Conicas-2
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´ Algebra lineal y Geometr´ ıa I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEM ´ ATICAS CLASIFICACI ´ ON AF ´ IN DE C ´ ONICAS Sea E un R-espacio vectorial de dimensi´on 3. Sean E ∞ = he 1 ,e 2 i un plano vectorial de E y e 0 un vector de E que no est´ a en E ∞ , e 0 / ∈ E ∞ . Los vectores {e 0 ,e 1 ,e 2 } forman una base de E, y si representamos por (x 0 ,x 1 ,x 2 ) sus funciones coordenadas, el plano af´ ın H definido por H = e 0 + E ∞ tiene por ecuaci´on impl´ ıcita x 0 = 1. En este sistema de coordenadas la ecuaci´ on impl´ ıcita del plano del infinito E ∞ es x 0 = 0. Definici´ on 1. Unac´onicade H es una familia C = {λT 2 } (λ ∈ R), formada por una m´ etrica sim´ etrica T 2 sobre E y todas sus proporcionales. El lugar geom´ etrico definido por la c´ onica C es la intersecci´ on del plano af´ ın H con el conjunto de los vectores de E que son is´ otropos para la m´ etrica T 2 locus de C = {e ∈ E : T 2 (e, e)=0}∩ H En coordenadas, el locus de C representa la ecuaci´ on de una curva de grado 2 de H . En efecto, si G =(g ij ) es la matriz de un representante T 2 de la c´ onica C respecto de una base {e 0 ,e 1 ,e 2 } de E en la que la ecuaci´on de H es x 0 = 1, se tiene locus de C = (1,x 1 ,x 2 ) ∈ H : ( 1 x 1 x 2 ) g 00 g 01 g 02 g 10 g 11 g 12 g 20 g 21 g 22 1 x 1 x 2 =0 , de donde resulta g 11 x 2 1 + g 22 x 2 2 + 2(g 12 x 1 x 2 + g 12 x 1 x 2 ) + 2(g 01 x 1 + g 02 x 2 )+ g 00 =0 . Observaci´ on 1. La parte cuadr´ atica de esta ecuaci´on, g 11 x 2 1 + g 22 x 2 2 + 2(g 12 x 1 x 2 + g 12 x 1 x 2 ), se corresponde con la matriz de la restricci´on de la m´ etrica T 2 al plano del infinito E ∞ , ( T 2|E∞ ) = g 11 g 12 g n1 g 22 Ejemplo 1. H = {(1, x, y)}⊂ R 3 , C = {λT 2 } , G = 1 -3 2 -3 1 1 2 1 2 El locus de C≡ ( 1 x y ) 1 -3 2 -3 1 1 2 1 2 1 x y =0, es la curva de grado dos del plano XY : x 2 +2y 2 +2xy - 6x +4y +1=0 . 1
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Algebra lineal y Geometra IGloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMATICAS
CLASIFICACION AFIN DE CONICAS
Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3.Sean E = e1, e2 un plano vectorial de E y e0 un vector de E que no esta en E,
e0 / E.Los vectores {e0, e1, e2} forman una base de E, y si representamos por (x0, x1, x2) sus
funciones coordenadas, el plano afn H definido por
H = e0 + E
tiene por ecuacion implcita x0 = 1. En este sistema de coordenadas la ecuacion implcitadel plano del infinito E es x0 = 0.
Definicion 1. Una conica de H es una familia C = {T2} ( R), formada por una metricasimetrica T2 sobre E y todas sus proporcionales.
El lugar geometrico definido por la conica C es la interseccion del plano afn H con elconjunto de los vectores de E que son isotropos para la metrica T2
locus de C = {e E : T2(e, e) = 0} H
En coordenadas, el locus de C representa la ecuacion de una curva de grado 2 de H. Enefecto, si G = (gij) es la matriz de un representante T2 de la conica C respecto de una base{e0, e1, e2} de E en la que la ecuacion de H es x0 = 1, se tiene
locus de C ={
(1, x1, x2) H :(1 x1 x2
)g00 g01 g02g10 g11 g12g20 g21 g22
1x1x2
= 0} ,de donde resulta
g11x21 + g22x
22 + 2(g12x1x2 + g12x1x2) + 2(g01x1 + g02x2) + g00 = 0 .
Observacion 1. La parte cuadratica de esta ecuacion, g11x21 + g22x
22 + 2(g12x1x2 + g12x1x2),
se corresponde con la matriz de la restriccion de la metrica T2 al plano del infinito E,(T2|E
)=
(g11 g12gn1 g22
)Ejemplo 1.
H = {(1, x, y)} R3 , C = {T2} , G =
1 3 23 1 12 1 2
El locus de C
(1 x y
) 1 3 23 1 12 1 2
1xy
= 0,es la curva de grado dos del plano XY : x2 + 2y2 + 2xy 6x+ 4y + 1 = 0 .
1
-
2 G. Serrano Sotelo
Definicion 2. Una conica C = {T2} es irreducible o no degenerada si lo es cualquiera desus metricas representantes.
Ejemplo 2. Las conicas de ecuaciones
(a)x2
a2+y2
b2 1 = 0 , (b) x
2
a2 y
2
b2 1 = 0 , (c) y2 2px = 0 , donde a, b, p R {0}
son irreducibles pues las metricas representantes, de matrices
(a)
1 0 00 1/a2 00 0 1/b2
, (b)1 0 00 1/a2 0
0 0 1/b2
, (c) 0 1 01 0 0
0 0 1/p
,son no singulares.
Definicion 3. Un vector e0 E define un centro de la conica C si e0 / E y T2(e0, e) = 0para todo e E.Proposicion 1. Si C = {T2} es una conica irreducible y tiene centro este es unico.Demostracion. Sea e0 E un vector que define un centro de la conica C.Como T2 es una metrica irreducible el subespacio ortogonal al hiperplano del infinito, E
,
es una recta, luego e0 es un generador de ella pues es ortogonal a E, y como e0 / E estarecta e0 corta a H en un unico punto, c = e0 H, que es el centro de la conica. Corolario 1. Si C = {T2} es una conica irreducible con centro existe una base {e0, e1, e2}de E en la que las coordenadas del centro son
c =(1,
Adj g10Adj g00
,Adj g20Adj g00
),
donde G = (gij) es la matriz, respecto de esa base, de una metrica representante de C .Demostracion. Respecto de la base {e0, e1, e2} de E, en la que e0 es el vector que define elcentro, E = e0, y {e1, e2} una base de E, la ecuacion implcita de E es x0 = 0, luegosu subespacio incidente esta generado por la forma lineal de coordenadas en la base dual = (1, 0, 0).
Si G = (gij) es la matriz de T2 en esta base se tiene que E = G1 = e0 con
e0 =(Adj g00|G|
,Adj g10|G|
,Adj g20|G|
) ,
luego el centro es
c =(1,
Adj g10|G|
,Adj g20|G|
) ,
donde Adj g00 = |G| es el determinante de la restriccion de G a E. Definicion 4. Sea C = {T2} una conica de H. Se llaman rango r e ndice i de la conica a losde cualquiera de las metricas que la representan. Se llaman rango r e ndice i de la conicaen el infinito a los de la restriccion a E de cualquiera de las metricas que la representan.
r = rg(T2) , i = indice (T2) ; r = rg(T2|E) , i = indice (T2|E)
Teorema 1. La condicion necesaria y suficiente para que dos conicas C = {T2} y C ={T 2} de H sean afnmente equivalentes es que tengan iguales sus rangos, ndices, rangosen el infinito e ndices en el infinito,
r = r , i = i ; r = r , i = i
.
-
Clasificacion afn de conicas 3
Utilizando este teorema obtenemos el siguiente cuadro de:
Clasificacion afn de conicas en H R3
r 3 (Irreducibles) 2 1 0
r i\i 1 0 1 0 0 0
Par de rectas1 Hiperbola reales
x2 y2 = 1 no paralelasx2 y2 = 0
2Par de rectas
Elipse Elipseimaginarias
0 real imaginariano paralelas
x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1x2 + y2 = 0
Par de rectas Par de rectasParabola reales imaginarias
Recta real1 0
y2 = 2x paralelas paralelasdoble
x2 = 1 x2 = 1 x2 = 0
Recta real Conjunto Plano0 0
x = 0 vaco afn
Problemas resueltos
1. Clasificar afnmente las conicas siguientes
(a) x2 2xy + y2 + 4x 6y + 1 = 0(b) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 3 = 0
Solucion.
(a) Escribamos la matriz G de la metrica T2 y la matriz G de su restriccion al infinito
G =
1 2 32 1 13 1 1
; G = ( 1 11 1)
Calculemos el numero de races nulas r0, el numero de races positivas r+ y el numero deraces negativas r de la ecuacion secular de la metrica T2 y de la metrica T2|E p(x) = |xI G| = x3 3x2 11x+ 1 , r0(p(x)) = 0 , r+(p(x)) = 2 , r(p(x)) = 1 p(x) = |xI G| = x2 2x , r0(p(x)) = 1 , r+(p(x)) = 1 , r(p(x)) = 0
Luego los rangos y los ndices de T2 y de su restriccion al infinito son
r = 3 , i = 1 ; r = 1 , i = 0
Por tanto, es una conica irreducible sin centro de matriz reducida
0 1 01 0 00 0 1
y ecuacionreducida afn y2 2x = 0, esto es, una Parabola.
-
4 G. Serrano Sotelo
(b)
G =
3 1 21 1 22 2 4
; G = (1 22 4)
p(x) = |xI G| = x3 2x2 20x , r0(p(x)) = 1 , r+(p(x)) = 1 , r(p(x)) = 1 p(x) = |xI G| = x2 5x , r0(p(x)) = 1 , r+(p(x)) = 1 , r(p(x)) = 0
Los rangos y los ndices de la metrica T2 y de su restriccion al infinito son
r = 2 , i = 1 ; r = 1 , i = 0
Es una conica degenerada con centro, de matriz reducida
1 0 00 1 00 0 0
y ecuacion reducidaafn x2 1 = 0, que representa una Par de rectas reales y paralelas.
2. Calcular el centro, los ejes principales y la ecuacion reducida metrica de la curva de grado dosdel plano real de ecuacion
3x2 + 3y2 2xy + 2x 4y + 1 = 0
Solucion.Sea G la matriz de una metrica T2 representante de la conica en H R3 y G su restriccion al
infinito.
G =
1 1 21 3 12 1 3
; G = ( 3 11 3)
|xI G| = x3 7x2 + 9x+ 3 ; |xI G| = (x 2)(x 4)Se tiene
r = 3
i = 1
r = 2
i = 0
Conica irreducible con centro: x2 + y2 = 1 (Elipse real)
(a) Centro de la elipse=( 1
8,5
8)
Por el Corolario 1,
c =(1,
Adj g10|G|
,Adj g20|G|
) = (1,18,5
8)
(b) Calculemos una base ortonormal de diagonalizacion para G.ker(G 2I) = (0, 1, 1) ; ker(G 4I) = (0, 1,1){u1 =
12
(0, 1, 1), u2 =12
(0, 1,1)} es la base buscada.
(c) En la base {c, u1, u2} la matriz de T2 esT2(c, c) 0 00 2 00 0 4
, con T2(c, c) = 38
Luego la ecuacion reducida metrica de la elipse es
x2
3/16+
y2
3/32= 1 ,
donde x y y son las coordenadas asociadas a la base {u1, u2}.
-
Clasificacion afn de conicas 5
(d) Ecuaciones de la transformacion afn efectuada para pasar del sistema de referencia inicialen H, en el que las coordenadas son {x, y}, al sistema de referencia de origen c y ejes lasrectas c+ u1 , c+ u2 , respecto del que las coordenadas son {x, y}.
Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E, esto es B =12
(1 11 1
),
componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslacion de vector c se obtienenlas ecuaciones(
xy
)= B
(xy
)+
(1/85/8
)=
x =
12
(x+ y 48)
y =12
(x y + 68)
(e) Los ejes principales de la elipse son las rectas c+ u1 , c+ u2 de ecuaciones respectivas
y = 0 x y + 68
= 0 ; x = 0 x+ y 48
= 0
(f ) Las medidas sobre los semiejes, a y b, la excentricidad y los focos F y F de la elipse,respecto del sistema de referencia inicial, son
a =
3
16; b =
3
32
c =a2 b2 =
3
32= Excentricidad = c
a=
2
2
F = (
3
32, 0) = F = (
3 18
,
3 + 5
8)
F = (
3
32, 0) = F = (
3 18
,
3 + 5
8)
3. Calcular el vertice, los ejes principales, la ecuacion reducida metrica, el foco y la directriz de laparabola del ejemplo 1
x2 2xy + y2 + 4x 6y + 1 = 0
Solucion.Sean G y G como en el ejemplo anterior.
G =
1 2 32 1 13 1 1
; G = ( 1 11 1)
Tenemos que encontrar una base {e, v1, v2} en la que la matriz de T2 es de la forma
0 0 0 00 0
con , 6= 0. El vector e define el vertice de la parabola y {v1, v2} es una base ortonormal dediagonalizacion para G.
(a) Calculemos v1 y v2.
|xI G| = x(x 2) Forma diagonal(
0 00 2
) = 2
kerG x y = 0 v1 =12
(0, 1, 1)
ker(G 2I) x+ y = 0 v2 =12
(0, 1,1)
-
6 G. Serrano Sotelo
(b) Vertice de la parabola V = (318,11
8)
El vector e que define el vertice esta en H, luego sus coordenadas son e = (1, x, y), yverifica las condiciones T2(e, e) = 0 , T2(e, v1) = y T2(e, v2) = 0 .
Calculemos x e y resolviendo el sistema determinado por la primera y tercera condiciones
T2(e, e) = 0 x2 2xy + y2 + 4x 6y + 1 = 0T2(e, v2) = 0 5 + 2x 2y = 0
}x = 31
8, y = 11
8= e = (1,31
8,11
8)
(c) En la base {e, v1, v2} la matriz de T2 es 0 T2(e, v1) 0T2(e, v1) 0 00 0 2
, con T2(e, v1) = 12,
luego la ecuacion reducida metrica de la parabola es y2 =12x , donde x y y son las
coordenadas asociadas a la base {v1, v2}.(d) Ecuaciones de la transformacion afn efectuada para pasar del sistema de referencia inicial
en H, en el que las coordenadas son {x, y}, al sistema de referencia de origen e y ejes lasrectas e+ v1 , e+ v2 , respecto del que las coordenadas son {x, y}.
Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E, esto es B =12
(1 11 1
),
componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslacion de vector e se obtienenlas ecuaciones(
xy
)= B
(xy
)+
(31/811/8
)=
x =
12
(x+ y + 214 )
y =12
(x y + 104 )
(e) Los ejes principales de la parabola son las rectas e+ v1 , e+ v2 de ecuaciones respectivas
Eje de simetra y = 0 x y + 104
= 0 ; x = 0 x+ y + 214
= 0
(f ) Calculemos por ultimo el foco F y la directriz d de la parabola, respecto de las coordenadasiniciales x e y.
Comparando la ecuacion reducida metrica y2 =12x con y2 = 2px, resulta que p =
1
2
2y las coordenadas del foco y la ecuacion de la directriz son (p/2, 0) y x = p/2.
En las coordenadas iniciales se tiene
F = (308,10
8) ; d x+ y + 5 = 0
Ejercicios Propuestos
4. Clasificar afnmente las conicas siguientes:
(a) x2 + 2y2 2x+ 4y + 2 = 0(b) x2 2xy + y2 + 4x 6y + 1 = 0(c) 3x2 5xy + y2 x+ 2y + 1 = 0(d) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y = 3(e) x2 + 2y2 + 3xy + 2x+ 5y 3 = 0(f ) x2 + y2 + xy + x+ y + 1 = 0(g) x2 + y2 xy x y + 1 = 0(h) x2 + 4y2 + 4xy 2x 4y + 2 = 0
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Clasificacion afn de conicas 7
5. Clasificar afnmente segun los valores del parametro la familia de conicas siguiente:
x2 + (22 + 1)y2 2xy = 22 3+ 1
6. Calcular el centro, los ejes principales, la ecuacion reducida metrica y la representacion graficade las curvas de grado dos siguientes:
3x2 2xy + 3y2 + 2x 4y + 1 = 0 , x2 y2 + 2xy 6x+ 4y + 3 = 0
7. Demostar que la curva plana de ecuacion
4x2 + y2 + 4xy + 6x+ 1 = 0 ,
es una parabola. Calcular su vertice, eje principal, ecuacion reducida metrica y representaciongrafica.
