas con ladrillos. Losladrillos pueden acomodarse según diferentes patrones.

Las ventanas, las puertas, los arcos y hasta los bordes de un edificio pueden tener diferentes diseños en ladrillo.

Puedes ver distintos patrones con ladrillos en las aceras de estas fotografías.

Sección B: Patrones con ladrillos 13

BPatrones con ladrillos

Ladrillos


Estos son algunos diagramasde patrones con ladrillos.


Patrones con ladrillosB

Nombre Dibujo Cadena

Clásico PAPAP

Exótico

Moderno

Fila 1

Fila 2

Fila 3

1. a. ¿Cuántos ladrillos hay en cada una de las tres filas? Explica cómo llegaste a la respuesta.

b. Copia cada fila y extiéndela dibujando algunos ladrillos adicionales. Compara tus dibujos con los de tus compañeros de clase. ¿Todos terminaron con las mismas filas?

Estudia los diseños con cuidado.

2. a. ¿Tiene alguna de las filas un patrón básico que se repite una cantidadde veces? De ser así, haz un dibujo del patrón básico de esa fila.

b. ¿Cómo puedes usar el patrón básico para hallar la cantidad deladrillos de una fila?

Los albañiles usan generalmente una variedad de patrones básicos para las aceras o los edificios. Una forma de crear un patrón es usar ladrillos parados y acostados. Un albañil podría describir esos patrones usando la letra P para los ladrillos parados y la letra A para los ladrillos acostados.

La tabla la hizo un albañil nuevo para ayudarse a recordar algunospatrones básicos.

3. Usa la copia de la tabla de la Hoja de actividad del estudiante 1

para completar la informaciónque falta.

P A


4. a. En la última línea de la Hoja de actividad del estudiante 1 completaun patrón básico propio y ponle nombre.

b. Si fueras a repetir tu patrón básico cuatro veces, ¿cuántos ladrillos necesitarías? ¿Cómo hallaste este número?

c. Dibuja o describe qué apariencia tendría esta fila.

Si una persona está construyendo una fila de ladrillos, puede ser importantesaber no sólo cuántos ladrillos se necesitan, sino también qué longitud (encentímetros o en metros) tendrá la fila. Aun cuando no sepas los tamañosde los ladrillos, puedes hacer algunos enunciados verdaderos acerca de laslongitudes de los patrones básicos.

5. Reflexiona Escribe dos enunciados verdaderos que comparen laslongitudes de los patrones básicos que se muestran en la tabla.

La señora Fix vio este borde de ladrillos y decidió que le gustaría tener unborde de ladrillos en uno de los lados de su jardín. Ha elegido el patrónClásico de la tabla de la página 14. Para hacer el borde de la longitudadecuada repite el patrón cuatro veces.

6. a. Describe o dibuja la apariencia que tendrá el borde de ladrillos de la señora Fix.

b. ¿Qué cantidad de ladrillos necesita? Escribe tus cálculos.



Clásico


La señora Fix está pensando usar algunos ladrillos que le sobraron de otroproyecto. Tiene que elegir entre ladrillos amarillos y grises. Tienen lassiguientes medidas:

7. a. ¿De qué longitud sería el borde de ladrillos si usara solamente los amarillos? ¿Y si usara sólo los grises? Escribe tus cálculos.

b. ¿Todos los de tu clase hicieron los cálculos de la misma manera?Explica.

La señora Fix visita un almacén de venta de ladrillos para ver otros ladrillospara su borde. Decide usar una fórmula para hallar la longitud del patrónClásico básico. Para usar la fórmula, la señora Fix necesita saber la longituddel lado acostado (largo) del ladrillo (A) y la longitud del lado parado (alto)del ladrillo (P). Esta es la fórmula que usa:

Longitud del diseño Clásico � 3P � 2A

8. a. Explica la fórmula.

b. Escribe fórmulas para los otros patrones básicos que se muestranen la Hoja de actividad del estudiante 1.

A la señora Fix le interesa una fórmula que le dé la longitud total de la filade ladrillos. (Recuerda que quiere repetir el patrón Clásico básico cuatroveces.) Escribe:

Longitud total � 4 � Longitud del Clásico

Luego se da cuenta de que también puede usar esta fórmula:

Longitud total � 4(3P � 2A)

9. Explica cómo funcionan ambas fórmulas.

La señora Fix quiere una fórmula que muestre cuántos lados parados ycuántos lados acostados del ladrillo se usan en la longitud total.

10. Escribe la fórmula que desea la señora Fix. (Pista: esta fórmula no debetener paréntesis.)



Amarillo Gris8 cm

6 cm

12 cm 15 cm


La familia Yun ha diseñado una fila deladrillos para su jardín usando unpatrón básico propio. A la izquierda vesla apariencia de la fila.



Más filas de ladrillo

11. a. Describe el patrón básico de esta fila.

b. Usa las letras A y P para escribir una fórmula para calcular lalongitud del patrón básico.

c. Escribe dos fórmulas que puedas usar para calcular la longitud de lafila que se muestra arriba. Haz una fórmula con paréntesis y otra sin ellos.

d. Describe cómo crees que se puede volver a escribir la fórmula conparéntesis en forma de fórmula sin paréntesis.

La imagen muestra a Sueng y a su padre conversando acerca del patrón dela fila que están haciendo.

12. a. ¿Cambia la longitud de la fila si se lleva a cabo la idea de Sueng?¿Cómo lo sabes?

b. Escribe fórmulas de la longitud del nuevo patrón básico y de la longitud de la fila entera.


La señora Peterson está arreglando su casa. Va a una ferretería a comprar algunas cosas.



13. a. ¿Cómo puede la señora Peterson usar la fórmula para hallar lacantidad total de ladrillos que necesita?

b. Dibuja un posible diseño de la fila de ladrillos que la señoraPeterson está reparando.




14. a. La fila de ladrillos de la señora Peterson, ¿podría tener un patrónbásico que se repitiera cuatro veces? Explica, sí o no, ¿por qué?Puedes fundamentar tu explicación con dibujos.

b. Dibuja un patrón básico que se adapte a la fila de la señora Peterson.

c. ¿Estás seguro del número de veces que se repite el patrón básico?Explica tu respuesta.

d. Escribe una fórmula usando el patrón básico y paréntesis, paracalcular la longitud de la fila que la señora Peterson está reparando.

e. Explica cómo se relaciona esta fórmula con la fórmula Longitud � 15P � 10A.

Esta es otra fórmula para una fila de ladrillos:

Longitud � 3(2P � 4A)

15. a. Dibuja una fila de ladrillos que se adapte a esta fórmula.

b. Escribe una fórmula sin paréntesis de la longitud de la fila quedibujaste. Explica cómo hallaste los números para la fórmula.

Habrás notado que hay una regla que puedes usar para cambiar una fórmula con paréntesis a otra sin paréntesis. La fórmula Longitud � 4(2P � 5A) puede volver a escribirse así:

Longitud � 8P � 20A.

16. a. ¿De dónde provienen el 8 y el 20 en la segunda fórmula?

b. Si comienzas con la fórmula Longitud � 8P � 20A, ¿qué deberíashacer para volver a escribirla como Longitud � 4(2P � 5A)?

c. ¿Todas las fórmulas se pueden volver a escribir con paréntesis?Explica, sí o no, ¿por qué?

17. Vuelve a escribir la fórmula Longitud � 16P � 12A usando paréntesis.



Patrones con ladrillos

Si tienes que repetir un cálculo una y otra vez, el uso de una fórmula puederesultarte útil.

En esta sección, has visto distintas fórmulas para calcular las longitudes defilas de ladrillos. Algunas de las fórmulas tenían paréntesis y otras no.

La mayoría de las fórmulas con paréntesis se pueden volver a escribir sin paréntesis. Por ejemplo, Longitud � 2(4P � 3A) es lo mismo queLongitud � 8P � 6A.

A veces una fórmula sin paréntesis se puede volver a escribir conparéntesis. Por ejemplo, Longitud � 6P � 3A es lo mismo que Longitud � 3(2P � A). (Atención: 1A se escribe, por lo general, A.)

Janet está diseñando un patrón para una colcha de retazos. El patrón secompone de trapezoides ascendentes (A) y descendentes (D) de distintoscolores. Este es el patrón básico que usa Janet.

B

A D



1. a. Escribe una fórmula para hallar la longitud de un patrón básico.

Cada fila que Janet usa para la colcha está compuesta de 30trapezoides ascendentes y 29 trapezoides descendentes.

b. Escribe una fórmula para hallar la longitud de una fila.

c. ¿Es posible escribir con paréntesis la fórmula que hiciste en el problema 1b? Sí o no, ¿por qué?

2. a. Describe o dibuja una fila de ladrillos que se adapte a la fórmulaLongitud � 4(2A � 3P).

b. Vuelve a escribirla como una fórmula sin paréntesis.

Las siguientes fórmulas se usan para calcular las longitudes de distintasfilas de ladrillos. Todas las filas de ladrillo, excepto una, tienen un patrónbásico que se repite.

Fila 1: Longitud � 12A � 8P






3. a. ¿Cuál de las seis filas no puede tener un patrón básico que serepita? Explícalo.

b. La fila 5 puede tener tres distintos patrones básicos que se repiten.¿Cuáles son las fórmulas para calcular las longitudes de estos patrones básicos?

¿Te parece más fácil usar una fórmula con paréntesis o sin paréntesis? Explícalo.



Kim tiene una amiga porcorrespondencia en Bolivia que sellama Lucrecia. Lucrecia estáplaneando una visita a los EstadosUnidos y se alojará en la casa de lafamilia de Kim.

Lucrecia envió esta carta desdeBolivia.

CUsar fórmulas

Temperatura

Querida Kim:

El clima ha estado hermoso. Hemos tenido

una semana con temperaturas de alrededor

de 25 ºC. El miércoles llegó casi hasta 30 ºC.

Es demasiado calor para mí.

Fuimos a nadar al lago. El agua no estaba

muy caliente, a sólo 18 ºC, pero fue

magnífico refrescarse. Es difícil imaginar

que hace una semana la temperatura estuvo

solamente alrededor de 16 ºC. Tuve que usar

un pulóver todo el día.

¿Cómo está el clima en tu ciudad? ¿Debo

llevar un pulóver? Aquí refresca por las

tardes. Anoche tuvimos una tormenta

eléctrica, ¡y la temperatura descendió

10 grados!

Espero noticias tuyas.

Lucrecia

1. Estima las temperaturas en grados Fahrenheit para las temperaturas engrados Celsius que Lucrecia menciona en su carta.


El termómetro muestra las temperaturas tanto en grados Fahrenheit como en grados Celsius.

2. a. ¿Cómo puedes usar este termómetro para hallar las respuestas al problema 1?

b. Verifica las estimaciones que hiciste para el problema 1. ¿Fueron cercanas a lo que el termómetro te dice?

3. a. Mira el termómetro con atención. Un aumento de 10 °C, ¿a cuántos °F de aumento equivale?

b. Usa tu respuesta de la parte a para contestar la siguiente pregunta. Un aumento de 1 °C, ¿a cuántos °F de aumento equivale?

c. ¿Podrías haber respondido a la parte b con sólo mirar el termómetro? Explícalo.

Cuando usas un termómetro para convertir temperaturas a veces tienes que estimar los grados debido a la forma en la que están trazadas las líneas de la escala.

4. Reflexiona ¿Crees que es posible calcular una temperatura Fahrenheit para cada temperatura Celsius? Sí o no, ¿por qué?

Esta es una fórmula escrita de distintas formas para convertir temperaturasde grados Celsius (C) en grados Fahrenheit (F).

1.8 � C � 32 � F

1.8C � 32 � F

F � 1.8C � 32

5. a. Explica de dónde provienen los números de la fórmula. (Pista: usa el termómetro y tu respuesta del problema 3b.)

b. Escribe la fórmula usando una cadena de flechas.

Sección C: Usar fórmulas 23

CUsar fórmulas

0

0

�10

10

�20

20

30

40

50

60

C F

20

40

60

80

100

120

140


La fórmula y el termómetro te dicen la relación entre C (la temperatura engrados Celsius) y F (la temperatura en grados Fahrenheit).

También puedes hacer una gráfica para mostrar la relación.

6. a. Primero, completa la tabla de la parte superior de la Hoja de

actividad del estudiante 2. (Agrega también algunas temperaturasde tu elección.)

b. Describe cualquier patrón que veas en la tabla.

c. Haz una gráfica de la información que está en la tabla de la partesuperior de la Hoja de actividad del estudiante 2. (Observa que C está sobre el eje horizontal y F está sobre el eje vertical.)


Usar fórmulasC

�6060 �1010�2020�3030�5050 5050

4040

30302020 4040�10�20�30�4040�40�50�60 00 60606050403020101010

F

C

�1010�10

�3030�30

�4040�40

�5050�50

�6060�60

606060

505050

404040

303030

202020

101010

�2020�20

C �20 �15 �10 �5 0 5

F

Tu gráfica del problema 6 debería ser una línea recta.

7. ¿Cómo podrías decir que la gráfica es una línea recta?

8. Sólo hay una temperatura que tiene el mismo valor en grados Celsius y en grados Fahrenheit. ¿Qué temperatura es? Describe cómo hallastetu respuesta.


Para convertir temperaturas puedes usar un termómetro, una gráfica, unatabla o una fórmula. Hay muchas formas de escribir una fórmula queconvierta grados Fahrenheit en grados Celsius.

9. a. Escribe una cadena de flechas inversa para convertir lastemperaturas de grados Fahrenheit en grados Celsius. (Pista: usa larespuesta al problema 5b.)

b. Escribe una fórmula que convierta las temperaturas de gradosFahrenheit en grados Celsius.

La mayoría de las fórmulas de conversión entre los dos tipos de grados noson fáciles de usar si tratas de hacer los cálculos mentalmente. A veces laspersonas usan fórmulas de estimación para hacer la conversión en sucabeza. Esta es una fórmula de estimación para cambiar de grados Celsius agrados Fahrenheit.

Duplica el valor Celsius y súmale 30.

10. Haz una fórmula de estimación para convertir grados Fahrenheit engrados Celsius. El punto de congelación del agua es 0° en gradosCelsius y 32° en grados Fahrenheit. Comprueba tu fórmula usando lastemperaturas de congelación.

11. a. Convierte dos temperaturas de grados Celsius en grados Fahrenheity dos temperaturas de grados Fahrenheit en grados Celsius, usandolas fórmulas de estimación.

b. Haz lo mismo usando las fórmulas directas.

c. Reflexiona Compara los resultados. ¿Por qué las personas usan las fórmulas de estimación si los resultados no son muy exactos?

Dale recordó una regla que aprendió en la escuela el año pasado paraconvertir temperaturas. Él usa una cadena de flechas para escribirla en el pizarrón.

⎯� 40⎯⎯→ ⎯

� 1.8⎯⎯→ ⎯

� 40⎯⎯→

Kim se pregunta si esta regla será correcta. Dice: “Primero le sumas 40,luego le restas 40, así que no hay cambios. Puedes eliminar esas dosflechas”.

12. a. ¿Estás de acuerdo con Kim? Sí o no, ¿por qué?

b. ¿Funciona la regla de Dale?


CUsar fórmulas


Estas son algunas fotos de Kim y de Lucrecia en diferentes lugares.

13. ¿Cuál es la temperatura probable de cada foto en grados Celsius?

La imagen muestra una escalera. Todos los escalones tienen el mismo tamaño. Cada escalón tiene dos partes principales: la huella y la contrahuella.

La medida vertical o altura de un escalón se llama contrahuella (C).

La medida horizontal o profundidad de un escalón se llama huella (H).


Usar fórmulasC

Construcción de escaleras

huella

contrahuella



Vas a usar papel duro para construir una escalera modelo como la que se muestra.

• En el centro de un trozo de papel durodibuja un rectángulo de, exactamente,20 centímetros (cm) de largo y 10 cmde ancho. Nombra los vértices delrectángulo A, B, C y D, tal como semuestra en el diagrama.

• Dibuja una línea punteada a través delpapel que esté 8 cm por debajo de laparte superior del rectángulo.

• Completa el rectángulo con líneas queestén separadas 3 cm y 2 cm en formaalternada, tal como se muestra en eldiagrama siguiente. (Es fácil hacerlíneas paralelas usando una regla yuna escuadra.)

• Dobla el papel por la línea punteada y corta por los lados largos delrectángulo. No cortes por los lados cortos.

• Dobla en acordeón por las líneascompletas de modo que puedasterminar teniendo una escalera. Elprimer doblez deberá ser en el ladoDC, doblado hacia ti (afuera). Dobla lasiguiente línea alejándose de ti(adentro). Continúa alternando ladirección de doblado hasta que laescalera esté terminada.

Ya tienes una escalera modelo.• Nombra la pared y el piso de tu

modelo tal como está aquí.

Actividad

8 cm

12 cm

D

A B

C

D

A B

C3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm3 cm2 cm


La escalera que hiciste se adapta perfectamente al piso y a la pared. Enotras palabras, las huellas y el piso están en perfecta línea horizontal, y lascontrahuellas y la pared están en perfecta línea vertical.

14. Reflexiona ¿Consideras que es una coincidencia o que estabandiseñados de ese modo? ¿Por qué lo piensas?

15. a. Mide y toma nota de la altura y la profundidad de la escaleracompleta (la profundidad se mide a lo largo del piso).

b. ¿Cuáles son los valores de H y C en los escalones que hiciste?

c. ¿Cómo se relaciona la altura y la profundidad de toda la escalera con la contrahuella y la huella de cada escalón? Explícalo.

16. En tu escalera modelo, haz el doblez entre el piso y la pared en otrolugar. ¿Sigue en perfecta línea horizontal la huella de cada escalón de tumodelo? ¿Está en perfecta línea vertical la contrahuella de cadapeldaño? Explica, sí o no, ¿por qué?

17. a. ¿Producen buenas escaleras los diseños que se muestran aquí? Explícalo.

b. Copia el dibujo de la derecha en tu cuaderno. Dibuja una línea de doblez donde sea necesaria para hacer una buena escalera modelo.

c. Reflexiona ¿Cuáles son algunas de las reglas para hacer buenos modelos de escaleras?


Usar fórmulasC

3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm

Diseño 1

3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm

Diseño 2

3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm

3 cm2 cm


Escalera A

Escalera B

Escalera C

Escalera E

Escalera D

No todas las escaleras son fáciles de subir.

18. Ordena las escaleras que se encuentran a continuación de acuerdo con lafacilidad que crees que tienen para subirlas. Da razones que fundamententu elección.


CUsar fórmulas


En el problema 18, puedes haber listado la pendiente de la escalera comoun factor que afecta la facilidad para subirla.

19. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de las escaleras empinadas?

Si no eres cuidadoso al elegir las medidas de la contrahuella y de la huella deun conjunto de escaleras, puedes terminar con escaleras que sean difícilesde subir.

20. ¿Qué podrías hacer para que la escalera fuera más empinada?

Las escaleras fáciles de subir por lo general se adaptan a la siguiente regla:

2 � Contrahuella � Huella � Longitud de un pasoo

2C � H � P

El paso de un adulto es de alrededor de 63 cm. Así que la regla puedeescribirse del siguiente modo:

2C � H � 63


Usar fórmulasC

21. a. Un contratista quiere construir unconjunto de escaleras con unacontrahuella de 19 cm para cadaescalón. ¿Qué tamaño tendrá lahuella si sigue la regla? Explícalo.

b. Para otro conjunto de escaleras elcontratista sabe que la huella debetener 23 cm. ¿Qué altura deberátener cada contrahuella si elcontratista usa la regla? Explícalo.

Ya has hallado dos combinaciones de medidas de contrahuella y de huellaque se ajustan a la regla basada en el paso de 63 cm de un adulto.

22. a. Halla algunos pares más de números que se ajustan a la regla.

b. En la Hoja de actividad del estudiante 3, haz una gráfica de todos lospares de medidas de contrahuella y de huella que se ajustan a la regla.

Puedes hacer que las escaleras sean difíciles de subir aun cuando uses la fórmula.

23. ¿Qué puntos de la gráfica representarían las escaleras que son difíciles de subir?

24. Qué sucede con la huella (H) si le sumas 1 cm a la contrahuella (C) ysigues las pautas de la regla? ¿Puedes verlo en tu gráfica?



CUsar fórmulas

25. Usando la regla, ¿cuándo tienen C y H el mismo valor?

Esta es otra regla que ayuda a diseñar escaleras fáciles de subir.

Contrahuella �� 20 cm

Esto significa que la elevación es menos de 20 cm o igual a esta medida.

26. a. ¿Por qué esta regla haría escaleras más fáciles de subir?

b. Halla una forma de mostrar esta regla en tu gráfica.

c. Halla medidas de algunas escaleras que se ajustan a ambas reglas.

d. Hay algunas situaciones que no permiten que las escaleras seanfáciles de subir. ¿Cuáles podrían ser algunas razones de que hayanescaleras que no sean fáciles de subir?

Piensa en las dimensiones de las escaleras de papel que hiciste antes. Supónque las escaleras de papel son un modelo que usa la regla 2C � H � 63 cmpara un conjunto real de escaleras.

27. a. ¿Cuáles son las medidas de la contrahuella y de la huella en eltramo real de las escaleras?

b. ¿Cuáles son las medidas de la altura y de la profundidad del tramototal de las escaleras?

Estas son algunas otras reglas que se usan para la construcción deescaleras en diferentes clases de edificios.

28. a. ¿Por qué crees que existe un máximo para la contrahuella?

b. ¿Por qué existe un mínimo y no un máximo para la huella?

Casas privadas

Contrahuella: máximo 20 cmHuella: mínimo 23 cm

Edificios públicos

Contrahuella: máximo 18 cmHuella: mínimo 28 cm



Usar fórmulas

En esta sección, usaste fórmulas para distintas situaciones. Las fórmulaspueden usarse para:

• convertir un sistema de medidas en otro, por ejemplo, el modo deconvertir temperaturas; e

• investigar posibilidades con ciertas limitaciones, por ejemplo, el modode construir una escalera con una altura total de 3 metros (m), perofácil de subir.

Encontrarás muchas situaciones más en las que pueden usarse las fórmulas.

¡No creas todo lo que lees! Lo que sigue estaba impreso en la tapa de uncuaderno:

• Para convertir temperaturas Fahrenheit en temperaturas Celsius usa esta fórmula:

C �5��9 (F �32).

• Para convertir temperaturas Celsius en temperaturas Fahrenheit usa esta fórmula:

F �9��5 (C � 32).

Sabes que, por ejemplo, 0 ºC equivale a 32 °F.

1. ¡La segunda fórmula no es correcta! Escribe una carta a la compañíaque fabrica el cuaderno para explicarles el porqué. ¿Qué error se cometió?

C



La cantidad de tiempo que le lleva a un conductor detener un automóvil seve afectada por la velocidad a la que el carro transita. Supón que lasiguiente fórmula halla la distancia de frenado en pies si sabes cuál es lavelocidad a la que va el auto.

7 � Velocidad � 74 � Distancia de frenado

2. a. Cuál es la distancia de frenado si la velocidad del automóvil es de 20millas por hora (mi/h)? ¿Si es de 40 mi/h? ¿Si es de 60 mi/h?

b. Haz una gráfica de la relación entre la velocidad y la distancia de frenado. Ubica la velocidad a lo largo del eje horizontal y la distanciaa lo largo del eje vertical.

c. ¿Existe alguna restricción de los posibles valores de la velocidad y/ode la distancia? Explícala.

Una regla para construir una rampa de salida establece que la distanciavertical de la rampa no debe ser más de un octavo de la distancia horizontal.

3. a. ¿Cuál de las siguientes rampas se ajusta a esta regla?

b. Escribe la regla de una rampa de salida en lenguaje matemático.

4. Diseña una escalera para un edificio público que tenga una altura totalde 3 m. La escalera debe ocupar el menor espacio posible del piso (esdecir, debe tener la menor medida de profundidad posible). Asegúratede que se ajuste a la regla de un edificio público y a la regla 2C � H � 63.(C representa la contrahuella en centímetros; H representa la huella encentímetros.)

Edificios públicos

Contrahuella: máximo 18 cm Huella: mínimo 28 cm

Muchas fórmulas tienen limitaciones para que tengan sentido en uncontexto. ¿Cuáles crees que serían las limitaciones a las fórmulas para laconversión entre grados Fahrenheit y grados Celsius?

I. II.0.5 metros

5 metros

0.75 metros

2 metros

III.

1 metro

0.2 metros



En geometría se usan muchas fórmulas. En esta sección, volverás a veralgunas de las fórmulas que estudiaste antes para hallar el área y elvolumen de diferentes figuras y cuerpos geométricos.

Un liquen es un tipo de hongo que crece en las rocas, en las paredes, en losárboles y en la tundra. Los líquenes son casi indestructibles. Ningún lugar esdemasiado caliente, ni demasiado frío ni demasiado seco para que vivan.

Los científicos pueden usar los líquenes para estimar cuándo desaparecieronlos glaciares. Los líquenes son siempre los primeros en mudarse a zonasnuevas. De modo que cuando el glaciar se retira, los líquenes aparecen muypronto. Los científicos conocen la rapidez con la que crecen los líquenes, asíque usan la superficie cubierta por ellos para calcular cuánto hace que unglaciar desapareció.

Muchos líquenes crecen más o menos en forma de círculo.

1. Estima el área cubierta por este liquen en centímetros cuadrados (cm2).

DFórmulas y geometría

Líquenes


Puedes usar un círculo como modelo del área cubierta por un liquen.Recuerda que la fórmula para hallar el área del círculo es:

Área � π � radio � radio

o

Área � πr 2

Quizá tu calculadora tenga una tecla π. Si no la tiene, usa 3.14 como un valoraproximado de π.

2. a. Haz el dibujo de un círculo de 2 cm de radio. ¡Usa un compás!

b. ¿Cuál es el diámetro de tu círculo?

La fórmula Área � πr 2 puede escribirse como una cadena de flechas.

3. Usa la fórmula o la cadena de flechas para hallar el área del círculo delproblema 2. Redondea tu respuesta al décimo más cercano y asegúratede incluir la medida de la unidad.

El diámetro del liquen que está en la página 36 es de alrededor de 1 cm.

4. a. ¿Qué radio tiene un círculo de 1 cm de diámetro?

b. Usa la fórmula o la cadena de flechas para hallar el área del círculo.Redondea tu respuesta al décimo más cercano y asegúrate deincluir la medida de la unidad.

c. ¿Fue cercana tu estimación del área cubierta por el liquen?

La tabla muestra la relación entre el radio de un círculo y su área.

5. a. Copia la tabla en tu cuaderno y completa los espacios vacíos.

b. Usa papel cuadriculado para dibujar una gráfica que representeesta relación.

c. Describe la gráfica. ¿Se parece a una línea recta? Explica cómo lo sabes.

Sección D: Fórmulas y geometría 35


cuadrado⎯⎯⎯→� π

⎯⎯→r ..... áreaF

Radio (en cm)

Área (en cm2)

0

0

0.5 1

3.1

1.5 2 2.5 3 4


En un artículo científico se informó que un liquen sobre un glaciar cubría 34 cm2.

6. Si conoces el radio, puedes calcular qué ancho tenía el liquen del informe. ¿Cómo podrías hallar una estimación del radio?

7. a. Sammy dice que el radio sería de 17 cm porque 34 dividido por 2 es 17. ¿Qué opinas de lo que piensa Sammy?

b. Sammi insiste con que su idea es buena. Piensa algunos ejemplos de áreas que podrían respaldar tanto su idea como mostrar que es errónea.

c. Jorge tiene una idea diferente. Dice que debido a que la fórmula del área usa números al cuadrado, puedes “sacar el cuadrado” delnúmero. ¿Qué opinas de la idea de Jorge?


Fórmulas y geometríaD


Para “sacar el cuadrado” de un número, los matemáticos usan el símbolo��. Por lo general, se lee como extraer la raíz cuadrada de en lugar desacar el cuadrado.

8. Halla la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes números. ¿Por quéno necesitas de una calculadora para hacerlo?

a. 25 b. 64 c. 121 d.1��4

9. a. Usa la tecla �� de tu calculadora para hallar la raíz cuadrada de 150.

b. En una hoja de papel, escribe la respuesta que tu calculadora dapara ��150.� Borra la calculadora y calcula el cuadrado de estenúmero. Si existe una diferencia, ¿puedes explicar la diferenciaentre este número y la respuesta que obtuviste en la parte a?

En la mayoría de los números no es posible hallar la raíz cuadrada exactaporque existe un número infinito de lugares decimales, y los decimalesnunca forman un patrón que se repite. La única vez que obtienes unarespuesta exacta es cuando empiezas con el cuadrado de un número como49 o 61��4.

10. ¿Qué hace la calculadora ya que no puede mostrar un decimal quesigue y sigue?

Esta es una cadena de flechas que hace uso de números cuadrados.

número ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ …… ⎯� 3⎯→ respuesta

11. a. ¿Cuál es la respuesta si el número es 5? ¿Y si el número es 10? ¿Y si el número es 2��3?

b. Invierte la cadena de flechas. Usa el signo ��.

c. Halla el número para cada una de las siguientes respuestas: 12, 24 y 3��5.

d. Haz una cadena de flechas usando números cuadrados y raíces.Halla dos números y dos respuestas y haz que un compañero declase los verifique.

Esta es la cadena de flechas del área del círculo.

r ⎯⎯⎯⎯⎯→ …… ⎯� π⎯⎯→ área

12. a. Invierte la cadena de flechas del área de un círculo.

b. Usa la cadena de flechas inversa para hallar la fórmula del radio deun círculo si conoces su área.

c. Usa la cadena de flechas inversa o la fórmula para hallar el radio de un círculo con una área de 35 cm2. Escribe tu respuesta con un decimal.



cuadrado

cuadrado


13. a. Haz un dibujo exacto de un círculo de 6 cm de diámetro. Usa un compás.

b. Usa una franja de papel para hallar el tamaño de la camisa exteriordel molde. Deja al menos 1 cm de traslapo para pegar los extremosdel manto. ¿Cuáles son las medidas del manto sin contar el espaciodel traslapo?

Valeria usa esta fórmula para la camisa exterior de su molde:

circunferencia del círculo � π � diámetro

c. Explica por qué esta fórmula tiene sentido.

Los jugos de fruta vienen en latas de diferentes tamaños. Algunas latas sonangostas y altas, otras son anchas y bajas.

14. a. ¿Qué forma tienen, por lo general, las latas de jugo?

b. ¿Es posible que latas de diferentes formas contengan la mismacantidad de líquido?



Círculos y cuerpos geométricos

6 cm diámetro

altura

base

traslapo1 cm

Valeria quiere hacer un molde que despuéspueda usar para hacer velas. Decide usar un molde en forma de cilindro. Para la basedel molde, ha cortado un círculo de 6 cm de diámetro.


Esta lata de jugo se compone de dos círculos y un rectángulo.

La lata de la imagen tiene una altura de 15 cm. El diámetro de la base es de7 cm.

15. a. Calcula el área de la base de la lata.

b. Calcula el volumen de la lata. Recuerda que la fórmula para hallar el volumen de un cilindro es:

Volumen � área de la base � altura

c. ¿Cuáles son las medidas del rectángulo que forma los lados de la lata?

d. La lata es de estaño. ¿Cuánto estaño (en cm2) se necesita para haceresta lata?

Este tipo de jugo de frutas también viene en latas que son el doble de alto.

16. a. Compara las cantidades de jugo de fruta que contiene cada lata.

b. ¿Qué diferencias existen entre el área total de las latas? Prepárate para explicar tu respuesta sin hacer cálculos.

17. Supón que una lata tiene el doble del diámetro de otra lata.

a. ¿Crees que la cantidad de líquido que entra en la lata más grandeserá el doble? Da razones matemáticas que fundamenten tu respuesta.

b. ¿Qué puedes decir acerca de la diferencia entre el área total de lalata más grande y el de la lata original?




Nicolás, un artista, fabrica relojes con forma depirámide. La base es un cuadrado.



Pirámides

Recuerda que la fórmula para hallar el volumen de una pirámide es:

Volumen �1��3 � área de la base � altura

Esta fórmula puede volver a escribirse así:

Volumen � 1��3 a2h

(a es la longitud de uno de los lados de la base; h es la altura).

18. Explica por qué esta fórmula puede usarse para calcular el volumen deuna pirámide.

19. Escribe la fórmula como una cadena de flechas.

Matías hizo esta cadena de flechas:

a ⎯� 1�3⎯→ .... ⎯⎯⎯⎯→ .... ⎯� h⎯→ Volumen

20. Matías cometió un error. ¿Cuál fue su error?

Nicolás quiere saber cuánto plástico se necesita para 250 pirámides para los relojes. El cuadrado mide 2 dm por 2 dm, y la altura es de 11��2 dm.

21. ¿Cuántos decímetros cúbicos (dm3) de plástico se necesitan?

cuadrado


Nicolás cree que las pirámides de los relojes deberían ser un poco másgrandes para que se adapten a las cajas de regalo que él compra. Quiereque cada una de las nuevas pirámides tenga un volumen de 21��2 dm3.

22. a. Escribe la cadena de flechas invertida para hallar el área de la base de la nueva pirámide.

b. Halla la longitud del cuadrado que es la base de la pirámide.

c. ¿A cuántos lugares decimales redondeaste tu respuesta de laparte b? Explica por qué crees que lo que hiciste es razonable.





Fórmulas y geometría

Las fórmulas se usan para hallar el área y el volumen de las figurasgeométricas. En esta sección, en algunas de las fórmulas se usaron númerosal cuadrado, como en la fórmula que usaste para hallar el área del círculo:

Área � π � radio � radio

o

Área � πr 2

“Sacar el cuadrado” a un número se dice extraer la raíz cuadrada de ese número.

La raíz cuadrada �� del cuadrado de un número no tiene decimales ni unacantidad limitada de decimales.

��81 � 9

��6 1�4 �21��2

La raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto tiene un número infinito de decimales que no tienen un patrón que se repite.

��10 � 3.1622776…

Si necesitas redondear una respuesta, halla una cantidad razonable dedecimales de acuerdo con la situación.

1. Halla una respuesta para cada una de las siguientes situaciones.Redondea a un valor decimal aquellas que no sean cuadrados perfectos.a. ��16 � c. ��48 �

b. ��121�4� � d. ��1000��

2. a. Halla el área de un círculo de 30 cm de diámetro. Muestra tu trabajo.

b. Halla el radio de un círculo con un área de 10,000 cm2. Redondea turespuesta hasta el centímetro más cercano.

D



Esta es una cadena de flechas.

número ⎯⎯→�4 . . . . ⎯⎯⎯⎯⎯→ . . . . ⎯⎯→�3 . . . . ⎯⎯→�7 respuesta

3. a. Usa la cadena de flechas para hallar la respuesta del número = 6.

b. Usa la cadena de flechas inversa para hallar el número si larespuesta � 55.

El siguiente problema es sobre pirámides con una base cuadrada.

4. ¿Existe diferencia de volumen entre una pirámide cuyo lado del cuadrado mide 4 y cuya altura es 6, y una pirámide cuyo lado delcuadrado mide 6 y cuya altura es 4? Explica, sí o no, ¿por qué?

¿Cuál es la diferencia entre el volumen de una pirámide de base cuadrada yel volumen de un cubo con la misma base cuadrada?

cuadrado



Tu frecuencia cardíaca, cuando estásdescansando o sentado, se consideracomo tu frecuencia cardíaca normal o enreposo. Cuando duermes, tu frecuenciacardíaca disminuye, y cuando hacesejercicios o estás disgustado, tu frecuencia cardíaca aumenta.

EResolución de problemas

Entrenamiento intenso

Con la ayuda de un compañero, halla tu frecuencia cardíaca enreposo. Para hacerlo, busca el pulso en tu cuello o en tu muñeca ycuenta los latidos durante 20 segundos. Tu compañero deberáobservar el reloj y avisarte cuándo comenzar a contar y cuándo detenerte.

Por lo general, la frecuencia cardíaca se describe en términos de latidos

por minuto (lpm). Usa el resultado que obtuviste de contar tu pulsodurante 20 segundos para hallar tu frecuencia cardíaca en reposo enlatidos por minuto.

Cambia de papel con tu compañero y repite el procedimiento anterior,así ambos sabrán sus respectivas frecuencias cardíacas en reposo.


Los atletas que participan en deportes de resistencia necesitan estar en muybuen estado. Cuando compiten, la frecuencia cardíaca aumenta.

Como es peligroso que la frecuencia cardíaca de una persona seademasiado alta durante mucho tiempo, los atletas se entrenanespecíficamente para aumentar su resistencia. Para los atletas, esimportante determinar su frecuencia cardíaca máxima.

Es difícil hallar el valor exacto de la frecuencia cardíaca máxima de un atleta.Sin embargo, existe una regla que da una aproximación cercana.

Resta de 220 tu edad (E) en años para hallar tu frecuencia cardíacamáxima (M) en latidos por minuto.

1. a. Escribe esta regla en forma de fórmula.

b. ¿Qué diferencia hay entre tu frecuencia cardíaca en reposo con lafrecuencia cardíaca máxima que calculaste a partir de la fórmula?

2. Haz una gráfica en la Hoja de actividad del estudiante 4 que puedacolocarse en un gimnasio para ayudar a las personas a hallar sufrecuencia cardíaca máxima.

Atención: el valor de M puede variar según tu estado físico. No deberías usar la fórmula anterior para calcular tu propia sesión de ejercicios físicos sin consultar con un médico.

Sección E: Resolución de problemas 45



Usa la fórmula y la gráfica que hiciste para el problema 2 para responder lassiguientes preguntas.

3. a. ¿Quién tiene una frecuencia cardíaca máxima más alta: tú o tumaestro? Explícalo.

b. ¿Qué puedes decir acerca de la relación entre la edad y la frecuencia cardíaca máxima?

4. a. ¿Cuál es la frecuencia cardíaca máxima más alta posible de acuerdo con la fórmula? ¿Y la más baja?

b. ¿Crees que esta regla se aplica a las personas de cualquier edad? Explícalo.

Jacobo es el entrenador de Juan, Anita y Carmen. Él decide que estosatletas deberían usar el 75% de su frecuencia cardíaca máxima durante susesión de ejercicios físicos. Esta frecuencia cardíaca se llama valor de

entrenamiento (V).

5. a. Escribe 75% en forma de fracción.

b. Usa la fórmula M � 220 � E para crear una nueva fórmula de la relación entre el valor de entrenamiento V y la edad E.


Resolución de problemasE

Edad (en años)

Fre

cu

en

cia

ca

rdía

ca

má

xim

a (

en

lp

m)

12

180

184

188

192

196

200

204

208

212

216

220

14 16 18 20 22 24 26 28


Algunos grillos son de color marrón y tienen alas transparentes que los hacen difíciles de localizar. Por lo general, estos insectos forman un coro nocturno y cantan una canción de dos notas en tono alto. La temperatura aproximada en grados Fahrenheit puede estimarse contando la cantidad de chirridos de un grillo por minuto, dividiendo este número por 4 y sumándole 40.

Puedes usar la siguiente fórmula para hallar la temperatura aproximada (F) sisabes la cantidad de chirridos (C) que emite el grillo por minuto:

C—4 � 40 � F

6. Un grillo emite 100 chirridos por minuto. Estima la temperatura del aire.

7. a. ¿Cuánto frío hace cuando no oyes ningún chirrido de grillo?

b. ¿Existe un número máximo de chirridos que puedas oír en un minuto? Explica tu respuesta.

8. a. Elige al menos cinco cantidades distintas de chirridos (C) y estima la temperatura que le corresponde a cada uno (F). Haz una tabla para anotar tu información.

b. Usa una hoja de papel cuadriculado para hacer una gráfica con la información que recopilaste en la parte a para mostrar cómo se relacionan la cantidad de chirridos de un grillo (C) y la temperatura (F).

c. Determina si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero ofalso y explica por qué.

I. Si la cantidad de chirridos por minuto se duplica, entonces latemperatura sube al doble.

II. Si en un minuto contaste un chirrido más que durante el minutoanterior, entonces la temperatura correspondiente se elevaríaalrededor de medio grado Fahrenheit.

9. Kim quiere una fórmula para poder predecir la cantidad de chirridos porminuto que oirá una vez que sepa la temperatura externa en gradosFahrenheit. Escribe una fórmula que Kim pueda usar.



Grillos


A los antiguos egipcios les fascinaban las proporciones. Cuando hacíandibujos o esculturas de personas, las medidas seguían un conjunto dereglas. Estas reglas ayudan a los arqueólogos modernos a reconstruir losdibujos egipcios que se han dañado. Los arqueólogos han escrito estasreglas en forma de fórmulas que resultan fáciles de usar. Las fórmulas seescriben en términos de la altura de las partes del cuerpo desde el piso.


Resolución de problemasE

Arte egipcio

H � altura de la línea de nacimiento del pelo

B � altura de la base del cuello

C � altura del codo

M � altura de la muñeca

R � altura de la rodilla

Estas son las fórmulas usadas para calcular las proporciones (cada medidase toma desde la línea del suelo):

H � 3R C � M � M � R

C � 2R B � 8��9 H

10. a. Traslada la fórmula C � 2R a una oración en español que serelacione con el dibujo.

b. Describe cómo puedes verificar si C � M es igual a M � R en el dibujo.

c. Muestra si las medidas de los egipcios en el dibujo se adaptan a lasfórmulas dadas.


En una reciente excavación, los arqueólogosdescubrieron piezas de un antiguo dibujo egipcio.

Lamentablemente, algunas partes del dibujo sehabian perdidio. Los arqueólogos calcaroncuidadosamente las piezas que encontraron.

11. Usa la Hoja de actividad del estudiante 5 paravolver a construir el dibujo original.

• Primero recorta los dibujos calcados de losarqueólogos.

• Usa las fórmulas para ubicar cada pieza enforma correcta. (Guarda un borrador de tuscálculos, así puedes explicarle el procedimientoa alguien más.) Pega las piezas en una hoja de papel.

• Luego bosqueja las partes perdidas.

Más tarde, mientras excavaban el lugar, el equipode arqueólogos halló fragmentos de otro dibujo.Este dibujo tenía líneas cuadriculadas que losantiguos egipcios pueden haber usado paraverificar las proporciones. Los arqueólogospensaron que este dibujo sería más fácil dereconstruir que el primero, a causa de las líneas.Después de que miraron las piezas, sin embargo, se dieron cuenta de que sería más difícil.

12. Reflexiona Mira la Hoja de actividad del

estudiante 6. ¿Por qué este dibujo es más difícilde reconstruir?

Después de observar cuidadosamente las fórmulas,los arqueólogos hallaron un modo de sortear elproblema.

13. Usa la Hoja de actividad del estudiante 6 paravolver a construir este dibujo. Recorta laspiezas, pégalas en las posiciones correctas ybosqueja las partes perdidas. (Recuerdaguardar un borrador de tus cálculos.)





Resolución de problemas

Las fórmulas se usan para describir relaciones y resolver problemas enmuchas situaciones. La información que surge de las imágenes, los relatos,las gráficas, las tablas u otras fórmulas pueden ayudarte a calcular unafórmula que puedes usar para resolver un problema. Cuando resuelvesproblemas, asegúrate de elegir la mejor manera de organizar y representarla información.

En 1656, un matemático holandés inventó uno de los primeros relojes depéndulo. Los péndulos se usan para regular el movimiento de los relojes yaque el intervalo de tiempo entre cada movimiento del péndulo es siempre elmismo. El tiempo que el péndulo necesita para completar una oscilacióndepende solamente de la longitud del péndulo.

Esta es una fórmula que puede usarse para determinar el intervalo detiempo en segundos (T) de 100 oscilaciones si se conoce la longitud encentímetros (L) del péndulo:

T � 20 � ��L

1. a. Calcula cuánto tiempo le llevaría a un péndulo de 100 cm de largohacer 100 oscilaciones.

b. ¿Cuántos segundos le lleva al mismo péndulo una oscilación?

LaShonda quiere hacer un reloj de péndulo en el que al péndulo le lleve exactamente un minuto oscilar 100 veces.

2. ¿Qué longitud necesita tener el péndulo del reloj de LaShonda? Explica cómo hallaste la respuesta.

E



3. a. Elige al menos cinco longitudes diferentes de péndulos entre 1 cm y36 cm, y calcula el tiempo que necesita cada péndulo para oscilar100 veces. Haz una tabla para anotar tu información.

b. Usa una hoja de papel cuadriculado para hacer una gráfica con lainformación que recopilaste en la parte a, para mostrar cómo serelacionan la longitud (L) y el tiempo (T).

c. Determina si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero ofalso y explica por qué.

I. Cuanto más largo es el péndulo, más lentamente oscila.

II. Si duplicas la longitud del péndulo, le lleva el doble de tiempo oscilar 100 veces.

III. Si le sumas 1 cm a la longitud del péndulo, el tiempo necesario para oscilar 100 veces aumenta en 20 segundos.

4. Greg quiere hacer un reloj de péndulo en el que al péndulo le lleveexactamente un minuto cada oscilación. Halla la longitud que necesitatener el péndulo.

5. Carolina vuelve a escribir la fórmula para determinar el tiemponecesario para que el péndulo oscile una vez en lugar de 100 veces.Escribe: Tiempo de 1 oscilación � 0.2 � ��L . ¿Es correcta la fórmulade Carolina? Explica, sí o no, ¿por qué?

Has estudiado otras fórmulas en matemáticas. Menciona al menos dos yexplica cómo se usan.


Los senderos que se muestran en la imagen están hechos de baldosashexagonales verdes y blancas. Las baldosas con forma de hexágono tienenseis lados iguales. Se dice que el sendero es de longitud 5 porque tienecinco baldosas verdes en el centro. El segundo sendero es de longitud 6.

1. ¿Cuántas baldosas verdes y blancas hay en el sendero de longitud 4? ¿Y en el de longitud 1?

2. ¿Cómo puedes hallar la cantidad total de baldosas en un sendero de longitud 10?

3. Copia y completa la tabla.

4. a. Describe el patrón de baldosas verdes usando una fórmulaPRÓXIMO-ÚLTIMO.

b. Escribe una fórmula directa para describir la cantidad de baldosasverdes (V) de un sendero de cualquier longitud (L).

c. Escribe una fórmula directa para describir la cantidad de baldosasblancas (B) de un sendero de cualquier longitud (L).

d. Escribe una fórmula directa para describir la cantidad de baldosasblancas (T) de un sendero de cualquier longitud (L).


Práctica adicional

Sección PatronesA

Longitud � 5 Longitud � 6

Longitud del Cantidad de Cantidad de Cantidad total

sendero (L) baldosas verdes (V ) baldosas blancas (B) de baldosas (T )

5 5 14 19

6 6 16 22


5. a. Marsha tiene 75 baldosas blancas. ¿Puede usarlas todas en un solosendero? Explica, sí o no, ¿por qué?

b. Marsha cree que la cantidad de baldosas blancas siempre es impar.¿Tiene razón? Da razones matemáticas que apoyen tu respuesta.

Urvashi, el diseñador del escenario de la película, necesita paredes de jardínpara el gran jardín que rodea una mansión. Este es el patrón básico que usapara las paredes:

1. a. Escribe una fórmula para este patrón básico. Longitud � . . . .

b. Haz un dibujo de su pared de jardín que sea el doble del patrón básico.

Para una pared de jardín, Urvashi cree que necesitará 50 veces el patrónbásico. Ella usa esta fórmula.

Número total de ladrillos � 100A � 200P

2. a. Explica las letras y los números de esta fórmula.

b. Escribe la fórmula de un modo distinto usando paréntesis.

c. ¿Qué cantidad de ladrillos necesita Urvashi en total para esta pared de jardín?

3. a. Dibuja una pared de jardín que corresponda a esta fórmula.

Longitud � 3(2P � 2A)

b. Escribe la fórmula del problema 3a sin paréntesis.

c. ¿Es el patrón básico el mismo que Urvashi usó para sus paredes de jardín?


Sección Patrones con ladrillosB


“Taxi urbano”, en Europa, usa esta fórmula para el costo total en euros (T)de cualquier cantidad de kilómetros (K):

T � 5 � (0.8 � K)

1. a. ¿Qué representan los números de esta fórmula?

b. Escribe la fórmula como una cadena de flechas; K ⎯⎯→ .......

c. Halla el costo de un viaje en taxi de 12 km.

d. Janette pagó 11 euros por un viaje. Su compañía quiere saber cuántos kilómetros viajó. Escribe una cadena de flechas inversa y calcula cuántos kilómetros viajó Jeanette.

Una agencia de alquiler de camiones anuncia “$19.95 por día y 69 centavosla milla en ciudad” por el alquiler de un camión.

2. a. Usa la información para escribir una fórmula directa del costo total en dólares (T) de cualquier cantidad de millas (M) por un día de alquiler.

b. Calcula el alquiler total si necesitas el camión por un día y esperasno manejar más de 40 millas.

La cantidad de sangre de tu cuerpo depende, entre otras cosas, de tu peso.Una regla para estimar la cantidad de sangre es:

sangre (en litros) �1�13 � peso (en kilogramos)

3. a. Elmar pesa 65 kilogramos (kg). Estima la cantidad de litros desangre en su cuerpo.

b. Nathan pesa el doble que Elmar. ¿Tiene el doble de cantidad desangre que Elmar? Explica tu razonamiento.

c. ¿Crees que podrías usar esta fórmula para un bebé de dos meses deedad? Sí o no, ¿por qué?


Práctica adicional

Sección Usar fórmulasC


Marcos encontró un liquen de forma circular en el jardín de su casa. Sudiámetro es de alrededor de 3 cm.

1. Halla el área del liquen.

Selma dice: “Siempre uso 3 para la estimación de pi al estimar el tamaño deun liquen. Esto hace que los cálculos sean mucho más fáciles”.

2. Usa ejemplos que muestren si Selma puede usar 3 para π. Escribecualquier suposición que hagas acerca del tamaño del liquen.

La tienda local de yogurt sirve el yogurt en conos y lo llena hasta la parte dearriba de ese cono.

3. a. ¿Cuánto yogurt entrará en un cono que tiene 12 cm de altura y un diámetro de 6 cm? Recuerda que la fórmula para hallar el volumende un cono es:

Volumen � 1��3 � área de la base � altura o

V � 1��3 πr 2h

b. Supón que podrías elegir un cono del doble de ancho que el conodel problema 3a. ¿Tiene este nuevo cono el doble de cantidad deyogurt? Sí o no, ¿por qué?

¿Cuánto medirás cuando seas un adulto? Estas son reglas de estimaciónexpresadas en forma de fórmula. Hay alrededor de 3 pies (ft) en 1 metro (m).

niño:altura al llegar a adulto � (altura del padre �altura de la madre �13) � 4.5

2

niña:altura al llegar a adulto � (altura del padre �altura de la madre �13) � 4.5

2

1. a. ¿Por qué existen reglas diferentes para los niños y para las niñas?

b. Usa una de las fórmulas para descubrir la altura aproximada quetendrás cuando seas un adulto. Si no conoces la altura de tuspadres, usa estimaciones.


Práctica adicional

Sección Fórmulas y geometríaD

Sección Resolución de problemasE


La primera fórmula puede volver a escribirse así:

altura en pulgadas al llegar a adulto � 1��2 (altura del padre � altura de la madre) � 11

2. a. Demuestra que esta fórmula es igual a la primera.

b. Vuelve a escribir la segunda fórmula.

c. ¿Puede describirse la fórmula para las niñas como 2 menos quela media de la altura de la madre y del padre? Explica, sí o no,¿por qué?

¡Cuanto más alto seas, más lejos puedes ver! Esta es una regla para estimarla relación entre la altura (h) en metros y la distancia al horizonte (d) enkilómetros. La regla es válida solamente en un día claro.

d � ��13 � h��

3. a. Escribe esta fórmula como una cadena de flechas. Usa el signo ��.

b. Hank está en la playa y mide 1.80 m de altura. ¿A cuántos kilómetrosde distancia puede ver un barco?

c. Bert mide 1.50 cm de altura. Usó la fórmula y halló que la distanciaera de 4.416 km. Haz comentarios sobre la respuesta de Bert.

d. Frances asegura: “¡Si eres el doble de alto, puedes ver el doble delejos!”¿Tiene razón Frances? Explícalo.

e. Mohamed asegura: “¡Si eres el cuádruple de alto, puedes ver eldoble de lejos!”¿Tiene razón Mohamed? Explícalo.


Práctica adicional


1. Sí, describen el mismo patrón. Estos son algunos ejemplos deestrategias que puedes usar.

Estrategia 1

Un patrón puede ser:

B � S � 2 � S puede explicarse como una fila de S baldosasanaranjadas, 2 baldosas blancas y otra fila de baldosas anaranjadas.

B � 2S � 2 puede explicarse como 2 filas de S de baldosas anaranjadasy 2 baldosas blancas.

B � 2(S � 1) puede explicarse como 2 filas de S de baldosas anaranjadasy una baldosa blanca.

Estrategia 2

B � 2 � S es igual que 2S � 2 y también puede escribirse como 2(B � 1).

2. a. Ejemplo de tabla:


Respuestas para verificar tu trabajo

Sección PatronesA

Sendero 3 Sendero 4Sendero 2

Número de patio Cantidad de baldosas Cantidad de baldosas

(P) anaranjadas (A) blancas (B)

1 1 8

2 4 12

3 9 16

4 16 20

5 25 24

6 36 28


b. Comenta tu fórmula con un compañero de clase. Ejemplos de fórmula:

La cantidad de baldosas blancas corresponde al número del patiomultiplicado por sí mismo.Cantidad de baldosas anaranjadas � Número del patio � Número del patioA � P � PA � P 2

c. Comenta tu fórmula con un compañero de clase. Puedes hallarmuchas fórmulas equivalentes.

B � (P � 2) � (P � 2) � P � PB � 2(P � 2) � 2PB � 4 � 4PB � 4(P � 1)B � 4(P � 2) � 4B � (P � 2) � (P � 2) � (P � P)

d. Puedes hallar la respuesta ampliando la tabla o usando las fórmulasque hallaste.La cantidad de baldosas anaranjadas del patio número 10 es 100.

La cantidad de baldosas blancas del patio número 10 es 44.

3. a. Ejemplo de tabla:

b. Sí, ambas fórmulas dan el mismo resultado. Ejemplo de dibujo:

La longitud de los lados de todo el cuadrado (incluso las baldosas anaranjadas y las blancas) es P � 2, de modo que la cantidad total de baldosas es (P � 2) � (P � 2).



1 2

43

P � PF

Longitud del Cantidad de baldosas Cantidad de baldosas Cantidad total

sendero (L) anaranjadas (A) blancas (B) de baldosas (T )

1 1 8 9

2 4 12 16

3 9 16 25

4 16 20 36

5 25 24 49

6 36 28 64


4. a. Terry está construyendo el patio número 12.

El lado del cuadrado que Terry va a construir tiene una longitud de14, ya que 14 � 14 � 196, de manera que el número del patio es dosnúmeros menos.

b. Usa una de las fórmulas del problema 2b para hallar la cantidad de baldosas blancas. Por ejemplo, B � 4(P � 1) dará 4(12 � 1) �4 � 13 � 52 baldosas blancas.

1. a. Longitud � 1A � 1D o dado que el 1 en 1A es el mismo que A,Longitud � A � D

b. Longitud � 30A � 29D

c. ¡Si piensas mucho, tu respuesta puede ser tanto sí como no!Comenta tu explicación con un compañero de clase. Ejemplos de explicación: no, no es posible, ya que 30 y 29 no sondivisibles por el mismo número; no existe número que entre almismo tiempo en 29 y en 30.

Pero también podrías decir que es posible si primero vuelves aescribir la fórmula; por ejemplo:

Longitud �(29A � A) � 29D, así que Longitud � 29A � 29D � ALongitud � 29(A � D) � A

2. a. Ejemplo de respuesta: una fila con un patrón básico de dos ladrillosacostados y tres ladrillos parados que se muestra cuatro veces.

b. Longitud � 8A � 12P

3. a. Fila 4. Ejemplo de explicación: no puede repetirse un patrón básicoen la Fila 4 ya que no existe un número que entre en 9 o en 13 almismo tiempo. Todas las otras filas tienen patrones básicos.

b. Las fórmulas de la longitud de los distintos patrones básicos de laFila 5 son:

Longitud � 3A � 2PLongitud � 6A � 4PLongitud � 9A � 6P



Sección Patrones con ladrillosB


1. Este es un ejemplo de una carta. Tu carta será diferente, pero tuexplicación debe ser semejante a la que se muestra en la carta.

A quien corresponda:

Recientemente me di cuenta de que su compañía ha impresouna fórmula de modo incorrecto. Se encuentra en la cubiertadel cuaderno y dice:

• Para convertir temperaturas Celsius en temperaturasFahrenheit, usa esta fórmula:

C �5��9 (F � 32).

• Para convertir temperaturas Fahrenheit en temperaturasCelsius, usa esta fórmula:

F � 9��5 (C � 32).

La primera fórmula es correcta, pero la segunda no lo es. Lasegunda fórmula debería ser la inversa de la primera, pero nolo es.

Al usar números para verificar las fórmulas, se puede ver quela segunda no funciona. Sé que 0 °C es igual a 32 °F, de modoque si escribo F = 32 en la primera fórmula, debería obtener C = 0, y cuando quiero comprobarlo, sucede de ese modo.Cuando escribo C = 0 en la segunda fórmula, debería obtener F = 32, pero obtengo 57.6, que es incorrecto.

La segunda fórmula correcta puede encontrarse usando unanotación de flechas para invertir la primera fórmula.

Formula I F ⎯⎯�32⎯⎯→ _____ ⎯

�5��9⎯⎯→ C

Formula II C ⎯�

5��9⎯⎯→ _____ ⎯

� 32⎯⎯→ F

Dividir por 5��9 es lo mismo que multiplicar por 9��5 . Así que lasegunda fórmula correcta es F �

9��5 C � 32

Fue un error usar los paréntesis.

Por favor, corríjanlo.

Atentamente.



Sección Usar fórmulasC


Velocidad (en mi/h)

Distancias de frenado en los automóvilesD

ista

ncia

de f

ren

ad

o (

en

ft)

10

100

200

300

400

20 30 40 50 60 70 80

2. a. Velocidad (mi/h) Distancia de frenado (ft)

20 66

40 206

60 346

b.

c. Sí. Ejemplo de explicación:

Las restricciones dependen del lugar en el que estés manejando. Por ejemplo, la velocidad máxima es, por lo general, 65 mi/h en la interestatal y de 40 o 35 mi/h en la ciudad. Otra restricción es que la fórmula no tendrá sentido si usas velocidades que son muy pequeñas. Si viajas a 10 mi/h, la fórmula mostraría que tomaría �4 segundos detenerse.




3. a. La rampa de la parte I se adapta a la regla.

0.5 � 1��10 � 5, que es menor que 1

��8 � 5

La rampa II. 0.75 � 3��8 � 2, que es mayor que 1

��8 � 2

La rampa III. 0.2 � 2��10 � 1 o 1

��5 � 1, que es mayor que 1��8 � 1

b. distancia vertical � 1��8 � distancia horizontal

4. Los diseños variarán. Ejemplo de diseño que tiene 20 escalones.

Asegúrate de que has anotado la contrahuella y la huella en tu diseño yque se ajusta a las reglas.

En el ejemplo de diseño, las medidas eran:la contrahuella de 15 cm;la huella de 33 cm.

1. a. ��16 � 4

b. ��121��4�� 3 1��2

c. ��48 ≈ 6.9

d. ��1000�� ≈ 31.6

2. a. Un círculo con un diámetro de 30 cm tiene un radio de 1��2 � 30 � 15.Área � π � 15 � 15 � 706.85834…Redondeado hasta un valor decimal, área ≈ 706.9 cm2

b. Puedes usar una cadena de flechas inversa para la fórmula del área.

área ⎯� π⎯→ . . . . . ⎯⎯→�� radio

Cuando uses tu calculadora, no redondees los resultados antes deque termines los cálculos.

10,000 ⎯� π⎯→ 3183.09886… ⎯⎯→�� 56.418958…

El radio del círculo es de 56 cm, redondeado al número enteromás cercano.



300 cm

660 cm

Sección Fórmulas y geometríaD


3. a. 6 ⎯⎯→� 4 2 ⎯⎯⎯⎯→ 4 ⎯⎯→� 3 12 ⎯⎯→� 7 19

b. Primero, invierte la cadena de flechas:

respuesta ⎯⎯→�7 …. ⎯⎯→

:3 …. ⎯⎯→�� …. ⎯⎯→�4 número

55 ⎯⎯→�7 48 ⎯⎯→

:3 16 ⎯⎯→�� 4 ⎯⎯→�4 8

4. Sí, hay diferencia. Comenta tu explicación con un compañero de clase.Ejemplo de explicación: en un caso, elevas al cuadrado el 4 y en el otro,al 6.Si calculas el volumen de ambas pirámides, hallarías:

volumen (I) � ( 1��3 ) 4 � 4 � 6; y

volumen (II) � ( 1��3 ) 6 � 6 � 4.

1. a. 200 segundos. Las estrategias variarán. Algunos estudiantes puedensustituir los valores dados en la fórmula:

T � 20 � ��L

T � 20 � ��100� � T � 20 � 10 � 200 segundos

b. 2 segundos

2. El péndulo tiene que tener 9 cm de longitud. Las estrategias variarán.Ejemplo de estrategia:

T � 20 � ��L60 � 20 � ��L3 � ��L9 � L

3. a. Las respuestas variarán. Ejemplos de respuesta:



Sección Resolución de problemasE

Longitud del péndulo ��L Tiempo

4 cm 2 40 seg.

9 cm 3 60 seg.

16 cm 4 80 seg.

25 cm 5 100 seg.

36 cm 6 120 seg.

cuadrado


b. Las gráficas variarán. Ejemplo de gráfica:

c. I. Verdadero. El tiempo aumenta a medida que la longitud delpéndulo aumenta.

II. Falso. Podrías usar tu tabla o tu gráfica para pensar la respuesta.

III. Falso. Una forma de mostrarlo es elegir una longitud de tutabla, sumarle 1 cm y calcular el nuevo tiempo para comprobarsi la cantidad de segundos aumenta en 20.

4. Greg debe hacer el péndulo de 25 cm de longitud.

5. Sí, la fórmula de Carolina es correcta. Las explicaciones variarán.Puedes razonar que el tiempo que se necesita para 1 oscilación es 1–—

100del tiempo que se necesita para 100 oscilaciones, de modo que

necesitas dividir por 100 los números de la fórmula. De este modo,T � 0.2 ��L .



Tiempo (en seg.)

Movimiento del péndulo

Larg

o (

en

cm

)

10

2

4

6

8

1012

14

1618

20

22

24

26

28

30

20 30 40 50 60 70 80 90 100


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