Condensado de Bose Einstein
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Condensado de Bose-Einstein
Anderson Madruga dos Santos
ITA
November 9, 2011
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 1 / 45
Introducao
Sumario
1 Personagens
2 Natureza quantica do CBE
3 Bosons livres na regiao normal
4 Bosons livres na regiao de coexistencia5 Gas de fotons
1 Decomposicao espectral
2 Solucao classica
3 Lei de Planck
6 Bibliografia
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 2 / 45
Introducao
Personagens - Satyendra Nath Bose
1/1/1894 a 4/2/1974
1924: Lei de Planck pode serobtida a partir das Leis daMecanica Estatıstica econsiderando:
nıveis de energia dos
fotons sao discretos;
numero arbitrario de
fotons podem ocupar o
mesmo nıvel de energia;
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Introducao
Personagens - Albert Einstein
14/3/1879 a 18/4/1955
Teoria da Relatividade
Nobel de Fısica - 1921
Generalizacao da estatısticade Bose para atomos
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Natureza Quantica do CBE
Princıpio da incerteza de Heisenberg:
Posicao do atomo e incerta;
Posicao distribuıda por uma distancia da ordem do comprimentode onda de de Broglie;
Tambiente
c.d.o. de de Broglie e 10000 vezes menor que a distancia entreatomos;
ondas nao relacionadas;
estatıstica de Maxwell-Boltzmann;
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Natureza Quantica do CBE
Funcao de onda:
Diminuindo a Temperatura..
Condensado de Bose-Einstein:
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Condensacao de Bose-Einstein
Grande funcao de particao:
ln Ξ(T, V, µ) = −∑
j
ln(1−e[−β(εj−µ)])
No limite termodinamico (N → ∞ e NV= constante):
Pressao
p(T, µ) = −kB T limV→∞
1
Vln Ξ(T, V, µ)
Numero de ocupacao dos orbitais
〈nj〉 =1
eβ(εj−µ)−1
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Condensacao de Bose-Einstein
Numero de partıculas
N =∑
j
〈nj〉 =∑
j
1
eβ(εj−µ) − 1(1)
Energia interna do sistema
U =∑
j
εj 〈nj〉 =∑
j
εj
eβ(εj−µ) − 1
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Condensacao de Bose-Einstein
No limite classico, podemos mostrar que:
µ
kbT= ln
[
1
γ
(
2π~2
mkb
)3
2
]
+ ln
(
N
V
)
− 3
2lnT
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Condensacao de Bose-Einstein
Para calcular a temperatura de Bose-Einstein (T0), fazemos µ = 0em (1) e utilizamos o espectro de energia usual de partıculas livres
εj =~2k2
2m.
Lembra que no limite termodinamico:∑
→∫
convergente
Obtemos:
N = γV C
∫ ∞
0
ε1
2dε
eβ0ε − 1, (2)
onde:
C =1
4π2
(
2m
~2
)3
2
.
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Condensacao de Bose-Einstein
Fazendo x = β0ε e utilizando o resultado
∫ ∞
0
x1
2dx
ex − 1= Γ
(
3
2
)
ζ
(
3
2
)
,
temos a temperatura de Bose-Einstein:
T0 =~2
2mkB
[
4π2
γΓ(
32
)
ζ(
32
)
]2
3(
N
V
)2
3
,
que e conhecida como temperatura de Bose-Einstein.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 11 / 45
Condensacao de Bose-Einstein
Funcao gama
γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1e−tdt
e verifica para n natural: γ(n + 1) = n!.
Funcao zeta de Riemann
ζ(s) =∞∑
k=1
k−s
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Condensacao de Bose-Einstein
Reescrevemos (1), na forma
N
V=
[
1
V
z
1− z
]
+1
V
∑
j 6=0
1
z−1eβεj − 1
O que acontece no limite µ→ 0−, com T ≤ T0?
z = eβµ → 1, no limite termodinamico (V → ∞);
No limite
µ → 0 e V → ∞, temos
{
NV
e fixaT ≤ T0
Assim:
[
1
V
z
1− z
]
→ N0
V, (3)
onde N0
Ve a desidade de partıculas no estado com energia nula (ou
seja, no condensado de Bose-Einstein) eAnderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 13 / 45
Condensacao de Bose-Einstein
1
V
∑
j 6=0
1
z−1eβεj − 1→ γC
∫ ∞
0
ε1
2dε
eβε − 1=Ne
V,
onde Ne
Ve a desidade de partıculas nos estados excitados.
Portanto
N = N0 +Ne.
Reescrevendo (2), temos
N
V= γC
∫ ∞
0
ε1
2dε
eβ0ε − 1.
Entao, e valida a relacao
N0 = N
[
1−(
T
T0
)3
2
]
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 14 / 45
Condensacao de Bose-Einstein
N0
N∼ 3
2
T0 − T
T0
N0 → N para T → 0
N0 → 0 para T → T0
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 15 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Escrevendo o lagaritmo da funcao de particao como uma serie depotencias da fugacidade z = eβµ, podemos reescrever a gfp:
1
Vln Ξ(β, V, z) = − 1
Vln(1− z)− 1
V
∑
j 6=0
ln[1− ze−βεj ]. (4)
No limite termodinamico, V → ∞ com z < 1, temos
1
Vln Ξ(β, V, z) → −γC
∫ ∞
0
ε1
2 ln[1 − ze−βε]dε.
Entao, podemos escrever
1
Vln Ξ(β, V, z) = γC
∫ ∞
0
ε1
2
[
ze−βε +1
2z2e−2βε + . . .
]
dε
=γ
λ3
∞∑
n=1
zn
n5
2
.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 16 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Onde
λ =h√
2πmkbT.
Introduzindo a funcao
gα(z) =∞∑
n=1
zn
nα,
temos a forma compacta
1
Vln Ξ(β, V, z) =
γ
λ3g 5
2
(z). (5)
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 17 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Com esta funcao definida, temos:
Numero de partıculas
N = z∂
∂zln Ξ(β, V, z) =
γV
λ3g 3
2
(z) (6)
Energia interna
U = − ∂
∂βln Ξ(β, V, z) =
3γV
2βλ3g 5
2
(z) (7)
Para obtermos U = U(T,V,N) → Usamos (6) para eliminar z.Em geral, processo numerico complicado.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 18 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Exemplo: Calculo de cV , definido pela relacao:
cV = cV (T, v) =1
N
(
∂U
∂T
)
V,N
= −kBβ2
N
(
∂U
∂β
)
V,N
.
Queremos U = U(β, V,N). Para tal, usamos a tecnica dosjacobianos:
(
∂U
∂β
)
N
=∂(U,N)
∂(β,N)=∂(U,N)
∂(β, z)
∂(β, z)
∂(β,N)
=
(
∂U
∂β
)
z
−(
∂U
∂z
)
β
(
∂N∂β
)
z(
∂N∂z
)
β
.
As derivadas que aparecem acima, podem ser calculadas usando asequacoes (6) e (7).
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 19 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Os quatro resultados que precisamos, entao, sao:
(
∂U
∂β
)
z
= − 15γV
4β2λ3g 5
2
(z).
(
∂U
∂z
)
β
=3γV
2βλ3zg 3
2
(z).
(
∂N
∂β
)
z
= − 3γV
2βλ3zg 3
2
(z).
(
∂N
∂z
)
β
=γV
λ3zg 1
2
(z).
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 20 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Assim, temos:
cV =3
2kB
[
5
2
g 5
2
(z)
g 3
2
(z)− 3
2
g 3
2
(z)
g 1
2
(z)
]
.
1 No limite classico:g(z) ≈ z → cV ≈ 3
2kB
2 Na transicao de Bose-Einstein (z = 1, T = T0):cV e finito, pois g 1
2
(1) → ∞, g 3
2
(1) = 2.612... e g 5
2
(1) = 1.342....
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 21 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Exemplo: Obter Z = Z(T, V, z):No formalismo do grande potencial termodinamico, temos
S = −(
∂Φ
∂T
)
V,µ
= V
(
∂p
∂T
)
µ
.
Utilizando (5), obtemos
p = p(T, µ) =γ
λ3βg 5
2
(z).
Assim:
S =kBγV
λ3
[
5
2g 5
2
(z)− g 3
2
(z)lnz
]
.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 22 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao normal (µ < 0)
Utilizando (6), tambem podemos escrever:
S = kBN
[
5
2
g 5
2(z)
g 3
2(z)
− lnz
]
.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 23 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao de coexistencia (µ = 0, T < T0)
Para esta regiao, temos energia nula.Utilizando (6) e (7), obtemos:
U =3γV
2βλ3g 5
2
(1)
e
Ne =γV
λ3g 3
2
(1).
cV pode ser obtido facilmente:
cV =1
N
(
∂U
∂T
)
V,N
=15γV kB4λ3N
g 5
2
(1) = c
(
V
N
)
T3
2 ,
onde c e um prefator constante.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 24 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao de coexistencia (µ = 0, T < T0)
A pressao pode ser obtida a partir da equacao (4). Para µ→ 0 eV → ∞, segundo a equacao (3), temos
1
V
z
1− z→ 1
V
1
1− z→ N0
V.
Portanto, tambem devemos ter
1
Vln(1− z) → 0.
Considerando (4), a pressao na linha de coexistencia deve ser dadapor
p =1
βVln Ξ(β, V, z) → γC
β
∫ ∞
0
ε1
2 ln[1− e−βε]dε
=γ
βλ3g 5
2
(1).
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 25 / 45
Condensacao de Bose-Einstein Bosons livres na regiao de coexistencia (µ = 0, T < T0)
A pressao dos bosons livres se anula no zero absoluto, ao contrario dogas de Fermi.Para calcular a entropia, temos
S = −(
∂Φ
∂T
)
V,µ
= V
(
∂p
∂T
)
µ
.
Portanto
S(T, V, µ = 0) = V
(
∂p
∂T
)
µ=0
=5kBγV
2λ3g 5
2
(1).
No zero absoluto, o condensado nao carrega entropia.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 26 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
Obter a decomposicao espectral da energia associada ao campoeletromagnetico.
Dentro de uma cavidade vazia de volume V, a energiaeletromagnetica e dada por:
H =1
8π
∫
V
(E2 +H2)d3r,
onde E = H = f(r, t), obedecendo as equacoes de Maxwell
∇×E = −1
c
∂H
∂t,
∇ · E = 0,
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 27 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
∇×H =1
c
∂E
∂t,
e
∇ ·H = 0.
Introduzindo os potenciais de Hertz, temos:
H = ∇×A
e
E = −1
c
∂A
∂t−∇φ.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 28 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
Definindo os novos potenciais
A → A−∇ψe
φ→ φ+1
c
∂ψ
∂t,
temos os mesmos campos E e H definidos anteriormente.Escolhemos ψ, tal que
∇ ·A = 0,
que e o chamado Calibre de Coulomb.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 29 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
Fazendo esta escolha, temos:
∇2A− 1
c2∂2A
∂t2=
1
c
∂
∂t∇φ
e
∇2φ = 0.
Podemos tomar φ = 0, pois nao ha cargas na cavidade. Assim,temos:
∇2A− 1
c2∂2A
∂t2= 0,
ficando os campos definidos por
H = ∇×A
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 30 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
e
E = −1
c
∂A
∂t.
Vamos considerar uma cavidade na forma de um paralelepıpedo delados L1 , L2 e L3 .
Condicoes de contorno:
Esta estrutura e periodicamente repetida para preencher todo oespaco.
Os campos sao os mesmos, nos pontos correspondentes emtodos os paralelepıpedos.
Com estas condicoes de contornos periodicas podemos escrever oscampos como combinacoes lineares de senos e cosenos.
A =∑
k
Akeik·r, (8)
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 31 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
onde o vetor de onda k e dado por
k = (k1, k2, k3) =
(
2πm
L1,2πn
L2,2πl
L3
)
,
com m,n, l = 0,±1,±2, . . ..Potencial vetor real, entao,
Ak = A∗−k.
A condicao de transversalidade (∇ ·A = 0), implica a relacao
k ·A−k = 0.
Ou seja, os vetores complexos Ak, sao normais aos vetores de ondak.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 32 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
Temos, entao, a equacao de onda
d2Ak
dt2+ c2k2Ak = 0, (9)
que evidencia o comportamento harmonico das vibracoes do campoeletromagnetico.As solucoes da equacao (9), podem ser escritas na forma
Ak = akeiwkt + bke
−iwkt,
onde o espectro de frequencias e dado por
wk = ck.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 33 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
Levando em conta que o potencial vetor e real, podemos escrever asolucao, como
Ak = akeiwkt + a∗
−ke−iwkt.
Inserindo a ultima em (8), obtemos
A =∑
k
[akeiwkt+ik·r + c.c],
onde c.c significa o termo do complexo conjugado.Os campos E e H, entao, serao dados por
E = −1
c
∂A
∂t=
∑
k
[−ikakeiwkt+ik·r + c.c]
e
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 34 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
H = ∇×A =∑
k
[i(k× ak)eiwkt+ik·r + c.c].
Por fim, vamos obter H2 e E2 e integrar no volume d3r.Utilizando a propriedade de normalizacao
∫
V
eik·r+ik′·rd3k = V δk,k′,
e possıvel mostrar que
∫
V
E2d3r =∑
k
[
−V k2ak · a−ke2iwkt + V k2ak · a∗
−k
+ V k2a∗k· ak − V k2a∗
k· a∗
−ke−2iwkt
]
.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 35 / 45
Gas de fotons Decomposicao Espectral
De forma analoga, usando as propriedades do produto vetorial mistoe o fato dos campos serem transversais, podemos mostrar que
∫
V
H2d3r =∑
k
[
V k2ak · a−ke2iwkt + V k2ak · a∗
−k
+ V k2a∗k· ak + V k2a∗
k· a∗
−ke−2iwkt
]
.
Portanto, obtemos
H =1
8π
∫
V
(E2 +H2)d3r =V
2π
∑
k
k2ak · a∗k. (10)
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 36 / 45
Gas de fotons Solucao Classica
Para utilizar o formalismo canonico, vamos definir
Coordenadas generalizadas da posicao
Qk(t) = α[akeiwkt + a∗
ke−iwkt]
e
Coordenadas generalizadas de momento
Pk(t) =d
dtQk(t) = α[iwkake
iwkt − iwka∗ke−iwkt],
onde α e uma constante real.Escrevendo ak e a∗
kem termos das coordenadas generalizadas e
substituindo em (10), temos
H =V
8πα2c2
∑
k
[P2k+ k2c2Q2
k].
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 37 / 45
Gas de fotons Solucao Classica
As equacoes de Hamilton
d
dtQk =
∂H
∂Pk
e
d
dtPk = − ∂H
∂Qk
,
serao satisfeitas com a escolha
α =
(
V
4πc2
)1
2
.
Forma canonica → Mecanica Estatıstica Classica
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 38 / 45
Gas de fotons Solucao Classica
Devido a transversalidade dos campos, temos
Qk · k = Pk · k = 0.
Qk e Pk tem duas dimensoes e o hamiltoniano do sistema, fica
H =1
2
∑
k,j
[P 2k,j + w2
kQ2
k,,j] =∑
k,j
Hk,j,
onde j = 1, 2 e Hk,j e o hamiltoniano de um oscilador harmonicocom wk,j = kc.A funcao canonica de particao e dada por
Z = Πk,j
∫ ∞
−∞
∫
dQk,jdPk,je−
β2[P 2
k,j+w2
kQ2
k,j].
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 39 / 45
Gas de fotons Solucao Classica
Entao,
lnZ =∑
k,j
ln
(
2π
βkc
)
.
A energia interna e finita e pode ser dada por
U = − ∂
∂βlnZ =
∑
k,j
1
β= 2
V
(2π)3
∫
1
βd3k → ∞,
onde a divergencia nos mostra a catastrofe do ultravioleta.Podemos escrever
U =V
4π3kBT
∫ ∞
0
4πk2dk =8π
c3V kBT
∫ ∞
0
ν2dν,
onde
ν =1
2πwk =
kc
2π.
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Gas de fotons Solucao Classica
Assim, temos a lei de Rayleigh-Jeans,
u(ν) = 8πkBT
c3ν2,
que produz os dados experimentais somente na regiao de baixafrequencia.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 41 / 45
Gas de fotons Lei de Planck
Energia de um oscilador de frequencia ν → multiplos inteiros de hν.A funcao canonica de particao e dada por
Z = Πk,jZk,j,
onde
Zk,j =∞∑
n=0
e−β h2π
wkn =1
1− e−β~wk
.
Entao,
lnZ =∑
k,j
lnZk,j = −2V
(2π)3
∫
d3kln[1 − e−β~wk].
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 42 / 45
Gas de fotons Lei de Planck
A energia interna e finita e dada por
U = − ∂
∂βlnZ = 2
V
(2π)3
∫
d3k~kc
eβ~kc − 1,
onde obtemos a densidade espectral de energia
u(ν) =8πh
c3ν3
eβhν − 1, (11)
que e a Lei de Planck.No limite ν → 0, temos a formula de Rayleigh-Jeans
u(ν) → 8πkBT
c3ν2.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 43 / 45
Gas de fotons Lei de Planck
Utilizando a equacao (11), no entanto, a energia total nao apresentanenhuma divergencia. De fato
U
V=
∫ ∞
0
u(ν)dν =8πh
c3
∫ ∞
0
ν3dν
eβhν − 1.
Com a mudanca de variaveis βhν = x, temos a lei deStefan-Boltzmann
U
V=
8π
(hc)3
[∫ ∞
0
x3dx
ex − 1
]
(kBT )4 = σT 4,
onde σ e uma constante.
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 44 / 45
Gas de fotons Lei de Planck
Referencias Bibliograficas
Introducao a Fısica Estatıstica - Silvio R. A. Salinas;
Statistical Mechanics - R. K. Pathria e Paul D. Beale;
Anderson Madruga dos Santos (ITA) Condensado de Bose-Einstein November 9, 2011 45 / 45